>c\ko`m .
Omdbjijh`omd^ D_`iodod`n \i_
@lp\odjin ( -i_ `_dodji
.), Api_\h`io\g D_`iodod`n
Diomj_p^odji
R` ijr `io`m dioj oc` kmjja kjmodji ja omdbjijh`omt) No\modib rdoc oc` ]\nd^ _`{idodjin ja ndi`' ^jndi`'
\i_ o\ib`io' d_`iodod`n #jm api_\h`io\g omdbjijh`omd^ `lp\odjin$ `h`mb`) Nop_`ion rdgg g`\mi cjr oj kmjq`
^`mo\di d_`iodod`n' pndib joc`m d_`iodod`n \i_ _`{idodjin) Adi\ggt' nop_`ion rdgg ]` \]g` njgq` omdbjijh`omd^
`lp\odjin ajm oc`o\' \gnj pndib d_`iodod`n \i_ _`{idodjin)
G`\midib J]e`^odq`n
ȸ pn` oc` api_\h`io\g d_`iodod`n oj kmjq` joc`m d_`iodod`n)
ȸ \kkgt oc` api_\h`io\g d_`iodod`n oj q\gp`n ja θ \i_ ncjr oc\o oc`t \m` omp`)
Lpjod`io D_`iodot
Di >c\ko`m ,' oc` ocm`` api_\h`io\g omdbjijh`omd^ api^odjin ndi`' ^jndi` \i_ o\ib`io r`m` diomj_p^`_) <gg
ocm`` api^odjin ^\i ]` _`{i`_ di o`mhn ja \ mdbco omd\ibg` jm oc` pido ^dm^g`)
rrr)^f,-)jmb
,1/
opposite
y
y
= = =y
hypotenuse
r
1
ad jacent
x
x
^jn θ =
= = =x
hypotenuse
r
1
opposite
y
ndi θ
o\i θ =
= =
ad jacent
x
^jn θ
ndi θ =
y
ndi θ
Oc` Lpjod`io D_`iodot dn o\i θ = ^jn
θ ) R` n`` oc\o ocdn dn omp` ]`^\pn` o\ib`io dn `lp\g oj x ' di oc` pido
^dm^g`) R` fijr oc\o y dn `lp\g oj oc` ndi` q\gp`n ja θ \i_ x dn `lp\g oj oc` ^jndi` q\gp`n ja θ) Np]nodopodib
ndi θ ajm y \i_ ^jn θ ajm x \i_ r` c\q` \ i`r d_`iodot)
@s\hkg` ,5 Kmjq` o\i θ =
ndi θ
^jn θ
]t pndib θ = 45◦ )
Njgpodji5 Kgpbbdib di 45◦ ' r` c\q`5 o\i 45◦ =
\i_ ndhkgdat ]joc nd_`n)
ndi 45◦
^jn 45◦
=
√
2
√2
2
2
=
√
2
2
÷
√
2
2
=
√
2
2
·
√2
2
ndi 45◦
^jn 45◦ )
Oc`i' np]nodopo` `\^c api^odji rdoc don \^op\g q\gp`
= 1 \i_ r` fijr oc\o o\i 45◦ = 1' nj ocdn dn omp`)
@s\hkg` -5 Ncjr oc\o o\i 90◦ dn pi_`{i`_ pndib oc` Lpjod`io D_`iodot)
Njgpodji5 o\i 90◦ =
ndi 90◦
^jn 90◦
= 10 ' ]`^\pn` tjp ^\iijo _dqd_` ]t u`mj' oc` o\ib`io \o 90◦ dn pi_`{i`_)
M`^dkmj^\g D_`iodod`n
>c\ko`m , \gnj diomj_p^`_ pn oj oc` d_`\ oc\o oc` ocm`` api_\h`io\g m`^dkmj^\g omdbjijh`omd^ api^odjin \m`
^jn`^\io #^n^$' n`^\io #n`^$ \i_ ^jo\ib`io #^jo$ \i_ \m` _`{i`_ \n5
^n^ θ =
1
1
1
n`^ θ =
^jo θ =
ndi θ
^jn θ
o\i θ
Da r` \kkgt oc` Lpjod`io D_`iodot oj oc` m`^dkmj^\g ja o\ib`io' \i \__dodji\g lpjod`io dn ^m`\o`_5
^jo θ =
1
1
^jn θ
= ndi θ =
o\i θ
ndi θ
^jn θ
@s\hkg` .5 Kmjq` o\i θ = ndi θ n`^ θ
Njgpodji5 Admno' tjp ncjpg_ ^c\ib` `q`mtocdib dioj ndi` \i_ ^jndi`) A``g am`` oj rjmf amjh `doc`m nd_`' \n
gjib \n oc` `i_ m`npgo amjh ]joc nd_`n `i_n pk ]`dib oc` n\h`)
,10
rrr)^f,-)jmb
o\i θ = ndi θ n`^ θ
1
= ndi θ ·
^jn θ
ndi θ
=
^jn θ
C`m`' r` `i_ pk rdoc oc` Lpjod`io D_`iodot' rcd^c r` fijr dn omp`) Oc`m`ajm`' ocdn d_`iodot dn \gnj omp`
\i_ r` \m` {idnc`_)
@s\hkg` /5 Bdq`i ndi θ = −
√
6
5 '
{i_ n`^ θ)
Njgpodji5
N`^\io dn oc` m`^dkmj^\g ja ^jndi`' nj r` i``_ oj {i_ oc` \_e\^`io nd_`) R` \m` bdq`i oc` jkkjndo`
√
nd_`' 6 \i_ oc` ctkjo`ipn`' 5) =`^\pn` θ dn di oc` ajpmoc lp\_m\io' ^jndi` rdgg ]` kjndodq`) Amjh oc`
Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h' oc` ocdm_ nd_` dn5
! √ "2
6 + b2 = 52
6 + b2 = 25
b2 = 19
√
b = 19
amjh ocdn r` ^\i ijr {i_ ^jn θ =
√
19
5 )
Ndi^` n`^\io dn oc` m`^dkmj^\g ja ^jndi`' n`^ θ =
√5 )
19
Ktoc\bjm`\i D_`iodot
Pndib oc` api_\h`io\g omdb api^odjin' ndi` \i_ ^jndi` \i_ njh` ]\nd^ \gb`]m\ ^\i m`q`\g njh` dio`m`nodib
omdbjijh`omd^ m`g\odjincdkn) Ijo` rc`i \ omdb api^odji np^c \n ndi θ dn hpgodkgd`_ ]t don`ga' oc` h\oc`h\od^\g
^jiq`iodji dn oj rmdo` do \n ndi2 θ) #ndi θ2 ^\i ]` dio`mkm`o`_ \n oc` ndi` ja oc` nlp\m` ja oc` \ibg`' \i_ dn
oc`m`ajm` \qjd_`_)$
ndi2 θ =
y2
r2
\i_ ^jn2 θ =
x2
r2
jm ndi2 θ + ^jn2 θ =
y2
r2
+
x2
r2
=
Pndib oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h ajm oc` omd\ibg` \]jq`5
2
2
x2 +y2
rr
2
x + y2
= r2
2
2
Oc`i' _dqd_` ]joc nd_`n ]t r2 , x r+y
= rr2 = 1) Nj' ]`^\pn` x r+y
= 1, ndi2 θ + ^jn2 θ \gnj `lp\gn 1)
2
2
Ocdn dn fijri \n oc` Omdbjijh`omd^ Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h jm oc` Ktoc\bjm`\i D_`iodot \i_ dn rmdoo`i
ndi2 θ + ^jn2 θ = 1) <go`mi\odq` ajmhn ja oc` Oc`jm`h \m`5 1 + ^jo2 θ = ^n^2 θ \i_ o\i2 θ + 1 = n`^2 θ) Oc`
n`^ji_ ajmh dn ajpi_ ]t o\fdib oc` jmdbdi\g ajmh \i_ _dqd_dib `\^c ja oc` o`mhn ]t ndi2 θ' rcdg` oc` ocdm_
ajmh dn ajpi_ ]t _dqd_dib \gg oc` o`mhn ja oc` {mno ]t ^jn2 θ)
2
@s\hkg` 05 Pn` 30◦ oj ncjr oc\o ndi2 θ + ^jn2 θ = 1 cjg_n omp`)
Njgpodji5 Kgpb di 30◦ \i_ {i_ oc` q\gp`n ja ndi 30◦ \i_ ^jn 30◦ )
ndi2 30◦ + ^jn2 30◦
# 1 $2  √3 2


+ 

2
2
1 3
+ =1
4 4
rrr)^f,-)jmb
,11
@q`i \i_ J__ D_`iodod`n
Api^odjin \m` `q`i jm j__ _`k`i_dib ji cjr oc` `i_ ]`c\qdjm ja oc` bm\kcd^\g m`km`n`io\odji gjjfn) Ajm
`s\hkg`' y = x2 dn ^jind_`m`_ \i `q`i api^odji ]`^\pn` oc` `i_n ja oc` k\m\]jg\ ]joc kjdio di oc` n\h`
_dm`^odji \i_ oc` k\m\]jg\ dn nthh`omd^ \]jpo oc` y−\sdn) y = x3 dn ^jind_`m`_ \i j__ api^odji ajm oc`
jkkjndo` m`\nji) Oc` `i_n ja \ ^p]d^ api^odji kjdio di jkkjndo` _dm`^odjin \i_ oc`m`ajm` oc` k\m\]jg\ dn
ijo nthh`omd^ \]jpo oc` y−\sdn) Rc\o \]jpo oc` omdb api^odjin: Oc`t _j ijo c\q` `skji`ion oj bdq` pn
oc` `q`i jm j__ ^gp` #rc`i oc` _`bm`` dn `q`i' \ api^odji dn `q`i' rc`i oc` _`bm`` dn j__' \ api^odji dn
j__$)
@q`i Api^odji
J__ Api^odji
y = (−x)2 = x2
y = (−x)3 = −x3
G`oȱn ^jind_`m ndi`) No\mo rdoc ndi(−x)) Rdgg do `lp\g ndi x 1jm − ndi x: Kgpb di \ ^jpkg` ja q\gp`n oj n``)
ndi(−30◦ ) = ndi 330◦ = − = − ndi 30◦
2√
2
ndi(−135◦ ) = ndi 225◦ = −
= − ndi 135◦
2
Amjh ocdn r` n`` oc\o ndi` dn j__) Oc`m`ajm`' ndi(−x) = − ndi x' ajm \it q\gp` ja x) Ajm ^jndi`' r` rdgg kgpb
di \ ^jpkg` ja q\gp`n oj _`o`mhdi` da doȱn `q`i jm j__)
√
3
◦
◦
^jn(−30 ) = ^jn 330 =
= ^jn 30◦
2√
2
^jn(−135◦ ) = ^jn 225◦ = −
= ^jn 135◦
2
Ocdn o`ggn pn oc\o oc` ^jndi` dn `q`i) Oc`m`ajm`' ^jn(−x) = ^jn x' ajm \it q\gp` ja x) Oc` joc`m ajpm
omdbjijh`omd^ api^odjin \m` \n ajggjrn5
o\i(−x) = − o\i x
^n^(−x) = − ^n^ x
n`^(−x) = n`^ x
^jo(−x) = − ^jo x
Ijod^` oc\o ^jn`^\io dn j__ gdf` ndi` \i_ n`^\io dn `q`i gdf` ^jndi`)
@s\hkg` 15 Da ^jn(−x) =
3
4
\i_ o\i(−x) = −
√
7
3 '
{i_ ndi x)
Njgpodji5 R` fijr oc\o ndi` dn j__) >jndi` dn `q`i' nj ^jn x =
Oc`m`ajm`' ndi` dn kjndodq` \i_ ndi x =
√
7
4 )
3
4)
O\ib`io dn j__' nj o\i x =
√
7
3 )
>japi^odji D_`iodod`n
M`^\gg oc\o orj \ibg`n \m` ^jhkg`h`io\mt da oc`dm nph dn 90◦ ) Di `q`mt omd\ibg`' oc` nph ja oc` dio`mdjm
\ibg`n dn 180◦ \i_ oc` mdbco \ibg` c\n \ h`\npm` ja 90◦ ) Oc`m`ajm`' oc` orj m`h\didib \^po` \ibg`n ja
oc` omd\ibg` c\q` \ nph `lp\g oj 90◦ ' \i_ \m` ^jhkg`h`io\mt) G`oȱn `skgjm` ocdn ^ji^`ko oj d_`iodat oc`
m`g\odjincdk ]`or``i \ api^odji ja ji` \ibg` \i_ oc` api^odji ja don ^jhkg`h`io di \it mdbco omd\ibg`' jm
oc` ^japi^odji d_`iodod`n) < ^japi^odji dn \ k\dm ja omdbjijh`omd^ api^odjin oc\o \m` `lp\g rc`i oc` q\md\]g`
di ji` api^odji dn oc` ^jhkg`h`io di oc` joc`m)
Di $ABC, ∠C dn \ mdbco \ibg`' ∠A \i_ ∠B \m` ^jhkg`h`io\mt)
,12
rrr)^f,-)jmb
>c\ko`m , diomj_p^`_ oc` ^japi^odji d_`iodod`n #n`^odji ,)3$ \i_ ]`^\pn` ∠A \i_ ∠B \m` ^jhkg`h`io\mt' do
r\n ajpi_ oc\o ndi A = ^jn B, ^jn A = ndi B, o\i A =!^jo B,"^jo A = o\i B, ^n^! A = n`^
" B \i_ n`^ A
! = ^n^
" B) Ajm
π
π
π
π
`\^c ja oc` \]jq` ∠A = 2 − ∠B) Oj b`i`m\gdu`' ndi 2 − θ = ^jn θ \i_ ^jn 2 − θ = ndi θ, o\i 2 − θ = ^jo θ
!
"
!
"
!
"
\i_ ^jo 2π − θ = o\i θ, ^n^ 2π − θ = n`^ θ \i_ n`^ 2π − θ = ^n^ θ)
Oc` ajggjrdib bm\kc m`km`n`ion orj ^jhkg`o` ^t^g`n ja y = ndi x \i_ y = ^jn θ)
Ijod^` oc\o \ kc\n` ncdao ja 2π ji y = ^jn x' rjpg_ h\f` oc`n` bm\kcn `s\^ogt oc` n\h`) Oc`n` ^japi^odji
d_`iodod`n cjg_ omp` ajm \gg m`\g iph]`mn ajm rcd^c ]joc nd_`n ja oc` `lp\odji \m` _`{i`_)
@s\hkg` 25 Pn` oc` ^japi^odji d_`iodod`n oj `q\gp\o` `\^c ja oc` ajggjrdib `skm`nndjin5
!
"
\) Da o\i 2π − θ = −4.26 _`o`mhdi` ^jo θ
!
"
]) Da ndi θ = 0.91 _`o`mhdi` ^jn 2π − θ )
Njgpodji5
!
"
\) o\i 2π − θ = ^jo θ oc`m`ajm` ^jo θ = −4.26
!
"
!
"
]) ^jn 2π − θ = ndi θ oc`m`ajm` ^jn 2π − θ = 0.91
!
"
@s\hkg` 35 Ncjr ndi 2π − x = ^jn(−x) dn omp`)
!
"
Njgpodji5 Pndib oc` d_`iodod`n r` c\q` _`mdq`_ di ocdn n`^odji' ndi 2π − x = ^jn x' \i_ r` fijr oc\o ^jndi`
dn \i `q`i api^odji nj ^jn(−x) = ^jn x) Oc`m`ajm`' `\^c nd_` dn `lp\g oj ^jn x \i_ ocpn `lp\g oj `\^c joc`m)
Kjdion oj >jind_`m
ȸ Rct _j tjp ocdif n`^\io dn `q`i gdf` ^jndi`:
ȸ Cjr ^jpg_ tjp ncjr oc\o o\ib`io dn j__:
rrr)^f,-)jmb
,13
M`qd`r Lp`nodjin
,)
-)
.)
/)
0)
Pn` oc`
D_`iodot oj ncjr oc\o oc` o\i 270◦ dn pi_`{i`_)
! Lpjod`io
"
Da ^jn 2π − x = 45 ' {i_ ndi(−x))
5
5
Da o\i(−x) = − 12
!\i_ ndi
" x = − 13 ' {i_ ^jn x)
π
Ndhkgdat n`^ x ^jn 2 − x )
Q`mdat ndi2 θ + ^jn2 θ = 1 pndib5
#\$ oc` nd_`n 5, 12' \i_ 13 ja \ mdbco omd\ibg`' di oc` {mno lp\_m\io
#]$ oc` m\odjn amjh \ 30 − 60 − 90 omd\ibg`
1) Kmjq` 1 + o\i2 θ = n`^2 θ pndib oc` Ktoc\bjm`\i D_`iodot
15
2) Da ^n^ z = 17
8 \i_ ^jn z = − 17 ' {i_ ^jo z)
3) A\^ojm5
#\$ ndi2 θ − ^jn2 θ
#]$ ndi2 θ + 6 ndi θ + 8
θ−^jn θ
4) Ndhkgdat ndi
pndib oc` omdb d_`iodod`n
ndi2 θ−^jn2 θ
^jn x
,+) M`rmdo` n`^ x−1 nj oc\o do dn jigt di o`mhn ja ^jndi`) Ndhkgdat ^jhkg`o`gt)
,,) Kmjq` oc\o o\ib`io dn \i j__ api^odji)
4
4
M`qd`r <inr`mn
,)
-)
.)
/)
ndi 270
−1
◦
◦
o\i 270
! = ^jn
" 270◦ = 0 ' tjp ^\iijo _dqd_` ]t u`mj' oc`m`ajm` o\i 270 dn pi_`{i`_)
Da ^jn 2π − x = 45 ' oc`i' ]t oc` ^japi^odji d_`iodod`n' ndi x = 45 ) =`^\pn` ndi` dn j__' ndi(−x) = − 45 )
5
5
5
Da o\i(−x) = − 12
' oc`i o\i x = 12
) =`^\pn` ndi x = − 13
' ^jndi` dn \gnj i`b\odq`' nj ^jn x = − 12
13 )
#
$
Pn` oc` m`^dkmj^\g \i_ ^japi^odji d_`iodod`n oj ndhkgdat
π
n`^ x ^jn
−x
2
1
· ndi x
^jn x
ndi x
^jn x
o\i x
◦
0) #\$ Pndib oc` nd_`n 0' ,-' \i_ ,. \i_ di oc` {mno lp\_m\io' do _j`niȱo m`\ggt h\oo`m rcd^c dn ^jndi`
! "2 ! "2
5
25
jm ndi`) Nj' ndi2 θ + ^jn2 θ = 1 ]`^jh`n 13
+ 12
= 1) Ndhkgdatdib' r` b`o5 169
+ 144
13
169 = 1' \i_
169
{i\ggt 169 = 1)
! " 2 # √ $2
#]$ ndi2 θ + ^jn2 θ = 1 ]`^jh`n 12 + 23 = 1) Ndhkgdatdib r` b`o5 14 + 34 = 1 \i_ 44 = 1)
1) Oj kmjq` o\i2 θ + 1 = n`^2 θ' {mno pn`
ndi θ
^jn θ
= o\i
θ \i_ ^c\ib` n`^2 θ =
o\i2 θ + 1 = n`^2 θ
1
)
^jn2 θ
ndi2 θ
1
+1=
^jn2 θ
^jn2 θ
ndi2 θ
^jn2 θ
1
+
=
^jn2 θ ^jn2 θ
^jn2 θ
ndi2 θ + ^jn2 θ = 1
15
8
8
15
2) Da ^n^ z = 17
8 \i_ ^jn z = − 17 ' oc`i ndi z = 17 \i_ o\i z = − 15 ) Oc`m`ajm` ^jo z = − 8 )
3) #\$ A\^ojm ndi2 θ − ^jn2 θ pndib oc`
_dz`m`i^` ja nlp\m`n)
ndi2 θ − ^jn2 θ = (ndi θ + ^jn θ)(ndi θ − ^jn θ)
#]$ ndi2 θ + 6 ndi θ + 8 = (ndi θ + 4)(ndi θ + 2)
,14
rrr)^f,-)jmb
4) Tjp rdgg i``_ oj a\^ojm \i_ pn` 4oc` ndi2 4θ + ^jn2 θ = 1 d_`iodot)
ndi θ − ^jn θ
ndi2 θ − ^jn2 θ
(ndi2 θ − ^jn2 θ)(ndi2 θ + ^jn2 θ)
=
ndi2 θ − ^jn2 θ
2
= ndi θ + ^jn2 θ
=1
,+) Oj m`rmdo`
^jn x
n`^ x−1
nj
di o`mhn
ja ^jndi`' no\mo rdoc ^c\ibdib n`^\io oj ^jndi`)
^jndoxdn jigt ^jn
x
= 1
Ijr' ndhkgdat oc` _`ijhdi\ojm.
n`^ x − 1
^jn x − 1
^jn x
^jn x
= 1−^jn x
1
^jn x − 1
^jn x
Hpgodkgt ]t oc` m`^dkmj^\g
^jn x
1−^jn x
^jn x
= ^jn x ÷
1−^jn x
^jn x
= ^jn x ·
^jn x
1−^jn x
=
^jn2 x
1−^jn x
,,) Oc` `\nd`no r\t oj kmjq` oc\o o\ib`io dn j__ oj ]m`\f do _jri' pndib oc` Lpjod`io D_`iodot)
ndi(−x)
o\i(−x) =
amjh ocdn no\o`h`io' r` i``_ oj ncjr oc\o o\i(−x) = − o\i x
^jn(−x)
− ndi x
=
]`^\pn` ndi(−x) = − ndi x \i_ ^jn(−x) = ^jn x
^jn x
= − o\i x
.)- Kmjqdib D_`iodod`n
G`\midib J]e`^odq`n
ȸ Kmjq` d_`iodod`n pndib n`q`m\g o`^cidlp`n)
Rjmfdib rdoc Omdbjijh`omd^ D_`iodod`n
?pmdib oc` ^jpmn`' tjp rdgg n`` ^jhkg`s omdbjijh`omd^ `skm`nndjin) Jao`i' ^jhkg`s omdbjijh`omd^ `skm`n(
ndjin ^\i ]` `lpdq\g`io oj g`nn ^jhkg`s `skm`nndjin) Oc` kmj^`nn ajm ncjrdib orj omdbjijh`omd^ `skm`nndjin
oj ]` `lpdq\g`io #m`b\m_g`nn ja oc` q\gp` ja oc` \ibg`$ dn fijri \n q\gd_\odib jm kmjqdib omdbjijh`omd^
d_`iodod`n)
Oc`m` \m` n`q`m\g jkodjin \ nop_`io ^\i pn` rc`i kmjqdib \ omdbjijh`omd^ d_`iodot)
Jkodji Ji`5 Jao`i ji` ja oc` no`kn ajm kmjqdib d_`iodod`n dn oj ^c\ib` `\^c o`mh dioj oc`dm ndi` \i_ ^jndi`
`lpdq\g`ion5
@s\hkg` ,5 Kmjq` oc` d_`iodot5 ^n^ θ × o\i θ = n`^ θ
Njgpodji5 M`_p^dib `\^c nd_` n`k\m\o`gt) Do hdbco ]` c`gkapg oj kpo \ gdi` _jri' ocmjpbc oc` `lp\gn ndbi)
=`^\pn` r` \m` kmjqdib ocdn d_`iodot' r` _jiȱo fijr da oc` orj nd_`n \m` `lp\g' nj r\do piodg oc` `i_ oj
di^gp_` oc` `lp\gdot)
^n^ x × o\i x n`^ x
1
ndi x
1
ndi x × ^jn
x
^jn x
!
1
ndi!
x
1
!
ndi!
x × ^jn x
^jn x
1
^jn x
1
^jn x
<o oc` `i_ r` `i_`_ pk rdoc oc` n\h` ocdib' nj r` fijr oc\o ocdn dn \ q\gd_ d_`iodot)
rrr)^f,-)jmb
,2+
Ijod^` rc`i rjmfdib rdoc d_`iodod`n' pigdf` `lp\odjin' ^jiq`mndjin \i_ h\oc`h\od^\g jk`m\odjin \m` k`m(
ajmh`_ jigt ji ji` nd_` ja oc` d_`iodot) Di hjm` ^jhkg`s d_`iodod`n njh`odh`n ]joc nd_`n ja oc` d_`iodot
\m` ndhkgd{`_ jm `sk\i_`_) Oc` ocjpbco kmj^`nn ajm `no\]gdncdib d_`iodod`n dn oj qd`r `\^c nd_` ja oc` d_`i(
odot n`k\m\o`gt' \i_ \o oc` `i_ oj ncjr oc\o ]joc nd_`n _j di a\^o om\inajmh dioj d_`iod^\g h\oc`h\od^\g
no\o`h`ion)
Jkodji Orj5 Pn` oc` Omdbjijh`omd^ Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h \i_ joc`m Api_\h`io\g D_`iodod`n)
@s\hkg` -5 Kmjq` oc` d_`iodot5 (1 − ^jn2 x)(1 + ^jo2 x) = 1
Njgpodji5 Pn` oc` Ktoc\bjm`\i D_`iodot \i_ don \go`mi\o` ajmh) H\idkpg\o` ndi2 θ + ^jn2 θ = 1 oj ]`
ndi2 θ = 1 − ^jn2 θ) <gnj np]nodopo` ^n^2 x ajm 1 + ^jo2 x' oc`i ^mjnn(^\i^`g)
(1 − ^jn2 x)(1 + ^jo2 x)
ndi2 x · ^n^2 x
ndi2 x · ndi12 x
1
1
1
1
1
Jkodji Ocm``5 Rc`i rjmfdib rdoc d_`iodod`n rc`m` oc`m` \m` am\^odjin( ^jh]di` pndib \gb`]m\d^ o`^cidlp`n
ajm \__dib `skm`nndjin rdoc pigdf` _`ijhdi\ojmn5
@s\hkg` .5 Kmjq` oc` d_`iodot5
ndi θ
1+^jn θ
+
1+^jn θ
ndi θ
= 2 ^n^ θ)
Njgpodji5 >jh]di` oc` orj am\^odjin ji oc` g`ao nd_` ja oc` `lp\odji ]t {i_dib oc` ^jhhji _`ijhdi\ojm5
(1 + ^jn θ) × ndi θ' \i_ oc` ^c\ib` oc` mdbco nd_` dioj o`mhn ja ndi`)
ndi θ
ndi θ
·
1+^jn θ
ndi θ
1+^jn θ + ndi θ
1+^jn θ 1+^jn θ
ndi θ
1+^jn θ + ndi θ · 1+^jn θ
2
ndi θ+(1+^jn θ)2
ndi θ(1+^jn θ)
2 ^n^ θ
2 ^n^ θ
2 ^n^ θ
Ijr' r` i``_ oj \kkgt \ijoc`m \gb`]m\d^ o`^cidlp`' AJDG) <gr\tn g`\q` oc` _`ijhdi\ojm a\^ojm`_' ]`^\pn`
tjp hdbco ]` \]g` oj ^\i^`g njh`ocdib jpo \o oc` `i_)
ndi2 θ+1+2 ^jn θ+^jn2 θ
ndi θ(1+^jn θ)
2 ^n^ θ
Pndib oc` n`^ji_ jkodji' np]nodopo` ndi2 θ + ^jn2 θ = 1 \i_ ndhkgdat)
1+1+2 ^jn θ
ndi θ(1+^jn θ)
2+2 ^jn θ
ndi θ(1+^jn θ)
2(1+^jn θ)
ndi θ(1+^jn θ)
2
ndi θ
2 ^n^ θ
2 ^n^ θ
2 ^n^ θ
2
ndi θ
Jkodji Ajpm5 Da kjnnd]g`' a\^ojm omdbjijh`omd^ `skm`nndjin) <^op\ggt kmj^`_pm` ajpm r\n pn`_ di oc` \]jq`
2(1+^jn θ)
^jn θ
`s\hkg`5 ndi2+2
= 2 ^n^ θ ^\i ]` a\^ojm`_ oj ndi θ(1+^jn θ) = 2 ^n^ θ \i_ di ocdn ndop\odji' oc` a\^ojmn
θ(1+^jn θ)
^\i^`g `\^c joc`m)
@s\hkg` /5 Kmjq` oc` d_`iodot5
Njgpodji5 >c\ib` ^jo θ oj
1
o\i θ
1+o\i θ
(1+^jo θ)
= o\i θ)
\i_ {i_ \ ^jhhji _`ijhdi\ojm)
1 + o\i θ
!
" = o\i θ
1
1 + o\i
θ
1 + o\i θ
!
" = o\i θ
o\i θ
1
o\i θ + o\i θ
jm
,2,
1 + o\i θ
o\i θ+1
o\i θ
= o\i θ
rrr)^f,-)jmb
Ijr diq`mo oc` _`ijhdi\ojm \i_ hpgodkgt)
o\i θ(1 + o\i θ)
= o\i θ
o\i θ + 1
o\i θ = o\i θ
O`^cijgjbt Ijo`
< bm\kcdib ^\g^pg\ojm ^\i c`gk kmjqd_` oc` ^jmm`^oi`nn ja \i d_`iodot) Ajm `s\hkg` gjjfdib \o5 ^n^ x×o\i x =
n`^ x' {mno bm\kc y = ^n^ x × o\i x' \i_ oc`i bm\kc y = n`^ x) @s\hdidib oc` qd`rdib n^m``i ajm `\^c
_`hjinom\o`n oc\o oc` m`npgon kmj_p^` oc` n\h` bm\kc)
Oj nphh\mdu`' rc`i q`mdatdib \ omdbjijh`omd^ d_`iodot' pn` oc` ajggjrdib odkn5
,)
-)
.)
/)
0)
Rjmf ji ji` nd_` ja oc` d_`iodot( pnp\ggt oc` hjm` ^jhkgd^\o`_ gjjfdib nd_`)
Omt m`rmdodib \gg bdq`i `skm`nndjin di o`mhn ja ndi` \i_ ^jndi`)
Da oc`m` \m` am\^odjin diqjgq`_' ^jh]di` oc`h)
<ao`m ^jh]didib am\^odjin' da oc` m`npgodib am\^odji ^\i ]` m`_p^`_' m`_p^` do)
Oc` bj\g dn oj h\f` ji` nd_` gjjf `s\^ogt gdf` oc` joc`mȮnj \n tjp ^c\ib` ji` nd_` ja oc` d_`iodot'
gjjf \o oc` joc`m nd_` ajm \ kjo`iod\g cdio oj rc\o oj _j i`so) Da tjp \m` nophk`_' rjmf rdoc oc`
joc`m nd_`) ?jiȱo gdhdo tjpmn`ga oj rjmfdib jigt ji oc` g`ao nd_`' \ kmj]g`h hdbco m`lpdm` tjp oj rjmf
ji oc` mdbco)
Kjdion oj >jind_`m
ȸ <m` oc`m` joc`m o`^cidlp`n oc\o tjp ^jpg_ pn` oj kmjq` d_`iodod`n:
ȸ Rc\o `gn`' ]`nd_`n rc\o dn gdno`_ di ocdn n`^odji' _j tjp ocdif rjpg_ ]` pn`apg di kmjqdib d_`iodod`n:
rrr)^f,-)jmb
,2-
M`qd`r Lp`nodjin
Kmjq` oc` ajggjrdib d_`iodod`n omp`5
,)
-)
.)
/)
0)
1)
2)
3)
4)
,+)
ndi x o\i x + ^jn x = n`^ x
^jn x − ^jn x ndi2 x = ^jn3 x
1+^jn x
ndi x
1+^jn x + ndi x = 2 ^n^ x
ndi x
1−^jn x
1+^jn x = ndi x
1
1
2
1+^jn a + 1−^jn a = 2 + 2 ^jo a
4
2
4
^jn b − ndi b = 1 − 2 ndi b
ndi y+^jn y
y−ndi y
− ^jn^jn
= n`^ y ^n^ y
ndi y
y
1−ndi x
2
(n`^ x − o\i x) = 1+ndi x
Ncjr oc\o 2 ndi x ^jn x = ndi 2x dn omp` pndib 5π
6 )
Pn` oc` omdb d_`iodod`n oj kmjq` n`^ x ^jo x = ^n^ x
M`qd`r <inr`mn
,) No`k ,5 >c\ib` `q`mtocdib dioj ndi` \i_ ^jndi`
ndi x o\i x + ^jn x = n`^ x
ndi x
1
ndi x ·
+ ^jn x =
^jn x
^jn x
No`k -5 Bdq` `q`mtocdib \ ^jhhji _`ijhdi\ojm' ^jn x)
ndi2 x ^jn2 x
1
+
=
^jn x
^jn x
^jn x
No`k .5 =`^\pn` oc` _`ijhdi\ojmn \m` \gg oc` n\h`' r` ^\i `gdhdi\o` oc`h)
ndi2 x + ^jn2 x = 1
R` fijr ocdn dn omp` ]`^\pn` do dn oc` Omdb Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h
-) No`k ,5 Kpgg jpo \ ^jn x
^jn x − ^jn x ndi2 x = ^jn3 x
^jn x(1 − ndi2 x) = ^jn3 x
No`k -5 R` fijr ndi2 x + ^jn2 x = 1' nj ^jn2 x = 1 − ndi2 x dn \gnj omp`' oc`m`ajm` ^jn x(^jn2 x) = ^jn3 x)
Ocdn' ja ^jpmn`' dn omp`' r` \m` _ji`
.) No`k ,5 >c\ib` `q`mtocdib di oj ndi` \i_ ^jndi` \i_ {i_ \ ^jhhji _`ijhdi\ojm ajm g`ao c\i_ nd_`)
ndi x
1 + ^jn x
+
= 2 ^n^ x
1 + ^jn x
ndi x
ndi x
1 + ^jn x
2
+
=
← G>? : ndi x(1 + ^jn x)
1 + ^jn x
ndi x
ndi x
ndi2 x + (1 + ^jn x)2
ndi x(1 + ^jn x)
No`k -5 Rjmfdib rdoc oc` g`ao nd_`' AJDG \i_ ndhkgdat)
,2.
rrr)^f,-)jmb
ndi2 x + 1 + 2 ^jn x + ^jn2 x
ndi x(1 + ^jn x)
2
ndi x + ^jn2 x + 1 + 2 ^jn x
ndi x(1 + ^jn x)
1 + 1 + 2 ^jn x
ndi x(1 + ^jn x)
2 + 2 ^jn x
ndi x(1 + ^jn x)
2(1 + ^jn x)
ndi x(1 + ^jn x)
2
ndi x
/) No`k ,5 >mjnn(hpgodkgt
No`k -5 A\^ojm \i_ ndhkgdat
→ AJDG (1 + ^jn x)2
→ hjq` ^jn2 x
→ ndi2 x + ^jn2 x = 1
→ \__
→ a\ojm jpo 2
→ ^\i^`g (1 + ^jn x)
ndi x
1 − ^jn x
=
1 + ^jn x
ndi x
ndi2 x = (1 + ^jn x)(1 − ^jn x)
ndi2 x = 1 − ^jn2 x
ndi2 x + ^jn2 x = 1
0) No`k ,5 Rjmf rdoc g`ao c\i_ nd_`' {i_ ^jhhji _`ijhdi\ojm' AJDG \i_ ndhkgdat' pndib ndi2 x+^jn2 x =
1)
1
1
+
= 2 + 2 ^jo2 x
1 + ^jn x 1 − ^jn x
1 − ^jn x + 1 + ^jn x
(1 + ^jn x)(1 − ^jn x)
2
1 − ^jn2 x
2
ndi2 x
No`k -5 Rjmf rdoc oc` mdbco 2c\i_ nd_`' oj cjk`apggt `i_ pk rdoc
= 2 + 2 ^jo x
^jn2 x
=2+2
ndi2 x ,
+
^jn2 x
=2 1+
ndi2 x
+ 2
,
ndi x + ^jn2 x
=2
ndi2 x
# 1 $
=2
ndi2 x
2
=
ndi2 x
→ a\^ojm jpo oc` 2
→ ^jhhji _`ijhdi\ojm
→ omdb ktoc\bjm`\i oc`jm`h
→ ndhkgt*hpgodkgt
=joc nd_`n h\o^c pk' oc` d_`iodot dn omp`)
1) No`k ,5 A\^ojm g`ao c\i_ nd_`
(^jn2 b
rrr)^f,-)jmb
2
)
ndi2 x
^jn4 b − ndi4 b
1 − 2 ndi2 b
2
2
+ ndi b)(^jn b − ndi b) 1 − 2 ndi2 b
^jn2 b − ndi2 b
1 − 2 ndi2 b
2
,2/
No`k -5 Np]nodopo` 1 − ndi2 b ajm ^jn2 b ]`^\pn` ndi2 x + ^jn2 x = 1)
(1 − ndi2 b) − ndi2 b 1 − 2 ndi2 b
1 − ndi2 b − ndi2 b 1 − 2 ndi2 b
1 − 2 ndi2 b 1 − 2 ndi2 b
2) No`k ,5 Adi_ \ ^jhhji _`ijhdi\ojm ajm oc` g`ao c\i_ nd_` \i_ ^c\ib` mdbco nd_` di o`mhn ja ndi` \i_
^jndi`)
ndi y + ^jn y ^jn y − ndi y
−
= n`^ y ^n^ y
ndi y
^jn y
^jn y(ndi y + ^jn y) − ndi y(^jn y − ndi y)
1
=
ndi y ^jn y
ndi y ^jn y
No`k -5 Rjmf rdoc g`ao nd_`' ndhkgdat \i_ _dnomd]po`)
ndi y ^jn y + ^jn2 y − ndi y ^jn y + ndi2 y
ndi y ^jn y
^jn2 y + ndi2 y
ndi y ^jn y
1
ndi y ^jn y
3) No`k ,5 Rjmf rdoc g`ao nd_`' ^c\ib` `q`mtocdib dioj2 o`mhn
ja ndi`
1 − ndi
x \i_ ^jndi`)
(n`^ x − o\i x) =
1 + ndi x
+
,2
1
ndi x
−
^jn x ^jn x
+
,2
1 − ndi x
^jn x
(1 − ndi x)2
^jn2 x
No`k -5 Np]nodopo` 1 − ndi2 b ajm ^jn2 b ]`^\pn` ndi2 x + ^jn2 x = 1
(1 − ndi x)2
→ ]` ^\m`apg' oc`n` \m` IJO oc` n\h`
1 − ndi2 x
No`k .5 A\^ojm oc` _`ijhdi\ojm \i_ ^\i^`g jpo gdf` o`mhn)
(1 − ndi x)2
(1 + ndi x)(1 − ndi x)
1 − ndi x
1 + ndi x
4) Kgpb di
5π
6
ajm x dioj oc` ajmhpg\ \i_ ndhkgdat)
2 ndi x ^jn x = ndi 2x
5π
5π
5π
2 ndi
^jn
= ndi 2 ·
6
6
6
 √ # $
 3  1
5π
 − = ndi
2 
2
2
3
√
Ocdn dn omp` ]`^\pn` ndi 300◦ dn − 23
,+) >c\ib` `q`mtocdib dioj o`mhn ja ndi` \i_ ^jndi` \i_ ndhkgdat)
n`^ x ^jo x = ^n^ x
1
^jn x
1
·
=
^jn x ndi x
ndi x
1
1
=
ndi x
ndi x
,20
rrr)^f,-)jmb
.). Njgqdib Omdbjijh`omd^ @lp\odjin
G`\midib J]e`^odq`n
ȸ
ȸ
ȸ
ȸ
Pn` oc` api_\h`io\g d_`iodod`n oj njgq` omdbjijh`omd^ `lp\odjin)
@skm`nn omdbjijh`omd^ `skm`nndjin di ndhkg`no ajmh)
Njgq` omdbjijh`omd^ `lp\odjin ]t a\^ojmdib)
Njgq` omdbjijh`omd^ `lp\odjin ]t pndib oc` Lp\_m\od^ Ajmhpg\)
=t ijr r` c\q` n``i omdbjijh`omd^ api^odjin m`km`n`io`_ di h\it r\tn5 M\odjn ]`or``i oc` nd_` g`ibocn
ja mdbco omd\ibg`n' \n api^odjin ja ^jjm_di\o`n \n ji` om\q`gn \gjib oc` pido ^dm^g` \i_ \n \]nom\^o api^odjin
rdoc bm\kcn) Ijr do dn odh` oj h\f` pn` ja oc` kmjk`mod`n ja oc` omdbjijh`omd^ api^odjin oj b\di fijrg`_b`
ja oc` ^jii`^odjin ]`or``i oc` api^odjin oc`hn`gq`n) Oc` k\oo`min ja oc`n` ^jii`^odjin ^\i ]` \kkgd`_ oj
ndhkgdat omdbjijh`omd^ `skm`nndjin \i_ oj njgq` omdbjijh`omd^ `lp\odjin)
Ndhkgdatdib Omdbjijh`omd^ @skm`nndjin
@s\hkg` ,5 Ndhkgdat oc` ajggjrdib `skm`nndjin pndib oc` ]\nd^ omdbjijh`omd^ d_`iodod`n5
\)
1+o\i2 x
^n^2 x
])
ndi2 x+o\i2 x+^jn2 x
n`^ x
^jn x − ^jn3 x
^)
Njgpodji5
\)
1 + o\i2 x
. . . (1 + o\i2 x = n`^2 x)Ktoc\bjm`\i D_`iodot
^n^2 x
n`^2 x
1
1
. . . (n`^2 x =
\i_ ^n^2 x =
)M`^dkmj^\g D_`iodot
2
2
^n^ x
^jn x
ndi2 x
1
# 1 $ # 1 $
^jn2 x
=
÷
1
^jn2 x
ndi2 x
ndi2 x
+
,
# 1 $ ndi2 x
ndi2 x
·
=
1
^jn2 x
^jn2 x
= o\i2 x → Lpjod`io D_`iodot
])
ndi2 x + o\i2 x + ^jn2 x
. . . (ndi2 x + ^jn2 x = 1)Ktoc\bjm`\i D_`iodot
n`^ x
1 + o\i2 x
. . . (1 + o\i2 x = n`^2 x)Ktoc\bjm`\i D_`iodot
n`^ x
n`^2 x
= n`^ x
n`^ x
^)
rrr)^f,-)jmb
,21
^jn x − ^jn3 x
^jn x(1 − ^jn2 x)
^jn x(ndi2 x)
. . . A\^ojm jpo ^jn x \i_ ndi2 x = 1 − ^jn2 x
Di oc` \]jq` `s\hkg`n' oc` bdq`i `skm`nndjin r`m` ndhkgd{`_ ]t \kkgtdib oc` k\oo`min ja oc` ]\nd^ omdbjij(
h`omd^ d_`iodod`n) R` ^\i \gnj \kkgt oc` api_\h`io\g d_`iodod`n oj omdbjijh`omd^ `lp\odjin oj njgq` ajm x)
Rc`i njgqdib omdb `lp\odjin' m`nomd^odjin ji x #jm θ$ hpno ]` kmjqd_`_' jm `gn` oc`m` rjpg_ ]` di{ido`gt
h\it kjnnd]g` \inr`mn #]`^\pn` ja oc` k`mdj_d^dot ja omdb api^odjin$)
Njgqdib Omdbjijh`omd^ @lp\odjin
@s\hkg` -5 Rdocjpo oc` pn` ja o`^cijgjbt' {i_ \gg njgpodjin o\i2 (x) = 3' np^c oc\o 0 ≤ x ≤ 2π)
Njgpodji5
-
o\i2 x = 3
√
o\i2 x = 3
√
o\i x = ± 3
Ocdn h`\in oc\o oc`m` \m` ajpm \inr`mn ajm x' ]`^\pn` o\ib`io dn kjndodq` di oc` {mno \i_ ocdm_ lp\_m\ion \i_
√
i`b\odq` di oc`
\i_ ajpmoc) >jh]di` oc\o rdoc oc` q\gp`n oc\o r` fijr rjpg_ b`i`m\o` o\i x = 3
√ n`^ji_
4π
5π
jm o\i x = − 3, x = 3π , 2π
3 , 3 ' \i_ 3 )
@s\hkg` .5 Njgq` 2 ^jn x ndi x − ^jn x = 0 ajm \gg q\gp`n ja x ]`or``i [0, 2π])
Njgpodji5
^jn x (2 ndi x − 1) = 0 → n`o `\^c a\^ojm `lp\g oj u`mj \i_ njgq` oc`h n`k\m\o`gt
↓
*
^jn x = 0
π
3π
x = \i_ x =
2
2
2 ndi x = 1
1
ndi x =
2
π
5π
x = \i_ x =
6
6
Di oc` \]jq` `s\hkg`n' `s\^o q\gp`n r`m` j]o\di`_ ajm oc` njgpodjin ja oc` `lp\odjin) Oc`n` njgpodjin r`m`
rdocdi oc` _jh\di oc\o r\n nk`^d{`_)
@s\hkg` /5 Njgq` 2 ndi2 x − ^jn x − 1 = 0 ajm \gg q\gp`n ja x)
Njgpodji5 Oc` `lp\odji ijr c\n orj api^odjin ȭ ndi` \i_ ^jndi`) Nop_t oc` `lp\odji ^\m`apggt \i_ _`^d_`
di rcd^c api^odji oj m`rmdo` oc` `lp\odji) ndi2 x ^\i ]` `skm`nn`_ di o`mhn ja ^jndi` ]t h\idkpg\odib oc`
Ktoc\bjm`\i D_`iodot' ndi2 x + ^jn2 x = 1)
,22
rrr)^f,-)jmb
2 ndi2 x − ^jn x − 1 = 0
2(1 − ^jn2 x) − ^jn x − 1 = 0
2 − 2 ^jn2 x − ^jn x − 1 = 0
− 2 ^jn2 x − ^jn x + 1 = 0
2 ^jn2 x + ^jn x − 1 = 0
(2 ^jn x − 1)(^jn x + 1) = 0
+
2 ^jn x − 1 = 0 jm
1
^jn x =
2
π
x = + 2πk, k#Z
3
5π
x=
+ 2πk, k#Z
3
*
^jn x + 1 = 0
^jn x = −1
x = π + 2πk, k#Z
Njgqdib Omdbjijh`omd^ @lp\odjin Pndib A\^ojmdib
<gb`]m\d^ nfdggn gdf` a\^ojmdib \i_ np]nodopodji oc\o \m` pn`_ oj njgq` q\mdjpn `lp\odjin \m` q`mt pn`apg rc`i
njgqdib omdbjijh`omd^ `lp\odjin) <n rdoc \gb`]m\d^ `skm`nndjin' ji` hpno ]` ^\m`apg oj \qjd_ _dqd_dib ]t
u`mj _pmdib oc`n` h\i`pq`mn)
@s\hkg` 05 Njgq` 2 ndi2 x − 3 ndi x + 1 = 0 ajm 0 < x ≤ 2π)
Njgpodji5
2 ndi2 x − 3 ndi x + 1 = 0
A\^ojm ocdn gdf` \ lp\_m\od^ `lp\odji
(2 ndi x − 1)(ndi x − 1) = 0
↓
2 ndi x − 1 = 0
*
jm ndi x − 1 = 0
2 ndi x = 1
1
ndi x =
2
π
5π
x = \i_ x =
6
6
ndi x = 1
π
x=
2
@s\hkg` 15 Njgq` 2 o\i x ndi x + 2 ndi x = o\i x + 1 ajm \gg q\gp`n ja x)
Njgpodji5
rrr)^f,-)jmb
,23
Kpgg jpo ndi x
Oc`m` dn \ ^jhhji a\^ojm ja (o\i x + 1)
Ocdif ja oc` −(o\i x + 1) \n (−1)(o\i x + 1)' rcd^c dn rct oc`m` dn \ −1 ]`cdi_ oc` 2 ndi x)
@s\hkg` 25 Njgq` 2 ndi2 x + 3 ndi x − 2 = 0 ajm \gg x, [0, π])
Njgpodji5
2 ndi2 x + 3 ndi x − 2 = 0 → A\^ojm gdf` \ lp\_m\od^
(2 ndi x − 1)(ndi x + 2) = 0
+
*
2 ndi x − 1 = 0
ndi x + 2 = 0
1
ndi x =
ndi x = −2
2
π
5π
x = \i_ x =
Oc`m` dn ij njgpodji ]`^\pn` oc` m\ib` ja ndi x dn [−1, 1].
6
6
Njh` omdbjijh`omd^ `lp\odjin c\q` ij njgpodjin) Ocdn h`\in oc\o oc`m` dn ij m`kg\^`h`io ajm oc` q\md\]g`
oc\o rdgg m`npgo di \ omp` `skm`nndji)
@s\hkg` 35 Njgq` 4 ndi3 x + 2 ndi2 x − 2 ndi x − 1 = 0 ajm x di oc` dio`mq\g [0, 2π])
Njgpodji5 @q`i ocjpbc ocdn _j`n ijo gjjf gdf` \ a\^ojmdib kmj]g`h' do dn) R` \m` bjdib oj pn` a\^ojmdib ]t
bmjpkdib' amjh <gb`]m\ DD) Admno bmjpk ojb`oc`m oc` {mno orj o`mhn \i_ oc` g\no orj o`mhn) Oc`i {i_ oc`
bm`\o`no ^jhhji a\^ojm ajm `\^c k\dm)
4.!!!!!!!!!!!!!!!!!/0!!!!!!!!!!!!!!!!!1
ndi3 x + 2 ndi2 x
−2
ndi x − 1 = 0
.!!!!!!!!/0!!!!!!!!1
2 ndi2 x(2 ndi x + 1) − 1(2 ndi x + 1)
Ijod^` r` c\q` bji` amjh ajpm o`mhn oj orj) Oc`n` i`r orj o`mhn c\q` \ ^jhhji a\^ojm ja 2 ndi x + 1)
R` ^\i kpgg ocdn ^jhhji a\^ojm jpo \i_ m`_p^` jpm iph]`m ja o`mhn amjh orj oj ji`' ^jhkmdn`_ ja orj
a\^ojmn)
2 ndi2 x(2 ndi x + 1) − 1(2 ndi x + 1) = 0
*
+
(2 ndi x + 1)(2 ndi x − 1) = 0
2
R` ^\i o\f` ocdn ji` no`k apmoc`m ]`^\pn` 2 ndi2 x − 1 ^\i a\^ojm \b\di)
,24
rrr)^f,-)jmb
(2 ndi x + 1)
!√
"!√
"
2 ndi x − 1
2 ndi x + 1 = 0
N`o `\^c a\^ojm `lp\g oj u`mj \i_ njgq`)
2 ndi x + 1 = 0
2 ndi x = −1
1
ndi x = −
2
7π 11π
x=
,
6 6
jm
√
2 ndi x + 1 = 0
√
2 ndi x = −1
jm
√
1
2
ndi x = − √ = −
2
2
5π 7π
x=
,
4 4
√
2 ndi x − 1 = 0
√
2 ndi x = 1
√
1
2
ndi x = √ =
2
2
π 3π
x= ,
4 4
Ijod^` oc`m` \m` nds njgpodjin ajm x) Bm\kcdib oc` jmdbdi\g api^odji rjpg_ ncjr oc\o oc` `lp\odji ^mjnn`n
oc` x−\sdn nds odh`n di oc` dio`mq\g [0, 2π])
Njgqdib Omdbjijh`omd^ @lp\odjin Pndib oc` Lp\_m\od^ Ajmhpg\
Rc`i njgqdib lp\_m\od^ `lp\odjin oc\o _j ijo a\^ojm' oc` lp\_m\od^ ajmhpg\ dn jao`i pn`_) Oc` n\h` ^\i
]` \kkgd`_ rc`i njgqdib omdbjijh`omd^ `lp\odjin oc\o _j ijo a\^ojm) Oc` q\gp`n ajm a dn oc` iph`md^\g
^j`zd^d`io ja oc` api^odjiȱn nlp\m`_ o`mh' b dn oc` iph`md^\g ^j`zd^d`io ja oc` api^odji o`mh oc\o dn oj oc`
{mno kjr`m \i_ c dn \ ^jino\io) Oc` ajmhpg\ rdgg m`npgo di orj \inr`mn \i_ ]joc rdgg c\q` oj ]` `q\gp\o`_
rdocdi oc` _`ndbi\o`_ dio`mq\g)
@s\hkg` 35 Njgq` 3 ^jo2 x − 3 ^jo x = 1 ajm `s\^o q\gp`n ja x jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π])
Njgpodji5
3 ^jo2 x − 3 ^jo x = 1
3 ^jo2 x − 3 ^jo x − 1 = 0
Oc` `lp\odji rdgg ijo a\^ojm) Pn` oc` lp\_m\od^ ajmhpg\ ajm ^jo x' a = 3, b = −3, c = −1)
rrr)^f,-)jmb
,3+
√
b2 − 4ac
2a−(−3) ± (−3)2 − 4(3)(−1)
^jo x =
2(3)
√
3 ± 9 + 12
^jo x =
√6
3 + 21
^jo x =
jm
6
3 + 4.5826
^jo x =
6
^jo x = 1.2638
1
o\i x =
1.2638
x = 0.6694, 3.81099
^jo x =
−b ±
√
21
6
3 − 4.5826
^jo x =
6
^jo x = −0.2638
1
o\i x =
−0.2638
x = 1.8287, 4.9703
^jo x =
3−
@s\hkg` -5 Njgq` −5 ^jn2 x + 9 ndi x + 3 = 0 ajm q\gp`n ja x jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π])
Njgpodji5 >c\ib` ^jn2 x oj 1 − ndi2 x amjh oc` Ktoc\bjm`\i D_`iodot)
−5 ^jn2 x + 9 ndi x + 3 = 0
−5(1 − ndi2 x) + 9 ndi x + 3 = 0
−5 + 5 ndi2 x + 9 ndi x + 3 = 0
5 ndi2 x + 9 ndi x − 2 = 0
ndi x =
−9 ±
√
92 − 4(5)(−2)
2(5)
81 + 40
10
√
−9 ± 121
ndi x =
10
−9 + 11
−9 − 11
ndi x =
\i_ ndi x =
10
10
1
ndi x = \i_ − 2
5
ndi−1 (0.2) \i_ ndi−1 (−2)
ndi x =
−9 ±
x ≈ .201 rad \i_ π − .201 ≈ 2.941
Ocdn dn oc` jigt njgpodjin ajm x ndi^` −2 dn ijo di oc` m\ib` ja q\gp`n)
Oj nphh\mdu`' oj njgq` \ omdbjijh`omd^ `lp\odji' tjp ^\i pn` oc` ajggjrdib o`^cidlp`n5
,)
-)
.)
/)
Ndhkgdat `skm`nndjin rdoc oc` api_\h`io\g d_`iodod`n)
A\^ojm' kpgg jpo ^jhhji a\^ojmn' pn` a\^ojmdib ]t bmjpkdib)
Oc` Lp\_m\od^ Ajmhpg\)
=` \r\m` ja oc` dio`mq\gn ajm x) H\f` npm` tjpm {i\g \inr`m dn di oc` nk`^d{`_ _jh\di)
,3,
rrr)^f,-)jmb
Kjdion oj >jind_`m
ȸ
ȸ
ȸ
ȸ
<m` oc`m` joc`m h`ocj_n ajm njgqdib `lp\odjin oc\o ^\i ]` \_\ko`_ oj njgqdib omdbjijh`omd^ `lp\odjin:
Rdgg \it ja oc` omdbjijh`omd^ `lp\odjin diqjgq` njgqdib lp\_m\od^ `lp\odjin:
Dn oc`m` \ r\t oj njgq` \ omdbjijh`omd^ `lp\odji oc\o rdgg ijo a\^ojm:
Dn np]nodopodji ja \ api^odji rdoc \i d_`iodot \ a`\nd]g` \kkmj\^c oj njgqdib \ omdbjijh`omd^ `lp\odji:
M`qd`r Lp`nodjin
,)
-)
.)
/)
0)
1)
2)
3)
4)
,+)
,,)
,-)
Njgq` oc` `lp\odji ndi 2θ = 0.6 ajm 0 ≤ θ < 2π)
1
Njgq` oc` `lp\odji ^jn2 x = 16
jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π]
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji o\i2 x = 1 ajm \gg q\gp`n ja θ np^c oc\o 0 ≤ θ ≤ 2π
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 4 ndi x ^jn x + 2 ^jn x − 2 ndi x − 1 = 0 np^c oc\o 0 ≤ x < π)
Njgq` ndi2 x − 2 ndi x − 3 = 0 ajm x jq`m [0, π])
Njgq` o\i2 x = 3 o\i x ajm x jq`m [0, π])
Adi_ \gg oc` njgpodjin ajm oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 2 ndi2 4x − 3 ^jn 4x = 0 jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π))
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 3 − 3 ndi2 x = 8 ndi x jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π])
Njgq` 2 ndi x o\i x = o\i x + n`^ x ajm \gg q\gp`n ja x #[0, 2π])
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 2 ^jn2 x + 3 ndi x − 3 = 0 jq`m
2 oc` 3dio`mq\g [0, 2π])
Njgq` o\i2 x + o\i x + 2 = 0 ajm q\gp`n ja x jq`m oc` dio`mq\g − 2π , 2π )
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji np^c oc\o 5 ^jn2 θ − 6 ndi θ = 0 jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π])
M`qd`r <inr`mn
,) =`^\pn` oc` kmj]g`h _`\gn rdoc 2θ' oc` _jh\di q\gp`n hpno ]` _jp]g`_' h\fdib oc` _jh\di 0 ≤ 2θ <
4π
Oc` m`a`m`i^` \ibg` dn α = ndi−1 0.6 = 0.6435
2θ = 0.6435, π − 0.6435, 2π + 0.6435, 3π − 0.6435
2θ = 0.6435, 2.2980, 6.9266, 8.7812
Oc` q\gp`n ajm θ \m` i``_`_ nj oc` \]jq` q\gp`n hpno ]` _dqd_`_ ]t 2)
θ = 0.3218, 1.1490, 3.4633, 4.3906
Oc` m`npgon ^\i m`\_dgt ]` ^c`^f`_ ]t bm\kcdib oc` api^odji) Oc` ajpm m`npgon \m` m`\nji\]g` ndi^`
oc`t \m` oc` jigt m`npgon di_d^\o`_ ji oc` bm\kc oc\o n\odnat ndi 2θ = 0.6)
rrr)^f,-)jmb
,3-
-)
^jn2 x =
√
1
16
4
1
16
1
^jn x = ±
4
1
Oc`i ^jn x =
4
−1 1
^jn
=x
4
x = 1.3181 radians
^jn2 x =
jm
^jn x = −
1
4
1
^jn−1 − = x
4
x = 1.8235 radians
Cjr`q`m' ^jn x dn \gnj kjndodq` di oc` ajpmoc lp\_m\io' nj oc` joc`m kjnnd]g` njgpodji ajm ^jn x = 14 dn
2π − 1.3181 = 4.9651 radians \i_ ^jn x dn \gnj i`b\odq` di oc` ocdm_ lp\_m\io' nj oc` joc`m kjnnd]g`
.) njgpodji ajm ^jn x = − 1 dn 2π − 1.8235 = 4.4597 radians
4
o\i2 x = 1
√
o\i x = ± 1
o\i x = ±1
nj' o\i x = 1 jm o\i x = −1) Oc`m`ajm`' x dn \gg ^mdod^\g q\gp`n ^jmm`nkji_dib rdoc
5π 7π
x = 4π , 3π
4 , 4 , 4
/) Pn` a\^ojmdib ]t bmjpkdib)
2 ndi x + 1 = 0
jm
2 ^jn x = 1
1
^jn x =
2
π 2π
x= ,
x 3
(ndi x − 3)(ndi x + 1) = 0
ndi x = 3
ndi x + 1 = 0
jm
ndi x = −1
3π
x=
2
x = ndi−1 (3)
1) Ajm ocdn kmj]g`h oc` jigt njgpodji dn
3π
2
2
rdocdi oc` dio`mq\g)
2 ^jn x − 1 = 0
2 ndi x = −1
1
ndi x = −
2
7π 11π
x=
,
6 6
2
0) Tjp ^\i a\^ojm ocdn ji`
ndigdf`
x −\2lp\_m\od^)
ndi x − 3 = 0
ndi x − 3 = 0
π
4
]`^\pn` ndi` ^\iijo ]` 3 #do dn ijo di oc` m\ib`$)
o\i x = 3 o\i x
o\i x − 3 o\i x = 0
2
o\i x(o\i x − 3) = 0
o\i x = 0
x = 0, π
,3.
jm
o\i x = 3
x = 1.25, 4.39
rrr)^f,-)jmb
2) 2 ndi2
x
4
− 3 ^jn 4x = 0
#
x$
x
2 1 − ^jn
− 3 ^jn = 0
4
4
x
2 x
2 − 2 ^jn
− 3 ^jn = 0
4
4
x
x
2 ^jn2 + 3 ^jn − 2 = 0
4
4
#
$#
$
x
x
2 ^jn − 1 ^jn + 2 = 0
4
4
+
*
x
x
2 ^jn − 1 = 0 jm ^jn + 2 = 0
4
4
x
x
2 ^jn = 1
^jn = −2
4
4
x
1
^jn =
4
2
x
π
5π
=
jm
4
3
3
4π
20π
x=
jm
3
3
2
dn `gdhdi\o`_ \n \ njgpodji ]`^\pn` do dn jpond_` ja oc` m\ib` \i_ ^jn 4x = −2 rdgg ijo b`i`m\o` \it
3) njgpodjin ]`^\pn` −2 dn jpond_` ja oc` m\ib` ja ^jndi`) Oc`m`ajm`' oc` jigt njgpodji dn 4π )
3
20π
3
3 − 3 ndi2 x = 8 ndi x
3 − 3 ndi2 x − 8 ndi x = 0
3 ndi2 x + 8 ndi x − 3 = 0
(3 ndi x − 1)(ndi x + 3) = 0
3 ndi x − 1 = 0 jm
3 ndi x = 1
1
ndi x =
3
x = 0.3398 radians
ndi x + 3 = 0
ndi x = −3
Ij njgpodji `sdnon
x = π − 0.3398 = 2.8018 radians
4) 2 ndi x o\i x = o\i x + n`^ x
ndi x
ndi x
1
=
+
^jn x
^jn x ^jn x
2 ndi2 x
ndi x + 1
=
^jn x
^jn
2
2 ndi x = ndi x + 1
2 ndi x ·
2 ndi2 x − ndi x − 1 = 0
(2 ndi x + 1)(ndi x − 1) = 0
2 ndi x + 1 = 0
jm
2 ndi x = −1
1
ndi x = −
2
x=
rrr)^f,-)jmb
7π 11π π
,
,
6 6 2
,3/
ndi x − 1 = 0
ndi x = 1
,+)
2 ^jn2 x + 3 ndi x − 3 = 0
2(1 − ndi2 x) + 3 ndi x − 3 = 0 Ktoc\bjm`\i D_`iodot
2 − 2 ndi2 x + 3 ndi x − 3 = 0
− 2 ndi2 x + 3 ndi x − 1 = 0 Hpgodkgt ]t − 1
2 ndi2 x − 3 ndi x + 1 = 0
(2 ndi x − 1)(ndi x − 1) = 0
2 ndi x − 1 = 0
jm
ndi x − 1 = 0
2 ndi x = 1
1
ndi x =
ndi x = 1
2
π 5π
π
x= ,
x=
6 6
2
2
2
,,) o\i x + o\i x − 2 = 0
−1 ± 1 − 4(1)(−2)
= o\i x
2 √
−1 ± 1 + 8
= o\i x
2
−1 ± 3
= o\i x
2
o\i x = −2 jm 1
2
3
π π
o\i x = 1 rc`i x = − 3π
4 ' di oc` dio`mq\g − 2 , 2
o\i x = −2 rc`i x = −4.249 rad
!
"
,-) 5 ^jn2 θ − 6 ndi θ = 0 jq`m oc` dio`mq\g5[0,1 2π])
− ndi2 x − 6 ndi x = 0
−5 ndi2 x − 6 ndi x + 5 = 0
x = ndi−1
#
√ $
−3+ 34
5
jm ndi−1
#
√ $
−3− 34
5
5 ndi2 x + 6 ndi x − 5 = 0
−6 ± 62 − 4(5)(−5)
= ndi x
2(5)
√
−6 ± 36 + 100
= ndi x
10 √
−6 ± 136
= ndi x
10 √
−6 ± 2 34
= ndi x
10 √
−3 ± 34
= ndi x
5
x = 0.6018 rad jm 2.5398 rad amjh oc` {mno `skm`nndji' oc` n`^ji_
`skm`nndji rdgg ijo td`g_ \it \inr`mn ]`^\pn` do dn jpo oc` oc` m\ib` ja ndi`)
.)/ Nph \i_ ?dz`m`i^` D_`iodod`n
G`\midib J]e`^odq`n
ȸ Pn` \i_ d_`iodat oc` nph \i_ _dz`m`i^` d_`iodod`n)
,30
rrr)^f,-)jmb
ȸ <kkgt oc` nph \i_ _dz`m`i^` d_`iodod`n oj njgq` omdbjijh`omd^ `lp\odjin)
ȸ Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja \ omdbjijh`omd^ api^odji ajm ^`mo\di \ibg`n)
Di ocdn n`^odji r` \m` bjdib oj `skgjm` ^jn(a ± b), ndi(a ± b)' \i_ o\i(a ± b)) Oc`n` d_`iodod`n c\q` q`mt
pn`apg `sk\indjin \i_ ^\i c`gk oj njgq` d_`iodod`n \i_ `lp\odjin)
Nph \i_ ?dz`m`i^` Ajmhpg\n5 ^jndi`
Dn ^jn 15◦ = ^jn(45◦ − 30◦ ): Pkji \kk`\m\i^`' t`n' do dn) Ocdn n`^odji `skgjm`n cjr oj {i_ \i `skm`nndji
oc\o rjpg_ `lp\g ^jn(45◦ − 30◦ )) Oj ndhkgdat ocdn' g`o oc` orj bdq`i \ibg`n ]` a \i_ b rc`m` 0 < b < a < 2π)
=`bdi rdoc oc` pido ^dm^g` \i_ kg\^` oc` \ibg`n a \i_ b di no\i_\m_ kjndodji \n ncjri di Adbpm` <) Kjdio
Ko, gd`n ji oc` o`mhdi\g nd_` ja b' nj don ^jjm_di\o`n \m` (^jn b, ndi b) \i_ Kjdio Ko- gd`n ji oc` o`mhdi\g
nd_` ja a nj don ^jjm_di\o`n \m` (^jn a, ndi a)) Kg\^` oc` a − b di no\i_\m_ kjndodji' \n ncjri di Adbpm` =)
Oc` kjdio < c\n ^jjm_di\o`n (1, 0) \i_ oc` Ko. dn ji oc` o`mhdi\g nd_` ja oc` \ibg` a − b' nj don ^jjm_di\o`n
\m` (^jn[a − b], ndi[a − b]))
rrr)^f,-)jmb
,31
Omd\ibg`n OP1 P2 di {bpm` < \i_ Omd\ibg` OAP3 di {bpm` = \m` ^jibmp`io) #Orj nd_`n \i_ oc` di^gp_`_
\ibg`' a − b' \m` `lp\g$) Oc`m`ajm` oc` pifijri nd_` ja `\^c omd\ibg` hpno \gnj ]` `lp\g) Oc\o dn5
d (A, P3 ) = d (P1 , P2 )
<kkgtdib oc` _dno\i^` ajmhpg\ oj oc` omd\ibg`n di Adbpm`n < \i_ = \i_ n`oodib oc`h `lp\g oj `\^c joc`m5
5
5
[^jn(a − b) − 1]2 + [ndi(a − b) − 0]2 = (^jn a − ^jn b)2 + (ndi a − ndi b)2
Nlp\m` ]joc nd_`n oj `gdhdi\o` oc` nlp\m` mjjo)
[^jn(a − b) − 1]2 + [ndi(a − b) − 0]2 = (^jn a − ^jn b)2 + (ndi a − ndi b)2
AJDG \gg ajpm nlp\m`_ `skm`nndjin \i_ ndhkgdat)
^jn2 (a − b) − 2 ^jn(a − b) + 1 + ndi2 (a − b) = ^jn2 a − 2 ^jn a ^jn b + ^jn2 b + ndi2 a − 2 ndi a ndi b + ndi2 b
2
2
ndi2 (a − b) + ^jn2 (a − b) −2 ^jn(a − b) + 1 = ndi
a + ^jn2 a −2 ^jn a ^jn b + ndi
b + ^jn2 b −2 ndi a ndi b
.!!!!!!!!!!!!/0!!!!!!!!!!!!1
.!!!!!!!!!!!!/0!!!!!!!!!!!!1
.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
1 − 2 ^jn(a − b) + 1 = 1 − 2 ^jn a ^jn b + 1 − 2 ndi a ndi b
2 − 2 ^jn(a − b) = 2 − 2 ^jn a ^jn b − 2 ndi a ndi b
−2 ^jn(a − b) = −2 ^jn a ^jn b − 2 ndi a ndi b
^jn(a − b) = ^jn a ^jn b + ndi a ndi b
Di ^jn(a−b) = ^jn a ^jn b+ndi a ndi b' oc` _dz`m`i^` ajmhpg\ ajm ^jndi`' tjp ^\i np]nodopo` a−(−b) = a+b oj
j]o\di5 ^jn(a+b) = ^jn[a−(−b)] jm ^jn a ^jn(−b)+ndi a ndi(−b)) ndi^` ^jn(−b) = ^jn b \i_ ndi(−b) = − ndi b'
oc`i ^jn(a + b) = ^jn a ^jn b − ndi a ndi b' rcd^c dn oc` nph ajmhpg\ ajm ^jndi`)
Pndib oc` Nph \i_ ?dz`m`i^` D_`iodod`n ja ^jndi`
Oc` nph*_dz`m`i^` ajmhpg\n ajm ^jndi` ^\i ]` pn`_ oj `no\]gdnc joc`m d_`iodod`n5
!
"
@s\hkg` ,5 Adi_ \i `lpdq\g`io ajmh ja ^jn 2π − θ pndib oc` ^jndi` _dz`m`i^` ajmhpg\)
Njgpodji5
^jn
^jn
^jn
#π
2
#π
2
#π
2
$
π
π
− θ = ^jn ^jn θ + ndi ndi θ
2
2
$
π
π
− θ = 0 × ^jn θ + 1 × ndi θ, np]nodopo` ^jn = 0 \i_ ndi = 1
2
2
$
− θ = ndi θ
R` fijr oc\o dn \ omp` d_`iodot ]`^\pn` ja jpm pi_`mno\i_dib ja oc` ndi` \i_ ^jndi` ^pmq`n' rcd^c \m` \
kc\n` ncdao ja 2π jz amjh `\^c joc`m)
Oc` ^jndi` ajmhpg\n ^\i \gnj ]` pn`_ oj {i_ `s\^o q\gp`n ja ^jndi` oc\o r` r`m`iȱo \]g` oj {i_ ]`ajm`'
np^c \n 15◦ = (45◦ − 30◦ ), 75◦ = (45◦ + 30◦ )' \hjib joc`mn)
@s\hkg` -5 Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja ^jn 15◦
Njgpodji5 Pn` oc` _dz`m`i^` ajmhpg\ rc`m` a = 45◦ \i_ b = 30◦ )
^jn(45◦ − 30◦ ) = ^jn 45◦ ^jn 30◦ + ndi 45◦ ndi 30◦
√
√
√
2
3
2 1
◦
^jn 15 =
×
+
×
2
2
2
2
√
√
6+ 2
^jn 15◦ =
4
,32
rrr)^f,-)jmb
@s\hkg` .5 Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja ^jn 105◦ )
Njgpodji5 Oc`m` h\t ]` hjm` oc\i ji` k\dm ja f`t \ibg`n oc\o ^\i \__ pk #jm np]om\^o oj$ 105◦ ) =joc
k\dmn' 45◦ + 60◦ \i_ 150◦ − 45◦ ' rdgg td`g_ oc` ^jmm`^o \inr`m)
,)
^jn 105◦ = ^jn(45◦ + 60◦ )
= ^jn 45◦ ^jn 60◦ − ndi 45◦ ndi 60◦ , np]nodopo` di oc` fijri q\gp`n
√
√
√
2 1
2
3
=
× −
×
2
2
2
2
√
√
2− 6
=
4
-)
^jn 105◦ = ^jn(150◦ − 45◦ )
= ^jn 150◦ ^jn 45◦ + ndi 150◦ ndi 45◦
√
√
√
3
2 1
2
=−
·
+ ·
2√ 2 2
√2
6
2
=−
+
4
4
√
√
2− 6
=
4
Tjp _j ijo i``_ oj _j oc` kmj]g`h hpgodkg` r\tn' epno oc` ji` oc\o n``hn `\nd`no oj tjp)
5π
@s\hkg` /5 Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja ^jn 12
' di m\_d\in)
!
"
5π
3π
2π
Njgpodji5 ^jn 12
= ^jn 4π + 6π ' ijod^` oc\o 4π = 12
\i_ 6π = 12
#π π$
π
π
π
π
^jn
+
= ^jn ^jn − ndi ndi
4 6
4
6
4
6
√
√
√
π
π
π
π
2
3
2 1
^jn ^jn − ndi ndi =
×
−
×
4
6
4
6
2
2
√2
√2
6− 2
=
4
Nph \i_ ?dz`m`i^` D_`iodod`n5 ndi`
Oj {i_ ndi(a + b)' pn` @s\hkg` ,' amjh \]jq`5
6π
7
ndi(a + b) = ^jn − (a + b)
6#2π
$
7
= ^jn
−a −b
# π2 $
#π
$
= ^jn
− a ^jn b + ndi
− a ndi b
2
2
= ndi a ^jn b + ^jn a ndi b
N`o θ = a + b
?dnomd]po` oc` i`b\odq`
?dz`m`i^` Ajmhpg\ ajm ^jndi`n
>j(api^odji D_`iodod`n
Di ^ji^gpndji' ndi(a + b) = ndi a ^jn b + ^jn a ndi b' rcd^c dn oc` nph ajmhpg\ ajm ndi`)
Oj j]o\di oc` d_`iodot ajm ndi(a − b)5
rrr)^f,-)jmb
,33
ndi(a − b) = ndi[a + (−b)]
= ndi a ^jn(−b) + ^jn a ndi(−b)
ndi(a − b) = ndi a ^jn b − ^jn a ndi b
Pn` oc` ndi` nph ajmhpg\
Pn` ^jn(−b) = ^jn b, \i_ ndi(−b) = − ndi b
Di ^ji^gpndji' ndi(a − b) = ndi a ^jn b − ^jn a ndi b' nj' ocdn dn oc` _dz`m`i^` ajmhpg\ ajm ndi`)
5π
@s\hkg` 05 Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja ndi 12
Njgpodji5 M`^\gg oc\o oc`m` \m` hpgodkg` \ibg`n oc\o \__ jm np]om\^o oj `lp\g \it \ibg`) >cjjn` rcd^c`q`m
ajmhpg\ oc\o tjp a``g hjm` ^jhajmo\]g` rdoc)
# 3π 2π $
5π
= ndi
+
12
12 12
3π
2π
3π
2π
= ndi
^jn
+ ^jn
ndi
12
12
√ 12 √ 12 √
5π
2
3
2 1
ndi
=
×
+
×
12
2
2
√2
√2
6+ 2
=
4
ndi
3
@s\hkg` 15 Bdq`i ndi α = 12
13 ' rc`m` α dn di Lp\_m\io DD' \i_ ndi β = 5 ' rc`m` β dn di Lp\_m\io D' {i_
oc` `s\^o q\gp` ja ndi(α + β))
Njgpodji5 Oj {i_ oc` `s\^o q\gp` ja ndi(α + β)' c`m` r` pn` ndi(α + β) = ndi α ^jn β + ^jn α ndi β) Oc` q\gp`n
ja ndi α \i_ ndi β \m` fijri' cjr`q`m oc` q\gp`n ja ^jn α \i_ ^jn β i``_ oj ]` ajpi_)
Pn` ndi2 α + ^jn2 α = 1' oj {i_ oc` q\gp`n ja `\^c ja oc` hdnndib ^jndi` q\gp`n)
! "2
12
2
Ajm ^jn a : ndi2 α + ^jn2 α = 1' np]nodopodib ndi α = 12
om\inajmhn
oj
+ ^jn2 α = 144
13
13
169 + ^jn α = 1 jm
25
5
5
^jn2 α = 169
^jn α = ± 13
' cjr`q`m' ndi^` α dn di Lp\_m\io DD' oc` ^jndi` dn i`b\odq`' ^jn α = − 13
)
! "2
9
Ajm ^jn β pn` ndi2 β + ^jn2 β = 1 \i_ np]nodopo` ndi β = 35 , 35 + ^jn2 β = 25
+ ^jn2 β = 1 jm ^jn2 β = 16
25 \i_
4
4
^jn β = ± 5 \i_ ndi^` β dn di Lp\_m\io D' ^jn β = 5
Ijr oc` nph ajmhpg\ ajm oc` ndi` ja orj \ibg`n ^\i ]` ajpi_5
12 4 # 5 $ 3
48 15
× + −
× jm
−
13 5
13
5
65 65
33
ndi(α + β) =
65
ndi(α + β) =
Nph \i_ ?dz`m`i^` D_`iodod`n5 O\ib`io
Oj {i_ oc` nph ajmhpg\ ajm o\ib`io5
,34
rrr)^f,-)jmb
ndi(a + b)
^jn(a + b)
ndi a ^jn b + ndi b ^jn a
=
^jn a ^jn b − ndi a ndi b
o\i(a + b) =
=
=
=
o\i(a + b) =
Pndib o\i θ =
Np]nodopodib oc` nph ajmhpg\n ajm ndi` \i_ ^jndi`
ndi a ^jn b+ndi b ^jn a
^jn a ^jn b
^jn a ^jn b−ndi a ndi b
^jn a ^jn b
ndi a ^jn b
ndi b ^jn a
^jn a ^jn b + ^jn a ^jn b
^jn a ^jn b
ndi a ndi b
^jn a ^jn b − ^jn a ^jn b
ndi a
ndi b
^jn a + ^jn b
ndi a ndi b
1 − ^jn
a ^jn b
?dqd_` ]joc oc` iph`m\ojm \i_ oc` _`ijhdi\ojm ]t ^jn a ^jn b
M`_p^` `\^c ja oc` am\^odjin
Np]nodopo`
o\i a + o\i b
1 − o\i a o\i b
Di ^ji^gpndji' o\i(a + b) =
ajm o\ib`io5
o\i a+o\i b
1−o\i a o\i b )
ndi θ
^jn θ
ndi θ
= o\i θ
^jn θ
Nph ajmhpg\ ajm o\ib`io
Np]nodopodib −b ajm b di oc` \]jq` m`npgon di oc` _dz`m`i^` ajmhpg\
o\i(a − b) =
o\i a − o\i b
1 + o\i a o\i b
@s\hkg` 25 Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja o\i 285◦ )
Njgpodji5 Pn` oc` _dz`m`i^` ajmhpg\ ajm o\ib`io' rdoc 285◦ = 330◦ − 45◦
o\i 330◦ − o\i 45◦
1 + o\i 330◦ o\i 45◦
√
√
− 33 − 1
−3 − 3
=
=
√
√
3− 3
1 − 33 · 1
√
√
−3 − 3 3 + 3
=
√ ·
√
3− 3 3+ 3
√
−9 − 6 3 − 3
=
9 − 3√
−12 − 6 3
=
6√
= −2 − 3
o\i(330◦ − 45◦ ) =
Oj q`mdat ocdn ji oc` ^\g^pg\ojm' o\i 285◦ = −3.732 \i_ −2 −
√
3 = −3.732)
Pndib oc` Nph \i_ ?dz`m`i^` D_`iodod`n oj Q`mdat Joc`m D_`iod(
od`n
@s\hkg` 35 Q`mdat oc` d_`iodot
rrr)^f,-)jmb
^jn(x−y)
ndi x ndi y
= ^jo x ^jo y + 1
,4+
^jn(x − y)
ndi x ndi y
^jn x ^jn y ndi x ndi y
=
+
ndi x ndi y
ndi x ndi y
^jn x ^jn y
=
+1
ndi x ndi y
^jo x ^jo y + 1 = ^jo x ^jo y + 1
^jo x ^jo y + 1 =
@sk\i_ pndib oc` ^jndi` _dz`m`i^` ajmhpg\.
^jo\ib`io `lp\gn ^jndi` jq`m ndi`
@s\hkg` 45 Ncjr ^jn(a + b) ^jn(a − b) = ^jn2 a − ndi2 b
Njgpodji5 Admno' `sk\i_ g`ao c\i_ nd_` pndib oc` nph \i_ _dz`m`i^` ajmhpg\n5
^jn(a + b) ^jn(a − b) = (^jn a ^jn b − ndi a ndi b)(^jn a ^jn b + ndi a ndi b)
= ^jn2 a ^jn2 b − ndi2 a ndi2 b → AJDG' hd__g` o`mhn ^\i^`g jpo
Np]nodopo`(1 − ndi2 b)ajm ^jn2 b \i_(1 − ^jn2 a)ajm ndi2 a \i_ ndhkgdat)
^jn2 a(1 − ndi2 b) − ndi2 b(1 − ^jn2 a)
^jn2 a − ^jn2 a ndi2 b − ndi2 b + ^jn2 a ndi2 b
^jn2 a − ndi2 b
Njgqdib @lp\odjin rdoc oc` Nph \i_ ?dz`m`i^` Ajmhpg\n
Epno gdf` oc` n`^odji ]`ajm`' r` ^\i di^jmkjm\o` \gg ja oc` nph \i_ _dz`m`i^` ajmhpg\n dioj `lp\odjin \i_
njgq` ajm q\gp`n ja x) Di b`i`m\g' tjp rdgg \kkgt oc` ajmhpg\ ]`ajm` njgqdib ajm oc` q\md\]g`) Otkd^\ggt' oc`
bj\g rdgg ]` oj dnjg\o` ndi x, ^jn x' jm o\i x \i_ oc`i \kkgt oc` diq`mn`) M`h`h]`m' oc\o tjp h\t c\q` oj
pn` oc` d_`iodod`n di \__dodji oj oc` ajmhpg\n n``i di ocdn n`^odji oj njgq` \i `lp\odji)
@s\hkg` ,+5 Njgq` 3 ndi(x − π) = 3 di oc` dio`mq\g [0, 2π))
Njgpodji5 Admno' b`o ndi(x − π) ]t don`ga' ]t _dqd_dib ]joc nd_`n ]t 3)
3 ndi(x − π)
3
=
3
3
ndi(x − π) = 1
Ijr' `sk\i_ oc` g`ao nd_` pndib oc` ndi` _dz`m`i^` ajmhpg\)
ndi x ^jn π − ^jn x ndi π = 1
ndi x(−1) − ^jn x(0) = 1
− ndi x = 1
ndi x = −1
Oc` ndi x = −1 rc`i x dn
3π
2 )
!
"
@s\hkg` ,,5 Adi_ \gg oc` njgpodjin ajm 2 ^jn2 x + 2π = 1 di oc` dio`mq\g [0, 2π))
!
"
Njgpodji5 B`o oc` ^jn2 x + 2π ]t don`ga \i_ oc`i o\f` oc` nlp\m` mjjo)
,4,
rrr)^f,-)jmb
#
2 ^jn2 x +
#
^jn2 x +
π$
=1
2
$
π
1
=
2
2
4
√
#
$
π
1
1
2
^jn x +
=
= √ =
2
2
2
2
Ijr' pn` oc` ^jndi` nph ajmhpg\ oj `sk\i_ \i_ njgq`)
√
π
π
2
^jn x ^jn − ndi x ndi =
2
2
2
√
2
^jn x(0) − ndi x(1) =
√2
2
− ndi x =
2√
ndi x = −
Oc` ndi x = −
√
2
2
dn di Lp\_m\ion DDD \i_ DQ' nj x =
5π
4
\i_
2
2
7π
4 )
Kjdion oj >jind_`m
ȸ Rc\o \m` oc` \ibg`n oc\o c\q` 15◦ \i_ 75◦ \n m`a`m`i^` \ibg`n:
ȸ <m` oc` jigt \ibg`n oc\o r` ^\i {i_ oc` `s\^o ndi`' ^jndi`' jm o\ib`io q\gp`n ajm' hpgodkg`n ja
π
π
#M`^\gg oc\o 2π rjpg_ ]` 6 · 12
' h\fdib do \ hpgodkg` ja 12
$
M`qd`r Lp`nodjin
,) Adi_ oc` `s\^o q\gp` ajm5
#\$
#]$
#^$
#_$
#`$
#a$
5π
^jn 12
7π
^jn 12
ndi 345◦
o\i 75◦
^jn 345◦
ndi 17π
12
3
-) Da ndi y = 12
13 ' y dn di lp\_ DD' \i_ ndi z = 5 ' z dn di lp\_ D {i_ ^jn(y − z)
5
.) Da ndi y = − 13 ' y dn di lp\_ DDD' \i_ ndi z = 45 ' z dn di lp\_ DD {i_ ndi(y + z)
/) Ndhkgdat5
#\$ ^jn 80◦ ^jn 20◦ + ndi 80◦ ndi 20◦
#]$ ndi 25◦ ^jn 5◦ + ^jn 25◦ ndi 5◦
0)
1)
2)
3)
4)
,+)
^jn(m−n)
Kmjq` oc` d_`iodot5 ndi m ^jn n = ^jo m + o\i n
Ndhkgdat ^jn(π + θ) = − ^jn θ
Q`mdat oc` d_`iodot5 ndi(a + b) ndi(a − b) = ^jn2 b − ^jn2 a
Ndhkgdat o\i(π + θ)
Q`mdat oc\o ndi 2π = 1' pndib oc` ndi` nph ajmhpg\)
M`_p^` oc` ajggjrdib oj \ ndibg` o`mh5 ^jn(x + y) ^jn y + ndi(x + y) ndi y)
rrr)^f,-)jmb
,4-
π
12 :
,,) Kmjq`
^jn(c+d)
^jn(c−d)
,-) Adi_ \gg
1−o\i c o\i d
1+o\i c o\i d !
njgpodjin oj 2 ^jn2 x
=
"
= 1' rc`i x dn ]`or``i [0, 2π))
!
"
,.) Njgq` ajm \gg q\gp`n ja x ]`or``i [0, 2π) ajm 2 o\i2 x + 6π − 1 = 7)
!
"
!
"
,/) Adi_ \gg njgpodjin oj ndi x + 6π = ndi x − 4π ' rc`i x dn ]`or``i [0, 2π))
+
π
2
M`qd`r <inr`mn
,) #\$
# 2π 3π $
#π π$
5π
π
π
π
π
^jn
= ^jn
+
= ^jn
+
= ^jn ^jn − ndi ndi
12
12 12
6 4
6
4
6
4
√
√
√
√
√
√
√
3
2 1
2
6
2
6− 2
=
·
− ·
=
−
=
2
2
2 2
4
4
4
#]$
^jn
#^$
# 4π 3π $
#π π$
7π
π
π
π
π
= ^jn
+
= ^jn
+
= ^jn ^jn − ndi ndi
12
12 12
3 4
3
4
3
4
√
√
√
√
√
√
√
1
2
3
2
2
6
2− 6
= ·
−
·
=
−
=
2 2
2
2
4
4
4
ndi 345◦ = ndi(300◦ + 45◦ ) = ndi 300◦ ^jn 45◦ + ^jn 300◦ ndi 45◦
√
√
√
√
√
√
√
3
2 1
2
6
2
6+ 2
=−
·
+ ·
=−
+
=
2
2
2 2
4
4
4
#_$
o\i 45◦ + o\i 30◦
1 − o\i 45◦ o\i 30◦
√
√
√
√
√
3+ 3
√
3+ 3 3+ 3
9+6 3+3
12 + 6 3
3
=
=
=2+ 3
√ =
√ ·
√ =
3− 3
9−3
6
3− 3 3+ 3
o\i 75◦ = o\i(45◦ + 30◦ ) =
=
#`$
1+
1−1
√
3
3
√
· 33
3
^jn 345◦ = ^jn(315◦ + 30◦ ) = ^jn 315◦ ^jn 30◦ − ndi 315◦ ndi 30◦
√
√
√
√
√
2
3
2 1
6− 2
=
·
−
· =
2
2
2 2
4
#a$
ndi
# 9π 8π $
# 3π 2π $
17π
3π
2π
3π
2π
= ndi
+
= ndi
+
= ndi
^jn
+ ^jn
ndi
12
12 12
4
3
4
3
4
3
√
√
√
√
√
√
√
2 1
2
3
2
6
2− 6
=
· +−
·
=
−
=
2 2
2
2
4
4
4
5
2
2
2
-) Da ndi y = 12
13 \i_ di Lp\_m\io DD' oc`i ]t oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h ^jn y = − 13 (12 + b = 13 ))
3
4 2
2
2
<i_' da ndi z = 5 \i_ di Lp\_m\io D' oc`i ]t oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h ^jn z = 5 (a + 3 = 5 )) Nj'
5
3
20
36
16
oj {i_ ^jn(y − z) = ^jn y ^jn z + ndi y ndi z \i_ = − 13
· 45 + 12
13 · 5 = − 65 + 65 = 65
5
.) Da ndi y = − 13
\i_ di Lp\_m\io DDD' oc`i ^jndi` dn \gnj i`b\odq`) =t oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h' oc`
4
n`^ji_ g`b dn 12(52 + b2 = 132 )' nj ^jn y = − 12
13 ) Da oc` ndi z = 5 \i_ di Lp\_m\io DD' oc`i oc` ^jndi`
dn \gnj i`b\odq`) =t oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h' oc` n`^ji_ g`b dn 3(42 + b2 = 52 )' nj ^jn = − 35 ) Oj
{i_ ndi(y + z)' kgpb ocdn diajmh\odji dioj oc` ndi` nph ajmhpg\)
ndi(y + z) = ndi y ^jn z + ^jn y ndi z
5
3
12 4
15 48
33
=− ·− +− · =
−
=−
13
5
13 5
65 65
65
/) #\$ Ocdn dn oc` ^jndi` _dz`m`i^` ajmhpg\' nj5 ^jn 80◦ ^jn 20◦ +ndi 80◦ 20◦ = ^jn(80◦ −20◦ ) = ^jn 60◦ =
,4.
1
2
rrr)^f,-)jmb
#]$ Ocdn dn oc` `sk\i_`_ ndi` nph ajmhpg\' nj5 ndi 25◦ ^jn 5◦ + ^jn 25◦ ndi 5◦ = ndi(25◦ + 5◦ ) =
ndi 30◦ = 12
0) No`k ,5 @sk\i_ pndib oc` ^jndi` nph ajmhpg\ \i_ ^c\ib` `q`mtocdib dioj ndi` \i_ ^jndi`
^jn(m − n)
= ^jo m + o\i n
ndi m ^jn n
^jn m ^jn n + ndi m ndi n
^jn m ndi n
=
+
ndi m ^jn n
ndi m ^jn n
No`k -5 Adi_ \ ^jhhji _`ijhdi\ojm ajm oc` mdbco c\i_ nd_`)
=
^jn m ^jn n + ndi m ndi n
ndi m ^jn n
Oc` orj nd_`n \m` oc` n\h`' ocpn oc`t \m` `lp\g oj `\^c joc`m \i_ oc` d_`iodot dn omp`)
1) ^jn(π + θ) = ^jn π ^jn θ − ndi π ndi θ = − ^jn θ
2) No`k ,5 @sk\i_ ndi(a + b) \i_ ndi(a − b) pndib oc` ndi` nph \i_ _dz`m`i^` ajmhpg\n) ndi(a + b) ndi(a −
b) = ^jn2 b − ^jn2 a (ndi a ^jn b + ^jn a ndi b)(ndi a ^jn b − ^jn a ndi b)
No`k -5 AJDG \i_ ndhkgdat)
ndi2 a ^jn2 b − ndi a ^jn a ndi b ^jn b + ndi a ndi b ^jn a ^jn b − ^jn2 a ndi2 b ndi2 a ^jn2 b − ^jn a2 ndi2 b
No`k .5 Np]nodopo` (1 − ^jn2 a) ajm ndi2 a \i_ (1 − ^jn2 b) ajm ndi2 b' _dnomd]po` \i_ ndhkgdat)
(1 − ^jn2 a) ^jn2 b − ^jn a2 (1 − ^jn2 b)
^jn2 b − ^jn2 a ^jn2 b − ^jn2 a + ^jn2 a ^jn2 b
^jn2 b − ^jn2 a
o\i π+o\i θ
θ
3) o\i(π + θ) = 1−o\i
= o\i
1 = o\i θ
√
√
√
√
!
" π o\i θ
4) ndi 2π = ndi 4π + 4π = ndi 4π ^jn 4π − ^jn 4π ndi 4π = 22 · 22 − 22 · 22 = 24 − 24 = 0 Ocdn ^jpg_ \gnj ]` q`md{`_
]t pndib 60◦ + 30◦
,+) No`k ,5 @sk\i_ pndib oc` ^jndi` \i_ ndi` nph ajmhpg\n)
^jn(x + y) ^jn y + ndi(x + y) ndi y = (^jn x ^jn y − ndi x ndi y) ^jn y + (ndi x ^jn y + ^jn x ndi y) ndi y
No`k -5 ?dnomd]po` ^jn y \i_ ndi y \i_ ndhkgdat)
= ^jn x ^jn2 y − ndi x ndi y ^jn y + ndi x ndi y ^jn y + ^jn x ndi2 y
= ^jn x ^jn2 y + ^jn x ndi2 y
= ^jn x (^jn2 y + ndi2 y)
.!!!!!!!!!!!!!!!/0!!!!!!!!!!!!!!!1
1
= ^jn x
,,) No`k ,5 @sk\i_ g`ao c\i_ nd_` pndib oc` nph \i_ _dz`m`i^` ajmhpg\n
^jn(c + d)
1 − o\i c o\i d
=
1 + o\i c o\i d
^jn(c − d)
^jn c ^jn d − ndi c ndi d
1 − o\i c o\i d
=
^jn c ^jn d + ndi c ndi d
1 + o\i c o\i d
No`k -5 ?dqd_` `\^c o`mh ji oc` g`ao nd_` ]t ^jn c ^jn d \i_ ndhkgdat
^jn c ^jn d
^jn c ^jn d
^jn c ^jn d
^jn c ^jn d
−
ndi c ndi d
^jn c ^jn d
ndi c ndi d
^jn c ^jn d
=
1 − o\i c o\i d
1 + o\i c o\i d
−
1 − o\i c o\i d
1 − o\i c o\i d
=
1 + o\i c o\i d
1 + o\i c o\i d
rrr)^f,-)jmb
,4/
,-) Oj {i_ \gg oc` njgpodjin' ]`or``i [0, 2π)' r` i``_ oj `sk\i_ pndib oc` nph ajmhpg\ \i_ dnjg\o` oc`
#
^jn x)
π$
2 ^jn2 x +
=1
2
#
$
π
1
^jn2 x +
=
2
2
4
√
#
π$
1
2
^jn x +
=
=
2
2
2
√
π
π
2
^jn x ^jn − ndi x ndi =
2
2
√2
2
^jn x · 0 − ndi x · 1 =
√2
2
− ndi x =
2√
2
ndi x = −
2
Ocdn dn omp` rc`i x =
,.) Admno' njgq` ajm o\i())
5π
4
jm
7π
4
#
π$
2 o\i2 x +
−1=7
# 6 π$
2 o\i2 x +
=6
6$
#
π
o\i2 x +
=3
6$
#
√
π
o\i x +
= 3
6
Ijr' pn` oc` o\ib`io nph ajmhpg\ oj `sk\i_)
o\i x + o\i 6π
1 − o\i x o\i 6π
π
o\i x + o\i
6
√
3
o\i x +
3
√
3
o\i x +
3
=
=
=
=
2 o\i x =
o\i x =
√
3
√ #
π$
3 1 − o\i x o\i
6
√
√
√
3
3 − 3 o\i x ·
3
√
3 − o\i x
√
2 3
√3
3
3
Ocdn dn omp` rc`i x = 6π jm 7π
6 )
,/) Oj njgq`' `sk\i_ `\^c nd_`5
#
π$
π
π
ndi x +
= ndi x ^jn + ^jn x ndi =
6
6
6
#
$
π
π
π
ndi x −
= ndi x ^jn − ^jn x ndi =
4
4
4
√
3
1
ndi x + ^jn x
2
2
√
√
2
2
ndi x −
^jn x
2
2
N`o oc` orj nd_`n `lp\g oj `\^c joc`m5
,40
rrr)^f,-)jmb
√
√
√
3
1
2
2
ndi x + ^jn x =
ndi x −
^jn x
2√
2
√2
√2
3 ndi x + ^jn x = 2 ndi x − 2 ^jn x
√
√
√
3 ndi x − 2 ndi x = − ^jn x − 2 ^jn x
!√
!
√ "
√ "
ndi x 3 − 2 = ^jn x −1 − 2
√
ndi x
−1 − 2
= √
√
^jn x
3− 2
√
√
√
−1 − 2
3+ 2
o\i x = √
√ · √
√
3− 2
3+ 2
√
√
√
− 3− 2+ 6−2
=
√ 3 − 2√
√
= −2 + 6 − 3 − 2
<n \ _`^dh\g' ocdn dn −2.69677' nj o\i−1 (−2.69677) = x, x = 290.35◦ \i_ 110.35◦ )
.)0 ?jp]g` <ibg` D_`iodod`n
G`\midib J]e`^odq`n
ȸ Pn` oc` _jp]g` \ibg` d_`iodod`n oj njgq` joc`m d_`iodod`n)
ȸ Pn` oc` _jp]g` \ibg` d_`iodod`n oj njgq` `lp\odjin)
?`mdqdib oc` ?jp]g` <ibg` D_`iodod`n
Ji` ja oc` ajmhpg\n ajm ^\g^pg\odib oc` nph ja orj \ibg`n dn5
ndi(α + β) = ndi α ^jn β + ^jn α ndi β
Da α \i_ β \m` ]joc oc` n\h` \ibg` di oc` \]jq` ajmhpg\' oc`i
ndi(α + α) = ndi α ^jn α + ^jn α ndi α
ndi 2α = 2 ndi α ^jn α
Ocdn dn oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\ ajm oc` ndi` api^odji) Oc` n\h` kmj^`_pm` ^\i ]` pn`_ di oc` nph ajmhpg\
ajm ^jndi`' no\mo rdoc oc` nph \ibg` ajmhpg\5
^jn(α + β) = ^jn α ^jn β − ndi α ndi β
Da α \i_ β \m` ]joc oc` n\h` \ibg` di oc` \]jq` ajmhpg\' oc`i
^jn(α + α) = ^jn α ^jn α − ndi α ndi α
^jn 2α = ^jn2 α − ndi2 α
Ocdn dn ji` ja oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n ajm oc` ^jndi` api^odji) Orj hjm` ajmhpg\n ^\i ]` _`mdq`_ ]t
pndib oc` Ktoc\bjm`\i D_`iodot' ndi2 α + ^jn2 α = 1)
rrr)^f,-)jmb
,41
ndi2 α = 1 − ^jn2 α \i_ gdf`rdn` ^jn2 α = 1 − ndi2 α
Pndib ndi2 α = 1 − ^jn2 α :
Pndib ^jn2 α = 1 − ndi2 α :
^jn 2α = ^jn2 α − ndi2 α
^jn 2α = ^jn2 α − ndi2 α
= ^jn2 α − (1 − ^jn2 α)
= (1 − ndi2 α) − ndi2 α
= ^jn2 α − 1 + ^jn2 α
= 1 − ndi2 α − ndi2 α
= 2 ^jn2 α − 1
= 1 − 2 ndi2 α
Oc`m`ajm`' oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n ajm ^jn 2a \m`5
^jn 2α = ^jn2 α − ndi2 α
^jn 2α = 2 ^jn2 α − 1
^jn 2α = 1 − 2 ndi2 α
Adi\ggt' r` ^\i ^\g^pg\o` oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\ ajm o\ib`io' pndib oc` o\ib`io nph ajmhpg\5
o\i(α + β) =
o\i α + o\i β
1 − o\i α o\i β
Da α \i_ β \m` ]joc oc` n\h` \ibg` di oc` \]jq` ajmhpg\' oc`i
o\i α + o\i α
1 − o\i α o\i α
2 o\i α
o\i 2α =
1 − o\i2 α
o\i(α + α) =
<kkgtdib oc` ?jp]g` <ibg` D_`iodod`n
@s\hkg` ,5 Da ndi a =
5
13
\i_ a dn di Lp\_m\io DD' {i_ ndi 2a ^jn 2a' \i_ o\i 2a)
Njgpodji5 Oj pn` ndi 2a = 2 ndi a ^jn a' oc` q\gp` ja ^jn a hpno ]` ajpi_ {mno)
= ^jn2 a + ndi2 a = 1
# 5 $2
2
= ^jn a +
=1
13
25
= ^jn2 a +
=1
169
144
12
= ^jn2 a =
, ^jn a = ±
169
13
)
Cjr`q`m ndi^` a dn di Lp\_m\io DD' ^jn a dn i`b\odq` jm ^jn a = − 12
13 )
# 5 $ # 12 $
120
ndi 2a = 2 ndi a ^jn a = 2
× −
= ndi 2a = −
13
13
169
Ajm ^jn 2a' pn` ^jn(2a) = ^jn2 a − ndi2 a
# 12 $2 # 5 $2
144 − 25
^jn(2a) = −
−
jm
13
13
169
119
^jn(2a) =
169
,42
rrr)^f,-)jmb
Ajm o\i 2a' pn` o\i 2a =
2 o\i a
)
1−o\i2 a
Amjh \]jq`' o\i a =
o\i(2a) =
@s\hkg` -5 Adi_ ^jn 4θ)
5
13
− 12
13
−5
2 · −5
12
6
=
=
! "2
25
−5
1
−
1 − 12
144
5
= − 12
)
−5
6
119
144
5 144
120
=− ·
=−
6 119
119
Njgpodji5 Ocdif ja ^jn 4θ \n ^jn(2θ + 2θ))
^jn 4θ = ^jn(2θ + 2θ) = ^jn 2θ ^jn 2θ − ndi 2θ ndi 2θ = ^jn2 2θ − ndi2 2θ
Ijr' pn` oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n ajm ]joc ndi` \i_ ^jndi`) Ajm ^jndi`' tjp ^\i kd^f rcd^c ajmhpg\ tjp
rjpg_ gdf` oj pn`) Di b`i`m\g' ]`^\pn` r` \m` kmjqdib \ ^jndi` d_`iodot' no\t rdoc ^jndi`)
= (2 ^jn2 θ − 1)2 − (2 ndi θ ^jn θ)2
= 4 ^jn4 θ − 4 ^jn2 θ + 1 − 4 ndi2 θ ^jn2 θ
= 4 ^jn4 θ − 4 ^jn2 θ + 1 − 4(1 − ^jn2 θ) ^jn2 θ
= 4 ^jn4 θ − 4 ^jn2 θ + 1 − 4 ^jn2 θ + 4 ^jn4 θ
= 8 ^jn4 θ − 8 ^jn2 θ + 1
@s\hkg` .5 Da ^jo x =
4
3
\i_ x dn \i \^po` \ibg`' {i_ oc` `s\^o q\gp` ja o\i 2x )
Njgpodji5 >jo\ib`io \i_ o\ib`io \m` m`^dkmj^\g api^odjin' o\i x =
2 o\i x
1 − o\i2 x
2 · 34
=
! "2
1 − 34
1
^jo x
\i_ o\i x = 34 )
o\i 2x =
=
3
2
=
3
2
7
16
9
1 − 16
3 16
24
= ·
=
2 7
7
@s\hkg` /5 Bdq`i ndi(2x) =
2
3
\i_ x dn di Lp\_m\io D' {i_ oc` q\gp` ja ndi x)
Njgpodji5 Pndib oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\' ndi 2x = 2 ndi
√ x ^jn x) =`^\pn` r` _j ijo fijr ^jn x' r` i``_
oj njgq` ajm ^jn x di oc` Ktoc\bjm`\i D_`iodot' ^jn x = 1 − ndi2 x) Np]nodopo` ocdn dioj jpm ajmhpg\ \i_
njgq` ajm ndi x)
ndi 2x = 2 ndi x ^jn x
2
= 2 ndi x 1 − ndi2 x
3
# 2 $2 #
$2
= 2 ndi x 1 − ndi2 x
3
4
= 4 ndi2 x(1 − ndi2 x)
9
4
= 4 ndi2 x − 4 ndi4 x
9
<o ocdn kjdio r` i``_ oj b`o md_ ja oc` am\^odji' nj hpgodkgt ]joc nd_`n ]t oc` m`^dkmj^\g)
rrr)^f,-)jmb
,43
$
9 #4
= 4 ndi2 x − 4 ndi4 x
4 9
1 = 9 ndi2 x − 9 ndi4 x
0 = 9 ndi4 x − 9 ndi2 x + 1
Ijr' ocdn dn di oc` ajmh ja \ lp\_m\od^ `lp\odji' `q`i ocjpbc do dn \ lp\mod^) N`o a = ndi2 x' h\fdib oc`
`lp\odji 9a2 − 9a + 1 = 0) Ji^` r` c\q` njgq`_ ajm a' oc`i r` ^\i np]nodopo` ndi2 x ]\^f di \i_ njgq` ajm
x) Di oc` Lp\_m\od^ Ajmhpg\' a = 9, b = −9, c = 1)
√
√
√
√
9 ± (−9)2 − 4(9)(1)
9 ± 81 − 36
9 ± 45
9±3 5
3± 5
=
=
=
=
18
18
18
6
2(9)
√
Nj' a = 3+6
ndi x ≈ .357)
5
≈ 0.873 jm
@s\hkg` 05 Kmjq` o\i θ =
√
3− 5
6
≈ .1273) Ocdn h`\in oc\o ndi2 x ≈ 0.873 jm .1273 nj ndi x ≈ 0.934 jm
1−^jn 2θ
ndi 2θ
Njgpodji5 Np]nodopo` di oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n) Pn` ^jn 2θ = 1 − 2 ndi2 θ' ndi^` do rdgg kmj_p^` jigt ji`
o`mh di oc` iph`m\ojm)
1 − (1 − 2 ndi2 θ)
2 ndi θ ^jn θ
2 ndi2 θ
=
2 ndi θ ^jn θ
ndi θ
=
^jn θ
= o\i θ
o\i θ =
Njgqdib @lp\odjin rdoc ?jp]g` <ibg` D_`iodod`n
Hp^c gdf` oc` km`qdjpn n`^odjin' oc`n` kmj]g`hn \gg diqjgq` ndhdg\m no`kn oj njgq` ajm oc` q\md\]g`) Dnjg\o`
oc` omdbjijh`omd^ api^odji' pndib \it ja oc` d_`iodod`n \i_ ajmhpg\n tjp c\q` \^^phpg\o`_ ocpn a\m)
@s\hkg` 15 Adi_ \gg njgpodjin oj oc` `lp\odji ndi 2x = ^jn x di oc` dio`mq\g [0, 2π]
Njgpodji5 <kkgt oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\ ndi 2x = 2 ndi x ^jn x
2 ndi x ^jn x = ^jn x
2 ndi x ^jn x − ^jn x = ^jn x − ^jn x
2 ndi x ^jn x − ^jn x = 0
^jn x(2 ndi x − 1) = 0 A\^ojm jpo ^jn x
Oc`i ^jn x = 0 jm 2 ndi x − 1 = 0
^jn x = 0 jm 2 ndi x − 1 + 1 = 0 + 1
2
1
ndi x =
2
2
1
ndi x =
2
Oc` q\gp`n ajm ^jn x = 0 di oc` dio`mq\g [0, 2π] \m` x = 2π \i_ x = 3π
2 \i_ oc` q\gp`n ajm ndi x =
dio`mq\g [0, 2π] \m` x = 6π \i_ x = 5π
)
Ocpn'
oc`m`
\m`
ajpm
njgpodjin)
6
1
2
di oc`
@s\hkg` 25 Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji ndi 2x = ndi x np^c oc\o (−π ≤ x < π)
,44
rrr)^f,-)jmb
Njgpodji5 Pndib oc` ndi` _jp]g` \ibg` ajmhpg\5
ndi 2x = ndi x
2 ndi x ^jn x = ndi x
2 ndi x ^jn x − ndi x = 0
ndi x(2 ^jn x − 1) = 0








*


9
2 ^jn x − 1 = 0
2 ^jn x = 1
ndi x = 0
x = 0, −π
1
2
π π
x = ,−
3 3
^jn x =
@s\hkg` 35 Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja ^jn 2x bdq`i ^jn x = − 13
14 da x dn di oc` n`^ji_ lp\_m\io)
Njgpodji5 Pn` oc` _jp]g`(\ibg` ajmhpg\ rdoc ^jndi` jigt)
^jn 2x = 2 ^jn2 x − 1
# 13 $2
^jn 2x = 2 −
−1
14
# 169 $
^jn 2x = 2
−1
196
# 338 $
^jn 2x =
−1
196
338 196
^jn 2x =
−
196 196
142
71
^jn 2x =
=
196
98
√
@s\hkg` 45 Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 4 ndi θ ^jn θ = 3 jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π))
Njgpodji5 Kpgg jpo \ - amjh oc` g`ao(c\i_ nd_` \i_ ocdn dn oc` ajmhpg\ ajm ndi 2x)
√
4 ndi θ ^jn θ = 3
√
2(2 ndi θ ^jn θ) = 3
2(2 ndi θ ^jn θ) = 2 ndi 2θ
√
2 ndi 2θ = 3
√
3
ndi 2θ =
2
Oc` njgpodjin ajm 2θ \m`
π π 7π 8π
6, 3, 6 , 6 )
π 2π 7π 8π
3, 3 , 3 , 3 '
_dqd_dib `\^c ja oc`n` ]t -' r` b`o oc` njgpodjin ajm θ' rcd^c \m`
Kjdion oj >jind_`m
ȸ <m` oc`m` ndhdg\m ajmhpg\n oc\o ^\i ]` _`mdq`_ ajm joc`m \ibg`n:
ȸ >\i o`^cijgjbt ]` pn`_ oj `doc`m njgq` oc`n` omdbjijh`omd^ `lp\odjin jm oj ^ji{mh oc` njgpodjin:
rrr)^f,-)jmb
-++
M`qd`r Lp`nodjin
,)
-)
.)
/)
0)
1)
2)
3)
Da ndi x = 45 \i_ x dn di Lp\_ DD' {i_ oc` `s\^o q\gp`n ja ^jn 2x, ndi 2x \i_ o\i 2x
Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja ^jn2 15◦ − ndi2 15◦
Q`mdat oc` d_`iodot5 ^jn 3θ = 4 ^jn3 θ − 3 ^jn θ
Q`mdat oc` d_`iodot5 ndi 2t − o\i t = o\i t ^jn 2t
9
Da ndi x = − 41
\i_ x dn di Lp\_ DDD' {i_ oc` `s\^o q\gp`n ja ^jn 2x, ndi 2x \i_ o\i 2x
Adi_ \gg njgpodjin oj ndi 2x + ndi x = 0 da 0 ≤ x < 2π
Adi_ \gg njgpodjin oj ^jn2 x − ^jn 2x = 0 da 0 ≤ x < 2π
Da o\i x = 34 \i_ 0◦ < x < 90◦ ' pn` oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n oj _`o`mhdi` `\^c ja oc` ajggjrdib5
#\$ o\i 2x
#]$ ndi 2x
#^$ ^jn 2x
4) Pn` oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n oj kmjq` oc\o oc` ajggjrdib `lp\odjin \m` d_`iodod`n)
#\$ 2 ^n^ 2x = ^n^2 x o\i x
#]$ ^jn4 θ − ndi4 θ = ^jn 2θ
ndi 2x
#^$ 1+^jn
2x = o\i x
,+)
,,)
,-)
,.)
,/)
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji ^jn 2x − 1 = ndi2 x np^c oc\o [0, 2π)
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji ^jn 2x = ^jn x np^c oc\o 0 ≤ x < π
Kmjq` 2 ^n^ 2x o\i x = n`^2 x)
Njgq` ndi 2x − ^jn 2x = 1 ajm x di oc` dio`mq\g [0, 2π))
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji ndi2 x − 2 = ^jn 2x np^c oc\o 0 ≤ x < 2π
M`qd`r <inr`mn
,) Da ndi x = 45 \i_ di Lp\_m\io DD' oc`i ^jndi` \i_ o\ib`io \m` i`b\odq`) <gnj' ]t oc` Ktoc\bjm`\i
√
Oc`jm`h' oc` ocdm_ nd_` dn 3(b = 52 − 42 )) Nj' ^jn x = − 35 \i_ o\i x = − 43 ) Pndib ocdn' r` ^\i {i_
ndi 2x, ^jn 2x' \i_ o\i 2x)
2 o\i x
^jn 2x = 1 − ndi2 x
o\i 2x =
1 − o\i2 x
# 4 $2
2 · − 43
=1−2·
=
! "2
5
1 − −4
3
ndi 2x = 2 ndi x ^jn x
=1−2·
4
3
·−
5
5
24
=−
25
=2·
=1−
=−
16
25
32
25
7
25
− 83
8
7
=− ÷−
3
9
1−
8
9
=− ·−
3
7
24
=
7
=
16
9
-) Ocdn dn ji` ja oc` ajmhn ajm ^jn 2x) 2 ◦
^jn 15 − ndi2 15◦ = ^jn(15◦ · 2)
= ^jn 30◦
√
3
=
2
.) No`k ,5 Pn` oc` ^jndi` nph ajmhpg\
^jn 3θ = 4 ^jn3 θ − 3 ^jn θ
^jn(2θ + θ) = ^jn 2θ ^jn θ − ndi 2θ ndi θ
-+,
rrr)^f,-)jmb
No`k -5 Pn` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n ajm ^jn 2θ \i_ ndi 2θ
= (2 ^jn2 θ − 1) ^jn θ − (2 ndi θ ^jn θ) ndi θ
No`k .5 ?dnomd]po` \i_ ndhkgdat)
= 2 ^jn3 θ − ^jn θ − 2 ndi2 θ ^jn θ
= − ^jn θ(−2 ^jn2 θ + 2 ndi2 θ + 1)
= − ^jn θ[−2 ^jn2 θ + 2(1 − ^jn2 θ) + 1]
= − ^jn θ[−2 ^jn2 θ + 2 − 2 ^jn2 θ + 1]
→ Np]nodopm` 1 − ^jn2 θ ajm ndi2 θ
= − ^jn θ(−4 ^jn2 θ + 3)
= 4 ^jn3 θ − 3 ^jn θ
/) No`k ,5 @sk\i_ ndi 2t pndib oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\)
ndi 2t − o\i t = o\i t ^jn 2t
2 ndi t ^jn t − o\i t = o\i t ^jn 2t
No`k -5 ^c\ib` o\i t \i_ {i_ \ ^jhhji _`ijhdi\ojm)
ndi t
^jn t
2 ndi t ^jn2 t − ndi t
^jn t
ndi t(2 ^jn2 t − 1)
^jn t
ndi t
· (2 ^jn2 t − 1)
^jn t
o\i t ^jn 2t
2 ndi t ^jn t −
9
0) Da ndi x = − 41
\i_ di Lp\_m\io DDD' oc`i ^jn x = − 40
41 \i_ o\i x =
2
2
b = 41 − (−9) $) Nj'
^jn 2x = 2 ^jn2 x − 1
# 40 $2
ndi 2x = 2 ndi x ^jn x
=2 −
−1
41
9
40
3200 1681
=2·− ·−
=
−
41
41
1681 1681
720
1519
=
=
1681
1681
1) No`k ,5 @sk\i_ ndi 2x
#Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h'
9
40
o\i 2x =
ndi 2x + ndi x = 0
2 ndi x ^jn x + ndi x = 0
ndi x(2 ^jn x + 1) = 0
No`k -5 N`k\m\o` \i_ njgq` `\^c ajm x)
2 ^jn x + 1 = 0
1
2
2π 4π
x=
,
3 3
ndi x = 0
x = 0, π
rrr)^f,-)jmb
^jn x = −
jm
-+-
=
=
ndi 2x
^jn 2x
720
1681
1519
1681
720
1519
2) @sk\i_ ^jn 2x \i_ ndhkgdat
^jn2 x − ^jn 2x = 0
^jn2 x − (2 ^jn2 x − 1) = 0
− ^jn2 x + 1 = 0
^jn2 x = 1
^jn x = 1
^jn x = 1 rc`i x = 0, 2π
3) #\$ 3.429
#]$ 0.960
4) #\$
#^$ 0.280
2
ndi 2x
2
2x =
2 ndi x ^jn x
1
2x =
ndi
x
^jn
+
,# x
$
ndi x
1
2x =
ndi x ndi x ^jn x
ndi x
2x =
2
ndi x ^jn x
1
ndi x
2x =
·
2
^jn
x
ndi x
2
2x = ^n^ x o\i x
2 ^n^ x 2x =
2 ^n^ x
2 ^n^ x
2 ^n^ x
2 ^n^ x
2 ^n^ x
#]$
2 ^n^ x
^jn4 θ − ndi4 θ = (^jn2 θ + ndi2 θ)(^jn2 θ − ndi2 θ)
^jn4 − ndi4 θ = 1(^jn2 θ − ndi2 θ)
^jn 2θ = ^jn2 θ − ndi2 θ
#^$
∴ ^jn4 θ − ndi4 θ = ^jn 2θ
ndi 2x
1 + ^jn 2x
ndi 2x
1 + ^jn 2x
ndi 2x
1 + ^jn 2x
ndi 2x
1 + ^jn 2x
ndi 2x
1 + ^jn 2x
ndi 2x
1 + ^jn 2x
=
=
=
=
=
2 ndi x ^jn x
1 + (1 − 2 ndi2 x)
2 ndi x ^jn x
2 − 2 ndi2 x
2 ndi x ^jn x
2(1 − ndi2 x)
2 ndi x ^jn x
2 ^jn2 x
ndi x
^jn x
= o\i x
,+) ^jn 2x − 1 = ndi2 x
-+.
rrr)^f,-)jmb
1 − 2 ndi2 x = ndi2 x
1 = 3 ndi2 x
1
= ndi2 x
3
√
3
= ndi x
3
x = 35.26◦ , 144.74◦
,,)
^jn 2x = ^jn x
2 ^jn2 x − 1 = ^jn x
2 ^jn2 x − ^jn x − 1 = 0
(2 ^jn x + 1)(^jn x − 1) = 0
*
*
2 ^jn x + 1 = 0 jm ^jn x − 1 = 0
2 ^jn x = −1
1
^jn x = −
2
,-) ^jn x = 1 rc`i x = 0 \i_ ^jn x = − 1 rc`i x =
2
^jn x = 1
5π
6 )
2 ^n^ 2x o\i x = n`^2 x
2
ndi x
1
·
=
ndi 2x ^jn x
^jn2 x
2
ndi x
1
·
=
2 ndi x ^jn x ^jn x
^jn2 x
1
1
=
^jn2 x
^jn2 x
,.) ndi 2x − ^jn 2x = 1
rrr)^f,-)jmb
-+/
2 ndi x ^jn x − (1 − 2 ndi2 x) = 1
2 ndi x ^jn x − 1 + 2 ndi2 x = 1
2 ndi x ^jn x + 2 ndi2 x = 2
ndi x ^jn x + ndi2 x = 1
ndi x ^jn x = 1 − ndi2 x
ndi x ^jn x = ^jn2 x
"
1 − ^jn2 x ^jn x = ^jn2 x
!
"
1 − ^jn2 x ^jn2 x = ^jn4 x
!√
^jn2 x − ^jn4 x = ^jn4 x
^jn2 x − 2 ^jn4 x = 0
^jn2 x(1 − 2 ^jn2 x) = 0
+
*
1 − 2 ^jn2 x = 0
^jn2 x = 0
^jn x = 0
x=
jm
π 3π
,
2 2
− 2 ^jn2 x = −1
1
^jn2 x =
2√
2
^jn x =
2
π 7π
x= ,
4 4
,/) Pn` oc` _jp]g` \ibg` d_`iodot ajm ^jn 2x)
ndi2 x − 2 = ^jn 2x
ndi2 x − 2 = ^jn 2x
ndi2 x − 2 = 1 − 2 ndi2 x
3 ndi2 x = 3
ndi2 x = 1
ndi x = ±1
π 3π
x= ,
2 2
.)1 C\ga(<ibg` D_`iodod`n
G`\midib J]e`^odq`n
ȸ <kkgt oc` c\ga \ibg` d_`iodod`n oj `skm`nndjin' `lp\odjin \i_ joc`m d_`iodod`n)
ȸ Pn` oc` c\ga \ibg` d_`iodod`n oj {i_ oc` `s\^o q\gp` ja omdbjijh`omd^ api^odjin ajm ^`mo\di \ibg`n)
Epno \n oc`m` \m` _jp]g` \ibg` d_`iodod`n' oc`m` \m` \gnj c\ga \ibg` d_`iodod`n) Ajm `s\hkg`5 ndi 12 a ^\i ]`
ajpi_ di o`mhn ja oc` \ibg` ȳaȴ) M`^\gg oc\o 12 a \i_ 2a \m` oc` n\h` ocdib \i_ rdgg ]` pn`_ dio`m^c\ib`\]gt
ocmjpbcjpo ocdn n`^odji)
-+0
rrr)^f,-)jmb
?`mdqdib oc` C\ga <ibg` Ajmhpg\n
Di oc` km`qdjpn g`nnji' ji` ja oc` ajmhpg\n oc\o r\n _`mdq`_ ajm oc` ^jndi` ja \ _jp]g` \ibg` dn5 ^jn 2θ =
1 − 2 ndi2 θ) N`o θ = α2 ' nj oc` `lp\odji \]jq` ]`^jh`n ^jn 2 α2 = 1 − 2 ndi2 α2 )
Njgqdib ocdn ajm ndi α2 ' r` b`o5
α
α
= 1 − 2 ndi2
2
2
2 α
^jn α = 1 − 2 ndi
2
2 α
2 ndi
= 1 − ^jn α
2
α
1 − ^jn α
ndi2 =
2
42
α
1 − ^jn α
ndi = ±
2
2
^jn 2
ndi
α
2
=
5
ndi α2 = −
1−^jn α
2
5
da
1−^jn α
2
α
2
da
dn gj^\o`_ di `doc`m oc` {mno jm n`^ji_ lp\_m\io)
α
2
dn gj^\o`_ di oc` ocdm_ jm ajpmoc lp\_m\io)
@s\hkg` ,5 ?`o`mhdi` oc` `s\^o q\gp` ja ndi 15◦ )
◦
◦
Njgpodji5
5 Pndib oc` c\ga \ibg` d_`iodot' α = 30 ' \i_ 15 dn gj^\o`_ di oc` {mno lp\_m\io) Oc`m`ajm`'
α
ndi α2 = 1−^jn
)
2
4
1 − ^jn 30◦
◦
ndi 15 =
2
:
: √
:
√
√
3
2− 3
1− 2
2− 3
2
=
=
=
2
2
4
Kgpbbdib ocdn dioj \ ^\g^pg\ojm'
oc\o ocdn \inr`m dn ^jmm`^o)
5
√
2− 3
4
≈ 0.2588) Pndib oc` ndi` api^odji ji tjpm ^\g^pg\ojm rdgg q\gd_\o`
@s\hkg` -5 Pn` oc` c\ga \ibg` d_`iodot oj {i_ `s\^o q\gp` ja ndi 112.5◦
◦
◦
◦
Njgpodji5 ndi^` ndi 225
2 = ndi 112.5 ' pn` oc` c\ga \ibg` ajmhpg\ ajm ndi`' rc`m` α = 225 ) Di ocdn `s\hkg`'
◦
oc` \ibg` 112.5 dn \ n`^ji_ lp\_m\io \ibg`' \i_ oc` ndi ja \ n`^ji_ lp\_m\io \ibg` dn kjndodq`)
225◦
ndi 112.5◦ = ndi
4 2
1 − ^jn 225◦
=±
2
;
<
# √ $
=
1 − − 22
=+
2
:
√
2
2
2 + 2
=
2
:
√
2+ 2
=
4
rrr)^f,-)jmb
-+1
Ji` ja oc` joc`m ajmhpg\n oc\o r\n _`mdq`_ ajm oc` ^jndi` ja \ _jp]g` \ibg` dn5
^jn 2θ = 2 ^jn2 θ − 1) N`o θ = α2 ' nj oc` `lp\odji ]`^jh`n ^jn 2 α2 = −1 + 2 ^jn2 α2 ) Njgqdib ocdn ajm ^jn α2 ' r`
b`o5
α
α
= 2 ^jn2 − 1
2
2
2 α
^jn α = 2 ^jn
−1
2
α
2 ^jn2 = 1 + ^jn α
2
1 + ^jn α
2 α
^jn
=
2
42
α
1 + ^jn α
^jn = ±
2
2
^jn 2
^jn
α
2
=
5
^jn α2 = −
1+^jn α
2
5
da
1+^jn α
2
α
2
da
dn gj^\o`_ di `doc`m oc` {mno jm ajpmoc lp\_m\io)
α
2
dn gj^\o`_ di `doc`m oc` n`^ji_ jm ajpmoc lp\_m\io)
@s\hkg` .5 Bdq`i oc\o oc` ^jn θ = 34 ' \i_ oc\o θ dn \ ajpmoc lp\_m\io \ibg`' {i_ ^jn 12 θ
Njgpodji5 =`^\pn` θ dn di oc` ajpmoc lp\_m\io' oc` c\ga \ibg` rjpg_ ]` di oc` n`^ji_ lp\_m\io' h\fdib
oc` ^jndi` ja oc` c\ga \ibg` i`b\odq`)
4
θ
1 + ^jn θ
^jn = −
2
2
:
1 + 34
=−
2
:
=−
=−
7
4
4
2
√
√
7
7
14
=− √ =−
8
4
2 2
@s\hkg` /5 Pn` oc` c\ga \ibg` ajmhpg\ ajm oc` ^jndi` api^odji oj kmjq` oc\o oc` ajggjrdib `skm`nndji dn
\i d_`iodot5 2 ^jn2 2x − ^jn x = 1
5
α
Njgpodji5 Pn` oc` ajmhpg\ ^jn α2 = 1+^jn
\i_ np]nodopo` do ji oc` g`ao(c\i_ nd_` ja oc` `skm`nndji)
2
4
2
 1 + ^jn θ 
 − ^jn θ = 1
2 
2
# 1 + ^jn θ $
2
− ^jn θ = 1
2
1 + ^jn θ − ^jn θ = 1
1=1
Oc` c\ga \ibg` d_`iodot ajm oc` o\ib`io api^odji ]`bdin rdoc oc` m`^dkmj^\g d_`iodot ajm o\ib`io)
o\i α =
ndi α2
ndi α
α
⇒ o\i =
^jn α
2
^jn α2
Oc` c\ga \ibg` ajmhpg\n ajm ndi` \i_ ^jndi` \m` oc`i np]nodopo`_ dioj oc` d_`iodot)
-+2
rrr)^f,-)jmb
5
1−^jn α
2
α
o\i = 5
2
1+^jn α
√
= √
<o ocdn kjdio' tjp ^\i hpgodkgt ]t `doc`m
_dz`m`io \inr`mn)
√
= √
1 − ^jn α
1 + ^jn α
1 − ^jn α
= √
1 − ^jn2 α
1 − ^jn α
= √
ndi2 α
1 − ^jn α
=
ndi α
√
· √
√
√1−^jn α
1−^jn α
jm
2
1 − ^jn α
1 + ^jn α
√
1+^jn α
√
)
1+^jn α
R` rdgg ncjr ]joc' ]`^\pn` oc`t kmj_p^`
√
1 − ^jn α
√
1 + ^jn α
= √
· √
1 + ^jn α
1 + ^jn α
√
1 − ^jn2 α
=
1 + ^jn α
√
ndi2 α
=
1 + ^jn α
ndi α
=
1 + ^jn α
1 − ^jn α
jm
Nj' oc` orj c\ga \ibg` d_`iodod`n ajm o\ib`io \m` o\i α2 =
1−^jn α
ndi α
1 − ^jn α
\i_ o\i α2 =
ndi α
1+^jn α )
7π
@s\hkg` 05 Pn` oc` c\ga(\ibg` d_`iodot ajm o\ib`io oj _`o`mhdi` \i `s\^o q\gp` ajm o\i 12
)
Njgpodji5
α
1 − ^jn α
=
2
ndi α
1
−
^jn 7π
7π
6
o\i
=
7π
12
ndi 6
o\i
√
1 + 23
7π
o\i
=
12
− 12
√
7π
o\i
= −2 − 3
12
@s\hkg` 15 Kmjq` oc` ajggjrdib d_`iodot5 o\i x =
1−^jn 2x
ndi 2x
Njgpodji5 Np]nodopo` oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\n ajm ^jn 2x \i_ ndi 2x)
1 − ^jn 2x
ndi 2x
1 − (1 − 2 ndi2 x)
=
2 ndi x ^jn x
1 − 1 + 2 ndi2 x
=
2 ndi x ^jn x
2 ndi2 x
=
2 ndi x ^jn x
ndi x
=
^jn x
= o\i x
o\i x =
rrr)^f,-)jmb
-+3
Njgqdib Omdbjijh`omd^ @lp\odjin Pndib C\ga <ibg` Ajmhpg\n
@s\hkg` 25 Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji ndi2 θ = 2 ndi2
θ
2
jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π))
Njgpodji5
θ
ndi2 θ = 2 ndi2
2
# 1 − ^jn θ $
2
ndi θ = 2
2
2
1 − ^jn θ = 1 − ^jn θ
C\ga \ibg` d_`iodot
Ktoc\bjm`\i d_`iodot
^jn θ − ^jn θ = 0
2
^jn θ(1 − ^jn θ) = 0
Oc`i ^jn θ = 0 jm 1 − ^jn θ = 0' rcd^c dn ^jn θ = 1)
θ = 2π jm θ = 0)
Kjdion oj >jind_`m
ȸ >\i tjp _`mdq` \ ocdm_ jm ajpmoc \ibg` ajmhpg\:
ȸ Cjr _j 12 ndi x \i_ ndi 12 x _dz`m: Dn oc`m` \ ajmhpg\ ajm
1
2
ndi x:
M`qd`r Lp`nodjin
,) Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja5
#\$
#]$
#^$
#_$
#`$
#a$
-)
.)
/)
0)
1)
2)
3)
4)
,+)
^jn 112.5◦
ndi 105◦
o\i 7π
8
o\i 8π
ndi 67.5◦
o\i 165◦
7
Da ndi θ = 25
\i_ θ dn di Lp\_ DD' {i_ ndi 2θ , ^jn 2θ , o\i 2θ
n`^ b
Kmjq` oc` d_`iodot5 o\i 2b = n`^ b ^n^
b+^n^ b
ndi c
Q`mdat oc` d_`iodot5 ^jo 2c = 1−^jn
c
Kmjq` oc\o ndi x o\i 2π + 2 ^jn x = 2 ^jn2 2π
8
Da ndi u = − 13
' {i_ ^jn 2u
Njgq` 2 ^jn2 2x = 1 ajm 0 ≤ x < 2π
Njgq` o\i 2a = 4 ajm 0 ≤ x < 2π
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji ^jn 2x = 1 + ^jn x np^c oc\o 0 ≤ x < 2π)
ndi x
1−^jn x
Kmjq` 1+^jn
x = ndi x )
M`qd`r <inr`mn
,) #\$
4
225◦
1 + ^jn 225◦
^jn 112.5 = ^jn
=−
2
2
5
:
: √
:
√
√
√
2
2− 2
2− 2
1− 2
2− 2
2
=
=−
=−
=−
2
2
4
2
◦
-+4
rrr)^f,-)jmb
#]$
4
◦
210
1 − ^jn 210◦
ndi 105◦ = ndi
=
2
2
5
:
: √
:
√
√
√
3
2− 3
2− 3
1− 2
2− 3
2
=
=
=
=
2
2
4
2
#^$
o\i
1 − ^jn 7π
7π
1 7π
4
= o\i ·
=
7π
8
2 4
ndi 4
=
#_$ o\i
#`$
π
8
= o\i ·
ndi 67.5◦
1
2
= ndi
π
4
=
135◦
2
◦
1−^jn 4π
ndi 4π
=
#a$ o\i 165◦ = o\i 330
2 =
5
√
2
2
√
2
2
1−
−
=
√
2
√2
2
2
1−
1−^jn 135◦
2
1−^jn 330◦
ndi 330◦
=
√
2− 2
2
√
− 22
=
√
2− 2
2
√
2
2
=
4
=
√
1− 23
− 12
√
√
√
2− 2
−2 2 + 2
=− √
=
=− 2+1
2
2
=
√
1+ 22
2
=
√
2−√ 2
2
=
√
2− 3
2
− 12
4
=
√
2 2−2
2
√
2+ 2
2
=
5
√
2−1
√
2+ 2
4
√
=
= 2+
2
2
!
√ "
√
= − 2 − 3 = −2 + 3
√
2
!
√ "
=po' ]`^\pn` 165◦ dn di oc` n`^ji_ lp\_m\io' o\ib`io dn i`b\odq`' nj oc` \inr`m dn − −2 + 3 =
√
2 − 3)
7
-) Da ndi θ = 25
' oc`i ]t oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h oc` ocdm_ nd_` dn -/) =`^\pn` θ dn di oc` n`^ji_
4
lp\_m\io' ^jn θθ = −424
251) − ^jn θ
θ
1 + ^jn θ
ndi =
^jn =
2
2
2
2
:
:
4
1 + 24
1 − 24
θ
1 − ^jn θ
25
25
=
=
o\i =
2
2
2
1 + ^jn θ
;
=
4
4
1 + 24
49
1
25
=
=
=
24
50
50
1 − 25
4
√
√
7
2
1
2
49 50
= √ √
= √ √
=
·
50 1
5 2 2
5 2 2
√
√
√
7 2
2
=
=
= 49
10
10
=7
.) No`k ,5 >c\ib` mdbco nd_` dioj ndi` \i_
b ^jndi`) n`^ b
o\i =
2
n`^ b ^n^ b + ^n^ b
1
=
÷ ^n^ b(n`^ b + 1)
^jn b
$
1
1 # 1
=
÷
+1
^jn b ndi b + ^jn b
,
1
1 1 + ^jn b
=
÷
^jn b ndi b
^jn b
1
1 + ^jn b
=
÷
^jn b ndi b ^jn b
1
ndi b ^jn b
=
·
^jn b 1 + ^jn b
ndi b
=
1 + ^jn b
rrr)^f,-)jmb
-,+
No`k -5 <o oc` g\no no`k \]jq`' r` c\q` ndhkgd{`_ oc` mdbco nd_` \n hp^c \n kjnnd]g`' ijr r` ndhkgdat
oc` g`ao nd_`' pndib oc` c\ga \ibg` ajmhpg\)
4
1 − ^jn b
ndi b
=
1 + ^jn b
1 + ^jn b
1 − ^jn b
ndi2 b
=
1 + ^jn b
(1 + ^jn b)2
(1 − ^jn b)(1 + ^jn b)2 = ndi2 b(1 + ^jn b)
(1 − ^jn b)(1 + ^jn b) = ndi2 b
1 − ^jn2 b = ndi2 b
c ^mjnn(hpgodkgt)
ndi c
/) No`k ,5 ^c\ib` ^jo\ib`io oj ^jndi` jq`m ndi`' oc`i
^jo =
2
1 − ^jn c 4
^jn 2c
1 + ^jn c
=
c =
ndi 2
1 − ^jn c
4
1 + ^jn c
ndi c
=
1 − ^jn c
1 − ^jn c
1 + ^jn c
ndi2 c
=
1 − ^jn c
(1 − ^jn c)2
2
(1 + ^jn c)(1 − ^jn c) = ndi2 c(1 − ^jn c)
(1 + ^jn c)(1 − ^jn c) = ndi2 c
1 − ^jn2 c = ndi2 c
# 1 − ^jn x $
x
ndi x o\i + 2 ^jn x = ndi x
+ 2 ^jn x
2
ndi x
x
ndi x o\i + 2 ^jn x = 1 − ^jn x + 2 ^jn x
2
x
ndi x o\i + 2 ^jn x = 1 + ^jn x
2
x
x
ndi x o\i + 2 ^jn x = 2 ^jn2
2
2
1) Admno'!r` i``_ oj {i_ oc`
{i_ oc\o oc` {i\g nd_` dn
√
" ocdm_ nd_`) Pndib oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h' r`
√
105
2
2
105 b = 13 − (−8) ) Pndib ocdn diajmh\odji' r` {i_ oc\o ^jn u = 13 ) Kgpbbdib ocdn dioj oc`
;
=
5
c\ga \ibg` ajmhpg\' r` b`o5
105
1
+
13
u
^jn = −
2
2
:
0)
=−
=−
2) Oj njgq` 2 ^jn2
x
2
√
13+ 105
13
:
2
√
13 + 105
26
x oc`i pn` oc` c\ga \ibg` ajmhpg\)
= 1' {mno r` i``_ oj dnjg\o` ^jndi`'
2 ^jn2 = 1
2
x
1
^jn2 =
2
2
1 + ^jn x
1
=
2
2
1 + ^jn x = 1
^jn x = 0
-,,
rrr)^f,-)jmb
^jn x = 0 rc`i x = 2π , 3π
2
3) Oj njgq` o\i 2a = 4' {mno dnjg\o` o\ib`io' oc`i pn` oc` c\ga \ibg` ajmhpg\)
a
o\i = 4
2
4
1 − ^jn a
=4
1 + ^jn a
1 − ^jn a
= 16
1 + ^jn a
16 + 16 ^jn a = 1 − ^jn a
17 ^jn a = −15
15
^jn a = −
17
4) Pndib tjpm bm\kcdib ^\g^pg\ojm' ^jn a = − 15 rc`i x = 152◦ , 208◦
17
x
= 1 + ^jn x
2
4
1 + ^jn x
±
= 1 + ^jn x
2
 4
2


± 1 + ^jn x  = (1 + ^jn x)2
2
^jn
C\ga \ibg` d_`iodot
nlp\m` ]joc nd_`n
1 + ^jn x
= 1 + 2 ^jn x + ^jn2 x
2
# 1 + ^jn x $
2
= 2(1 + 2 ^jn x + ^jn2 x)
2
1 + ^jn x = 2 + 4 ^jn x + 2 ^jn2 x
2 ^jn2 x + 3 ^jn x + 1 = 0
(2 ^jn x + 1)(^jn x + 1) = 0
Oc`i
2 ^jn x + 1 = 0
2 ^jn x
−1
=
2
2
2π 4π
x=
,
3 3
Jm ^jn x + 1 = 0
^jn x = −1
x=π
,+)
ndi x
1+^jn x
=
1−^jn x
ndi x
Ocdn dn oc` orj ajmhpg\n ajm o\i 2x ) >mjnn(hpgodkgt)
ndi x
1 − ^jn x
=
1 + ^jn x
ndi x
(1 − ^jn x)(1 + ^jn x) = ndi2 x
1 + ^jn x − ^jn x − ^jn2 x = ndi2 x
1 − ^jn2 x = ndi2 x
1 = ndi2 x + ^jn2 x
rrr)^f,-)jmb
-,-
.)2 Kmj_p^on' Nphn' Gdi`\m >jh]di\odjin' \i_
<kkgd^\odjin
G`\midib J]e`^odq`n
ȸ
ȸ
ȸ
ȸ
Pn` oc` om\inajmh\odji ajmhpg\n oj bj amjh kmj_p^o oj nph \i_ nph oj kmj_p^o)
?`mdq` hpgodkg` \ibg` ajmhpg\n)
Pn` gdi`\m ^jh]di\odjin oj njgq` omdbjijh`omd^ `lp\odjin)
<kkgt omdbjijh`omd^ `lp\odjin oj m`\g(gda` ndop\odjin)
Nph oj Kmj_p^o Ajmhpg\n ajm Ndi` \i_ >jndi`
Di njh` kmj]g`hn' oc` kmj_p^o ja orj omdbjijh`omd^ api^odjin dn hjm` ^jiq`id`iogt ajpi_ ]t oc` nph ja
orj omdbjijh`omd^ api^odjin ]t pn` ja d_`iodod`n np^c \n ocdn ji`5
ndi α + ndi β = 2 ndi
α+β
α−β
× ^jn
2
2
Ocdn ^\i ]` q`md{`_ ]t pndib oc` nph \i_ _dz`m`i^` ajmhpg\n5
2 !
"
!
"3
α+β
α−β
2 ndi
^jn
= 2 ndi α2 + 2β ^jn α2 − 2β
2
2
2!
"3
= 2 ndi α2 ^jn 2β + ^jn α2 ndi 2β )( ^jn α2 ^jn 2β + ndi α2 ndi 2β
2
3
= 2 ndi α2 ^jn α2 ^jn2 2β + ndi2 α2 ndi 2β ^jn 2β + ndi 2β ^jn2 α2 ^jn 2β + ndi α2 ndi2 2β ^jn α2
2
!
"
!
"3
= 2 ndi α2 ^jn α2 ndi2 2β + ^jn2 2β + ndi 2β ^jn 2β ndi2 α2 + ^jn2 α2
2
3
= 2 ndi α2 ^jn α2 + ndi 2β ^jn 2β
α
α
β
β
= 2 ndi ^jn + 2 ndi ^jn
2
2
2
2
# α$
# β$
= ndi 2 ·
+ ndi 2 ·
2
2
= ndi α + ndi β
Oc` ajggjrdib q\md\odjin ^\i ]` _`mdq`_ ndhdg\mgt5
α−β
α+β
× ^jn
2
2
α+β
α−β
^jn α + ^jn β = 2 ^jn
× ^jn
2
2
α+β
α−β
^jn α − ^jn β = −2 ndi
× ndi
2
2
ndi α − ndi β = 2 ndi
@s\hkg` ,5 >c\ib` ndi 5x − ndi 9y dioj \ kmj_p^o)
α+β
Njgpodji5 Pn` oc` ajmhpg\ ndi α − ndi β = 2 ndi α−β
2 × ^jn 2 )
5x − 9x
5x + 9x
^jn
2
2
= 2 ndi(−2x) ^jn 7x
ndi 5x − ndi 9x = 2 ndi
= −2 ndi 2x ^jn 7x
-,.
rrr)^f,-)jmb
@s\hkg` -5 >c\ib` ^jn(−3x) + ^jn 8x dioj \ kmj_p^o)
α−β
Njgpodji5 Pn` oc` ajmhpg\ ^jn α + ^jn β = 2 ^jn α+β
2 × ^jn 2 )
−3x + 8x
−3x − 8x
^jn
2
2
= 2 ^jn(2.5x) ^jn(−5.5x)
^jn(−3x) + ^jn(8x) = 2 ^jn
= 2 ^jn(2.5) ^jn(5.5x)
@s\hkg` .5 >c\ib` 2 ndi 7x ^jn 4x oj \ nph)
Njgpodji5 Ocdn dn oc` m`q`mn` ja rc\o r\n _ji` di oc` km`qdjpn orj `s\hkg`n) Gjjfdib \o oc` ajpm ajmhpg\n
α+β
\]jq`' o\f` oc` ji` oc\o c\n ndi` \i_ ^jndi` \n \ kmj_p^o' ndi α − ndi β = 2 ndi α−β
2 × ^jn 2 ) Oc`m`ajm`'
α+β
7x = α−β
2 \i_ 4x = 2 )
2s 8 α − β
24x= α+β
2 \i_14x=α−β8x=α+βα=14x+β8x=[14x+β]+βnj−6x=2β−3x=βα=14x+(−3x)α=11x
Nj' ocdn om\ing\o`n oj ndi(11x) + ndi(−3x) jm ndi(11x) − ndi(3x)) < ncjmo^po ajm ocdn kmj]g`h' rjpg_ ]` oj
ijod^` oc\o oc` nph ja 7x \i_ 4x dn 11x \i_ oc` _dz`m`i^` dn 3x)
Kmj_p^o oj Nph Ajmhpg\n ajm Ndi` \i_ >jndi`
Oc`m` \m` orj ajmhpg\n ajm om\inajmhdib \ kmj_p^o ja ndi` jm ^jndi` dioj \ nph jm _dz`m`i^`) Admno' g`oȱn
gjjf \o oc` kmj_p^o ja oc` ndi` ja orj \ibg`n) Oj _j ocdn' no\mo rdoc ^jndi`)
^jn(a − b) = ^jn a ^jn b + ndi a ndi b \i_ ^jn(a + b) = ^jn a ^jn b − ndi a ndi b
^jn(a − b) − ^jn(a + b) = ^jn a ^jn b + ndi a ndi b − (^jn a ^jn b − ndi a ndi b)
^jn(a − b) − ^jn(a + b) = ^jn a ^jn b + ndi a ndi b − ^jn a ^jn b + ndi a ndi b
^jn(a − b) − ^jn(a + b) = 2 ndi a ndi b
1
[^jn(a − b) − ^jn(a + b)] = ndi a ndi b
2
Oc` ajggjrdib kmj_p^o oj nph ajmhpg\n ^\i ]` _`mdq`_ pndib oc` n\h` h`ocj_5
1
[^jn(α − β) + ^jn(α + β)]
2
1
ndi α ^jn β = [ndi(α + β) + ndi(α − β)]
2
1
^jn α ndi β = [ndi(α + β) − ndi(α − β)]
2
^jn α ^jn β =
@s\hkg` /5 >c\ib` ^jn 2x ^jn 5y oj \ nph)
Njgpodji5 Pn` oc` ajmhpg\ ^jn α ^jn β = 12 [^jn(α − β) + ^jn(α + β)]) N`o α = 2x \i_ β = 5y)
1
^jn 2x ^jn 5y = [^jn(2x − 5y) + ^jn(2x + 5y)]
2
@s\hkg` 05 >c\ib`
rrr)^f,-)jmb
ndi 11z+ndi z
2
oj \ kmj_p^o)
-,/
Njgpodji5 Pn` oc` ajmhpg\ ndi α ^jn β = 12 [ndi(α + β) + ndi(α − β)]) Oc`m`ajm`' α + β = 11z \i_ α − β = z)
Njgq` oc` n`^ji_ `lp\odji ajm α \i_ kgpb oc\o dioj oc` {mno)
\i_ α = z + 5z = 6z
α = z + β → (z + β) + β = 11z
z + 2β = 11z
2β = 10z
β = 5z
ndi 11z+ndi z
2
= ndi 6z ndi 5z) <b\di' oc` nph ja 6z \i_ 5z dn 11z \i_ oc` _dz`m`i^` dn z)
Njgqdib @lp\odjin rdoc Kmj_p^o \i_ Nph Ajmhpg\n
@s\hkg` 15 Njgq` ndi 4x + ndi 2x = 0)
α−β
Njgpodji5 Pn` oc` ajmhpg\ ndi α + ndi β = 2 ndi α+β
2 × ^jn 2 )
ndi 4x + ndi 2x = 0
Nj, ndi 3x = 0 \i_ ^jn x = 0 → x =
2 ndi 3x ^jn x = 0
π 3π
,
2 2
3x = 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π
π 2π
4π 5π
x = 0, , , π, ,
3 3
3 3
ndi 3x ^jn x = 0
@s\hkg` 25 Njgq` ^jn 5x + ^jn x = ^jn 2x)
α−β
Njgpodji5 Pn` oc` ajmhpg\ ^jn α + ^jn β = 2 ^jn α+β
2 × ^jn 2 )
^jn 5x + ^jn x = ^jn 2x
2 ^jn 3x ^jn 2x = ^jn 2x
2 ^jn 3x ^jn 2x − ^jn 2x = 0
^jn 2x(2 ^jn 3x − 1) = 0
+
^jn 2x = 0
*
2 ^jn 3x − 1 = 0
π 3π
,
\i_
2 2
π 3π
x= ,
4 4
2x =
2 ^jn 3x = 1
1
^jn 3x =
2
π 5π 7π 11π 13π 17π
3x = , , ,
,
,
3 3 3 3
3
3
π 5π 7π 11π 13π 17π
x= , , ,
,
,
9 9 9 9
9
9
Omdkg`(<ibg` Ajmhpg\n \i_ =`tji_
=t ^jh]didib oc` nph ajmhpg\ \i_ oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\' ajmhpg\n ajm omdkg` \ibg`n \i_ hjm` ^\i ]`
ajpi_)
@s\hkg` 35 Adi_ oc` ajmhpg\ ajm ndi 3x
Njgpodji5 Pn` ]joc oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\ \i_ oc` nph ajmhpg\)
-,0
rrr)^f,-)jmb
ndi 3x = ndi(2x + x)
= ndi(2x) ^jn x + ^jn(2x) ndi x
= (2 ndi x ^jn x) ^jn x + (^jn2 x − ndi2 x) ndi x
= 2 ndi x ^jn2 x + ^jn2 x ndi x − ndi3 x
= 3 ndi x ^jn2 x − ndi3 x
= 3 ndi x(1 − ndi2 x) − ndi3 x
= 3 ndi x − 4 ndi3 x
@s\hkg` 45 Adi_ oc` ajmhpg\ ajm ^jn 4x
Njgpodji5 Pndib oc` n\h` h`ocj_ amjh oc` km`qdjpn `s\hkg`' tjp ^\i j]o\di ocdn ajmhpg\)
^jn 4x = ^jn(2x + 2x)
= ^jn2 2x − ndi2 2x
= (^jn2 x − ndi2 x)2 − (2 ndi x ^jn x)2
= ^jn4 −2 ndi2 x ^jn2 x + ndi4 x − 4 ndi2 x ^jn2 x
= ^jn4 −6 ndi2 x ^jn2 x + ndi4 x
= ^jn4 −6(1 − ^jn2 x) ^jn2 x + (1 − ^jn2 x)2
= 1 − 8 ^jn2 x + 8 ^jn4 x
Gdi`\m >jh]di\odjin
C`m`' r` o\f` \i `lp\odji rcd^c o\f`n \ gdi`\m ^jh]di\odji ja ndi` \i_ ^jndi` \i_ ^jiq`mon do dioj \ ndhkg`m
^jndi` api^odji)
√
A ^jn x + B ndi x = C ^jn(x − D)' rc`m` C = A2 + B2 ' ^jn D = CA \i_ ndi D = CB )
@s\hkg` ,+5 Om\inajmh 3 ^jn 2x − 4 ndi 2x dioj oc` ajmh C ^jn(2x − D)
Njgpodji5 A = 3 \i_ B = −4' nj C = 32 + (−4)2 = 5) Oc`m`ajm` ^jn D = 35 \i_ ndi D = − 45 rcd^c
h\f`n oc` m`a`m`i^` \ibg` dn −53.1◦ jm (+)4-2 m\_d\in) ndi^` ^jndi` dn kjndodq` \i_ ndi` dn i`b\odq`' oc`
\ibg` hpno ]` \ ajpmoc lp\_m\io \ibg`) D hpno oc`m`ajm` ]` 306.9◦ jm 0).1 m\_d\in)Oc` {i\g \inr`m dn
3 ^jn 2x − 4 ndi 2x = 5 ^jn(2x − 5.36))
@s\hkg` ,,5 Njgq` 5 ^jn x + 12 ndi x = 6)
Njgpodji5
Admno' om\inajmh oc` g`ao(c\i_ nd_` dioj oc` ajmh C ^jn(x − D)) A = 5 \i_ B = 12' nj C =
√
5
52 + 122 = 13) Amjh ocdn ^jn D = 13
\i_ ndi D = 12
13 ' rcd^c h\f`n oc` \ibg` di oc` {mno lp\_m\io \i_
,),21 m\_d\in) Ijr' jpm `lp\odji gjjfn gdf` ocdn5 13 ^jn(x − 1.176) = 6 \i_ r` ^\i njgq` ajm x)
6
^jn(x − 1.176) =
13
#6$
x − 1.176 = ^jn−1
13
x − 1.176 = 1.09
x = 2.267 m\_d\in
rrr)^f,-)jmb
-,1
<kkgd^\odjin ! O`^cijgjbt
@s\hkg` ,-5 Oc` m\ib` ja \ nh\gg mj^f`o oc\o dn g\pi^c`_ rdoc \i didod\g q`gj^dot v \o \i \ibg` rdoc θ
v2 (velocity)
oc` cjmdujio\g dn bdq`i ]t R(range) = g(9.8m/s2 ) ndi 2θ) Da oc` mj^f`o dn g\pi^c`_ rdoc \i didod\g q`gj^dot ja
,0 h*n' rc\o \ibg` dn i``_`_ oj m`\^c \ m\ib` ja -+ h:
Njgpodji5 Kgpb di ,0 h*n ajm v \i_ -+ h ajm oc` m\ib` oj njgq` ajm oc` \ibg`)
152
ndi 2θ
9.8
20 = 22.96 ndi 2θ
20 =
0.871̄ = ndi 2θ
ndi (0.871̄) = 2θ
−1
60.59◦ , 119.41◦ = 2θ
30.3◦ , 59.7◦ = θ
Tjp ^\i \gnj pn` oc` OD(3. oj njgq` omdbjijh`omd^ `lp\odjin) Do dn njh`odh`n `\nd`m oc\i njgqdib oc`
`lp\odji \gb`]m\d^\ggt) Epno ]` ^\m`apg rdoc oc` _dm`^odjin \i_ h\f` npm` tjpm {i\g \inr`m dn di oc` ajmh
oc\o dn ^\gg`_ ajm) Tjp ^\g^pg\ojm ^\iijo kpo m\_d\in di o`mhn ja π)
@s\hkg` ,.5 Njgq` ndi x = 2 ^jn x np^c oc\o 0 ≤ x ≤ 2π pndib \ bm\kcdib ^\g^pg\ojm)
Njgpodji5 Di y =' bm\kc y1 = ndi x \i_ y2 = 2 ^jn x)
I`so' pn` ><G> oj {i_ oc` dio`mn`^odji kjdion ja oc` bm\kcn)
M`qd`r Lp`nodjin
,)
-)
.)
/)
0)
1)
2)
3)
4)
@skm`nn oc` nph \n \ kmj_p^o5 ndi 9x + ndi 5x
@skm`nn oc` _dz`m`i^` \n \ kmj_p^o5 ^jn 4y − ^jn 3y
Q`mdat oc` d_`iodot #pndib nph(oj(kmj_p^o ajmhpg\$5
@skm`nn oc` kmj_p^o \n \ nph5 ndi(6θ) ndi(4θ)
Om\inajmh oj oc` ajmh C ^jn(x − D)
^jn 3a−^jn 5a
ndi 3a+ndi 5a
= − o\i 4a
#\$ 5 ^jn x − 5 ndi x
#]$ −15 ^jn 3x − 8 ndi 3x
Njgq` ndi 11x − ndi 5x = 0 ajm \gg njgpodjin 0 ≤ x < 2π)
Njgq` ^jn 4x + ^jn 2x = 0 ajm \gg njgpodjin 0 ≤ x < 2π)
Njgq` ndi 5x + ndi x = ndi 3x ajm \gg njgpodjin 0 ≤ x < 2π)
Di oc` nop_t ja `g`^omjid^n' oc` api^odji f (t) = ndi(200t+π)+ndi(200t−π) dn pn`_ oj \i\gtu` am`lp`i^t)
Ndhkgdat ocdn api^odji pndib oc` nph(oj(kmj_p^o ajmhpg\)
-,2
rrr)^f,-)jmb
,+) ?`mdq` \ ajmhpg\ ajm o\i 4x)
,,) < nkmdib dn ]`dib hjq`_ pk \i_ _jri) <oo\^c`_ oj oc` `i_ ja oc` nkmdib dn \i j]e`^o oc\o pi_`mbj`n
\ q`mod^\g _dnkg\^`h`io) Oc` _dnkg\^`h`io dn bdq`i ]t oc` `lp\odji y = 3.50 ndi t + 1.20 ndi 2t) Adi_
oc` {mno orj q\gp`n ja t #di n`^ji_n$ ajm rcd^c y = 0)
M`qd`r <inr`mn
,) Pndib oc` nph(oj(kmj_p^o ajmhpg\5
ndi 9x + ndi 5x
# 9x − 5x $$
1 # # 9x + 5x $
ndi
^jn
2
2
2
1
ndi 7x ^jn 2x
2
-) Pndib oc` _dz`m`i^`(oj(kmj_p^o ajmhpg\5
^jn 4y − ^jn 3y
# 4y + 3y $
# 4y − 3y $
− 2 ndi
ndi
2
2
7y
y
− 2 ndi ndi
2
2
.) Pndib oc` _dz`m`i^`(oj(kmj_p^o ajmhpg\n5
^jn 3a − ^jn 5a
= − o\i 4a
! ndi "3a −!ndi 5a"
−2 ndi 3a+5a
ndi 3a−5a
2
2
!
"
!
"
3a+5a
2 ndi 3a−5a
^jn
2
2
ndi 4a
−
^jn 4a
− o\i 4a
/) Pndib oc` kmj_p^o(oj(nph ajmhpg\5
ndi 6θ ndi 4θ
1
(^jn(6θ − 4θ − ^jn(6θ + 4θ))
2
1
(^jn 2θ − ^jn 10θ)
2
√
0) #\$ Da 5 ^jn x − 5 ndi x' oc`i
A = 5 \i_ B = −5) =t oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h' C = 5 2 \i_
√
5
^jn D = √
= √1 = 22 ) Nj' ]`^\pn` B dn i`b\odq`' D dn di Lp\_m\io DQ) Oc`m`ajm`' D = 7π
4 )
5 2
2
!
"
√
7π
Jpm {i\g \inr`m dn 5 2 ^jn x − 4 )
#]$ Da −15 ^jn 3x − 8 ndi 3x' oc`i A = −15 \i_ B = −8) =t oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h'
! C" = 17)
=`^\pn` A \i_ B \m` ]joc i`b\odq`' D dn di Lp\_m\io DDD' rcd^c h`\in D = ^jn−1 − 15
17 = 2.65
m\_) Jpm {i\g \inr`m dn 17 ^jn 3(x − 2.65))
1) Pndib oc` nph(oj(kmj_p^o ajmhpg\5
ndi 11x − ndi 5x = 0
ndi 3x = 0
jm
^jn 8x = 0
11x − 5x
11x + 5x
π 3π
2 ndi
^jn
=0
Nj,
3x = 0, π
8x = ,
2
2
2 2
2 ndi 3x ^jn 8x = 0
π
π 3π
ndi 3x ^jn 8x = 0
x = 0,
x= ,
3
16 16
rrr)^f,-)jmb
-,3
2) Pndib oc` nph(oj(kmj_p^o ajmhpg\5
^jn 4x + ^jn 2x = 0
4x + 2x
4x − 2x
2 ^jn
^jn
=0
2
2
2 ^jn 3x ^jn x = 0
^jn 3x ^jn x = 0
Nj' `doc`m ^jn 3x = 0 jm ^jn x = 0
π 3π 5π 7π 9π 11π
, , , , ,
2 2 2 2 2 2
π π 5π 7π 3π 11π
x= , , , , ,
6 2 6 6 2 6
3x =
3) Hjq` ndi 3x jq`m oj oc` joc`m nd_` \i_ pn` oc` nph(oj(kmj_p^o ajmhpg\5
ndi 5x + ndi x = ndi 3x
ndi 5x − ndi 3x + ndi x = 0
# 5x + 3x $
# 5x − 3x $
2 ^jn
ndi
+ ndi x = 0
2
2
2 ^jn 4x ndi x + ndi x = 0
ndi x(2 ^jn 4x + 1) = 0
Nj ndi x = 0
x = 0, π jm 2 ^jn 4x = −1
1
^jn 4x = −
2
2π 4π 8π 10π 14π 16π 20π 22π
4x =
, , ,
,
,
,
,
3 3 3 3
3
3
3
3
π π 2π 5π 7π 4π 5π 11π
= , , , , , , ,
6 3 3 6 6 3 3 6
π π 2π 5π
7π 4π 5π 11π
x = 0, = , , , , π, , , ,
6 3 3 6
6 3 3 6
4) Pndib oc` nph(oj(kmj_p^o ajmhpg\5
f (x) = ndi(200x + π) + ndi(200x − π)
+
,
+
,
(200x + π) + (200t − π)
(200x + π) − (200x − π)
= 2 ndi
^jn
2
2
# 400x $
# 2π $
= 2 ndi
^jn
2
2
= 2 ndi 200x ^jn π
= 2 ndi 200x(−1)
= −2 ndi 200x
,+) ?`mdq` \ ajmhpg\ ajm o\i 4x)
-,4
rrr)^f,-)jmb
o\i 4x = o\i(2x + 2x)
o\i 2x + o\i 2x
=
1 − o\i 2x o\i 2x
2 o\i 2x
=
1 − o\i2 2x
2 o\i x
2 · 1−o\i
2x
=
!
"
2 o\i x 2
1 − 1−o\i
2x
(1 − o\i2 x)2 − 4 o\i2 x
4 o\i x
÷
1 − o\i2 x
(1 − o\i2 x)2
4 o\i x
1 − 2 o\i2 x + o\i4 x − 4 o\i2 x
=
÷
1 − o\i2 x
(1 − o\i2 x)2
(1 − o\i2 x)2
4 o\i x
=
·
1 − o\i2 x 1 − 6 o\i2 x + o\i4 x
4 o\i x − 4 o\i3 x
=
1 − 6 o\i2 x + o\i4 x
=
,,) G`o y = 0)
3.50 ndi t + 1.20 ndi 2t = 0
3.50 ndi t + 2.40 ndi t ^jn t = 0, ?jp]g`(<ibg` D_`iodot
ndi t(3.50 + 2.40 ^jn t) = 0
ndi t = 0 jm 3.50 + 2.40 ^jn t = 0
2.40 ^jn t = −3.50
^jn t = −1.46 → ij njgpodji ]`^\pn` − 1 ≤ ^jn t ≤ 1.
t = 0, π
.)3 >c\ko`m M`qd`r
>c\ko`m Nphh\mt
C`m` \m` oc` d_`iodod`n nop_d`_ di ocdn ^c\ko`m5
Lpjod`io ! M`^dkmj^\g D_`iodod`n
ndi θ
^jn θ
^jo θ =
^jn θ
ndi θ
1
1
1
^n^ θ =
n`^ θ =
^jo θ =
ndi θ
^jn θ
o\i θ
o\i θ =
Ktoc\bjm`\i D_`iodod`n
ndi2 θ + ^jn2 θ = 1
1 + ^jo2 θ = ^n^2 θ
o\i2 θ + 1 = n`^2 θ
^jn(−x) = ^jn x
o\i(−x) = − o\i x
@q`i ! J__ D_`iodod`n
ndi(−x) = − ndi x
^n^(−x) = − ^n^ x
n`^(−x) = n`^ x
>j(Api^odji D_`iodod`n
rrr)^f,-)jmb
--+
^jo(−x) = − ^jo x
$
− θ = ^jn θ
# 2π
$
^n^
− θ = n`^ θ
2
ndi
#π
$
− θ = ndi θ
# π2
$
n`^
− θ = ^n^ θ
2
^jn
#π
$
− θ = ^jo θ
# π2
$
^jo
− θ = o\i θ
2
o\i
#π
Nph \i_ ?dz`m`i^` D_`iodod`n
^jn(α + β) = ^jn α ^jn β − ndi α ndi β
^jn(α − β) = ^jn α ^jn β + ndi α ndi β
ndi(α + β) = ndi α ^jn β + ^jn α ndi β
o\i α + o\i β
o\i(α + β) =
1 − o\i α o\i β
ndi(α − β) = ndi α ^jn β − ^jn α ndi β
o\i α − o\i β
o\i(α − β) =
1 + o\i α o\i β
?jp]g` <ibg` D_`iodod`n
^jn(2α) = ^jn2 α − ndi2 α = 2 ^jn2 α − 1 = 1 − 2 ndi2 α
ndi(2α) = 2 ndi α ^jn β
2 o\i α
o\i(2α) =
1 − o\i2 α
C\ga <ibg` D_`iodod`n
4
α
1 + ^jn α
^jn = ±
2
2
α
ndi = ±
2
4
1 − ^jn α
2
o\i
α
1 − ^jn α
ndi α
=
=
2
ndi α
1 + ^jn α
Kmj_p^o oj Nph ! Nph oj Kmj_p^o D_`iodod`n
a+b
a−b
^jn
2
2
a−b
a+b
ndi a − ndi b = 2 ndi
^jn
2
2
a+b
a−b
^jn a + ^jn b = 2 ^jn
^jn
2
2
a+b
a−b
^jn a − ^jn b = 2 − 2 ndi
ndi
2
2
1
ndi a ndi b = [^jn(a − b) − ^jn(a + b)]
2
1
^jn a ^jn b = [^jn(a − b) + ^jn(a + b)]
2
1
ndi a ^jn b = [ndi(a + b) + ndi(a − b)]
2
1
^jn a ndi b = [ndi(a + b) − ndi(a − b)]
2
ndi a + ndi b = 2 ndi
Gdi`\m >jh]di\odji Ajmhpg\
A ^jn x + B ndi x = C ^jn(x − D)' rc`m` C =
√
A2 + B2 , ^jn D =
A
C
\i_ ndi D =
B
C
M`qd`r Lp`nodjin
,)
-)
.)
/)
Adi_ oc` ndi`'
^jndi`' \i_ o\ib`io ja \i \ibg` rdoc o`mhdi\g nd_` ji (−8, 15))
√
5
Da ndi a = 3 \i_ o\i a < 0' {i_ n`^ a)
4 x−ndi4 x
Ndhkgdat5 ^jn
)
^jn2 − ndi2 x
1+ndi x
Q`mdat oc` d_`iodot5 ^jn
x ndi x = n`^ x(^n^ x + 1)
Ajm kmj]g`hn 0(3' {i_ \gg oc` njgpodjin di oc` dio`mq\g [0, 2π))
!
"
0) n`^ x + 2π + 2 = 0
--,
rrr)^f,-)jmb
1)
2)
3)
4)
,+)
,,)
! "
8 ndi 2x − 8 = 0
2 ndi2 x + ndi 2x = 0
3 o\i2 2x = 1
√
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 1 − ndi x = 3 ndi x jq`m oc` dio`mq\g [0, π])
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 2 ^jn 3x − 1 = 0 jq`m oc` dio`mq\g [0, 2π])
Njgq` oc` omdbjijh`omd^ `lp\odji 2 n`^2 x − o\i4 x = −1 ajm \gg m`\g q\gp`n ja x)
Adi_ oc` `s\^o q\gp` ja5
,-)
,.)
,/)
,0)
,1)
,2)
,3)
^jn 157.5◦
ndi 13π
12
Rmdo` \n \ kmj_p^o5 4(^jn 5x + ^jn 9x)
Ndhkgdat5 ^jn(x
− "y) ndi y
! − y) ^jn
" y − ndi(x
!
4π
5π
Ndhkgdat5 ndi 3 − x + ^jn x + 6
?`mdq` \ ajmhpg\ ajm ndi 6x)
Da tjp njgq` ^jn 2x = 2 ^jn2 x − 1 ajm ^jn2 x' tjp rjpg_ b`o ^jn2 x = 12 (^jn 2x + 1)) Ocdn i`r ajmhpg\
dn pn`_ oj m`_p^` kjr`mn ja ^jndi` ]t np]nodopodib di oc` mdbco k\mo ja oc` `lp\odji ajm ^jn2 x) Omt
rmdodib ^jn4 x di o`mhn ja oc` {mno kjr`m ja ^jndi`)
,4) Da tjp njgq` ^jn 2x = 1 − 2 ndi2 x ajm ndi2 x' tjp rjpg_ b`o ndi2 x = 12 (1 − ^jn 2x)) Ndhdg\m oj oc` i`r
ajmhpg\ \]jq`' ocdn ji` dn pn`_ oj m`_p^` kjr`mn ja ndi`) Omt rmdodib ndi4 x di o`mhn ja oc` {mno kjr`m
ja ^jndi`)
-+) M`rmdo` di o`mhn ja oc` {mno kjr`m ja ^jndi`5
#\$ ndi2 x ^jn2 2x
#]$ o\i4 2x
M`qd`r <inr`mn
,) Da oc` o`mhdi\g nd_`
ja ocdn omd\ibg` rjpg_ ]` ,2 #]t oc` Ktoc\bjm`\i
- dn ji (−8, 15)' oc`i oc` ctkjo`ipn`
15
8
2
2
Oc`jm`h' c = (−8) + 15 $) Oc`m`ajm`' ndi x = 17 , ^jn x = − 17
' \i_ o\i x = − 15
8 )
√
-) Da ndi a = 35 \i_ o\i a < 0' oc`i a dn di Lp\_m\io DD) Oc`m`ajm` n`^ a dn i`b\odq`) Oj {i_ oc` ocdm_
nd_`' r` i``_ oj _j oc` Ktoc\bjm`\i
! √Oc`jm`h)
"2
5 + b2 = 32
3
5 + b2 = 9 Nj, n`^ a = ,
2
b2 = 4
b=2
.) A\^ojm ojk' ^\i^`g gdf` o`mhn' \i_ pn` oc` Ktoc\bjm`\i Oc`jm`h D_`iodot)
^jn4 x − ndi4 x
^jn2 x − ndi2 x
(^jn2 x + ndi2 x)(^jn2 x − ndi2 x)
^jn2 x − ndi2 x
^jn2 x + ndi2 x
1
/) >c\ib` n`^\io \i_ ^jn`^\io dioj o`mhn ja ndi` \i_ ^jndi`' oc`i {i_ \ ^jhhji _`ijhdi\ojm)
rrr)^f,-)jmb
---
0)
1)
1 + ndi x
= n`^ x(^n^ x + 1)
^jn x ndi x
$
1 # 1
=
+1
^jn x + ndi x
,
1
1 + ndi x
=
^jn x
ndi x
1 + ndi x
=
^jn x ndi x
#
π$
n`^ x +
+2=0
#2 π$
n`^ x +
= −2
2
#
$
π
1
^jn x +
=−
2
2
π
2π 4π
x+ =
,
2
3 3
2π π 4π π
x=
− ,
−
3
2 3
2
π 5π
x= ,
6 6
8 ndi
# x$
2
−8=0
x
=8
2
x
ndi = 1
2
x
x
=
2
2
x=π
8 ndi
2)
2 ndi2 x + ndi 2x = 0
2 ndi2 x + 2 ndi x ^jn x = 0
2 ndi x(ndi x + ^jn x) = 0
Nj, 2 ndi x = 0
jm
ndi x + ^jn x = 0
2 ndi x = 0
ndi x + ^jn x = 0
ndi x = 0
3)
ndi x = − ^jn x
3π 7π
x=
,
4 4
x = 0, π
o\i2 2x =
1
3√
3
3
π 7π
2x = ,
6 6
π 7π
x= ,
12 12
o\i 2x =
--.
rrr)^f,-)jmb
4)
1 − ndi x =
1
1+
ndi
−1
#
1√
1+ 3
$
√
3 ndi x
√
1 = ndi x + 3 ndi x
!
√ "
1 = ndi x 1 + 3
√ = ndi x
3
= x jm x = .3747 m\_d\in \i_ x = 2.7669 m\_d\in
,+) =`^\pn` ocdn dn ^jn 3x' tjp rdgg i``_ oj _dqd_` ]t . \o oc` q`mt `i_ oj b`o oc` {i\g \inr`m) Ocdn dn
rct r` r`io ]`tji_ oc` gdhdo ja 2π rc`i {i_dib 3x)
2 ^jn 3x − 1 = 0
2 ^jn 3x = 1
1
^jn 3x =
2
#1$
π 5π 7π 11π 13π 17π
, , ,
,
,
2
3 3 3 3
3
3
π 5π 7π 11π 13π 17π
x= , , ,
,
,
9 9 9 9
9
9
3x = ^jn
−1
=
,,) M`rmdo` oc` `lp\odji di o`mhn ja o\i ]t pndib oc`
Ktoc\bjm`\i d_`iodot' 1 + o\i2 θ = n`^2 θ)
2 n`^2 x − o\i4 x = −1
2(1 + o\i2 x) − o\i4 x = −1
2 + 2 o\i2 x − o\i4 x = −1
o\i4 x − 2 o\i2 x + 1 = 0
(o\i2 x − 1)(o\i2 x − 1) = 0
=`^\pn` oc`n` a\^ojmn \m` oc` n\h`' r` jigt i``_ oj njgq` ji` ajm x)
o\i2 x − 1 = 0
o\i2 x = 1
o\i x = ±1
π
3π
x = + πk \i_
+ πk
4
4
Rc`m` k dn \it dio`b`m)
,-) Pn` oc` c\ga \ibg` ajmhpg\ rdoc 315◦ )
315◦
^jn 157.5◦ = ^jn
4 2
1 + ^jn 315◦
=−
2
:
√
1 + 22
=−
2
:
√
2+ 2
=−
4
5
√
2+ 2
=−
2
rrr)^f,-)jmb
--/
,.) Pn` oc` ndi` nph ajmhpg\)
,/)
ndi
# 10π 3π $
13π
= ndi
+
12
12
12
# 5π π $
= ndi
+
6
4
5π
π
5π
π
= ndi
^jn + ^jn
ndi
4
√ 6√ 4
√ 6
3
2 1
2
=
·
− ·
2
2 2
√2
√
6− 2
=
4
6
4(^jn 5x + ^jn 9x) = 4 2 ^jn
# 5x + 9x $
2
= 8 ^jn 7x ^jn(−2x)
,0)
^jn
# 5x − 9x $7
2
= 8 ^jn 7x ^jn 2x
^jn(x − y) ^jn y − ndi(x − y) ndi y
^jn y(^jn x ^jn y + ndi x ndi y) − ndi y (ndi x ^jn y − ^jn x ndi y)
^jn x ^jn2 y + ndi x ndi y ^jn y − ndi x ndi y ^jn y + ^jn x ndi2 y
^jn x ^jn2 y + ^jn x ndi2 y
^jn x(^jn2 y + ndi2 y)
^jn x
$
#
,1) Pn` oc` ndi` \i_ ^jndi` nph ajmhpg\n) # 4π
5π $
ndi
− x + ^jn x +
3
6
4π
4π
5π
5π
ndi
^jn x − ^jn
ndi x + ^jn x ^jn
− ndi x ndi
3 √
3
6
6
√
3
1
3
1
−
^jn x + ndi x −
^jn x − ndi x
2
2
2
√ 2
− 3 ^jn x
,2) Pn` oc` ndi` nph ajmhpg\ \n r`gg \n oc` _jp]g` \ibg` ajmhpg\)
ndi 6x = ndi(4x + 2x)
= ndi 4x ^jn 2x + ^jn 4x ndi 2x
= ndi(2x + 2x) ^jn 2x + ^jn(2x + 2x) ndi 2x
= ^jn 2x (ndi 2x ^jn 2x + ^jn 2x ndi 2x) + ndi 2x(^jn 2x ^jn 2x − ndi 2x ndi 2x)
= 2 ndi 2x ^jn2 2x + ndi 2x ^jn2 2x − ndi3 2x
= 3 ndi 2x ^jn2 2x − ndi3 2x
= ndi 2x(3 ^jn2 2x − ndi2 2x)
= 2 ndi x ^jn x[3(^jn2 x − ndi2 x)2 − (2 ndi x ^jn x)2
= 2 ndi x ^jn x[3(^jn4 x − 2 ndi2 x ^jn2 x + ndi4 x) − 4 ndi2 x ^jn2 x]
= 2 ndi x ^jn x[3 ^jn4 x − 6 ndi2 x ^jn2 x + 3 ndi4 x − 4 ndi2 x ^jn2 x]
= 2 ndi x ^jn x[3 ^jn4 x + 3 ndi4 x − 10 ndi2 x ^jn2 x]
= 6 ndi x ^jn5 x + 6 ndi5 x ^jn x − 20 ndi3 x ^jn3 x
--0
rrr)^f,-)jmb
2
32
,3) Pndib jpm i`r ajmhpg\' ^jn4 x = 12 (^jn 2x + 1) Ijr' jpm {i\g \inr`m i``_n oj ]` di oc` {mno kjr`m
ja ^jndi`' nj r` i``_ oj {i_ \ ajmhpg\ ajm ^jn2 2x) Ajm ocdn' r` np]nodopo` 2x `q`mtrc`m` oc`m` dn \i
x \i_ oc` ajmhpg\ om\ing\o`n oj ^jn2 2x = 12 (^jn 4x + 1))
2
32
,4) Pndib jpm i`r ajmhpg\' ndi4 x = 12 (1 − ^jn 2x) Ijr' jpm {i\g \inr`m i``_n oj ]` di oc` {mno kjr`m
ja ^jndi`' nj r` i``_ oj {i_ \ ajmhpg\ ajm ^jn2 2x) Ajm ocdn' r` np]nodopo` 2x `q`mtrc`m` oc`m` dn \i
x \i_ oc` ajmhpg\ om\ing\o`n oj ^jn2 2x = 12 (^jn 4x + 1))
-+) #\$ Admno' r` pn` ]joc ja jpm i`r ajmhpg\n'
oc`i ndhkgdat5
1
1
2
2
ndi x ^jn 2x = (1 − ^jn 2x) (^jn 4x + 1)
2
2
#1 1
$ #1
1$
=
− ^jn 2x
^jn 4x +
2 2
2
2
1
1 1
1
= ^jn 4x + − ^jn 2x ^jn 4x − ^jn 2x
4
4 4
4
1
= (1 − ^jn 2x + ^jn 4x − ^jn 2x ^jn 4x)
4
ndi x
4
#]$ Ajm o\ib`io' r` pndib oc` d_`iodot o\i x = ^jn
x \i_ oc`i np]nodopo` di jpm i`r ajmhpg\n) o\i 2x =
4
ndi 2x
→ ijr' pn` oc` ajmhpg\n r` _`mdq`_ di 3 \i_ 4)
^jn4 2x
O`s\n Dinomph`ion M`njpm^`n
Di oc` >F(,- O`s\n Dinomph`ion Omdbjijh`omt Ag`s=jjf' oc`m` \m` bm\kcdib ^\g^pg\ojm
\^odqdod`n _`ndbi`_ oj npkkg`h`io oc` j]e`^odq`n ajm njh` ja oc` g`nnjin di ocdn ^c\ko`m) N``
cook5**rrr)^f,-)jmb*ag`sm*^c\ko`m*42+,)
rrr)^f,-)jmb
--1