MAC 2311
Chapter 2 Review Materials (Part II)
Topics include Differentiation Formulas, Trig Derivatives, The Chain Rule, and Implicit Differentiation
MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question.
Find the derivative.
1) f(x) = 3x2 - 4x - 1, find f'(x)
A) 3x - 4
1)
B) 6x2 - 4
2) y = 13x-2 + 7x3 + 1x, find f'(x)
A) -26x-3 + 21x2
2)
B) -26x-3 + 21x2 + 1
C) -26x-1 + 21x2
D) -26x-1 + 21x2 + 1
3) f(x) = 9x7/5 - 5x2 + 104 , find f'(x)
63 2/5
A)
x
- 10x + 4000
5
C)
3)
63 6/5
B)
x
- 10x
5
63 6/5
x
- 10x + 4000
5
4) f(x) =
D) 3x2 - 4
C) 6x - 4
D)
63 2/5
x
- 10x
5
4
8
7
, find f'(x)
- +
x x x4
4)
A) -
2
8
28
+
3/2
2
x
x
x5
B)
C) -
2
8
28
3/2
2
x
x
x3
D) -2 x +
Find the derivative of the given function.
2
5) y = (3x2 + 5x)
A) 18x3 + 45x2 + 25x
2
8
28
1/2
2
x
x
x5
8
28
2
x
x3
5)
B) 36x3 + 45x2 + 50x
D) 36x3 + 90x2 + 50x
C) 18x3 + 45x2 + 50x
Find the slope of the line tangent to the graph of the function at the given value of x.
6) y = x4 + 3x3 - 2x - 2; x = -2
A) -4
6)
B) -6
C) 2
D) 0
7) y = -8x-1 + 5x-2 ; x = 2
3
A)
4
13
B)
4
13
C) 4
3
D) 4
8) y = 9x5/2 - 7x3/2; x = 4
A) 96
B) 8
C) 6
D) 159
7)
8)
Find an equation for the line tangent to given curve at the given value of x.
x2
9) y =
; x = -4
4
A) y = -2x + 4
B) y = -2x - 8
C) y = -8x - 4
1
9)
D) y = -2x - 4
10) y = x2 - 2; x = -4
A) y = -4x - 18
10)
B) y = -8x - 34
C) y = -8x - 36
D) y = -8x - 18
11) y = x2 - x; x = 4
A) y = 7x + 16
B) y = 7x - 20
C) y = 7x + 20
D) y = 7x - 16
12) y = x3 - 16x - 3; x = 4
A) y = 32x - 131
B) y = 29x - 131
C) y = -3
D) y = 32x - 3
11)
12)
Solve the following.
13) Find all points of the graph of f(x) = 2x2 + 6x whose tangent lines are parallel to the line y - 34x = 0.
A) (10, 260)
B) (8, 176)
C) (9, 216)
D) (7, 140)
Find all values of x (if any) where the tangent line to the graph of the function is horizontal.
14) y = x2 + 2x - 3
A) 0
1
B)
2
15) y = x3 - 3x2 + 1
A) 0, 2
B) -2, 0, 2
16) y = x3 + 7x2 - 245x + 35
35
A)
, -7
3
35
B) ,7
3
C) -1
14)
D) 1
15)
C) 0
D) 2
C) 7
35 35
D) ,
,7
3 3
16)
Give an appropriate answer.
17) If g′(3) = 4 and h′(3) = -1, find f′(3) for f(x) = 5g(x) - 3h(x) + 2.
A) 23
B) 17
C) 19
17)
D) 25
Use the differentiation feature on a graphing calculator to find the indicated derivative.
18) f(x) = 0.84x3 - 3.29x2 + 4.34x + 5.9; f′(2)
A) 7.160
13)
B) 7.840
C) 1.260
Use the product rule to find the derivative.
19) f(x) = (5x - 6)(5x + 1)
A) f'(x) = 50x - 25
C) f'(x) = 25x - 25
18)
D) -11.900
19)
B) f'(x) = 50x - 35
D) f'(x) = 50x - 12.5
20) f(x) = (x2 - 4x + 2)(4x3 - x2 + 5)
A) f'(x) = 4x4 - 68x3 + 36x2 + 6x - 20
20)
B) f'(x) = 20x4 - 64x3 + 36x2 + 6x - 20
C) f'(x) = 20x4 - 68x3 + 36x2 + 6x - 20
D) f'(x) = 4x4 - 64x3 + 36x2 + 6x - 20
21) f(x) = (5x - 5)( x + 2)
A) f'(x) = 7.5x1/2 - 2.5x-1/2 + 10
21)
B) f'(x) = 3.33x1/2 - 5x-1/2 + 10
C) f'(x) = 3.33x1/2 - 2.5x-1/2 + 10
D) f'(x) = 7.5x1/2 - 5x-1/2 + 10
2
22) f(x) = (6 x - 2)(5 x + 7)
A) f'(x) = 30x + 32x1/2
22)
B) f'(x) = 30 + 16x-1/2
D) f'(x) = 30x + 16x1/2
C) f'(x) = 30 + 32x-1/2
23) (y-2 + y-1 )(3y-3 - 7y-4 )
42 + 20y - 12y2
A)
y7
23)
B)
42 + 16y - 3y2
y7
C)
42 + 50y - 12y2
y7
D)
42 - 20y + 12y2
y7
Use the quotient rule to find the derivative.
1
24) f(x) =
x7 + 2
24)
A) f'(x) = -
7x6
(x7 + 2)2
B) f'(x) =
C) f'(x) = -
1
7
(7x + 2)2
D) f'(x) =
25) y =
1
(7x 7 + 2)2
7x6
(x7 + 2)2
x2 - 3x + 2
x7 - 2
25)
A)
dy -5x8 + 19x7 - 14x6 - 4x + 6
=
dx
(x7 - 2)2
B)
dy -5x8 + 18x7 - 14x6 - 3x + 6
=
dx
(x7 - 2)2
C)
dy -5x8 + 18x7 - 13x6 - 4x + 6
=
dx
(x7 - 2)2
D)
dy -5x8 + 18x7 - 14x6 - 4x + 6
=
dx
(x7 - 2)2
26) g(x) =
x2 + 5
x2 + 6x
26)
A) g'(x) =
x4 + 6x3 + 5x2 + 30x
x2 (x + 6)2
B) g'(x) =
2x3 - 5x2 - 30x
x2 (x + 6)2
C) g'(x) =
4x3 + 18x2 + 10x + 30
x2 (x + 6)2
D) g'(x) =
6x2 - 10x - 30
x2 (x + 6)2
27) y =
x2 + 8x + 3
x
27)
A)
dy 2x + 8
=
dx 2x3/2
B)
dy 2x + 8
=
dx
x
C)
dy 3x2 + 8x - 3
=
dx
x
D)
dy 3x2 + 8x - 3
=
dx
2x3/2
3
28) f(x) =
(2x - 1)(3x2 + 2)
4x + 3
28)
A) f'(x) =
24x3 + 42x2 + 18x + 20
(4x + 3)2
B) f'(x) =
48x3 + 42x2 - 18x + 20
(4x + 3)2
C) f'(x) =
48x3 + 42x2 - 18x + 20
4x + 3
D) f'(x) =
48x3 + 54x2 - 18x + 20
(4x + 3)2
Find the derivative.
29) y = (4x + 3)5
dy
A)
= 20(4x + 3)4
dx
C)
29)
dy
= 4(4x + 3)4
dx
B)
dy
= (4x + 3)4
dx
D)
dy
= 5(4x + 3)4
dx
30) f(x) = (x3 - 8)2/3
A) f'(x) =
2x
3
30)
B) f'(x) =
x3 - 8
x2
3
C) f'(x) =
x3 - 8
31) y = (x + 1)2 (x2 + 1)-3
dy
A)
= -2(x + 1)(x2 + 1)-4 (2x 2 - 3x - 1)
dx
C)
3
33) y =
3
D) f'(x) =
x3 - 8
2x2
3
x3 - 8
31)
dy
B)
= 2(x + 1)(x2 + 1)-4 (2x 2 - 3x - 1)
dx
dy
= -2(x + 1)(x2 + 1)-4 (2x 2 + 3x - 1)
dx
D)
32) y = (2x - 1)3 (x + 7)-3
dy
A)
= 45(2x - 1)2 (x + 7)-4
dx
C)
x
dy
= 2(x + 1)(x2 + 1)-4 (2x 2 + 3x - 1)
dx
32)
dy
B)
= 45(2x - 1)2 (x + 7)-3
dx
dy
= 45(2x - 1)3 (x + 7)-4
dx
D)
dy
= 45(2x - 1)3 (x + 7)-2
dx
x2 + 3
x
33)
A)
dy
3
=
dx
2/3
2
2
x (x + 3)
B)
dy
=
dx
C)
dy
-3
=
dx
2/3
x2 (x2 + 3)
D)
dy
=
dx
-x2 - 9
2/3
3x2 (x2 + 3)
x2 + 9
2/3
3x2 (x2 + 3)
Find the equation of the tangent line to the graph of the given function at the given value of x.
4/5
34) f(x) = (x2 + 28) ; x = 2
8
64
4
64
8
8
96
A) y = x +
B) y = x +
C) y = x
D) y = x +
5
5
5
5
5
5
5
4
34)
Find all values of x for the given function where the tangent line is horizontal.
35) f(x) = x2 + 12x + 42
A) 0, -6
B) 0, 6
C) -6
35)
D) -6, 6
Find the derivative.
9
36) y = + 9 sec x
x
36)
A) y ′ = -
9
+ 9 tan2 x
2
x
B) y ′ = -
C) y ′ = -
9
- 9 csc x
x2
D) y ′ =
9
+ 9 sec x tan x
x2
9
- 9 sec x tan x
x2
37) y = (csc x + cot x)(csc x - cot x)
37)
A) y ′ = 0
B) y ′ = 1
C) y ′ = - csc x cot x
D) y ′ = - csc2 x
38) s = t5 cos t - 14t sin t - 14 cos t
ds
A)
= - 5t4 sin t - 14 cos t + 14 sin t
dt
B)
ds
= - t5 sin t + 5t4 cos t - 14t cos t - 28 sin t
dt
C)
ds
= - t5 sin t + 5t4 cos t - 14t cos t
dt
D)
ds
= t5 sin t - 5t4 cos t + 14t cos t
dt
38)
39) r = 11 - θ5 cos θ
dr
A)
= 5θ4 sin θ
dθ
C)
39)
dr
= 5θ4 sin θ - θ5 cos θ
dθ
40) s = t4 - csc t + 10
ds
A)
= 4t3 + csc t cot t
dt
C)
42) Find y ′′ if y = -4 cos x.
A) y ′′ = 4 sin x
dr
= - 5θ4 cos θ + θ5 sin θ
dθ
D)
dr
= 5θ4 cos θ - θ5 sin θ
dθ
40)
ds
B)
= t3 - cot2 t + 10
dt
ds
= 4t3 + cot2 t
dt
Find the indicated derivative.
41) Find y ′′ if y = 3 sin x.
A) y ′′ = 3 cos x
B)
D)
ds
= 4t3 - csc t cot t
dt
41)
B) y ′′ = 9 sin x
C) y ′′ = - 3 sin x
D) y ′′ = 3 sin x
42)
B) y ′′ = -4 sin x
C) y ′′ = 4 cos x
5
D) y ′′ = -4 cos x
43) Find y ′′ if y = 8x sin x.
A) y ′′ = - 8x sin x
C) y ′′ = 8 cos x - 16x sin x
43)
B) y ′′ = 16 cos x - 8x sin x
D) y ′′ = - 16 cos x + 8x sin x
Use implicit differentiation to find dy/dx.
44) 2xy - y2 = 1
x
A)
y- x
45)
44)
x
B)
x-y
y
C)
x-y
y
D)
y-x
x+y
= x2 + y2
x-y
A)
x(x - y)2 - y
x + y(x - y)2
46) xy + x = 2
1+x
A)
y
45)
B)
x(x - y)2 - y
x - y(x - y)2
C)
x(x - y)2 + y
x + y(x - y)2
D)
x(x - y)2 + y
x - y(x - y)2
46)
B) -
1+x
y
C)
1+y
x
D) -
1+y
x
47) x6 = cot y
A) -
48) y cos
A)
C)
6x5
csc2 y
47)
B) -
6x5
csc y cot y
C)
6x5
csc2 y
D)
csc2 y
6x5
1
= 7x + 7y
y
48)
7 - y sin
7y
1
1
sin
+ y cos
- 7y
y
y
B)
cos
7
1
1
sin
+ y cos
-7
y
y
D)
1
y
1
-7
y
7y2
1
sin
- 7y2
y
Find dr/dθ.
49) θ4/3 + r4/3 = 1
r 1/3
A) θ
θ 1/3
B) r
θ 1/3
C)
r
r 1/3
D)
θ
50) r θ + 1 = 4
r
A) 2(θ + 1)
2r
B)
θ+ 1
r
C)
2(θ + 1)
2r
D) θ+ 1
49)
50)
6
Use implicit differentiation to find dy/dx and d2 y/dx 2 .
51) xy - x + y = 5
dy
1 + y d2 y
2y - 2
A)
;
==
dx
x + 1 dx2 (x + 1)2
C)
51)
dy
1 + y d2 y
y+ 1
;
==
dx
x + 1 dx2 (x + 1)2
d2 y
B)
dy y + 1
2y + 2
;
=
=
dx x + 1 dx2 (x + 1)2
D)
dy 1 - y d2 y
2y - 2
;
=
=
dx 1 + x dx2 (x + 1)2
52) y2 - x2 = 6
52)
dy
x d2 y y2 - x2
A)
=- ;
=
dx
y dx2
y3
C)
dy x d2 y y2 - x2
B)
= ;
=
dx y dx2
y3
dy x d2 y y2 - x2
= ;
=
dx y dx2
y2
D)
7
dy x d2 y y - x2
= ;
=
dx y dx2
y2
Answer Key
Testname: CHAPTER 2 (PART II) FORMULAS, CHAIN RULE, TRIG, AND IMPLICIT
1) C
2) B
3) D
4) A
5) D
6) C
7) A
8) D
9) D
10) D
11) D
12) A
13) D
14) C
15) A
16) B
17) A
18) C
19) A
20) C
21) A
22) B
23) A
24) A
25) D
26) D
27) D
28) B
29) A
30) D
31) C
32) A
33) B
34) A
35) C
36) B
37) A
38) C
39) B
40) A
41) C
42) C
43) B
44) D
45) D
46) D
47) A
48) A
49) B
50) A
8
Answer Key
Testname: CHAPTER 2 (PART II) FORMULAS, CHAIN RULE, TRIG, AND IMPLICIT
51) D
52) B
9