Identification of an isometric transformation of the
standard brownian sheet
Serge Cohen, Xavier Guyon, Olivier Perrin, Monique Pontier
To cite this version:
Serge Cohen, Xavier Guyon, Olivier Perrin, Monique Pontier. Identification of an isometric
transformation of the standard brownian sheet. Journal of Statistical Planning and Inference,
Elsevier, 2006, 136 (4), pp.1317-1330. .
HAL Id: hal-00271988
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Submitted on 10 Apr 2008
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y(u, v) = −(u − a) sin(θ) + (v − b) cos(θ),
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(a, b)
+
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open set
V
Y
B
M(t)
β−θ
β
quadrant II : x < 0 and y > 0
y(t)
A
v
X
y
x(t)
x
b
θ
O’
quadrant IV : x > 0 and y < 0
O
a
u
’
U
quadrant III : x < 0 and y < 0
¶¸ôJÃ\´»-ý ¼³cÀ-»6º¿´¿¶“²Uº¿´¹;·&¼™òó³c´¿À¹;º¿¶“³c· ³;òº¿õ&»U²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»M¼¿¾P¼¿º»6À
· º¿õ\¶“¼Bñ.¹;ñ
»6´Pð »¹;´»M¶¸·Žº»6´»n¼¿º»nµ ¶¸· º¿õ&»u»n¼º¿¶¸À¹;º¿¶“³c· ³;òº¿õ&»Mñ.¹;´¹;À-»6º»6´M¹;·\ôJ θ
º³côp»6º¿õ&»6´¶¸º¿õ`º¿õ&»Bñ.¹;´¹;À-»6º»6´¼³;ò/º¿õ&»Bº¿´¹;·&¼¿ï‚¹;º¿¶“³c·
¹;·&µ ðŽò ´³cÀ"³c·&»B´»¹;︶
q¹;º¿¶“³c·”³;ò
a
b
º¿õ&»½´¹;·&µ\³cÀ í.»6
³ &¼»6´¿Äp»nµ ³c· ¼³cÀ-»„³cñ,»6· ¼¿Ã&¼»6º¶¸· º¿õ&»M²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»M¼¿¾P¼¿º»6À
h
· òš¹c²6ºY„ð θ,a,b
,»n²¹;Ã&¼» Y ¶“¼U¹;ï¸À-³J¼¿º¼¿Ã\´»6︾ »nŽÃ.¹;ﺳ 0 ³c· º¿õ&»u¹$÷\»n¼B³;òŸº¿õ&»
(O, U, V)
²¹;·&³c·\¶“²¹;n³>³c´µP¶¸·.¹;º»¼¿¾>¼º»6À”
ð θ,a,b
#»-¹c¼¼¿Ã\À-»„º¿õ.¹;º Y ¶“¼h³ &¼»6´¿Äp»nµ ¶¸· ¹;· ¹;´ \¶¸º¿´¹;´¿¾
·&³c· Äc¹c²6Ã&³cÃ&¼³cñ
»6· ¼»6ºB³;ò 2 õ\¶“²õ µ\³>»n¼B·&³cº%¶¸·Žº»6θ,a,b
´¼»n²6ºM¹;·¾ ¹$÷P¶“¼³;òº¿õ&»u²¹;·&³c·\¶“²¹;ï
R
²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»”¼¿¾P¼¿º»6"
À õ&» »n¼¿º¿¶¸À¹;º¿¶“³c·¶“¼-²¹;´¿´¿¶“»nµ³cÃ\}
º ¶¸º¿õ2º¿õ&»`õ&»6ï¸ñ³;òŽÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²
ÄJ¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·&¼ ì »n¼¿Ã\︺¼ò§´³cÀ ¹$÷Pº»6´uø™ý ¹;·&µ”¶¸º¼ôp»6·&»6´¹;ï¸
¶ q¹;º¿¶“³c·&¼B¶¸
· »6´¿´¿¶¸· ø™ý ¹;´n
» ¶“µ\»6︾@Ã&¼»nµ %
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·Xº¿õ\¶“¼-ñ.¹;ñ,»6´ð»
c³ ·\︾ ²n³c·&¼¿¶“µ\»6´-ÂÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²”Äc¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·&¼¹;c·\ôY¼»6ôJÀ-»6·º¼ð︶¸öp»`º¿õ&»
¼»6ôJÀ-»6·Žº
³;òu6·\ôJº¿õ
õ\¶“¼ ¼»6ôJÀ-»6·º ¶“¼@¶¸·&²6ï¸Ã&µ\»nµ ¶¸· º¿õ&» ³cñ,»6· ¼»6º
[A, B]
L > 0
ñ\´»6Ä>¶“³cÃ&¼¿ï¸¾ À-»6·º¿¶“³c·&»nµ ¹;·&µY¶“¼M´»6ñ\´»n¼»6·º»nµ ¶¸· ¶¸ôJÃ\´» ýJðaõ&»6´»
¶“¼„º¿õ&»0ñ,³c¶¸·Žºu³;ò
¶¸·
»n»6· ~ ¹;·&µ ~ ²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»n¼
»6º µ\»6·&³cº»0º¿õ&»`¹;·\ôJ »6Vº #A
(u, v)
(O, U, V)
β
Ou
AB
¹c²õXñ
³c¶¸·º
»6c·\ôJ¶¸·\ô º³
ð õ&»6´»
¹;´»º¿õ&»
M (t) = (x(t), y(t))
[A, B]
(x(t), y(t))
²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»n¼½³;ò
¶¸·
ðeõ.¹c¼º¿õ&»„òó³cï¸ï“³ ¶¸·\ô”ñ.¹;´¹;À-»6º¿´¿¶“²´»6ñ\´»n¼»6·º¹;º¿¶“³c·
M (t)
(O 0 , X , Y)
¶¸·
ð\òó³c´
(O 0 , X , Y)
t ∈ [0, 1]
~
O~0 M (t) = O~0 A + tAB
x(t) = (u − a) cos(θ) + (v − b) sin(θ) + Lt cos(β − θ)
y(t) = −(u − a) sin(θ) + (v − b) cos(θ) + Lt sin(β − θ).
# ¶¸º¿õ&³cÃ\ºŸ´»n¼¿º¿´¿¶“²6º¿¶“³c·eð #»À¹n¾H¶¸Àñ
³J¼» θ ∈ [0, π [ ·&µ\»n»nµðº¿õ&»²¹;·&³c·\¶“²¹;ï!²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»
¼¿¾P¼¿º»6À
¶“¼-¹;ºÀ-³J¼¿º¹;º¹;·2¹;·\ôJ π2 ³;òBº¿õ&» ²6Ã\´¿´»6·º²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»”¼¿¾P¼¿º»6À
(O 0 , X , Y)
·\︶¸öp» θ ð>º¿õ&»U¹;·\ôJ β ¶“¼¹uñ.¹;´¹;À-»62º»6´Ã\·&µ\»6´ ³cÃ\´²n³c·º¿´³cïšð\︶¸öp» L ð u ¹;·&µ
(O, U, V)
ð
¹;·&µ~#»H²õ&³>³J¼»
¶¸·
õÃ&¼º¿õ&»Mñ\´³Ž²n»n¼¼ Z ¶¸·&µ\»=÷\»nµ ¾ [0, 1] ¹;·&µ µ\»=í&·&»nµ
v
β
[0, π2 ]
¾
øóþ
Z(t) = W (x(t), y(t))
º³Hº¿õ&»½¼»6ôJÀ-»6·Žº
¶“¼º¿õ&»U´»n¼º¿´¿¶“²6º¿¶“³c· ³;ò
W
[A, B]
# »½¼»6º
⇐⇒
x = x(0) =
(u − a) cos(θ) + (v − b) sin(θ)
y = y(0) = −(u − a) sin(θ) + (v − b) cos(θ),
õ&»6´» (x, y) ¹;´»Uº¿õ&»½²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»n¼ ³;ò A ¶¸· (O0 , X , Y) ·-º¿õ&»·&»=÷Pº¹;´¹;ôJ´¹;ñ\õeð&» µ\»=í&·&» º¿õ&» ŽÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²ÄJ¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·&¼#¹;c·\ô„º¿õ&» ¼»6ôJÀ-»6·Žº
B
¼ » ¶¸ï¸ïž¼»n»M¶¸·¹;´¹;ôJ´¹;ñ\õ % þPð,º¿õ&» »6õ.¹nÄ>¶“³c´³;òŸº¿õ&»n¼»„ÂŽÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²„Äc¹;´¿¶‚¹
[A, B]
º¿¶“³c·&¼ ¶¸ï¸ïµ\»6ñ
»6·&µ ³c· º¿õ&»uÂÃ.¹cµP´¹;·ŽºB³;ò (O0 , X , Y) ¶¸·~õ\¶“²õ º¿õ&»u¼»6ôJÀ-»6·Žº [A, B] ¶“¼
µ\»=í&·&»nµ !"!# %$'&)('*"&)+
·¹í&´¼ºŸ¼¿º»6ñeð>»%¹c¼¼¿Ã\À-»º¿õ.¹;º
¹;·&µ
¹;´»¼¿º¿´¿¶“²6º¿ï¸¾uñ,³J¼¿¶¸º¿¶¸Äp»> õ\¶“¼4À-»¹;·&¼Ÿº¿õ.¹;º4º¿õ&»
x
y
¼»6ôJÀ-»6·Žº
¶“¼ ¶¸·&²6ï¸Ã&µ\»nµ ¶¸· º¿õ&»½ñ
³J¼¿¶¸º¿¶¸Äp»MŽÃ.¹cµP´¹;·ºø ŽÃ.¹cµP´¹;·º ³;ò ¶¸ôJÃ\´»ýQ³;ò
[A, B]
º¿õ&»u²¹;·&³c·\¶“²¹;n³Ž³c´µP¶¸·.¹;º»H¼¿¾P¼¿º»6À
¹;·&µ º¿õ.¹;º¶¸ºBµ\³>»n¼ ·&³cºÀ-»n»6ºB¶¸º¼U¹$÷P»n¼
(O 0 , X , Y)
» ¶¸ï¸ïŸ²n³c·&¼¶“µ\»6´½º¿õ&»Hº¿õ\´»n»³cº¿õ&»6´M²¹c¼»n¼-ø
¹;·&µ
· º¿õ&»uòó³cï¸ï“³¶¸·\ôž¹;´¹;ôJ´¹;ñ\õeð,|
x<0
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¹;·&µ
ø ŽÃ.¹cµP´¹;·º G@ =ð/¹;·&µ
¹;·&µ
y > 0
x <0
y < 0
x >0
y < 0
ø ŽÃ.¹cµP´¹;·º =ð óû§ªû4²n³c´¿´»n¼ñ,³c·&µP¶¸·\ô0º³Hº¿õ&»U´»n¼¿ñ
»n²6º¿¶¸Äp»Uº¿õ\´»n»½³cº¿õ&»6´ ŽÃ.¹cµP´¹;·º¼ »6º »½¹uñ
³J¼¿¶¸º¿¶¸Äp»U¶¸·º»6ôp»6´ # »U¼»6ºòó³c´
n
k = 1, 2, . . . , n
-, /.
∆Zk = Z(k/n) − Z((k − 1)/n).
,»º¿õ&»Ÿ´»6ôJÃ\;´žñ.¹;´¿º¿¶¸º¿¶“³c·u³;ò [0, 1] ¹;ºž²n³c·&¼¿º¹;·º
»6º
1 2
n−1
Πn (1) = 0, , , . . . ,
,1
¼²¹;
# »µ\»6n·&³cnº»Ã&¼¿¶¸·\ô n[nt] º¿õ&»-ôJ´»¹;º»n¼¿º„¶¸·º»6ôp»6´H¼¿À¹;ï¸ï“»6´Mº¿õ.¹;·X³c´„»nŽÃ.¹;ﺳ
1/n
Pð #»„µ\»=í&·&»„º¿õ&»MŽÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²uÄc¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·&¼ V (t; β, u, v, L) ³;ò Z ¹;c·\ô
t∈ [0, 1]
n
1 2
[nt] ¹c¼òó³cï¸ï“³¼
Πn (t) = 0, , , . . . ,
n n
n
nt
³c´
Vn (t; β, u, v, L) =
[nt]
X
(∆Zk )2 .
k=1
#
0
𠻄¼»6º X
(∆Zk )2 = 0
[nt] = 0
»=òó³c´»4ôJ¶¸ÄŽ¶¸·\ôº¿õ&»ŸÀ¹;k=1
¶¸·½´»n¼¿Ã\︺¼e²n³c·&²n»6´¿·\¶¸·\ô%º¿õ&»¹c¼¿¾>Àñ\º³cº¿¶“²4ñ\´³cñ,»6´¿º¿¶“»n¼³;ò
V (t; β, u, v, L)
¹c¼
º¿õ.¹;º0òó³cï¸ï“³ ò§´³cÀ »6´¿´¿¶¸· ü¸ý ;ÿwS
ð » ÀMÃ&¼¿º`²õ&»n²ö2º¿õ.¹;º@º¿õ&» ²n³qÄc¹;´¿n¶‚¹;·&²n»
n → ∞
ò Ã\·&²6º¿¶“³c·
³;ò
¶“¼@²n³c·º¿¶¸·ŽÃ&³cÃ&¼ ¶¸·
¹;·&µ õ.¹c¼@¼»n²n³c·&µ
r(t, t0 ) = E(Z(t)Z(t0 ))
Z
[0, 1]2
µ\»6´¿¶¸ÄJ¹;º¿¶¸Äp»nS
¼ õ\¶“²õ ¹;´»Ã\·\¶‰ò ³c´¿Àï¸
¾ ³cÃ\·&µ\»nµ`òó³c´
t 6= t0
ð ð
¹;·&µ
ðPº¿õ&»½µ\»=í&·\¶¸º¿¶“³c· ø™Qý #²¹;"
· ,z
» ´¿¶¸º¿º»6· ¹c¼
³c´ ñ,³J¼¿¶¸º¿¶¸Äp»
x1 y1 x2
y2
õ&»6·
E(W (x1 , y1 )W (x2 , y2 )) = (x1 ∧ x2 )(y1 ∧ y2 ),
¼³Hº¿õ.¹;ºS#»½µ\»nµPÃ&²n»ò ´³cÀ
º¿õ&»Uµ\»=í&·\¶¸º¿¶“³c·Xøóþ=ð\ò ³c´ ¹;ï¸ï
t, t0
¶¸·
[0, 1]
r(t, t0 ) = E(Z(t)Z(t0 )) = (x + Lt cos(β − θ)) ∧ (x + Lt0 cos(β − θ))
#
× (y + Lt sin(β − θ)) ∧ (y + Lt0 sin(β − θ)).
» µ\»6·&³cº»Ã&¼¿¶¸·\ô (m,m0 )
U
º¿õ&»
šñ.¹;´¿º¿¶‚¹;ïeµ\»6´¿¶¸ÄJ¹;º¿¶¸Äp»U³;ò r ¶¸º¿õ`´»n¼¿ñ,»n²6ºº³ t
r
(t, t0 )
m, m0
¹;·&µ 0 »6ñ
»6·&µP¶¸·\ô³c·”º¿õ&»½¼¶¸ôJ·”³;ò
#»Uõ.¹nÄp»½º³-²n³c·&¼¿¶“µ\»6´ºj³-¼¿¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c·&¼
t
β−θ
"Ž¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c·
•
1 0 ≤ β − θ ≤ π2
ò t0 > t ð>º¿õ&»6· r(t, t0 ) = (x + Lt cos(β − θ))(y + Lt sin(β − θ)) ¼³uº¿õ.¹;º
 (2,0)
(t, t0 ) = L2 sin(2(β − θ))
 r
(1,1)
r
(t, t0 ) = 0
 (0,2)
r
(t, t0 ) = 0,
¹;·&µ
ò
r (0,1) (t, t0 ) = 0.
t0 < t
¹;·&µ
ðpº¿õ&»6·
r(t, t0 ) = (x + Lt0 cos(β − θ))(y + Lt0 sin(β − θ))
 (2,0)
(t, t0 ) = 0
 r
(1,1)
r
(t, t0 ) = 0
 (0,2)
r
(t, t0 ) = L2 sin(2(β − θ)),
¼³Uº¿õ.¹;º
r (0,1) (t, t0 ) = L cos(β − θ)(y + Lt0 sin(β − θ)) + L sin(β − θ)(x + Lt0 cos(β − θ))
= L cos(β − θ)y + L sin(β − θ)x + L2 t0 sin(2(β − θ))
= L(u − a) sin(α − θ) + L(v − b) cos(α − θ) + L 2 t0 sin(2(β − θ)).
•
"Ž¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c·
2 − π2 ≤ β − θ ≤ 0
ò
t0 > t
ðŽº¿õ&»6·
¹;·&µ
r(t, t0 ) = (x + Lt cos(β − θ))(y + Lt0 sin(β − θ))


r (2,0) (t, t0 ) = 0


2
(1,1) (t, t0 ) = L sin(2(β − θ))
r

2

 (0,2)
r
(t, t0 ) = 0,
r (0,1) (t, t0 ) = Lx sin(β − θ) +
L2 t sin(2(β − θ))
2
¼³Mº¿õ.¹;º
L2 t sin(2(β − θ))
.
2
¼³½º¿õ.¹;º
= L((u − a) cos(θ) + (v − b) sin(θ)) sin(β − θ) +
ò
t0 < t
ðŽº¿õ&»6·
¹;·&µ
r(t, t0 ) = (x + Lt0 cos(β − θ))(y + Lt sin(β − θ))


r (2,0) (t, t0 ) = 0


2
(1,1) (t, t0 ) = L sin(2(β − θ))
r

2

 (0,2)
r
(t, t0 ) = 0,
r (0,1) (t, t0 ) = Ly cos(β − θ) +
L2 t sin(2(β − θ))
2
= L(−(u − a) sin(θ) + (v − b) cos(θ)) cos(β − θ)
¶¸·.¹;ï¸ï¸¾pð>¶¸·s
³cº¿õ@¼¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c·&¼º¿õ&»B²n³ÄJ¹;´¿¶‚¹;·&²n»Bò Ã\·&²6º¿¶“³c·
L2 t sin(2(β − θ))
.
2
¶“¼#²n³c·º¿¶¸·ŽÃ&³cÃ&¼¶¸·
r(t, t0 )
[0, 1]2
¹;·&µ õ.¹c¼„¼»n²n³c·&µ*µ\»6´¿¶¸ÄJ¹;º¿¶¸Äp»n¼ õ\¶“²õ ¹;´»Ã\·\¶‰ò ³c´¿À︾ ³cÃ\·&µ\»nµ òó³c´
&
õ
6
»
· #»
t 6= t0
² ¹;· µ\»=í&·&»Hº¿õ&»¼¿¶¸·\ôJÃ\;´¿¶¸º}¾ ò Ã\·&²6º¿¶“³c·
³;ò
¶¸· º¿õ&»¼¿¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c· ð
ð/µ\»=í&·&»nµ
αi
Z
i i = 1, 2
óò ³c´
¾
t ∈ [0, 1]
αi (t; β, u, v, L) = lim
r (0,1) (t, t0 ) − lim
r (0,1) (t, t0 ).
0
0
t %t
t &t
´³cÀ º¿õ&»½ñ\´»6϶“³cÃ&¼%²¹;6Ã\ï¸Ã&¼S»M³h\º¹;¶¸·
α1 (t; β, u, v, L) = L(u − a) sin(β − 2θ) + L(v − b) cos(β − 2θ) + L 2 t sin(2β − 2θ)
α2 (t; β, u, v, L) = −L(u − a) sin(β) + L(v − b) cos(β).
³cº»”¹;³ º¿õ.¹;º
¹;·&µ
¹;´» ²n³c·Žº¿¶¸·Ã&³cÃ&¼¿ï¸¾ µ\»6´¿¶¸Äc¹.\ ¶¸º¿õ ´»n¼ñ,»n²6º-º³
¶¸·
α
α
t
ð!¼³Hº¿õ.¹;ºº¿õ&»6¾@õ.¹n1Äp»u¹,³cÃ\2·&µ\»nµ`í&´¼º µ\»6´¿¶¸Äc¹;º¿¶¸Äp»½¶¸·
[0, 1]
[0, 1]
ð »-µ\»6·&³cº»Ã&¼¿¶¸·\ô
a
º¿õ&»-ŽÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²-ÄJ¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·
³c´u¹;ï¸ï ¶¸·
t
[0, 1]
Vn,i (t; β, u, v, L)
¶¸·*º¿õ&»@¼¿¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c· ð
"
#
»²¹;·Y·&³ µP¶¸´»n²6º¿ï¸¾*µ\»nµPÃ&²n»ò§´³cÀ
Vn (t; β, u, v, L)
i i = 1, 2
ž»6´¿´¿¶¸·Yü¸ý $ÿ/º¿õ&»Bòó³cï¸ï“³ ¶¸·\ô0´»n¼¿Ã\︺ ­c®
i = 1, 2 ­;°Ÿ°Ž®ª «
lim sup |Vn,i (t; β, u, v, L) −
n→∞ t∈[0,1]
Z
0
t
αi (w; β, u, v, L)dw| = 0.
#
»½¼»6º
I1 (t; u, v, L, β) =
ø %
t
Z
α1 (w; β, u, v, L)dw
0
¹;·&µ
= ((u − a) sin(β − 2θ) + (v − b) cos(β − 2θ)) Lt +
Z
I2 (t; u, v, L, β) =
t2 L2
sin(2β − 2θ),
2
ø d
t
α2 (w; β, u, v, L)dw
0
= (−(u − a) sin(β) + (v − b) cos(β)) Lt.
)"' *$'&)('*"&)+"
"Ž¶¸À¶¸ï‚¹;´/²n³cÀñ\Ã\º¹;º¿¶“³c·&¼,
¶¸ï¸ïp¹cµUº³º¿õ&»4´»n¼Ã\︺¼º¿õ.¹;º‚»¼¿Ã\ÀÀ¹;´¿¶
»Ÿ¶¸· ¹.\n¼ý¹;·&µ½þ
· .¹ \@ýJð»UôJ¶¸Äp»Mº¿õ&»½¼¿¶¸·\ôJÃ\;´¿¶¸º}¾`ò§Ã\·&²6º¿¶“³c· òó³c´ »¹c²õ ³;òº¿õ&»MŽÃ.¹cµP´¹;·º ¶¸· º¿õ&»½¼¿¶¸º
Ã.¹;º¿¶“³c·ý”ø
¹;·&µ ¶¸· ¹.\ þPð »HôJ¶¸Äp»Hº¿õ&»¼¶¸·\ôJÃ\;´¿¶¸ºw¾ ò§Ã\·&²6º¿¶“³c· òó³c´
0 ≤ β − θ ≤ π2
»¹c²õ ³;òžº¿õ&»½ÂŽÃ.¹cµP´¹;·º%¶¸· º¿õ&»½¼¿¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c· þ ø[ π
≤β−θ ≤0
2
à ¹cµP´¹;·Žº
.
¹;·&µ
ø
x>0
y>0
x<0
¹;·&µ
¹;·&µ
x<0
¹;·&µ
x>0
ø
y<0
L(u − a) sin(β − 2θ) + L(v − b) cos(β − 2θ) + L 2 t sin(2β − 2θ)
G −L(u − a) sin(β) + L(v − b) cos(β)
G@ −L(u − a) sin(β − 2θ) − L(v − b) cos(β − 2θ) − L 2 t sin(2β − 2θ)
-, ø
y<0
à ¹cµP´¹;·Žº
.
¹;·&µ
ø
x>0
y>0
x<0
x<0
x>0
¹;·&µ
¹;·&µ
¹;·&µ
ø
y>0
y<0
y<0
ø
ø
.\å!ë 4 ,å!ëçä
"Ž¶¸·\ôJÃ\;´¿¶¸ºw¾`ò Ã\·&²6º¿¶“³c·
ø
y>0
.¹ \ý"Ž¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c·Xý
L(u − a) sin(β) − L(v − b) cos(β)
.¹ \„þ "Ž¶¸º¿Ã.¹;º¿¶“³c·
þ
"Ž¶¸·\ôJÃ\;´¿¶¸ºw¾`ò Ã\·&²6º¿¶“³c·
−L(u − a) sin(β) + L(v − b) cos(β)
G L(u − a) sin(β − 2θ) + L(v − b) cos(β − 2θ) + L 2 t sin(2β − 2θ)
G@ L(u − a) sin(β) − L(v − b) cos(β)
-, −L(u − a) sin(β − 2θ) − L(v − b) cos(β − 2θ) − L 2 t sin(2β − 2θ)
ç å7
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, u1 , v1 , L) − Vn (1; , u1 , v0 , L) −→ L(v1 − v0 ) sin(2θ),
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2
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π
π
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n
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[0, 2] × [0, 2]
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Yθ,a,b
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n , 2] × [0, n , . . . , n , 2]
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³c·º¿õ&»%´»6ôJÃ\;´
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õ&»6ï¸ñ ³;òº¿õ&»òó³cÃ\´ÂÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²UÄJ¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·&¼¶¸·Žº¿´³ŽµPÃ&²n»nµ ¶¸· ¹;´¹;ôJ´¹;ñ\õ ^ þ
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π
π
π
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, u1 , v0 , L), Vn (1; , u1 , v1 , L)
2
2
2
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0
0
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(θ̂ , â , b̂ )
(θ, a, b)
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º¿¶¸À-»n¼ ³c´4»¹c²õ³;ò.º¿õ&»n¼»´»6ñ
»6º¿¶¸º¿¶“³c·&¼hð #»#²n³cÀñ\Ã\º»#º¿õ&»»n¼¿º¿¶¸À¹;º¿¶“³c·&¼
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Äc¹;ï¸Ã&»n¼Bòó³c´U»¹c²õ
³;ò ð ¹;·&µ ¶¸ôJÃ\´»-þ0´»6ñ\´»n¼»6·Žº¼½º¿õ&»uõ\¶“¼¿º³côJ´¹;À ³;ò#º¿õ&»n¼»
θ a
b
5000
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5000
»n¼¿º¿¶¸À¹;º¿¶“³c·&¼B¹;´»U¶¸·&µP¶“²¹;º»nµ .¹ ³Äp»Uº¿õ&»U²n³c´¿´»n¼ñ,³c·&µP¶¸·\ô0õ\¶“¼¿º³côJ´¹;"
À # ¶¸º¿õ ´»n¼ñ,»n²6º`º³Yº¿õ\¶“¼@¼¶¸ÀMÃ\;º¿¶“³c· ¼¿º¿Ã&µP¾p
ð #» ²n³c·&²6ï¸Ã&µ\» º¿õ.¹;º0Ã&¼¿¶¸·\ô ŽÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²
ÄJ¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·&¼#¹;ï¸ï“Q³ ¼Ã&¼º³Uñ\´³Ä>¶“µ\»B¹½¼¹;º¿¶“¼™ò ¾Ž¶¸·\ôM»n¼º¿¶¸À¹;º¿¶“³c·0³;òº¿õ&»Ã\·\ö>·&³ ·@²¹;·&³c·\¶“²¹;ï
²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»½¼¿¾P¼¿º»6À ³;òžº¿õ&»M¼¿º¹;·&µ&¹;´"
µ #´³ ·\¶‚¹;· ¼¿õ&»n»6º Vn (1; 0, u0 , v1 , L), Vn (1;
ë ..êžé.-..ëç ä
·º¿õ\¶“¼ >" »n²6º¿¶“³c·eðd#»i¶“¼õº³½ñ
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³c´¿ö ·º¿õ&»"#³c´¿ö ü%$ÿwð » ¹;´» ôp»6·&»6´¹;︶
n¶¸·\ô ³cÃ\´@´»n¼¿Ã\︺¼-º³*º¿õ&» ¼¿º¹;·&µ&¹;´µ2·&³c·
µ\»6ôp»6·&»6´¹;º»4ò ´¹c²6º¿¶“³c·.¹;ï #
´³
·\¶‚¹;·H¼¿õ&»n»6ºðqº¿õ.¹;ºe¶“¼/¹²n»6·Žº»6´»nµ/U¹;Ã&¼¼¶‚¹;·í.»6 W
H ,H =
¶¸º¿õ ¹H²n³ÄJ¹;´¿¶‚¹;·&²n»Uò Ã\·&²6º¿¶“³c·”ôJ¶¸Äp»6·~Ž ¾
(x, y), (x, y) ∈ R2 }
{W
1
2
H1 ,H2
E(W (x1 , y1 )W (x2 , y2 )) =
1
(|x1 |2H1 + |x2 |2H1 − |x1 − x2 |2H1 )
4
(|y1 |2H2 + |y2 |2H2 − |y1 − y2 |2H2 )
ýþ
mean=-0.0008
standard error=0.0443
mean=0.0003
standard error=0.0316
-0.4
-0.2
θ
0.2
800
-0.15
-0.10
-0.05
0.0
0.05
0.10
0.15
-0.10
-0.05
b
%¶“¼¿º³côJ´¹;À-¼„³;òº¿õ&»»n¼¿º¿¶¸À¹;º¿¶“³c·&¼„³;ò
¶¸ôJÃ\´»0þ
¹;·&µ
0.0
a
0
0
0
200
200
200
400
400
400
600
600
600
1000
800
800
1200
mean=-0.0051
standard error=0.1073
ø§´¿¶¸ôJõºšõ.¹;·&µ ñ\cº
a
ø§ï“»=ò§ºšõ.¹;·&µ*ñ\cº=ð
0.0
theta
b
0.05
0.10
0.15
ø§À¶“µ\µPñ\cº
õ&»6´» (H , H ) ∈]0, 1]2 ¶¸öp»@õ&»6´»Jð» ¹c¼¼¿Ã\À-»0º¿õ.¹;ºHº¿õ&»´¹;·&µ\³cÀí.»6 W
¶“¼½³h&
¼»6´¿Äp»n1µ ¶¸·X2 ¹;·*¹;´\¶¸º¿´¹;´¿¶¸ï¸¾ ²õ&³J¼»6·*²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»-¼¿¾P¼¿º»6À (O, U, V) ðž¹;·&µ º¿õ.¹;HºUº¿,Hõ&»
º¿´¹;·&¼™òó³c´¿À¹;º¿¶“³c·*ò ´³cÀ
º³
ø€
õ&»6´»º¿õ&»ï‚¹;º¿º»6´M¶“¼Mº¿õ&»²¹;·&³c·\¶“²¹;ï
(O, U, V)
(O 0 , X , Y)
²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»U¼¿¾>¼º»6À"³;ò
4
¶“¼¹„´³cº¹;º¿¶“³c· º¿õ\´³cÃ\ôJõ ¹;·”¹;·\ôJ
¹.
³cÃ\ºº¿õ&»³c´¿¶¸ôJ¶¸·
WH ,H
θ
òó³cï¸ï“³#
»nµ ¾¹º¿´¹;·&¼¿ï‚¹;º¿¶“³c·`³;òÄp»n²6º³c´ (a, b) õŽÃ&¼ðŽº¿õ&» µ\»=í&·\¶¸º¿¶“³c· ³;òº¿õ&» ¼¿º¹;·&µ&¹;´µ
O
·&³c·w µ\»6ôp»6·&»6´¹;º» ò ´¹c²6º¿¶“³c·.¹;ï #
´³
·\¶‚¹;·œ¼¿õ&»n»6º”µ\»6ñ,»6·&µ\¼ ³c· º¿õ&» ²õ&³J¼»6· ²n³>³c´µP¶¸·.¹;º»
¼¿¾P¼¿º»6À'¹c¼ #
»6ï¸ïB¹c¼-³c·2º¿õ&» Äc¹;ï¸Ã&»n¼0³;òUñ.¹;´¹;À-»6º»6´¼ (H , H ) ð#Ã\·\︶¸öp»”º¿õ&»”¼º¹;·&µ&¹;´µ
´³ ·\¶‚¹;· ¼¿õ&»n»6º #
õ\¶“²õY³c·\︾ µ\»6ñ
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¼¿º¹;·&µ&¹;´µ"#
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·\¶‚¹;· ¼¿õ&»n»6º H = H = 1 ¶¸º¿õ ´»6︶“»n¼U³c· º¿õ&»»n¼º¿¶¸À¹;º¿¶“³c· ³;òº¿õ&»
õ&»µP¶ ²6Ã\︺}¾ # »-¹;´»u²6Ã\1´¿´»6·Žº¿ï¸¾ 2 µ\»¹;2︶¸·\ô ñ.¹;´¹;À-»6º»6´¼4³;ò.º¿õ&»º¿´¹;·&¼™òó³c´¿À¹;º¿¶“³c·
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(H1 , H2 )
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ñ\´»n²6¶“¼»6︾pð&ŽÃ.¹cµP´¹;º¿¶“²½ÄJ¹;´¿¶‚¹;º¿¶“³c·&¼ ²¹;·~,
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¼¿¾P¼¿º»6À ¹;·&µXº¿õ&»0ñ.¹;´¹;À-»6º»6´¼0³;ò º¿õ&»`´¹;·&µ\³cÀí.»6X¶¸º¼»6ï‰ò¿ðO
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»º¿õ&»ŸÀ¹;¶¸·„´»n¼¿Ã\︺³;ò-BcµP¾P¼¿õ&»6Äü Jÿº³ ôp»6·&»6´¹;︶
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