Calculation of 7T to 100,000 Decimals
By Daniel Shanks and John W. Wrench, Jr.
1. Introduction. The following comparison of the previous calculations of x performed on electronic computers shows the rapid increase in computational speeds
which has taken place.
Machine
Au thor
Reitwiesner
[1]
Nicholson & Jeenel
Felton
Genuys
Unpublished
[2]
[3]
[4]
[5]
All these computations,
(1)
ENIAC
NORC
Pegasus
IBM 704
IBM 704
Date
1949
1954
1958
1958
1959
Precision
2037D
3089D
10000D
10000D
16167D
70 hours
13 min.
33 hours
100 min.
4.3 hours
except Felton's, used Machin's formula :
x = 16 tan-1 i - 4 tan-1 ^.
Other things being equal, that is, assuming the use of the same machine and the
same program, an increase in precision by a factor / requires / times as much
memory, and f times as much machine time. For example, a hypothetical computation of x to 100,O00D using Genuys' program would require 167 hours on an
IBM 704 system and more than 38,000 words of core memory. However, since the
latter is not available, the program would require modification, and this would extend the running time. Further, since the probability of a machine error would be
more than 100 times that during Genuys' computation, prudence would require
still other program modifications, and, therefore, still more machine time.
2. A New Program. We discuss here a computation of x to more than 100,000D,
which required 8 hours 43 minutes on an IBM 7090 system. This increase in speed
by a factor of about 20 is largely due to the increased speed of the 7090 (it is about
7 times as fast as a 704), but substantial gains were also obtained by programming
changes.
The formula we used, namely,
(2)
x = 24 tan ' £ + 8 tan " -fr + 4 tan ' ^,
is due to Stornier [6], and has not been previously used in high-precision computation. The computation time breaks down as follows:
8 tan-1 -¿i : 3 hours 7 minutes
4 tan-1 yj^: 2 hours 20 minutes
24 tan-1 $■: 2 hours 34 minutes
Received September 7, 1961.
76
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF X TO 100,000
Conversion
(binary-to-decimal):
77
DECIMALS
42 minutes.
To obtain these favorable times, two devices were used.
a) Instead of evaluating the Taylor series
(V\
A ton-1 l
[ó)
AUn
- V
(-DhAm
m * tí (2fc + l)m*<*+»
term by term, one may compute two terms at a time by using
U)
Ai
->± =Y ¿W(4fc + 3)m2 - (4fc + 1)]
tl
m
¿o
(16fc2+ 16A;+ 3)m4<*+1) '
This substitutes 2 (multi-precision) divisions, 1 multiplication, and 1 addition for
4 divisions, 1 subtraction, and 1 addition, and this eliminates 27% of the computation time. Further improvement in this direction, i.e., three terms at a time, is not
possible here, since the divisors in (4), m* and (16fc2+ 16k + 3), already tend to
fill a 7090 word, whose maximum numerical size is 235 — 1.
b) Since the 7090 is a binary machine, the (multi-precision)
division by m4 and
the multiplication by [(4fc + 3)m2 — (4A;+ 1)] may be replaced by a simple shifting operation for the case m = 8 in 24 tan-1 £. Had this not been done the 2 hours
34 minutes listed above would be, instead, 6 hours 7 minutes with the double-term
formula, (4), or 8 hours 21 minutes with (3).
The program using (4) requires three blocks of storage, one for the current
Am/mi(k+1), one for the current term, and one for the partial sum. Since a 7090 word
is equivalent to 10.536 decimal digits, the working storage for an iV-place x is
3ÍV/10.536. Therefore, a core memory of 32,768 easily suffices for a computation
to more than 100,000D.
3. The Check. Inasmuch as such a computation requires billions of (arithmetical)
operations, it is clear that a check is necessary. This was obtained with Gauss's
formula [7]:
(5)
x = 48 tan-1 tV + 32 tan-1 -fr - 20 tan-1 ^.
During the computation, using (2), the numbers
A = 8 tan- -£?
and
B = 8 tan-1 -^ + 4 tan-1 ?$?
were written on tape. At the start of the check A and B were read into memory
and 9^1 — 57? = 32 tan- ^V — 20 tan- ^^ was computed (in 1 second). To this
difference was added the new number 48 tan-1 xV, which was computed by (4) in
4 hours 22 minutes. The check, therefore, takes less time than the original run
(8 hours 1 minute), and is perfectly valid, since an error in any of the four arctangents will lead to a discrepancy between the results of (2) and (5).
4. The Result. The run and the check were both made on July 29, 1961, and
such a discrepancy did in fact occur. The two values of x, in binary form, were compared by the machine in £ second, and were found to agree to only 234,848 bits. This
is equivalent to 70,695 decimal places. Subsequently the error was isolated. It
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
78
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
was found to have occurred in the computation of 24 tan-1 £. The second value of
x, computed using (5), was therefore correct throughout. When 24 tan-1 \ was
recomputed, the two values of x agreed up to the last word. This comprised 333,075
bits, or 100,265 decimal places. The first 100,000 of these are given here.
The computation was of such a character that it was known a priori that the
term involving tan-1 ^4^ contains most of the round-off and truncation error, and
consequently that we have the inequalities:
x computed by (2) <x<x
computed by (5).
Thus the check and the computation give upper and lower bounds respectively,
and, to the extent that they agree, x is determined absolutely.
Care has been taken in the output routines—in writing and printing—and, since
the reproduction here is photographic, we believe that this value is entirely free
from error.
5. A Million Decimals? Can x be computed to 1,000,000 decimals with the computers of today? From the remarks in the first section we see that the program which
we have described would require times of the order of months. But since the memory
of a 7090 is too small, by a factor of ten, a modified program, which writes and reads
partial results, would take longer still. One would really want a computer 100 times
as fast, 100 times as reliable, and with a memory 10 times as large. No such machine
now exists.
There are, of course, many other formulas similar to (1), (2), and (5), and other
programming devices are also possible, but it seems unlikely that any such modification can lead to more than a rather small improvement.
Are there entirely different procedures? This is, of course, possible. We cite the
following: compute 1/x and then take its reciprocal. This sounds fantastic, but,
in fact, it can be faster than the use of equation (2). One can compute 1/x by
Ramanujan's formula [8] :
(R)
1 = 1 A123 _ 22583I !l? i 44043hi
i"3"5"7
■
W
x
4\882
8823 2 ' 42
8826 2-4'
42-82
The first factors here are given by ( —1)* (1123 + 21460&). A binary value of 1/x
equivalent to 100,000D, can be computed on a 7090 using equation (6) in 6 hours
instead of the 8 hours required for the application of equation (2).* To reciprocate
this value of 1/x would take about 1 hour. Thus, we can reduce the time required
by (2) by an hour. But unfortunately we lose our overlapping check, and, in any
case, this small gain is quite inadequate for the present question.
One could hope for a theoretical approach to this question of optimization—a
theory of the "depth" of numbers—but no such theory now exists. One can guess
that e is not as "deep" as x,t but try to prove it!
Such a theory would, of course, take years to develop. In the meantime—say,
in 5 to 7 years—such a computer as we suggested above (100 times as fast, 100
times as reliable, and with 10 times the memory) will, no doubt, become a reality.
At that time a computation of x to 1,000,000D will not be difficult.
* We have computed 1/ir by (6) to over 5000D in less than a minute.
t We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.
hours instead of the 8-hour run for t by (2).
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
This takes
2.5
CALCULATION OF X TO 100,000 DECIMALS
79
6. Acknowledgement. We wish to thank the IBM Corporation for its generosity
in allowing us to use, free of charge, the 7090 in the IBM Data Processing Center,
New York, for the computation described above.
Applied Mathematics
Laboratory
David Taylor Model Basin
Washington 7, D. C.
1. G. Reitwiesner,
"An ENIAC
determination
of x and e to more than
2000 decimal
places," MTAC, v. 4, 1950, p. 11-15.
2. S. C, Nicholson
& J. Jeenel,
"Some comments on a NORC computation
of x," MTAC,
v. 9, 1955, p. 162-164.
3. G. E. Felton,
"Electronic
computers and mathematicians,"
Abbreviated Proceedings
of the Oxford Mathematical Conference for Schoolteachers and Industrialists
at Trinity College,
Oxford, April 8-18, 1957, p. 12-17, footnote p. 12-53. This published result is correct to only
7480D, as was established by Felton in a second calculation, using formula (5), completed in
1958 but apparently unpublished. For a detailed account of calculations of x see J. W. Wrench,
Jr., "The evolution of extended decimal approximations
to x," The Mathematics Teacher,
v. 53, 1960, p. 644-650.
4. F. Genuys, "Dix milles decimales de x," Chiffres, v. 1, 1958, p. 17-22.
5. This unpublished
value of x to 16167D was computed on an IBM 704 system at the
Commissariat à l'Energie Atomique in Paris, by means of the program of Genuys.
6. C. Stürmer,
"Sur l'application
de la théorie des nombres entiers complexes à la solution en nombres rationnels,
xi, xt , ■■• , x» , Ci , c2 , • • • , Cn , k de l'équation
c¡. arctg xi + et
arctg Xï + • • ■ + Cn arctg x* = for/4," Archiv for Mathematik og Naturvidenskab,
v. 19, 1896,
p. 69.
7. C. F. Gauss, Werke, Göttingen, 1863; 2nd ed., 1876, v. 2, p. 499-502.
8. S. Ramanujan,
"Modular
equations
and approximations
to x," Quart. J. Pure Appl.
Math., v. 45, 1914, p. 350-372; Collected papers of Srinivasa Ramanujan,
23-39.
Note added in proof, December 1, 1981. J. M. Gerard
Cambridge, 1927, p.
of IBM United Kingdom Limited,
who was then unaware of the computation
described above, computed x to 20,000 D on the
7090 in the London Data Centre on July 31, 1961. His program used Machin's formula, (1),
and required 39 minutes running time. His result agrees with ours to that number of decimals.
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
so
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
OOPOdNNmOPOO
r-^r-O-^fOfOl/IOtD
o — noo
— Ncoroo
,- o — — •- d m o — cm
•-room-ONOod
ojod
— o-ooooo
jidNdroocooo-
rO>nOO,COr-"0'-ri>CM
tnoo—
— -oocoso
m eo n m oo jí f» cm^ o
a» jso-focoMinNO
dOo<oo
— nn — m
K)fM'Orfri»toef'»-'OC^
ONfO-
NdNPOO
—
cooodNNONN
Ndrnoo
— -omod-
—
•o jroioo-jom-
o
CO O — — CO CO — O CQ O
O» > N N rf rO N <-
omcotnNNroin
« in ^-o M/urt
o*tn -ootMi»-©»
CO CO
o> O N
CMCM
ro o
ro —
oo — ro N m — d co m o
NNdcoeoromN
r- o
omincDcoo<ooto ro
NOOdinOUld
— CMCMo in o m PO PO o
m — — s- m o m co o o
— o o cmo» o POPOco o
ro d d N N 00 d d — o
— NO O O PO — co — m
O CD -O O PO O d non
P- CD O o o n o m o cm
j- d O CMO CMPO co o o
ro co m d m p- n O p- CO
co o* CMo h- p- o ■OfMS
CMO ÍOC*
P- O CO CM*
in o CO CMN r- ro p- cmo
O CM— O O
no •OSO
P- PO ■O CM— o po o in m
J* O CMO PO P—00 PO
cm— O O N C0 CMCMCM—
S- N CO — CMcmm po in co
o o O d > P» CDcm*o in
d — CM— O «O POP- o o
CMO O O O J* a CM— O
or-
d PO -O
•o -o m
co CMj- cmo
POo PO PO o
— o m p- o
sco-o jm
m o co cmJt
Nieoj>o
— O O O CM
JJ4>Olfl
J- o p- ¿* CMco co o in co
o d Jt -oo «--co=*in
o o o o o COJ- -o o o
mo
*- P- O -O 00
o p- m in m jî cmo
cmm <- J» co m p- ro o o
o m P- CMCO cmd- m co co
OrOSro co CO O
PO CMjt o m •o ro -o co ro
COo comoNdONco
P- o CD d1 JS- to po — jt *dorn-momo
p" — o -o o N»-OC0rf
«n ro CMS- d- CMCMO CMCM
O N romoNmoNN
POO omdOoocoN
o o p- co m min^'-'O
— O PO *mo
cmm o jt o
CM— o — Nmdoro
Od- d — NinNOcoN
co o p- m m ^ cm a co ro
in CDMO'OorgjNr
O d p*-ro co in m o o P— PO fO CM oooomomo
j. o o- o o n o — •-m
NdNOOONNN
o roo in
o m o m N CMo — po m
msmioo
Jintf =*«OlflO
corom^tf
Ni-s
O CMoo
a -o
—
«
m
n
n
o
—
o
j»S O CO
CO Jt
o>"-coi/ioro
d o ON
OdNOOOOOON
o -o
pomcopoooroeo
CMPO — d CMd d co n — N
mNdroNO-co
CM— O O d O * GOo m
O P»
co co un co n o d — — co Kii-jmmioo«
PO «O
o co o* cmin-o <- m
m d -s- n o -o
OOD^d
— NdN
in —
CMO
d m omino«-
no«
•o o — oroNoroco«
+
•
m
H
O CO — O CO CO
t_«
m-OrfirlN
a.
r--OtDN
00 o co n
s(DO"Oco«n e>«- in
m o — rn — cm— o •r o
O d o m —o s m
O o
CM— LD N
MlfC-r-OO
o m n ——o
«tflNO-fO«f-
n d <
CM inooN-Mnirt
f-r-
OdNiOONrON
o — -l/lf"SOOOC0
—m mCM'-rf-OCMiflN
COO-OCNJO-OCOrO
d CM
CO CMNNNNOOmOin
CO CO ocommN
— dm
cmm CONOONOOdN
o o N « — m m o m co
in m m o-co-o Nin ro œ
o in momdN—mm
r- o NNNOdOON-O
CMO C00r""Jt'O,,"C0C0
m « J-O — O — dON
ONorONdroo
inmco-NfONin
m co N--Ni/IO(M0»
j* m dcoNOcodinin
o o coajxs-ocM1ir)4
CMO NiOCOSCO
m m co o
COOdCOO-tfOO
CMPO CO
ro o
n o io m o-o tn (MCO d
o m
mmminmmmo
ONO
— OOOO
o m
NcommmoNN
-os
oN*o-ONdin
— dOD
m fo<i o íi í-î
(M m cm
m — LO O -o cm— — m j*
m m h- « m o p- — m o
ino o» o o m cm-o d o*
o co o o n m — m o dcmo — s-CM p» co o* m rn
O CO COCON •o<oo>jtm
m m mm — * cm
m j* co
•MJO
m o o cmco
d NfO CDO CMO O
o o j* in m
dNro
Kl-O J tO ^"O-O-
CMC0 O — CO J* O PCO CO Jt CO CMPO — CM
•o m o ro o co J» J* cm -o
o m oo o po — j- co j- ro
p» oo O 00 O CO— _ o o
CMP- — in tn co j- cmo m
00 CM■oo •- o — CMO O
— P- 04.K1O CM00 O
00 — m cm-o — U1 o o o
ro -o m o 00 o ro — o O
ro oo m «om o CMcm m -O
m -o o ^o.* x P- 00 co
■-•-no
cmin h- o o r
o -o j* o -o r
ro po o m o -o — cmro •
O PO•- o -ON-O-Of
in m co cmCMco N- 10 co r
o o — o -i-inM
CO CMO >—J* O CMCD PO •
CO 00 *—CM«o ro ro a 00 r
J<-
« N — N m O N O «o m
rfj-o-
cmfO wt •- in O CO CM— P-
mcoi <-=» m ¿t ¿t •- CD
o o p- in s- m m m m cm
in oo cmo r■"Oroioo
o m co o cmP- 'OO CM—
PO P- P- — 00 p- m m m o
o o -o o — o po m cmppo o p- m -o P- P- CM
— CMP- O 00 ¿
sosin
cmm j* p- (MO<-<OI»1<
ro o o d- p* -o cmm m m
-o in- O — OO ro O ¿t
oo o o <-rfin-cooo
m -o -o cmro m o o o dco o -o inoNio-c
st m p- •- O CMCM*- Jt —
m —o o o o m m m o
o ^ P- COO CMj* cm J- ro
o m ro O POP- — o — o
ro cmco-oinco J-j
o co CO O CM lO O Jcmro ro m — 00 ro ro
00 — jj- 00 — po .* o
•o 00 CMCM■* O PO O o m
o -o — O CMJt CMP- d- CM
m d- m -O PO CMO CMp- Jt
o flO o m s co d o
•o o
ro cmcoiP-r-s>
O d
m o o co — — ro m COo
m ro •o m co o cmro -o co
jt m
o o mo * —
p* p» CNco m o — d* — PPO — — jt d- r- m in o o
a -o o o
O o
A — o co
— p- p- o
j* in po do o o co
ro po O A O O -Oíino
*o o CMCDm cm0"-oa)
Od-ro — cm— j* p- o dor-coroco
— ^oj-s-scoininrop-cM — mcM^o
roincooorocojj-coo
— comNNO
NdNOdPOrOONO
— — C0N — rOOOON
— NO — — dNOCM
—
OmCOONOCDN
— —
OONOONNOrON
— ooOOOroOCOro
OONOOdOOPO
—
comNinmino
— Od
O O ro n d o — N CO N
d d N m ro d ro
O — o — N m ro
n m N N m 00 d
00 N O d o d co
o o C0 -O oo m N
m o CD — — N o
o N mn m d O
o o d O
d
o oo O ro
m
ro m d — d N O
O ro ro N ro m N — N N
m m O
n d N
O —d
mm O
n o O
00 o
.
N d —
N PO N
ON--CCMOC0
— COCOCM
— jf —
op-oomp-inm
— -o
OP»rOCMd— P-OOCM
OCOONr-ON^'-J
omroí
seo jcom•o o m m in o O d m m
p- m -o m O PO S- CMdP-
Jt 00 00 PO ro ro cmin 00 <o
— 00 d- *0 cmo d o — d
O P- 00 O -o in — cmCM—
■oo m j- co — o d O CD
cmm o co co O d d PO pCOOOÍ
d — *0 — d 0
d- — d- 00 in o m ro o in
00 d d in po o P* CMo o
-o p- o m <om m «o m —
cm 00 ro m — o 00 ro ro o
co rOP- co — d d m d m
P- CDCMo <o 0-000
—
d mr- co o COOO-OfO
o co 00 d m d 00 o m p— 00
o -o N m m n o
p- o in « m co -o ro 00 ro
-o p- d •- d CMCMp- -o co
cmm co d o CMCMCM00 O
P--0
d 00 N P- O
p- m co O O -O 00 *-
o p- *o 00 ro co d «o
d -o d ON<0>0
m—
o d cmo 00 ro co — d CM
co -o in *. r-*- t> p- do
d o cmO CMO O CM
NON
O P- O CMd CMCO
CM— O c\i -O-OCOfO PO —
m cmo — -o m -o — fOPOCMdO-Od
— — COPO
CMP-OOd
— CMrO-OCM
OrO — P-iOrocOCMO
—
cMorop-oodincom
(MOdOOOOCOOdd
coinoodoP-rocON
mtMininini-oNp.ro
cMoorocMNCMindd
oomrodCMo
— roco*o
O-Otn
— IONPONOO
o o o o co 00 o d c
N O in *o ro ao co m r
in — dm — cv— ro :
o o CM— CMCM00 — ¿
mo mn mmn d r
CMCOCMN CMCMO — C
m o o o m o d —p
m
n d 00 m
o ro
CM (o 00
m o N
N —m
m cmm
o d d
00 N N O
O —o m n o o
O m — O ro 00 N
o n ro 00 d n m
n
o o d
mo d
—o —
N O mn o
O N
d —
d m in —
d co o o
n
o
o
ro O
N ro
CD d
ro O
N o
o co N
00 ro o
m co —
N O N
ro o n
o o m
O N N
d ro ro
O 00 o d O
n d m d N 00 — NON
o o N o CD O CD CD O CD
N— o — 00 o o ro m o
O N
o m o o 00 d
O O O N O CON N d d
o o O 00 ro o N ro d o
o —ro
00 — 00 o o d —
ro oo d d m o
o co o co — o
O O
n o
m d
co m n o
— co d —
N 00 00 —
ro ro o d
o •- o d
00 N
N ro
N —
PO N
— m 00 O O PO
O O
mm O O N N
POO — N n — d po o o
o ro n m m 00 d 00
00
COO
o o
m ro o m d
LOCO- ooco
— o o
o — dcoo
— dm o
mmomroo
—n —
—
inNONinNcoo
copón — romd«0
O
—
NNOOoomro
ro o co co o n — o —
— mN—Nrood
N
NCOO-OmdON
ON — NPO — NO
00
N
CN
O
N
N
PO
ON
N N
mo o
N — «mo d
N d O 00 CONO
m d m —— — O
on d o n m m
00
— — CO CD N
N d N 00 n o m
d —m n N — N
— ONO
N —O
O N m N po m d
po m o ro 00 — o
o n d mmmn
n
o
o co PO
— PO j-
— ON
o ro o
POro n
N o d
00 N O
odNd
— omm
O
—o
O — d — N — OOOOPO
— dNmoOONNO
rommNomooro
CMOfO
— co
— m — ON
mo-OPOPoropomNd
—
n m m * * <ot* m cmO CON O 00 d —
m cmCO
•o -o ■00*000
NNO
d o 00 po — m o dm —
o d o d o — o m o 00
NN
— —
— NNOOPOPOOd
NOOOCO — oorooro
ONO
— OPONddro
moONooorodNd
mdodN
— — coon
omoommNONo
ddNm
— eoroNON
— pooopoomo
mNmooooNom
— pon
mO»-NNOCON
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
co
co
o
o
o
N 00 CD
NrodinrON
— rooco
OdincONNooino
OddCMONindrON
*-Jtp~C4p-t^Jt004p~
ooroooONdO
— oro
indoNoodNino
m — O — ONONPON
ooorooNdddNd
— 00m
ro o m 00 o co
o ro o n — n o n o —
n mo o
N — O N O d
O CO N O d ro 00 o m d
— O O —N
o o ro d O
m d ro — O
po m n co ro
o o d m O
co o m — d
m N co o O
N co n
N ro o
N N O
d co m
—d n
m
hO
ro
o
N
ro
N
d
d
— N N ro N N O
d O m o —d o N d
m d in o d m
O O O CDO N
OO d d o o
ro N o — — — o
o mn
o mn
— -o O O
N O 00 —
co — ro
N CD O
o O —
o rOd
CO n m
C0 m o
f- jt — O O d N co N OO
d co — N N O N C0 d N
ooNd
— oodoo
mooin
— ooNforo
— NNO
Nin — inmcoo'Odo
ocoroNdom
— mm
omdNom
00 — ^NNOO
— dON
•—ÑOPO
— ONONPO
ONinOONNONO
OCOd
— NOO — — dO
NNONNNNNON
mo
o N
o m
oo o
o n
o— oO
o m
00 d
ro m
mo
o N
po
o
N O
d O PO N N O
m d n m o co
o m o po — 00
d — N CDC0 N
O — O "O PO O
O O CDN O d
00000m
PO PO N d N 00 N 00 d O
m o o n co o o — o o
o 00 m m N — N O O O
O O O N — ro coo o ro
N o n m m o — n m po
ao — a o N n m — — po
o d o o m rO N N O O
o d n m ro o *—m m co
d o d ro — m n -o o d
ro d o o m n ro o m d
o N d co N d ro o o d
N PO N o < o o o d co
po m n 00 m m o ro — o
ionmocoroN^o
—.0 roco — dNPOrom
— POf-OOOPOO
N — OONO—
d — mmrONoo
— oOdOdO
— POPOOPO
orooroNNoroco
o m
o o
00 d
—m
— ro
inoointnNmromo
mNdomoeomNd
omdroNNinoopoo
oodoro
— omNdN
000 — o co o co N ro in
NfOCONOO
— ONO
moocooPOooNd
doomm— Norod
oommo
— NNO —
NOOON
N N O
00 O CO
flOONrONNdOmro
NC0 — N — COO O N m
ONONOOOCOOdCO
odo
d d N
o o co
OOOOdONdNNO
N — OOdO
— — NO
ro 00 r- 00 — m
O
00 co o n m *— N
o o d d —O
m
— m O — N CO N
—
N O in d ro —
00OO
— NOOOO—
POOPONNNNdOPO
POPO — NNOrOCMCM-O
OOdOCMOO
— COCO
■O — OON-iTiON-O
m
N ro m m d d N
— ocoocoodpoooo
oomroNd
— ooroo
ro cmm n o d m m c
co d m o 00 o m o <
o — CO CD CO (O O ■—*
oooNinNNddO
ooomoooromo
mooN
— Neo — ro^
— ocMcopnoro
— — pOd-cMinoeoCM
— 000
d-incMCMOo-oroN-j-m
cMOrocMdcMin
dOPONONOO
— Mlfl-Oifl-ONiilO
— d
N O
dinmN<o<ocMoOd
o<oinodomcom
—
•00 — dNocomm-o
CMOdtn«o — o<ocoo
-roNONinmtMNN
moNPOCMdNmmm
— d- *o co -o co -O COCOCM OdCM — mo«oooo
OCMincM — 0"--0'OCM
00 N dd-d
N o N —O
(Mjrooco
jo<--o«
n — o d o d o d POro
p-<MOp-p-;*o.*p-eo
o m 00 cmro o o dN O
tnp»<op-.d-m<ocMOP~
d d «o — n -o d d O N
■OCM oo m cmo — CD O O
cMin — ointno«oP"CM
into-ororo-oss-orf
dO-ON
po 00 -O CMm o p- o o d-
ocMP-p--ooinp-oo
mooro
— — rooro —
—N
ococoooinocMinN
— oomoo
— ONrod
inoNONtnmocoo
— ino — — roNmmo
cMcoo — dtnoooro
—
—N
— —
dNO
— 000
mo o
00 N — CON n m
N dN N d —NN N —
O PO N co m — CMo PO N
m o ro d m O N
ro mN 00 o — —■o o d
O O 00
N C0 PO N N N O N — N
m co n
m d o
o ro o
oro n
ro O O O O
f
N
d o co ro o N N
O O o co o O O
ro o ro m n — N
CALCULATION OF 7T TO 100,000
mNooNNNmmmo
m--mmooo
— — N-o
dONmNO
— dNd
n — o — «omroNN
cocomom
— OdmN
d oo d — d n o — m N
o m meo o n m o m co
o — n n d o d d o-o
d o d co n ro n m ro o
oodcoo
—o —o m
Q
o
o
o
o
OCOdOOOdNOd
a
o
oNmmoommoNoo
comoONroromotn
OmdONCONONO
ooo
— — ooomm
oo oo o o m o o — co m
NNCoodroNdom
con — m — omrod
—
m
NmmNdOOroco
o
h-
—
o
m — dOONOONro
—
COO — ONmOOOdN
N — dOOOrOtONN
X
oNmomoNoom
O
OS
u.
Od
— drood
NONOdNd
— dm
— dd
oNinco — »doom
ONONOOOmNNd
oom — ooN—moom
OOdOONNdOON
oindONONtncoo
o — moNdincooo
— noo
—
o o CN— NrONOO
—
o m Nmco — oom
00 o moom
m N OOdOONONO
d o NOmmNNNO
m co o — ooomNm
o o roomoooONOo
— mo
d n ONCOON
n m N — mNOmoN
ocoooNOONcomm
csim — o — o — coooo
NNdON
— pon-o
dmmNd
— NmmN
NomNmNOdood
NCOONinNCOONO
ooooomdN
— dN
OOOONN
— mcocod
N — ONN
— — NiON
dNOmNmNdcoN
O N —m n m N O N O
md
o m
N m O O
O N —m
—O d d
d-ro n m
N 00
NO
o mn mn m
m 00 O — O N
d m —o m o
o O O N O d
m C^ 04 Jt Oi jf
m N N — CDO
NN N N O m co m d -o
O N N O 00 d n «- on
C4jt N N N N N O N O
— OONOOOdflOdN
00N — NNmcONNO
roNto —NinNinNm
mommdNcomN
—
mo«ddom«-oo
NOdmin^d
— mo
on — NmdNdcom
—omNoodomd
modcommoomo
oommoooNoo
— o n o nn d
m co m co o n o
o n o mmmm
— m no m n o
CO N
om
md
— N
mo
—
co co o
o mo
n oo n
—o d
N — r^- st ^ iño^NN 04 \n t<i <o c^tjt
on o n o m m o
N N o on n o —
—N o m n o o m
o o mn
—o m O CMCMO CO
NO co o o m n — o m
ON N CO CO m co m o n
m o d d O oo N n n o
N OOO — O n d d m o
m m O CON o d o m n
do a — ro d — d o co
oo d m o m ■co r m
oo d ro —— —
m — mo o co
N —co — n m o o
m d n m m o co n
m m m m m —m o
— m ooo
NOON
o — o o m n o o co d
— O Nd O — m d m o
0ON O O oo o n m
n o o mo mo o
m — — d d m m oo
m m m o o co o d
m
m
d
n
m
m
o
n
n m o N O — r>-¿t rm d — d — o —o o
n n m o o m o m co
— co oo m n m — d N
n o m CON co n m o
o d m m o o d —o
o d co o m O N O d
co m ro O
— oo —
d — N 00
O N — CO
m CMN N
O O o co
d o — o m — in o — n
N — O 00 co — d N N O
—o m o o N m n d o
o o o o d co omm —
N O O 00 co m o oo m n
N O O N o m m n n —
m o O O ro o m n m oo
N O co d m oo d o n o
d O cm r o o n m m o
m co m o* m m
o o
N d co — — o- m d o n
co — m o o co o d m oo
m m —d d o m m m o
o — o ro m m o m co d
O CON co N o o o m o
PO N N o — m o m d m
n mo O d N o
ONN
O O —mn n o m d o
o n n m
oo — m OON
oo o d m m m — o m m
oo m roNooo
— ooo
N N roNNdOooom
O N NroNONrooro
N O NOmNOOOO
m n ONinoomNO
—
N d mooNincod
co oo OON — o ro m —
——
n m eo^-NNmm
m o oinroNOinmco
noo — o — ddN
O N O d d m m n m m
d 00 N m o n d d o o
m co — N m — o o n m
n —m O O N O O O —
m m o O d O o — oo d
o m oo o o co d d o —
d co m CDN N m O O N
co n co n m m
— o o o— CM
00 O O 00 N
o n m
o oo m o oo n m — oo co
r- — jt o o m o o 00 o
o o n — m m co
NOO
m n m d n —o m N O
mom d o — o m m p~
m n n d o n m m m ro
d m m tn in co N m d N
o n oo o m o N o Jt r^
ooo o jt jt ro o C4
m o — d mco d n
o n mo mn mo
— o o o o o n o o oo
o o d o — o co
ooo
o n m oo m m d m o o
m d m o md n
NOO
o —o O 00 N O O — N
— o m o — m oo m m m
o —— o m n o o oo d
n m m d m N — N o co
d n o O — O — 00 d N
trtro — d N 00 co o n m
o o oooo
— mmoN
— ro Nd — NOO00O
N O ddNomoNin
—
N — NdrocoNdin
—
m — d — mmodco
N O n —— mom — m
ONNinooaoco
N O
m —n — ooo — oo — m
Nd NOmOOOONO
mmomoomNo
mom — mo — coî
«momoNm—i
— — oNind
— o.
O — OONOONrOi
o — d — eomorof
dNooNomoo.
Nmomo
— dPOt
mmooaooom
—r
o — ooodm
— o.
Nmomoooo-r
Od NcommNNdo
o —NNCOmNOOO
j m CD O N o o N N
J O d CO o N n m N
. o m d co m o — —
>N O — O n o m o
ao m r+-— j* — — d o m
CD CO n m co o n co n o
O N n — o m o co o m
d O co d d cm— N N N
O 00 — — fO jT ro O co d
ro m — j* o m m co
O N o co m o n n
N O o o n o co o
O 00 o m n — — m
m n N m co N moom
n m O o oo m — NNO
O ro n d n oo NONO
co — N O co o CO O 00 d
N d d — o —m o d —
d m P- o m o m o n o
m —o m n — m oo d o
n m o m d o co m o o
N O m m m m o co — n
mn m o d o m n o d
m o — o o d co o cmo
d — co — d — N O — N
—o m N d m n o o o
O N m n m o — o co m
m o o o d O O N N CO
mmmmn o mo mo
oo o — o o ooomm
o o o co n o — n m
o n o o m
N N o o
n oo — m d
C0 CD — o
O d N N
d m o m
m —m n
o d o N
o o mn
mo d o
N CD o d N O o — N N
O O N O m —m —m o
d N O O d n N CD N O
O N po m d m d O N N
00 O NOOdNOOd
O COm o m o m o* mm
N m — m«— ONOlON
— o NNroNin
d N Odmmdmmo
N O momNoooN
m m moi—ocomoco
o — O — OCOrONCDCO
— md — n
d — oooo
— o — mommooNoo
co o co m — m — drod
roNNN
— NinmooN
OONOOOOOt-«mmmNOdoo
— do
pONintnr-roNdON
co — m — mmmoooo
O — — dOdd
— on
COONPON
— dOON
oomNOdO
— no
— NNNomdmt-m
co m o m m o 00 O N O
N 00 o m d m — N 00 O
N O d N ao N O d CMco
mn o
o mo
o mN
¿toi m
ON n
— 00 o
d n co m m o o
n d o m
o — N moom
m 00 O O CMO O
—
O
—
d N O G0
d m d O —O d
CO— o
o d d m CO CD O O N O
ONoroNPOmincoN
O — NddmNNON
NrororomN
OONO
mNNmooNdONin
N N dm N O d N o —
dOOONOmcON
Nm — oodooomm
mooN
— od
oom
— NO
— o — dOdo
dNmmmomNooco
inNiniONdNNNd
ooommNomom
m — NNO — roNmo
OdddmmNm—n
OOflOCOm
— NONO
inCOOdPONONON
— OO — dOOOGON
OddONNdNCON
dommd
— OONO
ONNinNoodom
o m nono
jCO
N N N — CMdNONO
—d
— do
NinNOOOdO
dmdOOOPONNrO
coooo — ooo — —
— mNin
— oon
— N — NOOO
N O dNOOONPON
00 O CD- mOdNNPO
— O «NdOOONtn
ON n — m o m m — m
— O dorn
— pon — o
od
— mN
Nm — ooooooo
Ninoomo
— rodN
dOO
— ONNCO
OdONOOdOdao
OrONNNNOOOO
— NNN
dmoNNmo
—d
— CM— lO
— oo
81
DECIMALS
) — o oo co o n n n m
o o —n —d
1N O N O N n m o m
■ooo
O — n —n o
î — O — N N co m oo n
» m m oo O O — n d o
>o m n m m m o n o
î — co — n d N O O CO
i o d m N d oo co o m
) m cmm m m o m d n
N O o o N O —N o m
n m o m m —o o n o
—o m o — n m o o o
d O m n d O O N N O
O O —o d N O O O O
N O m o m mn d o o
00 N o d oo m n — co m
— O co d m co o — d co
N m o o N N N O d —
m o o d — O N O O C0
— ooNomoo
Nino
— dinopo
Ninomm
— coo
m — — OOOONOOdd
o o m — j-omNmo
N CONOdOoaoom
m d p«-— NNcoromo
o m roNmo
— Nom
o o — dooo
— mN
m o omooNNOO
-OON
— o — mmNmmNO
00 CM— NOOOdOjfd
o — o — o -o o — — -Q
in n o — oinroddO
dODN — mNO
— oo
OOOmON
— — ON
ONinNNNNOOOm
ooommeodoo
oinoPON
Nd
— oddo
—m
— OdPOOONdO
OPOd
— COCOrONNN
tnNNONCONdOin
m — inooomdomN
oooN
— omdddN
NNdoooooommo
OOmOOddNNO
dmommcoNooo
NiONmNNdin
m
n
m
o
O O N O
m n Odd
d O O d N o m m d
d m co o d — oooo
■cmr
co N OON
— o ON — d N N O
— O
—m N O d
— N o m o
N O m co m
d O mNO
m — m co o
n o NNoo m dON
m
O
ao
ommo
— Nom
NdONOCONN
ood
— mmoo
O00 — mNONO
NmroNin—
cod
n — omomroN
— — dooomcoo
on-mooi/io
o o
o co
o o
n o
N N
p-^-momNcoodN
OCOONfOONdOO
ONinrocoN
— rodo
mmNNcooomoco
doomNOcoNmooeo
mroddddNOdd
Nrnod
— N — — om
OO00
— NOlONPON
COOdNCOOCONNO
C0NON
— dm—
ddrOdNdinNmo
—o
m
O
mo o —
— n m ao
o o d o
co —■00 o o
f^ m h- ro \n
mn o mo
—o d n n m m o
CO N OO d
mo mm
NON
O d N O N
m n n n m n m m co n
o —m m n m d —o o
d O co - CMO CO00 o co
N N oo d o m o o m o
oo m mod
mo o mo
d o n o oo oo m m o o
d m o d o m m n d o
— ONN
mo — mNromoo
OONCOmONOO
docoomo
—d
OdONOOO
—N
mooNinodco
o oo
m jt
moNommmo
—o
d O
CD N
d —
N O
o —
N JT
m co o o — n o m d co
o o d m oo — n o N m
m m d o —n n
mNO
N d —o m O n
NON
Nom m d N N O O N
oo m o «- d o o oo — oo
oo n d m — m d N o oo
o o co m d o
n d d ■—
m o — n oo — m m n d
omm m oo — d d o n
m o — OON O — n m m
d n o co oo m m o m in
o d m co o d o m o o
o —o o d m d o — N
o m N N CDN O O d N
oo o m n n — — m m o
m o o n m oo n o — n
mn N n mo o d mm
o o d —o m o o
co m m co m o n o
Jt'-NN'-OOailO"ddOONNNNOm
omo
— dO-NorON
NdPOtnNooNmo
ommcomomm
—N
eodNooomomm
—
oomdNmoooodm
dcoNomaoommN
mm — dN — Nmcod
NtnmmNco
—d o —
cooNroNrodOom
m o d d o NN O ——
o d o o — —■— COO N
m —o o o d o m m n
o — o o m m —o
o n o cmo n m o
o o o n m — on
co o n m m o o d
o co m m m d o m
o o d o o co o m
O
O O O 00
dOOONNNN
mm
mn
•-m
O
N CD m o N O O d d N
r-. p«.P--d- cn
O N NON
o m CDN O o o o o m
mmONdoom
NONTO
— moo
— tnoroNN
OCOOdNO
co m — ao
md N O N
o ooo o o
co jt o n m
m O COCO N
co d n o m m
d d
n m N d N m N j* O O
n m d ao — d o m
co — — o o m d N
o o N — o co — m
o O —m o o o m
oo m d m n o o o
m — O d — oo m in n —
o o NNO m m o — o
o mm d n o n m o —
omNO
d — —dNmooNO
oocooaodococod
ONNd
m co — N
CO N O —
co o co d
m co o o
d o d m
mn N m
n m
o co
——
n m
d oo
n m
mNomoaoaoomo
OONOdNmdNN
ONNOOdONNm
— oomcom
— n m jt
NOCOcOOOCOddO
OOOd
— NNNinNN
dNOOdNOONN
mmmo
— ooNoo
ooddNmmmoo
oNm — m m m o n —
O — «CONOONON
dOooroNOdNino
N N 00 N — O O N N N
on — o — oomooco
dmNOOOdomeo
moooooommmN
mocommcON
— Nd
omcooooodoNN
m — d — Nommom
NOPONOiON
mroNNO
— oo
od — omm — coooo
— NPO — O — O
oooooNtninmNooN
dOOO
NONONONOmd
oomNOommoo
— co — rodcoroNOO
NNOOdOdONOO
N — — NNdONdN
mmoocomdNNo
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
— doooN
OONNOOm^-NO
omm —ococo — o —
o — o — oo — o — o
h- — — ooomN-dO
OdNNNin
— o— o
cooNoomoodom
COONdd
— OCONd
mooNmmmooo
oooNNm
— mmN
82
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH,
omom
— co — moo
— mmoN
— dcoooo
00 — — NOPOdOOO
— Ndomco
— — noo
OOtON
— NNNdO
om — oomdd
—o
N—mmNNOOOON
cooooomcONinod
NOO
— dNNCONm
corn — moodNom
o m d co n m
oo — o « m n
m co — m m —— — 00 oo
CON o — r- — m « o n
O d N N o o n m 00 N
— d O O N « o m Nd
n m m o 00 o N 00 O O
N d n o o m —m o n
m — d o « o co O « «
o o o o n m CO 00 O N
m — — NONinoNco
^- d n m — N — N — N
comodomooom
m — dcoroNNindo
Nrocorod
— Ninom
ddm
— n — oodco
domcoNCoo
— mm
oo d NOO
— N
o —d m d m m
o o n o o mm
N
d d — ONO
m — inomocoroj*1
—
Nd — dNdOCOON
Noom-omooNN
ooindommmNin
m — oo — o m o co co
momNinmdocoN
mNdommmmmN
NmNmmo
— omd
mmoNmomNdo
Nddomoocooro
ONNlONPOCOO
OONOONPON
NONOOOrOOO
dmmONoomNOd
oo — mmoommo
NNomoooooNo
dmN — oomomo
NOONdOd
NO—
— CO—
doco
— mNCD
omNONm
— odo
csijtjtr^t>-*-jt
— dm
NONGDOmONOin
mNOdmoomom
m — ooNONcomN
dN — ooNN
— mo
ommmo
— dGONm
coNoro
— mooON
odmNdmodO—
mmoNromdNmin
o o m n o N m co m n
N — o o d m co o m m
CO d d CD N N d O d o
O o o n m o moom
n mmmo n N N N d
m o o d o N d co n m
m o m d o oo o m d m
o o n o n co O — N O
n m N o — m jt o o m
d m o m n m oooo
o oo o o 00
o o d d m
o o d n — ON co n —
O d N CD m m d m n d
m o o o O N O ooo
o m N CO o n m N O
CO
oo N m n d con d o o
d oo d m Jt *- Jt n m o
m n m o m m m ooo
d O n m mo n o o d
d m o d m d n d co o
o m
m — o Odd
d N m m o
OON
o d
mom NON
o m co m o n o o
o mn O d N O N
n m m co o o — d
— o o 0> — — m m
m o — d N O N 00
mmn d d o —O
d mo
mo —
d n m
d co —
N d o
co — N
—N d
mmo
d o
n o
o N
mn
N O
o —
o —
00 N
N d
— t-^ Jt
o d n m
N NON
— NO
o d o o ONO
N m —o m o o
« o — o co n m
co co m
O mom
o NON
o N d
o co d o co co co
N N 00 o o d o co o d
o o o o o oo o ooo
m o co o — o m o — m
d o 00 N o o N o m N
m o CO N n co o — d o
co m d d N COd o o o
m m m o N CO N O 00 N
m d n —m n d O O o
co o o m o m m N m n
co m N N o m N d N O
d — m m m m O — CON
N « d O
00 o o o
d N n N N o o d m d
O o m co o o d O O N
n m co N co d m o co o
N — o — m m r^ jt r~-c^i
co d co o m m o m o o
n o o n m d
N O
mo o N o mo o mm
co o N d N N m m co o
co N m o m o co o — o
O d mn N N o o n m
— O
n md
N OONO
CON — ONNdin
o o om
— drooo
O N O — ONNOdO
N O — NmOOONdN
—
N CD JTCOOOCOONO
N — oodoomON
N d odmmom
—o
— omm
o m ocooN
o o mmoNcoddo
mn
OOcOdOOmd
— — oo — ood
ooomdOdo
mooooNmo
NOddm
coNdino
— ON
— dm
d — comooom
co o
d d
o —
N N
o m
N O
m—
N N
—N
co d
NNOCONindNOm
O-dNOdNONOCO
oo — ddm
— mo — d
ON—
NOmNN
—O
omNmmmmoocod
Nmooo
— coocoom
d — — O JT d N O
JR.
OCONPOdOPONNfO
d — NOOOON
NoocoocomdNd
i-NNfON'-'-COeON
— O
—
mocooNmoooo
mmomcoN
— dmco
NdOCOdcoinNdo
— droocooNO
NooNininjTNinom
— co
ddo
—m
— NdCONOOON
— OdON
—
oroNNOod
— oo
mmd — Nm — oood
ONdocoodinoo
ommdNOOCOdco
N- — Nommoomco
—o —N
N o d co d m
m m o — N co m o o N
m m oo m d n m N N d
oo m m o o m oo — co o
o o oo o o m d co m m
— m o 00 CD — momo
COco o N O m n N -o d
co n m — N o o o n o
d n m o m r^ Jt Jt — jt
o N d o o — omom
m m d — o co co n o co
o o co n m
Nmooo
mo mn n o o o d N
m — co p- — N N O O 00
d o — m — o o —o o
o n — o m O O CON O
o o m m m m oo oo — m
— m o d o 00 O — O 00
o m co m n o o n m o
m oo d m m O N N O O
mNO
— dN
—ONm
mmo—mmNdOd
inoNco
— inoN
dOmommcoNom
OCONO
— ONO
—m
— m
dmdmoommd—
OdNOjTNOmNd
Odmdo
— dddd
oooroo
— — oom
OONCOd
OOOddO
— NOdO
— NCON
— OOOOOOOdON
cood
— poNNminin
— ooooNoo
— dm
— dNOONmcodco
N m N N O o m o co n
CD 00
CDO
m n oo ONN««
d o md d mn m
d — d o — « d co n d
N m m — N N CDO
O 00
o o
o o
n m
o o
mn
n oo m co co
mNO
cmin « « —
ddm
m m N- O N « N O
— m o* m n o — co
o o jt O N CO00 —
dNd
— codoo«m
no — dmm
— ONN
oooomNOOomNm
o — coodoomoNd
NN — NomNomN
oo — NN — mmNdo
NNOdommd
d « co
o mo md mo n mN
d O (MO « — on m m
Jttjt <vr*-r- n m m o
N O cmm o — « m o «
d o O COd oo co — — N
O N co m m n O O « N
mo o d mo N n mo
CMO N — n « N — OON
—m o N m « m o m m
m m co o d o m — « m
« — m o m m o o o co
— m m m m ñ m co m oo
o n o N n o *- N d d
oo d n m m m O d oo o
ao m oo o « d o n m o
— n o d o o n oo co d
o m m m doot-NNN
d o o o n m
momo
m o oo o NNoomom
o m o « OdcoNinN
m — m oo NdroNOin
fO o n o oddmo—
n o m o co N n N — m
mo n mO N O N «
d o m o O N O N i
o o m o p- m m o ,
o o
comoo
— dNN
mo
NNtndommN
ddmcod
— d — o oo
meo — — — oo — N O
coooodO — N d —
coooroN
— co — m —
mmmoomddom
C0C0NOO
—N O
n mn
—o n
— — OCON
—n
oominmo
—m — N
odNO
— mNO
—d
Nooco
— moco m —
— — oooo
—N m o
m — OONrONtn
o N
n o n n mN O d O N
m m o n co d n m m n
m oo o o o f^ — r- n n
— d o o — m m co co m
d o co n — n o co d m
o d m o co m o n o oo
o m o d o d m mm m
o mm m d m d n N —
m n o —d m o n O N
d d n o o m m — oo —
m m m o COco n o m N
m co — ro m oo N N O —
N N — co m n n m N o
N co d — o m O N N —
N N d m m m o o m co
d d o m m o j- r- — m
— ON o n — co n m o
n — m j- p- — o
ONN
O ■—N 00
O CD jT Nom
d m o d m m m —o m
o m d m m o o —o o
m m co N n N o n m N
n m d co d n — ooo
m n O N CD — d CDO o
n mN O O d mn mo
co m co o o d o co d m
n o n mo mN d O N
m —n m o m m m « «
m d n m co d n oo d m
co o oo o co o d d — —
N d N d o d n o o N
o co o N O — N N oo m
o d o « CON N N O N
co — o m oo n d m m o
d o co co o o — o m n
O CDO n m m — d m d
— N COo o d o n d o
domoNNroeooo
NONd«
— ««NOO
d«Ncocoo
— dmm
omotnN«ONinN
odOdoomoNO
— m — Ndoo
— Nm
m — oo — m n d m N
inoood
— inoNm
ooNd
— oomoN
O CD O
O d O
OdCONjTNONNd
n-NmoNNmmm
dmmNdom-no
NNNdNm
— ooo
aomocoNONNd«
NdcodooooN«m
«moinrodONinco
N O d O O O O N N m
—
d d o m o n NOO
NNmoNmooodo
coooNmrON
— Nm
NooNmmmo
— NN
CMO — ONOOO
— O
— oinrouioo
— Od
— m — moo — oooo —
d — ooaorONmom
ocodcor-o
— ———
N O O N O 00 CD — O 00
ONm
m d — m n co co
o — co m
—o m o
mmo N
o co m N
n m n d —m
m o co in o m
N m n o ——
O co n d — co
n n m O 00 p- r*~t^ Jt —
OON
N O o mo n —
co o — N d n m m o o
o co — ■m co o — — co
co n m in — m n m n o
o m o o — N m co o o
m n N N o m co co m co
n o N N m m d —n o
— m m — co co m n d o
o o m m in n co n d —
m co — o m — d N O d
— co co N o o o cmco m
m o O N o o co m N CO
co N m o o o O d N N
mo o o
N N — N N CO
N«rONindNNN
—
roNroNN
— ooo — o
rodONro
——o —m
mOOOON
— «NON
NONOmmm«mo
OO
— «ONNN
dNON«mmmdN
——
— NONOONNOCO
oomocomoN
COdOOOO—
—o
— co n m
omdooo
— rONd
oooo — Nm — mm —
o co d m o m jt d
o N —o o m n m m m
m d N o o co m co — o
m m n m m m oo m oo o
d o n m d m n co
O N O N m o oo n
co o o — n n o o
m m d o d —m m
m o « m m — o co
o co « N cm— o co
d m oo o o — o
o oo — o co m «
m o co « d N o m m n
CM— O m o — o — — m
ONm
dmN
co m o o m co m mmd
n o co ao m N m — O d
— o co o oo oo m O — «
N « d o o co — m m «
N m o o d o m o m—
n o mmn o o —N N
o mo o d o mo o d
m d m m o —d o m o
m — — m m o n ONm
— o m co m o o — o d
d n n d o —o m d o
o m n n o o o — mm
o co n o o n m o d m
n co n d « m m m d o
N N CD N O O m
mo n
OfONO
— NON
ONNococom
— m
— OCO
OdNNO
— m — dd
— COCOONONNPOO
mm — roNNNroNro
oom
dd
— om
— Noom
modNmoNOdo
NCOONNNCOOOd
NmoocoNocom
dNmomminNoo
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
— —— o
— od
— Nd
— d N 00 m d d o m d
o m N d N N N O CO CO
n m m m —o d d —o
Odd
r- Jt ro
co oo N
ddm
ONm
ONO
d d N — O N CD
CO N d N co m o
N C0 o m n m m
ao N N — o m —
ao m m m o — —
o n mm
N CDo
m m o m d o — co — o
o o — oo o m d o m —
o o d m co co m n m n
co d o o m o o o co m
m oo o m p- m n d m m
m o mNO m o o o o
o m o oo o m — m n m
co m \n — r^ d — n o N
— m O — 00 cmo n co o
N N m — d o — m o oo
O d m Jtro ro Jt ro \n Jt
00 o d n o co m N d N
m m — o co m m — m d
n o O d N co m co m oo
om rOOCONNOOCO
o d NmmNNNCOO
NN dON
— NdNN
md
dm
om
NOdONPOOO
OdONNNmO
NOONNOinN
NN — Nd — cONdd
d o OdOdO
— ON
— co mooddNdCom
n m drod
— Ninoo
o o o oo n m oo
n n co o m d m
o m n o co n m n m —
o co m o n d o o d m
—m o d n m n m n —
— co co n o m o m o n
omd
n o m —n o m
omm co co o o m o n
oo o m o « n d « — —
moo
m d « d n o —
N N 00
G0 d d
N — dmN
— dOdN
— — — mo
— roromm
— m — « — mocom«
oocodm — o«noo
dcomdOdNoodd
ooocoo — comorod
mm«ONNm«mo
Nrodcom
— « — jt Jt
OdNcomodm«o
mcomN
— dNdNd
oo n m m m m o — o o
—
N n — N d o OON
00 O N
— Jt O
jt -oro
OOOO
N o d oom
—
NOO
« « co d co o co
« N N oo m — oo o O d
N N m mn mn mo —
—O O n mo n mo o
N N m co d — m o — m
—N « m m n n mo «
OOCOONNOOOO
— ooorodcooNd
odmNNomodN
orno
— mdocoooN
momomcoodom
— coNOdmcOdmco
ooocoooNomo
ONinoNN«ooo
mNmomoom
—o
NCOONNfO
co o co o o N oo o m n
N mo o n
O n d no
N — — oo o
—o mo n
m — n m o m O COCON
n m co ao O
O N m d N
00 o o — O
m m O CON
Ndocom
— o — NO
md — rodoin
— no
NNONO
— modco
oocom«dmdON«
«OOCOdOCO
— — coo
OdNNNmdNNO
N d co o o oo m jt o m
—
—
omNNNmmmmco
— d — moommooo
ocooo
— aomcoNro
co — rONOONminN
oco — oocooNino
mpoddOOONOro
noo-cocoocooco
COONNOmONd
—
oaûNdOOoo—
NrnoNNGO
md
— — o r-
inmoddo
— odN
OOOOdCON
— OOPON
ONOONNOdNOin
mmmodNOooo
doo
— modocoo
mmmo
— ooo — n —
— mocodomdooN
o d o o co »
o N n d o o —
o m o o o — — ONm
O N n m m o co m co n
d n o — n oo m d CD N
N O — — n d m CD O N
m d o co — o m m m o
m>
o
—
o N ONm
N O CO
O N O CON d O N
—
co N — o c4 in r*^ON
CALCULATION OF If TO 100,000
o — Od — PON
o —o d OON
ojm do NOO
jtro N — O
d»
coco oo n meo
co « «m — — o
mo o — NOO
n md mo
NdPO
V4\f,f-
jt m o
mmn
d m d
roto to
o cmm
N O d
mmm
m« «
co m —
m oo m
o — co d m m o o o n
N dd
meo d ON
mmo o md
O
O
O
m
O —
O O O N
n co Jt d m O d*C0NN
ro « n o o N — O ON
—co o ooo o — m
n n — N —NO N
co m o m o m d d
n n — opon O d
p- d m o « m mN o oo
m m n m n — m o m oo
o —N co o m n o o d
n co m O N O N N OOO
ONN
OOON
OON
o —d md — o NOO
00 O N — mN N d Od
o
o — o o co o m oOtt)d jT
IHN — O
NNO
o mN
m d m dNNOO
mom O — O N mod
Nm oiodinmcodro
eod
o m
d n
mo
n m ON
— OO»—ON —
mN jTN-r-mroNOin
— d- ddmooNoomo
o oo mONUiNNdd
« m orooodOOd
— —N —
cmcmoomo
•—« m n o m — o co Jt
«N ddfONOON
—
— — oo
o m poodd
NN
ooo dm moom
N — dco CMm — N
O d N N —d m o
o m o o O N NN m d
o m
N d Od OOO«
m m m d 00 d d O d m
o m n m mmN d o m
N d ooo d m co m m d
m d dm o (M— o m co
—n m
d — o m NNO
NO m m n m o co o o
O N « 00 N moo
CD O — O d « « m
— O COco o co o o
m m o d n — oo «
n m n m — n dm
NOO m d o o o — « d
m n f- o m o n r- — m
oo m o o m m « o m o
o m m m n oo m co o «
o n d o o o — m jt Jt
o o oo
m d o m oom
m d co o n m n m — co
o co m m mmd 00 o —
NO«
o d m m OON
N o m OOO
NOON
o m — o m m o ONO
m n co m Nm o n m co
N o d 00 n — m o oo o
o o — —00 o o CM« —
— m N d m co m n m d
n m « m 00 « N « N 00
n « n o m o d — co o
n d m o m d m o ——
— m n —d m o m n n
d d « O
N(MO-
o n mn m«
00 N 00 O — o
m m o m m co n N d —
m d n m to d n m m N
d mN o o o co d — Jt
m m —o
o mm
ro — «
— oo «
—o m
mo o
d O N
n mo
mmmN O —
Jt C4 Jt N O 00
n — d flO OOO
ooo
oo OON
o N —« n mm
d r- Jt Jt n m d
o o oo o OON
O m o n oom
m m oo o o o oo
o O « 00 NNO
—O —
n m N m m — o co o m
n m n n m d m d co o
o o —n m
N O mmN
m o o o — O 00 — N 00
m o co o o n o m o m
oo o do — m m o co —
o o d— N n m o m o
n m mNO N d co o m
d o o d o n m O N o
jt Jt co m co n — n m d
— d CON O
—n « n m
N O O O 00 m oo o o d
O N N O N O d o o o
n m
mn
on
mo
mmmn
m.co n o
Odrn o
——m n
d n n co d O
N O N 00 N m
o d
mm
N N
d o
m N O N
mo o o
— oom n
o o
N O
mm
m o m d oo d
NinNcocoomm
NomdONm—
NmooomNN
d d
d N
m—
O O
com momooodco
om tnocomdrON«
oo OON — ONON
—
n o OCOCOOPOd
n m mmooomodm
do
N
— n o oo n m d N
o m NooNONmmo
m n n m — m n r^ — jt
— o — oo co d N o — oo
o o d m m m n m co o
— n oo m d m m d o m
m oo — o n o N OON
m m — m m — m OON
— O m o o co m N m m
O N N o n m o co d —
d m dN do oo oo o N
co m m o o m n oom
ooroN
— oomNm
— nconoo — mm — o
m o —o m d d n n m
O — OONNCONCON
NOO — co — Nmooo
n — mmdNoooNd
ooooomoocomm
poooNN
— mcooo
^-NmNNOmmom
o — moomONdmm
mNONin
— NOdm
POOdNNNONinm
dNOOOOOONdO
Nmoo — n — mmcoN
o«NNooomm
—«
oNmodNmco«N
NmmcoNN«moN
mo — ooo- — omo
— ocommooommo
m — N — OdONNO
•-mmoNomood
dco — ooNin — moom
m — OONPOOOONOD
moom — jrmm — d —
dinNocoomomm
COONONdOOOON
Nooooo
——m —
PO — — ONNNin
JT — COdONdOOCOd
—N
— mmd — ommmm
om — coon — mmd
coooomodOdco
oooomdNcoom
— Jt m — co co d m n —
mN — ooNin — — — o
ONO
— mON
— ON
oinroNcocoo
— com
roNONCO
— N — NO
ooooomNOdm
—
— o o co d o m m d d
N N — n d — —m m o
Jt — Jt N — — CD O Jt N
o — — — COflO N O N O
— O O N O OON
ONN
OON
m o o — o n co
co d d n co o o m co o
mn
— 04 Jt o m
m m —o o
m m —m o
—m ONN
— o co m n
omo
o n —o o
m o o —o
—m —o m
n m m co d
O O — 00 N
d m oo d d
o o mm o
ON ONN
O N — — N OONO
—
— m Odd
co m o co n
to- ONN d — O O N
mmo o n
ro m ONO
co m m o m N d CDO 00
CMN — O 00
oo ONO
N o
—o
mo
co d
co o
oom
o o
•o Jt
ONO
m«
n n o m o m co
mn o o o d m
omom
N d —
n o — m ooo
r^ ro Jt — ooo
m d oo d CDCD —
« m n o N oom
ro N N N — O CO N
m m o n moo
— ONO
m ooo
m
o
d
N
o
m —« — moo m o d d
o m — — d o o co o o
o o o n mo n mo —
— dmN om — mNO
m — m NNo o oo m o
o m oo co co o m n o o
o m o o oo oo ooo mN
— m m o m o cm« co —
m — m n oo o m m n —
—«o m n m m m N N N
o N co N oo co d « n m
CDN — on o co m o n
d do d co N m m —n
— o m — omo o NOO
oo m m n d mo m n n
mNO n m noo m m o
— — o m d oo o — d o
m o d n o « — d oo «
d o — « « o o m co o
n o NCO«rOONOO
m n comoocomdO
m —NO — N O « O O
— m m — od«Ninm
mommood««
—N
mcomNmom
— oo
m — N«rod
— odN
dmcoN
— ooo — — N
— «mcodN«coinm
m CON N N 00 N 00 N O
o N «POPO — dPOOm
oorodON
— no
m — om — o n co
«o NO — NOONNO
— N m — — oom — NN
—m
o m mmoooNm
oomNco
— omoco
mmmoommdomd
NcooinocooflON
—
ooo«
— COdNmON
non- mdcooco
Nfl0««ocoindinco
«Ncocomm
— mm«
oodm
— com — pon
coocoNdooomdflO
Nmoooo«dmoom
ooNrooNind
—m
m«NmNomooo
doo«moNO
— m«
md — meo — moNN
oco«mdoOd
—o
meooN
— dNin — o
oooo
— d —n m o —
ONONOONGOOd
mooNOO«
omoooooodind
mooooNdmooo
83
DECIMALS
— «o
« — COOdOONONOO
OOOOmONdNO
N«ONP0in«o«m
*- in m — o — «dmm
— ooo — n«
NNNomooN
— com —
— dN
inm«NNin
— moN
mm«mdmmmoo
m — doomo«ddN
doddNm
—d d o
oo o O 00 N n co o m —
o N — m « d o N oo
— co CD 00 N m co n d o
o o mNO co N O d o
oo o N 00 — d m o o m
oo N COTNl CMN CO O O
NN m d N O N N m O
O CD d m o N d n m o
co m o m d oo d m
«N
N 00 o d N o — « m o
>o m o o o o o
— NI • co co — n n m m
o m ' ■n m o — m o —
o co i >om o m o o —
00 « I ■o n O O N N O
CO COI ■— m o o o m —
— mi ■o m o N m m d
m o i >o — co m o oo o
m o o n co — m
m o i •i ON
N o mn o
« «<
ONO
N o o n mo o
— dm m — o n o m o
oo o m co n m O N d co
—d m o n N o
ONm
n m co o o oo m o o —
co n — O N d N O m n
o o « o o o —m o —
mom oo o d m o N O
mmd o mo m
NNO
NOO
o o mn o o o
— 00 o o n m m m
Jt m n oo d n
n oo d o m cmm n n o
N N o — N ro n — — oo
d N o — o — m — o co
o o O N 00 o m m o —
m o Odrn o m m d co
m o n co o oo o o m oo
o co n o m
n d OON
o o in m — n o o n m
— d o m 00 N — CD — «
o d o co — d — o m n
o co n m m n m m co «
n — —m O N « N n m
CO— N — d m n m m d
d N O d o d o N o «
d d dco « n m d — N
« o —m n n m m n d
n o oo m f* r^ Jt r^ N co
CON
n m« —
C4t-
NNOOCOm
— COCON
«d«C0C0««dNN
— ONdOONmNNOO
ocoPONinNOOom
«ON
— — NOmNONddNOOOON
mO«C0NNOOOd
COONOCONdONm
om — oomcoNoeo
mNooooNmmN
NdddNOONNCOd
— doco — mom — d
OOd
— NdN
— CMCD
— tO — NPOd«d«N
oo — oooodmmm
doom— conm—
ONmo
— md*mNN
pONOdomom
——
Od
— dOCON
ooomoddoomo
ddomdmNdmo
ocoN«oommmm
— NOO
o««o«NOdom
OdO
— NONmoo«
mmmmNmommN
N — d «co NN m
m n o d oo o m d
o o m m o n —o
o —n m m d m o
NO
n « — no
O 00
« — ooooo
Nmdoodom
NN
oo — n o oo m co n oo m
o n o m Oo« N « N N
oo o o m — m n m co n
m m m m m « o «d d
—m n o d — m m o d
co o o m — d d co n oo
om — ooo — om
oocodtnocoo
d
) N O d O N N oo
■mo m — n NON
—
dm — oo
t — d NON
»odO
jt r~ Jt ^ o>
n m N N 00 jt CMior^ a
« o to « m o « co o co
— d « m n n m —m n
N co o N CO N n o o m
o m co CO CD O n o o m
d CDO d N ro N N d N
m d oo 00 o « d N O N
dmm
d n m momo
— N O CO
md — moo
d « o m — n — co m m
N 00 N co co m o m oo n
mo d m
dmm ONN
N N N CO N N o m « «
m m m —m N N O N O
d o o o m m — m o oo
o mn d m o n
ON«
o m n m « n m m —■m
n mmmo n mo n o
n —N « d o m n n m
Nom
n « ÍNÍNJ
oo m n o o — O O CD JT
« m o d n m —m —d
m d « —m o m o N N
oo o « N d O d n m co
— m N O « 00 co o o m
o o to co m o p- r- Jt —
— o o n m d momo
— COo d « o O CMO —
dco m — — o — o o co
d m n o o o n m d m
o d co — o o N d O N
d m O N O O 00 N O N
o o o m n o N CD— m
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
— dm
— NN
n in n — «NOO
—o d m
mmoN
o m — co oo n o o — N
n n n mN N d O —«
Nm m d n co m N o o
N m m co ———o 00 —
NNO
— « N N <D N CO
COO N O o m n oo d «
N m O m o o « oo m o
O CON — m oo d m m n
O o o d O — NO N d
d o m n o NN
N o m N o o oo o — o
o
N
m
d
o
m
•o
O N « N CO
N d ON«
NN N m — o m n co m
m co N N
o — co — oo o d co o —
omoNcommN
r^rdutNOdO
— N —m
COOO — — NOON ooo
codNcomo
— o o co
o N
ococo — ocomd
od«m
— omN
n m
NmCONN
— oo — d o
mn
No««m«««
n oo
o d «m — N««Nin
m m ■o t*-o jt t^-1^- — d
m o mcoinNdPOOco
o o Nroooomcoom
CON — c4^ro--OOt^m — Nd — ONOON
d o n oo m
mn
o co o m n
d co
d O m N d n o o o m
« N d co o o d oo co —
ood
oo
. m o n m m NOO N CO
»d m m co oo ON o d
» o « m o m mN«
d
. o o co — o o m o n
' m — d co m o « co o
■o « n n m COd CMco
n «m O N 00 omo —
« N m oo d d
NNO
oo — ood
OONO
co m o O CD— «moo
d o o N 00 O dO N —
roto
—
o m d o
— Nm
oooo
« o « moo
oo m n N O 00 «d m o
NN « m n m ooo«
CO00 O m co o O N O O
NOd
N O
—
—m — m«C0 — «NN
CON NO — OdNOO
mm d — oooomo
— mod
o oo mN«N
N o tONdo«dmN
N O «NCOdNONO
— CD — o oo o oo m
—n
o d «dlOOPONNin
»-ONm
o N
« d
n m
Nm
« — co
N 00 NddONm
m Nm m O CON N NOO
co n m o ooo d m —
N O N
mo n
o m d
m oo o
oo o m
m —n
o d m
m m n m NN
oo o m o O N
n n oo m
— ooo
n o mN
o mmo
o n n o
cm m N CMONON
—o
« N
« —
Jtt^
mm
n m
— Nd o ONO«
mN
« O N d
— ddm
m — n n d m d m ON
n o o m N N N O ON
m co o n o o
moom
O N d O a — jt Jt m o
N n m co co « o — OON
dinorONNPOeoco
oocooNO
ooroNdm
n — — omd
NooNdmNomod
dNONdNdONO
—
— omoo
— noo
— ddm
mdom
— tooN
ooN
— dmdmo«
ON — mOONOOON
ddoodoooodom
o co o N f». O O N
o d oo o o N ood
mn m mmn mo
oo n o — m m o o
00 N d N o co o m
—m
« —
O N
mn
N O
N d
o — m m — co n m m —
N N O N ONON
mdd N d o oooo
m d
m o n o i/) tO — N m m
omom
m m o N mN
— CN o co o oo m m « o
d o co « o co m —
d « o o mm d o
—o d o N N N N
m
o
o
m
m
t^
o O
o n
mm
« m
n n
Jt Jt — m d o n
o mN n m O N
o d * N O —N
d o m —d m N
oo N o oo — — o
—N O O N —N
84
ON
coom
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
— OOOdNPON
— — «mNO
m«moNNcoooo
mNNmmooocoNoo
oomN
—oodoom
—
momm—NNONm
oooooodNdoONd
o co — to —Nomoo
domNNmcooom»-md — on — o — o
mo o o d
N — ONm
— o o n d co o n m d
n —m m n
m d ONO
m n co m N N o n — m
jttí> N
00 « — m « co n
co d — O O m co o n d
o oo N 00 d n « —m m
o m Jt — Jt o m o co m
«m O N 00 —— mom
m oo m o n o o d m o
N m U">N O dN omm
dO ON m — m «OON
oo — m m n m o oo m N
co o — N N m co «dm
n dco o n m co o — —
md o
ON O O OON
m O N N « — O m oo N
o mmo mmmmo «
CMN CO N « NN n m co
NOO
d m m o m oo m
mo d o mo d n n m
o m — h- N N — OON
o « 00 O d 00 o m d n
jtf*' o m n o o m — o
Jt iO— 04 mN n
d — m m n — oo m o «
co d d o m « co mN m
—
«
N
CD « — o co
d d
mN d o comm N N «
NO
o d o d N oo mm
— N 00
m m n oo N
— 00 N O
oooo
m m d oo
oooo
m o on « N N «
om O ONN oo m « m
n d d no d oo o « m
cod- oo n d o «moo
o N n o « m « oo d m
m m o o« —o m oo n
ON m co o o n « m o
o m mdm«NNmcD
ON ©NommNCON
— o Nm — — d co m m
n m tn«N«OOOON
m — o« — «Nm — m
NN
d O
O«
OO
NCO oNNNdcomm
N — « — dcoroN
OO NN00OOO
com — mNoomo«
—d
— m
oNcoflOomo
—
o co NNoocodomm
moo — co o n o « co co
ON moo« — PONcoo
trtc4 dcoNin«oom
—
n m ONdinoom
o o co — omcomdd
—o
o o o — coorod
d o ooomcoomd
d — «•- — mooooN
oo « «dooorodo
NOdin
— o« — NN
PONNNinddNcoin
dddm
— coNroNd
mmNNmmommo
— NKiinONincoo«
N«NrndC0
— om«
mmd«mmdoroN
•-»-mcoroNinoNN
dm«Ncommodm
— cootooNmmoco
d o « d « o o n mm
o m d « co n — n o o
m n m n — n oo co — d
N O N n m d o n o m
N — d 00 N oo o d o m
d d N « d co m m oo d
o o d O N o n n m—
OPON — —
— omo«
o n « mN d « o mm
o o d o — co n m o N
omm O N O CO « m d
o m « m n o o o co o
m — o m m « n m co m
m — o 04 Jt 04t^ Jt ao «
«Nm n n m — m — N
mNo m N CDCD— d o
oo — o 04t^ t^ Jt O- 00 o
to jtr- — O N NN o m
o o d d O N N « d «
N o d m n o o —o m
m n co m — m n — NN
m « co a jt N 00 O O N
o — o m cm\nt* c4f* Jt
— « m — «d o
ooo
ONO
— m O O OlON
N m o m d o co co co «
NN m CD « « n o « m
oom co « o - m co n
n — m N O N m NON
©•m m m m co — — « d
m n m o co o « — oo «
o oo — o o n O m o d
« — — d « co N jt jt —
« m co o m o n NNO
Jt Jt — p-* 04 t" \0 « — N
OO N ON N O — 04t*-
o
d
n
o
m N — m m o d N CO
m o co o m m oo « m
n oo co o co « O « N
n d o co o oo « «o
d —o o m « «
ONN
m « n o OON NN m
o co m o m n o o d N
d n o m d N O « o m
m —n m corn«
jtt^Jt
« N CDon n o mN m
00 — oo mdmN
—t^ to
NOO
« n n —n d m
oom m m n o OO —
d oo d — N N — — m
r~-o^>rojtt^jtt~
mminorOdPOd
d — n « N jt m «
ojTcommooo«
m n moN — o — od
o m OCOdOONOCO
—o —o
« m dooo
— d OC0NON-
m««
— ddNN
OO
oo m — ocomoom
« « o mO N mn d d
d m O N r- Jt o oo n co
mo o d N O o o mm
oo « m o m o 00 00 o co
NO N N O N mdmN
m o o m N O m co N N
oo co N N m co O — CON
n m COo o N moo —
CMN oo m m N « — «
— d — m n o 00 N n m
m m o « m n « o —d
— m 040 Jt Jt Jt m d d
N COm n — m m mom
o m m co n o o OON
N N « d o — o dmN
— O O 00 « CO C0 co d
o mN O O d « n m
04 Jtt» — - m«
m
n
o
« d d o d «co o
— OON
—
m o n N —N n m
o o —d o N o m
— n m d co
NO«
« N d —« o « n mo
d — « m d m n m —n
co co o m m
co d ooo
m n N « N n co m co m
o — ONO O O O « N
o o N 00 CD m co « m n
o —O d N o — « m d
O N « o m d
m —d m o «
m co m m o — m n — «
— m oo « m co m n n m
m n co — « — o oo o co
d n CO00 N COco o « o
— m m m n oo co o n m
o — N « N N m « co —
— oo m — N o o m
m co n o — m cmoo n o
— p«-m o m o o co o —
o oo d d o m m N — O
m o n —O — N
NO«
— O « omo
—N O d
N COO ro cmm n o m n
—m n O CO N N ooo
co co o d o n m m n n
m o « o o m m o co o
moo d co o m — N N PO
o o — « on « 04 jt r*
« N d N ON N COd d
o o m O O N N
NOO
n m m N NO «CO— —
m oo « m m — m n d m
d oo o o o m n n m o
ONO
m mm m — d n
m o « m co o n n oo —
o — o N d — NO —00
d co N o m m n n m n
co d o N d ON O— O
OONmdNO—
mOONCM
——o
omodcom
——
— do — m
m « odo
m co no — ommooo
N N mom — Nmod
«00 dNOdinoNin
co co C0ONC0 — OON
— co ONomdONd00 O
m m — NONJdOON
NNm — dooco
— co
NmdomoNoocod
doo — noo
— mdN
OOOCONNdOO-
Nm — momm
— do
cororodroindinroN
ommmdmm
— dN
OOmNNOOOOOdO
OOOCO
— fONNPOO
«omNmmNm
mmeodNmeom
—«
—d
ddNOmcocoNNd
m«NCOONdO«co
— omeo«oNmN
—
NNco — OdNm«m
moood^Ndooco
modONdNmoo
— d O N — CON — — N
no — ineoodoomo
OO
— — GONOCOCO
—
NO — d m m co oo d m
d m« o mo o
ONO
« o m — n n mN ON
— m n — — d d co — o
mmo mN d o o n o
m co « o d oo co o m d
—« o d N N m O N N
n o d mn o o o o «
omm — N N d N — CD
N m — jT O O
— m n m «d
— NCO co — N
o m o n —o
—O N O
— o md
CMO dN
dco N n
O dO N m o o d « 00
mN o o —o
d dmN
— — ON d — NO do
momo
n d o o
oo — d
m m —o
o oo o o
n oo o d
m o N N
— mom
d dN«
oooo
d o o o
O O
« n
mo
•m
oooo
« o
m m o o Jt o
oo m
— mod
dNoo m N m
« o mmo d
o «o i m
— . co
oo m d mom
— « N d ON
.f oo n m m
co COo oto o
omo dco m
O N jt Jt Jt — dm
— m m co n d o-o
— co omo o d N
oNmroNNmin
co m' n m m d n m
coNNinoco
—o
mmmotoNo
—
mn
N d mo — — wmo
o co ocommoomN
—
— com
o m — Nooo
— o d d co
d — cono
N m r- o jt jt 04 — o —
o — OONO
—m
O d N N m m m d
N O O N m n m m —o
n —
co o N d NONO
N O —m o o n m d o
o m m N o co d o m o
mo o o mmmo mo
o o o mo N d N n —
o m
d o o o oooo
m — — o « —o o m o
d d m n o m — oo d m
co o o m o o co co m m
co o o o o o — OON
o m co n ONm OdO
cmm oo — O « N oom
O O CO d ooo
mmo
O N O 00 N 00 d o n d
co d d O m n m omo
m n o o o co o o — m
m o —n n m m m o n
m —o o o m n ONO
mm«
— oo co on m —N
GOd o m m — o o
oo — d m o — n
d"iNin-o
ONO
— d — m o —m o
— mm co « m — o
odo
d-m —o m
ooo
mom
mom
moo
on d
co j
NOdoodNm
dmdooNommd
— co
oooooomoommo
ONN
NflOON
— mocooomo
— no
OOdNOOOO
— com
— C0ON
md
—
o
— 00
mo
N —
O N
NO
md
o —
Nd
oo
— co d N O
m o N m m co o
— « — n d oo
o — o o —— o
n o «O N NO
mo m m o n n
CON O — N do «mo
O O —N d N O d O N
O 00 o O N m o co « co
com d — O —n m n o
n m
00ON
00 dCM «mN
m co o oo
dco NO
N d co N n « m — co d
oo « m n m o o o d O
N JttO
NOO
d o d o n
n m co m o
o mo n
mN mn
m o co «
N O mm
CO CO N «
m « co N
on d N
Odo«
cmo — N
m dd «
mm
mo
oo o
n oo
m O ——m d
« d co n o m
o n n —m «
d m o d m o
m m n — co o « — d co
N dN O n d o o n o
N — d O — o o n —m
oom — oo co m m d o
— m « o NPOCM — o m
o m «N n m — o co o
n m o m m n —o o —
— ifr— tO — n — — m o
O d 00 o o N O O CO—
O d o — o m o m oo o
o d d d o co co — n m
n m co m m N O O N O
— n « m — CO O N CD d
N « N d CD co o — m m
m o o oo d n co o o m
d o — m m ON O d —
o md o n N m N o d
O —N momm
n mn
NOO
oo m o o n m o
O O d m d o m ONN
O JT N
o o co dd oo —
ro co o — N N
NOON—
N n « m oom
o o — o m o n Odrn
N O d moom
o o d
O O d —N m n d —o
md o m « « « o — d
NommmNNooN
omp-omNdco
—o
coNNNroN
— — om
cooomooooNNoo
n — — ooNmoomoo
NPOoinNincocoo«
Jt — NrONON
— NN
coopooroNdNPOco
CONPOCO — — O — OO
— N — — NNONlOd
m m o d n — m oo m m
o — m cmo o — d — cm
NO — « n m n — o o
—o m jt T^ ro ro — — Jt
jtt-ro — « d — o o m
m o d « —n m o n m
m oo d o co n oo N m m
co — JT m — d « n n «
oom o m o m o d d
co m co m m co o d co m
o oo co d n d — o o d
o o o co ONN
— mm
co N m o d 00 N n m o
m m n d n m m m to m
« — o m m n n m o co
N — o n co co o n d co
N O d o d o o co co m
CD d m o co o o Nom
m m ON — o o NON
n o d n m o co m o d
NcodONinmdNO
mo — oNomomo
oodNOO
— — mm
mcomococoNooN
o d co o N
N O d N — NinN
ON00
o j* Jt do
ON
— «NOO
— ooo
m —m d n d o
N d N
— o d co — o o o o —
——o m
n o NOO
n mo o
m d OOO
m —m — — n o — d
m d N N 00 co — o d
—
O
00
co co m —
omo
n m n m m m m —d o
d
o
o
o
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
CMN d oco Jt — CDN N
O « co o m — o OON
m o co n — m m O O 00
NO o n o co o O O00
O o m o o o — 00 O N
—o m n o o m — o m
Jt04 co co oo m jt ooo
O o o m o n m m —oo
00 o m m — o — m . m
o o — m o co d — o o
m co d m m m o o o o
CO O N n N m m d o o
d m o oo — m d co in —
ONO
Jt o o o o oo m
ooo
CDO d co d co o
o —o O COm m o n o
m o — N d n co o — m
N f CO oo m o n m o N
NO m co — oo n
mmmo d n m
NOdONNinNCO
—
mdo
— o — mdNco
Omoo
— NOOON
oomdNmNmmN
o — oommdNdNo
— N — NONOC0C0O
Noo — NN — omm —
ddoNomo
— mN
NdNcoo
— mrodd
NNOd
— comcocoo
— —n —m m o m d o
N m o m m —o d o o
n o n om «
m n —n m o
o n o —m «
—n m m n o
n — ood
«
mmo o n n
co o NOO n
— O N N OO«
m ——n
—o n m
n o m
o co m
co o m
o o d
o mn
oo n m
N
«
m
m
«
co
«dOOddmmcoN
m«NNNd«
—o —
— dNmmoddco«
•o Jt to — con — Nmm
dinrodNcopN—
r* rot*- Jt— «n — oo
NNNO«
— coocom
oocoo
— m — — mm
NooinoNNPominm
N«d«NOO00C0C0
Nm — NN
— dm
«cococoomoN
rooo
— ocodN
COOOOCOjT
NCOOddNNN
co o
- o
mm
— O — N
o o
n d
NrOdNOrood
mn
N —
ommn
— moo
o m
— rodrocoorocD
o m
— m docoommNN
Jt t*- oooomdN«co
— o comcodNNOm
co m ro — moNNN
—
co N o — doo
— Od
— m ONNNOdOO
mmmmoONo
— — N00OONN
o d ONNCONNdd
— inNN
m d Nintno
O N dONONom—
« d com — ddOmN
— mo — Ncoo —
m o ddONinooN
m o — oommdoco
m — OmOCONNON
n m omdomcooom
n o n — inmtncoroN
o — Odooodmo
— N CONNONrONO
— N Nm — coocom«
No — commomd
«ONino«rodinm
o — mooooooNN
omNom
— OONN
comm — NNdPomo
oomooooco
— md
POddNON — CON
NN — NdPOCOOOCO
Nmm — codommN
ONNOd
— COdON
roNNO
— — mm — o
mmocomomtooN
— oNddm
— ooo
NOO
— COdOOmjT
COONNO
— m co o —
ONomoooo
—o
Nm«
— — — no — m
OdNd
— — N«m«
ONOC0«C0C0dNd
ooocommmoooN
ooomo
— oooodm
CALCULATION OF TVTO 100,000
o d o m m d m O CD
OPONGO d Jt>Jt ON
GOo o m O N 00 m —
co d d m coco d Odm cooxo o m d o NO
m m n n» oom mN
m o m o n meo o d N
o « d co — — Jt Jt o m
d o — o m — — jt o o
o co o d m d N o
tomroNrod
— Ndo
mmdNO
— — Nm —
NcommdcomNNm
ONroodONcoinco
CONGOOOOOd
—
— mmmNO
———n
jt
O
N
o
ONinNOOOOCOO
omooN
omoomN
— ininNco
— oo — o
comdNNONNin
—
oomoomNoocomo
mmmmcoN—coon
OONNCOOOdOdN
mNNO
— — NO00N
— — o — dN
corn«
— — corn
— roNONom
NOdOGONdOOO
NdN
— dmdN
—o
coomdmocoocoo
ONC0C0NNG0NN
—
— odoo
N d omN
N O — NNNPOmmo
Nmo
d jtto
oo o o
omm
oom
d n o
Nmm
m —m n m n —
— m m m omm
n mo o n o —
o —
n m
o o
d ON
—m O o Od o d — N
m o O N N d m o n co
n m m — o ao mmom
co m — m co o omoo
m — o o N — — O 00 00
n d cd m n o —
— t^ — 04
d N O N — O CO
ONON
ooo
« O — o o m d co — o
N O d CMO O O ooo
Jt ro ro d O N — co m o
o o m n oom
toro — d — dm mN m
o — o o o co o
Odd
m — o NN — d o co m
o co O O N CON
ooo
d d o CDd co — Nmm
n — d m moo
ooo
mo — oo mNO
Odd
o d mo o m—
OOco o m m ONm
OOd
ooo-NdNommN
ONN
mo — — — — NNCOO
— — modOdNOO
OddOcodNNOm
NN—
co — OOddO
omcommroNNinN
oo — OddOm
— noo
NdNNNNKl
— OCO
cONOmmddNdO
on
— mmoNdNoo
n o m m OON
ooo
ooo
— d N O o mdO N O d OO00 N
m m om»— npoopopo
— N NOdO
— NPOCO
—d
o m ONinONN
o co — cooooddN
co — NNCONPONd
—
co o ON-o — m n N m
CON ro o o o m n — o
m d o co mNO
co co o m N co N O 00 d
N d co
d O N moom
N CO O N moo
NON
N CO dNmdm
———
NOOOdOOOCD
N
N
N
—
—
N
— opoNinmdPONN
mcomdNdON
mN — ocomcom
cMoco — momo
N
N
O
N
O
O
mmom
— codo
— ONCOOOCOd
moooN
—— —m o
— — co — ONm — m m
omomoNN—
N d
N—NOONON
oo oo o m — o m o — o
m N d —m m d o o
n d m —o m n m o
m o o n —m d m m
ro Jt — jt o. o — n m
d d co o — n o o o
m o o m — co o — co d
m n m o o o oo oo — n
n co o N d d O CO N O
o oo o d oo o d — oo
inNoroNomm
m n m — NNOomjo —Nominrodod
n d NoommoNdd
o m dm — dONom
o — ood
— NONm
d d — t>r*~t^Jtt^oto
o o NN— ONOOOO
o o — dmNNcomco
CON — moomooo
n
n
o
-o
m
ONNOO
— NdOO
dNONNOOOOOd
corn — dcoNdNom
omNNtnNcood
oomm
— omoiON
—
OOdNNdOdOOO
dCOOdNN
— ONm
ONO
— dOOOOCO
CON — OmNNO
—N
omocoOdONNm
O 00 N o o O d O N d
—o m o o N d m d m
omm — m n — d o —
00 o o o o o — m n oo
O — N o m O 00 N CD O
Q ro jt CD O N d O N CO
co m o o 00 COCO
mNO
co n m m m n m N C0 O
— ON co o m d d o o
Jt N N o o co oo m — d
00 — O 00 N o o o m o
O d m mo m m o n d
mmd N o mn n mo
o o —m o n m d m o
N d — NO
O N — NN
o —moo
o o n d co
o ——d —
—o
N O co m to m n
N N
N — mNO
d d d —o o m
— co o
o n o
co m N
o n m
ONN
— Jt 04 — d N CD ooo
— ON
dco — CO O
O CMn
mn o m
NOO
OOOOjTNCO
N — dlONN
n m
OOO N
— dN
— OOOO
dNdomom
— mo
ONNNo
— omoo
ocoomoddmpoin
ddmo
— — co — con
OCONOOmONOO
mNNmcod
— Nmm
o — — corn»— oooo
—
moo
co o o
— ON
n mo
d o d
o mn
o o
O O N N O
n m oo m o
co co m m n
o o ON d o o
o —m d n o m
m m N 00 — O O
N CD CO om n d m n m
N O 00 N N m d o oo o
m m o 00 00 m n co o m
mmd
—m — oo m n o
d O
d O
mooNOorodON
odo
— Ncodmmm
oroNin
— otoN
—o
OOCOOOOONOONin
OdO—N
— mNNO
coeooNoNomdO
— podinmomcoo
inmcoNrodod
NinooNdomcoto
—
—o
mrONCoodOdNin
00 N O ON — co o d o
O O m n m mm m mm
N O mNNO
d n d m
m n ao m o o d O — o
N O o o o co OONO
ON N d O — oomm
d ao n m — m o n <o co
COO omoo
d N d o
co d m m m o o oo o m
o — — n m o m o co n
o n n mo mmo
o o O N d O N N o d
— o — m o — m ro jt r*N O m co n o d — m co
O N m om n o o — o
m o o n —m — N N N
o m o n — N d — CMO
o — O CD N C0 — mmN
ONm
N N «oomm
— O m o o co m N N m
00 00 dmm
— N d co d
— d cm— o — — o co o
N O O O d m m n d co
do
r~- t^-t*- o m n n m
Jtro o o o o o — o o
m o o d co o m m m co
o m mmN o m m n —
o o Jt 00 O co m N co o
oo o co m o O G0 N O O
ro Jt — o m o n m o d
N —
o d ON
d mmmn m
m —n d m o
n mN N d —
—o — n d m
ON
mmo n
— n- — Nm—
PO N N N
OmONNO
— ONd
NmNinmcooNdo
o — — oooNOdm
NmoodNdNdo
NOdmmo
— omm
— tONOONOPOincO
ddONdmoOdO
oooomco
— co — o
modcomcocoNNd
m m m OON
N
O d O N N d N
omm d
ONO
O
oo
—
N O —
m
m oo n r*. r- — N
— ON omo
JT
co co m OON
m
N co m OdO
m
n m o d —o o
d n m NOCO m
« N N
O —O
00 — d
m d n
d d O
« N 00
— co d
co n m
m m co
m —n
CM— CD o o co
Nom«
oo
d
m
O 00 00
— co n m
N O — — o o d ooo
co — m N n n m Odo
— o o — n m —d — —
« N 00 O m — m Nom
N 00 O — omo
O d co
co o m « m oo m N. N- —
o « — co — — CMd O m
N CO— N m d — m n m
NON
— N —o N m d
d N O N d o m o —o
CO O N « m d o n n —
d m co co ONOOOO
m o o — co N d m m d
— ONO
—O N — —N
— co d o « m m o n o
— N OCO m n m — n o
O — — N O O N CON N
o o mo d o o
n m oo m — n
o — o m «oom
m m co d O O N
d n m n omom
co co — m m o N
omoo
o mn
n m o d d 00 co
m o oo d co o m
co — o
co CO GO
mm
N N N
—o
N O GO
mN d
d — d
n o o
n — d o — CMO O o o
m o N co N N O N O O
NinooroN
— mcod
oodmcoomoom
—m
— — o — mmdmNO
o — m — d — non
—
mooroN — m — nnn
NNONNNCOmOm
mcodNNN«m«d
NcocomNommmN
co«ooooooodm
Ncoooomoo«dco
« N N O O N N COO O
m o n co m co n ONd
o d mmd mn
O 00 CO
CMN — O O — CO dmN
O — N O — d — oo o d
—n n o
m N N N
o o oo m
m oo m m
m m o mom
O O N —o o
m — —m o n
—— o o o —
o m oo o
co co n o
n d mn
N N mm
d — o o
m n o o
o co m Jt
co o m m
m m mm
o o mn mn
m n m o oo d
N O m o d co
d o n o m—
O d o mn o
n m —m m m
md n
o o co
— NOO
O O O d « O O
00 o m d
CO O
N O
d mo
— Jt
Jt
Jt
m n o — co d
N o « d CMO — N
d co m o d co CO N N
n m o o o d —N —
O N n —m « O m N
O O on
d m m —o
o m — co d N o o m
o N CO— CNN o o d
d
O
N
o
o
m
O O N CD CN O O CO
— d OO O O 00 00
0> — O N « d d n
85
DECIMALS
O COm « n m
omoo
ONON
O O NNO
—
oo n m o N — m d m «
— N 00 00 m n m o d m
00 00 N — o m o « d m
— — m —o d m o o d
o m oo n co o o o — —
N 00 n m 00 co m N N N
n o « mmd m« mo
coo — POOdNincoco
mcoocommNOdN
n — dNmNO
— cod
— dmNCOdN
— CON
CMNN — CO0OdN«CO
roNm — oooomo
«00
— d — 00«
oodN—«ONmm
NdNO
— N —
— dOOOd
oooocoocoocoo
CO N O d n m m o o o
moo n- m o — o o o
00 00 — co d o — o — o
m co o o o o —md m
ONd
uin n oinmo
m n co m o n co o m GO d N 00 m m — mm m m
o o o mn mo mo o
n o m o m m d — co o
o — d co N m o m n o
n — m — oo n o m o o
n n m co n o n
« o n —o n o d m m
Odd
Jt o ONN
non«
— o m n N d O O O 00 00
—N
N 00 Nom
dm — — oommo
ooomm
— OOOinNNO
m d N d o CMN N O N
N —
d n — m n O o o co m
roNmodN
——N N
N N
NNNommN—
mn n d m O d d —N
m m mom m COO N N
minoNro
— — n O G0
— moommcoN
d d o —d m o n m o
O N
o o CO— N CO O O d — ONON
— OOCDO m m
m m d o d —m m d m
mn
dOmddNdN
O 00 N 00 O o m n d m
mONOPON
——N —
N O m m m CO — O N N
NinjT — ooom
o m
n oo m omm co o « N
O N m n m N N O d —
— CM00 — 00 o m m « d
m m mom 00 d O O N
d m ONm m d m n — m o m — — N « N « 00
m o Nmm ro n n m o
o o mo
N —— moo
— O O m o « o d — oo
o — o m n n d o oo d
o o ONO O O O N N
N CON GO d — n o m co
O 00 N NON
m co m n o
N d omm
o co m n
— o — m n co co o o — m — d moo
d N N O
d o o n m n d OON N
m — n co m O d o co o
mm oo o m o m o n co N 00 N « m oo N m N N
oo m m cmo o — o m m
m d o o o mmn o o
o m m o o o o — co JT o m oo o — O N d — o
mmo N d O O N
N O 00 oo o — co m o co
— co moo
N d —o o
d n m — O d N Jt N d
mom O O O N o m N
d o m m d
N d omo
00 N m r N n m m m o
ONO
—o m m n o n
— NO o — — o d m —
n m Nmm d O CO N N
d m oo n o d oo m m d
o o o mo o n
NOO
— o o o co N o m N N ONO N d N O N — N
m N co o « o m m « n
N N Nom
O O N d o
d N o oo o m m o n o
« m m o « d m o ——
COO N O N O — 00 O 00
o m o co n d m m — o
n o m — N CN N N N 00
d o m n o m N N N 00
—m « o o m O N d m
O 00 N d N — d o — m
m o m —n d
«ONN
o N — m o oo n d d m
« m d — m co o m n d
o m d m d n n m o o
mmom
co N O O O N
N N O N O o m N N N
co co m d — 00 m n m o
m N N O N N N O O N
N « co m o — «ON
m o o m m m d 00 N N
—
n o o m GOO N n m m d — CD N O o d o m o
omo
n d m o ooo
d o N N o d o N
moom
m n m O N d O oo m —
« O CO N
— co o CM— O O CD O O
co co m o o o m d
o co m m o — o ONN
n n co m (O N « N
O O d — m — m NON
m m o oo N d O 00
n m co o o o m OOO
ON — — o m N 00 N 00
— N co m m d d o — o
m m m m d m co O GO O
d co o o oo o — — N 00
d m N O N d m o m n
N m o Jt o o o Nmm
o m o d m oo — — N OO
00 N — o m n o m d o
m o — — d o m N O GO
d — O — o — co N
m d — oo m m o — o o
n o — o4 Jt d o — o o
jt ro \0 t^ Jt rrt N d N N
— o co o co co — m d n
N CO O 00 — o m n o —
00 o N 00 N — NONO
O — — m o — CMO CD O
— co N — O N CO 00 — O
o o o o m d m —n n
N N t- t^ Jt n d co — m
o o —« o m N N O N
—
N O o m d — OON
n N o md o o d m d
N O OON
o o o m co d m o m n m COO N —
N O d o d —o o o m
m n o co o m o d d d
O — d o m « co o o —
m m o co o co co m m oo
o mj
O CO d o m m
cm— jt « m — n — o m
—m t
o mn mo o
m m « n o n co NNO
co d
d CO m o m n
— o — m m « m — 00 JT
O N N O N N N O — —
co o n m n « o d N O
O N O N O N co — m o
d m o d — — — O PO —
N O c —m d d o m n
co o — o o — N OOO
co d m o m m m o o n
d d d —o o —N —O
N O 00 O go m « m — o
o co n d m n « co m —
00 N m — d oo n o m o
« « m m o n m ^— jt
m o o m CM— O N N O
— o co o m m — jt — r*
o oo d O o o — m n m
Nocommmmo
—m
m . m N d n m m oo o
moooooN
— — mN
n m —d d — N N O O
NdODO
— ON — CON
go m N n m N d 00 G0 00
OtiONNONromoo
N O CO m n d o m o m
OdGONNNNdOm
oom o o m m o n oo «m — N — NN — oo
m n n d N CO O N O 00 — dNNroNmaooo
— ON
mo O O —N —
mOdmoGO
— 00NO
— O O N N m —o — o
Nd«mjT
— mo — o
ooo
o m N Jt Jt O N
«O — NNromodm
d d NGO d o N co m o
— N o o co O« N N — O
« m doo
O O N d N
m —— O — m m o o d
« d — NO n m m co o
m o O CO — m oo co d d
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
86
— m o — n — co — — n
— n m co o o co oo o m
oo m o o « n o co — o
n o n m m o n oo oo oo
«omocoddoodo
— NPOmcOOmOON
d m m co — m — « « o
NONOoomeoo
——
«rONomodNON
mmNdNmNmdm
do — d m n co d o
o m n m o co n n n
m n m m —— m d d
n d m co m m m n o
co — mmmNomcoco
NNdO—
«OCONCO
mmo —mmomom
dmo«moNmmo
—oooo — omdmcoo
NmNmmoo«o—
d N o o o d — co — N
N — COd — CDN N o N
mooNooNcoNcoN
co o oo « o — co — n n
ooNNNmmco
— om
coNooooodmN
n o o in d m o o n d
—
— luWwni^iruiN
co co o « m — ooN
ooNOdmoNom
— NroNdinN«o
.—.
o
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
m
A.
ai
j~*
_*.
fc^-s
^~y
K^.
#—% hS\
ONNNNNO«NCO
mdo
— m«ooNNd
ommNddom
—m
— oomoco — noo — m
n«co
— Nmm — n—
o « —n n « m m o —
n co m — — co o o o d
co n n o n o m m — «
moco — ommmmco
momo
— omcood
co — mcomNNcoooo
NNooom
— oooo
N N m m — co m o o o
cooNONom
——n
ro t- ro to to t- — no—
Odo
— mN — oooo
dNNONmoNmm
n in n d d N m in n n
cONCDOOo
— d — oo
docoooommood
— ommmmdNNN
dNdNm
— Ncom—
n m o O o d d n d co
omcomNOco
— om
Od — cocoomorom
NNOONONN
—n
— ooooNcoooooo
CO— OdNOfONNO
NN —momoNom
mdodocomdoo
dm«
— « co o d oo d
— d«coo«N-m«o
NNNm
— «NmoN
o«Noo«o«mm«
— — co — co — o co m —
mNNPO — o«mmo
dmdcoococodNN
moooNooco«—
o m co n m o o — — o
«mo««ommom
dddomeoroN«d
Nodmmm«ddd
jtNo«moco«o
ONOomin
— — ooo
r>^t-— n —oroNdin
no — o o d m o o o
NNN — mocoNmd
— n o n o n oo « m d
n n d o d « co o o n
mmmmcoNO
—oo
m o co n m « o n m d
ooNdmocoPONd
gooononcodN
NmmootDNOooo
omoo
— coNNdoo
d«domNdcomN
ONNdPONdN
—m
NOd«NNcodo«
om«moN
— «oo
oommoN
— ONd
oooNoo««mNm
cocomooNNm«N
Noo
— NcodNNoo
odNONdN
— do
j — CMN-—n — mdo
inmcodmdmN
— co
momeo — o — moo
mmmcoNcocodmN
comNdm
— mmod
oooodmdOcooNO
odmmoN
— — on
— dNNOoomcoo«
oomodd
— NNm
omNdOomNNN
mNN — — NmmoN
odOddooomod
o m o m o o « oo o oo
NOONN«omNm
Ncoeo — dN«
— mN
mo — omomaooN
mmeo — codoomm
o
o
oo
n
oo « o o — in noo o o
co m d m — m n m — m
d o n o — m oo m d n
m d d m m m d co o m
ocoomNoommN
— N«cOOmrONPO—
o n in in — o«Nmo
incoco — oooomNd
«ococoom«
— ooo
ONNm
— concom
o d — o N m o — co m
« go o o oo o m o noo
n N d o mo d o mo
— m co n d — « d n d
m d o m m « o n n co
mdoommNNNO
m0000dm««ONd
o o « m oo m — oo o «
NNddmoNNmN
— ot Jt — m o o co o cm
mmmNd
— « — dm
n o co n d co — n co n
moooNNmmom
— n m o o in m « — «
o n m n co o oo m m—
NoocooocoNNm
dd
— — NC0NO
—«
m o o o co d — m m n
d«dNootnm
— «n
mcoNom««NON
—oocomcoo
—o —
o m co O O O N N O N
co CON « N N N N n m
iw*% rr%
m
om — m — ONmom
mo —o —No«
—«
ocooo — n co o n m «
ni ni w vu v ui w r*
oj —■
—mmoooomoN
>jn
04
ot d
^ n
r^ «
o dJt n
r>~n
t^ n
t- m
ro
w
ir> il v ni ni w m ni ■oo««mmoomm—
io««mmoomm—
N m o oo o o
n- — — d n
»N- — dOrOdN«GO
on
domdN«oo
o — m — noo
— no
o o m co d o m — co o
ocoNddincodu-iN
nui
w r" m '—
u p w w ¿*
mNONm
—mcood
m
oo m d m o m
in o
ooooo n
Ncom
«v
v» wj —
«oco-n<dn««o
«oco
— piur»Mvu
n<dn««o
o o N o n m o d in n
ooNONmodmN
to
to —
— COmmNCONNO
commNcoNNo
mm — o « d o n n d
o — o n o o m m o oo
mN — — moddNco
oomNdO
—dod
mmmmco — m o d —
diu
ui w^- — ==r
w ui u>w
Ncomo
^tomooo
m oo o o co m m co o o
n — on — NNmmm
moooNcoddN«
m m « o « —« « m d
mcoom«
— omN«
oocoooNNNmd
—ooood
—noo
«dOPONNN«
—m
ONoomco«NNN
Nco«m
— mooo«
ooo
— — NOONin
dcooNOONomo
— NN odroodNN
co n n d d d N o n co
ONONNOONmco
coococodoomoN
NomcoomoooNm
— o o — d d m n o co
n — n n m co — n o m
domdNo
— dinco
ononpo
— moo — oo
moNmmmmcoom
md — modm
— oo
oo o co n co o n o o n
NmmcoooddNO
on — coooo — Nmo
— ro Jt N n n oo co m m
roNOOooinco
— mo
GOOOdNNNO
— O
n « m n co n o n o n
omo«omNOO«
d«o
— NNOONd
oon
— N« — romeo
Nomm««Nomm
ocod«coN
— «d«
n d m — d n o o n co
omdoONco
——m
oco —,o m co oo co — N
oomdmoNOdo
« co m m « « n o o m
o — n — Nomooco
NdcocoN«ONON
o — — d m m co — o o
NNomom
—n — n
—ONooodmmo
m — mmmdmmcoo
m o m o m o oo n — n
—ommmodooN
«NdNONddO«
— — — in o d n o — m
mmoo
—oeomeo—
o n o o m © in n o o
noon
— NiONom
NmNNmNONmo
oodmNNdm
— no
ONNdNOO
— o«
meoom«mNNmN
domdN
— mdOd
— NONinm«m«co
co — «NmmNNmd
ood
— «dNmmN
npocoo — Ncod«N
moNooooNON
ooodmmmdNo
o — Odommaomm
dON
— omo
— dm
oNommNONm—
m — — m — — oonn
—ddNmNdcodN
ommoNdd
— om
ommmcoomNNm
coNOdcoococomo
dooodmcocojT
—m
ONm — NdNm
—o
domomooomo
mco — noo
— Nmo
NNmNONOcomd
«mNroN
— onno
NNmmoN«co
—o
Ncom — Noomoo
NOONm
— omoo
nn Nmooococooo
moo«mNOdmNm
o oo n o n « m — d «
— mooNNoNcoNN
mNmcodo«mooN
o n — n n « n « co m
NN — d m o — omm
«cM.mdON
—oom
oo— ocoNOd«—
— domomcoodm
coNdmcoomNNo
—mmodommoco
oNNomoNd
—n
d — dONd
— — n—
ocoomcodoooo
n — ooNom
— no
co n m n m d m o o m
m o o — co n o o n m
— roNddcooodO
n — oco — — Nrocom
ONddm
— — oon
NdomNroroNOd
mmo mo N d n o o
— oo — oodtoNmN
m — mo — commcom
d — oo — m m d m — o
NNNOooomcoNd
OOmN
— NCO00NN
n « oo o n d n — o n
NmcoNom
— NNm
m«oo«oooodo
modNddNPOcoN
o«oommmmNm
NN««omNNd«
o d mo m « n o o —
mcommNoo
— omo
«oo«poncono«
mcooNmm
— mmd
co « o n « co o o m o
co — ocoono-aoo
odoommmmoN
m m n co N m o n o «
Ncomco«Nm«
— co
oodoocoo
— mm
mNomoodcoN—
—moo
— NONdm
nconn
— doN
— co
d m to d d N — — co «
o o mmd d mN n o
«o —o«dmcoN«
m o n o — — m co d —
mommoNNooom
mmtoo«m«— co
omNcoooo
— n—
— oin — «NNmNd
oomocomNNom—
m — — rodmom
——
mm — oNmmocom
co«ocommNaomco
m — m — oo«d — o«
mNm«NmmcocoN
cocoNcorocoNooco
Ncoodo
— o — mo
mmmoomcooNmm
comdONON«-n
o — mdN — doood
mmmoNNmoNoo
Ncocod«domd—
mNNO
— moooo—
oddcoooo
— on
— ooNNmo
— oo
— NdcoooN
— m—
ONmmN«odco«
omNOddoo
—o
mmm — moomoo
oojromNcocommN
*-n m co o n co « m co
oN«dooomo
—m
coooNm
— mo — o
m — Ncodm — dcoN
mNcoo«mNOmm
n « «NinroNooo
n oo n n n « m n n m
o«nn«««onco
Noooo««dd0oco
NONdNO
—ooo
« m n m m n o m « co
« m o — n m co « d «
oinocor-ococoo«
NtnjiN-cocoNocoN
oooomNmmcodopooncoonn
—m
n co o co n m n — — co
oood
— dN — mo—
oocoooddooN
Ninmd
— omocoN
domodo
—oom
m m ao o d o o o o d
codmoNO
— NNm
— doo — cocon — ooo
—moNmmmNom
nuinponoonno
o n m n n o o o o co
tomoNtoNoo
— oo
dONmoomdNm
n o co o o n o o d m
— NromNcoco«coN
NCONOOONCOdO
dNo
—o —dONN
n — mooo
— oooo
mo — modomco«
oN«dcomcoocoo
cococomcoNo
— o«
dmomomNNoo
n N d o d n o « co o
inococoNdom
——
aod«ONOONO«
mNmomdcoNNoo
n in d m o o o « « n
cooNNm«o
— ——
NmmmoNcommd
n n « « —n d d m m
co — mNdNd«
— oo
oodNooNdoN
— moN — o — mmm
o n o n n oo — o o o
—nnnoooono«
no —— omoomm
m n « n d n o m —o
m oo « m co m o n o o
n o n in o n n d — m
oNocomoincooo
NmooNNdmm«
dco«Nmm
— dmN
ONomdm«NN—
o — mmm — mcoNco
Nmodo
— m«mo
NcodNONONmo
OdNONmmNm—
—«no
— cM«oom
n — « — «onnpopo
ddNNNOdomd
mNmdooNoco—
n — mocoNdomo
coNmN-dmcocom
NdoooooNdco
mNoomcommod
—dN«
— Nm« — m
omNNN
— oocooo
coNONmmNmoN
coNNONmmdom
— NindrONroNNin
onnponnnoo
on — Nmo — moo
ONcomcoomdoco
mmoo
— dmN — n
moodOdONNN
Nmdooto
— noo — o
—oonn
— dONm
omNdmoomoo
momo«mdmcoco
h-
__
—
— N—
_*.
k_
lA
OinmrO
.rt
f^
r*-
r^
— Od
**~*
/■*.
h.
f~\
m
. n
i—^
-*-
* /-*
K_
mdmONNNNmN
-i-i
r—\
«*.
ij*\
v\
yrt
f^.
-f-\
N — NOmONN«N
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
«N«coNdNPONN
ro « m d m d — moo
NmNNod«roNO
ooN.d
—— NNind
o co o n m n o m n —
"-•yuir*Uiii=rv'*ir*»N
—omNcodoo
—n
Nood
—— dNdO
oodN
— dNN«o
. r^
*—.
^
__
mm
-b
Al
^
.r>
POOPONCO««ONCO
o — n — «o«codN
— m — mN — m n o «
«roNocoNNomN
NONmocoomdin
o co o m m m n n o m
n o m « n m co oo m go
m n d n o m m — m co
NNoocoNdm
——
oooo — Nomomoo
mcodmd
— mNN —
oomcodNoomNOO
mdOdd
— n N in—
mmo
— dONm
—o
NNNm
— ONONm
ONOomooNNom
o — m m m co n — — o
jt o — d m co o o n —
noono
— o — con
dNNcoNNommN
NdCOoroNcooNO
ONmoNdNOomo
n d m d m o d o d co
omNON
— omoom
o — ommN
— omm
o —Ndom
—ddO
o — omoNOCONm
OOOONO
— ONm
in o m o m o n d o o
coomoooocodm
NONNm«coomm
NNNommmNON
—domoom
— d«
—mNdoodN
—o
roN««ONOOdo
mmddmm
— ooo
dcomoco
——« —«
—dmmmoNNNO
co « n co n co n — n d
dNd«N
— NOdo
ommcodmo«
—o
m o co m « o o o d—
«dm
— mo«Noo
mo — coooocoom
ooo
—odrn-nn
N o n co o o o m n co
NNcococod
— «mm
— oponoond —
to ^o jt r- — n m n n n
NO«meo«mocoN
m n o o m —o m m d
d — ooom«
— omN
— d — oo«m
— mco
do — NcodcomdN
o — doom — otnoN
ooocoo««mm
—
d — m — n d oo o « —
codorno-ooo«co
coododNmmeoco
— ommooeomoeo
—
NcoNooNcoom
—
comeo-mocoodco
— moNN
— m — coo
nnono
— oonn
moNmoommooo
NNOOd
— cooodm
noo
— coNoocom
orn«cooroN«
—o
NdNONNONood
oon
— onoooo
n — n — mdmNoom
NmdOd«oco
—o
omoN
— mNNNN
mo — commdcoNd
ncoo
— m — o — on
ONONcommNNco
d co n m o o d o m d
od — mcommmmm
—mo — d — Nmmm
NNomooaodN
—
comdmmomdco
—
87
CALCULATIONOF IT TO 100,000 DECIMALS
o«oomoN«od
— Ncodromin«ON
o««Ndooom—
— mood««oNO
moNNdooNmm
Nd«
— momodN
COONCOdOCONdCO
— ON«m«ONN
—
omNNcoinoomo
comoGomddddo
— oomomtnNoo
oodmNommcoco
inNcoNNNm
— mo
cMOoo
— mmNom
NONmo
— Ndom
momoo
— ooind
comdomNN
—— «
C0«ONdNNmON
«omdNONm«N
md
OmC0«NONNC0C0
mocoNcocooocoo
N — OOCO — ddON
dooocoNcoomm
—
— oooo — m — mdo
Ndmmoom
— dm
on — cooooo
—o
OCO — NNm
— N 00- d
ooinroNdNcocoin
— — om — lONomd
NOmdNNmNNO
«dmco««oodO
ddONmNooNm
om«Nm
OdNNdNO
— do
O — NONOOO
—
—O —
— comdcom
———m
POiOdONNNPOOO
COd — NCOOONNO
dOocoN
— Ndom
oommmddNincoeo
dONNmNNO
—N
— dNOddCOOO
—
NdNommomoN
inNONONNtnNO
doomeoommdo
o — dNmomNOd
dNcooo
— — ocom
NmNmNNoONmN
— COCONin
— OOON
cocoooNNmmdo
m — co — mmd — n —
o — oodcommmm
o — cooNomoNm
coNNcoN
— mNom
comooNdNNmm
OONNN-COdN-
mONdNNcomoN
NdOdmNNm«m
o — NOdomoo«
ooooddcod
— mmN
roNcoinNinindcoo
oooroNocococo
—
mcom«
— NmdmN
ddcooooooodood
dcommNmm
——o
— — mmNomNO«
dN — — — «omo
—
OOONmN
— o co «
dinroininddpoNro
N«d«ddmNNN
omN«««OdNm
momNdOONNN
o — doomooo-—
—
CMNNO — ooommo
— N — NdmcoomN
noo
— mNO«mN
OOOO
— N«00OOd
OOOONOOONmoo
NO — mNO — ooo
rooco — d — — mood
— OdNN
— NNCOO
omNm
momddmd
— oo — cood
— Od
jt m m o o o o n.co —
cod — omodoom
oomo
— — mm« —
ONO
— mdNONCO
NdNNm«ococom
modmmd«««d
N — ocoomocoNN
— «NcoommNmd
— moomodo«m
ONomNNinNN
—
— d«««oopoNro
«omNm
— ommN
mdCOGONdNdON
no — omNOomN
oo — NOd
— mooo
mOONNdNNOOO
oocomNdNmcoco
OOOOOOdmNONCO
oNOOdONdOd
—
moooomdmmm
mONdONOCO
—o
coooo — dmoodm
— OOON—
dCONN
Ndmoo«ommmo
OO
— OONNdOO
NmoNmomodN
cocoNNommNdd
NONoeodmmdO
dommNinmoinN
NOOOmONNON
dNoomcomdoo
— Od — pooinddN
—
omcoo
— NdNOd
— C0ON
— mocooN
OCONCONNO
— — O
COOOO — COON
— ON
ONOddNOdom
ONONONdOdO
coom
— coco — dNin
COmNNN
oomoeoNdmoN
— mmmdNmodN
Ndomdommoo
«« — «o — cooN-m
oo — ocom — n — o
mcoodocodco«
—
NONommmmm—
dorn — — dooom«
OdO«NONdNO
o co n « « — omdd
dNm«dmNmmo
dNOdmNO«0«
mdoocooNdm
—o
mcooNm««NNd
dNcomdONmN«
dcooNd
— mmoN
mm — OON«NNN
omm«m«
— — dd
«o — do — Nmmo
omo«Ncom
—N —
«inNNONNOOO
NONN
— «m
mNPOcomoo
md«oomdm
O — OO
——N
— NdN
— dN
— — O — NN
NNdONOdmco
—
m — mNomNmmm
minmNNCON
— Nm
N — — mmcoo«NN
mddONOOOOCON
Noooomdomo
mooodNinroN
ocommNmmNOd
NmoNmNmdNO
mNdd
—
— ONNmN
omom
— on — coo
oomNooomoN
—o
ñoco — mcodcocoN
mN — oooommN
mooomodmmN
mmmNcodNmmN
NNN
— OOOd
— NO
omNcoodmcoNO
m — — om — n — nn
om — dodcooom
onoo
— momeo —
ommNmNONNN
NNdmmococoo
—
dNcooNomomo
modcoNNO
— meo
«inNNNmmNcoo
NcomoooocoNm
«o«NmNomm«
mdNomo
OOOOONONO—
OONNNmdOCON
comNNommdoo
— onoo
o o co co n o — moo
—«
— OdOONPOmPOPON
—
—n
oooomoomdmdN
toomcoNm«Noo
OONO
— C0OONC0
— o««oom
— m«
mm — ocomNNNd
dcod
— NNm«
mcoooomdm«NO
—n
NNdNN««NrOO
oooooNoom—
m — — — doo«Nin
— dNNNmNCOO«
Noooocojrmo-n
oo — ONoommNm
oom
— odmococo
od — ««no«
—m
meo — d««NONN
«oco — mmcoo-d
— coNomcomd
—n
om — d«ommod
Ndomoo
— coorod
m«coooNm«ON
— cocomommNON
«om«NO
— «Neo
N — mNdNNomo
co — — «mmcocooN
codoocododdo
dcom
— dOONmoomNNcodo
—d
NdmmN«m«oo
co m N O N 00 — co « o
oddNrnomoNO
om
coNmmcooNooN
PONmNOOONN-
OdomNd
— mcoN
— d — COCOONdOO
dmcoo
— NoNdO
ONdmoNmoN—
omomNdOcoom
N — docoN«om«
m — Nmdmmd
dNdONONmom
— NONO
—
doeoco
— — domo
commm««oo
—n
Ndco — mmNcomo
OO««NO00NOO
NomdcoocMm
—o
NNOooNm
— dNroNOomom
——m
— ddNOO
comdommmoN«
modON
— NOinco
moommoo
— m«
«coONmco
— ooo
cONmdmN
— dod
d — o« — ONdNoo
—NOmmmmdom
— Nmo
— N««NO
ONd«
— o — dd
mmdNOONOooo
d — ONNNinoO
ominroNindOdco
COddCOOONOONO
mommcomm
ONC000NNNO
— — oocodmo
N«OC0
— 0«ON
— — dONNCOOO
—n
— od
—m
—o
—
—
Ncoommomodco
Nm — inNNinNinN
o — o — ONd
— mo
con — oooomNNO
Nm — modcoNNO
coooo — NNmmmd
— — ONOcoco
— mo
mNNmNdmmmo
dNomooco
— no
NO — N — PONNOCO
Od — como — o — m
—d
— NCONNdmONO
—
— mmocoNooom
dN«
— — C0d«C0O
«NCM«OC0C0dON
— NmdN
—
rONN
— N — OdON
CONOCOCONOOOd
Nd — oNomNOd
dNdOcoomo
NOC0C0O«C0ddN
ONdom
NOCONdONNmeO
m — NNdd«mNO
ddNrONdino«d
omoNNmj-ocoN
COONON
— N — dO
coN«NN-mo
— NtoNNNdd
dCOOO
OOONOdONOOO
O— O00«N
— OON
o—oNmommoo
on — o — ocommm
NOOONOdOCOmO
— mmocooomom
coo — codooomN
CONONPONinNCO
—N —
— coo«n
OdNUlNddNON
NOmOOdNNO«
NNNincOCOCOOON
moco — mrododo
mooo«oco — mm
comNm — — omoco
O — oodm — moom
ommocooNmmN
00 — NOONO
oom
— mo-oo«m
inorodro
— nooo
NdONoodmooeoN
mooomON«od
mdaod«mNNdO
NOdmomcooo
««oNmm«o
NrooomNinocoN
NmdmoNOdNoo
eooNOo
— dooco
NO«NdmodON
OmCOCONNd
— ON
ONdco«moocoN
Noommo
— dcom
ONm — coNooomN
ONOmON
— ooo
NinmcoNroNNoo
NmNom
— m — no
mNmom—o —d
OONOOdNmNN
ddooNmmmmmo
•—ONomomod«
« — ONmNoomo«
oooomdooNm
dmmoN
— m — dco
Nco«mmoo«oo«m
NNmmooococo
—
C0d«d«O
— «ON
O«C0ONOC0NON
N««
— doddoo
— ddNinçM
— oo to m
cONmoNCM
— moo
NmNNNONCOdO
mdm
— ON«oeom
mmNmmomoom
— meo« — «NO
—N
ocoomcoom«oN
NmdNOom
— Nm
comeommNN
— mo
mN — oooo — NNm
N — — m co co n o co —
oco — moocom«m
— m — N — CONNPO
—
m«oo«mcocoNco
«mcomooooocom
— ocoN«odomco
nn — NinNdto«m
dd«oON«oom
oocoon
— oo — m
m ——o o o d m d —
NNCOOOONCONmCO
meo — doomm«m
momoN
— odNO
to^Q-t+pto — — t-m —
OdOOCOONtO
—o
coooooNm
OCONddOONCO
— dm«
dmoom««dNOO
NdNddcoo«
inNOONNcOOO
O« — omONONN
—
—m
—
— om —oomm — oo
roNmcod
— o«no
ocoo — Nm — — meo
«ooNmmNm«o
«mdNomo«oo
Nmo
on « o o d d
oodmNomdON
ON
— OO
—«NN«
NCONOiONCOininN
NONmddomoo
n —odmoocomN
mmo
— o — — NNO
omd«NinNC0Nö
oommommoo«N
oomo — dmmmoN
moo
— NONO
—d
— NcomON
—o —o
n n « o « — rnNdtn
CO— NNN«««
—m
m — oco — dNco — m
N«mmNNmddm
m«coodom
— nn
N«indcom
—m —o
mON
— — NCMOCON
N — NNm
mNNOO
— OONO
— d — NO
ocoNmoodNmo
oooodcomNdN
mmoocONO
— — oo
mcooocooeoco
—n
«N«0
— ONNNO
NNmodeomcom«
ONNindCONNN
—
oooocooodmo
—o
coo — mN — mmmd
— dNOdmONNN
f^^fw.
— CONOONO
oooocom
— Nmd
co — oNmmN
— mN
m — OdOONrooin
dNm«ddOd
—«
md — dONNomm
dNdOcoodomd
dm — meo — «NNo
Npoomrodinodm
COOdNGONNmo
dmoNdeooomm
moo
— roNincooN
CO— O — COCOOONN
dNCONOmoomNN
O — dC0NOC0««C0
omoodooooomcoo
— — omooNNdm
mocoomocomoo
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
— d— «NNdm
OC0Nd«N«NinN
oNNd«NNm«m
doco«
— mmN
—m
moo«mo«moN
OdO
— mmmcoo«
O«OmONdC0NN
NN«ocomNm
—m
mcoNoNNmm
— co
PONCOOd
— ONNO
dmmooodNdd
domNcoommo
— o — ONdmdoco
—
mmoNoomd
—N
N Jt co —■—n o o o o
co»—meo — — Noom
NindOONdroN
—
o — mmomoodco
OPOindlONNCONCO
Ndcoodooommo
dNNNOOdmo—
NOtn«co«oinNm
00 — NdNN«m««
mmdoo
— co««o
«mN«ON«om«
do — — mmo«md
«NcomdNOomN
NNOONOONtnO
NmNNNOcommo
mm«NcocoNNmm
NNNONmOO««
— ddo
— omNcod
m«ooroNinNN«
04 — «mN«dmmN
docoo«NmoNm
dNNcomco
— oo — —
mO — « — NPON — o
mdNmmmdNcoo
«ooNddocomm
COCOONOOdCDON
N — omNmNNOd
— morONrooooco
— r-Nco«odOcoo
oon
— mcoodNo
ooooom
— o — oco
— m oo o m o o n n o
CMinO
cooNN
— ONNOON
— mdOdco
OmNOOOOdONCO
CONNmcOmOONN
Ncododcoommm
NomcooocoNdco
NNmmcoommmco
Nmd
— ONPOOroo
rOdmOdinddiOin
oco — oocoNNmm
o — dNmm
— mNo
NomoooNdmo
nn
— omdomoco
Od«ooeo«oN
Nmmdmcoo
ocoocommoodco
— oNomNNOdm
mooo
— co
— mm
— coooodm
NCDdON-mdONm
NdOOCOOOdNmo
cod — odmmdmN
NoodomomNm
omommdN
— oo
m — — commmomo
moNomNN
— Jt —
omoocoNmmmm
mooNooNcodmo
NNNNNN
— mOO
mo
— ONmodNO
mmNON«om«—
— ood
— Nom
dmoodN«dOom
—N
mco — Noodcoo
— OdNO
—
— moNN
— on«on
— orneo
NOomommdNN
GOGOO««mNOCOcoommo
— dmcom
ONONNO
— OOOO
ddmoNN
— mmo
dOOdCONtnoON
—
codNmm
— — — dm
dmoNdmo—no
88
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH,
mo o n n n mmNN
co o ONNC0«00md
n co n — coocomcod
« m — odeooooo
« N d — omdomo
N N moNNONinin
— NNd
O d «COOO
— NNNm
N COmNO
— mN«
—
NO »-dm
m m oo«oom«m«
d — o m m d N N CO N
o o — — o d N,ro d O
o m N d d o mNNO
oo o oo n d m m m d o
o m co oo n o ON««
o m o co « N co o o —
O d C0 N — O m n m m
m m n n n o co m n n
—
d m o n o m NO©
o o — oo d co oo m n o
o N —m oo d m o m n
— o o d co co N O N N
o o m o o co »- — o m
N O mn n d n o m m
— O o o — m — moo
« N m d d o o o
do
m n 0ON — o — dmN
— d m n o o o —o o
N 00 d « CO N m d m m
00 O m « O O m d — o
o m o « « d — o co o
O N N N O N o oo o m
N O O d m o —o —o
n m o m m o — n co m
d m m d co o co o o m
N — o co m n o m N N
O O m oo d m jt N co m
m o O 00 N N — d jt n
o N m — N N co — d m
m p m d N 00 m d n o
cmn o o m d o o d co
O O O N o m co m — m
d oo o o m o d mmN
N n m co m — n mmN
o o — o co d o « o —
— o — m C0 N « ONO
co o o co n « m moo
o d n m© N —mo n
— ON 00 O — « ONN
o m — co O O « o d m
O — — NOOO
— NCO
nn — mmmNmmco
comNdooomo
oooononn
— mo
oo©dooo«om
oomco«NNNNm
CONNNO«NrOOO
«00OON — — «NO
ONONC0ON«N00
ONNrOdPONNPOd
dinddNoooooN
—
NOoo — ©mo«
—o
NNmœm«
— — no
©dindmcooN
—n
mmomoNco
— om
« — ©OrONN©N-
d©NO«d-©Nm
ococococMcocMmom
o©d©dON
— dO
moœmN«oroNin
md«OdN«Nd©
o — ommNin
— om
NN©©o©mmooN
mON©©NdNdN
o — domONO«
n« — oo—dm«m
co©n — m©m«o«
oo©
— «Nd«m
0©rOd
— OOONN
Nd©
— mmodm«
noo
— mm©©o©
—
—
ONdNO
— ro Jt — N
N N mmdmmomm
n m oominmpON©
NN
o o
OmO
— ONNN
d«mNP0d«N
œ d OONN
— — N©
— d NdOdOOm—
o — CONO — ©OON
o d cod — mo©oo
— omo
— mmooo
odONOo
— moo
m — œo — — ©do©
— o©oœoddmo
0©«NNU"IN©inO
o — mœNOdONO
oodoomm
— mo
NOomm©oN
—n
oomm
— NONm©
— — o — Nmo
— od
©
N
n
©
o
m
d
o
d — mmNommom
mNOOOO
— ©o«
ONON©mmmmm
OOONNOON
m o o d — ONd
N«O0
— NN©
ooNinomNN
m m NOmNdPO
ON mraodmoo—
O — — — « — ©N
—N
N d drooooONN
N O ©m — ONNdN
© O Nmommomo
NOdd©OOd
p- o — inNOdd
m o NONOoœmN
— ONd
d — lOdNONOO©
— o Ndd
— ©OO©
——
N O mmomooo
O O mdoodNN—
— momm
N d noo
O N NN m N o © m m
n m o © o d m m co ©
m © N O o»-m m n co N
o md d mmn o N d
m d o —m o o m —m
— m o m roto m —
© N —m d N o o
N N o —d m m o n o
d d to © m o ©ooo
mn mo n mm©mm
>oo m m n o o
■n N m d o ©
■o n œ N © ©
t^ — ro Jt m n
-Nmd
tO N d oomo
n o
■NNN
N d o o m©
• ONm
O O O N N N
) oo o d — m n d — o
IO O N m o n m m o
■— © N o o d œ m d
mm
n m
œ m
m m co o
©o o m
mo « ©
—d N m
« N m m
— N m «
N O d N m «
O « o — o Jt
« d o d « N
« O N d m —
o ©
—m m ©
œmo n
d o m©
N N
o
m
«
n
o
m
m
n
—O N O N —
O © o d « d O © N d
o o n d o o
o o © d m n n — Jt
O « N m n n o m n
NO — m m n n n o
moo
d o mm d o
— — -o co — -o to Jt tvrt ro — m n n — m ©
© —m o m d m n o
n © d m © ©
OdO
o o co o — — « « o
momo
— oo
d N d —o n n m d
N O ommodd©—
m n rooOdmNNO
O O ©
m
Jt
d
©
o
Jt
—
—
o
o
—
—
— m ooo©«dNNO
N N OdO©«
— N«
— —N —
d o dO©N
N N dNP0©oNmm
d N mONOON««
N O Odmd
— md©
O « © © ©
m d o — N ->-NNO
NON
m m
— O 00 N O t Jt ror^ Jt
d m ro o4 Jt Jt oo
Odo
ooo
« d n o m m o
ro n m œ n « n o m m
o —m —© n o
dmN
© o © o m CMO O O O
m©©N N o d m © ©
© N mo m d d
omo
œ d o — m d n JT — N
n © d OdNO
ON —
oom
d d O © N —N
— o m n o o m oom
— NO ON©
— omm
— OO o m N o CM— —
m ra — m n m o O © O
— N© N m n d d © o
m o © ONOO
dmm
— d o — m© n
ooo
omdoN©d
copom©dd©ooinN
moooœNommo
omd
— — moN
— n©©o
NNNmm
— NOd
ooNOd-omo-
—o
om©©©rodom©
oo© — m© — omm
— mN — omo
— oo
n — — ONm — mom
—
o
—
dN
—
«o — NOdNmm©
N«do©oNomœ
OdWNOinrONdN
dNiON
— m- n — m
Od«ON
— »mo©
NinroNm©«©oo
o — ««domoN«
O — OŒNdNNdd
dm«©Nmœ
dOdNo
Odo
d m
d o
o ©
NON
in n
n ©
o
o
N
m
m
— Nm
— © — Nm
o o o mo o o
mn o o o d o
d —o o o —m
œ © n —o —o
d n « mn mm
o m m m —o
mn o n d n
O N —m d o o m o
iOJt N O O — 00 N
omo m o o o o m
o
—
m
d
n
— oNNinNromœN
Nm — oœ — m m n m
on — m o œ © o — ©
modoroNorom
ommNONNomN
o — domoNd
—«
««©NOdOOOO
om
— NNNroro
—d
— dorno cmm o m
oom©NoomNN
OdNd«m
—o d m
©o
OO©
— NNNO
—o
n œ
— ONPONNOin
NNOomo©o
NNomoœoo
d œ
——
ONPOOinONO
NNNm
•N
— NON
momooNœm
©NOOOOOd
— mmm«
N«-O
NN
d O O «
—
d n o N — # r- — «n
«ONNinNro
— ©m
oodNinmo©om
OdOOOONOOd
inodd
— moNON
do©ooo
— inNtn
o — Nommœmoo
Nrooorom©N©o
NoOdPOPOONOON
— N — OOd
—© —O
— mmNo
— «moN
Nood«N©mœo
momNNOomo«
«oomd
— d©mN
inmoNONNdrod
N«m
— o© — dorn
ooodmooooo
mNmmmmNmmm
d — Nomom
— o©
NdONNCD©NON
© — moddONmœ
rOPONddNNONO
dN
— od
— ddtnm
NONOOdNNOm
N©d©NjTON©©
— mddONooNo
d m o o o m o m
Nom o o © o o
n m ood
o o n o m
N —mo n o m d d ©
o © Nom m o o d m
«N oom
mmm©m
— © o © d omm — ©
o m n o N
NO Odd
« m ror* ta NNNmm
o « o d « o mo o n
N O — N
moom
oo o o m N d m
N —n m O —N
« N n r —œ N
« N o — o co m
m —d
N O O
m N d
cmo o
n ©mo
— o m o d © oooo
« m ON « N OONO
m d — N m o — N O CO
m © o o — © o m —©
N O N O —N
«ONromomo
——
Nmoœ«N©m«m
m«Nm
— d — moo
OONNNinO
— o«
inrOddmom©©d
NtndomoineMoro
O — OON
— dN«d
dN«ON©m««d
œm©oN
— in d n —
dOdNdomo©m
o —m m d
NNNO©
m —d o d N N O O O
m o — —n m n m
—o m m o —o o
o mmmd o mœ
n m — © m ©©NNO
n o n ©mO N N
©n ©m©N d ©
o d m o m n m «
o o n m o —d O
o —
ra o
—m
« O
—m
« «
«N
mminroNNO«©
—
r-- — — omo
— ro co o
Nooomomomm
m o n « o — mmoo
oNON©omoo—
oo — Nmo — dorn
oomoomNmo—
NNOroroNininoo
œ — ONNœdd
—o
oo — Jt a> ro — ra d —
—d
mn mN d d —o
mo o n
mn m©
o ©n —
d © d d
—n o ©
o o omm m
o o dmN
œ
o m — mm m
n m© m o m
o m —o o o
m n mom O
— © —© œ o
d © oom
N
O N œ o m n
m © NONN©0
—© N N
o o o d
N —O N
o mmo
mo
OONNOO©m
d m ddNdŒNOO
—©
— momoomm
m©momooN
m —o m d n d o O m
NrorodOinm
d n ©o
— n© o m
NNmineoNPO««
NNdo«Ndmdo
doNONmrONdm
m«
— «o
Nomm
— OŒdNO
no — ddmdNO
omomo
mmomooNmoo
OONN«N
— —
mmmmo
— n©n
g m — o — no — mm
—
o o — o — omo
N — O — dO
—N
JR.
—
— d©NN
—
mo mommoNN©
m o rONNNOd©
N N Nd
— ©NN
dO OfONdOONO
© — ONP0©©inmo
—
—O
mp-o
— d — Nd
NO — NOO
—d
dOdNmmroN
Od©iONOdm
O O ooœmmNmm
d © m©OOONNG0
d n o —d n n m o o
o d n mn d d d n n
n o o m m o —o m —
—© o o m o n n ——
mo o d o mo n mo
omom
r- jt to r- ^ t^u) m N N o m m m m m
d O © o —omoo©
© © © d m o o n d o
n mmmn n d o o œ
d o mo o mmo o n
m d oo o
m ooo
o O d
œ —«
o —œ
o
m
o
n
mN O N N «
O © N d «
N « © m d d
mmn mo o
o « —m n —
© m moo « — n m n
N O oom
«omom
m m omd
« o ©n o
N — n m œ —d o —o
N m o d « N N © d «
NNinNNdO©ON
N© — oo©m«o
— mdOdNONd
N©NOd©
— ©dN
dorON«o
dO
—
—
— o«N
— 04 Jt Jt — ©dO
moNinNd«mom
«NN«ommmo«
©dooNOdNd©
dOdONOomoo
m — © m ONON
m m o —m n m n
n m
mo
o m
n m
N N
—o
N
d
d
o
o —N
N O © N ©
m —n m m n o
O d N N ©ONO
co o N O o m ©
O o m©mn n m
—m mmn n œ ©
N — d N — o m ra
m o d d o o — ra
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
m
co
m
m
o
o
mmd
— odmin
NNNinmNN
—
— — — NNO
ino d
d
"-nnNdm©
romdmdd
—n O
m
o©Œd
— «NN
— Noommom
d
n— d o « © d N m
mraoooodo
orom«oo
——
o
m
©
o
m
o
— O JT mmoo
— ON
N o m
m n m ©omm
ood
m n o m mmm
ooo
d O — N NNm
oom
O O © © omo
oom — ©N © m — n
— O « N ONO
ooo
© co o
moo ONN©
ooo
m O N — mNN
m ra m N o d O ooo
m d o m o o f- — Jt CO
m n o o N d —œ o o
o — m o dO d n m n
© —o o o m o © o m
o © Jt Jt m n n n d —
oo m o o m o oo d o o
—o d m o — n o m N
« —d © O N o — o m
N O o m d O m —o m
o d œ d I*- O o n o m
mo ©o n d d œ n —
—o m o d o d o m —
d o o m d © © Nmm
OdO
m n o —œ œ —
oOd
OONO
d o N
ooo
o © d m omm
—m —
NO©
ONO©
—
NNO
ONm
Nmm
omN
t^tOJt
— ooo
Nmo
m m o oo ONO
« ©o o m d « d
O © N © — jt o o o m
m mmo n mo ©mo
m co m — «
m o ON«
o « — N m NOON«
d n m o d
O N NOO
mn » N « N N O © N
O N ©— N m N d O N
« © d — © m n m —n
« d O O —o mn n m
n m © ©© o N o « m
œo mmmo mn © m
— o m n o n m oom
t- ro r- Jt — Jt co © m n
o © n o d — o NNN
o m d œ « « m ON —
m N d O N N d mmo
o « n m m m n OdO
o n m d —d o n © o
N o — — m « o NNd
mmm © m o d œ m m
©NO
m ra m moo —
mmo n — © œ — — n
m d o © ra o N m — ©
o — o moo
N d © d
o œ d n m o—
©NO
——N n mœ m d d o
Nmo co Jt ro N « O N
m n jt mom « © © «
m« « d n md m « N
- ro r
ONO
— NO
O » N
N m N NNO
CO CO —
n m n d ra ra
m m O O N d — o oo o
m m O N ON© moo
d «
ra o — o — o
d m n O © N
N N
© O
N ra m Nmm
— m N N ood
ood
O O O — N « o o mn
N ©
O O N © N œ o N d d
O © N O N — N O N N
o
m
m
d
m
o
o
—— o m o d m — œ
m —m d n « © n m
mo n n ©« n mn
o o © o ©oooo
N —N o d n œ o o
n n m o CM— — N O
o mmmo o ©o —
n — m Nmo n d o œ
mom n m n œ n © o
on — ra o o o n m ó
— — o dmm
n —o m
n m « o — © o — m ro
N© O — f^. p- o o o œ
d m o O N O © m —o
JT O O mmoo
ONd
d N O Nmm o n m o
m o d ONO
omd©
CALCULATION OF 7T TO 100,000
N CON NN
— © © O O
co d — — ©
œ —m o n
© m © CMN — « d o m
N ONO
— © —d m o
o m m m m « — dm«
— m m m o dN o — N
—m —m o o m n n o
o — o «d N N N © O
m o © d m o —o o ©
mmo o mNn mo o
o o o —© —o o — o
d d oo — o — œ o o o
d œ « œ mo o o mn
— •-Nmm
© N oom
ON — N — o o d m o
—o n m o
N N moo
O N — o —n o m o o
d o o d « œ o o ©n
co o mN « œ n — n o
d — œ n n m n o n ra
NN
mooONPOora
m n NONNŒOO—
o — mmoo — m — m —
Jt Jt dinmmraoroN
o o inmmoomm©
o m OONPOOOdO
— —
oo OPONON©
œ o «NmodinNO
o o oomomoON
d « r0N©inmd©O
m o o o — Nmm d©
o — © o o r» o © n —
— m d o d o n n o ro
N O m — m o ra o m n
œ n n —m œ o n d d
m m d m d o n rot- d
m d o o n
o — odo
« o o d o © o m ra o
n m œ n n d o m —œ
oo m N n o d œ o o m
m d n r m r N NON
m m m d ONm
oom
—« o o O d N m © m
mmm
o © N mNO«
o d N — jt Jt Jt m — ©
Nmm n o d d- N © d
m © m CMN O O N N —
d o o cmoom
©ON
d — N ro Jt 04 r- NNO
m — o o m jt jt d N m
omom
— d —N O
m o — — œ •—© n m
ro n — — m o o n n
N N © N n o mn m
n mo n m
omom
©omo
d —o —o
co o « d — o — o n
O
oo
m
œ
m
o
©
NNO©
O O O O N O
Jt co to — — N © — N Jt
oomm
n mo o d m
mn o
< ra m o n o N O
d o m —« « —m m o
— d o m n on — m m
o d mmo n mo n m
Jt ¿t — n « m « o o «
o N d- — m no « n «
—o m m o « d m
©d
mo o m« mo d mo
o ——o o N m —
NrodNNro©©
N N
m o o m o ra d o — —
d — o œ o m ra œ o ra
jt — n n m — © — — o
n « m o m o m —o m
m — d n o — — Jt CO CM
n « n © ra m d o o n
©o ©n mO « N © N
n m —m o N O « O O
m d co ra m o o m m m
d mo — N — n © m m
— —o n m m m
jt Jtto o o o n —— n m m
n mn d n o o © o o
mom — m m o m — n
m N d 04-o 04 t— t— — t—
omm ra m — d o n d
NOO
O d O N O © d
ra © n m m n N o n —
o ©o mo d o d d o
ON
— m d d m m d o
ooNmNNinin
N©dOdN©o
©NtnmONNN
m — NO©dNd
m — r--mo
—d
odoom
—© —
d m «o©N«d©d
—
N O m — NmmoN
© N mom«omom
m — OOONdNN
—
N O d O « N © m —m
o m « mN « n m m —
m o m — OO m d — —
o © o « d d © mNin
om d — d N d m n o
d o — d d N OON
—
md d N o « — NO«
« « m —N m
o o —m o n
OON
TO <Ot—m d n « œ
ooo
N ——
d n © m « o omom
n « — m m « t—t- to jt
mmo — m — o « n o
d —o N O d d n d m
m d d NNNO
ONm
t- — 04 m o œ n
ooo
o n co —
« m — Odo
NdOd©dm©
m©codNOdO
OOdOOdONNO
o ©
— m — mmdroN
momN©N
——m o
« m
mddOdm©o
— d
t—jtt—tDtooioo>
N N
©No — — omo
d
oœmm©o
—m N
—N
o — NmNoora
n©n«
— m©© O N
m©d o o o o mo o
— m — n —m — « n —
œ n m d m N m O PO —
omN
—« o —© n m
œ n d n o o o n o m
— r» p- o m — d m n n
ra m o d o N © N O N
04Í-CD © d © n « œ n
m —© m m N o o n m
—O N N O N —d N N
N œ — «NO
NOO
m« o
© oo d
cot- to
œ« m
o m«
ooo
Jt
Jt
ONm
o m
N «
o œ
—œ m NOO
CO Jt ^
©o m
« N d
t- ao t—m o n
o dmm
o —m «
ON©
© t^ Jt co
^
t— 04 — o m
N * jt — ON
© m œ d
oo m o d n m œ n
n ra d m n o N n o
o n o
m oo — ooo
m n m n m —m m d
« N j O N — «mom
N N m œ œ —d O O
m n «oom
mmm
co « cmo « — NONO
m n Nd d o ©mNo
m d «ON«
Jt t— 04*-
N Nm
m
m
m
m
N
m
d —o N
»^ — «OdO
© d o mo n —
n mo o m
œ mmmo
— dm do
n ©o n o
mo mn «
m©o mn
m o Jt — m
n ©mn o
•—© o — m
m o d « »
mo « d o
—« © œ d
—n
o o
o ©
o o
o
m
o
o
ro —
n o
©N
n o
m n d m d m n n d N
—© o m n o © m o o
mmom
o n m © —o
o œ d o o o
m o o d ——n œ n —
o m ©n o d d m —n
o o d d 00 O — N N O
—n œ o N O O N — m
o — on m © n m n o
cmo o d m « m d m n
om inNONOdind
n o —n œ © n m m m
m n on — — mod©
d — NO
N
N
O
—
O
O
N
N
oNNininoN©
NNONO©
—«
rON — OONO©
— dNiON
— NO
— dm©
Jt*— Ninmd
— N m — NflOd — o«
o d mN — NNCOd«
« o —œ m n o d N N
o o o « md o d m ©
n m O N o « d d m o
©ONON
N m N N o
m — o œ d h* Jt co co —
m o o —n m «
dm on o m jt
— omom
mn
m n —d d m n
mo n o mN —
O N N
n —o
© —©
d « o
N d O
jt
Jt
t
m d o © O —o
œ
o
o
o
n o d
mm m
o n m
—o o
n o m—
NcoNNintnmodo
œm«oNdmoNN
dooNdoœmmm
NdON
— o — ©rao
odo«
— NNraood
raooN
— — œddd
— — ONOlONlOOO
o «mm m o n ra n
œ n —m o n n o m
o mmN O O — O N
m o œ o d o mom Jt <o t— rn ra n © d
© NOO m o © m m
o mo n m
—oom
d —o o o
Jt N ooo
cmm oon
o n m O N
m m o ra m ©NONO
o
«
«
o
n
o
jt
N N ONON
o
m
n
m
o
o
œ
m
o
©
n
n
o
o
— Jt — o
d © d m m d ra o
o —o o
n mo o
mmd o
mo md
N n —o
©oom
o o mmom
o o
—©
N O
N O
d n n d
o © d o
d n o o
m —© o
n © ON
OONO
©ONm
ro o —m œ o coo
oinNtndinoN
momoœdNN
doœomomo
n m O — ON©ONin
m o o d n o —©
ON
co « inoNOdino
— « od — — om
O »- <i jt t^ Jt t*"-
n m NONOONOd
m —n
— ON © o o
d NOO
o n o m ra m n mNN
œ md o mmo moo
ra m n m œ m o ONO
œ n d o ONO
ON©
n o m©o —
N OdO
n © o m mNN m dd
n — mm d N O OdO
o m — o Nmm m o —
omN
mo n o n o —
mNO
d mn o
ONO
oo NOO
m o m o o —n m N N
oom ON — mdmN
ONN
—o m o n n o
m dm oom
— o ra —
n m n — NO m © n o
d NN d om n o m o
Jt O4t0 jtmio NNd©
Nmo
— NO
N O N
O d ©
©ON
mNNO
■m N m O
o o ©O O ©
— dPO N
—N O ©
omo
N d © o
O — N oomm
m —m
NOO
m m m n o —d
dmN
d O © N d o o
d NO mN d o Nmm
omm m o — © mom
©m©o
mo mn
o mN o d o o
© n d ooo«
— N N Odo
d m©m
d o m
m d m
o ——
o mm
o d N
d m m
—n o
o n d
© d m
O N d —N © O O O O
m © ©
m d m
oom
Nmo
oo — «
NNm
« m N d m d d
N Nom
n d N m d o o
©o N d mmn
mo o m—d d
© © oo o o o
n mo © N o ©
© N —m d © o
mn o o m o œ
mo —N mmd
n mmmœ —d
mNN — oœom
oomdmomco
— C4tO NNO«
— t004 m « o d
— « O — mod
Jt ro
NNO©
d « m d — o CM— O O
« d o *T) t- Jt m o m n
n œ — mom
—
— ra
N O ocod©m©©o
o dm
mom
ONOddNO—
— ©mo
—m
o o
mm
OONONOO©
— N
OOdNO
— oo
— d©NPom—
d N d
— oooo
— mœ
ocoNmd
— Jt Jt
ONNPOONOO
o o O N O d N o m©
»- —omm omo
O N —d o m o d —o
— Jt m o o n © d m o
O N © o n m —— — o
N N n n ra © o o m ©
O N CO— COco o NON
O O o n o d m mNO
O O — d tot- © jt — jt
N O n m o d o o m«
o — m d d o om on
© o m ONN m n o m
o — o ONm
N©Oddm«NN«
ONcomœ
— NPONd
— N
—m
89
DECIMALS
N O —O
Nm — OON
©ONN
ONN
— md m o n©
odrn
mmm o — o m
n n œ cm— N m o — m
oo d NNN
—n œ —
o o ©
m o ra o
Nd o
—N o d
o«o
—— o d m m —
m«oo«
— «poNmd
mNO—OO
— NdN
mNNdOoomd—
oo — dcoNNm
—o
d©œo
— ©on
—o
©NOdmOOON©
NNNNmoœocoin
omooom-NdO
mmdm
— — o«n«
o — o m m m dmm©
o — o m — N cmn o o
« ro d N © m — n m n
md o o o co — iO Jt —
«N n m © o — o œ d
N — toto O N »-mora
n m o —O — œ m n m
d d N N m o d d o ra
o mn œn o
œ —
ON
do o m m n
o m m o o N N CON —
m n o o N m d —o o
d N ra m — m — m o d
œ o n m N N N m o co
— m d m o ra n cot- Jt
œ o o o n d o rot- Jt
o © N © n m o oom
d n m o — n Jt o œ —
o N N — — N © —m —
m © — cm— m N m n m
— o t- — to m d o m œ
n d o o d o n m©o
o o omN o ra n n d
o © ooo
mn d o n
m © d m m
OON
d N N
— t-Jt
© —© o —
N O O O N
d — o —m m n o
©NO
o o n mo
m j OdO
O © O N O
o mo mo n n © O —
n md o o n o © mo
OO
— dN
©O
— d —
o o d © N N N d o o
n co d m o n m o — œ
m nn o — d o N © O
to \n co ro t—o r—Jt 04T0
m n n — o m m omm
mn œ
mœ m
d i
mr
o r
n œ■ nCO
n •
nI ©
e o
mI ©
e o
d •—
• o
©i m
i o
N O N • im ©
m o m ro o
ra d o m co
mo mo œ
o o n d m
o n m —o
O — N O N
mN o o o
oomo
—
d n n ra m
N o d ©o o o
o —d d N o o
o —œ m o œ n
t- t- co m n m m
n mn ©o o m
omo
o mmn
© o o n o o n
mn mo mn ©
—o © N N o o
dN N © o © o
ooo
m ro oo o
C0t-iO
N
N
O
O
O d
O o ra o
N ©o o
© m 04TO
O 00 O N
mo
n o
o m
n m
—œ
d
d
o
m
o m
o o
—o
o n
ON©
d o omm
o o ra oo m
mNo
d m d o o ra o
— ro rn momo
OON
oom n — n œ o — m
ONm
O N N N œ o o
o — o m —o m © œ o
ra m m OON
— roto œ d
oom
d m
Nmo
©N
moo
—m
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
—
mom
o n OON
ra — o — o
o d © o d
o —N
lO d
o o n mm © oo©
—
o o œ n © d om o d
N N dO N O N — Jt o
m m Jt N — d o © — o
o o m n m n o © d- m
N N N N © O m o NN
n — in in o n NOOd
o m n m m œ in — © n
d — œ m — ra m o n m
—m d o o d n m m o
n — n —n o o n o d
o œ m o o — © d- © n
o n m o o ra d — d o
nn m JttOtO o © © o
ro — N « d d N m m o
m
œ
m
m
m ONN
n d d o
— m Jt o
n n mm
n
o
d
m
Nm ON
— (OJtOt
—m — m
mNNO
n o mm©o n o o —
t- — \o m n m — o
to-
OON
© — NdO
ONd
o ©o mm
mmo d o
m©o œ ©o m—
mn mn ©
NO©
N © — mm n o —
mom © © d rorn mœ m o d o n
o o mn —
ood
m©o d o o o —
©ON
©mmn —
— md m o o N N
n o o © d
ON©
Od — d — d o —
cot—t—n N m o o
ro N Nom
O N
o m
mo
o ©
œ o
—o
m©m r m© m d o d
0410 O © N m o — n o
m m ONO
© o —© m
m m NNm — d m o m
— ooo
— no — om
dd — dommomo
o — dmœm
— ©od
oONindm
— mNro
oom©m
— — ©on
oponon
— oraooo
OO — ©©NNNdN
NOmmodo©mm
©NOOdN
— — do
o — droinoN
— oo
d m m o d n mo o m
co © o — o d œ — m m
n o o o m t-torojt<o
oo n n n ra o o © o m
n o n m d o —o —m
— N d N O cmo o o m
ro ott- jt in n m n œ o
m o d N N O dNO
o
m o d m n o n n mo
md o n o m N d N —
oo
— o — ommoo
— dNmomNmmo
int-r— ©n o n d n ©
©o©m
— omd
—n
ooomo©©ONo
inONN
— ©NOd
poNromodooNN
O — NOd
— NOOO
Nm — ©ooo
— mm
ONOOONNNmd
omo
N © N ©ONd
rot— — o m n
ra ra n t—toco
omN
ONN
m d n OOO
N m N o
mNN©
O O N d
oomo
N © N OON
©dmm
Nom OdO
o d o
O © N — ON ©omo
NOO
— mm m n o
m
o
— o d o d N — ooo
NomNdmœ—
om ra — o — o — ON
m © — Nmo
— mNo
o d modo
— mNO
— o mooNOcoNd
œ — N — Nom©dN
oNœdONmm
œ o — m — ddo
—o
—o nonio
— — mo
o — co — t—xfiT—Tororo
N © mooo
NNNm
O N — omN
d © —o
d o ©mm©
O © © N
N O — Jt ^tmœ n n
mn N m d o m mm m
o — — NOO
m d mo
— m — moo
o m n d
m © m n d n ra n m œ
m n d o m o co — t—\rt
N O d o n © NO©
—
90
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
odmmod
— ONo
ood
— mroNNOd
— — lONdd
— PONO
N — m©Nmmo©
—
Q
o
O
o
m
m
o
n
O
—
o
o
o
©OdNNOPONON
oraom
— ©ram — n
m — ra — d o o o o m
NOmON
— NNO
—
— o m n œ m o m in o
om
— oœ
— ^oN
—
N N — N — n m —m m
o o n m m n o to — o
o © — m — d n o n ra
o —d n —O N N — N
© N N O — n o —d m
d — O d d n m n —œ
d m d o m 04 Jt — CO Jt
m n d n œ N d m o o
d o N n m co — ra o m
o mo ©n o mo d «
o o N N m d n m ra d
o m m —n o d N o N
— N m m o ——m m d
n m d m co « n n m o
mmn o n
NO Nom
m o o m o o n « —N
O N n o d —o o n œ
N N cm . m o m d co co
m N
— o ra œ ra
O O
mo n o N
O N o ro o « — m n o
N « «o — cmoo « © m m
d O œ d o d d © d n
o ro m ro — o oo o
o n mm o
N m dm©
d o o m —n m n n o
n mmm o N « o m d
oo m o oo « o © m o
o o — m n m d m jt —
m o — m oo n o — — m
N N
o o m
o d «
O N m
N N d
—m d
d N O d Nom
d « — N
mmmn
—o m
O JT N
n O O N m o N
N d d O m —o
d m N N O d N ©ON
o N N O o o —m d N
O N —m d O N — N m
N O O N o mm o œ n
© O d m o o o N
— o o m d m p».n o N
N O o mn m © © o œ
o o o ra n ro o m o o
m o o o —m —o d o
cmco — o © m jt o
N N N n o o m N
o m —m d n m —
O © N m o d m m
m —o — o © n d
o m © m n —m d
O N o d o o o o n o
o o o d —m m o o o
o mn m N d n mmo
m n n © o o n o —o
n m m co — — o o m m
d — ra ra m — œ n d o
m o NONO
mmo o
m d m o co n d « © o
o d « m m d oo o —
n m o — « m -- — — r^
o o mmmœmmo o
mo o d n o n « d N
— d n —m © m o —n
N —N d m o d œ m m
— N m o o m o o —m
o ra CO lO d N n d — o
dm ©mm© N N O O
ra o m n o m — œ o o
o o d m© m©mn ©
O d n —o o — — o o
d N © o o © m t-t-TO
ra ra © o d d d — m o
N N d © m o —o m œ
mo o o m©mn ©o
o o ©mm© — NON
00 — n o o — m m o o
m ra o m n n o m m n
mo m©mo mO N d
N N m m © d œ co d m
O © © — — © — —o
—
n mmmo m—
co o d — cmo — ra o n
— — r- m m o o o m m
o m n —m m O N d o
d O N o
o n d NON
m n ra d N N o m n m
o — m o m o mom©
ONO
o n md d © m
ONO
04TO d m n — o
m ra n JT N — m d no
00 N —
n n m n r
N o mo
n ra cmm
m n ■N C
co o m d
o o oo —
m n © N co co N o — o
—d O — o o o n m d
N O O N d m N o o d
co m O — N N o « m o
m o d O o m o m —œ
ra o N O d m © o n cm
Jt N o m m m o o « o
o ——N N d o m o o
NO — m — « m m o «
ra n o o o « co m m n
— t- — m m o m n n «
N CM00 — n o « © d d
o n m o —d n d m —
ON-©
n ©mn mo n
— N — n o co m m m o
d O N p- in r—o n n —
o o d N m co m o o m
N d « œ n m m in jt o
m m in in — in © — m d
n m —m n o m m d o
o N ra o d o © m — o
d N o m m o m © n «
m m n m œ ra jt ra — o
« o 04 — Jt d d d © o
n œ n ro o in in m œ n
o — m o n m m —n «
© N m m ra m © o — o
O N © —m o n o © d
m n «NO
o o mn m
o co — N N N on — —
N « o o m m o o d œ
N © ra m N m o — m —
d — —o m — o o d d
m — o co m m o d o n
© d —
o « d
on««©
—m o —«
n m o o « d —©
d m o jt m o Jt
©NO
o o o m
o
—m m d
œ m d «
o mn O
mn ©N
m©o d
m —o
o m d
— « oo o
mo n m
Nom
d m
d —
N m
«N
—©
00 o
—«
« o
—n n m o
d œ —o m
— oo m n n
o o o o m
d jt m m m
O o o o m
—
N
o
o
o
d
m N O d O O
d « O d N
m m n —N
o © d ro n
co m n o o
—o m m —
o o —d o
« in m N —
o »-m — ©
d — N O O
ra r*- N m m
—N n n o
o o mmo
m
m
© Jt m
— N m
CMO d
mmd
mn —
o mm
—N n
—m o
n n m on©©©
m ro — — N — m o
Nom
jt co — m o
o co o r- o o r- t-
o o
n m
m o
—m
m o n o d N —n « N
o ——
t-
Jt
—o « m n
o N Jt 04 — N O N d «
o N d o m jt o o o m
n œ ra « ra — d « m m
o ra roo4t- m « o m «
©©«NONNOdrO
— mdmmooNmm
— — mmoomNN
—
dm — on — o«Nd
dtONin
— o«
——n
d — Nooromm
—m
«NNrodm«Nrom
dN«ddoN©o«
— o — Nd — «oom
Noomooodoo
mooNdmmra
inmocoddrONNro
m©ONOoom«o
C0OON
— N©dN
N — dONdNNrOO
«mraoraom
o — rOd«Nd
—o
—
— Nm
—d —
O — NONrOONNN
Od©dN
— 04 — N —
— ©NoomNinrom
o m o N ——m m — o
co m o o m o o m n o
—m o o m o o o o o
o — — N m o o m o co
o © n m n m —o d o
m©n mN d d mo œ
© o © o o — o. o N d
N O
O N d o m©
o © © jt ro 04
dN e
mmi
O O N
©m ©
ra d o N O m © m n
o d ro d O o m o n
— d o O O m o ——
n o o o —d m o o
—m m N O o m m n
N N d m N m n mo o
mmn o d o mmn —
m © o o n m co — o o
mm© o
mn mo
o o —N
« o o —
n m m ra n m doom
d o o — — N m —o ©
mmo o d m o ©o m
N N o o ra n co m n m
m o o m o m co — o m
m © d o n o co m m m
d m — N• m d n n n ©
d « —o — N © o m m
mmN —m d o mo d
o d N — ra m o o m o
© o o o —o o m n o
— « — dm n- n o © m
« N œ n n m o mo n
o ra m n o oo d n d —
« m mom n — m n o
cm— d m m o m n o d
N « o o N d m o N m
O d d o o o m oo m o
m o — d © o o n —m
m o m o © — d n o ra
n o œn o o O N n m
d jt o o n m m m — o
N d —n o o N o o o
» d N © O N o n n m
— 00 — m n m N O © O
CD O t- CO 04 — o — d o
N O m — m n o —m o
N — O O N O o o o o
N N m jt n d m n o o
O O o o o o o n ra N
O N d œ n m © d o m
m n o o — NO — NO
o — o o d o m d ra —
o o n o ra m n N m o
O N N © m n m N » d
O o n m NOO
N © «
œ —m m n m m N d n
co o o m — ON «mm
— o d m jt t- — © — m
— N m n — — jt m n o
n m o ——o m o n m
ra d d m m o — m — m
n n n m o m n n —d
O O d d N m m m « m
d m — jt ra — o o o —
n n o m œ m m —© n
o n n n m o m —o o
— N O N CMn — m — m
— n — r- d n N m n o
« m n o o —d n n o
o o n —n m — N m n
mo N d m d d o o o
— o m m o N —n n m
© o m jt n d n ra m Nd — — m œ o —o o n
Jt N « m o o ©Nom
m n œ n N N o o ro m
N © œ m O m o n o o
— N « o n m m o —m
o m ra n
mm© N
mo — — o — Noram
oooroNinoinoN
d
o
m
m
m
— moNONmooo
— rororOdOrON
NONOotnd
dONNNO©
CON — NN
— NOO
——
— con
— mmON
co — n T-.ro o o m m d
o©Nooooo©m
moNNN
— oomN
— m œ n — NOO
d —d © o m d N O O
m
o
o
d
m
o
o
m
N
n
o m — o m jt m
—o o — m
m n m n © —o
O N m n d m o
mn mo n n ©
n —m n o N O O O
— m NONO
n d
o d
mmn d o
—m m —o o n o œ
ON©
o —O O O —
mmn © d mn o m
ro o — N O m n o o
mmo d N d n o o
d o m © —© N o m
— d
—o
O O d m o CMO
d m d N © n o
o © « — N o rm —o
N Jt
o
nN
n
o
O
ra
m
N
o
—
—
N
m —n
N — d
o m—
o n o
»-m — o — — — ddN
»-OOC0OC0N
— 00d
domom
— — Noo
d — to Jt co t—oomm
oONNmo
— dNm
«NONinorora
—o
— — NPoooroN
—m
N — eoNd
— rocoNN
©NO©dNomdO
o — Jt co — — oNtno
r- n m cmo o o d m n
—m © © o œ — o N m
m « m n d n n —œ o
© N N n n © œ o o d
— NO d N m in d O ro
œ o © o m m m © —m
n m m —o n m m m o
—m n © d —m o o —
o © n o o n n o d ©
mn o œ ©©d n mn
NO©
mo œo
—m —m n o m o n —
04*- Jt o n m o n — N
m o — mom m m n o
d m m o m d o —m m
m n N CO Jt Jt — m m —
n « d m m m —m m œ
o n m — NO — — d o
—n m m œ n O O N —
C4t- co m n m m ra m ra
N m m —n m o d o o
mo o mmn n m d n
n o N N m m to 04 ro —
Jt N o m N n m d o n
—O © o d N o n m m
N d o o m o m m o o
O N N N o o n n m ©
O O O © N N © mo ©
N N O N
—n © N
© m m ra
mmo o
N N m co co.o d o m o
o N m — jt
O O N ©ON
ONO
d o
o O d d N
« d © n m
o oom©
mn ©o
o n n o o
O o © m o
— o co o o
O n n o m
O N N N œ
n N o mN
m n m —o
n n mN d
d O
NO«
N mo n œ
œo
NOO
m œ —O O N d N
O O N —œ
noo
—m
o m m d
•- o O N N d o m
m —o o © d
— N o o m o o n
m ra
o mO N
©m
o N N m
©o
©mmo
r~ m
n ©o o
N —m o o n m o
N ——d —o N d
m m NON
—m m
© n mmo o d m
o o NON
© m m
N N m m d m n m
© O —© N o © m
ON
jt —
© m
©o
d m
n d
N N
mm
—n
mn
o m
© N
o ra
© n
—m
o d
mn
m — m n o m m jt
— n ra o — o ra d
co — o o « « « CM
o © m n © — m —o m
n n ro d Jt o d n n o
mn o ©m© d n n m
o m
m mm d m o
m d
d n o o
mmn o n mn mn N
o
m
d © ra N m n
o —
—o N d o o N — — œ
ra — o m d — o m o m
ra © d
— co m
co o o
n o o
© N d
m —n
mn O
© N m
o ©d
o d o
n —©
—m
jt
— Jt
Jt
O N Jt — O
N N d —o o —
o o o o —m o
o —N N O O N
O N
o
n
m
m
o
o
n
o
o
ra
m
o
o
m
n
n
d
ra
ra o
n n
d «
—m
d n
o
m
o
m
©
n o mm©
—N « O N
N N N œ m
— d O ra m
m d m cm©
— oo o © m
©n mmn
m
O
n
d
n
d
o
o ra
N —d o
N —© N
mmmm
o ©N N
d d —O
n o O N
O N N JT — « «N
d N — O N N —« m «
d N N N © N m O N N
jt©oonn
OOO
dNdmo
— ooo
— NdONtON
— mo
—d
mOdfOOd
— — od
m — NO — OOOONd
Od — dNcomoNm
NOONNinmradm
mm — oodrorodN
— — Nm
— «N«0«dN
— — ON00©
—N
mo o m d o
o œ ra NON
—m d m m n
>m œ d — m m n ©
J © o 00 d N N — »
i — o o n m jtr-to
> N O oom
o n m
■m n co o o Jt Jt co
• o m n m ra œ m o
■o o o m m n m d
o —d œ œ n o m o m
mo mo d o o o n o
o m Jt o m © O O N N
O N o —m o o d N m
n m —© — o o n o m
o « d O d m O © N N
N N m m o © œ d d o
d m o mN N n mo o
N N m o — O d N N N
ra © m œ — o d N — m
d œ o
n « O
N d m
N N o
m
m
m
m
o
m
m
o
N O
O —
—œ
o m
m m
mo
d m
—«
co r
NOO
d d O m d œ o
d m
—N
d N
d d d
m —d o o
O m © m m
N r*-— o o
m o o n œ
n o d o n o m N
d m m m n m o d
ON o © o o n m
o mmmmn n m
mo n n © N O d
o m n d m m —o
O N m d n n o n
d o o o —o n m
— N o m N N O d
N œ m o ra o — o
—m o o N N O —
— d n m o —m o
co — ra © n m o m
— ra o o m d — m
m m m —d o
— Od
— — NCM
oommoNO©NO
©odmmmdONo
oo©n
— NOdinO
OdONNdNrONO
o — oomodmmN
momoNdmodd
NŒdNOdNdPO
N — dNN
— mdm©
o — rararaoNindin
m n n — oo N ra ra m
m n n n o oo d o o
ONO
ro jt Jt o m o
o mn o n d N d N
mdm
m d d o m •m d ra m— d © « O
mmmN o m
NON
ro — n NOO
«
m m m — — r-. o
o m oo N d — m
d —N ———m
NNNO«N©Nino
odOOdNOom—
—
o
o
o
O
o
d
—
m N N
N N N
—o m
in n —
— œ — mNN — — on
ONdind
— N — Nin
NOcomomNONO
mo — Od — dinNPO
©mmoomNNOd
m O d o —m n m m m
OdNN
— N©m©N
OP0Nin©N
— odm
o o
d œ œ ©
o o o N
co « — o
rOd o m
d N d N
© — d — N d cn © m o
m n — d o m »— o m n
d o n m m « c© « N m
o —N N « m rt- >o Jt Jt
N — o r* o m to o m n
m m N O — t- Jt (O ot—
N N « m « © o «
o mm©o œ mmn n
m o — ra o m n n n o
NOO
ra m m o — ra m
o m © o n ra t—n o o
co r»-n o m — — o œ —
NON
m O N N O CON
ooo
o N « m d n —
04\f) — N — N « n m —
O d o o ra o o n d m
d O o o d — — do ra
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF 7T TO 100,000
POOOOdNNdNN
dmroNocoNo
o d
N — m — ONONPOO
mNNOi-©oo
—m
oom — ©in — oom
ino4to — tocoojt'~Jt
mNmo©mo
——m
moNmœ
— mNom
00 — N — OOO«
©m
ONO
dNddmdmmmo
omrw
— oNNmm
od©
— «NNNino
ONON«dO
OOfONNNmd
«©©dOdN©
a© ooœmNoo©
—
Ndmoooraooo
OOOdfOO-
OdO
dNmo©mo©Nm
©mdNdmocooN
m — mood«
— Jt —
mNoo©oomm«
dooN — mooo
——
Nomm
— m©ood
mm©©N
— Oonn
n o N m n
d m «co d
m d o mo
« jt ra N m
n n o mm
—n d N d
d o o n n
—N d O O œ
m
n
œ
d
n
o
m
œ « n m
ottoto m
« « d ©
m m ——
n —d o
mo n m
mm« d
mm©n
N d —d m m d « o «
PO N N d d
tot- to d m
ra n o m o
mmmN m
— oo o m
mom JttOto — N oo©
« œn m«
co m n « jt
o N d N O
m rot— m ©
d m©o o
mm N o
o m o N d
o d N m o n O N O N
d — — t-Jt — N d N O
o ra o tor-to « œ m —
o « « —— m n m m o
— NNd-ONino
d m m,mNm©mN
—
N N CONNPOO©ON
m m OrONOOOPON
— ONom
n m mod
d©
©no-mmmm
NNmœo
^t—
N
ro roteo Jt to
O N 00
N m o
n œm
o© d
OOOm
NO
OdinNindm
—
— ©o
« m omœmo
m m N — ©dONOd
m m inrainroNooo
o d NmNomodm
d « o©nooono
o o n o md N
OON
t— Jt <Sl t- Jt Jt J- rn 04 O
N « —m d o o o o n
oom
ra ra o m ra n o
o m d m d o —o n o
omo o m n « n m n
mo mn n n —
oom
o œn mn o o d d o
— m m o —œ — m n m
o d —m o o o © © —
© o o d d m oo ra N ro
m n m co œ O N O O N
m o n.. o d m n d m d
-.-tNinœoinodN
m
oo — ONommoo
jt Jt — Neood
— mo
omoN
— m — ood
NOommdcONOO
d — — NcomoNNN
NOomdNmmcom
NOO
— ro 04 — t—
— œo
—© m N
ONmmmmmoNO
— ©«d©o
N©omoo«tnom
dOdOddNmdN
omoo«
— mm — m
dN — ©Nd
— ooo
d©mNO
— doNm
©ONO
— NdPOON
dO©NN
— m©om
— O 04 Jt Jt •Ot—
tO*— 04
o o mo mo o
NCMN n m N O N d o
jTNm
— Nmmom«
œ on d
m©mo
mn ©m
^r— Jt ©mmo
N —« N d o o
NOO
oom©
© N m m n —d
ram© m o n m
O « d d o —o
oom © m n d
n o œ N N m o
o œn mmo n
-OO
— — NONON
-OOOmrONONO
tmommm«Nmœ
iNNN«©mddo
-oo
— o — mm — n
m«
© d
mm
NOO
n m
m
n
m
n
NN
o
m
iNOinomNPONd
-«n«
— — Ndom
30NO
— dNO—
«
ïN©mmm
— ooN
îdmoNmmN©©
mmo N m d m o N
N« n — m d n — m
m o o © © o m —o
© d o m n m —— m
—œ m o © m m—
d —« mn d o n
d
o
m
n
N O N « d © © N
© O — N© O O N O ©
N d n m o d o m © d
o ©o o mN n n O O
NN
oNmNN©od©m
N — ©N©OONPOO
— ooNmmooNN
ONommd
— NOO
oo©mONONin©
NON«m©odmo
— dodmNroNNO
oomNd
— oo©n
OflO — — C0«PON
« — moooomdm
— N
—
©ONNOOdN-O
OONNOONinNin
dNdflOdOONOd
—— N « N ©
m n © NO —
O O ©
Jt<DJt
—« o
©NO
m n 00 N
m©O O
m —© m
œn md
n œo o
ro o c4io
o m mn
o mm©
N N O d œ ©
N N O mmo
o o m ro — o
m n o N n N
o — — ooo
t—œ — « o —
©o o o m—
d o o OON
©ONOOOdN—O
ON««
— «OOOd
NO©œmo
— mœ©
odom
— o — — oo
— oooraooooN
NOOON
— N PO © «
OOOPOdNOtndN
omNON
— N©mo
—
o — — omcON
— Od
N — dOONCOOO
N 00 N CD — N N
O O N N O m N
C0 GO— N N N N
d o œ
o n o
©o o n mo
— oo n © d
d m n o o n
OON
© N N
— — ra o
o ra d o
o mo o
n © m —
o mn m
•o jt o ro Jt jt ro
N m ———m d o
— d œ m n © N N
m n d n tn
NOO
d p0 d — N « © «
mmo
œ © N —m
«
m
œ
©
ra d
n N
mm
—m
Jt a Jt «©«ON
d©omo
—— m — o
mddN
—d « o © N
oommm
— Noood
NoommNoradN
o o «
NNNramroNin
O O jTommoNmra
n m d©NO
— NNPO
m o mmœm©moN
m N coN»modNm
N d oodoœmoo
■ N o — t-t- — Jt tot—
oom — mmoo
oom
to ro ro o4 04 to t«N
« O N d ©
mo o o n œ m
o d o —m o o
mO —N
N O — O
m OON
o N œ —
mm d o
d o d m
jt œ o m
—o m m
O — 0©ON©0©N
NNO
ON©
o o mmn o n
O —— O N N N
m © cmo o o
n ra O N O O
— m m n ra n
N N m o m d
O 00 m o m m
N N n —N o
o œ ©m
n —m o
04 Jt Jt
m©œ««N«d-dO
mN©d©ONmmN
——m
— ©«m«o
o d©
j*N*-N««N©«N
GOmNNONNm«
N N O O N —m
— «Nd
omdNO
— ©omo
momddNmmoN
rOddNoœm
——o
O — — ONPO
— ©NO
œodo
— orao
—«
cMNooomoNmra
N N O d N ra o — n ©
O o ra n — ro o o o o
o m d o ra d d n œ o
ra © m co m m o — N d
d m d d m O O N O O
©NOON
— d OON
d mmo o N O O O —
m © co m n O — O — —
N O —o o o m m m o
o o m d n
d m Nom
m d o n o m N œ o —
œ d O O O N — n m d
mo o
mom
ra o o
— — ONPONO
©mNO
m m NOO
— Nd««m
n«pon
dmN©NC0NO
— œo — jt — o o © o
PONdNNO
oNOd
m n — o co m o n — o
modoomdmmNm
n ut m d » N n dorn
NO©omNomo—
Nom©N©m
— oo
©dmd
— — dorn©
Od«©ONOONd
0©0
— NNNdOCONNO
— ON
Ninm
N O
—«
omr-mo
— dmNo
mmo — omomNo
©ONOomodNm
m — N©mdNmœm
ddmmod©dOO
n —
—©
— «N
——
NNOOdONNmm
— — mmo
omoNmdoco
o*o — m n d m m n d
mœ
— NNdO
« o
NmmroNONo
moN©o
— oj- « d
m o
NNdNmœmN
o o
odom
— omo
—n r
O O N N CO O
—œ j
d m O d N o
—© m —m o
o o
—
«oNm«NNoom
momNd
— «©
mo«««mNomo
ooN
Jt
a
ro
o
m
d
m
«
mo
—m
O N
©o
O N
o o
O N
— m o o —o —
o d m d m mm
o d m mm o d
O O N d * UÎ —
— — jt r- n œ o
o mmo d © d o m
t—ro o o o m m m «*•
Jt Jt © o o d ON d
ro Jt o m m o tO 04TO
N N —© œ o m m m
m d
NOO
N ©
—o
o ©
©
m
m
m
o
o
m
d
©
o — dd m
n mn d o
mn o o o
«N ««ooo
« m cmo o
n ©—N O
o « —m o
o d o d o
o o n ϩ
m « d in n
© d o
o m ©ON
O O NNO
n o co m o
N N N O O O © o o ra
© N d © — N o mmo
N O N N © N O
mmo
m « m o ra n d m o œ
d m dNO
œd m
N N
ra n
m oo o d ©
d ©
n œ orao
d m N d O N o
mm
m m NON
« N rot- d m m
m n m —œ m d
o —oo œ — © d
—© o d
©dm
mn n O N O d
n m m in d — m
m —m o m o n
ra « m ra m o o
n mo o md o
© o « o o —m
O N d — ra — ra
co m o d — o m
mmo o o o o
n © —
« o — oo m © o © n —
o o
o o
mo
d o
n n
mo
o N
N N
—m
mm
o m
n m
n ra
o
—
m
o
d
n
N
o
o
O
00
ra
ra
o
o
o
91
DECIMALS
mo ©o m
m d m © m noon
—
o o o ©o N d © O N
o o o mmd mn mo
m o on — o o — m o
o N m o o d m œ ——
d n ro © o m n o o d
mm
N O
N O
N O
—O
mo
mn
O d
—d
N d
o mo mn
ooo
mn mmn mo o
n o —N N O — O
ra o m — © N
N d ©ooo
O O
o d —n m o O N
N — co o — o O O
© d m N O N N m
o mo mN —
o m ra o N m
oo m — m O N
n- m o « m —
—o
—o
odd«
—N O Œ O © m œ »
œmm
ra m m
n md
o —m
mn o
t— t— Jt
n —»
o mmN —
ra m n N O
m o n NN
o n m 00 N m «
N d d o n ra O O N m
—
o — NO — m d œ ra
o © o — o o o ra d m
m —d m o o o o m N
oo — — m©« — mm
NONNoommm©
OdNNN
——O —O
minmmNNro©oœ
o©o-oom
— odN
NdONOONOOd
momoœmocMom
NdŒNNNNNO©
— NONiONOOO«
œoooooNNNin
d m n m ra m © œ o ©
n mmo mo n mo o
m —o
o co d ra NO©
o — © — mm
OONN
ra n d — N © N d — o
O N — O —m n o — m
m —o d o m
oo«d
« o œ n m — o m ——
n m m — jt ra
NOO«
n © n œ — N — m —n
œ d o m —m m o © —
d — o œ n o o mmo
Jt 04 to ro jt Jt m o m —
m o m n m —m o — —
o ©mn œ mo o m—
n o o o m N N mNO
n n © d —m ——o m
d o o o —o o m d o
O © N N © o —n m œ
m —m d o m œ N O —
jt oí ^ — — ro o © m n
o mmn mo o
o —m n o m n
œ m —o — m m
m n ra n o o d
mmn mo mm
o — n n co m n
o —œ
©m©
o © d
o n m
m —o
n mo
o m N N —o œ n d o
m r^ jt m o d — n m œ
o m o o d —© d o o
o ©o mo o —
œ o —œ o — n
n d o — ooo
n mmN d N N n o œ
—N m
m d o mmoo
m o n m —n o — o m
— ON o m d — oom
mdm ©no — ^ — to
o o d m m o n —o o
o o œ n o —œ d m m
jt jtt- o o — « N 00 N
Jt O N o m « m o N «
N N — o o m —œ © m
— N N —m o « o m m
© N o n d d o
dmd
N « O —o © o o © o
o œ o mmm N N N o
m — o N O o m ra o —
N O m œ o n n
NON
m n CMO O O O
NON
N o n m o —m —d —
mo o o n mmœ mo
n m © o o jt Jt t- t— jt
N O —O N m o m m o
mom© — n o d ra —
o m o d n — ON ON
mmn o n d N O d O
m o n d m N N o —m
ra o n m m N m m d o
o d d n « o o o o m
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
o — m o <o ro t- 04 04 Jt
mNO
o » o N d mo
— — N d — — m ra o o
œ m m — — r*.m— o ©
Nom
OON
O d O © O O N
N —O N d m N
o mmn n
roto d — o
o N N mo
O N N n n
o ©m©N
m m d —m
—n m o N
m n jt — m
—m o d ©
mn mn m
o n n d m
O mmoo
mo œ o o
N m o m d
mmn n O N o d mn
n m o — © o mooo
— t—04 © d © no o o
d o — « m © m —m o
d N N O O N m — t- o
m n o o O — m ra m o
oom — o — m n — —
— O © N N © n ra ra ra
o o m o n — momo
jt t-to 040 r—d © o n
n o m O N N O N d ©
co © m n- d d n m — n
n o mn mmd m o ©
o © o m o m d —o o
œ m —m n n m © o m
n o o m m o « m —o
o o n o m d o o mm
o m ra o m n N « o m
on —m o d « — o m
— jt Jt o co o « m © n
o m d N N Jt 04 CO t— 00
mod
n ra m o m m ©
omo — N o d m — n
o m d d m —o
mod
to to to N d m o m n ©
cor—m o o n n © n o
m o © œ œ m © p»-— m
o « — m d n o —— o
d- — co n o o n © m ra
o o o N n d o mn n
«mm© o o ra n — m
r- cmo co m n — o o d
m œ n m o ra o — œ ra
m o N N N N N O O N
© n — m m co co — cmin
d ra d m ra o
NONO
o m m m — co m — m n
O N n œ o ra n d co N
N —m m o o o O O d
d m N O O — N d —«
o m m o N o d o d —
mn o n mn d œ o d
d d ra — o — m ra n o
mmo o m o d o d o
O N m d m — ra ON —
o d o n o o n mo n
o m o m n oo o OON
N —O O N m d m o —
N m CD O N m d n o n
d d o n© o d •- o o
d d o © m © mn d o
d d —o m O © N d d
n m o m m m o n cm—
« o o o —O N N O ©
d n m o —O O d N N
»woo « — n o o m n —
m « n o o O N O — JT
— m n oom
m o —o
NON
mn n O —O N
co © © m © n mooo
d N N o mm o mœ m
O O d d — m o o —o
o o — n o — mmoo
mNo
NNO
o ra ra o
O404 Jt m o o m o —cm
oom o — — o N N N
m o © d
d O O ooo
o©modoNdON
ON©odoomoo
— roN — dmNNN
—
NN©roNroinomm
NindomroN
— on
Qj^wOM-mroCMO
oo«oomdmNm
— jtJtroiot—04TO<¡ro
OON — mcONOrONro
droin
— ©ONOON
OOd
— NNOjTON
OOONONOON—
NNO©©N©©ON
OOON
CMOO
— rOCOONO
— dNOdO
oddNmoraodra
rao©oomN«mm
NmcodNOdramo
m©Nd©©mrao—
ONNONdmNNN
—
92
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH,
d m ooNNomœo
o m omoNOo»—
m d NOd©
— ©NN
N « ONmcMorOdin
n « ©dNoœoN—
m © ©NNOONON
o « oomNroorod
m
o
n
a
—
o
o
o
o
x
o
ae
u.
— d m — 0©ONON
m n OdNPOOOO©
m o ©m — —mo —n
— dNroo
m — dorn
—©
o m NŒONON
o m POdO©©PONO
o d ooomdONd
o o OOdmoorOd
d o ©ONmmoNN
m « m©dN©oora
—
on mmNGONmo
rara NroNO©omN
m n ©oomdONN
—
— d coNomooo
m — d — — mNONin
m o — mmo — dNN
— o Noooocoomra
©o oomcodraoN
o© oœdraomm©
o o ONNOOOON
— N N — ©OO—
d d
NN
Nomdmo
—m
© O NNPONCONON
©dmNONNNrow
odN
— OON
— mo
ooodmmd
— mo —
jt — ©omP0N©din
omoo©œoomin
©«©o©No©roN
omNO«dm
— dm
mN©dN«©«dd
m n o o m — mom©
o©n
œ«dNO
—nn
md
—o m n
——d n o
04 Jt — r- r-too
©«OmN«NO
dfOdmcoNNd
jt ON
o m
«dPO«PON
— o
— moNNd
— « ON
om«omooN
© N
n d
NddONmN©
o © o © ©N N d —O
O N n m N o n o mo
© N O — 00 O O N — O
m —o m o © m m m —
o n m©—
0 — 000
o o m©n ©o mmm
O O © N N m —o d n
roo « o d m o œ m —
ra ra m m n
©oomm
N O O d © ©© o mo
dooom©
— ro co Jt
om — mooœmmd
ommoraoo
— mo
odmomomm
——
omo©NmN©d©
NomddOomN©
— o — mNOdmoN
rONNOd©Nm«
mNO©NmœmN©
—
© ——© — —n — mo
©00©©ONdON
00 — mmodNN
—
ommNN
— as 04 Jt ro
ro Jt t—04 — do
— ON
ONlONdNOtnoO
— NOoracMomœ©
00OONOOON©
omooo©«©©«
m©«Od
d-N-—
O
O
N
d
ra
—
— — n©n
— «N«
—N
©©OOinrONO«o
Nom — omN — — ©
moooo
—© d « o
o — dN©mo©©o
«©mNmmN©mm
NdNNN
— omoom
Nm«N©N
— — ON
NinodN
— dm — ©
— o — NNdraoœo
©00
— ©N — «NO
d o ONO — n — mo
n m d©©mom—N
CMN o — m — do — m
CM O omoNmNON
m n PONmNO©Nm
•—© mdd
— domm
rON 0©0
— — NOO
m m co — «« — ©00
mo n — m n o d N N
o m omod«o
—n
NOO
N
OdNdOON
POONPOOdONdN
NONOfOdN©
OOœO-rNN-
n
m
o
m
o
n œ — mONNONO
n œ ONindPOOON
dmoNONom
— mo
N N dNmmd
— 00N
—m
m d 00
o m « — O O 000m
00 o o n o o o
©00
000
d o —o —d N
d O O œ d o O N » N
O N N N PO N — OON
00 N O © O d o m m m
N N
t- t- — — © o m n m œ
— O O NO — m m d d
mo © o d œ n d mn
N N N o —m O N N N
o — dNrodro©
OOT-Nmo
—d o o
o m
roNNdONmo
omodmmoN
OOOO
— OdN
co ro Jt co — ©o©
N d
mo
NN Jt rot— OPON
«NN©-dd«
o œ
moomoNNNino
— mN — n — © — do
N©ood©ooom
NinNdNNN
— mm
©mm©dmNONO
drONNON
— orod
Om — N O N d O N N
oodOdmomoo
o o d m m — Nmmm
ONO
— m — moN«
cora©— NOdom
mdNinoOindNm
0©«Ndd«ONN
— mcommoooNN
non
— Nommmo
omNmN©©o
——
NNmNONNO©N
«©m
— N© — ON«
mmmo — —© — nn
oNdmmmoomd
o©mddOomm©
ONONmmdoro©
r»moNNNNOdo
NOdm©NNfO
—m
NOd©
—o n m o ©
mdom
— ©Od
—o
©oo-o©nnoo
©©N©ramom©N
d — nn—
dmood
N©moO
— — OON
o
o
N
m
d
o
mmo d o
—o m ©00
O d d OdN
n
OON
d m o OON
o o m NNO
d O m o m©
co — © o — «
N O © o i^ro
o d oom
N o N d
mmo
mn n
o —©
—o —
d o d
—— ^04
o O © N
Jt ©N «
mo m
Nm«m
—« d o © d
om«©N«ON
—o
©mOOO
— OdNN
roNomoooo
—o
— N — NO
©n— o om n d —
o — — mo — «mm©
no-mo
0000
— mmd©N
JTN — moooN©«
o©nnn
— omoo
NomNNomodd
ooddON©Nmao
— dmooNinmm©
© — Oddo
— — mo
NN©OdNN«ON
000
— dm — — — ©
m — Ndm
— NmNd
O© — 04 TO G t—04 ro 04
OONddNNONO
ddmdm©ONmm
— 00
— m
NO
omœooœraN
Neo — rooNNro
NdONraoom
N d
— ocMmom
— O
mo
n —
o m
OPONONOON
modin
—n —n o —
— ddmN©Nm
mo
o — mmœmmN
d —
—N
— oN©mm©ra
omooœmom
O —
—o
n m
© 00
mo
d d d m o n
OO O O PO o
m m o d o — cmo m ©
m —— m o o o m o m
©N — d m m m © m m
© © N N d d o —d N
m © —m o N m —d o
o —m — m o d d o n
©©d o mn o o mn
N O
— N f^^mNmm-o
n n m m — o m OON
— d O N 0 —0 m n d
— TO Jt Jt — o © t- Jt —
CO tO TO mmo
NONO
m n n © omo Ndm
NOO
d o N
dmd©
mmo©
ONO
m©o
© o — © o — m OON
n o mN mn n n n m
N N N d Jt t- 04 — n m
© N m © n n n —m o
O O N N N N O O —O
O O N N m o d o n m
O O m © ra m n o n co
O N œ o 00 d o ra N N
— N —m m n d o m d
n md N o mo n o N
N ©
mooNONom
0000N0
—œ —o
— N — NtnOOŒNN
n —o n —o m « «
© d m m m © —o d
mo o n o N m©m
oua n d m N m d ©
O N O d N © o m «
N N O N d O m © o
o o o 0 d o d m n
o d N d © © o d o
n o o mn o n o o
m n © — m — mmo©
—n
©ONro
— oOdNin
dO©©modNOd
m — Nm©mNNNPO
t- ao 04 — t-t- — t ro jt
tnorON©«dONd
dNdN©mo©md
n© — o«omo«m
N©NON
— OO
— dNNONmOOO
©N«NdO
——d
mjrmomomo
mo — oommodd
— — co ro t- co Jt
momoNdm©mm
— omoo
— — d©o
o — droN©©ood
roNOomram
— ora
o
co
d
—
00 n © o o m d m o
N dmodaoomd
o —
N lONONm—
ra cm— mNomN— ©NmmmNNm
o mN — mN — Nd
rodO©N
OdNOdOOOdNN
©NNmmmom
o o œ m —© d © o
o m d o N ■o t- co Jt
n o o m d m m —o
o ra © d © d m m o
mn md o o n
ra co n o o m o
d ra m n — — on o
o N o « mO N O O
o m © d o © o © m
JR.
—N
— Nom
mmroNNinommin
o«NNomooNm
d©d©d-no
mNOoNmo©
m —ommom
ommodmmNNO
mdomoodomo
OdmNPOora
ONOONNOONmN
—©
—©
— om
— 00N
Odd
O O © N N 00
—© N m d O m d m—
n mo o
d N o o
m©o œ
©o o d
t- — M1 N N d — N n o
O ©N O O © N N 00
O m m o m m m n —o
oom o m m m —
n n m o m m m O NN
O N N O — m o — OO
OON©
o m d —m —
n « m
N m o o oom
mNO©
d o m mo n
d o « o ©mmN N N
m —d d 0 —0
o —m n ©mm OdN
O N N « n —o O © O
mn m
m — m n 000
n n o — mmo««©
— mooo
N N m©o
n m « m« « d mN —
d © «md«©mm©
O GO0000N
— ood
o m N« — — md — o
N — «m«m«ON—
m — «m«od
— Nd
m « ram«omNom
m go d n m m
m —« N O O
n otro © n o
mo o
OON
N N O —O N N N
o m d o m m d 00
oooNNNmmoo
— oom©odood
NN — dN©©NOO
dorn-mdNm
»dNONNOoroo
©NNtnmNOOON
roNO©ommN©m
—m
©odONmoNdo
dNmNN
— Nd©
—
oomoNN
——m —
ddom
— o — — mm
mo© — m — Ndom
OOWd
— NOOOO
OOdPO©
— ©N — Jt
©mNO
— dNPOdrn
mOd
— ONO
— N©
dNoomoom
o d N o n 00
—©
o © d
— 0©NNON©0©
— ONtOommrONN
jt t—— moomoNo
dOONONON©N
om — Nooco
— mra
Od — mmdNNom
non
— mdN
— Nm
Nd — — »o©
— ©m
ooNOOoodOm
OOONOOdtnN
mmn n n ©m
—
m N JT
O N « N PO N « d m jt
mo o
OO — — mdm
omoo
mmo © m jt
mo n mo d m« o m
N NN N d © m — m n
m 00 n m « n m « co
m © — © jtt—<o N © —
o — m © N — « NNO
O © — N N NN m n ©
m d © —n — d d o m
— ON — — N O N N ©
N N N O O o N m o N
m d © o d r- m n n —
d o m m o »—©omo
O N o m N o o n o o
O N N © N O © d N —
— Nmo
n o « md
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
no
— d©oom
—o m o © o o —
— n©o
o m oomN
ON 000
N d dON
— —o —o
— ro m n —
— o — — d©omoo
o œ NNrONinOdd
moN©N©
o©Odin
—m m o d n N m o d
o d — o m o 00 n m
O N NN N 00000
mmn mo O N O O N
Nm©moooN
o m
—o
o
n
o
m
d co o — oorod
N
o«NNNtnm
—N O
« mm « m
N —
m o in m — mN©Nmooo
— d©mm©o
—m o
n m © « o m CMd N ©
NmoomNmd
— ao
N N o mo o o © o m
O © o © o d —d N ©
« N n m o o JT N — N
m m O N m m — ON CM ONomoooN
O N
00 N © m o « N o m N
0©d©NNOo o
d«ddONrON
œ o d « m n m —m n
N 0
m
m
« N ro t— Jt ro Jt t— t- 04
00
© © n ©mn
ON m m O N a — o —
m n mm — m o © m o
m m — © — mabONO
o o m —m m œ m o n
—N
N N o d mn d o n —
m n OrONNN©
m m m — droomoN
NO m m m o t— CO t— tN — o o GO N d m m 00
NO Om — N — dON
m © d©©NmOON
— Jt — o m o o d m m
roo4 o o o © m o © o
© m NNOmOdN—
o m 00 m — omoo
NO NNmo«NO0
O © md — ©mmom
o d d m n o o © —o
— NO
dNdœoooo©—
o — — NON©
oooNmomNmN
— d NPOorodN«o
moroNNroooram
N — NNinomorao
m — mo©©ONN
—
d — drodomœmN
OdO
— ONNdO©
© d oo©ooooo
doinom
— ponpon
N d o — — n — moN
— corON
ONOOP0OONNP0
d o aoracod
— O d O O — — — ©N
o — roNONd©om
—d o m
o — — Nrod — omo
NN m — 00
COOOOd—
NON
—
N O —n — © o o o N
©Nom
—m d o m
n m m —N
— co — N ©
roto © — o
— 00
N —
—d
— d©
n
«
o
n
n
r*
o
m
o
— O O d N O N
o o
o o
mo
m©
mo
o m
n o
n o
o m
mn
o
o
o
o
o
m©
mm© d N
o —m jt —
—o N n m
© — t—r- co
m m o d o o o 00©
o 04 jt m t-ro t- o n d
o n md m© d d m o
œo o ©mo n
O N d
ram — — — © — OdN
OdPON
— OdPOdro
ONOON
— Noom
d©NOHlNONino
NdNNmmodN—
— — OONNONrom
oodmdNoooNo
Norad
— mora-n
o — mmNNinoinm
mraodNtnNmrao
md
— dmrod
— o©
oNommdöm
omm
— 0000
m
n — ddmœoom
— N
NN
O N COOOON
— OON
© m n — oomodro
n m raomoraNoo
— d — ON©NNmd
N © inNON
— Jt t- 04
d o — N — Od©ON
NdONN
— — OO©
ddromNm©mo©
ommmoN©©mm
ONm
— N-mNN
—o
n — mraomo©©d — NmmNdoœd
dmmmmom
— mo
rONONtnmroNNN
NNmmOONdNN
o©NinNNoomd
o o
ONm
— OON©
OONOmO
—N m n
mO — — ONNN
o d
dONOOOdm
©o
Odromo
—n —N N
dOdmomom
mn
oomNdmoo
mo
mdm — Nmoo
o o
Nmmo
— do — NN
— omraNNdd
© N
— mooramNNm
—
NNNNmoNomd
rodNmroNmorara
odom
— o 00 m jt d
oodN©domoo
NOdinoNOd—
Nm — omoNNNm
—
Jt t—— — ONomo©
C0N©mO©OOON
00 — Nooooœo
NNO — moNrooo
N — Nmmommmo
mmoNdON©dm
omcommdomrao
— omNdoomoo
OOOONNOO—
O — ONdNNOOd
— Nm — ooNommm
m — roN©No©roN
N©NOdOd©od
d
CALCULATION OF 7T TO 100,000
_ — t- o N d o d mN
O —O O « mn n n ©
o « © m m m m NOd
m« o n o m« mn «
d « o N d m o —o ©
d — N « — co © m o ©
d © o m d « m t- — m
— o d — co ro t—m d n
o « mo o mmo n d
— m d ra — — N n « —
m© o n n — d d n
d m m —©««omo
— O d o m n d —d
d m o m o —d m o
ONm œ o o o d o
o « m—œ
—N N O
« N N d m —n n œ
o mN N m O d N O
m
o
n
o
N
m
N
d
n
ONN©
— O — NOO
om©
— mmoo©N
cocMf
© —d d © o m
NOdmdNœoOd
ro — t-JtJtocoo-Jtr—
mom — «œ — m — n
m — œomommœ
—
o m
n
m o —
n o m
mœ o
■— N » n m m d —
tmmo d —N o œ
r« m m n o N m o
n o — « d m m NO«
m n o N d O © o Jt ro
n œ n mo mn d o m
d o « © n mmœ o m
© n — d —n m — œ m
o o o o o o — ramo
mo n mmn « d o o
n œ d o NON
mmo
N m© md mm œo n
mo — o o d œ r- jt o
dNNmoo
— ooo
rodo
— moNNtno
t—— od©oraœoN
—m —O N © N © N
ON©
t- O — Jt O* —
© o œ m o —o o d
t—ro co m m — m n m
ONN
—© n o d o
00 d N — t- 04t- O d
m n m — —m — o o
N m d N o d N © N
ro — o — o n N m m
n m o ra N — N o o
œoo
m©n o mm
ooo
m —o d d o
d o ©mo o
dm©
— © N o o o o —o
o © œ m —o o — N
t—cot- m n n o ONO
N mmO N O d N N
NOO
N — N d ©dm
omo m n o o ooo
m © © tO^tOtOON
CO tO Jt — t— 04— tO d o
04 O* — TO t- t- Jt CO o m
©N-m
oœraorammo
m — ©om
o N
nn — momodN
—
«ooom — ooo««
dmœm«N
— ©« —
«moN
— t- Jt -ot- Jt
mN — ©n — ON©m
ddooodmo
o o
NNmoNcomco
d —
— n nn jt t—m — N O
NNiOPOdO
— N m œ
oo — omm — m n d
t— 04 04 T- 04 Jt — Jt d m
—©
NdOddNN©
mn
OON«
m — mooodm
— Nd«dN«NoO
mOdO©dN«ON
momo«NONN©
©Nm — «m«
— on
m — NinmNmNON
NOO — ONm«o
—
mN
— NNNNOdO
d©mo
— n — oroN
N — PO©OONPONN
Nroo — © o © o œ —
© O O d N n o m o o
d m n o —© o © m —
o m d m n © m —m n
m d o m o œ d o m ©
m d o o © © o —m ©
ON —— N o o on —
OON
N —O O N O N
— m m o m O — N t- Jt
m d mn o mn d o o
ro O CMO — N N o m o
NdO©rONNN
roNommoNo
o m
— nn
ON
O O
œ —
mmoONONOd
KiNNONOOro
m—
«dNom«mm
dmNmoNN«
—d
oNN©ONom
moNON»rONON
dmmmm
— ddo
— ONNCOmNNNN
NNN — mmoNtoo
œoo
—
—— d m n o n
NinOPONOONOO
m — mooN
— NfOO
n — oroomNNwm
— œommN©
— no
oœommoN©Nd
n mn n o o n
N O — O © —o
N — O O © d m
œ m œ m n —O
o mn n o md
O N O O N mn
N O — — 00 n m
d —o d m o «
o mmm« d o
o mmn « mo
œ
d
m
O
m
m
n
o
m
o
O
o
o
m
o
©
o
d
©
m
o
—o m
d m «
œ —o
— dorn
——o d « d
dNmoNdOomm
NN
— © N N O PO O —
ONcommdmoNin
incoNmomomcoo
dooomNcoo
0©NNiOONN«d
omrooo-N«dd
oomm
— NNro
domNinNinN«o
NinoraroNCOd
moN
— NNoin
mmoooddd
odNNmomN
omooNo«o
——
—o
—o
d m
o N
N —
N N
ONOO
—O « O — œ
«m — © © O N N o «
m©Nmo
—— œ — d
© — omoN©N
ON
o — NomNm^
m d
ra —d m o o — n o m
N O o —m m « o « d
m m NOO
d © © N N
N N o m m mmo n m
o m© « mn n « mo
« œ mom © m m n «
n m m o d n —d m o
© m co iO ro d o n o o
m œ m m n Jt >Ti 04t— TO
« © o m m —o o « d
m n OdŒNNOdd
© © moNPONinom
N N m — ©NN«©N
— N NOO«0«Nin
— O oœ — m« — no
O « NN — N«ONd
— o jt — on — Nom
—o —
— o m©iON©
m œ ON«NNOd«
O N m«o©mooo
n m d
©o ©
o N o
d o d
—o o
N O ra
ON «
N O N
d o o
o œ mo
—m o m
mo o m
m d N d
m t- (O Jt
n — t- 04
o d d o
CO « m o
m d —m
o o
ra o
o d œ
m o N
Jt
COm
— Nm©
—«
— OPOd
— NPO««0
— m»— NNCO — CON —
«m«NNNOOON
— O CM© o m «
N o n m o d o o
m d m o o m —m O N
O ONO
O N o m CM—
n m m o o —o d m o
n o mo O N N —d m
CMO CM— O o o o o N
m ra m m d O N N N o
o o o « o m CO N d N
m d ra m ra- m d — d
Nm o œ ro— N d n œ
mo o —N N d m
mNO
o n o mo
OdN
—d d o m
n mo n œ
NOO
— N N m o o —m
O —N m o o o o N —
mNO d n o m © © ©
N —O m m o © d d o
d o n o m —m
NOO
d — —© N d O —m o
o O O d N o N N N d
d o © o— d — OON
m m o © o —o d m o
d O O N N O d d m ©
d- o m © N- N jt m n n
N — — N O d o œ m ra
— n o o —o
—o © o © ©
o o o o mn
—n O d O d
— — O © o o d NNO
o m m n moo
n ©o
n œ N N — TO04 o © d
n oœ o m — n d o ©
moo
d NO©
O N N
n —o © NON © O O
o md mN O —d O O
n m o m d o —o m d
ONO
© d N m —o o
n o mo md o O —N
mom N m o d o m m
m n n © m m —o © d
NNN
©o œ o n mo
mmmo d o o mmn
o n —o o o n m n o
— N o m —o o
OON
moo N O o o m ra o
d m m N O o ra o n o
© m Jt m m m m — n m
mm d
œo d
mmo
int— Jt
o
o
m
m
ONO
— Ndroo
—
dNNOomœmd©
— NP0Nmm©N
—n
NN — — N©©oom
©NmommmdON
ommdO—Nddo
mroddmoomoo
o — dOooNomœo
mm — mN — OONO
n m O N N O ¿r m N
roto n o m o © o m
m —n m m m m o o
d m m n md n ©œ
N N ©NNO
o —d
o o
O
o
o
d N
N O
mo o
mo ©
oo
N
—
m
n
o
O © — m —œ o
mn m—d œ ©
—m o ONmo
d m —o m m o
d d m o d mo
— NON
— ©N©
momropnroN
— no
m n m m m n —m —m
— mOOCONdCONN
oraom
— Nooraoo
— moramoeodcoN
NONommmmœo
— dm
— oNo
— 04 Jt
dONNin
—m o d —
N — œ©N©o
— œo
— œ — omNco
— ©n
m©mNN
— rONNO
Ndm
——N N O N —
ONdONO
— oœo
n m raraoooNOd
o o — ddNOOOO
© o rOt'04Jt.t04JtJt
O N — NNNNOOO
d m mdmomoom
o o mNmino©rOd
m n mdmom©dm
œ — ©O©OOP0NO
o o OdOOdindN
cm— mmoom
— no
mn
jt — mNoodN
dOdmoNNm
oommooNN
OtnONffiN©
—
mmooN©©m
n — doom
—m
dOONOOOO
mmNOmom©
O N
CDN
n ©
o d
mo
mo
o o © o m o d ra
m m o d © m m o —o
o o o — o o o ra o ra
N N o o m — OONO
n mn md md o N N
N O Nm N © m N N o
m m œ o O — JtCOjtJt
mn m d O o o o d o
o o n o o o N N O O
o m md o o ao Jt mro
n d © © — o o NOO
mmo mo mn —
mn n d ©m o mo n
N N o n o o N n m m
O d n — m —— — — o
m n o o ooo
N d o
o o n m —d n m o n
œ n mo mmn o mn
d — m —œ o d n m —
m o o n o —n n m m
œ n t-r-as jt o m d n
mo n ©mn md o m
o o TOiA Jt in ra o d o
m m © d o m m ra m o
o m m m m n t—t—— —
d N n o © m n o n ra
— m — o o —n m m d
NO © N Jt 04t0 —
m jtt-fo œ —m
m n m o cm— m co
m m oramNNdcoo
— m OOmNONONd
œ m NNNOOOO—
«©«—mmo©
d-0©d
— — OO
—o N © d O O d
O N
œo«tnNdmm
©N©«m
— NO
o — moN«
—d
mmm — — no —
NNONmm
—m
œ«nm
— dN«
— NOOdPOON
— ro t- t—o d
NcorON
m — orocoracoN
N — NtON
— OO
OOPOPONrONN
mNO
on
— odmo
— omœ
C0m©NNddN
mo
—m
n o
—«
—n « —
N d
N N
oorooooNO
ommooomN
mo
o — rodONrnodO
ONrooorod«NO
ooœmNOdONm
dtno©m©ONOd
— t— T—— — NON©N
m — oœ
mmNPONOooino
mod
— d©NinmN
NinoNomodON
— mmoomcoNON
roNN
— omoN
— ©OOOOrONNN
OOOOOd©NdN
mm©dNONON—
—N
omoomod©o—
mmmd — mmmo
oo©omNdP0dN
œmdœomNONd
— ONOOdOO
N — o — — omoom
m — momm
œo©Nm-ooNm
—
— orao
ora — oradONONflom — ooo
—m —
omoo
— mdNmm
04 ro — OOm
— SCOT
— Nmo
mmNin
— rodNdin
rammmdcDNOON
— mNm©o
NomoN
— moNO
rodrom
— OdinNd
d n oooNinmd
—
œmN
Jt jt ro
o N on
o m œmmdmœœd
ON dmoNOoeoN
m n o — ONm — © —
N — Ninm — omoN
O N Nomm
—o —o
N O t- 0>i 04 t- O Jt 04 ^
— N o œ o o n © —o
d —m n
cmm — O
o m © d
O n o d
—m d ©
cmo o œ
m
©
n
n
o
o
m
d
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
©
m
©
n
©
o
o
m
o Jt
N O
o N
d m
œ d
—m
o o
n m
—n
©n
Jt co — —
O O N d
O O O ©
m
o
m
«
o
n
co o© O O N N m
ONm d — o m o
N © N mo mmm
m n N N d —m — o o
N O Jt Jt ro o o o m n
o o oom
m Nm om
o o ONN
o n mmn
œ o 04t-<0 o © o N N
o © o m —N O — N O
o — NN O m m — o n
— o O — ONONm©
N — d — ONONom
n m — — — mommo
n m omoœmNd-
œ n dNmomœNO
m n O — NONOOin
m n omomoinrON
— m NOONOœCOd
m d ON©000©0
d — t- — t— Jt 04040
ra d
n o
o n
—o
d o
d ©
m
—
n
d
n
m
o d œ N
—
©omm©œoo©©
O — dd©0©NNO
roroo*-04
— jt^omtnooo©oooo©
©dO©ON©OON
— m — — Nm — mœo
Nmo
—©o — NO©
NONNOmrodOo
OONON
— NO©d
ddOdNOOOoo
mmomomoœoN
NNrONm
drOdON
— omoo
— omoo
ooommroNoom
— o — oo©noon
œooNOtnNmoN
moOÔONNON©
*-JtJttDJtJtiOtOO^
NdN«N©momN
©NOdomodom
— — md«
mmm
— ONd
— N«ON
— md
— Nm«
— — OONO
ommooommm©
o©œpoNmmmod
m© — o — ooo
NNOdC0O©©©m
—d
©NNmoœmoœo
doodo
— omd
O — ONddNONN
—
podoooo
—o —m
ONmmNoo
—o —
omomdmNoœm
oo — — o jt m œ o o
moNd©©o-do
dOtn©mNP0o©o
œoooocooNNm
mmraraodONNo
m m n — do — ONm
ooNooNodom
—
— oodinœmoddo
mooooNo
— NN
PONNONdCO
— ora
— — no — odroinro
oNddmoNdN—
Od
— OONCONOO
ooNommoinrod
oom- coNcoinNinm
ra — NmmoNdmm
NONUtO
——N — d
CO 004T-
NommN©
— m«N
no — ©Nminoœm
«o©n
— omm«m
— n©oo
— dNino
Ndoo
— dmmoo
jrmN — d m o © n ©
rONNONmrodrom
— odo
mNN©OdN«om
NOdomom©dN
NGO-œoo
— NN —
mm — ONmo
— do
m
N
« d
moœooomdo-
OO
NOO©ommN©m
œ
o
d
t- Jt — N m PO O N d N
oo
o o m n o m ra
Jt
O —
ONOcomoomraœ
©ooONroNinod
©œm — on© — t- ro
mooNPO
— m — o©
— — t-
d
o
n
—
—
n
o
m
o
93
DECIMALS
p- O ON
04 a
d o o o
NN ON—
d
© N O N PO d m m d m
—o o
o —©
m © d
n mo
o n o
d
o
d
m
d
œ
o
o
o
o
—d m n
m — NOO
o d O O
o d n o
N n —m
—
O
m
—
o o n œ o m O NC0 N
N
O
00
O
o o œ m —n
Nmo © o — © o
d O O n o m d m
tO—04 m o o m o
N GO d o n m — d m o
m o d o o —N N o d
N Jtro N o n m d — o
— N — n n© m — m n
d o œ N O N —O o m
o m ra © œ o n m m m
d o m N o mo
ONN
Nmraodoomoo
NOdNKlN
No©dm
— NNm
— mom
NNNOmNdOOO
—
mmmNddN
— ©o
NdONdmœmom
— ©©NOdinom
—
ONd©dm
—d © o
Ndoo
NON
— mommro
— OONrOOd
94
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
dNmmdoooNPO
ONPomopOd
NOdrodOOONd
d©o©OdNNNu-t
dNmoo
OddNmON
— oo
— ommo
— 04 Jt
jt 04 04 Jt iO — — mom
Ncoo — m — mNoo
GONmNomoNOd
dooeoNmoNmom
mmo o o o m
moo
o co N ONm co m © o
o m œ ONm momo
— m m co t—to — t—otro
to Jt t— n
CON — m
o mN N N N
on Jt CO t- 04
o o ra o o m d
d o o mn o o
»ON
cmn m —
co d — ONN
oom © © N m — © œ
CO — O
oNPomoom
— om
N©m©««
— mdm
jt — Nooomo««
OONON—
— NdOO
N«
— NNinNiOdO
©NO
— — lOdNON
NOOONONNOm
oroNin
— omdom
NmoNN
—m ——o
nn-mooNorao
o d œ —d o œ n o o
m © o n o o N N ON
N © O N N © O N N N
o ©o mn O d
NOO
OOO
d N — O O —m
mn mO N O O O mm
ra o d o ra o m
©NO
N m n m ra m o m n m
d œ o o —m o o n o
mmm œ œ o n m o œ
o n m N d o N Nom
o md o œ o o o m©
o m © o o n o — oo
o —o n m d o O N d
œ n mœ n o n o m—
o m m — m o m omo
oo —— o o © o —o
d d d n o o o N N —
n — o m d — o Jt mro
— n d d © m — ONO
n o m N N o —m —o
O d OO Jtt- o o o —
m n — o o o N m ra ©
m n d d md
NON©
o d m m m d — d jt o
OOO
— m d © n mn
© © © t— — d N CMO N
N n mo m©o o mo
o m N N o — m m ra d
©moo
ONN
o d ©
d d m
mn n
odd
n o o o mN
O O N N ooo
m —o m — o —
co o — m 04 00 04
m© o o d m —
o dm d Odd
m o — —mNO
n mn
oom
d o n o d —n
Jt 04 Jt n o m m m co o
n n m o o — N moo
d « co d md o d © o
o m t—r- o m m m m o
dm o o N O O O m —
m — m o — 00 O — o o
m o o —O —o d © o
m n oo N © m m o o
o N œ d N N O O mn
o d o o N O © O oo
o m m o NO Nd NN
o m o — d « mo N O
o — m©dN
— omo
n — NNœdrn
— ©m
— m©o — m — Noo
mmooNd©moN
mmo»©omo
—d
o««««dOdmo
« — ooNmm©d
—
ta Jt — d n — — d n m
orodd
— Nmmmo
ommdNddmNo
ooooddmram—
— o œ d mom Nmo
jt*- n m m d ra m m n
— m © o © n « «NO
o © ra ra N © O — — N
N 00 «
N — — o ONO
m » o m 00 — N n oo ro
n — co m «mm 00 N d
o m t—ro t—œ m m
d m n n m NON
ra « © o o n « m
mNm«oram«m«
omN — coomN«o
mmmN««
— t—— m
codNdcodO
— r- ro
— ooN — œo«mmN
mNooN
— mmmN
«©«ON«inONO
ONOmOdNOOO
tn«tn«©ONinm«
omooNO«orao
m d o n mo n o mn
n o — co n m — — o o
m o ra o o d ra o d N
—o —N —œ d « o m
cmm o o m n d o n ra
m o o n m n o m o ra
t- 04 — — — m o « m «
O N O O o o o ra m n
to ao — m d N o o m —
œ o o o d œ d N o o
n © N m N O « Nom
« « N o « m N NC0 O
o o m o — — m 04 — Jt
N m CMO — O — — m «
« mmn © d mo o ©
n m n o O d o Jt Jt O
N — Jt t- C4TO — m — o
O « m d o m —o o «
O N o m d n o mom
N O O O O N O o d «
ON©NNN©ONO
droroNON
— noo
ONON©
— ONN
—
omd
— inNoœoo
oramommod««
O©«NONNmp0N
ONmNN©odd—
O — ONm
— NO
mOOONNOON—
— oomm
— do
—o
—d
n n — ra — o n m m o
cmo o o o n d © m m
ONONN—n—o—
n d d mn n « mm©
«nramdnoomn
N « N 00 — N — 00 N N
mooN
— OdOdd
— o — d o m o ro o n
oomoomoN—n
omdOdoooo
—d
ra n o N — N m n d —
— n « m o o o — O 00
« o d o n ra n m — —
— d d o —n m o n o
d — m « o n ra o n o
m ra n o m m m o m m
m ra o d n o o n n m
«omo
o ra m o n d
O — N O 04tOt—tOt—jt
o o o o ra d m o m ra
o d m©Nmoradœ
N m ooodindom
m m NNNNO
— mo
n m — mmNONON
n — mNddNodN
—
d O co — dONinm
o — NdNOONdN
N O — ©romoro
—n
O N odom
— nodo
N O mm«mNNdo
modNdoo
—— o
Nomm«mo
— dm
«oomNmmmd«
o — ONfONinO
—o
N©d©©0
— NNin
o©omo«roNinin
«NNN
— omm — n
ONNdmmo
——d
mNmoooom
—«
ON©o©OdNdd
ddNoN©mmoo
— omm©m
©NinN
— «mmom
ooNtn
d©mN©N
— ©md
d«mmdm©dON
NdNNNOOOd—
ro ott— — on «n mN
— —m — d m o © m n
«oNmmdddNO
doœ»-om
— ©mo
— om — ©ponooo
—n n o m m n o o o
doooNm—oom
n « n n « o « « mm
«o—©—mmmN«
N « N © © O O tn O N
o « — o cmo m » o m
tot- — ©ddmo
—o
nn—ooonno©
NNOdOOONdm
mo ©m
n — o ©NO
m d o o © o — do m
d N N OON
n œ N N
n mm© N —o m©n
moo
— 04 Jt OONO
n ©mmn d o o mo
o d — ONm _ _ r*-o
o d m o —© o N d d
— —m mom d d m m
d o m 04CDt— m o N m
mm©©
— odNmo
— Nommmddo
—
— NoœcoN
— Nmo
m — moooNNooN
04 t— — NONOOOO
omom
— — m — om
moomraomdora
ooomoooNO—
dmoommomdo
inommmNomN©
œ n odONONmm
m o JT — NOONPON
d m m — mmmmoo
04 Jt — oomNino©
moomNNm
— no
d o d N
ommomoNinNo
©NNdin
NrONN©©
mmraooo
om
— om
—n
— CO Jt Jt
— Nmo
— n n Jt Jt t—ro o
Jt Jt — NOOOONO
ora — raoooooo
o — orad
— Nom
—
N O —O O N o m O N
in jt m o œ
OdN
N.N
n œ mn o
t- ^ Jt Jt \n o n o © o
m —m n d n n m m —
m d o ra Jt — o o m n
©mm©o « © d n m
n o mmn ©mmmo
mo o n mo ©©m«
o ONm N d m m m d
o n —m « m o ——»
— — n © omoo
o —o o m o n n — o
d o m d mmoo
o m
o m o n n n d o —o
d d o n o mN N m n
ONmo
m o —n © N
m m d n — ONO
d N
d o N N o n m —O N
— d mN m n m n n m
CMO — 00 O
o o on — — o — mo
o — — N-OOdOOO
— o NœONdONN
o d N©NNON©m
œ — dNino
— ©Nm
© — oo©©dO©—
O N roN — mdNdN
o o
o n
o d
mn
mo
o o
o
m
o
d
m
m
œ
o
m o m — omm
o —o o o m m n
m n « n m o —o
—m « —— ooo
m m n m m — oo o
—m —« n N O —
m
ra
n
o
d
d
o
«
o mo n
d —o o
o o mn
m m d NON
« o — dNO
md o mo n
d o o — rao
omm NOd
m © n n m ra
d o m o ra n
Nom
o d m
n o m o o © m o « ra
ONON
m ra m « lO d
o o o m m n ra « « m
o ra m m O — d mdm
O — O N n m d oom
—m o © © m © NON
on — — oinmrn
roNrONO
— «o o ©
— OONincONdO
œ m
©NOPOdONCO
o ©
—N O O © O N N d N
d®N
— mNOd
mo
— m« — m — Nd m —
— NNOiONN
—n m
doood©om
n m
oNNdmod-«
mo
ro
tro
mn «
o « m—
N N —N N « d m n «
N N d © N m m « m«
N in N N — © n o o ra
© o — tOOttO cm— o o
mm© o o m n
NON
« « O O d —m n o N
N dO « © m t— — TO 04
©mm «ramo
NNN
—mm moo
T-tOJtifí
—m « o m — m —n o
d o — dm N d
r- — d — m m m
d « « © « d m
m ——m « o m
m d n n mo o
m « jt Jtt- o m
d m mn o O N
m d OON
mo
o o —m n — m
mom ©ONN
mNO
m d © n
—m o m d d n
m —©
n N m
m ra o
m —o
mo n
mo m
n œ m
—O O
mo o
— oo m
ooo
—d o
mmo
©Odd
o o œ
© N N NOO©
o mn
— « d omm — d o m
NOO
o n o m ooo
O © © d d d o
ooo
— omm
O O d o d d m
OOONrOO
— NPON
©oopooponnn
— OON
—
NooodNomom
o«d
— ONdm©m
d © — N d o m n —d
o d O N d n n œ o d
n mo d O N d —N O
o —m o m o
d o
o ©
—Nmmmo
m« o
mmn
md «
>d o d « «
rN o m d m
o Jt
i d d
mmn
o mn
o —o
mmo
mn o
N m —m m m œ o —d
© m — Jt 04 Jt Jt Jt 04 O
© n mœ œ mmmm—
d NN m m « o d n —
mmo n m — o d m n
OON
o « n o m —o
n « m©mn —
JttOtN © d m m o m © —n
mNO
« d o o « d n
NOO
o m« mo « «
n m n « d N d —o m
d o ra d n m © © o ©
ONO
« m CO « « N N
O — N N © o —n —m
— — t- — o m o n m œ
o O o d © n « o « d
m œ ra o o o o o n ra
JtCOtd O ro m d « —
N « — © d mmmn n
o mn
O —O N O
N N
N —
O Jt
N —
— O
O ©
o © d o o ro — tn
OONON
Nmo
o m — — o t—roto
O O O N O TO Jt04
N m d o n ooo
— m o n d Nmo
o d © m o NNN
N © O —N ——©
m d o o © O ——
©m
© — O O N © O ©NO
© m ooœNOddO
o © o — orONmoN
o m NNOOdNN—
o o NNNOO
—m —
rot- doo
— om©o
eo N t- 04 t—t- ao t-t— —
— N om©NNm©d
N N ddmo
— minm
— N ONO
— d — ON
N N NoooraoN—
NOdN
— — 03N
— dinmd
CONGO — — NmNOd
ONN©NNiOOO©
OOONONd
— ©©
d o © ra o o o d — ra
dNO
d n o m o —d
— Nm — ra n o o o ra
omd
o n n mo
o — ra m o o n n
non
mn o ©©
œn n o n n n m
04Jt — o d — — o
m m n n —m d m
ONN
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
d m
o m
o ra
—N
d m
—m
o mn o ©n —
— NdN©
— «m«©©om
m©d«moNoœ—
oin««oorOd«d
dmood
— ©m©©
T—04TOT—— corOjtJtro
m
o
n
©
n o o d
m© O O
— ©mm
m d —o m
© © n mn
n m mmo
o—o« n m d
—o «
N
O
N
O
m
m
m
o
d
m
N ON«
o m m —d
— mmoo
— n ra n o
m o « o ra
mmom©
md o mm
o m« « n
— ©mmo
n « n œ m
N — — CM— n m o N
O O N n m —N d o
© m o N © N O © N
d N d d d n N « m
© o m o o o © —o
m o —« « d « m «
mo mN —n d n m
œ —o m « n d o d
— o ra m N oom«
d o ra « o — d « N
m o o o © ©©NO
d©mddPONN
—N
«NOdmœmoNro
—o d o d m —o —«
om — oo
— — — mo
OOONON©ONN
mo©ONdmdoo
NPONN
— dPOOdO
O©©ONP0P0d©N
ONO
— NN
— NON
N©inmoroN©roin
inOPO©NNNPONN
d«P0Nd«o««m
OPON
ONin«o
— N PO O N d O
— ONom
m — rot-^jttojtoro
OOdd©dOd
n«
— m — o©oœ«
n —
NNNfOONNin«
—
ONm
—d © O N N N
jT o — Nm«©«©
m©o m©o d
« o d « © jt «
oo © N N « n
m m tO N N d m
m« o d « d n
© o « « —d o
N d o m« d d
Jt N « œ n o œ
m m ooo
m «
o m » © —m N
Nm
— ONmm
t-t-04t0-tOjtJt
—
d —N
jt o œ
n d m
n
o
n
m
«©«
—«
N N
o m
o m
n « m
©mm
N N o
— Nd
©mNOmomœmd
— n — o©modmo
— ro
— m — mN«N
NO«raN00G0d
om — — mo«o«N
omodraNdN—
dNrOOOPO
— «
m
— CD jt t-
omom
— — oodo
n o — N — Jt Jt o o o
ooo
© d m o o o —
04O Jt o n o N d © ©
©n mn ©n md mœ
o « o
d « «
omd
o —©
N N N d N o d
d —m o —N d
d © o m o N O
o o n mo —O
— co o
n œ © momo
« —m m o n — o — m
— ON©mo
—O
N««oodmmomN
oNo©in©
— om —
©N©om
—d o © —
N«00©d©NO—
N«©o
— oo«md
— NdfOin
dNOmN
no
N
dNomo©
— mNO
moNdo©raoodm
inNora
— mNNOo
indooroNro
— — t—
mdmod©om©—
©dom©m
om — dd — no — o
oooNN — oooomra
— ra«NoocoNdm
©ONomoomoo
— ©orONO
—d
—N
n m — dmomNdO
o N m — romcodON
d o m — N PO O N N N
N — oomoNomo
N
O
O
O
O o©ooo
— oo
N oo — pon
— mo
N o n ra n — moo
N droraooN©N
m d o co ro ro Jt
m o d
—m d
o —œ
n o N
o n —m
n m —m o n
© N ON©
o
o
O O Nmo
mo d o mo
© d o m © t
mo o mn œ
o o ©mm d
d o NOO
m
d
N
o
N
n mo o
tn Jt ao Jt
o n o o
n d mm
md d mo
95
CALCULATIONOF X TO 100,000 DECIMALS
m n d « d ooo««
ra d — o N O O « o d
m « d —n m « m m ©
n m « o —n N o d ©
o m m oo N d o « m
o © — © N ©oom«
cmo m © œ t—to r—t-Tn d « o N « m —m —
— jt t— — Jt — œ o m o
— N d — « tot- — d «
m o —m d « N — n «
oo n o N d o mom
d m N « o © œ dNO
n m N O o m — NNN
N © mo © « N N « ©
d « o m ooo
« d O
—« o
N « m o ONN
m n o œo m d o
d o —d n m
œ o m OdN
o — — m — ONOmo
« d
« m
m N
COONOON—
©ON©Nmd
mrONNininNOd«
O©
— dO
nn — ©momdoo
nnngonnonm
©mm«mm
— nnpo
o©domomood
Nin»«in©m
dN
———
—œ —o o d d —
m © m n œ —o
o d o N œ © n
o n d d jt Jttn n © m tO Jt to
© o © — NNN
O © N N mmn
d — n m jt r—td © © o O d —
m — n © — ON
ooo
— JT N
CO — O
o ©m
—© o
O d «
d ra N
oom
n mm
d N O N N d O Nmo
mr
N m d o o ——
N m d n œ n m
— d
—N
œ o jt jt — « m
co o
N co o ra m o n
O d
O m ——d o —
o —m o o œ N d N N
d —œ m O d — O —«
— O ra o m d d — n «
—N
œ m m n ra d
N d N N N n o n n —
N
00
œ
N
N
œn mn
o —© N
ra — d o
n mo ©
N O ©o
N m o o
o mmn
n œ ©«
— N
mom m o n
©n md m n
OdN
N d N
n « m N ——
© m œ moo
or- Jt N m n
« N N o N d
n o —d o m
©©
d — o dm©
o m n d oom
o « —
NOCONN
— «ONd
o — mœ«
— NN«d
mo
— — — dPONPOO
dm
— «dooo««o
Nd«o
— NOdinin
ramN — «m«m»d
omoNNdOONd
NONCONOOOmd
— O — NNPOPO
oraœmm
d d
— NO
— onpo»
o d o t— ^ t-
—o
©œ o © d ©
mm
d n m © —m
© N N
m n o — oom
m m m co mm© © o d
—N N
N N o N ooo
m n m o d m m ON«
o N o d m o — jt œ n
m n m o — — o mNO
o o m — © © N — ^t« m m n n m ro — ra m
N O PO N d co O d N —
—O O o n m N O o m
« © © © O —O N o N
•otor—jt m o d o d o
m n n m © o —© n m
o — o m d m © m ra m
— o « œ d O N o ra o
o ra o o O O N N o m
m o n o o o © —o m
mNroNdmoomoo
mmcoNN
—n ——o
Od — Ncoomdo
—
NNmNdO
— in n m
ONOONd
— ©om
ONONoom©mN
mNcoœmoommo
ONONdPO
— O — 0©N
— ONO
— Jt — O
— ©mmoo
— NNN
m —œ œ m œ
o « m omm
—N «
ON«
dOdN
— Nm
— NNNOdONOm
mNONNNNŒOm
o ra co ooo
Odd
n m © o m — oo m o —
o m Nmo NNO
m m n œ — —m o
o œ ra o o o n ro
o m — m m m oo o o —
ra o n m m o — © m o
ra o ra n o n co m n n
d d o m N d N jt — ro
— d d n N — N ooo
N d N N o — o d CON
— O ra © mom
jt o m
— NO
— O œ m ONO
N d n m oom
— Jt CD
n
—
N O
mom m o N
ra n m d O N o m ra o
© N n o o N
o © N — m ra o m
n ro m o o o ©mom
O Jt œ — o m m n d o
Jt o m m n m d n © o
mo d œ n o o n o o
N d d O œ d o m o d
n n m©
o o
o o o d o m cmo o o
o © n — Nom
mNO
n m — o jt — ^ m d d
© œ m m Nom
m m©
o — n o ONN
moo
O N O O ooo
NOO
mmm© OON
m d o
© — mm m © m m m d
— NON
o n —
dNO
m n m jt © o o 00 Jt tmn m© o œ d N O O
— — omodNdPom
N N
m N
OO
© m
—m o m
N N n d
Nmo
NNN
—o
o m —o d
NOO
n m m oom
m — o oom
— NO m ra
n m
ONN
mo d n m
rO in m ra d
ONN
— NO
Jt
Jt
—
d o œ
o o d © m
o
œ n mm
—n m m
m . ■ co
m m o —o
n O NN N
m o o —m
o © © —d
m — m d oo o
PONNOin
o — m©œ©o
dN — omo
dNONN
— m©
— ©NlON
— md
— om©
— dNom
dmONOjT©ONO
mm — ©ddinoœd
mooomoooNin
oramoraoraoNm
mraoroooo
— on
oooommod-o«
do — dm — raooo
G0OONNON««N
o — moom
— ooo
— moraocomra
——
inNOd
— Noorad
minNcoN
— omd
—
OOOOONONPON
«mNm«dNN
—n
droNo
— Ninomo
dinNoroNommo
Nodo«m
— — NGO
«« — NmoNood
dOOOONN
— NO
oooraNNdNdm
No«mNinroNd
—
pON©NNm
— omo
o o d d o co o o n m
d © « dNO
— ora —
— cm— ra m n d N N N
— d O moo
N o » m
oom orao momo
d m n cm d — d — o N
ooo
oom — o m ©
d o o d d m n mo m
— ora — m — © — ON
m n m ooo
©mm©
o —o o o n d — m n
N —— m m o m m o m
n o m n o o N o ra m
ON — m m O N O N O
NOO
n — ^ ro o r—t—
OOO
o —o o m o n
Nmo
m d m — o co m
O CON o ra n d d œ ra
moo
o ra O N ©N O
oom
o d —n o d d
roinN
— jt jt — NOd
N«00»-dNN
——
ON©P0NN«
— 04 Jt
— o — ©moo©N©
COCO— dOOcON«
— «
m — ra — «PONdcoin
moNONO
— ONm
ommm
— dN«o
—
NO«0
— «NC0O«
ommm
— raoNOo
o o n m ra — o — o m
o m« « N n d o o m
n o mom m d o oo d
© o o m © m m ra co o
© © n « m co o d « m
—« o « © o © d m m
« © ra co © co o — — m
œ n m d o m o co m m
m o m r CMœ « n — o
— « «mm o m o o o
dONioN
— ooroco
OOddNNNinONN
NNOomOdOON
COiONO
— N — NON
oodooommNd
mm« — ooomo«
ONin«N«m«
—
—n
— oooodcocoom
n — ommo
— eoNin
«Nmdmmd
— om
Nooo
— om — ON
OOC0N©ONdNin
nn — NdNmoin©
PONOOOinoœdO
nopojtn-on
ONN
m—
— NmO
— NN
© — dNO
— OON
droN
— © — dNNd
—
dNinNinomd««
©NdroNNroNind
» o o mo
n m omd
O d d o o m d d ra ra
œ œ CO — N d m jt o N
N N 00 O O O « N « O
ooo
—d o o o
— N Nmo
n —m m o
m o — NO m o m o o
o m — NO m o m n m
m o © —m o n — o N
ra œ o © ra m N N o o
n m — m o co m
ONm
d m ra O N o m — o m
dNO
o m dN N N —
— o — ra n corot-otJt
00 N O ra o O O O N N
dmd
n d n n o m d
mo o « œ o m
moo
orad
m d n n m —œ
ro ro t—m n o n n m N
n o mo o
mNroN«o
— cono
ddinomN«©No
©NNONmo
— mm
moo«N©«o««
— — œ©mœ«NON
— ©oooddmoo
— Nd©mmmmoN
droo
—o o m n —m
Nd — rOONPO — oo
ommmdommom
o n n n ©mo o N O
n m d o o d O N —m
o o mmo o O d o o
d m o — o —O N N —
m n o o N N m d
d o o mo o o o
N N N O N N N N o —
n m —n — m d O m —
m m o n o o O N NN
d n o — ra N
o d
—N m
mOON©NO©N©
o — no««
m — oo
— œo —
— ooooo
omm
— mdNN©N
d — omdNdOd©
©omo
— mmd — o
— OdmNONO
—o
on
— mm©NN
NOOmO
— dNON
OdOONNOd«m
—œ
N — dNrooNPO«in
NinodNONNOin
OON«N©NNincO
NOrON«Nd00
mo
— omdrooN«
——
œommom
— o —œ
© O- N O N m — NNO
om©ooomo
——
oNtnodONinoœ
mmoooN
— Nmo
© — d d NN O O O O
o o mo © d ——
—o —
ONO
O d
o o o d
© d o m n m mmom
o o 04 t- Jt — © « o m
n n d m
© œ ©omo
jt — œ n © — o m n d
jt œ o o o o NOOO
N O —o m œ o — — d
©OON
m —m m
n o — ON m m m o m
d o Nmo
mn o n m
d —o m « d © o o o
« N N m m N NN « N
o d — d « o « —d m
—©
N d
———N N
omd
o o d N « d O O
© N
O ©
o m n JT » — « N
Nom — m o m n
O o —o o m N O N N
m n omm © o m n o
d — non
m d m ©o
— m m o n n do mo
n m Jt Jt co d © o œ o
dm œ © — — o d d o
o© o © o TO 04 — — Jt
o m n © o n m o —m
d © ao ot Jt o o n o d
« o oom m — n o o
d n o o d mo o n m
© N mommmddO
— © o©nn
—m — o
o m N — OOdNCOPO
ro- »n Ot N O — « N «
mo — m — œo —
©d©NO-oo
od NinrONPONN©
— oo
m o mommo
o N Nd — omoom
mm NNNinNfOdm
o mm« mN N m
o ©n mo o ©m
NON
— — oo© o « m m omo
N « o m m m m ON —
œ © o —m o — m —m
n m o d on o d n m
o N d n œ n o o o œ
— o O O d © N N Jttd m N m o d — — t—m
m m o © m — m m m ra
© m o n n m NOON
Jtt-COO't-Jt
o n n o
o — o o ro d o— d N
• N
O N O O O O m .
« m —« © m o d N d
mn « o œ mN d m m
m m o — m ra ra ra n œ
n m n o o o —œ n ©
oo n — m n m n — o m
— o ON© n m o m d
© o moo
m d © o m
o o t- — jt o m m o m
N N jt roto o m m n o
— m © o o ot otto to Jt
©m© mo o mo o d
n œd mo o o n o —
o o Nmo m o d m m
d o O Od o m m m d
mm NNN
© —d o m
— m — ©Nroommo
© — ONmraoNNo
m n m — ommdON
« m
dtn©mooo«
o © m o œ —— m — m
ddo©oN
— « «N
«Nmo
— n©o
o m
o m
œo«oodmm
œ — t—co co ot — — © o
dN«mmm«m
ON
rot— — m©moN
o o
04 00 r- t— 04*- — © mN
o©d«od©m
«N
— m — d — Ninmo
rOONNin
m
m
m
o
m
m
m
m
N N OOONONCOmo
o m oPONNOomm
—
— N — CDNON
— dco
— O raoo
— —— m —
O O mdNNONinœ
© m — moNNmmm
m — o m m o — ro ot jt
o m n m co o — t—n d
m © o n Odd
— mm
mo o n N d O © N ©
— o d m OMtO 04 d © ©
— ooo
mmo — © N
m — o o NON
o —m
n d d o d mn mn ©
N o o m N m « mNO
t- 04 — tO OON
oom
œoo
o o
n o
œ ©
mm
d o
o m
n ©
ONN
— — mm
m n mœn
m n — jt O
d o © n d
mn mo ©
md n ©o
o — t—r-o
O « O — n —m
O O O N © œ n
omdoooNd
© d —n m — O —
mora
ONO
OdN
— n ra
« d o
ra n o
m d o
ooo
d — d«0
— ro ro m m
— mN — «d©m
N N
———m o
NNOOd
— mN O N
N — dNN«POd
mm
oomd©
— do © m
—©
Nom
— «Ndm
NœommNO—
d o
o — dOind
—m m—
Odd
o d n d —n o
Nmo
o n m —o o m
^ — ro m d d n o o o
Jt Jt 04 ONON©
© N
m o n o d d d o —m
©n mn m o d o d d
moo
o — —œ n ON
n —o N o d d m m o
ra o © o œ ON
NOd
m o © o d m n — —o
oomdo
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
omœmNNd«
—m
— jt o d n » — ©©o
NinœdoinmmNO
oo — N©om
— mN
OOOrOONN
Noom
— ON
—o n m d m
dǩϩdommN
oNdN
— Nmomo
— ommdNO
— dm
œmN — int- jt t- — as
œmcodd
— nnoo
04 — oœoooœœm
— NNmmdmomm
m — dmmNNdmo
mdooNNindtno
n — NinmooNOd
NOONOdd
œ — n t-t-r>-1-
— ©o
ro co ot
od — owmmdON
ONNmmmoNoo
mNNNomoooo
md — roNN — oo —
omoNO
— on — o
t—— omN — nooo
— NNON
©NNO©NrOdino
ooooo
droroœo
©ONNO©N««N
— ddONOd©N
inœœdNdNOo
—
—
jTONrodN«d
— — NoominjTtn
o«omNdON
N — oooomdrod
— o — NNNdmo
n ra ram«omomm
n m m—-Nm«mo
o m o«Od«Nmd
n ra «oNNmmmd
—
«m — m o o m —
NN
NmmNmNNm
O N NomraoomN
N O dinNdoo
—n
N 00 « « N N m N — m
m m ocoNN
— raram
n ra raommoodd
N N roNN — momra
—N
ON«dmdo—
— ONN
« N NONOdinN«
m — omNm
— — ONOdOdO«
ddOO«
— JTdON
ONONd
— 04 — ON
«mm
— « — — ONm
o — mm — «oomdN
« — ddON©«o«
ooo©moNNOm
on — — d o m m « o
omoNmmNd
—d
ONommœœmm—
« n n mmn n n œ o
o « m o Jt Jt Jt 04 Ot Jt
« o — m — N N 00 O N
— « — N m d N o o —
ommo
ra — — m n n
n o n m o o m n o ra
dco — N O N N N O O
jT — N O m n o o n m
N — O O n o m ra o d
—n m » m n n m o o
96
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
o Jt œ m n m m
o œ
m m
d o
—o
n ©
m œ
d —
moo
o
—
co n d — N
— 04 Jt 04\T\ o
o — oom
m
© œ m o o o
o n —— o o
o m d © o d
œ m 04 ^ t— m
momo
o
o
n
N
m
n
d
o
ooo
n d ——N N
mo n
t- Jt 04t— co
o d co m o
O N
o o o ra n
o o
m m m — — — cm Od
©o o m o m o « m «
—O N n o o o » m m
©
COo d N o n m m d
N N o n « —m
d d m o —N N
mmo œo o m
>m n o n m « o d m
i m n n —« m n œ o
) o m n d « n OON
*— m m o n m o d o
»ra m o « m — O o d
r n n m o n m Nmo
»m —n o —o
—N —
) o m o Jt ra d d m —
• d o o o ro — mom
» d m — o — o d o ra
m n œ n © m œ —o o
mmom m m o © — o
m d n o o —n —m n
o o o o n o n o —o
n m —œ m œ o o m o
to — t- ro o d no — o
mo n o o o N ©d —
œ m m œ m o n —o n
o o o mN N
NONO
d O N N o o m —o n
moNmo
— om
©d
—m —
o m ONomo
om©dommd
od
ra — dodooNind
to —NN©mNP0OO
Od — to Jt f—jt to — to
œ œ Ndo
—o — — m
ON NdomNmoN
—
— m mod — ooo
rONPOd»NN»
»
o d o —n d m
© d n n o mm
—— d m o o œ
m o © —o m o
œ o n Jt m n ©
œn n o o œn
o m m —n m d
N m m o d o m
—n d o — o œ
o —m o m d o
dinmroN©inm©m
mNmmNNmoN©
ONN
NO»
» —O
O O d
OON
mϩ
d mn
mmm
t- ro Jt
m
tnONiONrOOOON
N — o©rodNO©tn
©Nromoooo
—o
moNodoooNro
NONmN
— Nmoo
««Nmm
— — t- Jt co
no. m — ooo
Jt CO— WdNOOOjT
— mo
mo©«o
— domo
«NN©
— ©NN«N
— «moNN
— oom
NdmomomNdo
r—— — m « o o cmd m
NminoNNPO©«m
0©0
— NNNONN
NOOONOdmmd
N N m d N — 00 N.— —
inramNNinœœo
—
d N « —O d œ n o —
— mmo©
m « —n o
dN©
o « «m n m œ
n m n n —n o « N N
mo d — d o do Jt Jt
on o o © o o m m o
o o œ m o 04 tot- coot
ro m — n m o m o n —
o o o m ro N N N N O
o — d o © ro Jt Jt ro Jt
n—do
— © — œ ra o
n m
o — mooNom
oo
om©inrodO©
roOdOd
— mo o ra
jtr-jt
— noo
—d o
raoooddroN
NO
Ncoœmmood
ramo
— NNNO
dmod
— d —œ
omooNONO
o o o o — OON
œ m m o d o o n ——
d — — o ra o o — m n
d o m d m — œ n m ra
m o o N mom NNN
o o o m — mom
o m m œ o moo
o — m o d Oi Jt Jt
m m CO 04 Jt Jt 04 O
© — n —o d o o
m n © o o —o m m n
m m o m o d m ro Jt ro
o —m N N N N — N N
o mO N N N N o ©N
ra o m ra n d — mNO
—o m
— o ooooo
— d o œ o —m o — —
— O ommo
— co t- tm o m n œ o n ooo
n — — o N Jt — o m ©
mmNmoNood
N N
N —
O N
—O
t—t-
o — Nm«
— NGO
— d«d«NrON
o© — — dmmin
ON«NOiON
—
NN«oinroNd
mmoN
— omd
m m — N — O — ONO
o — CM— N — ©O — O
o m ONm©NP0NN
m — oNd©
Od
N m — d — miON
m n ONO
ON
— NOdO
—m
d©
dONNo
— dm
— — NOdOOd
— m modinoœ
—m
root n — omoo©©
©om
n o minuto—o mropONNOON
—
NO Nmm — ñoco
NNNNNPONOOin
O— ON — OO00OO
t—t—— Nom — orao
«mNN«oora—d
raomNood«oœ
dNlONNdfOrOOd
omraœooddino
0»-N
—NONOON«
Jt — N — «OdOOjT
mo — «N«modco
— NONrooommo
— mmmood©dd
«n œrommNN
om
OmCMJT
— ©COCMrOjT
Ndo
— — o m in d —
oro co Jt — ©mo — o
ONONOONOOm
oo
ON—
— omo«««m
O N O © N O <-
o«modinroN
mmramdNmNoora
——
m — o«NNinrorojT
Nmm«dmrao
—n
«NNdPOrain«
—d
«m — — »NNNino
coomN — Npomcoin
od — œmmdNOm
dOOd—NWddO
pONdON«
— m— o
ONP0ooo«inora
— o m 00 00 N n m N O
œ m m d — ©d
oom
o m —m o o o m N O
moo tot—jt — o
mn n m n d m d
dNO
m m —n o
m — n Jt o m —
moo
m m n N « O « 00 ra —
omm O d O NO d m
m n ra o Jtro Jt Jt ON
œ n n — —m —o m n
m n — co o m o — d N
N — m o m n © m —m
m n co cd t- ao jt ro cm—
rao d — mdN o m m
o o mmmn « o o o
o mn mo ©n o o —
00 « m m n o n n
n m Jt O N © — —
m mm d N N —O
ONO
t- t- Jt n œ — n
mo n n m d mn o N
o — ra d O O NNNO
d m o m o — d COO N
omd
m d d o o mo
noo
« m —n n m «
o « — moo t- 0404 Jt
toro jt o m n ©ONm
ra — o ra n — m o o m
m d n o o —© « —«
o —— « d m m d — —
mn
mn
mo
n n
o
n
jt
o
N « N
mn d
o « m
—— m
N N d O d ra
o « o mmo
d d œ jt
mo n —
n o mm
m o N N
jt m n «
n m d m
m©« n © N
n m « ra — —n © © d
N —© —
ra « o m m o o ^ — Jt
m d © ra d o ONO©
m d m m m n — «ON
m d N d — h- m n œ o
m —« « m o m o m m
o d mm o N m©o n
o o o o n » d n mo
—m
mo
—N
n ra
o o
mo
m d
n d
—m
d ra
mn
—d
mmmo
mo m n m—
m —o o
N N
N N O O d —
O o cmn © —
— N o m o d
NN o © m d
N O m m o d
O N d N O O N n n m
O O O N n m o o o o
m d « m o o — omm
m© « —
— omo
mn d o
t—ao o m
t- Jt tO CD
t- TOTO Jt
m N N O
— t- a 04
O O O N « « d « N —
O « N N d o o o œ o
mmmd n n mmn m
n — o m jt
m« ©o n
mo o mn
o m©n ©
o —o —m
o o m©m
o n o m«
o —o m œ
© d O N m d d o m m
t—to 00 o o n « o d —
ONN
— « « œ m ——
m d ra m n n o — œ
ooo
m d m « m d m
d œ m œ n © d N O O
n d o N O « d n mn
o œ n d n mn ©n m
mom m o — ©oom
NOd
d d o o N d —
—N o n mn d
ONN
omd
m mN © m o m
— —m œ o m o m d o
m d d o jt rot- ot o —
NciNin
œ o © œ —m
dNO«
mmn ©
cm— m o
— omo
N —o o
N O —N
—m o ©
o © m d
o d n o o N
o o o ©mm
© O —O O N
N N o m ——
—n œ m
n d o m
o n o m
—o © © o m
o œ o o N N
ao — ott— ^ o
d ——o o m
N n —o o d
N —m d o N
n N d PON —
© œ o —o m
n d mn mœ
— Nmoo©
o œn o ©
œ do m •- —
d on m jt o
m © m n —o
O — dN
— OONNO
n n m N
O N O ©
mœ © o
n n mo
n mn m
N © O N
«NNNO
©NNinooœdON
dromNdNdPONN
o — — mooNNmo
NNOm
— ©NON©
mo —m — mmdNO
N©OdNP0N
dmNoœ
— dN
— N©
—d
oœoNNmmo
—o
omm — «ocoNdN
d NN « n n m N O —
ON — O N O O O © —
N O œ d ———« d N
ra n «
omo
Jt CD —
—m n
ONm
mn n
ooo
o o o o o m«
N N — O œ n m
N N O O © —N
n m œ m omd
O O O N tot-t—
mn œ o N N «
CMO N N roto Jt
«N«mNdN©©N
«omooNOdœo
— dddNNd
— pon
mm — — NOd
— on
mN — d©o«d©d
NOoNm©m
— ©m
m m n m © — — ©mo
o œ o — NOO
O — NNOOONNd
o — dd«o«omm
—N —
© o m m ra
o o O —N
d o d o m
—o o d o
m m ONO
« — — Jt Jt
d © mo o
mm œ n o
N N O © O
o d —N d
o mo n —
d O ONN
— o o m jt
O N OOO
o n d o m
m n m n ro N — o n m
œ o d O © N d m n m
— œ m o ra o
œ o r
o o l
N O ro Jt — ot
O O t— O T—O
m o <
m d »
œmo d o m
d n m n o © m m ra o
d œ o o n « n ra m n
n m o o « N o mo m
O N n œ m œ co n ra m
O O O N o — ommm
o o O N o d o m o —
mn n
orao
N O N N N
d ra m
d mn m o
Jt — 00 — N
d — ra o o
o —m o d
—m d d œ
m jt 04 co œ
œ œ —o
m —n m
o n mn
— — œ jt
mo mo
n œ d m
m —m n
d —m o
o
o
m
—
o
m
o
o
mo N o —d d
oomo
— NinoroN
omoNdoœ
— on
moo
— NNdm
—n
œodNOdm
— on
œ — mdmœmœo
—
m — mm«o
— dod
to o — © m o n m m m
oNœmmooNm©
mœcoNONONmo
— codo«
— rao — —
m œ N o d m ©in n d
d N omm«
d mn m
d O N —— m o m o n
© N m n m m — NNO
n d « m o œ — NNO
N m «NNO
mn n m
N m n ©mn mœ n o
m d n o œ« o © mm
©o n mn ©« o d «
o — d œ œ m •-mora
mNO n ra m ©ooo
ro « co d n ra N JT Jtf—
m —o © —m — N « N
OdN
O « N « d —o
ra o n m o n — NO«
NNO
o —o O N O O
m — jt m m d m m n m
œ n n —o o © o © ©
d m o O © 00 O d o N
m — m — mm OONO
Jt d N
— ©dN©moomN
roto — mmjT©ONd
d©Nom
—o ——m
œmommoNmram
ommooodomd
— — ONOOOONN
omd
— ©flOPON
N©OmOdd
— OO
— ©N
o m NOO
om n N N
o œ O Jt Jt NNN
—o
o o n Nm m o — N O
— d oro Jt n m n o m
o m omo d — Jt. — N
© o om — o « « N —
d — « d n NOd
d m •—m o Ndo
m n
N O
d n « om Nmo
ra «
o o odn œ « œ o
NmmramraooNoo
OONOOGONOOd
Nomœo«mN«o
Nmd«m«
—o « —
m — NNmommmm
©© — d© — mmmo
in«NNm«orodN
ooNdm
— no — d
momooœoNoo
romo — r- m « n cmcm
N — ro jt ro — o © o m
omoNoœd
— œo
ommoommomN
— odo
— — oooœ
dNmœommoœm
ONNNNœœmoœ
m — ommommNm
omoNdmommd
— Ndm
o — ©o
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
o o ©d o
m
d m o o m©
Jt
ra n o o — o
d o m© N m
— r- n n œ m
d o —— N N
© m © ONm
o m
œ o
— od
— Od
— — — mNO
N
o N « N —o mn m n
©o
o N
—o
o ©
m d
n o
o N
ra d
d N
moo
mm
o m jt n — m o o m n
oom
n m n Jt — o o
o oo co o m ra o o o m
N © N — rara CO04 *—T—
OdN
n N ra m © o m
o — o O <Dro d o — ©
N — O mdm
O N © O
— d O O N — OONO
mm© P- 00 © N N d O
o o © m o n cmin o —
o mo mmn n o N d
m—
o d n d ONON
o mn mO d O O d o
N — m d d n — ra o ra
m o o © ao m ot — — o
d © O N — oom
—m
m © © N n o ra o N N
m © o d d o —o n m
o n d o CMO O O n m
n ra — © O N O O
ONm
o m o —n m —d m —
ONO©
o mœ mo o
m —m m m — —© m
n ra m co o © o ra n
n mo o o o o ©m
o o mn o o d © —
d d— o d o n m n o
N — O — m m ra m o —
o •- m o N — m m o o
ra o o o œ o d d tnm
o m mœ n o
mo O © O N o n mœ
m o o o N O OONO
« N m o o m aor- — t— N m o — o Jt 041- <D
d o n ra O N O d m n
d — —o o o O O © N
oo m ra N N o d d d
mmo mœ m d n o o
N O o — o N ON d N
n
o
n
n
orao
ON
—
O d d m n ONN
m d o œ TO O 04 oom
ora d o — CO CM00 - N
N O d N NNO
d m ra
— CO O N omo
NOO
oo — o m d m m o ra n
m m d o — m o odd
O N o d ©mm O N —
O © o ra o © m mora
mramoNomo-m
NPOinraœo
— ood
— — N —mdN
— do
ooooiAOdmom
ropON©m©N
— Nm
mmm©omomd—
— NindmoN
— NNdOm
o — OO
©O
N d o
CMO — o m — o
N O O O O
ON©—NNO
ONO©NONPONin
o©©m
— NO
— ommoo
©oo
— mdinmdo
m©ONm
— — dm©
ooœ
— morod
—o
oooNmomo
—o
mmNO«NOooin
©ONoomommo
dN — — in o m o m n
POddNN
— NPOON
— — ooom
— ooN
oo©dom
— Noora
Jt — O — rONinNPON
inocoœONNNOo
oooNra«N«o
—©
moNdfo©
mmdN
NdmNO
— NinNo
— d©OOOdNOO
NNNNNOm
—O —
oooommNNcoN
dPoraooN
— mmo
inNOd
— oom — — ra
ramcom — no — mo
o n n mo o mo n o
m o m n n o —o « o
o o d o o o o —o o
o o ra — m m O O O JT
m m o co n — o m ra m
m n —n o o d n m o
o d o o « N
jt n — ra — d o ra o d
n mn n mn o mo d
mn o d « « o n ©m
CALCULATION OF 7T TO 100,000
97
DECIMALS
— tnoNtnoooom
o — ONNN
— ocoo
o — — d©dOomo
r—— mo© — o — om
mNroodoooom
moo — mmoNOOo
omoommN
— on
mNomomœNN—
ramo — ©dom
— jt
odNdN
— oo©m
N — mNONNmmm
ooNNNNd
— Nm
notno
— do — ©o
o — mN©NOoom
mmmoNoooNO
— 04 to jt — dN — do
n ro Jt r- o to 04 r—©—
omN — o — nooo
mdOdommN
—o
to Jt co — Nooomo
dOON
— ooomm
o©N©oommNm
o — — o — moNN
o©NmmNNNom
m — NdONN
— mm
cocM— oodNinod
com — nojt©—m
d«mmomom
no — ooNNmmo
moomoNdNdN
Nmdm
— NOd«—
oom
— mdramom
dmoNmNmoNo
mo©NNNm©m«
NomooommON
NmNdOOO
«00 — «oNOd«©
mo — Odm — m — m
modddONONm
oo©dmddmm©
m©d
— Odd
— ©m
NNNod
—oomo
NONOdm
— no©
mmoodNinoN.*
mmNm«©domd
ocMmNmcMOdON
Nmodd
—— NNN
r-cMN — ONmomm
mooocoNrommNO
jf N- dNNro©oo
jrmmooONO«d—
oomdNdNN
— Jt
rr>t- ro o co Jt — mdm
o —— d —mmddo
omraoooNNom
cMNNOON©dmo
ororoNroNod
—n
— — NNO — m — Jt t-
NmodN©N
——o
r^-coNomNdomo
do — noo
— mdN
OON — œ — omo©
ooomoodomm
ro N d d © N in n m ©
—m
o© — o — ooomo
o — radmdmddo
ONm — dcoommo
no — dN — mN©«
mmoNmommrara
NNN — momoom
000«
— — n —o«
NNdOONOomo
ON'mNmmmooo
00
— mmdmNmd
odNONrodO
m — mdoooNNm
o — ONdONmom
m©ooddNN©N
omœoNmoo — ©ooonopon
—o
—o
do
— n m « n — «d
NON©co©«NmN
omNNm
— — rONtn
^ to r—modoomm
dmNN«©m—
on
om — NomNtndro
—Nm — mNmmNN
Od —o© —©NdN
omoo©
— non©
non
— ©ommdN
©- ©Nmm©o©ra
Ndo©mN
— mmo
Nomoommdmo
moo
— ©om©œo
d o « n « o d 00 d —
— n©
NOdONOO
—
— «o
©Noood
— o©n
moooooNmN©
— — NramoNNrON
dOdNO—
ramNo
ONOONNmNNm
— «mNmd
— mN©
© — © © o m n n n in
n-oodNNmON
n-Nmd«domN
N©©d
— mdONm
mooomNmNOd
momeo
— m o m co o
m«o«N-raora
—
roNONN«o©mo
m « d N 00 m o o « «
ooONOom
— mo
NNOoommoom
to co — — © — o — — m
omdNo
— — noo
omommoNOON
mo — n-ddomm
moooNmoNO©
mN©o©dNomd
— ©NmooomoN
NNomNNmoom
oooddoomom
dN — NOOd^N©
Nooooommmd
CO Jt Jt CO — N — —
œ © ra — roNoooo
mdmoom
—m —d
mN — NNOd
— Nut
omorod©Nomm
OO
NOmomNdmNm
o — dNdNroN
—o
jt — ocoon
— mpON
jT — NCOdOGONOO
ocoommmomjTco
mNmoN
— om — n
rONNOOOOffl©
—
omN — — mNooo
— oo©
— m©mom
ONNODNinoONd
CMO © — O — O O d O
n© — NONomo©
NinNNoo
— mom
— — œoooNooNNo
n mn d n n n mmo
— o © n n o m — om
mmN©Nooo«m
raraoononmon
— oraNNNroN
——
omm — NNcoo — ra
ono©—«œ«—n
t—ro — — ONo©Nro
m o o d œ —n © o n
©momo
— mONO
oomONm
— 00N
OdONmNorOdN
NNooNOdo
—m
oNOd©NooNNm
— ©odm
— o© — d
ramodooN
— mN
dOdNoodO©—
— ramddNcooram
co««NNomdmo
CMO— oN©ooom
oomNN
—m m n d
mommoNNmm©
©NoodooNoo
— NinroNflOoo
—m
doomdN©Nmm
cmn o — œ o n © n o
inNNdN©mNm—
coNmmrammdcod
ooNm
— mNmN—
d©mdN
— NdON
domomom
— mo
ommNtnoN
— no
tnNd — mommom
dNmdddmmoN
o©Nd©mmNod
in n d d n o o o œ —
©OdPONNNONO
o — m — 00 — doo
m — Noœommmd
o«©NNdN
— n—
o — do©N©oo©
d © o © o d — — Nm
«N«mNN««dm
—nm©ononmm
no — dNmo«ON
mNOdmoraoo—
ONOON©©©mo
m^--o
— NNddd
mommodmmmm
o m cmm œ o jt co o m
n — oooNmoNm
Jt otro — o n n o © m
d©dPOdomdOin
inco — oraoN-NN«
©o©oooNdtno
dNmomNdO
—m
— on»— om© — mm
o»— — NmmN — do
©oo-mœ«œNo
© —n m o N o m N m
©d««mmNNON
Jt t—md — o — Nmo
mmmo©ono©o
rao — — ©NOm©m
n m — jt o Jt t- too 04
ONOo—ooood
omo
— omNNmm
OdOONOd©mœ
in n ra N N 00 d N m
ooNmmodO
—o
©moooodNON
NmœmmNNoom
odm©N
—m —— m
o©m©dNmNOd
—00 — mmmraram
t—— noo — © d m o o
Odm — m©Noo—
o t- m o m d d n m m
nn- ««n
o jt t—min
oraoompodoom
oomNdON
— ©d
© — - nnn©ooo
dONNOmo©
——
mooN©momd©
dodomoddmo
Od©NO©mo
—o
mmNdN
— — o©n
ooorao
— 000m
ddmm
— mmodo
on — o — mmmmo
ooo»m
— ©mm»
mN« — OdN©d©
Nomo©ommod
do«d
—— m« —o
©
»NmooomNdN
mNNomdommo
— d d o o o 00 o d m
o«inin«NOroNro
n«oo — t—04 o Jt o Jt
ONONONdomo
dNd«om
— — Nm
—o n m n o m n o ©
ddomNN
— mmm
m — NoœdNoœœ
odm©om©omo
omNœdmNodo
mm©mN
n NmON
d©m — — o©oom
NmN — odNNOO«
dN© — N — momo
«© — — nono©—
ra d m m o o oo © © n
— © o d m o — ©©n
o — o — NNONdo
ddNNmd©©oo
o — oo©mmNd©
onionnopopo-
omomora©-m©
oNoœomo-om
oommodooœm
NmoNNroNom©
—N©dd««o
—n
nnoooo
— mmo
o — ma — ommoœ
Nwmomoo—m
— — modom^-Nm
©nmoommoon
m — Nom©moo—
m ra — n n — o o o d
mN — nn©©ooo
Nmoo
— ©o — om
OddN
—o —o œ o
oomNo
— onoo
© — opoonooo—
d©d©mo
— Nmm
m o con — dmoN©
dO©mommooN
oomra
— ramocoN
»Odo
— — omdo
©Ndomoomod
ommd
—ommom
dONNO
— nono
ddom«d«mmo
o©ONOOdNmN
ooNdmmNNNm
n © o n m — — n«n
od — ooraramoo
mœoNNom©©m
©dONdN-o
——
ooodœoNoœNin
mdommd
— NmN
mNNOON©
— ©m
omoodNONOdO
N©NNom©moN
mmNmo»dm
—©
d o o o n n mmn o
d —— — Nm —no«
— dNOoroNO
——
oœmoooN-«m
— n — no«»— «mo
dNOOONO
—o©
oNN«mo
———m
©©NddOootM
—
odNOddoo
—d
ooNm©mdmmN
n d d m — — no — o
raon—raram©nm
©od
— odo—
om
domoN
— odcoo
mdONo©modN
dOd
— omNmNN
ddONmooNO©
ooraommm-dN
NOO©omdN©m
NœNmNom©
—o
raNNmNmdomN
oNœmmoodm—
omoddNm
— om
Noomodoooo
«n — onn
mNN t—
n m n m © — oodd
o — mmoddooo
—Od — ddooNooooooococomjTN
co m o ra n m o d o n
Nd©o
—— momo
© n n n — on©—
— NNdommraoo
—odmN
— — nnn
t- o* — d o m n © o m
— m o o n n o — ro 04
NoraNoomNNm
— moraoNdNmN
momoood
— —o
—md — dommmo
mo o ©d o ©o mo
ro o m o n o o m n o
o m o n —n m o o d
oooraNOONmo
mraoNooraooo
mNmm
— — oNdN
ONGOONOOraOdN
o —m»
—dNNON
t- 01 o ro — eoNmmo
mmmNomooo—
tM»co
mommNNdocoN
codNmdo
— dmo
— no — odo
— Od
modmra— omd
oinmrON«raoNO
NONommœmdO
NOdmNdœo
d © o m m n n o d o
NNNmoœ
—m — —
m n n o n » — mNO
NjTN©dmmd
—d
— ddomNmNmra
©©ommmmNN—
dmNoONdomo
NdNOmm
— — ©—
ood«mNrammm
ONOooomoo©
— oo©NdONNo
dONmNCONONO
mNdmNON«
—n
NNmmradmoo—
— n —n o o o o n m
oom
— nnnoo©
©noo
— o — — 00
Noommoomdo
nooo
— ono
—©
m — mooNinoo©
dmm©Odm©NO
— morood
— omm
m — ram©NNomN
mNO — œmNm
—m
o — n©onocon—
Nm — o — d © © n d
odoodom
— o©
o d © n — ^ t—d — n
jt«n
— o«rammm
omo»
— Odomo
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
oraooN
— NONm
— NmooNO»
——
oooNm»dNdO
o — —— m n m n o n
oomd»dOoo—
n n m d o m n © ra jt
dmoooomraoo
— mmNONmmm
—
NdmoNoommo
NmdraNmNONN
Od — o n d n o o n
Noooraommom
cmra o o m m m o m —
©mo — ra m n o m o
oomoœoNOdN
98
DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
dmN — dNO©od
mmomoomooo
mddmmmoom—
oon
— md — Nmm
mm — ©Nommrao
©oomomoooo
©dmommmddd
o — ommomoNN
NommmNdmom
moNomd
— omd
© d — » d n « N ra o
mo« — Jt ro O t—Jt *■*
— N«dtnmNd
——
N©N«©ooNmm
dmœmmmd
— «n
N©moodOdoo-
o — N n « o n oo m m
o — ra«ONmN
—n
dNNOOom«NN
—omm — mN — o©
do«NNNdON.o
NdOONOONm—
o n N tn o n — NOd
«doON
— omrao
NdNONroNomro
N©od««Nm«mmmoNNO«mm
oomo
— cmcooon
t—t-o4t-otoaojtt-co
Ncoomrommdm©
Nom©«mr-moN
©oonnooonn
momoNNONN«
m — NNcomodom
d o o n mo d n n n
«n©
— NNN««d
oNmmo
— om — o
—mNNN«©omd
o — mmœmmoNd
oraoNdmraœdo
Od — indNPO
— NN»mNO
o
o
o
o
m
o
Ö
H
o
•o
o
o
o
x
o
ce
u.
Nom
— od
— »N
— NOONNN
roNdomminmo©
©NœdooNNmd
n d oo N — o m co o n
om««
—NONOo
© d « d in « n n o n
mœmmomN«oœ
OddNinin«©
——
o — o©œmdmmN
dinm — raooo
—o
ooNmmoodood
om©dooommm
n — oNONdorao
d©Od©NNmdm
inroNmooNNind
oœmoNNmmoo
omdON»mmdN
NdroNdOOooN
o© — dN©Noom
m©©dm—«odm
dNNNNd
—« —o
o — dmoo
— — t-^jt
odœdoommom
o n N d no © — d o
— d t—t- o jt — d on
ddinNo»mdm—
ooooooNdNO
oodC0jTNO«NN
oo©n
— «nono
NmdOomd
— om
N«dNdN©o©N
dmN©ONOdom
m«mNOdNN
Nm — — — ©dm
—o
—d
jt n N d n — « N © «
— m — œmodOON
n — N««©mNNO
«mdmoodmNm
oommmoo
— Odd
oramdo
— NOdm
no
— NNom«N©
om© — © m n o © d
oo — NoomdNo
NNomœomoom
m — m — mo — ddm
ro — œ — ra œ ra ra o n
— n — o m n o n ra —
n. cd o — m d o d — œ
ra©mmo©ddN—
ono
— OdN — n—
o —— © —— nn —o
moNomraoN©—
oNONco«moNm
O CMm CMo d CO O O ro
omooNN
— coNmN
toro — mraoNNOO
NoomN«m©Nd
m©n o m©mmmo
NNro©©
—o © m o
oo©dN©©©dO
NNNNœooN
—d
co — «NœoNNom
oNNmoNin«NN
— n n © m « ro o « œ
©dm —Nm«omo
n » m» o n mn « d
mmmmoroNdinm
om©NN
— mom—
dmoNONOoœm
o o in œ m m d d o «
ommN«oœoN—
ddo©©dmdmm
— œœdmoNON©
©in — dNino—o
««NNdd©mod
—
oϩm
— momoo
ooNmN©oddm
dmmomm
— mom
oONcommom
—n
oNmd©omom©
o — oono
—o — ©
ra — NdNcoNomm
dNmœmcoNmdm
omoommodNO
oraora
— o — NNd
——d —N d o o m N
odmNd©—omm
omd-d
— mmdo
omNOdooNNm
— mooN
— rodNo
« — dONdNœoo
»— N«N«OP0d«
m©N»o«dONN
«OmOO«N«©m
OdmNo
dooojrmoomm
ONmmmraoNcoo
m m n — n m ra « m d
ooomNmodNO
o © n o m n ra n n m
dN«m^o©««N
NooœmNdN©—
dON©©commp»-ra
«modmmomdN
mmoo
— od©œ—
raœdONoœ
——o
rojtroott—Jtot—
—o
o — m©od.—
mm©
ONOOommraom
dmo — oommoo
om — o — d in o d n
—mNmmmd-nn
om — nn — doom
oN«moNoo«N
— oo
mdmmNoomm©
dNmNomommd
d — oddd
— Jt Jt t—
odmmom
— dNrn
mo mn d mo n o o
©m«œmœmo«N
m©NoroN«dON
mo — omNdmm—
om«ONNcomo—
dONNomodom
o — orodrooroN—
pononnionoo—
mmoNNoœmdo
oo©ddmNmoo
no — mm — mmmd
o r- — t—n o m œ n ©
moodNONmm—
nnnnnnn
— m—
non——moom©
— inp-ONinN©mo
odoommrammN
NNdmd
— mddm
n « n — — ra n n n o
n œ n ra o o n — n ©
no«©o-«NmN
©m©NNN«omm
t—— dNomNNOo
NdNmNdm
— md
m © — o o m — m — ra
coNOdmmm
— no
dOmoNONroœ
—
dcomdONm
— mco
doœooNNdmjr
no — ommmNON
m N m m r- jt o n o o
mooNN©NdOd
omooom
— odN
n—««Nom«No
NNdNONOdom
moood
— o—«©
Nd
m©«mNN
Nmo©rararara«œ
modPON©
— — nn
m — mo«dco«©N
«n — o Jt to t- ot 04 o*
NmœmddNd
mm — oommNm©
NmodONOdo — m — dooNom
©dNmN«md
no©
—no©o©n
o — o«roN©mdm
moNmoNo©dN
m ra — m d m ra o ra d
dNONtno©N
—d
—dm©m©NNmN
«««mo©oNO—
ONd«0©dN«0
mN©mroN©«NO
moœmm
— oomo
œminooNdPOind
©rodOo»NOOd
m — »o — mo — om
— N«mNONrnoN
« — oo — o«mNN
©dd«o©dmNo
Nom«NOOdmo
o — oœoooN©N
©«m — «OdmNm
n
—m
—o d d n o d « —o
racomomNoooom
— to Jt Jt t—o — ©no
NN«NOdOom©
NN««mmN«
—©
oomœoNdNoo
m n n in © n d — nn
mmd»NNoomeo
—momNNmoom
t- co jt ot 04 co — to Jt rmN —NoooNNm
NNmmdONOmN
ooNmNmoNmm
noo
— — odmdo
ooomNNmom©
dm«d«mo«Nm
m — Jt O CD O — NNN
©NmNON
— mœm
dNmooooNNN
m©odm
—o o n m
ooooooooon
—n d m m o m m m o
—omdom«mm—
mdNomoœodN
—n«-n
— Ndoo
©m — mm©mNmm
NNd©©«Nmo—
— o«NNdroNOd
mod»mœ
—œ«œ
n —mmommomm
ONm — ©Nom
—n
dmmo—noo«o
No©d«
— mmNo
«©dddON««N
o«d«mNo«m—
m« — oomooœm
ONmodom©do
oodNdNœd
——
— t—— — drooNdO
—oNd
— oomNO
oNNoom
— noo
OddommraomN
o©Ndoom©mo
©nn©n-n©on
d©mdNm
— mo©
ooo»NOd
—mm
ommd
— oo»o©
mo©©mmNd«m
o«mNN«omNm
« — «mmmmNdm
dcodddm«©œd
dNomoNN©oo
©m©N — œmomœ
md o mo o n mo «
OdNNNO
— d —m
mo — d co n o « © o
— ONinoNN—
NoNN©momora
m — ommoNOdm
©oommraoooœ
No»d
—nooon
NdmmdœmoNN
©m«odmoNON
œmmdmom
— no
d — o — nœnncoo
drnincoNinracoNO
—«
o — o — — odmm«
co t—— œd — — omo
aojtot« —m n © —
dmmmmoNNNm
ooœm«oo©N—
NoomcoN
— omo
—
— «mN
ONomo
— o —— o
moodNmoNON
moooNmraomo
— co t^- — o ott- — Jt ro
m©oN©NONom
no — «jrmracoom
m — moo
— mmmo
mmNd«ommoo
t—t—— jtt—otooocsi
Nd©
— dmN©©d
NNinmcodO««N
ootoromt—r—jttot—
mmommmmNmo
NNdN©©©Nd©
mN — ON©mo©
—m — N«doom«
—
œ oo n — d o o œ d o
NNmo
— ommooN
©«o©o«mmmd
— moNorodNroo
«o©©«omo«N
— oorammoo
— ra
o o N d n œ m — Jt t—
mN©dNdON©N
t-— NNNNONNd
oommd©
—mom
o d n d d o n mmn
omoNOdOooo
oooNramoNNmm
©Nmmmmmmoo
oNmNOdmmNm
ommoN
— omod
dO©NN
—NO«0
n — noco — NNmm
«©NOd
— mddo
— t- Jt —on©Nm
ono
—œ d d m n n
NNNdd©
— œo—
dmNONOdm©©
ocooram
— dNN —
œ — ©NmoN
— mm
oNNONOoood
NtndONPomd
—o
nnooon
—n —n
o in n m n n d n n n
— onn
—m o d œ m
mNmooN©ddN
NONmN
on onn
ooNmooo-dNd
ooomco«Nmoo
Ndoo©©oooo
O d d N PO © N N © m
mraoNmNom
—o
NOdmN
jt t—x ot Jt
o — omoo©©dN
—o n o o o © © m d
m dN co d o o o m o
o©oNmm
— n©n
o o m m in © m d m o
mmNo©©dd«o
oinNcorom
— — mo
— Nmomm«mNo
NommdmNœoN
oNNd«©N«mo
— « — ©m — ono©
—«Ndmdmo
——
d©d©ONNmd«
00 — ddN
œoo
— 00
dooo
n — om
« — dOodONOm
NoomoNdoœ«
©Ndommoœoo
©©m«
—— o© —n
«000
— «npono
©©odmjrooNd
Nom«omNoom
mdmom«—omd
dN© — n m o d © n
«do
—momN«o
No«ommNdNO
000.0
d n n o mn
dNdoooo
mN©o
— mo
—d —
— od
o — mNmoNmNO
©dm©OdNOO©
oNOONNNomœ
NONONinramdN
domommmdoo
— — oodddoom
—oomdroNddm
ono—oomno—
-oddONmmœm
— o — 0000
—— d
o — ©n — raoomN
— o — mN
m — dN©«
— Nmm
ra — mmmN o jt t—n
n n n m o ro m ra — —
odNdONomNm
o d ra o o d n o o o
oooononoo—
dNONo
—Noom
NNOd
— omm
—d
mm — ONm — moo
o n in n d œ o n n**mdN©mooom—
t—— © — ©OdNN
d
O N N N O d PO N O N
o — o — moodONN
o — n » d »m.o
m jt
—nono
—— oœm
o n o © d o o m in o
o ϩo d o n md n
«««m
— d « o cm©
œ — ooo©mdom
modooodoo—
ooœo
— ooNd«
mooo
— —n — —œ
momo
— omoom
mm©m — oddNO
mmNNONNNmo
d©NOd
moNON
— omNO
œ««m©NNm«o
NN©NroNoinN—
mdOdONOood
oomooNOONm
—o o N « m n —« N
o««ommoo©d
mo«
— n n in œ — d
m — NmdNodmo
odm
— dNmdNO
mN«N
— mo«NN
«romNON
nono
moNomN
—©mo
oNoroNOOdNO
mNmomoo©NO
mœ — o .m o » m m n
m — dON — on — o
© — Nm©om
— mm
NomodmNomm
om —o©oono.o
œommoNoomoN
—©mdN«N««N
——
«omomNNmN©
ONONmNNO©N
ONinoNNrorocoin
ora — Nmomomo
om — momommm
dNN
— — roodom
—onmnmmnno
odOd
— 0000m
coooo©nnono
racoNoocoNooN
omm — — © ra o in d
o«d«om
— — ©—
NNmoomoNN©
— dOmNmdmo©
mN—modooom
o«NNNdOo
—œ
—o d o o m d m d —
mmoNOo©NNo
d©o
— dmmNoo
—N —o
— jt ro ro
Nmm — ro o co ro Jt Jt
mdm®mœom©o
dd©Nmmw«m©
d©N — o — n — o©
ooNomoNdooom©dmmomo
NNOdd
mdOdddOdOd
— NOdN
NmœoroœNdNO
Nm 00 NNmmd—
œomNdmNOPON
©NNomœodOo
oo©mNO
— o©d
©o©ramooooo
dNoroNmdoram
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
«nonnooono
o«o
—on© ——m
— NOdro©d
—nn
mmNrooœoNdm
©dnnm©mdnn
oto — — © n m n o m
©oo«opon
— d©
©moNmommNO
œmNœ
— — no«po
— N©«m«
— œœooN
d — mocMo©Nd
—
mo©NmommoN
dom©mmNomra
mNOoooo
— © —n
omdo
— oomoN
mmdONomdora
moNOodinNdrcoNraooN
—000
no — dcomoodm
m — 000
— moom
omd— o — n — ra
dm——od©Nmo
NmmoNm
— mora
ommoom
— ro Jt co
ooroNONom
——
CALCULATION OF 1T TO 100,000
N N O O Jt — 00 N d o
O « O — room mmm
o d o o omm
mn n m© « N
onn
— d otro
n m« « « m d
m m — d pon N
jtrot-t— 04— O
n m m m m« o
d n —
o m—
m m co
NO«
o d o
NON
o m œ
Nmm
o o ©
o mo
o o m
o d m
o«Ncomdinoœin
o«ONcod«dmN
m©om©
—o m n o
mdPOOdONOdo
— dd — omoraoN
ONNO
— — dorao
jt ot — rONOinroNd
O — omoCONONN
moNOO
— mdN©
mo mo o « o ©mm
m n d m m o o o —o
N O ra o o N mmoo
o d mo
o md N
o m m — o o m n —n
— o o m N N OONO
N N n m NO d — — m
m n o o d N n d n m
O N N — n m — NOO
O N o m © œ —d m m
oo m m o m d m co o o
n m œ o n o ONON
OONO
n d m n m co
ra o m n n d o m d m
O — N N o ra cmo — o
m n — d —m m n m o
o œ © d d m m d o d
n m n d o m ro — o œ
o œ o d — N —o m —
mn mn d mo n © N
m o d O —O N o o —
N N m o n m © Nmo
N O — d m o ro m o n
— o — ro o ro n m n m
N d o o © n m d d N
m n n m © —m n n m
N N o ro m m n m m —
o o o — m m n i—04 co
o o mn © d o d o m
N O n n —— —o — m
Odm
mn No N © m
n m œ omoo
o n ro
œ m o jt o n d d o m
— o o mmoo
moo
o œ m m m m m — ram
moo O N O O o — o
Jt Jt 04 o d m n ro ro co
m co œ r—« m o m — m
N © « mn m« d m m
m « d m m — n ooo
n m m — — m o ra o o
—n o m N —o —o o
n n o o « —m d d d
o m —n — o o n o m
mN — œ n o o o o m
o œ mmmN O O O —
— n œ m o — N C0d —
o ro m o n n o o — ra
m n —o o m d m m d
m d n m o —n n o N
o m NOO
040 jt O Jt
O N m t- tn cmm o — d
n m m — œ n d œ —o
œ m —m o O — O N d
o o omd
CO© O N N
o m mm« O 00 N O N
N O co ro tn o m © m ©
mNO m œ m — n
Jtf-
n n o ra N « N
mm — oroodoo
—
— mo o md mm
ra n o m
o d — moo
N m n n o ra o — m co
o o jtr- m m o
ra o m n — n — ON©
o
ra — m o — o o
o o O —O N o n m N
to m o o cmn o
ra n — moo © m m n
N N m m n mmm o d
d ra o œ m n 00 O © N
o
mm
— — Jtt-tO
—
N O ra d o d O CON N
—
Jt 04 m — — d N œ m o
o o n n œ o d œ o m
o
o o o o o —n d — o
m « m N N N room©
o
rao — o d n jt œ Jt o
m
ra m O Jt oo « m o n n
d m o —m n o m n o
o
o m — — n m ro m jt <o ro Nom
m n O Jt
_- « O N o o ro m o —
O N o o
oom©
X
OO m o N n o o « d
n « O O d o o omo
o m d — O O jT o ra n
O
—— n — N N m ra o «
ce toro m n m o o n o o
o d N N — — ro œ ra o
IL
N — m m N N m o —m
o CDO O ooo
CO ^ 04
œ n N N d © o —o o
n o m o œ m n to — —
— o © — N O o o ra œ
nn m
o d œ d room
CD 00 d o o n co — mm
N O o — o d o jt m m
oom
o d m m m o m —o o
N O m o ooo
m© d œ mœ —d O O
d N m n
mo mm
d o n m
N N œ O
m ra — m
m N œ Jt
Nm œ n i N © O O O O
o d o o
— œoo
œ o — œ> m d ommo
mo o mN O o m d o
o ra N O ra m OONO
N N m ©>n ra — O O d
m N o —■oo o — oom
o o N — d N —o o d
m o QOd ■m ra NNNO
o N O N m o d m m d
œ o
)N N O d O d
o N Jt 04 d n oomo
• N O m m n — —o N O N N m m œ o
—m
o m
m
ra
o
m
o œ O — O N N —O O
io œ
«o©NO©dNro
— m o d m mo « n œ N
m© — ommœoNN
m o © n © n m d —«
dNro
— roNN©
—N
m ra o « d © œ
NOO
oommomNNOo
m n n m o jt tnto jt t©NdN
— oo©oœ
O — N m © o — m pi n
o — NdOOooNm
© m n N N o d n o d
omeo — ra — ooœ — — eoo n m m o m n n
mmn o m©o n mm
— doNdom©oo
o N o md n —
— n — m©oodN©
omN
mNONNin—
NNN
d o jt m o — m
dNN
o d n o mo mmO N
omo — m m O N N N
m m ra d © ra n o N O
Nmo
« d —œ —œ ©
o d n o mn o N O O
o mœ N « o o mn m
*- o — N « © N CDN d
— o o m m m ra n ra —
d ro o © m o œ d œ o
NO CD« © m N — N d
co © d d © cmn © — m
m N N m © —o o m ©
n mmmmo n o O N
oo — œ m o Nmo m
o m o m © © —m O d
t- — 04 m m o m n m o
m o o m n m —m o o
o m©o mo o o o «
d o o n ro o N n d N
ON — o m d o o o — d — « o n CO— « O N
— m — jt m N d o m d
O — O ooo
t—t- — co m « d n d © N O © — © o © — N N © m m d
o m - — rot- m m © ©
ra m — m d — m ra n o
d n Nd d m N © O N
rod — in o m nn d o
n œ n o o o N N —N
m m — m m d ONNO
NON
n n « on mN
mm
O N t—t- Jt —
o jt © omo NOON
ONO
N « O d n m m
O N o o O O Odo
—
N d o N « m ommo
CO — © o m o N N o m
d œ m © N N — NNO
o o — d m m m jt m —
d o m OON
ooo
—
« d o d mn o o o o
OON
—n m m d o —
ra o o — to Jt o m N N
n m
m o NOON
O N d NOO
o n ra N
— Od o « d m m — d
d —
n m—N —O
m o n ON — O O O CD
m © o n o mo o mn
ra m n d- o n m d m — o
N O o ra o ra
œ m NNO
d o m « m
d d N o m N —© m d
d©N«
— ©«m
——
m o o d —n o « d d
œ o n — m m oomo
œmN«NNdm
——
co N m o — m — d « m
o o cmo o m — omm
N — N©«m«ONN
o —d o N n m œ © d
O N m m d m ©NOO
dN — m — oodNm
— d t—co ro m — Jt © «
t-^
o o m m od o o
omoodo«N
—o
m o O N d O o o —o
O N mmm m o © o —
«inNN
— indcoN
—
—N mo n N N N N —
o N © d mm n o œ m
moNmoroNOd«
© d tM d —
© o ONNO
© O no©
o o o N — — N«OdNramra
o m jt — jt — — odd
o m o m — m ©Nmo
co — ooNdmomo»
m© mmm m n o d — n d o n o d m m n d
ooo
— n — — NO —
m m m — m N © — m — d o m o — — — o d © n ro ro n m d o n o œ
ro © o o o
— oomo
omN o m o m o n © n m N N N o m o m o
d d o co N O o n n m
m© œ © o d ©n m o
N d © O O O © N N —
NNO
m d o o o d mn n n
NN œ d o œ —
d m o m n —o o o m
dNN©
—o o m m©
a> Jt Jt — N n m — d o
n d d o « ©o mn m
m N o d m N N O N —
m o n —m n n © m m m o o n o o n n © m
n d o m m d O d O — m n — o © m n n m œ n n m © o — ONNO
mom n d jt co — o © o o — o d m ra © m ©
n m m o —m © d N o
d o m d © o n o o m
n m m —n r» N-N N d
o o o mmn mo mn
CMO O O N o mm n d
m — m © d ©©omo
d © moN
—m œ o m
OiJtttOt—t—Jt
m
—
n
œ
m
mmn o
NON
© —n o m o o
—N O o o m n o
O N N N O O ro n m ra
o d o o m o o o ra o
— N d œ o n cmo — N
PO O — m m m n —
ONm
o m o —o m o
o o O N d mmo o n
Od m d © N n o m N
mo n O N o o o mo
o « moo m « © o o
—m o ro m n m o m ra co 00 o m m o ra — o —
d O d d o d © œ n m
m © m m © n omoo
o © © n m m m n —m
« o odm
—n n o m
œ o o n o d OONO
NOO
o o n mm©n
— 04I0 Nm O d O © N
© N 04 Jt O n m o m m
m© d m n © N — N O
©m ONm n o n mN
œ © —m o n m n o o
moo ro o o n © m —
ON mom O N N N —
m n m o n o ——o œ ooo
O N o d o mm
99
DECIMALS
d o © mO N O O —O
©o n o ©mmmn o
o o ro ro m — o d
mn n n o n o o
o m — n n ra N 00
œ — —o © œ œ n m —
o ra n o d d m m — —
—o m o o — © o m m
N O o N d m œ o o o
— O ro m n m m ra d d
orao
m Jt o o — n m
moo
d mo m d o o
t- to Jt m m n o © © —
m ro m jt n ro o oo m N
ONN
mn d o md n
m o n mN m d n — —
mo n ©o o o n œm
— ON — m o m n n œ
o n o co n o —
NO©
—© m ro o m m m — m
N O mo o mn o m d
d N m o ro — ro — œ o
00 O n ra o m œ n n —
N O m n — oo m n d m
N — d œ o n m —n —
N O O N d O —O d o
ON N N N d N O — o
o m m n ra ra — o d d
m d o n d mn n m m
o m ro n o œ o m n d
o m œ œ d o m —o o
d d o — m n NONO
o d m o o ro N n m N
o d n d m ra m © m m
m o oo o d m o n n m
N m o m N N
Nmoo
ro o © d co — m m o n
—n n m o © d o n o
O m d — o N Jt — Jt CD
©o o ©N N o n o m
O N
© ©
O —N N N m O N
d © o d — o ro ro
m o —n N O O d
m cmœ o © o o m d
o o m©o o m© d
o o n n mN O d N
o n — m n o n m ra
N —d o œ d m © n
— jt o o ra o o — ra
o œ d o d •—ooo
o N N d ra œ d m n n
O N œ — o m omoo
o — m m ra d o d o N
m o o © o m — orao
n o m o n o o —o o
N d o © N N O —N O
o — o o O O t— CD CO Jt
m o m o O O jt o jt œ
do m d m o omo©
© o o — o m © o© N
O N o o o —o © N d
— N d o n — m ©NO
O O m n Nmo
ro — O
m n — d n — m OON
m œ jt
O N — N ON©
O N m o o m n ooo
o m—
o d m © NOO
o m — m — 04 Jt NOO
m m œ © — m o NmN
mn N N d m m N © O
o
m
o
m
o
o
m
OOm
oo
— NNN
— odmdoora
dNCOinNNCO
dm»N
—o —
— NO
—o d © m d
— O©NNl0ONdN
NdPONN©
— OO
—
t-t-jtr-o404r—coaoto
œ — — roNNcocoom
©dOdooNd
—œ
mmmmo
— Ndm —
N — NmN — d©oo
Nmo
— OdNON
—
orONNtnmoN©
—
ooœmNmmN©—
N©NdNNOON©
OdO©Nin
— n©o
©NNœmomoom
o — oœooœomd
oommNmmoNco
NOOrOdNiOdNO
ddomdN©©m©
mmo — oddooN
—
o — o n m n o — mo
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use
N O domNNinod
O O mmoooomm
m o cmm o © — — « m
o o o m m d cmo « «
N N œ m
m jt — omo
co o Nmoo
N O — O
d oo m o m m N N ra 00
—N mmn
O N NOON
o momo
— t- t- 04
N O CMO « O ra o œ d
O O •—mmm o o ra N
m — cmm « « d o « «
o ©O O O
© — o « —© n n
O © N m m œ ro n
—n œ m d m ro m
NO©
n d m n ro
—o o m n n n m
ooo
N O OONON
ONN
d N
œ
d
m
n
ra
m
—
o
o
o
O N d O N O N
ONO
N —O O N
ONO
m o m N Jt — N
mmm
n o d
N N N
mo O
mmO
d n o
o mN
n «ooo
N m
d 04 Jt O CO — m
N m « mo mo
d o o —o d ©
O N O © O o m
m d m —N n «
N o n md ©©
d — O © ©ooo
mn
œ n O d — o d o «N
m œ N m « œ —n
« —m o m —© n n m
oom
o r- — n d o m
d o d m o cmo o o o
N © œ mn o o n d œ
ooo
o d n œ o mn
m n d d —m d o o o
Nmo o o o o o o m
œ o m — o ONNO
—
—N n œ m o o
ooo
moo o o o o d m n
o N © . mœm o o n
o o œ o d —d n o m
n mmo o d O N —O
œ m O N n —d d no
m d O O œ o o œ o o
œ d m m ON N O N N
n m r—m O N — mNO
n © o « o m —— m o
o o m o m o NOON
mn mmd © N N o m
o o — jt m cot— Jt Jt Jt
— o o d o N N ONO
© N n o o m N d d CO
© O — o m ro — d dm
œn N o d d d mn n
n m N N r- N o m r ©
— d N N © N © — NO
— o m m m m n Jt CO Jt
— m O O O d o œoo
©o © O N N N n n m
md — mNdœoNm
— ©Nomœo
— ——
©mmmoNommo
NdO
— NN — OO —
NOd
— OONdNO
0©mdOO
— NNO
m — odroœooino
OdOdNdONNd
mmoooo
— NNO
— ooooomoom
o©mœmmmNNm
t- Jt Jt o cot— Jt Jt Jt t—
— NO — dONN©N
— — mdOddNNO
©oood
— oomdN — N — «—ONO
—
mm«oooooom
N«omoNroNin
—
inomN
— m — om —
Nmod«rOd«od
roNONinmoNNin
i—dinN
— dONcoN
— — odom
— t—co t—
mroNNoœNNoin
©NmmN
— — odm
«N — d — n-dOd
NNWdOdOPOd
m n ooo
— Nmoo
— 04 Jt
Jt © — N©om
o m tnoNcodmoo
N N — N — OONNd
o © N — mNinNNN
m m oœommd
—o
m n mmNoommm
© o momoNNNO
mo
—n
N m
mn
COto o
n m
« d
mn
mn
n ©
o m
n n
Ot—
n œ
—d
mm
mœ
Jt 04 Jt —
m n m o —m
o d œ œoo
d m œ d o m
œ m n dm«
— Jt ro d « —
mmmo d o
n « — oom
o — o — ON
n oo d — Nm
*-t— o ro ra ra