HONORS PRECALCULUS / BERNHARDT
REVIEW: Chapter 5
sin 2 x
= cos x
1. Prove: 1 !
1 + cos x
1 + cos x
sin 2 x
!
= cos x
1 + cos x 1 + cos x
1 + cos x ! sin 2 x
= cos x
1 + cos x
(
cos x + 1 ! sin 2 x
1 + cos x
) = cos x
cos x + cos 2 x
= cos x
1 + cos x
cos x (1 + cos x )
= cos x
1 + cos x
cos x = cos x
2. Prove:
1 ! tan x
= csc x ! sec x
sin x
1
tan x
!
= csc x ! sec x
sin x sin x
csc x !
sin x 1
"
= csc x ! sec x
cos x sin x
csc x !
1
= csc x ! sec x
cos x
csc x ! sec x = csc x ! sec x
3. Prove:
1
1
+
= !2 tan t sect
sin t ! 1 sin t + 1
sin t + 1 sin t ! 1
+
= !2 tan t sect
sin 2 t ! 1 sin 2 t ! 1
2 sin t
= !2 tan t sect
sin 2 t ! 1
2 sin t
= !2 tan t sect
1 ! cos 2 t ! 1
(
)
2 sin t
= !2 tan t sect
! cos 2 t
!2 sin t 1
"
= !2 tan t sect
cost cost
!2 tan t sect = !2 tan t sect
4. Solve on the interval [0, 2π): sin x = tan x .
sin x ! tan x = 0
sin x !
sin x
=0
cos x
1 %
"
sin x $ 1 !
' =0
#
cos x &
sin x = 0!or!1 !
1
=0
cos x
sin x = 0!or!cos x = 1
x = 0,!! !!!or!!x = 0
5. Solve on the interval [0, 2π): 4 sin 2 x = 1 .
sin 2 x =
1
4
sin 2 x =
sin x = ±
x=
1
4
1
2
! 5! 7! 11!
,! ,! ,!
6 6 6
6
6. Solve on the interval [0, 2π): cos 2x = 1 + sin x .
1 ! 2 sin 2 x = 1 + sin x
0 = sin x + 2 sin 2 x
0 = sin x (1 + 2 sin x )
0 = sin x!!or!!0 = 1 + 2 sin x
1
= sin x
2
7! 11!
x = 0,!! !!or!!x =
,!
6
6
0 = sin x!!or!!!
7. Solve the triangle(s) and the area(s): !A = 40º , a = 54, b = 62
Because 62 sin 40º < 54 < 62 , this is the ambiguous case with two triangles.
FIRST TRIANGLE
sin 40º sin B
=
54
62
!B = 47.562º
!C = 180 " ( 47.562º +40º ) = 92.438º
sin 40º sin 92.438º
=
54
c
c = 83.933
Area =
1
! 54 ! 62 !sin 92.438º = 1,672.485
2
SECOND TRIANGLE
!B = 180º "47.562º = 132.437º
!C = 180º " (132.437º +40º ) = 7.563º
sin 40º sin 7.563º
=
54
c
c = 11.057
Area =
1
! 54 ! 62 !sin 7.563º = 220.326
2
8. Solve the triangle(s) and the area(s): !A = 75º , a = 51, b = 33
Because 51 > 33, there is only one triangle.
sin 75º sin B
=
51
33
!B = 38.683º
!C = 180 " ( 38.683 + 75º ) = 66.317º
sin 75º sin 66.317º
=
51
c
c = 48.352
Area =
1
! 51! 33!sin 66.317º = 770.630
2
9. Solve the triangle(s) and the area(s): a = 6, b = 9, c = 4
6 2 = 9 2 + 4 2 ! 2 " 9 " 4 " cos A
!A = 32.089º
9 2 = 6 2 + 4 2 ! 2 " 6 " 4 " cos B
!B = 127.169º
!C = 180º " ( 32.089º +127.169º ) = 20.742º
Area =
1
! 6 ! 9 ! sin 20.742º = 9.562
2
10. Solve the triangle(s) and the area(s): !A = 60º , a = 20, b = 30
Because 30 ! sin 60º > 20 , there are no triangles.