18.03 Differential Equations, Recitation Solution 2

Recitation 2, February 4, 2010
��������� ������ �������� ������� ���������� ������������� �������
�������� �����������
�� ���� � ��� ���� ������
��� ���� ���� ���������� ���������� ��� ����������
��� ���� �� ���������� ��� ��������� ����� ����� ��� ��������� ����� ���� � ���
����������
������ ���� �� ������ ��� � ������������ �������� �� �� �������������������������������������
�
��� ������ ��� ����������� ������� ��� ��� �������� �� �� y = x − 2y � ����
���
m ������ �� ��� ����� �� �������� �������� ��������� ������� ������� ��� �����
�� ��� ���� ������ �� ���� ��� ��������� ����� �������� ������� ��� �������
���� ���� ��� ���� ��������
��
��� �� ��� �������� ������ ����� �� �� � �������� ����� �� ���� ����� ����
�������� ���� �� ��� ������ ��� ����
m
���
b
��
y = mx + b
� ����������
1
1
���� ��� �� ��� ������ �� � �������� ����� ��� �������� y =
x −
�� � ��������
2
4
1
1
1
1
1
�
�� ��� ��������� ����� y =
= x − 2(
x −
)� ���������� m =
��� b = −
�
2
2
4
2
4
�
�� ������� � ��� ��� ������� ����������� �������� y = F (x, y) � �� � ��������
��
���� �� �� �������� ������ ��� �� �� ������� �� ��� ��������� �� ��� ��������� ����
������� �� ��� ��������
�� � �������� ���� �� �� �������� ������ ���� �� �� ���� �� ��� �������� ��� ��� ������
1
�
�� ��� �������� ��� ���� �� �������� � ����� ��� ������ y =
���������
2
��
�� ����� ���� ��� ��� ��������� ������ ���������� ��
x → ∞�
�� ���� ���
����� ���� ���� �� ����� ��� ��� ���� ������� ��� ��������� ��� ������� �������
�������� ����� �� ���� ������
����� ��� ��������� ���� ��� ���� m = x − 2y � ��� ��������� ��� ����� �� �����
1
1
� ���� m >
� ��� �������� ������� � ����� �� ���� �������� ���� ���� ����
2
2
��� ������ ����� ��� ���� �� ��� ������ ����� ��� �� ����������� �� ��������
1
��� ����� �� ��� ����� ���������� ���������� ���� m <
� ��� �������� �������
2
�
� ����� �� ��� y = m �������� ���� ���� ���� ��� ������ ����� ��� ���� ��
1
m
�
��� ������ ����� ��� ����� ��� y =
m �������� ��� ��� ���� y
=
x −
� ���
2
2
1
1
1
1
��������� ��� m >
��� ����� ��� ���� y =
x −
� ����� ��� ��������� ��� m <
2
2
4
2
��� ����� ��� ���� ����� ��������� ������� ��� ��� ��������� ���� �������� ���
1
1
���� y = x − �
2
4
�
����� ��� ��� �������� ������ �� ��� ��������� �� y = x − 2y � ��� ����
��
�������� ������ ��� � ������ �������� �����
��������
y
����
y(0) = y0
��� ���� ������ ��
���� � �������� ������
y0
���� ���
���� ����� �� ���� �� �� �
������� �� � �������� ��� ��� ��� �� ������ �� ���� ���� ���� ��������
��� ��� ���� ��� ��� ������ ���������� ���� �� �� �����
�
��� �������� ������ �� ��� ��������� ��� �� ��� y = 0 ��������� ����� ���� ��������
1
�� � ���� �� ����� � ��� �������� ������� � ����� �� �� ���� ���� ���� ���
2
������ ����� �� �� ��� ������ ����� ��� ���������� ����� ��������� ���� �������
��� ��������� ������� ����� �� ���� ���� ������� ��� �������� ������ ���������
1
1
1
���� ��� ����� ��� ���� y = x −
������ ���� ����� ������� ���� � ����� ���
2
4
2
��������� �� ����� ����� ��� ����� ���� ����� ����� ���������� ����� ���� ��� ����
y = 12 x − 14 � ���� �� �������� �������
� �������� ���� ���� � �������� ����� �� ��� ���� �� �� ���� ����� ��� ����
1
x − 14 � �� ��� ���������� ������ �� y0 ��� ����� ������� ���� − 14 �
2
y =
��� �� ��� �������� ������ ��� �������
�� ��� ��� ������ ���������� ����� �� ���� ��� ���������� �� ���� ����� �� ���
y �� = 1 − 2y � � ����� y � = 0 �� ��� �������� ������ �� ���� y �� = 1� ���
���������
������ ���������� �� ��������� �� �� ����� ��� �������� ����� �� � ����� ��������
1
1
�������� ��� ��� �������� ���� ���� ����� ��� ���� y = x − � ������ �� �������
2
4
�
��� ���� x − 2y = 0� y ��������� ����� y < 0� ��� ���� ��� ��������� y ���������
�
����� y > 0� ������ ��� �������� ����� �� �������� � ������ �������
��
��� ������� �������� ����
y � = y 2 −x2 �
����� �� �� ���
��������� ���������
������ ���� � ��� ������� �� ���� ��������� ��� ��� ���� �� ������ ���
��������� ����� ��� ���� ������ � ��� ����������
��� ��� �������� �� ��
y � = y 2 −x2 �� ��� ������� ��� ������ ��� ���� ���������
�� �� �������� ��
��
� ������������ �� � �������� ���� ���� ��������� ����� �� ���� � ���� ��� x
�
2
2
���������� �������� �������� ���� ��������� ����� ��� ��� �������� y = y − x
�������� � ����������� ������ �� ��� �������� ��� �������� ��������� �� ���������
����� �� ��� ����� ���
��� ��� ���� ��������� ���������� ��� ���������� �� ��� ������ �� ��������
���� ��� ��� ����� �� ��� ������� ������ ����� ���� ������ ������� ��������� �����
�� ������� �������� ������� ������ ��������� ����� �� �������� ��� ����� �����
�
2
2
��������� �� ��� y = −1 ��������� ����� ���� �� ��� ��������� y = x − 1�
��
��� ��������
������� ��
x
y � = y 2 − x2
���� �������� � ��������� ����� ��������� ���
���������� ��� ���� ��������� ��� ���������� �� ���� ������ ���
����� ���� ����� � ������ �� ���������� ����� �� � �������� ���� � ������ �������
���� � �������� �� ��� ��������� ������� ����� ��� ����� ������� ��������� ���
���� �� ��
x
���� ������ ���� �� ���
y � = −1 ���������
���� y = −x + 1�
��������� ����� ��� ���������� �������� ���
����� ����� ����� ����� ��������� �� ���
���� �� � ������
MIT OpenCourseWare
http://ocw.mit.edu
18.03 Differential Equations����
Spring 2010
For information about citing these materials or our Terms of Use, visit: http://ocw.mit.edu/terms.