HOMEWORK #8 – SOLUTIONS Page 213 8) 2x 3 + x 2 y − xy 3 = 2
dy
dy
+ 2xy − y 3 − 3xy 2
=0
dx
dx
dy
x 2 − 3xy 2
= −6x 2 − 2xy + y 3
dx
dy y 3 − 6x 2 − 2xy
=
dx
x 2 − 3xy 2
6x 2 + x 2
(
)
14) y sin x 2 = x sin y 2
y 'sin x 2 + y ⋅ cos x 2 ⋅ 2x = sin y 2 + x cos y 2 ⋅ 2yy '
(
)
y ' sin x 2 − 2xy cos y 2 = sin y 2 − 2xy cos x 2
sin y 2 − 2xy cos x 2
y' =
sin x 2 − 2xy cos y 2
18) tan ( x − y ) =
y
1 + x2
(1 + x ) y '− y ( 2x )
sec ( x − y ) ⋅ (1 − y ') =
(1 + x )
(1 + x ) ⎡⎣sec ( x − y ) − y 'sec ( x − y )⎤⎦ = (1 + x ) y '− 2xy ⇒
(1 + x ) sec ( x − y ) − (1 + x ) sec ( x − y ) ⋅ y ' = (1 + x ) y '− 2xy ⇒
(1 + x ) sec ( x − y ) + 2xy = y ' ⎡⎣(1 + x ) + (1 + x ) sec ( x − y )⎤⎦
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
Substituting for y from original problem yields 2
(1 + x ) sec ( x − y ) + 2xy =
y' =
(1 + x ) + (1 + x ) sec ( x − y )
(1 + x ) sec ( x − y ) + 2x (1 + x ) tan ( x − y ) = (1 + x ) + (1 + x ) sec ( x − y )
(1 + x ) sec ( x − y ) + 2x tan ( x − y )
1 + (1 + x ) sec ( x − y )
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
20) sin x + cos y = sin x cos y
cos x − sin y ⋅ y ' = − sin x ⋅ sin y ⋅ y '+ cos y cos x
y ' ( sin x sin y − sin y ) = cos x cos y − cos x
y' =
cos x ( cos y − 1)
sin y ( sin x − 1)
26) x 2 + 2xy − y 2 + x = 2
2x + 2xy '+ 2y − 2yy '+ 1 = 0
y ' ( 2x − 2y ) = −2x − 2y − 1
y' =
−2x − 2y − 1 ⎤
−2 − 4 − 1 7
=
= =m
⎥
2x − 2y ⎦(1,2 )
2−4
2
y−2=
36) y '' =
7
7
3
( x − 1) ⇒ y = x −
2
2
2
x3
x + y = a ⇒ 4x + 4y y ' = 0 ⇒ y ' = − 3
y
4
4
4
3
3
− ⎡⎣ 3x 2 y 3 − x 3 ⋅ 3y 2 y ' ⎤⎦
(y )
3 2
Now substitute for y’. ⎛ −x 3 ⎞
3x 6
2 3
−3x y + 3x y ⎜ 3 ⎟ −3x y −
⎝ y ⎠
y
=
=
6
6
y
y
2
3
3 2
(
)
2
4
4
−3x 2 y 4 − 3x 6 −3x y + x
−3a 4 x 2
=
=
y7
y7
y7
38) 2y 3 + y 2 − y 5 = x 4 − 2x 3 + x 2 a)
(see graph) b) 6y 2 y '+ 2yy '− 5y 4 y ' = 4x 3 − 6x 2 + 2x
4x 3 − 6x 2 + 2x
y' = 2
=0
6y + 2y − 5y 4
(
x ( 2x − 1) ( x − 1) = 0 ⇒ x = 0, x =
)
2x 3 − 3x 2 + x = 0 ⇒ x 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒
1
, x = 1.
2
The graph is not of a function. There are 9 horizontal tangents, three each for the above x values.