Problems of the Millennium - Clay Mathematics Institute

The prize problems
Problems of the Millennium:
The Riemann Hypothesis (2004)
by Peter Sarnak
Princeton University & Courant Institute
�������� �� ��� ����������� ��� ������� ���������� ������
of Mathematical Sciences
��
����� ������
��������� ���������� � ������� ��������� �� ����� ���������
Georg Friedrich Bernhard Riemann (b.1826)
Courtesy of Stätsbibliothek Göttingen.
��� ������� ���������� ���� �� ��� �� ��� ����� ���������� ����� �������� ��� ����� �� ��� ���� �����������
��������� �� ����� ���������� ��������� ����� ������� ��� ���� �������� �� ���������� �� ���� ���� �� �� ������ ��
���� �� ��� �������� �� ���� �� �� ������� ���� ������ ������������� �� ��� ��������� ������� ��������� �� ����
�� ���� �� ��� ���� ���� ����� ������� ����� ���� ������� ����� �� �� ���� ��� � ������ ��� �� ����������� �� �����
������ ��� ���� �� �������� ���� �������� ����� ��� ���� �� ����� ����� ��� ����� �������� ��� ������� �� ���
������� �� ���������� �� �� � ���������� ���������� �� ��� ������ �� ������� ����� ���� ����������������������
������������� �� ��� ���� �� �� �� ������ ����� �� ��� ���� �������� �������� �������� ���� ������� ���� ����
������ ���� ����� ������
��� ����������� �� ������ ��� ��������� �� ��� ��� ���� � � ��� ���� �������� �� ������ ��
���� �
�
�
���
��� � � �� � ��� ��� �
�
���
��� ������� ����� ���� ��� ����� �������� ������� ������ ��� �� �������� ���� ������������ �� � ��� �� �����������
��� ���������� ��������
���
���� � ��� � �� �
���
���� �� � ���� �
�
� ����� ��� ����� ��������� �� �� ��� ��������� ���� ��� ��� ����� �� ���� ��� �� ��� ���� �� �������� ���
��� ���������� ��������� ���� ��� �� ���� � �� � �������� ������ ���������� ��� ������������� ���� ���������� �� ���
������� �� ���� � ���� ���������� ������ ��� ��������� ��� ��������������� �� ����� ���� ��������� ���� ������ ����
���� �������� ������������� ������ ��� ���������� ���� ���� ���������� ��� �� ���� ��� ���� ���� ��� �������
��� �������� ��� ������ �� ���� �� ��� ����� �������������� ��� ���� �� ��� ������� � �������� ������� �� �� ���
���������� ���� �� ��� ��������� �� ���� ����������
�� ����� �� ���������� ��� ��������������� �� �� ���� ���� �� ��� ����� ������� ����������� ����� ���� ��
������� ������� ������������ ��� ������������� ��� ���� ��������� �� �� ��� ���� ��������� �� ���������� ����� ��
���������� �� ����� �� ����� ������ �� ���������� ������������ ��� ����� �� �� ��� ���� ������������ ��� � ��
� ��������� ��������� ��������� �� ������� � ������ ����� � ���� ����� ���� � �� ��� � ��� � ������ ���� � ��
������ ��
�
�
���
���� �� �
������� � � �� � ������� ��� �
���
�
�� ���� ����� ���� �� ������� �� �� ������ �������� ��� �������� ��� ���������� ��������
�
�
�
� � ��
������ ���
���� �� � �� � � �� ��� � �� ��
� �
�
���� �� �� �
�
Continued on page 16
���
THE YEAR 2004
����� �� � �� � �������� ��� �� �� ��� ���� �� � ����� ��� ���� ������ ����� ���� ���� ���� ��� ��� ������ ���
����������� ������ �� ��� ������� ���� ������ ���� ����� ������ �� � �� ��� ������� �� � ���������� �� ������ ��� ��
5
���� �������� ������������� ������ ��� ���������� ���� ���� ���������� ��� �� ���� ��� ���� ���� ��� �������
��� �������� ��� ������ �� ���� �� ��� ����� �������������� ��� ���� �� ��� ������� � �������� ������� �� �� ���
���������� ���� �� ��� ��������� �� ���� ����������
�� ����� �� ���������� ��� ��������������� �� �� ���� ���� �� ��� ����� ������� ����������� ����� ���� ��
������� ������� ������������ ��� ������������� ��� ���� ��������� �� �� ��� ���� ��������� �� ���������� ����� ��
���������� �� ����� �� ����� ������ �� ���������� ������������ ��� ����� �� �� ��� ���� ������������ ��� � ��
� ��������� ��������� ��������� �� ������� � ������ ����� � ���� ����� ���� � �� ��� � ��� � ������ ���� � ��
������ ��
�
�
���
���� �� �
������� � � �� � ������� ��� �
Problems of the Millennium:
The Riemann Hypothesis (2004) by Peter Sarnak - continued
�
���
The prize problems
�� ���� ����� ���� �� ������� �� �� ������ �������� ��� �������� ��� ���������� ��������
�
�
�
� � ��
���� �� � �� � � �� ��� � �� ��
� �
���
���� �� �� � ������ ��� �
�
����� ������ � �������� �� ��� ����������� ��� ������� ���������� ������
�
����� �� � �� � �������� ��� �� �� ��� ���� �� � ����� ��� ���� ������ ����� ���� ���� ���� ��� ��� ������ ���
����������� ������ �� ��� ������� ���� ������ ���� ����� ������ �� � �� ��� ������� �� � ���������� �� ������ ��� ��
��� �� ��� ������� ���������� �� ������ � ����� ���� �� ����������� ���� �� ��� ������� ������ ����� �� � �� �
���������� ��������� ��� � �� �� �������� ������� �� � ������ ��� ����������� �������� ��� ������������
�
���� � ����� �
���
�
�
�
���
��
� ��� ������
� � ������
���
���
��� � �� ��� ����� ���� ������ ���� �� � ����������� ���� ���� �� ������ �� ��� ��� ������� ������ ���� ���
�
�
�� � �
�
� ��� � ���� ����
�� � �
��� �� �� �� � � �� �� � �� � �� ���������� �� � �� ��� ������ ��� �����������
�
���
�
�
� ��� ��
� ��� ��
���
�
�
� � � � ���� � � �
���� �� �
�
�����
�
���
���
���� �� �� ������ ��� �������� ��� ���������� ��������
�
�
�
�
��
��
���� �� �� �� � �
�� � �
���� �� � ��� � �� �� �
�
�
�����
�� ��� � � ���� ������ �
���
��� ��������� �� ��� ������� ���� �������� ���� ������������� ������ ����� ��� �� ����� �� ����� ��� �������� ���
� �� ��� ���� �� ������ �� � ��� ��� � �� �� ����������� �������� �������������� �� ��� ��� ���� ������� ���������
� ���� ����� ��� �������������� � �� ���������� �� � �� ���� � � ���� � �� �� � � � ��� �� �� ����������� �������
�
�������������� �� ��� ��� �� ������������� �� ���� ����� � ��� ����� �������������� �� � ��� ����� ��� ����� ������
���� �� �� ����� ����� ��� ����
�� ��
�
���
���� �� � � ��
��� �� � ���� ����
��� � ������� ���������� ���� ��� ���������� �� �� ���� ��������� ��� � � �� �� ���������� ���������� ���� ���
���� ����
���� �� � � ��
���
��� �� �� � ���� ���� �
��� �������� ���������� ���������� �� � �� ������ ����� ���� ���� ��
���� �� � � ���� �� � �
�
����
��� ��������� ���������� �� ����� �� ������ ��
���� �� � ���� �� � ���� �� �
����
���� ��� ���������� �� � ��� ��� ���� ���� ���� �� �� ������ ��� �������� � ���������� �������� ���� ����
�
���� �� � �� ���
16
CMI ANNUAL REPORT
��
��� � �� � ��
����
����� �� � � �� �� ������� ��� �� ������ ��� ��������� �� �� �� �� �� ������� � ��� �� ���������� �� ����� �� �����
���� ��� � �� ��� �������������� �������������� � ��� � ��� � �� ��
��� �������� ���������� ���������� �� � �� ������ ����� ���� ���� ��
���� �� � � ���� �� � �
����
�
���� �� � ���� �� � ���� �� �
The prize problems
��� ��������� ���������� �� ����� �� ������ ��
����
���� ��� ���������� �� � ��� ��� ���� ���� ���� �� �� ������ ��� �������� � ���������� �������� ���� ����
�
���� �� � �� ���
��
��� � �� � ��
����
����� �������
������� �����
�� ������
��� ��������� ���
�� �� �������
�� �� �� �������
� ��� ��������
���������� �� ����� �� �����
� � � �� ��
�����
� ��������
��� �����������
����������
�
���� ��� � �� ��� �������������� �������������� � ��� � ��� � �� ��
������� ����������� �� ��������� ������ ����� �������� ����������� ���������������� �������� ��� ����������� ���
���������� �������� ���� ���������� ����� ������������ ���������� ���� ���������� � � ��� �� �� ����� �������������
��� �� ������� �� ��� ����� �� ������ �� ��� ��� ����� ��� ������� ���������� ������
����� ������� ����������
��� � �� �� ������ ���� ��� ����� �� ���� �� ��� ��� �� ���� � �� �
���� �� �� � ���������� �������� ���� ��� �� ��� ���� �� ��� ���� ����� � ��� ��� ��������� ����� ���� �����
����������� ����� ��� ��������� �� �� ���� �� ���� �� ��� ������������ ���� ������ ��� �� ����� �������� ����� ���
���� ���� ������������ ����� �� �� ��� ���� �� ���� �� �� ���� � �� ���� �� ��� �������� ����� ����� ������ ���� ���
������������ ������ �� �������� ���� ������ ������ �� ����������� �� ������� ������ ���� �� � � �� �� ����������
����������� ��� �� �������� ��� ���� ��� ����� ��� ��������� ��� ������� ������� ��� ����� ������� ����� ���
�������� ��������� �� �� � �� �� �� ��
��� �� � ����� ������ �� �������� ��� ���������� �� �� �� ���� ������� �� ��
�� ��� � � � ��� ������ �� � ���� �� � � �� ������ �� �� ����� ���� ���� ��� ���� � � � ����� �� � �������� ��
���� ���� ���� � ��� ��� � �� ��� ��� � � � � � ��� � � �� ��� ����� ��������� ���������� ����� �� ��� ���������
���� ���� ������ �������� �� ���� ��� � � �� � ���������� ���� ��� � � � ����� �� ��� ���� ���� ��� � � �
�
�
�
��
� ��� � � � ��� ��� � ������ �� �
����
�
��� ������� ��� ���� �� �������� ��� ��� � � ��
�� ����� �� ����������� �� ������� ��� ���� ���� �� ����� ������������ ����� �� ����� ��� ����� ��������� ��
��� ��� ���� �� ��� ��� �� ��� ���� ����� �� ��� ����� ������ ������� ���� � ����� ��������� ����� ���
���������� ����� ���� �� ��������� ������ �� ����� � ������� ��� ��� ������ �� ������ ���� ���� � ���� �����
��� ����� ������ ������� ����� ������ �� ��� ���� ���� ������ ����������� ����� ��� ����� �� ����� �� ����� ���
�������� ����� �� ��� ����� ������ ������� ���� ��� ���� ����� ���� �������� ��� �� �� ������� ������� �������
���� ���� �� � ��� ���� � � ����� �� ���� ����� ��� ��� ��� ���� ������ ����� ������������ �� ��� ��� ��� ������
�� ��������� ����������� ��������� ��������� ��� ���������� ������ �� �������� ���� ��� �� ����� ��� �����������
��� ������ ���� ����� ���������� ����� ��� ������� �� � ��� �� ����� ������� ����� �� ���������� ��������� ����
����������� ����� ������� ���� ������� ��� �� ����� ���� ������ ���������������� � ���� ������ ������������ �����
�� ��� ��� ��������� ������������ ����� �� �������� ������ �� ��� ��������� �� ������� ����� ���������� �������
� ����� ������� � �� ����� �� ������ ��� � ������ ��� ����� ���� ������������� ��� ������ ������� ��� ����� �
��������� ������� ��������� ����� �������� �� �� ����� �� �������� ������ ��������� ����� ���� ���� ������� ��������
�� ��� �������� ����������� ���� �� ������ ������ � ����� ���� ��������� ����� ����� ���� �� �� ���������� �� ��� ���
���� �� �������� ��� �� ���� �� � ���� �������� ������� ����������� ����� �� ���� ����� ��� ���� ��������
�� ���� ���� �������� �� ������� �� ��� ������ �� ������� ����������� ��������� ��� ������������ ������� ����
�� ��� ���� ���� ����������� ���� ����� ����
��� �������� ���� �� ��� ��� ����� ����� ��� �������������� �������� ������ � ��� � � ���� �� ����� �� � ����� �
����� �� ������ �� �� � �� � ��� ����� � ��� � � ���� ���� ��������� �� � ��� ����� ������ �� ������ ��� �
��� ��������� ���� �� �� ��� ��������� �� ��
��� �������� ��������� ���� ������������ �� � �� �� �� � ������� ������ ���� � �� � ��������� ���� ��� ��������� ����
������ � � ����
THE YEAR 2004
17
����� ������ � �������� �� ��� ����������� ��� ������� ���������� ������
�
The prize problems
��� ��������� ������ ��� ���� ���������� ����� ������� �� � � � � ��� � ������������ ��� �������� ������� �� ���
���� �� ���� � ��� �� ���� ����� ������� ��� �� ���� ���� ��� ��� ����������� ��� ����� �� ����� ����� ���
�� ���� ������� �� ���� ���������� ������ �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����
����� ���� ����� ��� � ������� ������� ��������� ���� �� ������� ��� � ������ ���� ������������
��� ��� ������� �� ��� ���� �� ���������������� �� ��� �������������� ����� �� ������� ����������� ��� � �����������
���� �� ����������� �������� �� � ������� ��� �� �������� ������� ��� ���� ����������� ��� ����� �������� ���
���� �������� �� ���� �� �������� ������ �� �� ���������� ���������� ������� ����� ��� ���������������� ���
��� ����� ���� ��� ����� �������� ��� ������
��� �������� ���� ��� ��� ��� �������� ������ ��� ���������� ������������� ������� ��� ������ �� ���� ���������
����� �� �� ����� ���� ����� ��� �� ���� ����� ���������� �������� ��� ��� ����� ��� �� ��� ����� ��������� ���
������� �� ���� � ������� ������ ����� ������� ��������� ����� �� ������ �� ������ ���� ����� �� ������� ���� ���
���� �� ���������� �� ��� �� ������ ��� ������ ���� ��� ���� �� �������� ����� ��� ��� ������� �������� ����������
�� ��� ��� ��� ���������� ���������� ��������� ��� ���������������� ������� �� ��� ��� ������� �� ���� ����� �������
��������� ��������
��� ������� �� ���� ������� �� ����� ����� �� �������������� �� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ������� ��� �����
�������������� �� ��� ���� ��� ����� ��� ���� ���� ������� ���� ���� ���� ��� ���� ����� ����� �� �� ������������
������ ���� ����� ��� ���������� ��� ���� ������� �������� ����� ���� ����� ������ ��� ��� ����� ������ �� �����
���� � ������ �� ����������� ��� ���� �� � ��� �� � � � � ��� ��� � � � ����� �� � �� ��� � � �� ��� ���� �����
������������� �� ��� ��� ��� ����������� ���� �� �� ��� ��������������������� ������� ������ ���� �� ����� �����
������ ��� ��� ������� ���������������� �� ������ �� ������������ ��� ��� ����� ������ �� � �������� ����������
��� ��� �� ������������� ��� �������������� �� ��� ���� ��� �������� �� ������� ������������ ���������� ���
������ ��� ��� ��������� ��������� ��������� ���� ������ ���� ��� ����� �� ���� ����������� ������� ��� ���� �������
�������� ��� ��� ��������� ��������� ��� ����� ��� ������� �������� �� ����������� ������������ ��� ������������
���� ����� �� �� ��������� ������������
�� ������� ��� �� ����� ����� �� �� �������� �� �� ��� ������� ��� ���� ���������� ��������� ������ ���� �����
������ ����� ��������� �� ����� ���� ���������� ��� ����� �� ��� ���� ������������ ���� ���� ��� � ����� ������
��� ���� ���� ���� ������� ����� ��� �� ����� ��� ����������� ����� �� ��� ������ ��� ���� �� ��� ������������� ��
��� ������� �������� ���� �� ��� ����������� �� ��� ����� �� ��� ������������� ���� ��������� �� ����� �� �����������
�� � ������ �������������� ������������ ��� ����������� �� ��������� ������ �� �� ���������� ���������� �������
���� �� ���� ���� �������� ���� � ������ ���� ���� ���� �������� ��������� ��� ����� ������� �� � ������� ��� ������
��� � �������� ����� ���� ��������� ������ ���� �� ���� �������� ���� ��� ���� ������ ����� ���������������
��� � ���������� �������� �� ����� ��� ���� ����������� ��� ���� ������ �� ��� ������ �� ���� ���� ��� ��� ��
���������� ���� ���� ��� ���� ����������� ���� ����� ������������ ��� ����� ���������� �������������
��� ������� �� ���� �������� ��� ��� ����� � ����� �� �� ���� �� ������ �� ��� ���� �� ��� ������� ����������
���� ������� ��� ����� ���� ��� ������ ���� ����� �� ������� ������ ��������� ���� ����� ����� �� � ��������
�������������� �� ��� ����� �� ��� ���� �������� �� ����� ��� ������������� �������� ������ � ������ �� ��������� ��
������������� ��������� ��� ����� �� ��� ���� � � �� � ����� ��� �������� ��� ��� �������� ������ �� ��� ����� �� ���
���� �� ��� ����� ������������ �� ������ ������ � ����� ������� ���� ��� ���������������� ���� �� ���� ������� �� �� ���
��� ������ �� ��� ����� �� ��� ���� ������������ �� ����� �� �� ��� ����������������������� ���� ���� ���� ������ ����
�� ��� �������� �� ��� ����� �������������� �� ��� ��� ��� ��� ����� ����� ���� ����������
��� �������� ������ �� ��� ����� ������� ������� ���� �������� ��� ����� ����������� ����������� �� ��� ���� �����
18
CMI ANNUAL REPORT
��� � �������� ����� ���� ��������� ������ ���� �� ���� �������� ���� ��� ���� ������ ����� ���������������
��� � ���������� �������� �� ����� ��� ���� ����������� ��� ���� ������ �� ��� ������ �� ���� ���� ��� ��� ��
���������� ���� ���� ��� ���� ����������� ���� ����� ������������ ��� ����� ���������� �������������
The prize problems
��� ������� �� ���� �������� ��� ��� ����� � ����� �� �� ���� �� ������ �� ��� ���� �� ��� ������� ����������
���� ������� ��� ����� ���� ��� ������ ���� ����� �� ������� ������ ��������� ���� ����� ����� �� � ��������
�������������� �� ��� ����� �� ��� ���� �������� �� ����� ��� ������������� �������� ������ � ������ �� ��������� ��
������������� ��������� ��� ����� �� ��� ���� � � �� � ����� ��� �������� ��� ��� �������� ������ �� ��� ����� �� ���
���� �� ��� ����� ������������ �� ������ ������ � ����� ������� ���� ��� ���������������� ���� �� ���� ������� �� �� ���
��� ������ �� ��� ����� �� ��� ���� ������������ �� ����� �� �� ��� ����������������������� ���� ���� ���� ������ ����
��
��� ��������
����� ��������������
�� ��� ���
��� �����
����� ����
����������
�����
������������
��������
�� ��� �����������
������
�������
����������
������
�
��� �������� ������ �� ��� ����� ������� ������� ���� �������� ��� ����� ����������� ����������� �� ��� ���� �����
�� � ����� ���� �� �� ��� ��������� ����� �� � ����� ������ �� ������������ ����� ����������� ������������� ��� ����������
�������� �� ������ ������ ��������� ������ ��� � ����� ���� �� ��� ����� ����������� �� ���� ����� ��� ���������
��� ������ ��� ���� �� ����������� �� ��� ���������� ������������ ��� �������� �� ��� �������� ������� ��������
������ �� ���� ���� ��� ������������������� ����� ��� ��������� ����� �� � ������ ����� �� � �������� ����
���� ��� ��� ��������� ���� ��� ������ ���� ����� ��� ��������� ��� ����������� ��� �� ���������� ��� ���������
�� ����� ���������� ��������� ��� ���������� �� ��� ������� �� ��������� ���� ����� ����� ������ ��� ���� �� ����
��������� ��� ������������ ��� ��� ���� ����� ��������� ���������������� �������� ���� ����� ���� ����� �������
�������� ����������� �� ���� ����������� ���������� ����������� ����� �� ���� ��� � ���� ������������� ���������
������� ��� ������ ���� ��� ����� ���� ������� ����������� ��� ��� ����������� �� ��� ������� �� �� �� � ��� �� ���
��� � � � � � �� �� ���� �� ��� �� �� � �� �� � ������ ���� � ������ ���� ����������� ��� ���� �������� ��� ������ �����
�� �������� ����� �� �������� ��������� �������� ��� ��������� ��� ����������� ����������� �� ����� ����������� ��
����� ���� ���������
��� ����� ����� ����� �������� ��� ����� ����� � �������� �������������� �� ��� ����� �� �� ���������� ��� ������
���� ��������������� ���� ���� ������ ��� ���� ��� ������ �� �� ��������� �� ��� ���������� ������ ����� �����
��� ����������� ����� ���������� ���� ���������� �� ���������� ��������� �� ����������� ������� ����� ������
���� ����� �� ��� ����� �� ����������� ������ ��� ����� ��� �� ���� ��� �� ������� �� �� ���������� ��� � ��������
��������� ��������� ���� ���� � ���������� �������� ����� ��� ����� ������� ������� ��� ���������� ������ �������
������� ��������� ������ �������� ���� ���� ������� �� ���� � � ��� ��� ����������� ����� �������� ������������ ���
���������� ��������� ��� ����� ���� ��������� �� ��������� �������� ������� ����������� �� ��������� ������ ����
��� ����������� �� �������� ������ �� �������� �� �������� ������������ ��� ���� �� ��� ���� ����� ������������ ����
�������� ������ ��� ������������� ������� �� ����������� ��� ����� ��� ��������������� �� ��� ������ �� �� �� �������
������� �� ��� ����� ��� �� ����� ��� ���� ���� ������ ������ �� ���������� �� ��� ���� �������� ��� ������ ����
������ ���� ������ �� ������ �� ��� ����� ����� ����� �� ��� �� � �������� ����� �� ������ ���� ������ �� ���������
�������������� ���� ���������� �� ����� �� ���� ����� �� ��� ����� �� ���� ������� ������� ������ ��� ����� ����
��� ������������� �� ���� ������� ����� ������ ����������� �� ��� ����� �� ��� ��� ���� ���� ���� ��� �� ���� � �� �
���� ��������� ��� �� �������� ������ �� ����� �� ���� �� ���� ��� ����������� �� ��� ������ ���� ��� �� � ���� ����� ��
������� �� ���� � �������� ��������������� �� � ������ ������ ����� ���� ���� ���� ������� �� ����� � ���� ������
����� �� ���������� �� ����� ���� ��� ������������� �� ��� ������ �� ��� ����� ��� ����������� ������������� �� ���
��� ����� �� ��� ��� ���� ���� ������� ���� ��� �� ���� � �� �� ���� �� ���� ��� �� ����� � �������� �������������� ��
��� ����� �� ����������� ������������ ������ ������ �� ��� ������� �� ������� ���������� ������� ��� �������� �������
�� �������������������� ������ ���� ���������� �� ����� �������� ���� ��� ����� ���������������� ��� ���� ��
���� �� ������ ����������� ������������ �������� �������� ��� ����� ��� ���������� ��������� ������� ���� ��������
�������������� ��� �� ���� �� ����� �������� ��� ����� ����������� ������� �� �� ����� ��� �������� ������� ������
��� ���� ���� ������ �� ��� ����� �� ��� ������������ �� ��� ����� �� ������������ �� ����� �� �������� �������������
�� ��� ������� ���� ��������� ���������� �� �����������
����� ���� ���� ���� ������������ �� �� ����� ���� ��� ������ ������� ����� ������ ��� �� ��� ��� ������
������ ����� ��� ���� �������� ��� ������� ����� ���� �� ���� ���� ��� ������� �� �� ������� �� ���� ������� ����
������������ ���������� ��� ���� ��������� �� �� �������� ������ �� ������� ���������� � ������� ����� �� ������
��������� ���� �� ����������� �� ������� ���������� ���������� �� ���������� ������ ��������� �� ��� ����� �� ��� ��
��������� ������� ���� �������� ��� �� ���� �� ���� ��� ����������� ����� ��� ����� �� ��� ���������� �� ��������
�� ��� ����� �� ������ �� ����� ���� ��� ���������� ��������� ���� �� ����� ���� �� ������ �� ��� ������ �������� ��
������ ����� �� ������� ���������� ����� ��� ����� �� ��� ���� �������� ���� ��� ������������ ����� ������
�� ��� ���� ���� ������������� ��������� �� ���� ����������� ��� �� ��� ������� �������� ��� ������
THE YEAR 2004
19
�������������� ��� �� ���� �� ����� �������� ��� ����� ����������� ������� �� �� ����� ��� �������� ������� ������
��� ���� ���� ������ �� ��� ����� �� ��� ������������ �� ��� ����� �� ������������ �� ����� �� �������� �������������
�� ��� ������� ���� ��������� ���������� �� �����������
����� ���� ���� ���� ������������ �� �� ����� ���� ��� ������ ������� ����� ������ ��� �� ��� ��� ������
������ ����� ��� ���� �������� ��� ������� ����� ���� �� ���� ���� ��� ������� �� �� ������� �� ���� ������� ����
������������ ���������� ��� ���� ��������� �� �� �������� ������ �� ������� ���������� � ������� ����� �� ������
��������� ���� �� ����������� �� ������� ���������� ���������� �� ���������� ������ ��������� �� ��� ����� �� ��� ��
��������� ������� ���� �������� ��� �� ���� �� ���� ��� ����������� ����� ��� ����� �� ��� ���������� �� ��������
�� ��� ����� �� ������ �� ����� ���� ��� ���������� ��������� ���� �� ����� ���� �� ������ �� ��� ������ �������� ��
������
�����
�� �������
����������
��� ����� �� ������
�����������
�������� ����
��� ������������
�����
������
� ��������
�������
��� �����������
����������
������ ����� ������
�
The prize problems
�� ��� ���� ���� ������������� ��������� �� ���� ����������� ��� �� ��� ������� �������� ��� ������
������� ��������� ��� ����������� ���� �� �� ���� ��� ��� �� ����� �� ���� ���� �� �� ������ �� ����� �������� ���
��� �������� ��� ���� ��� ���� �� ���� ��� �������� �� ��� ���������� ����� ���� ��� ���� ���� ��� ���� ���� ����� ���
�� ��� ���� ���� � �� �������� ����� ������ ��� �� ������ �� ����� �� ���� ���������� �������� ��� ��� ��� ������
�� �� �������� �� ��� ���������� ��� �������� ����� ����� �������� ��� ��������� �� ��� ������ �� ����� �� ������ ��
���� � ���� ��� �������� ������ �� ���� ������ �������� ������ � � ��� � � ��� ���� ����� ����������� ��� ��� �����
�� ���� ����� ��� �� ��� ���� ������ ����� ��� �������� �������� ����� �� ���� �� ��� ����� ���� �� ��� ���� ��������
�� ����� ���� �� ��� ����� ����� �� �� ����� ���� ��� ����������� �� ���� �� �������������� ��� � ��� ��� � �������� ���
����� ���� ��������� ��� ���� �� ���� ������� ��� ��� ����� ���� ������ ���� �� ���������� ����� ���� ����� ��� ���
��� �� ��� ���� ��� ���� ����� �� ������ �� ��� �� ��� �������� �� ��� ����� �� ����� �������� �� ���� ��� ������ � ���
����� ���� �� �� ���� ���� �� ��� ������ ��� ������������� ������������ �� ����������� ��������� ��������� �� ���
�������� �������� ���� �� �� ����� �� �� ����� �������� ����� ������� ���� ��� ���� ����� �� �� ���� �� ����� ���� ���
���������� �� ��� ���� �� ������ ���� ������ ������� ���� ��� ���� ����� ��� ���� ����� �� ����� ����� �� ��� ������
�� ��������� ������������� �� ����� �� ����� �� ����� ������������� �� �� ������� ����� ��� ����� ������������ ����� ����
���� ������� ��� ���������� ����� ��������� ������� �� ��� �������� ����� ���� �� ����� �������� � ������ ������� ��
��� ��������� �� ��� ����� ����� ���� �� �� ���� ������� �� ��� ���� ���� � �������� �� ������ �� ��� �� ��� �����
�� ���� ����� �� ����� ��� �� ����� ���� ��� ���� ���� ��� �� ���� ��� ��� ���� ���� ��� ����� � �� ���������� ��
������ ��� ����������� ���� ��� ���������� �� ��� ����� ������ ���� �� � ������ �� ���������� ��� ���� ��� ��� ����
�������������� ��� ���� �� ������� ����� ������ �� ��� ����� � �� �� �������� ��� ����� ����������� ���� � ������
�� ��������� �� ����� ��� ������ �� ��� ����������� ������ ������� �� ������ �� ��� ������� ���������� �������
�� ���� �� ��� ������������� ��������� �� ������� ��� �������� ����� �� ��� ������ ������ ����� ��� ���� �� ���
����� �� ���� �� ��� ������ ��������� ������
������������
�������
�� �������� �� ����� ��� �� ������� ������� �� �� � � ������ �� ������ ��� ������� ��������
�������
�� ������ �� ������������ ��� ���� �������� ��� ��������� ��� ����� �� ����������� ����� ���
���������� ���� ���� ���� ��� �������
�����
�����
�� ��������� ��������� �� ��� ����������� ��� ������� ���������������� �������
�� ��������� ��� ��� ����� ������� ������������ �� ������� ��������
�����
����
�� ��������� �� ����������� �������� �� ��� �������� ��������� ����� �� ������� ����������
�� ������� ������ ������� �� �������������� �������� ��� ��� ����� �� ��� ������� ���� ����������
������� ����� � ������� �������
����������� �� ������� �� ������� �� �������� �� ������ ��� �� ����������� ��������� ������� �� � ��� ��
����������� �������
������
�����
����
�������
�� �������� �� �������� ��� �� ��������� ��������� ��������� ������ ��� ������� �� ���� ��� ��
����������� ���������� ������ ��� ������� ��������
������
�� ���� ��� �� ��������������� ��������������� �� �������� �� �������� ������� ��������� ����� ���
���������������� �� ������� ������ �� ��������� ������� ������ �� ������� ������
� �����
20
�� ����������� ������� ������������ ������� �� ���� ������ ����� ��������
�� ������ ��� �� ��� �� ���� �� ���� ���������� ���������� ������� �� ��� ���� ��� �������������
���� ������� ��������
�� ���������� ��������������� ������ �������� �������� �������
���������� ������� ��� �� ���� ���� ������� �� ���� ������ ���� �� ������ ������ � ���� �� � ����� �� ��� �������
CMI ANNUAL REPORT
�
����
�� �������� ��� ���������� �� ���� ��� ����� ��������� �� ������� ��������
�������
�� �������� �� ����� ��� �� ������� �� ��� ������ ��� ����� ������ ��� ������������� ���������
��� ������� ������
�����
����
�� ����� ��� �� ������ �� ������ �� ������� ������������ ������� ����� �� ������� ��������
�� ������� ��� ������� ������������ �� ����� ����� ����� ��� ������� ������
����
���
�� ������������ �������� ���������� ��� ��������� ������� ������ �� ������ ������� �� ������� ������
�� �������� �������� ���������� �� ������� ����� �� ���� �������� �������� ������� ������ �� �������
��������
�� ������� ��� �� ��������� ��������� ������ �������� ��� ���������� ������������� �� �������
�����
�����
���
���
�����
�� ������� ��� �� ������� ������������� �� ��� �������� ������ �� ������������� ���� ������� ����
����
�� �������� ���������� ����������� �� ��� ������ ������� ����� ����� ���� ������ ���� �� �������
������
�� ����� ��� �������� �� ��������� ����� �� ��� ������� ���������� ��� ��������� ���� ����� �������
����� ����� ���� ������ ���� ������ ������� ��������
�� ���� ��� �� ������� ������� �� ���� ��������� ��� ���������� ����� �� ������� �����
����
�� ���������� ��� ��� ���������� ��������� �������� �� ���������� �������� �������� ������� �����
������ ��� �������
����
�� ������������������������ �������� ��� ���������� ������� ������ ������������ ���� �� ������
�� �������
�� ������ ��� � �������������� �� ��� ����� ����� ����� ������� �� ������ ��� ����� �� �������������
�������
�� �������� ������ ��� ����� ������ �� � � � �� ������� ��������� ������ ���� ����� ��������� ����
����� ����� ��� ������� ��������
�� �������� �������������������������������
����
����
�����
�����
�� �������� ���� ���� ��� ���� �� ��� ������� ���� �������� ��� �� ������� �� ��� �����������
�������������������������� ������������
�����
�� ��� ��� �� �������������� ������������ ������� ��������� ������ ������� ������ ��� �������
��������
�� �������� ��� ��� ��������� �� ��� �������� ��� � �� �� ��� ������ �� ����� �� ���� �� ��� �����
� � � � � �� ��������� ������ ���� �� �������� ������� ��������
���� ������ ��������� ������������ �� ���������� �� ������� �� ������������� ���������� ���������
������� ���� ��� ������������ �������� ������ �������
�� ����� ������� ��������� ����������� ����� ���� ���� ������ ���� ��� ���� � ������� �����
�����
����
���
���
����
�����
�����
�����
The prize problems
����� ������ � �������� �� ��� ����������� ��� ������� ���������� ������
���� ����������� ���� ������� ���������� ��� ��������� ���������� ���� ����� ����� ����� ���� ����
�� ����� ��������
�� ������������ ���� ��� ���������� �� ������� ��� ������ ���������� �� ����� ������������� ���� ��
������������� ���� �� ����������� �� ������� ��������
�� ������� ������� ������ �������� ��� ������� ������� ��������� ������� �������
�� ����� ������ ������ �������� �������� �������
�� ����� ���� ��� ��������� ����������� �� �� �������� ��� ������� ���������� ��������� ������� ����
�� ������������ �������� ������ ������� ������
THE YEAR 2004
21