1 Newton–Okounkov bodies on surfaces
X
D
Y• = (C, x)
X
(D · C) < 0
C
E1 , . . . , Er
(Ei · Ej )1i,jr
hE1 , . . . , Er iR 6 N1 (X)R
C
X
E1 , . . . , Er
X
C ✓ Neg(D)
D·C>0
✏1 , . . . , ✏ r
P-
P
P2
X
(C2 ) < 0
D
Neg(D) = {C1 , . . . , Cr }
Pr
i=1 ✏i Ci
H + E1 + E2 2H - E1 - E2
H - E1 - E2 - tE1 H - t(E1 + E2 )
x2C
D = H C = H - E1 - E2
D = 2H - E2 C = E1
X
P2
X
(E,x) (H)
x
(C,x) (H)
C 2 |H - E|
x
µC (D) 2
/ Q
(C,x) (D)
x = µC (D)
C
µC (D) 2
/Q
E
R
P2
Dn ! D
P n = PD n P = P D
Pn 6! P
Nn 6! N
C✓X
E⇥E
D
Pn ! P
Nn ! N
Dn = L - tn C
Pn ! P
tn
D
C (D)
D
L
Nn ! N
µC (D) 2
/ Q
R
↵ (D)
↵
D - t↵
-↵
↵ (D)
↵
2 Functions on Newton–Okounkov bodies
X
Y•
L
X Z
X
deg L 2
C
Y1 = {p}
X
Z = {q}
Y• ! R
L,Z :
L
X = Pn
V(T0 , . . . , Ti-1 )
Y• (L)
T0 , . . . , Tn
Z = Yn
Y• (O(1))
O(1),Z :
Y• (O(1))
!R
(x1 , . . . , xn ) 7! x1 + . . . + xn
Y•
Yi =
C
A
V•
A
X
X
Fm•
Vm•
F•
emin (Vm• , Fm• ) = memin (V• , F• )
X
Y• : P 2 ` ⇢ X
`
m
V•
V•
Vm•
µ
X
emax (Vm• , Fm• ) = memax (V• , F• ) .
L
P2
`
Y• (L)
Q
Q
X
F•
V•
'Fm• (mx) = m · 'F• (x)
x2
Y• (V• )
3 Local positivity and convex geometry
X
Y•
L
X
Y• (L)
X
E H
X
H
x2E
OP2 (1)
x 2 P2
A, B
X
(mA; x) = m · (A; x)
(A + B; x)
(A; x) + (B; x)
(A; x)
A
1
x2Z✓X
(A|Z ; x)
X x2X
A
(A; x)
(A; x) = ✏(A; x)
References
576
62
229
356
42
72
148