Integral Calculus 201-NYB-05
Vincent Carrier
Exercise Sheet 11
3.5 Partial Fractions
Write the decomposition in partial fractions without solving for the coefficients.
1.
3x2 + 4
x3 + 5x2 − 14x
2.
7x2 − x + 5
x3 − 6x2 + 9x
3.
x3 + 4
(x − 3)(x + 2)3
4.
x2 − 5
x3 + 3x2 + 4x
5.
x4 + x3 + 1
x5 + 7x3 + 12x
6.
5x3 − 6
x6 + 6x4 + 9x2
Solve the following integrals.
Z
7.
Z
10.
Z
13.
Z
16.
Z
19.
Z
22.
Z
25.
x−4
dx
2
x − 7x + 10
x3
dx
x2 − x − 2
5x3 + 8
dx
x4 − 3x3 + 2x2
x3 − 3x2 + 2
dx
x4 − 2x3
2 − 3x
dx
x3 + 4x
3x + 2
dx
2
x − 4x + 13
1
dx
x3 − 2x2 + 5x
Evaluate the following integrals.
Z 5
2x + 1
28.
dx
2
2 x − 4x − 12
Z
8.
4
dx
2
2x − 3x
Z
11.
Z
14.
Z
17.
Z
20.
Z
23.
Z
26.
3 − 2x
dx
x3 + 6x2 + 9x
x4 + 1
dx
x3 − x2
2x2
dx
(x − 1)3
4x2 + 3
dx
x3 + 2x
1
dx
4
x + 5x2 + 4
x4 + 2
dx
x3 + 2x2 + 2x
Z
29.
1
2
x+1
dx
3
x − 3x2
Z
9.
x3
5
dx
− 2x2 − 8x
Z
5x2 + 9
dx
x3 − 3x2
Z
2 − 5x
dx
(x + 4)2
12.
15.
Z
18.
x4
1
dx
+ x3 − 2x2
x2
1
dx
− 4x + 8
Z
21.
Z
x2 + 7
dx
x4 + 9x2
Z
3x
dx
(x2 + 1)2
24.
27.
Z
30.
2
4
x2 − 1
dx
x3 + 4x
Answers:
1.
B
C
A
+
+
x
x+7 x−2
2.
A
B
C
+
+
x
x − 3 (x − 3)2
3.
A
D
B
C
+
+
+
x − 3 x + 2 (x + 2)2
(x + 2)3
4.
A
Bx + C
+ 2
x
x + 3x + 4
5.
A Bx + C
Dx + E
+ 2
+ 2
x
x +3
x +4
6.
7.
ln |x − 5| 2 ln |x − 2|
+
+C
3
3
5 ln |x| 5 ln |x − 4| 5 ln |x + 2|
+
+
+C
8
24
12
10.
x2
ln |x + 1| 8 ln |x − 2|
+x+
+
+C
2
3
3
3
ln |x| ln |x + 3|
−
+
+C
3
3
x+3
12.
3
− ln |x| + 6 ln |x − 3| + C
x
16.
1
5 ln |x|
1
ln |x − 2|
+
+
−
+C
2
2x
4
2x
4
9. −
11.
13. 6 ln |x| − 13 ln |x − 1| + 12 ln |x − 2| −
14.
Cx + D
A
B
Ex + F
+ 2+ 2
+ 2
x
x
x +3
(x + 3)2
4 2x − 3 +C
8. ln 3
x 4
+C
x
x2
1
+ x − ln |x| + 2 ln |x − 1| + + C
2
x
15. −5 ln |x + 4| −
17. 2 ln |x − 1| −
22
+C
x+4
4
1
−
+C
x − 1 (x − 1)2
x
ln |x| ln(x2 + 4) 3
−
− arctan
+C
2
4
2
2
1
x−2
21. arctan
+C
2
2
19.
18. −
20.
ln |x| ln |x − 1| ln |x + 2|
1
+
−
+
+C
4
3
12
2x
3 ln |x| 5 ln(x2 + 2)
+
+C
2
4
8
3
22. ln(x2 − 4x + 13) + arctan
2
3
x
x
1
2
7
1
arctan x − arctan
+C
24.
arctan
−
+C
3
6
2
27
3
9x
1
x−1
1
1
25.
arctan
−
ln(x2 − 2x + 5) + ln |x| + C
10
2
10
5
23.
26.
x2
ln(x2 + 2x + 2)
− 2x + ln |x| +
+ arctan(x + 1) + C
2
2
27. −
29. −
3
+C
+ 1)
2(x2
3 + 16 ln 2
18
28.
3 ln 7 − 32 ln 2
8
30.
5 ln 5 − 7 ln 2
8
x−2
3
+C