����������[������������������[]� ����������� → ��������]
������������
������������������
�[�_] �= {� ���[�]� � ���[�]� �}�
��������[������������������[�[�]� �]� ����������� → �������[�� �����]]
�
�� - ���[� �]
� (� + ���[�
�
�
�
�])�/�
���[�]
�-
��
�
�
�
� + ���[� �]
�
�
���[�]
�
-
�
� (- �� + ���[� �])
�
�
� + ���[� �]
� + ���[� �]
� ���[�]
-
�
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
� ���[�]
-
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
�
�
�
���[�]
�
�
�
���[�]
�-
�� - ���[� �]
� ���[�] ���[�]
�
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
�
�
�
�
�� - ���[� �]
�� - ���[� �]
�
2 ���
Ex 4.nb
����� = ����������������[�[�]� {�� - � ��� � ��}�
������������� → ��������[{�� �� �}� ��������[�� �� �]]� ���� → �����]
Ex 4.nb
����������[����[����������[{������ ���������[����]� �����[�[�]]}]� �����]�
{�� �� � ��}� ��������������� → ����]
�
A point moving on a elliptical helix.
���
3
4 ���
Ex 4.nb
�����������������������������������
��������������
������� = ����������������[�[�] + � � �[�]� {�� - � ��� � ��}� {�� - �� �}� ���� → ������
������������� → ��������[{�� �� �}� ���������[�������[���]� ����]]]
In the picute above a part of the tangent space
Ex 4.nb
������������������������������ ���������[����]� �����[�[�]]�
�����[�] - �� � �[�] ����[� �[�]]� �[�] + �� � �[�] ����[� �[�]]�
������ ��������� → {{- �� �}� {- �� �}� {- ��� ��}}�
{�� - � ��� � ��}� ��������������� → ����
�
���
5
6 ���
Ex 4.nb
����������[����[
����������[{������ ���������[����]� �����[�[�]]� �����[{�[�]� �[�] + � �[�]}]}]�
������ �������� ��������� → {{- �� �}� {- �� �}� {- ��� ��}}]�
{�� - � ��� � ��}� ��������������� → ����]
�
����������������������
The osculating plane to a curve K at a point P is the limit (if it exists) of the planes containing the
tangent to K at P and a point Q as Q tends to P.
�����������������������������
{�� �� �} - �(�)� �′ (�)� �′′ (�) �
- � � ���[�] - � � ���[�]� + � � ���[�]� + � � ���[�] - � � ���[�]� + � � ���[�]� ⩵ �
����������[�_� �_] �=
�����[� /� �����[���[{{�� �� �} - �[�]� � �[�]� � ��[�]}] ⩵ �� �]]
Ex 4.nb
����������[������[����������[�� �]� {�� - ��� ��}� {�� - ��� ��}]�
{�� - � ��� � ��}� ��������������� → ����]
�
���
7
8 ���
Ex 4.nb
������������������������������ ���������[����]� �����[�[�]]�
�����[�] - �� � �[�] ����[� �[�]]� �[�] + �� � �[�] ����[� �[�]]�
������ ������[����������[�� �]� {�� - ��� ��}� {�� - ��� ��}]�
��������� → {{- �� �}� {- �� �}� {- ��� ��}}� {�� - � ��� � ��}
�
���������������������������������
���������������������
��[�_][�_] �=
�′ (�)
�′ (�)��′ (�)
Ex 4.nb
���������
��[�]′ [�]���[�]′ [�]
κ[�_][�_] �=
�′ [�]��′ [�]
κ[�][�] // ��������
�
�
-
- �� + ���[� �]
(� + ���[� �])�
��������������������
�����[��]
��[�_][�_] �=
��(�)′ (�)
��(�)′ (�)���(�)′ (�)
��[�][�] // ������������
-
� ���[�]
�
-��+���[� �]
- (�+���[�
(� + ���[� �])�/�
�])�
-
� ���[�]
-��+���[� �]
- (�+���[�
(� + ���[� �])�/�
�])�
���[� �]
�
-��+���[� �]
- (�+���[�
(� + ���[� �])�/�
�])�
���������������
��[�_][�_] �= �����[��[�][�]� ��[�][�]]
���
9
10 ���
Ex 4.nb
����������[����[
����������[{������ ����������[�����]� �����[{�[�]� �[�] + ��[�][�]}]� ������
�����[{�[�]� �[�] + ��[�][�]}]� ����� �����[{�[�]� �[�] + ��[�][�]}]}]�
�����]� {�� - ��� ��}� ��������������� -> ����]
�
�������
��[�] �[�]
� ′ (�)�� ′ (�) ��[�][�] // ��������
��
� (- �� + ���[� �])
�
��
� (- �� + ���[� �])
�����[��[�] �[�]] �����
��
� (- �� + ���[� �])
Another definition of torsion
�������(�_)(�_) �= -
��(�)′ (�)���(�)(�)
�′ (�)��′ (�)
�
��
� (- �� + ���[� �])
� ′ (�)�� ′ (�) ��[�][�] // ��������
Ex 4.nb
���
11
�������[�][�] // ��������
��
-
� (- �� + ���[� �])
��[�_] �= {� ���[�]� � ���[�]� �}�
κ[��][�] // ��������
�
�
�������[��][�] // ��������
�
�
������������[κ[{#� # � �� # � �} �][�] � �� � > �]
� � + � �� + ��
� + � �� + � �� �
������������[�������[{#� # � �� # � �} �][�]� � > �]
�
� + � �� + ��
������������������������������������������
���������������[�_� �_] �=
����������������[��������[�[�] + � ��[�][�] + � ��[�] �[�]]� {�� - �� �}� {�� - �� �}]
12 ���
Ex 4.nb
������������������������������ ���������[����]� �����[�[�]]�
�����[�] - �� � �[�] ����[� �[�]]� �[�] + �� � �[�] ����[� �[�]]�
������ ���������������[�� �]� ��������� → {{- �� �}� {- �� �}� {- ��� ��}}�
{�� �� � ��}� ��������������� → ����
�
������������������������
��������� > �� ������������
��(�)′ (�)
⩵ κ[�][�] ��[�][�]
�′ (�)��′ (�)
����
��������
��[�] �[�]
� ′ (�)�� ′ (�)
����
⩵ �������[�][�] ��[�][�] - κ[�][�] ��[�][�]� � > �
Ex 4.nb
������������
��[�] �[�]
����[� �[�]�� �[�]]
���
13
⩵ - �������[�][�] ��[�][�]� � > �
����
�����������������������������������������������
���������������������
The osculating circle (or circle of curvature) of a curve C at a point P is a circle in the osculating
plane at P that has a three-point contact with C at P. The radius of the osculating circle
1
κ
is the
radius of curvature of the curve at P.
One way to draw the osculating cicle is to start with an ordinary circle at the origin and then translate
and rotate it in the the correct position in the osculating plane.
���������������[�_� �_] �= ����������������[
��������[�[�] + � ��[�� �] + � ��[�] �[�]]� {�� - ��� ��}� {�� - ��� ��}]
�� = �����[����������������[� / κ[�][� / �] {���[θ]� ���[θ]� �}� {θ� �� � ��}]�
_����� ��������][[�]]�
{�� �� �} - �(�)� �′ (�)� �′′ (�)
- � � ���[�] - � � ���[�]� + � � ���[�]� + � � ���[�] - � � ���[�]� + � � ���[�]�
�����[�]
�[�_] �= ���������������������- � � ���[�] - � � ���[�]� +
� � ���[�]� + � � ���[�] - � � ���[�]� + � � ���[�]� � {�� �� �} // ������
14 ���
Ex 4.nb
����������[����[����������[{������ ���������[����]� �����[�[�]]}]�
������ ������[����������[�� �]� {�� - ��� ��}� {�� - ��� ��}� ���� → ������
������������� → ��������[{�� �� �}� ���������[�������[���]� ����]]]�
����������[�����������������������[
�����[����������������[� / κ[�][�] {���[θ]� ���[θ]� �}� {θ� �� � ��}]� _�����
��������][[�]]� {��������������������[�[�] + � / κ[�][�] ��[�][�]]�
�����������������[{{�� �� �}� �[�]}]}]]�
��������� → {{- ��� ��}� {- ��� ��}� {- ��� ��}}]� {�� - � ���
� ��}� ��������������� → ����]
�
���������������������
The osculating sphere at a point at a point on a curve is the the sphere which has a four-point
contact with the curve at P. The center of the osculating sphere is called the center of spherical
curvature. Its position vector is given by
�(�) = ��(�)(�) σ(�)(�) ρ(�)′ (�) + ��(�)(�) ρ(�)(�) + �(�)
where
σ[�_][�_] �=
ρ[�_][�_] �=
�
�������[�][�]
�
κ[�][�]
The radius of spherical curvature is
(σ(r)(t))2 (ρ(r)′ (t))2 + (ρ(r)(t))2 .
Ex 4.nb
����������
�������������������� ���������[����]� �����[�[�]]� ������� �������[���]�
�������[�] + ρ[�][�] ��[�][�] + σ[�][�] ρ[�] �[�] ��[�][�]�
����ρ[�][�] � � + σ[�][�]� ρ[�] �[�]� �
������ ��������� → {{- ��� ��}� {- ��� ��}� {- ��� ��}}�
{�� - � ��� � ��}� ��������������� → ����
�
����������������������
��������
An involute of C is a curve which lies on the tangent surfact of C and intersects the generators
orthogonally. It’s equation is R = r + (c - s) t
���
15
16 ���
Ex 4.nb
����������[����[����������[{������ ���������[����]}]�
����������������[�[�] + (� - �) ��[�][�]� {�� - � ��� � ��}]�
������ ��������� → {{- ��� ��}� {- ��� ��}� {- ��� ��}}]�
{{�� �� �����������}� - �� �}� ��������������� → ����]
���������
�������
The evolute of a curve C is a curve whose invoute is C.
���������[�_][�_] �= �[�] +
��[�][�]
κ[�][�]
-
κ[�]′ [�] ��[�][�]
�′ [�]��′ [�] κ[�][�]� �������[�][�]
�[�_] = ������������[���������[�][�]� ����������� → � > �]
�
�
���[�] (- �� + � ���[� �])�
�
�
(� + � ���[� �]) ���[�]� � - �� ���[�] ���[�]
Ex 4.nb
����������������[{�[�]� �[�]}� {�� �� �� ��}�
��������� → {������ ���}� ����� → ������ ���� → �����]
�[�_] �= {���[�]� ���[�]� � �}
�[�_] = ������������[���������[�][�]� ����������� → � > �]
{- � ���[�]� - � ���[�]� � �}
���
17
18 ���
Ex 4.nb
����������������[{�[�]� �[�]}�
{�� �� �� ��}� ��������� → {������ ���}� ���� → �����]
������������������������������������
� ������������������
������������������[{�� � …� �� }� �] ����� ��� ����������� ���������� ��� ������������� ����� ��� ��� ���������� ����� �� [�]�
������������������[{�� � …� �� }� �� �����] ���������� ��� �� �� ����������� �� ��� ��������� ���������� �������
Ex 4.nb
�� = ��������[�������[�� �����]� ������������[������������������[�[�]� �]]]
�
�� - ���[� �]
� (� + ���[�
�
�
�
�])�/�
���[�]
�-
��
�
�
�
� + ���[� �]
�
�
� + ���[� �]
� + ���[� �]
� ���[�]
-
-
�
�
���[�]
�
-
�
� (- �� + ���[� �])
�
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
� ���[�]
���[� �]
�
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
�
� ���[�]
�-
�� - � ���[� �]
�
� ���[�]
�
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
�
�
�� - � ���[� �]
�
�� - � ���[� �]
��[[�� �]]
�
�� - ���[� �]
� (� + ���[� �])�/�
κ[�][�] // ������������
�
-
�
- �� + ���[� �]
(� + ���[� �])�
��[[�� �]]
��
-
� (- �� + ���[� �])
�������[�][�] // ��������
��
-
� (- �� + ���[� �])
��[[�� �]]
�
�
�
���[�]
�
�
�
�
-
�
�
���[�]
�
� + ���[� �]
� + ���[� �]
� + ���[� �]
��[�][�] // ��������
�
�
�
���[�]
�
�
�
�
� + ���[� �]
�
�
���[�]
�
� + ���[� �]
� + ���[� �]
��[[�� �]]
-
-
� ���[�]
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
� ���[�]
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
�
�
���[� �]
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
���
19
20 ���
Ex 4.nb
��������[�������[�� �����]� ������������[��[�][�] ]]
� ���[�]
-
-
�
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
� ���[�]
���[� �]
�
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
- (- �� + ���[� �]) (� + ���[� �])
��[[�� �]]
�
� ���[�]
�-
�� - � ���[� �]
�
� ���[�]
�
�� - � ���[� �]
�
�
�� - � ���[� �]
��������[�������[�� �����]� ������������[��[�][�]]]
�
� ���[�]
�� - � ���[� �]
�-
�
� ���[�]
�� - � ���[� �]
�
�
�
�� - � ���[� �]
© Copyright 2026 Paperzz