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Further Pure Mathematics
Paper 2
Monday 21 May 2012 – Afternoon
Time: 2 hours
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4PM0/02
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6/5/6/
*P41775A0132*
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1
Solve the equation
5
x+1
= 120
giving your answer to 3 significant figures.
(4)
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(Total for Question 1 is 4 marks)
2
*P41775A0232*
2
Given that x = t 3 + 4 and y = 1 – t + 5t 2
(a) find
(b) Find
(i)
dx
dt
(ii)
dy
dt
(2)
dy
in terms of t.
dx
(2)
. . . . . . . . . . . . .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ............................................................................................................................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(Total for Question 2 is 4 marks)
*P41775A0332*
3
Turn over
3
Solve the equations
2x 2 + xy – y 2 = 36
x + 2y = 1
(6)
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4
*P41775A0432*
Question 3 continued
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(Total for Question 3 is 6 marks)
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5
Turn over
4
Differentiate with respect to x
1
(a)
x2
(b)
(c)
(2)
1
(2 x + 1) 2
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1
1 − cos 2 x
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Question 4 continued
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The curve R has equation y = x 2 – 7x + 10
The curve S has equation y = –x 2 + 7x – 2
(a) Find the coordinates of each of the two points where the curves R and S intersect.
(4)
(b) Find the area of the finite region bounded by the curve R and the curve S.
(4)
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Question 5 continued
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Turn over
6
The first term of a geometric series S is
The second term of S is
2
2−2
(a) (i) Find the exact value of the common ratio of S.
(ii) Find the third term of S, giving your answer in the form a 2 + b, where a and b
are integers.
(5)
(b) (i) Explain why the series is convergent.
(ii) Find the sum to infinity of S.
(3)
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Question 6 continued
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(Total for Question 6 is 8 marks)
*P41775A01332*
13
Turn over
7
1
,x ≠1
x −1
(a) Find an equation of the asymptote to G which is parallel to
The curve G has equation y = 3 −
(i) the x-axis,
(ii) the y-axis.
(2)
(b) Find the coordinates of the point where G crosses
(i) the x-axis,
(ii) the y-axis.
(2)
(c) Sketch G, showing clearly the asymptotes and the coordinates of the points where the
curve crosses the coordinate axes.
(3)
A straight line l intersects G at the points P and Q. The x-coordinate of P and the
x-coordinate of Q are roots of the equation 2 x − 3 =
1
x −1
(d) Find an equation of l.
(2)
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*P41775A01432*
Question 7 continued
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(Total for Question 7 is 9 marks)
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15
Turn over
8
The curve C has equation y = 4 x + 8 +
25
,x ≠ 2
x−2
(a) Find the coordinates of the stationary points on C.
(6)
(b) Determine the nature of each of these stationary points.
(3)
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Question 8 continued
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The particle M is moving along the straight line PQ with a constant acceleration of 2 m/s2.
At time t = 0, M is at the point P moving with velocity 6 m/s towards Q.
(a) Find an expression for the velocity of M at time t seconds.
(2)
(b) Show that the displacement of M from P at time t seconds is (t 2 + 6t) metres.
(2)
A second particle N is moving along PQ. The acceleration of N at time t seconds is 6t m/s2.
At time t = 0, N is stationary at the point P.
(c) Find an expression for the velocity of N at time t seconds.
(2)
(d) Find an expression for the displacement of N from P at time t seconds.
(2)
(e) Find the distance between M and N at time t = 5 seconds.
(2)
(f) Find the value of t, t > 0, when the two particles meet.
(3)
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(Total for Question 9 is 13 marks)
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23
Turn over
10 The points A, B, C and D are the vertices of a quadrilateral and
AB = 3i + 5j,
AC = 6i + 6j
and
AD = 9i + 3j
(a) (i) Find BC
(ii) Hence show that ABCD is a trapezium.
(3)
(b) (i) Find the exact value of BD
(ii) Find a unit vector parallel to BD
(4)
The point F is on the line BD and BF : FD = 1 : 2
(c) Find AF
(2)
The point E is on the line AD such that ABCE is a parallelogram.
(d) (i) Show that F lies on the line CE
(ii) Find the ratio EF : FC
(6)
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Question 10 continued
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26
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Question 10 continued
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(Total for Question 10 is 15 marks)
*P41775A02732*
27
Turn over
11
H
4 cm
G
Diagram NOT
accurately drawn
4 cm
E
F
C
D
12 cm
10 cm
P
A
Q
B
10 cm
Figure 1
Figure 1 shows a truncated right pyramid. The base ABCD is a square with sides of
length 10 cm. The top EFGH is a square with sides of length 4 cm. The base is parallel
to the top and AE = BF = CG = DH.
The point P is on the line AC such that angle APE is a right-angle and EP = 12 cm.
(a) Find, in centimetres, the exact length of
(i) AC
(ii) EG
(iii) AP
(6)
(b) Find, in centimetres to 3 significant figures, the length of AE.
(2)
(c) Find, in degrees to 1 decimal place, the angle between the line AE and the plane ABCD.
(2)
The point Q is on the line AB. Angle AQP is a right-angle.
(d) (i) Show that PQ = 3 cm.
(ii) Write down, in centimetres, the length of AQ.
(2)
(e) Find, in degrees to 1 decimal place, the angle between the line AE and the line AB.
(2)
(f) Find, in degrees to 1 decimal place, the angle between the plane ABFE and the plane
ABCD.
(3)
28
*P41775A02832*
Question 11 continued
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*P41775A03232*