Tutorial 1.2 (PTG0016) – T1 2012 2013 (Solution for students)
1. Find the exact value of each expression.
a.) sin -1 (-1)
b.) tan -1 0
ans: 0°
c.) sin−1 −
3
2
d.) tan−1
ans: −
3 ans:
𝜋
3
𝜋
3
2. Use calculator to find the value of each expression rounded to two decimal places
a.) sin−1 0.1 = 0.10
b.) tan−1 −0.4 = -0.38
c.) sin−1 −
3
5
= 0.35
d.) cos−1 −0.44 = 2.03
e.) tan−1 0.2 = 0.20
3. Find the exact value of each expression. Do not use a calculator.
a.)
tan−1 tan −
b.) sin−1 sin
9𝜋
8
3𝜋
8
cos −1 cos −
5𝜋
3
ans:
d.) tan−1 tan −
2𝜋
3
ans: 3
c.)
2
e.)
cos cos−1 − 3
f.)
tan tan−1 4
𝜋
3
𝜋
2
ans: − 3
ans: 4
4. Find the inverse function of each function 𝑓. State the domain of 𝑓 and 𝑓 −1 .
a.) 𝑓 𝑥 = 5 sin 𝑥 + 2
b.) 𝑓 𝑥 = 2 tan 𝑥 − 3
c.) 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 + 2 + 1
d.) 𝑓 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 2
5. Find the exact solution of each equation.
a.) 4 sin−1 𝑥 = 𝜋
b.) 3 tan−1 𝑥 = 𝜋
ans:
c.) 3 cos−1 2𝑥 = 2𝜋
ans: − 4
d.) −6 sin−1 3𝑥 = 𝜋
ans: − 6
3
1
1
6. Find the exact value of each expression.
a.) cos sin−1
2
2
b.) sec tan−1
1
2
c.) cot cos−1 −
d.) csc −1 −
2 3
3
ans:
3
3
5
2
ans: −
2
2
𝜋
ans: − 3
7. Use calculator to find the value of each expression rounded to two decimal places.
a.) cot −1 2
b.) sec −1 4
c.) csc −1 −3
ans: 1.32
ans: -0.34
d.) cot −1 − 5
ans: 2.72
8. Write each trigonometric expression as an algebraic expression in 𝑢.
a.) cos tan−1 𝑢
b.) sin cot −1 𝑢
ans:
c.) cos csc −1 𝑢
ans:
d.) tan 𝑠𝑒𝑐
−1
1
1+𝑢 2
𝑢 2 −1
𝑢
ans: 𝑢2 − 1
𝑢
9. Given 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 , 𝑕 𝑥 = tan 𝑥 . Find the exact value of each expression.
a.) 𝑔 𝑓 −1
b.) 𝑓 𝑔−1
12
13
5
12
ans: 13
13
c.) 𝑔−1 𝑓 −
5𝜋
ans:
6
1
d.) 𝑕 𝑔−1 − 4
2𝜋
3
ans: − 15
10. Simplify each trigonometric expression.
cos 𝜃
1+sin 𝜃
a.) Multiply 1−sin 𝜃 by 1+sin 𝜃
b.) Rewrite over a common denominator
c.) Factor and simplify
3 sin 2 𝜃+4 sin 𝜃+1
sin 2 𝜃+2 sin 𝜃+1
sin 𝜃+cos 𝜃
cos 𝜃
+
cos 𝜃−sin 𝜃
sin 𝜃
11. Establish each identity.
a.) 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 −𝜃 = csc 2 𝜃
b.) sec 𝜃 + tan 𝜃 sec 𝜃 − tan 𝜃
c.) sec 𝜃 − 1 sec 𝜃 + 1 = tan2 𝜃
d.)
e.)
f.)
1−sin 𝑣
cos 𝑣
cos 𝑣
1+sin 𝑣
cos 𝑣
+
+
1−sin 𝑣
1+ sin 𝑣
sec 𝜃−csc 𝜃
sec 𝜃 csc 𝜃
cos 𝑣
= 2 sec 𝑣
= 2 sec 𝑣
= sin 𝜃 − cos 𝜃
g.) (2𝑎 sin 𝜃 cos 𝜃)2 + 𝑎2 (cos2 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃)2 = 𝑎2
h.) tan α + tan β) 1 − cot α cot β + cot α + cot β ( 1 − tan 𝛼 tan 𝛽 = 0
i.) 𝑙𝑛 sec 𝜃 = −𝑙𝑛 cos 𝜃
12. Show that the function 𝑓 and 𝑔 are identically equal.
a.) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 . tan 𝑥
𝑔 𝑥 = sec 𝑥 − cos 𝑥
b.) 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 . cot 𝑥
𝑔 𝑥 = csc 𝑥 − sin 𝑥
13. Find the exact value of each expression.
7𝜋
a.) cos 12
7𝜋
b.) tan 12
ans: −2 − 3
1
c.) cos 165°
ans: − 4 ( 2 + 6)
d.) sin 105°
ans: 4 ( 6 + 2)
e.) sin
1
17𝜋
1
ans: − 4 ( 6 + 2)
12
f.) sin 20°cos 10°+ cos 20°sin 10°
𝜋
7𝜋
𝜋
7𝜋
g.) sin 12 cos 12 − cos 12 sin 12
h.)
1
ans: 2
ans: -1
tan 40°−tan 10°
ans:
1+tan 40°tan 10°
3
3
14. Find the exact value of each of the following (i)-(iv) under the given conditions.
i sin ( 𝛼 + 𝛽) ,
ii cos 𝛼 + 𝛽 ,
(𝑖𝑖𝑖) sin (𝛼 – 𝛽),
𝑖𝑣 tan⁡
(𝛼 − 𝛽)
a.) sin 𝛼 =
b.) cos 𝛼 =
Ans:
3
𝜋
, 0<𝛼<2 ;
5
5
5
𝜋
, 0<𝛼<2 ;
cos 𝛽 =
2 5
5
4
𝜋
, −2 < 𝛽 < 0
𝜋
sin 𝛽 = − 5 , − 2 < 𝛽 < 0
c.) tan 𝛼 =
5
12
, 𝜋<𝛼<
3𝜋
2
1
;
sin 𝛽 = − 2 , 𝜋 < 𝛽 <
3𝜋
2
Ans:
15. If cos θ =
1
4
a.) sin 𝜃 −
, 𝜃 in quadrant IV, find the exact value of:
𝜋
6
𝑏. ) cos 𝜃 +
𝜋
3
𝑐. ) tan 𝜃 −
𝜋
4
16. Use figure to evaluate each function if 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 𝑎𝑛𝑑 𝑕 𝑥 = tan 𝑥.
a.) 𝑓 𝛼 + 𝛽
b.) 𝑔 𝛼 − 𝛽
ans:
c.) 𝑕 𝛼 + 𝛽
ans:
3−2 2
6
8 2−9 3
5
17. Establish each identity.
a.) sin
𝜋
2
+ 𝜃 = cos 𝜃
b.) cos 𝜋 − 𝜃 = −cos 𝜃
c.) cos
d.)
3𝜋
2
sin 𝛼 +𝛽
+ 𝜃 = sin 𝜃
sin 𝛼 cos 𝛽
= 1 + cot 𝛼 tan 𝛽
e.) sin 𝜃 + 𝑘𝜋 = −1
𝑘
sin 𝜃 , k any integer
18. Find the exact value of each expression.
3
4
a.) sin sin−1 5 − cos−1 − 5
4
b.) tan sin−1 5 + cos −1 1
c.) cos sin−1
5
13
− tan−1
3
4
4
ans: 3
ans:
63
65
19. Write each trigonometric expression as an algebraic expression containing 𝑢 and 𝑣. Give the
restrictions required on 𝑢 and 𝑣.
a.) cos cos−1 𝑢 + sin−1 𝑣
b.) tan sin−1 𝑢 − 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑣
c.) sec tan−1 𝑢 + cos −1 𝑣
20. Use the information given about the angle 𝜃, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, to find the exact value of
𝜃
𝜃
i sin ( 2𝜃) ,
ii cos 2𝜃 ,
(𝑖𝑖𝑖) sin ( ),
𝑖𝑣 cos ( )
2
2
a.) sin 𝜃 =
3
5
, 0< 𝜃<
b.) cos 𝜃 = −
6
3
,
𝜋
2
𝜋
2
< 𝜃<𝜋
c.) csc 𝜃 = − 5 , cos 𝜃 < 0
d.) tan 𝜃 = −3 , sin 𝜃 < 0
21. Use the half-angle formulas to find the exact value of each expression.
a.) sin 22.5°
b.) tan
c.) sec
7𝜋
8
15𝜋
ans: (2 − 2) 2 + 2
8
d.) cos −
3𝜋
8
ans:
2− 2
2
22. Use the figures to evaluate each function given that 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑥 = cos 𝑥 , 𝑕 𝑥 = tan 𝑥.
a.) 𝑓 2𝜃
b.) 𝑔
𝜃
2
7
c.) 𝑔 2𝛼
ans: − 8
d.) 𝑓 2𝛼
ans:
e.) 𝑕
𝛼
15
8
ans: −
2
4
3
f.) sin 𝜃 =
15
3
1
1
− 2 cos 2𝜃 + 8 cos 4𝜃
8
g.) Show that sin 4θ = (cos θ) (4 sin θ − 8 sin3 𝜃)
h.) Find an expression for sin 5𝜃 as fifth-degree polynomial in the variable sin θ.
23. Establish each identity.
a.) cos4 𝜃 − sin4 𝜃 = cos 2𝜃
b.) sec (2𝜃) =
c.) cos 𝜃 =
sec 2 𝜃
2− sec 2 𝜃
𝜃
2
𝜃
1+ 𝑡𝑎𝑛 2
2
1− 𝑡𝑎𝑛 2
1
d.) 1 − 2 sin 2𝜃 =
e.) ln sin 𝜃 =
f.) ln cos 𝜃 =
1
2
1
2
𝑠𝑖𝑛 3 𝜃+ 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
sin 𝜃+cos 𝜃
(𝑙𝑛 1 − cos 2𝜃 − ln 2)
(𝑙𝑛 1 + cos 2𝜃 − ln 2)
24. Find the exact value of each expression.
1
a.) sin 2 sin−1 2
3
b.) cos 2 sin−1 5
3
c.) tan 2 tan−1 4
3
d.) sec 2 tan−1 4
7
ans: 25
ans:
ans:
24
7
25
7
25. Express each product as a sum containing only sines or only cosines.
a.) sin 4𝜃 sin(2𝜃)
b.) cos 4𝜃 cos(2𝜃)
c.) sin
d.) sin
3𝜃
𝜃
cos ( 2 )
2
𝜃
2
5𝜃
cos ( 2 )
26. Express each sum or difference as a product of sines and/or cosines.
a.) sin 4𝜃 − sin(2𝜃)
b.) cos 2𝜃 + cos(4𝜃)
c.) sin
𝜃
2
3𝜃
− sin ( 2 )
27. Establish each identity.
a.)
b.)
sin 𝜃+sin 3𝜃
2 sin 2𝜃
= cos 𝜃
sin 4𝜃 +sin 2𝜃
cos 4𝜃 + cos 2𝜃
= tan 3𝜃
c.) sin 𝜃 sin 𝜃 + sin(3𝜃) = cos 𝜃 cos 𝜃 − cos (3𝜃)
d.)
e.)
sin 4𝜃 +sin 8𝜃
sin 4𝜃 − sin 8𝜃
sin 𝛼+sin 𝛽
sin 𝛼− sin 𝛽
=−
= tan
𝑡𝑎𝑛 ⁡
(6𝜃)
tan 2𝜃
𝛼 +𝛽
2
cot
𝛼 −𝛽
2
f.) 1 + cos 2𝜃 + cos 4𝜃 + cos 6𝜃 = 4 cos θ cos (2𝜃) cos 3𝜃