Chapter 15: Roots and Radicals
Chapter 15
15.1
Roots and Radicals
Introduction to Radicals
È+
indexÄ8
à radical sign
Square Root
È + is the positive (or principal) square root of +
Å
radicand
•È+ is the negative square root of +.
Find each square root.
1.
È$' œ
2.
3.
•È '% œ
4.
5.
È*'" œ
6.
Ê
"'
œ
"#"
Ê
*
"'
Ê
"
œ
%
•È"'* œ
The square root of a negative number
is NOT a real number!!!
Which of the following are real numbers?
7.
9.
Ê
"
%
È•"'
Real
Not Real
8.
Real
Not Real
10.
•È •#&
Real
Real
Not Real
Not Real
83
84
Mr. Getso’s Algebra Notes
Approximating Square Roots
Use a calculator to approximate each
square root to three decimal places.
11.
È$ ¸
12.
È"! ¸
13.
È)& ¸
14.
È"!$ ¸
For positive real numbers +, È+# œ +Þ
Simplify each expression. Assume that all
variables represent positive numbers.
15.
ÈB# œ
16.
ÈB% œ
17.
ÈB' œ
18.
ÈB) œ
19.
È"'B"! œ
20.
È"!!C"# œ
21.
Ê
B"%
œ
"'
22.
Ê
%B"'
œ
*
Chapter 15: Roots and Radicals
15.2
85
For positive real numbers +, È+# œ +Þ
Simplifying Radicals
Simplifying by Factoring
Multiply and simplify.
1.
A)
F)
G)
È#& † È"' œ
2.
È #& † "' œ
È #& † È"' œ È #& † "'
F)
True
The Product Rule for Radicals
For any non negative radicands E and F ,
ÈE † ÈF œ È E † F
G)
False
È* † È% œ
È* † % œ
È* † È% œ È* † %
à This is a big, BIG, BIG Deal!
Multiply. Use the Product Rule for Radicals “backwards.”
È #È & œ
3.
4.
5.
A)
È(È"" œ
6.
È$È ( œ
È#È "& œ
Simplify by factoring. Use the Product Rule for Radicals “backwards.”
Hint: When simplifying, look for perfect squares
!ß "ß %ß *ß "'ß #&ß $'ß %*ß '%ß )"ß "!!ß "#"ß "%%ß "'*ß "*'ß ##&ß …
7.
È") œ È* † # œ È *È# œ $È#
8.
9.
È#! Why use È% † &, and not È # † "!?
10.
È"#
È#%
True
False
86
Mr. Getso’s Algebra Notes
11.
È$#
12.
È$'
13.
È%!
14.
È%%
15.
È%&
16.
È%)
17.
È&!
18.
È&%
19.
È&'
20.
È&)
21.
È'!
22.
È)!
Chapter 15: Roots and Radicals
23.
È *!
24.
È*)
25.
È **
26.
È"#&
27.
È "#)
28.
È#))
29.
È #&!
30.
È"!!!
31.
È $'!!
32.
È%*!!
87
88
Mr. Getso’s Algebra Notes
Simplify by factoring. Assume letters are positive.
33.
35.
ÈB# œ B
ÈB% œ ÈBB † BB œ B#
34.
È)B#
36.
È#!B%
È%!B'
37.
ÈB'
38.
39.
ÈB)
40.
Ê
#(B)
%*
41.
ÈB"!
42.
Ê
%)B"#
#&
43.
ÈB"#
44.
Ê
%!B"#
)"
Simplify by factoring. Assume letters are positive.
45.
47.
ÈB œ È B
ÈB$ œ ÈBB † B œ BÈ B
46.
È#B
48.
È)B$
Chapter 15: Roots and Radicals
49.
È B& œ È BB † BB † B œ B# ÈB
50.
Ê
$#B&
"#"
51.
È B(
52.
Ê
#(B(
#&
53.
È B*
54.
Ê
"#&B*
"'
55.
È B""
56.
È$!!B""
57.
È B#"
58.
È&!!B$&
59.
È B%*
60.
È'!B"(
61.
È B"!"
62.
È%!!B'%
89
90
Mr. Getso’s Algebra Notes
15.3
Adding and Subtracting Radicals
Adding and Subtracting Radicals
Perform the indicated operation.
1.
%È& € $È &
2.
'È"" € *È ""
3.
È"! • 'È "!
4.
È( • $È(
5.
#È' € #È '
6.
$È$ • $È$
7.
È"& € È"&
8.
È# € È#
9.
# € $È& œ &È&
True False
10.
#È$ € #È ( œ %È"!
True
False
Chapter 15: Roots and Radicals
Simplifying Radicals Before Adding or Subtracting
Add or subtract. Simplify, if possible.
11.
È &! € È)
12.
È#( € È(&
13.
(È"# • È(&
14.
$È #! • (È%&
15.
È #& • È#( • #È") • È "'
16.
È$' • È %) • %È$ • È*
17.
Ê
$
$
€Ê
'%
"'
18.
Ê
#
#
€Ê
#&
*
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92
Mr. Getso’s Algebra Notes
15.4
Multiplying and Dividing Radicals
Multiplying and Simplifying
Multiply and then simplify by factoring.
1.
3.
È$B# È*B$
È"#B$ C# È)BC
Common Mistake!
We have shown that È EF œ È EÈF , but is it true that
ÈE € F œ È E € ÈF ?
Let E œ "' and let F œ *.
È"' € * œ È"' € È*
È#& œ % € $
&œ(
WARNING:
ÈE € F Á ÈE € È F
2.
È#B$ È)B$ C%
4.
È"!BC# È&B# C$
Chapter 15: Roots and Radicals
Multiplication with Radicals
Multiply. Simplify, if possible.
5.
È$ŠÈ # € È(‹
6.
È$ŠÈ & • "‹
7.
Š# € È$‹Š& • %È$‹
8.
Š# € È$‹Š& • È7‹
9.
ŠÈ$ • B‹ŠÈ$ € B‹
10.
ŠÈ' • È&‹ŠÈ ' € È &‹
12.
ˆÈ B • È C ‰
11.
ˆ$ • È :‰#
#
93
94
Mr. Getso’s Algebra Notes
Division with Radicals
The Quotient Rule for Radicals
If È+ and È , are real numbers and , Á !, then
È+
È,
+
œÊ Þ
,
Divide. Simplify the quotient if possible.
13.
È"!!
14.
È *!
15.
È"#B$
16.
È (&B$
È&
È$B
È#
È$B
Rationalize the denominator.
17.
19.
#
È(
È$
È"&
18.
20.
&
È$
È(
È #)