國立虎尾科技大學
101-2 期中會考解答
一、 填充題
1. 求
R√
3
tan 3x sec2 3xdx
解:
Let : u = tan 3x,
du = 3 sec2 3xdx
Z
Z √
1
4
1
1 4
1
3
tan 3x sec2 3xdx =
u 3 du = u 3 + C = (tan 3x) 3 + C
3
4
4
2. 求
R
√ 1
dx
4−9x2
解:
2
Let : 3x = 2 sin θ
dx = cos θdθ
3
Z
Z
Z
1
1
2
1
2
√
p
dx =
· cos θdθ =
· cos θdθ
2 cos θ 3
4 − 9x2
4 − 4 sin2 θ 3
Z
1
1
1
3
=
dθ = θ + C = sin−1 ( x) + C
3
3
3
2
3. 求
解:
Z
4. 求
R
sin4 x
dx
cos 2x
Z
2x 2
)
( 1−cos
1
1 − 2 cos 2x + cos2 2x
2
dx =
dx
cos 2x
4
cos 2x
Z
1
1
1
1
=
(sec 2x − 2 + cos 2x)dx = ln | sec 2x + tan 2x| − x + sin 2x + C
4
8
2
8
sin4 x
dx =
cos 2x
R
Z
tan x
dx
(ln cos x)2
解:
1
Let : u = ln cos x
du =
(− sin x)dx = − tan xdx
cos x
Z
Z
1
1
tan x
−1
dx =
du = + C =
+C
2
2
(ln cos x)
u
u
ln cos x
1
5. 求
解:
R7 √
x x − 3dx
4
√
Let : u = x − 3
當x=4⇒u=1
Z
√
7
Z
2
Z
2
(u + 3) · u · 2udu = 2
x x − 3dx =
4
x = u2 + 3
dx = 2udu
x=7⇒u=2
2
(u4 + 3u2 )du = 2(
1
1
u5
+ u3 )|21
5
62
132
2
+ 14 =
= (25 − 15 ) + 2(23 − 13 ) =
5
5
5
6. 求
R
x3 +3x−2
dx
x(x−1)
解:
(4x − 2)
x3 + 3x − 2
= (x + 1) +
x(x − 1)
x(x − 1)
4x − 2
A
B
使用部分分式展開 : 令
= +
⇒ 4x − 2 = A(x − 1) + Bx
x(x − 1)
x x−1
使用長除法將假分式化成帶分式 :
求 A : 代 x = 0 ⇒ −2 = −A ⇒ A = 2
求B : 代x=1⇒2=B⇒B=2
Z
x3 + 3x − 2
dx =
x(x − 1)
Z
4x − 2
1
(x + 1 +
)dx = x2 + x +
x(x − 1)
2
Z
2
2
( +
)dx
x x−1
1
1
= x2 + x + 2 ln |x| + 2 ln |x − 1| + C = x2 + x + 2 ln |x(x − 1)| + C
2
2
7. 求
R
tan−1 xdx
解:
Z
f (x) = tan−1 x
g 0 (x) = 1
f 0 (x) =
g(x) = x
−1
tan
1
1+x2
−1
xdx = x tan
Z
x−
x
1
−1
dx
=
x
tan
x
−
ln |1 + x2 | + C
1 + x2
2
2
R
8. 求
√ 1
dx
x 16x2 −1
解:
4dx = sec θ · tan θdθ
1
1
√
sec θ · tan θdθ
1
2θ−14
sec
sec
θ
4
Z
Z
tan θ
=
dθ = dθ = θ + C = sec−1 (4x) + C
tan θ
Let : 4x = sec θ
Z
1
√
dx =
x 16x2 − 1
Z
R
9. 求
1
dx
x(x−1)2
解:
使用部分分式展開 : 令
B
C
1
A
+
= +
⇒ 1 = A(x − 1)2 + Bx(x − 1) + Cx
2
2
x(x − 1)
x x − 1 (x − 1)
求A: 代x=0⇒1=A
求C : 代x=1⇒1=C
求 B : 代 x = 2 ⇒ 1 = A + 2B + 2C ⇒ B =
Z
1
dx =
x(x − 1)2
Z
1−A−2C
2
= −1
1
−1
1
1
( +
+
)dx = ln |x| − ln |x − 1| −
+C
2
x x − 1 (x − 1)
x−1
10. 求 y = ln x, y = 0, x = e2 , x = e3 所圍封閉區域面積
解:
Z e3
ln xdx
A=
e2
g 0 (x) = 1
f (x) = ln x
\+
f 0 (x) =
1
x
g(x) = x
^−
e3 Z
A = x ln x −
2
e
e3
e2
e3
e 3
dx = x ln x − x = 3e3 − 2e2 − (e3 − e2 ) = 2e3 − e2
2
2
e
e
3
11. 求由 y = 2 + |x − 1| 及 y = − 15 x + 7所圍封閉區域
解:
y = 2 + |x − 1| − − −(1)
求交點 :
y = − 51 x + 7
− − −(2)
1
(1) 式 - (2) 式 : 2 + |x − 1| + x − 7 = 0
5
1
6
x≥1:2+x−1+ x−7=0⇒ x=6⇒x=5
5
5
1
−4
x < 1 : 2 − (x − 1) + x − 7 = 0 ⇒
x − 4 = 0 ⇒ x = −5
5
5
Z 5
1
1
A=
[− x + 7 − (2 − (x − 1))]dx +
[− x + 7 − (2 + (x − 1))]dx
5
5
−5
1
Z 1
Z 5
4
6
2
3
( x + 4)dx +
=
(− x + 6)dx = ( x2 + 4x)|1−5 + (− x2 + 6x)|51 = 24
5
5
5
−5 5
1
Z
1
2
12. 求由 y = e−x , y = 0 x = 0, x = 1所圍封閉區域繞 y 軸旋轉之體積
解:
採圓柱殼法 : V = 2π
Z
1
2
xe−x dx
0
Let : u = x2
Z
V = 2π
0
1
du = 2xdx
x=0⇒u=0
1
1 −u
e du = −πe−u = π(1 − e−1 )
2
0
4
x=1⇒u=1
二、 計算題
1. 求
R
1
dx
x2 −4x+8
解:
Z
Z
1
dx =
x2 − 4x + 8
1
dx
(x − 2)2 + 4
Let : x − 2 = 2 tan θ
Z
2. 求
dx = 2 sec2 θdθ
Z
1
1
2
· 2 sec θdθ =
· 2 sec2 θdθ
2
2
4 tan θ + 4
4 sec θ
Z
1
x−2
1
1
)+C
=
dθ + C = θ + C = tan−1 (
2
2
2
2
1
dx =
(x − 2)2 + 4
R
Z
1+sin x
dx
sin x(1+cos x)
解:
x
2
2u
1 − u2
Let : u = tan
dx =
du
sin
x
=
cos
x
=
2
1 + u2
1 + u2
1 + u2
Z
Z
Z
2u
1 + 1+u2
2
1 + u2 + 2u
1 + sin x
dx =
du
=
du
2u
1−u2 1 + u2
sin x(1 + cos x)
2u
(1 + 1+u
2)
1+u2
Z
1
u
1
u2
= ( + + 1)du = ln |u| +
+u+C
2u 2
2
4
(tan x2 )2
x
x
1
+ tan + C
= ln | tan | +
2
2
4
2
3. 求由y = sin 2x, x ∈ [0, π2 ], y = 0 所圍封閉區域繞 y = 2 旋轉之體積。
解:
Z
π
2
2
Z
π
2
[4 − (4 − 4 sin 2x + sin2 2x)]dx
0
0
Z π
Z π
π
2
2 1 − cos 4x
2
2
=π
[(4 sin 2x − sin 2x)]dx = −2π cos 2x − π
dx
2
0
0
0
x sin 4x π2
π2
= 4π − π( −
) = 4π −
2
8
4
0
採圓盤法 : V = π
2
[2 − (2 − sin 2x) ]dx = π
5
4. 求
R
√ 1√
dx
x+ 3 x
解:
1
Let : u = x 6 ,
Z
x = u6 ,
dx = 6u5 du
Z
Z
Z
1
1
u3
−1
5
√
√
dx =
du = 6 (u2 − u + 1 +
)du
· 6u du = 6
3
3
2
u +u
u+1
u+1
x+ x
√
√
√
√
= 2u3 − 3u2 + 6u − 6 ln |u + 1| + C = 2 x − 3 3 x + 6 6 x − 6 ln | 6 x + 1| + C
6