‫מבוא לתולדות המתמטיקה‬
‫‪ .9‬מתמטיקה במאה ה‪ -‬י"ז‬
‫גיאומטריה אנליטית‬
‫ייסודם של מוסדות מדע חדשים‪:‬‬
‫‪(1661) Academio del Cimento - Firenze‬‬
‫‪(1663) Royal Society - London‬‬
‫אקדמיה בפריז (‪)1666‬‬
‫אקדמיה ברלין (‪)1700‬‬
‫אקדמיה בסן פרטרבורג (‪)1724‬‬
‫צרפת (פריז) כמרכז המתטי העולמי‪:‬‬
‫דיקארט (‪ ;)1596-1650‬פרמה (‪ ;)1601-1665‬רוברבאל (‪ ;)1602-1675‬דסארג (‪;)1591-1661‬‬
‫פסקאל (‪ ;)1623-1662‬מרסן (‪)1588-1648‬‬
‫גיאומטריה אנליטית‬
‫‪‬‬
‫המונח עצמו הוכנס לשימוש במאה ה‪XIX-‬‬
‫‪‬‬
‫פרמה ודיקארט ניסו להשתמש באלגברה של קארדנו לשם פתרון בעיות גיאומטריות‬
‫פתוחות‪ ,‬במיוחד בעיות של אפולוניוס‪ ,‬כפי שהם היו מוכרות דרך פאפוס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בעיה קלאסית‪( :‬במונחים שלנו) בהינתן י‪n2n‬ישירים‪ ,‬למצוא את המקום הגיאומטרי של‬
‫הנקודות‪ ,‬כך שקיים יחס קבוע בין המכפלה של המרחקים מהן ל‪ n-‬מתוך הישרים‬
‫והמרחקים מהן ל‪ n-‬הישרים האחרים‪.‬‬
‫פייר דה פרמה (‪)1601-1665‬‬
‫*עיסוקו העיקרי ‪ -‬משפטים‪ ,‬פוליטיקה מקומית בטולוז‪ .‬אריסטוקרט טיפוסי של התקופה‪.‬‬
‫משכיל מאוד‪ ,‬שולט בשפות‪ ,‬בזמנו החופשי התעניין‪ ,‬ובתרבות קלאסית‪ ,‬וגם ב”פילוסופיה‬
‫אקספרימנטלית”‪.‬‬
‫*לא פרסם הרבה מתוך רעיונותיו המתמטיים‪ .‬התכתב עם אחרים‪ ,‬כמקובל בתקופה‪ .‬בנו פרסם‬
‫מאוחר יותר‪.‬‬
‫*תרומות לגיאומטריה אנליטית‪ ,‬חשבון אינפיניטזימלי ‪ ,‬תורת המספרים‪ ,‬חשבון הסתברויות‬
‫(@‪Ad Locos Planos et Solidos Isagoge )1637‬‬
‫פאפוס וחלוקת הבעיות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫מישוריים ‪ -‬פתרון עם מעגל וישיר‬
‫‪.2‬‬
‫גופיים ‪ -‬פתרון עם חתכים קוניים‬
‫‪.3‬‬
‫לינאריים ‪-‬פתרונות אחרים‬
‫מאה י"ז ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‬
‫תולדות המתמטיקה‬
‫"ישנם כמה סופרים קדמונים אשר כתבו על המקומות הגאומטריים ‪ .‬פאפוס‪ ,‬למשל‪ ,‬מצהיר‬
‫בתחילת ספרו השביעי שאפולוניוס כתב על מקומות מישוריים ושאריסתאוס כתב על מקומות‬
‫גופיים‪ .‬אך נדמה שלימוד המקומות הגאומטריים לא בא להם בקלות ; זאת אנו מבינים מהעובדה‬
‫שטיפולם במקומות מסוגים מסוימים אינו מניח את הדעת ‪ ,‬כפי שיובהר כאן בהמשך‪ .‬ולכן אנו‬
‫נחקור את המדע הזה באופן מסוים ‪ ,‬מתאים יותר‪ ,‬כך שמכאן ואילך תיפתח דרך חדשה ללימוד‬
‫המקומות הגאומטריים ‪".‬‬
‫"ברגע שמתקבלת משוואה סופית [‪ ,]aequalitas‬שבה מופיעים שני גדלים בלתי ידועים ‪ ,‬אזי‬
‫מתקיים מקום גאומטרי‪ ,‬ונקודת הקצה של אחד משני הגדלים מתארת קו ישר או קו עקום ‪ .‬הקו‬
‫הישר הוא היחיד מסוגו ‪ ,‬אך סוגי העקומות הם אינסופיים ‪ :‬מעגל‪ ,‬פרבולה‪ ,‬היפרבולה ‪ ,‬אליפסה‬
‫ועוד‪".‬‬
‫"המקום שבו נקודת הסיום של הגודל הבלתי ידוע מתארת קו ישר או מעגל ‪ ,‬הוא מקום מישורי;‬
‫המקום שבו היא מתארת פרבולה ‪ ,‬היפרבולה או אליפסה ‪ ,‬הוא מקום גופי; אם מופיעות עקומות‬
‫אחרות‪ ,‬אזי נאמר שמדובר במקום קווי [‪ .]locus linearis‬לא נמשיך לעסוק במקרה אחרון זה ‪,‬‬
‫היות שחקר המקום הקווי יכול להיגזר בקלות מזה של המקום מישורי ומזה של המקום הגופי‬
‫בדרכי רדוקציה‪".‬‬
‫"כדי לייצג את המשוואו ת בצורה מניחה את הדעת ‪ ,‬יש לקבוע את שני הגדלים הבלתי ידועים כך‬
‫שייצרו זווית נתונה ‪ ,‬ואנו נבחר אותה בדרך‪ -‬כלל כזווית ישרה‪ ,‬ויש לקבוע את מיקום נקודת הקצה‬
‫של אחד מהם במקומו‪ .‬אז‪ ,‬אם אף אחד מהגדלים הבלתי ידועים אינו מופיע עם דרגה גבוהה מ‪,2 -‬‬
‫אזי המקום הגאומטרי הנדו ן יהיה מישורי או גופי ‪ ,‬כפי שיתבהר בהמשך‪".‬‬
‫‪Let NZM be a straight line given in position, N a fixed point on it. Let NZ be one‬‬
‫‪unknown quantity A, and the segment ZI, applied to it at a given angle NZI, be equal‬‬
‫‪to the other unknown quantity E. When D in A is equal to B in E, then the point I will‬‬
‫‪describe a straight line given in position, since B is to D as A is to E.‬‬
‫‪D*A = B*E ==> B:D :: A:E‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪ Leo Corry - 2012‬‬
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
Hence the ratio of A to E is given, and, since the angle at Z is given, the form of the
triangle NIZ, and with it the angle INZ, is given. But the point N is given and the
straight line NZ is given in position: hence NI is given in position and it is easy to
make the synthesis [compositio].
To this equation all equations can be reduced of which the terms are partly given,
partly mixed with the unknowns A and E, either multiplied with the given quantities,
or appearing simply. Let Z pl - D in A equal B in E.
(Let D in R equal Z pl. Then B is to D as R-A is to E. etc.)
The second species of equations of this kind are of the form A in E is Z pl, in which
case the point I traces a hyperbola. Draw NR parallel to ZI; through any point, such as
M, on the line NZ, draw MO parallel to ZI. Construct the rectangle NMO equal in
area to Z pl. Through the point O, between the asymptotes NR, NM, describe a
hyperbola; its position is determined and it will pass through the point I, since we
have assumed, as it were, AE - the rectangle NZI - equivalent to the rectangle NMO.
‫ “בכל היפרבולה‬:‫אפולוניוס‬
‫ המרחקים מכל נקודה‬,‫נתונה‬
‫אל האסיפטוטות יוצרים‬
”‫מלבן בעל שטח קבוע‬
To this equation we can reduce all those whose terms are in part constant, or in part
contain A or E or AE. If we let D pl. + A in E equal R in A + S in E, then we obtain,
by well-known methods, R in A + S in E - A in E equal D pl.
Let us construct a rectangle on two sides such that the terms R in A + S in E - A in E
are contained in it; then the two sides will be A - S and R - E and the rectangle on
them will be equal to R in A + S in E - A in E - R in S
 Leo Corry - 2012
-3
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
Take NO equal to S and ND, parallel to ZI, equal to R. Through point D, draw DP,
parallel to NZ; through point O, draw OV parallel to ND; prolong ZI to P.
Since NO=S and NZ=A, we have A-S=OZ=VP. Similarly, since ND=ZP=R, and
ZI=E, we have R-E=PI. The rectangle on PV and PI is therefore equal to the area
D pl -R in S. The point I is therefore in the hyperbola having PV,VO as asymptotes.
If we take any point X, the parallel XY, and the rectangles VXY, and through point Y
we describe a hyperbola between the asymptotes PV,PO, it will pass through point I.
The analysis and construction are easy in every case.
The next species of equations for loci arises if we have A2 equal to E2, or in a given
ration to E2, or, again,
A2 + A in E is in given ratio to E2. Finally this type includes
all the equations whose terms are of the second degree containing either A2,E2, or the
rectangle on A and E. In all these cases the point I traces a straight line, as can easily
be demonstrated.
:‫מקרים נוספים שפרמה מתאר‬
- ‫קו ישר‬
2
(x + xy):y2=a2:b2
- ‫פרבולה‬
2
2
x =ay; y =ax; b2+x2=ay
- ‫פרבולה‬
2
2
2
2
2
b -x =y ; b -2ax-x =y2+2cy
But if Bq-Aq is to Eq in a given ratio, then the point I will be on an ellipse.
Let MN be equal to B, and let an ellipse be described with M as vertex, NM as
diameter, and N as center, of which the ordinates are parallel to the straight line ZI.
The squares of the ordinates must have a given ratio to the rectangle formed by the
segments of the diameter. Then the point I will be on this ellipse. Indeed, the square
on NM - the square on NZ is equal to the rectangle formed by the segments of the
diameter.
I
N
Z
M
To this equations can be reduced all those in which Aq is on one side of the equation
and Eq with an opposite sign and a different coefficient on the other side.
:‫סיכום‬
,‫ הגרף לא נוצר מאוסף של נקודות שמתייחסות לשני צירים‬.‫*פרמה משתמש בציר אחד בלבד‬
.‫ נעה לאורך הציר הנתון‬Z ‫ כאשר‬,ZI ‫ הקצה של הקטע‬,I ‫אלא מתנועתה של נקודה אחת‬
.‫ אבל היא לא חייבת להיות כך‬,‫ היא זווית ישרה‬ZI ‫*בדרך כלל הזווית בין הציר לבין‬
 Leo Corry - 2012
-4
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
‫ הציר‬,‫ לכן‬.‫ הפתרונות של משוואות הם תמיד גדלים חיוביים עבור פרמה‬,‫*כמו עבור וויאט‬
‫ עצמו מייצג רק‬ZI ‫ גם‬.‫ מופיע כ”קרן” החיובית של ישר‬,ZI ‫ ושעליו נע הקטע‬,‫היחיד שמופיע‬
.‫גדלים חיוביים‬
)1596-1665( ‫רנה דיקארט‬
,‫ השנה‬30 ‫ מלחמת‬- ‫ שירות צבאי‬,‫ חינוך ישועי‬,‫משפחה אריסטוקרטית‬
‫ מתיישב בהולנד‬:1628
‫ כללים להכוונת השכל‬:1629
‫ נספחים‬+ ‫ מאמר על המתודה‬:1637
‫* אופטיקה‬
‫* מטראולוגיה‬
‫* גיאומטריה‬
:‫פילוסופיה קרטזית‬
”‫"פילוסופיה חדשה שתוביל לגילוי האמת אודות העולם‬

”‫“הספק השיטתי‬

‫רעיונות ברורים ומובחנים‬

‫גוף ונפש‬

:‫פיזיקה קרטזית‬
.‫( ותנועה בלבד‬extension ( ‫נסיון שיטתי להסביר את תופעות הטבע על סמך חומר‬
)vortices( ‫תורת המערבולות‬
.‫ עד הניצחון של הפיזיקה הניוטונית‬,‫ שנה‬100 ‫שלטה באירופה כמעט‬
:)1629( ‫ כללים להכוונת השכל‬:‫דיקארט‬
But when I afterwards bethought myself how it could be that the earliest pioneers of
Philosophy in bygone ages refused to admit to the study of wisdom any one who was
not versed in Mathematics, evidently believing that this was the easiest and most
indispensable mental exercise and preparation for laying hold of other more important
sciences, I was confirmed in my suspicion that they had knowledge of a species of
mathematics very different from that which passes current in our time. I do not indeed
imagine that they had a perfect knowledge of it ... But I am convinced that certain
primary germs of truth implanted by nature in human minds … had a very great
vitality in that rude and unsophisticated age of the ancient world… In deed I seem to
recognize certain traces of this true Mathematics in Pappus and Diophantus …
But my opinion is that these writers then with a sort of low cunning, deplorable
indeed, suppressed this knowledge. Possibly they acted just as many inventors are
known to have done in the case of their discoveries; I.e., they feared that their method
being so easy and simple would become cheapened on being divulged, and they
preferred to exhibit in its place certain barren truths, deductively demonstrated with
show enough of ingenuity, as the result of their art, in order to win from us our
admiration for these achievements, rather than to disclose to us that method itself
 Leo Corry - 2012
-5
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
which would have wholly annulled the admiration accorded. Finally, there have been
certain men of talent who in the present age have tried to revive this same art. For it
seems to be precisely that science known by the barbarous name of Algebra, if only
we could extricate it from that vast array of numbers and inexplicable figures by
which it is overwhelmed, so that is might display the clearness and simplicity which
we imagine ought to exist in a genuine Mathematics.
What, on more attentive consideration, I at length came to see is that those things only
were referred to mathematics in which order or measure is examined, and that with
respect to measure it makes no difference whether it be in numbers, shapes, stars,
sounds or any object that such measure is sought, and that there must therefore be
some general science which explains all that can be inquired into respecting order and
measure, without application to any other special subject-matter, and that this is what
is called mathematica universalis, no specially devised designation, but one already of
long standing, and of current use as covering everything on account of which other
sciences are called parts of mathematics.
Thus, for instance, if we seek the base of a right-angled triangle with the given sides 9
and 12, the arithmetician will say that it is the square root of 225, or 15. But we shall
substitute a and b for 9 and 12, and we shall find the base to be the square root of a2 +
b2. In this way the two parts a and b, which in the number notation were confused, are
kept distinct. Also, the realization that terms like “root”, “square”, “cube”,
biquadratic”, for proportions which follow by continuous order, are misleading.
For though a magnitude may be entitled a cube or a biquadratic,it should never be
presented to the imagination otherwise than as a line or a surface ...
La Geometrie (1637) - Discourse de la Methode
‫ בעיות שבפתרונם מעורבים מעגלים וישרים בלבד‬- I ‫ספר‬
‫פרשנות גיאומטרית של הפעולות האריתמטיות‬
*
‫ הגיאומטריה האנליטית‬- ‫פתרון “קווי” לבעיית פאפוס‬
*
‫ על טבעם של עקומים‬- II ‫ספר‬
‫מיון חדש של עקומים גיאומטריים‬
*
‫שיטת דיקארט לחישוב משיקים‬
*
”‫גופיות‬-‫ על בעיות “גופיות” ו”על‬- III ‫ספר‬
‫תורת המשוואות הפלינומיות של דיקארט‬
*
:I ‫ספר‬
All problems in geometry can be easily reduced to such terms that a knowledge of the
lengths of certain straight lines is sufficient for their construction.
Just as arithmetic consists of only four or five operations, namely addition,
subtraction, multiplication, division, and the extraction of roots, which may be
considered a kind of division, so in geometry, to find required lines it is merely
 Leo Corry - 2012
-6
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
necessary to add or subtract other lines; or else, taking one line, which I shall call the
unit in order to relate it as closely as possible to numbers, and which can in general be
chosen arbitrarily, and having given two other lines, to find a fourth line which shall
be to one of the given lines as the other is to the unit (which is the same as
multiplication); or again, to find a fourth line which is to one of the given lines as the
unit is to the other (which is equivalent to division); or, finally, to find one, two, or
several mean proportionals between the unit and some other line (which is the same as
extracting the square root, cube root, etc. of the given line.
And I shall not fear to introduce these arithmetical terms into geometry for the sake of
greater clarity.
For example, let AB be taken as the unit, and let it be required to multiply BD by BC.
I have only to join the points A and C, and draw DE parallel to CA; then BE is the
product of BD and BC.
If it be required to divide BE by BD, I join E and D, and draw AC parallel to DE; then
BC is the result of the division.
I
E
C
D
A
B
F
G
K
H
Or, of the square root of GH is desired, I add, along the same straight line, FG equal
to the unit; then, bisecting FH at K, I describe the circle FIH about K as a center, and
draw from G a perpendicular and extend it to I, and GI is the required root. I do not
speak here of cube root, or other roots, since I shall speak more conveniently of them
later.
Often it is not necessary thus to draw the lines on paper, but it is sufficient to
designate each by a single letter. Thus to add the lines BD and GH, I call one a and
the other b, and write a + b. Then a - b will indicate that b is subtracted from a; ab is
that a is multiplied by b; a/b that a is divided by b; aa or a2 that a is multiplied by
itself; a3 that this result is multiplied by a, and so on, indefinitely. Again, if I wish to
extract the square root of a2+b2 I write
a 2  b2
if I wish to extract the cube root of a3 - b3 + abb I write
C. a3  b3  abb
 Leo Corry - 2012
-7
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
Here it must be observed that by a2, b3 and similar expressions, I ordinarily mean
only simple lines, which, however, I name squares, cubes, etc. so that I make use of
the terms employed in algebra.
It should also be noted that all parts of a single line should as a rule be expressed by
the same number of dimensions, when the unit is not determined in the problem. Thus
C. a3  b3  abb
a3contains as many dimensions as abb or b3, these being the components of the line
which I have called
It is not, however, the same thing when the unit is determined, because it can always
be understood, even where there are too many of too few dimensions; thus if be
required to extract the cube root of a2b2 - b, we must consider the quantity a2b2
divided once by the unit, and the quantity b multiplied twice by the unit.
If then, we wish to solve any problem, we first suppose the solution already effected,
and given names to all the lines that seem needful for the construction - to those that
are known as well as to those that are unknown. Then making no distinction between
known and unknown lines, we must unravel the difficulty in any way that shows
most naturally the relations between these lines, until we find it possible to express a
single quantity in two ways. This will constitute what we call an equation, since the
terms of one of these two expressions are equal to those of the other. And we find as
many such equations as there are supposed to be unknown lines; but if, after
considering everything involved, so many cannot be found, it is evident that the
question is not entirely determined. In such a case we may choose arbitrarily lines of
known length for each unknown line to which there corresponds no equation.
:‫דיקארט נותן כאן מספר דוגמאות פשוטות ואז ממשיך‬
But I shall not stop to explain this in more detail, because I should deprive you of the
pleasure of mastering it yourself, as well as of the advantage of training your mind by
working over it, which is in my opinion the principal benefit to be derived from this
science. Because I find nothing here so difficult that it cannot be worked out by any
one familiar with ordinary geometry and with algebra, who will consider carefully all
that is set forth in this treatise. ...
And if it can be solved by ordinary geometry, that is, by the use of straight lines and
circles traced on a plane surface, when the last equation shall have been entirely
solved there will remain at most only the square of an unknown quantity, equal to the
product of its root by some known quantity, increased or diminished by some other
quantity also known. Then this root or unknown line can easily be found.
For example, if I have z2=az+bb, I construct a right triangle NLM with one side LM,
equal to b, the square root of the known quantity bb, and the other side, LN, equal to
½a, that is to half the other known quantity which was multiplied by z, which I
suppose to be the unknown line. Then prolonging MN, the hypotenuse of this
triangle, to O, so that NO is equal to NL, the whole line OM is the required line z.
 Leo Corry - 2012
-8
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
This is expressed in the following way:
z  12 a  14 aa  bb .
But if I have y2=-ay+bb, where y is the quantity whose value is desired, I construct the
same right triangle NLM, and on the hypotenuse MN lay off NP equal to NL, and the
remainder PM is the desired root. Thus I have:
y   12 a  14 aa  bb .
In the same way if I had x4=-ax2+bb, PM would be x2 and I should have
x   12 a 
1
4
aa  bb ,
and so for the other cases.
Finally, if I have z2=az-bb, I make NL equal to ½a and LM equal to b as before, then
instead of joining the points M and N, I draw MGR parallel to LN, and with N as
center describe a circle through L cutting MGR in the points G and R; then z, the line
sought is either MG or MR, for in this case it can be expressed in two ways, namely,
z  12 a 
1
4
aa  bb
and
z  12 a 
1
4
aa  bb .
And if the circle described about N and passing through L neither cuts nor touches the
line MGR, the equation has no roots, so that we may say that the construction of the
problem is impossible.
These same roots can be found by many other methods. I have given these very
simple ones to show that it is possible to construct all the problems of ordinary
geometry by doing no more than the little covered in the four figures that I have
explained. This is the one thing which I believe the ancient mathematicians did not
observe, for otherwise they would have not put so much labor into writing so many
books in which the very sequence of the propositions shows that they did not have a
sure method of finding them all, but rather gathered those propositions on which they
had happened by accident.
 Leo Corry - 2012
-9
-
‫מאה י"ז ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‬
‫תולדות המתמטיקה‬
‫מקרים מטופלים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z = az + bb‬‬
‫‪0 = z - az - bb‬‬
‫‪y2 = -ay + bb‬‬
‫‪0 = z2 + az - bb‬‬
‫‪z2 = az - bb‬‬
‫חסר‬
‫‪z2 - az + bb = 0‬‬
‫‪z2 + az + bb = 0‬‬
‫סיבה‪ :‬בתפרון למשוואה הזאת אנו מגיעים לנוסחה‬
‫‪aa  4bb‬‬
‫‪z   12 a ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫מכיוון ש‪ a-‬מייצג גודל (בדרך כלל אורך) הרי שהוא חיובי ‪ ,‬והביטוי שבתוך השורש הוא קטן מחצי‬
‫‪ ,a‬ולכן אין למשוואה כזאת שורשים חיוביים‪.‬‬
‫*‬
‫התייחסות לקואורדינטות כאל גדלים חיוביים מופיעה מאוחר יותר‪.‬‬
‫*המילה עצמה‪“ ,‬קואורדינטות” מופיעה לראשונה אצל לייבניץ‪.‬‬
‫עד כאן‪ :‬בעיות “מסויימות” ‪-‬בהמשך‪ :‬בעיות “בלתי‪-‬מסויימות”‬
‫בעיות “בלתי‪-‬מסויימות”‪ :‬בעיית פאפוס‬
‫‪T‬‬
‫‪S‬‬
‫‪R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫נתונים ‪ 4‬ישרים ‪ AB,AD,EF,GH‬במקומם‪ .‬למצוא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪C‬‬
‫כך שהמרחקים ‪ CB,CD,CF,CH‬הנמדדים בינן לבין הישרים בזוויות נתונות ‪ ‬מקיימים‬
‫את היחס ‪[ CB.CF=CD.CH‬בניסוח יותר כללי‪ ,‬ניתן לדרוש ששני המכפלות הללו יקיימו בינהן‬
‫יחס נתון מראש – לאו דווקא שוויון]‬
‫יתר על כן‪ ,‬נדרש שאפשר יהיה לדעת איך בדיוק מ שרטטים את העקומה המכילה את כל הנקודות‬
‫‪.C‬‬
‫‪-‬‬
‫‪- 10‬‬
‫‪ Leo Corry - 2012‬‬
‫מאה י"ז ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‬
‫תולדות המתמטיקה‬
‫פתרון של דקרט‪:‬‬
‫"ראשית‪ ,‬אתייחס לבעייה כפתורה‪ ,‬ועל מנת למנוע טעות בגלל ריבוי הישרים אתייחס לאחד‬
‫הישרים הנתונים ולאחד המרחקים (למשל ‪ AB‬ו‪ )BC-‬כראשיים‪ ,‬ואנסה לבטא את יתר הישרים‬
‫באמצעותם‪ .‬נכנה את הקטע ‪ AB‬באות ‪ x‬ואת הקטע ‪ BC‬באות ‪ . y‬את יתר הישרים נאריך עד‬
‫שיחתכו את שני הישרים הראשיים‪ .‬את ‪ EA‬נכנה באות ‪ k‬ואת ‪ AG‬נכנה באות ‪ .l‬שני קטעים‬
‫אלה יודעים‪ ,‬שכן ארבעת הקטעים נתונים מראש ‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם כל הזוויו ת של במשולשים‬
‫הבאים ידועות‪ .TCH ,BGT ,FSC ,ESB ,DRC ,ARB :‬במילים אחרות‪ :‬אנחנו יודעים את כל‬
‫היחסים שבין הצלעות של המשולשים‪ .‬כעת אנחנו יכולים ‪ ,‬אם כן‪ ,‬לנסח את המשוואות ‪".‬‬
‫המשוואות שדקרט מציב‪ ,‬בהתאם לאמור לעיל ‪ ,‬הן הבאות‪:‬‬
‫‪AB/BR = z/b‬‬
‫‪CR/CD = z/c‬‬
‫‪BE/BS = z/d‬‬
‫‪CS/CF = z/e‬‬
‫‪BG/BT = z/f‬‬
‫‪TC/CH = z/g‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪(6‬‬
‫כאן ‪ z,a,b,c,d,e,f‬הם גדלים קבועים‪.‬‬
‫דקארט מנסה עכשיו להביע את ארבעת המרחק ים ‪ CB, CF, CD, CH‬במונחים של הגדלים‬
‫הידועים‪ .‬כבר קבענו ‪ .CB = y‬לשם קבלת הגדלים האחרים הוא פועל כדלקמן ‪:‬‬
‫(א) מכיוון ש‪ ,AB = x -‬ממשוואה (‪ )1‬מקבלים ‪ .BR = bx/z‬ומכאן‪:‬‬
‫)‪(7‬‬
‫)‪CR = CB + BR = y + (bx/z‬‬
‫ממשוואה (‪ )2‬נובע ‪ CD = cCR/z‬ואם מציבים עכשיו ב (‪ )7‬מקבלים‬
‫)‪CD = (cy/z) + (cbx/z2‬‬
‫(ב) מכיוון ש ‪ , EA = k‬מקבלים‪ BE = EA +AB = k + x :‬וממשוואה (‪ )3‬מקבלים‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪BS = (dk + dx)/z‬‬
‫‪CS = BS + CB = [(dk + dx)/z] + y =(dk + dx + yz)/z‬‬
‫ממשוואה (‪ )4‬נובע ‪ CF = CSe/z‬ואם מציבים עכשיו ב (‪ )8‬מקבלים‬
‫‪CF = (ezy + dek + dex)/z2‬‬
‫(ג) מכיוון ש ‪ ,AG = l‬מקבלים‪ BG = l - x :‬וממשוואה (‪ )5‬מקבלים‬
‫‪BT = (f(l-x))/z‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪CT = BC + BT = y + ((fl - fx)/z) =(yz + fl - fx)/z‬‬
‫ממשוואה (‪ )6‬נובע ‪ CH = gCT/z‬ואם מציבים עכשיו ב (‪ )9‬מקבלים‬
‫‪CH = (gzy + gfl - gfx)/z2‬‬
‫התוצאה‪:‬‬
‫לאחר שקיבלנו ביטוים עבור ארבעת המרחקים ‪ CB, CF, CD, CH‬ומכפילים את הזוגות לפי‬
‫המשוואה ‪ CB.CF=CD.CH‬מקבלים משוואות במעלה השנייה הן ב‪ x-‬והן ב‪ . y -‬בכך השלמנו‬
‫את השלב הראשון בפתרון הבעיה ‪ ,‬אבל מדובר בבעיה "בלתי‪-‬מסויימת"‪ ,‬ולכן על ידי מתן ערכים‬
‫שרירותיים ל ‪ y‬מקבלים אוסף של משוואות רבועיות שמאשפרות את בניית המקום הגיאומרטי‬
‫המבוקש‪ .‬דקארט קבע‪ ,‬אבל לא הוכיח‪ ,‬שהמקום הגיאומטרי שמתקבל מתוך המשוואות הנ "ל‬
‫הינו היפרבולה ‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫‪- 11‬‬
‫‪ Leo Corry - 2012‬‬
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
:‫ מיון עקומים‬- II ‫ספר‬
:‫ שלושה סוגי עקומים‬,‫ ובהתאם‬,‫דיקארט מתייחס לחלוקת פאפוס לשלושה סוגי בעיות‬
:‫ לדעתו זו חלוקה לא לגמרי מוצדקת‬. ‫ ולינאריים‬,‫ גופיים‬,‫מישוריים‬
Probably the real explanation of the refusal of the ancient geometers to accept curves
more complex than the conic sections lies in the fact that the first curves to which
their attention was attracted happened to be the spiral, the quadratrix, and similar
curves, which really do belong only to mechanics, and are not among those curves
that I think should be included here, since they must be conceived of as described by
two separate movements whose relation does not admit of exact determination …
‫ אבל שלדעתו הגדרתם "ברורה‬,‫דיקארט מביא דוגמאות של עקומים שנוצרים בדרך גיאומטרית‬
.‫ מכאן הצעתו להגדיר חלוקה של העקומים על בסיס אחר‬.‫ומובחנת“ לא פחות מזו של המעגל‬
Now as the angle XYZ is increased the point B describes the curve AB, which is a
circle; while the intersections of the other rulers, namely, the point D,F,H describe
other curves, AD, AF, AH, of which the latter are more complex than the first and this
more complex than the circle. Nevertheless, I see no reason why the description of the
first cannot be clearly conceived of as the first: and therefore I see no reason why they
should not be used in the same way in the solution of geometric problems.
I could give here several other ways of tracing and conceiving a series of curved lines,
each curve more complex than any preceding one, but I think the best way to group
together all such curves and then classify them in order, is by recognizing the fact that
all points of those curves which admit of precise and exact measurement, must bear a
definite relation to all points of a straight line, and that this relation must be expressed
by means of a single equation. If this equation contains of higher degree than the
rectangle of two unknown quantities, or the square of one, the curve belongs to the
first and simplest class, which contains only the circle, the parabola, the hyperbola,
and the ellipse; but when the equation contains one or more terms of the third or
fourth degree in one or both of the unknown quantities (for it requires two unknown
quantities to express the relation between two points) the curve belongs to the second
class; and if the equation contains a term of the fifth or sixth degree in either or both
of the unknown quantities the curve belongs to the third class, and so indefinitely.
:‫ תורת משוואות‬- III ‫ספר‬
Suppose, for example, x = 2 or x - 2 = 0, and again x = 3 or x - 3 = 0. Multiplying
together the two equations x - 2 = 0 and x - 3 = 0, we have xx - 5x + 6 = 0, or xx = 5x
 Leo Corry - 2012
- 12
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
- 6. This is an equation in which x has the value 2 and at the same time x has the value
3. If we next make x - 4 = 0, and multiply this by xx - 5x + 6 = 0, we have x3 - 9xx +
26x - 24 = 0, another equation, in which x, having three dimensions, has also three
values, namely 2,3, and 4. It often happens, however, that some of the roots are false,
or less than nothing. Thus, if we suppose x to represent the defect [defaut] of a
quantity 5, we have x + 5 = 0, which multiplied by x3 - 9xx + 26x - 24 = 0, gives x4 +
4x3 - 19xx + 106x - 120 = 0. As an equation having four roots, namely three true
roots, 2,3, and 4, and one false root, 5.
It is evident from this that the sum of an equation containing several roots is always
divisible by a binomial consisting of the unknown quantity diminished by the value of
one of the true roots, or plus the value of one of the false roots. In this way, the
dimension of an equation may be lowered. On the other hand, if the sum of an
equation is not divisible by a binomial consisting of the unknown quantity plus or
minus some other quantity, then this latter quantity is not a root of the equation. Thus
the last equation x4 + 4x3 - 19xx + 106x - 120 = 0 is divisible by x - 2, x- 3, x - 4, and
x + 5, but is not divisible by x plus or minus any other quantity, which shows that the
equation can have only the four roots, 2,3,4, and 5.
We can determine from this also the number of true and false roots that any equation
can have, as follows: An equation can have as many true roots as it contains changes
of sign, from + to - or from - to +; and as many false roots as the number of times two
+ signs or two - signs are found in succession. Thus, in the last equation, since +x4 is
followed by -4x3 …
It is also easy to transform an equation so that all the roots that were false shall
become true roots, and all those that were true shall become false. This is done by
changing the sign of the second, fourth, sixth, and all even terms, leaving unchanged
the signs of the first, third, fifth, and other odd, terms. Thus if instead of +x4 - 4x3 19xx + 106x - 120 = 0, we write +x4 + 4x3 - 19xx - 106x - 120 = 0, we get an equation
having only one true root 5, and three false roots, 2,3, and 4.
If the roots of an equation are unknown and it be desired to increase or diminish each
of these roots by some known number, we must substitute for the unknown quantity
another quantity greater or less by the given number. Thus, if it be desired to increase
by 3 the value of each root of the equation +x4 - 4x3 - 19xx + 106x - 120 = 0, put y in
the place of x, and let y exceed x by 3, so that y - 3 = x. Then for xx put the square of
y - 3, or yy - 6y + 9; for x3 put its cube, y3 - 9yy + 27y - 27; and for x4 put its fourth
square square, or y4 - 12y3 + 54yy - 108y + 81. Substituting these values in the above
equation, and combining, we have,
y4 - 12y3 + 54yy - 108y + 81
4y3 - 36yy +108y - 108
- 19yy - 114y +171
- 106y - 318
-120
-----------------------------------------y4 - 8y3 - 1yy + 8y
= 0, or
3
y - 8yy - 1y + 8
=0
whose true root is now 8 instead of 5, since it has been increased by 3.
 Leo Corry - 2012
- 13
-
‫מאה י"ז ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‬
‫תולדות המתמטיקה‬
‫“הגיאומטריה” ‪ -‬סיכום‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אין לימוד שיטתי של קואורדינטות “קרטזיות”‬
‫מתחילים בקואורדינטות אלכסוניות לפי מה שמתאים לבעייה הנתונה‬
‫אין נוסחאות למרחקים‪ ,‬שיפועים‪ ,‬זווית בין ישרים‪,‬‬
‫אין הגדרה של עקומים חדשים דרך נוסחה נתונה‬
‫קושי עם קואורדינטות שליליות‬
‫הגילוי שמשוואות בלתי‪-‬מסויימות בשני משתנים מגדירות מקומות גיאומטריים‬
‫מופיעה‪ ,‬כבדרך אגב‪ .‬הניתוח המפורט היחידי הוא של בעיית פאפוס והמקום הגיאומטרי‬
‫שקשור אליו‪ .‬זה מוביל לחתכים הקוניים‪ .‬דיקארט מנתח את המקרים השונים‬
‫המתקבלים לפי המקדמים של המשוואות‪ ,‬אבל לא נותן את הצורות הקנוניות שלהן ?‬
‫משאיר פרטים רבים לא‪-‬גמורים (“כדי לא לגנוב את התענוג מן הקורא”)‬
‫דיקארט ידע שהמשוואה נותנת מידע רב על העקום (שטח‪ ,‬משיק)‪ ,‬אבל הוא לא עיבד‬
‫את הפרטים קשורים בזה‪.‬‬
‫אין שימוש בזוגות של מספרים כדי לציין נקודות (“מכפלה קרטזית” ‪ Frechet -‬במאה‬
‫העשרים)‪.‬‬
‫אין מושגים כמו “פונקציה” או “צורה”‪.‬‬
‫השימוש בקואורדינטות אלכסוניות מקרב אותו יותר לאפולוניוס מאשר לאורם‪.‬‬
‫“הגיאומטריה” היא פרק חולף בעבודתו הרחבה יותר של פילוסוף‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ממשיכי דרכו של דיקארט‪:‬‬
‫)‪Frans van Schooten (1615-1660‬‬
‫‪‬‬
‫תרגם את “הגיאומטריה” ללטינית (‪)1649‬‬
‫‪‬‬
‫מהדורה שניה מורחבת (‪)1659-1661‬‬
‫‪‬‬
‫מהדורות נוספות‪1695 ,1683 :‬‬
‫‪‬‬
‫מקור ההפצה האמיתי של רעיונות דיקארט‬
‫)‪Jan de Witt (1629-1672) - Elementa Curvarum (1659‬‬
‫הופיע כנספח לתרגום הלטיני של ‪Van Schooten‬‬
‫חלק ‪ I‬סינתטי‬
‫‪‬‬
‫הגדרות שיטתיות של החתכים הקוניים‬
‫‪‬‬
‫עיון בתכונות הבסיסיות של הקוניות ‪ :‬מוקד‪directrix ,‬‬
‫חלק ‪ II‬אנליטי‬
‫‪‬‬
‫“הקטסט הראשון בגיאומטריה אנליטית”‬
‫‪‬‬
‫רדוקציה של כל המשוואות במעלה השניה בשני משתנים לצורות הקנוניות‪ ,‬ע”י‬
‫סיבובים והעתקת הצירים‬
‫‪‬‬
‫קבע את הקשר בין ערך הדיסקרימיננטה וסוג העקום‪ :‬אליפסה‪ ,‬פרבולה‪ ,‬היפרבולה‬
‫‪-‬‬
‫‪- 14‬‬
‫‪ Leo Corry - 2012‬‬
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
John Wallis (1616-1703)
‫ ספר על הקוניקות במונחים קרטזיים‬:1655
‫ אבל עדיין לא הכירו מספיק דוגמאות קונקרטיות‬,‫מעבר לצורות בשלושה מימדים‬

‫ העדיף להוסיף הוכחה‬,‫ מי שהשתמש בשיטות קרטזיות להוכחה‬,‫י”ז‬-‫סה”כ במאה ה‬
‫סינתטית לשם חיזוק‬

‫ לא עברו מהגדרת המשוואה‬:‫הקשר האמיץ בין “משוואה” ו”עקום” לא הובן עד הסוף‬
‫אל העקום‬

‫ וייקח עוד מאה שנה של‬, ‫נבקע קשר די חלש ולא שיטתי בין האלגברה והגיאומטריה‬
‫מאמצים עד אוילר‬

Newton:
“Equations are expressions of arithmetical computation and properly have no place in
geometry, except in so far as truly geometrical quantities (lines, surfaces, solids and
proportions) are thereby shown equal, some to others. Multiplications, divisions, and
computations of that kind have recently been introduced into geometry, unadvisedly
and against the first principle of this science … Therefore these two sciences ought
not to be confounded, and recent generations by confounding them have lost that
simplicity in which all geometrical elegance consists.”
)1616-1703( ‫ג’והן וואליס‬
‫ לכן‬,‫ אבל אז לא היה שם מי שיוכל להדריך אותו בנושאים מתמטיים‬,’‫ למד בקיימברידג‬
‫למד תיאולוגיה והוסמך לכמורה‬
‫ אולי מסיבה‬.‫ ופעל למען הפרלמנטריסטים במלחמת האזרחים‬,‫ התמחה בפענוח קודים‬
‫ שנה‬50 ‫ שהחזיק במשך‬,‫” באוקספורד‬Chair Savillian”‫זו קיבל את ה‬
”Royal Society”‫ היה בין מקימי ה‬
,‫ טוריצ’לי‬,‫ ידיעה מעמיקה של עבודות קפלר‬. ‫ תרומות חשובות לחשבון האינפיניטזימלי‬
‫ רוברואל‬,‫ דיקארט‬,‫קאווליארי‬
‫ התעסק באופן מקורי ואינטנסיבי עם האינסוף המתמטי‬
  :‫ הכניס לשימוש סימנים כמו‬
Of Negative Squares, and their imaginary Roots in Algebra
We have before had occasion (in the Solution of some Quadratick and Cubick
Equations) to make mention of Negative Squares, and Imaginary Roots, (as
contradistinguished to what they call real roots, whether Affirmative or Negative:)
But referred the fuller consideration of them to this place.
These Imaginary Quantities (as they are commonly called) arising from the Supposed
Root of a Negative Square, (when they happen,0 are reputed to imply that the Case
proposed is Impossible.
And so indeed it is, as to the first and strict notion of what is proposed. For it is not
possible, that any Number (Negative or Affirmative) Multiplied into itself, can
 Leo Corry - 2012
- 15
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
produce (for instance) -4. Since that Like Signs (whether + or -) will produce +; and
therefore not -4.
But it is also impossible, that any Quantity (though not a Supposed Square) can be
Negative. Since that it is not possible that any Magnitude can be Less than Nothing, or
any Number Fewer than None.
Yet is not that Supposition (of Negative Quantities), either Unuseful or Absurd; when
rightly understood. And though, as to the bare Algebraick Notation, it import a
Quantity less than nothing: Yet, when it comes to a Physical Application, it denotes as
real a Quantity as if the Sign were +; but to be interpreted in a contrary sense.
As for instance: Supposing a man to have advanced or moved forward, (from A to B,)
5 yards; and to retreat (from B to C) 2 Yards: If it be asked, how much he had
Advanced (upon the whole march) when at C? or how many yards he is now
Forwarder than when he was at A? I find (by Subducting 2 from 5,) that he is
Advanced 3 yards (Because +5-2=+3)
D
A
C
B
But if, having Advanced 5 yards to B, he thence retreat 8 yards to 8; and it be then
asked, how much he is Advanced when at D, or how much Forwarder than when he
was at A: I say -3 Yards. (Because +5-8=-3.) That is to say, he is advanced 3 yards
less than nothing. …
So that + 3 signifies 3 Yards Forward; and -3, signifies 3 yards Backwards: But still in
the same Streight Line. And each designs (at least in the same Infinite Line,) one
Single Point: And but one. And thus it is in all Lateral Equations; as having but one
Single Root.
Now what is admitted in Lines, must on the same reason, be allowed in Plains also.
As for instance: Supposing that in one Place, we gain from the Sea, 30 Acres, but
Lose in another Place, 20 Acres: If it be now asked, how many Acres we have gained
upon the whole: The Answer is, 10 Acres, or +10. (Because of 30-20=10.) … Or,
which is all one 1600 Square Perches … Which if it lye in a Square Form, the side of
that Square will be 40 Perches in length; or (admitting of a negative Root,) -40.
But if then in a Third place, we lose 20 Acres more; and the same Question be again
asked, How much we have gained in the whole; the Answer must be -10 Acres … or
of 1600 Square Perches.
And hitherto, there is no new Difficulty arising, nor any other Impossibility than what
we met with before, (in supposing a Negative Quantitiy, or something less than
nothing:) Save only that 1600 is ambiguous; and may be +40 or -40. And form such
Ambiguity it is, that Quadratick Equations admit of Two Roots.
But now (supposing this Negative Plain, -1600 Perches, to be in the form of a
Square;) must not this Supposed Square be supposed to have a Side? And if so, What
shall this Side be?
We cannot say it is 40, nor that it is -40. … But this rather it is -1600 … or (which is
Equivalent thereunto) 10-16, or 20-4, or 40-1.
 Leo Corry - 2012
- 16
-
‫ גיאומטריה אנליטית‬- ‫מאה י"ז‬
‫תולדות המתמטיקה‬
Where  implies a Mean Proportional between a Positive and a negative Quantity. For
like as bc signifies a Mean Proportional between +b and +c; or between -b and -c;
(either of which, by Multiplication, makes +bc:) So doth -bc signify a Mean
Proportional between +b and -c, or between -b and + c; either of which being
Multiplied, makes -bc. And this as to Algebraick consideration, is the true notion of
such Imaginary Root, -bc.
The Same Exemplified in Geometry
If (for instance,) Forward from A, I take AB = +b; and Forward from thence, BC =
+c; (making AC = +AB+BC=+b+c, the Diameter of a Cricle:) Then is the Sine, or
Mean proportional BP= +bc.
But if Backward from A, I take AB = -b; and then Forward fromthat B, BC=+c
(making AC =-AB+BC, the Diameter of the Circle:) Then is the Tangent or mean
Proportional BP=-bc.
P
B
A
C
B
‫אינטרפרטציה גיאומטרית נוספת למרוכבים‬
)‫ גדלים חיוביים‬c-‫ ו‬b ‫ (עם‬x2 + 2bx + c2 = 0 ‫בהנתן משוואה‬
P1,P2 ‫מייצגים בגרף את הפתרונות‬
x  b  b 2  c 2
c < b ‫ פתרונות קיימים רק כאשר‬:‫מסקנה‬
? c > b ‫אבל מה קורה כאשר‬
 Leo Corry - 2012
- 17
-
‫מאה י"ז ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‬
‫תולדות המתמטיקה‬
‫‪ P1,P2‬מחוץ לישר הממשיים אבל עדיין באותו מישור‬
‫בעיה‪ :‬כאשר ‪ b‬הולך וקטן‪ ,‬אזי ‪ P1‬מתקרב ל‪ - P2 -‬בסוף‪ ,‬כאשר ‪ P1 = P2 , b = 0‬ומכאן‪i = –i ,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪- 18‬‬
‫‪ Leo Corry - 2012‬‬