Typical Problems for Algebra
Simplifying Algebraic Expressions
1. Simplify 8-4ê3 .
1
1
1
1
8-4ê3 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
84ê3
24
16
H81ê3 L4
9 ÿ9
2. Simplify I ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ M
9-2
-3
9 ÿ9
I ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ M
9-2
-3
5
3. Simplify
5
-1ê2
-1ê2
.
1
1
1
1
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
92
81
9 -3 ÿ9 5 1ê2
H9 -3+5-H-2L L1ê2
H9 4 L1ê2
I ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M
9-2
è!!!!!!!!!6!!!!!!!
!!
81 x y-4 .
è!!!!!! è!!!!!!
è!!!!!!!!!6!!!!!!!
!!
81 x6##
81 x6
9 x3
81 x y-4 = "########
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
è!!!!!!
y4
4
y2
y
4. Simplify
è!!!!!!!
! è!!!!!!!!!!!
x-1 ÿ 9 x-3 .
è!!!!!!!
! è!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!
1 #
1
3
x-1 ÿ 9 x-3 = x-1 ÿ 9 x-3 = 9 x -4 = 3 x-4 = 3 "######
ÅÅÅÅ
ÅÅ = 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
è!!!!!!
x4
4
x2
5. Simplify
x
3
è!!!!!!!!
!!!!
x3 a+b .
3
è!!!!!!!!
!!!!
1ê3
1ê3
1ê3
x3 a+b = Hx3 a+b L = Hx3 a L Hxb L = xa xbê3 = xa+bê3
6. Simplify H2 a1ê6 b5ê6 L
-6
H2 a1ê6 b5ê6 L
-6
.
1
1
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
26 a6ê6 b30ê6
64 a b5
H2 a1ê6 b5ê6 L6
20 x 3 50
x2## %
3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "########
%%%%%%%%%
7. Simplify $%%%%%%%%%%%%%%%%
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .
y2
y4
1ê3
20 x "########
20 x 1ê3 50 x2 1ê3
20 x
50 x2 1ê3
1000 x3 1ê3
1000 1ê3 Hx3 L
10 x
3 50 x2##
3 ÅÅÅÅ
$%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%
%
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
I ÅÅÅÅÅÅÅÅ
= I ÅÅÅÅ
= I ÅÅÅÅÅÅÅÅ
= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
yÅ2ÅÅÅÅÅ
y4ÅÅÅÅÅ = I ÅÅÅÅyÅ2ÅÅÅÅÅ M
y4ÅÅÅÅÅ M
yÅ2ÅÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
y4ÅÅÅÅÅ M
yÅ6ÅÅÅÅÅÅÅÅ M
yÅ2ÅÅÅÅÅ
Hy6 L1ê3
AlgebraProblems.nb
2
2
2
2 a -3 a b-9 b
8. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
2 a b 2 +3 b3
2 a -3 a b-9 b
H2 a+3 bL Ha-3 bL
a-3 b
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
2 a b 2 +3 b3
b2 H2 a+3 bL
b2
2
2
3 Hx -1L Hx +x-1L H2 x+1L-Hx +x-1L H3 x L
9. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
Hx3 -1L2
3
2
2
2
3 Hx -1L Hx +x-1L H2 x+1L-Hx +x-1L H3 x L
3 Hx +x-1L@Hx -1L H2 x+1L-x D
3 Hx +x-1L H2 x +x -x -2 x-1L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Hx3 -1L2
Hx3 -1L2
Hx3 -1L2
3
2
2
2
2
3
2
2
4
3
2
ÅÅ1ÅÅ + ÅÅ1ÅÅ
x
10. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å1ÅÅÅyÅÅ .
1- ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
xy
1
1
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
x+y
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
1- ÅÅÅÅ
x ÅyÅ Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
x ÅÅÅÅ
y ÅÅ
x+y
x
xy
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å1ÅÅÅy ÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
x y-1
x y-1
-3
-3
x -y
11. Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
x-1 -y-1
x3 y3 I ÅÅÅÅ13ÅÅ Å - ÅÅÅÅ13ÅÅ Å M
x -y
y -x
y -x
Hy-xL Hy +x y +x L
y +x y +x
x
y
x
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1yÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
1 ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3 3 1
x-1 -y-1
x2 y3 -x3 y2
x2 y2 Hy-xL
x2 y2 Hy-xL
x2 y2
-3
-3
ÅÅÅÅ13ÅÅ Å - ÅÅÅÅ13ÅÅÅÅ
ÅÅxÅÅ - ÅÅyÅÅ
x y I ÅÅxÅÅ - ÅÅyÅÅ M
3
3
3
3
2
2
2
2
Factoring, Roots, and Completing the Square
1. Simplify H3 x2 + 5 x y + 2 yL + H4 - 3 x y - 2 x2 L .
H3 x2 + 5 x y + 2 yL + H4 - 3 x y - 2 x2 L = H3 - 2L x2 + H5 - 3L x y + 2 y + 4 = x2 + 2 x y + 2 y + 4
2. Simplify 3 x2 - Hx2 + 1 - xHx - H2 x - 1LLL + 2 .
3 x2 - Hx2 + 1 - xHx - H2 x - 1LLL + 2 = 3 x2 - x2 - 1 + xHx - H2 x - 1LL + 2 = 2 x 2 - 1 + x2 - H2 x2 - xL + 2
= x2 + x + 1
3. Factor 3 x3 - x2 + 3 x - 1 .
3 x3 - x2 + 3 x - 1 = 3 Hx3 + xL - Hx2 + 1L = 3 xHx2 + 1L - Hx2 + 1L = Hx2 + 1L H3 x - 1L
4. Factor 8 a2 - 2 a b - 6 b2 .
8 a2 - 2 a b - 6 b2 = 2 H4 a2 - a b - 3 b2 L = 2 H4 a + 3 bL Ha - bL
AlgebraProblems.nb
3
5. Find the greatest common factor of 4 x2 y2 z - 2 x5 y2 + 6 x3 y2 z2 .
4 x2 y2 z - 2 x 5 y2 + 6 x3 y2 z2 = 2 x2 y2 H2 z - x3 + 3 x z2 L
6. Find the real roots of 3 x2 - x - 4 = 0 .
è!!!!!!!!!!!!!!!!
2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!
-H-1L H-1L -4 H3L H-4L
1 1+48
17
x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = -1, ÅÅÅÅ43
2 H3L
6
6
7. Complete the square of 5 x2 - 3 x + 1 .
3
3
3
1
3
5 x2 - 3 x + 1 = 5 Hx2 - ÅÅÅÅ35 x + ÅÅÅÅ15 L = 5 Ix2 - ÅÅÅÅ35 x + ÅÅÅÅ15 - H ÅÅÅÅ
10ÅÅ L + H ÅÅÅÅ
10ÅÅ L M = 5 IHx - ÅÅÅÅ
10ÅÅ L + ÅÅÅÅ
5 - H ÅÅÅÅ
10ÅÅ L M
2
2
2
2
3
11
= 5 IHx - ÅÅÅÅ
ÅÅ L + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ M
10
100
2
8. Find all of the roots of the polynomial: x3 + 8 x2 - 11 x - 18 .
By inspection we note that x = -1 is a root. We can then divide this root from the polynomial:
x +8 x -11 x-18
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = x2 + 7 x - 18 = Hx - 2L Hx + 9L .
x+1
3
2
Hence, the roots are: x = -1, 2, -9 .
Straight Lines (a x + b y = g or y = m x + b)
1. Find the equation of the line that passes through the points H0, 1L and (-2,3).
y1 -y0
y-y0
y-1
3-1
The slope of the line is m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = -1 . The equation is then -1 = m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ï -x = y - 1 or
x1 -x0
-2-0
x-x0
x-0
y = -x + 1.
2. Find the equation of the line that is perpendicular to the line with a slope of 2 and passes through the point H0, -1L .
1
The slope of the desired line is m = - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ12 . It passes through the point H2, 1L and hence,
-2
y+1
- ÅÅÅÅ12 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ï y + 1 = - ÅÅÅÅ12 x ï y = -1 - ÅÅÅÅ12 x.
x-0
3. Find the equation of the line with slope -3 and intercepts the y-axis at H0, 2L .
AlgebraProblems.nb
4
We use y = m x + b with m = -3 and b = 2 . Hence, y = -3 x + 2 .
4. Find the equation of the line that is parallel to the line y = -5 x + 9 and passes through the point H1, 1L .
The slope of the line is -5. Hence,
y-y0
y-1
-5 = m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ï -5 x + 5 = y - 1 ï y = -5 x + 6.
x-x0
x-1
Inequalities
1. Express @- ÅÅÅÅ65 , - ÅÅÅÅ12 L in terms of inequalities.
@- ÅÅÅÅ65 , - ÅÅÅÅ12 L = 8x œ ! : - ÅÅÅÅ65 § x < - ÅÅÅÅ12 <
2. Solve the inequality H2 x - 4L Hx + 2L ¥ 0 .
We set up our sign table for the two factors 2 x - 4 = 2 Hx - 2L and x + 2 :
2x-4 - - - 0 + +
x+2
0
+ + + + + + .
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
The product of the two factors must be nonnegative (i.e. ¥ 0). This will occure when both are nonpositive ( § 0 ) or nonnegative ( ¥ 0 ). From our table, this is when x § -2 or x ¥ 2 . Therefore, the solution is H-∞, -2D ‹ @2, ∞L.
x-1
3. Solve the inequality ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ § 4 .
x+2
x-1-4 Hx+2L
x-1
-3 x-9
x+3
We first rewrite the inequality as ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - 4 § 0 ï ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ § 0 ï ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ § 0 ï ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ¥ 0 . Now we setup our sign table.
x+2
x+2
x+2
x+2
x+3 0
+
+ + + + + +
x+2 0
+ + + + + + .
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x+3
We want the ratio ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ to be nonnegative and hence the numerator and denominator have the same sign. Note that we don't
x+2
allow x = -2 where the ratio is undefined. The top and bottom have the same sign when x § -3 and x > -2 . Therefore, the
solution is H-∞, -3D ‹ H-2, ∞L.
AlgebraProblems.nb
5
Domains of Functions
x +9 x-1
1. Find the domain of the function f HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
x2ÅÅÅÅÅÅÅÅ
-9ÅÅÅÅÅ .
2
D f = 8x œ ! : x2 - 9  0< = 8x œ ! : x2  9< = 8x œ ! : x   3< = ! - 8 3<.
2. Find the domain of the function f HxL =
4
è!!!!!!!!
!!!!!
x2 - 1 .
D f = 8x œ ! : x2 - 1 ¥ 0< = 8x œ ! : x2 ¥ 1< = 8x œ ! : » x » ¥ 1< = H-¶, -1D ‹ @1, ¶L.
3 x+»x»
3. Find the domain of the function f HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ .
x
D f = 8x œ ! : x  0< = H-¶, 0L ‹ H0, ¶L.