MAC 2312 Fall 11 Ref: 637061
Exam 2 Review
Mr. Guillen
Exam 2 will be on 10/20/11 and covers the following sections: 7.1, 7.2, 7.4, 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5.
Evaluate the integral.
4 dx
1)
7 + 6x
∫
2)
∫
2
3)
∫
4)
∫
3
x4 + 1
dx
x5 + 5x
cos x dx
1 + 3 sin x
π/16
0
5)
6)
∫
∫
sec 2 4x
dx
3 + tan 4x
dx
x 3 + 8 ln x
1)
2)
3)
4)
5)
π/20
30 tan 5x dx
6)
0
7)
∫
8e(8 sin 2x)
dx
sec 2x
7)
8)
∫
sec x tan x
dx
5 + sec x
8)
9)
∫
49e 7x
dx
2 x
9)
10)
∫ x6e-x7 dx
10)
11)
∫
11)
12)
∫
e1/x
dx
2x2
π/20
(1 + etan 5x) sec 2 5x dx
12)
0
13)
∫
e4θ
dθ
1 + e4θ
13)
Solve the initial value problem.
dy
5
14)
= e-t sec2 (πe-t ), y(-ln 8) =
dt
π
14)
15)
dy
= et sin (et - 2), y(ln 2) = 0
dt
15)
16)
dy
= e9x cos e9x, y(0) = 0
dx
16)
17)
dy
= -8e-x sec e-x tan e-x, y(0) = 8 sec 1 + 5
dx
17)
18)
d2 y
= -3e-x, y(0) = -7, y′ (0) = 0
dx2
18)
19)
d2 y
= e2t + 3 sin t, y(0) = 0, y′(0) = 4
dt2
19)
20)
d2 y
-1
, y′(0) = -7
= 3 - e-t, y(1) =
2
e
dt
20)
Solve the differential equation.
dy 6y2
21)
=
x
dx
21)
22)
dy
= e4x - 4y
dx
22)
23)
dy
= 12 xy
dx
23)
dy
= 7y
dx
24)
25)
dy
= 6x5 e-y
dx
25)
26)
dy
= 5x4 cos2 y
dx
26)
27)
dy
= 3x2 sec y
dx
27)
24) x2
28)
dy
= 5x4 y - 1
dx
28)
29)
dy
= 7 cos x sec y
dx
29)
Solve the problem.
30) A certain radioactive isotope decays at a rate of 1% per 400 years. If t represents time in
years and y represents the amount of the isotope left, use the condition that y = 0.99y0 to
30)
find the value of k in the equation y = y0 ekt.
31) In a chemical reaction, the rate at which the amount of a reactant changes with time is
dy
proportional to the amount present, such that
= -0.7y, when t is measured in hours. If
dt
31)
there are 73 g of reactant present when t = 0, how many grams will be left after 4 hours?
Give your answer to the nearest tenth of a gram.
32) The intensity L(x) of light x ft beneath the surface of a lake satisfies the differential
dL
equation
= - 0.03L. At what depth, to the nearest foot, is the intensity one tenth the
dx
32)
intensity at the surface?
33) The barometric pressure p at an altitude of h miles above sea level satisfies the differential
dp
equation
= -0.2 p. If the pressure at sea level is 29.92 inches of mercury, find the
dh
33)
barometric pressure at 19,000 ft.
34) The amount of alcohol in the bloodstream, A, declines at a rate proportional to the
dA
amount, that is,
= - kA. If k = 0.6 for a particular person, how long will it take for his
dt
34)
alcohol concentration to decrease from 0.10% to 0.05%? Give your answer to the nearest
tenth of an hour.
Find the slowest growing and the fastest growing functions as x→∞.
35) y = x + 9
y = ex
35)
y = x3 + cos2 x
y = 4x
36) y = 2x 2 + 9x
y = ex
y = ex/2
y = log 9x
36)
37) y = 7x 10
y = ex
37)
y = ex-1
y = xex
38) y = x2 + 5x
y = x2
38)
x4 + x 3
y = 2x 2
y=
39) y = ln 8x
y = 3 ln x
1
y=
x
y=
39)
x
40) y = ex
y = ex/5
40)
y = xx
y = 5x
Evaluate the integral.
41)
∫ x csc2 3x dx
41)
42)
∫
11x sin x dx
42)
43)
∫
-6x cos 8x dx
43)
44)
∫
∞
e-x cos 3 x dx
44)
0
45)
∫ y2 sin 6y dy
45)
46)
∫ x3 cos 7x dx
46)
47)
∫ e5x cos 8x dx
47)
48)
∫ 4xex dx
48)
49)
50)
∫ x4 ln 6x dx
∫
3
∫
4
∫
1
49)
ln 8x dx
50)
7x ln x dx
51)
x4 ln 6x dx
52)
1
51)
2
52)
0
53)
∫
54)
∫ (x2 - 7x) ex dx
(2x-1) ln(21x) dx
Evaluate the integral by using a substitution prior to integration by parts.
1
x
55)
dx
x+1
0
∫
53)
54)
55)
56)
∫ x2
57)
∫
58)
∫ cos (ln x) dx
58)
59)
∫ ln (10x + 10x2) dx
59)
x + 8 dx
1 6x + 10
e
dx
2
Evaluate the integral.
π/9
60)
sin 3 9x dx
0
∫
61)
∫
π/2
∫
π/4
56)
57)
60)
cos5 4x dx
61)
sin 7 y dy
62)
-π/2
62)
0
63)
∫
π/2
∫
π
∫
π/2
cos2 8x sin 3 8x dx
63)
1 + cos x
dx
2
64)
0
64)
-π
65)
1 + cos x dx
65)
π/3
66)
∫
67)
∫ 8 sec4 x dx
67)
68)
∫ csc3 9t dt
68)
69)
∫ tan4 6t dt
69)
70)
∫ sec39x dx
70)
71)
∫ tan5 2x dx
71)
72)
∫ sin 9t sin 2t dt
72)
73)
∫ cos 5x cos 3x dx
73)
74)
∫
cot3 x
dx
10
66)
π/2
sin 5t sin 4t dt
74)
0
Use various trigonometric identities to simplify the expression then integrate.
75)
∫ cos5 θ sin 2θ dθ
75)
76)
∫ sin θ cos θ cos 4θ dθ
76)
Integrate the function.
1
dx
77)
9 - x2
0
∫
78)
79)
∫
∫
77)
3 dx
78)
2 + x2
1
-1
4
dt
79)
x2 + 4
dx
4x2
80)
1 + 16t2
80)
∫
81)
∫
82)
∫
64 - x2 dx
82)
83)
∫
dx
x 64x2 - 49
83)
84)
∫
x3
dx
x2 + 8
84)
85)
∫
86)
∫
0
dx
81)
(x2 + 16)3/2
1
t2 5 - t2
5
dt
64 dx
(64 - x2 ) 3/2
85)
86)
87)
∫
(x2 - 16)5/2
dt
87)
88)
∫
(36 - t2 )3/2
dt
t6
88)
89)
∫
x2
9 - x2
dx, x < 3
x4
89)
Use a trigonometric substitution to evaluate the integral.
dx
90)
x x2 - 36
∫
91)
∫
ln 3
0
et dt
36 + e2t
92)
∫
93)
∫
x
∫
dx
2 x 1+x
94)
95)
∫
91)
dx
92)
x (1 + 4 ln2 x)
dx
0
93)
25 + ln2 x
ln 3
94)
ex dx
e2x + 1
95)
Express the integrand as a sum of partial fractions and evaluate the integral.
5x + 40
96)
dx
2
x + 7x + 6
∫
97)
∫
8
3
90)
4
dx
2
x -4
96)
97)
98)
∫
x+8
dx
2
x + 2x
98)
99)
∫
6x - 26
dx
2
x - 5x - 24
99)
100)
∫
x3 - 9x
101)
∫
102)
∫
0
90 dx
100)
x3
x2 + 8x + 16
1
dx
x3
x2 + 10x + 25
101)
dx
102)
103)
∫
x2 (x2 - 16)
104)
∫
5x 2 + x + 16
dx
x3 + 4x
104)
105)
∫
6x2 + x + 4
dx
(x2 + 2)(x - 8)
105)
106)
∫
4x4 + 30x2 + 50
dx
x(x2 + 5)2
106)
dx
103)
Evaluate the integral by first performing long division on the integrand and then writing the proper fraction as a sum
of partial fractions.
x4
107)
dx
107)
x2 - 25
∫
108)
∫
8x3 + 8x 2 + 2
dx
x2 + x
Evaluate the integral.
cos t dt
109)
2
sin t - 10 sin t + 24
∫
110)
∫
-sin t (3 cos t + 4) dt
cos2 t - 16cos t + 64
Evaluate the integral by making a substitution and then using a table of integrals.
x dx
111)
9x2 + 24x + 16
∫
108)
109)
110)
111)
112)
∫
e2x
dx
2ex + 3
112)
113)
∫
ex
dx
e2x - 16
113)
Use reduction formulas to evaluate the integral.
114)
∫ 7 cos3 4x dx
114)
115)
∫ sin5 5x dx
115)
116)
∫ sin2 2x cos2 2x dx
116)
Answer Key
Testname: MAC_2312_FALL_11_EXAM_2_REVIEW
1)
2
ln -7 - 6x + C
3
2)
1
43
ln
5
7
3)
1
ln 1 + 3 sin x + C
3
4)
1
4
ln
4
3
5)
1
ln 3 + 8 ln x + C
8
6) 3 ln 2
1
7) e(8 sin 2x) + C
2
8) ln 5 + sec x + C
9) 7 7 e 7x + C
10) -
1 -x7
e
+C
7
11) -
e1/x
+C
2
12)
e
5
13)
ln (1 + e4θ)
+C
4
14) y =
-tan (πe-t ) + 5
π
15) y = -cos (et - 2) + 1
1
1
16) y = sin e9x - sin 1
9
9
17) y = 8 sec e-x + 5
18) y = -3e-x - 3x - 4
19) y =
e2t
13
1
t- 3 sin t +
4
2
4
20) y =
3t2
13
- e -t - 8t +
2
2
21) y =
-1
6ln x + C
1
ln (e4x + C)
4
23) y = (4x3/2 + C)2
24) y = Ce- 7/x
22) y =
25) y = ln (x6 + C)
26) y = tan -1 (x5 + C)
27) y = sin -1 (x3 + C)
Answer Key
Testname: MAC_2312_FALL_11_EXAM_2_REVIEW
28) y =
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
2
1 5
x +C +1
2
y = sin -1 (7 sin x + C)
-0.00003
4.4 g
77 ft
14.57 in.
1.2 hr
Slowest: y = x + 9
Fastest: y = 4 x
36) Slowest: y = log9 x
Fastest: y = ex and y = ex/2 grow at the same rate.
37) Slowest: y = 7x 10
Fastest: y = xex
38) They all grow at the same rate.
1
39) Slowest: y =
x
Fastest: y =
x
x/5
40) Slowest: y = e
Fastest: y = xx
41) -
1
1
x cot 3x + ln sin 3x + C
3
9
42) 11 sin x - 11x cos x + C
3
3
43) cos 8x - x sin 8x + C
32
4
44)
1
10
45) -
1 2
1
1
y cos 6y +
y sin 6y +
cos 6y + C
6
18
108
46)
1 3
3 2
6
6
x sin 7x +
x cos 7x x sin 7x cos 7x + C
7
49
343
2401
47)
e5x
[8 sin 8x + 5 cos 8x] + C
89
48) 4xex - 4ex + C
1
1 5
49) x5 ln 6x x +C
5
25
50) 5.45
51) 46.9
52) 0.32
53) x2 - x ln 21x -
x2
+x+C
2
54) ex[x2 - 9x + 9] + C
55) 0.39
(30x2 - 192x + 1024)(x + 8)3/2
56)
+C
105
Answer Key
Testname: MAC_2312_FALL_11_EXAM_2_REVIEW
57)
1
e 6x + 10 [
6
58)
x
[cos (ln x) + sin (ln x)] + C
2
6x + 10 - 1] + C
59) xln (10x + 10x2 ) + ln (x +1) - 2x + C
4
60)
27
61) 0
256 - 177 2
62)
560
63) 0
64) 4
65) 2 - 2
1
1
66) cot2 x ln sin x + C
20
10
67) 8 tan x +
68) -
8
tan 3 x + C
3
1
1
csc 9t cot 9t ln csc 9t + cot 9t + C
18
18
69)
1
1
tan 3 6t - tan 6t + t + C
18
6
70)
1
1
sec 9x tan 9x +
ln sec 9x + tan 9x + C
18
18
71)
1
1
1
tan 4 2x - tan 2 2x - ln cos x + C
8
4
2
72)
1
1
sin 7t sin 11t + C
14
22
73)
1
1
sin 2x +
sin 8x + C
4
16
74)
4
9
75) 76)
2
cos7 θ + C
7
1
1
cos 2θ cos 6θ + C
8
24
77) sin -1
1
3
78) 3 ln x + 2 + x2
79) 2tan -1 4
80)
81)
1
ln
4
x2 + 4 + x
x
16 16 + x2
82) 32 sin -1
+ C
-
x2 + 4
+ C
4x
+C
x 64 - x2
x
+
+C
2
8
Answer Key
Testname: MAC_2312_FALL_11_EXAM_2_REVIEW
83)
1
8
sec -1 x + C
7
7
84)
1 2
(x + 8)3/2 - 8 x2 + 8 + C
3
85) 86)
5 - t2
+C
5t
5 39
39
87) -
x3
48(x2 - 16)3/2
+C
5
36 - t2
+C
t
(9 - x2 )3/2
89) +C
27x3
88) -
90)
1
180
1
x
sec -1
+C
6
6
91) 0.050
1
92) tan -1 (2 ln x) + C
2
ln x
93) sinh-1
+C
5
94) tan -1
95) ln(3 +
x+C
10 ) - ln(1 +
(x + 1)7
96) ln
+ C
(x + 6)2
2)
97) 1.099
98)
1
x8
ln
+C
2
(x + 2)6
99) 2ln x - 8 + 4ln x + 3 + C
100) -10 ln x + 5ln x - 3 + 5ln x + 3 + C
x2
64
101)
- 16x + 48 ln x + 4 +
+C
2
x+4
102) 75 ln
103)
6
41
5
3
1
1
x-4
ln
+
+C
16x 128
x+4
104) 4 ln x +
1
1
x
ln x2 + 4 + tan -1
+C
2
2
2
105) 6 ln x - 8 +
x 2
2
tan -1
+C
2
2
106) 2 ln x + ln x2 + 5 + C
x3
125
107)
ln x - 5
+ 25x +
3
2
-
125
ln x + 5
2
+C
Answer Key
Testname: MAC_2312_FALL_11_EXAM_2_REVIEW
108) 4x2 - 2 ln x + 1 + 2 ln x + C
1
1
109) ln sin t - 6 - ln sin t - 4 + C
2
2
110) 3 ln cos t - 8 -
28
+C
cos t - 8
111)
1
4
ln(3x + 4) +
+C
9
3x + 4
112)
ex 3
- ln 2ex + 3
2
4
113)
1
4 - ex
ln
+C
8
ex + 4
114)
7
7
sin 4x sin 3 4x + C
4
12
+C
115) -
1
4
8
sin 4 5x cos 5x sin 2 5x cos 5x cos 5x + C
25
75
75
116) -
1
x
1
sin 2x cos3 2x + +
sin 4x + C
8
8 32
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