แบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 10
1. จงหาคำตอบของสมการอนุพันธ์ต่อไปนี้โดยใช้การแปลง Laplace
(a) y 0 + 2y = 4x
โดย y = 0 เมื่อ x = 0
(d) y 0 + y = H(x − 2)
โดย y = 1 เมื่อ x = 0
(b) y 0 − y = 2 cos x
โดย y = 1 เมื่อ x = 0
(e) y 0 = H(x − 1) · 2e2x
โดย y = −1 เมื่อ x = 0
(c) y 00 + 4y 0 + 4y = 4x
โดย y = 0 เมื่อ x = 0
และ y 0 = −3 เมื่อ x = 0
(f) y 00 + 4y 0 + 5y = δ(x − π)
โดย y = 1 เมื่อ x = 0
และ y 0 = 0 เมื่อ x = 0
2. ถ้าวัตถุมวลคงที่ m ตกลงในแนวดิ่งในของเหลวที่มีสัมประสิทธิ์ความหนืดคงที่ k
และได้ร ับแรงดลหนึ่งหน่วยเมื่อเวลา t1 แล้วอัตราเร็ว v ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลา t
สอดคล้องกับสมการอนุพันธ์
m
dv
= mg − kv + δ(t − t1 )
dt
โดย g คือ ความเร่งคงที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก จงหาคำตอบของสมการอนุพันธ์นี้
ถ้า v = 0 เมื่อ t = 0
3. ถ้าวงจรไฟฟ้าประกอบด้วยขดลวดที่มีความเหนี่ยวนำคงที่ L และตัวเก็บประจุที่มีความจุ
คงที่ C และได้ร ับแรงเคลื่อนไฟฟ้าหนึ่งหน่วยระหว่างเวลา t1 และ t2 แล้วประจุ Q
(บนตัวเก็บประจุ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลา t สอดคล้องกับสมการอนุพันธ์
L
d2 Q Q
+ = H(t − t1 ) − H(t − t2 )
dt2
C
จงหาคำตอบของสมการอนุพันธ์นี้ถ้า Q = Q0 เมื่อ t = 0 และ Q0 = 0 เมื่อ t = 0
คำตอบแบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 10
1.
(a) y = e−2x + 2x − 1
(b) y = 2ex + sin x − cos x
(c) y = e−2x − 2xe−2x + x − 1
(d) y = e−x + H(x − 2)[1 − e−(x−2) ]
(e) y = −1 + H(x − 1)(e2x − e2 )
(f) y = e−2x (cos x + 2 sin x) − H(x − π) e−2(x−π) sin x
2. v =
mg
1
(1 − e−kt/m ) + H(t − t1 ) e−k(t−t1 )/m
k
m
3. Q =
!
"
t − t1
t
+C H(t − t1 ) 1 − cos √
Q0 cos √
LC
LC
!#
"
t − t2
− H(t − t2 ) 1 − cos √
LC
!#!
แบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 9
1. จงหาคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับที่หนึ่งต่อไปนี้
(a) y 0 + y = 3
(e) y 0 − 2xy = 2x3
(b) y 0 − 2y = ex
(f) y 0 + (sin x)y = sin(2x)
(c) y 0 + 2y = 4x
โดย y = 0 เมื่อ x = 0
(g) (cos x)2 y 0 − y = 2 tan x
โดย y = −3 เมื่อ x = 0
(d) y 0 − y = 2 cos x
โดย y = 1 เมื่อ x = 0
(h) xy 0 + y = ln x
โดย y = 0 เมื่อ x = 1
2. จงหาคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับที่สองต่อไปนี้
(a) y 00 − 4y = 8x2
(c) y 00 − 2y 0 + y = e2x
(b) y 00 − y 0 − 2y = 10 sin x
โดย y = 3 เมื่อ x = 0
และ y = 2e2π − 1 เมื่อ x = π
(d) y 00 + 4y 0 + 4y = 4x
โดย y = 0 เมื่อ x = 0
และ y 0 = −3 เมื่อ x = 0
คำตอบแบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 9
1.
2.
2
(a) y = Ce−x + 3
(e) y = Cex − x2 − 1
(b) y = Ce2x − ex
(f) y = Cecos x + 2(1 + cos x)
(c) y = e−2x + 2x − 1
(d) y = 2ex + sin x − cos x
(g) y = −etan x − 2(1 + tan x)
1
(h) y = + ln x − 1
x
(a) y = C1 e2x + C2 e−2x − 2x2 − 1
(c) y = C1 ex + C2 xex + e2x
(b) y = 2e2x − 3 sin x + cos x
(d) y = e−2x − 2xe−2x + x − 1
แบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 8
1. จงตรวจสอบว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์ที่กำหนดให้หรือไม่
(a) สมการ: yy 0 = 1
√
ฟังก์ชัน: y = x + C
(c) สมการ: y 00 − y + x2 = 0
ฟังก์ชัน: y = 2 + x2 + C1 ex + C2 e−x
(b) สมการ: xy 0 + y = 3x2
โดย y = 3 เมื่อ x = 2
2
ฟังก์ชัน: y = x2 −
x
(d) สมการ: xy 00 + 2y 0 = 2
โดย y = 2 และ y 0 = 3 เมื่อ x = 1
1
ฟังก์ชัน: y = 2x + 1 −
x
2. จงหาคำตอบของสมการอนุพันธ์ต่อไปนี้
(a) x (cos y) y 0 = 1
√
(b) x y 0 − y 2 = 1
√
(c) y 0 − 4 = sec x
โดย y = 1 เมื่อ x = π/4
(d) y 0 = ex y 2
โดย y = 1 เมื่อ x = 0
(e) (x − y 2 ) y 0 + y = x2
(f) sin(xy)(xy 0 + y) = 2x
(g) (ex−y − 1) y 0 = ex−y
โดย y = 0 เมื่อ x = ln 2
√
√
(h) (x − x + y ) y 0 + y = x + y
โดย y = 3 เมื่อ x = 1
คำตอบแบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 8
1.
2.
(a) ไม่เป็น
(c) เป็น
(b) เป็น
(d) ไม่เป็น
(a) ln |x| − sin y = C
√
(b) 2 x − arctan y = C
(e) x3 − 3xy + y 3 = C
(c) tan x + 4x − y = π
1
(d) ex + = 2
y
(g) ex−y + y = 2
(f) x2 + cos(xy) = C
(h) 2(x + y)3/2 − 3xy = 7
แบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 7
1. จงหาพจน์ที่ n ของอนุกรมต่อไปนี้ และตรวจสอบว่าอนุกรมดังกล่าวลู่เข้าหรือลู่ออก
(a) 1 −
(b)
π2 π4 π6
+
−
± ...
2!
4!
6!
π3
π5
π7
π
−
+
−
±...
2 8 · 3! 32 · 5! 128 · 7!
(c) 1 +
3 9 27
+ +
+ ...
2 4
8
(d) 1 + ln 2 +
(ln 2)2 (ln 2)3
+
+ ...
2!
3!
(e) 5 −
25 125 625
+
−
± ...
2
3
4
(f) 2 −
8 32 128
+
−
± ...
3
5
7
2. จงหาพจน์ที่ n ของอนุกรม Taylor ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ โดยมีจุดศูนย์กลางที่จุด x0
จากนั้นหาช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมดังกล่าว
(a) f (x) = cos x,
x0 = 0
(d) f (x) = ex ,
(b) f (x) = sin x,
x0 = π
(e) f (x) = ln x,
(c) f (x) =
1
,
x
x0 = 1
x0 = 0
x0 = 1
(f) f (x) = arctan x,
x0 = 0
คำตอบแบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 7
1.
(a) an =
(−1)n−1 · π 2n−2
(2n − 2)!
(d) an =
อนุกรมลู่เข้า
(b) an =
อนุกรมลู่เข้า
(−1)n−1 · (π/2)2n−1
(2n − 1)!
อนุกรมลู่เข้า
(−1)n−1 · 5n
n
อนุกรมลู่ออก
(e) an =
n−1
(c) an =
3
2
(f) an =
อนุกรมลู่ออก
2.
(a) an =
(d) an =
ช่วงของการลู่เข้า คือ (−∞, ∞)
(−1)n · (x − π)2n−1
(b) an =
(2n − 1)!
ช่วงของการลู่เข้า คือ (−∞, ∞)
(c) an = (−1)
(−1)n−1 · 22n−1
2n − 1
อนุกรมลู่ออก
(−1)n−1 · x2n−2
(2n − 2)!
n−1
(ln 2)n−1
(n − 1)!
· (x − 1)
n−1
ช่วงของการลู่เข้า คือ (0, 2)
xn−1
(n − 1)!
ช่วงของการลู่เข้า คือ (−∞, ∞)
(e) an =
(−1)n−1 · (x − 1)n
n
ช่วงของการลู่เข้า คือ (0, 2]
(f) an =
(−1)n−1 · x2n−1
2n − 1
ช่วงของการลู่เข้า คือ [−1, 1]
แบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 6
1. จงหาพหุนาม Taylor อันดับที่ n ของฟังก์ชัน f (x) โดยมีจุดศูนย์กลางที่จุด x0
ข้อ
f (x)
n
x0
ข้อ
f (x)
n
x0
(a)
sin x
4
π/2
(d)
ln x
4
1
(b)
cos x
4
0
(e)
tan x
3
0
(c)
e−x
3
0
(f)
arctan x
3
0
2. จงประมาณค่าของฟังก์ชันในข้อย่อย (a)-(d) ในข้อ 1. ที่จุด x ที่กำหนดให้โดยใช้พหุนาม
Taylor ที่หาได้ จากนั้นหาขอบเขตของความคลาดเคลื่อนของการประมาณดังกล่าว
(a) x = π/3
(c) x = 1
(b) x = π/8
(d) x = 2
แบบฝึกหัดสำหรับสัปดาห์ที่ 6
1.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2.
(x − π/2)2 (x − π/2)4
+
2
24
x2 x4
T4 (x) = 1 −
+
2
24
2
x
x3
T3 (x) = 1 − x +
−
2
6
(x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4
+
−
T4 (x) = (x − 1) −
2
3
4
3
x
T3 (x) = x +
3
x3
T3 (x) = x −
3
(a) T4 (x) = 1 −
(a) T4 (π/3) ≈ 0.866054,
|R4 (π/3)| ≤ 0.000328
(b) T4 (π/8) ≈ 0.923885,
|R4 (π/8)| ≤ 0.000078
(c) T3 (1) ≈ 0.333,
|R3 (1)| ≤ 0.042
(d) T4 (2) ≈ 0.583,
|R4 (2)| ≤ 0.200