The Order of Presentation of the Formulas
The question of the most expedient order in which to give the formulas, in particular, in what division to include particular formulas
such as the definite integrals, turned out to be quite complicated. The thought naturally occurs to set up an order analogous to that
of a dictionary. However, it is almost impossible to create such a system for the formulas of integral calculus. Indeed, in an
arbitrary formula of the form
Z
b
f (x) dx = A
a
one may make a large number of substitutions of the form x = '(t) and thus obtain a number of "synonyms" of the given formula.
We must point out that the table of definite integrals by Bierens de Haan and the earlier editions of the present reference both sin in
the plethora of such "synonyms" and formulas of complicated form. In the present edition, we have tried to keep only the simplest of
the "synonym" formulas. Basically, we judged the simplicity of a formula from the standpoint of the simplicity of the arguments of
the "outer" functions that appear in the integrand. Where possible, we have replaced a complicated formula with a simpler one.
Sometimes, several complicated formulas were thereby reduced to a single simpler one. We then kept only the simplest formula. As
a result of such substitutions, we sometimes obtained an integral that could be evaluated by use of the formulas of chapter two and
the Newton--Leibniz formula, or to an integral of the form
Z
a
f (x) dx;
¡a
where f (x) is an odd function. In such cases the complicated integrals have been omitted.
Let us give an example using the expression
Z
¼
4
0
(ctg x ¡ 1)p¡1
¼
ln tg x dx = ¡ cosec p¼:
2
p
sin x
(1)
xxvi
By making the natural substitution ctg x ¡ 1 = u , we obtain
Z
1
0
up¡1 ln(1 + u) du =
¼
cosec p¼:
p
(2)
Printed from Table of Integrals, Series, and Products CD-ROM. Copyright © 1996 by Academic Press, Inc. All rights reserved.
Integrals similar to formula (1) are omitted in this new edition. Instead, we have formula (2) and the formula obtained from the
integral (1) by making the substitution ctg x = À .
As a second example, let us take
I=
Z
¼
2
ln tg p x + ctg p x) ln tg x dx = 0:
0
The substitution tg x = u yields
I=
Z
1
0
ln(up + u¡p ) ln u
du:
1 + u2
If we now set À = ln u, we obtain
I=
Z
1
ÀeÀ
ln(epÀ + e¡pÀ ) dÀ =
2À
1
+
e
¡1
Z
1
¡1
À
ln 2 ch pÀ
dÀ:
2 ch À
The integrand is odd and, consequently, the integral is equal to 0.
Thus, before looking for an integral in the tables, the user should simplify as much as possible the arguments (the "inner" functions)
of the functions in the integrand.
The functions are ordered as follows:
First we have the elementary functions:
1.The function f (x) = x.
2.The exponential function.
3.The hyperbolic functions.
4.The trigonometric functions.
5.The logarithmic function.
6.The inverse hyperbolic functions. (These are replaced with the corresponding logarithms in the formulas containing definite
integrals.)
7.The inverse trigonometric functions.
Then follow the special functions:
8.Elliptic integrals.
9.Elliptic functions.
10.The logarithm integral, the exponential integral, the sine integral, and the cosine integral functions.
11.Probability integrals and Fresnel's integrals.
12.The gamma function and related functions.
13.Bessel functions.
14.Mathieu functions.
xxvii
15.Legendre functions.
16.Orthogonal polynomials.
17.Hypergeometric functions.
18.Confluent hypergeometric functions.
19.Parabolic cylinder functions.
20.Meijer's and MacRobert's functions.
21.Riemann's zeta function.
The integrals are arranged in order of outer function according to the above scheme: the farther down in the list a function occurs,
(i.e., the more complex it is) the later will the corresponding formula appear in the tables. Suppose that several expressions have the
same outer function. For example, consider sin ex, sin x, sin ln x. Here, the outer function is the sine in all three cases. Such
expressions are then arranged in order of the inner function. In the present work, these functions are therefore arranged in the
following order: sin x, sin ex, sin ln x.
Our list does not include polynomials, rational functions, powers, or other algebraic functions. An algebraic function that is included
in tables of definite integrals can usually be reduced to a finite combination of roots of rational power. Therefore, for classifying our
formulas, we can conditionally treat a power function as a generalization of an algebraic and, consequently, of a rational function.*
For any natural number n, the involution (a + bx)n of the binomial a + bx is a polynomial. If n is a negative integer, (a + bx)n is a
rational function. If n is irrational, the function (a + bx)n is not even an algebraic function.
We shall distinguish between all these functions and those listed above and we shall treat them as operators. Thus, in the expression
sin2 ex, we shall think of the squaring operator as applied to the outer function, namely, the sine. In the expression
sin x+cos x
sin x>¡ cos x , we shall think of the rational operator as applied to the trigonometric functions sine and cosine. We shall arrange
the operators according to the following order:
1.Polynomials (listed in order of their degree).
2.Rational operators.
3.Algebraic Operators (Expressions Of The Form Ap=q , where q and p are rational, and q > 0; these are listed according to the
size of q ).
4.Power operators.
Expressions with the same outer and inner functions are arranged in the order of complexity of the operators. For example, the
following functions (whose outer functions are all trigonometric, and whose inner functions are all f (x) = x) are arranged in the
order shown:
sin x;
sin x cos x;
1
= cosec x;
sin x
sin x
= tg x;
cos x
sin x + cos x
;
sin x ¡ cos x
sinm x;
sinm x cos x:
Furthermore, if two outer functions '1 (x) and '2 (x), where '1 (x) is more complex than '2 (x), appear in an integrand and if any of
the operations mentioned are performed on them, the corresponding integral will appear (in the order determined by the position of
'2 (x) in the list) after all integrals containing only the function '1 (x). Thus, following the trigonometric functions
xxviii
are the trigonometric and power functions (that is, '2 (x) = x). Then come
combinations of trigonometric and exponential functions,
combinations of trigonometric functions, exponential functions, and powers, etc.,
combinations of trigonometric and hyperbolic functions, etc.
Integrals containing two functions '1 (x) and '2 (x) are located in the division and order corresponding to the more complicated
function of the two. However, if the positions of several integrals coincide because they contain the same complicated function, these
integrals are put in the position defined by the complexity of the second function.
To these rules of a general nature, we need to add certain particular considerations that will be easily understood from the tables. For
example, according to the above remarks, the function e1 comes after ex as regards complexity, but ln x and ln
complex since ln
1
x
1
x
are equally
= ¡ ln x. In the section on "powers and algebraic functions", polynomials, rational functions, and powers of
powers are formed from power functions of the form (a + bx)n and (® + ¯x)º .
Use of the Tables
Prepared by Alan Jeffrey for the English language edition.
For the effective use of the tables contained in this book it is necessary that the user should first become familiar with the
classification system for integrals devised by the authors Ryzhik and Gradshteyn. This classification is described in detail in the
section entitled The Order of Presentation of the Formulas and essentially involves the separation of the integrand into inner and
outer functions. The principal function involved in the integrand is called the outer function and its argument, which is itself usually
another function, is called the inner function. Thus, if the integrand comprised the expression ln sin x, the outer function would be
the logarithmic function while its argument, the inner function, would be the trigonometric function sin x. The desired integral would
then be found in the section dealing with logarithmic functions, its position within that section being determined by the position of
the inner function (here a trigonometric function) in Ryzhik and Gradshteyn's list of functional forms.
It is inevitable that some duplication of symbols will occur within such a large collection of integrals and this happens most
frequently in the first part of the book dealing with algebraic and trigonometric integrands. The symbols most frequently involved are
®, ¯, °, ± ,t, u, z, zk , and ¢. The expressions associated with these symbols are used consistently within each section and are defined
at the start of each new section in which they occur. Consequently, reference should be made to the beginning of the section being
used in order to verify the meaning of the substitutions involved.
Integrals of algebraic functions are expressed as combinations of roots with rational power indices, and definite integrals of such
functions are frequently expressed in terms of the Legendre elliptic integrals F (Á; k) , E(Á; k) and ¦(Á; n; k), respectively, of the
first, second and third kinds.
An abbreviated notation is used for the trigonometric and hyperbolic functions tan x, cot x, sinh x, cosh x, tanh x and coth x
which are denoted, respectively, by tg x, ctg x, sh x, ch x, th x and cth x. Also the four inverse hyperbolic functions Arsh z,
Arch z, Arth z and Arcth z are introduced through the definitions
1
Arsh (iz)
i
1
arccos z = Arch (z)
i
1
arctg z = Arth (iz)
i
arcctg z = i Arcth (iz)
arcsin z =
or,
1
arcsin (iz)
i
Arch z = i arccos z
1
Arth z = arctg (iz)
i
1
Arcth z = arcctg (¡iz)
i
Arsh z =
xxx
The numerical constants C and G which often appear in the definite integrals denote Euler's constant and Catalan's constant,
respectively. Euler's constant C is defined by the limit
C = lim s!1
Ã
!
s
X
1
¡ ln s = 0:577215 . . . :
m
m=1
On occasions other writers denote Euler's constant by the symbol °, but this is also often used instead to denote the constant
Catalan's constant G is related to the complete elliptic integral
K ´ K(k) ´
Z
¼=2
0
p
da
1 ¡ k 2 sin2 a
by the expression
G=
1
2
Z
1
K dk =
0
1
X
(¡1)m
= 0:915965 . . . :
(2m + 1)2
m=0
Since the notations and definitions for higher transcendental functions that are used by different authors are by no means uniform, it
is advisable to check the definitions of the functions that occur in these tables. This can be done by identifying the required function
by symbol and name in the Index of Special Functions and Notations that appears at the front of the book, and by then referring to
the defining formula or section number listed there. We now present a brief
xxxi
discussion of some of the most commonly used alternative notations and definitions for higher transcendental functions.
Bernoulli and Euler Polynomials and Numbers
Extensive use is made throughout the book of the Bernoulli and Euler numbers Bn and En that are defined in terms of the Bernoulli
and Euler polynomials of order n, Bn (x) and En (x), respectively. These polynomials are defined by the generating functions
1
X
text
tn
=
B
(x)
n
et ¡ 1
n!
n=0
for
jtj < 2¼
1
X
2ext
tn
=
E
(x)
n
et + 1
n!
n=0
for
jtj < ¼:
and
The Bernoulli numbers are always denoted by Bn and are defined by the relation
Bn = Bn (0)
for
n = 0; 1; . . . ;
when
B0 = 1;
1
B1 = ¡ ;
2
B2 =
1
;
6
B4 = ¡
1
;... :
30
The Euler numbers En are defined by setting
• ¶
1
En = 2 En
2
n
for
n = 0; 1; . . . :
The En are all integral and E0 = 1, E2 = ¡1 , E4 = 5, E6 = ¡61 , . . . :
An alternative definition of Bernoulli numbers, which we shall denote by the symbol Bn¤ , uses the same generating function but
identifies the Bn¤ differently in the following manner:
2
4
1
t
¤t
¤t
=
1
¡
t
+
B
¡
B
+ ... :
1
2
et ¡ 1
2
2!
4!
This definition then gives rise to the alternative set of Bernoulli numbers
B1¤ = 1=6; B2¤ = 1=30; B3¤ = 1=42; B4¤ = 1=30; B5¤ = 5=66;
B6¤ = 691=2730; B7¤ = 7=6; B8¤ = 3617=510; . . . :
xxxii
These differences in notation must also be taken into account when using the following relationships that exist between the
Bernoulli and Euler polynomials:
n • ¶
1 X n
Bn (x) = n
n = 0; 1; . . .
Bn¡k Ek (2x)
2
k
k=0
½
¶
•
³ x ´¾
2n
x+1
En¡1 (x) =
Bn
¡ Bn
n
2
2
or
En¡1 (x) =
³ x ´o
2n
Bn (x) ¡ 2n Bn
n
2
n = 1; 2; . . .
and
• ¶¡1 n¡2
X • n¶
n
En¡2 (x) = 2
(2n¡k ¡ 1)Bn¡k Bk (x)
k
k
n = 2; 3; . . . :
k=0
There are also alternative definitions of the Euler polynomial of order n, and it should be noted that some authors, using a
modification of the third expression above, call
•
2
n+1
¶n
Bn (x) ¡ 2n Bn
³ x ´o
2
the Euler polynomial of order n.
Elliptic Functions and Elliptic Integrals
The following notations are often used in connection with the inverse elliptic functions sn u, cn u, and dn u:
1
cn u
cn u
cs u =
sn u
cn u
cd u =
dn u
1
sn u
sn u
sc u =
cn u
sn u
sd u =
dn u
ns u =
nc u =
1
dn u
dn u
ds u =
sn u
dn u
dc u =
cn u
nd u =
The following elliptic integral of the third kind is defined by Ryzhik and Gradshteyn to be
2
Z
'
da
p
0 (1 ¡
sin a) 1 ¡ k 2 sin2 a
Z sin '
dx
p
=
2
2
(1 ¡ n x ) (1 ¡ x2 )(1 ¡ k2 x2 )
0
¦('; n ; k) =
n2
2
(¡1 < n2 < 1):
xxxiii
The Jacobi Zeta Function and Theta Functions
The Jacobi zeta function zn(u; k), frequently written Z(u) , is defined by the relation
zn(u; k) = Z(u) =
Z
u
0
½
E
dn À ¡
K
2
¾
dÀ = E(u) ¡
E
u:
K
This is related to the theta functions by the relationship
zn(u; k) =
@
ln £(u)
@u
giving
(i)
zn (u; k) =
(ii)
zn (u; k) =
(iii)
zn (u; k) =
(iv)
zn (u; k) =
³ ¼u ´
0
#
1
¼
cn u dn u
³ 2K ´ ¡
2K # ¼u
sn u
1
2K
³ ¼u ´
0
#
2
¼
dn u sn u
³ 2K ´ +
2K # ¼u
cn u
2
2K
³ ¼u ´
0
#
¼ 3 2K
sn u cn u
´ ¡ k2
³
2K # ¼u
dn u
3
2K
³ ¼u ´
0
#
¼ 4 2K
´:
³
2K # ¼u
4
2K
Many different notations for the theta function are in current use. The most common variants are the replacement of the argument u
by the argument u=¼ and, occasionally, a permutation of the identification of the functions #1 to #4 with the function #4 replaced by
#.
The Factorial (Gamma) Function
In older reference texts the gamma function ¡(z), defined by the Euler integral
¡(z) =
Z
1
0
tz¡1 e¡t dt;
¡(z)
¡(z) =
Z
1
tz¡1 e¡t dt;
0
xxxiv
is sometimes expressed in the alternative notation
¡(1 + z) = z! = ¦(z):
On occasions the related derivative of the logarithmic factorial function ª(z) is used where
d(ln z!)
(z!)0
=
= ª(z):
dz
z!
This function satisfies the recurrence relation
ª(z) = ª(z ¡ 1) +
1
z¡1
and is defined by the series
ª(z) = ¡C +
1 •
X
n=0
1
1
¡
n+1
z+n
¶
:
The derivative ª0 (z) satisfies the recurrence relation
¡ª0 (z ¡ 1) = ¡ª0 (z) +
1
z2
and is defined by the series
ª0 (z) =
1
X
1
:
(z + n)2
n=0
Exponential and Related Integrals
The exponential integrals En (z) have been defined by Schloemilch using the integral
En (z) =
Z
1
1
e¡zt t¡n dt
(n = 0; 1; . . . ; Re z > 0):
They should not be confused with the Euler polynomials already mentioned. The function E1 (z) is related to the exponential
integral Ei(z) and to the logarithmic integral li(z) through the expressions
E1 (z) = ¡Ei (¡z) =
Z
1
e¡t t¡1 dt
z
and
li (z) =
Z
z
0
dt
= Ei (ln z)
ln t
(z > 1):
xxxv
The functions En (z) satisfy the recurrence relations
En (z) =
1
fe¡z ¡ zEn¡1 (z)g;
n¡1
(n > 1)
and
En0 (z) = ¡En¡1 (z)
with
E0 (z) = e¡z =z:
The function En (z) has the asymptotic expansion
e¡z
En (z) »
z
½
n n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
1¡ +
¡
+ ¢¢¢
z
z2
z3
¾
[ jarg z j < 3¼=2];
while for large n,
e¡x
En (x) =
x+n
½
¾
n
n(n ¡ 2x)
n(6x2 ¡ 8nx + n2 )
1+
+
+
+ R(n; x) ;
(x + n)2
(x + n)4
(x + n)6
where
¡0:36n
¡4
∙ R(n; x) ∙
•
1
1+
x+n¡1
¶
n¡4
(x > 0):
The sine and cosine integrals si(x) and ci(x) are related to the functions Si(x) and Ci(x) by the integrals
Si (x) =
Z
x
0
sin t
dt = si (x) + ¼=2
t
and
Ci (x) = C + ln x +
Z
x
0
(cos t ¡ 1)
dt:
t
The hyperbolic sine and cosine integrals Shi(x) and Chi(x) are defined by the relations
Shi (x) =
Z
x
sinh t
dt
t
0
and
Chi (x) = C + ln x +
Z
x
0
(cosh t ¡ 1)
dt:
t
xxxvi
Some authors write
Cin (x) =
Z
x
0
(1 ¡ cos t)
dt
t
when
Cin (x) = ¡Ci (x) + ln x + C:
The error function erf(x) is defined by the relation
2
erf (x) = ©(x) = p
¼
Z
x
2
e¡t dt
0
and the complementary error function erfc(x) is related to the error function erf(x) and to ©(x) by the expression
erfc (x) = 1 ¡ erf (x):
The Fresnel integrals S(x) and C(x) are defined by Ryzhik and Gradshteyn as
S(x)
C(x)
2
S(x) = p
2¼
Z
2
C(x) = p
2¼
Z
x
sin t2 dt
0
and
x
cos t2 dt:
0
Other definitions that are in use are
S1 (x) =
Z
x
sin
0
¼t2
dt;
2
C1 (x) =
Z
x
cos
0
¼t2
dt
2
and
1
S2 (x) = p
2¼
Z
x
0
sin t
p dt;
t
1
C2 (x) = p
2¼
Z
x
0
cos t
p dt
t
These are related by the expressions
à r !
2
S(x) = S1 x
= S2 (x2 )
¼
and
à r !
2
C(x) = C1 x
= C2 (x2 )
¼
xxxvii
Hermite and Chebyshev Orthogonal Polynomials
The Hermite polynomials Hn (x) are related to the Hermite polynomials Hen (x) by the relations
Hen (x) = 2
and
¡n=2
Hn
•
x
p
2
¶
These functions satisfy the differential equations
d2 Hn
dHn
+ 2nHn = 0
¡ 2x
2
dx
dx
and
d2 Hen
d Hen
+ n Hen = 0:
¡x
2
dx
dx
They obey the recurrence relations
Hn+1 = 2xHn ¡ 2nHn¡1
and
Hen+1 = x Hen ¡n Hen¡1 :
The first six orthogonal polynomials Hen are
He0 = 1;
He1 = x;
He2 = x2 ¡1;
He 3 = x3 ¡3x;
He4 = x4 ¡6x2 +3;
He5 = x5 ¡10x3 +15x:
Sometimes the Chebyshev polynomial Un (x) of the second kind is defined as a solution of the equation
(1 ¡ x2 )
d2 y
dy
¡ 3x
+ n(n + 2)y = 0:
dx2
dx
Bessel Functions
A variety of different notations for Bessel functions are in use. Some common ones involves the replacement of Yn (z) by Nn (z) and
the introduction of the symbol
¤n (z) =
•
1
z
2
¶ ¡n
¡(n + 1)Jn (z):
xxxviii
1
In the book by Gray, Mathews and MacRobert the symbol Yn (z) is used to denote 2 ¼Yn (z) + (ln 2 ¡ C)Jn (z) while Neumann
uses the symbol Y (n) (z) for the identical quantity.
(1)
(2)
The Hankel functions Hº (z) and Hº (z) are sometimes denoted by Hsº (z) and Hiº (z) and some authors write
³ ´
(1)
Gº (z) = 12 ¼iHº (z) .
The Neumann polynomial On (t) is a polynomial of degree n + 1 in 1=t, with O0 (t) = 1=t . The polynomials On (t) are defined by
the generating function
1
X
1
= J0 (z)O0 (t) + 2 Jk (z)Ok (t);
t¡z
k=1
giving
[n=2]
1 X n(n ¡ k ¡ 1)!
On (t) =
4
k!
k=0
where
h
1
2n
i
• ¶n¡2k+1
2
t
for
n = 1; 2; . . . ;
1
signifies the integral part of 2 n. The following relationship holds between three successive polynomials:
(n ¡ 1)On+1 (t) + (n + 1)On¡1 (t) ¡
2(n2 ¡ 1)
2n
n¼
On (t) =
sin2
:
t
t
2
The Airy functions Ai(z) and Bi(z) are independent solutions of the equation
d2 u
¡ zu = 0:
dz 2
The solutions can be represented in terms of Bessel functions by the expressions
r
½
•
¶
•
¶¾
•
¶
1p
1 z
2 3=2
2 3=2
2 3
2
Ai(z) =
z I¡1=3
z
z
K1
z
¡ I1=3
=
;
3
3
3
¼ 3 3 3
½
•
¶
•
¶¾
1p
2 3=2
2 3=2
z J1=3
z
z
Ai(¡z) =
+ J¡1=3
3
3
3
and by
r ½
•
¶
•
¶¾
z
2 3=2
2 3=2
I¡1=3
z
+ I1=3
z
;
Bi(z) =
3
3
3
r ½
•
¶
•
¶¾
z
2 3=2
2 3=2
Bi(¡z) =
J¡1=3
z
¡ J1=3
z
:
3
3
3
The differential equation
d2 y
+ (az 2 + bz + c)y = 0
dz 2
has associated with it the two equations
d2 y
+
dz 2
•
¶
1 2
z +a y = 0
4
and
d2 y
¡
dz 2
•
¶
1 2
z +a y =0
4
the solutions of which are parabolic cylinder functions. The first equation can be derived from the second by replacing z by zei¼=4
and a by ¡ia.
The solutions of the equation
d2 y
¡
dz 2
•
¶
1 2
z +a y =0
4
are sometimes written U (a; z) and V (a; z) . These solutions are related to Whittaker's function Dp (z) by the expressions
U (a; z) = D¡a¡ 12 (z)
and
1
V (a; z) = ¡
¼
•
¶
1
+ a fD¡a¡ 12 (¡z) + (sin ¼a)D¡a¡ 12 (z)g:
2
Mathieu Functions
There are several accepted notations for Mathieu functions and for their associated parameters. The defining equation used by
Ryzhik and Gradshteyn is
d2 y
+ (a ¡ 2k2 cos 2z)y = 0
dz 2
with
k 2 = q:
p
Different notations involve the replacement of a and q in this equation by h and •, ¸ and h2 and b and c = 2 q, respectively. The
a
q
h
• ¸
h2
b
p
c=2 q
periodic solutions sen (z; q) and cen (z; q) and the modified periodic solutions Sen (z; q) and Ce n (z; q) are suitably altered and,
sometimes, re-normalized. A description of these relationships together with the normalizing factors is contained in: Tables relating
to Mathieu functions. National Bureau of Standards, Columbia University Press, New York, 1951.
Index of Special Functions and Notations
Notation
am (u; k)
Bn
Bn (x)
B(x; y)
Bx (p; q)
¯(x)
beiº (z), berº (z)
C
C(x)
Cº (a)
Cn¸ (t)
Cº¸ (t)
ce2n (z; q), ce2n+1 (z; q)
Ce2n (z; q),
Ce2n+1 (z; q)
chi(x)
ci(x)
cn(u)
D(k) ´ D
D('; k)
Dn (z); Dp (z)
dn u
e1 ; e2 ; e3
En
E('; k)
¾
E(k) = E
E(k 0 ) = E
Name of the function
formula no.
Amplitude (of an elliptic function)
Bernoulli numbers
Bernoulli polynomials
Beta functions
Incomplete beta functions
8.141
9.61, 9.71
9.620
8.38
8.39
8.37
8.56
9.73, 8.367
8.25
3.76
8.93
8.932 1
Thomson's functions
Euler's constant
Fresnel's cosine-integral
Young's function
Gegenbauer's polynomials
Gegenbauer's function
Periodic Mathieu functions (Mathieu
functions of the first kind)
Associated (modi¯ed) Mathieu
functions of the ¯rst kind
Hyperbolic-cosine-integral function
Cosine-integral
Cosine-amplitude
Parabolic cylinder functions
Delta amplitude
Euler numbers
Elliptic integral of the second kind
Complete elliptic integral of the
second kind
8.61
8.63
8.22
8.23
8.14
8.112
8.111
9.24{9.25
8.14
8.162
9.63, 9.72
8.11{8.12
8.11{8.12
xlii
Notation
E(p; ar : q; %s : x)
Eº (z)
Ei(z)
Ei(z)
©(x)
erf (x)=©(x)
Name of the function
formula no.
MacRobert's function
Weber's function
Exponential-integral function
Related exponential integral
Probability integral
Error function
9.4
8.58
8.21
8.21
8.25
8.25
Notation
Hn (z)
Hº (z)
Iº (z)
Ix (p; q)
Jº (z)
Jº (z)
kº (x)
K (k) = K ; K (k 0 ) = K 0
Kº (z)
kei (z), ker (z)
» (s)
L(x)
Lº (z)
L®
n (z)
li (x)
¸(x; y)
M¸; ¹ (z)
¹(x, ¯), ¹(x, ¯, ®)
Nº (z)
º(x)
º(x); º(x; ®)
On (x)
}(u)
¹
Pº (z); Pº¹ (x)
P (z); Pn (x)
8º
9
<a b c
=
P
® ¯ ° ±
: 0
;
® ¯0 °0
(®;¯)
Pn
(x)
¦(x)
¦('; n; k)
©(x)
©(z; s; À)
Name of the function
formula no.
Hermite polynomials
Struve functions
Modi¯ed Bessel functions
Incomplete beta function
Bessel function
Anger's function
Bateman's function
Complete elliptic integral of the
¯rst kind
Modi¯ed Bessel functions
Thomson's functions
8.95
8.55
8.406, 8.43
8.39
8.402, 8.41
8.58
9.21
Lobachevskiy's function
Modi¯ed Struve function
Laguerre polynomials
Logarithm-integral
Whittaker's functions
Bessel functions of the second kind
(Neumann functions)
Neumann's polynomials
Weierstrass elliptic function
Associated Legendre functions of
the ¯rst kind
Legendre functions and polynomials
8.11{8.12
8.407, 8.43
8.56
9.56
8.26
8.55
8.97
8.24
9.640
9.22, 9.23
9.640
8.403, 8.41
9.640
9.640
8.59
8.16
8.7, 8.8
8.82, 8.83, 8.91
Riemann's di®erential equation
(diagram)
9.160
Jacobi's polynomials
Lobachevskiy's angle of parallelism
Elliptic integral of the third kind
Probability integral
Lerch function
8.96
1.48
8.11
8.25
9.55
xliv
Notation
©(®, °; x)=1 F1 (®; °; x)
©1 (®; ¯; °; x; y); ©2 (¯; ¯ 0 ; °; x; y);
©3 (¯; °; x; y)
Ã(x)
ª(a; c; x)
Q¹º (z); Q¹º (x)
Name of the function
formula no.
9.21
Con°uent hypergeometric series
in two variables
Euler's psi function
Con°uent hypergeometric
function
Ass. Legendre func. of the 2nd kind
9.26
8.36
9.21
8.7, 8.8
R(x)
Re z ´ x, Im z ´ y
z = x ¡ iy
arg z
sign x
[x]
R (b+)
R (b¡)
a
R
a
C
The letter k (when not used as an index of summation) denotes a number in the
interval [0, 1]. This notation is used
p in integrals that lead to elliptic integrals. In
such a connection, the number 1 ¡ k 2 is denoted by k 0 .
A rational function
The real and imaginary parts of the complex number z = x + iy.
The complex conjugate of z = x + iy.
The argument of the complex number z = x + iy.
The sign (signum) of the real number x; sign x = +1 for x > 0; sign x = ¡1
for x < 0.
The integral part of the real number x.
Contour integrals; the path of integration starting at the point a extends to
the point b (along a straight line unless there is an indication to the contrary),
encircles the point b along a small circle in the positive (negative) direction,
and returns to the point a, proceeding along the original path in the opposite
direction.
Line integral along the curve C.
n!
= 1 ¢ 2 ¢ 3 . . . n,
(2n + 1)!!
= 1 ¢ 3 . . . (2n + 1).
(2n)!!
• ¶
p
n
= 2 ¢ 4 . . . (2n).
=
p(p¡1)...(p¡n+1)
1¢2...n
0! = 1.
=
p!
n!(p¡n)! ;
x(x ¡ 1) . . . (x ¡ n + 1)=n!
[n = 0; 1; . . . ]
(a)n
= a(a + 1) . . . (a + n ¡ 1) =
n
X
uk
= um + um+1 + . . . + un . If n < m, we de¯ne
X0
;
The order of the function f (z). Suppose that the point z approaches z0 .
If there exists an M > 0 such that jg(z)j ∙ M jf (z)j in some su±ciently small
neighborhood of the point z0 , we write g(z) = O(f (z)).
0!! = 1
(¡1)!! = 1
(cf. 3.372 for n = 0.)
00 = 1
X
(¢ ¢ ¢ ) = 0
k2Á
(¢ ¢ ¢ ) = 1
±ij =
±ij =
uk = 0.
Summation over all integral values of n excluding n = 0, and summation
over all integral values of n and m excluding m = n = 0, respectively.
m;n
O(f (z))
k2Á
n
X
k=m
n
Y
[n; p = 0; 1; . . . ; p ¸ n]
¡(a+n)
¡(a) .
k=m
X0
• ¶
p
= 1.
0
(
½
1,
0,
i=
=j
i=
=j
0,
1,
x<0
x¸0
(cf. 0.112 and 0.113 for q = 0.)
P
An empty
has the value 0
An empty
Q
has the value 1
Kronecker
Heaviside step function
(1 ¡ x)3
k=1
• ¶
• ¶
• ¶
nq+1 nq 1 q
1 q
1 q
q¡1
q¡3
B2 n
B4 n
B6 nq¡5 + ¢ ¢ ¢ =
k =
+
+
+
+
q+1
2
2 1
4 3
6 5
k=1
nq+1 nq qnq¡1 q(q ¡ 1)(q ¡ 2) q¡3 q(q ¡ 1)(q ¡ 2)(q ¡ 3)(q ¡ 4) q¡5
¡
=
+ +
n
+
n
¡¢ ¢ ¢
q+1 2
12
720
30; 240
[last term contains either n or n2 ].
n
P
q
CE 332
2
1:
n
P
k=
k=1
2:
n
P
n(n + 1)
:
2
CE 333
k2 =
k=1
3:
4:
n
P
CE333
n
P
n
P
n
P
k=1
¸2
:
CE 333
k4 =
1
n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n ¡ 1):
30
CE 333
k5 =
k=1
6:
∙
n(n + 1)
k =
2
k=1
3
k=1
5:
n(n + 1)(2n + 1)
:
6
1 2
n (n + 1)2 (2n2 + 2n ¡ 1):
12
CE 333
k6 =
1
n(n + 1)(2n + 1)(3n4 + 6n3 ¡ 3n + 1):
42
CE 333
CE 333
0.122
• ¶
• ¶
2q q+1 1 q q¡1
1 q q¡3 3
q¡1
2
2 (2 ¡ 1)B4 nq¡3 ¡ ¢ ¢ ¢
(2k ¡ 1) =
n
¡
B2 n
¡
q+1
2 1
4 3
k=1
[last term contains either n or n2 .]
n
P
q
1:
n
P
(2k ¡ 1) = n2 :
n
P
(2k ¡ 1)2 =
n
P
(2k ¡ 1)3 = n2 (2n2 ¡ 1):
n
P
(mk ¡ 1) =
n
P
(mk ¡ 1)2 =
1
n[m2 (n + 1)(2n + 1) ¡ 6m(n + 1) + 6]:
6
n
P
(mk ¡ 1)3 =
1
n[m3 n(n + 1)2 ¡ 2m2 (n + 1)(2n + 1) + 6m(n + 1) ¡ 4]:
4
k=1
2:
k=1
3:
k=1
4¤ :
JO (32a)
k=1
5¤ :
k=1
6¤ :
1
n(4n2 ¡ 1):
3
k=1
JO (32b)
1
[m(n + 1) ¡ 2]:
2
0.123
n
P
k(k + 1)2 =
k=1
1
n(n + 1)(n + 2)(3n + 5):
12
0.124
1:
q
P
k=1
k(n2 ¡ k 2 ) =
1
q(q + 1)(2n2 ¡ q2 ¡ q)
4
[q = 1; 2; . . . ]:
2¤ :
n
P
k(k + 1)3 =
k=1
1
n(n + 1)(12n3 + 63n2 + 107n + 58):
60
3
0.125
n
P
k=1
k! ¢ k = (n + 1)! ¡ 1:
AD (188.1)
0.126
n (n + k)!
P
=
k=0 k!(n ¡ k)!
r
e
K
¼ n+
1
2
• ¶
1
:
2
WA 94
0.13 Sums of reciprocals of natural numbers
0.131
n 1
1
P
P
Ak
1
= C + ln n +
¡
;
2n k=2 n(n + 1) . . . (n + k ¡ 1)
k=1 k
where
Ak =
1
k
Z
1
0
A2 =
1
;
12
A4 =
19
;
120
x(1 ¡ x)(2 ¡ x)(3 ¡ x) . . . (k ¡ 1 ¡ x) dx:
A3 =
1
;
12
A5 =
9
;
20
0.132
1
(23 ¡ 1)B4
1
B2
= (C
C + ln n) + ln 2 + 2 +
+ ...
2
8n
64n4
k=1 2k ¡ 1
n
P
[n ! 1]
JO (71a)a
0.133
n
P
k=2
k2
1
3
2n + 1
= ¡
:
¡1
4 2n(n + 1)
JO (184f)
0.14 Sums of products of reciprocals of natural numbers
0.141
1:
2:
3:
n
P
1
n
=
:
p(p + nq)
k=1 [p + (k ¡ 1)q](p + kq)
GI III (64)a
n
P
1
n(2p + nq + q)
=
:
2p(p + q)(p + nq)[p + (n + 1)q]
k=1 [p + (k ¡ 1)q](p + kq)[p + (k + 1)q]
GI III (65)a
n
P
1
=
k=1 [p + (k ¡ 1)q](p + kq) . . . [p + (k + l)q]
½
¾
1
1
1
=
¡
:
(l + 1)q p(p + q) . . . (p + lq)
(p + nq)[p + (n + 1)q] . . . [p + (n + l)q]
AD (1856)a
4:
n
P
1
1
=
[1
+
(k
¡
1)q][1
+
(k
¡
l)q
+
p]
p
k=1
4
0.142
n k2 + k ¡ 1
P
1
n+1
= ¡
:
2 (n + 2)!
k=1 (k + 2)!
∙
¸
n
P
1
1
¡
:
k=1 1 + (k ¡ 1)q
k=1 1 + (k ¡ 1)q + p
n
P
GI III (66)a
0.15 Sums of the binomial coefficients
0.151
1:
2:
¶
¶ •
•
m
P
n+m+1
n+k
:
=
n+1
n
k=0
1+
KR 64 (70.1)
• ¶ • ¶
n
n
+ . . . = 2n¡1 :
+
4
2
KR 62 (58.1)
3:
• ¶ • ¶ • ¶
n
n
n
+
+
+ . . . = 2n¡1 :
1
3
5
KR 62 (58.1)
4:
m
P
k=0
(¡1)k
• ¶
•
¶
n
n¡1
= (¡1)m
k
m
[n ¸ 1]:
KR 64 (70.2)
0.152
1:
2:
• ¶ • ¶ • ¶
n¼ ´
n
n
n
1³ n
2 + 2 cos
:
+
+
+ ... =
3
3
0
3
6
KR 62 (59.1)
• ¶ • ¶ • ¶
•
¶
(n ¡ 2)¼
n
n
n
1
2n + 2 cos
:
+
+
+ ... =
3
3
1
4
7
KR 62 (59.2)
3:
• ¶ • ¶ • ¶
•
¶
(n ¡ 4)¼
n
n
n
1
2n + 2 cos
:
+
+
+ ... =
3
3
2
5
8
KR 62 (59.3)
0.153
0.153
• ¶ • ¶ • ¶
n
1 ³ n¡1
n
n
n¼ ´
n
+ ... =
+
+
2
+ 2 2 cos
:
8
4
0
2
4
1:
• ¶ • ¶ • ¶
n
1 ³ n¡1
n
n
n
n¼ ´
+ ... =
+
+
2
+ 2 2 sin
:
9
5
1
2
4
2:
• ¶ • ¶ • ¶
n
1 ³ n¡1
n
n
n
n¼ ´
+... =
+
+
2
¡ 2 2 cos
:
10
6
2
2
4
3:
• ¶ • ¶ • ¶
n
n¼ ´
n
n
n
1 ³ n¡1
2
¡ 2 2 sin
:
+
+
+... =
2
4
3
7
11
4:
KR 63 (60.1)
KR 63 (60.2)
KR 63 (60.3)
KR 63 (60.4)
0.154
• ¶
n
(k + 1)
= 2n¡1 (n + 2)
k
k=0
n
P
1:
2:
n
P
k=1
[n ¸ 0]:
KR 63 (66.1)
k+1
(¡1)
• ¶
n
k
=0
k
[n ¸ 2]:
KR 63 (66.2)
5
3:
• ¶
N n¡1
(¡1)
=0
k
k
k=0
4:
• ¶
n n
(¡1)
k = (¡1)n n!
k
k=0
N
P
n
P
k
k
[N ¸ n ¸ 1;
[n ¸ 0;
00 ´ 1]:
00 ´ 1]:
5:
• ¶
n
(¡1)
(® + k)n = (¡1)n n!
k
k=0
6:
• ¶
N
(¡1)
(® + k)n¡1 = 0
k
k=0
n
P
N
P
k
k
[n ¸ 0;
[N ¸ n ¸ 1;
00 ´ 1]:
00 ´ 1
N; n 2 N + ]:
0.155
n (¡1)k+1
P
k=1 k + 1
1:
• ¶
n
n
=
:
k
n+1
KR 63 (67)
• ¶
n
2n+1 ¡ 1
1
=
:
n+1
k=0 k + 1 k
n
P
2:
KR 63 (68.1)
• ¶
n ®k+1 n
P
(® + 1)n+1 ¡ 1
:
=
n+1
k=0 k + 1 k
3:
n (¡1)k+1
P
k
k=1
4:
• ¶
n 1
P
n
:
=
k
m=1 m
KR 63 (68.2)
KR 64 (69)
0.156
• ¶•
¶ •
¶
p
P
n
m
n+m
=
p¡k
p
k=0 k
1:
KR 64 (71.1)
• ¶•
¶
n
n
(2n)!
:
=
(n ¡ p)!(n + p)!
p+k
k=0 k
n¡p
P
2:
0.157
1:
[m is a natural number ]:
• ¶2 • ¶
n
P
n
2n
=
:
n
k=0 k
KR 64 (71.2)
KR 64 (72.1)
2:
2n
P
k=0
3:
(¡1)
2n
k
¶2
n
= (¡1)
•
¶
2n
:
n
KR 64 (72.2)
2n+1
P
k=0
4:
•
k
k
(¡1)
•
2n + 1
k
¶2
= 0:
KR 64 (72.3)
• ¶2
n
(2n ¡ 1)!
k
=
:
k
[(n
¡ 1)!]2
k=1
n
P
KR 64 (72.4)
0.158*
1:
n
P
k=1
2:
n
P
k=1
•
¶
2n
:
n
∙
2k
•
2n ¡ k
n¡k
¶
¡ 2k+1
•
2n ¡ k ¡ 1
n¡k¡1
¶¸
k = 4n ¡
∙
2k
•
2n ¡ k
n¡k
¶
¡ 2k+1
•
2n ¡ k ¡ 1
n¡k¡1
¶¸
k 2 = 4n ¡
∙
2k
•
2n ¡ k
n¡k
¶
¡ 2k+1
•
2n ¡ k ¡ 1
n¡k¡1
¶¸
k 3 = (6n + 13)4n ¡ 18n
∙
k
•
2n ¡ k
n¡k
¶
k+1
•
2n ¡ k ¡ 1
n¡k¡1
¶¸
• ¶
2n
¡(60n+75)4n :
k = (32n +104n)
n
•
¶
2n
3:4n :
n
6
3:
n
P
k=1
4:
n
P
k=1
2
¡2
4
2
0.159*
1:
n
P
k=0
∙•
2n
n¡k
¶
•
2n
¡
n¡k¡1
¶¸
∙
• ¶¸
2n
1 n
4 ¡
:
k=
2
n
•
¶
2n
:
n
2:
n
P
k=0
3:
n
P
k=0
∙•
2n
n¡k
¶
¡
•
2n
n¡k¡1
¶¸
k2 =
∙
• ¶
¸
2n
1
¡ 4n :
(2n + 1)
n
2
∙•
2n
n¡k
¶
¡
•
2n
n¡k¡1
¶¸
k3 =
• ¶
(3n + 2) n 1 2n
¢4 ¡
(3n + 1):
4
2 n
0.160*
1:
2n
P
k=n+1
•
• ¶
¶
• ¶∙
¸k
P 2k
1
®
2n k 1 2n n (1 + ®)2n¡1 (1 ¡ ®) n¡1
® +
= (1+®)2n :
® +
2
2 n
2
(1
+
®)
2
k
k
k=0
0.2 Numerical Series and Infinite Products
0.21 The convergence of numerical series
The series
0.211
1
P
uk = u1 + u2 + u3 + . . .
k=1
is said to converge absolutely if the series
0.212
1
P
k=1
juk j = ju1 j + ju2 j + ju3 j + ¢ ¢ ¢ ;
composed of the absolute values of its terms converges. If the series 0.211 converges and the series 0.212 diverges, the series 0.211 is
said to converge conditionally. Every absolutely convergent series converges.
0.22 Convergence tests
0.221
Suppose that
1
lim juk j k = q:
k!1
If q < 1, the series 0.211 converges absolutely. On the other hand, if q > 1, the series 0.211 diverges. (Cauchy)
7
0.222
Suppose that
¯
¯
¯ uk+1 ¯
¯
¯ = q:
lim
¯
k!1 ¯ u
k
¯
¯
¯u ¯
Here, if q < 1, the series 0.211 converges absolutely. If q>1, the series 0.211 diverges. If ¯ uk+1
¯ approaches 1 but remains greater
k
than unity, the series 0.211 diverges. (d'Alembert)
0.223
Suppose that
½¯
¯ uk
lim k ¯¯
k!1
u
k+1
¯
¾
¯
¯ ¡ 1 = q:
¯
Here, if q > 1, the series 0.211 converges absolutely. If q < 1, the series 0.211 diverges. (Raabe)
0.224
Suppose that f (x) is a positive decreasing function and that
lim
k!1
for natural k. If q < 1, the series
1
P
k=1
f (k)
ek f (ek )
= q:
f (k)
q>1
0.225
Suppose that
¯
¯ uk
¯
¯u
¯
¯
¯ = 1 + q + jÀ k j ;
¯
k
kp
k+1
where p > 1 and the jÀk j are bounded, that is, the jÀk j are all less than some M , which is independent of k. Here, if q > 1, the
series 0.211 converges absolutely. If q ∙ 1, this series diverges. (Gauss)
0.226
Suppose that a function f (x) defined for x ¸ q ¸ 1 is continuous, positive, and decreasing. Under these conditions, the series
1
P
f (k)
k=1
converges or diverges according as the integral
Z
1
f (x) dx:
q
converges or diverges (the Cauchy integral test.)
8
0.227
Suppose that all terms of a sequence u1 ; u2 ; . . . ; un are positive. In such a case, the series
1.
1
P
k=1
(¡1)k+1 uk = u1 ¡ u2 + u3 ¡ . . .
is called an alternating series.
If the terms of an alternating series decrease monotonically in absolute value and approach zero, that is, if
2.
uk+1 < uk
and
lim uk = 0;
k!1
the series 0.227 1. converges. Here, the remainder of the series is
¯
¯
n
1
1
¯P
¯
P
P
k¡n+1
k+1
k+1
¯
3.
(¡1)
uk = ¯
(¡1)
uk ¡
(¡1)
uk ¯¯ < un+1 :
k=n+1
k=1
(Leibnitz)
k=1
0.228
If the series
1:
1
P
Àk = À1 + À2 + . . . + Àk + . . .
k=1
converges and the numbers uk form a monotonic bounded sequence, that is, if juk j < M for some number M and for all k, the
series
2:
1
P
uk Àk = u1 À1 + u2 À2 + . . . + uk Àk + . . .
k=1
converges. (Abel)
0.229
If the partial sums of the series 0.228 1. are bounded and if the numbers uk constitute a monotonic sequence that approaches zero,
that is, if
¯
¯
n
¯P
¯
¯
¯<M
À
k
¯
¯
k=1
[n = 1; 2; . . . ]
and
lim uk = 0;
k!1
FI II 355
then the series 0.228 2. converges. (Dirichlet)
0.23-0.24 Examples of numerical series
0.231
Progressions
1:
1
P
k=0
2:
1
P
aq k =
a
1¡q
(a + kr)qk =
k=0
[jqj < 1]:
a
rq
+
1¡q
(1 ¡ q)2
[jq j < 1]
0.113
9
0.232
1:
1
P
k=1
(¡1)k+1
1
= ln 2
k
1.511
2:
1
P
k=1
(¡1)k+1
1
P
1
1
¼
=1¡2
=
2k ¡ 1
4
k=1 (4k ¡ 1)(4k + 1)
1.643
0.233
1:
2:
1 1
P
1
1
= 1 + p + p + . . . = ³(p)
p
2
3
k=1 k
1
P
k=1
(¡1)k+1
1
= (1 ¡ 21¡p )³(p)
kp
[Re p > 1]
WH
[Re p > 0]
3¤ :
4:
1 1
P
22n¡1 ¼ 2n
jB2n j;
=
2n
(2n)!
k=1 k
1
P
k=1
5:
6:
(¡1)k+1
1 1
P
¼2
=
:
2
6
k=1 k
FI II 721
1
(22n¡1 ¡ 1)¼ 2n
jB2n j:
=
k2n
(2n)!
JO (165)
1
(22n ¡ 1)¼ 2n
jB2n j:
=
2n
2 ¢ (2n)!
k=1 (2k ¡ 1)
1
P
JO (184b)
1
P
(¡1)k+1
1
P
(¡1)k+1
k=1
¼ 2n+1
1
= 2n+2
jE2n j:
2n+1
(2k ¡ 1)
2
(2n)!
JO (184d)
0.234
1:
k=1
2:
3:
4:
¼2
1
=
:
2
k
12
EU
1
¼2
=
:
2
8
k=1 (2k ¡ 1)
1
P
EU
(¡1)k
= G:
2
k=0 (2k + 1)
1
P
1 (¡1)k+1
P
¼3
=
:
3
32
k=1 (2k ¡ 1)
FI II 482
5:
1
¼4
=
:
4
96
k=1 (2k ¡ 1)
1
P
EU
10
6:
7:
1 (¡1)k+1
P
5¼ 5
=
:
5
1536
k=1 (2k ¡ 1)
1
P
k=1
86 :
(¡1)k+1
EU
k
¼2
¡ ln 2:
=
(k + 1)2
12
1
P
1
= 2 ¡ 2 ln 2:
k=1 k(2k + 1)
0.235
Sn =
1
P
1
;
2 ¡ 1)n
(4k
k=1
1
¼2 ¡ 8
S1 = ; S2 =
;
2
16
S3 =
32 ¡ 3¼ 2
;
64
S4 =
¼ 4 + 30¼ 2 ¡ 384
768
JO (186)
0.236
1:
2:
3:
1
P
1
= 2 ln 2 ¡ 1:
2 ¡ 1)
k(4k
k=1
1
P
BR 51a
1
3
= (ln 3 ¡ 1):
2 ¡ 1)
k(9k
2
k=1
1
P
1
3
= ¡3 + ln 3 + 2 ln 2:
2 ¡ 1)
k(36k
2
k=1
BR 51a
4
1
P
k=1
5:
(4k 2
BR 52
1
P
k=1
6:
76 :
k
1
= :
2
¡ 1)
8
3
1
= ¡ 2 ln 2:
2
¡ 1)
2
k(4k 2
BR 52
12k2 ¡ 1
= 2 ln 2:
2
2
k=1 k(4k ¡ 1)
1
P
AD (6917.3), BR 52
1
¼2
=4¡
¡ 2 ln 2:
2
4
k=1 k(2k + 1)
1
P
0.237
1:
2:
3:
1
P
1
1
= :
(2k
¡
1)(2k
+
1)
2
k=1
AD (6917.2), BR 52
1
P
1
1 ¼
= ¡ :
(4k
¡
1)(4k
+
1)
2
8
k=1
1
P
1
3
=
4
k=2 (k ¡ 1)(k + 1)
0.133
11
4:
1
P
0
1
3
=¡
2
(m
+
k)(m
¡
k)
4m
k=1; k=
=m
[m is an integer ]:
AD (6916.1)
AD (6916.2)
0.238
1:
2:
3:
1
P
1
1
= ln 2 ¡ :
2
k=1 (2k ¡ 1)2k(2k + 1)
GI III (93)
(¡1)k+1
1
= (1 ¡ ln 2):
2
k=1 (2k ¡ 1)2k(2k + 1)
1
P
GI III (94)a
1
P
1
1 1
¼
= ¡ ln 3 + p :
6 4
12 3
k=0 (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3)(3k + 4)
GI III (95)
0.239
1:
1
P
(¡1)
1
P
(¡1)k+1
1
P
(¡1)k+1
k=1
2:
k=1
3:
k=1
4:
1
P
k=1
5:
1
P
k=1
n+1
1
1
=
3k ¡ 2
3
•
¼
p + ln 2
3
¶
GI III (85), BR* 161 (1)
1
1
=
3k ¡ 1
3
•
¶
n
p ¡ ln 2 :
3
BR* 161 (1)}
p
1
1
= p [¼ + 2 ln( 2 + 1)]:
4k ¡ 3
4 2
BR* 161 (1)
(¡1)[
k+3
2
] 1 = ¼ + 1 ln 2:
k
4
2
GI III (87)
(¡1)[
k+3
2
]
1
¼
= p :
2k ¡ 1
2 2
1
P
6:
k=1
k+5
(¡1)[ 3 ]
1
5¼
=
:
2k ¡ 1
12
GI III (88)
1
1
¼ p
= ¡ ( 2 + 1):
2 16
k=1 (8k ¡ 1)(8k + 1)
1
P
7:
0.241
1 1
P
= ln 2:
k
k=1 2 k
1:
JO (172g)
¼2
1
1
=
¡ (ln 2)2 :
k
2
12
2
k=1 2 k
1
P
2:
JO (174)
12
¤
3 :
1
P
n=0
4¤ :
•
¶
p
1 ¡ 1 ¡ 4p
2n n
p = p
n
1 ¡ 4p ¡ (1 ¡ 4p)
1 pn
P
¼2
=
¡
2
6
n=1 n
Z
p
1
ln(1 ¡ x)
dx
x
∙
¸
1
0∙p<
:
4
[0 ∙ p ∙ 1]:
• ¶
∙ •
•
¶
¶¸
2i
j 2i ¡ j
j+1 2i ¡ (j + 1)
i
5 :
2
¡2
j=4¡
i
i¡j
i ¡ (j + 1)
j=1
¤
6¤ :
i
P
• ¶
∙ •
•
¶
¶¸
2i
2i ¡ j
2i ¡ (j + 1)
¡3¢4i
2j
¡ 2j+1
j 2 = 4i
i
i
¡
j
i
¡
(j
+
1)
j=1
i
P
∙• ¶
n
= 0;
m
i
P
m<0 :
∙• ¶
n
= 0;
m
∙ •
•
• ¶
¶
¶¸
2i
j 2i ¡ j
j+1 2i ¡ (j + 1)
3
i
2
¡2
j = (6i+13)4 ¡18i
7 :
i
¡
j
i
¡
(j
+
1)
i
j=1
¤
¸
¸
m<0 :
∙• ¶
n
= 0;
m
¸
m<0 :
8¤ :
¤
9 :
• ¶
¶
¶¸
∙ •
•
2i
2i ¡ j
2i ¡ (j + 1)
¡(60i+75)4i
¡ 2j+1
j 4 = (32i2 +104i)
2j
i
i
¡
j
i
¡
(j
+
1)
j=1
¸
∙• ¶
n
= 0; m < 0 :
m
i
P
2n
P
j=n+1
•
• ¶
¶
• ¶∙
¸i
P 2i
1
k
2n j 1 2n n (1 + k)2n¡1 (1 ¡ k) n¡1
k +
= (1+k)2n :
k +
2
2 n
2
(1 + k)
2
j
i
i=0
¶
•
i
P
i + k i¡k
10 :
= 4i :
2
k
k=0
¤
11¤ :
• ¶
•
¶i¡k
i
P
2i
i+k
k = (i + 1)4i ¡ (2i + 1)
:
i
k
k=0
•
• ¶¶
• ¶
i
P
2i
2i
1
i
4 +
12 :
:
=
2
i
k=0 k
¤
• ¶
i
P
2i
i
13 :
k = 4i :
2
k=0 k
¤
• ¶
• ¶
i
P
i2 2i
2i 2
i¡1
14 :
¡
:
k = (2i + 1)i4
2 i
k=0 k
¤
0.242
1
P
k=0
(¡1)k
1
n2
= 2
2k
n
n +1
(n > 1):
0.243
1:
1
P
1
1
1
=
(l + 1)q p(p + q) . . . (p + lq)
k=1 [p + (k ¡ 1)q](p + kq) . . . [p + (k + l)q]
13
2:7
3:
xk¡1
=
k=1 [p + (k ¡ 1)q][p + (k ¡ 1)q + 1][p + (k ¡ 1)q + 2] . . . [p + (k ¡ 1)q + l]
Z
1 1 tp¡1 (1 ¡ t)t
=
dt
[q > 0; x2 ∙ 1]:
l! 0
1 ¡ xtq
1
P
1
P
1
3
k=0 (2k + 1)
∙
BR* 161 (2), AD (6.704)
∙
¸
∙
¸¸
(2k + 1)¼x
(2k + 1)¼
¼3
1
th
+ xt h
=
:
x
2
2x
16
0.244
1:
2:
1
P
1
1
=
q¡p
k=1 (k + p)(k + q)
1
P
k=1
3¤ :
Z
1
0
xp ¡ xq
dx
1¡x
[p > ¡1;
q > ¡1;
GI III (90)
(¡1)k+1
1
=
p + (k ¡ 1)q
Z
1
0
tp¡1
dt
1 + tq
q
P
1
1
1
=
q ¡ p m=p+1 m
k=1 (k + p)(k + q)
1
P
[p > 0;
[q > p > ¡1,
q > 0]:
p and q integers].
Summations of reciprocals of factorials
0.245
1:
2:
3:
1 1
P
= e = 2:71828 . . .
k=0 k!
1 (¡1)k
P
1
= = 0:36787 . . .
k!
e
k=0
2
p=
= q]:
1
P
k
1
= = 0:36787 . . .
(2k
+
1)!
e
k=1
BR* 161 (1)
4:
5:
6:
7:
8:
1
P
k
= 1:
k=1 (k + 1)!
1
P
1
1
=
2
k=0 (2k)!
1
P
•
1
e+
e
1
1
=
(2k
+
1)!
2
k=0
•
¶
e¡
= 1:54308 . . .
1
e
¶
= 1:17520 . . .
1 (¡1)k
P
= cos 1 = 0:54030 . . .
k=0 (2k)!
1 (¡1)k¡1
P
= sin 1 = 0:84147 . . .
k=0 (2k ¡ 1)!
14
0.246
1:
2:
3:
4:
1
P
1
= I0 (2) = 2:27958530 . . .
2
k=0 (k!)
1
P
1
= I1 (2) = 1:590636855 . . .
k=0 k!(k + 1)!
1
P
1
= In (2):
k=0 k!(k + n)!
1 (¡1)k
P
= J0 (2) = 0:22389078 . . .
2
k=0 (k!)
0.247
1
P
k!
1
=
:
(n ¡ 2) ¢ (n ¡ 1)!
k=1 (n + k ¡ 1)!
0.248
1 kn
P
= Sn ;
k=1 k!
S1 = e,
S5 = 52e,
S2 = 2e,
S6 = 203e,
S3 = 5e,
S7 = 877e,
S4 = 15e,
S8 = 4140e.
8
0.249
1 (k + 1)3
P
= 15e ¡ 1:
k!
k=0
0.25 Infinite products
0.250
Suppose that a sequence of numbers a1 ; a2 ; . . . ; ak ; . . . is given. If the limit lim
(but of definite sign), this limit is called the value of the infinite product
1
Q
n
Q
n!1 k=1
(1 + ak ) exists, whether finite or infinite
(1 + ak ) and we write
k=1
1.
lim
n
Q
n!1 k=1
(1 + ak ) =
1
Q
(1 + ak ):
k=1
If an infinite product has a finite nonzero value, it is said to converge. Otherwise, the infinite product is said to diverge. We assume
that no ak is equal to ¡1.
15
0.251
FI II 400
For the infinite product 0.250 1. to converge, it is necessary that lim ak = 0.
k!1
0.252
If ak > 0 or ak < 0 for all values of the index k starting with some particular value, then, for the product 0.250 1. to converge, it is
necessary and sufficient that the series
1
P
ak converges.
k=1
0.253
The product
1
Q
(1 + ak ) is said to converge absolutely if the product
k=1
1
Q
k=1
(1 + jak j) converges.
FI II 403
0.254
Absolute convergence of an infinite product implies its convergence.
0.255
The product
1
Q
(1 + ak ) converges absolutely if, and only if, the series
k=1
1
P
ak converges absolutely.
k=1
FI II 406
0.26 Examples of infinite products
0.261
1 •
Y
k=1
(¡1)k+1
1+
2k ¡ 1
¶
=
p
2:
EU
FI II 403
0.262
1:
1 •
Y
k=2
1
1¡ 2
k
¶
=
1
:
2
FI II 401
2:
1 •
Y
k=1
1
1¡
(2k)2
¶
=
2
:
¼
FI II 401
FI II 401
0.263
2
¢
1
¶1 •
¶1=8
• ¶1 •
4 2 6 ¢ 8 4 10 ¢ 12 ¢ 14 ¢ 16
. . . = e:
3
5¢7
9 ¢ 11 ¢ 13 ¢ 15
0.264
1 p
k
Y
e
= eC :
1
k=1 1 +
k
FI II 402
0.265
r
1
¢
2
s
1 1
+
2 2
r
v
s
u
r
u
2
1 t1 1 1 1 1
¢
+
+
... = :
2
2 2 2 2 2
¼
FI II 402
0.266
1
Y
k
(1 + x2 ) =
k=0
1
1¡x
[jxj < 1]:
FI II 401
16
0.3 Functional Series
0.30 Definitions and theorems
0.301
The series
1.
1
P
k=1
fk (x);
x
0.302
A series that converges for all values of x in a region M is said to converge uniformly in that region if, for every " ¸ 0, there exists a
number N such that, for n > N , the inequality
¯
¯
¯
¯ P
¯
¯ 1
fk (x)¯ < "
¯
¯
¯k=n+1
holds for all x in M .
0.303
If the terms of the functional series 0.301 1. satisfy the inequalities
jfk (x)j < uk
(k = 1; 2; 3; . . . );
throughout the region M , where the uk are the terms of some convergent numerical series
1
P
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . . ;
k=1
the series 0.301 1. converges uniformly in M . (Weierstrass)
0.304
Suppose that the series 0.301 1. converges uniformly in a region M and that a set of functions gk (x) constitutes (for each x) a
monotonic sequence, and that these functions are uniformly bounded, that is, suppose that a number L exists such that the
inequalities
1.
jgn (x)j ∙ L
hold for all n and x. Then, the series
2.
1
P
fk (x)gk (x)
k=1
converges uniformly in the region M . (Abel)
17
0.305
Suppose that the partial sums of the series 0.301 1. are uniformly bounded; that is, suppose that, for some L and for all n and x in M ,
the inequalities
¯
¯
n
¯
¯P
¯ fk (x)¯ < L
¯
¯
k=1
FI II 451
hold. Suppose also that for each x the functions gn (x) constitute a monotonic sequence that approaches zero uniformly in the region
M . Then, the series 0.304 2. converges uniformly in the region M . (Dirichlet)
6
0.306
If the functions fk (x) (k = 1; 2; 3; . . . ) are integrable on the interval [a; b] and if the series 0.301 1. made up of these functions
converges uniformly on that interval, this series may be integrated termwise; that is,
Z
b
a
•
1
P
k=1
¶
Z b
1
P
fk (x) dx =
fk (x) dx
k=1 a
[a ∙ x ∙ b]:
FI II 459
FI II 451
0.307
Suppose that the functions fk (r) (for (k = 1; 2; 3; . . . ) have continuous derivatives fk0 (x) on the interval [a; b]. If the series 0.301
1. converges on this interval and if the series
1
P
k=1
differentiated termwise; that is,
½
1
P
k=1
fk0 (x) of these derivatives converges uniformly, the series 0.301 1. may be
¾0
1
P
fk (x) =
fk0 (x):
k=1
FI II 460
0.31 Power series
0.311
A functional series of the form
1.
1
P
k=0
ak (x ¡ »)k = a0 + a1 (x ¡ ») + a2 (x ¡ »)2 + . . .
is called a power series. The following is true of any power series: if it is not everywhere convergent, the region of convergence is a
circle with its center at the point » and a radius equal to R; at every interior point of this circle, the power series 0.311 1. converges
absolutely and outside this circle, it diverges. This circle is called the circle of convergence and its radius is called the radius of
convergence. If the series converges at all points of the complex plane, we say that the radius of convergence is infinite (R = +1).
0.312
Power series may be integrated and differentiated termwise inside the circle of convergence; that is,
Z
x
»
½
1
P
¾
1
P
ak
(x ¡ »)k+1 ;
dx =
k
+
1
k=0
½1
¾ k=0
1
P
P
d
k
ak (x ¡ »)
kak (x ¡ »)k¡1 :
=
dx k=0
k=1
ak (x ¡ »)k
18
The radius of convergence of a series that is obtained from termwise integration or differentiation of another power series coincides
with the radius of convergence of the original series.
Operations on power series
0.313
Division of power series.
1
P
bk xk
k=0
1
P
k=0
ak xk
=
1
1 P
ck xk ;
a0 k=0
where
cn +
n
1 P
cn¡k ak ¡ bn = 0;
a0 k=1
or
0.314
¯
¯ a1 b0 ¡ a0 b1
¯
¯ a2 b0 ¡ a0 b2
¯
¯ a3 b0 ¡ a0 b3
(¡1)n ¯
¢¢¢ ¢¢¢¢
¯
cn =
¯
an
0
¯
¢¢¢ ¢¢¢¢
¯
¯ an¡1 b0 ¡ a0 bn¡1
¯
an b0 ¡ a0 bn
a0
a1
a2
¢¢¢
¢¢¢
an¡2
an¡1
0
a0
a1
¢¢ ¢
¢¢ ¢
an¡3
an¡2
¢¢¢
¢¢¢
¢¢¢
¢¢¢
¢¢¢
¯
0 ¯
¯
0 ¯
¯
0 ¯
¯
¢ ¯:
¯
¢ ¯
¯
a0 ¯
¯
a1
AD (6360)
Power series raised to powers.
•
1
P
ak xk
k=0
¶n
=
1
P
ck xk ;
k=0
where
c0 = an
0;
cm =
m
1 P
(kn¡m+k)ak cm¡k
ma0 k=1
for m ¸ 1
[n is a natural number ]:
AD (6361)
0.315
The substitution of one series into another.
1
P
bk y k =
k=1
1
P
ck xk
k=1
c1 = a1 b1 ; c2 = a2 b1 + a21 b2 ;
c4 = a4 b1 + a22 b2 + 2a1 a3 b2
y=
1
P
ak xk ;
k=1
c3 = a3 b1 + 2a1 a2 b2 + a31 b3 ;
+ 3a21 a2 b3 + a41 b4 ;
...
AD (6362)
19
0.316
Multiplication of power series
1
P
k=0
ak xk
1
P
k=0
bk xk =
1
P
k=0
ck xk ;
cn =
n
P
ak bn¡k :
k=0
FI II 372
Taylor series
0.317
If a function f(x) has derivatives of all orders throughout a neighborhood of a point » , then we may write the series
1.
f (») +
(x ¡ ») 0
(x ¡ »)2 00
(x ¡ »)3 000
f (») +
f (») +
f (») + . . . ;
1!
2!
3!
which is known as the Taylor series of the function f (x).
The Taylor series converges to the function f (x) if the remainder
Rn (x) = f (x) ¡ f (») ¡
2.
n (x ¡ »)h
P
f (k) (»)
k!
k=1
approaches zero as n ! 1.
The following are different forms for the remainder of a Taylor series.
3:
Rn (x) =
(x ¡ »)n+1 (n+1)
(» + •(x ¡ »))
f
(n + 1)!
4:
Rn (x) =
(x ¡ »)n+1
(1¡•)n f (n+1) (»+•(x¡»))
n!
5:
Rn (x) =
Ã(x ¡ ») ¡ Ã(0) (x ¡ »)n (1 ¡ •)n (n+1)
f
(»+•(x¡»))
à 0 [(x ¡ »)(1 ¡ •)]
n!
[0 < • < 1]:
(Lagrange)
[0 < • < 1]:
(Cauchy)
[0 < • < 1]; (SchlÄ
omilch)
where Ã(x) is an arbitrary function satisfying the following two conditions: 1) It and its derivative à 0 (x) are continuous in the
interval (0, x¡» ); 2) the derivative à 0 (x) does not change sign in that interval. If we set Ã(x) = xp+1 , we obtain the following form
for the remainder:
Rn (x) =
(x ¡ »)n+1 (1 ¡ •)n¡p¡1 (n+1)
f
(»+•(x¡»))
(p + 1)n!
[0 < p ∙ n;
0 < • < 1]:
(Rouch¶e )
6:
1
Rn (x) =
n!
Z
x
»
f (n+1) (t)(x ¡ t)n dt:
20
0.318
Other forms in which a Taylor series may be written:
1:
2:
f (a + x) =
1 xk
P
x
x2 00
f (k) (a) = f (a) + f 0 (a) +
f (a) + . . .
1!
2!
k=0 k!
1 xk
P
x
x2 00
f (k) (0) = f (0) + f 0 (0) +
f (0) + . . .
1!
2!
k=0 k!
[Maclaurin series]
0.319
The Taylor series of functions of several variables:
@f (»; ´)
@f (»; ´)
f (x; y) = f (»; ´) + (x ¡ »)
+ (y ¡ ´)
+
@x
@y
½
¾
2
2
1
@ 2 f (»; ´)
2 @ f (»; ´)
2 @ f (»; ´)
+
(x ¡ »)
+ 2(x ¡ »)(y ¡ ´)
+ (y ¡ ´)
+ ...
2!
@x2
@x @y
@y 2
0.32 Fourier series
0.320
Suppose that f (x) is a periodic function of period 2l and that it is absolutely integrable (possibly improperly) over the interval
(¡l; l). The following trigonometric series is called the Fourier series of f (x):
1:
1
P
a0
+
2
k=1
•
ak cos g
k¼x
k¼x
+ bk sing
l
l
¶
;
2:
3:7
ak =
bk =
1
l
Z
1
l
Z
l
f (t) cos
¡l
l
f (t) sin
¡l
k¼t
1
dt =
l
l
k¼t
1
dt =
l
l
Z
Z
®+2l
f (t) cos
®
®+2l
f (t) sin
®
k¼t
dt
l
k¼t
dt
l
(k = 0; 1; 2; . . . );
(k = 1; 2; . . . ):
Convergence tests
0.321
The Fourier series of a function f (x) at a point x0 converges to the number
f (x0 + 0) + f (x0 ¡ 0)
;
2
if, for some h>0, the integral
Z
h
0
jf (x0 + t) + f (x0 ¡ t) ¡ f (x0 + 0) ¡ f (x0 ¡ 0)j
dt
t
21
exists. Here, it is assumed that the function f (x) either is continuous at the point x0 or has a discontinuity of the first kind (a saltus)
at that point and that both one-sided limits f (x0 + 0) and f (x0 ¡ 0) exist. (Dini)
0.322
The Fourier series of a periodic function f (x) that satisfies the Dirichlet conditions on the interval [a; b] converges at every point x0
1
to the value 2 ff (x0 + 0) + f (x0 ¡ 0)g . (Dirichlet)
We say that a function f(x) satisfies the Dirichlet conditions on the interval [a; b] if it is bounded on that interval and if the interval
[a; b] can be partitioned into a finite number of subintervals inside each of which the function f (x) is continuous and monotonic.
0.323
1
The Fourier series of a function f (x) at a point x0 converges to 2 ff (x0 + 0) + f (x0 ¡ 0)g if f (x) is of bounded variation in
some interval (x0 ¡ h; x0 + h) with center at x0. (Jordan-Dirichlet)
FI III 528
The definition of a function of bounded variation. Suppose that a function f(x) is defined on some interval [a b], where a<b. Let us
<
partition this interval in an arbitrary manner into subintervals with the dividing points
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn¡1 < xn = b
FI III 524
and let us form the sum
n
P
k=1
jf (xk ) ¡ f (xk¡1 )j :
Different partitions of the interval [a; b] (that is, different choices of points of division xi) yield, generally speaking, different sums.
If the set of these sums is bounded above, we say that the function f (x) is of bounded variation on the interval [a; b]. The least upper
bound of these sums is called the total variation of the function f (x) on the interval [a; b].
0.324
Suppose that a function f (x) is piecewise-continuous on the interval [a; b] and that in each interval of continuity it has a
piecewise-continuous derivative. Then, at every point x0 of the interval [a; b]; the Fourier series of the function f (x) converges to
1
2 ff (x0
+ 0) + f (x0 ¡ 0)g .
0.325
A function f(x) defined in the interval (0, l) can be expanded in a cosine series of the form
1.
1
P
a0
k¼x
+
ak cos
;
2
l
k=1
where
2.
ak =
2
l
Z
l
f (t) cos
0
k¼t
dt:
l
22
0.326
A function f(x) defined in the interval (0, l) can be expanded in a sine series of the form
1.
1
P
k=1
bk sin
k¼x
;
l
where
2.
bk =
2
l
Z
l
f (t) sin
0
k¼t
dt:
l
The convergence tests for the series 0.325 1. and 0.326 1. are analogous to the convergence tests for the series 0.320 1. (see 0.3210.324).
0.327
The Fourier coefficients ak and bk (given by formulas 0.320 2. and 0.320 3.) of an absolutely integrable function approach zero as
k ! 1.
If a function f(x) is square-integrable on the interval (¡l; l), the equation of closure is satisfied:
1
P
a20
1
+
(a2k + b2k ) =
2
l
k=1
Z
l
f 2 (x) dx:
(A.M. Lyapunov )
¡l
FI III 705
0.328
Suppose that f (x) and '(x) are two functions that are square-integrable on the interval (¡l; l) and that ak ; bk and ®k ; ¯k are their
Fourier coefficients. For such functions, the generalized equation of closure (Parseval's equation) holds:
1
P
a0 ®0
1
+
(ak ®k + bk ¯k ) =
2
l
k=1
Z
l
f (x)'(x) dx:
¡l
FI III 709
For examples of Fourier series, see 1.44-1.45
0.33 Asymptotic series
0.330
Included in the collection of all divergent series is the broad class of series known as asymptotic or semiconvergent series. Despite the
fact that these series diverge, the values of the functions that they represent can be calculated with a high degree of accuracy if we
take the sum of a suitable number of terms of such series. In the case of alternating asymptotic series, we obtain greatest accuracy if
we break off the series in question at whatever term is of lowest absolute value. In this case, the error (in absolute value) does not
exceed the absolute value of the first of the discarded terms (cf. 0.227 3.).
Asymptotic series have many properties that are analogous to the properties of convergent series and, for that reason, they play a
significant role in analysis.
The asymptotic expansion of a function is denoted as follows:
f (z) »
1
P
An z ¡n :
n=0
23
The definition of an asymptotic expansion. The divergent series
1
P
n=0
An
zn
is called the asymptotic expansion of a function f (z) in a
given region of values of arg z if the expression Rn (z) = z n [f (z) ¡ Sn (z)]; where Sn (z) =
lim Rn (z) = 0 for fixed n.
n
P
k=0
Ak
,
2k
satisfies the condition
jzj!1
A divergent series that represents the asymptotic expansion of some function is called an asymptotic series.
FI II 820
0.331
Properties of asymptotic series
1. The operations of addition, subtraction, multiplication, and raising to a power can be performed on asymptotic series just as on
absolutely convergent series. The series obtained as a result of these operations will also be asymptotic.
2. One asymptotic series can be divided by another provided that the first term A0 of the divisor is not equal to zero. The series
obtained as a result of division will also be asymptotic.
FI II 823-825
3. An asymptotic series can be integrated termwise, and the resultant series will also be asymptotic. In contrast, differentiation of an
asymptotic series is, in general, not permissible.
FI II 824
4. A single asymptotic expansion can represent different functions. On the other hand, a given function can be expanded in an
asymptotic series in only one manner.
WH
0.4 Certain Formulas from Differential Calculus
0.41 Differentiation of a definite integral with respect to a parameter
0.410
d
da
Z
'(a)
Ã(a)
dÃ(a)
d'(a)
¡ f (Ã(a); a)
f (x; a) dx = f ('(a); a)
+
da
da
Z
'(a)
Ã(a)
d
f (x; a) dx:
da
FI II 680
FI II 820
0.411
In particular,
1:
2:
d
da
Z
d
db
Z
a
f (x) dx = f (a):
b
a
b
f (x) dx = ¡f (b):
0.42 The nth derivative of a product
(Leibniz rule)
Suppose that u and À are n-times-differentiable functions of x. Then,
• ¶
• ¶ 2 n¡2
• ¶ 3 n¡3
dn (uÀ)
dn À
À
À
dn u
n du dn¡1 À
n d ud
n d ud
=
u
+
+
+
+
.
.
.
+
À
dxn
dxn
dxn
1 dx dxn¡1
2 dx2 dxn¡2
3 dx3 dxn¡3
or, symbolically,
dn (uÀ)
= (u + À)(n) :
dxn
24
0.43 The nth derivative of a composite function
0.430
If f(x)=F(y) and y='(x), then
1:
dn
U1 0
U2 00
U3 000
Un (n)
F (y) +
F (y) +
F (y) + . . . +
F (y);
f (x) =
n
dx
1!
2!
3!
n!
where
Uk =
dn y
dn k
k dn
k(k ¡ 1) 2 dn k¡2
y ¡ y n y k¡1 +
y
y
¡ . . . + (¡1)k¡1 ky k¡1 n :
n
n
dx
1! dx
2!
dx
dx
AD (7361) GO
2:
P
dn
n!
dm F
f
(x)
=
dxn
i!j!h! . . . k! dy m
Here, the symbol
P
•
y0
1!
¶i •
y 00
2!
¶j •
y 000
3!
¶h
¢¢¢
•
y (l)
l!
¶k
;
indicates summation over all solutions in non negative integers of the equation i + 2j + 3h + . . . + lk = n
and m = i + j + h + . . . + k:
0.431
1:
(¡1)n
dn
F
dxn
• ¶
• ¶
• ¶
1
n¡1 n
1
1
1
= 2n F (n)
+ 2n¡1 F (n¡1)
+
x
x
x
x
1!
x
• ¶
(n ¡ 1)(n ¡ 2) n(n ¡ 1) (n¡2) 1
+
F
+ ...
x2n¡2
2!
x
AD (7362.1)
2:
• ¶³ ´
• ¶• ¶n¡2
½
dn a
1 a ³ a ´n
n
n
a n¡1
a
(¡1)
ex = n ex
+(n ¡ 1)
+(n ¡ 1) (n ¡ 2)
+
n
dx
x
x
x
x
1
2
• ¶³ ´
¾
n
a n¡3
+ (n ¡ 1)(n ¡ 2)(n ¡ 3)
+... :
3
x
n
AD (7362.2)
0.432
1:
dn
n(n ¡ 1)
(2x)n¡2 F (n¡1) (x2 ) +
F (x2 ) = (2x)n F (n) (x2 ) +
dxn
1!
n(n ¡ 1)(n ¡ 2)(n ¡ 3)
+
(2x)n¡4 F (n¡2) (x2 ) +
2!
n(n ¡ 1)(n ¡ 2)(n ¡ 3)(n ¡ 4)(n ¡ 5)
(2x)n¡6 F (n¡3) (x2 )+. . .
+
3!
AD (7363.1)
2:
½
dn ax2
n(n ¡ 1)(n ¡ 2)(n ¡ 3)
n(n ¡ 1)
n ax2
e
=
(2ax)
e
+
+
1+
dxn
1!(4ax2 )
2!(4ax2 )2
¾
n(n ¡ 1)(n ¡ 2)(n ¡ 3)(n ¡ 4)(n ¡ 5)
+
+
¢
¢
¢
:
3!(4ax2 )3
AD (7363.2)
25
3:
dn
p(p ¡ 1)(p ¡ 2) . . . (p ¡ n + 1)(2ax)n
2 p
(1
+
ax
)
=
£
dxn
(1 + ax2 )n¡p
(
)
•
¶2
n(n ¡ 1) 1 + ax2
n(n ¡ 1)(n ¡ 2)(n ¡ 3)
1 + ax2
£ 1+
+
+... ;
1!(p ¡ n + 1) 4ax2
2!(p ¡ n + 1)(p ¡ n + 2)
4ax2
AD (7363.3)
4:
dm¡1
(1 ¡ x2 )m¡
dxm¡1
1
2
= (¡1)m¡1
(2m ¡ 1)!!
sin(m arccos x):
m
AD (7363.4)
0.433
1:
p
p
p
p
dn
F (n) ( x) n(n ¡ 1) F (n¡1) ( x) (n + 1)n(n ¡ 1)(n ¡ 2) F (n¡2) ( x)
p
p
p
F ( x) =
¡
+
¡. . .
dxn
(2 x)n
1!
(2 x)n+1
2!
(2 x)n+2
AD (7364.1)
2:
p
dn
(2n ¡ 1)!! a
p
(1 + a x)2n¡1 =
dxn
2n
x
•
1
a ¡
x
2
¶ n¡1
:
AD (7364.2)
0.434
¶½ • ¶
•
• ¶
¾
n
n 2
1
n
1
n¡p
n
dn p
p¡1 d y
p¡2 d y
¡
y
=
p
y
+
y
¡
.
.
.
:
1 p¡1
n
2 p¡2
dxn
dxn
dxn
AD (737.1)
0.435
dn
ln y =
dxn
½• ¶
• ¶
¾
• ¶
1 dn y
1 dn y 3
n
n
1 dn y 2
n
¡
+
¡
.
.
.
:
1 1 ¢ y dxn
3 3 ¢ y 3 dxn
2 2 ¢ y 2 dxn
AD (737.2)
0.44 Integration by substitution
0.440
Let f (x) and g(x) be continuous in [a; b]. Further, let g 0 (x) exist and be continuous there. Then
Z
b
a
f [g(x)]g 0 (x) dx =
Z
g(b)
f (u) du:
g(a)
1. Elementary Functions
1.1 Power of Binomials
1.11 Power series
1.110
(1 + x)q = 1 + qx +
q(q ¡ 1) 2
q(q ¡ 1) . . . (q ¡ k + 1) k
x + ... +
x + ... :
2!
k!
If q is neither a natural number nor zero, the series converges absolutely for jxj < 1 and diverges for jxj > 1. For x = 1, the series
converges for q > ¡1 and diverges for q ∙ ¡1. For x = 1, the series converges absolutely for q > 0. For x = ¡1, it converges
absolutely for q > 0 and diverges for q < 0. If q = n is a natural number, the series 1.110 is reduced to the finite sum 1.111.
FI II 425
1.111
(a + x)n =
• ¶
n k n¡k
:
x a
k=0 k
n
P
1.112
1:
(1 + x)¡1 = 1 ¡ x + x2 ¡ x3 + . . . =
1
P
k=1
(¡1)k¡1 xk¡1
1.121
2:
(1 + x)¡2 = 1 ¡ 2x + 3x2 ¡ 4x3 + . . . =
1
P
k=1
(¡1)k¡1 kxk¡1 :
3:
1¢1 2 1¢1¢3 3 1¢1¢3¢5 4
1
(1 + x)1=2 = 1 + x +
x +
x ¡
x + ... :
2
2¢4
2¢4¢6
2¢4¢6¢8
4:
1
1¢3 2 1¢3¢5 3
(1 + x)¡1=2 = 1 ¡ x +
x ¡
x +... :
2
2¢4
2¢4¢6
1.113
1
P
x
=
kxk
(1 ¡ x)2
k=1
[x2 < 1]:
1.114
1:
(1 +
p
q
½
q ³ x ´ q (q ¡ 3) ³ x ´2
+
+
1! 4
2!
4
¾
q(q ¡ 4)(q ¡ 5) ³ x ´3
+
+. . .
[x2 < 1, q is a real number].
3!
4
1 + x) = 2
q
1+
27
2:
(x +
p
1 q 2 (q 2 ¡ 22 )(q 2 ¡ 42 ) . . . [q 2 ¡ (2k)2 ]x2k+2
P
+
(2k + 2)!
k=0
1 (q 2 ¡ 12 )(q 2 ¡ 32 ) . . . [q 2 ¡ (2k ¡ 1)2 ]
P
+ qx + q
x2k+1
(2k + 1)!
k=1
[x2 < 1, q is a real number].
1 + x2 )q = 1 +
AD (6351.1)
1.12 Series of rational fractions
1.121
k¡1
1:
2:
k¡1
1 2k¡1 x2
1
P
P
x
x2
=
=
k
¡
1
2
2k
1¡x
k=1 1 + x
k=1 1 ¡ x
1
P
1
2k¡1
=
k
2 ¡1 + 1
x¡1
k=1 x
[x2 < 1]:
[x2 > 1]:
AD (6350.3)
1.2 The Exponential Function
1.21 Series representations
1.211
1:7 ex =
1 xk
P
:
k=0 k!
1 (x ln a)k
P
:
k!
k=0
2:
ax =
3:
e¡x =
2
1
P
k=0
(¡1)k
x2k
:
k!
1.212
ex (1 + x) =
1 xk (k + 1)
P
:
k!
k=0
1.213
1 B x2k
P
x
x
2k
=
1
¡
+
ex ¡ 1
2
k=1 (2k)!
AD (6350.3)
[x < 2¼]:
1.214
ex
e
•
2x2
5x3
15x4
= e 1+x+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
¶
:
AD (6460.3)
28
1.215
1:
esin x = 1 + x +
x2
3x4
8x5
3x6
56x7
¡
¡
¡
+
+...
2!
4!
5!
6!
7!
AD (6460.4)
2:
cos x
e
•
x2
4x4
31x6
=e 1¡
+
¡
+ ...
2!
4!
6!
¶
:
AD (6460.5)
3:
etg x = 1 + x +
x2
3x3
9x4
37x5
+
+
+
+...
2!
3!
4!
5!
AD (6460.6)
1.216
1:
earcsin x = 1 + x +
x2
2x3
5x4
+
+
+...
2!
3!
4!
AD (6460.7)
2:
earctg x = 1 + x +
x2
x3
7x4
¡
¡
+...
2!
3!
4!
AD (6460.8)
1.217
1:
¼
1
P
e¼x + e¡¼x
1
1
= + 2x
(cf. 1.421 3. ):
¼x
2
2
¡¼x
e ¡e
x
k=1 x + k
AD (6707.1)
1.421
2:
e¼x
1
P
2¼
1
1
= + 2x
(¡1)k 2
¡¼x
¡e
x
x + k2
k=1
(cf. 1.422 3. ):
AD (6707.2)
1.422
1.22 Functional relations
1.221
1:
ax = ex ln a :
2:
aloga x = a log x a = x:
1
1.222
1:
ex = ch x + sh x:
2:
eix = cos x + i sin x:
1.223
ax
e
bx
¡e
∙
¸ 1 ∙
¸
Q
1
(a ¡ b)2 x2
= (a ¡ b)x exp
(a + b)x
1+
:
2
2k2 ¼ 2
k=1
MO 216
1.23 Series of exponentials
1.231
1
P
k=0
akx =
1
1 ¡ ax
[a > 1
and
x<0
or
0<a<1
and
x > 0]:
1:
th x = 1 + 2
1
P
k=1
2:
sech x = 2
1
P
k=0
3:
cosech x = 2
(¡1)k e¡2kx
(¡1)k e¡(2k+1)x
1
P
e¡(2k+1)x
[x > 0]:
[x > 0]:
[x > 0]:
k=0
1.3-1.4 Trigonometric and Hyperbolic Functions
1.30 Introduction
The trigonometric and hyperbolic sines are related by the identities
sh x =
1
sin (ix);
i
sin x =
1
sh (ix):
i
The trigonometric and hyperbolic cosines are related by the identities
ch x = cos (ix);
cos x = ch (ix):
Because of this duality, every relation involving trigonometric functions has its formal counterpart involving the corresponding
hyperbolic functions, and vice-versa. In many (though not all) cases, both pairs of relationships are meaningful.
The idea of matching the relationships is carried out in the list of formulas given below. However, not all the meaningful ``pairs'' are
included in the list.
1.31 The basic functional relations
1.311
1:
3:
1 ix
(e ¡ e¡ix );
2i
= ¡i sh (ix):
1
cos x = (eix + e¡ix );
2
= ch (ix):
sin x
1
sin x =
2:
4:
1 x
(e ¡ e¡x );
2
= ¡i sin (ix):
1
ch x = (ex + e¡x );
2
= cos (ix):
sh x
1
sh x =
1.312
1:
cos2 x + sin2 x = 1:
1.313
1.
sin (x § y) = sin x cos y § sin y cos x.
2.
sh (x § y) = sh x ch y § sh y ch x.
3.
sin (x § iy) = sin x ch y § i sh y cos x.
4.
sh (x § iy) = sh x cos y § i sin y ch x.
5.
cos (x § y) = cos x cos y ¨ sin x sin y.
6.
ch (x § y) = ch x ch y § sh x sh y.
7.
cos (x § iy) = cos x ch y ¨ i sin x sh y.
8.
ch (x § iy) = ch x cos y § i sh x sin y.
9.
tg (x § y) =
10.
tg x§tg y
.
1¨tg x tg y
th (x § y) = th x§th y .
1§th x th y
2:
ch2 x ¡ sh2 x = 1:
1.314
1:
1
1
sin x § sin y = 2 sin (x § y) cos (x ¨ y):
2
2
2:
1
1
sh x § sh y = 2 sh (x § y) ch (x ¨ y):
2
2
3:
1
1
cos x + cos y = 2 cos (x + y) cos (x ¡ y):
2
2
4:
1
1
ch x + ch y = 2 ch (x + y) ch (x ¡ y):
2
2
5:
1
1
cos x ¡ cos y = 2 sin (x + y) sin (y ¡ x):
2
2
6:
1
1
ch x ¡ ch y = 2 sh (x + y) sh (x ¡ y):
2
2
7:
tg x § tg y =
sin (x § y)
:
cos x cos y
8:
th x § th y =
1.315
1.
sin2 x ¡ sin2 y = sin (x + y) sin (x ¡ y) = cos2 y ¡ cos2 x.
2.
sh2 x ¡ sh2 y = sh (x + y) sh (x ¡ y) = ch2 x ¡ ch2 y.
3.
cos2 x ¡ sin2 y = cos (x + y) cos (x ¡ y) = cos 2 y ¡ sin2 x:
sh (x § y)
:
ch x ch y
4.
sh2 x + ch2 y = ch (x + y) ch (x ¡ y) = ch2 x + sh2 y.
31
1.316
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx:
2:
[n is an integer].
(ch x + sh x)n = sh nx + ch nx
1:
r
x
1
(1 ¡ cos x):
sin = §
2
2
2:
r
x
1
sh = §
(ch x ¡ 1):
2
2
3:
r
x
1
cos = §
(1 + cos x):
2
2
4:
x
ch =
2
5:
tg
6:
th
1:
1.317
x
1 ¡ cos x
sin x
=
=
:
2
sin x
1 + cos x
r
1
(ch x + 1):
2
x
ch x ¡ 1
sh x
=
=
:
2
sh x
ch x + 1
The signs in front of the radical in formulas 1.317 1., 1.317 2., and 1.317 3. are taken so as to agree with the signs of the left hand
members. The sign of the left hand members depends in turn on the value of x.
1.32 The representation of powers of trigonometric and hyperbolic functions in terms
of functions of multiples of the argument (angle)
1.320
1:
2:
3:
sin
sh
2n
2n
sin
1
x = 2n
2
½ n¡1
P
k=0
(¡1)n
x=
22n
2n¡1
x=
(¡1)
½ n¡1
P
k=0
1
22n¡2
n¡k
•
¶
• ¶¾
2n
2n
2
cos 2 (n ¡ k) x +
:
k
n
KR 56 (10, 2)
n¡k
(¡1)
n¡1
P
k=0
•
¶
• ¶¾
2n
2n
2
ch 2 (n ¡ k) x +
:
k
n
n+k¡1
(¡1)
•
¶
2n ¡ 1
sin (2n ¡ 2k ¡ 1)x
k
4:
sh
2n¡1
5:
6:
7:
8:
¶
•
P
(¡1)n¡1 n¡1
n+k¡1 2n ¡ 1
x=
(¡1)
sh (2n ¡ 2k ¡ 1)x:
22n¡2 k=0
k
cos
2n
1
x = 2n
2
ch2n x =
cos
2n¡1
1
22n
x=
ch2n¡1 x =
• ¶¾
½ n¡1 • ¶
P
2n
2n
:
cos 2 (n ¡ k) x +
2
n
k
k=0
KR 56 (10, 1)
• ¶¾
½ n¡1 • ¶
P
2n
2n
:
ch 2 (n ¡ k) x +
2
n
k
k=0
1
22n¡2
1
22n¡2
n¡1
P
k=0
n¡1
P
k=0
•
¶
2n ¡ 1
cos (2n ¡ 2k ¡ 1)x:
k
•
¶
2n ¡ 1
ch (2n ¡ 2k ¡ 1)x:
k
32
Special cases
1.321
1:
sin2 x =
1
(¡cos 2x + 1):
2
2:
sin3 x =
1
(¡sin 3x + 3 sin x):
4
3:
sin4 x =
1
(cos 4x ¡ 4 cos 2x + 3):
8
4:
sin5 x =
1
(sin 5x ¡ 5 sin 3x + 10 sin x):
16
5:
sin6 x =
1
(¡cos 6x + 6 cos 4x ¡ 15 cos 2x + 10):
32
KR 56 (10, 3)
sin7 x =
1
(¡sin 7x + 7 sin 5x ¡ 21 sin 3x + 35 sin x):
64
1:
sh2 x =
1
(ch 2x ¡ 1):
2
2:
sh3 x =
1
(sh 3x ¡ 3 sh x):
4
3:
sh4 x =
1
(ch 4x ¡ 4 ch 2x + 3):
8
4:
sh5 x =
1
(sh 5x ¡ 5 sh 3x + 10 sh x):
16
5:
sh6 x =
1
(ch 6x ¡ 6 ch 4x + 15 ch 2x + 10):
32
6:
sh7 x =
1
(sh 7x ¡ 7 sh 5x + 21 sh 3x + 35 sh x):
64
6:
1.322
1.323
1:
cos 2 x =
1
(cos 2x + 1):
2
2:
cos 3 x =
1
(cos 3x + 3 cos x):
4
3:
cos 4 x =
1
(cos 4x + 4 cos 2x + 3):
8
33
4:
cos 5 x =
1
(cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x):
16
5:
cos 6 x =
1
(cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10):
32
6:
cos 7 x =
1
(cos 7x + 7 cos 5x + 21 cos 3x + 35 cos x):
64
1.324
1:
ch2 x =
1
(ch 2x + 1):
2
2:
ch3 x =
1
(ch 3x + 3 ch x):
4
3:
ch4 x =
1
(ch 4x + 4 ch 2x + 3):
8
4:
ch5 x =
1
(ch 5x + 5 ch 3x + 10 ch x):
16
5:
ch6 x =
1
(ch 6x + 6 ch 4x + 15 ch 2x + 10):
32
6:
ch7 x =
1
(ch 7x + 7 ch 5x + 21 ch 3x + 35 ch x):
64
1.33 The representation of trigonometric and hyperbolic functions of multiples of the
argument (angle) in terms of powers of these functions
1.331
n¡1
3
• ¶
n
cos n¡3 x sin3 x +
x sin x +
3
1 : sin nx = n cos
• ¶
n
cos n¡5 x sin5 x ¡ . . . ;
5
½
¶
•
n ¡ 2 n¡3
n¡1
n¡1
cos
x¡
cos n¡3 x +
= sin x 2
2
1
¶
•
¾
¶
•
n ¡ 3 n¡5
n ¡ 4 n¡7
n¡5
n¡7
2
+
cos
x¡
cos
x + ... :
2
2
3
AD (3.175)
2:
¶
n
sh nx = x
sh2k¡2 x chn¡2k+1 x;
2k
¡
1
k=1
•
¶
[(n¡1)=2]
P
n ¡ k ¡ 1 n¡2k¡1 n¡2k¡1
= sh x
(¡1)k
ch
x:
2
k
k=0
[(n+1)=2]
P
•
34
3:
• ¶
• ¶
n
n
cos n¡2 x sin2 x +
cos n¡4 x sin4 x ¡ . . . ;
2
4
•
¶
n
n n ¡ 3 n¡5
= 2n¡1 cos n x ¡ 2n¡3 cos n¡2 x +
cos n¡4 x ¡
2
1
2
1
•
¶
n n ¡ 4 n¡7
¡
cos n¡6 x + . . . :
2
3
2
cos nx = cos n x ¡
AD (3.175)
3
4 : ch nx =
[n=2]
P
k=0
•
•
¶
¶
[n=2]
P
n
2k
n¡2k
n
n¡1
k1 n¡k¡1
x=2
ch x+n
(¡1)
2n¡2k¡1 chn¡2k x:
sh x ch
k
k¡1
2k
k=1
1.332
1:
½
(4n2 ¡ 22 )(4n2 ¡ 42 )
4n2 ¡ 22
sin 2nx = 2n cos x sin x ¡
sin3 x +
sin5 x ¡ . . .
3!
5!
½
2n ¡ 2 2n¡3
n¡1
= (¡1)
cos x 22n¡1 sin2n¡1 x ¡
2
sin2n¡3 x+
1!
(2n ¡ 3)(2n ¡ 4) 2n¡5 2n¡5
+
2
sin
x¡
2!
¾
(2n ¡ 4)(2n ¡ 5)(2n ¡ 6) 2n¡7 2n¡7
¡
2
sin
x + ... :
3!
¾
;
2:
½
(2n ¡ 1)2 ¡ 12
sin(2n ¡ 1)x = (2n ¡ 1) sin x ¡
sin3 x+
3!
¾
[(2n ¡ 1)2 ¡ 12 ][(2n ¡ 1)2 ¡ 32 ]
+
sin5 x ¡ . . . ;
5!
½
2n ¡ 1 2n¡4
2
sin2n¡3 x+
= (¡1)n¡1 22n¡2 sin2n¡1 x ¡
1!
(2n ¡ 1)(2n ¡ 4) 2n¡6 2n¡5
2
sin
x¡
+
2!
¾
(2n ¡ 1)(2n ¡ 5)(2n ¡ 6) 2n¡8
2n¡7
¡
2
sin
x + ... :
3!
AD (3.174)
AD (3.172)
3:
4n2 (4n2 ¡ 22 )
4n2
4n2 (4n2 ¡ 2)(4n2 ¡ 42 )
sin2 x+
sin4 x¡
sin6 x+. . . ;
2!
4!
6!
½
2n 2n¡3
= (¡1)n 22n¡1 sin2n x ¡
2
sin2n¡2 x+
1!
¾
2n(2n ¡ 3) 2n¡5 2n¡4
2n(2n ¡ 4)(2n ¡ 5) 2n¡7 2n¡6
+
sin
x¡
sin
x + ... :
2
2
2!
3!
cos 2nx = 1¡
AD (3.173)a
AD (3.171)
35
4:
½
(2n ¡ 1)2 ¡ 12
sin2 x +
2!
¾
[(2n ¡ 1)2 ¡ 12 ][(2n ¡ 1)2 ¡ 32 ]
4
+
sin x ¡ . . . ;
4!
½
2n ¡ 3 2n¡4
= (¡1)n¡1 cos x 22n¡2 sin2n¡2 x ¡
2
sin2n¡4 x+
1!
(2n ¡ 4)(2n ¡ 5) 2n¡6 2n¡6
+
sin
x¡
2
2!
¾
(2n ¡ 5)(2n ¡ 6)(2n ¡ 7) 2n¡8 2n¡8
¡
2
sin
x + ... :
3!
cos(2n ¡ 1)x = cos x 1 ¡
AD (3.174)
AD (3.172)
By using the formulas and values of 1.30, we can write formulas for sh 2 nx, sh (2n¡1)x, ch 2nx, and ch (2n¡1)x that are
analogous to those of 1.332, just as was done in the formulas in 1.331.
Special cases
1.333
1.
sin 2x = 2 sin x cos x.
2.
sin 3x = 3 sin x¡4 sin3 x.
3.
sin 4x = cos x(4 sin x¡8 sin3 x).
4.
sin 5x = 5 sin x¡20 sin3 x+16 sin5 x.
5.
sin 6x = cos x(6 sin x¡32 sin3 x+32 sin5 x).
6.
sin 7x = 7 sin x¡56 sin3 x+112 sin5 x¡64 sin7 x.
1.334
1.
sh 2x = 2 sh x ch x.
2.
sh 3x = 3 sh x+4 sh3 x.
3.
sh 4x = ch x(4 sh x+ 8 sh3 x).
4.
sh 5x = 5 sh x+ 20 sh3 x+16 sin5 x.
5.
sh 6x = ch x(6 sh x+32 sh3 x+ 32 sh5 x).
6.
sh 7x = 7 sh x+56 sh3 x+112 sh5 x+ 64 sh7 x.
1.335
1.
cos 2x = 2 cos2 x¡1.
2.
cos 3x = 4 cos3 x¡3 cos x.
3.
cos 4x = 8 cos4 x¡8 cos2 x+1.
4.
cos 5x = 16 cos5 x¡20 cos3 x+5 cos x.
5.
cos 6x = 32 cos6 x¡48 cos4 x+18 cos2 x¡1.
6.
cos 7x = 64 cos7 x¡112 cos5 x+56 cos3 x¡7 cos x.
1.336
1.
ch 2x = 2 ch2 x¡1.
2.
ch 3x = 4 ch3 x¡3 ch x.
3.
ch 4x = 8 ch4 x¡8 ch2 x+1.
4.
ch 5x = 16 ch5 x¡20 ch3 x+5 ch x.
5.
ch 6x = 32 ch6 x¡48 ch4 x+18 ch2 x¡1.
6.
ch 7x = 64 ch7 x¡112 ch5 x+56 ch3 x¡7 ch x.
36
1.34 Certain sums of trigonometric and hyperbolic functions
1.341
1:
n¡1
P
sin (x + ky) = sin
k=0
2:
n¡1
P
sh (x + ky) = sh
n¡1
P
•
x+
cos (x + ky) = cos
k=0
4:
n¡1
P
ch (x + ky) = ch
2n¡1
P
k=0
6:
n¡1
P
k=0
¶
sin
ny
y
cosec :
2
2
•
n¡1
y
2
¶
n¡1
x+
y
2
sh
¶
ny 1
:
2 sh y
2
sin
ny
y
cosec :
2
2
AD (361.9)
k=0
5:
n¡1
x+
y
2
AD (361.8)
k=0
3:
•
•
n¡1
x+
y
2
k
(¡1) cos (x + ky) = sin
•
¶
sh
ny 1
:
2 sh y
2
2n ¡ 1
x+
y
2
¶
y
sin ny sec :
2
JO (202)
k
(¡1) sin (x + ky) = sin
½
¾
n¡1
n(y + ¼)
y
x+
(y + ¼) sin
sec :
2
2
2
AD (202a)
Special cases
1.342
1:
n
P
k=1
2¤ :
n
P
k=0
sin kx = sin
n+1
nx
x
x sin
cosec :
2
2
2
AD (361.1)
n+1
nx
x
nx
n+1
x
cos kx = cos
x sin
cosec + 1 = cos
sin
x cosec
2
2
2
2
2
2
•
¶ 3
2
1
sin n +
x7
16
2
7:
= 6
1
+
5
1
24
sin x
2
3:
n
P
sin (2k ¡ 1)x = sin2 nx cosec x:
n
P
cos (2k ¡ 1)x =
k=1
4:
k=1
AD (361.7)
1
sin 2nx cosec x:
2
JO (207)
37
1.343
1:
n
P
1
(¡1)k cos kx = ¡ +
2
k=1
¶
2n + 1
x
2
:
x
2 cos
2
(¡1)n cos
•
AD (361.11)
2:
n
P
k=1
3:
n
P
k=1
(¡1)k+1 sin (2k ¡ 1)x = (¡1)n+1
sin 2nx
:
2 cos x
AD (361.10)
cos (4k ¡3)x+
n
P
k=1
sin (4k¡1)x = sin 2nx(cos 2nx+sin 2nx)(cos x+sin x) cosec 2x:
JO (208)
1.344
1:
n¡1
P
sin
k=1
2:
n¡1
P
k=1
¼k
¼
= ctg
:
n
2n
AD (361.19)
sin
p ³
n¼ ´
2¼k 2
n
n¼
¡ sin
=
1 + cos
:
n
2
2
2
AD (361.18)
AD (361.17)
1.35 Sums of powers of trigonometric functions of multiple angles
1.351
1:
n
P
k=1
1
[(2n + 1) sin x ¡ sin (2n + 1) x]cosec x;
4
n cos (n + 1)x sin nx
:
= ¡
2
2 sin x
sin2 kx =
AD (361.3)
2:
n
P
k=1
n¡1
1
+ cos nx sin (n + 1)x cosec x;
2
2
n cos (n + 1)x sin nx
= +
:
2
2 sin x
cos 2 kx =
AD (361.4)a
3:
n
P
sin3 kx =
k=1
4:
n
P
n+1
nx
x 1
3(n + 1)x
3nx
3x
3
sin
x sin
cosec ¡ sin
sin
cosec
:
4
2
2
2 4
2
2
2
JO (210)
cos 3 kx =
k=1
n+1
nx
x 1
3(n + 1)
3nx
3x
3
cos
x sin
cosec + cos
x sin
cosec :
4
2
2
2 4
2
2
2
JO (211)a
38
5:
n
P
sin4 kx =
k=1
6:
n
P
k=1
1.352
1
[3n¡4 cos (n+1)x sin nx cosec x+cos 2(n+1)x sin 2nx cosec 2x]:
8
JO (212)
cos 4 kx =
1
[3n+4 cos (n+1)x sin nx cosec x+cos 2(n+1)x sin 2nx cosec 2x]:
8
JO (213)
AD (361.5)
2:
n¡1
P
2n ¡ 1
x
1 ¡ cos nx
2
¡
:
x
x
2 sin 2
4 sin2
2
n sin
k cos kx =
k=1
AD (361.6)
1.353
1:
n¡1
P
pk sin kx =
k=1
2:
n¡1
P
AD (361.12)a
pk sh kx =
k=1
3:
n¡1
P
pk cos kx =
k=0
4:
n¡1
P
k=0
p sin x ¡ pn sin nx + pn+1 sin (n ¡ 1) x
:
1 ¡ 2p cos x + p2
p sh x ¡ pn sh nx + pn+1 sh (n ¡ 1) x
:
1 ¡ 2p ch x + p2
1 ¡ p cos x ¡ pn cos nx + pn+1 cos (n ¡ 1) x
:
1 ¡ 2p cos x + p2
AD (361.13)a
pk ch kx =
1 ¡ p ch x ¡ pn ch nx + pn+1 ch (n ¡ 1) x
:
1 ¡ 2p ch x + p2
JO (396)
1.36 Sums of products of trigonometric functions of multiple angles
1.361
1:
n
P
sin kx sin(k + 1)x =
k=1
2:
n
P
k=1
1
[(n + 1) sin 2x ¡ sin 2(n + 1)x] cosec x:
4
JO (214)
sin kx sin(k + 2)x =
n
1
cos 2x ¡ cos (n + 3)x sin nx cosec x:
2
2
3:
2
n
P
k=1
½
¾
n+1
n(x + 2y)
x + 2y
¡
sin kx cos(2k¡1)y = sin ny +
x sin
cosec
2
2
2
½
¾
n+1
n(2y ¡ x)
2y ¡ x
¡sin ny ¡
x sin
cosec
:
2
2
2
JO (217)
39
1.362
1:
n ³
P
2k sin2
k=1
2:
n
P
k=1
•
x ´2 ³ n
x ´2
=
2
sin
¡ sin2 x:
2k
2n
x
1
sec k
k
2
2
¶2
2
= cosec x ¡
•
1
x
cosec n
n
2
2
AD (361.15)
¶2
:
AD (361.14)
1.37 Sums of tangents of multiple angles
1.371
1:
2:
n 1
P
x
1
x
tg k = n ctg n ¡ 2 ctg 2x:
k
2
2
2
k=0 2
n
P
1
x
22n+2 ¡ 1
1
x
tg2 k =
+ 4 ctg 2 2x ¡ 2n ctg 2 n :
2k
2n¡1
2
2
3
¢
2
2
2
k=0
1.38 Sums leading to hyperbolic tangents and cotangents
1.381
1
2k + 1
n sin2
¼
4n
= th 2nx:
2
th x
1+
2k + 1
tg2
¼
4n
th x
1:
n¡1
P
k=0
AD (361.16)
AD (361.20)
th x
2:
n¡1
P
k=1
1
k¼
2n = cth 2nx ¡ 1 (th x + cth x):
2
2n
th x
1+
k¼
tg2
2n
n sin2
JO (403)
th x
3:
2
2k + 1
¼
th x
2(2n + 1)
:
= th (2n + 1)x ¡
2
2n + 1
th x
1+
2k + 1
tg2
¼
2(2n + 1)
(2n + 1) sin
n¡1
P
k=0
2
JO (404)
40
th x
4:
n
P
k=1
2
k¼
cth x
2(2n + 1)
= cth (2n + 1)x ¡
:
2
2n + 1
th x
1+
k¼
tg2
(2n + 1)
(2n + 1) sin2
JO (405)
1.382
1:
n¡1
P
k=0
1
= 2n th nx:
2k + 1
sin2
¼
1
x
4n
+ th
sh x
2
2
JO (406)
2:
n¡1
P
k=1
1
= 2n cth nx ¡ 2 cth x:
k¼
sin2
2n + 1 th x
sh x
2
2
JO (407)
3:
n¡1
P
k=0
x
1
(2n + 1)x
¡ th :
= (2n + 1) th
2k
+
1
2
2
¼
sin2
1
x
2(2n + 1)
+ th
sh x
2
2
4:
n
P
k=1
x
1
(2n + 1)x
¡ cth :
= (2n + 1) cth
k¼
2
2
sin2
1
x
2n + 1 + th
sh x
2
2
JO (409)
1.39 The representation of cosines and sines of multiples of the angle as finite
products
1.391
1:
sin nx = n sin xcos x
n¡2
2
Q
k=1
2:
cos nx =
n
2
Q
k=1
0
0
2
sin x C
B
A
@1 ¡
k¼
sin2
n
1
2
sin x
C
A
(2k ¡ 1)¼
sin2
2n
B
@1 ¡
1
[n ¡ even]:
JO (568)
[n ¡ even]:
JO (569)
41
3:
sin nx = n sin x
n¡1
2
Q
k=1
4:
cos nx = cos x
n¡1
2
Q
k=1
0
1
2
sin x C
B
A
@1 ¡
k¼
sin2
n
0
B
@1 ¡
2
[n ¡ odd]:
JO (570)
1
sin x
C
A
(2k
¡
1)¼
sin2
2n
[n ¡ odd]:
JO (571)a
1.392
1:
sin nx = 2n¡1
n¡1
Q
k=0
sin
•
x+
k¼
n
¶
:
JO (548)
JO (549)
1.393
n¡1
Q
1:
k=0
n¡1
Q
2:
k=0
•
2k
¼
cos x +
n
•
2k
¼
sin x +
n
¶
¶
1
cos nx
[n ¡ odd]:
2n¡1
i
n
1 h
= n¡1 (¡1) 2 ¡ cos nx
[n ¡ even]:
2
=
JO (543)
n¡1
(¡1) 2
=
2n¡1
[n ¡ odd]:
sin nx
n
(¡1) 2
= n¡1 (1 ¡ cos nx)
2
[n ¡ even]:
JO (544)
1.394
n¡1
Q
k=0
½
x2 ¡ 2xy cos
•
®+
2k¼
n
¶
+ y2
¾
= x2n ¡ 2xn y n cos n® + y 2n :
JO (573)
1.395
1:
2:
cos nx ¡ cos ny = 2n¡1
ch nx ¡ cos ny = 2
n¡1
n¡1
Q
k=0
n¡1
Q
k=0
½
¶¾
•
2k¼
:
cos x ¡ cos y +
n
JO (573)
½
ch x ¡ cos
1:
k=1
•
k¼
+1
x ¡ 2x cos
n
2
¶
2k¼
y+
n
¶¾
:
JO (538)
42
1.396
n¡1
Q
•
=
x2n ¡ 1
:
x2 ¡ 1
n
Q
2:
k=1
n
Q
3:
k=1
n¡1
Q
4:
k=0
•
x2 ¡ 2x cos
2k¼
+1
2n + 1
¶
=
x2n+1 ¡ 1
:
x¡1
KR 58 (28.2)
•
2k¼
+1
x + 2x cos
2n + 1
2
¶
=
x2n+1 ¡ 1
:
x+1
KR 58 (28.3)
•
(2k + 1)¼
+1
x ¡ 2x cos
2n
2
¶
= x2n + 1:
KR 58 (28.4)
1.41 The expansion of trigonometric and hyperbolic functions in power series
1.411
1:
sin x =
1
P
(¡1)k
x2k+1
:
(2k + 1)!
2:
1
P
(¡1)k
x2k
:
(2k)!
4:
ch x =
∙
¸
¼2
:
x <
4
k=0
3:
cos x =
k=0
5:
6:
7:
8:
1 22k (22k ¡ 1)
P
tg x =
jB2k jx2k¡1
(2k)!
k=1
sh x =
1
P
k=0
x2k+1
:
(2k + 1)!
1 x2k
P
:
k=0 (2k)!
2
FI II 523
1 22k (22k ¡ 1)
P
x3 2x5 17 7
th x = x¡ +
+
x +. . . =
B2k x2k¡1
3
15 315
(2k)!
k=1
ctg x =
cth x =
1 22k jB j
P
1
2k
¡
x2k¡1
x
(2k)!
k=1
∙
¸
¼2
:
x <
4
2
[x2 < ¼ 2 ]:
1 22k B
P
1
1
x x3
2x5
2k 2k¡1
¡... = +
+ ¡
+
x
x
3
45
945
x
(2k)!
k=1
FI II 523a
[x2 < ¼ 2 ]:
9:
10:
11:
12:
sec x =
¸
∙
1 jE j
P
¼2
2k
x2k x2 <
:
4
k=0 (2k)!
CE 330a
1 E
P
5x4
61x6
x2
2k 2k
¡
sech x = 1 ¡
+
+ ... = 1 +
x
2
24
720
(2k)!
k=1
cosec x =
1 2(22k¡1 ¡ 1)jB jx2k¡1
P
1
2k
+
x
(2k)!
k=1
cosech x =
∙
¼2
x <
4
2
¸
CE 330
[x2 < ¼ 2 ]
1 2(22k¡1 ¡ 1)B
1 1
7x3 31x5
1 P
2k 2k¡1
¡ x+
¡
+. . . = ¡
x
x 6
360 15120
x k=1
(2k)!
CE 329a
[x2 < ¼ 2 ]:
JO (418)
43
1.412
1:
sin2 x =
1
P
k=1
2:
3:
4:
cos 2 x = 1 ¡
sin3 x =
cos 3 x =
(¡1)k+1
22k¡1 x2k
:
(2k)!
JO (452)a
1
P
k=1
(¡1)k+1
22k¡1 x2k
:
(2k)!
1
1 P
32k+1 ¡ 3 2k+1
(¡1)k+1
x
:
4 k=1
(2k + 1)!
1
1 P
(32k + 3)x2k
(¡1)k
:
4 k=0
(2k)!
JO (443)
JO (452a)a
1.413
1:
sh x = cosec x
1
P
k=1
2:
(¡1)k+1
JO (508)
ch x = sec x + sec x
1
P
k=1
3:
sh x = sec x
1
P
k=1
4:
ch x = cosec x
(¡1)k
(¡1)[k=2]
1
P
k=1
22k¡1 x4k¡2
:
(4k ¡ 1)!
22k x4k
:
(4k)!
JO (507)
2k¡1 x2k¡1
:
(2k ¡ 1)!
JO (510)
(¡1)[(k¡1)=2]
2k¡1 x2k¡1
:
(2k ¡ 1)!
JO (509)
1.414
1:
2:
cos [n ln(x+
p
sin [n ln (x+
1 + x2 )] = 1¡
p
1
P
k=0
1 + x2 )] = nx¡n
(¡1)k
(n2 + 02 )(n2 + 22 ) . . . [n2 + (2k)2 ] 2k+2
x
(2k + 2)!
[x2 < 1]:
AD (6456.1)
1
P
k=1
(¡1)k+1
(n2 + 12 )(n2 + 32 ) . . . [n2 + (2k ¡ 1)2 ]x2k+1
(2k + 1)!
[x2 < 1]:
AD (6456.2)
Power series for ln sin x, ln cos x and ln tg x see 1.518.
1.42 Expansion in series of simple fractions
1.421
1:
tg
1
¼x
4x P
1
=
:
2
¼ k=1 (2k ¡ 1)2 ¡ x2
44
1
¼x
1
4¼ P
=
:
2
¼ k=1 (2k ¡ 1)2 + x2
2:
th
3:
ctg ¼x =
1
1
1
1
2x P
x
+
=
+
¼x
¼ k=1 x2 ¡ k 2
¼x
¼
1
P
h=¡1
k=
=0
1
:
k(x ¡ k)
AD (6495.2), JO (450a)
4:
cth ¼x =
1
1
1
2x P
+
2
¼x
¼ k=1 x + k 2
(cf:1:2171:):
1.217
5:
tg2
1
P
¼x
2(2k ¡ 1)2 ¡ x2
:
= x2
2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
k=1 (1 ¡ x ) (3 ¡ x ) . . . [(2k ¡ 1) ¡ x ]
JO (450)
1.422
1:
2:
3:
sec
1
2k ¡ 1
¼x
4 P
=
(¡1)k+1
:
2
¼ k=1
(2k ¡ 1)2 ¡ x2
1
¼x
4 P
sec
= 2
2
¼ k=1
2
cosec ¼x =
½
1
1
+
2
(2k ¡ 1 ¡ x)
(2k ¡ 1 + x)2
1 (¡1)k
1
2x P
+
¼x
¼ k=1 x2 ¡ k 2
AD (6495.3)a
¾
:
JO (451)a
(see also 1.217 2. ):
AD (6495.4)a
1.217
4:
5:
6:
1
¼2
cosec 2 ¼x =
1
P
k=¡1
1
1
1
2 P
x2 + k 2
=
+
:
(x ¡ k)2
¼ 2 x2
¼ 2 k=1 (x2 ¡ k 2 )2
1
P
1 + x cosec x
1
(¡1)k+1
:
=
¡
2
2 2
2x2
x2
k=1 (x ¡ k ¼ )
cosec ¼x =
1
1
+
¼x
¼
1
P
k=¡1
(¡1)k
•
1
1
+
x¡k
k
JO (446)
JO (449)
¶
:
JO (450b)
1.423
1
P
¼
¼
1
¼2
1
2 ¼
cosec
:
+
ctg
¡
=
2
2 2 2
4m
m 4m
m
2
k=1 (1 ¡ k m )
JO (477)
1.43 Representation in the form of an infinite product
1.431
1:
sin x = x
1
Q
k=1
2:
sh x = x
1
Q
k=1
•
x2
1¡ 2 2
k ¼
¶
:
EU
•
1+
x2
k2 ¼2
¶
:
EU
45
3:
cos x =
1
Q
k=0
•
4x2
1¡
(2k + 1)2 ¼ 2
¶
:
4:
ch x =
1
Q
k=0
•
1+
4x2
(2k + 1)2 ¼ 2
¶
:
EU
1.432
1:
2:
•
¶•
¶
•
¶
1
y Q
x2
x2
x2
cos x¡cos y = 2 1 ¡ 2 sin2
1
¡
1¡
:
y
2 k=1
(2k¼ + y 2 )
(2k¼ ¡ y)2
•
x2
ch x¡cos y = 2 1 + 2
y
¶
1
y Q
sin
2 k=1
2
•
x2
1+
(2k¼ + y)2
¶•
x2
1+
(2k¼ ¡ y)2
¶
AD (653.2)
:
AD (653.1)
1.433
¸
∙
1
Q
¼x
¼x
(¡1)k x
cos
¡ sin
=
:
1+
4
4
2k ¡ 1
k=1
BR* 189
1.434
"
¶2 # 2
•
1
1
¼ + 2x
2 Q
cos x = (¼ + 2x)
:
1¡
4
2k¼
k=1
2
MO 216
1.435
1
sin ¼(x + a)
x+a Q
=
sin ¼a
a k=1
•
x
1¡
k¡a
¶•
x
1+
k+a
¶
:
MO 216
1.436
sin2 ¼x
1¡
=
sin2 ¼a
1.437
1
Q
k=¡1
"
1¡
•
x
k¡a
¶2 #
:
MO 216
1.437
"
¶2 #
•
1
Q
sin 3x
2x
=¡
1¡
:
sin x
x + k¼
k=¡1
MO 216
1.438
ch x ¡ cos a
=
1 ¡ cos a
1
Q
k=¡1
"
1+
•
x
2k¼ + a
¶2 #
:
MO 216
1.439
1:
sin x = x
1
Q
cos
k=1
2:
1
Q
sin x
=
x
k=1
x
2k
[jxj < 1]:
AD (615), MO 216
∙
³ x ´¸
4
2
1 ¡ sin
:
3
3k
MO 216
1.44-1.45 Trigonometric (Fourier) series
1.441
1:
1 sin kx
P
¼¡x
=
k
2
k=1
[0 < x < 2¼]:
FI III 539
46
2:
3:
1 cos kx
P
1
1
= ln
k
2 2(1 ¡ cos x)
k=1
1 (¡1)k¡1 sin kx
P
x
=
k
2
k=1
[0 < x < 2¼]:
[¡¼ < x < ¼]:
FI III 530a, AD (6814)
4:
1
P
k=1
(¡1)k¡1
³
cos kx
x´
= ln 2 cos
k
2
[¡¼ < x < ¼]:
FI III 550
1.442
1:
2:
3:
1 sin (2k ¡ 1) x
P
¼
=
2k ¡ 1
x
k=1
FI III 541
1 cos (2k ¡ 1) x
P
1
x
= ln ctg
2k ¡ 1
2
2
k=1
1
P
k=1
4¤ :
[0 < x < 2¼]:
1
P
k=1
(¡1)k¡1
(¡1)k¡1
[0 < x < ¼]:
BR* 168, JO (266), GI III(195)
³¼
1
x´
sin (2k ¡ 1) x
= ln tg
+
2k ¡ 1
2
4
2
8
>
>
<
¼
4
∙
¡ ¼2 < x <
cos (2k ¡ 1) x
∙
=
>
2k ¡ 1
>
: ¡ ¼4 ¼2 < x <
h ¼
¼i
¡ <x<
:
2
2
¼
2
3¼
2
BR* 168, JO (268)a
¸
¸ :
BR* 168, JO (269)
1.443
1:
2:
• ¶
2n P
2n
1 cos k¼x
P
2n
n¡1 2n¡1 ¼
= (¡1)
2
B2n¡k %k ;
2n
k
(2n)! k=0 k
k=1
h
³x´
1 (2¼)2n
= (¡1)n¡1
B2n
0 < x < 1;
2 (2n)!
2
%=
i
x
¡ [x=2] :
2
•
¶
2n+1 2n+1
1 sin k¼x
P
P 2n + 1
n¡1 2n ¼
= (¡1)
2
B2n¡k+1 ½k ;
2n+1
(2n + 1)! k=0
k
k=1 k
i
h
³x´
1 (2¼)2n+1
x
= (¡1)n¡1
B2n+1
0 < x < 1; ½ = ¡ [x=2] :
2 (2n + 1)!
2
2
CE 340, GE 71
3:
4:
1 cos kx
P
¼2
¼x
x2
¡
=
+
k2
6
2
4
k=1
1
P
k=1
(¡1)k¡1
cos kx
¼2
x2
¡
=
k2
12
4
[0 ∙ x ∙ 2¼]:
FI III 547
[¡¼ ∙ x ∙ ¼]:
FI III 544
47
5:
6:
7:
1 sin kx
P
¼ 2 x ¼x2
x3
¡
+
=
k3
6
4
12
k=1
1 cos kx
P
¼4
¼ 2 x2
¼x3
x4
¡
¡
+
=
k4
90
12
12
48
k=1
1 sin kx
P
¼ 4 x ¼ 2 x3
¼x4
x5
=
¡
+
¡
k5
90
36
48
240
k=1
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
[0 ∙ x ∙ 2¼]
AD (6818)
AD (6617)
1.444
1:
2:
3:
1 sin 2(k + 1)x
P
= sin 2x¡(¼ ¡2x) sin2 x¡sin x cos x ln (4 sin2 x)
k(k
+
1)
k=1
³¼
´
1 cos 2(k + 1)x
P
= cos 2x¡
¡ x sin 2x+sin2 x ln (4 sin2 x)
k(k + 1)
2
k=1
1
P
(¡1)k
1
P
(¡1)k
k=1
4:
k=1
[0 ∙ x ∙ ¼]:
BR* 168, GI III (190)
[0 ∙ x ∙ ¼]:
BR* 168
¯
sin (k + 1)x
x
x ¯¯
¯
= sin x ¡ (1 + cos x) ¡ sin x ln ¯2 cos ¯ :
k(k + 1)
2
2
MO 213
¯
cos (k + 1)x
x
x ¯¯
¯
= cos x ¡ sin x ¡ (1 + cos x) ln ¯2 cos ¯
k(k + 1)
2
2
MO 213
MO 213
66 :
7:
´
1 cos (2k ¡ 1)x
P
¼ ³¼
¡
j
x
j
=
(2k ¡ 1)2
4 2
k=1
1
P
k=1
[¡¼ ∙ x ∙ ¼]:
FI III 546
h
cos 2kx
1 ¼
= ¡ sin x
(2k ¡ 1)(2k + 1)
2
4
0∙x∙
¼i
:
2
JO (591)
1.445
1:
2:
3:
4:
1 k sin kx
P
¼ sh ®(¼ ¡ x)
=
2
2
2
sh ®¼
k=1 k + ®
[0 < x < 2¼]:
BR* 157, JO (411)
1 cos kx
P
1
¼ ch ®(¼ ¡ x)
=
¡ 2
2 + ®2
k
2®
sh
®¼
2®
k=1
1 (¡1)k cos kx
P
¼ ch ®x
1
=
¡ 2
2
2
k +®
2® sh ®¼
2®
k=1
1
P
k=1
(¡1)k¡1
¼ sh ®x
k sin kx
=
2
2
k +®
2 sh ®¼
[0 ∙ x ∙ 2¼]:
BR* 257, JO (410)
[¡¼ ∙ x ∙ ¼]:
FI III 546
[¡¼ < x < ¼]:
FI III, 546
48
5:
1 k sin kx
P
P
sin f®[(2m + 1)¼ ¡ x]g
=¼
[when x = 2m¼;
. . . = 0] :
2 ¡ ®2
k
2
sin
®¼
k=1
[2m¼ < x < (2m + 2)¼, ®|not an integer].
MO 213
MO 213
7:
1
P
k=1
(¡1)k
P
k sin kx
sin [®(2m¼ ¡ x)]
[when x = (2m + 1)¼;
. . . = 0]
=¼
2
2
k ¡®
2 sin ®¼
[(2m ¡ 1)¼ < x < (2m + 1)¼, ®|not an integer].
FI III 545a
8:
1
P
k=1
(¡1)k
cos kx
1
¼ cos [®(2m¼ ¡ x)]
=
¡
2
2
2
k ¡®
2®
2
® sin ®¼
[(2m ¡ 1)¼ ∙ x ∙ (2m + 1)¼, ®|not an integer].
FI III 545a
1.446
1
P
k=1
¼
(¡1)k+1 cos (2k + 1)x
1
= cos2 x ¡ cos x
(2k ¡ 1)(2k + 1)(2k + 3)
8
3
h ¼
¼i
¡ ∙x∙
:
2
2
BR* 256, GI III (189)
1.447
1:
2:
1
P
p sin x
pk sin kx =
1 ¡ 2p cos x + p2
k=1
1
P
pk cos kx =
k=0
3:
1+2
1
P
k=1
1 ¡ p cos x
1 ¡ 2p cos x + p2
pk cos kx =
1 ¡ p2
1 ¡ 2p cos x + p2
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
[jpj < 1]:
FI II 559a, MO 213
FI II 559
FI II 559
1.448
1:
2:
3:
4:
1 pk sin kx
P
p sin x
= arctg
k
1 ¡ p cos x
k=1
1 pk cos kx
P
1
= ln p
k
1 ¡ 2p cos x + p2
k=1
1 p2k¡1 sin (2k ¡ 1)x
P
1
2p sin x
= arctg
2k ¡ 1
2
1 ¡ p2
k=1
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
2k¡1
2
1
>
P p
cos (2k ¡ 1)x
1 1 + 2p cos x + p >
>
>
= ln
>
2
2k ¡ 1
4 1 ¡ 2p cos x + p ;
k=1
[0 < x < 2¼;
p2 ∙ 1]:
5:
6:
9
>
1 (¡1)k¡1 p2k¡1 sin (2k ¡ 1)x
P
>
>
= >
>
>
2k ¡ 1
>
k=1
>
>
>
2
>
1 1 + 2p sin x + p
>
>
>
= ln
=
2
4 1 ¡ 2p sin x + p
1 (¡1)k¡1 p2k¡1 cos (2k ¡ 1)x
>
P
>
= >
>
>
>
2k
¡
1
k=1
>
>
>
>
>
1
2p cos x
>
>
= arctg
>
;
2
2
1¡p
[0 < x < ¼;
p2 ∙ 1]:
JO (597)
JO (261)
1.449
1:
2:
1 pk sin kx
P
= ep cos x sin (p sin x)
k!
k=1
9
>
>
>
>
=
1 pk cos kx
>
P
>
= ep cos x cos (p sin x) >
>
;
k!
k=0
[p2 ∙ 1]:
JO (485)
JO (486)
Fourier expansions of hyperbolic functions
1.451
1:
2:
sh x = cos x
1 (12 + 02 )(12 + 22 ) . . . [12 + (2k)2 ]
P
sin2k+1 x:
(2k + 1)!
k=0
ch x = cos x + cos x
1 (12 + 12 )(12 + 32 ) . . . [12 + (2k ¡ 1)2 ]
P
sin2k x:
(2k)!
k=1
JO (504)
JO (503)
1.452
1:
2:
1 x2k+1 cos (2k + 1)•
P
sh (x cos •) = sec (x sin •)
(2k + 1)!
k=0
1 x2k cos 2k•
P
ch (x cos •) = sec (x sin •)
(2k)!
k=0
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
[x2 < 1]:
JO (390)
JO (390)
JO (391)
1 x2k sin 2k•
P
sh (x cos •) = cosec (x sin •)
(2k)!
k=1
3:
1 x2k+1 sin (2k + 1)•
P
ch (x cos •) = cosec (x sin •)
(2k + 1)!
k=0
4:
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
[x2 < 1];
[x sin •=
= 0]:
JO (392)
JO (393)
50
1.46 Series of products of exponential and trigonometric functions
1.461
1
P
1:
e¡kt sin kx =
k=0
2:
1+2
1
sin x
2 ch t ¡ cos x
[t > 0]:
MO 213
1
P
e¡kt cos kx =
k=1
sh t
ch t ¡ cos x
[t > 0]:
MO 213
1.462
1
P
k=1
sin kx sin ky ¡2kjtj
e
k
2
3
x+y
2
+
sh
t
1
6
7
2
= ln 4
5:
x
¡
y
4
2
sin2
+ sh t
2
sin
MO 214
1.463
1:
2:
ex cos ' cos (x sin ') =
ex cos ' sin (x sin ') =
1 xn cos n'
P
n!
n=0
1 xn sin n'
P
n!
n=1
[x2 < 1]:
AD (6476.1)
[x2 < 1]:
1.47 Series of hyperbolic functions
1.471
1 sh kx
P
= ech x sh (sh x):
k!
k=1
1:
1 ch kx
P
= ech x ch (sh x):
k!
k=0
2:
3:
JO (395)
¤
1
P
k=0
1
(2k + 1)3
∙
JO (394)
(2m + 1)¼x
(2m + 1)¼
1
th
+ x th
x
2
2x
¸
=
¼3
:
16
1.472
1:
1
P
pk sh kx =
k=1
2:
1
P
k=0
p sh x
1 ¡ 2p ch x + p2
[p2 < 1]:
JO (396)
pk ch kx =
1 ¡ p ch x
1 ¡ 2p ch x + p2
[p2 < 1]:
JO (397)a
1.48 Lobachevskiy's "Angle of parallelism" Π(x)
1.480
Definition.
1:
2:
¦(x) = 2 arcctg ex = 2 arctg e¡x
¦(x) = ¼ ¡ ¦(¡x)
[x < 0]:
[x ¸ 0]:
LO III 183, LOI 193
LO III 297, LOI 120
51
1.481
Functional relations
1:
sin ¦(x) =
1
:
ch x
LO III 297
2:
cos ¦(x) = th x:
LO III 297
3:
tg ¦(x) =
1
:
sh x
LO III 297
4:
ctg ¦(x) = sh x:
LO III 297
5:
sin ¦(x + y) =
sin ¦(x) sin ¦(y)
:
1 + cos ¦(x) cos ¦(y)
LO III 297
6:
cos ¦(x + y) =
cos ¦(x) + cos ¦(y)
:
1 + cos ¦(x) cos ¦(y)
LO III 183
1.482
Connection with the gudermannian.
gd(¡x) = ¦(x) ¡
¼
:
2
(Definite) integral of the angle of parallelism; cf. 4.581 and 4.561.
1.49 The hyperbolic amplitude (the Gudermannian) gd x
1.490
Definition.
1:
2:
gd x =
Z
x
0
dt
¼
= 2 arctg ex ¡ :
ch t
2
JA
•
¶
Z gd x
gd x ¼
dt
x=
= ln tg
+
:
cos t
2
4
0
JA
1.491
Functional relations.
1:
ch x = sec (gd x):
AD (343.1), JA
2:
sh x = tg (gd x):
AD (343.2), JA
3:
x
e = sec (gd x) + tg (gd x) = tg
•
gd x
¼
+
4
2
¶
=
1 + sin (gd x)
:
cos (gd x)
AD (343.5), JA
4:
th x = sin (gd x):
AD (343.3), JA
5:
th
x
= tg
2
•
¶
1
gd x :
2
6:
arctg (th x) =
1
gd 2x:
2
AD (343.6a)
1.492
If ° = gd x, then ix = gd i°.
JA
52
1.493
Series expansion.
1:
2:
3:
1 (¡1)k
P
gd x
x
=
th2k+1 :
2
2
k=0 2k + 1
1
P
x
1
=
tg2k+1
2
2k
+
1
k=0
gd x = x ¡
•
JA
¶
1
gd x :
2
JA
x3
x5
61x7
+
¡
+ ¢¢¢
6
24
5040
JA
4:
x = gd x +
(gd x)3
(gd x)5
61(gd x)7
+
+
+ ...
6
24
5040
h
gd x <
¼i
:
2
1.5 The Logarithm
1.51 Series representation
1.511
JA
1.512
1:
2:
3:
1
P
1
(x ¡ 1)k
1
ln x = (x¡1)¡ (x¡1)2 + (x¡1)3 ¡. . . =
(¡1)k+1
2
3
k
k=1
"
x¡1
1
ln x = 2
+
x+1
3
x¡1 1
+
ln x =
x
2
•
•
x¡1
x+1
x¡1
x
¶2
¶3
1
+
3
1
+
5
•
•
x¡1
x+1
x¡1
x
¶3
¶5
+ ...
#
=2
1 1
P
+. . . =
k=1 k
1
P
k=1
•
[0 < x ∙ 2]:
1
2k ¡ 1
x¡1
x
¶k
•
x¡1
x+1
∙
¶2k¡1
[0 < x]:
¸
1
:
x¸
2
AD (644.6)
1.513
1:
2:
3:
4:
ln
ln
ln
ln
1
P
1+x
1
=2
x2k¡1
1¡x
k=1 2k ¡ 1
[x2 < 1]:
1
P
x+1
1
=2
2k¡1
x¡1
k=1 (2k ¡ 1)x
1
P
x
1
=
k
x¡1
k=1 kx
1 xk
P
1
=
1¡x
k=1 k
[x ∙ ¡1
FI II 421
[x2 > 1]:
AD (644.9)
or
x > 1]:
JO (88a)
[¡1 ∙ x < 1]:
JO (88b)
53
5:
1
P
1¡x
1
xk
ln
=1¡
x
1¡x
k=1 k(k + 1)
[¡1 ∙ x < 1]:
6:
7:
k 1
1
P
P
1
1
ln
=
xk
1¡x 1¡x
n=1 n
k=1
[x2 < 1]:
JO (88e)
1
P
(1 ¡ x)2
1
1
xk¡1
3
ln
=
¡
+
2x3
1¡x
2x2
4x
k=1 k(k + 1)(k + 2)
[¡1 ∙ x < 1]:
AD (6445.1)
1.514
p
1 cos k'
P
xk ; ln(x + 1 + x2 ) = Arsh x:
k
k=1
= 1]:
see 1.631, 1.641, 1.642, 1.646
[x2 ∙ 1; x cos '=
ln(1 ¡ 2x cos ' + x2 ) = ¡2
MO 98, FI II 485
1.631
1.641
1.642
1.646
1.515
1:
2:
3:
ln (1 +
ln (1 +
p
p
p
1¢1 2 1¢1¢3 4 1¢1¢3¢5 6
x +
x +
x ¡ ... ;
2¢2
2¢4¢4
2¢4¢6¢6
1
P
(2k ¡ 1)! 2k
= ln 2 ¡
(¡1)k 2k
x
[x2 ∙ 1]:
2 (k!)2
k=1
1 + x2 ) = ln 2 +
1
1¢3
1
¡
+
¡ ... ;
3
x 2 ¢ 3x
2 ¢ 4 ¢ 5x5
1
1 P
(2k ¡ 1)!
= ln x+ +
(¡1)k 2k¡1
x k=1
2
¢ k!(k ¡ 1)!(2k + 1)x2k+1
JO (91)
1 + x2 ) = ln x +
1 + x2 ln(x+
p
1 + x2 ) = x¡
1
P
k=1
(¡1)k
22k¡1 (k ¡ 1)!k! 2k+1
x
(2k + 1)!
[x2 ¸ 1]:
[x2 ∙ 1]:
AD (644.4)
JO (93)
p
1
P
ln (x + 1 + x2 )
22k (k!)2 2k+1
p
=
(¡1)k
x
(2k + 1)!
1 + x2
k=0
4:
[x2 ∙ 1]:
JO (94)
1.516
k 1
1 (¨1)k+1 xk+1 P
P
1
fln (1 § x)g2 =
2
k+1
n=1 n
k=1
1:
[x2 < 1]:
JO (86), JO (85)
k
n
1 (¡1)k+1 xk+2 P
P
P
1
1
1
fln (1 + x)g3 =
6
k
+
2
n
+
1
m
n=1
m=1
k=1
2:
¡ ln(1 + x) ¢ ln (1 ¡ x) =
3:
1 x2k 2k¡1
P
P (¡1)n+1
n
k=1 k n=1
[x2 < 1]:
AD (644.14)
[x2 < 1]:
JO (87)
54
1
4x
4:
½
¾
p
1
P
1
xk¡1
1+x 1+ x
p ln
p + 2 ln (1 ¡ x) =
+
x
1¡ x
2x k=1 (2k ¡ 1)2k(2k + 1)
[0 < x < 1]:
AD (6445.2)
1.517
1:
2:
6
1
2x
½
p
1¡x
1 ¡ ln (1 + x) ¡ p arctg x
x
¾
=
1
P
k=1
1 x4k¡2 2k¡1
P
P (¡1)n¡1
1
1+x
arctg x ln
=
2
1¡x
k=1 2k ¡ 1 n=1 2n ¡ 1
(¡1)k+1 xk¡1
(2k ¡ 1)2k(2k + 1)
[0 < x ∙ 1]:
AD (6445.3)
[x2 < 1]:
BR* 163
AD (6455.3)
1.518
1:
x4
x6
x2
¡
¡
¡ ... :
6
180
2835
1 (¡1)k 22k¡1 B x2k
P
2k
= ln x +
k(2k)!
k=1
ln sin x = ln x ¡
[0 < x < ¼]:
AD (643.1)a
x4
x6
17x8
x2
¡
¡
¡
¡ ... ;
2
12
45
2520
1 22k¡1 (22k ¡ 1)jB j
1 sin 2k x
P
1 P
2k
=¡
x2k = ¡
k(2k)!
2 k=1 k
k=1
2:3 ln cos x = ¡
3:
∙
x2 <
x2
62 6
127 8
7 4
+
x +
x +
x +... ;
3
90
2835
18; 900
h
1
P
¼i
(22k¡1 ¡ 1)22k B2k x2k
= ln x +
(¡1)k+1
0<x<
:
k(2k)!
2
k=1
¸
¼2
:
4
FI II 524
ln tg x = ln x +
Power series for
cos
sin
©
n ln(x +
p
ª
1 ¡ x2 )
AD (643.3)a
cf. 1.414.
1.52 Series of logarithms
1.431
1.521
1:
1
P
ln
•
4x2
1¡
(2k ¡ 1)2 ¼ 2
ln
•
x2
1¡ 2 2
k ¼
k=1
2:
1
P
k=1
55
¶
¶
= ln cos x
= ln sin x ¡ ln x
h ¼
¼i
:
¡ <x<
2
2
[0 < x < ¼]:
1.6 The Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions
1.61 The domain of definition
The principal values of the inverse trigonometric functions are defined by the inequalities:
¡
¼
¼
∙ arcsinx ∙ ;
2
2
0 ∙ arccos x ∙ ¼
[¡1 ∙ x ∙ 1]:
FI II 553
¡
¼
¼
< arctgx < ;
2
2
0 < arcctg x < ¼
[¡1 < x < +1]:
FI II 552
1.62 - 1.63 Functional relations
1.621
The relationship between the inverse and the direct trigonometric functions.
h
¼
¼i
2n¼ ¡ ∙ x ∙ 2n¼ +
;
2
h 2
¼i
¼
= ¡x+(2n+1)¼
(2n + 1)¼ ¡ ∙ x ∙ (2n + 1)¼ +
:
2
2
1:
arcsin (sin x) = x ¡ 2n¼
2:
arccos (cos x) = x ¡ 2n¼
[2n¼ ∙ x ∙ (2n + 1)¼];
= ¡x + 2(n + 1)¼
[(2n + 1)¼ ∙ x ∙ 2(n + 1)¼]:
3:
arctg (tg x) = x ¡ n¼
4:
arcctg (ctg x) = x ¡ n¼
1.622
h
n¼ ¡
¼i
¼
< x < n¼ +
:
2
2
[n¼ < x < (n + 1)¼]:
The relationship between the inverse trigonometric functions, the inverse hyperbolic functions, and the logarithm.
1:
arcsin z =
p
1
1
ln (iz + 1 ¡ z 2 ) = Arsh (iz)
i
i
2:
arccos z =
p
1
1
ln (z + z 2 ¡ 1) = Arch z:
i
i
3:
arctg z =
4:
arcctg z =
5:
Arsh z = ln (z +
p
6:
Arch z = ln (z +
p
7:
Arth z =
8:
Arcth z =
1
1 + iz
1
ln
= Arth (iz):
2i 1 ¡ iz
i
1
iz ¡ 1
ln
= i Arcth (iz):
2i iz + 1
z 2 + 1) =
1
arcsin (iz):
i
z 2 ¡ 1) = i arccos z:
56
1 1+z
1
ln
= arctg (iz):
2 1¡z
i
1 z+1
1
ln
= arcctg (¡iz):
2 z¡1
i
Relations between different inverse trigonometric functions
1.623
1:
arcsin x + arccos x =
¼
:
2
2:
¼
:
2
arctg x + arcctg x =
NV 43
1.624
1:
2:
3:
p
1 ¡ x2
p
= ¡arccos 1 ¡ x2
arcsin x = arccos
arcsin x = arctg p
x
1 ¡ x2
[0 ∙ x ∙ 1];
[¡1 ∙ x ∙ 0]:
NV 47 (5)
[x2 < 1]:
NV 46 (2)
p
1 ¡ x2
[0 < x ∙ 1];
p x
1 ¡ x2
= arcctg
¡¼
[¡1 ∙ x < 0]:
x
arcsin x = arcctg
NV 49 (10)
4:
5:
p
1 ¡ x2
[0 ∙ x ∙ 1];
p
2
= ¼ ¡ arcsin 1 ¡ x
[¡1 ∙ x ∙ 0]:
arccos x = arcsin
NV 48 (6)
p
1 ¡ x2
[0 < x ∙ 1];
xp
1 ¡ x2
= ¼ + arctg
[¡1 ∙ x < 0]:
x
arccos x = arctg
NV 48 (8)
6:
7:
arccos x = arcctg p
arctg x = arcsin p
x
1 ¡ x2
x
:
1 + x2
[¡1 ∙ x < 1]:
NV 46 (4)
8:
1
arctg x = arccos p
[x ¸ 0];
1 + x2
1
= ¡arccos p
1 + x2
[x ∙ 0]:
NV 48 (7)
57
9:
arctg x = arcctg
1
x
= ¡arcctg
[x > 0];
1
¡¼
x
[x < 0]:
NV 49 (9)
10:
arctg x = arcsin p
1
1 + x2
= ¼ ¡ arcsin p
[x > 0];
1
1 + x2
[x < 0]:
NV 49 (11)
11:
arcctg x = arccos p
x
:
1 + x2
NV 46 (4)
12:
arcctg x = arctg
1
x
= ¼ + arctg
[x > 0];
1
x
[x < 0]:
NV 49 (12)
1.625
1:
p
p
arcsin x+arcsin y = arcsin (x 1 ¡ y 2 +y 1 ¡ x2 )
[xy ∙ 0 or x2 +y 2 ∙ 1];
p
p
= ¼ ¡arcsin (x 1 ¡ y 2 +y 1 ¡ x2 )
[x > 0; y > 0 and x2 +y 2 > 1];
p
p
= ¡¼ ¡arcsin (x 1 ¡ y 2 +y 1 ¡ x2 )
[x < 0; y < 0; and x2 +y 2 > 1]:
NV 54(1), GI I (880)
2:
p
p
arcsin x + arcsin y = arccos ( 1 ¡ x2 1 ¡ y 2 ¡ xy)
p
p
= ¡arccos ( 1 ¡ x2 1 ¡ y 2 ¡ xy)
[x ¸ 0;
[x < 0;
y ¸ 0];
y < 0]:
3:
4:
p
p
x 1 ¡ y 2 + y 1 ¡ x2
p
arcsin x+arcsin y = arctg p
[xy ∙ 0 or x2 +y 2 < 1];
1 ¡ x2 1 ¡ y 2 ¡ xy
p
p
x 1 ¡ y 2 + y 1 ¡ x2
p
= arctg p
+¼
[x > 0; y > 0 and x2 +y 2 > 1];
1 ¡ x2 1 ¡ y 2 ¡ xy
p
p
x 1 ¡ y 2 + y 1 ¡ x2
p
¡¼
[x < 0; y < 0 and x2 +y 2 > 1]:
= arctg p
1 ¡ x2 1 ¡ y 2 ¡ xy
NV 56
p
p
arcsin x¡arcsin y = arcsin (x 1 ¡ y 2 ¡y 1 ¡ x2 )
[xy ¸ 0 or x2 +y 2 ∙ 1];
p
p
= ¼ ¡arcsin (x 1 ¡ y 2 ¡y 1 ¡ x2 )
[x > 0; y < 0 and x2 +y 2 > 1];
p
p
= ¡¼ ¡arcsin (x 1 ¡ y 2 ¡y 1 ¡ x2 )
[x < 0; y > 0 and x2 +y 2 > 1]:
NV 55(2)
58
5:
6:
7:
8:
p
p
arcsin x ¡ arcsin y = arccos (x 1 ¡ x2 1 ¡ y 2 + xy)
p
p
= ¡arccos ( 1 ¡ x2 1 ¡ y 2 + xy)
[xy > y];
[x < y]:
NV 56
p
p
1 ¡ x2 1 ¡ y 2 )
[x + y ¸ 0];
p
p
2
2
= 2¼ ¡ arccos (xy ¡ 1 ¡ x
1¡y )
[x + y < 0]:
arccos x + arccos y = arccos (xy ¡
p
p
1 ¡ x2 1 ¡ y 2 )
p
p
= arccos (xy + 1 ¡ x2 1 ¡ y 2 )
arccos x ¡ arccos y = arccos (xy +
[x ¸ y];
[x < y]:
x+y
[xy < 1];
1 ¡ xy
x+y
= ¼ + arctg
[x > 0; xy > 1];
1 ¡ xy
x+y
= ¡¼ + arctg
[x < 0; xy > 1]:
1 ¡ xy
arctg x + arctg y = arctg
NV 57 (3)
NV 57 (4)
9:
x¡y
[xy > ¡1]
1 + xy
x¡y
[x > 0; xy < ¡1];
= ¼ + arctg
1 + xy
x¡y
= ¡¼ + arctg
[x < 0; xy < ¡1]:
1 + xy
arctg x ¡ arctg y = arctg
NV 59(6)
1.626
1:
2:
∙
¸
1
jxj ∙ p ;
2
∙
¸
p
1
p <x∙1 ;
= ¼ ¡ arcsin (2x 1 ¡ x2 )
∙2
¸
p
1
¡1 ∙ x < ¡ p :
= ¡¼ ¡ arcsin (2x 1 ¡ x2 )
2
p
2 arcsin x = arcsin (2x 1 ¡ x2 )
NV 61 (7)
2 arccos x = arccos (2x2 ¡ 1)
[0 ∙ x ∙ 1];
= 2¼ ¡ arccos (2x2 ¡ 1)
[¡1 ∙ x < 0]:
NV 61 (8)
3:
2x
[jxj < 1];
1 ¡ x2
2x
+¼
[x > 1];
= arctg
1 ¡ x2
2x
= arctg
¡¼
[x < ¡1]:
1 ¡ x2
2 arctg x = arctg
NV 61 (9)
1.627
1:
arctg x + arctg
1
¼
=
x
2
¼
=¡
2
[x > 0];
[x < 0]:
GI I (878)
59
2:
arctg x + arctg
1¡x
¼
=
1+x
4
3
=¡ ¼
4
[x > ¡1];
[x < ¡1]:
1:
2:
arcsin
arccos
2x
= ¡¼ ¡ 2 arctg x
[x ∙ ¡1];
1 + x2
= 2 arctg x
[¡1 ∙ x ∙ 1];
= ¼ ¡ 2 arctg x
[x ¸ 1]:
1 ¡ x2
= 2 arctg x
1 + x2
= ¡2 arctg x
NV 65
[x ¸ 0];
[x ∙ 0]:
NV 66
1.629
2x ¡ 1
1
¡ arctg
2
¼
•
tg
2x ¡ 1
¼
2
¶
= E(x):
GI (886)
1.631
Relations between the inverse hyperbolic functions.
1:
2:
3:
4:
5:
Arsh x = Arch
Arch x = Arsh
p
x2 + 1 = Arth p
p
x2
Arth x = Arsh p
x
:
x2 + 1
JA
¡ 1 = Arth
p
x2 ¡ 1
:
x
JA
x
1
1
= Arch p
= Arcth :
2
2
x
1¡x
1¡x
p
p
Arsh x § Arsh y = Arsh (x 1 + y 2 § y 1 + x2 ):
Arch x § Arch y = Arch (xy §
p
(x2 ¡ 1)(y 2 ¡ 1) ):
JA
JA
6:
Arth x § Arth y = Arth
x§y
:
1 § xy
JA
1.64 Series representations
1.641
1:
1 3
¼
1¢3 5
1¢3¢5 7
¡ arccos x = x +
x +
x +
x +... ;
2
2¢3
2 ¢ 4•¢ 5
2 ¢ 4¶¢ 6 ¢ 7
1
P
1 1 3 2
(2k)!
x2k+1 = xF
; ; ;x
=
[x2 ∙ 1]:
2k (k!)2 (2k + 1)
2
2
2
2
k=0
arcsin x =
FI II 479
60
2:
1 3
1¢3 5
x +
x ¡... ;
2¢3
2¢4¢5
1
P
(2k)!
=
(¡1)k 2k
x2k+1 ;
2 (k!)2 (2k + 1)
k=0
•
¶
1 1 3
2
= xF
; ; ; ¡x
[x2 ∙ 1]:
2 2 2
Arsh x = x ¡
FI II 480
1.642
1:
2:
1 1
1¢3 1
¡
+ ... ;
2 2x2
2 ¢ 4 4x4
1
P
(2k)!x¡2k
= ln 2x +
(¡1)k+1 2k
2 (k!)2 2k
k=1
Arsh x = ln 2x +
Arch x = ln 2x ¡
1 (2k)!x¡2k
P
2k
2
k=1 2 (k!) 2k
x5
x7
x3
¡
+
+ ... ;
3
5
7
k
2k+1
1 (¡1) x
P
=
[x2 ∙ 1]:
2k + 1
k=0
arctg x = x ¡
AD (6480.2)a
[x ¸ 1]:
1.643
1:
[x ¸ 1]:
AD (6480.3)a
2:
Arth x = x +
1 x2k+1
P
x3
x5
+
+ ... =
3
5
k=0 2k + 1
[x2 < 1]:
AD (6480.4)
1.644
1:
1
P
x
(2k)!
arctg x = p
2k
2
1 + x k=0 2 (k!)2 (2k + 1)
•
¶
1 1 3
x
x2
= p
F
; ; ;
2 2 2 1 + x2
1 + x2
•
x2
1 + x2
¶k
[x2 < 1]
AD (641.3)
2:
¼
1
1
1
1
¡ + 3 ¡ 5 + 7 ¡ ...
2
x 3x
5x
7x
1
P
1
¼
= ¡
(¡1)k
[x2 ¸ 1]
2k+1
2
(2k
+
1)x
k=0
arctg x =
(see also 1.643 ):
AD (641.4)
1.643
1.645
1:
1
P
1
1
(2k)!x¡(2k+1)
¼
1¢3
¼
¡ ¡
¡
¡
¢
¢
¢
=
¡
;
2 2k
2
x 2 ¢ 3x3
2 ¢ 4 ¢ 5x5
2
k=0 (k!) 2 (2k + 1)
•
¶
¼
1
1 1 3 1
= ¡ F
; ; ;
[x2 > 1]:
2
x
2 2 2 x2
arcsec x =
AD (641.5)
61
2:
(arcsin x)2 =
1
P
k=0
3:
22k (k!)2 x2k+2
(2k + 1)!(k + 1)
[x2 ∙ 1]:
•
¶
•
¶
3! 2
1
1
1
5 3! 2 2
(arcsin x) = x + 3 1 + 2 x + 3 ¢5 1 + 2 + 2 x7 +. . .
5!
3
7!
3
5
3
3
AD (642.2), GI III (152)a
[x2 ∙ 1]:
BR* 188, AD (642.2), GI III (153)a
1.646
1:
2:
3:
4:
Arsh
Arch
Arsh
Arth
1
P
1
(¡1)k (2k)!
= Arcosech x =
x¡2k¡1
2k
2
x
k=0 2 (k!) (2k + 1)
1
P
1
2
(2k)!
= Arsech x = ln ¡
x2k
2k
2 2k
x
x
2
(k!)
k=1
[x2 ¸ 1]:
AD (6480.5)
[0 < x ∙ 1]:
1 (¡1)k+1 (2k)!
P
2
1
= Arcosech x = ln +
x2k
2k
2
x
x
k=1 2 (k!) 2k
1 x¡(2k+1)
P
1
= Arcth x =
x
k=0 2k + 1
AD (6480.6)
[0 < x ∙ 1]:
AD (6480.7)a
[x2 > 1]:
AD (6480.8)
1.647* Due to T. Harrett.
1:
Tn =
2:
1 tanh (2k ¡ 1)(¼=2)
P
=
(2k ¡ 1)]4n+3
k=1
Ã
¤
n (¡1)j¡1 (22j ¡ 1)(24n¡2j+4 ¡ 1)B ¤
P
¼ 4n+3
2j¡1 B4n¡2j+3
=
+
2
(2j)!(4n ¡ 2j + 4)!
2
j=1
¶
¤2
(¡1)n (22n+2 ¡ 1)2 B2n+1
+
; n = 0; 1; 2; . . . ;
[(2n + 2)!]2
1 (¡1)k¡1 sech (2k ¡ 1)(¼=2)
P
=
(2k ¡ 1)4n+1
k=1
Ã
!
¤
¤
¤
¤2
n¡1
B4n¡2j
P (¡1)j B2j
¼ 4n+1
2B4n
(¡1)n B2n
= 4n+3 2
+
+
;
2
(4n)!
[(2n)!]2
j=1 (2j)!(4n ¡ 2j)!
Sn =
(Summation term on right to be omitted for n=1.) (See page xxix for definition of Br¤ .)
n = 1; 2; . . . :
2. Indefinite Integrals of Elementary Functions
2.0 Introduction
2.00 General remarks
We omit the constant of integration in all the formulas of this chapter. Therefore, the equality sign (=) means that the functions on
the left and right of this symbol differ by a constant. For example (see 2.01 15.), we write
Z
dx
= arctg x = ¡arcctg x;
1 + x2
although
arctg x = ¡arcctg x +
¼
:
2
When we integrate certain functions, we obtain the logarithm of the absolute value (for example,
R
p dx
1+x2
= ln jx +
p
1 + x2 j ). In
such formulas, the absolute-value bars in the argument of the logarithm are omitted for simplicity in writing.
In certain cases, it is important to give the complete form of the primitive function. Such primitive functions, written in the form of
definite integrals, are given in Chapter 2 and in other chapters.
Closely related to these formulas are formulas in which the limits of integration and the integrand depend on the same parameter.
A number of formulas lose their meaning for certain values of the constants (parameters) or for certain relationships between these
constants (for example, formula 2.02 8. for n = ¡1 or formula 2.02 15. for a = b). These values of the constants and the
relationships between them are for the most part completely clear from the very structure of the right hand member of the formula
(the one not containing an integral sign). Therefore, throughout the chapter, we omit remarks to this effect. However, if the value of
the integral is given by means of some other formula for those values of the parameters for which the formula in question loses
meaning, we accompany this second formula with the appropriate explanation.
The letters x; y; t; . . . denote independent variables; f; g; '; . . . denote functions of x; y; t; . . . ;
f 0 ; g 0 ; '0 ; . . . ; f 00 ; g 00 ; '00 ; . . . denote their first, second, etc., derivatives; a; b; m; p; . . . denote constants, by which we
x; y; t; . . .
f; g; '; . . .
f 0 ; g 0 ; '0 ; . . . ; f 00 ; g 00 ; '00 ; . . .
x; y; t; . . .
a; b; m; p; . . .
generally mean arbitrary real numbers. If a particular formula is valid only for certain values of the constants (for example, only for
positive numbers or only for integers), an appropriate remark is
63
made provided the restriction that we make does not follow from the form of the formula itself. Thus, in formulas 2.148 4. and 2.424
6., we make no remark since it is clear from the form of these formulas themselves that n must be a natural number (that is, a positive
integer).
2.01 The basic integrals
1:
Z
xn dx =
xn+1
n+1
(n=
= ¡ 1):
For n = ¡1
2:
Z
dx
= ln x:
x
3:
Z
ex dx = ex :
4:
Z
ax dx =
5:
Z
sin x dx = ¡ cos x:
7:
9:
11:
Z
ax
:
ln a
dx
= ¡ctg x:
2
Z sin x
sin x
dx = sec x:
2 x
cos
Z
tg x dx = ¡ ln cos x:
6:
8:
10:
12:
Z
Z
cos x dx = sin x:
dx
= tg x:
2
Z cos x
cos x
dx = ¡cosec x:
2
sin
x
Z
ctg x dx = ln sin x:
64
20:
22:
24:
26:
Z
sh x dx = ch x:
21:
Z
dx
2 = ¡cth x:
sh
x
Z
th x dx = ln ch x:
Z
x
dx
= ln th :
sh x
2
23:
25:
Z
ch x dx = sh x:
Z
dx
2 = th x:
ch
x
Z
cth x dx = ln sh x:
2.02 General formulas
1:
Z
Z
af dx = a f dx:
2:
Z
Z
Z
Z
[af § b' § cà § . . . ] dx = a f dx § b ' dx § c à dx § . . .
3:
d
dx
4:
Z
5:
Z
6:
Z
Z
f dx = f:
f 0 dx = f:
0
f ' dx = f ' ¡
f
(n+1)
Z
' dx = 'f
f '0 dx
(n)
[integration by parts ]:
0 (n¡1)
¡' f
00 (n¡2)
+' f
n (n)
¡. . .+(¡1) '
n+1
f +(¡1)
Z
'(n+1) f dx:
7:
Z
Z
f (x) dx =
8:
Z
(f )n f 0 dx =
f ['(y)]'0 (y) dy
[x = '(y)]
(f )n+1
:
n+1
For n = ¡1
Z
f 0 dx
= ln f:
f
9:
Z
(af + b)n f 0 dx =
10:
Z
p
2 af + b
f 0 dx
p
=
:
a
af + b
11:
Z
f
f 0 ' ¡ '0 f
dx = :
2
'
'
12:
Z
f
f 0 ' ¡ '0 f
dx = ln :
f'
'
13:
Z
Z
Z
dx
dx
dx
¨
=§
:
f (f § ')
f'
'(f § ')
14:
Z
p
f 0 dx
p
= ln(f + f 2 + a):
f2 + a
(af + b)n+1
:
a(n + 1)
65
[change of variable ]:
For a = b
Z
f dx
=
(f + a)2
Z
Z
dx
dx
¡a
:
f +a
(f + a)2
16:
Z
f dx
=
(f + ')n
Z
dx
¡
(f + ')n¡1
17:
Z
f 0 dx
1
qf
=
arctg :
2
2
2
p +q f
pq
p
18:
Z
qf ¡ p
1
f 0 dx
=
ln
:
2
2
2
q f ¡p
2pq
qf + p
19:
Z
f dx
= ¡x +
1¡f
20:
Z
1
f 2 dx
=
2
2
f ¡a
2
21:
Z
22:
Z
23:
Z
24:
Z
p
f 0 dx
a2 ¡ f 2
Z
Z
Z
' dx
:
(f + ')n
dx
:
1¡f
1
f dx
+
f ¡a
2
Z
f
= arcsin :
a
1
f
f 0 dx
= ln
:
2
af + bf
b
af + b
1
f
f 0 dx
p
= arcsec :
2
2
a
a
f f ¡a
(f 0 ' ¡ f '0 ) dx
f
= arctg :
f 2 + '2
'
f dx
:
f +a
25:
Z
(f 0 ' ¡ f '0 ) dx
1
f ¡'
:
= ln
2
2
f ¡'
2
f +'
66
2.1 Rational Functions
2.10 General integration rules
2.101
To integrate an arbitrary rational function
F (x)
f (x) , where F (x) and f (x) are polynomials with no common factors, we first need to
separate out the integral part E(x) (where E(x) is a polynomial), if there is an integral part, and then to integrate separately the
integral part and the remainder, thus:
Z
F (x) dx
=
f (x)
Z
E(x) dx +
Z
'(x)
dx:
f (x)
Integration of the remainder, which is then a proper rational function (that is, one in which the degree of the numerator is less than
the degree of the denominator) is based on the decomposition of the fraction into elementary fractions, the so-called partial fractions
2.102
If a; b; c; . . . ; m are roots of the equation f (x) = 0 and if ®; ¯; °; . . . ; ¹ are their corresponding multiplicities, so that
'(x)
f (x) = (x ¡ a)® (x ¡ b)¯ . . . (x ¡ m)¹ then, f (x) can be decomposed into the following partial fractions:
'(x)
A®
A®¡1
A1
B¯
B¯¡1
B1
=
+
+... +
+
+
+ ... +
+... +
f (x)
(x ¡ a)®
(x ¡ a)®¡1
x¡a
(x ¡ b)¯
(x ¡ b)¯¡1
x¡b
M¹¡1
M1
M¹
+
+
+ ... +
;
(x ¡ m)¹
(x ¡ m)¹¡1
x¡m
where the numerators of the individual fractions are determined by the following formulas:
(k¡1)
A®¡k+1 =
(a)
Ã1
;
(k ¡ 1)!
(k¡1)
B¯¡k+1 =
(k¡1)
(b)
(m)
Ã2
Ãm
; . . . ; M¹¡k+1 =
;
(k ¡ 1)!
(k ¡ 1)!
(k¡1)
A®¡k+1 =
Ã1 (x) =
Ã1
(a)
;
(k ¡ 1)!
'(x)(x ¡ a)®
;
f (x)
(k¡1)
B¯¡k+1 =
Ã2 (x) =
(k¡1)
Ã2
(b)
Ãm
(m)
; . . . ; M¹¡k+1 =
;
(k ¡ 1)!
(k ¡ 1)!
'(x)(x ¡ b)¯
'(x)(x ¡ m)¹
; . . . ; Ãm (x) =
:
f (x)
f (x)
TI 51a
If a; b; . . . ; m are simple roots, that is, if ® = ¯ = . . . = ¹ =1, then
'(x)
A
B
M
=
+
+ ¢¢¢ +
;
f (x)
x¡a
x¡b
x¡m
where
A=
'(a)
;
f 0 (a)
B=
'(b)
;
f 0 (b)
... ;
M=
'(m)
:
f 0 (m)
67
If some of the roots of the equation f (x) = 0 are imaginary, we group together the fractions that represent conjugate roots of the
equation. Then, after certain manipulations, we represent the corresponding pairs of fractions in the form of real fractions of the form
M1 x + N1
M2 x + N2
Mp x + Np
+ 2
+... + 2
:
x2 + 2Bx + C
(x + 2Bx + C)2
(x + 2Bx + C)p
2.103
Thus, the integration of a proper rational fraction
R
'(x)
f (x) reduces to integrals of the form
g dx
(x¡a)®
or
R
M x+N
(A+2Bx+Cx2 )p
dx.
Fractions of the first form yield rational functions for ® > 1 and logarithms for ® = 1. Fractions of the second form yield rational
functions and logarithms or arctangents:
1:
Z
g dx
=g
(x ¡ a)®
2:
Z
g dx
=g
x¡a
3:
Z
Z
Z
g
d(x ¡ a)
=¡
:
®
(x ¡ a)
(® ¡ 1)(x ¡ a)®¡1
d(x ¡ a)
= g ln jx ¡ aj:
x¡a
Mx + N
N B ¡ M A + (N C ¡ M B)x
dx =
+
(A + 2Bx + Cx2 )p
2(p ¡ 1)(AC ¡ B 2 )(A + 2Bx + Cx2 )p¡1
Z
(2p ¡ 3)(N C ¡ M B)
dx
+
:
2(p ¡ 1)(AC ¡ B 2 )
(A + 2Bx + Cx2 )p¡1
4:
Z
5:
Z
dx
1
Cx + B
= p
arctg p
[AC > B 2 ];
2
2
A + 2Bx + Cx
AC ¡ B 2
Ac
¡
B
¯
¯
¯ Cx + B ¡ pB 2 ¡ AC ¯
1
¯
¯
p
[AC < B 2 ]:
ln ¯
= p
¯
2 B 2 ¡ AC ¯ Cx + B + B 2 ¡ AC ¯
(M x + N ) dx
M
NC ¡ MB
Cx + B
ln jA+2Bx+Cx2 j+ p
=
arctg p
[AC > B 2 ];
2
2
A + 2Bx + Cx
2C
C AC ¡ B 2
AC
¡
B
¯
¯
¯ Cx + B ¡ pB 2 ¡ AC ¯
N
C
¡
M
B
M
¯
¯
p
ln jA+2Bx+Cx2 j+ p
ln ¯
=
¯
2
2
¯ Cx + B + B ¡ AC ¯
2C
2C B ¡ AC
[AC < B 2 ]:
The ostrogradskiy-hermite method
2.104
By means of the Ostrogradskiy-Hermite method, we can find the rational part of
f (x) = 0 and without decomposing the integrand into partial fractions:
Z
M
'(x)
dx =
+
f (x)
D
Z
R
'(x)
f (x)
dx without finding the roots of the equation
N dx
:
Q
FI II 49
68
Here, M , N , D, and Q are rational functions of x. Specifically, D is the greatest common divisor of the function f (x) and its
derivative f 0 (x); Q =
f (x)
;
D
M is a polynomial of degree no higher than m ¡ 1, where m is the degree of the polynomial D; N is a
poynomial of degree no higher than n ¡ 1, where n is the degree of the polynomial Q. The coefficients of the polynomials M and
N are determined by equating the coefficients of like powers of x in the following identity:
'(x) = M 0 Q ¡ M(T ¡ Q0 ) + N D
where T =
f 0 (x)
D
and M 0 and Q0 are the derivatives of the polynomials M and Q.
2.11-2.13 Forms containing the binomial a + bxk
2.110
k
Reduction formulas for z = a + bx
LA 126(4)
2:
Z
xn zkm
¡xn+1 zkm+1
km + k + n + 1
dx =
+
ak(m + 1)
ak(m + 1)
Z
xn zkm+1 dx:
LA 126 (6)
3:
Z
xn zkm
xn+1 zkm
bkm
¡
dx =
n+1
n+1
Z
xn+k zkm¡1 dx:
LA 125 (1)
4:
Z
xn zkm
xn+1¡k zkm+1
n+1¡k
dx =
¡
bk(m + 1)
bk(m + 1)
Z
xn¡k zkm+1 dx:
LA 125 (2)
5:
Z
xn zkm
xn+1¡k zkm+1
a(n + 1 ¡ k)
dx =
¡
b(km + n + 1)
b(km + n + 1)
Z
xn¡k zkm dx:
LA 126 (3)
6:
Z
xn zkm dx =
xn+1 zkm+1
b(km + k + n + 1)
¡
a(n + 1)
a(n + 1)
Z
xn+k zkm dx:
LA 126 (5)
Forms containing the binomial z1 = a + bx
2.111
1:
Z
z1m dx =
z1m+1
:
b(m + 1)
For m = ¡1
Z
1
dx
= ln z1 :
z1
b
69
Z
2:
xn dx
xn
na
¡
= m¡1
m
z1
(n + 1 ¡ m)b
z1 (n + 1 ¡ m)b
Z
xn¡1 dx
:
z1m
For n = m ¡ 1, we may use the formula
3:
8
Z
1
xm¡1
xm¡1 dx
=
¡
+
m
m¡1
z1
b
z1 (m ¡ 1)b
Z
xm¡2 dx
:
z1m¡1
For m = 1
Z
4:
Z
n¡1
xn
axn¡1
a2 xn¡2
x (¡1)n an
xn dx
n¡1 a
=
+
¡
.
.
.+(
¡
1)
+ n+1 ln z1 :
¡
z1
nb (n ¡ 1)b2 (n ¡ 2)b3
1 ¢ bn
b
k¡1 n¡k
n¡1
n¡1
P
x
an
xn dx
k¡1 ka
n¡1
n+1 na
=
(
¡
1)
+(
¡
1)
+(
¡
1)
ln z1 :
z12
(n ¡ k)bk+1
bn+1 z1
bn+1
k=1
2.112
1:
Z
x
a
x dx
= ¡ 2 ln z1 :
z1
b
b
2:
Z
x2
a2
ax
x2 dx
¡ 2 + 3 ln z1 :
=
z1
2b
b
b
Z
1
dx
=¡
:
2
z1
bz1
2.113
1:
2:
Z
x dx
1
a
1
x
=¡
+ 2 ln z1 = 2 + 2 ln z1 :
2
z1
bz1
b
b z1
b
3:
Z
x2 dx
x
a2
2a
= 2 ¡ 3 ¡ 3 ln z1 :
2
z1
b
b z1
b
1:
Z
dx
1
=¡
:
z13
2bz12
2:
Z
hx
x dx
a i 1
=
¡
+
:
z13
b
2b2 z12
3:
Z
∙
¸
3a2 1
1
2ax
x2 dx
=
+
+ 3 ln z1 :
z13
b2
2b3 z12
b
2.114
Z
6
4 :
∙ 3
¸
a2
5 a3 1
a
a 2
x3 dx
x
=
¡ 3 4 ln z1 :
+2 2x ¡2 3 x¡
3
2
4
z1
b
b
b
2b
z1
b
70
2.115
1:
Z
1
dx
=¡
:
4
z1
3bz13
2:
Z
hx
a i 1
x dx
=
¡
+
:
z14
2b 6b2 z13
3:
Z
∙ 2
¸
ax
a2
x2 dx
x
1
=¡
+ 2 + 3
:
z14
b
b
3b z13
4:
Z
∙
¸
x3 dx
9a2 x
11a3 1
1
3ax2
=
+
+
+ 4 ln z1 :
z14
b2
2b2
6b4 z13
b
1:
Z
dx
1
=¡
:
z15
4bz14
2:
Z
hx
x dx
a i 1
+
=
¡
:
z15
3b 12b2 z14
3:
Z
∙ 2
¸
x2 dx
a2
ax
x
1
=
¡
+
+
:
z15
2b
3b2
12b3 z14
4:
Z
∙ 3
¸
x
x3 dx
a2 x
a3
3ax2
1
=¡
+ 3 + 4
:
+
5
2
z1
b
2b
b
4b z14
1:
Z
¡1
b(2 ¡ n ¡ m)
dx
=
+
xn z1m
a(n ¡ 1)
(n ¡ 1)axn¡1 z1m¡1
2:
Z
1
dx
=¡
:
m
z1
(m ¡ 1)bz1m¡1
3:
Z
1
1
dx
= m¡1
+
xz1m
a
z1 a(m ¡ 1)
4:
Z
2.117
1:
71
dx
:
xn¡1 z1m
dx
:
xz1m¡1
n¡1
P
(¡1)k bk¡1
(¡1)n bn¡1
z1
dx
=
+
ln :
n
k
n¡k
n
x z1
(n
¡
k)a
x
a
x
k=1
2.118
Z
Z
Z
z1
1
dx
= ¡ ln ;
xz1
a
x
2.119
1:
Z
dx
1
z1
1
=
¡ 2 ln :
xz12
az1
a
x
2:
Z
∙
¸
dx
2b
z1
2b 1
1
=¡
+ 2
+ 3 ln :
2
2
x z1
ax
a z1
a
x
3:
Z
∙
¸
1
dx
3b
3b2 1
z1
3b2
¡
=
+
¡
ln :
+
2
x3 z1
2ax2
2a2 x
a3 z1
a4
x
1:
Z
∙
¸
bx 1
1
z1
dx
3
=
¡ 3 ln :
+ 2
3
2
xz1
2a
a z1
a
x
2:
Z
∙
¸
9b
3b2 x 1
3b z1
1
dx
=¡
+ 4 ln :
+ 2 + 3
x2 z13
ax
2a
a
z12
a
x
3:
Z
∙
¸
1
2b
6b3 x 1
6b2
z1
9b2
dx
=
¡
+
+
¡ 5 ln :
+
3
2
3
2
2
3
4
x z1
2ax
a x
a
a
z1
a
x
1:
Z
∙
¸
5bx
b2 x2 1
z1
1
dx
11
=
+ 2 + 3
¡ 4 ln :
4
3
xz1
6a
2a
a
z1
a
x
2:
Z
∙
¸
22b
10b2 x
4b3 x2 1
4b z1
dx
1
=¡
+ 2 +
+
+ 5 ln :
x2 z14
ax
3a
a3
a4
z13
a
x
3:
Z
∙
¸
dx
5b
55b2
25b3 x
10b4 x2 1
z1
1
10b2
=
¡
+
+
+
+
¡ 6 ln :
4
3
3
2
2
3
4
5
x z1
2ax
2a x
3a
a
a
z1
a
x
2.121
2.122
1:
Z
∙
¸
dx
25
7b2 x2
b3 x3 1
z1
13bx
1
=
+
+
+ 4
¡ 5 ln :
4
5
2
3
xz
12a
3a
2a
a
z1
a
x
2:
Z
∙
¸
1
dx
5b z1
125b
65b2 x
35b3 x2
5b4 x3 1
¡
= ¡
¡
¡
¡
+ 6 ln :
5
4
2
2
3
4
5
x z1
ax
12a
3a
2a
a
z1
a
x
3:
Z
∙
¸
1
dx
3b
65b3 x
105b4 x2
15b5 x3 1 15b2
z1
125b2
= ¡
+ 2 +
+
+
+
¡ 7 ln :
5
4
3
2
3
4
5
6
x z1
2ax
a x
4a
a
2a
a
z1
a
x
72
2.124
2
Forms containing the binomial z2 = a + bx
1:
Z
r
b
1
dx
= p arctg x
[ab > 0]
(see also 2.141 2. );
z2
a
ab
p
1
a + xi ab
p
= p ln
[ab < 0]
(see also 2.143 2. and 2.143 3. ):
2i ab a ¡ xi ab
2.143
2.141
2:
Z
1
x dx
=¡
z2m
2b(m ¡ 1)z2m¡1
(see also 2.145 2., 2.145 6. and 2.18 ):
2.18
2.145
3
Forms containing the binomial z3 = a + bx
Notation: ® =
p
3 a
b
2.125
1:
Z
xn dx
xn¡2
(n ¡ 2)a
¡
= m¡1
m
z3
b(n + 1 ¡ 3m)
z3 (n + 1 ¡ 3m)b
2:
Z
xn dx
xn+1
n + 4 ¡ 3m
=
¡
m
z3
3a(m ¡ 1)
3a(m ¡ 1)z3m¡1
Z
Z
xn¡3 dx
:
z3m
xn dx
:
z3m¡1
LA 133 (1)
2.126
1:
Z
p )
p
1
x 3
(x + ®)2
+ 3 arctg
ln
;
2 x2 ¡ ®x + ®2
2® ¡ x
½
¾
p
(x + ®)2
2x ¡ ®
® 1
ln
+ 3 arctg p
=
3a 2 x2 ¡ ®x + ®2
® 3
dx
®
=
z3
3a
(
(see also 2.141 3. and 2.143 4. ):
2.143
2.141
2:
Z
1
x dx
=¡
z3
3b®
½
p
(x + ®)2
2x ¡ ®
1
¡ 3 arctg p
ln 2
2
2 x ¡ ®x + ®
® 3
¾
(see also 2.145 3. and 2.145 7 :):
2.145
2.145
3:
Z
1
1
x2 dx
=
ln(1 + x3 ®¡3 ) =
ln z3 :
z3
3b
3b
4:
Z
x a
x3 dx
= ¡
z3
b
b
73
Z
dx
z3
(see 2.126 1 :):
2.126
5:
Z
x4 dx
x2
a
¡
=
z3
2b
b
Z
x dx
z3
(see 2.126 2 :):
2.126
2.127
1:
Z
dx
x
2
=
+
2
z3
3az3
3a
Z
dx
z3
(see 2.126 1 :):
2.126
2:
Z
x2
1
x dx
=
+
z32
3az3
3a
Z
x dx
z3
(see 2.126 2 :):
2.126
3:
Z
1
x2 dx
=¡
:
z32
3bz3
4:
Z
x
1
x3 dx
=¡
+
2
z3
3bz3
3b
Z
dx
z3
(see 2.126 1 :):
2.126
2.128
1:
Z
1
b(3m + n ¡ 4)
dx
=¡
¡
xn z3m
a(n ¡ 1)
(n ¡ 1)axn¡1 z3m¡1
2:
Z
dx
1
n + 3m ¡ 4
=
+
m
m¡1
n
n¡1
x z3
3a(m ¡ 1)
3a(m ¡ 1)x
z3
Z
Z
dx
:
xn¡3 z3m
dx
xn z3m¡1
:
2.129
1:
Z
dx
1
x3
=
ln :
xz3
3a
z3
2:
Z
dx
b
1
¡
=¡
x2 z3
ax
a
Z
x dx
z3
(see 2.126 2 :):
2.126
3:
Z
dx
1
b
=¡
¡
x3 z3
2ax2
a
Z
dx
z3
(see 2.126 1 :):
2.126
2.131
1:
Z
1
1
x3
dx
=
+ 2 ln
2
xz3
3az3
3a
z3
2:
Z
∙
¸
Z
4bx2 1
4b
dx
1
x dx
=¡
¡ 2
+
2
2
2
x z3
ax
3a
z3
3a
z3
74
(see 2.126 2 :):
2.126
3:
Z
∙
¸
Z
5bx 1
5b
dx
1
dx
=
¡
+
¡
x3 z32
2ax2
6a2 z3
3a2 z3
(see 2.126 1 :):
2.126
Forms containing the binomial z4 = A + Bx4
Notations: ® =
p
4 a
b
0
® =
r
4
¡a
b
1:8
Z
(
p
p )
®
®x 2
x2 + ®x 2 + ®2
dx
p
= p
+ 2 arctg 2
ln
[ab > 0]
(see also 2.141 4.).
z4
® ¡ x2
4a 2
x2 ¡ ®x 2 + ®2
½
¾
x
x + ®0
®0
ln
+ 2 arctg 0
[ab < 0]
(see also 2.143 5.).
=
4a
x ¡ ®0
®
2.143
2.141
2:
Z
r
x dx
1
b
2
= p arctg x
[ab > 0]
(see also 2.145 4. ):
z
a
2 ab
p
1
a + x2 i ab
p
= p ln
[ab < 0]
(see also 2.145 8. ):
4i ab a ¡ x2 i ab
2.145
(
p )
p
1
®x 2
x2 dx
x2 ¡ ®x 2 + ®2
p
p
3:
=
+ 2 arctg 2
ln
z4
® ¡ x2
4b® 2
x2 + ®x 2 + ®2
½
¾
x
x + ®0
1
¡ 2 arctg 0
ln
[ab < 0]:
=¡
0
4b®
x ¡ ®0
®
Z
4:
Z
1
x3 dx
=
ln z4
z4
4b
Z
xn+1
4m ¡ n ¡ 5
xn dx
=
+
m
z4
4a(m ¡ 1)
4a(m ¡ 1)z4m¡1
[ab > 0];
2.133
1:
Z
xn dx
z4m¡1
LA 134 (1)
2:
2.134
Z
xn¡3
(n ¡ 3)a
xn dx
¡
=
m
m¡1
z4
b(n + 1 ¡ 4m)
z4 (n + 1 ¡ 4m)b
Z
xn¡4 dx
:
z4m
2.132
75
2:
Z
x dx
x2
1
=
+
2
z4
4az4
2a
Z
x dx
z4
(see 2.132 2 :):
2.132
3:
Z
x2 dx
x3
1
=
+
z42
4az4
4a
Z
x2 dx
z4
(see 2.132 3 :):
2.132
4:
Z
x4
1
x3 dx
=
=¡
:
2
z4
4az4
4bz4
2.135
Z
1
b(4m + n ¡ 5)
dx
=¡
m¡1 ¡
n¡1
xn z4m
(n ¡ 1)a
(n ¡ 1)ax
z4
Z
dx
:
xn¡4 z4m
For n = 1
Z
Z
Z
1
dx
=
m
xz4
a
1:
Z
ln x ln z4
1
x4
dx
¡
=
=
ln :
xz4
a
4a
4a
z4
2:
Z
dx
b
1
¡
=¡
x2 z4
ax
a
b
dx
m¡1 ¡ a
xz4
dx
x¡3 z4m
:
2.136
Z
x2 dx
z4
(see 2.132 3 :):
2.132
2.14 Forms containing the binomial 1 ± xn
2.141
1:
Z
dx
= ln(1 + x):
1+x
2:
Z
dx
= arctg x = ¡arcctg x
1 + x2
(see also 2.124 1 :):
2.124
3:
Z
p
1
1+x
1
x 3
dx
= ln p
+ p arctg
1 + x3
3
2¡x
1 ¡ x + x2
3
(see also 2.126 1 :)
2.126
4:
Z
p
p
1
1 + x 2 + x2
1
x 2
dx
p
= p ln
+ p arctg
1 + x4
1 ¡ x2
4 2 1 ¡ x 2 + x2 2 2
(see also 2.132 1 :):
2.132
2.142
Z
2
dx
=¡
1 + xn
n
n
¡1
2P
k=0
2k + 1
2
Pk cos
¼+
n
n
n¡3
n
¡1
2P
k=0
Qk sin
2k + 1
¼
n
[n|a positive even number];
n¡3
2
2
1
2k + 1
2k + 1
2 P
2 P
= ln(1 + x) ¡
Pk cos
¼+
Qk sin
¼
n
n k=0
n
n k=0
n
[n|a positive odd number].
TI (45)
TI (43)a
76
2.143
1:
Z
dx
= ¡ ln(1 ¡ x):
1¡x
2:
Z
dx
1 1+x
= ln
= Arth x
2
1¡x
2 1¡x
[¡1 < x < 1]
(see also 2.141 1 :):
2.141
3:
Z
4:
Z
dx
1 x¡1
= ln
= ¡Arcth x
¡1
2 x+1
[x > 1;
x2
1
dx
= ln
1 ¡ x3
3
p
p
1 + x + x2
x 3
1
+ p arctg
1¡x
2+x
3
x < ¡1]:
(see also 2.126 1 :):
2.126
5:
Z
1
1 1+x 1
dx
= ln
+ arctg x = (Arth x+arctg x)
4
1¡x
4 1¡x 2
2
(see also 2.132 1 :)
2.132
2.144
1:
Z
1
1+x 2
dx
¡
= ln
1 ¡ xn
n 1¡x n
•
n
¡1
2P
k=1
2k
2
Pk cos
¼+
n
n
1
2k
Pk = ln x2 ¡ 2x cos
¼+1
2
n
2:
Z
n¡3
¶
;
n
¡1
2P
2k
¼[n|a positive even number].
n
k=1
2k
¼
x ¡ cos
n :
Qk = arctg
2k
sin
¼
n
Qk sin
n¡3
2
2
2 P
2k + 1
2 P
2k + 1
1
dx
=
¡
ln(1
¡
x)
+
P
cos
¼
+
Qk sin
¼
k
1 ¡ xn
n
n k=0
n
n k=0
n
[n|a positive odd number].
2k + 1
•
¶
x + cos
¼
1
2k
+
1
n
Pk = ln x2 + 2x cos
¼+1 ;
Qk = arctg
:
2k + 1
2
n
sin
¼
n
1:
Z
x dx
= x ¡ ln(1 + x):
1+x
2:
Z
x dx
1
= ln(1 + x2 ):
2
1+x
2
3:
Z
x dx
1
2x ¡ 1
(1 + x)2
1
=
¡
ln
+ p arctg p
3
2
1+x
6 1¡x+x
3
3
(see also 2.126 2 :):
2.126
4:
Z
x dx
1
= arctg x2 :
1 + x4
2
5:
Z
x dx
= ¡ ln(1 ¡ x) ¡ x:
1¡x
6:
Z
1
x dx
= ¡ ln(1 ¡ x2 ):
2
1¡x
2
7:
Z
1
1
2x + 1
(1 ¡ x)2
x dx
=
¡
¡ p arctg p
ln
1 ¡ x3
6 1 + x + x2
3
3
(see also 2.126 2 :):
2.126
8:
Z
1 1 + x2
x dx
=
ln
1 ¡ x4
4 1 ¡ x2
(see also 2.132 2 :):
2.132
2.146
For m and nnatural numbers.
1:
Z
½
¾
n
m¼(2k ¡ 1)
2k ¡ 1
1 P
xm¡1 dx
2
=
¡
cos
ln
1
¡
2x
cos
¼
+
x
+
1 + x2n
2n k=1
2n
2n
2k ¡ 1
x ¡ cos
¼
n
1 P
m¼(2k ¡ 1)
2n
+
sin
arctg
[m < 2n]:
2k ¡ 1
n k=1
2n
sin
¼
2n
2:
Z
½
¾
n
P
xm¡1 dx
m¼(2k ¡ 1)
1
2k ¡ 1
m+1 ln(1 + x)
2
¡
= (¡1)
cos
ln 1 ¡ 2x cos
¼+x +
1 + x2n+1
2n + 1
2n + 1 k=1
2n + 1
2n + 1
2k ¡ 1
x ¡ cos
¼
n
P
m¼(2k ¡ 1)
2
2n
+1
arctg
sin
[m ∙ 2n]:
+
2k ¡ 1
2n + 1 k=1
2n + 1
sin
¼
2n + 1
TI (46)a
3:
Z
•
¶
P
xm¡1 dx
1
km¼
k¼
1 n¡1
m+1
2
f(¡1)
=
ln(1+x)¡ln(1¡x)g¡
cos
ln 1 ¡ 2x cos
+x +
1 ¡ x2n
2n
2n k=1
n
n
k¼
x ¡ cos
P
km¼
1 n¡1
n
sin
arctg
[m < 2n]:
+
k¼
n k=1
n
sin
n
TI (48)
78
4:
Z
1
xm¡1 dx
=¡
ln(1 ¡ x) +
1 ¡ x2n+1
2n + 1
•
¶
n
P
1
m¼(2k ¡ 1)
2k ¡ 1
cos
+(¡1)m+1
ln 1 + 2x cos
¼ + x2 +
2n + 1 k=1
2n + 1
2n + 1
2k ¡ 1
x + cos
¼
n
P
m¼(2k ¡ 1)
2
2n + 1
sin
arctg
[m ∙ 2n]:
+(¡1)m+1
2k ¡ 1
2n + 1 k=1
2n + 1
sin
¼
2n + 1
TI (50)
2.147
1:
Z
1
xm dx
=
1 ¡ x2n
2
2:
Z
m¡1
xm¡1
1
xm dx
¢
=
¡
+
2
n
2
n¡1
(1 + x )
2n ¡ m ¡ 1 (1 + x )
2n ¡ m ¡ 1
3:
Z
Z
1
xm dx
+
1 ¡ xn
2
xm¡1
xm
¡
dx
=
1 + x2
m¡1
Z
Z
xm dx
:
1 + xn
xm¡2
dx:
1 + x2
Z
xm¡2 dx
:
(1 + x2 )n
LA 139 (28)
LA 139 (33)
5:
Z
xm dx
xm¡1
=
¡
+
1 ¡ x2
m¡1
Z
xm¡2 dx
:
1 ¡ x2
2.148
Z
dx
1
1
2n + m ¡ 3
1:
=¡
¡
xm (1 + x2 )n
m ¡ 1 xm¡1 (1 + x2 )n¡1
m¡1
For m = 1
Z
Z
dx
1
dx
1
=
+
:
2
n
2
n¡1
x(1 + x )
2n ¡ 2 (1 + x )
x(1 + x2 )n¡1
For m = 1 and n = 1
Z
dx
x
= ln p
:
x(1 + x2 )
1 + x2
Z
dx
:
xm¡2 (1 + x2 )n
LA 139 (31)
LA 139 (29)
2:
Z
1
dx
=¡
¡
m
2
x (1 + x )
(m ¡ 1)xm¡1
Z
3:
Z
1
x
2n ¡ 3
dx
=
+
2
n
2
n¡1
(1 + x )
2n ¡ 2 (1 + x )
2n ¡ 2
dx
:
+ x2 )
xm¡2 (1
79
4:
Z
Z
dx
:
(1 + x2 )n¡1
FI II 40
P (2n ¡ 1)(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k + 1)
x n¡1
(2n ¡ 3)!!
dx
=
+ n¡1
arctg x:
2
n
k
2
n¡k
(1 + x )
2n ¡ 1 k=1 2 (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)(1 + x )
2
(n ¡ 1)!
2.149
Z
2n + m ¡ 3
1
dx
1:
=¡
+
xm (1 ¡ x2 )n
(m ¡ 1)xm¡1 (1 ¡ x2 )n¡1
m¡1
For m = 1
Z
dx
1
=
+
2
n
x(1 ¡ x )
2(n ¡ 1)(1 ¡ x2 )n¡1
For m = 1 and n = 1
Z
dx
x
= ln p
:
x(1 ¡ x2 )
1 ¡ x2
Z
dx
:
x(1 ¡ x2 )n¡1
Z
dx
:
xm¡2 (1 ¡ x2 )n
TI (91)
2:
3:
Z
Z
dx
1
x
2n ¡ 3
=
+
(1 ¡ x2 )n
2n ¡ 2 (1 ¡ x2 )n¡1
2n ¡ 2
Z
dx
:
(1 ¡ x2 )n¡1
P (2n ¡ 1)(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k + 1)
dx
x n¡1
(2n ¡ 3)!!
1+x
=
+ n
ln
:
2
n
(1 ¡ x )
2n ¡ 1 k=1 2k (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)(1 ¡ x2 )n¡k
2 ¢ (n ¡ 1)!
1¡x
2.15 Forms containing pairs of binomials: a + bx and α + βx
Notations: z = a + bx; t = α + βx; ∆ = aβ  αb
2.151
Z
z n+1 tm
m¢
¡
z t dx =
(m + n + 1)b
(m + n + 1)b
n m
Z
z n tm¡1 dx:
2.152
1:
Z
bx
¢
z
dx =
+ 2 ln t:
t
¯
¯
2:
Z
¯x
¢
t
dx =
¡ 2 ln z:
z
b
b
80
2.153
Z
Z m¡1
1
tm
dx
m¢
t
tm dx
=
¡
;
zn
(m ¡ n + 1)b z n¡1
(m ¡ n + 1)b
zn
Z
1
tm+1
(m ¡ n + 2)¯ tm dx
=
¡
;
(n ¡ 1)¢ z n¡1
(n ¡ 1)¢
z n¡1
Z m¡1
tm
m¯
1
t
=¡
+
dx:
(n ¡ 1)b z n¡1
(n ¡ 1)b z n¡1
2.154
Z
1
t
dx
=
ln :
zt
¢ z
LA 139 (35)
TI (91)
Z
Z
dx
1
1
(m + n ¡ 2)b
dx
=
¡
¡
;
n
m
m¡1
n¡1
m¡1
z t
(m ¡ 1)¢ t
z
(m ¡ 1)¢
t
zn
Z
dx
1
1
(m + n ¡ 2)¯
=
+
:
m¡1
n¡1
m
(n ¡ 1)¢ t
z
(n ¡ 1)¢
t z n¡1
2.156
Z
1
x dx
=
zt
¢
•
¶
a
®
ln z ¡ ln t :
b
¯
2.16 Forms containing the trinomial a + bxk + cx2k
2.160
Reduction formulas for Rka + bxk + cx 2k
1:
Z
x
2:
Z
xm¡1 Rn
k dx =
3:
Z
m¡1
m¡1
x
Rn
k
Rn
k
xm Rkn+1 (m + k + nk)b
dx =
¡
ma
ma
xm Rkn bkn
¡
m
m
Z
Z
m+k¡1
x
xm+k¡1 Rkn¡1 dx¡
Rn
k
2ckn
m
(m + 2k + 2kn)c
dx¡
ma
Z
Z
xm+2k¡1 Rkn dx:
xm+2k¡1 Rn¡1
dx:
k
Z
Z
xm¡2k Rkn+1 (m ¡ 2k)a
(m ¡ k + kn)b
m¡2k¡1 n
dx =
¡
x
Rk dx¡
xm¡k¡1 Rkn dx;
(m + 2kn)c (m + 2kn)c
(m + 2kn)c
Z
Z
xm Rn
2kna
bkn
m¡1 n¡1
k
=
+
x
Rk dx+
xm+k¡1 Rn¡1
dx:
k
m + 2kn m + 2kn
m + 2kn
2.161
Forms containing the trinomial R2 = a + bx 2 + cx4
Notations:
h=
1:
p
Z
b2 ¡ 4ac;
b
f= ¡
2
r
a
q= 4 ;
c
1p 2
b ¡ 4ac;
2
g=
b
1p 2
+
b ¡ 4ac ;
2 2
l = 2a(n ¡ 1)(b2 ¡ 4ac);
b
cos ® = ¡ p :
2 ac
¾
Z
dx
dx
¡
[h2 > 0];
cx2 + f
cx2 + g
8
9
®
2
2
<
2
2 =
x
+
2qx
cos
+
q
®
®
x ¡q
1
2
=
sin ln
+ 2 cos arctg
®
®
2
2
4cq3 sin ® :
2
2
x ¡ 2qx cos + q
2qx sin ;
2
2
dx
c
=
R2
h
½Z
[h2 < 0]:
81
2:
Z
x dx
1
cx2 + f
=
ln 2
[h2 > 0];
R2
2h
cx + g
1
x2 ¡ q2 cos ®
=
arctg
2cq2 sin ®
q2 sin ®
[h2 < 0]:
LA 146 (9)a
LA 146 (6)
3:
Z
x2 dx
g
=
R2
h
Z
dx
f
¡
cx2 + g
h
Z
dx
cx2 + f
[h2 > 0]:
LA 146 (7)
4:
Z
bcx3 + (b2 ¡ 2ac)x
b2 ¡ 6ac
dx
=
+
2
R2
lR2
l
5:
Z
bcx3 + (b2 ¡ 2ac)x (4n ¡ 7)bc
dx
=
+
R2n
l
lR2n¡1
Z
Z
bc
dx
+
R2
l
Z
x2 dx
:
R2
x2 dx 2(n ¡ 1)h2 + 2ac ¡ b2
+
l
R2n¡1
[n > 1].
Z
dx
Rn¡1
2
LA 146
6:
Z
1
(m + 2n ¡ 3)b
dx
=¡
n¡1 ¡
m¡1
xm R2n
(m ¡ 1)a
(m ¡ 1)ax
R2
Z
(m + 4n ¡ 5)b
dx
¡
xm¡2 Rn
(m ¡ 1)a
Z
dx
:
xm¡4 R2n
LA 147 (12)a
2.17 Forms containing the quadratic trinomial a + bx + cx2 and powers of x
Notations: R = a + bx + cx2; ∆ = 4ac  b2
2.171
1:
Z
m+1
x
xm Rn+1
am
¡
R dx =
c(m + 2n + 2) c(m + 2n + 2)
n
Z
m¡1
x
b(m + n + 1)
R dx¡
c(m + 2n + 2)
n
Z
xm Rn dx:
TI (97)
LA 142(3), TI (96)a
Z
3:
Z
4:
dx
b + 2cx
(4n ¡ 2)c
=
+
n+1
n
R
n¢R
n¢
Z
dx
Rn
TI (94)a
P 2k(2n + 1)(2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1)ck
dx
(2cx + b) n¡1
=
+
Rn+1
2n + 1 k=0
n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k)¢k+1 Rn¡k
Z
(2n ¡ 1)!!cn dx
+ 2n
:
n!¢n
R
TI (96)a
3
2.172
Z
p
1
¡¢ ¡ (b + 2cx)
¡2
b + 2cx
dx
p
ln
= p
Arth p
[¢ < 0];
= p
R
¡¢ (b + 2cx) + ¡¢
¡¢
¡¢
¡2
=
[¢ = 0];
b + 2cx
2
b + 2cx
= p arctg p
[¢ > 0]:
¢
¢
82
2.173
1:
Z
2c
b + 2cx
dx
=
+
2
R
¢R
¢
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
2:
Z
b + 2cx
dx
=
3
R
¢
½
3c
1
+
2
2R
¢R
¾
+
6c2
¢2
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
2.174
1:
Z
xm¡1
(n ¡ m)b
xm dx
=
¡
¡
Rn
(2n ¡ m ¡ 1)cRn¡1 (2n ¡ m ¡ 1)c
Z
(m ¡ 1)a
xm¡1 dx
+
Rn
(2n ¡ m ¡ 1)c
Z
xm¡2 dx
:
Rn
m = 2n ¡ 1
2:
Z
x2n¡1 dx
1
=
n
R
c
Z
x dx
1
b
=
lng R ¡
R
2c
2c
Z
x2n¡3 dx
a
¡
n¡1
R
c
Z
x2n¡3 dx
b
¡
n
R
c
Z
x2n¡2 dx
:
Rn
2.175
1:
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
2:
Z
x dx
2a + bx
b
=¡
¡
R2
¢R
¢
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
3:
Z
3bc
2a + bx
3b(b + 2cx)
x dx
=¡
¡
¡ 2
R3
2¢R2
2¢2 R
¢
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
4:
Z
b2 ¡ 2ac
x
b
x2 dx
= ¡ 2 ln R +
R
c
2c
2c2
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
5:
Z
ab + (b2 ¡ 2ac)x
2a
x2 dx
=
+
2
R
c¢R
¢
Z
dx
R
(see 2.172 )
2.172
6:
Z
ab + (b2 ¡ 2ac)x (2ac + b2 )(b + 2cx) 2ac + b2
x2 dx
=
+
+
R3
2c ¢R2
2c¢2 R
¢2
Z
dx
R
(see 2.172 ):
7:
Z
x3 dx
x2
bx b2 ¡ ac
b(b2 ¡ 3ac)
¡ 2 +
=
ln
R
¡
R
2c
c
2c3
2c3
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
8:
Z
x3 dx
1
a(2ac ¡ b2 ) + b(3ac ¡ b2 )x b(6ac ¡ b2 )
¡
=
ln
R+
R2
2c2
c2 ¢R
2c2 ¢
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
9:
Z
x3 dx
=¡
R3
•
abx
2a2
x2
+
+
c
c¢
c¢
¶
3ab
1
¡
2R2
2c¢
Z
dx
R2
(see 2.173 1 :):
2.173
2.176
Z
¡1
b(m + n ¡ 2)
dx
=
¡
m
n
m¡1
n¡1
x R
(m ¡ 1)ax
R
a(m ¡ 1)
Z
c(m + 2n ¡ 3)
dx
¡
m¡1
n
x
R
a(m ¡ 1)
Z
dx
xm¡2 Rn
:
83
2.177
1:
Z
1
x2
b
dx
=
ln
¡
xR
2a
R
2a
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
2:
Z
1
x2
1
dx
= 2 ln +
2
xR
2a
R 2aR
½
1¡
b(b + 2cx)
¢
¾
¡
b
2a2
•
1+
2ac
¢
¶Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
2.173
2.172
4:
Z
dx
x2
1
b2 ¡ 2ac
b
¡
=
¡
ln
+
x2 R
2a2
R
ax
2a2
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
5:
Z
dx
x2 a + bx (b2 ¡ 3ac)(b + 2cx) 1
b
¡
= ¡ 3 ln ¡ 2
+
2
2
x R
a
R a xR
a2 ¢R
¢
•
b4
6c2
6b2 c
¡ 2 +
3
a
a
a
(see 2.172).
¶Z
dx
R
2.172
6:
Z
1
3b
dx
=¡
¡
2
3
2
x R
axR
a
Z
5c
dx
¡
3
xR
a
Z
dx
R3
(see 2.173 and 2.177 3. ):
2.177
2.173
7:
Z
ac ¡ b2
x2
b
1
b(3ac ¡ b2 )
dx
=¡
ln
+ 2 ¡
+
3
3
2
x R
2a
R a x 2ax
2a3
Z
dx
R
(see 2.172 ):
2.172
8:
Z
dx
=
3
x R2
•
3b
1
¡
+ 2
2
2ax
2a x
¶
1
+
R
•
2c
3b2
¡
2
a
a
¶Z
Z
9bc dx
dx
+ 2
xR2
2a
R2
(see 2.173 1. and 2.177 2.).
2.177
2.173
9:
Z
dx
=
3
x R3
•
¡1
2b
+ 2
2
2ax
a x
¶
• 2
¶Z
Z
6b
1
dx 10bc dx
3c
+
¡
+ 2
R2
a2
a
xR3
a
R3
(see 2.173 2., 2.177 3.).
2.177
2.173
2.18 Forms containing the quadratic trinomial a + bx + cx2 and the binomial α + βx
Notations:
R = a + bx + cx2 ;
z = ® + ¯x;
A = ®¯ 2 ¡ ab¯ + c®2 ;
B = b¯ ¡ 2c®;
1:
Z
2:
Z
¯z m¡1 Rn+1
(m + n)B
z R dx =
¡
(m + 2n + 1)c (m + 2n + 1)c
m
n
Z
z
m¡1
¢ = 4ac ¡ b2 .
(m ¡ 1)A
R dx¡
(m + 2n + 1)c
n
Z
z m¡2 Rn dx:
Z n¡1
1
2nA
dx
Rn
Rn dx
R
=
¡
¡
¡
zm
(m ¡ 2n ¡ 1)¯ z m¡1
(m ¡ 2n ¡ 1)¯ 2
zm
Z n¡1
nB
dx
R
¡
;
(m ¡ 2n ¡ 1)¯ 2
z m¡1
Z
Z
Rn+1 (m ¡ n ¡ 2)B Rn dx (m ¡ 2n ¡ 3)c Rn dx
¡¯
=
¡
¡
;
(m ¡ 1)A z m¡1
(m ¡ 1)A
z m¡1
(m ¡ 1)A
z m¡2
Z n¡1
Z n¡1
Rn
nB
dx
2nc
dx
1
R
R
=¡
+
+
(m ¡ 1)¯ z m¡1 (m ¡ 1)¯ 2
z m¡1
(m ¡ 1)¯ 2
z m¡2
84
3:
Z
Z m¡1
Z m¡2
z m¡1
dx
dx
¯
(m ¡ n)B
(m ¡ 1)A
z m dx
z
z
=
¡
¡
;
n
n¡1
n
n
R
(m ¡ 2n + 1)c R
(m ¡ 2n + 1)c
R
(m ¡ 2n + 1)c
R
Z
Z m¡1
b + 2cx z m
dx
2(m ¡ 2n + 3)c z m dx
Bm
z
=
¡
¡
n¡1
n¡1
n¡1
(n ¡ 1)¢ R
(n ¡ 1)¢
R
(n ¡ 1)¢
R
LA 418 (6)
LA 148 (5)
LA 184 (4)a
3
4 :
Z
Z
Z
dx
dx
dx
1
¯
(m + n ¡ 2)B
(m + 2n ¡ 3)c
=¡
¡
¡
;
z m Rn
(m ¡ 1)A z m¡1 Rn¡1
(m ¡ 1)A
z m¡1 Rn
(m ¡ 1)A
z m¡2 Rn
Z
Z
dx
dx
1
(m + 2n ¡ 3)¯ 2
¯
B
=
¡
+
:
m¡1
n¡1
m¡1
n
m
2(n ¡ 1)A z
R
2A z
R
2(n ¡ 1)A
z Rn¡1
LA 148 (8)
LA 148 (7)
For m = 1 and n = 1
Z
dx
¯
z2
B
¡
=
ln
zR
2A
R
2A
Z
dx
:
R
For A = 0
Z
¯
1
(m + 2n ¡ 2)c
dx
=¡
¡
m
n
m
n¡1
z R
(m + n ¡ 1)B z R
(m + n ¡ 1)B
Z
dx
z m¡1 Rn
:
LA 148 (9)
2.2 Algebraic Functions
2.20 Introduction
2.201
´
´r ³
´s
R ³ ³
; ®x+¯
; . . . dx , where r; s; . . . are rational numbers, can be reduced to integrals of rational
The integrals R x; ®x+¯
°x+±
°x+±
functions by means of the substitution
®x + ¯
= tm ;
°x + ±
FI II 57
where m is the common denominator of the fractions r; s; . . . .
2.202
R
Integrals of the form xm (a + bxn )p dx ,* Transl. The authors term such integrals "integrals of binomial differentials".
R
xm (a + bxn )p dx
where m, n, and p are rational numbers, can be expressed in terms of elementary functions only in the following
85
(a) When p is an integer; then, this integral takes the form of the sum of the integrals shown in 2.201;
(b) When
1
n
R
(a + bz)p z
(c) When
1
n
m+1
n
n is an integer: by means of the substitution x = z , this integral can be transformed to the form
m+1
n
R ¡ a+bz ¢p
z
z
m+1
n ¡1
dz , which we considered in 2.201;
+ p is an integer; by means of the same substitution xn = z , this integral can be reduced to an integral of the form
m+1
n +p¡1
dz , considered in 2.201;
For reduction formulas for integrals of binomial differentials, see 2.110.
p
2.21 Forms containing the binomial a + bxk and x
Notation: z1 = A + Bx:
2.211
Z
dx
p
z1
r
2
bx
= p arctg
[ab > 0];
x
a
ab
p
1
a ¡ bx + 2i xab
= p ln
z1
i ab
[ab < 0]:
2.212
Z
p
m+1 Z
m
p P
(¡1)k ak xm¡k
xm x
dx
m+1 a
p
dx = 2 x
+(
¡
1)
k+1
m+1
z1
(2m
¡
2k
+
1)b
b
z
1 x
k=0
(see 2.211 ):
2.211
2.213
1:
Z p
p
Z
x dx
2 x a
dx
p
¡
=
z1
b
b z1 x
(see 2.211).
2.211
2:
Z
p
Z
x x dx ³ x
a2
a´ p
dx
p
¡ 2 2 x+ 2
=
z1
3b
b
b
z1 x
(see 2.211).
2.211
3:
Z
• 2
¶
p
Z
p
x2 x dx
x
a2
xa
a3
dx
p
¡ 2 + 3 2 x¡ 3
=
z1
5b
3b
b
b
z1 x
(see 2.211).
2.211
4:
Z
dx
p
2
z1
p
x
1
=
+
x
az1
2a
Z
dx
p
z1 x
(see 2.211).
2.211
5:
Z p
p
Z
x dx
x
1
dx
p
=¡
+
z12
bz1
2b z1 x
(see 2.211 ):
2.211
6:
Z
p
p
Z p
2x x
x dx
3a
x x dx
=
¡
z12
bz1
b
z12
(see 2.213 5 :):
2.213
86
7:
Z
• 2
¶ p
p
Z p
x dx
5ax 2 x
5a2
x2 x dx
x
¡ 2
=
+ 2
z12
3b
3b
z1
b
z12
(see 2.213 5 :):
2.213
8:
Z
dx
p
3
z1 x
=
•
1
3
+ 2
2
2az1
4a z1
¶
p
x+
3
8a2
Z
dx
p
z1 x
(see 2.211 ):
2.211
9:
Z p
x dx
=
z13
•
1
1
¡
+
2
2bz1
4abz1
¶
p
1
x+
8ab
Z
dx
p
z1 x
(see 2.211 ):
2.211
10:
Z
p
p
Z p
2x x
3a
x dx
x x dx
=¡
+
z13
bz12
b
z13
(see 2.213 9 :):
2.213
11:
Z
• 2
¶ p
p
Z p
15a2
x dx
5ax 2 x
x2 x dx
x
=
¡
+
z13
b
b2
z12
b2
z13
(see 2.213 9 :):
2.213
Notations: z2 = a + bx2 ,
2.214
Z
dx
p
z2
p #
p
ha
i
® 2x
x + ® 2x + ®2
=
+ arctg 2
>0 ;
ln
p
x
z2
® ¡x
b
b®3 2
•
p ¶
p
i
h
0
1
x
® ¡ x
a
p
¡
2
arctg
=
<
0
:
ln
2b®03
®0 + x
®0
b
1
p
"
2.215
Z p
"
p #
p
ha
i
x dx
1
® 2x
x + ® 2x + ®2
= p ¡ ln
+ arctg 2
>0 ;
p
z2
z2
® ¡x
b
b® 2
∙
p
p ¸
h
i
0
1
® ¡ x
x
a
=
ln 0 p + 2 arctg 0
<0 :
2b®0
® + x
®
b
®=
p
4 a
b,
alpha0 =
p
4
¡ ab .
1:
Z
p
p
Z
x x dx
dx
2 x
a
p
¡
=
z2
b
b z2 x
(see 2.214 ):
2.214
2:
Z
p
p
Z p
x2 x dx
2x x
x dx
a
¡
=
z2
3b
b
z2
(see 2.215 ):
2.215
3:
Z
x
p
2
z2
p
x
3
=
+
x
2az2
4a
Z
dx
p
z2 x
(see 2.214 ):
2.214
4:
Z p
p
Z p
x dx
x x
1
x dx
=
+
z22
2az2
4a
z2
(see 2.215 ):
2.215
87
5:
Z
p
p
Z
x
1
x x dx
dx
p
=¡
+
z22
2bz2
4b z2 x
(see 2.214 ):
2.214
6:
Z
p
p
Z p
3
x dx
x x
x2 x dx
=
¡
+
z22
2bz2
4b
z2
(see 2.215 ):
2.215
2.214
8:
Z p
x dx
=
z23
•
1
5
+
2
4az2
16a2 z2
¶
p
x x+
5
32a2
Z p
x dx
z2
(see 2.215 ):
2.215
9:
Z
p
p
Z
x x dx
dx
(bx2 ¡ 3a) x
3
p
=
+
z23
16abz22
32ab z2 x
(see 2.214 ):
2.214
10:
Z
p
p
Z p
2x x
3a
x dx
x2 x dx
=
¡
+
z23
5bz22
5b
z23
(see 2.216 8 :):
q
n
k
(a + bx)
2.22-2.23 Forms containing
Notation: z = A + Bx.
2.220
Z
xn
p
l
z lm+f
• ¶
n n¡k k
(¡1)
a
z
n
P
k
dx =
>
ln ¡ lk + l (m + 1) + f
>
: k=0
8
>
>
<
k
9
>
>
l
= lp
z l(m+1)+f
:
>
bn+1
>
;
The square root
2.221
• ¶
9
n n¡k k > p
Z
(¡1)
a >
z
= 2 z 2m+1
n
p
P
k
n
x z 2m¡1 dx =
:
>
2n ¡ 2k + 2m + 1 >
bn+1
>
>
: k=0
;
8
>
>
<
k
2.216
1:
Z
dx
2p
p =
z:
z
b
2:
Z
x dx
p =
z
3:
Z
x2 dx
p =
z
1:
Z
2
dx
p =¡ p :
3
b z
z
2:
Z
2
x dx
p = (z + a) 2 p :
3
b z
z
3:
Z
x2 dx
p
=
z3
1:
Z
p
Z
zm z
2m ¡ 2n + 3 b
z m dx
z m dx
p
p :
=
¡
+
xn z
(n ¡ 1)axn¡1
2(n ¡ 1) a xn¡1 z
2:
Z
½
p
z m dx
1
m
p
=
¡
z
z
+
xn z
(n ¡ 1)axn¡1
¾
n¡2
P (2m ¡ 2n + 3)(2m ¡ 2n + 5) . . . (2m ¡ 2n + 2k + 1) bk
+
+
2k (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k ¡ 1)xn¡k¡1
ak+1
k=1
Z
(2m ¡ 2n + 3)(2m ¡ 2n + 5) . . . (2m ¡ 3)(2m ¡ 1) bn¡1 z m dx
p :
+
2n¡1 (n ¡ 1)!x
an¡1
x z
•
¶ p
1
2 z
z¡a
:
3
b2
•
1 2 2
z ¡ az + a2
5
3
¶ p
2 z
:
b3
88
2.223
•
z2
¡ 2az ¡ a2
3
¶
2
p :
b3 z
2.224
For n=1
2.225
1:
Z p
Z
p
dx
z dx
p
=2 z+a
x
x z
(see 2.224 4.).
2.224
2:
Z p
p
Z
dx
z dx
z
b
p
=¡
+
2
x
x
2 x z
(see 2.224 4.).
2.224
3:
p
p
Z
z dx
z3
b z
b2
dx
p
=¡
+
¡
3
2
x
2ax
4ax
8a x z
Z p
(see 2.224 4.).
2.224
89
2.226
1:
Z p
Z
´ p
z 3 dx ³ z
dx
p
=
+ a 2 z + a2
x
3
x z
(see 2.224 4.).
2.224
2:
Z p
p
Z p 3
z 3 dx
z5
3b
z dx
=¡
+
2
x
ax
2a
x
(see 2.226 1.).
2.226
3:
Z p
z 3 dx
=¡
x3
•
b
1
+ 2
2
2ax
4a x
¶p
z5
3b2
+ 2
8a
Z p
z 3 dx
x
(see 2.226 1.).
2.227
Z
m¡1
P
2
1
dx
p =
p + m
m
m¡k
k
xz
z
z z
a
k=0 (2k + 1)a
Z
dx
p :
x z
(see 2.224 4 .).
2.224
2.228
1:
Z
p
Z
dx
dx
z
b
p
p
¡
=¡
x2 z
ax
2a x z
(see 2.224 4 .).
2.224
2:
Z
dx
p =
3
x z
•
3b
1
+ 2
¡
2
2ax
4a x
¶
p
z+
3b2
8a2
Z
dx
p
x z
(see 2.224 4 .).
2.224
2.229
1:
Z
2
1
dx
p = p +
a z
a
x z3
Z
dx
p
x z
(see 2.224 4 .).
2.224
2:
Z
dx
p =
2
x z3
•
3b
1
¡ 2
¡
ax
a
¶
3b
1
p ¡ 2
z
2a
Z
dx
p
x z
(see 2.224 4 .).
2.224
3:
Z
dx
p =
3
x z3
•
¡
5b
15b2
1
+ 2 +
2
2ax
4a x
4a3
¶
15b2
1
p +
z
8a3
Z
dx
p
x z
(see 2.224 4 .).
2.224
Cube root
2.231
1:
2:
• ¶
9
n n¡k k
>
>
Z p
(¡1)
a
z
3
= 3p
n
P
z 3(m+1)+1
k
3
n
z 3m+1 x dx =
:
>
3n ¡ 3k + 3 (m + 1) + 1 >
bn+1
k=0
>
>
;
:
8
>
>
<
Z
xn dx
p
3
z 3m+2
k
• ¶
9
n n¡k k
>
>
(
¡
1)
a
z
=
n
P
3
k
p
=
:
3
n+1
>
>
3n
¡
3k
¡
3
(m
¡
1)
¡
2
z 3(m¡1)+2
>
>
: k=0
;b
8
>
>
<
k
90
3:
• ¶
9
n n¡k k
>
>
Z p
(¡1)
a
z
3
= 3p
n
P
z 3(m+1)+2
k
3
n
z 3m+2 x dx =
:
>
3n ¡ 3k + 3 (m + 1) + 2 >
bn+1
k=0
>
>
;
:
8
>
>
<
k
• ¶
9
n n¡k k
>
>
(
¡
1)
a
z
=
n
P
3
k
p
=
:
3
n+1
>
>
3n
¡
3k
¡
3
(m
¡
1)
¡
1
z 3(m¡1)+1
>
>
: k=0
;b
8
>
>
<
k
4:
Z
xn dx
p
3
z 3m+1
5:
Z
3n ¡ 3m + 4 b
z n+ 3
z n dx
p
=¡
+
3
m¡1
m
2
(m
¡
1)ax
3(m ¡ 1) a
x
x
1
For m = 1
Z
Z n¡1
dx
z n dx
3z n
z
p
p
p
=
+a
:
3
3
3
2
2
x z
(3n ¡ 2) z
x z2
Z
z n dx
p
3
xm¡1 z 2
:
2.232
Z
1
dx
p
= p
3
3
2
x z
a2
(
3
ln
2
p
3
)
p p
p
z¡ 3a p
33z
p
p
¡ 3arctg p
:
3
3
x
z +2 3 a
2.233
1:
Z p
3
Z
p
dx
z dx
p
=33z+a
3
x
x z2
(see 2.232 ).
2.232
2:
Z p
3
p
Z
z dx
z3z
bp
b
dx
3
p
=¡
+
z+
x2
ax
a
3 x 3 z2
(see 2.232 ).
2.232
3:
Z p
3
z dx
=
x3
•
1
b
¡
+ 2
2
2ax
3a x
¶
p
b2 p
b2
z3z¡ 2 3z¡
3a
9a
Z
dx
p
3
x z2
(see 2.232 ).
2.232
4:
Z
p
Z
3
z
2b
dx
dx
p
p
=¡
¡
3
2
2
ax
3a x 3 z 2
x z
(see 2.232 ).
2.232
5:
Z
∙
¸
Z
p
5b
5b2
1
dx
dx
3
p
p
=
¡
+
z
+
3
3
2
2x
2
3
2
2ax
6a
9a
x z
x z2
(see 2.232 ).
2.232
91
2.234
1:
Z
p
Z
3
z n dx
z n dx
3n ¡ 3m + 5 b
z n z2
p :
p
=
¡
+
3
(m ¡ 1)axm¡1
3(m ¡ 1) a xm¡1 3 z
xm z 2
For m = 1:
2:
Z
Z n¡1
z n dx
z
dx
3z n
p
p
p :
=
+
a
x3z
(3n ¡ 1) 3 z
x3z
3:
Z
p
Z p
3
3
dx
3 z2
1
z 2 dx
p
=
+
:
3
xz n z
(3n ¡ 2)az n
a
xz n
2.235
Z
1
dx
p = p
3
x3z
a2
(
3
ln
2
p
3
)
p p
p
z¡ 3a p
33z
p
p
+ 3arctg p
:
3
3
x
z+23a
2.236
1:
Z p
3
Z
z 2 dx
3p
dx
3
p
=
z2 + a
x
2
x3z
(see 2.235 ).
2.235
2:
Z p
3
p
Z
3
z 2 dx
z5
bp
2b
dx
3
2 +
p
=
¡
+
z
2
x
ax
a
3
x3z
(see 2.235 ).
2.235
3:
Z p
3
∙
¸
Z
z 2 dx
b
1
b2 p
b2
dx
3
5=3
2 ¡
p
=
¡
+
¡
z
z
3
2
2
2
x
2ax
6a x
6a
9a x 3 z
(see 2.235 ).
2.235
4:
Z
p
Z
3
dx
dx
z2
b
p
p
¡
=
¡
3
2
x z
ax
3a x 3 z
(see 2.235 ).
2.235
5:
Z
∙
¸
Z
p
1
dx
2b
2b2
dx
3
p
p
= ¡
+ 2
z+ 2
3
3
2
x z
2ax
3a x
9a
x3z
(see 2.235 ).
2.235
2.24 Forms containing
p
a + bx and the binomial ® + ¯x
Notation: z = a + bx,
t = ® + ¯x,
¢ = a¯ ¡ b®.
2.241
1:
Z
p
2
(2m ¡ 1)¢
z m tn dx
p
=
tn+1 z m¡1 z+
z
(2n + 2m + 1)¯
(2n + 2m + 1)¯
Z
z m¡1 tn dx
p
:
z
LA 176 (1)
92
2:
Z
• ¶ n¡k k k
• ¶
n
p
P
¯ P
tn z m dx
n ®
z k¡p ap
p k
p
= 2 z 2m+1
(
¡
1)
:
k+1
z
b
p 2k ¡ 2p + 2m + 1
p=0
k=0 k
2.242
1:
Z
p
´ 2p z
³z
2a z
t dx
p =
¡a
+¯
:
z
b
3
b2
2:
Z
• 2
¶ p
p
´ 2p z
³z
t2 dx
2®2 z
2
z
2 z
2
2
p =
¡a
¡ za + a
+ 2®¯
+¯
:
z
b
3
b2
5
3
b3
93
12:
Z
p
p
¶ p
• 2
³z
t3 z 3 dx
2®3 z 7
a ´ 2 z7
2za
a2 2 z 7
z
2
2
p
¡
¡
=
+3® ¯
+3®¯
+
+
z
7b
9
7
b2
11
9
7
b3
p
¶
• 3
3z 2 a
3za2
a3 2 z 7
z
+ ¯3
¡
+
¡
:
13
11
9
7
b4
2.243
1:
Z
Z
2
(2n ¡ 2m + 3)¯
tn+1 p
tn dx
tn dx
p
p ;
z
¡
=
zm z
(2m ¡ 1)¢ z m
(2m ¡ 1)¢
z m¡1 z
Z
2
tn p
2n¯
tn¡1 dx
p :
=¡
z
+
(2m ¡ 1)b z m
(2m ¡ 1)b z m¡1 z
LA 176 (2)
2:
Z
• ¶ n¡k k k
• ¶
n
P
¯ P
2
tn dx
n a
z k¡p ap
p k
p
p
(
¡
1)
=
:
m
k+1
z
z
b
p 2k ¡ 2p ¡ 2m + 1
z 2m¡1 k=0 k
p=0
Z
2¯(z + a)
2a
t dx
p =¡ p +
p
:
z z
b z
b2 z
2.244
1:
2:
3:
Z
Z
4®¯(z + a)
2®2
t2 dx
p =¡ p +
p
+
z z
b z
b2 z
t3 dx
2®3 6®2 ¯(z + a)
p =¡ p +
p
+
z z
b z
b2 z
2¯
2
6®¯
2
•
z2
¡ 2za ¡ a2
3
p
b3 z
•
¶
z2
¡ 2za ¡ a2
3
p
b3 z
¶
:
2¯
+
3
•
z3
¡ z 2 a + 3za2 + a3
5
p
b4 z
¶
:
4:
5:
Z
³
a´
2¯
z
¡
t dx
2a
p =¡ p ¡
p 3 :
z2 z
3b z 3
b2 z 3
¶
•
´
a2
2
2
a
Z 2
2¯ z + 2az ¡
4®¯ z ¡
t dx
2a2
3
3
p =¡ p ¡
p
p
+
:
3
2
3
3
3
z2 z
3b z
b z
b z
³
¶
•
a2
2
2
a´
6®¯
+
2za
¡
z
6® ¯ z ¡
t3 dx
2®3
3
p
p
p 3 +
p
=
¡
¡
+
2
3
2
3
3
3
z z
3b z³
b z
b z
´
3
3
2¯ 3 z3 ¡ 3z 2 a ¡ 3za2 + a3
p
+
:
b4 z 3
³
6:
Z
7:
Z
2®
t dx
p =¡ p ¡
3
z z
5b z 5
8:
Z
¶
•
2za
a2
a´
2
2
2¯
¡
+
z
¡
4®¯
2®2
t2 dx
3
5
3
5 ¡
p
p
p
p
=
¡
¡
:
3
5
2
5
3
5
z z
5b z
b z
b z
2
94
2¯
³z
a´
¡
3p 5 :
b2 z 5
³z
¶
•
´
2za
a2
2
2
a
Z 3
6®¯ z ¡
+
¡
6® ¯
2®3
t dx
3
5
3
5 ¡
p
p
p
p
=
¡
¡
+
3
z z
5b• z 5
b2 z 5
b3 z 5
¶
a3
2¯ 3 z 3 + 3z 2 a ¡ za2 +
5
p
+
:
4
5
b z
2
9:
³z
2.245
1:
Z
Z m¡1
z m¡1 p
dx
2
(2m ¡ 1)¢
z m dx
z
p
p ;
=
¡
z
¡
n
n¡1
n
t z
(2n ¡ 2m ¡ 1)¯ t
(2n ¡ 2m ¡ 1)¯
t z
Z
1
z m¡1 p
(2m ¡ 1)b
z m¡1
p dx;
=¡
z+
(n ¡ 1)¯ tn¡1
2(n ¡ 1)¯ tn¡1 z
Z
zm p
1
(2n ¡ 2m ¡ 3)b
z m dx
p :
=¡
z
¡
(n ¡ 1)¢ tn¡1
2(n ¡ 1)¢
tn¡1 z
2:
Z
½
p
z m dz
1
1
m
p
=
¡
z
z
+
n
n¡1
t z
(n ¡ 1)¢ t
¾
n¡1
P (2n ¡ 2m ¡ 3)(2n ¡ 2m ¡ 5) . . . (2n ¡ 2m ¡ 2k + 1)bk¡1 1
+
¡
2k¡1 (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)¢k
tn¡k
k=2
Z m
(2n ¡ 2m ¡ 3)(2n ¡ 2m ¡ 5) . . . (¡2m + 3)(¡2m + 1)bn¡1
z dx
p :
¡
2n¡1 ¢ (n ¡ 1)!¢n
t z
For n = 1
3:
Z
4:
Z
z m dx
2
zm
¢
p =
p +
t z
(2m ¡ 1)¯ z
¯
Z
z m¡1 dx
p
:
t z
m¡1
P
z m dx
¢k
z m¡k
¢m
p =2
p
+
k+1
t z
z
¯m
k=0 (2m ¡ 2k ¡ 1)¯
Z
dx
p :
t z
95
2.246
Z
p
p
1
¯ z ¡ ¯¢
dx
p = p
p
ln p
[¯¢ > 0];
t z
¯¢ ¯ z + ¯¢
p
2
¯ z
= p
arctg p
[¯¢ < 0];
¡¯¢
¡¯¢
p
2 z
=¡
[¢ = 0]:
bt
2.247
Z
m
P
2
¯ k¡1 z k
¯m
dx
p = m¡1 p +
+ m
m
k
tz
z
z
z
¢
k=1 ¢ (2m ¡ 2k + 1)
Z
dx
p
t z
(see 2.246 ):
2.246
2.248
1:
Z
2
¯
dx
p = p +
tz z
¢ z
¢
Z
dx
p
t z
(see 2.246 ):
2.246
2.246
3:
Z
dx
2
2¯
2¯ 2
¯3
p
p
p
p
=
+
+
+
tz 3 z
5¢z 2 z
3¢2 z z
¢3 z
¢3
Z
dx
p
t z
(see 2.246 ):
2.246
4:
Z
p
Z
dx
dx
z
b
p
p
¡
=¡
t2 z
¢t
2¢ t z
(see 2.246 ):
2.246
5:
Z
1
3b
3b¯
dx
p = ¡ p ¡ 2p ¡
2
t z z
¢t z
¢ z
2¢2
Z
dx
p
t z
(see 2.246 ):
2.246
6:
Z
1
5b
5b¯
5b¯ 2
dx
p =¡
p ¡ 2 p ¡ 3p ¡
2
2
2
t z z
¢tz z 3¢ z z ¢ z 2¢3
Z
dx
p
t z
(see 2.246 ):
2.246
7:
Z
7b
7b¯
7b¯ 2 7b¯ 3
1
dx
p
p
p
p
p ¡
¡
¡
¡
=
¡
t2 z 3 z
¢tz 2 z 5¢2 z 2 z 3¢3 z z ¢4 z 2¢4
Z
dx
p
t z
(see 2.246 ):
2.246
8:
Z
p
p
Z
z
3b z
3b2
dx
dx
p
p
=
¡
+
+
t3 z
2¢t2
4¢2 t
8¢2 t z
(see 2.246 ):
2.246
2.246
10:
Z
p
Z
dx
7b z
35b2
35b2 ¯ 35b2 ¯ 2
1
dx
p +
p +
p +
p
p =¡
p +
t3 z 2 z
2¢t2 z z 4¢2 tz z 12¢2 z z 4¢4 z
8¢4
t z
(see 2.246 ):
2.246
11:
Z
dx
9b
63b2
21b2 ¯
63b2 ¯ 2
1
p
p
p
p
p
p +
=
¡
+
+
+
+
t3 z 3 z
2¢t2 z 2 z 4¢2 tz 2 z 20¢3 z 2 z 4¢4 z z 4¢5 z
Z
63b2 ¯ 3
dx
p
+
(see 2.246 ):
5
8¢
t z
2.246
96
12:
Z
p
Z
2 z
¢
z dx
dx
p =
p
+
t z
¯
¯ t z
(see 2.246 ):
2.246
13:
Z
p
p
Z
2z z
2¢ z
¢2
z 2 dx
dx
p =
p
+
+ 2
2
t z
3¯
¯
¯
t z
(see 2.246 ):
2.246
14:
Z
p
p
p
Z
2z 2 z
2¢z z
2¢2 z
¢3
z 3 dx
dx
p =
p
+
+
+
t z
5¯
3¯ 2
¯3
¯3 t z
(see 2.246 ):
2.246
15:
Z
p
p
Z
b z
b
z z
z dx
dx
p
p =¡
+
+
2
t z
¢t
¯¢
2¯ t z
(see 2.246 ):
2.246
16:
Z
p
p
p
Z
z 2 dx
3b¢
bz z
3b z
z2 z
dx
p
p
=¡
+
+
+
t2 z
¢t
¯¢
¯2
2¯ 2 t z
(see 2.246 ):
2.246
17:
Z
p
p
p
p
Z
z 3 dx
z 3 z bz 2 z 5bz z 5b¢ z 5¢2 b
dx
p
p
=
¡
+
+
+
+
2
2
3
3
t z
¢t
¯¢
3¯
¯
2¯
t z
(see 2.246 ):
2.246
3
18 :
Z
p
p
p
Z
z z
bz z
b2 z
b2
z dx
dx
p
p
+
+
=¡
¡
t3 z
2¢t2
4¢2 t
4¯¢2
8¯¢ t z
(see 2.246 ):
2.246
19:
Z
p
p
p
p
Z
z 2 z bz 2 z b2 z z 3b2 z 3b2
z 2 dx
dx
p
p
+
+
=
¡
+
+
3
2
2
2
2
2
t z
2¢t
4¢ t
4¯¢
4¯ ¢ 8¯
t z
(see 2.246 ):
2.246
20:
Z
p
p
p
p
p
z3 z
3bz 3 z
3b2 z 2 z
5b2 z z
15b2 z
z 3 dx
p
=¡
+
+
+
+
+
t3 z
2¢t2
¢2 t
4¯¢2
4¯ 2 ¢
4¯ 3
Z
15b2 ¢
dx
p
+
(see 2.246 ):
8¯ 3
t z
2.246
2.249
1:
Z
p
Z
z
(2n + 2m ¡ 3)¯
dx
2
dx
p =
p ;
+
m
n
n¡1
m
n
m¡1
z t z
(2m ¡ 1)¢ t
z
(2m ¡ 1)¢
t z
z
p
Z
z
1
(2n + 2m ¡ 3)b
dx
p :
=¡
¡
(n ¡ 1)¢ z m tn¡1
2(n ¡ 1)¢
tn¡1 z m z
2:
Z
p ½
dx
z
1
¡1
p
=
+
z m tn z
z m (n ¡ 1)¢ tn¡1
¾
n¡1
P
(2n + 2m ¡ 3)(2n + 2m ¡ 5) . . . (2n + 2m ¡ 2k + 1)bk¡1
1
+
(¡1)k
¢
+
2k¡1 (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)¢k
tn¡k
k=2
n¡1 Z
dx
n¡1 (2n + 2m ¡ 3)(2n + 2m ¡ 5) . . . (¡2m + 3)(¡2m + 1)b
p :
+(¡1)
n¡1
n¡1
m
2
(n ¡ 1)!¢
tz
z
For n = 1
Z
dx
2
1
¯
p =
p +
m
m¡1
z t z
(2m ¡ 1)¢ z
z
¢
97
Z
dx
tz m¡1
p :
z
p
2.25 Forms containing a + bx + cx2
Integration techniques
2.251
p
R
It is possible to rationalize the integrand in integrals of the form R(x; a + bx + cx2 ) dx by using one or more of the following
three substitutions, known as the ``Euler substitutions''.
1)
p
2)
p
3)
a + bx + cx2 = xt §
p
a for a > 0;
p
a + bx + cx2 = t § x c for c > 0;
p
c(x ¡ x1 )(x ¡ x2 ) = t(x ¡ x1 ) when x1 and x2 are real roots of the equation a + bx + cx2 = 0:
2.252
p
R
Besides the Euler substitutions, there is also the following method of calculating integrals of the form R(x; a + bx + cx2 ) dx:
By removing the irrational expressions in the denominator and performing simple algebraic operations, we can reduce the integrand
P (x)
p1
, where P1 (x) and P2 (x) are both
P2 (x) a+bx+cx2
P1 (x)
polynomials. By separating the integral portion of the rational function
P2 (x) from the remainder and decomposing the latter into
to the sum of some rational function of x and an expression of the form
partial fractions, we can reduce the integral of these partial fractions to the sum of integrals each of which is in one of the following
three forms:
I.
II.
III.
I.
R
R
R
R
p
P (x) dx
p
a+bx+cx2
(x+p)k
, where P (x) is a polynomial of some degree r;
pdx
a+bx+cx2
;
(M x+N ) dx
p
(a+¯x+x2 )m c(a1 +b1 x+x2 )
P (x) dx
a+bx+cx2
¡
;
a1 = ac ;
p
R
= Q(x) a + bx + cx2 + ¸
p
b1 =
dx
a+bx+cx2
b
c
¢
.
, where Q(x) is a polynomial of degree (r ¡ 1). Its coefficients, and
also the number ¸, can be calculated by the method of undetermined coefficients from the identity
1
P (x) = Q0 (x)(a + bx + cx2 ) + Q(x)(b + 2cx) + ¸:
2
LI II 77
Integrals of the form
R
p
P (x) dx
a+bx+cx2
II. Integrals of the form
R
(where r ∙ 3) can also be calculated by use of formulas 2.26.
P (x) dx
p
(x+p)k a+bx+cx2
, where the degree n of the polynomial P (x) is
98
lower than k can, by means of the substitution t =
III. Integrals of the form
R
1
x+p ,
be reduced to an integral of the form
(M x+N) dx
p
(®+¯x+x2 )m c(a1 +b1 x+x2 )
R
p P (t) dt
a+¯t+°t2
. (See also 2.281).
can be calculated by the following procedure.
If b1 =
= ¯, by using the substitution
a1 ¡ ®
t¡1
x=
+
¯ ¡ b1
t+1
p
(a1 ¡ ®)2 ¡ (®b1 ¡ a1 ¯)(¯ ¡ b1 )
¯ ¡ b1
we can reduce this integral to an integral of the form
2m ¡ 1. The integral
R
P (t) dt
(t2 +p)m
p
t2 +q
R
P (t) dt
p
,
(t2 +p)m c(t2 +q)
where P (t) is a polynomial of degree no higher than
can be reduced to the sum of integrals of the forms
If b1 = ¯, we can reduce it to integrals of the form
R
P (t) dt
p
(t2 +p)m c(t2 +q)
R
t dt
p
(t2 +p)k t2 +q
and
by means of the substitution t = x +
b1
2
R
.
dtp
.
(t2 +p)k t2 +q
The integral
The integral
R
tp
dt
(t2 +p)k c(t2 +q)
R
(t2 +p)k
dt
p
c(t2 +q)
can be evaluated by means of the substitution t2 + q = u2 .
can be evaluated by means of the substitution p
t
t2 +q
= À (see also 2.283).
p
2.26 Forms containing a + bx + cx2 and integral powers of x
Notation:
R = a + bx + cx2 ,
¢ = 4ac ¡ b2
Simplified formulas for the case b = 0. See 2.27.
2.260
1:
Z
m
x
p
p
Z
m¡1
p
R2n+3
x
(2m + 2n + 1)b
R2n+1 dx =
¡
xm¡1 R2n+1 dx ¡
(m + 2n + 2)c
2(m + 2n + 2)c
Z
p
(m ¡ 1)a
¡
xm¡2 R2n+1 dx:
(m + 2n + 2)c
TI (192)a
FI II 78-82
99
2:
Z p
R2n+1 dx =
2cx + b p 2n+1
2n + 1 ¢
R
+
4(n + 1)c
8(n + 1) c
Z p
R2n¡1 dx:
TI (188)
3:
Z p
R2n+1
)
p (
• ¶
n¡1
P (2n + 1)(2n ¡ 1) . . . (2n ¡ 2k + 1) ¢ k+1 n¡k¡1
(2cx + b) R
n
dx =
R
R +
+
4(n + 1)c
8k+1 n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k)
c
k=0
• ¶n+1 Z
¢
dx
(2n + 1)!!
p :
+ n+1
8
(n + 1)! c
R
TI (190)
2.261
6
For n =-1
Z
p
1
dx
p = p ln(2 cR + 2cx + b)
[c > 0];
c
R
1
2cx + b
= p Arsh p
[c > 0; ¢ > 0];
c
¢
¡1
2cx + b
= p arcsin p
[c < 0; ¢ < 0];
¡c
¡¢
1
= p ln(2cx + b)
[c > 0; ¢ = 0]:
c
2.262
1:
Z p
p
Z
dx
(2cx + b) R
¢
p
+
R dx =
4c
8c
R
(see 2.261 ):
2.261
2:
Z
p
x R dx =
p
R3
(2cx + b)b p
b¢
¡
R¡
2
3c
8c
16c2
Z
dx
p
R
(see 2.261 ):
2.261
3:
Z
2
x
p
p
• 2
¶
¶p
5b
a (2cx + b) R
x
5b
3
R dx =
¡
R +
¡
+
4c 24c2
16c2
4c
4c
• 2
¶ Z
a ¢
5b
dx
p
+
¡
(see 2.261 ):
2
16c
4c 8c
R
•
2.261
4:
Z
3
x
p
•
7bx
7b2
x2
R dx =
¡
+
¡
5c
40c2
48c3
• 3
¶ Z
3ab ¢
7b
¡
¡
32c3
8c2 8c
2a
15c2
dx
p
R
¶p
•
R3 ¡
3ab
7b3
¡ 2
3
32c
8c
¶
p
(2cx + b) R
¡
4c
(see 2.261 ):
2.261
5:
Z p
R3
dx =
•
3¢
R
+
8c 64c2
¶
Z
p
3¢2
dx
p
(2cx + b) R +
2
128c
R
(see 2.261 ):
2.261
100
6:
Z
p
x R3 dx =
p
R5
¡(2cx+b)
5c
•
¶
Z
3¢b p
3¢2 b
b p 3
dx
p
R
+
R
¡
16c2
128c3
256c3
R
(see 2.261 ):
2.261
7:
Z
2
x
p
!
¶•
¶ Ãp 3
• 2
¶p
p
x
7b
7b
b
3¢
R
a
¡
2x +
+
R3 dx =
R5 +
¡
R +
6c
60c2
24c2
6c
c
8
64c
¶
• 2
Z
¢2
7b
dx
p
¡a
+
(see 2.261 ):
4c
256c3
R
•
2.261
8:
Z
3
x
p
R3
•
¶p
x2
3b2
3bx
2a
¡
dx =
+
¡
R5 ¡
7c
28c2
40c3
35c2
!
• 3
¶ Ãp 3
¶•
3b
R
3¢ p
ab
b
¡
¡ 2
+
R ¡
2x +
16c3
4c
c
8
64c
• 2
¶
Z
3b
3¢2 b
dx
p
¡
¡a
(see 2.261 ):
4
4c
512c
R
2.261
2.263
1:
Z
xm¡1
(2m ¡ 2n ¡ 1)b
xm dx
p
p
=
¡
2(m ¡ 2n)c
R2n+1
(m ¡ 2n)c R2n¡1
Z
xm¡1 dx (m ¡ 1)a
p
¡
R2n+1 (m ¡ 2n)c
Z
xm¡2 dx
p
:
R2n+1
TI (193)a
For m = 2n
2:
3:
Z
Z
x2n¡1
b
x2n dx
p
p
=¡
¡
2n+1
2n¡1
2c
R
(2n ¡ 1)c R
p
dx
R2n+1
Z
1
x2n¡1
p
dx +
2n+1
c
R
Z
x2n¡2
p
dx:
R2n¡1
TI (194)a
2(2cx + b)
8(n ¡ 1)c
p
=
+
2n¡1
(2n ¡ 1)¢
(2n ¡ 1)¢ R
Z
p
dx
R2n¡1
:
TI (189)
4:
Z
p
dx
R2n+1
2(2cx + b)
p
=
(2n ¡ 1)¢ R2n¡1
½
1+
n¡1
P
k=1
ck k
8k (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)
R
(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k ¡ 1) ¢k
[n ¸ 1].
¾
2.264
1:
Z
dx
p
R
(see 2.261 ):
2.261
2:
Z
x dx
p =
R
p
R
b
¡
c
2c
Z
dx
p
R
(see 2.261 ):
2.261
3:
Z
x2 dx
p
=
R
•
3b
x
¡ 2
2c 4c
¶
p
R+
•
a
3b2
¡
2
8c
2c
¶Z
dx
p
R
(see 2.261 ):
2.261
4:
Z
x3 dx
p
=
R
•
5bx
5b2
2a
x2
+
¡ 2
¡
3c
12c2
8c3
3c
¶
p
• 3
¶Z
3ab
5b
dx
p
R¡
¡ 2
16c3
4c
R
(see 2.261 ):
2.261
101
5:
Z
2(2cx + b)
dx
p
p
=
:
3
¢ R
R
6:
Z
2(2a + bx)
x dx
p
p
=¡
:
¢ R
R3
7:
Z
x2 dx
1
(¢ ¡ b2 )x ¡ 2ab
p
p
=¡
+
3
c
c¢ R
R
Z
dx
p
R
(see 2.261 ):
8:
Z
x3 dx
c¢x2 + b(10ac ¡ 3b2 )x + a(8ac ¡ 3b2 )
3b
p
p
¡ 2
=
2
3
2c
c ¢ R
R
Z
dx
p
R
(see 2.261 ):
2.261
2.265
Z p
p
Z p 2n+1
R2n+1
R2n+3
(2n ¡ 2m + 5)b
R
dx = ¡
+
dx +
m
m¡1
x
(m ¡ 1)ax
2(m ¡ 1)a
xm¡1
Z p 2n+1
(2n ¡ m + 4)c
R
+
dx:
(m ¡ 1)a
xm¡2
TI (195)
For m = 1
Z p
p
Z
Z p 2n¡1
b p 2n¡1
R2n+1
R2n+1
R
dx =
+
R
dx + a
dx:
x
2n + 1
2
x
TI (198)
For a = 0
Z p
p
Z p
(bx + cx2 )2n+1
2 (bx + cx2 )2n+3 2(m ¡ 2n ¡ 3)c
(bx + cx2 )2n+1
dx
=
+
:
xm
(2n ¡ 2m + 3)bxm (2n ¡ 2m + 3)b
xm¡1
For m = 0 see 2.260 2. and 2.260 3.
For n = ¡1 and m = 1:
2.2668
R
dx
p
x R
=
=
=
=
=
=
=
=
p
2a+bx+2 aR
x
2a+bx
p1 arcsin p
¡a
x b2 ¡4ac
2a+bx
p1 arctg p
p
¡a
2 ¡a R
1
2a+bx
¡ pa Arsh xp¢
p p
¡ p1a Arth 22a+bx
a R
1
x
p ln
a p 2a+bx
2
¡ 2 bx+cx
bx
³
´
p
¡ p1a Arch x2a+bx
¡¢
¡ p1a ln
[a > 0];
[a < 0;
¢ < 0];
[a < 0];
[a > 0;
¢ > 0];
[a > 0];
[a > 0;
¢ = 0];
[a = 0;
b=
= 0]:
[a > 0;
¢ < 0]
LA 169 (3)
2.267
1:
Z p
Z
Z
dx
dx
R dx p
b
p +
p
= R+a
x
2
x R
R
(see 2.261 and 2.266 ):
2.266
2.261
2:
Z p
p
Z
Z
dx
dx
b
R dx
R
p +c p
+
=¡
x2
x
2 x R
R
(see 2.261 and 2:266):
2.266
2.261
For a = 0
Z p
p
Z
bx + cx2
2 bx + cx2
dx
dx = ¡
+c p
2
x
x
bx + cx2
(see 2.261 ):
2.261
3:
Z p
R dx
=¡
x3
•
b
1
+
2
2x
4ax
¶
p
R¡
•
c
b2
¡
8a
2
¶Z
dx
p
x R
(see2:266):
2.266
For a = 0
Z p
2
bx + cx2
dx = ¡
3
x
p
(bx + cx2 )3
3bx3
2.266
2.261
5:
Z p
p
p
R3
R5
cx + b p 3 3
dx
=
¡
+
R
+
(2cx
+
3b)
R+
x2
ax
a
4
Z
Z
dx
dx
3
3(4ac + b2 )
p +
p
+ ab
(see 2.261 and 2.266 ):
2
8
x R
R
2.266
2.261
For a = 0
Z p
(bx + cx2 )3
=
x2
p
(bx + cx2 )3 3b p
3b2
+
bx + cx2 +
2x
4
8
Z
p
dx
bx + cx2
(see 2.261 ):
2.261
6:
Z p
¶p
b
bcx + 2ac + b2 p 3 3(bcx + 2ac + b2 ) p
1
5+
+
R
R +
R+
2ax2
4a2 x
4a2
4a
Z
Z
3
3
dx
dx
p + bc p
+ (4ac+b2 )
(see 2.261 and 2.266 ):
8
2
x R
R
R3
dx = ¡
x3
•
2.266
2.261
For a = 0
Z p
(bx + cx2 )3
dx =
x3
•
2b
c¡
x
¶p
bx +
cx2 +
3bc
2
Z
p
dx
bx + cx2
(see 2.261 ):
2.261
103
2.268
Z
1
dx
p
p
=¡
¡
xm R2n+1
(m ¡ 1)axm¡1 R2n¡1
Z
Z
dx
dx
(2n + 2m ¡ 3)b
(2n + m ¡ 2)c
p
p
¡
¡
:
m¡1
2n+1
m¡2
2(m ¡ 1)a
(m
¡
1)a
x
R
x
R2n+1
2.268
TI (196)
For m = 1
Z
dx
p
x R2n+1
1
b
p
=
¡
2n¡1
2a
(2n ¡ 1)a R
Z
p
dx
R2n+1
1
+
a
Z
dx
p
:
x R2n¡1
TI (199)
For a = 0
Z
xm
p
dx
(bx + cx2 )2n+1
=¡
2
p
¡
(2n + 2m ¡ 1)bxm (bx + cx2 )2n¡1
Z
(4n + 2m ¡ 2)c
dx
p
¡
(2n + 2m ¡ 1)b xm¡1 (bx + cx2 )2n+1
(cf. 2.265 )
2.265
2.269
1:
Z
dx
p
x R
(see 2.266 ):
2.266
2:
Z
p
Z
R
b
dx
dx
p
p =¡
¡
ax
2a x R
x2 R
(see 2.266 )
2.266
For a = 0
Z
3:
Z
dx
2
p
=
2
2
3
x bx + cx
dx
p =
x3 R
•
¡
•
1
2c
¡ 2 + 2
bx
b x
¶p
¶
•
1
3b
+ 2
2ax2
4a x
p
R+
bx + cx2 :
3b2
c
¡
8a2
2a
¶Z
dx
p
x R
(see 2.266 )
2.266
For a = 0
Z
4:
Z
x3
p
2
dx
=
5
bx + cx2
•
¡
4c
8c2
1
+ 2 2 ¡ 3
3
bx
3b x
3b x
2(bcx ¡ 2ac + b2 )
1
dx
p
p
=¡
+
a
a¢ R
x R3
Z
¶p
dx
p
x R
bx + cx2 :
(see 2.266 )
2.266
For a = 0
104
Z
5:
Z
2
dx
p
=
2
3
3
x (bx + cx )
•
¡
4c 8c2 x
1
+ 2 + 3
bx
b
b
¶
p
1
:
bx + cx2
Z
1
A
3b
dx
dx
2
2
p [(3b ¡ 8ac)cx + (3b ¡ 10ac)b] ¡ 2
p
p
= ¡p +
2
2
3
2a
R a ¢ R
x R
x R •
¶
1
b(10ac ¡ 3b2 )
c(8ac ¡ 3b2 )x
where A = ¡
¡
¡
:
(see 2.266).
ax
a2 ¢
a2 ¢
2.266
For a = 0
Z
6:
Z
dx
2
p
=
5
x2 (bx + cx2 )3
dx
p
=
x3 R3
•
•
1
2c
8c2
16c3 x
¡ 2 + 2 ¡ 3 ¡
bx
b x
b
b4
¶
p
1
:
bx + cx2
1
5b
15b4 ¡ 62acb2 + 24a2 c2
¡
¡
+
ax2
2a2 x
2a3 ¢
¶
Z
1
bc(15b2 ¡ 52ac)x
15b2 ¡ 12ac
dx
p
p
¡
+
3
3
2a ¢
8a
2 R
x R
¡
(see 2.266 ):
2.266
For a = 0
Z
2
p
=
7
x3 (bx + cx2 )3
dx
•
8c
16c2
64c3
128c4 x
1
+
¡ 3 + 2 2 ¡ 3 +
bx
5b x
5b x
5b4
5b5
¶
p
1
:
bx + cx2
p
2.27 Forms containing a + cx2 and integral powers of x
Notations: u = A + Cx2 .
p
1
I1 = p ln(x c + u)
c
r
1
c
= p arcsin x ¡
a
¡c
p
1
u¡ a
p
I2 = p ln
2 a u+ a
p
1
a¡u
= p ln p
2 a
a+u
r
1
c
= p arcsec x ¡
a
¡a
[c > 0];
[c < 0
and
[a > 0
and
[a > 0
and
a > 0]:
c > 0];
c < 0];
r
1
1
a
= p arccos
¡
x
c
¡a
2.271
1:
Z
u5 dx =
1 5
5
5
5 3
xu +
axu3 + a2 xu +
a I1 :
6
24
16
16
[a < 0
and
c > 0]:
DW
105
2:
3:
4:
5:
Z
u3 dx =
Z
u dx =
Z
dx
= I1 :
u
Z
1x
dx
=
u3
au
6:
Z
7:
Z
1 3 3
3
xu + axu + a2 I1 :
4
8
8
DW
1
1
xu + aI1 :
2
2
DW
DW
DW
dx
u2n+1
=
•
¶
P (¡1)k n ¡ 1 ck x2k+1
1 n¡1
:
an k=0 2k + 1
u2k+1
k
1
x dx
=¡
:
2n+1
u
(2n ¡ 1)cu2n¡1
DW
2.272
1:
Z
x2 u3 dx =
1 xu5
1 axu3
1 a2 xu
1 a3
¡
¡
¡
I1 :
6 c
24 c
16 c
16 c
DW
2:
Z
x2 u dx =
1 xu3
1 axu
1 a2
¡
¡
I1 :
4 c
8 c
8 c
3:
Z
x2
1 xu
1a
¡
dx =
I1 :
u
2 c
2c
DW
4:
Z
x2
1
x
dx = ¡ + I1 :
3
u
cu
c
DW
5:
Z
x2
1 x3
dx
=
:
u5
3 au3
DW
6:
Z
•
¶
P (¡1)k n ¡ 2 ck x2k+3
1 n¡2
x2 dx
= n¡1
:
u2n+1
a
u2k+3
k
k=0 2k + 3
7:
Z
1
a
x3 dx
=¡
+
:
2n+1
2
2n¡3
u
(2n ¡ 3)c u
(2n ¡ 1)c2 u2n¡1
DW
2.273
1:
Z
x4 u3 dx =
1 x3 u5
axu5
a2 xu3
3a3 xu
3a4
+
+
+
I1 :
¡
8 c
16c2
64c2
128c2
128c2
DW
2:
Z
x4 u dx =
1 x3 u3
a2 xu
a3
axu3
¡
+
+
I1 :
6 c
8c2
16c2
16c2
DW
106
3:
Z
1 x3 u
3 axu
3 a2
x4
¡
dx =
+
I1 :
2
u
4 c
8 c
8 c2
DW
DW
5:
Z
x4
1
1 x3
x
¡
dx
=
¡
+ 2 I1 :
u5
c2 u
3 cu3
c
DW
6:
Z
x4
1 x5
dx
=
:
u7
5 au5
DW
7:
Z
¶
•
P (¡1)k n ¡ 3 ck x2k+5
x4 dx
1 n¡3
= n¡2
:
k
u2n+1
a
u2k+5
k=0 2k + 5
8:
Z
1
2a
a2
x5 dx
=
¡
+
¡
:
u2n+1
(2n ¡ 5)c3 u2n¡5
(2n ¡ 3)cu2n¡3
(2n ¡ 1)c3 u2n¡1
DW
2.274
1:
Z
x6 u3 dx =
2:
Z
x6 u dx =
3:
Z
1 x5 u
5 a2 xu
5 ax3 u
5 a3
x6
¡
dx =
+
¡
I1 :
2
3
u
6 c
24 c
16 c
16 c3
1 x5 u5
ax3 u5
a2 xu5
a3 xu3
3a4 xu
3 a5
+
¡
¡
¡
I1 :
¡
2
3
3
3
10 c
16c
32c
128c
256c
256 c3
1 x5 u3
5 ax3 u3
5a2 xu3
5a3 xu
5 a4
¡
+
¡
¡
I1 :
8 c
48 c2
64c3
128c3
128 c3
DW
4:
Z
1 x5
5 ax3
15 a2 x
15 a2
x6
¡
¡
dx =
+
I1 :
3
2
3
u
4 cu
8c u
8 c u
8 c3
DW
DW
6:
Z
x6
1
23 x5
7 ax3
a2 x
dx
=
¡
¡
¡
+ 3 I1 :
u7
15 cu5
3 c2 u5
c3 u5
c
DW
7:
Z
x6
1 x7
dx
=
:
u9
7 au7
DW
8:
Z
¶
•
P (¡1)k n ¡ 4 ck x2k+7
x6 dx
1 n¡4
= n¡3
:
k
u2n+1
a
u2k+7
k=0 2k + 7
9:
Z
1
3a
3a2
a3
x7 dx
=
¡
+
¡
+
:
u2n+1
(2n ¡ 7)c4 u2n¡7 (2n ¡ 5)c4 u2n¡5 (2n ¡ 3)c4 u2n¡3 (2n ¡ 1)c4 u2n¡1
DW
107
2.275
1:
Z
u5
1
u5
dx =
+ au3 + a2 u + a3 I2
x
5
3
DW
2:
Z
u3
u3
dx =
+ au + a2 I2 :
x
3
DW
3:
4:
Z
u
dx = u + aI2 :
x
Z
dx
= I2 :
xu
DW
5:
Z
6:
Z
n¡1
P
dx
1
1
=
I
+
:
2
2n+1
n
n¡k u2k+1
xu
a
k=0 (2k + 1)a
u5
15
5
15
u5
dx
=
¡
+ cxu3 +
acxu + a2 I1 :
x2
x
4
8
8
DW
7:
Z
u3
3
3
u3
dx
=
¡
+ cxu + aI1 :
x2
x
2
2
DW
8:
9:
Z
u
u
dx = ¡ + cI1 :
2
x
x
Z
1
dx
= ¡ n+1
2
2n+1
x u
a
DW
½
n (¡1)k+1
P
u
+
x
k=1 2k ¡ 1
• ¶ ³ ´
¾
n k x 2k¡1
c
:
u
k
2.276
1:
Z
u5
5
5
5
u5
dx
=
¡
+ cu3 + acu + a2 cI2 :
3
2
x
2x
6
2
2
DW
2:
Z
3
3
u3
u3
dx
=
¡
+ cu + acI2 :
3
2
x
2x
2
2
DW
3:
4:
Z
c
u
u
dx = ¡ 2 + I2 :
x3
2x
2
Z
u
c
dx
=¡
¡
I2 :
3
2
x u
2ax
2a
DW
5:
6:
7:
Z
dx
3c
3c
1
¡ 2 ¡ 2 I2 :
=¡
x3 u3
2ax2 u
2a u
2a
Z
dx
5 c
1
5 c
5 c
¡
=¡
¡
¡
I2 :
3
5
2
3
2
3
3
x u
2ax u
6a u
2a u
2 a3
Z
u5
c2 xu
5
au3
2acu
dx
=
¡
¡
+
+ acI1 :
x4
3x3
x
2
2
DW
DW
DW
108
8:
Z
u3
cu
u3
dx
=
¡
¡
+ cI1 :
4
3
x
3x
x
DW
9:
Z
u3
u
dx
=
¡
:
x4
3ax3
DW
10:
Z
1
dx
= n+2
4
2n+1
x u
a
½
•
¶
¾
n+1
P (¡1)k n + 1 k ³ x ´2k¡3
cu
u3
c
¡ 3 + (n + 1) +
:
3x
x
u
k
k=2 2k ¡ 3
2.277
1:
Z
3 c2 u 3 2
u3
3 cu3
u3
dx
=
¡
¡
+
+ c I2 :
x5
4x4
8 ax2
8 a
8
DW
2:
Z
u
1 cu
1 c2
u
dx
=
¡
¡
¡
I2 :
x5
4x4
8 ax2
8 a
Z
3:
dx
3 cu
3 c2
u
=
¡
+
+
I2 :
x5 u
4ax4
8 a2 x2
8 a2
DW
Z
4:
dx
5 c
15 c2
15 c2
1
=
¡
+
+
+
I2 :
x5 u3
4ax4 u
8 a2 x2 u
8 a3 u
8 a3
DW
2.278
Z
1:
u3
u5
dx
=
¡
:
x6
5ax5
DW
Z
2:
u3
2 cu3
u
dx
=
¡
+
:
x6
5ax5
15 a2 x3
DW
Z
3:
1
dx
= 3
6
x u
a
•
2 cu3
c2 u
u5
¡
¡ 5 +
5x
3 x3
x
¶
:
DW
Z
4:
1
dx
= n+3
6
2n+1
x u
a
½
•
•
•
¶
¶
¶
¾
n+2
P (¡1)k n + 2 k ³ x ´2k¡5
1 n + 2 cu3
n + 2 c2 u
u5
¡
+
c
¡ 5 +
:
5x
3
x3
x
u
1
2
k
k=3 2k ¡ 5
p
2.28 Forms containing a + bx + cx2 and first- and second-degree
polynomials
Notation: R = A + Bx + Cx2
See also 2.252.
3
2.281
Z
dx
p
(x + p)n R
Z
=¡ p
tn¡1 dt
c + (b ¡ 2pc)t + (a ¡ bp + cp2 )t2
∙
¸
1
t=
>0 :
x+p
1:
3
Z p
Z
Z
Z
x dx
dx
dx
R dx
p
= c p +(b¡cp) p +(a¡bp+cp2 )
x+p
R
R
(x + p) R
[x+p > 0]:
109
Z
2:
Z
3:
Z
1
R dx
=
(x + p)(x + q)
q¡p
4:
Z
p
Z p
Z p
R dx
(x + p) R dx
=
R dx + (p ¡ q)
:
x+q
x+q
5:
Z
s ¡ pr
(rx + s) dx
p =
q¡p
(x + p)(x + q) R
dx
1
p =
q
¡
p
(x + p)(x + q) R
p
dx
1
p +
p
¡
q
(x + p) R
Z p
1
R dx
+
x+p
p¡q
Z
Z
dx
p :
(x + q) R
Z p
R dx
:
x+q
s ¡ qr
p +
p¡q
(x + p) R
dx
Z
dx
p :
(x + q) R
2.283
Z
A
(Ax + B) dx
p =
n
c
(p + R) R
where u =
p
R and À =
Z
2Bc ¡ Ab
du
+
2
n
(p + u )
2c
Z
∙
(1 ¡ cÀ 2 )n¡1 dÀ
¸n ;
b2
2
¡ cpÀ
p+a¡
4c
b+2cx
p .
2c R
2.284
Z
A
2Bc ¡ Ab
Ax + B
p dx = I1 + p
I2 ;
2
c
(p + R) R
c p[b2 ¡ 4(a + p)c]
where
1
I1 = p arctg
p
s
R
p
[p > 0];
p
p
1
¡p ¡ R
p
= p
ln p
2 ¡p
¡p + R
[p < 0]:
r
p
b + 2cx
p
[pfb2 ¡ 4(a + p)cg > 0; p < 0];
¡ 4(a + p)c
R
r
p
b + 2cx
p
= ¡arctg
[pfb2 ¡ 4(a + p)cg > 0; p > 0];
2
b ¡ 4(a + p)c
R
p
p
p
4(a + p)c ¡ b2 R + p(b + 2cx)
1
p
=
ln p
[pfb2 ¡ 4(a + p)cg < 0; p > 0];
p
2i
4(a + p)c ¡ b2 R ¡ p(b + 2cx)
p
p
p
b2 ¡ 4(a + p)c R ¡ ¡p(b + 2cx)
1
p
=
ln p
[pfb2 ¡ 4(a + p)cg < 0; p < 0]:
p
2i
b2 ¡ 4(a + p)c R + ¡p(b + 2cx)
I2 = arctg
b2
2.29 Integrals that can be reduced to elliptic or pseudo-elliptic integrals
2.290
Integrals of the form
R
R(x;
p
P (x)) dx , where P (x) is a third- or fourth-degree polynomial can, by means of algebraic
transformations, be reduced to a sum of integrals expressed in terms of elementary functions and elliptic integrals (see 8.11). Since
the substitutions that transform the given integral into an elliptic integral in the normal Legendre form are different for different
intervals of integration, the corresponding formulas are given in the chapter on definite integrals (see 3.13-3.17).
110
2.291
R
p
P (x)) dx , where k ¸ 2 and Pn (x) is a polynomial of not more than fourth degree, can be
p
R
reduced to integrals of the form R(x; k Pn (x)) dx . Below are examples of this procedure.
Certain integrals of the form
2
R(x;
1:
Z
Z
dx
dz
p
=¡ p
6
1¡x
3 + 3z 2 + z 4
2:
Z
p
3:
Z
1
dx
=
2
a + bx2 + cx4 + dx6
2
3 §1=3
(a + 2bx + cx + gx )
4a + 2bx + cx2 = z 3 ;
A=g
Ã
¡b +
Z
p
∙
dz
az + bz 2 + cz 3 + dz 4
3
dx =
2
p
¸
1
x =
:
1 + z2
2
Z
[x2 = z]:
1
z 2 A§ 3 dz
B
b2 + (z 3 ¡ a)c
c
!3
+ z3;
B=
p
3
b2 + (z 3 ¡ a) c 5
4:
Z
dx
p
=
a + bxZ+
+ dx3 + cx4 +Z bx5 + ax6
dx
dz
1
1
p
p
¡p
= ¡p
2
2
(z + 1)p
(z ¡ 1)p
Z
Z
d
dz
1
1
p
p
= ¡p
+p
2
2
(z + 1)p
(z ¡ 1)p
cx2
[x = z +
[x = z ¡
p
p
z 2 ¡ 1];
z 2 ¡ 1];
where
p = 2a(4z 3 ¡ 3z) + 2b(2z 2 ¡ 1) + 2cz + d:
5:
Z
p
dx
a+
bx2
+
cx4
+
bx6
+
ax8
Z
dy
p
[x = y];
p p
2
3
4
y a + by + cy + by + ay
Z
Z
p
1
1
dz
dz
p
p
=¡ p
+ p
[y = z+ z 2 ¡ 1];
2 2
(z + 1)p 2 2
(z ¡ 1)p
Z
Z
p
1
1
dz
dz
p
p
= p
¡ p
[y = z ¡ z 2 ¡ 1];
2 2
(z + 1)p 2 2
(z ¡ 1)p
1
=
2
where p = 2a(2z 2 ¡ 1) + 2bz + c:
6:
Z
p
r Z
r
¸
∙
a
ap
dt
8
pp
t ;
x= 8
c
c
t a + b1 t2 + at4
)
r (Z
Z
p
1 8 a
dz
dz
p
=¡ p
¡ p
[t = z+ z 2 ¡ 1];
2 2 c
(z + 1)p
(z ¡ 1)p
)
r (Z
Z
p
1 8 a
dz
dz
p
=¡ p
+ p
[t = z ¡ z 2 ¡ 1];
2 2 c
(z + 1)p
(z ¡ 1)p
1
dx
=
4
8
2
a + bx + cx
111
where p = 2a(2z 2 ¡ 1) + b1 ; b1 = b
7:
Z
8:
Z
x dx
p
=2
4
a + bx2 + cx4
p
4
dx
a + 2bx2 + cx4
=
Z
Z
pa
p
c:
z 2 dz
A + Bz 4
p
[a+bx2 +cx4 = z 4 ;
A = b2 ¡4ac;
Z
R1 (z 4 )z 2 dz+
b2 ¡ a(c ¡ z 4 ) + b
p
z 2 dz =
4
2
4
(c ¡ z ) b ¡ a(c ¡ z )
Z
B = 4c]:
R2 (z 4 )z 2 dz
p
;
b2 ¡ a(c ¡ z 4 )
where R1 (z 4 ) and R2 (z 4 ) are rational functions of z 4 ; a + 2bx2 + cx4 = x4 z 4 .
2.292
p
R
In certain cases, integrals of the form R(x; P (x)) dx; where P (x) is a third- or fourth-degree polynomial, can be expressed in
terms of elementary functions. Such integrals are called pseudo-elliptic integrals.
Thus, if the relations
f1 (x) = ¡f1
•
1
k2x
¶
;
f2 (x) = ¡f2
•
1 ¡ k2 x
k 2 (1 ¡ x)
¶
;
f3 (x) = ¡f3
•
1¡x
1 ¡ k2x
¶
hold, then
1:
Z
2:
Z
3:
Z
p
p
p
f1 (x) dx
x(1 ¡ x)(1 ¡ k2 x)
f2 (x) dx
x(1 ¡ x)(1 ¡ k2 x)
f3 (x) dx
x(1 ¡ x)(1 ¡ k2 x)
=
Z
=
Z
=
Z
R1 (z) dz
[zx =
p
R2 (z) dz
"
p
x(1 ¡ k 2 x)
p
1¡x
R3 (z) dz
"
p
#
z=
x(1 ¡ x)(1 ¡ k 2 x) ];
x(1 ¡ x)
z= p
1 ¡ k2 x
#
;
;
where R1 (z), R2 (z); and R3 (z) are rational functions of z.
2.3 The Exponential Function
2.31 Forms containing eax
2.311
;
2.312
ax in the integrands should be replaced with ex ln a = ax .
112
2.313
1:
2:
Z
dx
1
[mx ¡ ln(a + bemx )]:
=
mx
a + be
am
Z
dx
ex
=
ln
= x ¡ ln(1 + ex ):
1 + ex
1 + ex
PE (410)
PE (409)
2.314
Z
r ¶
•
1
a
dx
mx
p
=
[ab > 0];
arctg
e
aemx + be¡mx
b
m ab
p
1
b + emx ¡ab
p
p
=
ln
[ab < 0]:
2m ¡ab
b ¡ emx ¡ab
PE (411)
2.315
Z
p
p
1
a + bemx ¡ a
dx
p
[a > 0];
= p ln p
p
m a
a + bemx
a + bemx + a
p
2
a + bemx
p
= p
arctg
[a < 0]:
m ¡a
¡a
2.32 The exponential combined with rational functions of x
2.321
1:
Z
2:
Z
m ax
x e
n ax
x e
xm eax
m
¡
dx =
a
a
ax
dx = e
•
Z
xm¡1 eax dx:
n
P
n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k + 1) n¡k
xn
+
(¡1)k
x
a
ak+1
k=1
¶
:
2.322
1:
Z
2:
Z
3:
Z
x e
4¤ :
Z
xeax dx = eax
•
1
x
¡ 2
a
a
¶
:
ax
•
2
2x
x2
¡ 2 + 3
a
a
a
ax
•
6x
3x2
6
x3
¡ 2 + 3 ¡ 4
a
a
a
a
x4 eax dx = eax
•
4x3
12x2
24x
24
x4
¡ 2 + 3 ¡ 4 + 5
a
a
a
a
a
2 ax
x e
3 ax
dx = e
dx = e
¶
:
¶
:
¶
:
2.323
Z
Pm (x)eax dx =
m
eax P
P (k) (x)
(¡1)k
;
a k=0
ak
where Pm (x) is a polynomial in x of degree m and P (k) (x) is the k-th derivative of Pm (x) with respect to x.
113
2.324
1:
Z
2:
Z
∙
Z ax ¸
1
eax
eax dx
e dx
=
¡ m¡1 + a
:
m
x
m¡1
x
xm¡1
n¡1
ak¡1
an¡1
eax
ax P
dx
=
¡
e
+
Ei(ax):
n¡k
xn
(n ¡ 1)!
k=1 (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)x
2.325
1:
Z
eax
dx = Ei(ax):
x
2.326
Z
eax
xeax dx
:
= 2
2
(1 + ax)
a (1 + ax)
2.338
Z
¡(ax2 +2bx+c)
e
1
dx =
2
r
¼
exp
a
•
b2 ¡ ac
a
¶
erf
•
p
b
ax + p
a
¶
[a=
= 0]
2.4 Hyperbolic Functions
2.41-2.43 Powers of sh x, ch x, th x and cth x
2.411
Z
shp x chq x dx =
Z
shp+1 x chq¡1 x
q¡1
=
+
shp x chq¡2 x dx;
p+q
p+q
Z
p¡1
shp¡1 x chq+1 x
=
¡
shp¡2 x chq x dx;
p+q
p+q
Z
shp¡1 x chq+1 x
p¡1
=
¡
shp¡2 x chq+2 x dx;
q+1
q+1
Z
shp+1 x chq¡1 x
q¡1
=
¡
shp+2 x chq¡2 x dx;
p+1
p+1
Z
shp+1 x chq+1 x p + q + 2
¡
=
shp+2 x chq x dx;
p+1
p+1
Z
shp+1 x chq+1 x p + q + 2
=¡
+
shp x chq+2 x dx:
q+1
q+1
114
2.412
1:
Z
½
shp+1 x
sh x ch x dx =
ch2n¡1 x +
2n + p
¾
n¡1
P
(2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1)
2n¡2k¡1
+
ch
x +
k=1 (2n + p ¡ 2)(2n + p ¡ 4) . . . (2n + p ¡ 2k)
Z
(2n ¡ 1)!!
+
shp x dx:
(2n + p)(2n + p ¡ 2) . . . (p + 2)
p
2n
¡2 ¡4 . . . ¡2n
p
p
number and n = 0, we have
2:
Z
sh
2m
4:
x dx = (¡1)
Z
3:
Z
m
p
•
¶
• ¶
P
1 m¡1
2m x
k 2m sh(2m ¡ 2k)x
:
+ 2m¡1
(¡1)
2
2m ¡ 2k
m 22m
k
k=0
sh2m+1 x dx =
sh x ch
2n+1
¶
2m + 1 ch(2m ¡ 2k + 1)x
;
22m k=0
2m ¡ 2k + 1
k
• ¶ 2k+1
m
x
n P
k m ch
= (¡1)
:
(¡1)
k 2k + 1
k=0
1
m
P
(¡1)k
shp+1 x
x dx =
2n + p + 1
(
TI (543)
•
2n
ch x +
n
P
k=1
2k n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k + 1)ch2n¡2k x
(2n + p ¡ 1)(2n + p ¡ 3) . . . (2n + p ¡ 2k + 1)
GU ((351)) (5)
TI (544)
)
:
This formula is applicable for arbitrary real p except for the following negative odd integers: ¡1, ¡3, . . . , ¡(2n + 1) .
2.413
1:
Z
½
chp+1 x
ch x sh x dx =
sh2n¡1 x +
2n + p
¾
n¡1
P
(2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1) sh2n¡2k¡1 x
+
(¡1)k
+
(2n + p ¡ 2)(2n + p ¡ 4) . . . (2n + p ¡ 2k)
k=1
Z
(2n ¡ 1)!!
+ (¡1)n
chp x dx:
(2n + p)(2n + p ¡ 2) . . . (p + 2)
p
2n
This formula is applicable for arbitrary real p except for the following negative even integers: ¡2, ¡4, . . . , ¡2n. If p is a natural
number and n = 0, we have
2:
Z
ch
2m
x dx =
3:
Z
ch
•
¶
• ¶
P 2m sh(2m ¡ 2k)x
1 m¡1
2m x
+ 2m¡1
:
2
2m ¡ 2k
m 22m
k
k=0
2m+1
1
m
P
•
x dx = 2m
2 k=0
• ¶ 2k+1
m
P m sh
x
=
:
2k
+
1
k
k=0
¶
2m + 1 sh(2m ¡ 2k + 1)x
;
2m ¡ 2k + 1
k
TI (541)
115
4:
Z
p
ch x sh
2n+1
½
chp+1 x
sh2n x +
x dx =
2n + p + 1
¾
n
P
2k n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k + 1)sh2n¡2k x
k
(¡1)
:
+
(2n + p ¡ 1)(2n + p ¡ 3) . . . (2n + p ¡ 2k + 1)
k=1
This formula is applicable for arbitrary real p except for the following negative odd integers: ¡1, ¡3, . . . , ¡(2n + 1) .
2.414
1:
Z
sh ax dx =
2:
Z
sh2 ax dx =
3:
Z
1
1
3
sh3 x dx = ¡ ch x +
ch 3x = ch3 x ¡ ch x:
4
12
3
4:
Z
sh4 x dx =
5:
Z
sh5 x dx =
6:
Z
sh6 x dx = ¡
7:
Z
sh7 x dx = ¡
1
ch ax:
a
x
1
sh 2ax ¡ :
4a
2
3
1
1
3
3
1
x ¡ sh 2x +
sh 4x = x ¡ sh x ch x + sh3 x ch x:
8
4
32
8
8
4
5
ch x ¡
8
4
= ch x +
5
1
5
ch 3x +
ch 5x;
48
80
1 4
4
sh x ch x ¡
ch3 x:
5
15
5
x+
16
5
= ¡ x+
16
15
1
3
sh 2x ¡
sh 4x +
sh 6x;
64
64
192
1 5
5
5
sh x ch x ¡
sh3 x ch x +
sh x ch x:
6
24
16
7
1
7
35
ch x +
ch 3x ¡
ch 5x +
ch 7x;
64
64
320
448
8
1
24
6
= ¡ ch x + ch3 x ¡ ch x sh4 x + ch x sh6 x:
35
35
35
7
8:
Z
ch ax dx =
1
sh ax:
a
9:
Z
ch2 ax dx =
x
1
+
sh 2ax:
2
4a
10:
Z
ch3 x dx =
3
1
1
sh x +
sh 3x = sh x + sh3 x:
4
12
3
11:
Z
ch4 x dx =
3
1
1
3
3
1
x + sh 2x +
sh 4x = x + sh x ch x + sh x ch3 x:
8
4
32
8
8
4
12:
Z
ch5 x dx =
13:
Z
ch6 x dx =
14:
Z
ch7 x dx =
1:
Z
sh ax ch bx dx =
ch(a + b)x
ch(a ¡ b)x
+
:
2(a + b)
2(a ¡ b)
2:
Z
sh ax ch ax dx =
1
ch 2ax:
4a
5
1
5
sh x +
sh 3x + sh 5x;
8
48
80
4
1 4
4 3
= sh x + ch x sh x +
sh x:
5
5
15
116
15
3
1
5
x+
sh 2x +
sh 4x +
sh 6x;
16
64
64
192
5
5
5
1
=
x + sh x ch x +
sh x ch3 x + sh x ch5 x:
16
16
24
6
35
7
sh x +
sh 3x +
64
64
24
8 3
=
sh x +
sh x +
35
35
7
1
sh 5x +
sh 7x;
320
448
6
1
sh x ch4 x + sh x ch6 x:
35
7
2.415
3:
Z
sh2 x ch x dx =
1 3
sh x:
3
4:
Z
sh3 x ch x dx =
1 4
sh x:
4
5:
Z
sh4 x ch x dx =
1 5
sh x:
5
6:
Z
sh x ch2 x dx =
1 3
ch x:
3
7:
Z
sh2 x ch2 x dx = ¡
1
x
+
sh 4x:
8
32
8:
Z
1
sh x ch x dx =
5
•
9:
Z
sh4 x ch2 x dx =
10:
Z
sh x ch3 x dx =
11:
Z
1
sh x ch x dx =
5
12:
Z
sh3 x ch3 x dx = ¡
3
2
2
2
sh x ¡
3
2
¶
ch3 x:
1
1
1
x
¡ sh 2x ¡ sh 4x +
sh 6x:
16
64
64
192
1 4
ch x:
4
3
•
2
ch x +
3
2
¶
sh3 x:
1
1 3
3
1
ch 2x +
ch 6x =
ch 2x ¡ ch 2x;
64
192
48
16
sh6 x sh4 x
ch6 x ch4 x
=
¡
+
=
:
6
4
6
4
117
14:
Z
sh x ch4 x dx =
15:
Z
sh2 x ch4 x dx = ¡
16:
Z
•
¶
•
¶
1 3
3 2
1
2
2
4
2
sh x ch x dx = ch x sh x + sh x ¡
=
sh x ¡
ch5 x:
7
5
5
7
5
17:
Z
sh4 x ch4 x dx =
3
1 5
ch x:
5
1
1
1
x
¡ sh 2x + sh 4x +
sh 6x:
16
64
64
192
4
3x
1
1
¡
sh 4x +
sh 8x:
128
128
1024
2.416
1:
Z
½
shp+1
shp x
sech 2n¡1 x +
dx
=
2n ¡ 1
ch2n x
¾
n¡1
P (2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (2n ¡ p ¡ 2k)
+
sech 2n¡2k¡1 x +
(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k ¡ 1)
k=1
Z
(2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (¡p + 2)(¡p)
+
shp x dx:
(2n ¡ 1)!!
R
This formula is applicable for arbitrary real p. For shp x dx, where p is a natural number, see 2.412 2. and 2.412 3. For n = 0 and
p a negative integer, we have for this integral:
2:
Z
½
ch x
dx
=
¡cosech 2m¡1 x +
2m ¡ 1
sh2m x
¾
m¡1
P
2k (m ¡ 1)(m ¡ 2) . . . (m ¡ k)
2m¡2k¡1
k¡1
+
(¡1)
¢
cosech
x :
(2m ¡ 3)(2m ¡ 5) . . . (2m ¡ 2k ¡ 1)
k=1
3:
Z
½
ch x
=
¡cosech 2m x +
2m
sh2m+1 x
¾
m¡1
P
2m¡2k
k¡1 (2m ¡ 1)(2m ¡ 3) . . . (2m ¡ 2k + 1)
(¡1)
¢
cosech
x +
+
2k (m ¡ 1)(m ¡ 2) . . . (m ¡ k)
k=1
(2m ¡ 1)!!
x
+ (¡1)m
ln th :
(2m)!!
2
dx
1:
Z
½
shp x
shp+1 x
sech 2n x +
2n+1 dx =
2n
ch
x
¾
n¡1
P (2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (2n ¡ p ¡ 2k + 1)
2n¡2k
sech
x +
+
2k (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)
k=1
Z
shp x
(2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (3 ¡ p)(1 ¡ p)
dx:
+
2n n!
ch x
118
This formula is applicable for arbitrary real p. For n = 0 and p integral, we have
2:
Z
3:
Z
4:
Z
5:
Z
m (¡1)m+k
P
sh2m+1 x
dx =
sh2k x + (¡1)m ln ch x;
ch x
2k
k=1
• ¶
m (¡1)m+k m
P
ch2k x + (¡1)m ln ch x
=
k
2k
k=1
m (¡1)m+k
P
sh2m x
dx =
sh2k¡1 x + (¡1)m arctg(sh x)
ch x
k=1 2k ¡ 1
[m ¸ 1]:
[m ¸ 1]:
m (¡1)k cosech 2m¡2k+2 x
P
dx
=
+ (¡1)m ln th x:
2m ¡ 2k + 2
sh2m+1 x ch x
k=1
m (¡1)k cosech 2m¡2k+2 x
P
dx
=
+ (¡1)m arctg sh x:
2m
¡
2k
+
1
sh2m x ch x
k=1
2.418
1:
Z
½
chp+1 x
chp x
dx
=
¡
cosech 2n¡1 x +
2n ¡ 1
sh2n x
¾
n¡1
P (¡1)k (2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (2n ¡ p ¡ 2k)
+
cosech 2n¡2k¡1 x +
(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k ¡ 1)
k=1
Z
n
(¡1) (2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (¡p + 2)(¡p)
+
chp x dx:
(2n ¡ 1)!!
R
p
2:
3:
Z
dx
sh x
2m = 2m ¡ 1
ch x
½
sech
2m¡1
x+
m¡1
P
k=1
chp x dx
p
¾
2k (m ¡ 1)(m ¡ 2) . . . (m ¡ k)
2m¡2k¡1
sech
x :
(2m ¡ 3)(2m ¡ 5) . . . (2m ¡ 2k ¡ 1)
Z
½
¾
m¡1
P (2m ¡ 1)(2m ¡ 3) . . . (2m ¡ 2k + 1)
sh x
2m
2m¡2k
=
sech x +
sech
x +
2m
2k (m ¡ 1)(m ¡ 2) . . . (m ¡ k)
ch2m+1 x
k=1
(2m ¡ 1)!!
arctg sh x:
+
(2m)!!
Z
½
chp x
chp+1 x
cosech 2n x +
2n+1 dx = ¡
2n
sh
x
¾
n¡1
P (¡1)k (2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (2n ¡ p ¡ 2k + 1)
2n¡2k
+
cosech
x +
2k (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)
k=1
Z
(¡1)n (2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (3 ¡ p)(1 ¡ p)
chp x
+
dx:
2n n!
sh x
dx
2.419
1:
119
This formula is applicable for arbitrary real p. For n = 0 and p an integer
2:
Z
3:
Z
4:
Z
m ch2k¡1 x
P
x
ch2m x
dx =
+ ln th :
sh x
2k
¡
1
2
k=1
m ch 2k x
P
ch2m+1 x
dx =
+ ln sh x;
sh x
2k
k=1
• ¶ 2k
m
P
m sh x
=
+ ln sh x:
2k
k
k=1
m sech 2m¡2k+1 x
P
x
dx
=
+ ln th :
2m
¡
2k
+
1
2
sh x ch2m x
k=1
p
2.421
1:
2:
Z
sh2n+1 x
dx =
chm x
Z
ch2n+1 x
dx =
shm x
n
P
n+k
k=0
m¡1
k=
=
2
(¡1)
n
P
k=0
k=
=
m¡1
2
• ¶ 2k¡m+1
•
¶
1
n
x
n ch
n+ m¡
2
+s(¡1)
ln ch x:
m¡1
k 2k ¡ 1 + 1
2
•
• ¶ 2k¡m+1
¶
n
x
n sh
+ s m¡1 ln sh x:
k 2k ¡ m + 1
2
[In formulas 2.421 1. and 2.421 2., s = 1 for m odd and m < 2n + 1 ; in all other cases, s = 0:]
2.422
1:
2:
Z
Z
dx
=
sh2m x ch2n x
m+n¡1
P
k=0
•
¶
(¡1)k+1
m+n¡1
th2k¡2m+1 x:
2m ¡ 2k ¡ 1
k
GI ((351))(11, 13)
•
¶
•
¶
m+n
P (¡1)k+1 m + n
dx
2k¡2m
m m+n
x+(¡1)
=
th
ln th x:
k
m
k=0 2m ¡ 2k
sh2m+1 x ch2n+1 x
k=
=m
GI ((351))(15)
2.423
1:
Z
x
1 ch x ¡ 1
dx
= ln th = ln
:
sh x
2
2 ch x + 1
2:
Z
dx
= ¡cth x:
sh2 x
3:
Z
1
x
ch x
dx
3 =¡
2 ¡ 2 ln th 2 :
sh x
2 sh x
120
4:
Z
dx
2
ch x
1
3
4 =¡
3 + 3 cthx = ¡ 3 cth x + cth x:
sh x
3 sh x
5:
Z
dx
3 ch x
3
x
ch x
5 =¡
4 + 8
2 + 8 ln th 2 :
sh x
4 sh x
sh x
6:
Z
7:
Z
dx
ch x
7 =¡
sh x
6 sh2 x
8:
Z
3
1
dx
3
5
7
8 = cth x ¡ cth x + 5 cth x ¡ 7 cth x:
sh x
9:
Z
10:
Z
dx
= th x:
ch2 x
11:
Z
sh x
1
dx
3 =
2 + 2 arctg(sh x):
ch x
2 ch x
12:
Z
13:
Z
dx
4
ch x
4
=¡
+ cth 3 x ¡ cth x;
15
5
sh6 x
5 sh5 x
2
1
= ¡ cth 5 x + cth 3 x ¡ cth x:
5
3
•
1
5
15
4 ¡
2 + 8
sh x 4 sh x
¶
dx
= arctg(sh x) = 2 arctg(ex );
ch x
= arcsin(th x);
= gd x:
sh x
2
dx
4 =
3 + 3 th x;
ch x
3ch x
1
= ¡ th3 x + th x:
3
dx
sh x
3 sh x
3
5 =
4 + 8
2 + 8 arctg(sh x):
ch x
4 ch x
ch x
¡
5
x
ln th :
16
2
14:
Z
15:6
Z
16:
Z
dx
3 5
1 7
3
8 = ¡ 7 th x + 5 th x ¡ th x + th x:
ch x
17:
Z
sh x
dx = ln ch x:
ch x
18:
Z
sh2 x
dx = sh x ¡ arctg(sh x):
ch x
19:
Z
1
sh3 x
dx = sh2 x ¡ ln ch x;
ch x
2
1
= ch2 x ¡ ln ch x:
2
20:
Z
1
sh4 x
dx = sh3 x ¡ sh x + arctg(sh x):
ch x
3
21:
Z
1
sh x
2 dx = ¡ ch x :
ch x
22:
Z
sh2 x
dx = x ¡ th x:
ch2 x
dx
sh x
4
4
¡ th3 x + th x;
=
15
5
ch6 x
5 ch5 x
1 5
2 3
= th x ¡ th x + th x:
5
3
sh x
dx
7 =
ch x
6 ch2 x
•
1
5
15
4 +
2 + 8
ch x 4ch x
¶
121
+
5
arctg(sh x):
16
122
33:
Z
ch x
dx = ln sh x:
sh x
34:
Z
x
ch2 x
dx = ch x + ln th :
sh x
2
35:
Z
1
ch3 x
dx = ch2 x + ln sh x:
sh x
2
36:
Z
1
x
ch4 x
dx = ch3 x + ch x + ln th :
sh x
3
2
37:
Z
1
ch x
dx = ¡
:
sh x
sh2 x
38:
Z
ch2 x
dx = x ¡ cth x:
sh2 x
39:
Z
1
ch3 x
2 dx = sh x ¡ sh x :
sh x
40:
Z
ch4 x
3
1
dx = x + sh 2x ¡ cth x:
2
4
sh2 x
41:
Z
42:
Z
ch2 x
x
ch x
3 dx = ¡
2 + ln th 2 :
sh x
2 sh x
43:
Z
ch3 x
1
dx = ¡
+ ln sh x;
3
sh x
2sh2 x
1
= ¡ cth 2 x + ln sh x:
2
44:
Z
x
ch x
3
ch4 x
dx = ¡
+ ch x + ln th :
2
2
sh3 x
2 sh2 x
45:
Z
1
ch x
:
4 dx = ¡
sh x
3 sh3 x
46:
Z
1
ch2 x
3
4 dx = ¡ 3 cth x:
sh x
47:
Z
1
1
ch3 x
:
4 dx = ¡ sh x ¡
sh x
3 sh3 x
48:
Z
1
ch4 x
dx = ¡ cth 3 x ¡ cth x + x:
4
3
sh x
49:
Z
dx
= ln th x:
sh xch x
ch x
1
dx = ¡
;
3
sh x
2 sh2 x
1
= ¡ cth 2 x:
2
123
50:
Z
51:
Z
52:
Z
dx
1
x
1
4 = ch x +
3 + ln th 2 :
sh x ch x
3 ch x
53:
Z
dx
1
¡ arctg sh x:
=¡
sh x
sh x ch x
54:
Z
dx
= ¡2cth 2x:
sh x ch2 x
55:
Z
3
sh x
1
dx
3 =¡
2 ¡ sh x ¡ 2 arctg sh x:
sh x ch x
2 ch x
56:
Z
1
8
dx
4 =
3 ¡ 3 cth 2x:
sh x ch x
3 sh x ch x
57:
Z
58:
Z
59:
Z
dx
1
x
2 = ch x + ln th 2 :
sh x ch x
dx
1
=
+ ln th x;
3
sh x ch x
2 ch2 x
1
= ¡ th2 x + ln th x:
2
2
2
2
2
1
dx
¡ ln th x;
=¡
sh x ch x
2 sh2 x
1
= ¡ cth 2 x + ln cth x:
2
3
x
ch x
3
1
dx
2 = ¡ ch x ¡
2 ¡ 2 ln th 2 :
sh x ch x
2 sh x
3
dx
2 ch 2x
=¡ 2
3
sh x ch x
sh 2x
1 2
= th x ¡
2
3
¡ 2 ln th x;
1
cth 2 x ¡ 2 ln th x:
2
60:
Z
dx
1
ch x
5
x
2
4 = ¡ ch x ¡
2 ¡
2 ¡ 2 ln th 2 :
sh x ch x
3 ch x 2 sh x
61:
Z
dx
1
1
¡
=
+ arctg sh x:
sh x 3 sh3 x
sh x ch x
62:
Z
dx
8
1
2 =¡
3 + 3 cth 2x:
sh x ch x
3 ch x sh x
63:
Z
dx
2
1
sh x
5
3 = sh x ¡
3 +
2 + 2 arctg sh x:
sh x ch x
3 sh x 2 ch x
64:
Z
8
dx
= 8 cth 2x ¡ cth 3 2x:
3
sh4 x ch4 x
3
4
4
4
124
2.424
1:
Z
2:
Z
th
3:
Z
th2n x dx = ¡
4:
Z
5:
Z
thp¡1 x
th x dx = ¡
+
p¡1
p
2n+1
thp¡2 x dx
[p=
= 1]:
• ¶
n (¡1)k¡1 n
P
1
x dx =
+ ln ch x;
2k
k ch2k x
k=1
n th 2n¡2k+2 x
P
=¡
+ ln ch x:
k=1 2n ¡ 2k + 2
cth p x dx = ¡
cth
Z
2n+1
n th 2n¡2k+1 x
P
+ x:
k=1 2n ¡ 2k + 1
cth p¡1 x
+
p¡1
Z
cth p¡2 x dx
GU ((351))(12)
[p=
= 1]:
• ¶
n
P
1 n
1
x dx = ¡
+ ln sh x;
2k
k=1 2n k sh x
n cth 2n¡2k+2 x
P
=¡
+ ln sh x:
k=1 2n ¡ 2k + 2
6:
Z
cth 2n x dx = ¡
n cth 2n¡2k+1 x
P
+ x:
k=1 2n ¡ 2k + 1
GU ((351))(14)
For formulas containing powers of th x and cth x equal to n = 1; 2; 3; 4, see 2.423 17., 2.423 22., 2.423 27., 2.423 32., 2.423 33.,
2.423 38., 2.423 43., 2.423 48.
Powers of hyperbolic functions and hyperbolic functions of linear functions of the argument
2.425
1:
Z
sh(ax + b) sh(cx + d) dx =
1
sh[(a + c)x + b + d] ¡
2(a + c)
1
¡
sh[(a ¡ c)x + b ¡ d]
2(a ¡ c)
[a2 =
= c2 ]:
GU ((352))(2a)
2:
Z
sh(ax + b) ch(cx + d) dx =
1
ch[(a + c)x + b + d] +
2(a + c)
1
+
ch[(a ¡ c)x + b ¡ d]
2(a ¡ c)
= c2 ]:
[a2 =
GU ((352))(2c)
125
3:
Z
ch(ax + b) ch(cx + d) dx =
1
sh[(a + c)x + b + d] +
2(a + c)
1
+
sh[(a ¡ c)x + b ¡ d]
2(a ¡ c)
[a2 =
= c2 ]:
GU ((352))(2b)
When a = c:
4:
Z
x
1
sh(ax + b)sh(ax + d) dx = ¡ ch(b ¡ d) +
sh(2ax + b + d):
2
4a
GU ((352))(3a)
GU ((352))(3c)
6:
Z
ch(ax + b) ch(ax + d) dx =
x
1
ch(b ¡ d) +
sh(2ax + b + d):
2
4a
GU ((352))(3b)
2.426
1:
2:
Z
Z
Z
sh ax sh bx sh cx dx =
sh ax sh bx ch cx dx =
ch(a + b + c)x
ch(¡a + b + c)x
¡
¡
4(a + b + c)
4(¡a + b + c)
ch(a ¡ b + c)x
ch(a + b ¡ c)x
¡
¡
:
4(a ¡ b + c)
4(a + b ¡ c)
sh(¡a + b + c)x
sh(a + b + c)x
¡
¡
4(a + b + c)
4(¡a + b + c)
sh(a ¡ b + c)x
sh(a + b ¡ c)x
¡
+
:
4(a ¡ b + c)
4(a + b ¡ c)
ch(a + b + c)x
ch(¡a + b + c)x
¡
+
4(a + b + c)
4(¡a + b + c)
ch(a + b ¡ c)x
ch(a ¡ b + c)x
+
+
:
4(a ¡ b + c)
4(a + b ¡ c)
3:
4:
Z
Z
GU ((352))(4b)
sh ax ch bx ch cx dx =
ch ax ch bx ch cx dx =
sh(a + b + c)x
sh(¡a + b + c)x
+
+
4(a + b + c)
4(¡a + b + c)
sh(a ¡ b + c)x
sh(a + b ¡ c)x
+
+
:
4(a ¡ b + c)
4(a + b ¡ c)
2.427
1:
GU ((352))(4a)
shp x sh ax dx =
1
p+a
½
¾
Z
shp x ch ax ¡ p shp¡1 x ch(a ¡ 1)x dx :
GU ((352))(4c)
GU ((352))(4d)
126
2:
Z
shp x sh(2n + 1)x dx =
¡(p + 1)
•
¶ £
p+3
¡
+n
2
8
2 •
¶
>
p+1
>
>
+
n
¡
2k
¡
< n¡1
P 6
2
6
£
shp¡2k x ch(2n¡2k+1)x¡
6 2k+1
> k=0 4 2
¡
(p
¡
2k
+
1)
>
>
:
3
¶
•
p¡1
+ n ¡ 2k
¡
7
2
7
p¡2k¡1
¡
sh
x
sh(2n
¡
2k)x
7+
2k+2
5
2
¡ (p ¡ 2k)
9
¶
>
p+3
>
>
¡n Z
¡
=
2
p¡2n
+ 2n
sh
x sh x dx
>
2 ¡ (p + 1 ¡ 2n)
>
>
;
•
3:
Z
shp x sh 2nx dx =
[p is not a negative integer ]:
¡(p + 1)
³p
´ £
¡
+n+1
2 2
´
³p
6
+
n
¡
2k
¡
n¡1
P 6
shp¡2k x ch(2n ¡ 2k)x ¡
£
6 2k+12
4
2
¡
(p
¡
2k
+
1)
k=0
¡
¡
³p
2
+ n ¡ 2k ¡ 1
22k+2 ¡ (p ¡ 2k)
´
[p is not a negative integer].
3
7
7
shp¡2k¡1 x sh(2n ¡ 2k ¡ 1)x7
5
GU ((352))(5)a
2.428
1:
Z
2:
Z
shp x ch ax dx =
1
p+a
½
shp x ch(2n + 1)x dx =
¾
Z
shp x sh ax ¡ p shp¡1 x sh(a ¡ 1)x dx :
¡(p + 1)
•
¶ £
p+3
¡
+n
2
8
2 •
¶
>
p+1
>
>
¡
+ n ¡ 2k
< n¡1
P 6
2
6
shp¡2k x sh(2n¡2k+1)x¡
£
6 2k+1
>
4
2
¡
(p
¡
2k
+
1)
k=0
>
>
:
3
•
¶
p¡1
3:
Z
shp x ch 2nx dx =
¡(p + 1)
´ £
³p
+n+1
¡
82
2
´
³p
>
>
>
< n¡1
6
+
n
¡
2k
¡
P 6
£
shp¡2k x sh(2n ¡ 2k)x ¡
6 2k+12
>
42
¡ (p ¡ 2k + 1)
k=0
>
>
:
¡
¡
³p
2
+ n ¡ 2k ¡ 1
22k+2 ¡ (p ¡ 2k)
´
3
7
7
shp¡2k¡1 x ch(2n ¡ 2k ¡ 1)x7 +
5
9
>
>
>
Z
=
¡n+1
¡
p¡2n
2
+ 2n
sh
x dx
>
2 ¡ (p + 1 ¡ 2n)
>
>
;
³p
´
[p is not a negative integer ]:
GU ((352))(6)a
2.429
1:
2:
Z
Z
1
ch x sh ax dx =
p+a
p
½
chp x sh(2n+1)x dx =
¾
Z
p¡1
x sh(a ¡ 1)x dx :
ch x ch ax + p ch
p
¶
p+1
+n¡k
2
chp¡k x ch(2n¡k+1)x+
2k+1 ¡ (p ¡ k + 1)
8
¡
< n¡1
P
•
¡(p + 1)
•
¶
: k=0
p+3
¡
+n
2
•
¶
9
p+3
Z
¡
=
2
chp¡n x sh(n + 1)x dx
+ n
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
[p is not a negative integer].
128
3:
Z
•
¶
8
p
¡
+
n
¡
k
< n¡1
P
¡(p + 1)
2
´
chp x sh 2nx dx = ³ p
chp¡k x ch(2n¡k)x+
k+1
:
¡ (p ¡ k + 1)
k=0 2
¡
+n+1
2 ³
´
9
p
Z
=
¡
+1
2
+ n
chp¡n x sh nx dx
[p is not a negative integer ]:
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
GU ((352))(7)a
2.431
1:
Z
2:
Z
1
ch x ch ax dx =
p+a
p
½
chp x ch(2n+1)x dx =
¾
Z
p¡1
ch x sh ax + p ch
x ch(a ¡ 1)x dx :
p
¶
p+1
+n¡k
2
chp¡k x sh(2n¡k+1)x+
k+1
2
¡ (p ¡ k + 1)
8
¡
< n¡1
P
•
¡(p + 1)
¶
•
: k=0
p+3
+n
¡
2
¶
•
9
p+3
Z
¡
=
2
+ n
chp¡n x ch(n + 1)x dx
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
[p is not a negative integer].
3:
Z
³p
´
8
<
¡
+
n
¡
k
n¡1
P
¡(p + 1)
2
´
chp¡k x sh(2n¡k)x+
chp x ch 2nx dx = ³ p
k+1 ¡ (p ¡ k + 1)
:
2
k=0
¡
+n+1
2 ³
´
9
p
=
¡
+1
2
+ n
chp¡n x ch nx dx
[p is not a negative integer ]:
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
2.432
1:
Z
sh(n + 1)x shn¡1 x dx =
1 n
sh x sh nx:
n
2:
Z
sh(n + 1)x chn¡1 x dx =
1 n
ch x ch nx:
n
3:
Z
ch(n + 1)x shn¡1 x dx =
1 n
sh x ch nx:
n
4:
Z
ch(n + 1)x chn¡1 x dx =
1 n
ch x sh nx:
n
GU ((352))(8)a
1:
Z
2:
Z
3:
Z
4:
Z
5:
Z
6:
Z
7:
Z
8:
Z
9:
Z
n¡1
P sh(2n ¡ 2k)x
sh(2n + 1)x
dx = 2
+ x:
sh x
2n ¡ 2k
k=0
n¡1
P sh(2n ¡ 2k ¡ 1)x
sh 2nx
dx = 2
:
sh x
2n ¡ 2k ¡ 1
k=0
GU ((352))(5d)
n¡1
P ch(2n ¡ 2k)x
ch(2n + 1)x
dx = 2
+ ln sh x:
sh x
2n ¡ 2k
k=0
n¡1
P ch(2n ¡ 2k ¡ 1)x
x
ch 2nx
dx = 2
+ ln th :
sh x
2n
¡
2k
¡
1
2
k=0
GU ((352))(6d)
n¡1
P
ch(2n ¡ 2k)x
sh(2n + 1)x
dx = 2
(¡1)k
+ (¡1)n ln ch x:
ch x
2n ¡ 2k
k=0
n¡1
P
ch(2n ¡ 2k ¡ 1)x
sh 2nx
dx = 2
(¡1)k
:
ch x
2n ¡ 2k ¡ 1
k=0
GU ((352))(7d)
n¡1
P
sh(2n ¡ 2k)x
ch(2n + 1)x
dx = 2
(¡1)k
+ (¡1)n x:
ch x
2n ¡ 2k
k=0
n¡1
P
sh(2n ¡ 2k ¡ 1)x
ch 2nx
(¡1)k
dx = 2
+ (¡1)n arcsin(th x):
ch x
2n ¡ 2k ¡ 1
k=0
2
sh 2x
dx = ¡
:
shn x
(n ¡ 2)shn¡2 x
GU ((352))(8d)
n=2
10:
Z
sh 2x
dx = 2 ln sh x:
sh2 x
11:
Z
sh 2x dx
2
=
:
n
ch x
(2 ¡ n)chn¡2 x
For n = 2:
12:
Z
sh 2x
dx = 2 ln ch x:
ch2 x
13:
Z
x
ch 2x
dx = 2 ch x + ln th :
sh x
2
14:
Z
ch 2x
dx = ¡cth x + 2x:
sh2 x
15:
Z
ch x
3
x
ch 2x
3 dx = ¡
2 + 2 ln th 2 :
sh x
2 sh x
16:
Z
ch 2x
dx = 2 sh x ¡ arcsin(th x):
ch x
17:
Z
ch 2x
dx = ¡th x + 2x:
ch2 x
18:
Z
3
sh x
ch 2x
dx = ¡
+ arcsin(th x):
2
ch3 x
2 ch2 x
19:
Z
sh 3x
dx = x + sh 2x:
sh x
130
20:
Z
sh 3x
x
2 dx = 3 ln th 2 + 4 ch x:
sh x
21:
Z
sh 3x
dx = ¡3 cth x + 4x:
sh3 x
22:
Z
sh 3x
4
1
¡
:
n dx =
n¡3
ch x
(3 ¡ n)ch
x
(1 ¡ n)chn¡1 x
For n = 1 and n = 3:
23:
Z
sh 3x
dx = 2 sh2 x ¡ ln ch x:
ch x
24:
Z
1
sh 3x
+ 4 ln chx:
3 dx =
ch x
2 ch2 x
25:
Z
4
1
ch 3x
dx =
+
:
n¡3
shn x
(3 ¡ n)sh
x
(1 ¡ n)shn¡1 x
For n = 1 and n = 3:
26:
Z
ch 3x
dx = 2 sh2 x + ln sh x:
sh x
27:
Z
1
ch 3x
+ 4 ln sh x:
3 dx = ¡
sh x
2 sh2 x
28:
Z
ch 3x
dx = sh 2x ¡ x:
ch x
2.44-2.45 Rational functions of hyperbolic functions
2.441
1:
Z
A + B sh x
aB ¡ bA
ch x
¢
dx =
+
(a + b sh x)n
(n ¡ 1)(a2 + b2 ) (a + b sh x)n¡1
Z
(n ¡ 1)(aA + bB) + (n ¡ 2)(aB ¡ bA)sh x
1
+
dx:
(n ¡ 1)(a2 + b2 )
(a + b sh x)n¡1
131
For n = 1:
2:
Z
B
aB ¡ bA
A + B sh x
dx = x ¡
a + b sh x
b
b
Z
dx
a + b sh x
(see 2.441 3. ):
2.441
3:
Z
p
x
¡
b
+
a2 + b2
1
dx
2
= p
ln
;
p
x
a + b sh x
a2 + b2
a th ¡ b ¡ a2 + b2
2
x
a
th ¡ b
2
Arth p 2
:
= p
a2 + b2
a2 + b2
a th
2.442
1:
Z
B
A + B ch x
dx = ¡
+A
(a + b sh x)n
(n ¡ 1)b(a + b sh x)n¡1
Z
dx
:
(a + b sh x)n
For n = 1:
2:
Z
B
A + B ch x
dx =
ln(a + b sh x) + A
a + b sh x
b
Z
dx
a + b sh x
(see 2.441 3. )
2.441
2.443
1:
Z
A + B ch x
aB ¡ bA
sh x
¢
dx =
+
(a + b ch x)n
(n ¡ 1)(a2 ¡ b2 ) (a + b ch x)n¡1
Z
(n ¡ 1)(aA ¡ bB) + (n ¡ 2)(aB ¡ bA)ch x
1
+
dx:
2
2
(n ¡ 1)(a ¡ b )
(a + b ch x)n¡1
For n = 1:
2:
Z
A + B ch x
B
aB ¡ bA
dx = x ¡
a + b ch x
b
b
Z
dx
a + b ch x
(see 2.443 3. ):
2.443
3:
Z
1
b + a ch x
dx
= p
arcsin
[b2 > a2 ; x < 0];
2
2
a + b ch x
a
+
b
ch
x
b ¡a
1
b + a ch x
¡p
arcsin
[b2 > a2 ; x > 0];
a + b ch x
b2 ¡ a2
p
x
a + b + a2 ¡ b2 th
1
2
= p
ln
[a2 > b2 ]:
p
x
2
2
a2 ¡ b2
a + b ¡ a ¡ b th
2
132
2.444
∙
¸
x¡a
x+a
dx
¡ ln ch
= cosech a ln ch
;
ch a + ch x
2
2
³ x a´
= 2 cosech a Arth th th
:
2 2
1:
Z
2:
Z
³ x a´
dx
= 2 cos a arctg th tg
:
cos a + ch x
2 2
Z
B
A + B sh x
dx = ¡
+A
(a + b ch x)n
(n ¡ 1)b(a + b ch x)n¡1
2.445
1:
Z
dx
:
(a + b ch x)n
For n = 1:
2:
Z
A + B sh x
B
dx =
ln(a + b ch x) + A
a + b ch x
b
Z
dx
a + b ch x
2.443
In evaluating definite integrals by use of formulas 2.441 2.442 2.443 and 2.445, one may not take the integral over points at which the
integrand becomes infinite, that is, over the points
³ a´
x = Arsh ¡
b
in formulas 2.441 or 2.442 or over the points
x = Arch
³ a´
¡
b
in formulas 2.443 or 2.445. Formulas 2.443 are not applicable for a2 = b2. Instead, we may use the following formulas in these
cases:
2.446
1:
Z
•
¶
n¡1
P (2n ¡ 2k ¡ 3)!!
B sh x
n
A + B ch x
(n ¡ 1)!
dx
=
+
"A
+
B
sh x
¢
n
n
(" + ch x)
(1 ¡ n)(" + ch x)
n¡1
(2n ¡ 1)!!
k=0 (n ¡ k ¡ 1)!
"h
¢
[" = §1; n > 1]:
(" + ch x)n¡k
For n = 1:
2:
Z
ch x ¡ "
A + B ch x
dx = Bx + ("A ¡ B)
" + ch x
sh x
[" = §1]:
133
2.447
1:
Z
•
¶
b
a ln ch x + Arth
¡ bx
sh x dx
a
=
a ch x + b sh x
a2 ¡ b2
³
a´
bx ¡ a ln sh x + Arth
b
=
2
2
[a > jbj];
[b > jaj]:
For a = b = 1:
Z
2:
sh x dx
x 1
= + e¡2x :
ch x + sh x
2
4
For a = ¡b = 1:
Z
3:
sh x dx
x 1
= ¡ + e2x :
ch x ¡ sh x
2
4
MZ 215
2.448
•
¶
b
Z
ax ¡ b ln ch x + Arth
ch x dx
a
=
a ch x + b sh x
a2 ¡³b2
a´
¡ax + b ln sh x + Arth
b
=
b2 ¡ a2
1:
[a > jbj];
[b > jaj]:
For a = b = 1:
Z
2:
x 1
ch x dx
= ¡ e¡2x :
ch x + sh x
2
4
For a = ¡b = 1:
Z
3:
x 1
ch x dx
= + e2x :
ch x ¡ sh x
2
4
MZ 214, 215
2.449
1:
6
Z
1
dx
= p
2
(a ch x + b sh x)n
(a ¡ b2 )n
= p
1
(b2
¡
a2 )n
Z
Z
ch
n
sh
³
n
•
dx
b
x + Arth
a
dx
x + Arth
a´
b
¶
[a > jbj];
[b > jaj]:
n=1
2:
Z
¯ •
¶¯
¯
dx
b ¯¯
1
¯
[a > jbj];
= p
arctg ¯sh x + Arth
a ch x + b sh x
a ¯
a2 ¡ b2
¯
¯
¯ x + Arth a ¯
¯
1
b ¯¯
= p
[b > jaj]:
ln ¯¯th
¯
2
2
2
b ¡a
¯
¯
For a = b = 1:
3:
Z
ax
= ¡e¡x = sh x ¡ ch x:
ch x + sh x
For a = ¡b = 1:
4:
Z
dx
= ex = sh x + ch x:
ch x ¡ sh x
MZ 214
2.451
1:
Z
2:
Z
A + B ch x + C sh x
dx
(a + b ch x + c sh x)n
Bc ¡ Cb + (Ac ¡ Ca)ch x + (Ab ¡ Ba)sh x
1
+
£
=
2
2
2
n¡1
2
(1 ¡ n)(a ¡ b + c )(a + b ch x + c sh x)
(n ¡ 1)(a ¡ b2 + c2 )
Z
(n ¡ 1)(Aa ¡ Bb + Cc) ¡ (n ¡ 2)(Ab ¡ Ba)ch x ¡ (n ¡ 2)(Ac ¡ Ca)sh x
£
dx
(a + b ch x + c sh x)n¡1
[a2 + c2 =
= b2 ];
∙
¸
Bc ¡ Cb ¡ Ca ch x ¡ Ba sh x
A n(Bb ¡ Cc)
(n ¡ 1)!
£
=
+
+
(c ch x+b sh x)
(n ¡ 1)a(a + b ch x + c sh x)n
a
(n ¡ 1)a2
(2n ¡ 1)!!
n¡1
P (2n ¡ 2k ¡ 3)!!
1
£
[a2 + c2 = b2 ]:
k (a + b ch x + c sh x)n¡k
(n
¡
k
¡
1)!a
k=0
A + B ch x + C sh x
dx
a + b ch x + c sh x
Cb ¡ Bc
= 2
ln(a + b ch x + c sh x) +
b ¡ c2
•
¶Z
Bb ¡ Cc
Bb ¡ Cc
dx
+ 2
x+ A ¡ a 2
2
2
b ¡c
b ¡c
a + b ch x + c sh x
[b2 =
= c2 ]
(see 2:4514):
3:
Z
∙
¸
A + B ch x + C sh x
A (B ¨ C)b
C¨B
¡
dx =
(ch x ¨ sh x) +
x+
a + b ch x § b sh x
2a
a
2a2
¸
∙
A (C ¨ B)b
C §B
§ ¡
ln(a+b ch x§b sh x)
+
2b
a
2a2
[ab=
= 0]:
135
4:
Z
dx
a + b ch x + c sh x
x
(b ¡ a) th + c
2
= p
arctg p
[b2 > a2 + c2 and a=
= b]:
2
2
2
2
2
2
b ¡a ¡c
b ¡a ¡c
p
x
¡
c
+
a2 ¡ b2 + c2
(a
¡
b)
th
1
2
= p
ln
[b2 < a2 +c2
p
x
2
2
2
a2 ¡ b2 + c2
(a ¡ b) th ¡ c ¡ a ¡ b + c
2
³
´
x
1
[a = b; c=
= 0];
= ln a + c th
c
2
2
=
[b2 = a2 + c2 ]:
x
(a ¡ b) th + c
2
2
and
a=
= b];
GU ((351))(18)
2.452
1:
Z
A + B ch x + C sh x
dx
(a1 + b1 ch x + c1 sh x)(a2 + b2 ch x + c2 sh x)
Z
Z
a1 + b1 ch x + c1 sh x
dx
dx
+A1
+A2
= A0 ln
a2 + b2 ch x + c2 sh x
a1 + b1 ch x + c1 sh x
a2 + b2 ch x + c2 sh x
where
¯
¯
¯ a1 b1 c1 ¯
¯
¯
¯A B C¯
¯
¯
¯ a2 b2 c2 ¯
A0 = ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ;
¯ a1 b1 ¯2 ¯ b1 c1 ¯2 ¯ c1 a1 ¯2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a2 b2 ¯ + ¯ b2 c2 ¯ ¡ ¯ c2 a2 ¯
¯
¯
¯ ¯ a1 ¯ ¯ b1 ¯ ¯ c1 ¯ ¯
¯¯
¯
¯ ¯ C B ¯¯ ¯¯ C A ¯¯ ¯¯ B A ¯¯ ¯
¯¯
¯
¯ c2 b2 ¯ ¯ c2 a2 ¯ ¯ b2 a2 ¯ ¯
¯
¯
b2
c2
a2
A2 = ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ;
¯ a1 b1 ¯2 ¯ b1 c1 ¯2 ¯ c1 a1 ¯2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a2 b2 ¯ + ¯ b2 c2 ¯ ¡ ¯ c2 a2 ¯
¯
¯
¯ ¯ a1 ¯ ¯ b1 ¯ ¯ c1 ¯ ¯
¯¯
¯
¯ ¯ b1 c1 ¯¯ ¯¯ c1 a1 ¯¯ ¯¯ a1 b1 ¯¯ ¯
¯¯
¯
¯ B C ¯ ¯C A ¯ ¯ A B ¯¯
¯
¯
a2
b2
c2
A1 = ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ;
¯ a1 b1 ¯2 ¯ b1 c1 ¯2 ¯ c1 a1 ¯2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a2 b2 ¯ + ¯ b2 c2 ¯ ¡ ¯ c2 a2 ¯
"¯
¯ a1
¯
¯ a2
¯2 ¯
¯b
b1 ¯¯
+ ¯¯ 1
¯
b2
b2
¯2 ¯
c1 ¯¯ ¯¯ c1
=
=
c2 ¯ ¯ c2
¯2 #
a1 ¯¯
:
a2 ¯
GU ((351))(19)
136
2:
Z
A ch2 x + 2B sh x ch x + C sh2 x
dx
a ch2 x + 2b sh x ch x + c sh2 x
1
= 2
f[4Bb ¡ (A + C)(a + c)]x +
4b ¡ (a + c)2
+ [(A + C)b ¡ B(a + c)] ln(a ch2 x + 2b sh x ch x + c sh2 x) +
+ [2(A ¡ C)b2 ¡ 2Bb(a ¡ c) + (Ca ¡ Ac)(a + c)]f (x)g;
where
p
1
c th x + b ¡ b2 ¡ ac
p
f (x) = p
ln
2 b2 ¡ ac
c th x + b + b2 ¡ ac
1
c th x + b
= p
arctg p
2
ac ¡ b
ac ¡ b2
1
=¡
c th x + b
[b2 > ac];
[b2 < ac];
[b2 = ac]:
GU ((351))(24)
2.453
1:
Z
∙
¸
Z
¯ x¯
1
(A + B sh x) dx
dx
¯
¯
=
A ln ¯th ¯ + (aB ¡ bA)
sh x(a + b sh x)
a
2
a + b sh x
(see 2.441 3. ):
2.441
2:
Z
A
(A + B sh x) dx
= 2
sh x(a + b ch x)
a ¡ b2
•
¯¶
¯
Z
¯ x¯
¯ a + b ch x ¯
dx
¯
¯
¯
¯
+B
a ln ¯th ¯ + b ln ¯
¯
2
sh x
a + b ch x
(see 2.443 3. ):
2.443
For a2 = b2 (= 1):
3:
Z
A
(A + B sh x) dx
=
sh x(1 + ch x)
2
•
¶
¯ x¯ 1
x
x
¯
¯
ln ¯th ¯ ¡ th2
+ B th :
2
2
2
2
4:
Z
(A + B sh x) dx
A
=
sh x(1 ¡ ch x)
2
•
¶
¯
x
x ¯¯ 1
¯
2x
¡ ln ¯cth ¯ + cth
+ B cth :
2
2
2
2
2.454
1:
Z
2:
Z
¯¸
¯
∙
¯ a + b sh x ¯
(A + B sh x) dx
1
¯
¯
= 2
(Aa
+
Bb)arctg(sh
x)
+
(Ab
¡
Ba)
ln
¯ ch x ¯ :
ch x(a + b sh x)
a + b2
(A + B ch x) dx
1
=
sh x(a + b sh x)
a
•
¯
¯
¶
Z
¯ x¯
¯ sh x ¯
dx
¯
¯
¯
¯
¡ Ab
A ln ¯th ¯ + B ln ¯
2
a + b sh x ¯
a + b sh x
(see 2.441 3. ):
2.441
137
2.455
1:
Z
¯¸
¯
∙
¯ x¯
¯ a + b ch x ¯
1
(A + B ch x) dx
¯
¯
¯ :
¯
= 2
(Aa + Bb) ln ¯th ¯ + (Ab ¡ Ba) ln ¯
sh x(a + b ch x)
a ¡ b2
2
sh x ¯
For a2 = b2 (= 1) :
2:
Z
3:
Z
A + B ¯¯ x ¯¯ A ¡ B 2 x
(A + B ch x) dx
=
ln ¯th ¯ ¡
th :
sh x(1 + ch x)
2
2
4
2
A+B
x
x A¡B
(A + B ch x) dx
=
cth 2 ¡
ln cth :
sh x(1 ¡ ch x)
4
2
2
2
2.456
Z
¯¸
¯
∙
¯ a + b sh x ¯
A
(A + B ch x) dx
¯ +
¯
= 2
a arctg(sh x) + b ln ¯
ch x(a + b sh x)
a + b2
ch x ¯
Z
dx
+B
(see 2.441 3. ):
a + b sh x
2.441
2.457
Z
∙
¸
Z
1
(A + B ch x) dx
dx
=
A arctg sh x ¡ (Ab ¡ Ba)
ch x(a + b ch x)
a
a + b ch x
(see 2.443 3. ):
2.443
2.458
1:
2:
Z
Z
!
b
¡ 1 th x
a
!
Ãr
1
b
= p
1 ¡ th x
Arth
a
a(a ¡ b)
!
Ãr
1
b
= p
1 ¡ th x
Arcth
a
a(a ¡ b)
dx
1
= p
arctg
2
a + b sh x
a(b ¡ a)
Ãr
∙
∙
b
>1
a
¸
¸
b
b
a
2
0 < < 1 or
< 0 and sh x < ¡
;
a
a
b
∙
¸
b
a
2
< 0 and sh x > ¡
:
a
b
Ãs •
!
∙
¸
¶
b
dx
1
b
= p
arctg
¡ 1+
cth x
< ¡1 ;
a
a
a + b ch2 x
¡a(a + b)
Ãr
!
∙
b
1
b
¡1 < < 0 and
= p
Arth
1 + cth x
a
a
a(a + b)
Ãr
!
1
b
= p
Arcth
1 + cth x
a
a(a + b)
∙
¸
b
b
a
2
> 0 or ¡ 1 < < 0 and ch x < ¡ :
a
a
b
MZ 195
¸
a
ch x > ¡
;
b
2
MZ 202
For a2 = b2 = 1 :
3:
Z
4:
Z
p
1
dx
= p Arth( 2 th x)
2
1 ¡ sh x
2
p
1
= p Arcth( 2th x)
2
Z
p
dx
1
= p Arcth( 2 cth x):
2
1 + ch x
2
dx
= th x:
1 + sh2 x
138
5:
[sh2 x < 1];
[sh2 x > 1]:
6:
Z
dx
= cth x:
1 ¡ ch2 x
Z
dx
1
2 2 = 2a(b ¡ a)
(a + b sh x)
2.459
1:
∙
¸
Z
b sh x ch x
dx
+
(b
¡
2a)
a + b sh2 x
a + b sh2 x
(see 2.458 1. ):
2.458
MZ 196
2:
Z
∙
¸
Z
b sh x ch x
dx
dx
1
¡
=
+ (2a + b)
2a(a + b)
(a + b ch2 x)2
a + b ch2 x
a + b ch2 x
(see 2.458 2. ):
2.458
MZ 203
3:
Z
∙•
¶
•
¶
1
3
3
dx
2
2
p th x
=
+
3 ¡ 2 + 4 arctg (p th x)+ 3 ¡ 2 ¡ 4
2
3
3
8pa
p
p
p
p
(a + b sh x)
1 + p2 th2 x
•
¶
¸
¸
∙
2
1
b
2p th x
+ 1 + 2 ¡ 2 th2 x ¡
p2 = ¡ 1 > 0 ;
¢2
2
p
p
a
1 + p2 th x
∙•
¶
•
¶
1
3
3
2
2
q th x
=
3 + 2 + 4 Arth (q th x)+ 3 + 2 ¡ 4
2 +
8qa3
q
q
q
q
1 ¡ q2 th
•
¶
¸ x
¸
∙
2
1
b
2q th x
+ 1 ¡ 2 + 2 th 2 x ¡
q2 = 1 ¡ > 0 :
¢2
2
q
q
a
1 ¡ q 2 th x
* If
'(x) = Arth(q cth x) . If
4:
Z
b
a
< 0, but ch2 x < ¡ ab , or if
b
a
b
a
MZ 196
< 0 and ch2 x > ¡ ab , then
> 0, then '(x) = Arcth(q cth x) .
∙•
¶
•
¶
1
3
3
dx
2
2
p cth x
=
+
¡
+
3
¡
arctg
(p
cth
x)
+
3
¡
2
3
2
4
2
4
8pa
p
p
p
p
(a + b ch x)3
1 + p2 cth 2 x
#
•
¶
¸
∙
2
1
b
2p cth x
2
2
+ 1 + 2 ¡ 2 cth x ¡
=
¡
1
¡
>
0
;
p
¢2
p
p
a
1 + p2 cth 2 x
∙•
¶
¶ •
¶
1
3
3
2
2
q cth x
¤
=
+
¡
+
3
+
'
(x)
+
3
+
3
2
4
2
4
8qa
q
q
q
q
1 ¡ q2 cth 2 x
#
•
¶
∙
¸
1
b
2
2q cth x
2
2
+ 1 ¡ 2 + 2 cth x ¡
q =1+ >0 :
¢2
q
q
a
1 ¡ q2 cth 2 x
1:
2:
Z p
p
p
th x dx = Arth th x ¡ arctg th x:
Z p
p
p
cth x dx = Arcth cth x ¡ arctg cth x:
MZ 221
MZ 222
2.462
1:
Z
2:
Z
3:
Z
4:
Z
5:
Z
6:
Z
7:
Z
p
p
p
p
p
p
p
p
ch x
= ln(ch x + a2 + sh2 x)
a2 ¡ 1
a2 + sh2 x
p
ch x
= Arch p
= ln(ch x + a2 + sh2 x)
1 ¡ a2
= ln ch x
sh x dx
sh x dx
a2
2
= arcsin p
a2
= Arch p
¡ sh x
sh x dx
2
sh x ¡
ch x dx
a2 + sh2 x
ch x dx
a2
= Arsh p
2
¡ sh x
ch x dx
sh2 x ¡ a2
sh x dx
a2 + ch2 x
= Arsh
ch x
a2 + 1
[a2 > 1];
[a2 < 1];
[a2 = 1]:
[sh2 x < a2 ]:
p
ch x
= ln(ch x + sh2 x ¡ a2 )
a2 + 1
[sh2 x > a2 ]:
MZ 199
p
sh x
= ln(sh x + a2 + sh2 x):
a
= arcsin
sh x
a
[sh2 x < a2 ]:
= Arch
p
sh x
= ln(sh x + sh2 x ¡ a2 )
a
= Arsh
p
ch x
= ln(ch x + a2 + ch2 x):
a
[sh2 x > a2 ]:
8:
Z
9:
Z
10:
Z
11:
Z
12:
Z
p
p
p
p
sh x dx
a2
2
¡ ch x
sh x dx
2
ch x ¡
a2
ch x dx
a2 + ch2 x
ch x dx
a2
2
¡ ch x
= arcsin
= Arch
ch x
a
[ch2 x < a2 ]:
p
ch x
= ln(ch x + ch2 x ¡ a2 )
a
= Arsh p
[ch2 x > a2 ]:
MZ 215, 216
p
sh x
= ln(sh x + a2 + ch2 x):
a2 + 1
= arcsin p
sh x
a2 ¡ 1
[ch2 x < a2 ]:
140
p
sh x
[a2 > 1];
2¡1
2
2
a
ch x ¡ a
= ln sh x
[a2 = 1]:
ch x dx
= Arch p
MZ 206
13:
Z
14:
Z
r
p
b
cth x dx
p
= 2 aArcth 1 + sh x
[b sh x > 0; a > 0];
a
a + b sh x
r
p
b
= 2 aArth 1 + sh x
[b sh x < 0; a > 0];
a
s •
¶
p
b
= 2 ¡aArth ¡ 1 + sh x
a < 0:
a
r
p
b
th x dx
p
= 2 aArcth 1 + ch x
[b ch x > 0; a > 0];
a
a + b ch x
r
p
b
= 2 aArth 1 + ch x
[b ch x < 0; a > 0];
a
s •
¶
p
b
= 2 ¡aArth ¡ 1 + ch x
[a < 0]:
a
MZ 220, 221
2.463
1:
Z
s
s
p
sh x a + b ch x
aq ¡ bp
q(a + b ch x)
dx = 2
Arcth
p + q ch x
q
aq ¡ bp
s
s
aq ¡ bp
q(a + b ch x)
Arth
=2
q
aq ¡ bp
s
s
bp ¡ aq
q(a + b ch x)
=2
Arth
q
bp ¡ aq
∙
¸
aq ¡ bp
>0 ;
q
∙
¸
aq ¡ bp
b ch x < 0;
>0 ;
q
∙
¸
aq ¡ bp
<0 :
q
b ch x > 0;
MZ 220
2:
Z
s
s
p
ch x a + b sh x
aq ¡ bp
q(a + b sh x)
dx = 2
Arcth
p + q sh x
q
aq ¡ bp
s
s
aq ¡ bp
q(a + b sh x)
=2
Arth
q
aq ¡ bp
s
s
bp ¡ aq
q(a + b sh x)
=2
Arth
q
bp ¡ aq
∙
¸
aq ¡ bp
b sh x > 0;
>0 ;
q
∙
¸
aq ¡ bp
b sh x < 0;
>0 ;
q
∙
¸
aq ¡ bp
<0 :
q
MZ 221
141
2.464
1:
2:
3:
Z
Z
Z
p
p
p
dx
2
k 2 + k02 ch x
dx
ch2 x ¡ k 2
=
dx
1 ¡ k 02 ch2 x
=
Z
Z
p
p
=F
dx
1 + k 02 sh2 x
[x > 0]:
BY (295.00)(295.10)
dx
sh2 x + k 02
•
= F (arcsin(th x); k)
=F
•
arcsin
•
1
ch x
¶
;k
¶
[x > 0]:
BY (295.40)(295.30)
arcsin
In 2.464 4.-2.464 8., we set ® = arccos
•
th x
k
¶
;k
¶
∙
¸
1
0 < x < Arch 0 :
k
BY (295.20)
1¡sh 2ax
1+sh 2ax ,
r=
p1
2
[ax > 0] :
BY (296.50)
5:
Z p
sh 2ax dx =
1
1
[F (®; r) ¡ 2E(®; r)] +
2a
a
q
sh 2ax(1 + sh2 2ax)
1 + sh 2ax
:
BY (296.53)
6:
Z
ch2 2ax dx
1
p
E(®; r):
=
2
2a
(1 + sh 2ax) sh 2ax
BY (296.51)
7:
Z
(1 ¡ sh 2ax)2 dx
1
p
=
[2E(®; r) ¡ F (®; r)]:
2a
(1 + sh 2ax)2 sh 2ax
BY (296.55)
8:
Z
p
sh 2ax dx
1
=
[F (®; r) ¡ E(®; r)]:
2
(1 + sh 2ax)
4a
BY (296.54)
In 2.464 9.-2.464 15., we set ® = arcsin
9:
Z
p
q
ch 2ax¡1
ch 2ax ,
r=
p1
2
[x=
= 0]:
1
= p F (®; r):
a 2
ch 2ax
dx
BY (296.00)
10:
Z p
1
sh 2ax
ch 2ax dx = p [F (®; r) ¡ 2E(®; r)] + p
:
a 2
a ch 2ax
BY (296.03)
11:
Z
p
1
p [2E(®; r) ¡ F (®; r)]:
=
a 2
ch3 2ax
dx
BY (296.04)
BY (296.04)
13:
Z
p
p
sh2 2ax dx
2
1
p
F (®; r) +
sh 2ax ch 2ax:
=¡
3a
3a
ch 2ax
BY (296.07)
14:
Z
p
th2 2ax dx
2
th 2ax
p
F (®; r) ¡ p
=
:
3a
ch 2ax
3a ch 2ax
BY (296.05)
142
15:
Z
p
sp2
1
ch 2ax dx
= p ¦(®; p2 ; r):
2
+ (1 ¡ p )ch 2ax
a 2
BY (296.02)
In 2.464 16.-2.464 20., we set
p
a2 + b2 ¡ a ¡ b sh x
® = arccos p
;
a2 + b2 + a + b sh x
r=
16:
Z
p
s
p
a + a2 + b2
p
2 a2 + b2
h
a > 0;
b > 0;
x > ¡Arsh
ai
:
b
1
dx
= p
F (®; r):
4
2
a + b sh x
a + b2
BY (298.00)
17:
Z
p
a + b sh x dx =
p
4
a2
+
b2 [F (®;
p
2b ch x a + b sh x
r) ¡ 2E(®; r)]+ p
:
a2 + b2 + a + b sh x
BY (298.02)
BY (298.03)
19:
Z
ch2 x dx
1
p
p
E(®; r):
=
[ a2 + b2 + a + b sh x]2 a + b sh x
b2 4 a2 + b2
p
BY (298.01)
20:
Z
[
p
p
a2
a + b sh x dx
1
p
= ¡p
E(®; r) +
4
2
2
2
2
+ b ¡ a ¡ b sh x]
a + b ( a2 + b2 ¡ a)
p
ch x a + b sh x
b
¢
:
+p
a2 + b2 ¡ a a2 + b2 ¡ (a + b sh x)2
BY (298.04)
q
¡
¢
a¡b
In 2.464 21.-2.464 31., we set ® = arcsin th x2 , r =
:
a+b [0 < b < a; x > 0]
21:
Z
p
2
dx
= p
F (®; r):
a + b ch x
a+b
BY (297.25)
22:
23:
Z
p
Z
p
2
2 a+b
2 xp
ch x dx
p
= p
F (®; r) ¡
E(®; r) + th
a + b ch x:
b
b 2
a + b ch x
a+b
p
xp
a + b ch x dx = 2 a + b[F (®; r) ¡ E(®; r)] + 2 th
a + b ch x:
2
BY (297.29)
BY (297.33)
143
24:
25:
Z
Z
x
p
2 a+b
2
p
dx =
[F (®; r) ¡ E(®; r)]:
a¡b
a + b ch x
th2
x
xp
p
sh
a + b ch x
2
a
+
b
2
2
2
p
dx =
[(3a+b)F
(®;
r)
¡
4aE(®;
r)]+
:
x
3(a ¡ b)2
3(a ¡ b)
a = b ch x
ch3
2
th4
BY (297.28)
26:
27:
28:
29:
30:
Z
Z
i
p
ch x ¡ 1
2 h xp
p
th
dx =
a + b ch x ¡ a + bE(®; r) :
b
2
a + b ch x
p
(ch x ¡ 1)2
4 a+b
p
dx =
[(a + 3b)E(®; r) ¡ bF (®; r)] +
3b2
a + b ch x
i xp
x
4 h
+ 2 b ch2 ¡ (a + 3b) th
a + b ch x:
3b
2
2
Z p
BY (297.31)
BY (297.31)
p
a + b ch x
dx = a + bE(®; r):
ch x + 1
Z
Z
BY (297.26)
p
a+b
2b
dx
p
p
=
F (®; r):
E(®; r) ¡
a¡b
(ch x + 1) a + b ch x
(a ¡ b) a + b
dx
p
(ch x + 1)2 a + b ch x
=
BY (297.30)
1
p
[b(5b ¡ a)F (®; r) +
3(a ¡ b)2 a + b
x
sh p
1
+(a¡3b)(a+b)E(®; r)]+
¢ 2 a + b ch x:
x
6(a ¡ b)
ch3
2
BY (297.30)
31:
Z
[1 +
p2
2
(1 + ch x) dx
p
= p
¦(®; p2 ; r):
2
+ (1 ¡ p )ch x] a + b ch x
a+b
BY (297.27)
In 2.464 32.-2.464 40., we set ® = arcsin
32:
Z
p
q
a¡b ch x
a¡b ; r
2
dx
= p
F (®; r):
a ¡ b ch x
a+b
=
q
a¡b
a+b
£
¤
0 < b < a; 0 < x < Arch ab :
33:
34:
Z
p
Z
p
p
a ¡ b ch x dx = 2 a + b [F (®; r) ¡ E(®; r)]:
BY (297.54)
p
ch x dx
2 a+b
2
=
E(®; r) ¡ p
F (®; r):
b
a ¡ b ch x
a+b
BY (297.56)
144
35:
36:
37:
38:
39:
Z
Z
Z
Z
Z
p
p
ch2 x dx
2(b ¡ 2a)
4a a + b
2
p
= p
F (®; r)+
E(®; r)+ sh x a ¡ b ch x:
2
3b
3b
a ¡ b ch x
3b a + b
p
2 a+b
(1 + ch x) dx
p
=
E(®; r):
b
a ¡ b ch x
•
¶
2b
a¡b
dx
p
= p
¦ ®;
;r :
a
ch x a ¡ b ch x
a a+b
1
1
xp
dx
p
= p
E(®; r) ¡
th
a ¡ b ch x:
a+b 2
(1 + ch x) a ¡ b ch x
a+b
dx
p
(1 + ch x)2
BY (297.56)
BY (297.51)
BY (297.57)
BY (297.58)
1
= p
[(a + 3b)E(®; r) ¡ bF (®; r)] ¡
a ¡ b ch x
3 (a + b)3
xp
th
a ¡ b ch x
1
2
¡
[2a+4b+(a+3b)ch x]:
3(a + b)2
ch x + 1
BY (297.58)
40:
Z
(a ¡ b ¡
ap2
2
dx
p
p
=
¦(®; p2 ; r):
2
+ bp ch x) a ¡ b ch x
(a ¡ b) a + b
In 2.464 41.-2.464 47., we set ® = arcsin
41:
42:
43:
44:
45:
46:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dx
p
=
b ch ¡ a
p
r
r
b(ch x¡1)
,
b ch x¡a
r=
q
a+b
2b
[0 < a < b; x > 0] :
2
F (®; r):
b
BY (297.00)
r
b ch x ¡ a dx = (b ¡ a)
dx
p
2
2b sh x
F (®; r) ¡ 2 2bE(®; r) + p
:
b
b ch x ¡ a
1
p
= 2
¢
3
b
¡
a2
(b ch x ¡ a)
r
BY (297.05)
2
[2bE(®; r) ¡ (b ¡ a)F (®; r)]:
b
BY (297.06)
r
2
1
p
=
[(b ¡ 3a)(b ¡ a)F (®; r)+8abE(®; r)]+
2 ¡ a2 )2
5
3(b
b
(b ch x ¡ a)
2b
sh x
¢p
:
+
2
2
3(b ¡ a )
(b ch x ¡ a)3
dx
ch x dx
p
=
b ch x ¡ a
r
2
2 sh x
:
[F (®; r) ¡ 2E(®; r)] + p
b
b ch x ¡ a
2
(ch x + 1) dx
p
=
b¡a
(b ch x ¡ a)3
r
BY (297.06)
BY (297.03)
2
E(®; r):
b
BY (297.01)
145
47:
Z
p
b ch x ¡ a dx
=
2
p b ¡ a + b(1 ¡ p2 )ch x
r
2
¦(®; p2 ; r):
b
BY (297.02)
In 2.464 48.-2.464 55., we set ® = arcsin
48:
49:
50:
51:
52:
53:
Z
p
r
b ch x¡a
,
b(ch x¡1)
r=
q
2b
a+b
£
¤
0 < b < a; x > Arch ab :
dx
2
= p
F (®; r):
b ch x ¡ a
a+b
Z
p
Z
x
p
cth 2 dx
2 a+b
2
p
=
E(®; r):
a¡b
b ch x ¡ a
p
xp
b ch x ¡ a dx = ¡2 a + bE(®; r) + 2 cth
b ch x ¡ a:
2
BY (297.79)
Z p
p
b ch x ¡ a
dx = a + b[F (®; r) ¡ E(®; r)]:
ch x ¡ 1
Z
Z
BY (297.75)
p
a+b
1
dx
p
=
F (®; r):
E(®; r) ¡ p
a¡b
(ch x ¡ 1) b ch x ¡ a
a+b
dx
p
(ch x ¡ 1)2 b ch x ¡ a
=
BY (297.76)
BY (297.77)
BY (297.78)
1
p
[(a ¡ 2b)(a ¡ b)F (®; r) +
3(a ¡ b)2 a + b
x
ch p
a+b
2
¢
+(3a¡b)(a+b)E(®; r)]+
b ch x ¡ a:
6b(a ¡ b)
3 x
sh
2
BY (297.78)
54:
Z
p
1
2 b ch x ¡ a
dx
p
= p
[F (®; r) ¡ E(®; r)] +
:
(a + b)sh x
(ch x + 1) b ch x ¡ a
a+b
BY (297.80)
BY (297.80)
55:
Z
dx
1
p
= p
[(a + b)F (®; r) ¡
(ch x + 1)2 b ch x ¡ a
3 (a + b)3
p
•
¶
b ch x ¡ a
a + 3b
2x
¡ th
2
:
¡(a+3b)E(®; r)]+
3(a + b)sh x
a+b
2
BY (297.80)
In2.464 56.-2.464 60., we set ® = arccos p
56:
Z
dx
p
=
a sh x + b ch x
r
p
4
b2 ¡a2
a sh x+b ch x
,r=
p1
2
h
i
0 < a < b; ¡Arsh pb2a¡a2 < x :
4
F (®; r):
b2 ¡ a2
4
BY (299.00)
146
57:
58:
59:
60:
Z
Z
Z
p
a sh x + b ch x dx =
p
dx
(a sh x + b ch x)3
p
4
=
2(a ch x + b sh x)
:
4(b2 ¡ a2 )[F (®; r)¡2E(®; r)]+ p
a sh x + b ch x
BY (299.02)
s
4
(b2
4
[2E(®; r) ¡ F (®; r)]:
¡ a2 )3
BY (299.03)
1
p
=
5
3
(a sh x + b ch x)
dx
s
4
(b2
2
4
a ch x + b sh x
¢p
F (®; r)+ 2
:
2
5
2
¡a )
3(b ¡ a )
(a sh x + b ch x)3
r
Z p 2
4
( b ¡ a2 + a sh x + b ch x) dx
p
=24 2
E(®; r):
3
b ¡ a2
(a sh x + b ch x)
2.47 Combinations of hyperbolic functions and powers
BY (299.03)
BY (299.01)
2.471
1:
∙
1
(p + q)xr shp=1 x chq¡1 x ¡
(p + q)2
Z
¡ rxr¡1 shp x chq x + r(r + 1) xr¡2 shp x chq x dx +
¸
Z
Z
p¡1
q¡1
p
q¡2
r¡1
r
+rp x
sh
x ch
x dx+(q¡1)(p+q) x sh x ch
x dx ;
∙
1
=
(p + q)xr shp¡1 x chq+1 x ¡
(p + q)2
Z
p
q
r¡1
¡ rx
sh x ch x + r(r ¡ 1) xr¡2 shp x chq x dx ¡
¸
Z
Z
¡rq xr¡1 shp¡1 x chq¡1 x dx¡(p¡1)(p+q) xr shp¡2 x chq x dx :
Z
xr shp x chq x dx =
GU ((353))(1)
2:
Z
x sh
3:
Z
xn sh2m+1 x dx =
4:
Z
5:
Z
n
2m
m
x dx = (¡1)
n
2m
n
2m+1
x ch
x ch
x dx =
•
x dx =
1
22m
•
• ¶Z
¶
P
1 m¡1
2m
xn+1
k 2m
+
(¡1)
xn ch(2m¡2k)x dx:
m 22m (n + 1) 22m¡1 k=0
k
m
P
k=0
(¡1)k
•
2m + 1
k
¶Z
xn sh(2m ¡ 2k + 1)x dx:
¶
• ¶Z
P 2m
1 m¡1
2m
xn+1
+
xn ch(2m¡2k)x dx:
m 22m (n + 1) 22m¡1 k=0
k
1
22m
m
P
k=0
•
2m + 1
k
¶Z
xn ch(2m ¡ 2k + 1)x dx:
147
2.472
1:
Z
n
n
x sh x dx = x ch x ¡ n
n
Z
xn¡1 ch x dx =
n¡1
= x ch x ¡ nx
Z
sh x + n(n ¡ 1) xn¡2 sh x dx:
2.473
Notation: z1= a + bx
1:
Z
z1 sh kx dx =
1
b
z1 ch kx ¡ 2 sh kx:
k
k
2:
Z
z1 ch kx dx =
1
b
z1 sh kx ¡ 2 ch kx:
k
k
3:
Z
z12 sh kx dx
1
=
k
•
4:
Z
z12 ch kx dx
1
=
k
•
5:
Z
z13 sh kx dx
z1
=
k
•
6:
Z
z13
z1
ch kx dx =
k
•
7:
Z
z14 sh kx dx =
z12
z12
2b2
+ 2
k
¶
ch kx ¡
2bz1
sh kx:
k2
2b2
+ 2
k
¶
sh kx ¡
2bz1
ch kx:
k2
148
1
k
•
z12
z12
6b2
+ 2
k
¶
3b
ch kx ¡ 2
k
•
6b2
+ 2
k
¶
3b
sh kx ¡ 2
k
•
z14 +
12b2 2 24b4
z + 4
k2 1
k
¶
z12
z13
2b2
+ 2
k
¶
sh kx:
2b2
+ 2
k
¶
ch kx:
ch kx ¡
4bz1
k2
•
z12 +
6b2
k2
¶
sh kx:
•
8:
Z
z14 ch kx dx
9:
Z
z15
z1
sh kx dx =
k
•
z14
10:
Z
z15
z1
ch kx dx =
k
•
z14
11:
Z
z16 sh kx dx =
12:
Z
z16
1
=
k
z14
4bz1
sh kx ¡ 2
k
•
20b2
b4
+ 2 z12 + 120 4
k
k
¶
5b
ch kx¡ 2
k
•
b2
b4
+ 20 2 z12 + 120 4
k
k
¶
5b
sh kx¡ 2
k
•
12b2
24b4
+ 2 z12 + 4
k
k
¶
¶
z12
6b2
+ 2
k
z14
b2
b4
+ 12 2 z12 + 24 4
k
k
¶
sh kx:
b2
b4
+ 12 2 z12 + 24 4
k
k
¶
ch kx:
z14
ch kx:
•
¶
b2
b4
b6
z16 + 30 2 z14 + 360 4 z12 + 720 6 ch kx ¡
k
k
k
•
¶
2
4
b
b
6bz1
z14 + 20 2 z12 + 120 4 sh kx:
¡ 2
k
k
k
1
k
•
¶
b2 4
b4 2
b6
+ 30 2 z1 + 360 4 z1 + 720 6 sh kx ¡
k
k
k
•
¶
2
4
b
b
6bz1
¡ 2
z14 + 20 2 z1 + 120 4 ch kx:
k
k
k
1
ch kx dx =
k
z16
2.474
1:
2:
Z
Z
P
xn+1
n! [n=2]
x sh x dx = ¡
+
2(n + 1) 4 k=0
n
2
P
xn+1
n! [n=2]
x ch x dx =
+
2(n + 1) 4 k=0
n
2
3:
Z
x sh2 x dx =
4:
Z
1
x sh x dx =
4
2
2
½
½
¾
xn¡2k¡1
xn¡2k
sh 2x ¡ 2k+1
ch 2x :
22k (n ¡ 2k)!
2
(n ¡ 2k ¡ 1)!
GU ((353))(2b)
¾
xn¡2k¡1
xn¡2k
sh 2x ¡ 2k+1
ch 2x :
22k (n ¡ 2k)!
2
(n ¡ 2k ¡ 1)!
GU ((353))(3e)
1
1
x2
x sh 2x ¡ ch 2x ¡
:
4
8
4
•
1
x +
2
2
¶
sh 2x ¡
x3
x
ch 2x ¡
:
4
6
5:
Z
x ch2 x dx =
6:
Z
1
x ch x dx =
4
x
x2
1
sh 2x ¡ ch 2x +
:
4
8
4
149
2
2
•
1
x +
2
2
¶
x3
x
ch 2x +
:
4
6
sh 2x ¡
MZ 261
7:
8:
Z
Z
9:
Z
10:
Z
P
n! [n=2]
x sh x dx =
4 k=0
n
3
xn ch3 x dx =
x sh3 x dx =
2
P
n! [n=2]
4 k=0
½
xn¡2k
(n ¡ 2k)!
•
¶
•
¶¾
xn¡2k¡1
ch 3x
sh 3x
¡ 3 ch x ¡
¡ 3 sh x
:
32k+1
(n ¡ 2k ¡ 1)! 32k+2
GU ((353))(2f)
½
xn¡2k
(n ¡ 2k)!
•
¶
•
¶¾
xn¡2k¡1
sh 3x
ch 3x
+
3
sh
x
¡
+
3
ch
x
:
32k+1
(n ¡ 2k ¡ 1)! 32k+2
GU ((353))(3f)
3
1
3
x
sh x ¡ sh 3x ¡ x ch x ¡ ch 3x:
4
36
4
12
3
x sh x dx = ¡
•
3
3x2
+
4
2
¶
•
1
x2
ch x+
+
12
54
¶
ch 3x+
3x
x
sh x ¡ sh 3x:
2
18
MZ 257
11:
Z
12:
Z
3
x
3
1
x ch3 x dx = ¡ ch x ¡ ch 3x + x sh x +
sh 3x:
4
36
4
12
2
3
x ch x dx =
•
3 2 3
x +
4
2
¶
sh x +
•
1
x2
+
12
54
¶
3
x
sh 3x ¡ x ch x ¡ ch 3x:
2
18
MZ 262
2.475
GU ((353))(6a)
2:
Z
chq x
(p ¡ 2)chq x + qx chq¡1 x sh x
dx
=
¡
¡
xp
(p ¡ 1)(p ¡ 2)xp¡1
Z
Z
chq¡2 x
chq x
q2
q(q ¡ 1)
¡
dx+
dx
(p ¡ 1)(p ¡ 2)
xp¡2
(p ¡ 1)(p ¡ 2) xp¡2
[p > 2]:
GU ((353))(7a)
3:
4:
Z
Z
sh x
1
dx = ¡
2n
x
x(2n ¡ 1)!
1
sh x
dx = ¡
2n+1
x
x(2n)!
½ n¡2
¾
n¡1
P (2k + 1)!
P (2k)!
1
chi(x):
ch x +
sh x +
2k+1
2k
(2n ¡ 1)!
k=0 x
k=0 x
½ n¡1
¾
n¡1
P (2k)!
P (2k + 1)!
1
ch x +
sh x +
shi(x):
2k
2k+1
(2n)!
k=0 x
k=0 x
GU ((353))(6b)
GU ((353))(6b)
150
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
1
ch x
dx = ¡
2n
x
x(2n ¡ 1)!
1
ch x
dx = ¡
2n+1
x
(2n)!x
½ n¡2
¾
n¡1
P (2k + 1)!
P (2k)!
1
ch x +
ch x +
shi(x):
2k+1
2k
(2n ¡ 1)!
k=0 x
k=0 x
½ n¡1
¾
n¡1
P (2k)!
P (2k + 1)!
1
sh x +
ch x +
chi(x):
2k
2k+1
(2n)!
k=0 x
k=0 x
• ¶
• ¶
P
1 m¡1
sh2m x
(¡1)m 2m
k 2m
dx = 2m¡1
(¡1)
chi(2m¡2k)x+ 2m
ln x:
x
2
2
k
m
k=0
•
¶
m
1 P
sh2m+1 x
k 2m + 1
dx = 2m
(¡1)
shi(2m ¡ 2k + 1)x:
x
2 k=0
k
GU ((353))(7b)
GU ((353))(7b)
GU ((353))(6c)
9:
10:
Z
Z
• ¶
• ¶
P 2m
ch2m x
1 m¡1
1 2m
dx = 2m¡1
chi(2m ¡ 2k)x + 2m
ln x:
x
2
2
k
m
k=0
GU ((353))(7c)
¶
•
m
ch2m+1 x
1 P
2m + 1
dx = 2m
chi(2m ¡ 2k + 1)x:
x
2 k=0
k
GU ((353))(7c)
11:
Z
• ¶
sh2m x
(¡1)m¡1 2m
+
dx
=
m
x2
22m x
¾
• ¶½
P
1 m¡1
ch(2m ¡ 2k)x
2m
¡ (2m ¡ 2k)shi(2m ¡ 2k)x :
+ 2m¡1
(¡1)k+1
2
x
k
k=0
12:
Z
•
¶
m
sh2m+1 x
1 P
k+1 2m + 1
dx = 2m
(¡1)
£
x2
2 k=0
k
¾
½
sh(2m ¡ 2k + 1)x
¡ (2m ¡ 2k + 1)chi(2m ¡ 2k + 1)x :
£
x
13:
Z
• ¶
¾
• ¶½
P 2m
1
ch2m x
2m
1 m¡1
ch(2m ¡ 2k)x
dx = ¡ 2m
¡ (2m ¡ 2k)shi(2m ¡ 2k)x :
¡ 2m¡1
x2
2 x m
2
x
k
k=0
14:
Z
¾
•
¶½
m
1 P
ch2m+1 x
2m + 1
ch(2m ¡ 2k + 1)x
dx = ¡ 2m
¡ (2m ¡ 2k + 1)shi(2m ¡ 2k + 1)x :
x2
2 k=0
x
k
2.476
1:
Z
∙
¸
1
ka
ka
sh kx
dx =
ch
shi(u) ¡ sh
chi(u) ;
a + bx
b
b
b
∙
•
¶
• ¶
¸
1
ka
ka
=
exp ¡
Ei(u) ¡ exp
Ei(¡u)
2b
b
b
∙
¸
k
u = (a + bx) :
b
Z
∙
¸
1
ka
ka
ch kx
dx =
ch chi(u) ¡ sh shi(u) ;
a + bx
b
b
b
∙
•
¶
• ¶
¸
1
ka
ka
=
exp ¡
Ei (u) + exp
Ei (¡u)
2b
b
b
∙
¸
k
u = (a + bx) :
b
151
2:
3:
Z
sh kx
k
1 sh kx
dx = ¡ ¢
+
(a + bx)2
b a + bx
b
Z
ch kx
dx
a + bx
see 2.476 2. ):
2.476
4:
Z
ch kx
k
1 ch kx
+
dx = ¡ ¢
2
(a + bx)
b a + bx
b
Z
sh kx
dx
a + bx
see 2.476 1. ):
2.476
5:
Z
sh kx
k2
sh kx
k ch kx
dx = ¡
¡ 2
+ 2
3
2
(a + bx)
2b(a + bx)
2b (a + bx) 2b
Z
sh kx
dxsee 2.476 1. ):
a + bx
2.476
6:
Z
ch kx
k sh kx
k2
ch kx
dx
=
¡
¡
+
(a + bx)3
2b(a + bx)2 2b2 (a + bx) 2b2
Z
ch kx
dxsee 2.476 2. ):
a + bx
2.476
7:
Z
Z
sh kx
k ch kx
k 2 sh kx
k3
sh kx
ch kx
dx
=
¡
¡
¡
+
dx
(a + bx)4
3b(a + bx)3 6b2 (a + bx)2 6b3 (a + bx) 6b3 a + bx
see 2.476 2. ):
2.476
8:
Z
Z
k3
ch kx
k sh kx
k 2 ch kx
ch kx
sh kx
dx
=
¡
¡
¡
+
dx
(a + bx)4
3b(a + bx)3 6b2 (a + bx)2 6b3 (a + bx) 6b3 a + bx
see 2.476 1. ):
2.476
9:
Z
sh kx
k ch kx
k 2 sh kx
sh kx
dx = ¡
¡
¡
¡
5
4
2
3
(a + bx)
4b(a + bx)
12b (a + bx)
24b3 (a + bx)2
Z
k4
k 3 ch kx
sh kx
¡
+
dx
see 2.476 1. ):
24b4 (a + bx)
24b4 a + bx
10:
Z
ch kx
ch kx
k sh kx
k 2 ch kx
dx
=
¡
¡
¡
¡
(a + bx)5
4b(a + bx)4
12b2 (a + bx)3
24b3 (a + bx)2
Z
k4
k 3 sh kx
ch kx
+
dx
see 2.476 2. ):
¡
4
4
24b (a + bx)
24b
a + bx
2.476
11:
Z
sh kx
sh kx
k ch kx
k 2 sh kx
k 3 ch kx
dx
=
¡
¡
¡
¡
¡
(a + bx)6
5b(a + bx)5 20b2 (a + bx)4 60b3 (a + bx)3 120b4 (a + bx)2
Z
k5
k4 sh kx
ch kx
¡
+
dx
see 2.476 2. ):
5
5
120b (a + bx)
120b
a + bx
2.476
12:
Z
ch kx
k sh kx
k 2 ch kx
k 3 sh kx
ch kx
dx
=
¡
¡
¡
¡
¡
(a + bx)6
5b(a + bx)5 20b2 (a + bx)4 60b3 (a + bx)3 120b4 (a + bx)2
Z
k 4 ch kx
k5
sh kx
¡
+
dx
see 2.476 1. ):
120b5 (a + bx)
120b5 a + bx
2.476
152
2.477
1:
2:
Z
Z
¡pxp¡1 sh x ¡ (q ¡ 2)xp ch x
p(p ¡ 1)
xp dx
=
+
q
q¡1
sh x
(q
¡
1)(q ¡ 2)
(q ¡ 1)(q ¡ 2)sh
x
Z
p
q¡2
x dx
¡
[q > 2]:
q ¡ 1 shq¡2 x
pxp¡1 ch x + (q ¡ 2)xp sh x
p(p ¡ 1)
xp dx
¡
=
q
q¡1
ch x
(q
¡
1)(q ¡ 2)
(q ¡ 1)(q ¡ 2)ch
x
Z
p
q¡2
x dx
+
[q > 2]:
q ¡ 1 chq¡2 x
Z
Z
xp¡2
dx ¡
shq¡2 x
GU ((353))(8a)
xp¡2 dx
+
chq¡2 x
GU ((353))(10a)
GU((353))(8b)
4:
5:
Z
Z
1
P
xn
E2k xn+2k+1
dx =
ch x
k=0 (n + 2k + 1)(2k)!
h
jxj <
dx
2n¡1 ¡ 1
= ¡ [1 + (¡1)n ]
Bn ln x +
sh x
n!
1
P
2 ¡ 22k
B2k x2k¡n
+
k=0 (2k ¡ n)(2k)!
n
¼
;
2
i
n¸0 :
GU ((353))(10b)
xn
k=
=
[jxj < ¼;
n ¸ 1]:
2
GU ((353))(9b)
6:
Z
1
P
dx
=
n
x ch x
k=0
k=
=
+
7:
8:
9:
Z
Z
Z
n¡1
2
E2k
1
x2k¡n+1 + [1 ¡ (¡1)n¡1 ] +
(2k ¡ n + 1)(2k)!
2
En¡1
ln x
(n ¡ 1)!
h
jxj <
¼i
:
2
GU ((353))(11b)
1
P
22k B2k
xn
n
dx
=
¡
x
cth
x+n
xn+2k¡1
sh2 x
k=0 (n + 2k ¡ 1)(2k)!
1 22k (22k ¡ 1)B
P
xn
2k
n
dx
=
x
th
x
¡
n
xn+2k¡1
(n
+
2k
¡
1)(2k)!
ch2 x
k=1
[n > 1;
jxj < ¼]:
GU ((353))(8c)
h
n > 1;
jxj <
¼i
:
2
GU ((353))(10c)
2n n
cth x
dx
= ¡ n ¡ [1 ¡ (¡1)n ]
Bn+1 ln x ¡
2
x
(n + 1)!
xn sh x
1
P
k
B2k
n
¡ n+1
(2x)2
[jxj < ¼]:
x
(2k ¡ n ¡ 1)(2k)!
k=0
k=
=
n+1
2
GU ((353))(9c)
153
10:
Z
dx
th x
2n(2n+1 ¡ 1)n
n
+
[1
¡
(
¡
1)
]
¡
Bn+1 ln x +
=
xn
(n + 1)!
xn ch2 x
h
P
k
n
(22k ¡ 1)B2k
¼i
+ n+1
(2x)2
:
jxj <
x
(2k ¡ n ¡ 1)(2k)!
2
k=1
k=
=
n+1
2
GU ((353))(11c)
11:
Z
x
2n
sh x
dx =
n¡1
P
(2n ¡ 2)(2n ¡ 4) . . . (2n ¡ 2k + 2)
£
(2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1)
k=1
¾
½
Z
x dx
1
x ch x
n¡1 (2n ¡ 2)!!
£
+
+(
¡
1)
2n¡2k+1
2n¡2k
(2n
¡
1)!!
sh2 x
sh
x (2n ¡ 2k)sh
x
(see 2.477 17.).
(¡1)k
2.477
GU ((353))(8e)
12:
Z
x
sh
2n¡1
x
dx =
n¡1
P
(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k + 1)
£
(2n ¡ 2)(2n ¡ 4) . . . (2n ¡ 2k)
k=1
½
¾
Z
1
x ch x
x dx
n¡1 (2n ¡ 3)!!
£
+
+(
¡
1)
2n¡2k
2n¡2k¡1
(2n
¡
2)!!
sh x
sh
x (2n ¡ 2k ¡ 1)sh
x
(see 2.477 15.).
(¡1)k
2.477
GU ((353))(8e)
13:
Z
x
2n
ch x
dx =
n¡1
P
(2n ¡ 2)(2n ¡ 4) . . . (2n ¡ 2k + 2)
£
k=1 (2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1)
½
¾
Z
1
(2n ¡ 2)!! x dx
x sh x
£
+
+
(2n ¡ 1)!! ch2 x
ch2n¡2k+1 x (2n ¡ 2k)ch2n¡2k x
(see 2.477 18.).
2.477
GU ((353))(10e)
14:
Z
x
ch
2n¡1
x
dx =
n¡1
P
(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k + 1)
£
(2n ¡ 2)(2n ¡ 4) . . . (2n ¡ 2k)
k=1
½
¾
Z
1
(2n ¡ 3)!! x dx
x sh x
£
+
+
(2n ¡ 2)!! ch x
ch2n¡2k x (2n ¡ 2k ¡ 1)ch2n¡2k¡1 x
(see 2.477 16.).
2.477
GU ((353))(10e)
15:
16:
17:
18:
19:
Z
Z
1
P
x dx
2 ¡ 22k
=
B2k x2k+1
sh x
k=0 (2k + 1)(2k)!
1
P
x dx
E2k x2k+2
=
ch x
k=0 (2k + 2)(2k)!
jxj <
jxj < ¼:
GU ((353))(8b)a
¼
:
2
GU ((353))(10b)a
Z
x dx
= ¡x cth x + ln sh x:
sh2 x
Z
x dx
= x th x ¡ ln ch x:
ch2 x
Z
x ch x
1
1
x dx
=¡
3
2 ¡ 2 sh x ¡ 2
sh x
2 sh x
MZ 257
MZ 262
Z
x dx
sh x
(see 2.477 15. ):
2.477
MZ 257
154
20:
Z
x sh x
1
1
x dx
=
+
+
2 ch x 2
ch3 x
2 ch2 x
Z
x dx
ch x
(see 2.477 16. ):
2.477
MZ 262
21:
Z
1
2
x ch x
2
x dx
¡
=¡
4
3
2 + 3 x cth x ¡ 3 ln sh x:
sh x
3 sh x 6 sh x
22:
23:
Z
x dx
x sh x
1
2
2
4 =
3 +
2 + 3 x th x ¡ 3 ln ch x:
ch x
3 ch x
6 ch x
Z
x dx
1
3x ch x
3
3
x ch x
5 =¡
4 ¡
3 +
2 + 8 sh x + 8
sh x
4 sh x 12 sh x 8 sh x
MZ 262
Z
x dx
sh x
(see 2.477 15. ):
2.477
MZ 258
24:
Z
x dx
3
x sh x
1
3x sh x
3
5 =
4 +
3 +
2 + 8 ch x + 8
ch x
4 ch x 12 ch x 8 ch x
Z
x dx
ch x
(see 2.477 16. ):
2.477
MZ 262
2.478
1:
Z
xn
n
xn ch x dx
=
¡
+
(a + b sh x)m
(m ¡ 1)b(a + b sh x)m¡1 (m ¡ 1)b
Z
xn¡1 dx
(a + b sh x)m¡1
[m=
= 1]:
MZ 263
2:
Z
xn
n
xn sh x dx
=
¡
+
m
m¡1
(a + b ch x)
(m ¡ 1)b(a + b ch x)
(m ¡ 1)b
Z
xn¡1 dx
(a + b ch x)m¡1
[m=
= 1]:
MZ 263
3:
Z
x
x
x dx
= x th ¡ 2 ln ch :
1 + ch x
2
2
4:
Z
x
x
x dx
= x cth ¡ 2 ln sh :
1 ¡ ch x
2
2
5:
Z
x sh x dx
x
x
=¡
+ th :
2
(1 + ch x)
1 + ch x
2
Z
6:
7:
Z
x
x sh x dx
x
¡ cth :
=
(1 ¡ ch x)2
1 ¡ ch x
2
MZ 262-264
x dx
1
=
[L(u + t) ¡ L(u ¡ t) ¡ 2L(t)]
ch 2x ¡ cos 2t
2 sin 2t
[u = arctg(th x ctg t);
t=
= § n¼]:
LO III 402
8:
Z
•
∙ •
¶
¶
•
¶
u¡t
x ch x dx
u+t
1
À+t
¡L
=
L
+L ¼¡
+
ch 2x ¡ cos 2t
2 sin t
2
2
2
• ¶
•
•
¶
¶¸
t
¼¡t
À¡t
¡ 2L
¡ 2L
+L
2
2
2
∙
•
¶
•
¶
¸
x
t
t
x
u = 2 arctg th ¢ ctg
; À = 2 arctg cth ¢ ctg
; t=
= § n¼ :
2
2
2
2
LO III 403
2.479
1:
Z
• ¶Z
m
P
x
xp dx
m+k m
x
dx =
(¡1)
n
ch x
k
chn¡2k x
k=0
p sh
2m
(see 2.477 2. ):
2.477
155
2:
Z
p sh
x
2m+1
chn x
x
dx =
m
P
k=0
m+k
(¡1)
• ¶Z
sh x
m
xp n¡2k dx
k
ch
x
[n > 1]
(see 2.479 3. )
2.479
3:
Z
sh x
p
xp
x
+
n dx = ¡
n¡1
ch x
(n ¡ 1)ch
x n¡1
p
Z
xp¡1 dx
chn¡1 x
[n > 1]
(see 2.477 2. ):
2.477
GU ((353))(12)
2.477
5:
Z
p ch
x
2m+1
x
shn x
• ¶Z p
x ch x
m
dx =
dx
k
shn¡2k x
k=0
m
P
(see 2.479 6. ):
2.479
6:
Z
ch x
p
xp
x
+
n dx = ¡
n¡1
sh x
(n ¡ 1)sh
x n¡1
p
Z
xp¡1 dx
shn¡1 x
[n > 1]
(see 2.477 1. ):
2.477
GU ((353))(13c)
7:
8:
Z
Z
xp th x dx =
xp cth x dx =
1 22k (22k ¡ 1)B
P
2k p+2k
x
(2k
+
p)(2k)!
k=1
1
P
k=0
22k B2k
xp+2k
(p + 2k)(2k)!
9:
Z
x
x
x ch x
dx = ln th ¡
:
2
2
sh x
sh x
10:
Z
x
x sh x
dx = ¡
+ arctg( sh x):
2
ch x
ch x
h
p > ¡1;
[p ¸ +1;
jxj <
¼i
:
2
GU ((353))(12d)
jxj < ¼]:
GU ((353))(13d)
MZ 263
2.48 Combinations of hyperbolic functions, exponentials, and powers
2.481
For a2 = b2 :
3:
Z
1 2ax+c
1
e
eax sh(ax + c) dx = ¡ xe¡c +
:
2
4a
4:
Z
e¡ax sh(ax + c) dx =
5:
Z
eax ch(ax + c) dx =
6:
Z
e¡ax ch(ax + c) dx =
1 c
1 ¡(2ax+c)
xe +
e
:
2
4a
1 ¡c
1 2ax+c
:
xe +
e
2
4a
1 c
1 ¡(2ax+c)
xe ¡
e
:
2
4a
MZ 275-277
156
2.482
1:
Z
p ax
x e
1
sh bx dx =
2
½Z
p (a+b)x
x e
dx ¡
Z
p (a¡b)x
x e
¾
dx
[a2 =
= b2 ]see 2.321).
2.321
2:
Z
p ax
x e
1
ch bx dx =
2
½Z
p (a+b)x
x e
dx +
Z
p (a¡b)x
x e
¾
dx
[a2 =
= b2 ]see2:321):
2.321
For a2 = b2 :
3:
Z
p ax
x e
1
sh ax dx =
2
Z
xp e2ax dx ¡
xp+1
2(p + 1)
(see 2.321 ):
4:
Z
p ¡ax
x e
Z
xp+1
1
¡
sh ax dx =
2(p + 1)
2
xp e¡2ax dx
(see 2.321 ):
2.321
5:
Z
xp eax ch ax dx =
xp+1
1
+
2(p + 1)
2
Z
xp e2ax dx
(see 2.321 )
2.321
MZ 276, 278
2.483
eax
sh bx dx = 2
a ¡ b2
∙•
eax
ch bx dx = 2
a ¡ b2
∙•
1:
Z
2:
Z
xe
3:
Z
x2 eax sh bx dx =
4:
Z
ax
xe
ax
2 ax
x e
a2 + b2
ax ¡ 2
a ¡ b2
a2 + b2
ax ¡ 2
a ¡ b2
5:
ax
xe
¶
•
¶
¸
ch bx
= b2 ]:
[a2 =
•
¶
¸
sh bx
= b2 ]:
[a2 =
2ab
sh bx ¡ bx ¡ 2
a ¡ b2
2ab
ch bx ¡ bx ¡ 2
a ¡ b2
½∙
¸
eax
2(a2 + b2 )
2a(a2 + 3b2 )
2
¡
x
+
ax
sh bx¡
a2 ¡ b2
a2 ¡ b2
(a2 ¡ b2 )2
¸
¾
∙
4ab
2b(3a2 + b2 )
x
+
= b2 ]:
ch
x
[a2 =
¡ bx2 ¡ 2
a ¡ b2
(a2 ¡ b2 )2
½∙
¸
eax
2a(a2 + 3b2 )
2(a2 + b2 )
2
ch bx dx = 2
x+
ax ¡
ch bx¡
a ¡ b2
a2 ¡ b2
(a2 ¡ b2 )2
∙
¸
¾
2b(3a2 + b2 )
4ab
x
+
= b2 ]:
¡ bx2 ¡ 2
sh x
[a2 =
a ¡ b2
(a2 ¡ b2 )2
For a2 = b2 :
Z
¶
e2ax
sh ax dx =
4a
•
1
x¡
2a
¶
¡
x2
:
4
6:
Z
¡ax
xe
e¡2ax
sh ax dx =
4a
•
1
x+
2a
¶
+
x2
:
4
MZ 276, 278
157
•
¶
7:
Z
8:
Z
9:
Z
10:
Z
x e
11:
Z
x2 eax ch ax dx =
1:
Z
eax sh bx
1
dx
= fEi[(a + b)x] ¡ Ei[(a ¡ b)x]g
x
2
[a2 =
= b2 ]:
2:
Z
eax ch bx
dx
1
= fEi[(a + b)x] + Ei[(a ¡ b)x]g
x
2
[a2 =
= b2 ]:
3:
Z
eax sh bx
dx
eax sh bx 1
=
¡
+ f(a+b)Ei[(a+b)x]¡(a¡b)Ei[(a¡b)x]g
x2
2x
2
[a2 =
= b2 ]:
4:
Z
eax ch bx
dx
eax ch bx 1
=
¡
+ f(a+b)Ei[(a+b)x]+(a¡b)Ei[(a¡b)x]g
x2
2x
2
[a2 =
= b2 ]:
xeax ch ax dx =
¡ax
xe
2 ax
x e
x2
e2ax
+
4
4a
x¡
x2
e¡2ax
¡
ch ax dx =
4
4a
e2ax
sh ax dx =
4a
2 ¡ax
•
•
1
2a
2
•
¶
:
¶
¡
x3
:
6
¶
+
x3
:
6
¶
:
1
x+
2a
x
1
x ¡ + 2
a
2a
e¡2ax
sh ax dx =
4a
:
x
1
x + + 2
a
2a
x3
e2ax
+
6
4a
2
•
x2 ¡
x
1
+ 2
a
2a
2.484
For a2 = b2 :
5:
Z
eax sh ax
6:
Z
e¡ax sh ax
7:
Z
eax ch ax
dx
1
= [ln x + Ei(2ax)]:
x
2
8:
Z
eax sh ax
dx
1
= ¡ (e2ax ¡ 1) + a Ei(2ax):
2
x
2x
9:
Z
e¡ax sh ax
10:
Z
eax ch ax
dx
1
= [Ei(2ax) ¡ ln x]:
x
2
dx
1
= [ln x ¡ Ei(¡2ax)]:
x
2
dx
1
= ¡ (1 ¡ e¡2ax ) + a Ei(¡2ax):
x2
2x
dx
1
= ¡ (e2ax + 1) + a Ei(2ax):
2
x
2x
MZ 276, 278
158
2.5-2.6 Trigonometric Functions
2.50 Introduction
2.501
R
Integrals of the form R(sin x; cos x) dx can always be reduced to integrals of rational functions by means of the substitution
t = tg x2 .
2.502
If R(sin x; cos x) satisfies the relation
R(sin x; cos x) = ¡R(¡ sin x; cos x);
it is convenient to make the substitution t = cos x:
2.503
If this function satisfies the relation
R(sin x; cos x) = ¡R(sin x; ¡ cos x);
it is convenient to make the substitution t = sin x:
2.504
If this function satisfies the relation
R(sin x; cos x) = R(¡ sin x; ¡ cos x);
it is convenient to make the substitution t = tg x:
2.51-2.52 Powers of trigonometric functions
2.510
Z
Z
sinp¡1 x cos q+1 x
p¡1
+
sinp¡2 x cos q+2 x dx;
q+1
q+1
Z
p¡1
sinp¡1 x cos q+1 x
=¡
+
sinp¡2 x cos q x dx;
p+q
p+q
Z
sinp+1 x cos q+1 x
p+q+2
=
+
sinp+2 x cos q x dx;
p+1
p+1
Z
sinp+1 x cos q¡1 x
q¡1
=
+
sinp+2 x cosq¡2 x dx;
p+1
p+1
Z
sinp+1 x cos q¡1 x
q¡1
=
+
sinp x cos q¡2 x dx;
p+q
p+q
Z
p+q+2
sinp+1 x cos q+1 x
=¡
+
sinp x cos q+2 x dx;
q+1
q+1
½
¾
sinp¡1 x cos q¡1 x
q¡1
2
=
sin x ¡
+
p+q
p+q¡2
Z
(p ¡ 1)(q ¡ 1)
+
sinp¡2 x cosq¡2 x dx:
(p + q)(p + q ¡ 2)
sinp x cos q x dx = ¡
FI II 89, TI 214
159
2.511
1:
Z
p
sin x cos
2n
sinp+1 x
x dx =
2n + p
½
(2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1) cos 2n¡2k¡1 x
cos
x+
(2n + p ¡ 2)(2n + p ¡ 4) . . . (2n + p ¡ 2k)
k=1
Z
(2n ¡ 1)!!
sinp x dx:
+
(2n + p)(2n + p ¡ 2) . . . (p + 2)
2n¡1
n¡1
P
¾
+
This formula is applicable for arbitrary real p except for the following negative even integers:
¡2, ¡4, . . . ,¡2n. If p is a natural number and n = 0, we have:
2:
Z
½
¾
l¡1
P (2l ¡ 1)(2l ¡ 3) . . . (2l ¡ 2k + 1)
cos x
2l¡1
2l¡2k¡1
sin x dx = ¡
sin
x+
sin
x +
2l
2k (l ¡ 1)(l ¡ 2) . . . (l ¡ k)
k=1
(2l ¡ 1)!!
+
x
(see also 2.513 1. ):
2l l!
2l
2.513
TI (232)
3:
Z
sin2l+1 x dx = ¡
cos x
2l + 1
½
sin2l x +
l¡1
P
k=0
¾
2k+1 l(l ¡ 1) . . . (l ¡ k)
sin2l¡2k¡2 x
(2l ¡ 1)(2l ¡ 3) . . . (2l ¡ 2k ¡ 1)
(see also 2.513 2.).
2.513
TI (233)
4:
Z
sinp x cos 2n+1 x dx=
½
¾
n
P
sinp+1 x
2k n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k + 1) cos2n¡2k x
cos 2n x+
:
2n + p + 1
k=1 (2n + p ¡ 1)(2n + p ¡ 3) . . . (2n + p ¡ 2k + 1)
This formula is applicable for arbitrary real p except for the negative odd integers: ¡1; ¡3; . . . ; ¡(2n + 1):
2.512
1:
Z
cosp x sin2n x dx =
(
)
n¡1
P (2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1) sin2n¡2k¡1 x
cosp+1 x
2n¡1
=¡
x+
sin
+
2n + p
(2n + p ¡ 2)(2n + p ¡ 4) . . . (2n + p ¡ 2k)
k=1
Z
(2n ¡ 1)!!
cos p x dx:
+
(2n + p)(2n + p ¡ 2) . . . (p + 2)
p
¡2, ¡4, . . . ,¡2n. If p is a natural number and n = 0, we have
2:
Z
½
¾
l¡1
P (2l ¡ 1)(2l ¡ 3) . . . (2l ¡ 2k + 1)
sin x
2l¡1
2l¡2k¡1
cos x dx =
cos
x+
cos
x +
2l
2k (l ¡ 1)(l ¡ 2) . . . (l ¡ k)
k=1
(2l ¡ 1)!!
x
+
2l l!
2l
TI (230)
3:
Z
cos
2l+1
sin x
x dx =
2l + 1
½
2l
cos x +
l¡1
P
k=0
¾
2k+1 l(l ¡ 1) . . . (l ¡ k)
2l¡2k¡2
cos
x
(2l ¡ 1)(2l ¡ 3) . . . (2l ¡ 2k ¡ 1)
2.513
TI (231)
4:
Z
cosp x sin2n+1 x dx =
(
)
n
P
cos p+1 x
2k n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k + 1) sin2n¡2k x
2n
=¡
sin x +
:
2n + p + 1
k=1 (2n + p ¡ 1)(2n + p ¡ 3) . . . (2n + p ¡ 2k + 1)
This formula is applicable for arbitrary real p except for the following negative odd integers: ¡1, ¡3, . . . , ¡(2n + 1) .
2.513
1:
Z
sin
2n
• ¶
• ¶
P
1 2n
(¡1)n n¡1
k 2n sin(2n ¡ 2k)x
x dx = 2n
(¡1)
x + 2n¡1
2
2
2n ¡ 2k
n
k
k=0
2.511
TI (226)
2:
Z
sin2n+1 x dx =
•
¶
n
1
n+1 P
k 2n + 1 cos(2n + 1 ¡ 2k)x
(
¡
1)
(
¡
1)
22n
2n + 1 ¡ 2k
k
k=0
2.511
TI (227)
3:
Z
cos 2n x dx =
• ¶
• ¶
P 2n sin(2n ¡ 2k)x
1 2n
1 n¡1
x
+
22n n
22n¡1 k=0 k
2n ¡ 2k
2.512
TI (224)
4:
Z
cos 2n+1 x dx =
¶
•
n
1 P
2n + 1 sin(2n ¡ 2k + 1)x
22n k=0
2n ¡ 2k + 1
k
(see also 2.512 3. ):
2.512
TI (225)
5:
Z
1
1
1
1
sin2 x dx = ¡ sin 2x + x = ¡ sin x cos x + x:
4
2
2
2
6:
Z
sin3 x dx =
7:
Z
sin4 x dx =
8:
Z
9:
Z
1
3
1
cos 3x ¡ cos x = cos 3 x ¡ cos x:
12
4
3
3x sin 2x sin 4x
¡
+
=
8
4
32
3
1
3
= ¡ sin x cos x ¡ sin3 x cos x + x:
8
4
8
161
5
5
1
sin5 x dx = ¡ cos x +
cos 3x ¡
cos 5x =
8
48
80
4
1
4
= ¡ sin4 x cos x +
cos 3 x ¡ cos x:
5
15
5
5
3
15
1
x¡
sin 2x +
sin 4x ¡
sin 6x =
16
64
64
192
5
1
5
5
= ¡ sin5 x cos x ¡
sin3 x cos x ¡
sin x cos x +
x:
6
24
16
16
sin6 x dx =
10:
Z
sin7 x dx = ¡
11:
Z
cos2 x dx =
1
x
1
1
sin 2x + = sin x cos x + x:
4
2
2
2
12:
Z
cos3 x dx =
1
3
1
sin 3x + sin x = sin x ¡ sin3 x:
12
4
3
13:
Z
cos4 x dx =
1
1
3
3
1
3
x+ sin 2x+ sin 4x = x+ sin x cos x+ sin x cos3 x:
8
4
32
8
8
4
14:
Z
cos5 x dx =
5
5
1
4
4
1
sin x+ sin 3x+ sin 5x = sin x¡ sin3 x+ cos 4 x sin x:
8
48
80
5
15
5
15:
Z
cos6 x dx =
16:
Z
cos7 x dx =
17:
Z
1
sin x cos x dx = ¡
4
18:
Z
sin x cos 3 x dx = ¡
cos 4 x
:
4
19:
Z
sin x cos 4 x dx = ¡
cos 5 x
:
5
7
1
7
35
cos x +
cos 3x ¡
cos 5x +
cos 7x =
64
64
320
448
8
1
6
24
= ¡ sin6 x cos x ¡
sin4 x cos x +
cos 3 x ¡
cos x:
7
35
35
35
15
3
1
5
x+
sin 2x +
sin 4x +
sin 6x =
16
64
64
192
5
5
5
1
=
x+
sin x cos x +
sin x cos 3 x + sin x cos 5 x:
16
16
24
6
7
35
sin x +
sin 3x +
64
64
24
8
=
sin x ¡
sin3 x +
35
35
2
½
7
1
sin 5x +
sin 7x =
320
448
6
1
sin x cos 4 x + sin x cos 6 x:
35
7
¾
cos3 x
1
cos 3x + cos x = ¡
:
3
3
½
20:
Z
sin2 x cos x dx = ¡
21:
Z
1
sin x cos x dx = ¡
8
22:
Z
23:
Z
sin2 x cos 4 x dx =
24:
Z
1
sin x cos x dx =
8
25:
Z
sin3 x cos 2 x dx =
26:
Z
1
sin x cos x dx =
32
27:
Z
sin3 x cos 4 x dx =
28:
Z
sin4 x cos x dx =
1
4
¾
1
sin3 x
sin 3x ¡ sin x =
:
3
3
162
2
2
½
¾
1
sin 4x ¡ x :
4
½
¾
1
1 1
sin x cos x dx = ¡
sin 5x + sin 3x ¡ 2 sin x =
16 5
3
•
¶
•
¶
2
sin3 x 5
sin3 x
2
2
¡ sin x :
cos x +
=
=
5
3
5
3
2
3
3
x
1
1
1
+
sin 2x ¡
sin 4x ¡
sin 6x:
16
64
64
192
•
¶
sin4 x
1
cos 4x ¡ cos 2x =
:
4
4
•
¶
1 1
1
cos 5x ¡ cos 3x ¡ 2 cos x =
16 5
3
1
1
= cos 5 x ¡ cos 3 x:
5
3
3
3
•
¶
3
1
cos 6x ¡ cos 2x :
6
2
•
¶
1
2 3
cos 3 x ¡ ¡ sin2 x + sin4 x :
7
5 5
sin5 x
:
5
29:
Z
sin4 x cos 2 x dx =
1
1
1
1
x¡
sin 2x ¡
sin 4x +
sin 6x:
16
64
64
192
30:
Z
sin4 x cos 3 x dx =
1
sin3 x
7
31:
Z
sin4 x cos 4 x dx =
3
1
1
x¡
sin 4x +
sin 8x:
128
128
1024
•
¶
2 3
+ cos2 x ¡ cos4 x :
5 5
2.514
Z
sinp x
dx =
cos 2n x
¾
½
n¡1
P (2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (2n ¡ p ¡ 2k)
sinp+1 x
2n¡1
2n¡2k¡1
=
x+
x +
sec
sec
2n ¡ 1
(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k ¡ 1)
k=1
Z
(2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (¡p + 2)(¡p)
+
sinp x dx:
(2n ¡ 1)!!
This formula is applicable for arbitrary real p. For
R
sinp x dx; where p is a natural number, see 2.511 2., 3. and 2.513 1., 2. If n = 0
and p is a negative integer, we have for this integral:
163
2.515
1:
2:
Z
Z
cos x
dx
=¡
2l
2l ¡ 1
sin x
½
cosec
2l¡1
x+
l¡1
P
k=1
¾
2k (l ¡ 1)(l ¡ 2) . . . (l ¡ k)
2l¡2k¡1
x :
cosec
(2l ¡ 3)(2l ¡ 5) . . . (2l ¡ 2k ¡ 1)
TI (242)
½
¾
l¡1
P (2l ¡ 1)(2l ¡ 3) . . . (2l ¡ 2k + 1)
cos x
2l
2l¡2k
=¡
cosec x +
cosec
x +
2l
28k (l ¡ 1)(l ¡ 2) . . . (l ¡ k)
sin2l+1 x
k=1
(2l ¡ 1)!!
x
+
ln tg :
l
2 l!
2
dx
TI (243)
2.516
1:
Z
sinp x dx
=
cos 2n+1 x
½
¾
n¡1
P (2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (2n ¡ p ¡ 2k + 1)
sinp+1
2n
2n¡2k
sec
x +
=
sec x +
2n
2k (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)
k=1
Z
(2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (3 ¡ p)(1 ¡ p)
sinp x
+
dx:
2n n!
cos x
p
2:
Z
3:
Z
n=0
p
l sin 2k x
P
sin2l+1 x dx
¡ ln cos x:
=¡
cos x
2k
k=1
³¼
l sin 2k¡1 x
P
sin2l x dx
x´
=¡
+ ln tg
+
:
cos x
4
2
k=1 2k ¡ 1
2.517
1:
Z
2:
Z
³¼
m
P
1
x´
dx
=
¡
+
ln
tg
¡
:
2m¡2k+1
4
2
sin2m x cos x
x
k=1 (2m ¡ 2k + 1) sin
1:
Z
Z
sinp¡1 x
sinp x
dx =
¡ (p ¡ 1) sinp¡2 x dx:
cos 2 x
cos x
2:
Z
½
cosp+1 x
cos p x dx
= ¡
cosec 2n¡1 x +
2n ¡ 1
sin2n x
¾
n¡1
P (2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (2n ¡ p ¡ 2k)
2n¡2k¡1
+
cosec
x +
(2n ¡ 3)(2n ¡ 5) . . . (2n ¡ 2k ¡ 1)
k=1
Z
(2n ¡ p ¡ 2)(2n ¡ p ¡ 4) . . . (2 ¡ p)(¡p)
+
cos p x dx:
(2n ¡ 1)!!
sin
m
P
dx
1
=¡
+ ln tg x:
2m¡2k+2
x cos x
x
k=1 (2m ¡ 2k + 2) sin
2m+1
2.518
164
This formula is applicable for arbitrary real p. For
R
cos p x dx where p is a natural number, see 2.512 2., 3. and 2.513 3., 4. If n = 0
and p is a negative integer, we have for this integral:
2.519
1:
Z
sin x
dx
=
2l
cos x
2l ¡ 1
½
sec 2l¡1 x +
l¡1
P
k=1
¾
2k (l ¡ 1)(l ¡ 2) . . . (l ¡ k)
sec 2l¡2k¡1 x :
(2l ¡ 3)(2l ¡ 5) . . . (2l ¡ 2k ¡ 1)
2:
Z
dx
cos 2l+1 x
=
½
¾
l¡1
P (2l ¡ 1)(2l ¡ 3) . . . (2l ¡ 2k + 1)
sin x
2l¡2k
sec 2l x +
sec
x
+
2l
2k (l ¡ 1)(l ¡ 2) . . . (l ¡ k)
k=1
³¼
(2l ¡ 1)!!
x´
+
ln
tg
+
:
2l l!
4
2
TI (241)
2.521
1:
Z
½
cos p x dx
cos p+1 x
= ¡
cosec 2n x +
2n
sin2n+1 x
¾
n¡1
P (2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (2n ¡ p ¡ 2k + 1)
2n¡2k
+
cosec
x +
2k (n ¡ 1)(n ¡ 2) . . . (n ¡ k)
k=1
Z
cos p x
(2n ¡ p ¡ 1)(2n ¡ p ¡ 3) . . . (3 ¡ p)(1 ¡ p)
+
dx:
2n ¢ n!
sin x
This formula is applicable for arbitrary real p. For n = 0 and p a natural number, we have
2:
Z
3:
Z
l cos 2k x
P
cos 2l+1 x dx
=
+ ln sin x:
sin x
2k
k=1
l cos 2k¡1 x
P
x
cos 2l x dx
=
+ ln tg :
sin x
2k
¡
1
2
k=1
2.522
1:
Z
2:
Z
m
P
1
dx
=
+ ln tg x:
2m+1
2m¡2k+2 x
sin x cos
x
k=1 (2m ¡ 2k + 2) cos
m
P
1
x
dx
=
+ ln tg :
2m
2m¡2k+1
sin x cos x
x
2
k=1 (2m ¡ 2k + 1) cos
165
2.523
Z
Z
cosm¡1 x
cos m x
¡ (m ¡ 1) cosm¡2 x dx:
dx = ¡
sin x
sin2 x
GW ((331))(15)
2.524
1:
Z
sin2n+1 x
dx =
cos m x
n
P
k=0
k=
=
m¡1
2
(¡1)k+1
• ¶
•
¶
m+1
n
n cos 2k¡m+1 x
+s(¡1) 2
ln cos x:
m¡1
k 2k ¡ m + 1
2
GU ((331))(11d)
2:
Z
cos 2n+1 x
dx =
sinm x
k
P
k=0
k=
=
m¡1 n (¡1)
2
• ¶ 2k¡m+1
•
¶
m¡1
n
x
n sin
+s(¡1) 2
ln sin x:
m¡1
k 2k ¡ m + 1
2
[In formulas 2.524 1. and 2.524 2., s = 1 for m odd and m < 2n + 1 ; in other cases, s = 0.]
2.525
1:
2:
Z
Z
dx
=
2m
sin x cos 2n x
m+n¡1
P
k=0
•
¶
m + n ¡ 1 tg2k¡2m+1 x
:
2k ¡ 2m + 1
k
•
¶
•
¶
m+n
P m + n tg2k¡2m x
dx
m+n
=
+
ln tg x:
2k ¡ 2m
m
k
sin2m+1 x cos 2n+1 x
k=0
2.526
1:
Z
x
dx
= ln tg :
sin x
2
2:
Z
dx
= ¡ctg x:
sin2 x
3:
Z
1
x
1 cos x
dx
=¡
+ ln tg :
3
2
2 sin x 2
2
sin x
4:
Z
dx
2
cos x
1
¡ ctg x = ¡ ctg 3 x ¡ ctg x:
=¡
3
3
sin4 x
3 sin3 x
TI (267)
TI (268), GU ((331))(15f)
5:
Z
6:
Z
7:
Z
dx
cos x
=¡
7
sin x
6 sin2 x
8:
Z
dx
=¡
sin8 x
9:
Z
³¼
³¼
x´
x´
dx
= ln tg
+
= ln ctg
¡
= ln
cos x
4
2
4
2
10:
Z
dx
= tg x:
cos 2 x
11:
Z
³¼
1 sin x
1
x´
dx
=
+
ln
tg
+
:
cos 3 x
2 cos2 x 2
4
2
12:
Z
sin x
2
1
dx
=
+ tg x = tg3 x + tg x:
4
3
cos x
3 cos x 3
3
13:
Z
³x ¼ ´
sin x
3 sin x
3
dx
=
+
+
ln
tg
+
:
cos 5 x
4 cos 4 x 8 cos 2 x 8
2
4
14:
Z
dx
sin x
4 3
4
1
2
=
+
tg x + tg x = tg 5 x + tg3 x + tg x:
cos 6 x
5 cos 5 x 15
5
5
3
dx
3 cos x
3
x
cos x
¡
=¡
+ ln tg :
5
4
2
8 sin x 8
2
sin x
4 sin x
dx
4
cos x
4
¡ ctg 3 x ¡ ctg x;
=¡
6
5
15
5
sin x
5 sin x
1
2
5
3
= ¡ ctg x ¡ ctg x ¡ ctg x:
5
3
166
•
•
1
5
15
+
+
4
2
8
sin x 4 sin x
¶
+
5
x
ln tg :
16
2
¶
3
1
ctg 7 x + ctg 5 x + ctg 3 x + ctg x :
7
5
r
1 + sin x
:
1 ¡ sin x
15:
Z
³x ¼´
dx
sin x
5 sin x
5 sin x
5
=
+
+
+
ln
tg
+
:
cos 7 x
6 cos 6 x 24 cos4 x
16 cos 2 x
16
2
4
16:
Z
dx
1
3
= tg7 x + tg5 x + tg3 x + tg x:
8
cos x
7
5
17:
Z
sin x
dx = ¡ ln cos x:
cos x
18:
Z
³¼
sin2 x
x´
dx = ¡ sin x + ln tg
=
:
cos x
4
2
19:
Z
sin2 x
1
sin3 x
dx = ¡
¡ ln cos x = cos 2 x ¡ ln cos x:
cos x
2
2
20:
Z
³x ¼ ´
1
sin4 x
dx = ¡ sin3 x ¡ sin x + ln tg
+
:
cos x
3
2
4
21:
Z
1
sin2 x dx
=
:
2
cos x
cos x
22:
Z
sin2 x dx
= tg x ¡ x:
cos 2 x
23:
Z
1
sin3 x dx
= cos x +
:
2
cos x
cos x
24:
Z
1
3
sin4 x dx
= tg x + sin x cos x ¡ x:
cos 2 x
2
2
167
25:
Z
sin x dx
1
1
=
= tg2 x:
3
2
cos x
2 cos x
2
26:
Z
³¼
sin2 x dx
sin x
1
x´
¡
=
ln
tg
+
:
cos 3 x
2 cos 2 x 2
4
2
27:
Z
sin3 x dx
1 sin x
=
+ ln cos x:
3
cos x
2 cos2 x
28:
Z
³x ¼ ´
1 sin x
3
sin4 x dx
=
+
sin
x
¡
ln
tg
+
:
cos 3 x
2 cos2 x
2
2
4
29:
Z
1
sin x dx
=
:
cos 4 x
3 cos 3 x
30:
Z
1
sin2 x dx
= tg 3 x:
4
cos x
3
31:
Z
1
1
sin3 x dx
=¡
+
:
cos 4 x
cos x 3 cos3 x
32:
Z
1
sin4 x dx
= tg 3 x ¡ tg x + x:
4
cos x
3
33:
Z
cos x dx
= ln sin x:
sin x
34:
Z
cos 2 x dx
x
= cos x + ln tg :
sin x
2
35:
Z
cos 3 x dx
cos 2 x
=
+ ln sin x:
sin x
2
36:
Z
³x´
cos 4 x dx
1
= cos 3 x + cos x + ln tg
:
sin x
3
2
37:
Z
cos x
1
:
dx = ¡
2
sin x
sin x
38:
Z
cos 2 x
dx = ¡ctg x ¡ x:
sin2 x
39:
Z
1
cos 3 x
dx = ¡ sin x ¡
:
2
sin
x
sin x
40:
Z
1
3
cos 4 x
dx = ¡ctg x ¡ sin x cos x ¡ x:
2
2
2
sin x
41:
Z
1
cos x
dx = ¡
:
sin3 x
2 sin2 x
42:
Z
43:
Z
1
cos 3 x
¡ ln sin x:
dx = ¡
3
sin x
2 sin2 x
44:
Z
cos 4 x
3
x
1 cos x
¡ cos x ¡ ln tg :
dx = ¡
3
2
2 sin x
2
2
sin x
x
cos x
1
cos2 x
dx = ¡
¡ ln tg :
3
2
2
2
sin x
2 sin x
168
169
62:
Z
1
8
dx
=¡
¡ ctg 2x:
3
2
3
sin x cos x
3 cos x sin x
63:
Z
³x ¼´
2
1
sin x
5
dx
=
¡
+
¡
+
ln
tg
+
:
3
sin x 3 sin x
2 cos 2 x
2
2
4
sin x cos 3 x
64:
Z
8
dx
= ¡8 ctg 2x ¡ ctg 3 2x:
4
3
sin x cos x
4
4
4
2.527
1:
Z
2:
Z
tgp¡1 x
¡
tg x dx =
p¡1
p
tg
2n+1
Z
tgp¡2 x dx
[p=
= 1]:
• ¶
n
1
¡ (¡1)n ln cos x =
x dx =
(¡1)
k 2k cos 2k x
k=1
n (¡1)k¡1 tg 2n¡2k+2 x
P
=
¡ (¡1)n ln cos x:
2n
¡
2k
+
2
k=1
n
P
n+k
Z
tg2n x dx =
4:
Z
ctg p x dx = ¡
5:
Z
ctg
6:
Z
ctg 2n x dx =
3:
n
P
k=1
2n+1
tg2n¡2k+1 x
+ (¡1)n x:
2n ¡ 2k + 1
(¡1)k¡1
ctg p¡1 x
¡
p¡1
Z
ctg p¡2 x dx
[p=
= 1]:
• ¶
1
n
x dx =
(¡1)
+ (¡1)n ln sin x =
k 2k sin2k x
k=1
n
P
ctg 2n¡2k+2 x
=
+ (¡1)n ln sin x:
(¡1)k
2n ¡ 2k + 2
k=1
n
P
n
P
k=1
(¡1)k
n+k+1
ctg 2n¡2k+1 x
+ (¡1)n x:
2n ¡ 2k + 1
GU ((331))(14)
For special formulas for p = 1; 2; 3; 4, see 2.526 17., 2.526 33., 2.526 22., 2.526 38., 2.526 27., 2.526 43., 2.526 32., 2.526 48.
2.53-2.54 Sines and cosines of multiple angles and of linear and more complicated
functions of the argument
2.531
1:
Z
1
sin (ax + b) dx = ¡ cos (ax + b):
a
2:
Z
1
cos (ax + b) dx = ¡ sin (ax + b):
a
Z
sin (ax+b) sin (cx+d) dx =
Z
sin (ax+b) cos (cx+d) dx = ¡
2.532
1:
sin [(a ¡ c)x + b ¡ d] sin [(a + c)x + b + d]
¡
2(a ¡ c)
2(a + c)
= c2 ]:
[a2 =
170
2:
8
cos [(a ¡ c)x + b ¡ d] cos [(a + c)x + b + d]
¡
2(a ¡ c)
2(a + c)
[a2 =
= c2 ]:
Z
3:
cos (ax+b) cos (cx+d) dx =
sin [(a ¡ c)x + b ¡ d] sin [(a + c)x + b + d]
+
2(a ¡ c)
2(a + c)
[a2 =
= c2 ]:
For c = a:
4:
Z
sin (ax + b) sin (ax + d) dx =
x
sin (2ax + b + d)
cos (b ¡ d) ¡
:
2
4a
5:
Z
sin (ax + b) cos (ax + d) dx =
x
cos (2ax + b + d)
sin (b ¡ d) ¡
:
2
4a
6:
Z
cos (ax + b) cos (ax + d) dx =
x
sin (2ax + b + d)
cos (b ¡ d) +
:
2
4a
1:8
Z
sin ax cos bx dx = ¡
8
Z
GU ((332))(3)
2.533
2:
3:
4:
Z
Z
cos (a ¡ b)x
cos (a + b)x
¡
2(a + b)
2(a ¡ b)
[a2 =
= b2 ]:
½
1 cos (a ¡ b + c)x
+
sin ax sin bx sin cx dx = ¡
4
a¡b+c
¾
cos (b + c ¡ a)x cos (a + b ¡ c)x cos (a + b + c)x
+
+
¡
:
b+c¡a
a+b¡c
a+b+c
½
cos (b + c ¡ a)x
1 cos (a + b + c)x
¡
sin ax cos bx cos cx dx = ¡
+
4
a+b+c
b+c¡a
¾
cos (a + b ¡ c)x
cos (a + c ¡ b)x
+
+
:
a+b¡c
a+c¡b
½
sin (a + c ¡ b)x
sin (a + b ¡ c)x
¡
+
a+b¡c
a+c¡b
¾
sin (a + b + c)x
sin (b + c ¡ a)x
¡
¡
:
a+b+c
b+c¡a
1
cos ax sin bx sin cx dx =
4
PE (376)
PE (378)
5:
Z
½
sin (a + b + c)x
sin (b + c ¡ a)x
+
+
a+b+c
b+c¡a
¾
sin (a + c ¡ b)x
sin (a + b ¡ c)x
+
+
:
a+c¡b
a+b¡c
1
cos ax cos bx cos cx dx =
4
PE (377)
2.534
1:
2:
9
>
z p+n¡1
>
dz >
>
=
2n
1¡z
Z
Z p+n¡1
>
cos px + i sin px
z
>
dx = ¡2i
dz >
>
;
2n
cos nx
1¡z
Z
cos px + i sin px
dx = ¡2
sin nx
Z
[z = cos x + i sin x]:
PE (373)
PE (374)
171
2.535
1:
Z
1
sin x sin ax dx =
p+a
p
½
¾
Z
p¡1
x cos (a ¡ 1)x dx :
¡sin x cos ax + p sin
p
GU ((332))(5a)
2:
Z
sinp x sin (2n + 1) x dx =
8
[(2n + 1)2 ¡ 12 ][(2n + 1)2 ¡ 32 ] . . .
<Z
n
P
. . . [(2n + 1)2 ¡ (2k ¡ 1)2 ]
(¡1)k
= (2n+1)
sinp+1 x dx+
£
:
(2k + 1)!
k=1
9
Z
=
£ sin2k+p+1 x dx ;
;
8
2
•
¶
>
p+1
>
k¡1
>
¡
+ n ¡ 2k
(¡1)
< n¡1
P 6
¡(p + 1)
2
6
•
¶
sinp¡2k x cos (2n¡2k+1)x+
=
6
2k+1 ¡ (p ¡ 2k + 1)
>
p+3
4
2
k=0
>
¡
+n >
:
2
3
•
¶
p¡1
¡
+ n ¡ 2k
7
2
7
p¡2k¡1
+ (¡1)k
sin
x
sin
(2n
¡
2k)
x
7+
5
22k+2 ¡ (p ¡ 2k)
9
¶
>
p+3
>
>
¡n Z
(¡1) ¡
=
2
p¡2n+1
+
sin
x
dx
:
>
22n ¡ (p ¡ 2n + 1)
>
>
;
n
•
1:
Z
1
sin x cos ax dx =
p+1
p
½
¾
Z
p¡1
sin x sin ax ¡ p sin
x sin (a ¡ 1) x dx :
p
GU ((332))(6a)
2:
Z
sinp x cos (2n + 1) x dx =
n
[(2n + 1)2 ¡ 12 ][(2n + 1)2 ¡ 32 ] . . . [(2n + 1)2 ¡ (2k ¡ 1)2 ]
sinp+1 x P
£
+
(¡1)k
p+1
(2k)!(2k + p + 1)
k=1
£ sin2k+p+1 x; 8
2
•
¶
>
p+1
>
k
>
+ n ¡ 2k
(¡1) ¡
< n¡1
P 6
¡(p + 1)
2
6
¶
= •
sinp¡2k x sin (2n¡2k+1)x+
6
2k+1 ¡ (p ¡ 2k + 1)
>
p+3
4
2
k=0
>
¡
+n >
:
2
3
•
¶
p¡1
k
+ n ¡ 2k
(¡1) ¡
7
2
7
p¡2k¡1
sin
x
cos
(2n
¡
2k)
x
+
7+
5
22k+2 ¡ (p ¡ 2k)
=
9
¶
>
p
+
3
>
>
(¡1)n ¡
¡n Z
=
2
p¡2n
+
sin
x
cos
x
dx
;
>
22n ¡ (p ¡ 2n + 1)
>
>
;
•
[p is not equal to ¡ 3; ¡5; . . . ; ¡(2n + 1)]:
3:
Z
Z
GU ((332))(6c)
TI (301)
Z
4n2 ¢ (4n2 ¡ 22 ) . . . [4n2 ¡ (2k ¡ 2)2 ]
sin2k+p x dx;
(2k)!
k=1
³p
´
8
2
k
<
¡
+
n
¡
2k
(
¡
1)
n¡1
P
¡(p + 1)
2
4
´
= ³p
sinp¡2k x sin(2n¡2k)x+
2k+1 ¡ (p ¡ 2k + 1)
:
2
k=0
¡
+n+1
2
³p
´
3
(¡1)k ¡
+ n ¡ 2k ¡ 1
2
+
sinp¡2k¡1 x cos (2n¡2k ¡1)x5+
22k+2 ¡ (p ¡ 2k)
´
³p
9
=
¡n+1 Z
(¡1)n ¡
p¡2n
2
sin
x
dx
:
+
;
22n ¡ (p ¡ 2n + 1)
sinp x cos 2nx dx =
sinp x dx+
n
P
(¡1)k
GU ((332))(6c)
TI (300)
173
2.537
1:
Z
cosp x sin ax dx =
1
p+a
½
¾
Z
¡cos p x cos ax + p cos p¡1 x sin (a ¡ 1)x dx :
GU ((332))(7a)
2:
Z
cosp x sin (2n + 1) x dx =
½
p+1
x
n+1 cos
= (¡1)
+
p+1
¾
2
2
2
2
2
2
n
P
k [(2n + 1) ¡ 1 ][(2n + 1) ¡ 3 ] . . . [(2n + 1) ¡ (2k ¡ 1) ]
2k+p+1
(¡1)
cos
x ;
+
(2k)!(2k + p + 1)
k=1
¶
•
8
p+1
¡
+n¡k
< n¡1
P
¡(p + 1)
2
¶ ¡
= •
cosp¡k x cos (2n¡k+1)x+
: k=0 22k+1 ¡ (p ¡ 2k + 1)
p+3
¡
+n
2
•
¶
9
p+3
Z
¡
=
2
+ n
cos p¡n x sin (n + 1)x dx ;
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
[p is not equal to ¡ 3; ¡5; . . . ; ¡(2n + 1)]:
3:
Z
p
½
cos p+2 x
+
p+2
¾
2
2
2
2
2
2
n¡1
P
k (4n ¡ 2 )(4n ¡ 4 ) . . . [4n ¡ (2k) ]
2k+p+2
+
(¡1)
cos
x ;
(2k + 1)!(2k + p + 2)
k=1
³p
´
8
<
¡
+
n
¡
k
n¡1
P
¡(p + 1)
2
´ ¡
= ³p
cos p¡k x cos (2n¡k)x+
k+1 ¡ (p ¡ k + 1)
:
2
k=0
¡
+n+1
2 ³
´
9
p
Z
=
¡
+1
2
+ n
cos p¡n x sin nx dx ;
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
n
cos x sin 2nx dx = (¡1)
GU ((332))(7b)a
TI (295)
[p is not equal to ¡ 2; ¡4; . . . ; ¡2n]:
2.538
1:
Z
1
cos x cos ax dx =
p+a
p
½
¾
Z
p¡1
cos x sin ax + p cos
x cos (a ¡ 1)x dx :
p
GU ((332))(7b)a
TI (297)
174
2:
Z
cos p x cos(2n + 1)x dx =
½Z
n
= (¡1) (2n + 1)
cosp+1 x dx +
[(2n + 1)2 ¡ 12 ][(2n + 1)2 ¡ 32 ] . . . [(2n + 1)2 ¡ (2k ¡ 1)2 ]
£
(2k + 1)!
k=1
¾
Z
£ cos 2k+p+1 x dx ;
•
¶
8
p+1
¡
+n¡k
< n¡1
P
¡(p + 1)
2
¶
= •
cosp¡k x sin (2n ¡ k + 1)x +
: k=0 2k+1 ¡ (p ¡ k + 1)
p+3
¡
+n
2
•
¶
9
p+3
Z
¡
=
2
+ n
cosp¡n x cos (n + 1)x dx :
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
+
3:
Z
n
P
(¡1)k
cos p x cos 2nx dx =
¾
½Z
2
2
2
2
2 Z
n
P
n
p
k 4n [4n ¡ 2 ] . . . [4n ¡ (2k ¡ 2) ]
2k+p
(¡1)
x dx ;
= (¡1)
cos
cos x dx +
(2k)!
k=1
³p
´
8
<
¡
+
n
¡
k
n¡1
P
¡(p + 1)
2
´
= ³p
cos p¡k x sin (2n ¡ k)x +
k+1 ¡ (p ¡ k + 1)
:
k=0 2
¡
+n+1
2
³p
´
9
Z
=
¡
+1
2
+ n
cosp¡n x cos nx dx :
;
2 ¡ (p ¡ n + 1)
2.539
1:
Z
2:
Z
n sin 2kx
P
sin (2n + 1)x
dx = 2
+ x:
sin x
2k
k=1
n sin (2k ¡ 1)x
P
sin 2nx
dx = 2
:
sin x
2k ¡ 1
k=1
GU ((332))(8b)a
TI (293)
GU ((332))(8b)a
TI (294)
3:
Z
4:
Z
5:
Z
6:
Z
7:
Z
8:
Z
n cos 2kx
P
cos (2n + 1)x
dx = 2
+ ln sin x:
sin x
2k
k=1
n cos (2k ¡ 1)x
P
cos 2nx
x
dx = 2
+ ln tg :
sin x
2k ¡ 1
2
k=1
GI ((332))(6e)
n
P
sin (2n + 1)x
cos 2kx
dx = 2
+ (¡1)n+1 ln cos x:
(¡1)n¡k+1
cos x
2k
k=1
n
P
cos (2k ¡ 1)x
sin 2nx
dx = 2
(¡1)n¡k+1
:
cos x
2k ¡ 1
k=1
GU ((332))(7d)
n
P
sin 2kx
cos (2n + 1)x
dx = 2
(¡1)n¡k
+ (¡1)n x:
cos x
2k
k=1
³¼
n
P
x´
sin (2k ¡ 1)x
cos 2nx
dx = 2
(¡1)n¡k
+ (¡1)n ln tg
+
:
cos x
2k ¡ 1
4
2
k=1
GU ((332))(8d)
2.541
1:
2:
3:
Z
sin (n + 1)x sinn¡1 x dx =
Z
sin (n + 1)x cos n¡1 x dx = ¡
Z
cos (n + 1)x sinn¡1 x dx =
1
sinn x sin nx:
n
BI ((71))(1)a
1
cosn x cos nx:
n
BI ((71))(2)a
1
sinn x cos nx:
n
4:
5:
6:
Z
cos (n + 1)x cosn¡1 x dx =
Z
´i
´
h
³¼
³¼
1
¡x
sinn¡1 x dx = sinn x cos n
¡x :
sin (n + 1)
2
n
2
Z
´i
´
h
³¼
³¼
1
¡x
sinn¡1 x dx = ¡ sinn x sin n
¡x :
cos (n + 1)
2
n
2
Z
2
sin 2x
dx = ¡
:
n
sin x
(n ¡ 2) sinn¡2 x
1
cos n x sin nx:
n
BI ((71))(4)a
2.542
1:
For n = 2:
2:
Z
sin 2x
dx = 2ln sin x:
sin2 x
Z
2
sin 2x dx
=
:
cos n x
(n ¡ 2) cos n¡2 x
2.543
1:
176
For n = 2:
2:
Z
sin 2x
dx = ¡2 ln cos x:
cos 2 x
Z
x
cos 2x dx
= 2 cos x + ln tg :
sin x
2
2.544
1:
BI ((71))(5)a
BI ((71))(6)a
2:
Z
cos 2x dx
= ¡ctg x ¡ 2x:
sin2 x
3:
Z
cos 2x dx
3
x
cos x
¡ ln tg :
=¡
3
2
2
sin x
2 sin x 2
4:
Z
³¼
cos 2x dx
x´
= 2 sin x ¡ ln tg
+
:
cos x
4
2
5:
Z
cos 2x dx
= 2x ¡ tg x:
cos 2 x
6:
Z
³¼
sin x
3
x´
cos 2x dx
=
¡
+
ln
tg
+
:
cos 3 x
2 cos 2 x
2
4
2
7:
Z
sin 3x dx
= x + sin 2x:
sin x
8:
Z
x
sin 3x
dx = 3 ln tg + 4 cos x:
2
2
sin x
9:
Z
sin 3x
dx = ¡3 ctg x ¡ 4x:
sin3 x
Z
4
1
sin 3x
¡
dx =
:
cos n x
(n ¡ 3) cos n¡3 x
(n ¡ 1) cosn¡1 x
2.545
1:
For n = 1 and n = 3:
2:
Z
sin 3x
dx = 2 sin2 x + ln cos x:
cos x
3:
Z
sin 3x
1
¡ 4 ln cos x:
dx = ¡
cos 3 x
2 cos 2 x
Z
cos 3x
4
1
¡
dx =
:
sinn x
(n ¡ 3) sinn¡3 x
(n ¡ 1) sinn¡1 x
2.546
1:
177
For n = 1 and n = 3:
2:
Z
cos 3x
dx = ¡2 sin2 x + ln sin x:
sin x
3:
Z
1
cos 3x
dx = ¡
¡ 4 ln sin x:
sin3 x
2 sin2 x
1:
Z
sin nx
dx = 2
cos p x
2:
Z
cos 3x
dx = sin 2x ¡ x:
cos x
3:
Z
³¼
x´
cos 3x
dx
=
4
sin
x
¡
3
ln
tg
+
:
cos2 x
4
2
4:
Z
cos 3x
dx = 4x ¡ 3 tg x:
cos3 x
2.547
Z
sin (n ¡ 1)x dx
¡
cos p¡1 x
Z
sin (n ¡ 2) x dx
:
cosp x
2.548
1:
Z
¸
x
(k ¡ n)¼
+
2n
P
1
2k + 1
sinm x dx
2(2n + 1)
2
∙
¸
=
(¡1)n+k cos m
¼ ln
x
k+n+1
sin (2n + 1)x
2n + 1 k=0
2(2n + 1)
sin
¼¡
(2n + 1)
2
[m ¡ a natural number ∙ 2n]:
∙
¸
sin
∙
2:
3:
Z
Z
sin2m x dx
(¡1)n
=
sin 2nx
2n
½
•
¶¾
k¼
2
2 k¼
ln cos x +
(¡1) cos
ln cos x ¡ sin
2n
2n
k=1
[m ¡ a natural number ∙ n]:
n¡1
P
k
2m
TI (379)
½
³¼
sin2m+1 x
(¡1)n
x´
¡
dx =
ln tg
+
sin 2nx
2n
4
2
∙ •
¶
•
¶¸¾
n¡1
P
n+k
n¡k
x
x
k
2m+1 k¼
(¡1) cos
ln tg
¼¡
tg
¼¡
+
2n
4n
2
4n
2
k=1
[m ¡ a natural number < n]:
TI (380)
4:
Z
£cos2m
½
n
P
x´
¡
+
(¡1)k £
4
2
k=1
∙ •
¶
•
¶¸¾
x
x
k¼
2n + 2k + 1
2n ¡ 2k + 1
ln tg
¼¡
tg
¼¡
2n + 1
4(2n + 1)
2
2(2n + 1)
2
[m ¡ a natural number ∙ n]:
(¡1)n+1
sin2m x dx
=
cos(2n + 1)x
2n + 1
ln tg
³¼
TI (381)
178
5:
6:
Z
Z
(¡1)n+1
sin2m+1 x dx
=
cos (2n + 1) x
2n + 1
½
n
P
k¼
ln cos x +
(¡1) cos
ln
2n + 1
k=1
[m ¡ a natural number ∙ n]:
k
2m+1
∙
•
k¼
cos x ¡ sin
2n + 1
2k ¡ 2n + 1
¼+
m
2n¡1
1 P
sin x dx
2k + 1
8n
n+k
m
∙
=
(¡1)
cos
¼ ln
2k + 2n + 1
cos 2nx
2n k=0
4n
sin
¼¡
8n
[m ¡ a natural number < 2n]:
¸
∙
sin
2
2
¶¾
TI (382)a
¸
x
2
¸
x
2
TI (377)
7:
Z
1
cos 2m+1 x dx
=
sin (2n + 1)x
2n + 1
½
•
¶¾
k¼
k¼
2
2
ln sin x +
(¡1) cos
ln sin x ¡ sin
2n + 1
2n + 1
k=1
[m ¡ a natural number ∙ n]:
n
P
k
2m+1
8:
9:
10:
11:
Z
Z
Z
Z
½
cos2m x dx
1
x
=
ln tg +
sin (2n + 1)x
2n + 1
2
∙ •
¶
•
¶¸¾
n
P
x
x
k¼
k¼
k
2m k¼
¡
(¡1) cos
ln tg
+
tg
+
2n + 1
2
4n + 2
2
4n + 2
k=1
[m ¡ a natural number ∙ n]:
cos 2m+1 x
1
dx =
sin 2nx
2n
cos 2m x
1
dx =
sin 2nx
2n
½
½
∙ •
¶
•
¶¸¾
n¡1
P
x k¼
x k¼
x
k
2m+1 k¼
¡
ln tg +
ln tg
+
tg
(¡1) cos
2
2n
2
4
2
4n
k=1
[m ¡ a natural number < n]:
¶¾
•
k¼
2
2 k¼
ln sin x +
(¡1) cos
ln sin x ¡ sin
2n
2n
k=1
[m ¡ a natural number ∙ n]:
n¡1
P
P
1 n¡1
cos m x
dx =
(¡1)k cos m
cos nx
n k=0
k
TI (375)
TI (374)
2m
TI (373)
∙
¸
x
2k + 1
sin
¼+
2k + 1
4n
2
∙
¸
¼ ln
x
2k + 1
2n
sin
¼¡
4n
2
[m ¡ a natural number ∙ n]:
TI (372)
2.549
179
1:
Z
2
sin x dx =
r
¼
S(x):
2
2:
Z
2
r
¼
C(x):
2
3:
Z
cos x dx =
2
sin (ax +2bx+c) dx =
r
¼
2a
½
ac ¡ b2
cos
S
a
•
ax + b
p
a
¶
ac ¡ b2
+ sin
C
a
•
ax + b
p
a
¶¾
:
PE (444)
6:
Z
cos ln x dx =
x
(sin ln x + cos ln x):
2
PE (445)
2.55-2.56 Rational functions of the sine and cosine
2.551
1:
Z
∙
A + B sin x
(Ab ¡ aB) cos x
1
dx =
+
n
2
2
(a + b sin x)
(n ¡ 1)(a ¡ b ) (a + b sin x)n¡1
¸
Z
(Aa ¡ Bb)(n ¡ 1) + (aB ¡ bA)(n ¡ 2) sin x
+
dx :
(a + b sin x)n¡1
TI (358)a
For n = 1:
2:
Z
B
Ab ¡ aB
A + B sin x
dx = x +
a + b sin x
b
b
Z
dx
a + b sin x
(see 2.551 3. ):
2.551
TI (342)
3:
Z
x
a tg + b
2
dx
= p
arctg p 2
[a2 > b2 ];
2
2
2
2
a + b sin x
a ¡b
a ¡b
p
x
a
tg
+
b
¡
b2 ¡ a2
1
2
= p
ln
[a2 < b2 ]:
p
x
2
2
b2 ¡ a2
a tg + b + b ¡ a
2
2.552
1:
Z
B
A + B cos x
dx = ¡
+A
(a + b sin x)n
(n ¡ 1)b(a + b sin x)n¡1
Z
dx
(a + b sin x)n
(see 2.552 3 :):
2.552
TI (361)
For n = 1:
2:
Z
A + B cos x
B
dx =
ln (a + b sin x) + A
a + b sin x
b
Z
dx
a + b sin x
(see 2.551 3 :):
2.551
TI (344)
3:
Z
½
dx
b cos x
1
=
+
n
2
2
(a + b sin x)
(n ¡ 1)(a ¡ b ) (a + b sin x)n¡1
¾
Z
(n ¡ 1)a ¡ (n ¡ 2)b sin x
+
dx
(see 2.551 1. ):
(a + b sin x)n¡1
2.551
TI (359)
2.553
1:
Z
B
A + B sin x
dx =
+A
(a + b cos x)n
(n ¡ 1)b(a + b cos x)n¡1
Z
dx
(a + b cos x)n
(see 2.554 3. ):
2.554
TI (355)
180
For n = 1:
2:
Z
B
A + B sin x
dx = ¡ ln (a + b cos x) + A
a + b cos x
b
Z
dx
a + b cos x
(see2:5533:):
2.553
TI (343)
3:
Z
p
x
a2 ¡ b2 tg
2
dx
2
=p
arctg
[a2 > b2 ];
a + b cos x
a+b
a2 ¡ b2
p
x
b2 ¡ a2 tg + a + b
1
2
= p
ln p
[a2 < b2 ]:
x
2.554
1:
Z
∙
A + B cos x
(aB ¡ Ab) sin x
1
dx =
+
n
2
2
(a + b cos x)
(n ¡ 1)(a ¡ b ) (a + b cos x)n¡1
¸
Z
(Aa ¡ bB)(n ¡ 1) + (n ¡ 2)(aB ¡ bA) cos x
+
dx :
(a + b cos x)n¡1
TI (353)
For n = 1:
2:
Z
A + B cos x
B
Ab ¡ aB
dx = x +
a + b cos x
b
b
Z
dx
a + b cos x
(see2:5533:):
2.553
TI (341)
3:
Z
½
1
dx
b sin x
=
¡
¡
n
2
2
(a + b cos x)
(n ¡ 1)(a ¡ b ) (a + b cos x)n¡1
¾
Z
(n ¡ 1)a ¡ (n ¡ 2)b cos x
¡
dx
(see2:5541:):
(a + b cos x)n¡1
2.554
TI (354)
In integrating the functions in formulas 2.551 3. and 2.553 3, we may not take the integration over points at which the integrand
¡ ¢
¡ ¢
becomes infinite, that is, over the points x = arcsin ¡ ab in formula 2.551 3. or over the points x = arccos ¡ ab in formula
2.553 3.
2.555
Formulas 2.551 3. and 2.553 3 are not applicable for a2 = b2 . Instead, we may use the following formulas in these cases:
1:
Z
³
8
x´
2k+1 ¼
•
¶
<
¨
tg
n¡2
P n¡2
1
A + B sin x
4
2 §
dx = ¡ n¡1 2B
n
:
(1 § sin x)
2
2k + 1
k
k=0
³
´9
•
¶ tg 2k+1 ¼ ¨ x =
n¡1
P n¡1
4
2
§ (A ¨ B)
:
;
2k + 1
k
k=0
2:
´i
³
h
8
¶ tg2k+1 ¼ ¨ ¼ ¡ x
•
<
n¡2
P n¡2
A + B cos x
1
4
4
2
§
dx = n¡1 2B
n
:
(1 § cos x)
2
2k + 1
k
k=0
´i 9
³
h
¶ 2k+1 ¼ ¨ ¼ ¡ x =
•
n¡1
P n ¡ 1 tg
4
4
2
§ (A ¨ B)
:
;
2k
+
1
k
k=0
Z
TI (356)
For n = 1:
3:
4:
Z
³¼
A + B sin x
x´
¨
dx = §Bx + (A ¨ B) tg
:
1 § sin x
4
2
Z
h¼ ³¼
x ´i
A + B cos x
dx = §Bx § (A ¨ B) tg
¨
¡
:
1 § cos x
4
4
2
Z
(1 ¡ a2 ) dx
= 2arctg
1 ¡ 2a cos x + a2
TI (250)
TI (248)
2.556
1:
•
x
1+a
tg
1¡a
2
¶
[0 < a < 1;
jxj < ¼]:
FI II 93
2:
Z
x
(1 ¡ a cos x) dx
= + arctg
2
1 ¡ 2a cos x + a
2
•
x
1+a
tg
1¡a
2
¶
[0 < a < 1;
jxj < ¼]:
FI II 93
2.557
1:
Z
1
dx
= p
n
2
(a cos x + b sin x)
(a + b2 )n
Z
sin
n
³
dx
x + arctg
a´
b
(see2:515):
2.515
MZ 173a
2:6
•
b
Z
ax ¡ b ln sin x + arctg
sin x dx
a
=
a sin x + b cos x
a2 + b2
¶
:
Z
3:
4:
Z
5:
Z
cos x dx
=
a cos x + b sin x
ax + b ln sin
³
x + arctg
a2 + b2
a´
b :
MZ 174a
∙ ³
¸
1
a´
ln tg
x + arctg
dx
2
b
p
=
:
2
2
a cos x + b sin x
a +b
³
a´
ctg
x
+
arctg
dx
b = + 1 ¢ a sin x ¡ b cos x :
=¡
(a cos x + b sin x)2
a2 + b2
a2 + b2 a cos x + b sin x
MZ 174a
182
2.558
1:
Z
A + B cos x + C sin x
dx =
(a + b cos x + c sin x)n
(Bc ¡ Cb) + (Ac ¡ Ca) cos x ¡ (Ab ¡ Ba) sin x
1
+
£
=
(n ¡ 1)(a2 ¡ b2 ¡ c2 )(a + b cos x + c sin x)n¡1
(n ¡ 1)(a2 ¡ b2 ¡ c2 )
Z
(n ¡ 1)(Aa ¡ Bb ¡ Cc) ¡ (n ¡ 2)[(Ab ¡ Ba) cos x ¡ (Ac ¡ Ca) sin x]
£
dx
(a + b cos x + c sin x)n¡1
= b2 + c2 ];
[n=
= 1; a2 =
•
¶
Cb ¡ Bc + Ca cos x ¡ Ba sin x
A n(Bb + Cc)
=
+
+
(¡c cos x+b sin x)£
n
(n ¡ 1)a(a + b cos x + c sin x)
a
(n ¡ 1)a2
P (2n ¡ 2k ¡ 3)!!
1
(n ¡ 1)! n¡1
¢
[n=
= 1; a2 = b2 +c2 ]:
£
k
(2n ¡ 1)!! k=0 (n ¡ k ¡ 1)!a (a + b cos x + c sin x)n¡k
For n = 1:
2:
Z
Bb + Cc
Bc ¡ Cb
A + B cos x + C sin x
dx = 2
ln(a+b cos x+c sin x)+ 2
x+
2
a + b cos x + c sin x
b• + c
b + c2
¶Z
Bb + Cc
dx
+ A¡ 2
a
B + c2
a + b cos x + c sin x
(see 2.558 4.).
2.558
GU ((331))(18)
3:
Z
dx
=
(a + b cos x + c sin x)n
Z
d(x ¡ ®)
;
[a + r cos(x ¡ ®)]n
where b = r cos ®, c = r sin ® (see 2.554 3.).
4:
Z
dx
=
a + b cos x + c sin x
x
(a ¡ b) tg + c
2
= p
arctg p
[a2 > b2 + c2 ];
a2 ¡ b2 ¡ c2
a2 ¡ b2 ¡ c2
p
x
(a
¡
b)
tg
+
c
¡
b2 + c2 ¡ a2
1
2
p
=
ln
[a2 < b2 +c2 ];
p
x
2
2
2
2
2
2
b +c ¡a
(a ¡ b) tg + c + b + c ¡ a
2
³
´
1
x
= ln a + c ¢ tg
[a = b];
c
2
¡2
=
[a2 = b2 + c2 ]:
x
c + (a ¡ b) tg
2
2
TI (253)a
TI (253)a
TI (253), FI II 94
2.559
1:
Z
2:
Z
1
dx
= 3
2
[a(1 + cos x) + c sin x]
c
∙
¸
³
x´
c(a sin x ¡ c cos x)
¡ a ln a + c tg
:
a(1 + cos x) + c sin x
2
183
A + B cos x + C sin x
dx =
(a1 + b1 cos x + c1 sin x)(a2 + b2 cos x + c2 sin x)
Z
Z
a1 + b1 cos x + c1 sin x
dx
dx
= A0 ln
+A1
+A2
;
a2 + b2 cos x + c2 sin x
a1 + b1 cos x + c1 sin x
a2 + b2 cos x + c2 sin x
where
A0 = ¯
¯ a1
¯
¯ a2
¯
¯
¯A B C¯
¯
¯
¯ a1 b1 c1 ¯
¯
¯
¯ a2 b2 c2 ¯
¯2 ¯
¯
¯
¯ b1 c1 ¯2 ¯ c1
b1 ¯¯
¯
¯
¡¯
+ ¯¯
b2 ¯
b2 c2 ¯
c2
¯2 ;
a1 ¯¯
a2 ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯¯
¯ ¯¯
¯ ¯ B C ¯¯ ¯¯ A C ¯¯ ¯¯ B A ¯¯ ¯
¯¯
¯
¯ b1 c1 ¯ ¯ a1 c1 ¯ ¯ b1 a1 ¯ ¯
¯
¯
b1
c1
a1
¯
¯
¯
¯
a2
b2
c2
A1 = ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ;
¯ a1 b1 ¯2 ¯ b1 c1 ¯2 ¯ c1 a1 ¯2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a2 b2 ¯ ¡ ¯ b2 c2 ¯ + ¯ c2 a2 ¯
"¯
¯ a1
¯
¯ a2
3:
Z
¯ ¯
¯ ¯
¯¯
¯ ¯¯
¯ ¯ C B ¯¯ ¯¯ C A ¯¯ ¯¯ A B ¯¯ ¯
¯¯
¯
¯ c2 b2 ¯ ¯ c2 a2 ¯ ¯ a2 b2 ¯ ¯
¯
¯
b1
c1
a1
¯
¯
¯
¯
a2
b2
c2
A2 = ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ;
¯ a1 b1 ¯2 ¯ b1 c1 ¯2 ¯ c1 a1 ¯2
¯
¯ ¡¯
¯ +¯
¯
¯ c2 a2 ¯
¯ b2 c2 ¯
¯ a2 b2 ¯
¯2 ¯
¯c
b1 ¯¯
+ ¯¯ 1
¯
b2
c2
¯2 ¯
a1 ¯¯ ¯¯ b1
=
=
a2 ¯ ¯ b2
¯2 #
c1 ¯¯
c2 ¯
(see 2.558 4.).
2.558
GU ((331))(19)
A cos2 x + 2B sin x cos x + C sin2 x
dx =
a cos2 x + 2b sin x cos x + c sin2 x
1
= 2
f[4Bb + (A ¡ C)(a ¡ c)]x + [(A ¡ C)b ¡ B(a ¡ c)] £
4b + (a ¡ c)2
£ ln(a cos 2 x + 2b sin x cos x + c sin2 x) +
+ [2(A + C)b2 ¡ 2Bb(a + c) + (aC ¡ Ac)(a ¡ c)]f (x)g;
where
p
c tg x + b ¡ b2 ¡ ac
1
p
f (x) = p
ln
[b2 > ac];
2 b2 ¡ ac
c tg x + b + b2 ¡ ac
1
c tg x + b
= p
arctg p
[b2 < ac];
2
ac ¡ b
ac ¡ b2
1
=¡
[b2 = ac]:
c tg x + b
GU ((331))(24)
184
2.561
1:
Z
A
x Ba ¡ Ab
(A + B sin x) dx
=
ln tg +
sin x(a + b sin x)
a
2
a
Z
dx
a + b sin x
(see 2:5513:):
2.551
TI (348)
2:
Z
½
¾
A
x
a + b cos x
(A + B sin x) dx
= 2
a ln tg + b ln
+
sin x(a + b cos x)
a ¡ b2
2
sin x
Z
dx
+B
(see 2:5533:):
a + b cos x
For a2 = b2 (= 1):
3:
Z
(A + B sin x) dx
A
=
sin x(a + b cos x)
2
½
x
1
ln tg +
2
1 + cos x
4:
Z
(A + B sin x) dx
A
=
sin x(1 ¡ cos x)
2
½
x
1
¡
2
1 ¡ cos x
5:
Z
(A + B sin x) dx
1
= 2
cos x(a + b sin x)
a ¡ b2
ln tg
½
¾
+ B tg
x
:
2
¾
¡ B ctg
x
:
2
(Aa ¡ Bb) ln tg
a + b sin x
x´
¡ (Ab ¡ aB) ln
+
4
2
cos x
³¼
¾
:
TI (346)
For a2 = b2 (= 1) :
6:
Z
³¼
A§B
x´
A¨B
(A + B sin x) dx
=
ln tg
+
¨
:
cos x(1 § sin x)
2
4
2
2(1 § sin x)
7:
Z
³¼
A
x´ B
a + b cos x
(A + B sin x) dx
= ln tg
+
+
ln
¡
cos x(a + b cos x)
a
4
2
a
cos x
Z
Ab
dx
¡
(see 2.553 3.).
a
a + b cos x
2.553
TI (351)a
8:
Z
A
x B
a + b sin x Ab
(A + B cos x) dx
¡
=
ln tg ¡ ln
sin x(a + b sin x)
a
2 a
sin x
a
Z
dx
a + b sin x
(see 2:5513:):
2.551
TI (352)
9:
Z
1
(A + B cos x) dx
= 2
sin x(a + b cos x)
a ¡ b2
½
x
a + b cos x
(Aa ¡ Bb) ln tg + (Ab ¡ Ba) ln
2
sin x
¾
:
For a2 = b2 (= 1):
10:
Z
(A + B cos x) dx
A§B
x
A¨B
=§
+
ln tg :
sin x(1 § cos x)
2(1 § cos x)
2
2
11:
Z
(A + B cos x) dx
A
= 2
cos x(a + b sin x)
a ¡ b2
½
¾
Z
a + b sin x
dx
x´
¡ b ln
+
+B
a ln tg
4
2
cos x
a + b sin x
(see 2.551 3.).
³¼
2.551
TI (350)
185
For a2 = b2 (= 1) :
12:
Z
³¼
A§B
x´
A¨B
(A + B sin x) dx
=
ln tg
+
¨
:
cos x(1 § sin x)
2
4
2
2(1 § sin x)
13:
Z
³¼
A
x ´ Ba ¡ Ab
(A + B cos x) dx
=
ln tg
+
+
cos x(a + b cos x)
a
4
2
a
Z
dx
a + b cos x
(see 2.553 3.).
2.553
TI (347)
2.562
1:
Z
!
∙
¸
b
a+b
tg x
> ¡1 ;
a
a
Ãr
!
∙
¸
b
sign a
a+b
a
tg x
< ¡1; sin2 x < ¡
;
= p
Arth
¡
a
a
b
¡a(a + b)
Ãr
!
∙
¸
b
sign a
a+b
a
2
= p
Arcth
¡
tg x
< ¡1; sin x > ¡
:
a
a
b
¡a(a + b)
sign a
dx
=p
arctg
2
a + b sin x
a(a + b)
Ãr
dx
¡sign a
= p
arctg
2
a + b cos x
a(a + b)
a+b
ctg x
a
!
Ãr
¡sign a
a+b
¡
ctg x
= p
Arth
a
¡a(a + b)
!
Ãr
¡sign a
a+b
ctg x
= p
Arcth
¡
a
¡a(a + b)
2:
b
> ¡1 ;
a
∙
¸
b
a
2
< ¡1; cos x < ¡
;
a
b
∙
¸
b
a
2
< ¡1; cos x > ¡
:
a
b
MZ 162
3:
Z
p
dx
1
= p arctg( 2 tg x):
2
1 + sin x
2
4:
Z
dx
= tg x:
1 ¡ sin2 x
5:
Z
p
dx
1
p
=
¡
2 ctg x):
arctg(
1 + cos 2 x
2
6:
Z
dx
= ¡ ctg x:
1 ¡ cos 2 x
Z
¸
∙
Z
1
b sin x cos x
dx
dx
=
+
(2a + b)
2a(a + b)
(a + b sin2 x)2
a + b sin2 x
a + b sin2 x
2.563
1:
(see 2:5621:):
2.562
MZ 155
186
2:
Z
∙
¸
Z
1
b sin x cos x
dx
dx
¡
=
(2a
+
b)
(a + b cos 2 x)2
2a(a + b)
a + b cos 2 x
a + b cos2 x
(see 2:5622:):
2.562
MZ 163
3:
Z
∙•
¶
1
3
dx
2
=
+
3
+
arctg (p tg x) +
8pa3
p2
p4
(a + b sin2 x)3
¶
•
3
p tg x
2
+
+ 3+ 2 ¡ 4
p
p
1 + p2 tg 2 x
•
¶
¸
2
1
2p tg x
2
+ 1 ¡ 2 ¡ 2 tg x ¡
¢2
p
p
1 + p2 tg 2 x
∙•
¶
1
2
3
∙
¸
b
p =1+ >0 ;
a
2
∙•
¶
dx
3
1
2
4:
=¡
3 + 2 + 4 arctg (p ctg x) +
(a + b cos 2 x)3
8pa3
p
p
•
¶
¶
¸
•
2p ctg x
3
2
1
p ctg x
2
2
+ 1 ¡ 2 ¡ 2 ctg x ¡
+ 3+ 2 ¡ 4
¢2
p
p
p
p
1 + p2 ctg 2 x
1 + p2 ctg 2 x
¸
∙
b
2
p =1+ >0 ;
a
∙•
¶
3
1
2
=¡
3 ¡ 2 + 4 Arth (q ctg x) +
8qa3
q
q
•
¶
¶
¸
•
2p ctg x
2
1
3
q ctg x
2
2
+ 1 + 2 + 2 ctg x ¡
+ 3¡ 2 ¡ 4
¢2
q
q
q
q
1 ¡ q2 ctg 2 x
1 ¡ q2 ctg 2 x
∙
b
a
a
q2 = ¡1 ¡ < 0; cos 2 x < ¡ ; for cos2 x > ¡ ; one should replace
a
b
b
¸
Arth (q ctg x) with Arcth (q ctg x)
Z
MZ 163a
2.564
1:
Z
ln(cos2 x + m2 sin2 x)
tg x dx
=
:
2
2(m2 ¡ 1)
1 + m2 tg x
LA 210 (10)
187
2:
Z
tg ® ¡ tg x
dx = sin 2® ln sin (x + ®) ¡ x cos 2®:
tg ® + tg x
LA 210 (11)a
3:
Z
1
tg x dx
= 2
fbx ¡ a ln(a cos x + b sin x)g:
a + b tg x
a + b2
PE (335)
4:
Z
Ãr
!#
"
r
1
b
b
dx
=
arctg
tg x
:
x¡
a¡b
a
a
a + b tg 2 x
PE (334)
2.57 Forms containing
p
a § b sin x or
p
a § b cos x and forms reducible
to such expressions
Notations: ® = arcsin
° = arcsin
q
b(1¡cos x)
;
a+b
± = arcsin
q
(a+b)(1¡cos x)
2(a¡b cos x) ;
r=
q
q
1¡sin x
;
2
¯ = arcsin
q
b(1¡sin x)
,
a+b
2b
a+b .
2.571
1:
2:
Z
Z
p
h
¼i
¡2
dx
¼
;
= p
F (®; r)
a > b > 0; ¡ ∙ x <
2
2
a + b sin x
a+b
r
•
¶
h
2
1
a
¼i
=¡
F ¯;
0 < jaj < b; ¡ arcsin < x <
:
b
r
b
2
p
2a
2 a+b
sin x dx
p
= p
F (®; r)¡
E(®; r)
b
a + b sin x
b a+b
r ½ •
¶
•
¶¾
2
1
1
=
F ¯;
¡ 2E ¯;
b
r
r
h
h
a > b > 0;
0 < jaj < b;
¡
BY (288.00, 288.50)
¼
¼i
∙x<
;
2
2
¡ arcsin
a
¼i
<x<
:
b
2
BY (288.54)
BY (288.03)
3:
Z
p
4a a + b
2(2a2 + b2 )
sin2 x dx
p
p
=
F (®; r) ¡
E(®; r) ¡
2
3b
a + b sin x
3b2 a + b
h
p
2
¼
¼i
¡
cos x a + b sin x
a > b > 0; ¡ ∙ x <
;
2
2
r3b ½
•
¶
•
¶¾
p
1
1
2 4a
2a + b
2
=
E ¯;
¡
F ¯;
¡
cos x a + b sin x
b 3b
r
3b
r
3b
h
a
¼i
0 < jaj < b; ¡ arcsin < x <
:
b
2
BY (288.03, 288.54)
188
4:
Z
p
³x ´
2
dx
= p
F
;r
2
a + b cos x
a+b
[a > b > 0; 0 ∙ x ∙ ¼];
r
•
¶
2
1
F °;
=
b
r
h
³ a ´i
b ¸ jaj > 0; 0 ∙ x < arccos ¡
:
b
BY (290.00)
BY (289.00)
Z
5:
Z
6:
p
p
dx
2
= p
F (±; r)
a ¡ b cos x
a+b
[a > b > 0;
0 ∙ x ∙ ¼]:
BY (291.00)
³ x ´o
n
³x ´
cos x dx
2
; r ¡ aF
;r
[a > b > 0; 0 ∙ x ∙ ¼];
= p
(a + b)E
2
2
a + b cos x
b a+b
r ½ •
•
¶
¶¾
h
³ a ´i
1
2
1
¡ F °;
2E °;
b > jaj > 0; 0 ∙ x < arccos ¡
:
=
b
r
r
b
BY (290.04)
BY (289.03)
7:
6
Z
p
2
cos x dx
= p
f(b¡a)¦(±; r2 ; r)+aF (±; r)g
a ¡ b cos x
b a+b
[a > b > 0;
0 ∙ x ∙ ¼]:
BY (291.03)
8:
9:
Z
Z
n
³x ´
³ x ´o 2
p
2
cos 2 x dx
p
= 2p
(2a2 + b2 )F
; r ¡ 2a (a + b) E
;r
+
sin x a + b cos x
2
2
3b
a + b cos x
3b a + b
[a > b > 0; 0 ∙ x ∙ ¼];
r ½
•
¶
•
¶¾
p
1
2
1
1
2
=
(2a + b)F °;
¡ 4aE °;
+
sin x a + b cos x
3b b
r
r
3b
h
³ a ´i
b ¸ jaj > 0; 0 ∙ x < arccos ¡
:
b
2
cos 2 x dx
p
f(2a2 + b2 )F (±; r) ¡ 2a(a + b)E(±; r)g +
= 2p
a ¡ b cos x
3b a + b
2
a + b cos x
+
sin x p
[a > b > 0; 0 ∙ x < ¼]:
3b
a ¡ b cos x
BY (291.04)a
2.572
3:
Z
p
1
a
tg 2 x dx
p
= p
F (®; r) +
E(®; r) ¡
a + b sin x
a+b
(a ¡ b) a + b
h
¼i
b ¡ a sin x p
¼
¡ 2
a
+
b
sin
x
0
<
b
<
a;
¡
<
x
<
;
(a ¡ b2 ) cos x
2
2
r ½
•
¶
•
¶¾
2
1
ab
1
2a + b
=
F ¯;
+ 2
E ¯;
¡
b 2(a + b)
r
a ¡ b2
r
h
p
BY (290.04)
BY (289.03)
i
189
2.573
1:
Z
½
p
1 ¡ sin x
dx
2
¢p
a + bE(®; r) ¡
=
1 + sin x
a¡b
a + b sin x
¾
³¼
x´ p
¡
¡tg
a + b sin x
4
2
h
0 < b < a;
¡
¼i
¼
∙x<
:
2
2
BY (288.07)
2:
Z
1 ¡ cos x
dx
2
xp
p
tg
=
a + b cos x ¡
1 + cos x a + b cos x
a¡b
2
p
2 a + b ³x ´
E
;r
[a > b > 0;
¡
a¡b
2
0 ∙ x < ¼]:
BY (289.07)
2.574
1:
Z
1
dx
p
=¡
¦(®; p2 ; r)
2
2
a+b
(2 ¡ p + p sin x) a + b sin x
h
0 < b < a;
¡
¼i
¼
∙x<
:
2
2
BY (288.02)
2:
3:
Z
Z
r
•
¶
1
2
dx
2 1
p
=¡
¦ ¯; p ;
a+b b
r
(a + b ¡ p2 b + p2 b sin x) a + b sin x
h
a
¼i
0 < jaj < b; ¡ arcsin < x <
:
b
2
³x
´
1
dx
2
p
p
=
¦
;
p
;
r
2
(2 ¡ p2 + p2 cos x) a + b cos x
a+b
[a > b > 0;
BY (288.52)
0 ∙ x < ¼]:
BY (289.02)
4:
Z
p
•
¶
2
dx
2 1
p
p ¦ °; p ;
=
r
(a + b ¡ p2 b + p2 b cos x) a + b cos x
(a + b) b
h
³ a ´i
b ¸ jaj > 0; 0 ∙ x < arccos ¡
:
b
BY (290.02)
190
2.575
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
p
p
p
p
dx
(a + b
sin x)3
dx
(a + b
sin x)5
2b cos x
2
p
p
¡
E(®; r)
2
¡ b ) a + b sin x
(a ¡ b) a + b
h
¼
¼i
0 < b < a; ¡ ∙ x <
;
2
2
r ½
•
¶
•
¶¾
1
2b
1
2
1
2b
cos x
¡
=
E ¯;
F ¯;
+ 2
¢p
2
2
2
b b ¡a
r
a+b
r
b ¡a
a + b sin x
h
¼i
a
:
0 < jaj < b; ¡ arcsin < x <
b
2
=
(a2
2
p
f(a2 ¡b2 )F (®; r)¡4a(a+b)E(®; r)g+
¡
a+b
2b(5a2 ¡ b2 + 4ab sin x)
p
+
cos x
3(a2 ¡ b2 )2 (a + b sin x)3
h
¼
¼i
0 < b < a; ¡ ∙ x <
;
2
2
r ½
•
¶
1
2
1
(3a ¡ b)(a ¡ b)F ¯;
+
=¡
2
2
2
3(a ¡ b )
b
r
•
¶¾
1
2b[a2 ¡ b2 + 4a(a + b sin x)]
p
+ 8abE ¯;
+
cos x
r
3(a2 ¡ b2 )2 (a + b sin x)3
h
a
¼i
0 < jaj < b; ¡ arcsin < x <
:
b
2
=
3(a2
b2 )2
³x ´
2
sin x
2b
p
E
¢p
;r ¡ 2
2
2
a ¡b
(a ¡ b) a + b
a + b cos x
(a + b cos x)3
[a > b > 0; 0 ∙ x ∙ ¼];
r ½
•
¶
•
¶¾
1
2
1
1
2b
sin x
= 2
¢p
(a ¡ b)F °;
+ 2bE °;
+ 2
a ¡ b2 b
r
r
b ¡ a2 a + b cos x
h
³ a ´i
b ¸ jaj > 0; 0 ∙ x < arccos ¡
:
b
dx
dx
(a ¡ b
cos x)3
BY (288.56)
BY (288.05)
BY (288.56)
BY (288.05)
=
=
2
p
E(±; r)
(a ¡ b) a + b
[a > b > 0;
0 ∙ x ∙ ¼]:
BY (290.06)
BY (289.05)
5:
Z
p
³ x ´o
³x ´
2 a+b n
p
¡
(a
¡
b)
F
¡
;
r
;r
=
4aE
3(a2 ¡ b2 )2
2
2
(a + b cos x)5
2b
5a2 ¡ b2 + 4ab cos x
p
¡
¢
sin x
[a > b > 0;
3(a2 ¡ b2 )2
(a + b cos x)3
r ½
•
¶
1
2
1
=
(a
¡
b)(3a
¡
b)F
°;
+
3(a2 ¡ b2 )2 b
r
¶¾
•
1
2b(5a2 ¡ b2 + 4ab cos x) sin x
p
+
+ 8abE °;
r
3(ab ¡ b2 )2 (a + b cos x)3
h
³ a ´i
:
b ¸ jaj > 0; 0 ∙ x < arccos ¡
b
dx
0 ∙ x ∙ ¼];
BY (290.06)
BY (289.05)
191
2.576
1:
2:
Z
Z
p
p
³x ´
p
a + b cos x dx = 2 a + bE
;r
[a > b > 0; 0 ∙ x ∙ ¼];
2
r ½
•
¶
•
¶¾
2
1
1
=
(a ¡ b)F °;
+ 2bE °;
b
r
r
h
³ a ´i
b ¸ jaj > 0; 0 ∙ x < arccos ¡
:
b
p
2b sin x
a ¡ b cos x dx = 2 a + bE(±; r)¡ p
a ¡ b cos x
[a > b > 0;
BY (290.03)
BY (289.01)
0 ∙ x ∙ ¼]:
BY (291.05)
2.577
1:
3
2:3
Z p
•
¶
a ¡ b cos x
2(a ¡ b)
2ap
p
dx =
¦ ±;
;r
1 + p cos x
(a + b)(1 + p)
(1 + p) a + b
[a > b > 0; 0 ∙ x ∙ ¼;
Z s
p=
= ¡ 1]:
s
Ã
!
a ¡ b cos x
2(a ¡ b)
2(ap
+
b)
dx = p
¦ ±; ¡r2 ;
1 + p cos x
(1 + p)(a + b)
(1 + p)(a + b)
[a > b > 0; 0 ∙ x ∙ ¼; p=
= ¡ 1]:
BY (291.02)
2.578
Z
p
tg x dx
a + b tg 2 x
= p
1
arccos
b¡a
•p
¶
b¡a
p
cos x
b
[b > a;
b > 0]:
PE (333)
2.58-2.62 Integrals reducible to elliptic and pseudo-elliptic integrals
2.580
1:
Z
2:
Z
d'
p
=2
a + b cos ' + c sin '
Z
p
a ¡ p + 2p cos2 Ã
p
i
p
c
' = 2Ã + ®; tg ® = ; p = b2 + c2
b
Z
dx
A + Bx + Cx2 ¡ Dx3 + Ex4
a + b cos ' + c sin ' +
' + e sin ' cos ' + f sin '
i
h '
tg = x; A = a + b + d; B = 2c + 2e; C = 2a ¡ 2d + 4f; D = 2c ¡ 2e; E = a ¡ b + d
2
p
d'
2
d cos2
Forms containing
k0 =
h
dÃ
1 ¡ k2
p
=2
p
1 ¡ k 2 sin2 x; Notations: ¢ =
p
1 ¡ k 2 , sin2 x,
192
2.581
1:
Z
sinm x cosn x¢r dx =
½
1
=
sinm¡3 x cos n+1 x¢r+2 +[(m+n¡2)+(m+r ¡1)k 2 ]£
(m + n + r)k 2
¾
Z
Z
£
sinm¡2 x cos n x¢r dx ¡ (m ¡ 3) sinm¡4 x cos n x¢r dx =
½
1
=
sinm+1 x cos n¡3 x¢r+2 +[(n+r ¡1)k 2 ¡(m+n¡2)k 02 ]£
(m + n + r)k 2
¾
Z
Z
£ sinm x cos n¡2 x¢r dx+(n¡3)k 02 sinm x cos n¡4 x¢r dx [m+n+r=
= 0]
For r = ¡3 and r = ¡5:
2:
Z
sinm¡1 x cos n¡1 x
sinm x cos n x
¡
dx
=
¢3
k2¢
Z
Z
m ¡ 1 sinm¡2 x cos n x
n ¡ 1 sinm x cos n¡2 x
¡ 2
dx+ 2
dx:
k
¢
k
¢
3:
Z
sinm x cos n x
sinm¡1 x cos n¡1 x
dx
=
¡
¢5
3k 2 ¢3
Z
Z
n ¡ 1 sinm x cos n¡2 x
m ¡ 1 sinm¡2 x cos n x
dx+
dx:
¡
3k 2
¢3
3k 2
¢3
For m = 1 or n = 1:
4:
Z
5:
Z
sin x cos n x¢r dx = ¡
sin
m
cos n¡1 x¢r+2
(n ¡ 1)k02
¡
2
(n + r + 1)k
(n + r + 1)k 2
Z
m¡1
sinm¡1 x¢r+2
x cos x¢ dx = ¡
+
2
(m + r + 1)k
(m + r + 1)k2
r
cos n¡2 x sin x¢r dx:
Z
sinm¡2 x cos x¢r dx:
For m = 3 or n = 3:
6:
Z
sin3 x cos n x¢r dx =
7:
Z
sinm x cos3 x¢r dx =
(n + r + 1)k 2 cos 2 x ¡ [(r + 2)k2 + n + 1]
cos n¡1 x¢r+2 ¡
(n + r + 1)(n + r + 3)k4
Z
[(r + 2)k 2 + n + 1](n ¡ 1)k02
¡
cos n¡2 x sin x¢r dx:
(n + r + 1)(n + r + 3)k 4
(m + r + 1)k 2 sin2 x ¡ [(r + 2)k 2 ¡ (m + 1)k 02 ]
£
(m + r + 1)(m + r + 3)k 4
Z
2
02
m¡1
r+2 [(r + 2)k ¡ (m ¡ 1)k ](m ¡ 1)
£sin
x¢ +
sinm¡2 x cos x¢r dx:
(m + r + 1)(m + r + 3)k4
193
2.582
1:
Z
Z
Z
n¡1
n¡2
2
n¡2
2
¢ dx =
(2 ¡ k ) ¢
dx ¡
(1 ¡ k ) ¢n¡4 dx +
n
n
k2
+
sin x cos x ¢ ¢n¡2 :
n
n
LA (316)(1)a
2:
Z
n ¡ 2 2 ¡ k2
k2 sin x cos x
dx
=¡
+
n+1
02
n¡1
¢
(n ¡ 1)k ¢
n ¡ 1 k 02
Z
n¡3 1
dx
¡
¢n¡1
n ¡ 1 k 02
Z
dx
¢n¡3
3:
4:
5:
Z
Z
Z
sinn x
n ¡ 2 1 + k2
sinn¡3 x
dx =
cos
x
¢
¢
+
¢
(n ¡ 1)k2
n ¡ 1 k2
Z
n¡4
x
n¡3
sin
dx:
¡
2
(n ¡ 1)k
¢
Z
cos n x
n ¡ 2 2k2 ¡ 1
cos n¡3 x
dx =
sin
x
¢
¢
+
¢
(n ¡ 1)k 2
n ¡ 1 k2
n¡4
02 Z
n¡3k
x
cos
dx:
+
2
n¡1 k
¢
¢
tg n¡3 x
(n ¡ 2)(2 ¡ k 2 )
tg n x
dx =
¡
¢
(n ¡ 1)k 02 cos2 x
(n ¡ 1)k02
Z
n¡4
n¡3
x
tg
¡
dx:
02
(n ¡ 1)k
¢
sinn¡2 x
dx ¡
¢
LA 316(1)a
Z
cos n¡2 x
dx +
¢
LA 316(2)a
Z
tg n¡2 x
dx ¡
¢
LA 317(3)
6:
Z
Z
ctg n¡1 x ¢
n¡2
ctg n x
ctg n¡2 x
2
)
dx = ¡
¡
(2
¡
k
dx ¡
2
¢
n ¡ 1 cos x n ¡ 1
¢
Z
n ¡ 3 02 ctg n¡4 x
¡
k
dx:
n¡1
¢
2.583
1:
Z
¢ dx = E(x; k):
2:
Z
¢ sin x dx = ¡
3:
Z
¢ cos x dx =
¢ cos x k 02
¡
ln(k cos x + ¢):
2
2k
¢ sin x
1
+
arcsin(k sin x):
2
2k
LA 317(6)
194
6:
Z
¢ cos 2 x dx =
7:
Z
¢ sin3 x dx = ¡
8:
Z
¢ sin2 x cos x dx =
2k 2 sin2 x ¡ 1
1
¢ sin x + 3 arcsin(k sin x):
8k2
8k
9:
Z
¢ sin x cos 2 dx = ¡
2k 2 cos2 x + k 02
k 04
¢
cos
x
+
ln(k cos x + ¢):
8k 2
8k 3
10:
Z
¢ cos 3 x dx =
11:
Z
¢ sin4 x dx = ¡
12:
Z
¢ sin3 x cos x dx =
13:
Z
¢ sin2 x cos 2 x dx = ¡
14:
Z
¢ sin x cos 3 x dx = ¡
¢
k2 + 1
k 02
sin x cos x ¡ 2 F (x; k) +
E(x; k):
3
3k
3k 2
3k 4 ¡ 2k2 ¡ 1
2k 2 sin2 x + 3k 2 ¡ 1
¢
cos
x+
ln(k cos x+¢):
8k2
8k3
2k 2 cos 2 x + 2k 2 + 1
4k 2 ¡ 1
¢ sin x +
arcsin(k sin x):
2
8k
8k 3
3k 2 sin2 x + 4k2 ¡ 1
¢ sin x cos x ¡
15k 2
2(2k 4 ¡ k 2 ¡ 1)
8k 4 ¡ 3k 2 ¡ 2
¡
F
(x;
k)
+
E(x; k):
15k 4
15k4
3k 4 sin4 x ¡ k 2 sin2 x ¡ 2
¢:
15k4
3k 2 cos2 x ¡ 2k 2 + 1
¢ sin x cos x ¡
15k2
2(k 4 ¡ k2 + 1)
k 02 (1 + k 02 )
¡
F
(x;
k)
+
E(x; k):
15k4
15k 4
3k 4 sin4 x ¡ k 2 (5k 2 + 1) sin2 x + 5k2 ¡ 2
¢:
15k4
15:
Z
¢ cos 4 x dx =
16:
Z
¢ sin5 x dx =
17:
Z
¢ sin4 x cos x dx =
18:
Z
¢ sin3 x cos 2 x dx =
19:
Z
¢ sin2 x cos 3 x dx =
20:
Z
¢ sin x cos 4 x dx =
21:
Z
¢ cos 5 x dx =
22:
Z
¢3 dx =
3k 2 cos 2 x + 3k 2 + 1
¢ sin x cos x +
15k 2
3k 4 + 7k 2 ¡ 2
2k 02 (k 02 ¡ 2k 2 )
F
(x;
k)
+
E(x; k):
+
15k 4
15k 4
¡8k 4 sin4 x ¡ 2k 2 (5k2 ¡ 1) sin2 x ¡ 15k 4 + 4k2 + 3
¢ cos x+
48k4
5k 6 ¡ 3k 4 ¡ k 2 ¡ 1
+
ln(k cos x + ¢):
16k 5
8k 4 sin4 x ¡ 2k 2 sin2 x ¡ 3
1
¢ sin x+
arcsin(k sin x):
4
48k
16k5
8k 4 sin4 x ¡ 2k 2 (k 2 + 1) sin2 x ¡ 3k4 + 2k 2 ¡ 3
¢ cos x+
48k4
k 04 (k 2 + 1)
+
ln(k cos x + ¢):
16k 5
195
¡8k 4 sin4 x + 2k 2 (6k 2 + 1) sin2 x ¡ 6k2 + 3
¢ sin x+
48k 4
2k 2 ¡ 1
+
arcsin(k sin x):
16k 5
¡8k 4 sin4 x + 2k 2 (7k 2 + 1) sin2 x ¡ 3k4 ¡ 8k 2 + 3
¢ cos x¡
48k4
k 06
¡
ln(k cos x + ¢):
16k 5
8k 4 sin4 x ¡ 2k 2 (12k 2 + 1) sin2 x + 24k4 + 12k 2 ¡ 3
¢ sin x+
48k 4
8k 4 ¡ 4k 2 + 1
+
arcsin(k sin x):
16k 5
2
k2
k 02
(1 + k 02 )E(x; k) ¡
F (x; F ) +
¢ sin x cos x:
3
3
3
23:
Z
¢3 sin x dx =
2k 2 sin2 x + 3k 2 ¡ 5
3k04
¢ cos x ¡
ln(k cos x + ¢):
8
8k
24:
Z
¢3 cos x dx =
¡2k 2 sin2 x + 5
3
¢ sin x +
arcsin(k sin x):
8
8k
25:
Z
¢3 sin2 x dx =
26:
Z
¢3 sin x cos dx = ¡
27:
Z
¢3 cos2 x dx =
28:
Z
¢3 sin3 x dx =
29:
Z
¢3 sin2 x cos x dx =
30:
Z
¢3 sin x cos2 x dx =
3k 2 sin2 x + 4k 2 ¡ 6
k02 (3 ¡ 4k 2 )
¢ sin x cos x+
F (x; k)¡
15
15k 2
8k4 ¡ 13k 2 + 3
¡
E(x; k):
15k 2
¢5
:
5k 2
¡3k 2 sin2 x + k2 + 5
k 02 (k 2 + 3)
¢ sin x cos x¡
F (x; k)¡
15
15k 2
2k 4 ¡ 7k2 ¡ 3
¡
E(x; k):
15k 2
8k 4 sin4 x + 2k 2 (5k 2 ¡ 7) sin2 x + 15k4 ¡ 22k 2 + 3
¢ cos x¡
48k 2
5k6 ¡ 9k 4 + 3k 2 + 1
¡
ln(k cos x + ¢):
16k 3
¡8k 4 sin4 x + 14k2 sin2 x ¡ 3
¢ sin x +
48k 2
1
+
arcsin(k sin x):
16k3
196
¡8k 4 sin4 x + 2k2 (k 2 + 7) sin2 x + 3k 4 ¡ 8k2 ¡ 3
£
48k 2
k 06
£ ¢ cos x +
ln(k cos x + ¢):
16k 3
31:
Z
¢3 cos3 x dx =
32:
Z
¢ dx
¢ + cos x
1
= ¡ ln
+ k ln k(k cos x + ¢):
sin x
2
¢ ¡ cos x
33:
Z
¢ dx
k0
¢ + k 0 sin x
=
ln
+ k arcsin(k sin x):
cos x
2
¢ ¡ k 0 sin x
34:
Z
¢ dx
= k 02 F (x; k) ¡ E(x; k) ¡ ¢ ctg x:
2
sin x
35:
Z
1
1¡¢
k0
¢ + k0
¢ dx
= ln
+
ln
:
sin x cos x
2
1+¢
2
¢ ¡ k0
36:
Z
¢ dx
= F (x; k) ¡ E(x; k) + ¢ tg x:
cos 2 x
37:
Z
sin x
¢ dx =
cos x
Z
¢ tg x dx = ¡¢ +
38:
Z
cos x
¢ dx =
sin x
Z
¢ ctg x dx = ¢ +
39:
Z
k 02
¢ + cos x
¢ cos x
¢ dx
=¡
+
ln
:
3
2
4
¢ ¡ cos x
sin x
2 sin x
40:
Z
¡¢
1 + k2
¢ ¡ k0 sin x
¢ dx
¡
=
ln
:
sin x
2k0
¢ + k0 sin x
sin2 x cos x
41:
Z
¢ dx
¢
1
¢ + cos x
=
+ ln
:
2
sin x cos x
cos x 2
¢ ¡ cos x
8k 4 sin4 x ¡ 2k2 (6k 2 + 7) sin2 x + 30k 2 + 3
¢ sin x +
48k 2
6k 2 ¡ 1
arcsin(k sin x):
+
16k 3
k0
¢ + k0
ln
:
2
¢ ¡ k0
1
1¡¢
ln
:
2
1+¢
42:
Z
¢ dx
¢ sin x
1
¢ + k 0 sin x
=
+
:
ln
cos 3 x
2 cos2 x
4k0
¢ ¡ k 0 sin x
43:
Z
¢ sin x dx
¢
¡ k ln(k cos x + ¢):
=
2
cos x
cos x
44:
Z
¢ cos x dx
¢
¡ k arc sin (k sin x):
=¡
2
sin x
sin x
45:
Z
¢ sin2 x dx
¢ sin x 2k 2 ¡ 1
k0
¢ + k 0 sin x
=¡
+
arcsin(k sin x)+
ln
:
cos x
2
2k
2
¢ ¡ k 0 sin x
46:
Z
¢ cos x
k2 + 1
1
¢ + cos x
¢ cos2 x dx
=
+
ln(k cos x + ¢) + ln
:
sin x
2
2k
2
¢ ¡ cos x
47:
Z
1
¢ dx
= f¡¢ ctg 3 x+(k2 ¡3)¢ ctg x+2k 02 F (x; k)+(k 2 ¡2)E(x; k)g:
4
3
sin x
48:
Z
¢
k0
¢ + k0
k2 ¡ 2
1+¢
¢ dx
=
¡
+
ln
+
ln
:
3
2
0
2
¢¡k
4
1¡¢
sin x cos x
2 sin x
49:
Z
¢ dx
=
sin2 x cos 2 x
50:
Z
¢
1+¢
2 ¡ k2
¢ + k0
1
¢ dx
¡
=
ln
+
ln
:
sin x cos 3 x
2 cos 2 x
2
1¡¢
4k 0
¢ ¡ k0
51:
Z
¢ dx
1
= 02 f[k 02 tg 2 x¡(2k 2 ¡3) tg x]¢+2k02 F (x; k)+(k 2 ¡2)E(x; k)g:
cos 4 x
3k
197
•
¶
1 + k 02
1
tg
x
¡
ctg
x
¢ + 2F (x; k) ¡
E(x; k):
02
k
k 02
52:
Z
sin dx
¢ + k0
¢
k2
¢ dx =
+ 0 ln
:
3
2
cos x
2 cos x 4k
¢ ¡ k0
53:
Z
cos x
k2
1+¢
¢
ln
:
¢
dx
=
¡
+
3
2
4
1¡¢
sin x
2 sin x
54:
Z
sin2 x
¢ dx =
cos 2 x
Z
tg 2 x¢ dx = ¢ tg x + F (x; k) ¡ 2E(x; k):
55:
Z
cos 2 x
¢ dx =
sin2 x
Z
ctg 2 x¢ dx = ¡¢ ctg x + k 02 F (x; k) ¡ 2E(x; k):
56:
Z
k 2 sin2 x + 3k2 ¡ 1
¢ + k0
k0
sin3 x
¢ dx = ¡
¢
+
ln
:
cos x
3k 2
2
¢ ¡ k0
57:
Z
k 2 sin2 x ¡ 3k 2 ¡ 1
1¡¢
1
cos 3 x
¢ dx = ¡
¢ + ln
:
2
sin x
3k
2
1+¢
58:
Z
¢ + cos x
(k 2 ¡ 3) sin2 x + 2
k 02 (k 2 + 3)
¢ dx
=
cos x ¢ +
ln
:
5
4
16
¢
¡ cos x
sin x
8 sin x
59:
Z
¢ ¡ k 0 sin x
(3 ¡ k2 ) sin2 x + 1
k0
¢ dx
=
¡
¢
¡
ln
:
2
¢ + k 0 sin x
sin4 x cos x
3 sin3 x
60:
Z
3 sin2 x ¡ 1
k2 ¡ 3
¢ ¡ cos x
¢ dx
=
¢
+
ln
:
2
2
4
¢ + cos x
sin x cos x
2 sin x cos x
61:
Z
¢ + k 0 sin x
¢ dx
3 sin2 x ¡ 2
2k 2 ¡ 3
ln
=
¢
¡
:
2 sin x cos 2 x
4k 0
¢ ¡ k 0 sin x
sin2 x cos 3 x
3
198
64:
Z
¡(2k 2 + 1)k 2 sin2 x + 3k4 ¡ k 2 + 1
sin x
¢
dx
=
¢:
cos 4 x
3k 02 cos 3 x
65:
Z
cos x
¢3
¢
dx
=
¡
:
sin4 x
3 sin3 x
66:
Z
sin2
¢ + k 0 sin x
sin x
2k 2 ¡ 1
¡ k arcsin(k sin x):
ln
¢
dx
=
¢
+
cos 3 x
2 cos 2 x
4k 0
¢ ¡ k 0 sin x
67:
Z
cos x
k2 + 1
cos 2 x
¢ + cos x
¢
dx
=
¡
¢
¡
ln
¡ k ln(k cos x + ¢):
3
2
4
¢ ¡ cos x
sin x
2 sin x
68:
Z
sin2 x ¡ 3
3k2 ¡ 1
sin3 x
¢
dx
=
¡
¢
¡
ln(k cos x + ¢):
cos 2 x
2 cos x
2k
69:
Z
sin2 x + 2
2k2 + 1
cos 3 x
¢
dx
=
¡
¢
¡
arcsin(k sin x):
2 sin x
2k
sin2 x
70:
Z
71:
Z
2.584
2k 2 sin2 x + 4k2 ¡ 1
sin4 x
¢ dx = ¡
sin x¢ +
cos x
8k 2
8k 4 ¡ 4k 2 ¡ 1
k0
¢ + k 0 sin x
+
arcsin(k sin x) +
ln
:
3
8k
2
¢ ¡ k 0 sin x
¡2k 2 sin2 x + 5k 2 + 1
cos 4 x
¢ dx =
cos x¢ +
sin x
8k 2
1
¢ + cos x
3k 4 + 6k 2 ¡ 1
+ ln
+
ln(k cos x + ¢):
2
¢ ¡ cos x
8k 3
199
8:
Z
sin2 x cos x dx
arcsin(k sin x)
sin x¢
=¡
+
:
¢
2k 2
2k 3
9:
Z
sin x cos 2 x dx
cos x¢
k 02
+
ln(k cos x + ¢):
=¡
¢
2k 2
2k 3
10:
Z
sin x¢
2k 2 ¡ 1
cos 3 x dx
+
arcsin(k sin x):
=
2
¢
2k
2k 3
11:
Z
sin x cos x¢
2 + k2
2(1 + k 2 )
sin4 x dx
=
+
F
(x;
k)
¡
E(x; k):
¢
3k 2
3k 4
3k 4
12:
Z
1
sin3 x cos x dx
= ¡ 4 (2 + k 2 sin2 x)¢:
¢
3k
13:
Z
2k 2 ¡ 2
sin x cos x¢ 2 ¡ k 2
sin2 x cos 2 x dx
=¡
+
E(x;
k)
+
F (x; k):
¢
3k 2
3k 4
3k 4
14:
Z
1
sin x cos 3 x dx
= ¡ 4 (k2 cos2 x ¡ 2k02 )¢:
¢
3k
15:
Z
cos 4 x dx
sin x cos x¢
4k 2 ¡ 2
3k 4 ¡ 5k2 + 2
=
+
E(x;
k)
+
F (x; k):
¢
3k 2
3k 4
3k4
16:
Z
sin5 x dx
2k 2 sin2 x + 3k2 + 3
3 + 2k 2 + 3k 4
=
cos
x¢
¡
ln(k cos x+¢):
¢
8k 4
8k 5
17:
Z
sin4 x cos x dx
3
2k 2 sin2 x + 3
=¡
sin x¢ + 5 arcsin(k sin x):
4
¢
8k
8k
18:
Z
sin3 x cos x dx
2k 2 cos2 x ¡ k 2 ¡ 3
k 4 + 2k 2 ¡ 3
=
cos
x¢
¡
ln(k cos x+¢):
¢
8k4
8k5
19:
Z
sin2 x cos 3 x dx
4k 2 ¡ 3
2k 2 cos 2 x + 2k 2 ¡ 3
=¡
sin x¢+
arcsin(k sin x):
4
¢
8k
8k 5
20:
Z
3 ¡ 5k 2 + 2k2 sin2 x
3k 4 ¡ 6k2 + 3
sin x cos 4 x dx
=
cos
x¢
¡
ln(k cos x+¢):
¢
8k 4
8k 5
21:
Z
2k 2 cos 2 x + 6k 2 ¡ 3
8k 4 ¡ 8k 2 + 3
cos 5 x dx
sin
x¢+
arcsin(k sin x):
=
¢
8k 4
8k5
22:
Z
23:
Z
24:
Z
25:
Z
3k 2 sin2 x + 4k2 + 4
sin6 x dx
=
sin x cos x¢ +
¢
15k 4
4k4 + 3k 2 + 8
8k 4 + 7k 2 + 8
+
F
(x;
k)
¡
E(x; k):
15k 6
15k6
3k 4 sin4 x + 4k2 sin2 x + 8
sin5 x cos x dx
=¡
¢:
¢
15k 6
3k 2 cos2 x ¡ 2k 2 ¡ 4
sin4 x cos x dx
=
sin x cos x¢ +
¢
15k4
k4 + 7k 2 ¡ 8
2k 4 + 3k 2 ¡ 8
+
F
(x;
k)
¡
E(x; k):
15k 6
15k6
200
3k 4 sin4 x ¡ (5k4 ¡ 4k 2 ) sin2 x ¡ 10k 2 + 8
sin3 x cos 3 x dx
=
¢:
¢
15k 6
26:
Z
27:
Z
28:
Z
29:
Z
30:
Z
31:
Z
32:
Z
33:
Z
sin2 x cos 4 x dx
3k 2 cos 2 x + 3k2 ¡ 4
= ¡
sin x cos x¢ +
¢
15k 4
9k 4 ¡ 17k 2 + 8
3k 4 ¡ 13k2 + 8
F (x; k) ¡
E(x; k):
+
6
15k
15k 6
¡3k 4 cos4 x + 4k 2 k02 cos 2 x ¡ 8k 4 + 16k 2 ¡ 8
sin x cos 5 x dx
=
¢:
¢
15k6
cos 6 x dx
3k 2 cos 2 x + 8k 2 ¡ 4
=
sin x cos x¢ +
¢
15k 4
15k 6 ¡ 34k4 + 27k 2 ¡ 8
23k 4 ¡ 23k 2 + 8
+
F
(x;
k)+
E(x; k):
15k6
15k6
8k 4 sin4 x + 10k2 (k 2 + 1) sin2 x + 15k 4 + 14k2 + 15
sin7 x dx
=
cos x ¢¡
¢
48k 6
(5k4 ¡ 2k 2 + 5)(k 2 + 1)
¡
ln(k cos x + ¢):
16k 7
8k 4 sin4 x + 10k2 sin2 x + 15
5
sin6 x cos x dx
=¡
sin x¢+
arcsin(k sin x):
6
¢
48k
16k 7
¡8k 4 sin4 x + 2k2 (k 2 ¡ 5) sin2 x + 3k 4 + 4k 2 ¡ 15
sin5 x cos 2 x dx
=
cos x¢¡
¢
48k 6
k6 + k 4 + 3k 2 ¡ 5
¡
ln(k cos x + ¢):
16k 7
8k 4 sin4 x ¡ 2k2 (6k 2 ¡ 5) sin2 x ¡ 18k 2 + 15
sin4 x cos 3 x dx
=
sin x¢+
¢
48k 6
6k2 ¡ 5
+
arcsin(k sin x):
16k 7
sin3 x cos 4 x dx
8k 4 sin4 x ¡ 2k2 (6k 2 ¡ 5) sin2 x + 3k 4 ¡ 22k 2 + 15
=
cos x¢¡
¢
48k6
k6 + 3k 4 ¡ 9k 2 + 5
¡
ln(k cos x + ¢):
16k 7
34:
Z
35:
Z
36:
Z
37:
Z
1
k 2 sin x cos x
dx
= 02 E(x; k) ¡ 02
:
3
¢
k
k
¢
38:
Z
cos x
sin x dx
= ¡ 02 :
¢3
k ¢
39:
Z
sin x
cos x dx
=
:
¢3
¢
40:
Z
1
1
1 si x cos x
sin x dx
= 02 2 E(x; k) ¡ 2 F (x; k) ¡ 02
:
¢3
k k
k
k
¢
41:
Z
1
sin x cos x dx
= 2 :
¢3
k ¢
42:
Z
cos 2 x dx
1
sin x cos x
1
= 2 F (x; k) ¡ 2 E(x; k) +
:
3
¢
k
k
¢
¡8k 4 sin4 x + 2k2 (12k 2 ¡ 5) sin2 x ¡ 24k 4 + 36k 2 ¡ 15
sin2 x cos 5 x dx
=
sin x¢+
¢
48k 6
8k4 ¡ 12k 2 + 5
arcsin(k sin x):
+
16k 7
¡8k 4 sin4 x + 2k2 (13k 2 ¡ 5) sin2 x ¡ 33k 4 + 40k2 ¡ 15
sin x cos 6 x dx
=
cos x¢+
¢
48k6
5k 06
+
ln(k cos x + ¢):
16k7
201
cos 7 x dx
8k 4 sin4 x ¡ 2k 2 (18k2 ¡ 5) sin2 x + 72k 4 ¡ 54k 2 + 15
=
sin x¢+
¢
48k 6
16k 6 ¡ 24k4 + 18k 2 ¡ 5
arcsin(k sin x):
+
16k7
202
53:
Z
¡k 2 sin2 x + 3
sin4 x cos x dx
3
=
sin x ¡ 5 arcsin(k sin x):
¢3
2k4 ¢
2k
54:
Z
¡k 2 sin2 x + 3
k2 ¡ 3
sin3 x cos 2 x dx
=
cos
x
+
ln(k cos x + ¢):
¢
2k 4 ¢
2k 5
55:
Z
2k 2 ¡ 3
k 2 sin2 x + 2k2 ¡ 3
sin2 x cos 3 x dx
=
sin
x
¡
arcsin(k sin x):
¢3
2k 4 ¢
2k 5
56:
Z
3k 02
k 2 sin2 x + 2k2 ¡ 3
sin x cos 4 x dx
=
cos
x
+
ln(k cos x + ¢):
¢3
2k 4 ¢
2k5
57:
Z
¡k 2 sin2 x + 2k 4 ¡ 4k2 + 3
4k 2 ¡ 3
cos 5 x dx
=
sin
x+
arcsin(k sin x):
¢3
2k 4 ¢
2k 5
58:
Z
59:
Z
¡k 2 sin x cos x
1
2k 2 (k 02 + 1) sin x cos x
dx
¡ 02 F (x; k) +
=
¡
5
3
02
04
¢
3k ¢
3k ¢
3k
2(k02 + 1)
+
E(x; k):
3k04
sin x dx
2k 2 sin2 x + k 2 ¡ 3
=
cos x:
¢5
3k 04 ¢3
60:
Z
61:
Z
62:
Z
sin x cos x dx
1
= 2 3:
¢5
3k ¢
63:
Z
cos 2 x dx
1
2k 2 ¡ 1
k 2 (2k 2 ¡ 1) sin2 x ¡ 3k 2 + 2
=
F
(x;
k)+
E(x;
k)+
sin x cos x:
¢5
3k 2
3k 2 k 02
2k 02 ¢
64:
Z
(3k 2 ¡ 1) sin2 x ¡ 2
sin3 x
dx
=
cos x:
¢5
3k 04 ¢3
65:
Z
sin3 x
sin2 x cos x
dx
=
:
¢5
3¢3
66:
Z
cos 3 x
sin x cos 2 x
dx = ¡ 02 3 :
5
¢
3k ¢
67:
Z
¡(2k 2 + 1) sin2 x + 3
cos 3 x dx
=
sin x:
¢5
3¢3
68:
Z
¢ + cos x
1
dx
= ¡ ln
:
¢ sin x
2
¢ ¡ cos x
69:
Z
¢ ¡ k 0 sin x
1
dx
= ¡ 0 ln
:
¢ cos x
2k
¢ + k 0 sin x
¡2k 2 sin2 x + 3
cos x dx
=
sin x:
¢5
3¢3
sin2 x dx
k2 + 1
1
=
E(x; k) ¡ 02 2 F (x; k) +
5
2
04
¢
3k k
3k k
k2 (k 2 + 1) sin2 x ¡ 2
sin x cos x:
+
3k04 ¢3
203
Z
70:
Z
dx
=
¢ sin2 x
71:
Z
dx
=
¢ sin x cos x
72:
Z
dx
=
¢ cos2 x
73:
Z
sin x dx
=
cos x ¢
Z
tg x
74:
Z
cos x dx
=
sin x ¢
Z
ctg x
75:
Z
¢ cos x
1 + k2
¢ + cos x
dx
=
¡
¡
ln
:
3
2
4
¢ ¡ cos x
¢ sin x
2 sin x
76:
Z
1
¢
¢ ¡ k 0 sin x
dx
=
¡
¡
ln
:
sin x 2k 0
¢ + k 0 sin x
¢ sin2 x cos x
77:
Z
¢
1
¢ ¡ cos x
dx
= 02
+ ln
:
2
¢ sin x cos x
k cos x
2
¢ + cos x
78:
Z
¢ sin x
2k 2 ¡ 1
¢ ¡ k 0 sin x
dx
= 02
+
ln
:
3
2
03
¢ cos x
2k cos x
4k
¢ + k 0 sin x
79:
Z
¢
sin x dx
= 02
:
cos 2 x ¢
k cos x
80:
Z
cos x dx
¢
=¡
:
2
¢
sin
x
sin x
Z
1 + ctg 2 x
dx = F (x; k) ¡ E(x; k) ¡ ¢ ctg x:
¢
Z
(tg x + ctg x)
(1 + tg 2 x)
dx
1
1¡¢
1
¢ + k0
= ln
+ 0 ln
:
¢
2
1+¢
2k
¢ ¡ k0
dx
1
1
= F (x; k) ¡ 02 E(x; k) + 02 ¢ tg x:
¢
k
k
dx
1
¢ + k0
= 0 ln
:
¢
2k
¢ ¡ k0
dx
1
1¡¢
= ln
:
¢
2
1+¢
81:
Z
sin2 x dx
¢ + k 0 sin x
1
1
¡ arcsin(k sin x):
= 0 ln
0
cos x ¢
2k
¢ ¡ k sin x
k
82:
Z
cos 2 x dx
1
¢ + cos x
1
= ln
+ ln(k cos x + ¢):
sin x ¢
2
¢ ¡ cos x
k
83:
Z
84:
Z
dx
=
3
¢ sin x cos x
85:
Z
dx
=
2
¢ sin x cos 2 x
86:
Z
dx
=
¢ sin x cos3 x
87:
Z
88:
Z
dx
1
= f¡¢ ctg 3 x ¡ ¢(2k 2 + 3) ctg x + (k 2 + 2)F (x; k) ¡
4
3
¢ sin x
¡ 2(k 2 + 1)E(x; k)g:
Z
dx
=
¢
¢
1
¢ + k0
k2 + 2
1+¢
+
ln
¡
ln
:
=¡
2
0
0
2k
¢¡k
4
1¡¢
2 sin x
(tg x + 2 ctg x + ctg 3 x)
Z
dx
(tg 2 x + 2 + ctg 2 x)
=
¢
¶
•
k2 ¡ 2
tg x
¡
ctg
x
¢
+
E(x; k) + 2F (x; k):
=
k 02
k02
204
Z
dx
=
¢
1+¢
2 ¡ 3k2
¢ + k0
1
¢
¡ ln
= ¡ 02
+
ln
:
2
03
2k cos x
2
1¡¢
4k
¢ ¡ k0
(ctg x + 2 tg x + tg 3 x)
½
1
5k 2 ¡ 3
dx
3
=
x
¡
¢ tg x ¡ (3k 2 ¡ 2)F (x; k) +
¢
tg
¢ cos4 x
3k 02
k 02
¾
2(2k 2 ¡ 1)
+
E(x; k) :
k 02
sin x dx
=
cos 3 x ¢
Z
tg x(1 + tg 2 x)
dx
¢
k2
¢ + k0
¡ 03 ln
= 02
:
2
¢
2k cos x
4k
¢ ¡ k0
89:
Z
cos x dx
k2
1+¢
¢
¡
=
¡
ln
:
3
2
4
1¡¢
sin x ¢
2 sin x
90:
Z
sin2 x dx
=
cos 2 x ¢
Z
tg 2 x
¢
1
dx = 02 tg x ¡ 02 E(x; k):
¢
k
k
91:
Z
cos 2 x dx
=
sin2 x ¢
Z
ctg 2 x
dx = ¡¢ ctg x ¡ E(x; k):
¢
92:
Z
sin3 x dx
¢
1
¢ + k0
= 2 + 0 ln
:
cos x ¢
k
2k
¢ ¡ k0
93:
Z
1
¢
1+¢
cos 3 x dx
= 2 ¡ ln
:
sin x ¢
k
2
1¡¢
94:
Z
¢ + cos x
[3(1 + k 2 ) sin2 x + 2]
3k4 + 2k 2 + 3
dx
=
¡
¢
cos
x+
ln
:
5
2
16
¢ ¡ cos x
¢ sin x
8 sin x
95:
Z
(3 + 2k 2 ) sin2 x + 1
1
¢ ¡ k0 sin x
dx
=
¡
¢ ¡ 0 ln
:
4
3
2k
¢ + k0 sin x
¢ sin x cos x
3 sin x
96:
Z
¢ ¡ cos x
(3 ¡ k 2 ) sin2 x ¡ k02
k2 + 3
dx
=
¢
+
ln
:
3
2
2
02
4
¢ + cos x
¢ sin x cos x
2k sin x cos x
97:
Z
(3 ¡ 2k 2 ) sin2 x ¡ 2k02
¢ + k 0 sin x
4k 2 ¡ 3
dx
=
¢
¡
ln
:
2
2
02
03
2k sin x cos x
4k
¢ ¡ k 0 sin x
¢ sin x cos 3 x
98:
Z
(5k 2 ¡ 3) sin2 x ¡ 6k2 + 4
¢ + cos x
1
dx
=
¢ ¡ ln
:
4
3
04
¢ sin x cos x
3k cos x
2
¢ ¡ cos x
99:
Z
dx
3(2k 2 ¡ 1) sin2 x ¡ 8k 2 + 5
8k 4 ¡ 8k 2 + 3
¢ + k0 sin x
=
¢ sin x+
ln
:
5
04
4
05
¢ cos x
8k cos x
16k
¢ ¡ k0 sin x
100:
Z
sin x dx
2k 2 cos 2 x ¡ k02
=
¡
¢:
cos 4 x ¢
2k 04 cos 3 x
101:
Z
cos x dx
2k2 sin2 x + 1
=
¡
¢:
sin4 x ¢
3 sin3 x
102:
Z
sin2 x dx
¢ + k 0 sin x
¢ sin x
1
¡
=
ln
:
cos 3 x ¢
2k 02 cos 2 x
4k 03
¢ ¡ k 0 sin x
103:
Z
k 02
¢ cos x
¢ + cos x
cos 3 x dx
+
=
¡
ln
:
3
2
4
¢ ¡ cos x
sin x ¢
2 sin x
104:
Z
¢
1
sin3 x dx
= 02
+ ln(k cos x + ¢):
cos 2 x ¢
k cos x
k
105:
Z
¡¢
1
cos 3 x dx
=
¡ arcsin(k sin x):
2
sin x k
sin x ¢
106:
Z
¢ sin x
1
¢ + k 0 sin x
2k 2 + 1
sin4 x dx
=
+
ln
¡
arcsin(k sin x):
cos x ¢
2k 2
2k 0
¢ ¡ k 0 sin x
2k 3
107:
Z
¢ cos x
1
¢ + cos x
3k 2 ¡ 1
cos 4 x dx
=
+
ln
+
ln(k cos x + ¢):
sin x ¢
2k 2
2
¢ ¡ cos x
2k3
205
2.585
1:
Z
(a + sin x)p+3 dx
=
¢ ∙
1
=
(a + sin x)p cos x¢ +
(p + 2)k 2
Z
Z
(a + sin x)p+2 dx
(a + sin x)p+1 dx
2
2
2 2
¡
+(p+1)(1+k ¡6a k )
+2(2p+3)ak
¢
¢
Z
(a + b sin x)p dx
¡ a(2p + 1)(1 + k 2 ¡ 2a2 k2 )
¡
¢
¸
∙
¸
Z
(a + sin x)p¡1 dx
1
¡p(1¡a2 )(1¡a2 k 2 )
p=
= ¡ 2; a=
= § 1; a=
= §
:
¢
k
p=n
2:
Z
a + sin x
1
¢ ¡ k cos x
dx = aF (x; k) +
ln
:
¢
2k
¢ + k cos x
3:
Z
(a + sin x)2
a
1 + k 2 a2
¢ ¡ k cos x
1
dx =
F (x; k) ¡ 2 E(x; k) + ln
:
2
¢
k
k
k
¢ + k cos x
4:6
Z
•
¶ Z
sin x dx
1
1
dx
= ¦ x; 2 ; k ¡
;
2
(a + sin x)¢
a
a
(a ¡ sin2 x)¢
Z
p
p
¡1
sin x dx
1 ¡ a2 ¢ ¡ 1 ¡ k 2 a2 cos x
p
ln p
:
= p
(a2 ¡ sin2 x)¢
1 ¡ a2 ¢ + 1 ¡ k 2 a2 cos x
2 (1 ¡ a2 )(1 ¡ a2 k2 )
Z
∙
1
cos x¢
dx
¡
=
¡
n
2
2
2
(a + sin x) ¢
(n ¡ 1)(1 ¡ a )(1 ¡ a k )
(a + sin x)n¡1
Z
dx
¡ (2n ¡ 3)(1 + k 2 ¡ 2a2 k 2 )a
¡
(a + sin x)n¡1 ¢
Z
dx
¡ (n ¡ 2)(6a2 k 2 ¡ k 2 ¡ 1)
¡
(a + sin x)n¡2 ¢
¸
Z
Z
dx
dx
2
2
¡(10¡4n)ak
¡(n¡3)k
(a + sin x)n¡3 ¢
(a + sin x)n¡4 ¢
∙
¸
1
n=
= 1; a=
= § 1; a=
= §
:
k
where
5:
206
2.586
1:
This integral can be reduced to the integrals:
2:
Z
∙
1
cos x¢
dx
¡
=
¡
2
2
2
2
(a + sin x) ¢
(1 ¡ a )(1 ¡ a k )
a + sin x
Z
Z
dx
(a + sin x) dx
2
2 2
2
¡a(1+k ¡2a k )
¡2ak
+
(a + sin x)¢
¢
¸
Z
(a + sin x)2 dx
+ k2
(see 2.585 2., 3., 4.).
¢
2.585
3:
Z
∙
Z
cos x¢
dx
dx
1
2
2 2
¡
¡
=
¡
3a(1+k
¡
2a
k
)
3
2
2
2
2
(a + sin x) ¢
2(1 ¡ a )(1 ¡ a k )
(a + sin x)
(a + sin x)2 ¢
¸
Z
dx
¡ (6a2 k 2 ¡ k 2 ¡ 1)
+ 2ak 2 F (x; k)
(a + sin x)¢
(see 2.585 4. and 2.586 2.).
2.586
2.585
For a = §1 , we have:
4:
Z
∙
1
dx
cos x¢
+
=
¨
n
02
(1 § sin x) ¢
(2n ¡ 1)k
(1 § sin x)n
Z
Z
dx
dx
2
2
+(n¡1)(1¡5k )
+2(2n¡3)k
¡
n¡1
(1 § sin x)
¢
(1 § sin x)n¡2 ¢
¸
Z
dx
¡ (n ¡ 2)k 2
:
(1 § sin x)n¡3 ¢
GU ((241))(6a)
This integral can be reduced to the integrals
5:
Z
¨ cos x¢
1
dx
= 02
+ F (x; k) ¡ 02 E(x; k):
(1 § sin x)¢
k (1 § sin x)
k
GU ((241))(6c)
207
6:
Z
∙
1
(1 ¡ 5k 2 ) cos x¢
dx
k 02 cos x¢
=
¨
+
¨
(1 § sin x)2 ¢
3k 04
(1 § sin x)2
1 § sin x
+ (1 ¡ 3k 2 )k 02 F (x; k) ¡ (1 ¡ 5k 2 )E(x; k)]:
For a = § k1 , we have
GU ((241))(6b)
GU ((241))(7a)
This integral can be reduced to the integrals
8:
9:
Z
Z
dx
1
k cos x¢
= § 02
+ 02 E(x; k):
(1 § k sin x)¢
k (1 § k sin x)
k
GU ((241))(7b)
∙
dx
1
k(5 ¡ k 2 ) cos x¢
kk 02 cos x¢
¡
=
§
§
(1 § k sin x)2 ¢
3k 04
(1 § k sin x)2
1 § k sin x
¸
¡ 2k 02 F (x; k) + (5 ¡ k 2 )E(x; k) :
GU((241))(7c)
2.587
1:
Z
∙
Z
1
(b + cos x)p+3 dx
(b + cos x)p+2 dx
p
2
sin
x¢+2(2p+3)bk
=
¡
(b+cos
x)
¢
(p + 2)k 2
¢
Z
(b + cos x)p+1 dx
+
¡ (p + 1)(k02 ¡ k 2 + 6b2 k 2 )
¢
Z
(b + cos x)p dx
+ (2p + 1)b(k02 ¡ k 2 + b2 k 2 )
+
¢
¸
Z
(b + cos x)p¡1 dx
+ p(1 ¡ b2 )(k 02 + k2 b2 )
¢
∙
¸
ik0
p=
= ¡ 2; b=
= § 1; b=
=
:
k
For p = n a natural number, this integral can be reduced to the following three integrals:
2:
Z
1
b + cos x
dx = bF (x; k) + arcsin(k sin x):
¢
k
3:
Z
1
2b
(b + cos x)2
b2 k 2 ¡ k02
F (x; k) + 2 E(x; k) +
dx =
arcsin(k sin x):
2
¢
k
k
k
208
4:
Z
•
¶ Z
dx
cos x dx
b
1
= 2
¦ x; 2
;k +
;
(b + cos x)¢
b ¡1
b ¡1
(1 ¡ b2 ¡ sin2 x)¢
Z
p
p
cos x dx
1 ¡ b2 ¢ + k k 02 + k 2 b2 sin x
1
p
:
= p
ln p
(1 ¡ b2 ¡ sin2 x)¢
1 ¡ b2 ¢ ¡ k k 02 + k 2 b2 sin x
2 (1 ¡ b2 )(k 02 + k 2 b2 )
Z
∙
¡k 02 sin x¢
dx
1
¡
=
n
2
2
2
02
(b + cos x) ¢
(n ¡ 1)(1 ¡ b )(k + b k ) (b + cos x)¡1
Z
dx
¡ (2n ¡ 3)(1 ¡ 2k 2 + 2b2 k 2 )b
¡
(b + cos x)n¡1 ¢
Z
dx
¡ (n ¡ 2)(2k 2 ¡ 1 ¡ 6b2 k 2 )
¡
(b + cos x)n¡2 ¢
¸
Z
Z
dx
dx
2
2
¡(4n¡10)bk
+(n¡3)k
(b + cos x)n¡3 ¢
(b + cos x)n¡4 ¢
∙
¸
ik 0
n=
= 1; b=
= § 1; b=
= §
:
k
where
5:
2.588
1:
This integral can be reduced to the following integrals:
2:
Z
dx
=
(b + cos x)2 ¢
=
∙ 02
Z
1
¡k sin x¢
dx
2
2 2
¡
(1
¡
2k
+2b
k
)b
+
(1 ¡ b2 )(k 02 + b2 k2 )
b + cos x
(b + cos x)¢
¸
Z
Z
b + cos x
(b + cos x)2
+2bk 2
dx¡k 2
dx
(see 2.587 2., 3., 4.).
¢
¢
2.587
3:
Z
∙ 02
1
¡k sin x¢
dx
=
¡
3
2
2
2
02
(b + cos x) ¢
2(1 ¡ b )(k + b k ) (b + cos x)2
Z
dx
¡ 3b(1 ¡ 2k2 + 2k 2 b2 )
¡
(b + cos x)2 ¢
¸
Z
dx
2
2 2
2
¡ (2k ¡ 1 ¡ 6b k )
¡ 2bk F (x; k)
(b + cos x)¢
(see 2.588 2. and 2.587 4.).
209
2.589
1:
Z
(c + tg x)p+3 dx
=
¢
∙
Z
1
(c + tg x)p ¢
(c + tg x)p+2 dx
02
¡
=
+2(2n+3)ck
(p + 2)k 02
cos2 x
¢
Z
(c + tg x)p+1 dx
¡ (p + 1)(1 + k 02 + 6c2 k 02 )
+
¢
Z
(c + tg x)p dx
¡
+ (2p + 1)c(1 + k 02 + 2c2 k 02 )
¢
¸
Z
(c + tg x)p¡1 dx
¡p(1+c2 )(1+k 02 c2 )
[p=
= ¡2]:
¢
For p = n a natural number, this integral can be reduced to the following three integrals:
2:
Z
1
¢ + k0
c + tg x
dx = cF (x; k) + 0 ln
:
¢
2k
¢ ¡ k0
3:
Z
1
1
c
¢ + k0
(c + tg x)2
:
dx = 02 tg x¢ + c2 F (x; k) ¡ 02 E(x; k) + 0 ln
¢
k
k
k
¢ ¡ k0
4:
Z
¶
•
c
1
1 + c2
dx
F (x; k) +
=
¦ x; ¡ 2 ; k ¡
(c + tg x)¢
1 + c2
c(1 + c2 )
c
Z
sin x cos x dx
¡
;
[c2 ¡ (1 + c2 ) sin2 x]¢
Z
p
p
1
1 + c2 k02 + 1 + c2 ¢
sin x cos x dx
p
= p
ln p
:
[c2 ¡ (1 + c2 ) sin2 x]¢
1 + c2 k02 ¡ 1 + c2 ¢
2 (1 + c2 )(1 + c2 k 02 )
Z
∙
1
¢
dx
=
¡
+
n
2
02
2
(c + tg x) ¢
(n ¡ 1)(1 + c )(1 + k c )
(c + tg x)n¡1 cos2 x
Z
dx
¡
+ (2n ¡ 3)c(1 + k 02 + 2c2 k 02 )
(c + tg x)n¡1 ¢
Z
dx
¡ (n ¡ 2)(1 + k 02 + 6c2 k 02 )
+
(c + tg x)n¡2 ¢
¸
Z
Z
dx
dx
02
02
+(4n¡10)ck
¡(n¡3)k
:
(c + tg x)n¡3 ¢
(c + tg x)n¡4 ¢
where
5:
2.591
1:
This integral can be reduced to the integrals:
2:
Z
∙
¡¢
dx
1
=
+
2
2
2
02
(c + tg x) ¢
(1 + c )(1 + k c ) (c + tg x) cos2 x
Z
dx
¡
+ c(1 + k 02 + 2c2 k02 )
(c + tg x)¢
¸
Z
Z
c + tg x
(c + tg x)2
02
02
¡2ck
dx+k
dx (see 2.589 2., 3., 4.).
¢
¢
2.589
3:
Z
∙
¡¢
dx
1
=
+
(c + tg x)3 ¢
2(1 + c2 )(1 + k 02 c2 ) (c + tg x)2 cos 2 x
Z
dx
¡
+ 3c(1 + k 02 + 2c2 k02 )
(c + tg x)2 ¢
¸
Z
dx
2 02
02
02
¡ (1 + k + 6c k )
+ 2ck F (x; k)
(c + tg x)¢
(see 2.591 2. and 2.589 4.).
2.589
2.591
2.592
1:
Pn =
Z
(a + sin2 x)n
dx:
¢
The recursion formula
Pn+2 =
©
1
(a + sin2 x)n sin x cos x¢ + (2n + 2)(1 + k 2 + 3ak 2 )Pn+1 ¡
2
(2n + 3)k
ª
¡ (2n + 1)[1 + 2a(1 + k 2 ) + 3a2 k 2 ]Pn + 2na(1 + a)(1 + k2 a)Pn¡1
reduces this integral (for n an integer) to the integrals
2:
P1 see 2.584 1. and 2.584 4.
2.584
3:
P0 see 2.584 1.
2.584
4:
P¡1 =
•
¶
dx
1
1
= ¦ x; ; k :
a
a
(a + sin2 x)¢
Z
For a = 0
5:
Z
dx
sin2 x¢
see 2.584 70.
2.584
ZH (124)a
6:
Tn =
Z
dx
(h + g sin2 x)n ¢
211
can be calculated by means of the recursion formula:
Tn¡3
1
=
(2n ¡ 5)k 2
½
¡g 2 sin x cos x¢
+ 2(n ¡ 2)[g(1 + k 2 ) + 3hk 2 ]Tn¡2 ¡
(h + g sin2 x)n¡1
2
2
2 2
2
¾
¡ (2n ¡ 3)[g + 2hg(1 + k ) + 3h k ]Tn¡1 + 2(n ¡ 1)h(g + h)(g + hk )Tn :
2.593
1:
Qn =
Z
(b + cos 2 x)n
dx:
¢
The recursion formula
Qn+2 =
1
f(b + cos2 x)n sin x cos x¢ ¡ (2n + 2)(1 ¡ 2k 2 ¡ 3bk 2 )Qn+1 +
(2n + 3)k 2
¾
2
2 2
2
02
02
02
+ (2n + 1)[k + 2b(k ¡ k ) ¡ 3b k ]Qn ¡ 2nb(1 ¡ b)(k ¡ k b)Qn¡1
reduces this integral (for n an integer) to the integrals:
2:
Q1
see 2.584 1. and 2.584 6.
2.584
2.584
3:
Q0
see 2.584 1.
2.584
4:
Q¡1 =
Z
•
¶
1
1
dx
=
¦ x; ¡
;k :
(b + cos 2 x)¢
b+1
b+1
For b = 0
5:
Z
dx
cos 2 x¢
see 2.584 72.
2.584
ZH (123)
2.594
1:
Rn =
Z
(c + tg 2 x)n dx
:
¢
Rn+2
½
(c + tg 2 x)n tg x¢
¡ (2n + 2)(1 + k 02 ¡ 3ck02 )Rn+1 +
cos 2 x
¾
2 02
02
02
+ (2n ¡ 1)[1 ¡ 2c(1 + k ) + 3c k ]Rn + 2nc(1 ¡ c)(1 ¡ k c)Rn¡1
1
=
(2n + 3)k 02
212
reduces this integral (for n an integer) to the integrals:
2:
R1
see 2.584 1. and 2.584 90.
2.584
2.584
3:
R0
see 2.584 1.
2.584
4:
R¡1 =
Z
•
¶
1
1¡c
1
dx
=
F (x; k) +
¦ x;
;k :
c¡1
c(1 ¡ c)
c
(c + tg 2 x)¢
For c = 0 see 2.582 5.
2.595
Integrals of the type
Z
R(sin x; cos x;
q
1 ¡ p2 sin2 x) dx for p2 > 1.
Notation: ® = arcsin(p sin x).
Basic formulas
BY (283.00)
2:
Z q
•
¶
•
¶
p2 ¡ 1
1
1
¡
1 ¡ p2 sin2 x dx = pE ®;
F ®;
p
p
p
[p2 > 1]:
BY (283.03)
3:
Z
•
¶
dx
1
r2 1
p
= ¦ ®; 2 ;
p
p p
(1 ¡ r 2 sin2 x) 1 ¡ p2 sin2 x
To evaluate integrals of the form
R
R(sin x; cos x;
the following modifications in them.
p
[p2 > 1]:
BY (283.02)
1 ¡ p2 sin2 x) dx for p2 > 1, we may use formulas 2.583 and 2.584, making
³
We replace (1) k with p, (2) k 02 with 1 ¡ p2 , (3) F (x; k) with 1p F ®;
1
p
³
´
, and (4) E(x; k) with pE ®;
1
p
´
¡
p2 ¡1
p F
For example (see 2.584 15.):
2.596
1:
p
¶
∙
•
sin x cos x 1 ¡ p2 sin2 x
4p2 ¡ 2
1
p
=
+
¡
pE ®;
3p2
3p4
p
1 ¡ p2 sin2 x
•
¶¸
•
¶
p2 ¡ 1
1
1
2 ¡ 5p2 + 3p4 1
¡
F ®;
+
¢ F ®;
=
4
p
p
3p
p
p
p
•
•
¶
¶
sin x cos x 1 ¡ p2 sin2 x p2 ¡ 1
1
1
4p2 ¡ 2
¡
F ®;
E ®;
=
+
3p2
3p3
p
3p3
p
cos 4 x dx
213
(see 2.583 36.):
2:
Z p
•
¶
q
1
1
1 ¡ p2 sin2 x
2
2
dx = tg x 1 ¡ p sin x + F ®;
¡
cos 2 x
p
p
∙ •
¶
•
¶¸
1
1
p2 ¡ 1
¡ pE ®;
¡
F ®;
=
p
p
p
∙ •
¶
•
¶¸
q
1
1
= p F ®;
¡ E ®;
+ tg x 1 ¡ p2 sin2 x
[p2 > 1];
p
p
[p2 > 1];
³
®;
1
p
´
.
∙ •
¶
•
¶¸
¡1
p2 ¡ 1
1
1
q
¡
¡
3:
= 2
pE ®;
F ®;
p ¡1
p
p
p
(1 ¡ p2 sin2 x)3
•
¶
•
¶
p2
p
p2
sin x cos x
1
1
1
sin x cos x
¡
¡ 2
¢p
¢p
= 2
+ F ®;
E ®;
1 ¡ p2
p ¡1
p
p ¡1
p
1 ¡ p2 sin2 x
1 ¡ p2 sin2 x p
Z
dx
[p2 > 1]:
2.597
p
R
Integrals of the form R(sin x; cos x; 1 + p2 sin 2 x) dx .
• p
1+p2
Notation: ® = arcsin p
sin x
1+p2 sin2 x
¶
.
Basic formulas
1:
2:
3:
Z
p
Z q
dx
1 + p2 sin2 x
= p
2
1 + p2 sin x dx =
1
1 + p2
p
F
Ã
1 + p2 E
®; p
Ã
!
p
1 + p2
®; p
:
BY (282.00)
p
1+
p2
!
¡ p2 p
sin x cos x
1 + p2 sin2 x
Ã
!
1 + p2 sin2 x dx
1
p
2
= p
¦ ®; r ; p
:
1 + (p2 ¡ r 2 p2 ¡ r2 ) sin2 x
1 + p2
1 + p2
:
BY (282.03)
p
4:
Z
5:
Z
6:
Z
1
p
= ¡ arcsin
2
p
1 + p2 sin x
sin x dx
p
cos x dx
1+
p2
2
sin x
=
Ã
p cos x
p
1 + p2
1
ln(p sin x +
p
q
!
:
1 + p2 sin2 x):
p
1 + p2 sin2 x ¡ cos x
1
p
= ln p
:
2
sin x 1 + p2 sin2 x
1 + p2 sin2 x + cos x
dx
BY (282.02)
214
7:
Z
8:
Z
9:
Z
2.598
p
1 + p2 sin2 x +
p
1 + p2 sin x
p
= p
ln p
:
p
2
2
2 1 + p2
cos x 1 + p2 sin x
1 + p2 sin x ¡ 1 + p2 sin x
dx
p
1
p
1 + p2 sin2 x +
p
1 + p2
= p
ln p
:
p
2 1 + p2
1 + p2 sin2 x
1 + p2 sin2 x ¡ 1 + p2
tg x dx
1
p
1
1 ¡ 1 + p2 sin2 x
p
p
= ln
:
2
1 + p2 sin2 x
1 + 1 + p2 sin2 x
ctg x dx
To calculate integrals of the form
following modifications in them:
R
R(sin x; cos x;
p
1 + p2 sin2 x) dx , we may use formulas 2.583 and 2.584, making the
We replace 1) k 2 with ¡p2; 2) k 02 with 1 + p2 ;
3)
F (x; k)
1 + p2 E
Ã
p
with
with
F
Ã
p
4)
E(x; k)
5)
1
ln(k cos x + ¢)
k
6)
1
arcsin(k sin x)
k
For example (see 2.584 90.):
1
1 + p2
with
with
®; p
®; p
p
1 + p2
p
1+
p2
!
!
;
¡ p2 p
sin x cos x
1 + p2 sin2 x
1
p cos x
arcsin p
;
p
1 + p2
1
ln(p sin x +
p
q
1 + p2 sin2 x):
;
(see 2.584 37.):
2:
Z
q
dx
(1 +
p2
sin
2
x)3
= p
1
1 + p2
E
Ã
®; p
p
1 + p2
!
2.599
Integrals of the form
Z
R(sin x; cos x;
p
a2 sin2 x ¡ 1) dx
[a2 > 1]
215
Notation: ® = arcsin
³
® cos x
sqrta2 ¡1
´
.
Basic formulas:
1:
2:
Z
1
p
=¡ F
2
2
a
a sin x ¡ 1
dx
Z p
a2
1
sin x ¡ 1 dx = F
a
2
Ã
®;
p
a2 ¡ 1
a
!
[a2 > 1]:
BY (285.00)a
Ã
®;
p
a2 ¡ 1
a
!
¡aE
Ã
®;
p
a2 ¡ 1
a
!
[a2 > 1]:
BY (285.06)a
3:
Z
Ã
!
p
1
r2 (a2 ¡ 1)
a2 ¡ 1
dx
p
=
¦ ®; 2 2
;
a(r2 ¡ 1)
a (r ¡ 1)
a
(1 ¡ r 2 sin2 x) a2 sin2 x ¡ 1
2
2
[a > 1; r > 1]:
BY (285.02)a
4:
Z
p
sin x dx
a2
2
sin x ¡ 1
=¡
®
a
[a2 > 1]:
5:
Z
6:
Z
7:
Z
8:
Z
9:
Z
2.611
p
cos x dx
a2 sin2 x ¡ 1
=
p
1
ln(a sin x + a2 sin2 x ¡ 1)
a
dx
cos x
p
= ¡ arctg p
2
2
2
sin x a sin x ¡ 1
a sin2 x ¡ 1
p
[a2 > 1]:
[a2 > 1]:
p
a2 sin2 x ¡ 1
p
p
= p
ln p
2 a2 ¡ 2
cos x a2 sin2 x ¡ 1
a2 ¡ 1 sin x ¡ a2 sin2 x ¡ 1
dx
1
a2 ¡ 1 sin x +
p
p
1
a2 ¡ 1 + a2 sin2 x ¡ 1
p
p
= p
ln p
2 a2 ¡ 1
a2 sin2 x ¡ 1
a2 ¡ 1 ¡ a2 sin2 x ¡ 1
tg x dx
p
ctg x dx
a2
2
sin x ¡ 1
= ¡ arcsin
•
1
a sin x
¶
[a2 > 1]:
[a2 > 1]:
[a2 > 1]:
p
R
To calculate integrals of the type R(sin x; cos x; a2 sin 2 x ¡ 1) dx (for a2 > 1), we may use formulas 2.583 and 2.584. In
doing so, we should follow the procedure outlined below:
1) In the right members of these formulas, the following functions should be replaced with integrals equal to them:
F (x; k)
should be replaced with
E(x; k)
should be replaced with
1
ln(k cos x + ¢)
k
1
arcsin(k sin x)
k
1
¢ ¡ cos x
ln
2
¢ + cos x
1
¢ + k 0 sin x
ln
0
2k
¢ ¡ k 0 sin x
1
¢ + k0
ln
2k 0
¢ ¡ k0
1
1¡¢
ln
2
1+¢
¡
should be replaced with
should be replaced with
should be replaced with
should be replaced with
should be replaced with
should be replaced with
Z
dx
;
Z ¢
¢dx;
Z
sin x dx
;
¢
Z
cos x dx
;
¢
Z
dx
;
¢ sin x
Z
dx
;
¢ cos x
Z
tg x
dx;
Z ¢
ctg x
dx:
¢
1. We rewrite equation 2.584 4. in the form
Z
sin2 x
1
p
dx = 2
2
a
i a2 sin x ¡ 1
Z
1
p
¡ 2
2
a
i a2 sin x ¡ 1
dx
Z p
i a2 sin2 x ¡ 1 dx;
from which we get
Z
sin2 x dx
1
p
= 2
a
a2 sin2 x ¡ 1
(Z
p
dx
a2
2
sin x ¡ 1
+
Z p
a2
2
)
sin x ¡ 1 dx
1
=¡ E
a
Ã
®;
p
2. We rewrite equation 2.584 58. as follows:
Z
i5
q
2a4 (a2 ¡ 2) sin2 x ¡ (3a2 ¡ 5)a2
q
sin x cos x ¡
(a2 sin2 x ¡ 1)5
3(1 ¡ a2 )2 i3 (a2 sin2 x ¡ 1)3
Z
Z p
1
2a2 ¡ 4
dx
p
¡
¡
i a2 sin2 x ¡ 1 dx;
3(1 ¡ a2 ) i a2 sin2 x ¡ 1
3(1 ¡ a2 )2
dx
=¡
217
from which we obtain
Z
q
2a4 (a2 ¡ 2) sin2 x ¡ (3a2 ¡ 5)a2
1
q
sin x cos x+
£
3(1 ¡ a2 )2 a
(a2 sin2 x ¡ 1)5
3(1 ¡ a2 )2 (a2 sin2 x ¡ 1)3
(
à p
à p
!
!)
¢
¡ 2
a2 ¡ 1
a2 ¡ 1
2
2
£ (a ¡ 3)F ®;
¡ 2a a ¡ 2 E ®;
[a2 > 1]:
a
a
dx
=
3. We rewrite equation 2.584 71. in the form
Z
dx
p
=
sin x cos xi a2 sin2 x ¡ 1
from which we obtain
Z
ctg x dx
p
+
i a2 sin2 x ¡ 1
Z
tg x dx
p
;
i a2 sin2 x ¡ 1
a2 ¡ 1
a
!
[a2 > 1]:
2.612
p
R
Integrals of the form R(sin x; cos x; 1 ¡ k 2 cos2 x) dx
p
R
To find integrals of the form R(sin x; cos x; 1 ¡ k 2 cos2 x) dx we make the substitution x =
Z
p
R (sin x; cos x;
1¡
k2
cos 2
¼
2
¡ y , which yields
Z
q
x) dx = ¡ R (cos y; sin y; 1 ¡ k 2 sin2 y) dy:
p
R
The integrals R(cos y; sin y; 1 ¡ k 2 sin 2 y) dy are found from formulas 2.583 and 2.584. As a result of the use of these
formulas (where it is assumed that the original integral can be reduced only to integrals of the first and second Legendre forms),
when we replace the functions F (x; k) and E(x; k) with the corresponding integrals, we obtain an expression of the form
¡g(cos y; sin y) ¡ A
Z
p
dy
1¡
k2
2
sin y
¡B
Z q
1 ¡ k2 sin2 y dy:
Returning now to the original variable x, we obtain
Z
R (sin x; cos x;
p
1 ¡ k 2 cos 2 x) dx = ¡g(sin x; cos x)¡A
Z
p
dx
¡B
1 ¡ k 2 cos 2 x
Z p
1 ¡ k 2 cos 2 x dx:
The integrals appearing in this expression are found from the formulas
218
1:
Z
2:
Z p
dx
p
=F
1 ¡ k 2 cos 2 x
1¡
k2
cos 2
•
arcsin
•
•
sin x
p
1 ¡ k 2 cos 2 x
x dx = E arcsin
•
¶
¶
;k :
sin x
p
1 ¡ k 2 cos 2 x
¶
¶
k 2 sin x cos x
; k ¡p
:
1 ¡ k 2 cos 2 x
2.613
p
R
Integrals of the form R(sin x; cos x; 1 ¡ p2 cos2 x) dx
[p > 1]
p
R
To find integrals of the type R(sin x; cos x; 1 ¡ p2 cos2 x) dx , where [p > 1], we proceed as in 2.612. Here, we use the
formulas
1:
Z
2:
Z p
p
dx
1
=¡ F
2
2
p
1 ¡ p cos x
1¡
p2
cos2
•
arcsin(p cos x);
p2 ¡ 1
x dx =
F
p
•
1
p
¶
[p > 1]:
•
¶
¶
1
1
¡pE arcsin(p cos x);
arcsin(p cos x);
:
p
p
2.614
p
R
Integrals of the form R(sin x; cos x; 1 + p2 cos2 dx) dx.
p
R
To find integrals of the type R(sin x; cos x; 1 + p2 cos2 x) dx , we need to make the substitution x =
Z
R(sin x; cos x;
p
1+
p2
cos 2
¼
2
¡ y . This yields
Z
q
x) dx = ¡ R(cos y; sin y; 1 + p2 sin2 y) dy:
p
R
To calculate the integrals ¡ R(cos y; sin y; 1 + p2 sin 2 y) dy , we need to use first what was said in 2.598 and 2.612 and then,
after returning to the variable x, the formulas
1:
Z
2:
Z p
2.615
p
dx
1 + p2 cos 2 x
= p
1 + p2 cos2 x dx =
1
1 + p2
p
F
Ã
1 + p2 E
x; p
Ã
p
1 + p2
x; p
!
p
1 + p2
:
!
:
p
R
Integrals of the form R(sin x; cos x; a2 cos 2 x ¡ 1) dx
[a > 1]:
p
R
To find integrals of the type R(sin x; cos x; a2 cos 2 x ¡ 1) dx, we need to make the substitution x =
Z
R(sin x; cos x;
p
a2
cos 2
¼
2
¡ y . This yields
Z
q
x ¡ 1) dx = ¡ R(cos y; sin y; a2 sin2 y ¡ 1) dy:
p
R
To calculate the integrals ¡ R(cos y; sin y; a2 sin 2 y ¡ 1) dy , we use what was said in 2.611 and then,
219
after returning to the variable x, we use the formulas
1:
Z
2:
Z p
1
dx
p
= F
2
2
a
a cos x ¡ 1
Ã
arcsin
•
Ã
a sin x
p
a2 ¡ 1
!
¶ p 2
a ¡1
;
a
[a > 1]:
!
¶ p 2
a
¡
1
a
sin
x
a2 cos2 x ¡ 1 dx = aE arcsin p
;
¡
a
a2 ¡ 1
Ã
!
•
¶ p 2
a ¡1
a sin x
1
;
¡ F arcsin p
a
a
a2 ¡ 1
•
[a > 1]:
2.616
p
p
R
Integrals of the form R(sin x; cos x; 1 ¡ p2 sin 2 x; 1 ¡ q 2 sin 2 x) dx:
• p
1¡p2
Notation: ® = arcsin p
2
sin x
1¡p sin2 x
1:
Z
q
dx
(1 ¡ p2 sin2 x)(1 ¡ q2 sin2 x)
= p
h
1
1 ¡ p2
F
Ã
®;
s
0 < p2 < q 2 < 1;
q2 ¡ p2
1 ¡ p2
¶
.
!
0<x∙
¼i
:
2
BY (284.00)
BY (284.07)
3:
Z
q
tg 4 x dx
=
(1 ¡ p2 sin2 x)(1 ¡ q2 sin2 x)
"
à s
à s
!
!#
¢
¡
1
q2 ¡ p2
q2 ¡ p2
2
2
2
®;
=
¡ 1 ¡ q F ®;
+
3 £ 2(2 ¡ p ¡ q )E
1 ¡ p2
1 ¡ p2
3(1 ¡ q2 )2 (1 ¡ p2 ) 2
s
1 ¡ q2 sin2 x
2p2 + q 2 ¡ 3 + sin2 x(4 ¡ 3p2 ¡ 2q2 + p2 q2 ) sin x
+
2
2
2
2
3(1 ¡ p )(1 ¡ q )
cos x 1 ¡ p2 sin2 x
h
¼i
:
0 < p2 < q 2 < 1; 0 < x ∙
2
BY (284.07)
220
4:
5:
6:
Z
Z
Z
q
sin2 x dx
=
(1 ¡ p2 sin2 x)(1 ¡ q2 sin2 x)3
à s
à s
!
!
p
1 ¡ p2
q2 ¡ p2
q2 ¡ p2
1
p
=
F ®;
E ®;
¡
¡
(1 ¡ q2 )(q 2 ¡ p2 )
1 ¡ p2
1 ¡ p2
(q2 ¡ p2 ) 1 ¡ p2
h
¼i
sin x cos x
q
0 < p2 < q 2 < 1; 0 < x ∙
:
¡
2
(1 ¡ q2 ) (1 ¡ p2 sin2 x)(1 ¡ q2 sin2 x)
q
cos 2 x dx
=
(1 ¡ p2 sin2 x)3 (1 ¡ q2 sin2 x)
à s
à s
!
!
p
1 ¡ p2
q2 ¡ p2
q 2 ¡ p2
1 ¡ q2
p
= 2
E ®;
F ®;
¡
q ¡ p2
1 ¡ p2
1 ¡ p2
(q2 ¡ p2 ) 1 ¡ p2
h
¼i
:
0 < p2 < q 2 < 1; 0 < x ∙
2
q
BY (284.06)
cos 4 x dx
=
(1 ¡ p2 sin2 x)5 (1 ¡ q2 sin2 x)
à s
"
!
3
(1 ¡ p2 ) 2 (2 + p2 ¡ 3q2 )(1 ¡ q 2 )
q2 ¡ p2
=
F ®;
+
3(q2 ¡ p2 )2
(1 ¡ p2 )2
1 ¡ p2
à s
!#
p
q2 ¡ p2
(1 ¡ p2 ) sin x cos x 1 ¡ q2 sin2 x
2q2 ¡ p2 ¡ 1
q
E ®;
+
+2
1 ¡ p2
1 ¡ p2
3(q2 ¡ p2 ) (1 ¡ p2 sin2 x)3
h
¼i
0 < p2 < q 2 < 1; 0 < x ∙
:
2
BY (284.05)
7:
8:
9:
Z
dx
1 ¡ p2 sin2 x
Z s
Z
s
à s
!
1 ¡ q2 sin2 x
1
q2 ¡ p2
x= p
E ®;
1 ¡ p2
1 ¡ p2 sin2
1 ¡ p2
h
¼i
0 < p2 < q 2 < 1; 0 < x ∙
2
à s
!
p
1 ¡ p2 sin2 x
1 ¡ p2
q2 ¡ p2
sin x cos x
q 2 ¡ p2
q
dx
=
E
®;
¡
2
2
2
2
2
3
1
¡
q
1
¡
p
1
¡
q
(1 ¡ q sin x)
(1 ¡ p2 sin2 x)(1 ¡ q2 sin2 x)
h
¼i
:
0 < p2 < q 2 < 1; 0 < x ∙
2
dx
2
2
1 + (p r ¡ p2 ¡ r2 ) sin2 x
s
s
Ã
!
1 ¡ p2 sin2 x
1
q2 ¡ p2
2
= p
¦ ®; r ;
1 ¡ p2
1 ¡ q2 sin2 x
1 ¡ p2
i
h
¼
:
0 < p2 < q 2 < 1; 0 < x ∙
2
BY (284.01)
BY (284.04)
BY (284.02)
221
2.617
Notation: ® = arcsin
Z
qp
b2 +c2 ¡b
p sin x¡c cos x ;
2 b2 +c2
r=
q
p
2 pb2 +c2
a+ b2 +c2
2
dx
= ¡p
F (®; r)
p
a + b sin x + c cos x
a + b2 + c2
∙
¸
p
b
b
2
2
¡ ¼ ∙ x < arcsin p
0 < b + c < a; arcsin p
;
b2 + c2
b2 + c2
p
2
p
F (®; r)
=¡ 4
2
b + c2 •
∙
¶
¸
p
b
a
b
0 < jaj < b2 + c2 ; arcsin p
¡ arccos ¡ p
∙ x < arcsin p
:
b2 + c2
b2 + c2
b2 + c2
1:
p
BY (293.00)
BY (294.00)
p
2b
sin x dx
p
2:
= ¡p
f2E(®; r) ¡ F (®; r)g +
4
2
a + b sin x + c cos x
(b + c2 )3
2c p
+ 2
a + b sin x + c cos x
b + c2
∙
•
¶
¸
p
b
a
b
0 < jaj < b2 + c2 ; arcsin p
¡ arccos ¡ p
∙ x < arcsin p
:
b2 + c2
b2 + c2
b2 + c2
Z
3:
Z
4:
Z p
p
(b cos x ¡ c sin x) dx
p
= 2 a + b sin x + c cos x :
a + b sin x + c cos x
b2 + c2 + b sin x + c cos x
p
dx =
a + b sin x + c cos x
p
q
p
2(a ¡ b2 + c2 )
2
2
= ¡2 a + b + c E(®; r) + p
F (®; r)
p
a + b2 + c2
∙
¸
p
b
b
2
2
0 < b + c < a; arcsin p
¡ ¼ ∙ x < arcsin p
;
b2 + c2
b2 + c2
p
p 4
= ¡2 2 b2 + c2 E(®; r)
•
∙
¶
¸
p
a
b
b
2
2
¡ arccos ¡ p
0 < jaj < b + c ; arcsin p
∙ x < arcsin p
:
b2 + c2
b2 + c2
b2 + c2
BY (293.01)
BY (294.04)
222
Z
q
p
a + b sin x + c cos x dx = ¡2 a + b2 + c2 E(®; r)
∙
¸
p
b
b
0 < b2 + c2 < a; arcsin p
¡ ¼ ∙ x < arcsin p
;
2 + c2
b2 + c2
b
p p
p p
2( b2 + c2 ¡ a)
4
2
2
p
F (®; r)
= ¡2 2 b + c E(®; r)+
4 2
b + c2
•
∙
¶
¸
p
b
¡a
b
2
2
¡ arccos p
0 < jaj < b + c ; arcsin p
∙ x < arcsin p
:
b2 + c2
b2 + c2
b2 + c2
5:
p
BY (293.03)
BY (294.01)
2.618
p
R
Integrals of the form R(sin ax; cos ax; cos 2ax) dx =
1
a
R
R(sin t; cos t;
p
12 sin2 t) dt(t = ax): .
p
Notation: ® = arcsin( 2 sin ax)
p
R
The integrals R(sin ax; cos ax; cos 2ax) dx are special cases of the integrals 2.595. for (p = 2). We give some formulas:
•
¶
1:
Z
1
dx
p
= p F
cos 2ax
a 2
2:
Z
•
¶
cos 2 ax
1
1
p
dx = p E ®; p
cos 2ax
a 2
2
1
®; p
2
h
0 < ax ∙
h
¼i
:
4
0 < ax ∙
¼i
:
4
3:
Z
p
•
¶
tg x p
dx
2
1
p
=
E ®; p ¡
cos 2ax
a
a
cos 2 ax cos 2ax
2
4:
Z
p
•
dx
2 2
p
=
E ®;
a
cos 4 ax cos 2ax
p
•
2
¡
F ®;
3a
h
0 < ax ∙
¶
1
p
¡
2
¶
(6 cos 2 ax + 1) sin ax p
1
p ¡
cos 2ax
3a cos 3 ax
2
5:
Z
p
•
¶
•
¶
p
1
1
tg 2 ax dx
1
2
1
p
=
E ®; p ¡ p F ®; p ¡ tg ax cos 2ax
a
a
cos 2ax
2
a 2
2
6:
Z
tg 4 ax dx
1
p
= p F
cos 2ax
3a 2
7:
Z
•
¶
1
1
dx
2
p
p
p
;
=
¦
®;
r
(1 ¡ 2r 2 sin2 ax) cos 2ax
a 2
2
8:
Z
1
p
= p F
3
a 2
cos 2ax
9:
Z
•
¶
sin 2ax
1
1
sin2 ax dx
p
= p
¡ p E ®; p
2a cos 2ax
a 2
2
cos3 2ax
10:
Z
p
11:
Z p
12:
Z p
•
¼i
:
4
¶
1
sin ax p
cos 2ax
®; p ¡
3a cos 3 ax
2
h
h
h
0 < ax ∙
0 < ax ∙
h
0<x∙
0<x∙
¼i
:
4
¼i
:
2
¼i
:
4
¼i
:
4
223
dx
dx
cos5 2ax
=
•
1
p F
3a 2
p
¶ p
•
¶
1
2
1
sin 2ax
®; p ¡
E ®; p + p
a
2
2
a cos 2ax
•
1
®; p
2
¶
+
sin 2ax
p
3a cos 3 2ax
•
¶
•
¶
2
1
1
1
cos 2ax dx =
E ®; p
¡ p F ®; p
a
2
a 2
2
h
0 < ax ∙
h
h
¼i
:
4
¼i
:
4
0 < ax ∙
h
0 < ax ∙
¼i
:
4
0 < ax ∙
¼i
4
p ½ •
¶
•
¶¾
p
cos 2ax
2
1
1
1
dx =
F ®; p
¡ E ®; p
+ tg ax cos 2ax
2
cos ax
a
a
2
2
h
0<x∙
¼i
:
4
2.619
Integrals of the form
Z
R(sin ax; cos ax;
p
1
¡ cos 2ax) dx =
a
Z
R(sin x; cos x;
p
2 sin2 x ¡ 1) dx:
p
Notation: ® = arcsin( 2 cos ax).
p
R
The integrals R(sin x; cos x; 2 sin 2 x ¡ 1) dx are special cases of the integrals 2.599 and 2.611 for (a = 2) . We give some
formulas:
•
¶
1:
Z
p
2:
Z
∙ •
¶
•
¶¸
1
1
1
cos 2 ax dx
p
= p E ®; p
¡ F ®; p
:
¡ cos 2ax
a 2
2
2
3:
Z
∙ •
¶
•
¶¸
p
1
1
5
1
1
cos 4 ax dx
p
= p 3F ®; p
¡ E ®; p
¡
sin 2ax ¡ cos 2ax:
2
12a
¡ cos 2ax
3a 2
2
2
4:
Z
p
•
¶
p
1
2
1
dx
p
= ctg ax ¡ cos 2ax ¡
E ®; p
:
a
a
sin2 ax ¡ cos 2ax
2
5:
Z
∙ •
¶
•
¶¸
2
1
1
dx
p
p
p
p
=
F
®;
¡
6E
®;
+
sin4 ax ¡ cos 2ax
3a 2
2
2
p
1 cos ax
+
(6 sin2 ax + 1) ¡ cos 2ax:
3
3a sin ax
6:
Z
∙ •
¶
•
¶¸
p
ctg 2 ax dx
1
1
1
1
p
= p F ®; p
¡ 2E ®; p
+ ctg ax ¡ cos 2ax:
a
¡ cos 2ax
a 2
2
2
1
dx
=¡ p F
¡ cos 2ax
a 2
1
®; p
2
:
7:
Z
•
¶
dx
1
1
2
p
p
p
=
¡
¦
®;
r
;
:
(1 ¡ 2r 2 cos2 ax) ¡ cos 2ax
a 2
2
8:
Z
p
9:
Z
•
¶
cos 2 ax dx
sin 2ax
1
1
p
¡ p E ®; p
= p
:
2a ¡ cos 2ax
¡ cos 3 2ax
a 2
2
10:
Z
p
11:
Z
p
•
∙ •
¶
¶¸
1
1
1
sin 2ax
¡ 2E ®; p
= p F ®; p
+ p
:
a ¡ cos 2ax
¡ cos 3 2ax
a 2
2
2
dx
dx
¡ cos 5
2ax
=¡
1
p F
3a 2
•
1
®; p
2
¶
¡
sin 2ax
p
:
3a ¡ cos 3 2ax
∙ •
¶
•
¶¸
1
1
1
¡ cos 2ax dx = p F ®; p
¡ 2E ®; p
:
a 2
2
2
p
R
Integrals of the form R(sin ax; cos ax; sin 2ax) dx .
Notation: ® = arcsin
r
2 sin ax
:
1 + sin ax + cos ax
2.621
1:
Z
p
2
p
=
F
a
sin 2ax
dx
•
1
®; p
2
¶
:
BY (287.50)
2:
Z
p ½
•
¶
2 1+i
1+i 1
sin ax dx
p
=
¦ ®;
; p
+
a
2
2
sin 2ax
•
¶2
•
¶
•
¶¾
1¡i
1¡i 1
1
1
+
¦ ®;
; p
+ F ®; p
¡ 2E ®; p
:
2
2
2
2
2
BY (287.57)
BY (287.54)
4:
5:
Z
Z
p ½
•
¶¾
1
2 p
p
=
tg ax ¡ E ®; p
a
2
(1 ¡ sin ax + cos ax) sin 2ax
sin ax dx
h
ax=
=
¼i
:
2
BY (287.55)
p
•
¶
(1 + cos ax) dx
2
1
p
E ®; p
:
=
a
2
(1 + sin ax + cos ax) sin 2ax
BY (287.51)
6:
Z
p ½ •
¶
•
¶
¾
p
(1 + cos ax) dx
2
1
1
p
=
F ®; p
¡ E ®; p
+ tg ax
a
2
2
(1 ¡ sin ax + cos ax) sin 2ax
h
ax=
=
¼i
:
2
BY (287.56)
7:
Z
p ½ •
¶
•
¶¾
2
1
1
(1 ¡ sin ax + cos ax) dx
p
=
2E ®; p
¡ F ®; p
:
a
2
2
(1 + sin ax + cos ax) sin 2ax
BY (287.53)
225
8:
Z
p
•
¶
1
2
(1 + sin ax + cos ax) dx
2
p
=
¦ ®; r ; p
:
a
2
[1 + cos ax + (1 ¡ 2r 2 ) sin ax] sin 2ax
2.63-2.65 Products of trigonometric functions and powers
2.631
1:
Z
∙
1
(p + q)xr sinp+1 x cos q¡1 x +
(p + q)2
Z
+rxr¡1 sinp x cosq x¡r(r¡1) xr¡2 sinp x cos q x dx¡
¸
Z
Z
r¡1
p¡1
q¡1
r
p
q¡2
¡rp x
sin
x cos
x dx+(q¡1)(p+q) x sin x cos
x dx ;
∙
1
=
¡(p + q)xr sinp¡1 x cosq+1 x +
(p + q)2
Z
r¡1
p
q
+rx
sin x cos x¡r(r¡1) xr¡2 sinp x cos q x dx+
¸
Z
Z
+rq xr¡1 sinp¡1 x cos q¡1 x dx+(p¡1)(p+q) xr sinp¡2 x cos q x dx :
xr sinp x cos q x dx =
BY (287.52)
xm sinn x dx =
2:
3:
Z
4:
Z
xm cos n x dx =
n
x sin
2m
xm¡1 sinn¡1 x
fm sin x ¡ nx cos xg +
n2
Z
Z
n¡1
m(m ¡ 1)
m
n¡2
x sin
x dx ¡
+
xm¡2 sinn x dx:
n
n2
xm¡1 cos n¡1 x
fm cos x + nx sin xg +
n2
Z
Z
n¡1
m(m ¡ 1)
m
n¡2
+
x cos
x dx ¡
xm¡2 cosn x dx:
n
n2
¶
xn+1
2m
x dx =
+
m 22m (n + 1)
• ¶Z
P
(¡1)m m¡1
k 2m
(¡1)
+ 2m¡1
xn cos(2m¡2k)x dx
2
k
k=0
•
(see 2.633 2.).
2.633
TI 333
5:
Z
xn sin2m+1 x dx =
•
¶Z
m
(¡1)m P
k 2m + 1
(
¡
1)
xn sin(2m ¡ 2k +1)x dx
22m k=0
k
(see 2.633 1.).
2.633
TI 333
6:
Z
n
x cos
2m
•
¶
2m
xn+1
x dx =
+
m 22m (n + 1)
•
¶
Z
P 2m
1 m¡1
+ 2m¡1
xn cos(2m¡2k)x dx
2
k
k=0
(see 2:6332:):
2.633
TI 333
226
7:
Z
n
x cos
2m+1
x dx =
1
22m
m
P
k=0
•
2m + 1
k
¶Z
xn cos(2m¡2k+1)x dx:
(see 2:6332:):
2.633
TI 333
2.632
1:
Z
x¹¡1 sin ¯x dx =
i
i
(i¯)¡¹ °(¹; i¯x)¡ (¡i¯)¡¹ °(¹; ¡i¯x):
2
2
[Re ¹ > ¡1;
x > 0]:
ET I 317(2)
2:
Z
¹¡1
x
¸
½
∙
1
¼i
sin ax dx = ¡ ¹ exp
(¹ ¡ 1) ¡ (¹; ¡iax) +
2a
2
∙
¸
¾
¼i
+exp
(1 ¡ ¹) ¡ (¹; iax)
[Re ¹ < 1;
2
a > 0;
x > 0]:
ET I 317(3)
3:
Z
x¹¡1 cos ¯x dx =
1
f(i¯)¡¹ °(¹; i¯x) + (¡i¯)¡¹ °(¹; ¡i¯x)g
2
[Re ¹ > 0; x > 0]:
ET I 319(22)
4:
Z
x¹¡1 cos ax dx = ¡
Z
• ¶ n¡k
•
¶
1
n x
x sin ax dx = ¡
k!
cos ax + k¼ :
2
k ak+1
k=0
³
o
³ ¼´
¼´
1 n
¡
(¹;
¡
iax)
+
exp
¡
i¹
¡
(¹;
iax)
:
exp
i¹
2a¹
2
2
ET I 319(23)
2.633
1:
2:8
3:
4:
Z
Z
Z
n
P
n
xn cos ax dx =
n
P
k!
k=0
2n
x
sin x dx = (2n)!
2n+1
x
TI (487)
• ¶ n¡k
•
¶
1
n x
sin
ax
+
k¼
:
2
k ak+1
TI (486)
½
n
P
k+1
k=0
sin x dx = (2n+1)!
(¡1)
½
n
P
k=0
¾
n¡1
P
x2n¡2k
x2n¡2k¡1
k
cos x +
(¡1)
sin x :
(2n ¡ 2k)!
(2n ¡ 2k ¡ 1)!
k=0
k+1
(¡1)
¾
2n¡2k
n
P
x2n¡2k+1
k x
cos x +
(¡1)
sin x :
(2n ¡ 2k + 1)!
(2n ¡ 2k)!
k=0
½
5:
Z
6:
Z
x
Z
Pn (x) sin mx dx = ¡
Z
Pn (x) cos mx dx =
2n
x
cos x dx = (2n)!
2n+1
¾
n¡1
P
x2n¡2k
x2n¡2k¡1
k
(¡1)
sin x +
(¡1)
cos x :
(2n ¡ 2k)!
(2n ¡ 2k ¡ 1)!
k=0
k=0
n
P
cos x dx = (2n+1)!
k
½
¾
n
P
x2n¡2k+1
x2n¡2k
sin x +
cos x :
(¡1)
(2n ¡ 2k + 1)!
k=0
k=0 (2n ¡ 2k)!
n
P
k
2.634
1:
2:
(2k)
P
Pn (x) sin mx
cos mx [n=2]
(¡1)k
+
m
m2k
m
k=0
(2k)
P
Pn (x) cos mx
sin mx [n=2]
(¡1)k
+
m k=0
m2k
m
[(n+1)=2]
P
k=1
[(n+1)=2]
P
k=1
(2k¡1)
(¡1)k¡1
Pn
(x)
:
2k¡1
m
(2k¡1)
(¡1)k¡1
Pn
(x)
:
m2k¡1
227
(k)
In formulas 2.634, Pn (x) is an nth-degree polynomial and Pn (x) is its kth derivative with respect to x.
Notation: z1 = A + Bx .
2.635
1:
Z
1
b
z1 sin kx dx = ¡ z1 cos kx + 2 sin kx:
k
k
2:
Z
z1 cos kx dx =
3:
Z
z12
4:
Z
z12 cos kx dx =
1
b
z1 sin kx + 2 cos kx:
k
k
1
sin kx dx =
k
•
2b2
¡ z12
k2
¶
cos kx +
2bz1
sin kx:
k2
1
k
•
z12 ¡
2b2
k2
¶
sin kx +
2bz1
cos kx:
k2
5:
Z
z13
z1
sin kx dx =
k
•
6b2
¡ z12
k2
¶
3b
cos kx + 2
k
•
z12
2b2
¡ 2
k
¶
sin kx:
6:
Z
z13
z1
cos kx dx =
k
•
z12
6b2
¡ 2
k
¶
3b
sin kx + 2
k
•
z12
2b2
¡ 2
k
¶
cos kx:
7:
Z
z14
1
sin kx dx = ¡
k
8:
Z
z14 cos kx dx =
9:
Z
z15
•
•
¶
¶
5b 4 12b2 2 24b4
z1 4 20b2 2 120b4
sin kx dx = 2 z1 ¡ 2 z1 + 4
z1 ¡ 2 z1 + 4
sin kx¡
cos kx:
k
k
k
k
k
k
10:
Z
z15
5b
cos kx dx = 2
k
11:
Z
z16
12:
Z
z16 cos kx dx =
Z
xn sin2 x dx =
1
k
•
•
z14
24b4
12b2
¡ 2 z12 + 4
k
k
z14 ¡
•
z14
12b2 2 24b4
z + 4
k2 1
k
¶
¶
12b2
24b4
¡ 2 z12 + 4
k
k
4bz1
cos kx+ 2
k
sin kx+
¶
4bz1
k2
z1
cos kx+
k
•
•
•
z12
6b2
¡ 2
k
z12 ¡
z14
6b2
k2
¶
¶
sin kx:
cos kx:
20b2
120b4
¡ 2 z12 +
k
k4
¶
sin kx:
•
¶
6bz1
20b2 2 120b4
4
sin kx dx = 2
z1 ¡ 2 z1 +
sin kx ¡
k
k
k4
•
¶
30b2 4 360b4 2 720b6
1
6
z1 ¡ 2 z1 +
z ¡
¡
cos kx:
k
k
k4 1
k6
•
¶
6bz1
20b2 2 120b4
4
¡
z
+
z
cos kx +
1
k2
k2 1
k4
•
¶
360b4 2 720b6
30b2
1
z16 ¡ 2 z14 +
z
¡
+
sin kx:
k
k
k4 1
k6
228
2.636
1:
xn+1
+
2(n + 1)
(
P (¡1)k+1 xn¡2k
n! [n=2]
+
sin 2x +
2k
4
k=0 2 (n ¡ 2k)!
[(n¡1)=2]
P
k=0
)
(¡1)k+1 xn¡2k¡1
cos 2x :
22k+1 (n ¡ 2k ¡ 1)!
2:
Z
xn cos 2 x dx =
3:
Z
x sin2 x dx =
4:
Z
x2 sin2 x dx =
xn+1
¡
2(n + 1)
(
P (¡1)k+1 xn¡2k
n! [n=2]
¡
sin 2x +
2k
4
k=0 2 (n ¡ 2k)!
[(n¡1)=2]
P
k=0
)
(¡1)k+1 xn¡2k¡1
cos 2x :
22k+1 (n ¡ 2k ¡ 1)!
GU ((333))(3e)
x2
x
1
¡ sin 2x ¡ cos 2x:
4
4
8
x3
x
1
¡ cos 2x ¡
6
4
4
•
x2 ¡
1
2
¶
sin 2x:
MZ 241
5:
Z
x cos 2 x dx =
6:
Z
x3
x
1
x cos x dx =
+ cos 2x +
6
4
4
2
x2
x
1
+ sin 2x + cos 2x:
4
4
8
2
•
1
x ¡
2
2
¶
sin 2x:
MZ 245
2.637
1:
2:
3:
Z
Z
Z
½ [n=2]
•
¶
P (¡1)k xn¡2k cos 3x
¡ 3 cos x ¡
(n ¡ 2k)!
32k+1
k=0
•
¶¾
[(n¡1)=2]
P
xn¡2k¡1
sin 3x
¡
(¡1)k
¡
3
sin
x
:
(n ¡ 2k ¡ 1)! 22k+2
k=0
GU((333))(2f)
½ [n=2]
•
¶
P (¡1)k xn¡2k sin 3x
+ 3 sin x +
(n ¡ 2k)!
32k+1
k=0
•
¶¾
[(n¡1)=2]
P
xn¡2k¡1
cos 3x
k
+
(¡1)
+ 3 cos x
:
(n ¡ 2k ¡ 1)! 32k+2
k=0
GU((333))(3f)
n!
x sin x dx =
4
n
3
n!
x cos x dx =
4
n
3
x sin3 x dx =
3
x
1
3
sin x ¡
sin 3x ¡ x cos x +
cos 3x
4
36
4
12
Z
4:
2
3
x sin x dx = ¡
•
3 2 3
x +
4
2
¶
•
x2
1
cos x+
+
12
54
¶
3
x
cos 3x+ x sin x¡
sin 3x:
2
18
MZ 241
229
5:
Z
6:
Z
x cos 3 x dx =
2
3
3
1
3
x
cos x +
cos 3x + x sin x +
sin 3x:
4
36
4
12
x cos x dx =
•
3 2 3
x ¡
4
2
¶
•
x2
1
¡
sin x+
12
54
¶
3
x
sin 3x+ x cos x+
cos 3x:
2
18
MZ 245, 246
2.638
Z
1:
sinq¡1 x[(p ¡ 2) sin x + qx cos x]
sinq x
dx
=
¡
¡
xp
(p ¡ 1)(p ¡ 2)xp¡1
Z
Z
q2
q(q ¡ 1)
sinq x dx
sinq¡2 x dx
¡
+
(p ¡ 1)(p ¡ 2)
xp¡2
(p ¡ 1)(p ¡ 2)
xp¡2
[p=
= 1; p=
= 2]:
TI (496)
Z
2:
cos q¡1 x[(p ¡ 2) cos x ¡ qx sin x]
cos q x
dx = ¡
¡
p
x
(p ¡ 1)(p ¡ 2)xp¡1
Z
Z
q2
q(q ¡ 1)
cos q x dx
cos q¡2 x dx
¡
+
p¡2
(p ¡ 1)(p ¡ 2)
x
(p ¡ 1)(p ¡ 2)
xp¡2
[p=
= 1; p=
= 2]:
TI (495)
3:
6
Z
Z
1
sin x
cos x dx
sin x dx
=¡
+
;
xp
(p ¡ 1)xp¡1
p¡1
xp¡1
Z
sin x
cos x
1
sin x dx
=¡
¡
¡
p¡1
p¡2
(p ¡ 1)x
(p ¡ 1)(p ¡ 2)x
(p ¡ 1)(p ¡ 2)
xp¡2
(p > 2):
TI (492)
4:6
Z
Z
cos x
1
cos x dx
sin x dx
=
¡
¡
;
xp
(p ¡ 1)xp¡1
p¡1
xp¡1
Z
sin x
cos x
1
cos x dx
=¡
+
¡
p¡1
p¡2
(p ¡ 1)x
(p ¡ 1)(p ¡ 2)x
(p ¡ 1)(p ¡ 2)
xp¡2
(p > 2):
2.639
1:
2:
Z
Z
½ n¡2
P (¡1)k (2k + 1)!
sin x dx
(¡1)n+1
=
cos x +
x2n
x(2n ¡ 1)! k=0
x2k+1
¾
n¡1
P (¡1)k+1 (2k)!
(¡1)n+1
+
sin
x
+
ci (x):
x2k
(2n ¡ 1)!
k=0
GU ((333))(6b)a
½
P (¡1)k+1 (2k)!
sin x
(¡1)n+1 n¡1
dx
=
cos x +
2n+1
x
x(2n)!
x2k
k=0
¾
n¡1
P (¡1)k+1 (2k + 1)!
(¡1)n
+
sin
x
+
si (x):
x2k+1
(2n)!
k=0
GU ((333))(6b)a
230
3:
4:
Z
Z
½ n¡1
P (¡1)k+1 (2k)!
(¡1)n+1
cos x dx
dx
=
cos x ¡
x2n
x(2n ¡ 1)! k=0
x2k
¾
n¡2
P (¡1)k (2k + 1)!
(¡1)n
¡
sin
x
+
si (x):
x2k+1
(2n ¡ 1)!
k=0
GU ((333))(7b)
½
P (¡1)k+1 (2k + 1)!
(¡1)n+1 n¡1
cos x dx
=
cos x ¡
2n+1
x
x(2n)!
x2k+1
k=0
¾
n¡1
P (¡1)k+1 (2k)!
(¡1)n
¡
sin
x
+
ci (x):
x2k
(2n)!
k=0
GU ((333))(7b)
2.641
1:
Z
∙
¸
1
ka
ka
sin kx
dx =
cos
si (u) ¡ sin
ci (u)
a + bx
b
b
b
∙
¸
k
u = (a + bx) :
b
2:
Z
∙
¸
1
ka
ka
cos kx
dx =
cos
ci (u) + sin
si (u)
a + bx
b
b
b
∙
u=
3:
Z
sin kx
k
1 sin kx
dx = ¡
+
(a + bx)2
b a + bx
b
Z
cos kx
dx
a + bx
¸
k
(a + bx) :
b
(see 2:6412:):
2.641
4:
Z
cos kx
k
1 cos kx
¡
dx = ¡
2
(a + bx)
b a + bx
b
Z
sin kx
dx
a + bx
(see 2:6411:):
2.641
5:
Z
sin kx
k2
sin kx
k cos kx
¡
dx
=
¡
¡
(a + bx)3
2b(a + bx)2 2b2 (a + bx) 2b2
Z
sin kx
dx
a + bx
(see 2:6411:):
2.641
6:
Z
cos kx
k sin kx
k2
cos kx
dx = ¡
+ 2
¡ 2
3
2
(a + bx)
2b(a + bx)
2b (a + bx) 2b
Z
cos kx
dx
a + bx
(see 2:6412:):
2.641
7:
Z
sin kx
k cos kx
sin kx
dx = ¡
¡ 2
+
(a + bx)4
3b(a + bx)3
6b (a + bx)2
Z
k 2 sin kx
k3
cos kx
+ 2
¡ 3
dx
6b (a + bx)
6b
a + bx
(see 2:6412:):
2.641
8:
Z
k sin kx
cos kx
cos kx
dx = ¡
+ 2
+
4
3
(a + bx)
3b(a + bx)
6b (a + bx)2
Z
k 2 cos kx
k3
sin kx
+ 3
+ 3
dx
6b (a + bx)
6b
a + bx
(see 2:6411:):
2.641
9:
Z
sin kx
k cos kx
sin kx
dx = ¡
¡
+
5
4
(a + bx)
4b(a + bx)
12b2 (a + bx)3
Z
k 2 sin kx
k 3 cos kx k 4
sin kx
+
+
dx
3
2
4
4
24b (a + bx)
24b (a + bx) 24b
a + bx
(see 2:6411:):
231
10:
Z
cos kx
k sin kx
cos kx
dx = ¡
+
+
5
4
(a + bx)
4b(a + bx)
12b2 (a + bx)3
Z
k2 cos kx
k4
k 3 sin kx
cos kx
+
dx
+
¡
24b3 (a + bx)2 24b4 (a + bx) 24b4 a + bx
(see 2:6412:):
2.641
11:
Z
sin kx
k 2 sin kx
k 3 cos kx
sin kx
k cos kx
dx
=
¡
¡
+
+
¡
(a + bx)6
5b(a + bx)5 20b2 (a + bx)4 60b3 (a + bx)3 120b4 (a + bx)2
Z
k5
k 4 sin kx
cos kx
¡
+
dx
(see 2:6412:):
5
5
120b (a + bx)
120b
a + bx
2.641
12:
Z
cos kx
k sin kx
k 2 cos kx
cos kx
dx
=
¡
+
+
¡
(a + bx)6
5b(a + bx)5
20b2 (a + bx)4
60b3 (a + bx)3
Z
k 3 sin kx
k 4 cos kx
k5
sin kx
¡
¡
¡
dx
120b4 (a + bx)2 120b5 (a + bx) 120b5 a + bx
(see 2:6411:):
2.641
2.642
•
¶
• ¶
P
(¡1)m m¡1
2m ln x
k 2m
+
(
¡
1)
ci [(2m ¡ 2k)x]:
22m¡1 k=0
m 22m
k
1:
Z
sin2m x
dx =
x
2:
Z
•
¶
m
(¡1)m P
2m + 1
sin2m+1 x
dx = 2m
(¡1)k
si [(2m ¡ 2k + 1)x]:
x
2
k
k=0
3:
Z
cos 2m x
dx =
x
4:
Z
•
¶
m
1 P
2m + 1
cos 2m+1 x
dx = 2m
ci [(2m ¡ 2k + 1)x]:
x
2 k=0
k
•
¶
• ¶
P 2m
1 m¡1
2m ln x
+ 2m¡1
ci [(2m ¡ 2k)x]:
2
m 22m
k
k=0
5:
Z
• ¶
sin2m x
1
2m
dx = ¡
+
2
2m
x
m 2 x
¾
• ¶½
P
(¡1)m m¡1
cos(2m ¡ 2k)x
k+1 2m
+ 2m¡1
(¡1)
+ (2m ¡ 2k) si [(2m ¡ 2k)x] :
2
x
k
k=0
6:
Z
¶
•
m
sin2m+1 x
(¡1)m P
k+1 2m + 1
dx = 2m
(¡1)
£
x2
2
k
k=0
¾
½
sin(2m ¡ 2k + 1)x
¡ (2m ¡ 2k + 1) ci [(2m ¡ 2k + 1)x] :
£
x
7:
Z
• ¶
cos 2m x
1
2m
dx = ¡
¡
m 22m x
x2
¾
•
¶½
P 2m
1 m¡1
cos(2m ¡ 2k)x
+ (2m ¡ 2k) si [(2m ¡ 2k)x] :
¡ 2m¡1
2
x
k
k=0
8:
Z
•
¶½
m
1 P
cos 2m+1 x
2m + 1
cos(2m ¡ 2k + 1)x
= ¡ 2m
+
2
x
2 k=0
x
k
¾
+ (2m ¡ 2k + 1) si [(2m ¡ 2k + 1)x] :
232
2.643
1:
Z
2:
Z
3:4
Z
xp¡1 [p sin x + (q ¡ 2)x cos x] q ¡ 2
xp dx
=¡
+
q
sin x
q¡1
(q ¡ 1)(q ¡ 2) sinq¡1 x
Z
p(p ¡ 1)
xp dx
+
q¡2
(q
¡
1)(q ¡ 2)
sin
x
xp¡1 [p cos x ¡ (q ¡ 2)x sin x]
xp dx
= ¡
+
q
cos x
(q ¡ 1)(q ¡ 2) cos q¡1 x
Z
Z p¡2
q¡2
p(p ¡ 1)
dx
xp dx
x
+
+
:
q ¡ 1 cos q¡2 x (q ¡ 1)(q ¡ 2) cos q¡2 x
1
P
2(22k¡1 ¡ 1)
xn
xn
dx =
+
(¡1)k+1
B2k xn+2k
sin x
n
(n
+
2k)(2k)!
k=1
[jxj < ¼;
n > 0]:
Z
xp¡2 dx
:
sinq¡2 x
4:
Z
xn
dx
n 2n¡1 ¡ 1
1
= ¡
¡ [1 + (¡1)n ](¡1)
Bn ln x ¡
n
sin x
nx
2
n!
1
P
2(22n ¡ 1)
¡
B2k x2k¡n
(¡1)k
[n > 1;
(2k
¡
n)
¢
(2k)!
k=1
n
k=
=
jxj > ¼]:
2
GU ((333))(9b)
5:8
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
1
P
jE2k jxn+2k+1
xn dx
=
cos x
k=0 (n + 2k + 1)(2k)!
h
¼
;
2
jxj <
jEn¡1 j
dx
1
= [1 ¡ (¡1)n ]
ln x +
xn cos x
2
(n ¡ 1)!
1
P
k=0
k=
=
n¡1
2
n
xn dx
= ¡ xn ctg x +
xn¡1 +
2
n¡1
sin x
1
P
22k xn+2k¡1
+n
(¡1)k
B2k
(n + 2k ¡ 1)(2k)!
k=1
i
n>0 :
GU ((333))(10b)
jE2k jx2k¡n+1
(2k ¡ n + 1) ¢ (2k)!
h
jxj <
[jxj < ¼;
ctg x
n
dx
=
¡
+
¡
2
n
x
(n + 1)xn+1
xn sin x
n+1
2n n
n
¡[1¡(¡1)n ](¡1) 2
Bn+1 ln x¡ n+1
(n + 1)!
2
¼i
:
2
GU ((333))(11b)
n > 1]:
GU ((333))(8c)
1
P
k=1
k=
=
n+1
2
(¡1)k (2x)2k
B2k
(2k ¡ n ¡ 1)(2k)!
[jxj < ¼]:
GU ((333))(9c)
233
9:
10:
Z
Z
2k 2k
1
P
¡ 1)xn+2k¡1
xn dx
n
k 2 (2
=
x
tg
x+n
(
¡
1)
B2k
cos 2 x
(n + 2k ¡ 1) ¢ (2k)!
k=1
h
n > 1;
jxj <
n+1
tg x
2n n
dx
n
2
=
¡
[1
¡
(
¡
1)
](
¡
1)
(2n+1 ¡ 1)Bn+1 ln x ¡
xn cos2 x
xn
(n + 1)!
h
1
P
(¡1)k (22k ¡ 1)(2x)2k
¼i
n
¡ n+1
jxj <
:
B2k
x
(2k ¡ n ¡ 1)(2k)!
2
k=1
n+1
¼i
:
2
GU ((333))(10c)
GU ((333))(11c)
2.644
1:
Z
2:
Z
n¡1
P (2n ¡ 2)(2n ¡ 4) . . . (2n ¡ 2k + 2)
x dx
sin x + (2n ¡ 2k)x cos x
=
¡
+
2n
2n¡2k+1
sin x
x
k=0 (2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 3) (2n ¡ 2k + 1)(2n ¡ 2k) sin
2n¡1 (n ¡ 1)!
+
(ln sin x ¡ x ctg x):
(2n ¡ 1)!!
n¡1
P (2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1)
x dx
sin x + (2n ¡ 2k ¡ 1)x cos x
=
¡
+
2n+1
2n(2n ¡ 2) . . . (2n ¡ 2k + 2)
sin
x
(2n ¡ 2k)(2n ¡ 2k ¡ 1) sin2n¡2k x
k=0
Z
(2n ¡ 1)!! x dx
(see 2:6445:):
+
2n n!
sin x
2.644
3:
Z
4:
Z
n¡1
P (2n ¡ 2)(2n ¡ 4) . . . (2n ¡ 2k + 2)
(2n ¡ 2k)x sin x ¡ cos x
x dx
=
+
cos 2n x
(2n
¡
1)(2n
¡
3)
.
.
.
(2n
¡
2k
+
3)
(2n
¡
2k
+ 1)(2n ¡ 2k) cos 2n¡2k+1 x
k=0
2n¡1 (n ¡ 1)!
+
(x tg x + ln cos x):
(2n ¡ 1)!!
n¡1
P (2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k + 1)
(2n ¡ 2k + 1)x sin x ¡ cos x
x dx
=
+
cos 2n+1 x
2n(2n
¡
2)
.
.
.
(2n
¡
2k
+
2)
(2n
¡ 2k)(2n ¡ 2k ¡ 1) cos 2n¡2k x
k=0
Z
(2n ¡ 1)!! x dx
+
(see 2:6446:):
2n n!
cos x
2.644
5:
Z
6:
Z
7:
Z
1
P
2(22k¡1 ¡ 1)
x dx
= x+
(¡1)k+1
B2k x2k+1 :
sin x
(2k
+
1)!
k=1
1
P
jE2k jx2k+2
x dx
=
:
cos x
k=0 (2k + 2)(2k)!
x dx
= ¡x ctg x + ln sin x:
sin2 x
8:
Z
x dx
= x tg x + ln cos x:
cos 2 x
9:
Z
x dx
1
sin x + x cos x
=¡
+
3
2
2
sin x
2 sin x
234
Z
x
dx
sin x
(see 2:6445:):
2.644
10:
Z
x dx
x sin x ¡ cos x
1
=
+
3
2
cos x
2 cos x
2
Z
x dx
cos x
(see 2:6446:):
2.644
11:
Z
2
x cos x
1
2
x dx
=¡
¡
¡ x ctg x + ln(sin x):
4
3
2
3
3
sin x
3 sin x 6 sin x
12:
Z
x sin x
1
2
2
x dx
=
¡
+ x tg x ¡ ln(cos x):
4
3
2
cos x
3 cos x
6 cos x
3
3
13:
Z
x cos x
1
3x cos x
3
3
x dx
=¡
¡
¡
¡
+
5
4
3
2
sin x
4 sin x 12 sin x 8 sin x 8 sin x 8
Z
x dx
sin x
(see 2:6445:):
2.644
14:
Z
x sin x
3x sin x
3
1
3
x dx
¡
¡
=
+
+
5
4
3
2
cos x
4 cos x 12 cos x 8 cos x 8 cos x 8
Z
x dx
cos x
(see 2:6446:):
2.644
2.645
1:
Z
xp
• ¶Z
m
P
sin2m x
xp dx
k m
dx
=
(
¡
1)
n
cos x
cos n¡2k x
k
k=0
(see 2:6432:):
2.643
2:
Z
p sin
x
2m+1
x
cosn x
• ¶Z
xp sin x
m
dx =
(¡1)
dx
cos n¡2k x
k
k=0
m
P
k
(see 2:6453:):
2.645
3:
Z
sin x dx
xp
cos n x
xp
p
¡
=
n¡1
(n ¡ 1) cos
x
n¡1
Z
xp¡1
dx
cos n¡1 x
[n > 1]
(see 2.643 2.).
2.643
GU ((333))(12)
4:
Z
xp
• ¶Z
m
P
cos 2m x
xp dx
k m
(
¡
1)
dx
=
n
sin x
k
sinn¡2k x
k=0
(see 2:6431:):
2.643
5:
Z
p cos
x
2m+1
sinn x
x
• ¶Z
m
xp cos x
(¡1)
dx =
dx
k
sinn¡2k x
k=0
m
P
k
(see 2:6456:):
2.645
6:
Z
cos x
p
xp
x
=
¡
+
n
n¡1
sin x
n¡1
(n ¡ 1) sin
x
p
Z
xp¡1 dx
sinn¡1 x
[n > 1]
(see 2.643 1.).
2.643
GU ((333))(13)
7:
Z
x
x
x cos x
dx = ¡
+ ln tg :
2
sin x
2
sin x
8:
Z
³x ¼ ´
x sin x
x
¡
ln
tg
dx
=
+
:
cos 2 x
cos x
2
4
Z
xp tg x dx =
2.646
1:
1
P
k=1
(¡1)k+1
22k (22k¡1 ¡ 1)
B2k xp+2k
(p + 2k) ¢ (2k)!
h
p ¸ ¡1;
jxj <
¼i
:
2
GU ((333))(12d)
235
2:
Z
xp ctg x dx =
1
P
k=0
(¡1)k
22k B2k
xp+2k
(p + 2k)(2k)!
[p ¸ 1;
jxj < ¼]:
GU ((333))(13d)
3:
Z
xp tg 2 x dx = x tg x + ln cos x ¡
4:
Z
x ctg 2 x dx = ¡x ctg x + ln sin x ¡
x2
:
2
x2
:
2
2.647
1:
2:
3:
Z
Z
Z
xn
xn cos x dx
= ¡
+
m
(a + b sin x)
(m ¡ 1)b(a + b sin x)m¡1
Z
n
xn¡1 dx
+
(m ¡ 1)b (a + b sin x)m¡1
xn
xn sin x dx
=
¡
(a + b cos x)m
(m ¡ 1)b(a + b cos x)m¡1
Z
n
xn¡1 dx
¡
(m ¡ 1)b (a + b cos x)m¡1
³¼
³¼
x´
x´
x dx
¡
¡
= ¡x tg
+ 2 ln cos
:
1 + sin x
4
2
4
2
[m=
= 1]:
MZ 247
[m=
= 1]:
MZ 247
Z
³¼
³¼
x dx
x´
x´
¡
¡
= x ctg
+ 2 ln sin
:
1 ¡ sin x
4
2
4
2
Z
x dx
x
x
= x tg + 2 ln cos :
1 + cos x
2
2
Z
x dx
x
x
= ¡x ctg + 2 ln cos :
1 ¡ cos x
2
2
7:
Z
³x ¼´
x
x cos x
dx
=
¡
+
tg
¡
:
(1 + sin x)2
1 + sin x
2
4
8:
Z
³x ¼´
x
x cos x
dx
=
+
tg
+
:
(1 ¡ sin x)2
1 ¡ sin x
2
4
9:
Z
x
x
x sin x
dx =
¡ tg :
2
(1 + cos x)
1 + cos x
2
10:
Z
x
x
x sin x
dx = ¡
¡ ctg :
(1 ¡ cos x)2
1 ¡ cos x
2
4:
5:
6:
PE (330)
PE (331)
2.648
1:
Z
x
x + sin x
dx = x tg :
1 + cos x
2
2:
Z
x
x ¡ sin x
dx = ¡x ctg :
1 ¡ cos x
2
236
PE (332)
MZ 247a
Z
x sin x + cos x
x2 dx
=
:
[(ax ¡ b) sin x + (a + bx) cos x]2
b[(ax ¡ b) sin x + (a + bx) cos x]
GU ((333))(17)
2.651
Z
tg x
dx
=
:
2
[a + (ax + b) tg x]
a[a + (ax + b) tg x]
GU ((333))(18)
2.652
Z
½
¾
cos(x ¡ t)
x dx
= cosec 2t x ln
¡ L(x + t) + L(x ¡ t)
cos(x + t) cos(x ¡ t)
cos(x + t)
¯¼
¯i
h
¯
¯
t=
= n¼; jxj < ¯ ¡ jt0 j¯ ;
2
¡
¢
where t0 is the value of the argument t, which is reduced by multiples of the argument ¼ to lie in the interval ¡ ¼2 ; ¼2 .
2.653
1:
Z
p
p
sin x
p dx = 2¼S( x)
x
(cf:8:2511:):
8.251
LO III 288
2:
Z
p
p
cos x
p dx = 2¼C( x)
x
(cf:8:2512:):
8.251
2.654
Notation: ¢ =
1:
Z
p
1 ¡ k 2 sin2 x;
k0 =
p
1 ¡ k2 :
x sin x cos x
1
x¢
dx = ¡ 2 + 2 E(x; k):
¢
k
k
2:
Z
x sin3 x cos x
2k 2 + 5
k02
1
dx = ¡ 4 F (x; k)+
E(x; k)¡ 4 [3(3¡¢2 )x+k 2 sin x cos x]¢:
¢
9k
9k 4
9k
3:
Z
x sin x cos3 x
7k 2 ¡ 5
k02
1
dx = ¡ 4 F (x; k)+
E(x; k)¡ 4 [3(¢2 ¡3k 02 )x¡k 2 sin x cos x]¢:
4
¢
9k
9k
9k
4:
Z
x sin x dx
1
x cos x
dx = ¡ 02
+ 02 arcsin(k sin x):
3
¢
k ¢
kk
5:
Z
x cos x dx
x sin x
1
=
+ ln(k cos x + ¢):
3
¢
¢
k
6:
Z
x
1
x sin x cos x dx
= 2 ¡ 2 F (x; k):
3
¢
k ¢
k
7:
Z
2 ¡ k 2 sin2 x
1
x sin3 x cos x dx
=
x
¡ 4 [E(x; k) + F (x; k)]:
¢3
k4¢
k
8:
Z
k 2 sin2 x + k 2 ¡ 2
k 02
1
x sin x cos3 x dx
=
x
+
F (x; k) + 4 E(x; k):
3
4
4
¢
k ¢
k
k
Integrals containing sin x2 and cos x2
In integrals containing sin x2 and cos x2, it is expedient to make the substitution x2 = u.
237
2.655
1:
Z
2:
p¡1
xp¡1
x sin x dx = ¡
cos x2 +
2
2
p
Z
2
xp cos x2 dx =
Z
xp¡1
p¡1
sin x2 ¡
2
2
xp¡2 cos x2 dx:
Z
xp¡2 sin x2 dx:
3:
4:
Z
Z
¸
xn¡4k+1 sin x2
xn¡4k+3 cos x2
¡ 2k
x sin x dx = (n¡1)!!
(¡1)
+
22k¡1 (n ¡ 4k + 3)!!
2 (n ¡ 4k + 1)!!
k=1
¾
Z
h
h n ii
(¡1)r
+ 2r
xn¡4r sin x2 dx
:
r=
2 (n ¡ 4r ¡ 1)!!
4
n
½
2
r
P
k
∙
¸
∙
xn¡4k+1 cos x2
xn¡4k+3 sin x2
+ 2k
+
(¡1)k¡1 2k¡1
2
(n ¡ 4k + 3)!!
2 (n ¡ 4k + 1)!!
k=1
¾
Z
h
h n ii
(¡1)r
n¡4r
2
x
:
+ 2r
cos x dx
r=
2 (n ¡ 4r ¡ 1)!!
4
xn cos x2 dx = (n¡1)!!
½
r
P
5:
Z
x sin x2 dx = ¡
6:
Z
x cos x2 dx = ¡
7:
Z
x
1
x sin x dx = ¡ cos x2 +
2
2
8:
Z
x2 cos x2 dx =
9:
Z
x3 sin x2 dx = ¡
10:
Z
x3 cos x2 dx =
2
cos x2
:
2
sin x2
:
2
2
x
1
sin x2 ¡
2
2
r
r
¼
C(x):
2
¼
S(x):
2
1
x2
cos x2 + sin x2 :
2
2
x2
1
sin x2 + cos x2 :
2
2
2.66 Combinations of trigonometric functions and exponentials
2.661
Z
GU ((336))(4a)
eax sinp x cos q x dx =
½
1
= 2
eax sinp x cos q¡1 x[a cos x + (p + q) sin x] ¡
a + (p + q)2
Z
Z
¾
GU ((336))(5a)
238
=
=
=
=
½
1
eax sinp¡1 x cos q x[a sin x ¡ (p + q) cos x] +
a2 + (p + q)2
¾
Z
Z
ax
p¡1
q¡1
ax
p¡2
q
+qa e sin
x cos
x dx+(p ¡ 1)(p+q) e sin
x cos x dx ;
½
1
eax sinp¡1 x cos q¡1 x[a sin x cos x + q sin2 x ¡ p cos2 x] +
2
a + (p + q)2
¾
Z
Z
ax
p
q¡2
ax
p¡2
q
+ q(q ¡ 1) e sin x cos
x dx + p(p ¡ 1) e sin
x cos x dx ;
½
1
eax sinp¡1 x cos q¡1 x(a sin x cos x+q sin2 x ¡ p cos 2 x)+
a2 + (p + q)2
Z
+ q(q ¡ 1) eax sinp¡2 x cosq¡2 x dx ¡
¾
Z
ax
p¡2
q
¡ (q ¡ p)(p + q ¡ 1) e sin
x cos x dx ;
½
1
eax sinp¡1 x cos q¡1 x(a sin x cos x+q sin2 x¡p cos2 x)+m
2
a + (p + q)2
Z
+ p(p ¡ 1) eax sinp¡2 x cos q¡2 x dx +
¾
Z
ax
p
q¡2
+ (q ¡ p)(p + q ¡ 1) e sin x cos
x dx :
GU ((334))(1a)
TI (526)
TI (525)
TI (524)
R
For p = m and q = n even integers, the integral eax sin m x cos n x dx can be reduced by means of these formulas to the integral
R
R
R
eax dx. However, when only m or only n is even, they can be reduced to integrals of the form eax cos n x dx or
eax sinm x dx respectively.
2.662
1:
Z
2:
Z
eax sinn bx dx =
ax
e
∙
1
(a sin bx ¡ nb cos bx)eax sinn¡1 bx +
a2 + n2 b2
¸
Z
+ n(n ¡ 1)b2 eax sinn¡2 bx dx :
∙
1
cos bx dx = 2
(a cos bx + nb sin bx)eax cos n¡1 bx +
a + n 2 b2
¸
Z
2
ax
n¡2
+ n(n ¡ 1)b e cos
bx dx :
n
Z
3:
eax sin2m bx dx =
(2m)!b2k eax sin2m¡2k¡1 bx
£
2
2 2
2
2 2
2
2 2
k=0 (2m ¡ 2k)![a + (2m) b ][a + (2m ¡ 2) b ] . . . [a + (2m ¡ 2k) b ]
(2m)!b2m eax
£[a sin bx¡(2m¡2k)b cos bx]+ 2
=
[a + (2m)2 b2 ][a2 + (2m ¡ 2)2 b2 ] . . . [a2 + 4b2 ]a
• ¶ ax
¶
•
m
2m e
eax P
1
2m
+
=
(¡1)k
(a cos 2bkx+2bk sin 2bkx):
2m
2m¡1
2
m 2 a 2
m ¡ k a + 4b2 k 2
k=1
m¡1
P
=
Z
4:
eax sin2m+1 bx dx =
(2m + 1)!b2k eax sin2m¡2k bx[a sin bx ¡ (2m ¡ 2k + 1)b cos bx]
=
2
2 2
2
2 2
2
2 2
k=0 (2m ¡ 2k + 1)![a + (2m + 1) b ][a + (2m ¡ 1) b ] . . . [a + (2m ¡ 2k + 1) b ]
•
¶
m
eax P
(¡1)k
2m + 1
= 2m
[a sin(2k+1)bx¡(2k+1)b cos(2k+1)bx]:
2
2
2
2 k=0 a + (2k + 1) b
m¡k
=
5:
8
Z
m
P
eax cos2m bx dx =
(2m)!b2k eax cos 2m¡2k¡1 bx[a cos bx + (2m ¡ 2k)b sin bx]
+
2
2 2
2
2 2
2
2 2
k=0 (2m ¡ 2k)![a + (2m) b ][a + (2m ¡ 2) b ] . . . [a + (2m ¡ 2k) b ]
(2m)!b2m eax
+ 2
[a + (2m)2 b2 ][a2 + (2m ¡ 2)2 b2 ] . . . [a2 + 4b2 ]a
• ¶ ax
•
¶
m
eax P
2m e
2m
1
=
[a cos 2kbx+2kb sin 2kbx]:
+
m 22m a 22m¡1 k=1 m ¡ k a2 + 4b2 k2
=
6:
Z
m¡1
P
eax cos2m+1 bx dx =
(2m + 1)!b2k eax cos 2m¡2k bx
=
2
2 2
2
2 2
k=0 (2m ¡ 2k + 1)![a + (2m ¡ 1) b ] . . . [a + (2m ¡ 2k + 1) b ]
•
¶
m
eax P
2m + 1
1
= 2m
[a cos(2k+1)bx+(2k+1)b sin(2k+1) bx]:
2
2 k=0 m ¡ k a + (2k + 1)2 b2
=
m
P
2.663
1:
240
Z
eax sin bx dx =
eax (a sin bx ¡ b cos bx)
:
a2 + b2
2.664
1:
2:
3:
Z
Z
Z
ax
e
ax
e
ax
e
∙
eax a sin(b + c)x ¡ (b + c) cos(b + c)x
sin bx cos cx dx =
+
2
a2 + (b + c)2
¸
a sin(b ¡ c)x ¡ (b ¡ c) cos(b ¡ c)x
+
:
a2 + (b ¡ c)2
∙
eax a cos cx + c sin cx a cos(2b + c)x + (2b + c) sin(2b + c)x
sin bx cos cx dx =
¡
¡
2
4
a2 + c2
a2 + (2b + c)2
¸
a cos(2b ¡ c)x + (2b ¡ c) sin(2b ¡ c)x
¡
:
a2 + (2b ¡ c)2
GU ((334))(6b)
2
∙
eax a sin bx ¡ b cos bx a sin(b + 2c)x ¡ (b + 2c) cos(b + 2c)x
sin bx cos cx dx =
+
+
2
4
a2 + b2
a2 + (b + 2c)2
¸
a sin(b ¡ 2c)x ¡ (b ¡ 2c) cos(b ¡ 2c)x
+
:
a2 + (b ¡ 2c)2
GU ((334))(6c)
2
GU ((334))(6d)
2.665
1:
2:
Z
Z
eax [a sin bx + (p ¡ 2)b cos bx] a2 + (p ¡ 2)2 b2
eax dx
+
=
¡
sinp bx
(p ¡ 1)(p ¡ 2)b2
(p ¡ 1)(p ¡ 2)b2 sinp¡1 bx
Z
eax [a cos bx ¡ (p ¡ 2)b sin bx] a2 + (p ¡ 2)2 b2
eax dx
=¡
+
p
cos bx
(p ¡ 1)(p ¡ 2)b2 cos p¡1 bx
(p ¡ 1)(p ¡ 2)b2
Z
eax dx
:
sinp¡2 bx
TI (530)a
eax dx
:
cos p¡2 bx
TI (529)a
By successive applications of formulas 2.665 for p a natural number, we obtain integrals of the form
R
eax dx
sin bx ;
241
R
eax dx
;
sin2 bx
R
eax dx
cos bx ;
R
eax dx
cos2 bx ,
which are not expressible in terms of a finite combination of elementary functions.
2.666
1:
2:
3:
Z
Z
Z
ax
e
ax
e
eax
a
tg p¡1 x¡
tg x dx =
p¡1
p¡1
p
Z
a
eax ctg p¡1 x
ctg x dx = ¡
+
p¡1
p¡1
p
eax tg x dx =
eax tg x
1
¡
a
a
Z
eax dx
cos2 x
ax
e
tg
p¡1
Z
x dx¡ eax tg p¡2 x dx:
TI (527)
Z
ax
e
ctg
p¡1
Z
x dx¡ eax ctg p¡2 x dx:
TI (528)
(see remark following 2:665):
2.665
4:
Z
eax tg 2 x dx =
Z
eax
(a tg x ¡ 1) ¡ a eax tg x dx
a
(see 2:6663:):
2.666
TI 355
5:
Z
ax
e
1
eax ctg x
ctg x dx =
+
a
a
Z
eax dx
sin2 x
(see remark following 2:665):
2.665
6:
Z
ax
e
Z
eax
ctg x dx = ¡
(a ctg x + 1) + a eax ctg x dx
a
2
(see 2:6665:):
2.666
Integrals of type
R
R(x; eax ; sin bx; cos cx) dx
Notation: sin t = ¡ pa2b+b2 ;
cost =
p a
.
a2 +b2
sin t = ¡ pa2b+b2 ;
cost =
p a
.
a2 +b2
2.667
1:
Z
x e
2:
Z
xp eax cos bx dx =
3:
Z
xn eax sin bx dx = eax
Z
xn eax cos bx dx = eax
5:
Z
xeax sin bx dx =
6:
Z
xe
7:
Z
x2 eax sin bx dx =
8:
Z
4:
p ax
Z
xp eax
p
sin bx dx = 2
(a sin bx¡b cos bx)¡ 2
xp¡1 eax (a sin bx¡b cos bx) dx;
2
a + b2
a +
b
Z
xp eax
p
= p
sin(bx+t)¡ p
xp¡1 eax sin(bx+t) dx:
a2 + b2
a2 + b2
Z
xp eax
p
(a
cos
bx+b
sin
bx)
¡
xp¡1 eax (a cos bx+b sin bx) dx;
a2 + b2
a2 +Z b2
xp eax
p
=p
cos(bx+t)¡ p
xp¡1 eax cos(bx+t) dx:
2
2
2
a +b
a + b2
n+1
P
(¡1)k+1 n!xn¡k+1
sin(bx + kt):
(n ¡ k + 1)!(a2 + b2 )k=2
n+1
P
(¡1)k+1 n!xn¡k+1
cos(bx + kt):
(n ¡ k + 1)!(a2 + b2 )k=2
k=1
k=1
ax
eax
2
a + b2
∙•
eax
cos bx dx = 2
a + b2
∙•
a2 ¡ b2
a2 + b2
¶
a2 ¡ b2
ax ¡ 2
a + b2
¶
ax ¡
•
sin bx ¡ bx ¡
•
2ab
a2 + b2
¶
¸
cos bx :
¶
¸
sin bx :
2ab
cos bx + bx ¡ 2
a + b2
242
2 ax
x e
½∙
¸
eax
2a(a2 ¡ 3b2 )
2(a2 ¡ b2 )
2
¡
x
+
ax
sin bx ¡
a2 + b2
a2 + b2
(a2 + b2 )2
∙
¸
¾
2b(3a2 ¡ b2 )
4ab
x
+
¡ bx2 ¡ 2
cos
bx
:
a + b2
(a2 + b2 )2
½∙
¸
eax
2a(a2 ¡ 3b2 )
2(a2 ¡ b2 )
2
cos bx dx = 2
ax ¡
x+
cos bx+
a + b2
a2 + b2
(a2 + b2 )2
∙
¸
¾
2b(3a2 ¡ b2 )
4ab
+ bx2 ¡ 2
x
+
sin bx :
a + b2
(a2 + b2 )2
2.67 Combinations of trigonometric and hyperbolic functions
2.671
1:
Z
sh(ax + b) sin(cx + d) dx =
2:
Z
sh(ax + b) cos(cx + d) dx =
3:
Z
ch(ax + b) sin(cx + d) dx =
4:
Z
ch(ax + b) cos(cx + d) dx =
a
ch(ax + b) sin(cx + d) ¡
+ c2
c
¡ 2
sh(ax + b) cos(cx + d):
a + c2
a2
a
ch(ax + b) cos(cx + d) +
+ c2
c
+ 2
sh(ax + b) sin(cx + d):
a + c2
a2
a
sh(ax + b) sin(cx + d) ¡
a2 + c2
c
¡ 2
ch(ax + b) cos(cx + d):
a + c2
a
sh(ax + b) cos(cx + d) +
+ c2
c
+ 2
ch(ax + b) sin(cx + d):
a + c2
a2
GU ((354))(1)
2.672
1:
Z
sh x sin x dx =
1
(ch x sin x ¡ sh x cos x):
2
2:
Z
sh x cos x dx =
1
(ch x cos x + sh x sin x):
2
3:
Z
ch x sin x dx =
1
(sh x sin x ¡ ch x cos x):
2
4:
Z
ch x cos x dx =
1
(sh x cos x + ch x sin x):
2
2.673
1:
2:
Z
sh2m (ax + b) sin2n (cx + d) dx =
• ¶
• ¶• ¶
• ¶
P
2n
(¡1)k
(¡1)m 2m
2n
(¡1)m+n 2m n¡1
sin[(2n¡2k)(cx+d)]+
= 2m+2n
x+ 2m+2n¡1
2
2
n
m
m k=0 (2n ¡ 2k)c k
• ¶• ¶
2n
j+k 2m
(
¡
1)
P n¡1
P
(¡1)n m¡1
k
j
+ 2m+2n¡2
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j) a + (2n ¡ 2k) c
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2 ¡ 2k)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
GU ((354))(3a)
Z
sh2m (ax + b) sin2n¡1 (cx + d) dx =
•
¶
• ¶
P
(¡1)m+n 2m n¡1
(¡1)k
2n ¡ 1
= 2m+2n¡2
cos[(2n¡2k¡1)(cx+d)]+
2
k
m k=0 (2n ¡ 2k ¡ 1)c
• ¶•
¶
2n ¡ 1
j+k 2m
(¡1)
P n¡1
P
(¡1)n¡1 m¡1
j
k
£
+ 2m+2n¡3
2 a2 + (2n ¡ 2k ¡ 1)2 c2
2
(2m
¡
2j)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] ¡
¡ (2n ¡ 2k ¡ 1)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
GU ((354))(3b)
3:
4:
Z
sh2m¡1 (ax + b) sin2n (cx + d) dx =
• ¶
•
¶
2n
j 2m ¡ 1
(¡1)
m¡1
P
n
j
= 2m+2n¡2
ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + d)] +
2
j=0 (2m ¡ 2j ¡ 1)a
•
¶• ¶
2n
j+k 2m ¡ 1
(
¡
1)
P n¡1
P
(¡1)n m¡1
j
k
+ 2m+2n¡3
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j ¡ 1) a + (2n ¡ 2k) c
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k)c sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
Z
sh2m¡1 (ax + b) sin2n¡1 (cx + d) dx =
•
¶•
¶
2n ¡ 1
j+k 2m ¡ 1
(¡1)
P n¡1
P
(¡1)n¡1 m¡1
j
k
= 2m¡2n¡4
£
2 a2 + (2n ¡ 2k ¡ 1)2 c2
2
(2m
¡
2j
¡
1)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] ¡
¡ (2n ¡ 2k ¡ 1)c sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
GU ((354))(3c)
5:
6:
7:
8:
Z
sh2m (ax + b) cos2n (cx + d) dx =
• ¶
• ¶
2n
j 2m
¶
¶•
•
(¡1)
m¡1
P
(¡1)m 2m
2n
n
j
= 2m+2n
sh[(2m¡2j)(ax+b)]+
x+ 2m+2n¡1
2
2
n
m
j=0 (2m ¡ 2j)a
• ¶
• ¶
2n
m 2m
(¡1)
P
m n¡1
k
sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+
2m+2n¡1
2
k=0 (2n ¡ 2k)c
• ¶• ¶
2n
j 2m
(¡1)
n¡1
m¡1
P P
1
k
j
+ 2m+2n¡2
£
2 a2 + (2n ¡ 2k)2 c2
2
(2m
¡
2j)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2 ¡ 2k)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
GU ((354))(4a)
Z
sh2m (ax + b) cos 2n¡1 (cx + d) dx =
• ¶
•
¶
2n ¡ 1
m 2m
(¡1)
P
m n¡1
k
sin[(2n ¡ 2k ¡ 2)(cx + d)] +
=
2m+2n¡2
2
k=0 (2n ¡ 2k ¡ 1)c
• ¶•
¶
2¡1
j 2m
(¡1)
m¡1
P n¡1
P
1
j
k
+ 2m+2n¡3
£
2 a2 + (2n ¡ 2k ¡ 1)2 c2
2
(2m
¡
2j)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k ¡ 1)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
GU ((354))(4a)
Z
sh2m¡1 (ax + b) cos 2n (cx + d) dx =
• ¶
•
¶
2n
j 2m ¡ 1
(¡1)
m¡1
P
n
j
= 2m+2n¡2
ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + d)] +
2
j=0 (2m ¡ 2j ¡ 1)a
• ¶• ¶
2n
j 2m
(
¡
1)
m¡1
P n¡1
P
1
j
k
+ 2m¡2n¡3
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j ¡ 1) a + (2n ¡ 2k) c
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k)c sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
Z
sh2m¡1 (ax + b) cos 2n¡1 (cx + d) dx =
GU ((354))(4b)
¶
¶•
2n ¡ 1
2m ¡ 1
m¡1
P n¡1
P
1
k
j
= 2m+2n¡4
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j ¡ 1) a + (2n ¡ 2k ¡ 1) c
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k ¡ 1)c sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
(¡1)j
•
GU ((354))(4b)
9:
10:
11:
Z
ch2m (ax + b) sin2n (cx + d) dx =
• ¶• ¶
• ¶
• ¶
2n
2m
n 2m
k 2n
(¡1)
(¡1)
P
n
m
m m¡1
k
=
x + 2m+2n¡1
sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
22m+2n
2
(2n
¡
2k)c
k=0
• ¶
• ¶
2n
2m
m¡1
P
n
j
+ 2m+2n¡1
sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] +
2
(2m
¡
2j)a
j=0
• ¶• ¶
2n
k 2m
(¡1)
P n¡1
P
(¡1)n m¡1
j
k
+ 2m+2n¡2
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j) a + (2n ¡ 2k) c
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
GU ((354))(5a)
Z
ch2m¡1 (ax + b) sin2n (cx + d) dx =
• ¶
•
¶
2n
2m ¡ 1
m¡1
P
n
j
sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] +
= 2m+2n¡2
2
(2m
¡
2j
¡ 1)a
j=0
•
¶• ¶
2n
k 2m ¡ 1
(¡1)
n
m¡1
n¡1
P P
(¡1)
j
k
+ 2m+2n¡3
£
2 a2 + (2n ¡ 2k)2 c2
2
(2m
¡
2j
¡
1)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k)c ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
Z
ch2m (ax + b) sin2n¡1 (cx + d) dx =
• ¶
•
¶
2m
k+1 2n ¡ 1
(¡1)n¡1
(
¡
1)
P
m n¡1
k
=
cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] +
2m+2n¡2
2
(2n ¡ 2k ¡ 1)c
k=0
• ¶•
¶
2n ¡ 1
k 2m
(¡1)
P n¡1
P
(¡1)n¡1 m¡1
j
k
£
+ 2m+2n¡3
2 a2 + (2n ¡ 2k ¡ 1)2 c2
2
(2m
¡
2j)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] ¡
¡ (2n ¡ 2k ¡ 1)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
GU ((354))(5a)
12:
Z
ch2m¡1 (ax + b) sin2n¡1 (cx + d) dx =
¶
¶•
•
2n ¡ 1
k 2m ¡ 1
(¡1)
P n¡1
P
(¡1)n¡1 m¡1
k
j
= 2m+2n¡4
£
2 a2 + (2n ¡ 2k ¡ 1)2 c2
2
(2m
¡
2j
¡
1)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] ¡
¡ (2n ¡ 2k ¡ 1)c ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
GU ((354))(5b)
13:
14:
15:
Z
ch2m (ax + b) cos 2n (cx + d) dx =
• ¶• ¶
• ¶
• ¶
2n
2m
2m
2
n¡1
P
n
m
m
k
=
x + 2m+2n¡1
sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
22m+2n
2
(2n ¡ 2k)c
• ¶
• ¶ k=0
2n
2m
m¡1
P
n
j
+ 2m+2n¡1
sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] +
2
(2m
¡
2j)a
j=0
• ¶• ¶
2m
2n
m¡1
n¡1
P
P
1
j
k
+ 2m+2n¡2
£
2 a2 + (2n ¡ 2k)2 c2
2
(2m
¡
2j)
j=0 k=0
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
GU ((354))(6)
Z
ch2m¡1 (ax + b) cos 2n (cx + d) dx =
• ¶
•
¶
2n
2m ¡ 1
m¡1
P
n
j
sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] +
= 2m+2n¡2
2
j=0 (2m ¡ 2j ¡ 1)a
•
¶• ¶
2m ¡ 1
2n
m¡1
n¡1
P P
1
j
k
+ 2m+2n¡3
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j ¡ 1) a + (2n ¡ 2k) c
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k)c ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k)(cx + d)]g:
Z
ch2m (ax + b) cos 2n¡1 (cx + d) dx =
• ¶
•
¶
2m
2n ¡ 1
n¡1
P
m
k
= 2m+2n¡2
sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] +
2
k=0 (2n ¡ 2k ¡ 1)c
• ¶•
¶
2m
2n ¡ 1
m¡1
P n¡1
P
1
j
k
+ 2m+2n¡3
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j) a + (2n ¡ 2k ¡ 1) c
£ f(2m ¡ 2j)a sh[(2m ¡ 2j)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k ¡ 1)c ch[(2m ¡ 2j)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
GU ((354))(6)
Z
ch2m¡1 (ax + b) cos 2n¡1 (cx + d) dx =
¶
¶•
•
2n ¡ 1
2m ¡ 1
m¡1
P n¡1
P
1
k
j
= 2m+2n¡4
£
2
2
2 2
2
j=0 k=0 (2m ¡ 2j ¡ 1) a + (2n ¡ 2k ¡ 1) c
£ f(2m ¡ 2j ¡ 1)a sh[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] cos[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)] +
+ (2n ¡ 2k ¡ 1)c ch[(2m ¡ 2j ¡ 1)(ax + b)] sin[(2n ¡ 2k ¡ 1)(cx + d)]g:
16:
GU ((354))(6)
2.674
1:
Z
eax sh bx sin cx dx =
2:
Z
eax sh bx cos cx dx =
3:
Z
eax ch bx sin cx dx =
4:
Z
eax ch bx cos cx dx =
e(a+b)x
[(a + b) sin cx ¡ c cos cx] ¡
2[(a + b)2 + c2 ]
e(a¡b)x
¡
[(a ¡ b) sin cx ¡ c cos cx]:
2[(a ¡ b)2 + c2 ]
e(a+b)x
[(a + b) cos cx + c sin cx] ¡
2[(a + b)2 + c2 ]
e(a¡b)x
¡
[(a ¡ b) cos cx + c sin cx]:
2[(a ¡ b)2 + c2 ]
e(a+b)x
[(a + b) sin cx ¡ c cos cx] +
2[(a + b)2 + c2 ]
e(a¡b)x
+
[(a ¡ b) sin cx ¡ c cos cx]:
2[(a ¡ b)2 + c2 ]
e(a+b)x
[(a + b) cos cx + c sin cx] +
2[(a + b)2 + c2 ]
e(a¡b)x
[(a ¡ b) cos cx + c sin cx]:
+
2[(a ¡ b)2 + c2 ]
MZ 379
2.7 Logarithms and Inverse-Hyperbolic Functions
2.71 The logarithm
2.711
Z
ln
m
x dx = x ln
m
=
x¡m
Z
lnm¡1 x dx =
m
P
x
(¡1)k (m+1)m(m+1) . . . (m¡k+1) lnm¡k x
m + 1 k=0
(m > 0):
248
2.72-2.73 Combinations of logarithms and algebraic functions
2.721
1:
Z
n
x ln
m
xn+1 lnm x
m
¡
x dx =
n+1
n+1
Z
xn lnm¡1 x dx
(see 2:722):
2.722
For n = ¡1
2:
Z
lnm+1 x
lnm x dx
=
:
x
m+1
For n = ¡1 and m = ¡1
3:
Z
dx
= ln(ln x):
x ln x
2.722
Z
xn lnm x dx =
m
xn+1 P
lnm k x
(¡1)k (m + 1)m(m ¡ 1) . . . (m ¡ k + 1)
:
m + 1 k=0
(n + 1)k+1
TI (604)
2.723
1:
Z
n
n+1
x ln x dx = x
∙
¸
1
ln x
¡
:
n+1
(n + 1)2
TI 375
2:
Z
n
2
n+1
x ln x dx = x
∙
¸
2 ln x
2
ln2 x
¡
+
:
n+1
(n + 1)2
(n + 1)3
TI 375
2.724
1:
Z
xn dx
n+1
xn+1
=
¡
+
m
m¡1
(ln x)
(m ¡ 1)(ln x)
m¡1
Z
xn dx
:
(ln x)m¡1
For m = 1
2:
Z
xn dx
= li (xn+1 ):
ln x
Z
(a + bx)m ln x dx =
2.725
1:
∙
¸
Z
1
(a + bx)m+1 dx
(a + bx)m+1 ln x ¡
:
(m + 1)b
x
TI 374
2:
Z
(a+bx)m
• ¶
m m¡k k k+1
b x
a
m
P
1
k
m+1
m+1
ln x dx =
[(a+bx)
¡a
] ln x¡
:
(m + 1)b
(k + 1)2
k=0
For m = ¡1 see 2.727 2.
249
2.726
∙
¸
•
¶
1:
Z
a2
(a + bx)2
¡
(a + bx) ln x dx =
2b
2b
2:
Z
•
¶
1
abx2
b2 x3
3
3
2
+
:
(a + bx) ln x dx = [(a + bx) ¡ a ] ln x ¡ a x +
3b
2
9
3:
Z
(a+bx)3 ln x dx =
1
ln x ¡ ax + bx2
4
:
2
•
¶
1
3
1
1 3 4
[(a+bx)4 ¡a4 ] ln x¡ a3 x + a2 bx2 + ab2 x3 +
b x
:
4b
4
3
16
2.727
Z
1:
∙
¸
Z
ln x
l x dx
dx
1
¡
=
+
:
(a + bx)m
b(m ¡ 1)
(a + bx)m¡1
x(a + bx)m¡1
TI 376
For m = 1
Z
2:
ln x dx
1
1
= ln x ln(a + bx) ¡
a + bx
b
b
Z
ln(a + bx) dx
x
(see 2:7282:):
2.728
3:
Z
ln x
1
x
ln x dx
=¡
+
ln
:
2
(a + bx)
b(a + bx)
ab
a + bx
4:
Z
1
x
ln x
1
ln x dx
=¡
+
+ 2 ln
:
(a + bx)3
2b(a + bx)2
2ab(a + bx)
2a b
a + bx
5:
Z
2
ln x dx
p
=
b
a + bx
p
p ¾
p
p
a + bx + a
(ln x ¡ 2) a + bx + a ln p
p
a + bx ¡ a
(
)
r
p
p
2
a + bx
=
(ln x ¡ 2) a + bx + 2 ¡a arctg
b
¡a
½
2.728
1:
2:
6
∙
Z m+1 ¸
1
dx
x
m+1
ln(a + bx) dx =
x
ln(a + bx) ¡ b
:
m+1
a + bx
Z
x
Z
•
¶
bx
bx
ln(a + bx)
= ln a + ln x +
© ¡ ; 2; 1
x
a
a
m
[a > 0]:
2.729
1:
Z
m
x
∙
¸
1
(¡a)m+1
m+1
ln(a + bx) dx =
¡
ln(a + bx) +
x
m+1
bm+1
P (¡1)k xm¡k+2 ak¡1
1 m+1
+
:
m + 1 k=1 (m ¡ k + 2)bk¡1
[a > 0];
[a < 0]:
250
∙
∙
¸
¸
1 2 a2
ax
1 x2
¡
x ¡ 2 ln(a + bx) ¡
:
2
b
2 2
b
2:
Z
x ln(a + bx) dx =
3:
Z
∙
∙
¸
¸
1 3 a3
ax2
a2 x
1 x3
¡
x ln(a + bx) dx =
x + 3 ln(a + bx) ¡
+ 2 :
3
b
3 3
2b
b
4:
Z
∙
∙
¸
¸
1 4 a4
ax3
a2 x2
a3 x
1 x4
¡
x ¡ 4 ln(a+bx)¡
+
¡ 3 :
x ln(a+bx) dx =
4
b
4 4
3b
2b2
b
2
3
2.731
½
1
x
x2n+1 ln(x2 + a2 ) + (¡1)n 2a2n+1 arctg ¡
2n + 1
a
¾
n (¡1)n¡k
P
¡2
a2n¡2k x2k+1 :
k=0 2k + 1
2.732
½
1
(x2n+2 + (¡1)n a2n+2 ) ln(x2 + a2 ) +
2n + 1
¾
n+1
P (¡1)n¡k 2n¡2k+2 2k
+
a
x
:
k
k=1
2.733
1:
2:
3:
Z
ln(x2 + a2 ) dx = x ln(x2 + a2 ) ¡ 2x + 2a arctg
x
:
a
DW
Z
x ln(x2 + a2 ) dx =
Z
x2 ln(x2 + a2 ) dx =
1 2
[(x + a2 ) ln(x2 + a2 ) ¡ x2 ]:
2
DW
∙
¸
1 3
x
2
x ln(x2 + a2 ) ¡ x3 + 2a2 x ¡ 2a3 arctg
:
3
3
a
4:
Z
∙
¸
1
x4
4
4
2
2
2 2
x ln(x + a ) dx =
(x ¡ a ) ln(x + a ) ¡
+a x :
4
2
3
2
2
DW
5:
Z
∙
¸
1 5
x
2 5 2 2 3
2
2
4
5
x ln(x +a ) dx =
x ln(x + a ) ¡ x + a x ¡ 2a x + 2a arctg
:
5
5
3
a
4
2
2
DW
2.734
Z
x2n ln jx2 ¡a2 j dx =
1
2n + 1
½
2.735
Z
2n+1
x
1
ln jx ¡a j dx =
2n + 2
2
2
¯
¯
¾
n
¯x + a¯
1
2n¡2k 2k+1
¯¡2 P
x2n+1 ln jx2 ¡ a2 j + a2n+1 ln ¯¯
a
x
:
x ¡a¯
k=0 2k + 1
½
2n+2
(x
2n+2
¡a
2
2
) ln jx ¡ a j ¡
n+1
P
k=1
1 2n¡2k+2 2k
a
x
k
¾
:
2.736
1:
Z
¯
¯
¯x + a¯
¯:
ln jx2 ¡ a2 j dx = x ln jx2 ¡ a2 j ¡ 2x + a ln ¯¯
x ¡a¯
DW
251
2:
3:
4:
Z
x ln jx2 ¡ a2 j dx =
Z
x2 ln jx2 ¡ a2 j dx =
Z
1
f(x2 ¡ a2 ) ln jx2 ¡ a2 j ¡ x2 g:
2
DW
1
3
1
x ln jx ¡ a j dx =
4
3
2
2
½
½
¯¾
¯
¯x + a¯
2
¯ :
x3 ln jx2 ¡ a2 j ¡ x3 ¡ 2a2 x + a3 ln ¯¯
3
x ¡ a¯
x4
¡ a2 x2
(x ¡ a ) ln jx ¡ a j ¡
2
4
4
2
2
¾
:
DW
5:
Z
1
x ln jx ¡a j dx =
5
4
2
2
½
¯
¯¾
¯x + a¯
2 5 2 2 3
4
5
¯
¯ :
x ln jx ¡ a j ¡ x ¡ a x ¡ 2a x + a ln ¯
5
3
x ¡ a¯
5
2
2
DW
2.74 Inverse hyperbolic functions
2.741
1:
2:
3:
4:
Z
Arsh
Z
Arch
x
x p
dx = x Arsh ¡ x2 + a2 :
a
a
x
x p
dx = x Arch ¡ x2 ¡ a2 :
a
a
x p
= x Arch + x2 ¡ a2 :
a
Z
Arth
Z
Arcth
Z
x
x Arsh dx =
a
DW
h
i
x
Arch > 0 ;
a
h
i
x
Arch < 0 :
a
DW
DW
x a
x
dx = x Arth + ln(a2 ¡ x2 ):
a
a
2
DW
x a
x
dx = x Arcth + ln(x2 ¡ a2 ):
a
a
2
DW
2.742
1:
2:
Z
•
¶
Arsh
x xp 2
¡
x + a2 :
a
4
¶
x xp 2
a2
x2
¡
Arch ¡
x ¡ a2
2
4
a
4
• 2
¶
x
a2
x xp 2
=
x ¡ a2
¡
Arch +
2
4
a
4
x
x Arch dx =
a
•
a2
x2
+
2
4
DW
i
x
>0 ;
a
i
h
x
Arch < 0 :
a
h
Arch
DW
2.8 Inverse Trigonometric Functions
2.81 Arcsines and arccosines
2.811
Z ³
• ¶
³
[n=2]
P
x ´n¡2k
x ´n
k n
dx = x
(¡1)
+
¢ (2k)! arcsin
arcsin
a
a
2k
k=0
¶
•
³
[(n+1)=2]
p
P
x ´n¡2k+1
n
(¡1)k¡1
:
+ a2 ¡ x2
¢(2k ¡1)! arcsin
a
2k ¡ 1
k=1
252
2.812
Z ³
• ¶
³
[n=2]
P
x ´n
x ´n¡2k
k n
dx = x
(¡1)
+
arccos
¢ (2k)! arccos
a
a
2k
k=0
•
¶
³
[(n+1)=2]
p
P
n
x ´n¡2k+1
k
2
2
+ a ¡x
(¡1)
:
¢(2k ¡1)! arccos
a
2k ¡ 1
k=1
2.813
∙
¸
p
x
x
dx = sign (a) n arcsin
+ a2 ¡ x2 :
a
jaj
1:¤
Z
2:¤
Z ³
arcsin
3:¤
Z ³
arcsin
arcsin
•
¶2
p
x
x
x ´2
dx = x arcsin
+ 2 a2 ¡ x2 arcsin
¡ 2x:
a
jaj
jaj
∙ •
¶3 p
¶2
•
x
x ´3
x
dx = sign(a) x arcsin
+3 a2 ¡ x2 arcsin
¡
a
jaj
jaj
¸
p
x
¡ 6x arcsin
¡ 6 a2 ¡ x2 :
jaj
2.814
1:
Z
arccos
x
x p
dx = x arccos ¡ a2 ¡ x2 :
a
a
2:
Z ³
arccos
³
p
x ´2
x ´2
x
dx = x arccos
¡ 2 a2 ¡ x2 arccos ¡ 2x:
a
a
a
3:
Z ³
arccos
³
³
x ´3
x ´3 p 2
x p
x ´2
dx = x arccos
¡3 a ¡ x2 arccos
¡6x arccos +6 a2 ¡ x2 :
a
a
a
a
2.82 The arcsecant, the arccosecant, the arctangent, and the arccotangent
2.821
Z
1:
Z
2:
Z
h
p
a
x
a
¼i
dx = x arcsin +a ln(x+ x2 ¡ a2 )
0 < arcsin <
;
x
2
x
2
h
i
p
¼
a
a
¡ < arcsin < 0 :
= x arcsin ¡a ln(x+ x2 ¡ a2 )
x
2
x
x
arccosec dx =
a
Z
arcsin
h
p
a
a
a
¼i
dx = x arccos ¡a ln(x+ x2 ¡ a2 )
0 < arccos <
;
x
x
x
2
h
i
p
a
¼
a
= x arccos ¡a ln(x+ x2 ¡ a2 )
¡ < arccos < 0 :
x
2
x
x
arcsec dx =
a
DW
arccos
DW
2.822
Z
1:
arctg
x a
x
dx = x arctg ¡ ln(a2 + x2 ):
q
a
2
DW
253
Z
arcctg
3:
¤
Z
x arctg
4:
¤
Z
x arcctg
2:
x
x a
dx = x arcctg ¡ ln(a2 + x2 ):
a
a
2
DW
1
x ax
x
dx = (x2 + a2 ) arctg ¡
a
2
a
2
x
ax
¼x2
1
x
¡ (x2 + a2 ) arctg
dx =
+
a
2
4
2
a
¤
Z
x2 arctg
6:¤
Z
x2 arcctg
5:
x
x 1
1
ax2
dx = x3 arctg + a3 ln(x2 + a2 ) ¡
a
3
a
6
6
x
x 1
¼x3
ax2
1
dx = ¡ x3 arctg ¡ a3 ln(x2 + a2 ) +
+
a
3
a
6
6
6
2.83 Combinations of arcsine or arccosine and algebraic functions
2.831
Z
x
xn+1
x
1
arcsin ¡
x arcsin dx =
a
n+1
a n+1
n
Z
xn+1 dx
p
(see 2.263 1., 2.264, 2.27).
a2 ¡ x2
2.27
2.264
2.263
2.832
Z
x
xn+1
x
1
arccos +
x arccos dx =
a
n+1
a n+1
n
Z
xn+1 dx
p
(see 2.263 1., 2.264, 2.27).
a2 ¡ x2
2.27
2.264
2.263
1. For n = ¡1, these integrals (that is,
functions.
2:
Z
R
1
¼
arccos x
dx = ¡ ln ¡
x
2
x
arcsin x
x
Z
dx and
R
arcsin x
dx:
x
arccos x
x
dx) cannot be expressed as a finite combination of elementary
∙•
¶
¸
x
xp 2
2
arcsin
a ¡x :
+
jaj
4
1:
Z
x
x arcsin dx = sign(a)
a
2:
Z
¼x2
x
¡ sign(a)
x arccos dx =
a
4
3:
Z
x2 arcsin
4:
Z
∙ 3
¸
p
x
x
¼x3
x
1 2
2
2
2
¡sign(a)
arcsin
+ (x + 2a ) a ¡ x :
x arccos dx =
a
6
3
jaj 9
5:
Z
x
x arcsin dx = sign(a)
a
6:
Z
∙
¸
p
x
¼x4
x
1
(8x4 ¡ 3a4 )
2
2
2
2
¡sign(a)
arcsin
+ x(2x + 3a ) a ¡ x :
x arccos dx =
a
8
32
jaj 32
1:
Z
x
1
x 1
a+
1
arcsin dx = ¡ arcsin ¡ ln
2
x
a
x
a
a
2:
Z
x
x
a+
1
1
1
arccos dx = ¡ arccos ¡ ln
x2
a
x
a
a
x2
a2
¡
2
4
∙
¸
1
x
xp 2
2
2
2
(2x ¡ a ) arcsin
a ¡x :
+
4
jaj
4
∙ 3
¸
p
x
x
x
1
dx = sign(a)
arcsin
+ (x2 + 2a2 ) a2 ¡ x2 :
a
3
jaj 9
2
3
∙•
3a4
x4
¡
4
32
¶
¸
p
1
x
2
2
2
2
arcsin
+ x(2x + 3a ) a ¡ x :
jaj 32
3
254
2.834
p
a2 ¡ x2
:
x
p
a2 ¡ x2
:
x
2.835
Z
s
(a ¡ b)(1 ¡ x)
arcsin x
2
arcsin x
dx = ¡
arctg
¡ p
[a2 > b2 ];
2
2
2
(a + bx)
b(a + bx)
(a + b)(1 + x)
b a ¡b
p
p
(a + b)(1 + x) + (b ¡ a)(1 ¡ x)
arcsin x
1
p
=¡
¡ p
ln p
b(a + bx) b b2 ¡ a2
(a + b)(1 + x) ¡ (b ¡ a)(1 ¡ x)
[a2 < b2 ]:
Z
p
c + 1x
1
arcsin x
x arcsin x
p
p
dx
=
¡
+
arctg
[c > ¡1];
2
(1 + cx2 )2
2c(1 + cx2 )
2c c + 1
1
¡
x
p
p
1 ¡ x2 + x ¡(c + 1)
1
arcsin x
p
=¡
+ p
ln p
2c(1 + cx2 ) 4c ¡(c + 1)
1 ¡ x2 ¡ x ¡(c + 1)
[c < ¡1]:
2.837
1:
Z
p
x arcsin x
p
dx = x ¡ 1 ¡ x2 arcsin x:
1 ¡ x2
2:
Z
x arcsin x
x2
1
xp
p
¡
dx =
1 ¡ x2 arcsin x + (arcsin x)2 :
2
4
2
4
1¡x
3:
Z
p
x3 arcsin x
x3
2x
1
p
dx =
+
¡ (x2 + 2) 1 ¡ x2 arcsin x:
9
3
3
1 ¡ x2
2.838
1:
Z
2:
Z
x arcsin x 1
arcsin x
p
dx = p
+ ln(1 ¡ x2 ):
2
2
3
2
1¡x
(1 ¡ x )
1¡x
arcsin x
1
x arcsin x
p
dx = p
+ ln
:
2
1+x
1 ¡ x2
(1 ¡ x2 )3
2.84 Combinations of the arcsecant and arccosecant with powers of x
2.841
1:
Z
Z
o
h
p
a
1n 2
a
¼i
a
arccos dx =
x arccos ¡ a x2 ¡ a2
;
0 < arccos <
x
2
x
x
2
n
i
o
h
p
1
a
a
¼
=
x2 arccos + a x2 ¡ a2
< arccos < ¼ :
2
x
2
x
x
x arcsec dx =
a
255
2:
Z
x2 arcsec
¾
p
a
a p
a3
¡ x x2 ¡ a2 ¡
ln(x + x2 ¡ a2 )
x
2
2
h
a
¼i
0 < arccos <
;
x
2 ¾
½
3
p
p
1
a
a
a
=
x3 arccos + x x2 ¡ a2 +
ln(x + x2 ¡ z 2 )
3
x 2
2
h¼
i
a
< arccos < ¼ :
2
x
x
dx =
a
Z
arccos
a
1
dx =
x
3
½
x3 arccos
DW
3:
Z
x arccosec
Z
o
h
p
a
a
1n 2
¼i
a
arcsin dx =
x arcsin + a x2 ¡ a2
;
0 < arcsin <
x
2
x
x
2
i
o
h ¼
p
1n 2
a
a
x arcsin ¡ a x2 ¡ a2
=
¡ < arcsin < 0 :
2
x
2
x
x
dx =
a
2.85 Combinations of the arctangent and arccotangent with algebraic functions
2.851
Z
xn arctg
x
xn+1
x
a
dx =
arctg ¡
a
n+1
a
n+1
Z
xn+1 dx
:
a2 + x2
2.852
1:
Z
xn arcctg
x
xn+1
x
a
dx =
arcctg +
a
n+1
a
n+1
Z
xn+1 dx
:
a2 + x2
For n = ¡1
Z
arctg x
dxcannot be expressed as a ¯nite combination of elementary functions.
x
Z
¼
arcctg x
dx = ln x ¡
x
2
1:
Z
x arctg
2:
Z
x arcctg
x
1
x ax
dx = (x2 + a2 ) arcctg +
:
a
2
a
2
3:¤
Z
x2 arctg
x
x3
x a3
ax2
dx =
arctg +
ln(x2 + a2 ) ¡
:
a
3
a
6
6
2:
Z
arctg x
dx:
x
2.853
x
x ax
1
dx = (x2 + a2 ) arctg ¡
:
a
2
a
2
DW
2.854
Z
x
x
1
a2 + x2
1
1
¡
arctg
dx
=
¡
arctg
ln
:
x2
a
x
a
2a
x2
256
2.855
Z
1
arctg x
dx = 2
2
(® + ¯x)
® + ¯2
½
¾
¯ ¡ ®x
® + ¯x
¡
arctg x :
ln p
® + ¯x
1 + x2
2.856
1:
Z
1
1
x arctg x
dx = arctg x ln(1 + x2 ) ¡
2
1+x
2
2
Z
ln(1 + x2 ) dx
:
1 + x2
TI (689)
2:
Z
1
1
x2 arctg x
dx = x arctg x ¡ ln(1 + x2 ) ¡ (arctg x)2 :
2
1+x
2
2
TI (405)
3:
Z
Z
1
1
x3 arctg x
x arctg x
2
dx
=
¡
)
arctg
x
¡
dx:
x+
(1+x
2
1+x
2
2
1 + x2
(see 2:851:)
2.851
4:
Z
2
1
x4 arctg x
dx = ¡ x2 + ln(1 + x2 ) +
1 + x2
6
3
•
¶
1
x3
¡ x arctg x + (arctg x)2 :
3
2
2.857
Z
arctg x dx
=
(1 + x2 )n+1
∙
¸
n (2n ¡ 2k)!!(2n ¡ 1)!!
P
x
1 (2n ¡ 1)!!
+
arctg x arctg x+
2 n¡k+1
2 (2)!!
k=1 (2n)!!(2n ¡ 2k + 1)!! (1 + x )
n
1 P
(2n ¡ 1)!!(2n ¡ 2k)!!
1
+
:
2
2 k=1 (2n)!!(2n ¡ 2k + 1)!!(n ¡ k + 1) (1 + x )n¡k+1
Z
p
p
p
x 2
x arctg x
2
p
dx = ¡ 1 ¡ x arctg x + 2 arctg p
¡ arcsin x:
1 ¡ x2
1 ¡ x2
2.859
Z
r
a + bx2
[a < b];
b¡a
p
p
x arctg x
1
a + bx2 ¡ a ¡ b
p
= p
+ p
ln p
a a + bx2 2a a ¡ b
a + bx2 + a ¡ b
x arctg x
1
p
arctg
dx = p
¡ p
2
2
3
a b¡a
a a + bx
(a + bx )
arctg x
[a > b]:
3.-4. Definite Integrals of Elementary Functions
3.0 Introduction
* We omit the definition of definite and multiple integrals since they are widely known and can easily be found in any textbook on
the subject. Here we give only certain theorems of a general nature which provide estimates, or which reduce the given integral to a
simpler one.
3.01 Theorems of a general nature
3.011
Suppose that f (x) is integrable** A function f (x) is said to be integrable over the interval (p; q), if the integral
Rq
p
f (x) dx exists.
Here, we usually mean the existence of the integral in the sense of Riemann. When it is a matter of the existence of the integral in the
sense of Stieltjes or Lebesgue, etc., we shall speak of integrability in the sense of Stieltjes or Lebesgue.
over the largest of the intervals (p; q); (p; r); (r; q) . Then (depending on the relative positions of the points p, q , and r) it is also
integrable over the other two intervals and we have
Z
q
f (x) dx =
p
Z
r
f (x) dx +
p
Z
q
f (x) dx:
r
FI II 126
3.012
The first mean-value theorem. Suppose (1) that f (x) is continuous and that g(x) is integrable over the interval (p; q) , (2) that
m ∙ f (x) ∙ M
and (3) that g(x) does not change sign anywhere in the interval (p; q) . Then, there exists at least one point
»(p ∙ » ∙ q) such that
Z
q
p
Z q
f (x)g(x) dx = f (») g(x) dx:
p
FI II 132
3.013
The second mean-value theorem. If f (x) is monotonic and non-negative throughout the interval (p; q) , where p < q, and if g(x) is
integrable over that interval, then there exists at least one point » [p ∙ » ∙ q] such that
1:
Z
q
p
Z »
f (x)g(x) dx = f (p) g(x) dx:
p
Under the conditions of Theorem 3.013 1, if f (x) is nondecreasing, then
2:
Z
q
p
Z q
f (x)g(x) dx = f (q) g(x) dx
[p ∙ » ∙ q]:
»
258
If f (x) is monotonic in the interval (p; q) , where p < q, and if g(x) is integrable over that interval, then
3:
Z
q
p
Z »
Z q
f (x)g(x) dx = f (p) g(x) dx + f (q) g(x) dx
p
»
[p ∙ » ∙ q];
or
4:
Z
q
f (x)g(x) dx = A
p
Z
»
g(x) dx + B
p
Z
q
g(x) dx
»
[p ∙ » ∙ q];
where A and B are any two numbers satisfying the conditions
A ¸ f (p + 0)
A ∙ f (p + 0)
and
and
B ∙ f (q ¡ 0)
B ¸ f (q ¡ 0)
[if f decreases ];
[if f increases ]:
In particular,
5:
Z
q
p
Z »
Z q
f (x)g(x) dx = f (p + 0) g(x) dx + f (q ¡ 0) g(x) dx:
p
»
FI II 138
3.02 Change of variable in a definite integral
3.020
Z
¯
f (x) dx =
®
Z
Ã
f [g(t)]g 0 (t) dt;
x = g(t):
'
This formula is valid under the following conditions:
1. f (x) is continuous on some interval A ∙ x ∙ B containing the original limits of integration ® and ¯.
2. The equalities ® = g(') and ¯ = g(Ã) hold.
3. g(t) and its derivative g 0 (t) are continuous on the interval ' ∙ t ∙ Ã .
4. As t varies from ' to Ã, the function g(t) always varies in the same direction from g(') = ® to g(Ã) = ¯ .* If this last
condition is not satisfied, the interval ' ∙ t ∙ Ã should be partitioned into subintervals throughout each of which the condition
is satisfied:
R¯
®
f (x) dx =
R '1
'
f [g(t)]g 0 (t) dt+
R '2
'1
RÃ
f [g(t)]g 0 (t) dt+ ¢ ¢ ¢ + 'n¡1 f [g(t)]g 0 (t) dt:
3.021
The integral
R¯
®
f (x) dx can be transformed into another integral with given limits ' and à by means of the linear substitution
x=
1:
259
Z
¯
®
¯ ¡®
f (x) dx =
á'
Z
¯¡®
®Ã ¡ ¯'
t+
:
á'
á'
Ã
f
'
•
®Ã ¡ ¯'
¯¡®
t+
á'
á'
¶
dt:
In particular, for ' = 0 and à = 1,
2:
Z
¯
®
Z 1
f (x) dx = (¯ ¡ ®) f ((¯ ¡ ®)t + ®) dt:
0
For ' = 0 and à = 1,
3:
Z
¯
®
Z
f (x) dx = (¯ ¡ ®)
1
0
f
•
® + ¯t
1+t
¶
dt
(1 + t)2
3.022
The following formulas also hold:
1:
2:
3:
Z
Z
Z
¯
f (x) dx =
®
¯
f (x) dx =
0
®
f (x) dx =
¡®
Z
Z
¯
f (® + ¯ ¡ x) dx:
®
¯
0
Z
f (¯ ¡ x) dx:
®
¡®
f (¡x) dx:
3.03 General formulas
3.031
1. Suppose that a function f (x) is integrable over the interval (¡p; p) and satisfies the relation f (¡x) = f (x) on that interval. (A
function satisfying the latter condition is called an even function.) Then,
Z
p
f (x) dx = 2
¡p
Z
p
f (x) dx:
0
FI II 159
2. Suppose that f (x) is a function that is integrable on the interval (¡p; p) and satisfies the relation f (¡x) = ¡f (x) on that
interval. (A function satisfying the latter condition is called an odd function). Then,
Z
p
f (x) dx = 0:
¡p
FI II 159
3.032
1:
Z
¼
2
f (sin x) dx =
0
Z
¼
2
f (cos x) dx;
0
where f (x) is a function that is integrable on the interval (0; 1).
FI II 159
2:
Z
2¼
f (p cos x + q sin x) dx = 2
0
Z
¼
0
p
f ( p2 + q2 cos x) dx;
p
p
where f (x) is integrable on the interval (¡ p2 + q 2 ; p2 + q 2 ).
FI II 160
260
3:
Z
¼
2
f (sin 2x) cos x dx =
0
Z
¼
2
f (cos 2 x) cos x dx;
0
where f (x) is integrable on the interval (0; 1).
FI II 161
3.033
1:
If
f (x + ¼) = f (x)
Z
1
0
and
f (x)
f (¡x) = f (x);
sin x
dx =
x
Z
then
¼
2
f (x) dx:
0
2:
f (x + ¼) = ¡f (x)
If
Z
1
0
f (x)
and
f (¡x) = f (x);
sin x
dx =
x
Z
then
¼
2
f (x) cos x dx:
0
LO V 279(4)
In formulas 3.033, it is assumed that the integrals in the left members of the formulas exist.
3.034
Z
1
0
q
f (px) ¡ f (qx)
dx = [f (0) ¡ f (+1)] ln ;
x
p
if f (x) is continuous for x ¸ 0 and if there exists a finite limit f (+1) = lim x!+1 f (x) .
FI II 633
3.035
1:
2:
3:
Z
Z
Z
¼
0
¼
0
¼
0
f (® + exi ) + f (® + e¡xi )
2¼
dx =
f (® + p)
2
1 + 2p cos x + p
1 ¡ p2
[jpj < 1]:
LA 230(16)
1 ¡ p cos x
ff (®+exi )+f (®+e¡xi )g dx = ¼ ff (®+p)+f (®)g
1 ¡ 2p cos x + p2
f (® + e¡xi ) ¡ f (® + exi )
¼
sin x dx = ff (®+p) ¡f (®)g
1 ¡ 2p cos x + p2
pi
[jpj < 1]:
[jpj < 1]:
In formulas 3.035, it is assumed that the function f is analytic in the closed unit circle with its center at the point ®.
3.036
1:
Z
¼
f
0
•
sin2 x
1 + 2p cos x + p2
¶
Z
¼
f (sin2 x) dx
[p2 ¸ 1];
Z0 ¼ • 2 ¶
sin x
=
f
dx
[p2 < 1]:
p2
0
dx =
BE 169
BE 169
2:
Z
¼
0
F (n) (cos x) sin2n x dx = (2n ¡ 1)!!
Z
¼
F (cos x) cos nx dx:
0
BE 174
261
3.037
If f is analytic in the circle of radius r and if
f [r(cos x + i sin x)] = f1 (r; x) + if2 (r; x);
then
1:
Z
1
0
f1 (r; x)
¼
dx =
f (re¡p ):
p2 + x2
2p
LA 230(19)
2:
3:
Z
Z
1
0
f2 (r; x)
x dx
¼
= [f (re¡p ) ¡ f (0)]:
p2 + x2
2
LA 230(20)
1
0
¼
f2 (r; x)
dx = [f (r) ¡ f (0)]:
x
2
LA 230(21)
4:
Z
1
0
f2 (r; x)
¼
dx = 2 [f (r) ¡ f (re¡p )]:
x(p2 + x2 )
2p
LA 230(22)
3.038
Z
1
¡1
p
Z 1
p
x dx
F (qx + p 1 + x2 ) =
F (p ch x + q sh x) sh x dx =
1 + x2
¡1
Z 1
p
= 2q
F 0 (sign p ¢ p2 ¡ q2 ch x) sh2 x dx
0
[F is a function with a continuous derivative in the interval (¡1; 1) ; all these integrals converge.]
3.04 Improper integrals
3.041
Suppose that a function f (x) is defined on an interval (p; +1) and that it is integrable over an arbitrary finite subinterval of the
form (p; P ). Then, by definition
Z
+1
f (x) dx =
p
lim
Z
P
f (x) dx;
P !+1 p
if this limit exists. If it does exist, we say that the integral
integral diverges.
R +1
p
f (x) dx exists or that it converges. Otherwise, we say that the
3.042
Suppose that a function f (x) is bounded and integrable in an arbitrary interval (p; q ¡ ´) (for 0 < ´ < q ¡ p ) but is unbounded in
every interval (q ¡ ´; q) to the left of the point q . The point q is then called a singular point. Then, by definition,
Z
q
f (x) dx = lim
Z
q¡´
´!0 p
p
if this limit exists. In this case, we say that the integral
3.043
f (x) dx;
Rq
p
f (x) dx exists or that it converges.
If not only the integral of f (x) but also the integral of jf (x)j exists, we say that the integral of f (x) converges absolutely.
262
3.044
The integral
R +1
p
f (x) dx converges absolutely if there exists a number ® > 1 such that the limit
lim fx® jf (x)jg
x!+1
exists. On the other hand, if
lim fxjf (x)jg = L > 0;
x!+1
the integral
3.045
R +1
p
jf (x)j dx diverges.
Suppose that the upper limit q of the integral
number ® < 1 such that the limit
Rq
p
f (x) dx is a singular point. Then, this integral converges absolutely if there exists a
lim [(q ¡ x)® jf (x)j]
x!q
exists. On the other hand, if
lim [(q ¡ x)jf (x)j] = L > 0;
x!q
the integral
3.046
Rq
p
f (x) dx diverges.
Suppose that the functions f (x) and g(x) are defined on the interval (p; +1), that f (x) is integrable over every finite interval of
the form (p; P ), that the integral
Z
P
f (x) dx
p
is a bounded function of P , that g(x) is monotonic, and that g(x) ! 0 as x ! +1. Then, the integral
Z
+1
f (x)g(x) dx
p
converges.
FI II 577
3.05 The principal values of improper integrals
3.051
Suppose that a function f (x) has a singular point r somewhere inside the interval (p; q) , that f (x) is defined at r, and that f (x) is
f (x)
r
(p; q)
f (x)
r
f (x)
integrable over every portion of this interval that does not contain
263
the point r . Then, by definition
Z
q
f (x) dx = lim
´!0
´ 0 !0
p
½Z
r¡´
f (x) dx +
p
Z
q
r+´ 0
¾
f (x) dx ;
Here, the limit must exist for independent modes of approach of ´ and ´ 0 to zero. If this limit does not exist but the limit
lim
´!0
½Z
r¡´
f (x) dx +
p
Z
q
r+´
¾
f (x) dx ;
does exist, we say that this latter limit is the Cauchy principal value of the improper integral
Rq
p
f (x) dx exists in the sense of principal values.
Rq
p
f (x) dx and we say that the integral
FI II 603
3.052
Suppose that the function f (x) is continuous over the interval (p; q) and vanishes at only one point r inside this interval. Suppose
that the first derivative f 0 (x) exists in a neighborhood of the point r. Suppose that f 0 (r)=
= 0 and that the second derivative f 00 (r)
exists at the point r itself. Then,
Z
q
p
dx
f (x)
FI II 605
diverges, but exists in the sense of principal values.
3.053
A divergent integral of a positive function cannot exist in the sense of principal values.
3.054
Suppose that the function f (x) has no singular points in the interval (¡1; +1) . Then, by definition
Here, the limit must exist for independent approach of P and Q to §1. If this limit does not exist but the limit
lim
Z
+P
P !+1 ¡P
f (x) dx;
does exist, this last limit is called the principal value of the improper integral
Z
+1
f (x) dx:
¡1
FI II 607
264
3.055
The principal value of an improper integral of an even function exists only when this integral converges (in the ordinary sense).
FI II 607
3.1-3.2 Power and Algebraic Functions
3.11 Rational functions
3.111
Z
1
p + qx
¼
dx =
(p ¡ qr cos ¸)
(principal value¤ )
2 + 2rx cos ¸ + x2
r
r
sin
¸
¡1
(see also 3.194 8. and 3.252 1. and 2. ):
3.252
3.194
* We give the values of proper and improper convergent integrals and also the principal values of divergent integrals (see 3.05) if the
latter exist. Henceforth, we make no special indication of principal values.
BI ((22))(14)
3.112
Integrals of the form
Z
1
gn (x) dx
;
h
¡1 n (x)hn (¡x)
where
gn (x) = b0 x2n¡2 + b1 x2n¡4 + ¢ ¢ ¢ + bn¡1 ;
hn (x) = a0 xn + a1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an
[All roots of hn (x) lie in the upper half-plane.]
1:
Z
1
¼i Mn
gn (x) dx
=
;
h
(x)h
(
¡
x)
a
n
0 ¢n
¡1 n
JE
where
¯
¯ a1
¯
¯ a0
¯
¯ 0
¯
¢n = ¯ ¢
¯
¯ ¢
¯
¯ ¢
¯
0
¯
¯ b0
¯
¯ a0
¯
¯ 0
¯
Mn = ¯ ¢
¯
¯ ¢
¯
¯ ¢
¯
0
265
2:
Z
1
g1 (x) dx
¼ib0
=
:
h
(x)h
(
¡
x)
a
1
0 a1
¡1 1
a3
a2
a1
¢
¢
¢
0
b1
a2
a1
¢
¢
¢
0
a5
a4
a3
¢
¢
¢
0
b2
a4
a3
¢
¢
¢
0
¢¢¢
¢¢¢
¢¢¢
¢
¢
¢
¢¢¢
¢¢¢
¢¢¢
¢¢¢
¢
¢
¢
¢¢¢
¯
0 ¯
¯
0 ¯
¯
0 ¯
¯
¢ ¯;
¯
¢ ¯
¯
¢ ¯
¯
an
¯
bn¡1 ¯
¯
0 ¯
¯
0 ¯
¯
¢ ¯:
¯
¢ ¯
¯
¢ ¯
¯
an
3:8
Z
4:
Z
¡b0 + aa0 2b1
g2 (x) dx
= ¼i
:
a0 a1
¡1 h2 (x)h2 (¡x)
1
a a b2
1
¡a2 b0 + a0 b1 ¡ 0a31
g3 (x) dx
= ¼i
a0 (a0 a3 ¡ a1 a2 )
¡1 h3 (x)h3 (¡x)
:
JE
5:
Z
b0 (¡a1 a4 + a2 a3 ) ¡ a0 a3 b1 + a0 a1 b2 + aa0 b3 (a0 a3 ¡ a1 a2 )
g4 (x) dx
4
= ¼i
:
a0 (a0 a23 + a21 a4 ¡ a1 a2 a3 )
¡1 h4 (x)h4 (¡x)
1
JE
6:
Z
1
M5
g5 (x) dx
= ¼i
;
a0 ¢5
¡1 h5 (x)h5 (¡x)
where
M5 = b0 (¡a0 a4 a5 + a1 a24 + a22 a5 ¡ a2 a3 a4 ) + a0 b1 (¡a2 a5 + a3 a4 ) +
a0 b4
+ a0 b2 (a0 a5 ¡ a1 a4 ) + a0 b3 (¡a0 a3 + a1 a2 ) +
(¡a0 a1 a5 + a0 a23 + a21 a4 ¡ a1 a2 a3 );
a5
¢5 = a20 a25 ¡ 2a0 a1 a4 a5 ¡ a0 a2 a3 a5 + a0 a23 a4 + a21 a24 + a1 a22 a5 ¡ a1 a2 a3 a4 :
JE
3.12 Products of rational functions and expressions that can be reduced to square
roots of first- and second-degree polynomials
3.121
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
1 sin k¸
P
1
dx
p = 2 cosec ¸
:
2
1 ¡ 2x cos ¸ + x
x
k=1 2k ¡ 1
1
dx
¼
p
= p
q ¡ px x(1 ¡ x)
q(q ¡ p)
[0 < p < q]:
BI ((10))(17)
3:
Z
1
dx
1 ¡ 2rx + r 2
0
r
11¨r
1+r
1¨x
¼
=§ ¨
arctg
:
1§x
4r
r 1§r
1¡r
LI ((14))(5, 16)
3.13-3.17 Expressions that can be reduced to square roots of third- and
fourth-degree polynomials and their products with rational functions
In 3.131-3.137 we set: ® = arcsin
q
a¡c
a¡u ,
¯ = arcsin
q
c¡u
b¡u ,
266
° = arcsin
r
{ = arcsin
s
¹ = arcsin
r
u¡c
;
b¡c
s
± = arcsin
(a ¡ c)(u ¡ b)
;
(a ¡ b)(u ¡ c)
u¡a
;
u¡b
(a ¡ c)(b ¡ u)
;
(b ¡ c)(a ¡ u)
¸ = arcsin
º = arcsin
r
r
a¡c
;
u¡c
a¡u
;
a¡b
p=
r
a¡b
;
a¡c
q=
r
b¡c
:
a¡c
3.131
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u
¡1
p
c
u
p
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
p
= p
2
F (®; p)
a¡c
[a > b > c ¸ u]:
BY (231.00)
dx
u
c
dx
= p
2
F (¯; p)
a¡c
[a > b > c > u]:
BY (232.00)
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
= p
2
F (°; q)
a¡c
[a > b ¸ u > c]:
4:
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
Z
b
u
p
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
p
dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
p
dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
p
1
u
= p
2
F ({; p)
a¡c
[a ¸ u > b > c]:
= p
2
F (¸; p)
a¡c
[a > u ¸ b > c]:
BY (236.00)
u
a
[a > b > u ¸ c]:
>BY (235.00)>
a
u
2
F (±; q)
a¡c
BY (234.00)
u
b
= p
dx
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)
= p
2
F (¹; q)
a¡c
[u > a > b > c]:
BY (237.00)
p
dx
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)
= p
2
F (º; q)
a¡c
[u ¸ a > b > c]:
BY (238.00)
3.132
1:
Z
c
u
r
2
(a ¡ u)(c ¡ u)
p
[cF (¯; p)+(a¡c)E(¯; p)]¡2
= p
b¡u
a¡c
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
[a > b > c > u]:
x dx
BY (232.19)
2:
Z
u
p
c
x dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
= p
p
2a
F (°; q)¡2 a ¡ cE(°; q)
a¡c
[a > b ¸ u > c]:
BY (233.17)
267
3:
Z
b
u
p
x dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
= p
2
[(b¡a)¦(±; q2 ; q)+aF (±; q)]
a¡c
[a > b > u ¸ c]:
Z
4:
Z
5:
Z
6:
u
p
b
x dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
u
x dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
u
p
a
2
[(b¡c)¦({; p2 ; p)+cF ({; p)]
a¡c
[a ¸ u > b > c]:
BY (235.16)
a
p
= p
= p
p
2c
F (¸; p)+2 a ¡ cE(¸; p)
a¡c
[a > u ¸ b > c]:
BY (236.16)
x dx
2
= p
[a(a¡b)¦(¹; 1; q)+b2 F (¹; q)]
b a¡c
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)
[u > a > b > c]:
BY (237.16)
3.133
1:
2:
8
Z
Z
u
¡1
c
u
p
dx
(a ¡
x)3 (b
¡ x)(c ¡ x)
=
2
p
[F (®; p)¡E(®; p)]
(a ¡ b) a ¡ c
[a > b > c ¸ u]:
BY (231.08)
dx
2
2
p
p
=
[F (¯; p)¡E(¯; p)]+
a¡c
(a ¡ b) a ¡ c
(a ¡ x)3 (b ¡ x)(c ¡ x)
[a > b > c > u]:
r
c¡u
(a ¡ u)(b ¡ u)
BY (232.13)
3:
Z
u
p
c
dx
(a ¡
x)3 (b
¡ x)(x ¡ c)
=
2
p
E(°; q) ¡
(a ¡ b) a ¡ c
r
(b ¡ u)(u ¡ c)
2
¡
(a ¡ b)(a ¡ c)
a¡u
[a > b ¸ u > c]:
BY (233.09)
4:
5:
Z
Z
b
u
u
b
p
dx
(a ¡
x)3 (b
¡ x)(x ¡ c)
=
2
p
E(±; q)
(a ¡ b) a ¡ c
[a > b > u ¸ c]:
BY (234.05)
dx
2
2
p
p
=
[F ({; p)¡E({; p)]+
3
a¡b
(a ¡ b) a ¡ c
(a ¡ x) (x ¡ b)(x ¡ c)
[a > u > b > c]:
s
u¡b
(a ¡ u)(u ¡ c)
6:
Z
1
u
s
2
2
u¡b
p
p
=
E(º; q)+
a ¡ b (u ¡ a)(u ¡ c)
(b ¡ a) a ¡ c
(x ¡ a)3 (x ¡ b)(x ¡ c)
[u > a > b > c]:
dx
BY (238.05)
268
7:
8:
Z
Z
p
2 a¡c
2
p
p
E(®; p)¡
=
F (®; p)¡
3
(a ¡ b)(b ¡ c)
(a ¡ b) a ¡ c
(a ¡ x)(b ¡ x) (c ¡ x)
¡1
r
c¡u
2
¡
[a > b > c ¸ u]:
b ¡ c (a ¡ u)(b ¡ u)
u
c
u
dx
BY (231.09)
p
2 a¡c
2
p
p
=
E(¯; p)¡
F (¯; p)
3
(a
¡
b)(b
¡
c)
(a ¡ b) a ¡ c
(a ¡ x)(b ¡ x) (c ¡ x)
[a > b > c > u]:
dx
BY (232.14)
9:
Z
u
c
p
2
2 a¡c
p
p
=
F (°; q)¡
E(°; q)+
(a ¡ b)(b ¡ c)
(b ¡ c) a ¡ c
(a ¡ x)(b ¡ x)3 (x ¡ c)
r
2
(a ¡ u)(u ¡ c)
+
[a > b > u > c]:
(a ¡ b)(b ¡ c)
b¡u
dx
BY (233.10)
10:
Z
a
u
p
2
2 a¡c
p
p
=
F (¸; p)¡
E(¸; p)+
(a ¡ b)(b ¡ c)
(a ¡ b) a ¡ c
(a ¡ x)(x ¡ b)3 (x ¡ c)
r
2
(a ¡ u)(u ¡ c)
+
[a > u > b > c]:
(a ¡ b)(b ¡ c)
u¡b
dx
BY (236.09)
11:
Z
u
a
p
2 a¡c
2
p
p
=
E(¹; q)¡
F (¹; q)
(a ¡ b)(b ¡ c)
(b ¡ c) a ¡ c
(x ¡ a)(x ¡ b)3 (x ¡ c)
[u > a > b > c]:
dx
12:
13:
Z
Z
1
u
p
dx
(x ¡ a)(x ¡ b)3 (x ¡ c)
u
¡1
p
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)3
=
p
2 a¡c
2
p
E(º; q)¡
F (º; q)
(a ¡ b)(b ¡ c)
(b ¡ c) a ¡ c
r
2
u¡a
¡
[u ¸ a > b > c]:
a ¡ b (u ¡ b)(u ¡ c)
BY (238.04)
s
2
2
b¡u
p
=
E(®; p)+
b ¡ c (a ¡ u)(c ¡ u)
(c ¡ b) a ¡ c
[a > b > c > u]:
BY (231.10)
14:
Z
b
u
p
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)3
s
2
2
b¡u
p
=
[F (±; q)¡E(±; q)]+
b ¡ c (a ¡ u)(u ¡ c)
(b ¡ c) a ¡ c
[a > b > u > c]:
BY (234.04)
15:
Z
u
p
b
dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡
c)3
=
2
p
E({; p)
(b ¡ c) a ¡ c
[a ¸ u > b > c]:
BY (235.01)
269
16:
17:
Z
Z
a
u
p
dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)3
u
p
a
dx
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)3
r
2
2
(a ¡ u)(u ¡ b)
p
=
E(¸; p)¡
(b ¡ c)(a ¡ c)
u¡c
(b ¡ c) a ¡ c
[a > u ¸ b > c]:
=
BY (236.10)
r
2
2
u¡a
p
[F (¹; q)¡E(¹; q)]+
a ¡ c (u ¡ b)(u ¡ c)
(b ¡ c) a ¡ c
[u > a > b > c]:
BY (237.13)
18:
Z
1
u
p
dx
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)3
=
2
p
[F (º; q)¡E(º; q)]
(b ¡ c) a ¡ c
[u ¸ a > b > c]:
BY (238.03)
3.134
1:
Z
u
¡1
=
p
dx
(a ¡
3(a ¡
x)5 (b
2
p
¡ x)(c ¡ x)
=
[(3a ¡ b ¡ 2c)F (®; p) ¡ 2(2a ¡ b ¡ c)E(®; p)] +
s
2
(c ¡ u)(b ¡ u)
[a > b > c ¸ u]:
+
3(a ¡ c)(a ¡ b)
(a ¡ u)3
b)2
(a ¡ c)3
BY (231.08)
2:
Z
c
dx
p
=
(a ¡ x)5 (b ¡ x)(c ¡ x)
2
p
=
[(3a ¡ b ¡ 2c)F (¯; p) ¡ 2(2a ¡ b ¡ c)E(¯; p)] +
3(a ¡ b)2 (a ¡ c)3
r
2[4a2 ¡ 3ab ¡ 2ac + bc ¡ u(3a ¡ 2b ¡ c)]
c¡u
+
[a > b > c > u]:
2
3(a ¡ b)(a ¡ c)
(a ¡ u)3 (b ¡ u)
u
BY (232.13)
3:
Z
u
c
=
p
dx
(a ¡
x)5 (b
2
p
¡ x)(x ¡ c)
=
[2(2a ¡ b ¡ c)E(°; q) ¡ (a ¡ b)F (°; q)] ¡
s
2[5a2 ¡ 3ab ¡ 3ac + bc ¡ 2u(2a ¡ b ¡ c)]
(b ¡ u)(u ¡ c)
¡
3(a ¡ b)2 (a ¡ c)2
(a ¡ u)3
3(a ¡
b)3
(a ¡ c)3
[a > b ¸ u > c]:
BY (233.09)
270
4:
Z
b
u
p
dx
(a ¡
=
x)5 (b
b)2
¡ x)(x ¡ c)
3(a ¡
s
(b ¡ u)(u ¡ c)
2
¡
3(a ¡ b)(a ¡ c)
(a ¡ u)3
2
p
(a ¡ c)3
[2(2a¡b¡c)E(±; q)¡(a¡b)F (±; q)]¡
[a > b > u ¸ c]:
BY (234.05)
5:
Z
u
b
=
p
dx
(a ¡
3(a ¡
x)5 (x
b)2
2
p
¡ b)(x ¡ c)
(a ¡ c)3
=
[(3a ¡ b ¡ 2c)F ({; p) ¡ 2(2a ¡ b ¡ c)E({; p)] +
2[4a2 ¡ 2ab ¡ 3ac + bc ¡ u(3a ¡ b ¡ 2c)]
+
3(a ¡ b)2 (a ¡ c)
s
u¡b
(a ¡ u)3 (u ¡ c)
[a > u > b > c]:
6:
Z
1
p
u
=
dx
(x ¡
3(a ¡
a)5 (x
b)2
2
p
¡ b)(x ¡ c)
(a ¡ c)3
=
[2(2a ¡ b ¡ c)E(º; q) ¡ (a ¡ b)F (º; q)] +
2[4a2 ¡ 2ab ¡ 3ac + bc + u(b + 2c ¡ 3a)]
+
3(a ¡ b)2 (a ¡ c)
s
u¡b
(u ¡ a)3 (u ¡ c)
[u > a > b > c]:
BY (238.05)
7:
Z
u
p
dx
=
(a ¡ x)(b ¡ x)5 (c ¡ x)
2
p
£
=
2
3(a ¡ b) (b ¡ c)2 a ¡ c
£ [2(a ¡ c)(a + c ¡ 2b)E(®; p) + (b ¡ c)(3b ¡ a ¡ 2c)F (®; p)] ¡
r
2[3ab ¡ ac + 2bc ¡ 4b2 ¡ u(2a ¡ 3b + c)]
c¡u
¡
[a > b > c ¸ u]:
3(a ¡ b)(b ¡ c)2
(a ¡ u)(b ¡ u)3
¡1
BY (231.09)
8:
Z
c
p
dx
=
(a ¡ x)(b ¡ x)5 (c ¡ x)
2
p
=
£
3(a ¡ b)2 (b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(b ¡ c)(3b ¡ a ¡ 2c)F (¯; p) + 2(a ¡ c)(a ¡ 2b + c)E(¯; p)] +
s
2
(a ¡ u)(c ¡ u)
+
[a > b > c > u]:
3(a ¡ b)(b ¡ c)
(b ¡ u)3
u
BY (232.14)
271
9:
Z
u
p
dx
=
(a ¡ x)(b ¡ x)5 (x ¡ c)
2
p
£
=
2
3(a ¡ b) (b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(a ¡ b)(2a ¡ 3b + c)F (°; q) + 2(a ¡ c)(2b ¡ a ¡ c)E(°; q)] +
s
2[3ab + 3bc ¡ ac ¡ 5b2 ¡ 2u(a ¡ 2b + c)]
(a ¡ u)(u ¡ c)
+
[a > b > u > c]:
3(a ¡ b)2 (b ¡ c)2
(b ¡ u)3
c
BY (233.10)
10:
Z
a
p
dx
=
(a ¡ x)(x ¡ b)5 (x ¡ c)
2
p
£
=
2
3(a ¡ b) (b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(b ¡ c)(3b ¡ 2c ¡ a)F (¸; p) + 2(a ¡ c)(a + c ¡ 2b)E(¸; p)] +
u
11:
Z
u
p
dx
=
(x ¡ a)(x ¡ b)5 (x ¡ c)
2
p
£
=
2
3(a ¡ b) (b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(a ¡ b)(2a + c ¡ 3b)F (¹; q) + 2(a ¡ c)(2b ¡ a ¡ c)E(¹; q)] +
s
2
(u ¡ a)(u ¡ c)
+
[u > a > b > c]:
3(a ¡ b)(b ¡ c)
(u ¡ b)3
a
BY (237.12)
12:
Z
1
p
dx
=
(x ¡ a)(x ¡ b)5 (x ¡ c)
2
p
=
£
3(a ¡ b)2 (b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(a ¡ b)(2a + c ¡ 3b)F (º; q) + 2(a ¡ c)(2b ¡ c ¡ a)E(º; q)] ¡
r
2[3bc + 2ab ¡ ac ¡ 4b2 + u(3b ¡ a ¡ 2c)]
u¡a
¡
2
3(a ¡ b) (b ¡ c)
(u ¡ b)3 (u ¡ c)
u
[u ¸ a > b > c]:
BY (238.04)
272
13:
Z
u
p
dx
=
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)5
2
p
=
[2(a + b ¡ 2c)E(®; p) ¡ (b ¡ c)F (®; p)] +
2
3(b ¡ c) (a ¡ c)3
s
2[ab ¡ 3ac ¡ 2bc + 4c2 + u(2a + b ¡ 3c)]
b¡u
+
2
3(a ¡ c)(b ¡ c)
(a ¡ u)(c ¡ u)3
¡1
[a > b > c > u]:
BY (231.10)
14:
Z
b
p
dx
=
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)5
2
p
=
[(2a + b ¡ 3c)F (±; q) ¡ 2(a + b ¡ 2c)E(±; q)] +
2
3(b ¡ c) (a ¡ c)3
s
2[ab ¡ 3ac ¡ 2bc + 4c2 + u(2a + b ¡ 3c)]
b¡u
+
[a > b > u > c]:
3(b ¡ c)2 (a ¡ c)
(a ¡ u)(u ¡ c)3
u
BY (234.04)
BY (235.20)
16:
Z
a
dx
p
=
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)5
2
p
[2(a + b ¡ 2c)E(¸; p) ¡ (b ¡ c)F (¸; p)] ¡
=
3(b ¡ c)2 (a ¡ c)3
s
(a ¡ u)(u ¡ b)
2[ab ¡ 3ac ¡ 3bc + 5c2 + 2u(a + b ¡ 2c)]
¡
2
2
3(b ¡ c) (a ¡ c)
(u ¡ c)3
u
[a > u ¸ b > c]:
BY (236.10)
17:
Z
u
p
dx
=
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)5
2
p
=
[(2a + b ¡ 3c)F (¹; q) ¡ 2(a + b ¡ 2c)E(¹; q)] +
3(b ¡ c)2 (a ¡ c)3
r
2[4c2 ¡ ab ¡ 2ac ¡ bc + u(3a + 2b ¡ 5c)]
u¡a
+
[u > a > b > c]:
2
3(b ¡ c)(a ¡ c)
(u ¡ b)(u ¡ c)3
a
BY (237.13)
273
18:
Z
1
p
dx
=
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)5
2
p
[(2a + b ¡ 3c)F (º; q) ¡ 2(a + b ¡ 2c)E(º; q)] +
=
2
3(b ¡ c) (a ¡ c)3
s
2
(u ¡ a)(u ¡ b)
+
[u ¸ a > b > c]:
3(a ¡ c)(b ¡ c)
(u ¡ c)3
u
BY (238.03)
3.135
1:6
2:
Z
Z
u
¡1
p
a
u
p
dx
(a ¡ x)(b ¡
x)3 (c
¡
x)3
dx
(a ¡ x)(x ¡ b)3 (x ¡ c)3
=
=
2
p
£
(a ¡ b)(b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(b ¡ c)F (®; p) ¡ (2a ¡ b ¡ c)E(®; p)] +
2(b + c ¡ 2u)
p
+
[a > b > c > u]:
2
(b ¡ c) (a ¡ u)(b ¡ u)(c ¡ u)
2
p
£
(a ¡ b)(b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(b ¡ c)F (¸; p) ¡ 2(2a ¡ b ¡ c)E(¸; p)] +
r
2(a ¡ b ¡ c + u)
a¡u
+
[a > u > b > c]:
BY (231.13)}
3:
Z
u
p
a
dx
b)3 (x
(x ¡ a)(x ¡
¡
c)3
=
2
p
£
(a ¡ b)(b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(2a ¡ b ¡ c)E(¹; q) ¡ 2(a ¡ b)F (¹; q)] +
r
2
u¡a
+
[u > a > b > c]:
(a ¡ c)(b ¡ c) (u ¡ b)(u ¡ c)
BY (236.14)
4:
Z
1
u
p
dx
(x ¡ a)(x ¡
b)3 (x
¡
c)3
=
2
p
£
(a ¡ b)(b ¡ c)2 a ¡ c
£ [(2a ¡ b ¡ c)E(º; q) ¡ 2(a ¡ b)F (º; q)] ¡
r
u¡a
2
¡
[u ¸ a > b > c]:
(a ¡ b)(b ¡ c) (u ¡ b)(u ¡ c)
BY (238.13)
274
5:
Z
u
¡1
p
dx
(a ¡
x)3 (b
¡ x)(c ¡
x)3
=
2
p
£
(a ¡ b)(b ¡ c) (a ¡ c)3
£ [(2b ¡ a ¡ c)E(®; p) ¡ (b ¡ c)F (®; p)] +
s
2
b¡u
+
[a > b > c > u]:
(b ¡ c)(a ¡ c) (a ¡ u)(c ¡ u)
BY(231.12)
6:
Z
b
u
p
dx
(a ¡
x)3 (b
¡ x)(x ¡
c)3
=
2
p
£
(b ¡ c)(a ¡ b) (a ¡ c)3
£ [(a ¡ b)F (±; q) + (2b ¡ a ¡ c)E(±; q)] +
s
2
b¡u
+
[a > b > u > c]:
(b ¡ c)(a ¡ c) (a ¡ u)(u ¡ c)
BY (234.03)
7:
Z
u
b
p
dx
(a ¡
x)3 (x
¡ b)(x ¡
c)3
=
2
p
£
(a ¡ b)(b ¡ c) (a ¡ c)3
£ [(b ¡ c)F ({; p) ¡ (2b ¡ a ¡ c)E({; p)] +
s
2
u¡b
+
[a > u > b > c]:
(a ¡ b)(a ¡ c) (a ¡ u)(u ¡ c)
Z
8:
1
u
p
dx
(x ¡
a)3 (x
¡ b)(x ¡
=
c)3
2
p
£
(a ¡ b)(b ¡ c) (a ¡ c)3
£ [(a + c ¡ 2b)E(º; q) ¡ (a ¡ b)F (º; q)] +
s
2
u¡b
[u > a > b > c]:
+
(a ¡ b)(a ¡ c) (u ¡ a)(u ¡ c)
BY (238.14)
9:
8
Z
u
¡1
p
dx
(a ¡
x)3 (b
¡
x)3 (c
¡ x)
=
2
p
£
(b ¡ c)(a ¡ b)2 a ¡ c
£[(a+b¡2c)E(®; p)¡2(b¡c)F (®; p)]¡
r
2
c¡u
¡
[a > b > c ¸ u]:
(a ¡ b)(b ¡ c) (a ¡ u)(b ¡ u)
BY (231.11)
10:
Z
c
u
p
dx
(a ¡
x)3 (b
¡
x)3 (c
¡ x)
=
2
p
£
(a ¡
¡ c) a ¡ c
£ [(a + b ¡ 2c)E(¯; p) ¡ 2(b ¡ c)F (¯; p)] +
r
2
c¡u
+
[a > b > c > u]:
(a ¡ b)(a ¡ c) (a ¡ u)(b ¡ u)
b)2 (b
BY (232.15)
275
11:
Z
u
p
c
dx
(a ¡ x)3 (b ¡ x)3 (x ¡ c)
=
2
p
£
(a ¡
¡ c) a ¡ c
£ [(a ¡ b)F (°; q) ¡ (a + b ¡ 2c)E(°; q)] +
r
2[a2 + b2 ¡ ac ¡ bc ¡ u(a + b ¡ 2c)]
u¡c
+
2
(a ¡ b) (b ¡ c)(a ¡ c)
(a ¡ u)(b ¡ u)
[a > b > u > c]:
b)2 (b
BY (233.11)
12:
Z
1
u
p
dx
(x ¡ a)3 (x ¡ b)3 (x ¡ c)
=
2
p
£
(a ¡
¡ c) a ¡ c
£ [(a ¡ b)F (º; q) ¡ (a + b ¡ 2c)E(º; q)] +
2u ¡ a ¡ b
p
+
[u > a > b > c]:
2
(a ¡ b) (u ¡ a)(u ¡ b)(u ¡ c)
3.136
1:
Z
u
p
dx
=
¡ x)3 (c ¡ x)3
2
p
=
£
2
(a ¡ b) (b ¡ c)2 (a ¡ c)3
¡1
(a ¡
x)3 (b
b)2 (b
BY (238.15)
2:
Z
1
u
p
dx
=
¡ b)3 (x ¡ c)3
2
p
=
£
2
(a ¡ b) (b ¡ c)2 (a ¡ c)3
£ [(a ¡ b)(2a ¡ b ¡ c)F (º; q) ¡ 2(a2 + b2 + c2 ¡ ab ¡ ac ¡ bc)E(º; q)] +
2[u(a + b ¡ 2c) ¡ a(a ¡ c) ¡ b(b ¡ c)]
p
+
[u > a > b > c]:
(a ¡ b)2 (a ¡ c)(b ¡ c) (u ¡ a)(u ¡ b)(u ¡ c)
(x ¡
a)3 (x
BY (238.16}
3.137
1:
Z
¸
∙ •
¶
a¡r
2
p
p
¦ ®;
=
; p ¡ F (®; p)
a¡c
(a ¡ r) a ¡ c
¡1 (r ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
[a > b > c ¸ u]:
u
dx
BY (231.15)
276
2:
Z
c
u
dx
2(c ¡ b)
p
p
£
=
(r
¡
b)(r
¡ c) a ¡ c
(r ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
•
¶
r¡b
2
p
£¦ ¯;
;p +
F (¯; p)
r¡c
(r ¡ b) a ¡ c
[a > b > c > u; r=
= 0]:
BY (232.17)
3:
4:
Z
Z
u
c
b
u
•
¶
dx
b¡c
2
p
p
=
¦ °;
;q
r¡c
(r ¡ c) a ¡ c
(r ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
[a > b ¸ u > c; r=
= c]:
BY (233.02)
dx
2
p
p
£
=
(r
¡
a)(r
¡
b) a ¡ c
(r ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
∙
•
¶
¸
2r ¡a
£ (b ¡ a)¦ ±; q
; q + (r ¡ b) F (±; q)
r¡b
[a > b > u ¸ c; r=
= b]:
BY (234.18)
BY (235.17)
6:8
7:
Z
Z
a
u
u
a
•
¶
dx
2
a¡b
p
p
;p
=
¦ ¸;
a¡r
(a ¡ r) a ¡ c
(x ¡ r) (a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
[a > u ¸ b > c; r=
= a]:
BY (236.02)
dx
2
p
p
£
=
(b ¡ r)(a ¡ r) a ¡ c
(x ¡ r) (x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)
¶
¸
∙
•
b¡r
£ (b ¡ a)¦ ¹;
; q + (a ¡ p) F (¹; q)
a¡b
[u > a > b > c; r=
= a]:
BY (237.17)
8:
Z
1
u
∙ •
¶
¸
2
r¡c
p
p
=
¦ º;
; q ¡ F (º; q)
a¡c
(r ¡ c) a ¡ c
(x ¡ r) (x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)
[u ¸ a > b > c]:
dx
BY (238.06)
3.138
1:
2:
Z
Z
u
p
0
1
u
p
dx
p
= 2F (arcsin
x(1 ¡ x)(1 ¡ k2 x)
u; k)
[0 < u < 1]:
PE (532), JA
dx
x(1 ¡ x)(k 02 + k2 x)
= 2F (arccos
p
u; k)
[0 < u < 1]:
PE(533)
277
3:
4:
Z
Z
1
u
p
dx
x(1 ¡ x)(x ¡ k 02 )
u
0
p
= 2F
dx
x(1 + x)(1 +
k02 x)
•
arcsin
p
1¡u
;k
k
¶
[0 < u < 1]:
PE (534)
= 2F (arctg
p
u; k)
[0 < u < 1]:
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
u
p
0
p
u
u
3:
Z
Z
Z
dx
x[k 02 (1 + x2 ) + 2(1 + k 2 )x]
1
p
= p F
2
2
p
(® ¡ x)[(x ¡ m) + n ]
p
8
[0 < u < 1]:
³¼
2
2 arctg
r
2 arcctg
r
•
•
¡ 2 arctg
p
u; k
u¡®
;
p
®¡u
;
p
´
r
[0 < u < 1]:
JA
p+m¡®
2p
r
¶
[® < u];
¶
[u < ®];
p¡m+®
2p
p
p
3¡1+u
1¡ 3¡u
p
® = arccos
; ¯ = arccos p
;
1+ p
3¡u
3+1¡u p
3+1¡u
u¡1¡ 3
p :
° = arccos p
; ± = arccos
3¡1+u
u¡1+ 3
¡1
p
1
u
u; k)
(m ¡ ®)2 + n2 .
u
p
dx
1
= p
F (®; sin 75± ):
4
3
1¡x
3
dx
1
= p
F (¯; sin 75± ):
4
3
1¡x
3
u
1
=F
dx
u
p
JA
1
p
= p F
2
2
p
(x ¡ ®)[(x ¡ m) + n ]
a
Notation:
= F (2 arctg
dx
a
3.139
2:
x[1 + x2 + 2(k 02 ¡ k2 )x]
1
where p =
1:8
dx
p
dx
1
= p
F (°; sin 15± ):
4
x3 ¡ 1
3
ZH 66 (285)
ZH 65 (284)
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1
u
p
1
p
0
1
0
1
dx
= p
F (±; sin 15± ):
4
3
x ¡1
3
dx
1
p p
=
1 ¡ x3
2¼ 3 3 2
ZH 65 (282)
½ • ¶¾ 3
1
¡
:
3
MO 9
p ½ • ¶¾ 3
2
x dx
1 3
p
= p
¡
:
3
3
¼ 4
3
1¡x
Z 1p
u
1 ¡ x3 dx =
MO 9
p
1 p
4
f 27F (¯; sin 75± ) ¡ 2u 1 ¡ u3 g:
5
BY (244.01)
278
8:
9:
10:
11:
Z
Z
Z
Z
1
u
1
u
u
1
p
x dx
1 ¡ x3
= (3
¡ 41
p
2 1 ¡ u3
¡ 3 )F (¯; sin 75 ) +2 3E(¯; sin 75 ) ¡ p
:
3+1¡u
1
4
±
p
4
±
p
Z
xm dx
2um¡2 1 ¡ u3
2(m ¡ 2) 1 xm¡3 dx
p
p
=
+
:
2m ¡ 1
2m ¡ 1 u 1 ¡ x3
1 ¡ x3
p
p
x dx
1
2 u3 ¡ 1
4
¡ 14
±
±
4
p
= (3 +3 )F (°; sin 15 ) ¡ 2 3E(°; sin 15 )+ p
:
x3 ¡ 1
3¡1+u
p
dx
1
2
1 + u + u2
±
±
p
p
= p
[F (®; sin 75 )¡2E(®; sin 75 )]+ p
p
4
3
27
3 (1 + 3 ¡ u) 1 ¡ u
¡1 (1 ¡ x) 1 ¡ x
[u=
= 1]:
u
BY (244.05)
BY (244.07)
BY (240.05)
12:
Z
1
u
p
dx
1
2
1 + u + u2
±
±
p
p p
p
= p
[F
(±;
sin
15
)
¡
2E(±;
sin
15
)]+
4
(x ¡ 1) x3 ¡ 1
27
3 (u ¡ 1 + 3) u ¡ 1
[u=
= 1]:
BY (242.03)
13:
Z
p
(1 ¡ x) dx
2¡ 3
p
p
= p
[F (®; sin 75± ) ¡ E(®; sin 75± )]:
4
3 ¡ x)2 1 ¡ x3
27
¡1 (1 +
u
BY (246.07)
14:
Z
1
u
p
2¡ 3
(1 ¡ x) dx
p
p
= p
[F (¯; sin 75± ) ¡ E(¯; sin 75± )]:
4
(1 + 3 ¡ x)2 1 ¡ x3
27
BY (244.04)
15:
16:
17:
Z
Z
Z
u
1
p
p
p
(x ¡ 1) dx
2( 3 ¡ 2)
u3 ¡ 1
2¡ 3
p
p
p
=
¡ p
E(°; sin 15± ):
4
u2 ¡ 2u ¡ 2
(1 + 3 ¡ x)2 x3 ¡ 1
3
27
1
u
p
p
p
(x ¡ 1) dx
2(2 ¡ 3)
u3 ¡ 1
2¡ 3
p
p
p
=
¡ p
E(±; sin 15± ):
4
u2 ¡ 2u ¡ 2
(1 + 3 ¡ x)2 x3 ¡ 1
3
27
BY (240.08)
BY (242.07)
#
p " p p
(1 ¡ x) dx
2 + 3 2 4 3 1 ¡ u3
±
p
p
= p
¡ E(®; sin 75 ) :
4
u2 ¡ 2u ¡ 2
3 ¡ x)2 1 ¡ x3
27
¡1 (1 ¡
u
BY (246.08)
18:
Z
u
1
p
(x ¡ 1) dx
2+ 3
p
p
= p
[F (°; sin 15± ) ¡ E(°; sin 15± )]:
4
(1 ¡ 3 ¡ x)2 x3 ¡ 1
27
BY (240.04)
19:
Z
1
u
p
(x ¡ 1) dx
2+ 3
p
p
= p
[F (±; sin 15± ) ¡ E(±; sin 15± )]:
4
(1 ¡ 3 ¡ x)2 x3 ¡ 1
27
BY (242.05)
BY (242.05)
20:
Z
u
(x2 + x + 1) dx
1
p
p
= p
E(®; sin 75± ):
4
2
3
3 ¡ x) 1 ¡ x
3
¡1 (1 +
BY (246.01)
21:
Z
1
u
(x2 + x + 1) dx
1
p p
= p
E(¯; sin 75± ):
4
(x ¡ 1 + 3)2 1 ¡ x3
3
BY (244.02)
279
22:
Z
u
1
1
(x2 + x + 1) dx
p
p
= p
E(°; sin 15± ):
4
2
3
( 3 + x ¡ 1) x ¡ 1
3
BY (240.01)
23:
Z
1
u
(x2 + x + 1) dx
1
p p
= p
E(±; sin 15± ):
4
2
3
(x ¡ 1 + 3) x ¡ 1
3
BY (242.01)
24:
25:
Z
Z
u
1
p
4
2+ 3
(x ¡ 1) dx
±
p
= p
E(°; sin 15 ) ¡ p
F (°; sin 15± ) ¡
4
4
(x2 + x + 1) x3 ¡ 1
27
27
p
p
2 ¡ 3 2(u ¡ 1)( 3 + 1 ¡ u)
p
p
¡ p
3 ( 3 ¡ 1 + u) u3 ¡ 1
BY (240.09)
p
(1 + 3 ¡ x)2 dx
1
p
p
p
= p
¦(®; p2 ; sin 75± ):
4
2
2
3
3 ¡ x) ¡ 4 3p (1 ¡ x)] 1 ¡ x
3
¡1 [(1 +
u
BY (246.02)
26:
Z
1
u
p
(1 + 3 ¡ x)2 dx
1
p
p
p
= p
¦(¯; p2 ; sin 75± ):
4
[(1 + 3 ¡ x)2 ¡ 4 3p2 (1 ¡ x)] 1 ¡ x3
3
BY (244.03)
BY (240.02)
28:
Z
1
u
p
(1 ¡ 3 ¡ x)2 dx
1
p
p
p
= p
¦(±; p2 ; sin 15± ):
4
[(1 ¡ 3 ¡ x)2 ¡ 4 3p2 (x ¡ 1)] x3 ¡ 1
3
BY (242.02)
q
q
q
q
(a¡c)(b¡u)
a¡c
u¡c
, ¯ = arcsin c¡u
,
,
In 3.141 and 3.142 we set: ® = arcsin a¡u
°
=
arcsin
±
=
arcsin
b¡u
b¡c
(b¡c)(a¡u) ,
q
q
q
q
q
q
a¡u
u¡a
a¡c
a¡b
b¡c
,
,
,
,
,
¸
=
arcsin
¹
=
arcsin
º
=
arcsin
p
=
q
=
{ = arcsin (a¡c)(u¡b)
(a¡b)(u¡c)
a¡b
u¡b
u¡c
a¡c
a¡c .
3.141
1:
Z cr
u
r
p
a¡x
(a ¡ u)(c ¡ u)
dx = 2 a ¡ c[F (¯; p) ¡ E(¯; p)] + 2
(b ¡ x)(c ¡ x)
b¡u
[a > b > c > u]:
BY (232.06)
2:
Z
c
ur
p
a¡x
dx = 2 a ¡ cE(°; q)
(b ¡ x)(x ¡ c)
[a > b ¸ u > c]:
BY (233.01)
3:
Z br
u
p
a¡x
dx = 2 a ¡ cE(±; q)¡2
(b ¡ x)(x ¡ c)
r
(b ¡ u)(u ¡ c)
a¡u
[a > b > u ¸ c]:
BY (234.06)
280
4:
Z
b
ur
p
a¡x
dx = 2 a ¡ c[F ({; p) ¡E({; p)]+2
(x ¡ b)(x ¡ c)
r
(a ¡ u)(u ¡ b)
u¡c
[a ¸ u > b > c]:
BY (235.07)
5:
Z ar
u
p
a¡x
dx = 2 a ¡ c[F (¸; p) ¡ E(¸; p)]
(x ¡ b)(x ¡ c)
[a > u ¸ b > c]
BY (236.04)
BY (237.03)
7:
Z cs
u
r
p
b¡x
2(b ¡ c)
(a ¡ u)(c ¡ u)
dx = p
F (¯; p)¡2 a ¡ cE(¯; p)+2
(a ¡ x)(c ¡ x)
b¡u
a¡c
[a > b > c > u]:
BY (232.07)
8:
Z
u
c
s
p
b¡x
2(a ¡ b)
dx = 2 a ¡ cE(°; q)¡ p
F (°; q)
(a ¡ x)(x ¡ c)
a¡c
[a > b ¸ u > c]:
BY (233.04)
9:
Z bs
u
10:
11:
Z
u
b
s
p
b¡x
2(a ¡ b)
dx = 2 a ¡ cE(±; q)¡ p
F (±; q)¡2
(a ¡ x)(x ¡ c)
a¡c
r
(b ¡ u)(u ¡ c)
a¡u
[a > b > u ¸ c]:
p
2(b ¡ c)
x¡b
dx = 2 a ¡ cE({; p)¡ p
F ({; p)¡2
(a ¡ x)(x ¡ c)
a¡c
r
(a ¡ u)(u ¡ b)
u¡c
[a ¸ u > b > c]:
Z as
u
p
x¡b
2(b ¡ c)
dx = 2 a ¡ cE(¸; p)¡ p
F (¸; p)
(a ¡ x)(x ¡ c)
a¡c
BY (234.07)
BY (235.06)
[a > u ¸ b > c]:
BY (236.03)
12:
Z
u
a
s
r
p
x¡b
2(a ¡ b)
(u ¡ a)(u ¡ c)
F (¹; q)¡2 a ¡ cE(¹; q)+2
dx = p
(x ¡ a)(x ¡ c)
u¡b
a¡c
[u > a > b > c]:
BY (237.04)
13:
Z cr
u
p
c¡x
dx = ¡2 a ¡ cE(¯; p)+2
(a ¡ x)(b ¡ x)
r
(a ¡ u)(c ¡ u)
b¡u
[a > b > c > u]:
14:
Z
c
ur
p
x¡c
dx = 2 a ¡ c[F (°; q) ¡ E(°; q)]
(a ¡ x)(b ¡ x)
[a > b ¸ u > c]:
BY (233.03)
15:
Z br
u
r
p
x¡c
(b ¡ u)(u ¡ c)
dx = 2 a ¡ c[F (±; q) ¡ E(±; q)] + 2
(a ¡ x)(b ¡ x)
a¡u
[a > b > u ¸ c]:
BY (234.08)
16:
Z
b
ur
p
x¡c
dx = 2 a ¡ cE({; p)¡2
(a ¡ x)(x ¡ b)
r
(a ¡ u)(u ¡ b)
u¡c
[a ¸ u > b > c]:
BY (235.07)
281
17:
Z ar
u
p
x¡c
dx = 2 a ¡ cE(¸; p)
(a ¡ x)(x ¡ b)
[a > u ¸ b > c]:
BY (236.01)
18:
Z
a
ur
r
p
x¡c
(u ¡ a)(u ¡ c)
dx = 2 a ¡ c[F (¹; q) ¡ E(¹; q)]+2
(x ¡ a)(x ¡ b)
u¡b
[u > a > b > c]:
BY (237.05)
19:
Z cr
u
(b ¡ x)(c ¡ x)
2p
a ¡ c[(2a ¡ b ¡ c)E(¯; p) ¡ (b ¡ c)F (¯; p)] +
dx =
a¡x
3
r
2
(a ¡ u)(c ¡ u)
+ (2b¡2a+c¡u)
[a > b > c > u]:
3
b¡u
BY (232.11)
20:
Z
u
c
r
(x ¡ c)(b ¡ x)
2p
dx =
a ¡ c[(2a ¡ b ¡ c)E(°; q) ¡ 2(a ¡ b)F (°; q)] ¡
a¡x
3
2p
¡
(a ¡ u)(b ¡ u)(u ¡ c)
[a > b ¸ u > c]:
3
21:
Z br
u
22:
Z
u
b
r
(x ¡ c)(b ¡ x)
2p
dx =
a ¡ c[2(b ¡ a)F (±; q) + (2a ¡ b ¡ c)E(±; q)] +
a¡x
3
r
2
(b ¡ u)(u ¡ c)
+ (2c¡b¡u)
[a > b > u ¸ c]:
3
a¡u
BY (234.11)
2p
(x ¡ b)(x ¡ c)
dx =
a ¡ c[(2a ¡ b ¡ c)E({; p) ¡ (b ¡ c)F ({; p)] +
a¡x
3
r
2
(a ¡ u)(u ¡ b)
+ (b+2c¡2a¡u)
[a ¸ u > b > c]:
3
u¡c
BY (235.10)
22:
Z
u
b
r
(x ¡ b)(x ¡ c)
2p
a ¡ c[(2a ¡ b ¡ c)E({; p) ¡ (b ¡ c)F ({; p)] +
dx =
a¡x
3
r
2
(a ¡ u)(u ¡ b)
+ (b+2c¡2a¡u)
[a ¸ u > b > c]:
3
u¡c
BY (236.07)
24:
Z
u
a
r
(x ¡ b)(x ¡ c)
2p
dx =
a ¡ c[2(a ¡ b)F (¹; q)+(b+c ¡ 2a)E(¹; q)]+
x¡a
3
r
2
(u ¡ a)(u ¡ b)
+ (u+2a¡2b¡c)
[u > a > b > c]:
3
u¡c
BY (237.08)
282
25:
Z cr
u
(a ¡ x)(c ¡ x)
2p
a ¡ c[(2b ¡ a ¡ c)E(¯; p) ¡ (b ¡ c)F (¯; p)] +
dx =
b¡x
3
r
2
(a ¡ u)(c ¡ u)
+ (a+c¡b¡u)
[a > b > c > u]:
3
b¡u
BY (232.10)
26:
Z
u
c
r
(a ¡ x)(x ¡ c)
2p
dx =
a ¡ c[(2b ¡ a ¡ c)E(°; q) + (a ¡ b)F (°; q)] ¡
b¡x
3
2p
¡
(a ¡ u)(b ¡ u)(u ¡ c)
[a > b ¸ u > c]:
3
BY (233.05)
27:
Z br
u
(a ¡ x)(x ¡ c)
2p
dx =
a ¡ c[(a ¡ b)F (±; q) + (2b ¡ a ¡ c)E(±; q)] +
b¡x
3
r
2
(b ¡ u)(u ¡ c)
[a > b > u ¸ c]:
+ (2a+c¡2b¡u)
3
a¡u
BY (234.10)
28:
Z
u
b
r
(a ¡ x)(x ¡ c)
2p
dx =
a ¡ c[(b ¡ c)F ({; p) + (a + c ¡ 2b)E({; p)] +
x¡b
3
r
2
(a ¡ u)(u ¡ b)
[a ¸ u > b > c]:
+ (2b¡a¡2c+u)
3
u¡c
BY (235.11)
29:
Z ar
u
30:
Z
u
a
r
2p
(a ¡ x)(x ¡ c)
dx =
a ¡ c[(a + c ¡ 2b)E(¸; p) + (b ¡ c)F (¸; p)] ¡
x¡b
3
2p
¡
(a ¡ u)(u ¡ b)(u ¡ c)
[a > u ¸ b > c]:
3
BY (236.06)
p
(a ¡ c)3
[(a+c¡2b)E(¹; q)¡(a¡b)F (¹; q)]+
b¡c
r
(u ¡ a)(u ¡ c)
2a¡c
(u+b¡a¡c)
[u > a > b > c]:
+
3 b¡c
u¡b
(x ¡ a)(x ¡ c)
2
dx =
x¡b
3
BY (237.06)
31:
Z cr
u
(a ¡ x)(b ¡ x)
2p
dx =
a ¡ c[2(b ¡ c)F (¯; p)+(2c ¡ a ¡ b)E(¯; p)]+
c¡x
3
r
2
(a ¡ u)(c ¡ u)
+ (a+2b¡2c¡u)
[a > b > c > u]:
3
b¡u
BY (232.09)
283
32:
Z
u
c
r
2p
(a ¡ x)(b ¡ x)
dx =
a ¡ c[(a + b ¡ 2c)E(°; q) ¡ (a ¡ b)F (°; q)] +
x¡c
3
2p
+
(a ¡ u)(b ¡ u)(u ¡ c)
[a > b ¸ u > c]:
3
33:
Z br
u
2p
(a ¡ x)(b ¡ x)
dx =
a ¡ c[(a + b ¡ 2c)E(±; q) ¡ (a ¡ b)F (±; q)] +
x¡c
3
r
2
(b ¡ u)(u ¡ c)
+ (2c¡2a¡b+u)
[a > b > u ¸ c]:
3
a¡u
BY (234.09)
34:
Z
u
b
r
(a ¡ x)(x ¡ b)
2p
dx =
a ¡ c[(a+b ¡ 2c)E({; p) ¡ 2(b ¡ c)F ({; p)]+
x¡c
3
r
2
(a ¡ u)(u ¡ b)
[a ¸ u > b > c]:
+ (u+c¡a¡b)
3
u¡c
BY (235.09)
35:
Z ar
u
36:
Z
u
a
r
(a ¡ x)(x ¡ b)
2p
dx =
a ¡ c[(a+b ¡ 2c)E(¸; p) ¡ 2(b ¡ c)F (¸; p)] ¡
x¡c
3
2p
(a ¡ u)(u ¡ b)(u ¡ c)
[a > u ¸ b > c]:
¡
3
BY (236.05)
2p
(x ¡ a)(x ¡ b)
dx =
a ¡ c[(a + b ¡ 2c)E(¹; q) ¡ (a ¡ b)F (¹; q)] +
x¡c
3
r
2
(u ¡ a)(u ¡ c)
+ (u+2c¡a¡2b)
[u > a > b > c]:
3
u¡b
BY (237.07)
3.142
1:
Z
u
¡1
r
s
p
a¡x
2
2(a ¡ c)
b¡u
2 a¡c
dx = p
F (®; p)¡
E(®; p)+
(b ¡ x)(c ¡ x)3
b¡c
b¡c
(a ¡ u)(c ¡ u)
a¡c
[a > b > c > u]:
BY (231.05)
2:
Z br
u
p
a¡b
a¡x
2 a¡c
p
dx = 2
F (±; q) ¡
E(±; q) +
(b ¡ x)(x ¡ c)3
b¡c
(b ¡ c) a ¡ c
s
a¡c
b¡u
+2
[a > b > u > c]:
b ¡ c (a ¡ u)(u ¡ c)
3:
Z
b
ur
p
a¡x
2 a¡c
2
E({; p)¡ p
dx =
F ({; p)
3
(x ¡ b)(x ¡ c)
b¡c
a¡c
[a ¸ u > b > c]:
BY (235.12)
4:
Z ar
u
r
p
a¡x
2 a¡c
(a ¡ u)(u ¡ b)
2
2
E(¸; p)¡ p
dx =
F (¸; p)¡
3
(x ¡ b)(x ¡ c)
b¡c
b¡c
u¡c
a¡c
[a > u ¸ b > c]:
BY (236.12)
5:
Z
a
ur
p
r
x¡a
2 a¡c
u¡a
2(a ¡ b)
p
E(¹;
q)
¡
F
(¹;
q)
¡
2
dx
=
(x ¡ b)(x ¡ c)3
b¡c
(u ¡ b)(u ¡ c)
(b ¡ c) a ¡ c
[u > a > b > c]:
BY (237.10)
6:
Z
1r
u
p
2(a ¡ b)
x¡a
2 a¡c
p
dx =
E(º; q)¡
F (º; q)
3
(x ¡ b)(x ¡ c)
b¡c
(b ¡ c) a ¡ c
[u ¸ a > b > c]:
BY (238.09)
7:
Z
u
¡1
r
p
r
a¡x
2 a¡c
a¡b
c¡u
dx =
E(®; p)¡2
3
(b ¡ x) (c ¡ x)
b¡c
b ¡ c (a ¡ u)(b ¡ u)
[a > b > c ¸ u]:
BY (231.03)
8:
Z cr
u
9:
Z
c
ur
p
a¡x
2 a¡c
dx
=
E(¯; p)
(b ¡ x)3 (c ¡ x)
b¡c
[a > b > c > u]:
BY (232.01)
r
p
a¡x
(a ¡ u)(u ¡ c)
2 a¡c
2
dx =
[F (°; q)¡E(°; q)]+
3
(b ¡ x) (x ¡ c)
b¡c
b¡c
b¡u
[a > b > u > c]:
BY (233.15)
10:
Z ar
u
r
p
a¡x
2 a¡c
2
(a ¡ u)(u ¡ c)
dx =
E(¸; p)+
3
(x ¡ b) (x ¡ c)
c¡b
b¡c
u¡b
[a > u > b > c]:
11:
Z
a
ur
p
x¡a
2 a¡c
dx =
[F (¹; q)¡E(¹; q)]
(x ¡ b)3 (x ¡ c)
b¡c
[u > a > b > c]:
BY (237.09)
12:
13:
Z
Z
1r
u
u
¡1
p
r
x¡a
2 a¡c
u¡a
dx =
[F (º; q)¡E(º; q)]+2
3
(x ¡ b) (x ¡ c)
b¡c
(u ¡ b)(u ¡ c)
[u ¸ a > b > c]:
s
b¡x
2
dx = p
E(®; p)
(a ¡ x)3 (c ¡ x)
a¡c
BY (238.10)
[a > b > c ¸ u]:
BY (231.01)
14:
Z cs
u
r
b¡x
2
2(a ¡ b)
dx = p
E(¯; p)¡
(a ¡ x)3 (c ¡ x)
a¡c
a¡c
c¡u
(a ¡ u)(b ¡ u)
[a > b > c > u]:
BY (232.05)
285
15:
16:
Z
u
c
s
Z bs
u
r
2
2
b¡x
(b ¡ u)(u ¡ c)
dx = p
[F (°; q)¡E(°; q)]+
(a ¡ x)3 (x ¡ c)
a¡c
a¡u
a¡c
[a > b ¸ u > c]:
b¡x
2
[F (±; q) ¡ E(±; q)]
dx = p
(a ¡ x)3 (x ¡ c)
a¡c
BY (233.13)
[a > b > u ¸ c]:
BY (234.15)
17:
Z
u
b
s
x¡b
2
dx = ¡ p
E({; p) +
3
(a ¡ x) (x ¡ c)
a¡c
s
u¡b
+2
(a ¡ u)(u ¡ c)
[a > u > b > c]:
BY (235.08)
BY (238.07)
19:
Z
u
¡1
s
s
b¡x
2
b¡u
dx = p
[F (®; p)¡E(®; p)]+2
3
(a ¡ x)(c ¡ x)
(a ¡ u)(c ¡ u)
a¡c
[a > b > c > u]:
BY (231.04)
20:
Z bs
u
b¡x
2
dx = ¡ p
E(±; q)+2
3
(a ¡ x)(x ¡ c)
a¡c
s
b¡u
(a ¡ u)(u ¡ c)
[a > b > u > c]:
BY (234.14)
21:
Z
u
b
s
2
x¡b
dx = p
[F ({; p)¡E({; p)]
(a ¡ x)(x ¡ c)3
a¡c
[a ¸ u > b > c]:
BY (235.03)
22:
Z as
u
23:
Z
u
a
s
r
2
2
x¡b
(a ¡ u)(u ¡ b)
dx = p
[F (¸; p)¡E(¸; p)]+
3
(a ¡ x)(x ¡ c)
a¡c
u¡c
a¡c
[a > u ¸ b > c]:
x¡b
b¡c
2
dx = p
E(¹; q)¡2
3
(x ¡ a)(x ¡ c)
a¡c
a¡c
r
u¡a
(u ¡ b)(u ¡ c)
BY (236.14)
[u > a > b > c]:
BY (237.11)
24:
Z
1
u
s
x¡b
2
dx = p
E(º; q)
(x ¡ a)(x ¡ c)3
a¡c
[u ¸ a > b > c]:
BY (238.01)
25:
Z
u
¡1
r
p
c¡x
2 a¡c
2(b ¡ c)
p
dx
=
E(®; p)¡
F (®; p)
(a ¡ x)3 (b ¡ x)
a¡b
(a ¡ b) a ¡ c
[a > b > c ¸ u]:
26:
Z cr
u
p
r
c¡x
2 a¡c
c¡u
2(b ¡ c)
p
dx =
E(¯; p)¡
F (¯; p)¡2
(a ¡ x)3 (b ¡ x)
a¡b
(a
¡
u)(b ¡ u)
(a ¡ b) a ¡ c
[a > b > c > u]:
BY (232.03)
286
27:
Z
c
ur
r
p
2 a¡c
x¡c
(b ¡ u)(u ¡ c)
2
2
dx =
E(°; q)¡ p
F (°; q)¡
3
(a ¡ x) (b ¡ x)
a¡b
a¡b
a¡u
a¡c
[a > b ¸ u > c]:
BY (233.14)
28:
Z br
u
29:
Z
b
ur
p
x¡c
2 a¡c
2
F (±; q)
dx =
E(±; q)¡ p
3
(a ¡ x) (b ¡ x)
a¡b
a¡c
[a > b > u ¸ c]:
BY (234.20)
p
2(b ¡ c)
x¡c
2 a¡c
p
dx =
F ({; p) ¡
E({; p) +
(a ¡ x)3 (x ¡ b)
a¡b
(a ¡ b) a ¡ c
s
a¡c
u¡b
+2
[a > u > b > c]:
a ¡ b (a ¡ u)(u ¡ c)
BY (235.13)
30:
Z
1r
u
s
p
2
2(a ¡ c)
2 a¡c
x¡c
u¡b
dx = p
F (º; q)¡
E(º; q)+
3
(x ¡ a) (x ¡ b)
a¡b
a¡b
(u ¡ a)(u ¡ c)
a¡c
[u > a > b > c]:
BY (238.08)
31:
32:
Z
u
¡1
r
Z cr
u
p
r
c¡x
2 a¡c
c¡u
dx =
[F (®; p)¡E(®; p)]+2
3
(a ¡ x)(b ¡ x)
a¡b
(a ¡ u)(b ¡ u)
[a > b > c ¸ u]:
p
c¡x
2 a¡c
dx =
[F (¯; p)¡E(¯; p)]
(a ¡ x)(b ¡ x)3
a¡b
[a > b > c > u]:
BY (231.06)
BY (232.04)
33:
Z
c
ur
r
p
x¡c
2
(a ¡ u)(u ¡ c)
2 a¡c
E(°; q) +
dx = ¡
(a ¡ x)(b ¡ x)3
a¡b
a¡b
b¡u
[a > b > u > c]:
BY (233.16)
34:
Z ar
u
r
p
x¡c
2 a¡c
2
(a ¡ u)(u ¡ c)
[F (¸; p)¡E(¸; p)]+
dx =
(a ¡ x)(x ¡ b)3
a¡b
a¡b
u¡b
[a > u > b > c]:
BY (236.13)
35:
Z
a
ur
p
x¡c
2 a¡c
dx =
E(¹; q)
(x ¡ a)(x ¡ b)3
a¡b
[u > a > b > c]:
BY (237.01)
36:
Z
1r
u
p
r
b¡c
x¡c
2 a¡c
u¡a
dx =
E(º; q)¡2
3
(x ¡ a)(x ¡ b)
a¡b
a ¡ b (u ¡ b)(u ¡ c)
[u ¸ a > b > c]:
BY (238.11)
3.143
1:6
Z
1
u
dx
1
p
= F
4
2
1+x
Ã
arctg
(1 +
!
p
2)(1 ¡ u) p
4
; 2 2( 2 ¡ 1)
(1 + u)
p
ZH 66 (286)
287
2:
Z
1
u
1
dx
p
= F
4
2
1+x
Ã
p !
u2 ¡ 1
2
arccos 2
;
:
u +1 2
ZH 66 (287)
3.144
Notation: ® = arcsin
p
1
.
u2 ¡u+
BY (261.50)
2:
3:
Z
Z
1
u
1
u
p
p
dx
= p
x3 (x ¡ 1)3 (x2 ¡ x + 1)
2(2u ¡ 1)
u(u ¡ 1)(u2 ¡ u + 1)
=4 F
x3 (x ¡ 1)3 (x2 ¡ x + 1)
p !
3
®;
2
[u > 1]:
BY (261.54)
" Ã
(2x ¡ 1)2 dx
¡4E
Ã
à p !
#
p !
3
3
2u ¡ 1
®;
¡ E ®;
+ p
2
2
2 u (u ¡ 1) (u2 ¡ u ¡ 1)
[u > 1]:
BY (261.56)
4:
5:
6:
Z
Z
Z
1
u
1
u
1
u
p
p
s
dx
x(x ¡ 1)(x2 ¡ x + 1)3
" Ã p !
à p !#
4
3
3
=
F ®;
¡ E ®;
3
2
2
u ¸ 1:
BY (261.52)
(2x ¡ 1)2 dx
x(x ¡ 1)(x2 ¡ x + 1)3
= 4E
Ã
p !
3
®;
2
[u > 1]:
BY (261.51)
x(x ¡ 1)
4
dx = E
(x2 ¡ x + 1)3
3
Ã
à p !
p !
3
3
1
®;
¡ F ®;
2
3
2
[u > 1]:
BY (261.53)
7:
Z
1
u
dx
(2x ¡ 1)2
r
" Ã p !
à p !#
r
x(x ¡ 1)
1
3
3
u(u ¡ 1)
1
=
F ®;
¡ E ®;
+
x2 ¡ x + 1
3
2
2
2(2u ¡ 1) u2 ¡ u + 1
[u > 1]:
BY (261.57)
8:
Z
1
u
dx
(2x ¡ 1)2
s
x2 ¡ x + 1
=E
x(x ¡ 1)
Ã
r
p !
3
u(u ¡ 1)
3
®;
¡
2
2(2u ¡ 1) u2 ¡ u + 1
[u > 1]:
BY (261.58)
BY (261.58)
9:
Z
1
u
4
p
= E
3
(2x ¡ 1)2 x(x ¡ 1)(x2 ¡ x + 1)
dx
Ã
à p !
r
p !
3
3
u(u ¡ 1)
1
2
®;
¡ F ®;
¡
2
3
2
2u ¡ 1 u2 ¡ u + 1
[u > 1]:
BY (261.55)
10:
Z
1
u
40
p
E
=
3
x5 (x ¡ 1)5 (x2 ¡ x + 1)
dx
Ã
à p !
p !
3
3
4
2(2u ¡ 1)(9u2 ¡ 9u ¡ 1)
®;
¡ F ®;
¡ p
2
3
2
3 u3 (u ¡ 1)3 (u2 ¡ u + 1)
[u > 1]:
BY (261.54)
288
11:
Z
1
u
p
dx
x(x ¡ 1)(x2 ¡ x + 1)5
44
=
F
27
Ã
à p !
p
p !
2(2u ¡ 1) u(u ¡ 1)
3
3
56
®;
¡ E ®;
+ p
2
27
2
9 (u2 ¡ u + 1)3
[u > 1]:
BY (261.52)
12:
Z
1
u
dx
à p !
p !
3
3
1
®;
¡ F ®;
¡
2
27
2
r
u(u ¡ 1)
8(5u2 ¡ 5u + 2)
[u > 1]:
¡
3
9(2u ¡ 1)
u2 ¡ u + 1
16
p
=
E
4
2
27
(2x ¡ 1) x(x ¡ 1)(x ¡ x + 1)
Ã
BY (261.55)
3.145
1:
2:
Z
Z
u
®
p
=
(x ¡ ®)(x ¡ ¯)[(x ¡ m)2 + n2 ]
s
s
Ã
!
1
q(u ¡ ®) 1 (p + q)2 + (® ¡ ¯)2
= p F 2 arctg
;
pq
p(u ¡ ¯) 2
pq
u
¯
dx
p
[¯ < ® < u]:
dx
=
(® ¡ x)(x ¡ ¯)[(x ¡ m)2 + n2 ]
s
s
Ã
!
1
q(® ¡ u) 1 ¡(p ¡ q)2 + (® ¡ ¯)2
= p F 2 arcctg
;
pq
p(u ¡ ¯) 2
pq
[¯ < u < ®]:
3:
Z
¯
u
p
dx
=
(x ¡ ®)(x ¡ ¯)[(x ¡ m)2 + n2 ]
s
s
Ã
!
1
q(¯ ¡ u) 1 (p + q)2 + (® ¡ ¯)2
= p F 2 arctg
;
pq
p(® ¡ u) 2
pq
[u < ¯ < ®];
where (m ¡ ®)2 + n2 = p2 , (m ¡ ¯)2 + n2 = q 2 ¤ ) . * Formulas 3.145 are not valid for ® + ¯ = 2m. In this case, we make the
substitution x ¡ m = z , which leads to one of the formulas 3.152.
4. Set
(m1 ¡ m)2 + (n1 + n)2 = p2 ;
ctg ® =
s
(m1 ¡ m)2 + (n1 ¡ n)2 = p21 ;
(p + p1 )2 ¡ 4n2
;
4n2 ¡ (p ¡ p1 )2
289
then
Z
u
m¡n tg ®
p
dx
[(x ¡ m)2 + n2 ][(x ¡ m1 )2 + n21 ]
=
•
¶
p
2
u ¡ m 2 pp1
F ® + arctg
;
p + p1
n
p + p1
[m ¡ n tg ® < u < m + n ctg ®]:
3.146
1:
Z
1
0
1
dx
¼
1p
p
=
2K
K
+
1 + x4 1 ¡ x4
8
4
Ãp !
2
:
2
BI ((13))(6)
2:
Z
1
0
x2
dx
¼
p
= :
4
4
1+x
8
1¡x
3:
Z
1
0
1p
x4
dx
¼
p
+
=
¡
2K
K
1 + x4 1 ¡ x4
8
4
Ãp !
2
:
2
BI ((13))(8)
In 3.147-3.151 we set: ® = arcsin
¯ = arcsin
± = arcsin
¸ = arcsin
º = arcsin
s
s
s
s
q
(a¡c)(d¡u)
(a¡d)(c¡u) ,
(a ¡ c)(u ¡ d)
;
(c ¡ d)(a ¡ u)
° = arcsin
(b ¡ d)(u ¡ c)
;
(b ¡ c)(u ¡ d)
{ = arcsin
(a ¡ c)(u ¡ b)
;
(a ¡ b)(u ¡ c)
¹ = arcsin
(b ¡ d)(u ¡ a)
;
(a ¡ d)(u ¡ b)
q=
s
s
s
s
(b ¡ c)(a ¡ d)
;
(a ¡ c)(b ¡ d)
(b ¡ d)(c ¡ u)
;
(c ¡ d)(b ¡ u)
(a ¡ c)(b ¡ u)
;
(b ¡ c)(a ¡ u)
(b ¡ d)(a ¡ u)
;
(a ¡ b)(u ¡ d)
r=
s
(a ¡ b)(c ¡ d)
:
(a ¡ c)(b ¡ d)
3.147
1:
Z
d
u
p
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(d ¡ x)
= p
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
F (®; q)
[a > b > c > d > u]:
BY (251.00)
290
2:
3:
4:
Z
Z
Z
u
p
d
c
u
p
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
u
c
dx
p
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
= p
= p
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
BY (254.00)
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
= p
F (¯; r)
F (°; r)
[a > b > c > u ¸ d]:
BY (253.00)
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
F (±; q)
[a > b ¸ u > c > d]:
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
b
u
p
dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
u
p
b
dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
®
u
p
u
p
a
dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
dx
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
= p
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
F ({; q)
[a > b > u ¸ c > d]:
BY (255.00)
= p
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a ¸ u > b > c > d]:
BY (256.00)
= p
= p
F (¸; r)
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > u ¸ b > c > d]:
F (¹; r)
BY (257.00)
2
(a ¡ c)(b ¡ d)
F (º; q)
[u > a > b > c > d]:
BY (258.00)
3.148
1:8
Z
d
u
p
x dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(d ¡ x)
= p
•
¶
¾
a¡d
(d ¡ c) ¦ ®;
; q + c F (®; q)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > d > u]:
2
½
BY (251.03)
2:
3:
Z
Z
u
p
d
c
u
x dx
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
= p
•
¶
¾
d¡c
(d ¡ a)¦ ¯;
; r + aF (¯; r)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
2
½
½
•
c¡d
p
= p
(c ¡ b)¦ °;
;r
b¡d
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
x dx
2
¶
+ bF (°; r)
BY (252.11)
¾
BY (253.11)
BY (254.10)
291
Z
5:
6:
8
7:
8:
Z
Z
Z
b
u
u
b
•
½
•
¶
a¡b
p
;r
= p
(b ¡ c)¦ ¸;
a¡c
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a ¸ u > b > c > d]:
p
x dx
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
u
p
a
2
x dx
a
u
½
b¡c
p
;q
= p
(b ¡ a)¦ {;
a¡c
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > u ¸ c > d]:
x dx
x dx
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
2
= p
+ aF ({; q)
¾
BY (255.17)
¶
+ cF (¸; r)
¾
•
¶
¾
b¡a
(a ¡ d)¦ ¹;
; r + dF (¹; r)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > u ¸ b > c > d]:
= p
2
BY (256.11)
½
BY (257.11)
•
¶
¾
a¡d
(a ¡ b)¦ º;
; q + bF (º; q)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
2
½
BY (258.11)
3.149
1:
2:
Z
Z
d
dx
p
=
u x (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(d ¡ x)
½
•
¶
¾
2
c(a ¡ d)
= p
(c ¡ d)¦ ®;
; q + dF (®; q)
d(a ¡ c)
cd (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > d > u]:
BY (251.04)
u
d
dx
p
=
x (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
½
•
¶
¾
2
a(d ¡ c)
= p
(a ¡ d)¦ ¯;
; r + dF (¯; r)
d(a ¡ c)
ad (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
3:
4:
Z
Z
c
dx
p
=
u x (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
½
•
¶
¾
b(c ¡ d)
2
(b ¡ c)¦ °;
; r + cF (°; r)
= p
c(b ¡ d)
bc (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
BY (253.12)
u
c
dx
p
=
x (a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
½
•
¶
¾
d(b ¡ c)
2
(d ¡ c)¦ ±;
; q + cF (±; q)
= p
c(b ¡ d)
cd (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.11)
292
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
b
dx
p
=
u x (a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
¾
½
•
¶
a(b ¡ c)
2
= p
£ (a ¡ b)¦ {;
; q + bF ({; q)
b(a ¡ c)
ab (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > u ¸ c > d]:
BY (255.18)
u
b
dx
p
=
x (a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
½
•
¶
¾
c(a ¡ b)
2
= p
£ (c ¡ b)¦ ¸;
; r + bF (¸; r)
b(a ¡ c)
bc (a ¡ c)(b ¡ d)
[a ¸ u > b > c > d]:
BY (256.12)
a
dx
p
=
u x (a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
½
•
¶
¾
d(b ¡ a)
2
£ (d ¡ a)¦ ¹;
= p
; r + aF (¹; r)
a(b ¡ d)
ad (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > u ¸ b > c > d]:
BY (257.12)
u
a
dx
p
=
x (x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
½
•
¶
¾
2
b(a ¡ d)
= p
(b ¡ a)¦ º;
; q + aF (º; q)
a(b ¡ d)
ab (a ¡ c)(b ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
BY (258.12)
3.151
1:
Z
d
dx
p
=
u (p ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(d ¡ x)
2
p
£
=
(p ¡ c)(p ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
¶
¸
∙
•
(a ¡ d)(p ¡ c)
£ (d ¡ c)¦ ®;
; q + (p ¡ d) F (®; q)
(a ¡ c)(p ¡ d)
[a > b > c > d > u;
p=
= d]:
BY (251.39)
2:
Z
u
d
dx
p
=
(p ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
2
p
=
£
(p ¡ a)(p ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
∙
•
¶
¸
(d ¡ c)(p ¡ a)
£ (d ¡ a)¦ ¯;
; r + (p ¡ d) F (¯; r)
(a ¡ c)(p ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d;
p=
= d]:
BY (252.39)
293
3:
Z
c
dx
p
=
u (p ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
2
p
=
£
(p ¡ b)(p ¡ c) (a ¡ c)(b ¡ d)
∙
•
¶
¸
(c ¡ d)(p ¡ b)
£ (c ¡ b)¦ °;
; r + (p ¡ c) F (°; r)
(b ¡ d)(p ¡ c)
[a > b > c > u ¸ d;
p=
= c]:
BY (253.39)
4:
Z
u
c
dx
p
=
(p ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
2
p
£
=
(p ¡ c)(p ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
∙
•
¶
¸
(b ¡ c)(p ¡ d)
£ (c ¡ d)¦ ±;
; q + (p ¡ c) F (±; q)
(b ¡ d)(p ¡ c)
[a > b ¸ u > c > d;
p=
= c]:
BY (254.39)
5:
Z
b
dx
p
=
u (p ¡ x) (a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
2
p
£
=
(p ¡ a)(p ¡ b) (a ¡ c)(b ¡ d)
∙
•
¶
¸
6:
Z
u
b
dx
p
=
(x ¡ p) (a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
2
p
£
=
(b ¡ p)(p ¡ c) (a ¡ c)(b ¡ d)
¶
¸
∙
•
(a ¡ b)(p ¡ c)
£ (b ¡ c)¦ ¸;
; r + (p ¡ b) F (¸; r)
(a ¡ c)(p ¡ b)
[a ¸ u > b > c > d;
p=
= b]:
BY (256.39)
7:
Z
a
dx
p
=
u (p ¡ x) (a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
2
p
£
=
(p ¡ a)(p ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
∙
•
¶
¸
(b ¡ a)(p ¡ d)
£ (a ¡ d)¦ ¹;
; r + (p ¡ a) F (¹; r)
(b ¡ d)(p ¡ a)
[a > u ¸ b > c > d;
p=
= a]:
BY (257.39)
294
8:
Z
u
a
dx
p
=
(p ¡ x) (x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
2
p
=
£
(p ¡ a)(p ¡ b) (a ¡ c)(b ¡ d)
∙
•
¶
¸
(a ¡ d)(p ¡ b)
£ (a ¡ b)¦ º;
; q + (p ¡ a) F (º; q)
(b ¡ d)(p ¡ a)
[u > a > b > c > d;
p=
= a]:
BY (258.39)
u
u
In 3.152{3.163 we set:
® = arctg ;
¯ = arcctg ;
b
a
r
r
u a2 + b2
u
b
a2 + b2
° = arcsin
;
±
=
arccos
;
"
=
arccos
;
»
=
arcsin
;
b a2 + u2
u
a2 + u2
rb
r
u
a b2 ¡ u2
a u2 ¡ b2
´ = arcsin ;
³ = arcsin
;
=
arcsin
;
{
b
b r a2 ¡ u2
u a2 ¡ b2
r
p
a2 ¡ u2
u2 ¡ a2
a
a2 ¡ b2
¸ = arcsin
;
¹ = arcsin
;
º = arcsin ;
q=
;
2
2
2
2
a ¡b
u ¡b
u
a
b
a
b
r= p
;
s= p
;
t= :
a
a2 + b2
a2 + b2
3.163
3.152
3.152
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
u
p
0
1
u
dx
(x2
+
a2 )(x2
dx
(x2 + a2 )(x2 + b2 )
dx
(x2
+
a2 )(b2
u
+
a2 )(b2
1
u
=
1
F (¯; q)
a
[a > b > 0]:
= p
1
F (°; r)
+ b2
a2
[b ¸ u > 0]:
¡
x2 )
= p
1
F (±; r)
+ b2
a2
[b > u ¸ 0]:
ZH 63 (261), BY (213.00)
u
b
¡
x2 )
dx
(x2
p
[a > b > 0]:
ZH 63 (260)
b
p
1
F (®; q)
a
ZH 63 (259), BY (222.00)
u
0
=
ZH 62(258), BY (221.00)
p
p
+
b2 )
dx
(x2 + a2 )(x2 ¡ b2 )
= p
1
F ("; s)
+ b2
a2
[u > b > 0]:
ZH 63 (262), BY (211.00)
p
dx
(x2
+
a2 )(x2
¡
b2 )
= p
1
F (»; s)
+ b2
a2
[u > b > 0]:
ZH 63 (263), BY (212.00)
295
7:
Z
u
0
p
dx
(a2
¡
x2 )(b2
¡
x2 )
=
1
F (´; t)
a
[a > b ¸ u > 0]:
8:
9:
10:
11:
12:
Z
Z
Z
Z
Z
b
p
u
dx
(a2
x2 )(b2
¡
p
dx
(a2
¡
x2 )(x2
p
p
1
u
¡
1
F ({; q)
a
=
b2 )
dx
(a2
x2 )(x2
¡
[a > b > u ¸ 0]:
[a ¸ u > b > 0]:
¡
1
F (¸; q)
a
=
b2 )
[a > u ¸ b > 0]:
ZH 63 (257), BY (218.00)
u
a
1
F (³; t)
a
ZH 63 (266), BY (217.00)
a
u
=
ZH 63 (265), BY (220.00)
u
b
¡
x2 )
dx
(x2
¡
a2 )(x2
¡
1
F (¹; t)
a
=
b2 )
[u > a > b > 0]:
ZH 63 (268), BY (216.00)
p
dx
(x2
¡
a2 )(x2
¡
=
b2 )
1
F (º; t)
a
[u ¸ a > b > 0]:
ZH 64(269), BY (215.00)
3.153
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u
0
p
u
p
0
b
u
p
x2 dx
(x2 + a2 )(x2 + b2 )
r
=u
a2 + u2
¡ aE(®; q)
b2 + u2
[u > 0;
a > b]:
BY (221.09)
x2 dx
(a2 + x2 )(b2 ¡ x2 )
x2 dx
(a2 + x2 )(b2 ¡ x2 )
=
=
p
p
r
2
b2 ¡ u2
a
a2 + b2 E(°; r)¡ p
F (°; r)¡u
a2 + u2
a2 + b2
[b ¸ u > 0]:
a2 + b2 E(±; r)¡ p
a2
F (±; r)
a2 + b2
[b > u ¸ 0]:
BY (214.05)
BY (213.06)
Z
4:
u
p
b
x2 dx
(a2 + x2 )(x2 ¡ b2 )
= p
p
1p 2
b2
F ("; s)¡ a2 + b2 E("; s)+
(u + a2 )(u2 ¡ b2 )
2
2
u
a +b
[u > b > 0]:
BY (211.09)
Z
5:
Z
6:
Z
7:
Z
8:
u
p
0
x2 dx
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )
b
u
p
x2 dx
(a2
u
p
b
a
u
p
¡
x2 )(b2
¡
x2 )
x2 dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )
x2 dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )
= afF (´; t) ¡ E(´; t)g
[a > b ¸ u > 0]:
BY (219.05)
r
= afF (³; t)¡E(³; t)g+u
b2 ¡ u2
a2 ¡ u2
[a > b > u ¸ 0]:
BY (220.06)
= aE({; q)¡
= aE(¸; q)
1p 2
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
u
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.05)
[a > u ¸ b > 0]:
BY (218.06)
296
Z
9:6
10:
Z
1
0
u
a
p
x2 dx
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )
r
= afF (¹; t)¡E(¹; t)g+u
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
[u > a > b > 0]:
BY (216.06)
x2 dx
1
p
= 2
2
2
2
k
(1 + x )(1 + k x )
(r
³¼ p
´
1 + k2
¡E
; 1 ¡ k2
2
4
)
:
BI ((14))(9)
3.154
1:
Z
u
0
r
a
u 2
a2 + u2
2
2
2
2
2
p
= f2(a +b )E(®; q)¡b F (®; q)g+ (u ¡2a ¡b )
3
3
b2 + u2
(x2 + a2 )(x2 + b2 )
[a > b; u > 0]:
x4 dx
BY (221.09)
2:
Z
u
p
0
x4 dx
(a2
+
x2 )(b2
x2 )
¡
1
f(2a2 ¡b2 )a2 F (°; r)¡2(a4 ¡b4 )E(°; r)g¡
= p
2
3 a + b2
r
b2 ¡ u2
u 2
¡ (2b ¡ a2 + u2 )
[a ¸ u > 0]:
3
a2 + u2
BY (214.05)
3:
4:
5:
Z
Z
Z
b
u
p
x4 dx
(a2
+
u
p
b
0
¡
x2 )
x4 dx
(a2
+
u
p
x2 )(b2
x2 )(x2
¡
b2 )
x4 dx
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )
1
= p
f(2a2 ¡b2 )a2 F (±; r)¡2(a4 ¡b4 )E(±; r)g+
2
3 a + b2
up 2
(a + u2 )(b2 ¡ u2 )
[b > u ¸ 0]:
+
3
BY (213.06)
1
= p
f(2b2 ¡a2 )b2 F ("; s)+2(a4 ¡b4 )E("; s)g+
2
3 a + b2
2b2 ¡ 2a2 + u2 p 2
+
(u + a2 )(u2 ¡ b2 )
[u > b > 0]:
3u
BY (211.09)
=
a
up 2
f(2a2 +b2 )F (´; t)¡2(a2 +b2 )E(´; t)g+
(a ¡ u2 )(b2 ¡ u2 )
3
3
[a > b ¸ u > 0]:
BY (219.05)
6:
Z
b
u
p
x4 dx
(a2
¡
x2 )(b2
¡
x2 )
=
a
f(2a2 + b2 )F (³; t) ¡ 2(a2 + b2 )E(³; t)g +
3
r
u 2 2
b2 ¡ u2
2
+ (u +a +2b )
[a > b > u ¸ 0]:
3
a2 ¡ u2
BY (220.06)
297
7:
Z
u
p
b
x4 dx
(a2
¡
x2 )(x2
¡
b2 )
=
a
f2(a2 + b2 )E({; q) ¡ b2 F ({; q)g ¡
3
u2 + 2a2 + 2b2 p 2
¡
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
3u
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.05)
8:
9:
Z
Z
a
u
p
x4 dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )
u
p
a
x4 dx
(x2
¡
a2 )(x2
¡
b2 )
=
=
up 2
a
f2(a2 +b2 )E(¸; q)¡b2 F (¸; q)g+
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
3
3
[a > u ¸ b > 0]:
a
f(2a2 + b2 )F (¹; t) ¡ 2(a2 + b2 )E(¹; t)g +
3
r
u 2
u2 ¡ a2
2
2
+ (u +2a +b )
[u > a > b > 0]:
3
u2 ¡ b2
BY (218.06)
BY (216.06)
3.155
1:
Z ap
u
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 ) dx =
a
up 2
f(a2 +b2 )E(¸; q)¡2b2 F (¸; q)g¡
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
3
3
[a > u ¸ b > 0]:
BY (218.11)
2:
3:
Z
Z
a
0
up
up
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 ) dx =
(x2 + a2 )(x2 + b2 ) dx =
a
f(a2 + b2 )E(¹; t) ¡ (a2 ¡ b2 )F (¹; t)g +
3
r
u 2 2
u2 ¡ a2
2
+ (u ¡a ¡2b )
[u > a > b > 0]:
3
u2 ¡ b2
a
f2b2 F (®; q) ¡ (a2 + b2 )E(®; q)g +
3
r
u 2 2
a2 + u2
2
+ (u +a +2b )
[a > b;
3
b2 + u2
u > 0]:
BY (216.10)
Z
4:
0
up
(a2 + x2 )(b2 ¡ x2 ) dx =
1p 2
a + b2 fa2 F (°; r) ¡ (a2 ¡ b2 )E(°; r)g +
3
r
u 2
b2 ¡ u2
2
2
+ (u + 2a ¡ b )
[a ¸ u > 0]:
3
a2 + u2
BY (214.12)
Z bp
5:
u
Z
6:
b
(a2 + x2 )(b2 ¡ x2 ) dx =
up
(a2 + x2 )(x2 ¡ b2 ) dx =
1p 2
a + b2 fa2 F (±; r) + 2(b2 ¡ a2 )E(±; r)g +
3
up 2
+
(a + u2 )(b2 ¡ u2 )
[b > u ¸ 0]:
3
BY (213.13)
1p 2
a + b2 f(b2 ¡ a2 )E("; s) ¡ b2 F ("; s)g +
3
u2 + a2 ¡ b2 p 2
+
(a + u2 )(u2 ¡ b2 )
[u > b > 0]:
3u
BY (211.08)
a
f(a2 + b2 )E(´; t) ¡ (a2 ¡ b2 )F (´; t)g +
3
up 2
(a ¡ u2 )(b2 ¡ u2 )
[a > b ¸ u > 0]:
+
3
BY (219.11)
298
Z
7:
0
up
Z bp
8:
u
Z
9:
b
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 ) dx =
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 ) dx =
up
a
f(a2 + b2 )E(³; t) ¡ (a2 ¡ b2 )F (³; t)g +
3
r
u 2
b2 ¡ u2
2
2
+ (u ¡2a ¡b )
[a > b > u ¸ 0]:
3
a2 ¡ u2
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 ) dx =
a
f(a2 + b2 )E({; q) ¡ 2b2 F ({; q)g +
3
u2 ¡ a2 ¡ b2 p 2
+
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
3u
BY (220.05)
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.09)
3.156
1:
6
Z
1
u
dx
1
p
= 2
2
2
2
2
2
ub
x (x + a )(x + b )
r
b2 + u2
1
¡ 2 E(¯; q)
2
2
a +u
ab
[a ¸ b;
u > 0]:
2:
3:
4:6
Z
Z
Z
b
u
x2
p
dx
(x2
a2 )(b2
+
u
x2
b
p
1
u
x2
¡
x2 )
dx
(x2
+
a2 )(x2
¡
b2 )
=
1
p
fa2 F (±; r) ¡(a2 +b2 )E(±; r)g +
a2 + b2
1 p 2
+ 2 2
(a + u2 )(b2 ¡ u2 )
[b > u > 0]:
a b u
a2 b2
=
1
p
f(a2 +b2 )E("; s)¡b2 F ("; s)g
a2 b2 a2 + b2
BY (213.09)
[u > b > 0]:
BY (211.11)
p
dx
(x2
+
a2 )(x2
¡
b2 )
=
1
p
f(a2 +b2 )E(»; s)¡b2 F (»; s)g¡
a2 b2 a2 + b2
r
1
u2 ¡ b2
¡ 2
[u ¸ b > 0]:
b u a2 + u2
BY (212.06)
5:
6:
Z
Z
b
u
1
1
p
= 2 fF (³; t)¡E(³; t)g+ 2
2
2
2
2
2
ab
b
u
x (a ¡ x )(b ¡ x )
dx
u
x2
b
p
dx
(a2
¡
x2 )(x2
¡
b2 )
=
1
E({; q)
ab2
r
b2 ¡ u2
a2 ¡ u2
[a > b > u > 0]:
BY (220.09)
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.01)
299
7:
8:
Z
Z
a
u
u
a
x2
p
dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )
=
1
1 p 2
E(¸;
q)
¡
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
ab2
a2 b2 u
[a > u ¸ b > 0]:
BY (218.12)
dx
1
1
p
= 2 fF (¹; t)¡E(¹; t)g+ 2
ab
a u
x2 (x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
[u > a > b > 0]:
9:
Z
1
x2
u
p
dx
(x2
¡
a2 )(x2
¡
b2 )
=
1
fF (º; t) ¡ E(º; t)g
ab2
[u ¸ a > b > 0]:
BY (215.07)
3.157
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u
0
dx
1
p
=
a(p + b2 )
(p ¡ x2 ) (x2 + a2 )(x2 + b2 )
1
u
u
0
dx
½
1
p
=¡
2 + p)
2
2
2
2
2
a(a
(p ¡ x ) (x + a )(x + b )
•
¶
¾
b2
p + b2
¦ ®;
; q + F (®; q)
p
p
[p=
= 0]:
BY (221.13)
¾
½ •
¶
a2 + p
¦ ¯;
; q ¡ F (¯; q) :
a2
BY (222.11)
•
¶
¾
½
1
b2 (p + a2 )
2
p
p
=
; r + pF (°; r)
a ¦ °;
p(a2 + b2 )
p(p + a2 ) a2 + b2
(p ¡ x2 ) (a2 + x2 )(b2 ¡ x2 )
[b ¸ u > 0; p=
= 0]:
dx
BY (214.13)a
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
b
u
•
¶
dx
1
b2
p
p
=
¦ ±; 2
;r
b ¡p
(p ¡ b2 ) a2 + b2
(p ¡ x2 ) (a2 + x2 )(b2 ¡ x2 )
[b > u ¸ 0; p=
= b2 ]:
u
p
dx
=
+ x2 )(x2 ¡ b2 )
•
¶
½
¾
¡
¢
1
p
2
2
p
=
; s + p ¡ b F ("; s)
b ¦ ";
p ¡ b2
p(p ¡ b2 ) a2 + b2
(p ¡
b
1
u
u
0
x2 )
BY (213.02)
(a2
dx
1
p
p
=
2
(a + p) a2 + b2
(x2 ¡ p) (a2 + x2 )(x2 ¡ b2 )
•
¶
1
b2
p
=
¦ ´; ; t
ap
p
(p ¡ x2 ) (a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )
dx
[u > b > 0;
p=
= b2 ]:
BY (211.14)
¶
¾
½ •
a2 + p
; s ¡ F (»; s)
¦ »; 2
a + b2
[u ¸ b > 0]:
[a > b ¸ u > 0;
p=
= b]:
BY (212.12)
300
8:
Z
b
u
dx
1
p
£
=
2
a(p ¡ a )(p ¡ b2 )
(p ¡ x2 ) (a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )
•
¶
½
¾
¡
¢
b2 (p ¡ a2 )
2
2
2
£ (b ¡ a )¦ ³; 2
; t + p ¡ b F (³; t)
a (p ¡ b2 )
[a > b > u ¸ 0; p=
= b2 ]:
BY (220.13)
9:
10:
11:
Z
Z
Z
u
b
a
u
dx
1
p
=
2
2
2
2
2
ap(p
¡ b2 )
(p ¡ x ) (a ¡ x )(x ¡ b )
½
•
p(a2 ¡ b2 )
b ¦ {; 2
;q
a (p ¡ b2 )
2
[a ¸ u > b > 0;
p=
= b2 ]:
•
¶
1
a2 ¡ b2
p
=
¦ ¸; 2
;q
a(a2 ¡ p)
a ¡p
(x2 ¡ p) (a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )
dx
u
p
¶
¡
+ p¡b
2
¢
F ({; q)
¾
BY (217.12)
[a > u ¸ b > 0; p=
= a2 ]:
BY (218.02)
dx
=
¡ a2 )(x2 ¡ b2 )
½
•
¶
¾
¡
¢
1
p ¡ b2
2
2
2
=
(a
¡
b
)¦
¹;
;
t
+
p
¡
a
F
(¹;
t)
a(p ¡ a2 )(p ¡ b2 )
p ¡ a2
= b2 ]:
[u > a > b > 0; p=
= a2 ; p=
(p ¡
a
x2 )
(x2
BY (216.12)
12:
Z
1
u
o
dx
1 n ³ p ´
p
=
¦ º; 2 ; t ¡ F (º; t)
ap
a
(x2 ¡ p) (x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )
[u ¸ a > b > 0;
p=
= 0]:
BY (215.12)
3.158
1:
Z
u
0
p
dx
(x2
+
a2 )(x2
+
b2 )3
=
1
fa2 E(®; q)¡b2 F (®; q)g
ab2 (a2 ¡ b2 )
[a > b;
u > 0]:
BY (221.05)
BY (222.05)
3:
Z
u
p
0
dx
(x2
+
a2 )3 (x2
+
b2 )
=
a(a2
u
1
fF (®; q)¡E(®; q)g+ p
2
2
2
¡b )
a (u + a2 )(u2 + b2 )
[a > b; u > 0]:
BY (221.06)
4:
Z
1
u
p
dx
(a2
+
x2 )3 (x2
+
b2 )
=
1
fF (¯; q)¡E(¯; q)g
a(a2 ¡ b2 )
[a > b;
u ¸ 0]:
BY (222.03)
301
5:
6:
7:
Z
Z
Z
u
p
0
b
u
u
b
dx
(a2
+
x2 )3 (b2
¡
x2 )
=
a2
p
1
E(°; r)
a2 + b2
[b ¸ u > 0]:
BY (214.01)a
u
1
p
E(±; r)¡ 2 2
= p
2
2
2
2
2
3
2
2
a (a + b2 )
a a +b
(a + x ) (b ¡ x )
dx
dx
r
b2 ¡ u2
a2 + u2
[b > u ¸ 0]:
BY (213.08)
1
1
p
fF ("; s)¡E("; s)g+ 2
= p
2
2
2
2
2
3
2
2
(a
+
b2 )u
a a +b
(a + x ) (x ¡ b )
[u > b > 0]:
r
u2 ¡ b2
u2 + a2
BY (211.05)
8:
9:
Z
Z
1
u
p
dx
(a2 + x2 )3 (x2 ¡ b2 )
0
dx
(a2
a2
p
1
fF (»; s)¡E(»; s)g
a2 + b2
[u ¸ b > 0]:
BY (212.03)
u
p
=
+
x2 )(b2
¡
x2 )3
=
b2
p
1
u
fF (°; r)¡E(°; r)g+ p
2
2
2
2
a +b
b (a + u2 )(b2 ¡ u2 )
[b > u > 0]:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
u
u
0
p
dx
(a2
+
u
b
p
dx
(a2
b2
p
u
(a2
+
u2 )(u2
¡
x2 )3 (b2
¡
x2 )
=
¡
b2 )
1
¡ p
E(»; s)
2
b a2 + b2
[u ¸ b > 0]:
BY (212.04)
(
r
aE(´; t) ¡ u
b2 ¡ u2
a2 ¡ u2
)
[a > b ¸ u > 0]:
BY (219.07)
1
E(³; t)
a(a2 ¡ b2 )
[a > b > u ¸ 0]:
BY (220.10)
1
p
=
2
2
2
3
2
2
a(a ¡ b2 )
(a ¡ x ) (x ¡ b )
dx
dx
1
p
=
a(b2 ¡ a2 )
(x2 ¡ a2 )3 (x2 ¡ b2 )
u
p
0
=
1
p
= 2 2
2
2
3
2
2
a (a ¡ b2 )
(a ¡ x ) (b ¡ x )
1
u
¡
b2 )3
dx
b
u
x2 )(x2
dx
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )3
(
a
F ({; q) ¡ E({; q) +
u
r
u2 ¡ b2
a2 ¡ u2
)
[a > u > b > 0]:
BY (217.10)
(
a
E(º; t) ¡
u
r
u2 ¡ b2
u2 ¡ a2
)
[u > a > b > 0]:
BY (215.04)
1
1
= 2 F (´; t)¡ 2 2
ab
b (a ¡ b2 )
(
r
aE(´; t) ¡ u
a2 ¡ u2
b2 ¡ u2
)
[a > b > u > 0]:
BY (219.06)
302
16:
Z
a
u
p
dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )3
=
1
ab2 (a2 ¡ b2 )
(
2
2
r
b F (¸; q) ¡ a E(¸; q) + au
[a > u > b > 0]:
a2 ¡ u2
u2 ¡ b2
)
BY (218.04)
17:
Z
u
a
p
dx
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )3
=
a
1
E(¹; t)¡ 2 F (¹; t)
2
¡b )
ab
b2 (a2
[u > a > b > 0]:
18:
Z
1
u
p
dx
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )3
1
= 2 2
b (a ¡ b2 )
(
b2
aE(º; t) ¡
u
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
)
¡
1
F (º; t)
ab2
[u ¸ a > b > 0]:
BY (215.06)
3.159
1:
2:
Z
Z
u
p
0
1
u
x2 dx
(x2
+
a2 )(x2
+
b2 )3
=
a
fF (®; q)¡E(®; q)g
a2 ¡ b2
[a > b;
u > 0]:
BY (221.12)
p
x2 dx
(x2
+
a2 )(x2
+
b2 )3
=
a2
a
u
fF (¯; q)¡E(¯; q)g+ p
2
2
2
¡b
(a + u )(b2 + u2 )
[a > b; u ¸ 0]:
BY (222.10)
3:
Z
u
p
0
x2 dx
(x2
+
a2 )3 (x2
+
b2 )
=
a(a2
1
u
fa2 E(®; q)¡b2 F (®; q)g¡ p
2
2
2
¡b )
(a + u )(b2 + u2 )
[a > b; u > 0]:
BY (221.11)
4:
5:
6:
Z
Z
Z
1
u
p
x2 dx
(x2
+
0
b
u
+
b2 )
x2 dx
(a2
=
a(a2
1
fa2 E(¯; q)¡b2 F (¯; q)g
¡ b2 )
[a > b;
u ¸ 0]:
BY (222.07)
u
p
a2 )3 (x2
+
x2 )3 (b2
¡
x2 )
= p
1
fF (°; r)¡E(°; r)g
+ b2
a2
[b ¸ u > 0]:
r
1
u
b2 ¡ u2
p
= p
fF (±; r)¡E(±; r)g+ 2
2
2
2
2
2
3
2
2
a +b
a2 + u2
a +b
(a + x ) (b ¡ x )
[b > u ¸ 0]:
x2 dx
BY (214.04)
BY (213.07)
7:
8:
Z
Z
u
b
x2 dx
a2
p
= p
E("; s)¡
2
u(a + b2 )
a2 + b2
(a2 + x2 )3 (x2 ¡ b2 )
1
u
p
1
x2 dx
(a2
+
x2 )3 (x2
¡
b2 )
= p
1
E(»; s)
+ b2
r
u2 ¡ b2
u2 + a2
[u > b > 0]:
BY (211.13)
[u ¸ b > 0]:
a2
BY (212.01)
303
9:
10:
Z
Z
u
p
0
1
u
x2 dx
(a2
p
+
x2 )(b2
¡
x2 )3
x2 dx
(a2
+
x2 )(x2
¡
b2 )3
= p
u
(a2
= p
+
u2 )(b2
¡
u2 )
¡p
1
E(°; r)
+ b2
[b > u > 0]:
a2
BY (214.07)
1
u
fF (»; s)¡E(»; s)g+ p
2
2
2
+b
(a + u )(u2 ¡ b2 )
[u > b > 0]:
a2
BY (212.10)
11:
12:
13:
Z
Z
Z
u
0
x2 dx
1
p
= 2
2
2
3
2
2
a
¡
b2
(a ¡ x ) (b ¡ x )
b
u
u
b
p
x2 dx
(a2
¡
x2 )3 (b2
¡
x2 )
=
(
r
aE(´; t) ¡ u
b2 ¡ u2
a2 ¡ u2
)
1
¡ F (´; t)
a
[a > b ¸ u > 0]:
BY (219.04)
a
1
E(³; t)¡ F (³; t)
a2 ¡ b2
a
[a > b > u ¸ 0]:
BY (220.08)
x2 dx
1
p
=
2
2
2
3
2
2
a(a ¡ b2 )
(a ¡ x ) (x ¡ b )
(
a3
b2 F ({; q) ¡ a2 E({; q) +
u
r
[a > u > b > 0]:
u2 ¡ b2
a2 ¡ u2
)
BY (217.06)
14:
Z
1
u
x2 dx
a
p
= 2
2
2
3
2
2
a ¡ b2
(x ¡ a ) (x ¡ b )
)
( r
1
a u2 ¡ b2
¡ E(º; t) + F (º; t)
2
2
u u ¡a
a
[u > a > b > 0]:
BY (215.09)
15:
16:
Z
Z
u
p
0
x2 dx
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )3
p
( r
u
)
a2 ¡ u2
¡ aE(´; t)
b2 ¡ u2
[a > b > u > 0]:
BY (219.12)
a
u
1
= 2
a ¡ b2
x2 dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )3
1
= 2
a ¡ b2
(
r
aF (¸; q) ¡ aE(¸; q) + u
a2 ¡ u2
u2 ¡ b2
)
[a > u > b > 0]:
BY (218.07)
17:
18:
Z
Z
u
p
a
1
u
x2 dx
(x2
p
¡
a2 )(x2
¡
b2 )3
x2 dx
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )3
=
a2
a
E(¹; t)
¡ b2
[u > a > b > 0]:
BY (216.01)
1
= 2
a ¡ b2
(
b2
aE(º; t) ¡
u
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
)
[u ¸ a > b > 0]:
BY (215.11)
3.161
1:
Z
1
u
x4
p
dx
(x2 + a2 )(x2 + b2 )
=
1
a2 b2 ¡ u2 (2a2 + b2 )
f2(a2 +b2 )E(¯; q)¡b2 F (¯; q)g+
3
4
3a b
3a2 b4 u3
[a > b; u > 0]:
BY (222.04)
304
2:
Z
b
u
x4
p
dx
(x2 + a2 )(b2 ¡ x2 )
=
1
p
fa2 (2a2 ¡b2 )F (±; r)¡2(a4 ¡b4 )E(±; r)g+
3a4 b4 a2 + b2
a2 b2 + 2u2 (a2 ¡ b2 ) p 2
+
(b ¡ u2 )(a2 + u2 )
[b > u > 0]:
3a4 b4 u3
3:
4:
Z
Z
u
b
p
2 (a2 ¡ b2 ) a2 + b2
2b2 ¡ a2
p
p
F ("; s)+
E("; s)+
=
3
a4 b4
3a4 b2 a2 + b2
x4 (x2 + a2 )(x2 ¡ b2 )
p
1
+ 2 2 3 (u2 + a2 )(u2 ¡ b2 )
[u > b > 0]:
3a b u
dx
1
u
x4
p
dx
(x2
+
a2 )(x2
¡
b2 )
=
BY (211.11)
1
p
f2(a4 ¡b4 )E(»; s)+b2 (2b2 ¡a2 )F (»; s)g¡
a2 + b2
r
a2 b2 + u2 (2a2 ¡ b2 ) u2 ¡ b2
¡
[u ¸ b > 0]:
3a2 b4 u3
u2 + a2
3a4 b4
BY (212.06)
5:
Z
b
u
dx
1
p
= 3 4
4
2
2
2
2
3a b
x (a ¡ x )(b ¡ x )
(
(2a2 +b2 )F (³; t) ¡ 2(a2 +b2 )E(³; t)+
[(2a2 + b2 )u2 + a2 b2 ]a
+
u3
r
b2 ¡ u2
a2 ¡ u2
)
[a > b > u > 0]:
BY (220.09)
6:
7:
Z
Z
u
x4
b
a
u
p
dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )
=
1
f2(a2 + b2 )E({; q) ¡ b2 F ({; q)g +
3a3 b4
p
1
[a ¸ u > b > 0]:
+ 2 2 3 (a2 ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
3a b u
½
1
p
= 3 4 2(a2 + b2 )E(¸; q) ¡ b2 F (¸; q) ¡
3a b
x4 (a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )
¾
2(a2 + b2 )u2 + a2 b2 p 2
2 )(u2 ¡ b2 )
¡
(a
¡
u
au3
BY (217.14)
dx
[a > u ¸ b > 0]:
BY (218.12)
8:
Z
u
a
dx
1
p
= 3 4
3a b
x4 (x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )
(
(2a2 +b2 )F (¹; t)¡2(a2 +b2 )E(¹; t)+
[(a2 + 2b2 )u2 + a2 b2 ]b2
+
au3
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
)
[u > a > b > 0]:
9:
Z
1
x4
u
p
dx
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )
=
½
1
(2a2 +b2 )F (º; t)¡2(a2 +b2 )E(º; t)+
3a3 b4
¾
ab2 p 2
2
2
2
+ 3 (u ¡ a )(u ¡ b )
[u ¸ a > b > 0]:
u
BY (215.07)
3.162
1:
2:
Z
Z
u
p
0
1
u
dx
(x2
+
a2 )5 (x2
+
b2 )
1
f(3a2 ¡b2 )F (®; q)¡2(2a2 ¡b2 )E(®; q)g+
3a3 (a2 ¡ b2 )2
=
+
p
dx
(x2
+
a2 )5 (x2
+
b2 )
=
u[a2 (4a2 ¡ 3b2 ) + u2 (3a2 ¡ 2b2 )]
p
3a4 (a2 ¡ b2 ) (u2 + a2 )3 (u2 + b2 )
[a > b;
u > 0]:
BY (221.06)
1
f(3a2 ¡b2 )F (¯; q)¡2(2a2 ¡b2 )E(¯; q)g+
3a3 (a2 ¡ b2 )2
s
u
u2 + b2
+ 2 2
[a > b; u ¸ 0]:
3a (a ¡ b2 ) (a2 + u2 )3
BY (222.03)
3:
Z
u
p
0
dx
(x2 + a2 )(x2 + b2 )5
=
3b2 ¡ a2
a(2a2 ¡ 4b2 )
F
(®;
q)+
E(®; q)+
3ab2 (a2 ¡ b2 )2
3b4 (a2 ¡ b2 )2
s
u
u2 + a2
+ 2 2
[a > b; u > 0]:
2
3b (a ¡ b ) (u2 + b2 )3
BY (221.05)
4:
5:
Z
Z
1
u
p
dx
(x2
+
0
+
b2 )5
dx
(a2
=
1
f2a2 (a2 ¡2b2 )E(¯; q)+b2 (3b2 ¡a2 )F (¯; q)g¡
3ab4 (a2 ¡ b2 )2
¡
u
p
a2 )(x2
+
x2 )5 (b2
¡
x2 )
=
u[b2 (3a2 ¡ 4b2 ) + u2 (2a2 ¡ 3b2 )]
p
3b4 (a2 ¡ b2 ) (u2 + a2 )(u2 + b2 )3
1
[a > b;
f2(b2 +2a2 )E(°; r)¡a2 F (°; r)g+
+
s
u
b2 ¡ u2
+ 2 2
[b ¸ u > 0]:
3a (a + b2 ) (a2 + u2 )3
3a4
p
(a2
b2 )3
u ¸ 0]:
BY (222.05)
6:
Z
b
u
p
dx
(a2 + x2 )5 (b2 ¡ x2 )
=
1
f(4a2 +2b2 )E(±; r)¡a2 F (±; r)g¡
s
b2 ¡ u2
u[a2 (5a2 + 3b2 ) + u2 (4a2 + 2b2 )]
¡
3a4 (a2 + b2 )2
(a2 + u2 )3
[b > u > 0]:
3a4
p
(a2 + b2 )3
BY (213.08)
306
7:
Z
u
p
b
dx
(a2 + x3 )5 (x2 ¡ b2 )
=
ª
(3a2 + 2b2 )F ("; s) ¡ (4a2 + 2b2 )E("; s) +
3a4 (a2 + b2 )3
s
u2 ¡ b2
(3a2 + b2 )u2 + 2(2a2 + b2 )a2
[u > b > 0]:
+
3a2 (a2 + b2 )2 u
(u2 + a2 )3
©
1
p
BY (211.05)
8:
Z
1
u
p
dx
(a2
+
x2 )5 (x2
¡
b2 )
=
3a4
+
p
1
(a2
+
b2 )3
u
3a2 (a2 + b2 )
©
s
ª
(3a2 + 2b2 )F (»; s) ¡ (4a2 + 2b2 )E(»; s) +
u2 ¡ b2
(a2 + u2 )3
[u > b > 0]: cr
BY (212.03)
9:
10:
11:
Z
Z
Z
u
p
0
1
u
p
u
0
dx
(a2
p
+
x2 )(b2
¡
x2 )5
dx
(a2
+
x2 )(x2
¡
b2 )5
dx
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )5
=
=
=
3b4
p
1
(a2
b2 )3
©
ª
(2a2 + 3b2 )F (°; r) ¡ (2a2 + 4b2 )E(°; r) +
+
u[(3a + 4b2 )b2 ¡ (2a2 + 3b2 )u2 ]
p
+
3b4 (a2 + b2 ) (a2 + u2 )(b2 ¡ u2 )3
3b4
p
3
1
(a2
b2 )3
©
BY (214.10)
ª
(2a2 + 4b2 )E(»; s) ¡ b2 F (»; s) +
+
u[(3a + 4b2 )b2 ¡ (2a2 + 3b2 )u2 ]
p
+
3b4 (a2 + b2 ) (a2 + u2 )(u2 ¡ b2 )3
2
[b > u > 0]:
[u > b > 0]:
2a2 ¡ 3b2
2a(2b2 ¡ a2 )
F
(´;
t)
+
E(´; t) +
3ab4 (a2 ¡ b2 )
3b4 (a2 ¡ b2 )2
r
u[(3a2 ¡ 5b2 )b2 ¡ 2(a2 ¡ 2b2 )u2 ]
a2 ¡ u2
+
[a > b > a > 0]:
3b4 (a2 ¡ b2 )2 (b2 ¡ u2 )
b2 ¡ u2
BY (212.04)
12:
Z
a
u
p
dx
(a2 ¡ x2 )(x2 ¡ b2 )5
3b2 ¡ a2
2a(a2 ¡ 2b2 )
F
(¸;
q)
+
E(¸; q) +
3ab2 (a2 ¡ b2 )2
3b4 (a2 ¡ b2 )2
r
u[2(2b2 ¡ a2 )u2 + (3a2 ¡ 5b2 )b2 ]
a2 ¡ u2
+
4
2
2
2
2
2
3b (a ¡ b ) (u ¡ b )
u2 ¡ b2
[a > u > b > 0]:
=
BY (218.04)
13:
Z
u
p
a
dx
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )5
2a2 ¡ 3b2
2a(2b2 ¡ a2 )
F
(¹;
t)
+
E(¹; t) +
3ab4 (a2 ¡ b2 )
3b4 (a2 ¡ b2 )2
r
u
u2 ¡ a2
+ 2 2
[u > a > b > 0]:
3b (a ¡ b2 )(u2 ¡ b2 ) u2 ¡ b2
=
BY (216.11)
307
14:
Z
1
u
p
dx
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )5
=
(4b2 ¡ 2a2 )a
2a2 ¡ 3b2
E(º; t) +
F (º; t) ¡
4
2
2
2
3b (a ¡ b )
3ab4 (a2 ¡ b2 )
r
(3b2 ¡ a2 )u2 ¡ (4b2 ¡ 2a2 )b2
u2 ¡ a2
¡
[u ¸ a > b > 0]:
2
2
2
2
2
2
3b u(a ¡ b ) (u ¡ b )
u2 ¡ b2
BY (215.06)
15:
Z
u
p
0
dx
(a2 ¡ x2 )5 (b2 ¡ x2 )
=
© 2
1
(4a ¡ 2b2 )E(´; t) ¡ (a2 ¡ b2 )F (´; t) ¡
2
2
¡b )
)
r
b2 ¡ u2
u[(5a2 ¡ 3b2 )a2 ¡ (4a2 ¡ 2b2 )u2 ]
¡
[a > b ¸ u > 0]:
a(a2 ¡ u2 )
a2 ¡ u2
3a3 (a2
BY (219.07)
16:
Z
b
u
p
dx
(a2 ¡ x2 )5 (b2 ¡ x2 )
=
2(2a2 ¡ b2 )
1
E(³; r) ¡ 3 2
F (³; t) +
3a3 (a2 ¡ b2 )2
3a (a ¡ b2 )
r
u
b2 ¡ u2
[a > b > u ¸ 0]:
+ 2 2
3a (a ¡ b2 )(a2 ¡ u2 ) a2 ¡ u2
BY (220.10)
17:
Z
u
b
p
dx
(a2
¡
x2 )5 (x2
¡
b2 )
=
ª
© 2
1
(3a ¡ b2 )F ({; q) ¡ (4a2 ¡ 2b2 )E({; q) +
3a3 (a2 ¡ b2 )2
r
2(2a2 ¡ b2 )a2 + (b2 ¡ 3a2 )u2
u2 ¡ b2
+
;
[a > u > b > 0]:
3a2 u(a2 ¡ b2 )2 (a2 ¡ u2 )
a2 ¡ u2
18:
Z
1
u
p
dx
(x2
¡
a2 )5 (x2
¡
b2 )
=
ª
© 2
1
(4a ¡ 2b2 )E(º; t) ¡ (a2 ¡ b2 )F (º; t) +
2
2
¡b )
r
2
u2 ¡ b2
(4a ¡ 2b2 )a2 + (b2 ¡ 3a2 )u2
+
[u > a > b > 0]:
3a2 u(a2 ¡ b2 )2 (u2 ¡ a2 )
u2 ¡ a2
3a3 (a2
BY (215.04)
3.163
1:
Z
u
p
0
dx
(x2 + a2 )3 (x2 + b2 )3
=
ª
© 2
1
2
2
¡
+
b
)E(®;
q)
¡
2b
F
(®;
q)
(a
ab2 (a2 ¡ b2 )2
u
p
¡
[a > b; u > 0]:
a2 (a2 ¡ b2 ) (a2 + u2 )(b2 + u2 )
BY (221.07)
ª
© 2
1
(a + b2 )E(¯; q) ¡ 2b2 F (¯; q) ¡
2
2
¡b )
u
p
[a > b; u ¸ 0]:
¡
2
2
2
b (a ¡ b ) (a2 + u2 )(b2 + u2 )
BY (222.12)
308
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
1
u
p
dx
(x2
+
u
p
0
1
u
0
p
+
b2 )3
dx
(x2
p
u
a2 )3 (x2
+
a2 )3 (b3
¡
x2 )3
dx
(x2 + a2 )3 (x2 ¡ b2 )3
dx
(a2 ¡ x2 )3 (b2 ¡ x2 )3
=
=
ab2 (a2
a2 b2
+
=
=
p
1
(a2
+
b2 )3
©
ª
a2 F (°; r) ¡ (a2 ¡ b2 )E(°; r) +
u
p
b2 (a2 + b2 ) (a2 + u2 )(b2 ¡ u2 )
[b > u > 0]:
BY (214.15)
b2 ¡ a2
1
p
E(»; s) ¡ p
F (»; s) +
2
2
2
2
3
2
2
a b (a + b )
a (a + b2 )3
u
p
+
[u > b > 0]:
2
2
2
b (a + b ) (u2 + a2 )(u2 ¡ b2 )
1
ab2 (a2 ¡ b2 )
+
F (´; t) ¡
BY (212.05)
a2 + b2
E(´; t) +
ab2 (a2 ¡ b2 )2
[a4 + b4 ¡ (a2 + b2 )u2 ]u
p
a2 b2 (a2 ¡ b2 )2 (a2 ¡ u2 )(b2 ¡ u2 )
[a > b > u > 0]:
BY (279.08)
BY (215.10)
3.164
Notations:
® = arccos
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u2 ¡½½
u2 +½½ ; r
1
u
1
u
p
=
q
+
2
¡ (½¡½)
½½ .
dx
(x2
½2 )(x2
1
= p F (®; r):
½½
+½ )
2
BY (225.00)
p
2u (u2 + ½2 )(u2 + ½2 )
1
p E(®; r):
p
=
¡
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
(½ + ½)2 ½½
(½ + ½) (u ¡ ½ ½ )
(x ¡ ½½) (x + ½ )(x + ½ )
x2 dx
1
u
1
2
(x2 + ½½)2
p
x2 dx
2
(x2 + ½2 )(x2 + ½ )
=¡
BY (225.03)
1
p [F (®; r) ¡ E(®; r)]:
(½ ¡ ½)2 ½½
BY (225.07)
309
4:
5:
6:
Z
Z
Z
1
u
1
u
1
u
p
4 ½½
1
p F (®; r) ¡
p
=¡ 2
E(®; r) +
2
2
2
(½ ¡ ½)2 ½½
(½ ¡ ½ )
(x2 + ½2 )3 (x2 + ½ )3
2u(u2 ¡ ½½)
p
¡
:
(½ + ½)2 (u2 + ½½) (u2 + ½2 )(u2 + ½2 )
x2 dx
p
p
(x2 ¡ ½½)2 dx
(x2 + ½2 )3 (x2 + ½2 )3
=¡
BY (225.05)
p
4 ½½
[F (®; r) ¡ E(®; r)] +
(½ ¡ ½)2
+
2u(u2 ¡ ½½)
p
:
(u2 + ½½) (u2 + ½2 )(u2 + ½2 )
(x2 + ½2 )(x2 + ½2 )
1
dx = p E(®; r):
2
2
(x + ½½)
½½
BY (225.06)
7:
8:
Z
Z
1
u
1
u
p
(x2 ¡ %%)2 dx
(% + %)2
4 %%
p F (®; r):
p
=
¡
E(®;
r)+
(% ¡ %)2
(% ¡ %)2 %%
(x2 + %%)2 (x2 + %2 )(x2 + %2 )
BY (225.08)
(x2 + %%)2 dx
1
p
= p ¦(®; p2 ; r):
2
2
2
2
2
2
2
2
%%
[(x + %%) ¡ 4p %%x ] (x + % )(x + % )
BY (225.02)
3.165
Notations:
u2 ¡a2
u2 +a2
® = arccos
1:
Z
a
u
;r =
p
a2p¡b2
a 2
.
p
dx
2
p
p
= p
£
4
2
2
4
x + 2b x + a
a 2 + a2 + b2
2
3
à p
! q p
p
2 ¡ b2 )
2
2
a
2
(a
2
a 2+ a ¡b a¡u
5
p
p
£ F 4arctg
; p
a+u
a2 + b2
a 2 + a2 ¡ b2
[a > b;
2:
Z
1
u
p
dx
1
=
F (®; r)
2a
x4 + 2b2 x2 + a4
[a2 > b2 > ¡1;
a > u ¸ 0]:
a2 > 0;
BY (264.00)
u ¸ 0]:
BY (263.00, 266.00)
3:
Z
1
u
p
dx
1
u4 + 2b2 u2 + a4
p
= 3 [F (®; r) ¡ 2E(®; r)] +
2a
a2 u(u2 + a2 )
x2 x4 + 2b2 x2 + a4
[a > b > 0; u > 0]:
BY (263.06)
4:
Z
1
u
x2 dx
1
p
=
[F (®; r) ¡ E(®; r)]
4a(a2 ¡ b2 )
(x2 + a2 )2 x4 + 2b2 x2 + a4
[a2 > b2 > ¡1; a2 > 0; u ¸ 0]:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
u
1
u
1
u
1
u
1
u
1
p
x2 dx
u u4 + 2b2 u2 + a4
1
p
¡
=
E(®; r)
2(a2 + b2 )(u4 ¡ a4 ) 4a(a2 + b2 )
(x2 ¡ a2 )2 x4 + 2b2 x2 + a4
[a2 > b2 > ¡1; u2 > a2 > 0]:
p
p
p
x2 dx
(x4 + 2b2 x2 + a4 )3
=
a
1
E(®; r) ¡
F (®; r) ¡
2(a4 ¡ b4 )
4a(a2 ¡ b2 )
¡
(x2 ¡ a2 )2 dx
(x4 + 2b2 x2 + a4 )3
(x2 + a2 )2 dx
(x2 + 2b2 x2 + a4 )3
=
=
u(u2 ¡ a2 )
p
2(a2 + b2 )(u2 + a2 ) u4 + 2b2 u2 + a4
[a2 > b2 > ¡1; a2 > 0; u ¸ 0]:
BY (263.08, 266.03)
a
u2 ¡ a2
u
p
[F
(®;
r)
¡
E(®;
r)]+
2
2
2
2
4
a ¡b
u +a
u + 2b2 u2 + a4
[jb2 j < a2 ; u ¸ 0]:
u
BY (266.08)
a
a2 ¡ b2 u2 ¡ a2
u
E(®;
r)
¡
¢ 2
¢p
2
2
2
2
2
4
a +b
a +b u +a
u + 2b2 u2 + a4
[jb2 j < a2 ;
u ¸ 0]:
BY (266.06)a
a
a2 + b2
(x2 ¡ a2 )2 dx
p
= 2
E(®; r) ¡
F (®; r)
2
a ¡b
2a(a2 ¡ b2 )
(x2 + a2 )2 x4 + 2b2 x2 + a4
[a2 > b2 > ¡1; a2 > 0; u ¸ 0]
p
BY (263.05, 266.02)
x4 + 2b2 x2 + a4
1
dx =
E(®; r)
(x2 + a2 )2
2a
[a2 > b2 > ¡1;
a2 > 0;
BY (263.04, 266.07)
u ¸ 0]:
BY (263.01, 266.01)
11:
Z
1
u
p
x4 + 2b2 x2 + a4
1
u p 4
dx =
u + 2b2 u2 + a4
[F (®; r)¡E(®; r)]+ 4
2
2
2
(x ¡ a )
2a
u ¡ a4
[a > b > 0; u > a]:
12:
Z
1
u
(x2 + a2 )2 dx
1
p
=
¦(®; p2 ; r)
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2a
[(x + a ) ¡ 4a p x ] x + 2b x + a
[a > b > 0;
u ¸ 0]:
BY (263.02)
3.166
Notations:
u2 ¡1
u2 +1 ; ¯
® = arccos
= arctg
n
o
p
(1+ 2)f1¡u
,
1+u
1
1 ¡ u2
° = arccos u; ± = arccos ; " = arccos
;
u
1 + u2
p
q
p
p
p
2
4
r=
; q = 2 3 2 ¡ 4 = 2 2( 2 ¡ 1) ¼ 0; 985171:
2
311
1:
Z
1
u
p
1
dx
= F (®; r)
4
2
x +1
[u ¸ 0]:
ZH (287), BY (263.50)
2:
Z
1
u
p
dx
1
u4 + 1
p
= [F (®; r) ¡ 2E(®; r)] +
2
u(u2 + 1)
x2 x4 + 1
[u > 0]:
BY (263.57)
3:
Z
1
u
x2 dx
1
1
u(u2 ¡ 1)
p
p
= E(®; r)¡ F (®; r)¡
2
4
(x4 + 1) x4 + 1
2(u2 + 1) u4 + 1
[u ¸ 0]:
BY (263.59)
4:
Z
1
u
x2 dx
1
p
= [F (®; r) ¡ E(®; r)]
4
(x2 + 1)2 x4 + 1
[u ¸ 0]:
BY (263.53)
5:
Z
1
u
p
x2 dx
u u4 + 1
1
p
¡ E(®; r)
=
4
2
2
4
2(u ¡ 1)
4
(x ¡ 1) x + 1
[u > 1]:
BY (263.55)
BY (263.58)
7:
Z
1
u
(x2 ¡ 1)2 dx
1
p
= E(®; r) ¡ F (®; r)
2
2
4
2
(x + 1) x + 1
[u ¸ 0]:
BY (263.54)
8:
Z
1
p
x4 + 1 dx
1
= E(®; r)
(x2 + 1)2
2
u
[u ¸ 0]:
BY (263.51)
9:
Z
1
u
(x2 + 1)2 dx
1
p
= ¦(®; p2 ; r)
2
2
2
2
4
2
[(x + 1) ¡ 4p x ] x + 1
[u ¸ 0]:
BY (263.52)
10:
Z
u
p
0
1
dx
= F ("; r):
4
2
x +1
ZH 66(288)
11:
Z
1
u
p
p
dx
= (2 ¡ 2)F (¯; q)
x4 + 1
[0 ∙ u < 1]:
BY (264.50)
12:
Z
1
u
p
p
(x2 + x 2 + 1) dx
p
p
= (2 + 2)E(¯; q)
2
4
(x ¡ x 2 + 1) x + 1
[0 ∙ u < 1]:
BY (264.51)
13:
14:
Z
Z
1
u
1
u
(1 ¡ x)2 dx
1
p
p
= p [F (¯; q) ¡ E(¯; q)]
2
4
(x ¡ x 2 + 1) x + 1
2
[0 ∙ u < 1]:
p
p
(1 + x)2 dx
3 2+4
3 2¡4
p
p
=
E(¯; q)¡
F (¯; q)
2
2
(x2 ¡ x 2 + 1) x4 + 1
BY (264.55)
[0 ∙ u < 1]:
Z
15:
1
u
p
dx
1 ¡ x4
1
= p F (°; r)
2
[u < 1]:
ZH 66 (290), BY (259.75)
312
Z
16:
Z
17:
1
p
0
dx
1
= p
1 ¡ x4
4 2¼
u
p
1
½ • ¶¾ 2
1
¡
:
4
dx
1
= p F (±; r)
4
x ¡1
2
18:
8
Z
[u > 1]:
ZH 66 (289), BY (260.75)
p
x2 dx
1
p
= 2E(°; r) ¡ p F (°; r)
4
1¡x
2
u
½ • ¶¾ 2
1
3
= p
¡
[u = 0]:
4
2¼
1
[u < 1];
BY (259.76)
Z
19:
Z
20:
21:
22:
3
Z
Z
u
1
1
u
u
1
u
0
p
1
1p 4
x2 dx
p
u ¡1
= p F (±; r) ¡ 2E(±; r) +
u
x4 ¡ 1
2
x4 dx
1
up
p
= p F (°; r) +
1 ¡ u4
3
1 ¡ x4
3 2
x4 dx
1
1 p
p
= p F (±; r) + u u4 ¡ 1
3
x4 ¡ 1
3 2
dx
1
p
F
= p
4
3
3
x(1 + x )
Ã
[u > 1]:
BY (260.77)
[u < 1]:
BY (259.76)
[u > 1]:
p
p !
p
1 + (1 ¡ 3)u
2+ 3
p
arccos
;
2
1 + (1 + 3)u
BY (260.77)
[u > 0]:
23:
Z
u
0
Ã
1
p
= p
F
4
3
3
x(1 ¡ x )
dx
¯ = arcsin
± = arcsin
¸ = arcsin
º = arcsin
s
s
s
q
(a¡c)(d¡u)
(a¡d)(c¡u) ,
(a ¡ c)(u ¡ d)
;
(c ¡ d)(a ¡ u)
° = arcsin
(b ¡ d)(u ¡ c)
;
(b ¡ c)(u ¡ d)
{ = arcsin
(a ¡ c)(u ¡ b)
;
(a ¡ b)(u ¡ c)
¹ = arcsin
(b ¡ d)(u ¡ a)
;
(a ¡ d)(u ¡ b)
[1 ¸ u > 0]:
BY (259.50)
In 3.167 and 3.168 we set: ® = arcsin
s
p
p
p !
1 ¡ (1 + 3)u
2¡ 3
p
arccos
;
2
1 + ( 3 ¡ 1)u
q=
s
s
s
s
(b ¡ d)(c ¡ u)
;
(c ¡ d)(b ¡ u)
(a ¡ c)(b ¡ u)
;
(b ¡ c)(a ¡ u)
(b ¡ d)(a ¡ u)
;
(a ¡ b)(u ¡ d)
(b ¡ c)(a ¡ d)
;
(a ¡ c)(b ¡ d)
r=
s
(a ¡ b)(c ¡ d)
:
(a ¡ c)(b ¡ d)
313
3.167
1:
Z ds
u
d¡x
2(c ¡ d)
dx = p
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
(a ¡ c)(b ¡ d)
½ •
¶
¾
a¡d
¦ ®;
; q ¡ F (®; q)
a¡c
[a > b > c > d > u]:
BY (251.05)
2:
3:
Z
u
d
s
Z cs
u
4:
Z
u
c
s
x¡d
2(d ¡ a)
dx = p
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
(a ¡ c)(b ¡ d)
x¡d
2
dx = p
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
(a ¡ c)(b ¡ d)
½ •
¶
¾
d¡c
¦ ¯;
; r ¡ F (¯; r)
a¡c
[a > b > c ¸ u > d]:
½
•
c¡d
(c ¡ b)¦ °;
;r
b¡d
[a > b > c > u ¸ d]:
•
¶
x¡d
2(c ¡ d)
b¡c
dx = p
¦ ±;
;q
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (252.14)
¶
¾
+ (b ¡ d)F (°; r)
BY (253.14)
5:
Z bs
u
6:
7:
Z
u
b
s
Z as
u
8:
Z
u
a
s
x¡d
2
dx = p
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
(a ¡ c)(b ¡ d)
x¡d
2
dx = p
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
(a ¡ c)(b ¡ d)
½
•
b¡c
(b ¡ a)¦ {;
;q
a¡c
[a > b > u ¸ c > d]:
½
•
[a ¸ u > b > c > d]:
½
•
¶
¾
+ (c ¡ d)F (¸; r)
BY (256.13)
[a > u ¸ b > c > d]:
a¡d
(a ¡ b)¦ º;
;q
b¡d
[u > a > b > c > d]:
¾
+ (a ¡ d)F ({; q)
BY (255.20)
a¡b
(b ¡ c)¦ ¸;
;r
a¡c
•
¶
x¡d
2(a ¡ d)
b¡a
dx = p
¦ ¹;
;r
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
x¡d
2
dx = p
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)
(a ¡ c)(b ¡ d)
¶
BY (257.02)
¶
¾
+ (b ¡ d)F (º; q)
BY (258.14)
9:
Z dr
u
•
¶
a¡d
c¡x
2(c ¡ d)
¦ ®;
dx = p
;q
(a ¡ x)(b ¡ x)(d ¡ x)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > d > u]:
BY (251.02)
10:
11:
Z
d
ur
Z cr
u
∙
•
¶
¸
c¡x
2
d¡c
dx = p
(a ¡ d)¦ ¯;
; r ¡ (a ¡ c)F (¯; r)
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
∙ •
¶
¸
c¡x
2(b ¡ c)
c¡d
dx = p
¦ °;
; r ¡ F (°; r)
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
BY (252.13)
12:
Z
c
ur
¸
∙ •
¶
x¡c
b¡c
2(c ¡ d)
dx = p
¦ ±;
; q ¡ F (±; q)
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.12)
13:
Z br
u
14:
15:
Z
b
ur
Z ar
u
16:
Z
a
ur
¶
∙
•
¸
x¡c
2
b¡c
dx = p
; q + (a ¡ c)F ({; q)
(b ¡ a)¦ {;
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > u ¸ c > d]:
•
¶
x¡c
a¡b
2(b ¡ c)
¦ ¸;
dx = p
;r
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
BY (259.19)
[a ¸ u > b > c > d]:
∙
•
¶
¸
x¡c
2
b¡a
dx = p
(a ¡ d)¦ ¹;
; r + (d ¡ c)F (¹; r)
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > u ¸ b > c > d]:
BY (256.02)
BY (257.13)
∙
•
¶
¸
x¡c
2
a¡d
dx = p
(a ¡ b)¦ º;
; q + (b ¡ c)F (º; q)
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
BY (258.13)
17:
Z ds
u
∙
•
¶
¸
b¡x
2
a¡d
dx = p
(c ¡ d)¦ ®;
; q + (b ¡ c)F (®; q)
(a ¡ x)(c ¡ x)(d ¡ x)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > d > u]:
BY (251.07)
18:
Z
u
d
s
∙
•
¶
¸
b¡x
2
d¡c
dx = p
(a ¡ d)¦ ¯;
; r ¡ (a ¡ b)F (¯; r)
(a ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
BY (252.15)
Z cs
19:
u
Z
20:
u
c
s
Z bs
21:
u
Z
22:
23:
8
u
b
s
Z as
u
•
¶
c¡d
b¡x
2(b ¡ c)
dx = p
¦ °;
;r
(a ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
BY (253.02)
∙
•
¶
¸
b¡c
b¡x
2
p
dx =
(d ¡ c)¦ ±;
; q + (b ¡ d)F (±; q)
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b ¸ u > c > d]:
∙ •
¶
¸
b¡x
2(a ¡ b)
b¡c
p
dx =
¦ {;
; q ¡ F ({; q)
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > u ¸ c > d]:
∙ •
¶
¸
x¡b
2(b ¡ c)
a¡b
p
dx =
¦ ¸;
; r ¡ F (¸; r)
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a ¸ u > b > c > d]:
¶
¸
∙
•
2
x¡b
b¡a
p
dx =
; r ¡ (b ¡ d)F (¹; r)
(a ¡ d)¦ ¹;
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > u ¸ b > c > d]:
BY (254.14)
BY (255.21)
BY (256.15)
BY (257.15)
315
24:
25:
Z
u
a
s
Z dr
u
•
¶
x¡b
2(a ¡ b)
a¡d
dx = p
¦ º;
;q
(x ¡ a)(x ¡ c)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
∙
•
¶
¸
a¡x
2
a¡d
dx = p
(c ¡ d)¦ ®;
; q + (a ¡ c)F (®; q)
(b ¡ x)(c ¡ x)(d ¡ x)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > d > u]:
BY (258.02)
26:
27:
Z
d
ur
Z cr
u
•
¶
a¡x
d¡c
2(a ¡ d)
dx = p
¦ ¯;
;r
(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
BY (252.02)
¶
¸
∙
•
a¡x
2
c¡d
dx = p
; r + (a ¡ b)F (°; r)
(b ¡ c)¦ °;
(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
BY (253.15)
28:
Z
c
ur
∙
•
¶
¸
a¡x
b¡c
2
(d ¡ c)¦ ±;
dx = p
; q + (a ¡ d)F (±; q)
(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.13)
29:
Z br
u
30:
Z
b
ur
•
¶
a¡x
2(a ¡ b)
b¡c
¦ {;
dx = p
;q
(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > u ¸ c > d]:
BY (255.02)
∙
•
¶
¸
2
a¡b
a¡x
dx = p
(c ¡ b)¦ ¸;
; r + (a ¡ c)F (¸; r)
(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a ¸ u > b > c > d]:
BY (256.14)
31:
Z ar
u
∙ •
¶
¸
a¡x
2(d ¡ a)
b¡a
dx = p
¦ ¹;
; r ¡ F (¹; r)
(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[a > u ¸ b > c > d]:
BY (257.14)
32:
Z
a
ur
∙ •
¶
¸
x¡a
2(a ¡ b)
a¡d
dx = p
¦ º;
; q ¡ F (º; q)
(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
b¡d
(a ¡ c)(b ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
BY (258.15)
3.168
1:
Z cr
u
c¡x
2
dx =
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ d)3
d¡a
"r
a¡c
E(°; r) ¡
b¡d
s
(a ¡ u)(c ¡ u)
(b ¡ u)(u ¡ d)
#
[a > b > c > u > d]:
BY (253.06)
2:
Z
c
ur
x¡c
2
dx =
3
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ d)
a¡d
r
a¡c
[F (±; q)¡E(±; q)]
b¡d
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.04)
316
3:
Z br
u
x¡c
2
dx =
3
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ d)
a¡d
r
a¡c
[F ({; q) ¡ E({; q)] +
b¡d
s
2
(b ¡ u)(u ¡ c)
+
[a > b > u ¸ c > d]:
b ¡ d (a ¡ u)(u ¡ d)
BY (255.09)
4:
5:
Z
b
ur
Z ar
u
x¡c
2
dx =
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ d)3
a¡d
x¡c
2
dx =
3
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ d)
a¡d
"r
a¡c
c¡d
E(¸; r) ¡
b¡d
b¡d
s
(a ¡ u)(u ¡ b)
(u ¡ c)(u ¡ d)
#
[a ¸ u > b > c > d]:
r
a¡c
E(¹; r)
b¡d
BY (256.06)
[a > u ¸ b > c > d]:
BY (257.01)
6:
Z
a
ur
x¡c
2
dx =
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ d)3
a¡d
r
a¡c
[F (º; q) ¡ E(º; q)] +
b¡d
s
2
(u ¡ a)(u ¡ c)
[u > a > b > c > d]:
+
a ¡ d (u ¡ b)(u ¡ d)
BY (258.10)
BY (253.03)
8:
9:
Z
u
c
s
Z bs
u
b¡x
2
p
£
dx =
3
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
(a ¡ d)(c ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
£ [(a ¡ c)(b ¡ d)E(±; q) ¡ (a ¡ b)(c ¡ d)F (±; q)]
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.15)
b¡x
2
p
£
dx =
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)3
(a ¡ d)(c ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
£ [(a ¡ c)(b ¡ d)E({; q) ¡ (a ¡ b)(c ¡ d)F ({; q)] ¡
s
2
(b ¡ u)(u ¡ c)
¡
[a > b > u ¸ c > d]:
c ¡ d (a ¡ u)(u ¡ d)
BY (255.06)
317
10:
Z
u
b
s
x¡b
2
p
dx =
£
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)3
(a ¡ d)(c ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
£ [(a ¡ c)(b ¡ d)E(¸; r) ¡ (a ¡ d)(b ¡ c)F (¸; r)] ¡
s
2
(a ¡ u)(u ¡ b)
¡
[a ¸ u > b > c > d]:
a ¡ d (u ¡ c)(u ¡ d)
BY (256.03)
11:
Z as
u
p
(a ¡ c)(b ¡ d)
x¡b
dx = 2
E(¹; r) ¡
3
(a ¡ d)(c ¡ d)
(a ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
¡
12:
Z
u
a
s
2(b ¡ c)
p
F (¹; r)
(c ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > u ¸ b > c > d]:
x¡b
2(b ¡ d)
dx =
(x ¡ a)(x ¡ c)(x ¡ d)3
(a ¡ d)(c ¡ d)
s
(u ¡ a)(u ¡ c)
+
(u ¡ b)(u ¡ d)
2(a ¡ b)
p
F (º; q) +
(a ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
p
(a ¡ c)(b ¡ d)
+2
E(º; q)
[u > a > b > c > d]:
(a ¡ d)(c ¡ d)
+
BY (257.09)
13:
Z cr
u
a¡x
2
dx =
3
(b ¡ x)(c ¡ x)(x ¡ d)
c¡d
r
a¡c
[F (°; r) ¡ E(°; r)] +
b¡d
s
2
(a ¡ u)(c ¡ u)
[a > b > c > u > d]:
+
c ¡ d (b ¡ u)(u ¡ d)
BY (253.04)
14:
Z
c
ur
2
a¡x
dx =
3
(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
c¡d
r
a¡c
E(±; q)
b¡d
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.01)
15:
Z br
u
16:
Z
b
ur
a¡x
2
dx =
3
(b ¡ x)(x ¡ c)(x ¡ d)
c¡d
a¡x
2
dx =
(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)3
c¡d
r
a¡c
2(a ¡ d)
E({; q)¡
b¡d
(b ¡ d)(c ¡ d)
[a > b > u ¸ c > d]:
s
(b ¡ u)(u ¡ c)
(a ¡ u)(u ¡ d)
BY (255.08)
r
a¡c
[F (¸; r) ¡ E(¸; r)] +
b¡d
s
(a ¡ u)(u ¡ b)
2
+
[a ¸ u > b > c > d]:
b ¡ d (u ¡ c)(u ¡ d)
BY (256.05)
318
17:
Z ar
u
a¡x
2
dx =
(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)3
c¡d
r
a¡c
[F (¹; r)¡E(¹; r)]
b¡d
[a > u ¸ b > c > d]:
BY (257.06)
18:
Z
a
ur
¡2
x¡a
dx =
3
(x ¡ b)(x ¡ c)(x ¡ d)
c¡d
r
a¡c
2
E(º; q)+
b¡d
c¡d
s
(u ¡ a)(u ¡ c)
(u ¡ b)(u ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
BY (258.05)
19:
Z ds
u
d¡x
2
dx =
3
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
b¡c
r
b¡d
[F (®; q)¡E(®; q)]
a¡c
[a > b > c > d > u]:
20:
21:
Z
u
d
s
Z bs
u
r
¡2
x¡d
dx =
3
(a ¡ x)(b ¡ x)(c ¡ x)
b¡c
x¡d
2
dx =
3
(a ¡ x)(b ¡ x)(x ¡ c)
b¡c
b¡d
2
E(¯; r)+
a¡c
b¡c
s
(b ¡ u)(u ¡ d)
(a ¡ u)(c ¡ u)
[a > b > c ¸ u > d]:
BY (252.06)
r
b¡d
[F ({; q) ¡ E({; q)] +
a¡c
s
(b ¡ u)(u ¡ d)
2
[a > b > u > c > d]:
+
b ¡ c (a ¡ u)(u ¡ c)
BY (255.05)
22:
Z
u
b
s
r
x¡d
2
dx =
3
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
b¡c
b¡d
E(¸; r)
a¡c
[a ¸ u > b > c > d]:
BY (256.01)
23:
Z as
u
24:
Z
u
a
s
x¡d
2
dx =
3
(a ¡ x)(x ¡ b)(x ¡ c)
b¡c
r
x¡d
2
dx =
3
(x ¡ a)(x ¡ b)(x ¡ c)
b¡c
b¡d
2(c ¡ d)
E(¹; r)¡
a¡c
(a ¡ c)(b ¡ c)
s
[a > u ¸ b > c > d]:
(a ¡ u)(u ¡ b)
(u ¡ c)(u ¡ d)
BY (257.06)
r
b¡d
[F (º; q) ¡ E(º; q)] +
a¡c
s
2
(u ¡ a)(u ¡ d)
+
[u > a > b > c > d]:
a ¡ c (u ¡ b)(u ¡ c)
BY (258.06)
25:
Z as
u
b¡x
2
dx =
3
(a ¡ x)(c ¡ x) (d ¡ x)
c¡d
r
b¡d
E(®; q)
a¡c
[a > b > c > d > u]:
BY (251.01)
26:
Z
u
d
s
b¡x
2
dx =
(a ¡ x)(c ¡ x)3 (x ¡ d)
c¡d
r
b¡d
[F (¯; r) ¡ E(¯; r)] +
a¡c
s
2
(b ¡ u)(u ¡ d)
+
[a > b > c > u > d]:
c ¡ d (a ¡ u)(c ¡ u)
319
27:
Z bs
u
b¡x
2
dx =
(a ¡ x)(x ¡ c)3 (x ¡ d)
d¡c
r
b¡d
2
E({; q)+
a¡c
c¡d
s
(b ¡ u)(u ¡ d)
(a ¡ u)(u ¡ c)
[a > b > u > c > d]:
BY (255.03)
28:
Z
u
b
s
x¡b
2
dx =
(a ¡ x)(x ¡ c)3 (x ¡ d)
c¡d
r
b¡d
[F (¸; r)¡E(¸; r)]
a¡c
[a ¸ u > b > c > d]:
BY (256.08)
29:
Z as
u
x¡b
2
dx =
3
(a ¡ x)(x ¡ c) (x ¡ d)
c¡d
r
b¡d
[F (¹; r) ¡ E(¹; r)] +
a¡c
s
2
(a ¡ u)(u ¡ b)
+
[a > u ¸ b > c > d]:
a ¡ c (u ¡ c)(u ¡ d)
BY (257.03)
30:
Z
u
a
s
x¡b
2
dx =
3
(x ¡ a)(x ¡ c) (x ¡ d)
c¡d
r
b¡d
2(b ¡ c)
E(º; q)¡
a¡c
(a ¡ c)(c ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
s
(u ¡ a)(u ¡ d)
(u ¡ b)(u ¡ c)
BY (258.03)
31:
Z dr
u
32:
Z
d
ur
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
a¡x
dx =
E(®; q) ¡
(b ¡ c)(c ¡ d)
(b ¡ x)(c ¡ x)3 (d ¡ x)
2
a¡b
p
¡
F (®; q)
b ¡ c (a ¡ c)(b ¡ d)
a¡x
dx =
(b ¡ x)(c ¡ x)3 (x ¡ d)
p
(a ¡ c)(b ¡ d)
2(a ¡ d)
p
=
F (¯; r) ¡ 2
E(¯; r) +
(b ¡ c)(c ¡ d)
(c ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
a¡c
(b ¡ u)(u ¡ d)
+2
[a > b > c > u > d]:
(b ¡ c)(c ¡ d) (a ¡ u)(c ¡ u)
[a > b > c > d > u]:
BY (251.08)
33:
Z br
u
a¡x
dx =
(b ¡ x)(x ¡ c)3 (x ¡ d)
s
2(a ¡ b)
(a ¡ c)(b ¡ d)
p
E({; q) +
=
F ({; q) ¡ 2
(b ¡ c)(c ¡ d)
(b ¡ c) (a ¡ c)(b ¡ c)
s
2(a ¡ c)
(b ¡ u)(u ¡ d)
[a > b > u > c > d]:
+
(b ¡ c)(c ¡ d) (a ¡ u)(u ¡ c)
BY (255.04)
320
34:
35:
Z
b
ur
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
a¡x
dx =
E(¸; r) ¡
(b ¡ c)(c ¡ d)
(x ¡ b)(x ¡ c)3 (x ¡ d)
2(a ¡ d)
p
¡
F (¸; r)
(c ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
[a ¸ u > b > c > d]:
BY (256.09)
Z ar
a¡x
dx =
(x
¡
b)(x
¡ c)3 (x ¡ d)
u
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(a ¡ d)
p
E(¹; r) ¡
=
F (¹; r) ¡
(b ¡ c)(c ¡ d)
(c ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
(a ¡ u)(u ¡ b)
2
¡
[a > u ¸ b > c > d]:
b ¡ c (u ¡ c)(u ¡ d)
BY (257.04)
36:
Z
a
ur
x¡a
dx =
(x ¡ b)(x ¡ c)3 (x ¡ d)
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(a ¡ b)
p
E(º; q) ¡
=
F (º; q) ¡
(b ¡ c)(c ¡ d)
(b ¡ c) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
2
(u ¡ a)(u ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
¡
c ¡ d (u ¡ b)(u ¡ c)
BY (258.04)
37:
Z ds
d¡x
dx =
(a ¡ x)(b ¡ x)3 (c ¡ x)
u
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(c ¡ d)
p
=
E(®; q) ¡
F (®; q) ¡
(a ¡ b)(b ¡ c)
(b ¡ c) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
(a ¡ u)(d ¡ u)
2
¡
[a > b > c > d > u]:
a ¡ b (b ¡ u)(c ¡ u)
BY (251.11)
BY (252.07)
321
39:
40:
Z cs
x¡d
dx =
(a ¡ x)(b ¡ x)3 (c ¡ x)
u
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(a ¡ d)
p
E(°; r) ¡
=
F (°; r)
(a ¡ b)(b ¡ c)
(a ¡ b) (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
Z
u
c
s
BY (253.07)
x¡d
dx =
(a ¡ x)(b ¡ x)3 (x ¡ c)
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(c ¡ d)
p
=
F (±; q) ¡
E(±; q) +
(a ¡ b)(b ¡ c)
(b ¡ c) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
(a ¡ u)(u ¡ c)
2(b ¡ d)
+
[a > b > u > c > d]:
(a ¡ b)(b ¡ c) (b ¡ u)(u ¡ d)
BY (254.05)
41:
Z as
u
x¡d
dx =
(a ¡ x)(x ¡ b)3 (x ¡ c)
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(a ¡ d)
p
=
F (¹; r) ¡
E(¹; r) +
(a ¡ b)(b ¡ c)
(a ¡ b) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
(a ¡ u)(u ¡ c)
2(b ¡ d)
+
[a > u > b > c > d]:
(a ¡ b)(b ¡ c) (u ¡ b)(u ¡ d)
BY (257.07)
42:
Z
u
a
s
x¡d
dx =
(x ¡ a)(x ¡ b)3 (x ¡ c)
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(c ¡ d)
p
=
E(º; q) ¡
F (º; q)
(a ¡ b)(b ¡ c)
(b ¡ c) (a ¡ c)(b ¡ d)
[u > a > b > c > d]:
BY (258.07)
43:
Z dr
c¡x
dx =
(a
¡
x)(b
¡ x)3 (d ¡ x)
u
s
r
2
a¡c
(a ¡ u)(d ¡ u)
2(b ¡ c)
=
E(®; q) ¡
a¡b b¡d
(a ¡ b)(b ¡ d) (b ¡ u)(c ¡ u)
44:
Z
d
ur
c¡x
2
dx =
3
(a ¡ x)(b ¡ x) (x ¡ d)
a¡b
r
a¡c
[F (¯; r) ¡ E(¯; r)] +
b¡d
s
2
(c ¡ u)(u ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
+
b ¡ d (a ¡ u)(b ¡ u)
BY (252.10)
322
45:
Z cr
u
r
c¡x
2
dx =
3
(a ¡ x)(b ¡ x) (x ¡ d)
a¡b
a¡c
[F (°; r)¡E(°; r)]
b¡d
[a > b > c > u ¸ d]:
BY (254.08)
46:
47:
Z
c
ur
Z ar
u
x¡c
2
dx =
(a ¡ x)(b ¡ x)3 (x ¡ d)
b¡a
2
x¡c
dx =
(a ¡ x)(x ¡ b)3 (x ¡ d)
a¡b
r
a¡c
2
E(±; q)+
b¡d
a¡b
s
(a ¡ u)(u ¡ c)
(b ¡ u)(u ¡ d)
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.08)
r
a¡c
[F (¹; r) ¡ E(¹; r)] +
b¡d
s
2
(a ¡ u)(u ¡ c)
+
[a > u ¸ b > c > d]:
a ¡ b (u ¡ b)(u ¡ d)
BY (257.10)
48:
Z
a
ur
x¡c
2
dx =
(x ¡ a)(x ¡ b)3 (x ¡ d)
a¡b
r
a¡c
E(º; q)
b¡d
[u > a > b > c > d]:
BY (258.01)
49:
Z dr
u
a¡x
2
dx =
3
(b ¡ x) (c ¡ x)(d ¡ x)
b¡c
r
a¡c
[F (®; q) ¡ E(®; q)] +
b¡d
s
2
(a ¡ u)(d ¡ u)
+
[a > b > c > d > u]:
b ¡ d (b ¡ u)(c ¡ u)
BY (251.12)
50:
51:
Z
d
ur
Z cr
u
r
a¡x
2
dx =
(b ¡ x)3 (c ¡ x)(x ¡ d)
b¡c
a¡x
2
dx =
(b ¡ x)3 (c ¡ x)(x ¡ d)
b¡c
r
s
a¡c
2(a ¡ b)
E(¯; r)¡
b¡d
(b ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
a¡c
E(°; r)
b¡d
(u ¡ d)(c ¡ u)
(a ¡ u)(b ¡ u)
BY (252.09)
[a > b > c > u ¸ d]:
BY (253.01)
52:
Z
c
ur
a¡x
2
dx =
3
(b ¡ x) (x ¡ c)(x ¡ d)
b¡c
r
a¡c
[F (±; q) ¡ E(±; q)] +
b¡d
s
(a ¡ u)(u ¡ c)
2
+
[a > b > u > c > d]:
b ¡ c (b ¡ u)(u ¡ d)
BY (254.06)
53:
Z ar
u
a¡x
2
dx =
(x ¡ b)3 (x ¡ c)(x ¡ d)
c¡b
r
a¡c
2
E(¹; r)+
b¡d
b¡c
s
(a ¡ u)(u ¡ c)
(u ¡ b)(u ¡ d)
[a > u > b > c > d]:
BY (257.08)
54:
Z
a
ur
x¡a
2
dx =
3
(x ¡ b) (x ¡ c)(x ¡ d)
b¡c
r
a¡c
[F (º; q)¡E(º; q)]
b¡d
[u > a > b > c > d]:
BY (258.08)
323
55:
Z ds
u
d¡x
2
dx =
(a ¡ x)3 (b ¡ x)(c ¡ x)
b¡a
r
b¡d
2
E(®; q)+
a¡c
a¡b
s
(b ¡ u)(d ¡ u)
(a ¡ u)(c ¡ u)
[a > b > c > d > u]:
BY (251.09)
56:
Z
u
d
s
x¡d
2
dx =
(a ¡ x)3 (b ¡ x)(c ¡ x)
a¡b
r
b¡d
[F (¯; q)¡E(¯; q)]
a¡c
[a > b > c ¸ u > d]:
57:
Z cs
u
x¡d
2
dx =
3
(a ¡ x) (b ¡ x)(c ¡ x)
a¡b
r
b¡d
[F (°; r) ¡ E(°; r)] +
a¡c
s
2
(c ¡ u)(u ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
+
a ¡ c (a ¡ u)(b ¡ u)
BY (253.05)
58:
Z
u
c
s
(a ¡
2
=
a¡b
x¡d
dx =
¡ x)(x ¡ c)
x)3 (b
r
b¡d
2(a ¡ d)
E(±; q) ¡
a¡c
(a ¡ b)(a ¡ c)
s
(b ¡ u)(u ¡ c)
(a ¡ u)(u ¡ d)
[a > b ¸ u > c > d]:
BY (254.03)
59:
Z bs
u
x¡d
2
dx =
3
(a ¡ x) (b ¡ x)(x ¡ c)
a¡b
r
b¡d
E({; q)
a¡c
[a > b > u ¸ c > d]:
BY (255.01)
60:
Z
u
b
s
x¡d
2
dx =
(a ¡ x)3 (x ¡ b)(x ¡ c)
a¡b
r
b¡d
[F (¸; r) ¡ E(¸; r)] +
a¡c
s
2
(u ¡ b)(u ¡ d)
+
[a > u > b > c > d]:
a ¡ b (a ¡ u)(u ¡ c)
BY (256.10)
61:
Z dr
c¡x
dx =
(a ¡
¡ x)(d ¡ x)
u
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(c ¡ d)
p
=
F (®; q) ¡
E(®; q) +
(a ¡ b)(a ¡ d)
(a ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
2(a ¡ c)
(b ¡ u)(d ¡ u)
+
[a > b > c > d > u]:
(a ¡ b)(a ¡ d) (a ¡ u)(c ¡ u)
x)3 (b
BY (251.15)
62:
Z
d
ur
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
c¡x
dx =
E(¯; r) ¡
(a ¡ b)(a ¡ d)
(a ¡ x)3 (b ¡ x)(x ¡ d)
2(b ¡ c)
p
¡
F (¯; r)
(a ¡ b) (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > c ¸ u > d]:
324
63:
Z cr
c¡x
dx =
3 (b ¡ x)(x ¡ d)
(a
¡
x)
u
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(b ¡ c)
p
=
E(°; r) ¡
F (°; r) ¡
(a ¡ b)(a ¡ d)
(a ¡ b) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
(c ¡ u)(u ¡ d)
2
¡
[a > b > c > u ¸ d]:
a ¡ d (a ¡ u)(b ¡ u)
BY (253.10)
64:
Z
c
ur
x¡c
dx =
(a ¡
¡ x)(x ¡ d)
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(c ¡ d)
p
=
E(±; q) ¡
F (±; q) ¡
(a ¡ b)(a ¡ d)
(a ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
(b ¡ u)(u ¡ c)
2
¡
[a > b ¸ u > c > d]:
a ¡ b (a ¡ u)(u ¡ d)
x)3 (b
BY (254.09)
65:
Z br
x¡c
dx =
(a ¡
¡ x)(x ¡ d)
u
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(c ¡ d)
p
=
E({; q) ¡
F ({; q)
(a ¡ b)(a ¡ d)
(a ¡ d) (a ¡ c)(b ¡ d)
[a > b > u ¸ c > d]:
x)3 (b
BY (255.10)
66:
Z
b
ur
x¡c
dx =
(a ¡ x)3 (x ¡ b)(x ¡ d)
p
2 (a ¡ c)(b ¡ d)
2(b ¡ c)
p
=
F (¸; r) ¡
E(¸; r) +
(a ¡ b)(a ¡ d)
(a ¡ b) (a ¡ c)(b ¡ d)
s
2(a ¡ c)
(u ¡ b)(u ¡ d)
+
[a > u > b > c > d]:
(a ¡ b)(a ¡ d) (a ¡ u)(u ¡ c)
BY (256.07)
67:
Z ds
u
b¡x
2
dx =
(a ¡ x)3 (c ¡ x)(d ¡ x)
a¡d
r
b¡d
[F (®; q) ¡ E(®; q)] +
a¡c
s
2
(b ¡ u)(d ¡ u)
+
[a > b > c > d > u]:
a ¡ d (a ¡ u)(c ¡ u)
68:
Z
u
d
s
b¡x
2
dx =
(a ¡ x)3 (c ¡ x)(x ¡ d)
a¡d
r
b¡d
E(¯; r)
a¡c
[a > b > c ¸ u > d]:
BY (252.01)
69:
Z cs
u
b¡x
2
dx =
(a ¡ x)3 (c ¡ x)(x ¡ d)
a¡d
r
b¡d
2(a ¡ b)
E(°; r)¡
a¡c
(a ¡ c)(a ¡ d)
[a > b > c > u ¸ d]:
s
(c ¡ u)(u ¡ d)
(a ¡ u)(b ¡ u)
BY (253.08)
325
70:
Z
u
c
s
b¡x
2
dx =
3
(a ¡ x) (x ¡ c)(x ¡ d)
a¡d
r
b¡d
[F (±; q) ¡ E(±; q)] +
a¡c
s
2
(b ¡ u)(u ¡ c)
+
[a > b ¸ u > c > d]:
a ¡ c (a ¡ u)(u ¡ d)
BY (254.07)
71:
Z bs
u
72:
Z
u
b
s
2
b¡x
dx =
3
(a ¡ x) (x ¡ c)(x ¡ d)
a¡d
x¡b
¡2
dx =
3
(a ¡ x) (x ¡ c)(x ¡ d)
a¡d
r
b¡d
[F ({; q) ¡ E({; q)]
a¡c
[a > b > u ¸ c > d]:
r
b¡d
2
E(¸; r)+
a¡c
a¡d
s
(u ¡ b)(u ¡ d)
(a ¡ u)(u ¡ c)
[a ¸ u > b > c > d]:
In 3.169- 3.172, we set: ® = arctg ub , ¯ = arctg ua ,
r
r
u
b
a2 + b2
± = arccos ;
" = arccos ;
» = arcsin
;
b
u
a2 + u2
r
r
a b2 ¡ u2
a u2 ¡ b2
³ = arcsin
;
=
arcsin
;
{
br a2 ¡ u2
u a2 ¡ b2
p
u2 ¡ a2
a
a2 ¡ b2
u = arcsin
;
º
=
arcsin
;
q
=
;
u2 ¡ b2
u
a
b
a
b
r= p
;
s= p
t= :
2
2
2
2
a
a +b
a +b
a2 + b2
;
a2 + u2
u
´ = arcsin ;
b
r
2
a ¡ u2
¸ = arcsin
;
a2 ¡ b2
u
° = arcsin
b
BY (255.07)
BY (256.04)
1:
2:6
Z
Z
u
0
u
0
r
r
x2 + a2
a2 + u2
dx = a fF (®; q) ¡ E(®; q)g +u
2
2
x +b
b2 + u2
r
r
x2 + b2
b2
a2 + u2
F
(®;
q)
¡
aE(®;
q)+u
dx
=
x2 + a2
a
b2 + u2
[a > b;
[a > b;
u > 0]:
u > 0]:
BY (221.04)
3:
Z
u
0
r
r
p
x2 + a2
b2 ¡ u2
2
2
dx = a + b E(°; r) ¡ u
2
2
b ¡x
a2 + u2
[b ¸ u > 0]:
BY (214.11)
326
4:
Z br
u
5:
Z
u
b
r
p
a2 + x2
dx
=
a2 + b2 E(±; r)
b2 ¡ x2
[b > u ¸ 0]:
BY (213.01), ZH 64 (273)
p
a2 + x2
1p 2
2 + b2 fF ("; s) ¡ E("; s)g +
dx
=
a
(u + a2 )(u2 ¡ b2 )
x2 ¡ b2
u
[u > b > 0]:
BY (211.03)
6:
7:
Z
u
0
r
Z br
u
8:
9:
Z
Z
u
b
u
0
r
r
r
p
b2 ¡ x2
b2 ¡ u2
dx = a2 + b2 fF (°; r) ¡ E(°; r)g +u
2
2
a +x
a2 + u2
p
b2 ¡ x2
dx
=
a2 + b2 fF (±; r) ¡ E(±; r)g
a2 + x2
BY (214.03)
[b > u ¸ 0]:
BY (213.03)
p
x2 ¡ b2
1p 2
dx =
(a + u2 )(u2 ¡ b2 ) ¡ a2 + b2 E("; s)
2
2
a +x
u
b2 ¡ x2
a2 ¡ b2
dx
=
aE(´;
t)
¡
F (´; t)
a2 ¡ x2
a
[b ¸ u > 0]:
[u > b > 0]:
[a > b ¸ u > 0]:
BY (211.04)
10:
Z br
u
11:
Z
u
b
r
r
b2 ¡ x2
b2 ¡ u2
a2 ¡ b2
F (³; t)¡u
dx = aE(³; t)¡
2
2
a ¡x
a
a2 ¡ u2
[a > b > u ¸ 0]:
BY (220.04)
x2 ¡ b2
b2
1p 2
F
(
dx
=
aE(
;
q)
¡
;
q)
¡
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
{
{
a2 ¡ x2
a
u
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.04)
12:
Z ar
u
13:
14:
15:
Z
Z
u
a
u
0
r
r
Z br
u
x2 ¡ b2
b2
dx = aE(¸; q) ¡ F (¸; q)
2
2
a ¡x
a
[a > u ¸ b > 0]:
BY (218.03)
x2 ¡ b2
a2 ¡ b2
dx
=
F (¹; t)¡aE(¹; t)+¹
x2 ¡ a2
a
a2 ¡ x2
dx = aE(´; t)
b2 ¡ x2
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
[u > a > b > 0]:
BY (216.03)
[a > b ¸ u > 0]:
ZH 64 (276), BY (219.01)
(
)
r
a2 ¡ x2
u b2 ¡ u2
dx = a E(³; t) ¡
b2 ¡ x2
a a2 ¡ u2
[a > b > u ¸ 0]:
BY (220.03)
16:
Z
u
b
r
1p 2
a2 ¡ x2
dx
=
a
f
F
(
;
q)
¡
E(
;
q)
g
+
(a ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
{
{
x2 ¡ b2
u
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.03)
17:
Z ar
u
a2 ¡ x2
dx = a fF (¸; q) ¡ E(¸; q)g
x2 ¡ b2
[a > u ¸ b > 0]:
18:
Z
u
a
r
r
x2 ¡ a2
u2 ¡ a2
dx
=
u
¡ aE(¹; t)
x2 ¡ b2
u2 ¡ b2
[u > a > b > 0]:
BY (216.04)
327
3.171
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u
b
dx
x2
1
u
b
u
r
dx
x2
dx
x2
a2 + x2
=
x2 ¡ b2
r
r
a2 + x2
=
x2 ¡ b2
p
a2 + b2
E("; s)
b2
[u > b > 0]:
BY (211.01), ZH 64 (274)
p
a2 + b2
a2
E(»;
s)
¡
b2
b2 u
r
u2 ¡ b2
a2 + u2
[u ¸ b > 0]:
BY (212.09)
a2 ¡ x2
a2 ¡ b2
a
a2
=
F (³; t)¡ 2 E(³; t)+ 2
2
2
2
b ¡x
ab
b
b u
r
b2 ¡ u2
a2 ¡ u2
[a > b > u > 0]:
BY (220.12)
4:
5:
Z
Z
u
b
a
u
dx
x2
dx
x2
r
r
a2 ¡ x2
a
1
= 2 E({; q) ¡ F ({; q)
2
2
x ¡b
b
a
a
1
a2 ¡ x2
= 2 E(¸; q)¡ f (¸; q)¡
x2 ¡ b2
b
a
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.11)
p
(a2 ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
b2 u
[a > u ¸ b > 0]:
BY (218.10)
6:
Z
u
a
dx
x2
r
x2 ¡ a2
a
a2 ¡ b2
1
= 2 E(¹; t)¡
F (¹; t)¡
2
2
x ¡b
b
ab2
u
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
[u > a > b > 0]:
BY (216.08)
7:
Z
1
u
dx
x2
r
x2 + a2
1
a2
a
=
F
(¯;
q)
¡
E(¯;
q)+
x2 + b2
a
b2
b2 u
r
b2 + u2
a2 + u2
[a > b;
u > 0]:
8:
Z
1
u
dx
x2
r
1
x2 + b2
1
= fF (¯; q) ¡ E(¯; q)g +
x2 + a2
a
u
r
b2 + u2
a2 + u2
[a > b;
u > 0]:
BY (222.09)
9:
Z
b
u
dx
x2
r
b2 ¡ x2
=
a2 + x2
p
p
(b2 ¡ u2 )(a2 + u2 )
a2 + b2
¡
E(±; r)
a2 u
a2
[b > u > 0]:
BY (213.10)
10:
Z
u
b
dx
x2
r
p
x2 ¡ b2
=
a2 + x2
a2 + b2
fF ("; s) ¡ E("; s)g
a2
[a > b > 0]:
BY (211.07)
11:
Z
1
u
dx
x2
r
x2 ¡ b2
=
a2 + x2
p
a2 + b2
1
fF (»; s) ¡ E(»; s)g +
2
a
u
r
u2 ¡ b2
a2 + u2
[u ¸ b > 0]:
BY (212.11)
12:
Z
b
u
dx
x2
r
a2 + x2
=
b2 ¡ x2
p
a2 + b2
fF (±; r) ¡ E(±; r)g +
b2
p
(b2 ¡ u2 )(a2 + u2 )
b2 u
[b > u > 0]:
BY (213.05)
13:
Z
1
u
dx
x2
r
a
a2 ¡ b2
x2 ¡ a2
=
E(º;
t)
¡
F (º; t)
x2 ¡ b2
b2
ab2
[u ¸ a > b > 0]:
BY (215.08)
328
14:
15:
Z
Z
b
u
u
b
dx
x2
dx
x2
r
r
b2 ¡ x2
1
=
2
2
a ¡x
u
r
b2 ¡ u2
1
¡ E(³; t)
2
2
a ¡u
a
x2 ¡ b2
1
= fF ({; q) ¡ E({; q)g
a2 ¡ x2
a
[a > b > u > 0]:
BY (220.11)
[a ¸ u > b > 0]:
BY (217.08)
BY (217.08)
16:
Z
a
u
dx
x2
r
x2 ¡ b2
1
= fF (¸; q) ¡ E(¸; q)g +
2
2
u ¡x
a
p
(a2 ¡ u2 )(u2 ¡ b2 )
a2 u
[a > u ¸ b > 0]:
BY (218.08)
17:
18:
Z
Z
u
a
dx
x2
1
u
r
dx
x2
x2 ¡ b2
1
1
= E(¹; t) ¡
2
2
x ¡a
a
u
r
1
x2 ¡ b2
= E(º; t)
x2 ¡ a2
a
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
[u > a > b > 0]:
BY (216.07)
[u ¸ a > b > 0]:
BY (215.01), ZH 65 (281)
3.172
1:
2:
Z
Z
u
0
s
1
u
x2 + b2
1
u
a2 ¡ b2
p
dx
=
E(®;
q)
¡
2
2
3
2
(x + a )
a
a
(a2 + u2 )(b2 + u2 )
s
x2 + b2
1
dx = E(¯; q)
(x2 + a2 )3
a
[a > b;
[a > b;
u > 0]:
BY (221.10)
u ¸ 0]:
ZH 64 (271)
3:
Z
u
0
s
x2 + a2
a
dx = 2 E(®; q)
(x2 + b2 )3
b
[a > b;
u > 0]:
ZH 64 (270)
4:
5:
Z
Z
1
u
u
0
s
s
x2 + a2
a
u
a2 ¡ b2
p
dx
=
E(¯;
q)
¡
2
2
3
2
2
(x + b )
b
b
(a2 + u2 )(b2 + u2 )
b2 ¡ x2
dx =
(a2 + x2 )3
p
a2 + b2
1
E(°; r)¡ p
F (°; r)
2
a2
a + b2
[a > b;
[b ¸ u > 0]:
u ¸ 0]:
BY (222.06)
BY (214.08)
6:
Z bs
u
b2 ¡ x2
dx =
(a2 + x2 )3
p
a2 + b2
1
u
E(±; r)¡ p
F (±; r)¡ 2
2
2
2
a
a
a +b
r
b2 ¡ u2
a2 + u2
[b > u ¸ 0]:
BY (213.04)
7:
Z
u
b
s
x2 ¡ b2
dx =
(a2 + x2 )3
p
a2 + b2
b2
1
E("; s)¡ p
F ("; s)¡
2
a
u
a2 a2 + b2
r
u2 ¡ b2
u2 + a2
[u > b > 0]:
BY (211.06)
329
8:
Z
1
u
s
x2 ¡ b2
dx =
(a2 + x2 )3
p
a2 + b2
b2
E(»; s)¡ p
F (»; s)
2
a
a2 a2 + b2
[u ¸ b > 0]:
BY (212.08)
9:
Z
u
0
s
p
x2 + a2
a2 + b2
a2
(a2 + b2 )u
p
p
dx
=
F
(°;
r)
¡
E(°;
r)+
(b2 ¡ x2 )3
b2
b2 a2 + b2
b2 (a2 + u2 )(b2 ¡ u2 )
[b > u > 0]:
BY (214.09)
10:
Z
1
u
s
p
x2 + a2
a2 + b2
1
(a2 + b2 )u
p
p
dx
=
F
(»;
s)
¡
E(»;
s)+
(x2 ¡ b2 )3
b2
a2 + b2
b2 (a2 + u2 )(u2 ¡ b2 )
[u > b > 0]:
BY (212.07)
11:
Z
u
0
s
b2 ¡ x2
1
dx =
2
2
3
(a ¡ x )
a
(
u
F (´; t) ¡ E(´; t) +
a
r
b2 ¡ u2
a2 ¡ u2
)
[a > b ¸ u > 0]:
BY (219.09)
12:
Z bs
u
b2 ¡ x2
1
dx = fF (³; t) ¡ E(³; t)g
2
2
3
(a ¡ x )
a
[a > b > u ¸ 0]:
13:
Z
u
b
s
x2 ¡ b2
1
dx =
(a2 ¡ x2 )3
u
r
u2 ¡ b2
1
¡ E({; q)
a2 ¡ u2
a
[a > u > b > 0]:
BY (217.07)
14:
Z
1
u
s
x2 ¡ b2
1
1
dx = [F (º; t)¡E(º; t)]+
2
2
3
(x ¡ a )
a
u
r
u2 ¡ b2
u2 ¡ a2
[u > a > b > 0]:
BY (215.05)
15:
Z
u
0
s
a2 ¡ x2
a
u
dx = 2 [F (´; t)¡E(´; t)]+ 2
2
2
3
(b ¡ x )
b
b
r
a2 ¡ u2
b2 ¡ u2
[a > b > u > 0]:
BY (219.10)
16:
Z as
u
a2 ¡ x2
u
dx = 2
(x2 ¡ b2 )3
b
r
a2 ¡ u2
a
¡ 2 E(¸; q)
u2 ¡ b2
b
[a > u > b > 0]:
BY (218.05)
17:
Z
u
a
s
x2 ¡ a2
a
dx = 2 [F (¹; t) ¡ E(¹; t)]
(x2 ¡ b2 )3
b
[u > a > b > 0]:
BY (216.05)
18:
Z
1
u
s
x2 ¡ a2
a
1
dx = 2 [F (º; t)¡E(º; t)]+
2
2
3
(x ¡ b )
b
u
r
u2 ¡ a2
u2 ¡ b2
[u ¸ a > b > 0]:
BY (215.03)
3.173
1:
Z
1
u
dx
x2
r
" Ã
Ã
p !
p !# p
p
x2 + 1
2
2
1 ¡ u4
= 2 F arccos u;
¡ E arccos u;
+
2
1¡x
2
2
u
[u < 1]:
BY (259.77)
330
2:
Z
u
1
dx
x2
r
p
x2 + 1
= 2E
2
x ¡1
Ã
p !
1
2
arccos ;
u 2
[u > 1]:
In 3.174 and 3.175, we take: ® = arccos
p
1 ¡ (1 + 3)u
p
¯ = arccos
;
1 + ( 3 ¡ 1)u
p
1+(1¡ 3)u
p
,
1+(1+ 3)u
p=
p
2+
2
p
3
;
q=
p
2¡
2
p
3
:
3.174
1:
Z
u
0
dx
p
[1 + (1 + 3)x]2
s
1 ¡ x + x2
1
= p
E(®; p)
4
x(1 + x)
3
[u > 0]:
BY (260.51)
2:
Z
u
0
dx
p
[1 + ( 3 ¡ 1)x]2
s
1 + x + x2
1
= p
E(¯; q)
4
x(1 ¡ x)
3
[1 ¸ u > 0]:
BY (259.51)
3:
4:
Z
Z
u
0
u
0
dx
1 ¡ x + x2
dx
1 + x + x2
r
r
p
p
p
1
2¡ 3
2(2 + 3) 1 + (1 ¡ 3)u
x(1 + x)
p
p
= p
E(®; p) + ¡ p
F (®; p) ¡
£
4
4
1 ¡ x + x2
27
27
3
1 + (1 + 3)u
r
u(1 + u)
[u > 0]:
£
1 ¡ u + u2
BY (260.54)
p
p
p
4
2+ 3
2(2 ¡ 3) 1 ¡ (1 + 3)u
x(1 ¡ x)
p
p
= p
E(¯; q) ¡ p
F (¯; q) ¡
£
4
4
1 + x + x2
27
27
3
1 + ( 3 ¡ 1)u
r
u(1 ¡ u)
£
[1 ¸ u > 0]:
1 + u + u2
BY (259.55)
3.175
1:
Z
u
0
dx
1+x
r
p
u(1 ¡ u + u2 )
x
1
2
p
p
p
=
[F
(®;
p)
¡
2E(®;
p)]+
p
4
1 + x3
27
3 1 + u[1 + (1 + 3)u]
[u > 0]:
BY (260.55)
2:
Z
u
0
dx
1¡x
r
p
u(1 + u + u2 )
x
1
2
p
p
p
=
[F
(¯;
q)
¡
2E(¯;
q)]+
p
4
1 ¡ x3
27
3 1 ¡ u[1 + ( 3 ¡ 1)u]
[0 < u < 1]:
BY (259.52)
331
3.18 Expressions that can be reduced to fourth roots of second-degree polynomials
and their products with rational functions
3.181
1:
Z
u
b
s
( " •
Ã
!#
¶
1
4(a ¡ u)(u ¡ b) 1
4
p
= a¡b 2 E p
+ E arccos
; p
¡
4
(a ¡ b)2
2
2
(a ¡ x)(x ¡ b)
s
Ã
" •
!#)
¶
4(a ¡ u)(u ¡ b) 1
1
4
+ F arccos
; p
¡ K p
[a ¸ u > b]:
(a ¡ b)2
2
2
p
dx
BY (271.05)
2:
Z
u
a
"Ã
!
1
p
p
=
arccos
; p
¡
4
2
a ¡ b + 2 (u ¡ a)(u ¡ b)
(x ¡ a)(x ¡ b)
!#
p
a ¡ b ¡ 2 (u ¡ a)(u ¡ b) 1
p
; p
¡ 2E arccos
+
2
a ¡ b + 2 (u ¡ a)(u ¡ b)
p
2(2u ¡ a ¡ b) 4 (u ¡ a)(u ¡ b)
p
[u > a > b]:
+
a ¡ b + 2 (u ¡ a)(u ¡ b)
r
dx
a¡b
F
2
Ã
a¡b¡2
p
(u ¡ a)(u ¡ b)
BY (272.05)
3.182
1:
2:
Z
Z
u
p
4
b
u
a
p
4
dx
[(a ¡ x)(x ¡ b)]3
p
dx
[(x ¡ a)(x ¡ b)]3
In 3.183- 3.186 we set: ® = arccos
¯ = arccos
s
Ã
" •
!#
¶
2
4(a ¡ u)(u ¡ b) 1
1
= p
+ F arccos
; p
K p
(a ¡ b)2
a¡b
2
2
[a ¸ u > b]:
p
4
2
= p
F
a¡b
Ã
a¡b¡2
p
(u ¡ a)(u ¡ b)
1
p
arccos
; p
2
a ¡ b + 2 (u ¡ a)(u ¡ b)
1
p
,
4 2
u +1
1¡
u2 ;
p
1 ¡ u2 ¡ 1
p
° = arccos
:
1 + u2 ¡ 1
!
BY (271.01)
[u > a > b]:
BY (272.00)
3.183
1:
Z
u
p
4
0
•
∙ •
¶
¶¸
p
1
dx
1
2u
¡ 2E ®; p
= 2 F ®; p
+ p
4
2
x +1
2
2
u2 + 1
[u > 0]:
BY (273.55)
332
2:
3:
Z
Z
u
0
u
1
•
∙ •
¶
¶¸
p
1
1
dx
p
¡ F ¯; p
= 2 2E ¯; p
4
1 ¡ x2
2
2
dx
p
=F
4
x2 ¡ 1
•
1
°; p
2
¶
•
1
¡ 2E °; p
2
¶
[0 < u ∙ 1]:
p
2u 4 u2 ¡ 1
p
+
1 + u2 ¡ 1
BY (271.55)
[u > 1]:
BY (272.55)
3.184
1:
2:
Z
Z
u
0
u
1
p ∙ •
¶
•
¶¸
2 2
1
2u p
x2 dx
1
4
p
=
(1 ¡ u2 )3
2E ¯; p
¡ F ¯; p
¡
4
2
5
5
1¡x
2
2
[0 < u ∙ 1]:
p
p
•
¶
•
¶
dx
1
1
1 ¡ u2 ¡ 1 u2 ¡ 1
1
p
p
= E °; p ¡ F °; p ¡
¢
2
u
x2 4 x2 ¡ 1
2
2
1 + u2 ¡ 1
[u > 1]:
BY (271.59)
BY (272.54)
3.185
1:
2:
Z
Z
u
p
4
0
u
0
p
4
dx
(x2 + 1)3
=
p
2F
•
1
®; p
2
¶
[u > 0]:
BY (273.50)
dx
(1 ¡ x2 )3
=
p
2F
•
1
¯; p
2
¶
[0 < u ∙ 1]:
BY (271.51)
BY (272.50)
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
u
0
p
•
¶
2 p
2 2
1
4
p
p
¡
=
F
¯;
u 1 ¡ u2
4
2
3
3
3
2
(1 ¡ x )
x2 dx
u
p
4
0
u
0
•
¶
•
¶
p
p
1
1
¡ 2F ®; p
= 2 2E ®; p
2
2
(x2 + 1)5
dx
BY (271.54)
[u > 0]:
BY (273.54)
∙ •
¶
•
¶¸
1
1
2u
p
= 2 2 F ®; p
¡ 2E ®; p
+p
4
4
2
5
2
2
u2 + 1
(x + 1)
x2 dx
u
p
4
0
[0 < u ∙ 1]:
x2 dx
p
1
= p F
3 2
(x2 + 1)7
•
1
®; p
2
¶
u
¡ p
6 4 (u2 + 1)3
[u > 0]:
BY (273.56)
[u > 0]:
BY (273.53)
3.186
1:
Z
u
0
p
•
¶
p
1 + x2 + 1
1
p
dx = 2 2E ®; p
(x2 + 1) 4 x2 + 1
2
[u > 0]:
BY (273.51)
333
2:
Z
u
0
p
∙ •
¶
•
¶¸
p
dx
1
1
u 4 1 ¡ u2
p
p
p
= 2 F ¯; p
¡ E ¯; p
+
(1 + 1 ¡ x2 ) 4 1 ¡ x2
2
2
1 + 1 ¡ u2
[0 < u ∙ 1]:
BY (271.58)
3:
Z
u
1
∙ •
¶
•
¶¸
dx
1
1
1
p
p
p
=
F
°;
¡
E
°;
2
(x2 + 2 x2 ¡ 1) 4 x2 ¡ 1
2
2
p
[u > 1]:
BY (272.53)}
BY (271.57)}
5:
Z
u
1
•
¶
1
x2 dx
p
p
= E °; p
2
(x2 + 2 x2 ¡ 1) 4 (x2 ¡ 1)3
[u > 1]:
BY (272.51)}
3.19- 3.23 Combinations of powers of x and powers of binomials of the form (α + βx)
3.191
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u
xº¡1 (u ¡ x)¹¡1 dx = u¹+º¡1 B(¹; º)
0
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET II 185(7)
1
u
x¡º (x ¡ u)¹¡1 dx = u¹¡º B(º ¡ ¹; ¹)
[Re º > Re ¹ > 0]:
ET II 201(6)
1
º¡1
x
0
¹¡1
(1¡x)
dx =
Z
1
0
x¹¡1 (1¡x)º¡1 dx = B(¹; º)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 774(1)
3.192
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
xp dx
= p¼ cosec p¼
(1 ¡ x)p
[p2 < 1]:
BI ((3))(4)
xp dx
= ¡¼ cosec p¼
(1 ¡ x)p+1
[¡1 < p < 0]:
(1 ¡ x)p
dx = ¡¼ cosec p¼
xp+1
[¡1 < p < 0]:
BI ((3))(5)
BI ((4))(6)
BI ((4))(6)
Z
4:
1
1
1
(x ¡ 1)p¡ 2
∙
dx
= ¼ sec p¼
x
¡
¸
1
1
<p<
:
2
2
BI ((23))(7)
3.193
Z
n
0
xº¡1 (n ¡ x)n dx =
n!nº+n
º(º + 1)(º + 2) . . . (º + n)
[Re º > 0]:
EH I 2
3.194
Z
1:
u
0
u¹
x¹¡1 dx
=
2 F1 (º; ¹; 1+¹; ¡¯u)
(1 + ¯x)º
¹
[j arg(1+¯u)j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET I 310(20)
334
2:
6
Z
1
u
•
x¹¡1 dx
u¹¡º
= º
2 F1 º; º ¡ ¹;
(1 + ¯x)º
¯ (º ¡ ¹)
º ¡ ¹ + 1;
1
¡
¯u
¶
[Re º > Re ¹]:
ET I 310(21)
Z
3:
1
0
x¹¡1 dx
= ¯ ¡¹ B(¹; º ¡ ¹)
(1 + ¯x)º
[j arg ¯ j < ¼;
Re º > Re ¹ > 0]:
FI II 775a, ET I 310(19)
4:
7
Z
1
0
x¹¡1 dx
¼
= (¡1)n ¹
n+1
(1 + ¯x)
¯
•
¹¡1
n
¶
cosec(¹¼)
[j arg ¯ j < ¼;
0 < Re ¹ < n+1]:
ET I 308(6)
5:
Z
u
0
x¹¡1 dx
u¹
=
2 F1 (1; ¹; 1+¹; ¡u¯)
1 + ¯x
¹
[j arg(1+u¯)j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET I 308(5)
BI ((16))(4)
7:
Z
1
=2
1
(a + bx)n+ 2
0
∙
1
xm dx
m+1
(2n ¡ 2m ¡ 3)!! am¡n+ 2
m!
(2n ¡ 1)!!
bm+1
1
m< n¡ ;
2
a > 0;
¸
b>0 :
BI ((21))(2)
8:
Z
1
1
P
xn¡1 dx
= 2¡n
m
(1 + x)
k=0
0
•
m¡n¡1
k
¶
(¡2)¡k
:
n+k
BI ((3))(1)
3.195
Z
1
0
(1 + x)p¡1
1 ¡ a¡p
dx
=
(x + a)p+1
p(a ¡ 1)
[a > 0]:
LI ((19))(6)
3.196
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u
º
¹¡1
(x+¯) (u¡x)
0
1
u
¡º
(x+¯)
¹¡1
(x¡u)
¯
∙¯
¸
¯
¯
¯arg u ¯ < ¼ :
¯
¯¯
¶
•
¯ º u¹
u
dx =
2 F1 1; ¡º; 1 + ¹; ¡
¹
¯
¹¡º
dx = (u+¯)
B(º ¡¹; ¹)
¯
∙¯
¯
¯
¯arg u ¯ < ¼;
¯
¯¯
ET II 185(8)
¸
Re º > Re ¹ > 0 :
ET II 201(7)
b
(x¡a)¹¡1 (b¡x)º¡1 dx = (b¡a)¹+º¡1 B(¹; º)
a
[b > a;
Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
EH I 10(13)
4:
Z
1
1
dx
¼
= ¡ cosec º¼
(a ¡ bx)(x ¡ 1)º
b
•
b
b¡a
¶º
[a < b;
b > 0;
0 < º < 1]:
LI ((23))(5)
5:
Z
1
dx
¼
= cosec º¼
º
b
¡1 (a ¡ bx)(1 ¡ x)
•
b
a¡b
¶º
[a > b > 0;
0 < º < 1]:
335
3.197
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
1
º¡1
x
¡¹
(¯+x)
¡%
(x+°)
dx = ¯
°
0
[j arg ¯ j < ¼;
1
u
1
0
•
°
B(º; ¹¡º+%) 2 F1 ¹; º; ¹ + %; 1 ¡
¯
Re º > 0; Re ¹ > Re(º ¡ %)]:
¡¹ º¡%
j arg ° j < ¼;
0
ET II 233(9)
¶
•
¯
x¡¸ (x+¯)º (x¡u)¹¡1 dx = u¹+º¡¸ B(¸¡¹¡º; ¹) 2 F1 ¡º; ¸ ¡ ¹ ¡ º; ¸ ¡ º; ¡
u
¯ ¯
¯
¸
∙¯
¯¯ ¯
¯
¯
u
¯arg ¯ < ¼ or ¯ ¯ < 1; 0 < Re ¹ < Re(¸ ¡ º) :
¯u¯
¯
¯¯
ET II 201(8)
x¸¡1 (1 ¡ x)¹¡1 (1 ¡ ¯x)¡º dx = B(¸; ¹) 2 F1 (º; ¸; ¸ + ¹; ¯)
[Re ¸ > 0;
1
¶
Re ¹ > 0;
x¹¡1 (1¡x)º¡1 (1+ax)¡¹¡º dx = (1+a)¡¹ B(¹; º)
j¯ j < 1]:
[Re ¹ > 0;
Re º > 0;
WH
a > ¡1]:
BI((5))4, EH I 10(11)
5:
Z
1
0
x¸¡1 (1+x)º (1+®x)¹ dx = B(¸; ¡¹ ¡ º ¡ ¸) 2 F1 (¡¹; ¸; ¡¹ ¡ º; 1 ¡ ®)
[j arg ®j < ¼;
¡ Re(¹ + º) > Re ¸ > 0]:
EH I 60(12), ET I 310(23)
6:
Z
1
1
x¸¡º (x ¡ 1)º¡¹¡1 (®x ¡ 1)¡¸ dx = ®¡¸ B(¹; º ¡ ¹) 2 F1 (º; ¹; ¸; ®¡1 )
[1 + Re º > Re ¸ > Re ¹;
j arg(® ¡ 1)j < ¼]:
EH I 115(6)
7:
Z
1
0
¹¡ 21
x
¡¹
(x+a)
¡¹
(x+b)
dx =
p
¡
¢
p p 1¡2¹ ¡ ¹ ¡ 12
¼( a+ b)
¡(¹)
[Re ¹ > 0]:
8:
9:
Z
Z
u
0
³
u´
xº¡1 (x+®)¸ (u¡x)¹¡1 dx = ®¸ u¹+º¡1 B(¹; º) 2 F1 ¡¸; º; ¹ + º; ¡
®
³ u ´¯
i
h¯
¯
¯
¯arg
¯ < ¼; Re ¹ > 0; Re º > 0 :
®
1
0
x¸¡1 (1+x)¡¹+º (x+¯)¡º dx = B(¹¡¸; ¸) 2 F1 (º; ¹¡¸; ¹; 1¡¯)
ET II 186(9)
[Re ¹ > Re ¸ > 0]:
EH I 205
10:
11:
Z
Z
1
0
1
0
xq¡1 dx
¼
cosec q¼
=
(1 ¡ x)q (1 + px)
(1 + p)q
1
xp¡ 2 dx
(1 ¡ x)p (1 + qx)p
[0 < q < 1;
p > ¡1]:
BI ((5))(1)
¶
•
1
2¡ p +
¡(1 ¡ p)
p
p sin[(2p ¡ 1) arctg( q)]
2
2p
p
=
cos (arctg q)
p
¼
(2p ¡ 1) sin[arctg( q)]
∙
¸
1
¡ < p < 1; q > 0 :
2
BI ((11))(1)
336
12:
Z
1
0
1
xp¡ 2 dx
(1 ¡ x)p (1 ¡ qx)p
•
¶
1
¡ p+
¡(1 ¡ p)
p
p
(1 ¡ q)1¡2p ¡ (1 + q)1¡2p
2
p
=
p
¼
(2p ¡ 1) q
∙
¸
1
¡ < p < 1; 0 < q < 1 :
2
BI ((11))(2)
3.198
Z
1
0
x¹¡1 (1 ¡ x)º¡1 [ax + b(1 ¡ x) + c]¡(¹+º) dx = (a + c)¡¹ (b + c)¡º B(¹; º)
[a ¸ 0;
b ¸ 0;
c > 0;
Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 787
3.199
Z
b
a
(x ¡ a)¹¡1 (b ¡ x)º¡1 (x ¡ c)¡¹¡º dx = (b ¡ a)¹+º¡1 (b ¡ c)¡¹ (a ¡ c)¡º B(¹; º)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0;
c < a < b]:
EH I 10(14)
3.211
Z
1
0
x¸¡1 (1 ¡ x)¹¡1 (1 ¡ ux)¡% (1 ¡ vx)¡¾ dx = B(¹; ¸)F1 (¸; %; ¾; ¸ + ¹; u; v)
[Re ¸ > 0;
Re ¹ > 0]:
EH I 231(5)
3.212
Z
1
¡p
[(1+ax)
¡p
+(1+bx)
q¡1
]x
¡ 2q
dx = 2(ab)
0
½
∙
¸¾
a+b
B(q; p ¡ q) cos q arccos p
2 ab
[p > q > 0]:
BI ((19))(9)
3.213
Z
1
¡p
[(1+ax)
0
¡p
¡(1+bx)
q¡1
]x
¡ q2
dx = ¡2i(ab)
½
∙
¸¾
a+b
B(q; p¡q) sin q arccos p
2 ab
[p > q > 0]:
BI ((19))(10)
3.214
Z
1
[(1 + x)¹¡1 (1 ¡ x)º¡1 + (1 + x)º¡1 (1 ¡ x)¹¡1 ] dx = 2¹+º¡1 B(¹; º)
0
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
LI((1))(15), EH I 10(10)
3.215
Z
1
0
©
a¹ x¹¡1 (1 ¡ ax)º¡1 + (1 ¡ a)º xº¡1 [1 ¡ (1 ¡ a)x]¹¡1
[Re ¹ > 0;
ª
dx = B(¹; º)
Re º > 0;
jaj < 1]:
BI ((1))(16)
3.216
Z
1:
1
0
x¹¡1 + xº¡1
dx = B(¹; º)
(1 + x)¹+º
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 775
Z
2:
1
1
x¹¡1 + xº¡1
dx = B(¹; º)
(1 + x)¹+º
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 775
3.217
Z
1
0
½
(1 + bx)p¡1
bp xp¡1
¡
(1 + bx)p
bp¡1 xp
¾
dx = ¼ ctg p¼
[0 < p < 1;
b > 0]:
BI((18))(13)
3.218
Z
1
0
x2p¡1 ¡ (a + x)2p¡1
dx = ¼ ctg p¼
(a + x)p xp
[p < 1]
(cf. 3.217).
3.217
BI ((18))(7)
337
3.219
Z
1
0
½
x¹
xº
¡
(x + 1)º+1
(x + 1)¹+1
¾
dx = Ã(¹+1)¡Ã(º+1)
[Re ¹ > ¡1;
Re º > ¡1]:
BI ((19))(13)
3.221
1:
2:
Z
Z
1
a
(x ¡ a)p¡1
dx = ¼(a ¡ b)p¡1 cosec p¼
x¡b
[a > b;
0 < p < 1]:
LI ((24))(8)
a
(a ¡ x)p¡1
dx = ¡¼(b ¡ a)p¡1 cosec p¼
x¡b
¡1
[a < b;
0 < p < 1]:
3.222
1:
Z
1
0
x¹¡1 dx
= ¯(¹)
1+x
[Re ¹ > 0]:
WH
2:
Z
1
0
x¹¡1 dx
=
x+a
½
¼ cosec(¹¼)a¹¡1
for a > 0,
¹¡1
¡¼ ctg(¹¼)(¡a)
for a < 0,
[0 < Re ¹ < 1]:
FI II 718, FI II 737
BI((18))(2), ET II 249(28)
3.223
1:
Z
1
0
x¹¡1 dx
¼
=
(¯ ¹¡1 ¡ ° ¹¡1 ) cosec(¹¼)
(¯ + x)(° + x)
° ¡¯
[j arg ¯ j < ¼; j arg ° j < ¼;
0 < Re ¹ < 2]:
ET I 309(7)
2:
Z
1
0
x¹¡1 dx
¼
=
[¯ ¹¡1 cosec(¹¼) + ®¹¡1 ctg(¹¼)]
(¯ + x)(® ¡ x)
®+¯
[j arg ¯ j < ¼; ® > 0; 0 < Re ¹ < 2]:
ET I 309(8)
3:
Z
1
0
a¹¡1 ¡ b¹¡1
x¹¡1 dx
= ¼ ctg(¹¼)
(a ¡ x)(b ¡ x)
b¡a
[a > b > 0;
0 < Re ¹ < 2]:
ET I 309(9)
3.224
Z
1
0
(x + ¯)x¹¡1 dx
= ¼ cosec(¹¼)
(x + °)(x + ±)
½
¾
° ¡ ¯ ¹¡1 ± ¡ ¯ ¹¡1
°
+
±
° ¡±
±¡°
[j arg ° j < ¼; j arg ± j < ¼; 0 < Re ¹ < 1]:
3.225
1:
Z
1
1
(x ¡ 1)p¡1
dx = (1 ¡ p)¼ cosec p¼
x2
[¡1 < p < 1]:
ET I 309(10)
338
2:
Z
1
1
1
(x ¡ 1)1¡p
dx = p(1 ¡ p)¼ cosec p¼
x3
2
[0 < p < 1]:
BI ((23))(1)
3:
Z
1
0
¼
xp dx
= p(1 ¡ p) cosec p¼
(1 + x)3
2
[¡1 < p < 2]:
BI ((16))(5)
3.226
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
xn dx
(2n)!!
p
=2
(2n
+ 1)!!
1¡x
BI ((8))(1)
1
xn¡ 2 dx
(2n ¡ 1)!!
p
=
¼:
(2n)!!
1¡x
BI ((8))(2)
3.227
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¶
•
xº¡1 (¯ + x)1¡¹
°
1¡¹ º¡1
°
B(º; ¹ ¡ º) 2 F1 ¹ ¡ 1; º; ¹; 1 ¡
dx = ¯
°+x
¯
[j arg ¯ j < ¼; j arg ° j < ¼; 0 < Re º < Re ¹]:
x¡% (¯ ¡ x)¡¾
dx = ¼° ¡% (¯ ¡ °)¡¾ cosec(%¼)I1¡°=¯ (¾; %)
°+x
[j arg ¯ j < ¼; j arg ° j < ¼; ¡ Re ¾ < Re % < 1]:
3.228
1:
Z
b
a
∙
•
¶º ¸
(x ¡ a)º (b ¡ x)¡º
a¡c
dx = ¼ cosec(º¼) 1 ¡
for c < a;
x¡c
b¡c
¶º ¸
∙
•
c¡a
for a < c < b;
= ¼ cosec(º¼) 1 ¡ cos(º¼)
b¡c
∙
•
¶º ¸
c¡a
= ¼ cosec(º¼) 1 ¡
for c > b
[j Re º j < 1]:
c¡b
ET II 217(9)
ET II 217(10)
2:
Z
b
a
¯
¯º¡1
(x ¡ a)º¡1 (b ¡ x)¡º
¼ cosec(º¼) ¯¯ a ¡ c ¯¯
dx =
¯b¡c¯
x¡c
b¡c
º¡1
¼(c ¡ a)
ctg(º¼)
=¡
(b ¡ c)º
for
for
c<a
or
a<c<b
c > b;
[0 < Re º < 1]:
ET II 250(32)
339
3:
Z
b
a
¶
•
(x ¡ a)º¡1 (b ¡ x)¹¡1
(b ¡ a)¹+º¡1
b¡a
dx =
B(¹; º) 2 F1 1; ¹; ¹ + º;
x¡c
b¡c
b¡c
for c < a or c > b;
= ¼(c ¡ a)º¡1 (b ¡ c)¹¡1 ctg ¹¼ ¡ (b ¡ a)¹+º¡2 B(¹ ¡ 1; º) £
¶
•
b¡c
for a < c < b
£ 2 F1 2 ¡ ¹ ¡ º; 1; 2 ¡ ¹;
b¡a
[Re ¹ > 0; Re º > 0; ¹ + º=
= 1; ¹=
= 1; 2; . . . ]:
ET II 250(33)
4:
5:
Z
Z
1
0
(1 ¡ x)º¡1 x¡º
¼(a ¡ b)º¡1
dx =
cosec(º¼)
a ¡ bx
aº
1
0
[0 < Re º < 1;
0 < b < a]:
BI ((5))(8)
³
xº¡1 (x + a)1¡¹
c´
dx = a1¡¹ (¡c)º¡1 B(¹ ¡ º; º) 2 F1 ¹ ¡ 1; º; ¹; 1 +
for c < 0;
x¡c
a
a1¡¹¡º
= ¼cº¡1 (a + c)1¡¹ ctg[(¹ ¡ º)¼] ¡
B(¹ ¡ º ¡ 1; º) £
a¶+ c
•
a
£ 2 F1 2 ¡ ¹; 1; 2 ¡ ¹ + º;
for c > 0
a+c
[a > 0; 0 < Re º < Re ¹]:
ET II 251(34)
3.229
Z
1
0
x¹¡1 dx
¼ cosec ¹¼
=
(1 ¡ x)¹ (1 + ax)(1 + bx)
a¡b
∙
b
a
¡
(1 + a)¹
(1 + b)¹
3.231
1:
Z
1
0
xp¡1 ¡ x¡p
dx = ¼ ctg p¼
1¡x
[p2 < 1]:
¸
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((5))(7)
Z
2:
1
0
xp¡1 ¡ x¡p
dx = ¼ cosec p¼
1+x
[p2 < 1]:
BI ((4))(1)
Z
3:
Z
4:
1
0
1
0
xp ¡ x¡p
1
dx = ¡ ¼ ctg p¼
x¡1
p
[p2 < 1]:
xp ¡ x¡p
1
dx = ¡ ¼ cosec p¼
1+x
p
BI ((4))(3)
[p2 < 1]:
BI ((4))(2)
Z
5:
Z
6:
1
0
x¹¡1 ¡ xº¡1
dx = Ã(º) ¡ Ã(¹)
1¡x
1
0
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 815, BI((4))(5)
xp¡1 ¡ xq¡1
dx = ¼(ctg p¼ ¡ ctg q¼)
1¡x
[p > 0;
q > 0]:
FI II 718
3.232
Z
1
0
b
(c + ax)¡¹ ¡ (c + bx)¡¹
dx = c¡¹ ln
x
a
[Re ¹ > ¡1;
a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((18))(14)
340
3.233
Z
1
0
½
1
¡ (1 + x)¡º
1+x
¾
dx
= Ã(º) + C
x
[Re º > 0]:
EH I 17, WH
3.234
1:
Z
1
0
•
x¡q
xq¡1
¡
1 ¡ ax
a¡x
¶
dx = ¼a¡q ctg q¼
[0 < q < 1;
a > 0]:
Z
2:
1
0
•
x¡q
xq¡1
+
1 + ax
a+x
¶
dx = ¼a¡q cosec q¼
[0 < q < 1;
a > 0]:
BI ((5))(10)
3.235
Z
1
(1 + x)¹ ¡ 1 dx
= Ã(º) ¡ Ã(º ¡ ¹)
(1 + x)º
x
0
[Re º > Re ¹ > 0]:
BI ((18))(5)
3.236
Z
¹ ¹2 dx
1
[(1 ¡ x)(1 ¡ a2 x)] ¹+1
2
0
•
¶
1¡¹
(1 ¡ a)¡¹ ¡ (1 + a)¡¹ ³
¹´
p
=
¡
¡ 1+
2a¹ ¼
2
2
[¡2 < ¹ < 1; jaj < 1]:
BI ((12))(32)
3.237
1
P
n=0
(¡1)n+1
Z
n+1
n
h ³ u ´i2
u
¡
dx
= ln ∙ • 2 ¶¸2
x+u
u+1
2 ¡
2
[j arg uj < ¼]:
ET II 216(1)
3.238
1:
Z
1
jxjº¡1
º¼ º¡1
dx = ¡¼ ctg
juj
sign u
2
¡1 x ¡ u
[0 < Re º < 1]
[u real;
u=
= 0]:
ET II 249(29)
2:
Z
1
jxjº¡1
º¼ º¡1
juj
sign x dx = ¼ tg
x
¡
u
2
¡1
[0 < Re º < 1]
[u real;
u=
= 0]:
ET II 249(30)
3:
Z
b
a
(b ¡ x)¹¡1 (x ¡ a)º¡1
(b ¡ a)¹+º¡1 ¡(¹)¡(º)
dx
=
jx ¡ uj¹+º
ja ¡ uj¹ jb ¡ ujº ¡(¹ + º)
[Re ¹ > 0; Re º > 0; 0 < u < a < b or 0 < a < b < u]:
3.241
1:
Z
1
0
1
x¹¡1 dx
= ¯
p
1+x
p
• ¶
¹
p
[Re ¹ > 0;
p > 0]:
WH, BI ((2))(13)
2:
Z
1
0
x¹¡1 dx
¼
¹¼
1
= cosec
= B
º
1+x
º
º
º
•
¹ º ¡¹
;
º
º
¶
[Re º > Re ¹ > 0]
ET I 309(15)A, BI ((17))(10)
341
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
xp¡1 dx
¼
p¼
= ctg
q
1¡x
q
q
x¹¡1 dx
1
= n+1
º
n+1
(p + qx )
ºp
[p < q]:
BI ((17))(11)
¡¹¢ ¡
¢
• ¶
¹
p ¹¡ º ¡ 1+n¡ º
¡(1 + n)
q º
h
0<
¹
< n + 1;
º
p=
= 0;
i
q=
=0 :
BI ((17))(22)a
5:
Z
1
0
xp¡1 dx
(p ¡ q)¼
(p ¡ q)¼
=
cosec
(1 + xq )2
q2
q
[p < 2q]:
BI ((17))(18)
3.242
Z
∙
¸
¼
(2m + 1)¼
x2m dx
(2n ¡ 2m ¡ 1)
= sin
t cosec t cosec
4n
2n
+ 2x cos t + 1
n
2n
2n
¡1 x
[m < n; t2 < ¼ 2 ]:
1
FI II 642
3.243
Z
1
0
¹¡1
cosec
³ ¹¼ ´
x
dx
¼
3º
³ ´
=¡
(1 + x2º )(1 + x3º )
8º 1 ¡ 4 cos2 ¹¼
3º
[0 < Re ¹ < 5 Re º]:
Z
1:
1
0
¼
xp¡1 + xq¡p¡1
p¼
dx =
cosec
q
1+x
q
q
[q > p > 0]:
BI ((2))(14)
Z
2:
Z
3:
Z
4:
1
0
1
0
¼
xp¡1 ¡ xq¡p¡1
p¼
dx =
ctg
q
1¡x
q
q
³ ¹ ´i
1h
xº¡1 ¡ x¹¡1
dx
=
C
+
Ã
1 ¡ xº
º
º
[q > p > 0]:
BI ((2))(16)
[Re ¹ > Re º > 0]:
BI ((2))(17)
∙
•
¶
•
¶¸
x2m ¡ x2n
¼
2m + 1
2n + 1
dx
=
ctg
¼
¡
ctg
¼
2l
l
2l
2l
¡1 1 ¡ x
1
[m < l;
n < l]:
FI II 640
3.245
Z
1
0
[xº¡¹ ¡ xº (1 + x)¡¹ ] dx =
º
B(º; ¹ ¡ º)
º¡¹+1
[Re ¹ > Re º > 0]:
BI ((16))(13)
3.246
Z
1
0
q¼
p¼
(p + q)¼
1 ¡ xq p¡1
¼
x
dx = sin
cosec
cosec
1 ¡ xr
r
r
r
r
[p + q < r;
p > 0]:
ET I 331(33), BI ((17))(12)
R
t
¡t
Integrals of the form f (xp § x¡p ; xq § x¡q ; . . . ) dx
x can be transformed by the substitution x = e or x = e . For example,
R1
R 1 n¡m¡1 +xn+m¡1
(x1+p + x1¡p )¡1 dx, we should seek to evaluate 0 sech px dx and, instead of 0 x1+2xn cos
a+x2n dx, we should
R1
seek to evaluate 0 ch mx(ch nx ¡ cos a)¡1 dx (see 3.514 2.).
instead of
R1
0
342
3.247
1:
Z
1
0
1
P
x®¡1 (1 ¡ x)n¡1
»k
dx
=
(n
¡
1)!
1 ¡ »xb
k=0 (® + kb); (® + kb + 1) . . . (® + kb + k ¡ 1)
[b > 0; j» j < 1]:
Z
2:
1
0
³¼ ´
(1 ¡ xp )xº¡1
¼
(p + º)¼
¼º
dx
=
sin
cosec
cosec
1 ¡ xnp
np
n
np
np
[0 < Re º < (n¡1)p]:
ET I 311(33)
3.248
1:
0
Z
1
0
x¹¡1 dx
1
p
= B
º
º
1+x
•
¹ 1 ¹
; ¡
º 2
º
¶
[Re º > Re 2¹ > 0]:
BI ((21))(9)
Z
2:
Z
3:
4:¤
Z
¤
Z
5:
1
0
1
0
x2n+1 dx
(2n)!!
p
=
:
2
(2n + 1)!!
1¡x
BI ((8))(14)
x2n dx
(2n ¡ 1)!! ¼
p
=
:
(2n)!! 2
1 ¡ x2
1
¡1 (1
+
1
0
BI ((8))(13)
dx
¼
p
= :
2
3
4 + 3x
x2 )
"
(1 + x2 )3=2 1 +
dx
•
4x2
4x2
+
1
+
3(1 + x2 )2
3(1 + x2 )2
¶ 1=2 # 1=2
¼
= p :
2 6
3.249
1:
2:
0
Z
Z
1
(x2
0
a
0
(2n ¡ 3)!!
dx
¼
=
:
2
n
2n¡1
+a )
2 ¢ (2n ¡ 2)!! a
1
(a2 ¡ x2 )n¡ 2 dx = a2n
(2n ¡ 1)!!
¼:
2(2n)!!
FI II 743
FI II 156
3:
Z
1
(1 ¡ x2 )n dx
= 2n+1 Qn (a):
n+1
(a
¡
x)
¡1
EH II 181(31)
4:
Z
1
1
x¹ dx
= ¯
2
1+x
2
0
•
¹+1
2
¶
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((2))(7)
5:
Z
1
2 ¹¡1
(1 ¡ x )
0
dx = 2
2¹¡2
1
B(¹; ¹) = B
2
•
1
;¹
2
¶
[Re ¹ > 0]:
FI II 784
343
6:
Z
1
(1 ¡
0
p
x)p¡1 dx =
2
p(p + 1)
[p > 0]:
BI ((7))(7)
7:
8:¤
Z
Z
1
¹ ¡ º1
(1 ¡ x )
0
1
¡1
•
1+
1
dx = B
¹
x2
n¡1
¶ ¡n=2
•
1
1
; 1¡
¹
º
dx =
p
¶
¼(n ¡ 1)¡
[Re ¹ > 0;
jº j > 1]:
•
³n´
n¡1
2
¶
=¡
2
[integern > 1]:
3.251
1:
2:
Z
Z
1
0
x¹¡1 (1 ¡ x¸ )º¡1 dx =
1
0
¹¡1
x
2 º¡1
(1+x )
1 ³¹ ´
B
;º
¸
¸
[Re ¹ > 0;
1 ³¹
¹´
dx = B
; 1¡º ¡
2
2
2
Re º > 0;
¸ > 0]:
FI II 787
∙
Re ¹ > 0;
•
1
Re º + ¹
2
¶
¸
<1 :
3:
Z
1
¹¡1
x
1
p
º¡1
(x ¡1)
•
¶
1
¹
dx = B 1 ¡ º ¡ ; º
p
p
[p > 0;
Re º > 0;
Re ¹ < p¡p Re º]:
ET I 311(32)
4:
Z
1
0
x2m dx
(2m ¡ 1)!!(2n ¡ 2m ¡ 3)!!¼
p
=
2
n
(ax + c)
2 ¢ (2n ¡ 2)!!am cn¡m¡1 ac
[a > 0;
c > 0;
n > m+1]:
GU ((141))(8a)
5:
6:
Z
Z
1
0
1
0
x2m+1 dx
m!(n ¡ m ¡ 2)!
=
2
n
(ax + c)
2(n ¡ 1)!am+1 cn¡m¡1
x¹+1
¹¼
dx =
2
2
(1 + x )
4 sin ¹¼
2
[ac > 0;
n > m + 1 ¸ 1]:
GU ((141))(8b)
[¡2 < Re ¹ < 2]:
WH
7:
Z
1
0
x¹ dx
1 ¹¡1
=¡ +
¯
2
2
(1 + x )
4
4
•
¹¡1
2
¶
[Re ¹ > 1]:
LI ((3))(11)
8:
Z
1
0
p
xq+p¡1 (1 ¡ xq )¡ q dx =
p¼
p¼
cosec
2
q
q
[q > p]:
BI ((9))(22)
9:
Z
1
0
q
1
x p ¡1 (1 ¡ xq )¡ p dx =
¼
¼
cosec
q
p
[p > 1;
q > 0]:
BI ((9))(23)a
10:
Z
1
0
p
xp¡1 (1 ¡ xq )¡ q dx =
¼
p¼
cosec
q
q
[q > p > 0]:
BI ((9))(20)
11:
Z
1
0
x¹¡1 (1 + ¯xp )¡º dx =
•
¶
1 ¡ ¹p
¹
¹
¯ B
;º¡
p
p
p
[j arg ¯ j < ¼; p > 0;
0 < Re ¹ < p Re º]:
344
3.252
1:
Z
1
0
(¡1)n¡1 @ n¡1
dx
=
(ax2 + 2bx + c)n
(n ¡ 1)! @cn¡1
∙
b
1
p
arcctg p
2
ac ¡ b
ac ¡ b2
¸
ac > b2 ]:
[a > 0;
GW ((131))(4)
2:
3:
Z
Z
1
¡1
(ax2
1
dx
(ax2
0
dx
(2n ¡ 3)!!¼an¡1
=
1
n
+ 2bx + c)
(2n ¡ 2)!!(ac ¡ b2 )n¡ 2
+ 2bx +
3
c)n+ 2
(¡2)n @ n
=
(2n + 1)!! @cn
½
[a > 0;
ac > b2 ]:
GW ((131))(5)
1
p p
c( ac + b)
¾
[a ¸ 0;
c > 0;
p
b > ¡ ac]:
GW ((213))(4)
4:
Z
1
0
(¡1)n @ n¡2
x dx
=
(ax2 + 2bx + c)n
(n ¡ 1)! @cn¡2
=
(¡1)n @ n¡2
(n ¡ 1)! @cn¡2
½
¾
b
b
1
arcctg p
¡
3
2(ac ¡ b2 )
ac ¡ b2
2(ac ¡ b2 ) 2
for ac > b2 ;
)
(
p
b
b + b2 ¡ ac
1
p
+
ln
3
2(ac ¡ b2 )
b ¡ b2 ¡ ac
4(b2 ¡ ac) 2
for
n¡2
=
a
2(n ¡ 1)(2n ¡ 1)b2n¡2
for
b2 > ac > 0;
ac = b2
[a > 0;
b > 0;
n ¸ 2]:
GW ((141))(5)
5:
Z
1
x dx
(2n ¡ 3)!!¼ban¡2
=
¡
(2n¡1)
2
n
¡1 (ax + 2bx + c)
(2n ¡ 2)!!(ac ¡ b2 ) 2
[ac > b2 ;
a > 0;
n ¸ 2]:
GW ((141))(6)
6:
Z
1
xm dx
(¡1)m ¼an¡m¡1 bm
=
1 £
2
n
(2n ¡ 2)!!(ac ¡ b2 )n¡ 2
¡1 (ax + 2bx + c)
¶k
•
[m=2]
P ³m´
ac ¡ b2
£
(2k ¡ 1)!!(2n ¡ 2k ¡ 3)!!
b2
2k
k=0
2
[ac > b ; 0 ∙ m ∙ 2n ¡ 2]:
7:
Z
1
xn dx
(ax2
0
+ 2bx +
3
c)n+ 2
=
n!
p p
(2n + 1)!! c( ac + b)n+1
[a ¸ 0;
c > 0;
p
b > ¡ ac]:
GW ((213))(5a)
8:
Z
1
xn+1 dx
(ax2
0
+ 2bx +
3
c)n+ 2
=
n!
p p
(2n + 1)!! a( ac + b)n+1
[a > 0;
c ¸ 0;
p
b > ¡ ac]:
GW ((213))(5b)
345
9:
Z
1
0
1
(2n ¡ 1)!!¼
xn+ 2 dx
= 2n+ 1
p n+ 1 p
2
n+1
(ax + 2bx + c)
2 (b +
2
ac) 2 n! a
[a > 0;
c > 0;
p
b+ ac > 0]:
LI ((21))(19)
10:
6
Z
1
0
•
¶
1
1
x¹¡1 dx
1
º¡ 12
¡º
2 ¡º
=2
(sin t) 2 t¡ º +
B(¹; 2º ¡¹)P¹¡º¡
1 (cos t)
2
º
2
(1 + 2x cos t + x )
2
[0 < t < ¼; 0 < Re ¹ < Re 2º]:
ET I 310(22)
11:
Z
1
0
¹
1
¹
(1+2¯x+x2 )¹¡ 2 x¡º¡1 dx = 2¡¹ (¯ 2 ¡ 1) 2 ¡(1 ¡ ¹)B(º ¡ 2¹ + 1; ¡º)Pº¡¹
(¯)
[Re º < 0;
Re(2¹ ¡ º) < 1;
1
2
∙
¡2 < Re
•
¡¹
j arg(¯ § 1)j < ¼]:
= ¡¼ cosec º¼Cº (¯)
¶
¸
1
¡ ¹ < Re º < 0; j arg (¯ § 1) j < ¼ :
2
EH I 178(24)
EH I 160(33)
12:
13:
Z
Z
1
0
1
0
x¹¡1 dx
= ¡¼a¹¡2 cosec t cosec(¹¼) sin[(¹ ¡ 1)t]
x2 + 2ax cos t + a2
[a > 0; 0 < jtj < ¼; 0 < Re ¹ < 2]:
x¹¡1 dx
¼a¹¡4
=
cosec ¹¼ cosec 3 t £
(x2 + 2ax cos t + a2 )2
2
£ f(¹ ¡ 1) sin t cos[(¹ ¡ 2)t] ¡ sin[(¹ ¡ 1)t]g
[a > 0; 0 < jtj < ¼; 0 < Re ¹ < 4]:
FI II 738, BI((20))(3)
LI((20))(8)A, ET I 309(13)
14:
Z
1
0
p
x¹¡1 dx
= ¼ cosec(¹¼) P¹¡1 (cos t)
1 + 2x cos t + x2
[¡¼ < t < ¼;
0 < Re ¹ < 1]:
ET I 310(17)
3.253
Z
1
(1 + x)2¹¡1 (1 ¡ x)2º¡1
dx = 2¹+º¡2 B (¹; º)
(1 + x2 )¹+º
¡1
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 787
3.254
1:
Z
u
x¸¡1 (u ¡ x)¹¡1 (x2 + ¯ 2 )º dx =
•
¶
¸ ¸ + 1 ¸ + ¹ ¸ + ¹ + 1 ¡u2
2º ¸+¹¡1
=¯ u
B(¸; ¹) 3 F2 ¡º; ;
;
;
; 2
2
2
2
2
¯
¸
∙ • ¶
u
> 0; ¸ > 0; Re ¹ > 0 :
Re
¯
0
ET II 186(10)
346
2:6
Z
1
u
(x¡¸ (x ¡ u)¹¡1 (x2 + ¯ 2 ))º dx =
¡(¹)¡(¸ ¡ ¹ ¡ 2º)
= u¹¡¸+2º
£
¡(¸ ¡ 2º)
•
¶
1+¸¡¹
¸
1+¸
¯2
¸¡¹
£ 3 F2 ¡º;
¡ º;
¡ º; ¡ º;
¡ º; ¡ 2
2
2
2
2
u
¸
∙
• ¶
¯
> 0; 0 < Re ¹ < Re (¸ ¡ 2º) :
juj > j¯ j or Re
u
ET II 202(9)
3.255
Z
1
0
1
1
x¹+ 2 (1 ¡ x)¹¡ 2
dx =
(c + 2bx ¡ ax2 )¹+1
= ©
p
•
¶
1
¡ ¹+
2
p
c + 2b ¡ a ¡(¹ + 1)
¼
p
p 2 ª ¹+ 12
a + ( c + 2b ¡ a + c)
∙
p
p
a + ( c + 2b ¡ a + c)2 > 0;
c + 2b ¡ a > 0;
Re ¹ > ¡
1
2
¸
:
1:
Z
1
xp¡1 + xq¡1
(1 ¡ x2 )
0
p+q
2
dx =
1
cos
2
•
¶
•
¶ ³
q¡p
q+p
p q´
¼ sec
¼ B
;
4
4
2 2
[p > 0; q > 0; p+q < 2]:
BI ((8))(25)
2:
Z
1
0
xp¡1 ¡ xq¡1
(1 ¡ x2 )
p+q
2
1
dx = sin
2
•
¶
•
¶ ³
q¡p
q+p
p q´
¼ cosec
¼ B
;
4
4
2 2
[p > 0; q > 0; p+q < 2]:
BI ((8))(26)
3.257
Z
1
0
"•
ax +
b
x
¶2
# ¡p¡1
+c
p
dx =
•
1
¼¡ p +
2
1
¶
2acp+ 2 ¡(p + 1)
:
BI ((20))(4)
3.258
1:
Z
1
b
p
(x¡ x2 ¡ a2 )n dx =
p
p
a2
1
(b¡ b2 ¡ a2 )n¡1 ¡
(b¡ b2 ¡ a2 )n+1
2(n ¡ 1)
2(n + 1)
[0 < a ∙ b; n ¸ 2]:
GW ((215))(5)
2:
Z
1
b
p
p
p
( b2 + 1 ¡ b)n¡1 ( b2 + 1 ¡ b)n+1
n
2
( x + 1 ¡x) dx =
+
2(n ¡ 1)
2(n + 1)
[n ¸ 2]:
GW ((214))(7)
347
3:
4:
Z
Z
1
0
p
nan+1
( x2 + a2 ¡ x)n dx = 2
n ¡1
1
(x +
0
p
dx
n
= n¡1 2
2
2
n
a
(n ¡ 1)
x +a )
[n ¸ 2]:
GW ((214))(6a)
[n ¸ 2]:
GW ((214))(5a)
5:
Z
1
0
p
xm ( x2 + a2 ¡x)n dx =
n ¢ m!am+n+1
(n ¡ m ¡ 1)(n ¡ m + 1) . . . (m + n + 1)
[a > 0;
0 ∙ m ∙ n¡2]:
Z
6:
Z
7:
1
0
1
a
n ¢ m!
xm dx
p
=
2
2
n
(n
¡
m
¡
1)(n
¡
m
+
1) . . . (m + n + 1)an¡m¡1
(x + x + a )
[a > 0; 0 ∙ m ∙ n ¡ 2]:
p
n ¢ (n ¡ m ¡ 2)!(2m + 1)!am+n+1
(x¡a)m (x¡ x2 ¡ a2 )n dx =
2m (n + m + 1)!
GW ((214))(5)
[a > 0;
n ¸ m+2]:
GW ((215))(6)
3.259
1:
6
2:
3:
Z
Z
Z
1
p¡1
x
0
n¡1
(1 ¡ x)
• ¶ k
b ¡(p + km)
l
(1 + bx ) dx = (n ¡ 1)!
¡(p
+ n + km)
k
k=0
[jbj < 1 unless l = 0; 1; 2; . . . ; p; n; p + ml > 0]:
m l
1
P
BI ((1))(14)
u
0
xº¡1 (u ¡ x)¹¡1 (xm + ¯ m )¸ dx = ¯ m¸ u¹+º+1 B(¹; º) £
•
¶
º +m¡1 ¹+º ¹+º +1
¹ + º + m ¡ 1 ¡um
º º+1
;... ;
;
;
;... ;
; m
£ m+1 Fm ¡¸; ;
m
m
m
m
m
m
¯
¯
¸
∙
• ¶¯
¯
¯
¼
u
¯<
:
Re ¹ > 0; Re º > 0; ¯¯arg
¯ ¯ m
1
0
•
¶
¶
•
1 ¡¸
¸
¯
¸
¸
(1+®x ) (1+¯x ) dx = ®
B
; ¹+º¡
; ¹ + º; 1 ¡
2 F1 º;
p
p
p
p
p
a
[j arg ®j < ¼; j arg ¯ j < ¼; p > 0; 0 < Re ¸ < 2 Re(¹ + º)]:
¸¡1
x
p ¡¹
ET II 186(11)
p ¡º
ET I 312(35)
3.261
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
1 cos kt
P
(1 ¡ x cos t)x¹¡1 dx
=
2
1 ¡ 2x cos t + x
h=0 ¹ + k
(xº + x¡º ) dx
¼ sin ºt
=
1 + 2x cos t + x2
sin t sin º¼
[Re ¹ > 0;
t=
= 2n¼]:
BI ((6))(9)
[º 2 < 1;
t=
= (2n + 1)¼]:
348
3:
Z
1
0
(x1+p + x1¡p ) dx
¼(p sin t cos pt ¡ cos t sin pt)
=
(1 + 2x cos t + x2 )2
2 sin3 t sin p¼
[p2 < 1;
t=
= (2n+1)¼]:
BI ((6))(18)
4:
Z
1
0
•
¶
¼ cosec t cosec ¹¼
a sin t
x¹¡1
dx
¢
=
sin t ¡ ¹ arctg
1 + 2ax cos t + a2 x2 (1 ¡ x)¹
(1 + 2a cos t + a2 ) ¹2
1 + a cos t
[a > 0; 0 < Re ¹ < 1]:
BI ((6))(21)
3.262
Z
1
0
x¡p dx
(1 ¡ p)¼
¼
= cosec
3
1+x
3
3
[¡2 < p < 1]:
LI ((18))(3)
3.263
Z
1
0
h
i
xº dx
¼
º¼
º¼
º¡1
º
º
=
°¯
sec
+
¯
cosec
¡
2°
cosec(º¼)
(x + °)(x2 + ¯ 2 )
2(¯ 2 + ° 2 )
2
2
[Re ¯ > 0; j arg ° j < ¼; ¡1 < Re º < 2; º=
= 0]:
ET II 216(7)
3.264
1:
Z
1
0
p¼
p¡2
+ bp¡2 cos
xp¡1 dx
¼a
2 cosec p¼
=
(a2 + x2 )(b2 ¡ x2 )
2
a2 + b2
2
[0 < p < 4;
a > 0;
b > 0]:
BI ((19))(14)
2:
Z
1
0
¹
¹
x¹¡1 dx
¼ ° 2 ¡1 ¡ ¯ 2 ¡1
¹¼
=
cosec
2
2
(¯ + x )(° + x )
2
¯ ¡°
2
[j arg ¯ j < ¼; j arg ° j < ¼;
3.265
Z
1
0
1 ¡ x¹¡1
dx = Ã(¹) + C
[Re ¹ > 0];
1¡x
= Ã(1 ¡ ¹) + C ¡ ¼ ctg(¹¼)
[Re ¹ > 0]:
0 < Re ¹ < 4]:
ET I 309(4)
3.266
Z
1
0
(xº ¡ aº ) dx
¼
=
(x ¡ a)(¯ + x)
a+¯
½
¯ º cosec(º¼) ¡ aº ctg(º¼) ¡
[j arg ¯ j < ¼;
¾
¯
aº
ln
¼
a
j Re º j < 1;
º=
= 0]:
ET II 216(8)
3.267
1:
Z
•
¶
1
¡
n
+
1
x3n dx
2¼
3
• ¶
p
= p
:
3
3
1
1¡x
3 3
0
¡(n + 1)
¡
3
BI ((9))(6)
349
2:
Z
• ¶
2
(n
¡
1)!¡
1 3n¡1
x
dx
3
•
¶ :
p
=
3
3
2
1¡x
0
3¡ n +
3
BI ((9))(7)
3.268
1:
2:
3:
3.269
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
•
pxp¡1
1
¡
1¡x
1 ¡ xp
¶
dx = ln p:
BI ((5))(14)
1 ¡ x¹ º¡1
x
dx = Ã(¹ + º) ¡ Ã(º)
1¡x
∙
x¹¡1
n
p
¡
1¡x
1¡ n x
¸
n
P
[Re º > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((2))(3)
•
n¡k
dx = nC
C+
à ¹+
n
k=1
¶
[Re ¹ > 0]:
BI ((13))(10)
BI ((4))(12)
2:
Z
1
0
1 ¼
xp ¡ x¡p
p¼
x dx = ¡ cosec
1 + x2
p
2
2
[p2 < 1]:
BI ((4))(8)
3:
Z
1
0
1
x¹ ¡ xº
dx = Ã
2
1¡x
2
•
¶
•
¶
1
º+1
¹+1
¡ Ã
2
2
2
[Re ¹ > ¡1;
Re º > ¡1]:
BI ((2))(9)
3.271
1:
Z
1
0
xp ¡ xq dx
¼
=
x¡1 x+a
1+a
•
aq ¡ cos q¼
ap ¡ cos p¼
¡
sin p¼
sin q¼
¶
[p2 < 1;
q 2 < 1;
a > 0]:
BI ((19))(2)
2:
Z
1
0
xp ¡ ap xp ¡ 1
¼
dx =
x¡a x¡1
a¡1
½
¾
1 p
a2p ¡ 1
¡ a ln a
sin(2p¼)
¼
∙
¸
1
p <
:
4
2
BI ((19))(3)
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
¼
xp ¡ ap x¡p ¡ 1
dx =
x¡a x¡1
a¡1
½
¼
xp ¡ ap 1 ¡ x¡p q
x dx =
x¡a 1¡x
a¡1
¾
1 p
2(a ¡ 1) ctg p¼ ¡ (a + 1) ln a
¼
p
[p2 < 1]:
BI ((18))(9)
½
¾
ap ¡ aq
ap+q ¡ 1
sin p¼
+
sin[(p + q)¼]
sin[(q ¡ p)¼] sin q¼
[(p + q)2 < 1; (p ¡ q)2 < 1]:
BI ((19))(4)
5:
Z
1
0
•
xp ¡ x¡p
1¡x
¶2
dx = 2(1 ¡ 2p¼ ctg 2p¼)
∙
¸
1
0<p <
:
4
2
BI ((16))(3)
350
3.272
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
1
xn¡1 + xn¡ 2 ¡ 2x2n¡1
dx = 2 ln 2:
1¡x
2
BI ((8))(8)
1
xn¡1 + xn¡ 3 + xn¡ 3 ¡ 3x3n¡1
dx = 3 ln 3:
1¡x
BI ((8))(9)
3.273
1:
Z
1
0
n (k ¡ 1)!ak¡1 sin kt
P
sin t ¡ an xn sin[(n + 1)t] + an+1 xn+1 sin nt
p¡1
(1
¡
x)
dx
=
¡(p)
1 ¡ 2ax cos t + a2 x2
¡(p + k)
k=1
[p > 0]:
BI ((6))(13)
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
0
cos t ¡ ax ¡ an xn cos[(n + 1)t] + an+1 xn+1 cos nt
(1 ¡ x)p¡1 dx =
1 ¡ 2ax cos t + a2 x2
n (k ¡ 1)!ak¡1 cos kt
P
= ¡(p)
[p > 0]:
¡(p + k)
k=1
1
x
0
1
0
n sin kt
P
sin t ¡ xn sin[(n + 1)t] + xn+1 sin nt
dx
=
:
1 ¡ 2x cos t + x2
k=1 k + 1
BI ((6))(12)
n cos kt
P
1 ¡ x cos t ¡ xn+1 cos[(n + 1)t] + xn+2 cos nt
dx =
:
2
1 ¡ 2x cos t + x
k=0 k + 1
3.274
1:
Z
1
0
x¹¡1 (1 ¡ x)
¼
¼
¹¼
(¹ + 1)¼
dx = sin cosec
cosec
1 ¡ xn
n
n
n
n
BI ((6))(14)
[0 < Re ¹ < n¡1]:
BI ((6))(11)
2:
3:
Z
Z
1
0
n 2k
1 ¡ xn
dx
1 P
=
:
(1 + x)n+1 1 ¡ x
2n+1 k=1 k
1
0
¼
q¼
xq ¡ 1 dx
=
tg
p
¡p
x ¡x
x
2p
2p
BI ((5))(3)
[p > q]:
BI ((18))(6)
3.275
1:
Z
1
0
(
pxnp¡1
xn¡1
1 ¡ 1¡x
1 ¡ xp
)
dx = p ln p
[p > 0]:
BI ((13))(9)
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
0
1
0
½
•
1
0
xmn¡1
nxn¡1
¡
1 ¡ xn
1¡x
¶
qxpq¡1
xp¡1
¡
1¡x
1 ¡ xq
½
¾
•
¶
n
1 P
n¡k
dx = C +
à m+
:
n k=1
n
dx = ln q
BI ((5))(13)
[q > 0]:
BI ((5))(12)
1
1
n ¡
2
1+x
1 + x2m
¾
dx
= 0:
x
BI ((18))(17)
351
3.276
1:
Z
1
"•
b
ax +
x
¶2
# ¡p¡1
+c
x2
0
dx
=
p
¼
1
2bcp+ 2
•
¶
1
¡ p+
2
¡(p + 1)
∙
¸
1
p>¡ :
2
BI ((20))(19)
2:
Z
1
0
•
b
a+ 2
x
¶ "•
b
ax +
x
¶2
# ¡p¡1
+c
•
¶
1
p ¡ p+
¼
2
dx =
1
p+
¡(p
+
1)
2
c
∙
¸
1
p>¡ :
2
3.277
1:
Z
1
0
p
³¹´
º+¹
¹
¹
x¹¡1 [ 1 + x2 + ¯]º
º
2
p
dx = 2 2 ¡1 (¯ 2 ¡1) 2 + 4 ¡
¡(1 ¡¹ ¡º)P ¹ ¡1
(¯)
2
2
1 + x2
[Re ¯ > ¡1; 0 < Re ¹ < 1 ¡ Re º]:
ET I 310(25)
2:
3:
Z
Z
1
x¹¡1 [
0
1
0
¹¡1
x
p
•
¶
¯ 2 + x2 + x]º
¯ ¹+º¡1
1¡¹¡º
p
dx =
B
¹;
2¹
2
¯ 2 + x2
£
[Re ¯ > 0;
0 < Re ¹ < 1¡Re º]:
ET I 311(28)
³¹´
p
¤º
¡
¡(1 ¡ ¹ ¡ º)
2
cos t § i sin t 1 + x
1¡¹
¹¡1
2
p
dx = 2 2 sin 2 t
£
¡(¡º)
1 + x2
∙
¸
¹¡1
i 1 ¹¡1
1
£ ¼ ¡ 2 Q¡2¹+1 ¡º (cos t) ¨ ¼ P¡2¹+1 ¡º (cos t)
2 2
2
2
[Re ¹ > 0]:
ET I 311 (27)
4:
Z
1
p
(¯ 2 ¡ 1)(x2 + 1) + ¯]º
p
dx
x2 + 1 ³ ´
¹
¡
¡(1 ¡ ¹ ¡ º)
2 ¹¡1
1¡¹ ¹¡1
¡ 21 i¼(¹¡1)
2
2
= p e
(¯ 2 ¡ 1)
Q
(¯)
¼
¡(¡º)
4
2 ¡º¡ ¹+1
2
[Re ¯ > 1; Re º < 0; Re ¹ < 1 ¡ Re º]:
0
x¹¡1 [
ET I 311(26)
5:
6:
Z
Z
1
u
1
1
p
p
1
1
2¹¡1
1
(x ¡ u)¹¡1 ( x + 1 ¡ x ¡ 1)2º
2º+ 2
2 ¡¹
p
dx = p e(¹¡ 2 )¼i (u2 ¡1) 4 Qº¡
1 (u)
2
¼
x2 ¡ 1
[j arg(u ¡ 1)j < ¼; 0 < Re ¹ < 1 + Re º]:
ET II 202(10)
p
p
£
¤
•
¶
x¹¡1 (x ¡ x2 ¡ 1)º + (x ¡ x2 ¡ 1)¡º
1¡¹+º 1¡¹¡º
¡¹
p
dx = 2 B
;
2
2
x2 ¡ 1
[Re ¹ < 1 + Re º]:
ET I 311(29)
352
Z
7:
u
0
£p
¤
p
p
p
q
1
(u ¡ x)¹¡1 ( x + 2 + x)2º + ( x + 2 ¡ x)2º
2¹ + 1
1
2 ¡¹
p
dx = 2
¼[u(u + 2)]¹¡ 2 Pº¡
1 (u+1)
2
2
x(x + 2)
[j arg uj < ¼; Re ¹ > 0]:
ET II 186(12)
3.278
Z
1
0
•
xp
1 + x2p
¶q
dx
= 0:
1 ¡ x2
3.3- 3.4 Exponential Functions
3.31 Exponential functions
3.310
Z
1
e
¡px
dx =
0
1
p
[Re p > 0]:
3.311
1:
2:
Z
Z
1
0
dx
ln 2
=
:
1 + epx
p
LO III 284a
1
0
e¡¹x
dx = ¯(¹)
1 + e¡x
[Re ¹ > 0]:
EH I 20(3), ET I 144(7)
3:
Z
1
e¡px
¼
p¼
dx = cosec
¡qx
1
+
e
q
q
¡1
[q > p > 0
or
0 > p > q]
(cf. 3.241 2.).
3.241
BI ((28))(7)
4:
5:
Z
Z
1
0
1
0
1
P
e¡qx dx
ak
=
1 ¡ ae¡px
k=0 q + kp
[0 < a < 1]:
BI ((27))(7)
1 ¡ eºx
dx = Ã(º) + C + ¼ ctg(¼º)
ex ¡ 1
[Re º < 1]
(cf. 3.265).
3.265
EH I 16(16)
6:
7:
Z
Z
1 ¡x
e
0
¡ e¡ºx
dx = Ã(º) + C
1 ¡ e¡x
[Re º > 0]:
WH, EH I 16(14)
1 ¡¹x
e
0
¡ e¡ºx
dx = Ã(º)¡Ã(¹)
1 ¡ e¡x
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]
(cf. 3.231 5.).
3.231
BI ((27))(8)
8:
Z
1
e¡¹x dx
= ¼b¹¡1 ctg(¹¼)
¡x
¡1 b ¡ e
[b > 0;
0 < Re ¹ < 1]:
ET I 120(14)a
9:
Z
1
e¡¹x dx
= ¼b¹¡1 cosec(¹¼)
¡x
¡1 b + e
[j arg bj < ¼;
0 < Re ¹ < 1]:
ET I 120(15)a
10:
Z
1
0
e¡px ¡ e¡qx
¼
p¼
dx =
ctg
p+q
p+q
1 + e¡(p+q)x
[p > 0;
q > 0]:
GW ((311))(16c)
353
11:
12:
Z
Z
•
∙ •
¶
¶¸
r¡p
r¡q
e ¡ eqx
1
¡Ã
dx =
Ã
erx ¡ esx
r¡s
r¡s
r¡s
1 px
0
1
0
ax ¡ bx
1
dx =
x
x
c ¡d
ln dc
• c ¶¾
½ • c¶
ln a
ln b
¡Ã
Ã
c
ln d
ln dc
[r > s; r > p; r > q]:
GW ((311))(16)
[c > a > 0;
b > 0;
d > 0]:
GW ((311))(16a)
3.312
Z
1:
1
0
³
x
1 ¡ e¡ ¯
´ º¡1
e¡¹x dx = ¯ B (¯¹; º)
[Re ¯ > 0;
Re º > 0;
Re ¹ > 0]:
LI((25))(13), EH I 11(24)
Z
2:
1
0
(1¡e¡x )¡1 (1¡e¡®x )(1¡e¡¯x )e¡px dx = Ã(p+®)+Ã(p+¯)¡Ã(p+®+¯)¡Ã(p)
[Re p > 0;
Re p > ¡ Re ®;
Re p > ¡ Re ¯;
Re p > ¡ Re(® + ¯)]:
ET I 145(15)
Z
3:
1
0
(1 ¡ e¡x )º¡1 (1 ¡ ¯e¡x )¡% e¡¹x dx = B (¹; º) 2 F1 (%; u; ¹ + º; ¯)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0;
j arg (1 ¡ ¯)j < ¼]:
EH I 116(15)
3.313
1:
7
Z
2:
7
Z
3.314
1
e¡¹x dx
= ¼ cot ¼¹
¡x
¡1 1 ¡ e
1
[0 < Re ¹ < 1]:
e¡¹x dx
= B(¹; º ¡ ¹)
¡x )º
¡1 (1 + e
[0 < Re ¹ < Re º]:
ET I 120(21)
3.315
1:
2:
Z
Z
1
e¡¹x dx
= exp[°(¹¡%)¡¯º]B(¹; º+%¡¹) 2 F1 (º; ¹; º+%; 1¡eº¡¯ )
¯
¡x )º (e° + e¡x )%
¡1 (e + e
[j Im ¯ j < ¼; j Im ° j < ¼; 0 < Re ¹ < Re(º + %)]:
ET I 121(22)
1
e¡¹x dx
¼(¯ ¹¡1 ¡ ° ¹¡1 )
=
cosec(¹¼)
¡x )(° + e¡x )
°¡¯
¡1 (¯ + e
[j arg ¯ j < ¼; j arg ° j < ¼; ¯=
= °;
0 < Re ¹ < 2]:
ET I 120(18)
354
3.316
Z
1
(1 + e¡x )º ¡ 1
dx = Ã(¹) ¡ Ã(¹ ¡ º)
¡x )¹
¡1 (1 + e
[Re ¹ > Re º > 0]
(cf. 3.235).
3.235
BI ((28))(8)
3.317
1:
Z
1
¡1
½
1
1
¡
¡x
1+e
(1 + e¡x )¹
¾
dx = C +Ã(¹)
[Re ¹ > 0]
(cf. 3.233).
3.233
BI ((28))(10)
2:
Z
1
¡1
½
1
1
¡
(1 + e¡x )º
(1 + e¡x )¹
¾
dx = Ã(¹)¡Ã(º)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]
(cf. 3.219).
3.219
BI ((28))(11)
3.318
3.318
Z
1:
p
p
1 ¡ e¡x ]¡º + [¯ ¡ 1 ¡ e¡x ]¡º ¡¹x
p
e
dx =
1 ¡ e¡x
2¹+1 e(¹¡º)¼i (¯ 2 ¡ 1)(¹¡º)=2 ¡(¹)Qº¡¹
¹¡1 (¯)
[Re ¹ > 0]:
=
¡(º)
1
0
[¯ +
ET I 145(18)
2:7
Z
1
u
n
oº
p
p
1
e¡¹x dx =
e¡u 1 ¡ e¡2x ¡ e¡x 1 ¡ e¡2u
1 ¡ e¡2x
p
1
u
¡ 1 (¹+º) p
2¡ 2 (¹+º) ¼e¡ 2 (¹+º) ¡(¹)¡(º + 1)P¡ 12(¹¡º) ( 1 ¡ e¡2u )
p
2
=
¡[(¹ + º + 1)=2]
[u > 0;
Re ¹ > 0;
Re º > ¡1]:
ET I 145(19)
3.32- 3.34 Exponentials of more complicated arguments
3.321
1:
7
p
¼
©(u) =
erf(u) =
2
Z
u
1 (¡1)k u2k+1
P
;
k=0 k!(2k + 1)
1 2k u2k+1
2 P
= e¡u
:
k=0 (2k + 1)!!
2
e¡x dx =
0
[cf: 8:25]
8.25
AD 6.700
Z
2:
Z
3:
u
e¡q
2
x2
dx =
0
1
¡q 2 x2
e
0
dx =
p
¼
©(qu)
2q
p
¼
2q
[q > 0]:
[q > 0]:
FI II 624
3.322
1:
7
Z
1
u
¶
∙
•
¶¸
p
p
u
x2
¯° 2
¡ °x dx = ¼¯e
exp ¡
1¡© ° ¯ + p
4¯
2 ¯
•
[Re ¯ > 0;
u ¸ 0]:
355
Z
2:
1
0
¶
•
h
p
p i
x2
¡ °x dx = ¼¯ exp(¯° 2 ) 1 ¡ ©(° ¯)
exp ¡
4¯
[Re ¯ > 0]:
NT 27(1)a
3.323
1:
7
Z
1
1
¶¸
∙
•
¼ 1=2 q2 =4
1
e
:
exp(¡qx ¡ x ) dx =
1¡© 1+ q
2
2
2
BI ((29))(4)
2:
7
Z
1
¡1
2 2
exp(¡p x § qx) dx = exp
•
q2
4p2
¶p
¼
:
jpj
BI ((28))(1)
3:
6
Z
1
0
2 4
2 2
exp(¡¯ x ¡ 2° x ) dx = 2
¡ 23
°4
° 2¯
e 2 K 14
¯
•
°4
2¯ 2
¶
h
j arg ¯ j <
¼i
:
4
ET I 147(34)a
3.324
Z
1:
Z
2:
1
0
s
¶
p
¯
¯
exp ¡
¡ °x dx =
K1 ( ¯°)
4x
°
•
[Re ¯ ¸ 0;
Re ° > 0]:
ET I 146(25)
" •
¶ 2n #
• ¶
b
1
1
exp ¡ x ¡
:
dx = ¡
x
n
2n
¡1
1
3.325
Z
1
0
•
b
exp ¡ax ¡ 2
x
2
¶
1
dx =
2
r
p
¼
exp(¡2 ab)
a
[a > 0;
b > 0]:
FI II 644
3.3268
BI ((26))(4)
Exponentials of exponentials
3.327
Z
1
0
exp(¡aenx ) dx = ¡
1
Ei(¡a)
n
[n ¸ 1;
Re a ¸ 0;
a=
= 0]:
LI ((26))(5)
3.328
Z
1
¡1
exp(¡ex )e¹x dx = ¡(¹)
[Re ¹ > 0]:
NH 145(14)
3.329
Z
1
0
∙
b exp(¡cebx )
a exp(¡ce®x )
¡
1 ¡ e¡®x
1 ¡ e¡bx
¸
dx = e¡c ln
b
a
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((27))(12)
3.331
1:
2:
Z
Z
1
0
exp(¡¯e¡x ¡ ¹x) dx = ¯ ¡¹ °(¹; ¯)
[Re ¹ > 0]:
ET I 147(36)
1
0
exp(¡¯ex ¡ ¹x) dx = ¯ ¹ ¡(¡¹; ¯)
[Re ¯ > 0]:
ET I 147(37)
356
3:
Z
1
0
(1 ¡ e¡x )º¡1 exp (¯e¡x ¡ ¹x) dx = B(¹; º)¯ ¡
¹¡º
2
¯
e 2 M º ¡¹ ; º+¹¡1 (¯)
2
2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET I 147(38)
4:
Z
1
0
(1 ¡ e¡x )º¡1 exp (¡¯ex ¡ ¹x) dx = ¡(º)¯
¹¡1
2
¯
e¡ 2 W 1¡¹¡2º ; ¡¹ (¯)
2
[Re ¯ > 0;
2
Re º > 0]:
3.332
Z
1
0
(1 ¡ e¡x )º¡1 (1 ¡ ¸e¡x )¡% exp(¯e¡x ¡ ¹x) dx = B(¹; º)©1 (¹; %; º; ¸; ¯)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0;
j arg(1 ¡ ¸)j < ¼]:
ET I 147(40)
3.333
Z
1:
1
e¡¹x dx
= ¡(¹)³(¹)
¡x ) ¡ 1
¡1 exp (e
[Re ¹ > 1]:
ET I 121(24)
2:3
Z
1
e¡¹x dx
= (1 ¡ 21¡¹ )¡(¹)³(¹)
[Re ¹ > 0;
¡x ) + 1
exp
(e
¡1
= ln 2
[¹ = 1]:
¹=
= 1];
ET I 121(25)
3.334
Z
1
0
∙
(ex ¡ 1)º¡1 exp ¡
¸
¯
º ¡1
¯
¡
¹x
dx = ¡(¹ ¡ º + 1)e 2 ¯ 2 W º ¡2¹¡1 ; º (¯)
2
2
ex ¡ 1
[Re ¯ > 0; Re ¹ > Re º ¡ 1]:
ET I 137(41)
Exponentials of hyperbolic functions
3.335
Z
1
0
(eºx + e¡ºx cos º¼) exp (¡¯ sh x) dx = ¡¼[Eº (¯) + Nº (¯)]
[Re ¯ > 0]:
EH II 35(34)
3.336
1:
Z
h
1
0
exp(¡ºx ¡ ¯ sh x) dx = ¼ cosec º¼[Jº (¯) ¡ Jº (¯)]
j arg ¯ j <
¼
2
and
j arg ¯ j =
¼
2
for
Re º > 0;
i
º ¡ not an integer :
2:
Z
1
0
exp(nx¡¯ sh x) dx =
1
[Sn (¯)¡¼En (¯)¡¼Nn (¯)]
2
[Re ¯ > 0;
n = 0; 1; 2; . . . ]:
WA 342(6)
3:
Z
1
0
exp(¡nx ¡ ¯ sh x) dx =
1
(¡1)n+1 [Sn (¯) + ¼En (¯) + ¼Nn (¯)]
2
[Re ¯ > 0; n = 0; 1; 2; . . . ]:
EH II 84(47)
357
3.337
1:
2:
Z
Z
1
¡1
1
¡1
exp(¡®x ¡ ¯ ch x) dx = 2K® (¯)
exp(¡ºx + i¯ ch x) dx = i¼e
iº¼
2
h
j arg ¯ j <
Hº(1) (¯)
¼i
:
2
WA 201(7)
[0 < arg z < ¼]:
EH II 21(27)
3:
Z
1
¡1
exp(¡ºx ¡ i¯ ch x) dx = ¡i¼e¡
iº¼
2
Hº(2) (¯)
[¡¼ < arg z < 0]:
EH II 21(30)
Exponentials of trigonometric functions and logarithms
3.338
1:
Z
¼
0
fexp i[(º ¡ 1)x ¡ ¯ sin x] ¡ exp i[(º + 1)x ¡ ¯ sin x]g dx = 2¼[J0º (¯)+iE0º (¯)]
[Re ¯ > 0]:
EH II 36
2:
3:
Z
Z
¼
0
exp[§i(ºx ¡ ¯ sin x)] dx = ¼[Jº (¯) § iEº (¯)]
[Re ¯ > 0]:
EH II 35(32)
1
0
exp[¡°(x ¡ ¯ sin x)] dx =
1 ° J(k¯)
P
1
k
+2
2 + k2
°
°
k=1
[Re ° > 0]:
4:6
∙
a + b sin x + c cos x
Z ¼ exp
1 + p sin x + q cos x
1
+
p sin x + q cos x
¡¼
with ® =
bp + cq ¡ a
;
1 ¡ p2 ¡ q2
¸
2¼
dx = p
e¡® I0 (¯);
1 ¡ p2 ¡ q2
s
a2 ¡ b2 ¡ c2
¯ = ®2 ¡
;
[p2 + q2 < 1]:
1 ¡ p2 ¡ q2
6
3.339
Z
¼
exp(z cos x) dx = ¼I0 (z):
0
BI ((277))(2)a
3.341
Z
¼
2
exp(¡p tg x) dx = ci (p) sin p ¡ si (p) cos(p)
0
[p > 0]:
BI ((271))(2)a
3.342
Z
1
0
exp(¡px ln x) dx =
Z
1
x¡px dx =
0
1 pk ¡ 1
P
:
kk
k=1
BI ((29))(1)
3.35 Combinations of exponentials and rational functions
3.351
1:
2:
3:
Z
Z
Z
u
xn e¡¹x dx =
0
1
u
1
0
n!
¹n+1
xn e¡¹x dx = e¡u¹
¡ e¡u¹
n n!
P
uk
n¡k+1
k=0 k! ¹
n n!
P
uk
n¡k+1
k=0 k! ¹
xn e¡¹x dx = n!¹¡n¡1
[Re ¹ > 0]:
[u > 0;
[u > 0]:
ET I 134(5)
Re ¹ > 0]:
ET I 33(4)
358
Z
4:
Z
5:
1 ¡px
e
dx
xn+1
u
1 ¡¹x
e
x
1
dx
= (¡1)n+1
P
pn Ei(¡pu) e¡pu n¡1
(¡1)k pk uk
+ n
n!
u k=0 n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k)
= ¡ Ei (¡¹)
[p > 0]:
NT 21(3)
[Re ¹ > 0]:
BI ((104))(10)
Z
6:
7:
¤
8:¤
9:¤
Z
Z
Z
u
ex
dx = li(eu ) = Ei (u)
x
¡1
u
xe¡¹x dx =
0
u
1
1
¡ 2 e¡¹u (1 + ¹u)
2
¹
¹
[u > 0]
x2 e¡¹x dx =
2
1
¡ 3 e¡¹u (2 + 2¹u ¡ ¹2 u2 )
3
¹
¹
x3 e¡¹x dx =
6
1
¡ 6 e¡¹u (6 + 6¹u + 3¹2 u2 + ¹3 u3 )
¹4
¹
0
u
[u < 0]:
0
[u > 0]
[u > 0]
3.352
1:
Z
u ¡¹x
e
0
dx
= e¹¯ [Ei (¡¹u ¡ ¹¯) ¡ Ei (¡¹¯)]
x+¯
[j arg ¯ j < ¼]:
ET II 217(12)
2:
Z
1 ¡¹x
e
u
dx
= ¡e¯¹ Ei (¡¹u¡¹¯)
x+¯
[u ¸ 0;
j arg(u+¯)j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET I 134(6), JA
3:
Z
v ¡¹x
u
e
dx
= e®¹ fEi [¡(® + v)¹] ¡ Ei [¡(® + u)¹]g
x+®
[¡® < n;
or
¡® > v;
Re ¹ > 0]:
ET I 134 (7)
Z
4:
1 ¡¹x
e
0
dx
= ¡e¯¹ Ei (¡¹¯)
x+¯
[j arg ¯ j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET II 217(11)
5:
6:
7
8
7:
Z
Z
Z
1 ¡px
e
u
dx
= e¡pa Ei (pa ¡ pu)
a¡x
1 ¡¹x
e
0
1
dx
= e¡¹a Ei (a¹)
a¡x
eipx dx
= i¼eiap
¡1 x ¡ a
[p > 0;
a < u]
ET II 251(37)
[a < 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((91))(4)
[p > 0]:
ET II 251(38)
3.353
1:
Z
1
u
n¡k¡1
n¡1
e¡¹x dx
(¡¹)n¡1 ¯¹
¡u¹ P (k ¡ 1)!(¡¹)
=
e
¡
e Ei [¡(u+ ¯)¹]
k
(x + ¯)n
(n ¡ 1)!
k=1 (n ¡ 1)!(u + ¯)
[n ¸ 2; j arg(u + ¯)j < ¼; Re ¹ > 0]:
ET I 134(10)
359
2:7
3:
Z
Z
1
0
1
0
n¡1
n¡1
P
e¡¹x dx
1
n¡k¡1 ¡k (¡¹)
=
(k
¡
1)!(
¡
¹)
¯
¡
e¯¹ Ei (¡¯¹)
(x + ¯)n
(n ¡ 1)! k=1
(n ¡ 1)!
[n ¸ 2; j arg ¯ j < ¼; Re ¹ > 0]:
e¡px dx
1
= pe®p Ei (¡ap) +
(a + x)2
a
[p > 0;
ET I 134(9), BI ((92))(2)
a > 0]:
LI ((281))(28), LI ((281))(29)
BI ((80))(6)
5:
7
Z
1
0
n
P
xn e¡¹x
dx = (¡1)n¡1 ¯ n e¯¹ Ei (¡¯¹) +
(k ¡ 1)!(¡¯)n¡k ¹¡k
x+¯
k=1
[j arg ¯ j < ¼; Re ¹ > 0; n ¸ 0]:
BI ((91))(3)A, LET I 135(11)
3.354
Z
1:
1 ¡¹x
e
dx
1
= [ci (¯¹) sin ¯¹¡si (¯¹) cos ¯¹]
2
2
¯ +x
¯
0
[Re ¯ > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((91))(7)
Z
2:
1
0
xe¡¹x dx
= ¡ ci (¯¹) cos ¯¹¡si (¯¹) sin ¯¹
¯ 2 + x2
[Re ¯ > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((91))(8)
3:
7
Z
Z
4:
1 ¡¹x
1 ¡¯¹
e
dx
=
[e
Ei (¯¹)¡e¯¹ Ei (¡¯¹)]
2
2
¯ ¡x
2¯
0
[j arg(§¯)j < ¼;
Re ¹ > 0]
BI ((91))(14)
1
xe¡¹x dx
1
= [e¡¯¹ Ei (¯¹)+e¯¹ Ei (¡¯¹)]
[j arg(§¯)j < ¼; Re ¹ > 0;
2
2
¯ ¡x
2
0
for ¯ > 0 one should replace Ei (¯¹) in this formula with Ei (¯¹)]:
BI ((91))(15)
5:
8
Z
1
e¡ipx dx
¼
= e¡japj
2
2
a
¡1 a + x
[a=
= 0];
p
real:
ET I 118(1)a
3.355
1:
Z
1
0
e¡¹x dx
1
=
fci (¯¹) sin ¯¹ ¡ si (¯¹) cos ¯¹ ¡
2
2
2
(¯ + x )
2¯ 3
¡ ¯¹[ci (¯¹) cos ¯¹ + si (¯¹) sin ¯¹]g:
LI ((92))(6)
Z
2:
1
0
xe¡¹x dx
1
=
f¡¯¹[ci(¯¹) sin ¯¹ ¡ si(¯¹) cos ¯¹]g
(¯ 2 + x2 )2
2¯ 2
[Re ¯ > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((92))(7)
360
3:
7
Z
1
0
e¡px dx
1
= 3 [(ap¡1)eap Ei (¡ap)+(1+ap)e¡ap Ei (ap)]
2
2
2
(a ¡ x )
4a
[Im(a2 )=
= 0;
p > 0]:
BI ((92))(8)
4:7
Z
1
0
ª
1 ©
xe¡px dx
= 2 ¡2 + ap[e¡ap Ei (ap) ¡ eap Ei (¡ap)]
2
2
2
(a ¡ x )
4a
[Im(a2 )=
= 0;
p > 0]:
LI ((92))(9)
3.356
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
x2n+1 e¡px
dx = (¡1)n¡1 a2n [ci (ap) cos ap + si (ap) sin ap] +
a2 + x2
n
1 P
+ 2n
(2n ¡ 2k + 1)!(¡a2 p2 )k¡1
[p > 0]:
p k=1
BI ((91))(12)
x2n e¡px
dx = (¡1)n a2n¡1 [ci (ap) sin ap ¡ si (ap) cos ap] +
a2 + x2
n
P
1
+ 2n¡1
(2n ¡ 2k)!(¡a2 p2 )k¡1
[p > 0]:
p
k=1
BI ((91))(11)
n
x2n+1 e¡px
1
1 P
dx = a2n [eap Ei (¡ap)+e¡ap Ei (ap)]¡ 2n
(2n¡2k+1)!(a2 p2 )k¡1
2
2
a ¡x
2
p k=1
[p > 0]:
BI ((91))(17)
4:
Z
1
0
n
P
x2n e¡px
1 2n¡1 ¡ap
1
ap
dx
=
a
[e
Ei
(ap)
¡
e
Ei
(
¡
ap)]
¡
(2n¡2k)!(a2 p2 )k¡1
a2 ¡ x2
2
p2n¡1 k=1
[p > 0]:
3.357
1:
Z
1
0
1
e¡¹x dx
= 2 fci (a¹)(sin a¹ + cos a¹) +
3
2
2
3
a + a x + ax + x
2a
+ si (a¹)(sin a¹ ¡ cos a¹) ¡ ea¹ Ei (¡a¹)g
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
BI ((92))(18)
2:
Z
1
0
1
xe¡¹x dx
fci(a¹)(sin a¹ ¡ cos a¹) ¡
=
3
2
2
3
a + a x + ax + x
2a
¡ si (a¹)(sin a¹ + cos a¹) ¡ ea¹ Ei (¡a¹)g
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
BI ((92))(19)
3:
Z
1
a3
0
1
x2 e¡¹x dx
= f¡ ci (a¹)(sin a¹ + cos a¹) ¡
+ a2 x + ax2 + x3
2
¡ si (a¹)(sin a¹ ¡ cos a¹) ¡ ea¹ Ei (¡a¹)g
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
BI ((92))(20)
361
4:
5:
6:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
e¡¹x dx
= 2 fci (a¹)(sin a¹ ¡ cos a¹) ¡
3
2
2
3
a ¡ a x + ax ¡ x
2a
ª
¡ si (a¹)(sin a¹ + cos a¹) + e¡a¹ Ei (a¹)
[Re ¹ > 0;
xe¡¹x dx
1
f¡ ci (a¹)(sin a¹ + cos a¹) ¡
=
a3 ¡ a2 x + ax2 ¡ x3
2a
ª
¡ si (a¹)(sin a¹ ¡ cos a¹) + e¡a¹ Ei (a¹)
[Re ¹ > 0;
x2 e¡¹x dx
1
= fci (a¹)(cos a¹ ¡ sin a¹) +
3
2
2
3
a ¡ a x + ax ¡ x
2
ª
+ si (a¹)(cos a¹ + sin a¹) + e¡a¹ Ei (a¹)
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
BI ((92))(21)
a > 0]:
BI ((92))(22)
a > 0]:
1:
Z
1
0
ª
1 ©
e¡px
dx = 3 e¡ap Ei (ap) ¡ eap Ei (¡ap) + 2 ci (ap) sin ap ¡ 2 si (ap) cos ap
4
4
a ¡x
4a
[p > 0; a > 0]:
BI ((91))(18)
2:
Z
1
0
ª
1 ©
xe¡px dx
= 2 eap Ei (¡ap) + e¡ap Ei (ap) ¡ 2 ci (ap) cos ap ¡ 2 si (ap) sin ap
4
4
a ¡x
4a
[p > 0; a > 0]:
BI ((91))(19)
3:
Z
1
0
ª
x2 e¡px dx
1 © ¡ap
ap
e
=
Ei
(ap)
¡
e
Ei
(
¡
ap)
¡
2
ci
(ap)
sin
ap
+
2
si
(ap)
cos
ap
a4 ¡ x4
4a
[p > 0; a > 0]:
BI ((91))(20)
4:
Z
1
0
ª
1 © ap
x3 e¡px dx
=
e Ei (¡ap) + e¡ap Ei (ap) + 2 ci (ap) cos ap + 2 si (ap) sin ap
4
4
a ¡x
4
[p > 0; a > 0]:
BI ((91))(21)
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
x4n e¡px
dx = a4n¡3 [e¡ap Ei (ap) ¡ eap Ei (¡ap) + 2 ci (ap) sin ap ¡ 2 si (ap) cos ap] ¡
4
4
a ¡x
4
n
P
1
¡ 4n¡3
(4n ¡ 4k)!(a4 p4 )k¡1
[p > 0; a > 0]:
p
k=1
BI ((91))(22)
x4n+1 e¡px
1
dx = a4n¡2 [eap Ei (¡ap) + e¡ap Ei (ap) ¡ 2 ci (ap) cos ap ¡ 2 si (ap) sin ap] ¡
4
4
a ¡x
4
n
P
1
¡ 4n¡2
(4n ¡ 4k + 1)!(a4 p4 )k¡1
[p > 0; a > 0]:
p
k=1
BI ((91))(23)
x4n+2 e¡px
1
dx = a4n¡1 [e¡ap Ei (ap) ¡ eap Ei (¡ap) ¡ 2 ci (ap) sin ap + 2 si (ap) cos ap] ¡
4
4
a ¡x
4
n
P
1
¡ 4n¡1
(4n ¡ 4k + 2)!(a4 p4 )k¡1
[p > 0; a > 0]:
p
k=1
BI ((91))(24)
362
Z
8:
1
0
x4n+3 e¡px
1
dx = a4n [eap Ei (¡ap) + e¡ap Ei (ap) + 2 ci (ap) cos ap + 2 si (ap) sin ap] ¡
a4 ¡ x4
4
n
1 P
¡ 4n
(4n ¡ 4k + 3)!(a4 p4 )k¡1
[p > 0; a > 0]:
p k=1
BI ((91))(25)
3.359
Z
1
(i ¡ x)n e¡ipx
dx = (¡1)n¡1 2¼pe¡p Ln¡1 (2p)
n i + x2
(i
+
x)
¡1
=0
for
p > 0;
for
p < 0:
ET I 118(2)
3.36- 3.37 Combinations of exponentials and algebraic functions
8
3.361
1:
2:
Z
Z
u ¡qx
e
p
0
x
dx =
1 ¡qx
e
p
0
x
r
dx =
¼ p
©( qu):
q
r
¼
q
[q > 0]:
BI((98))(10)
3:
Z
1
¡1
e¡qx
p
dx = eq
1+x
r
¼
q
[q > 0]:
BI ((104))(16)
3.362
1:
2:
Z
Z
1 ¡¹x
1
e
p
dx
=
x¡1
1 ¡¹x
0
e
p
dx
=
x+¯
r
¼ ¡¹
e
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((104))(11)a
r
p
¼ ¯¹
e [1 ¡ ©( ¯¹)]
¹
[Re ¹ > 0;
j arg ¯ j < ¼]:
3.363
1:
Z
1p
u
x ¡ u ¡¹x
e
dx =
x
r
p
¼ ¡u¹ p
e
¡¼ u[1¡©( u¹)]
¹
[u > 0;
Re ¹ > 0]:
ET I 136(23)
2:
Z
1
u
p
¼
e¡¹x dx
p
= p [1 ¡ ©( u¹)]
u
x x¡u
[u > 0;
Re ¹ ¸ 0]:
ET I 136(26)
3.364
1:
2:
3:
Z
Z
Z
2
0
e¡px dx
p
= ¼e¡p I0 (p)
x(2 ¡ x)
[p > 0]:
GW ((312))(7a)
1
e2x dx
p
= ¼I0 (2):
2
¡1 1 ¡ x
1
0
BI ((277))(2)a
³ ap ´
ap
e¡px dx
p
= e 2 K0
2
x(x + a)
[a > 0;
p > 0]:
GW ((312))(8a)
363
3.365
1:
2:
Z
Z
u
0
xe¡¹x dx
¼u
p
=
[L1 (¹u) ¡ I1 (¹u)] + u
2
2
2
u ¡x
1
u
xe¡¹x dx
p
= uK1 (u¹)
x2 ¡ u2
[u > 0;
[u > 0;
Re ¹ > 0]:
ET I 136(28)
Re ¹ > 0]:
ET I 136(29)
3.366
Z
1:
Z
2:
Z
3:
2u
0
1
0
1
0
(u ¡ x)e¡¹x dx
p
= ¼ue¡u¹ I1 (u¹)
2ux ¡ x2
(x + ¯)e¡¹x dx
p
= ¯e¯¹ K1 (¯¹)
x2 + 2¯x
[Re ¹ > 0]:
ET I 136(31)
j arg ¯ j < ¼]:
[Re ¹ > 0;
ET I 136(30)
h
xe¡¹x dx
¯¼
p
=
[H1 (¯¹)¡N1 (¯¹)]¡¯
2
x2 + ¯ 2
j arg ¯ j <
i
Re ¹ > 0 :
¼
;
2
ET I 136(27)
3.367
Z
¡
exp 2¹ cos 2
e¡¹x dx
p
=
sin t
(1 + cos t + x) x2 + 2x
1
0
t
2
¢•
Z
t ¡ sin t
u
¡v cos t
K0 (v)e
dv
0
¶
[Re ¹ > 0]:
ET I 136(33)
3.368
Z
1
e¡¹x dx
¼
1
p
=
[H1 (¯¹)¡N1 (¯¹)]¡ 2 2
2
2
2¯¹
¯ ¹
x+ x +¯
0
h
j arg ¯ j <
¼
;
2
i
Re ¹ > 0 :
ET I 136(32)
3.369
Z
1
p
p
e¡¹x dx
2
p
= p ¡ 2 ¼¹e®¹ (1 ¡ ©( a¹))
3
a
(x + a)
0
[j arg aj < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET I 135(20)
3.371
Z
1
0
1
xn¡ 2 e¡¹x dx =
p
1 3
2n ¡ 1
1
¼ ¢ ¢ ...
mu¡n¡ 2
2 2
2
p
= ¼2¡n ¹¡n¡1=2 (2n ¡ 1)!!
[n ¸ 0]
[Re ¹ > 0]:
Z
1
1
1
xn¡ 2 (2 + x)n¡ 2 e¡px dx =
0
(2n ¡ 1)!! p
e Kn (p)
pn
[p > 0;
n = 0; 1; 2; . . . ]:
GW ((312))(8)
3.373
Z
1
0
h³
x+
p
x2 + ¯ 2
´n
+ (x ¡
p
i
x2 + ¯ 2 )n e¡¹x dx = 2¯ n+1 On (¯¹)
[Re ¹ > 0]:
WA 05(1)
3.374
1:
Z
1
0
p
(x + 1 + x2 )n ¡¹x
1
p
e
dx = [Sn (¹) ¡¼En (¹) ¡¼Nn (¹)]
2
2
1+x
[Re ¹ > 0]:
ET I 37(35)
364
2:
Z
1
0
p
(x ¡ 1 + x2 )n ¡¹x
1
p
e
dx = ¡ [Sn (¹)+¼En (¹)+¼Nn (¹)]
2
2
1+x
[Re ¹ > 0]:
ET I 137(36)
3.38- 3.39 Combinations of exponentials and arbitrary powers
3.381
1:
2:
3:8
Z
Z
Z
u
xº¡1 e¡¹x dx = ¹¡º °(º; ¹u)
[Re º > 0]
0
EH I 266(22), EH II 133(1)
u
0
1
u
up+k
;
k!(p + k)
k=0
1
P
up+k
= e¡u
:
k=0 p(p + 1) . . . (p + k)
xp¡1 e¡x dx =
1
P
(¡1)k
xº¡1 e¡¹x dx = ¹¡º ¡(º; ¹u)
[u > 0;
AD 6.705
Re ¹ > 0]:
4:
5:
Z
Z
1
xº¡1 e¡¹x dx =
0
1
¡(º)
¹º
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 779
1
0
•
¶
q
º
xº¡1 e¡(p+iq)x dx = ¡(º)(p2 + q2 )¡ 2 exp ¡iº arctg
p
[p > 0; Re º > 0 or p = 0; 0 < Re º < 1]:
EH I 12(32)
6:
Z
1 ¡x
e
º
u
dx = u¡ 2 e¡ 2 W¡ º ; (1¡º) (u)
2
2
xº
u
[u > 0]:
WH
3.382
1:6
2:
Z
Z
u
0
(u¡x)º e¡¹x dx = (¡¹)¡º¡1 e¡u¹ °(º+1; ¡u¹)
[Re º > ¡1;
u > 0]:
ET I 137(6)
1
u
(x¡u)º e¡¹x dx = ¹¡º¡1 e¡u¹ ¡(º+1)
[u > 0;
Re º > ¡1;
Re ¹ > 0]:
ET I 137(5), ET II 202(11)
3:
4:
Z
Z
1
º
¹
(1 + x)¡º e¡¹x dx = ¹ 2 ¡1 e 2 W¡ º ; (1¡º) (¹)
2
0
2
[Re ¹ > 0]:
WH
1
(x+¯)º e¡¹x dx = ¹¡º¡1 e¯¹ ¡(º +1; ¯¹)
0
[j arg ¯ j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET I 137(4), ET II 233(10)
5:
Z
u
0
(a + x)¹¡1 e¡x dx = ea [°(¹; a + u) ¡ °(¹; a)]
[Re ¹ > 0]:
EH II 139
365
6:
Z
1
(¯ + ix)¡º e¡ipx dx = 0
¡1
=
for
2¼(¡p)º¡1 e¯p
¡(º)
p > 0;
for
p<0
[Re º > 0;
Re ¯ > 0]:
ET I 118(4)
7:
Z
1
¡1
2¼pº¡1 e¡¯p
¡(º)
=0
(¯ ¡ ix)¡º e¡ipx dx =
for
for
p > 0;
p<0
[Re º > 0;
Re ¯ > 0]:
ET I 118(3)
3.383
1:
Z
u
xº¡1 (u¡x)¹¡1 e¯x dx = B(¹; º)uu+º¡1 1 F1 (º; ¹+º; ¯u)
0
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET II 187(14)
2:
Z
u
¹¡1
x
0
¹¡1 ¯x
(u¡x)
e
dx =
p
• ¶u¡ 12
• ¶
• ¶
u
¯u
¯u
¼
exp
¡(¹)I¹¡ 12
¯
2
2
[Re ¹ > 0]:
ET II 187(13)
3:
Z
1
¹¡1
x
u
¹¡1 ¡¯x
(x¡u)
e
1
dx = p
¼
• ¶¹¡ 12
•
¶
• ¶
¯u
u
¯u
¡(¹) exp ¡
K¹¡ 12
¯
2
2
[Re ¹ > 0; Re ¯u > 0]:
ET II 202(12)
4:
Z
1
u
º¡1
x
¹¡1 ¡¯x
(x¡u)
e
dx = ¯
¡ ¹+º
2
u
¹+º ¡2
2
•
¶
¯u
¡(¹) exp ¡
W º ¡¹ ; 1¡¹¡º (¯¹)
2
2
2
[Re ¹ > 0; Re ¯u > 0]:
ET II 202(13)
5:7
Z
1
0
e¡px xq¡1 (1 + ax)¡º dx = a¡q ¡(q)ª(q; q + 1 ¡ º; p=a)
∙ n
¸
P
¡q
k
N+1
= p ¡(q)
(q)k (º)k (a=p) =k! + O(a=p)
k=0
Re q > 0; Re p > 0; Re a > 0; º complex, N = 0; 1; . . . . For º = 0 the integral equals p¡q ¡(q).
6:
Z
1
1
1
1
xº¡1 (x + ¯)¡º+ 2 e¡¹x dx = 2º¡ 2 ¡(º)¹¡ 2 e
0
[j arg ¯ j < ¼;
¯¹
2
p
D1¡2º ( 2¯¹)
Re º > 0;
Re ¹ ¸ 0;
¹=
= 0]:
ET I 39(20), EH II 119(2)a
7:
Z
1
1
1
xº¡1 (x + ¯)¡º¡ 2 e¡¹x dx = 2º ¡(º)¯ ¡ 2 e
¯¹
2
0
[j arg ¯ j < ¼;
p
D¡2º ( 2¯¹)
Re º > 0;
Re ¹ ¸ 0]:
ET I 139(21), EH II 119(1)a
8:
Z
1
º¡1
x
º¡1 ¡¹x
(x + ¯)
e
0
• ¶º¡ 12
¶
•
¯¹
1
¯
¯¹
2
dx = p
e ¡(º)K 12 ¡º
¼ ¹
2
[j arg ¯ j < ¼; Re ¹ > 0; Re º > 0]:
ET II 233(11), EH II 19(16)A, EH II 82(22)a
366
9:
Z
1
u
(x ¡ u)º e¡¹x
dx = uº ¡(º+1)¡(¡º; u¹)
x
[u > 0;
Re º > ¡1;
Re ¹ > 0]:
ET I 138(8)
10:
Z
1
0
xº¡1 e¡¹x
dx = ¯ º¡1 e¯¹ ¡(º)¡(1¡º; ¯¹)
x+¯
[j arg ¯ j < ¼;
Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
EH II 137(3)
3.384
1:
Z
1
¡1
(1 ¡ x)º¡1 (1 + x)¹¡1 e¡ipx dx = 2¹+º¡1 B(¹; º)eip 1 F1 (¹; º + ¹; ¡2ip)
[Re º > 0;
Re ¹ > 0]:
ET I 119(13)
2:
Z
v
u
(x ¡ u)2¹¡1 (v ¡ x)2º¡1 e¡px dx =
¹+º¡1 ¡¹¡º
= B(2¹; 2º)(v ¡ u)
p
•
¶
u+v
exp ¡p
M¹¡º; ¹+º¡ 21 (vp ¡ up)
2
[v > u > 0; Re ¹ > 0; Re º > 0]:
Z
3:
Z
4:
Z
5:
1
u
(x + ¯)2º¡1 (x ¡ u)2%¡1 e¡¹x dx =
∙
¸
(¯ ¡ u)¹
(u + ¯)º+%¡1
=
exp
¡(2%)Wº¡%; º+%¡ 12 (u¹ + ¯¹)
¹º+%
2
[u > 0; j arg(¯ + u)j < ¼; Re ¹ > 0; Re % > 0]:
1
u
u
¸
∙
(¯+u)¹
1
(¯ + u)¹
º¼ cosec(º¼)e¡ 2 k2º
¹
2
j arg(u + ¯)j < ¼; Re ¹ > 0; Re º < 1]:
(x + ¯)º (x ¡ u)¡º e¡¹x dx =
[º=
= 0;
1
ET I 139(22)
u > 0;
ET I 139(17)
1
1
p
1
(x ¡ u)º¡1 (x + u)¡º+ 2 e¡¹x dx = p 2º¡ 2 ¡(º)D1¡2º (2 u¹)
¹
[u > 0; Re ¹ > 0; Re º > 0]:
ET I 139(18)
Z
6:
1
u
1
1
p
1
(x ¡ u)º¡1 (x + u)¡º¡ 2 e¡¹x dx = p 2º¡ 2 ¡(º)D¡2º (2 u¹)
u
[u > 0; Re ¹ ¸ 0; Re º > 0]:
ET I 139(19)
7:6
Z
1
¡1
2¼e¡¯p p¹+º¡1
1 F1 (º; ¹ + º; (¯ ¡ °)p)
¡(¹ + º)
=0
for p < 0
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; Re(¹ + º) > 1]:
(¯ ¡ix)¡¹ (° ¡ix)¡º e¡ipx dx =
for
p > 0;
ET I 119(10)
367
8:
6
Z
1
(¯ + ix)¡¹ (° + ix)¡º e¡ipx dx = 0
¡1
=
for
p > 0;
2¼e°p (¡p)¹+º¡1
for p < 0
1 F1 [¹; ¹ + º; (¯ ¡ °)p]
¡(¹ + º)
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; Re(¹ + º) > 1]:
ET I 19(11)
ET I 19(12)
3.385
Z
1
0
xº¡1 (1 ¡ x)¸¡1 (1 ¡ ¯x)¡% e¡¹x dx = B(º; ¸)©1 (º; %; ¸ + º; ¯; ¡¹)
[Re ¸ > 0;
j arg(1 ¡ ¯)j < ¼]:
Re º > 0;
ET I 39(24)
3.386
1:
∙
2:
∙
Z
(ix)º0
1
n
Y
k=1
¡1
Re º0 > ¡1;
Z
(¯k + ix)ºk e¡ipx dx
(ix)º0
1
= 2¼e¡¯0 p ¯0º0
¯0 ¡ ix
n
Y
(¯0 + ¯k )ºk
k=1
n
P
Re ¯k > 0;
Re ºk < 1;
arg ix =
k=0
n
Y
Re º0 > ¡1;
¸
p>0 :
ET I 118(8)
(¯k + ix)ºk e¡ipx dx
k=1
¡1
¼
sign x;
2
=0
¯0 + ix
n
P
Re ¯k > 0;
Re ºk < 1;
k=0
¼
arg ix = sign x;
2
¸
p>0 :
ET I 119(9)
3.387
1:6
2:6
Z
Z
1
¡1
(1¡x2 )º¡1 e¡¹x dx =
1
¡1
(1 ¡ x2 )º¡1 ei¹x dx =
p
¼
p
¼
• ¶º¡ 12
2
¡(º)Iº¡ 21 (¹)
¹
• ¶º¡ 12
2
¡(º)Jº¡ 12 (¹)
¹
h
Re º > 0;
j arg ¹j <
¼i
:
2
WA 172(2)a
[Re º > 0]:
WA 25(3), WA 48(4)a
368
3:
Z
1
1
2
º¡1 ¡¹x
(x ¡1)
e
1
dx = p
¼
• ¶º¡ 12
2
¡(º)Kº¡ 21 (¹)
¹
h
j arg ¹j <
¼
;
2
i
Re º > 0 :
4:
Z
1
1
2
º¡1 i¹x
(x ¡1)
e
p • ¶º¡ 12
¼ 2
(1)
dx = i
¡(º)H 1 ¡º (¹)
[Im ¹ > 0; Re º > 0];
2
2
¹
¶ º¡ 12
p •
2
¼
(2)
¡
= ¡i
¡(º)H 1 ¡º (¡¹)
[Im ¹ < 0; Re º > 0]:
2
2
¹
EH II 83(29)a
EH II 83(28)a
5:
Z
p • ¶º¡ 12
¼ 2u
dx =
¡(º)[Iº¡ 12 (u¹)+Lº¡ 21 (u¹)]:
2
¹
u
2
2 º¡1 ¹x
(u ¡x )
0
e
[u > 0;
Re º > 0]:
ET II 188(20)a
6:
Z
1
u
2
2 º¡1 ¡¹x
(x ¡u )
e
1
dx = p
¼
•
2u
¹
¶º¡ 12
¡(º)Kº¡ 12 (u¹)
[u > 0;
Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET II 203(17)a
7:
Z
1
2
2 º¡1 ¡¹x
(x + u )
e
0
p • ¶º¡ 12
¼ 2u
dx =
¡(º)[Hº¡ 12 (u¹) ¡ Nº¡ 12 (u; ¹)]
2
¹
[j arg uj < ¼; Re ¹ > 0]:
ET I 138(10)
3.388
1:
Z
2u
2 º¡1 ¡¹x
(2ux¡x )
0
e
dx =
p
¼
•
2u
¹
¶º¡ 12
e¡u¹ ¡(º)Iº¡ 21 (u¹)
[u > 0;
Re º > 0]:
ET I 138(14)
2:
3:
Z
Z
1
2 º¡1 ¡¹x
(2¯x + x )
e
0
1
0
2
º¡1 ¡¹x
(x +ix)
e
1
dx = p
¼
dx = ¡
•
¶º¡ 12
2¯
e¯¹ ¡(º)Kº¡ 12 (¯¹)
¹
[j arg ¯ j < ¼; Re º > 0; Re ¹ > 0]:
p i¹
i ¼e 2
2¹
º¡ 12
(2)
¡(º)Hº¡ 1
2
³¹´
2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET I 138(13)
Z
4:
1
0
º¡1 ¡¹x
2
(x ¡ix)
e
dx =
p
i¹
i ¼e¡ 2
2¹
º¡ 12
(1)
¡(º)Hº¡ 1
2
³¹´
2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET I 138(16)
3.389
Z
1:
u
2º¡1
x
0
2
2 %¡1 ¹x
(u ¡x )
e
¶
•
1
¹2 u2
1
2º+2%¡2
dx = B(º; %)u
; º + %;
+
1 F2 º;
2
2
4
•
¶
¶
•
¹
1
1 ¹2 u2
1 3
2º+2%¡1
; º +%+ ;
+ B º+ ;% u
1 F2 º + ;
2
2
2 2
2
4
[Re % > 0; Re º > 0]:
ET II 188(21)
369
2:
3:
7
7
Z
Z
1
2º¡1
x
2
2 %¡1 ¡¹x
(u +x )
0
u
2
2 º¡1 ¹x
x(u ¡x )
0
e
e
• 2 2¯
¶
u2º+2%¡2
¹ u ¯¯ 1 ¡ º
31
dx = p
G
2 ¼¡(1 ¡ %) 13
4 ¯ 1 ¡ % ¡ º; 0; 12
i
h
¼
j arg uj < ; Re ¹ > 0; Re º > 0 :
2
p ³ ´ 1 ¡º
1
u2º
¼ ¹ 2
dx =
uº+ 2 ¡(º)[Iº+ 21 (¹u)+Lº+ 12 (¹u)]
+
2º
2
2
ET II 234(15)a
[Re º > 0]:
ET II 188(19)a
4:
Z
1
u
1 p
1
1
x(x2 ¡u2 )º¡1 e¡¹x dx = 2º¡ 2 ( ¼)¡1 ¹ 2 ¡º uº+ 2 ¡(º)Kº+ 12 (u¹)
[Re(u¹) > 0]:
ET II 203(16)a
5:
6:
Z
Z
1
(ix)¡º e¡ipx dx
= ¼¯ ¡º¡1 e¡jpj¯
¯ 2 + x2
¡1
1
0
h
jº j < 1;
Re ¯ > 0;
arg ix =
i
¼
sign x :
2
¶
∙
•
xº e¡¹x
1
(º ¡ 1)¼
º¡1
dx = ¡(º)¯
£
exp i¹¯ + i
¯ 2 + x2
2
2
•
¶
¸
(º ¡ 1)¼
£ ¡(1 ¡ º; i¯¹) + exp ¡i¯¹ ¡ i
¡ (1 ¡ º; ¡i¯¹)
2
[Re ¯ > 0; Re ¹ > 0; Re º > ¡1]:
ET I 118(5)
Z
7:
1
0
xº¡1 e¡¹x dx
= ¼ cosec(º¼)Vº (2¹; 0)
1 + x2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET I 138(9)
Z
8:
1
(¯ + ix)¡º e¡ipx
¼
dx = (¯+°)¡º e¡p°
2 + x2
°
°
¡1
[Re º > ¡1;
p > 0;
Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
ET I 118(6)
9:
6
Z
1
¼
(¯ ¡ ix)¡º e¡ipx
dx = (¯+°)¡º e°p
2 + x2
°
°
¡1
[p < 0;
Re ¯ > 0;
Re ° > 0;
Re º > ¡1]:
ET I 118(7)
3.391
Z
1
0
∙³
p
x + 2¯ +
¸
p ´2º ³p
p ´2º ¡¹x
º
x
¡
x + 2¯ ¡ x
dx = 2º+1 ¯ º e¯¹ Kº (¯¹)
e
¹
[j arg ¯ j < ¼; Re ¹ > 0]:
ET I 140(30)
3.392
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
(x +
p
1 + x2 )º e¡¹x dx =
1
º
S1; º (¹) + S0; º (¹)[Re ¹ > 0]:
¹
¹
p
1
º
( 1 + x2 ¡ x)º e¡¹x dx = S1; º (¹) ¡ S0; º (¹)
¹
¹
ET I 140(25)
[Re ¹ > 0]:
ET I 140(26)
370
3:
Z
1
0
p
(x + 1 + x2 )º ¡¹x
p
e
dx = ¼ cosec º¼[J¡º (¹) ¡ J¡º (¹)]
1 + x2
[Re ¹ > 0]:
ET I 140(27), EH II 35(33)
4:
Z
1
0
p
( 1 + x2 ¡ x)º ¡¹x
p
e
dx = S0; º (¹) ¡ ºS¡1; º (¹)
1 + x2
[Re ¹ > 0]:
3.393
Z
1
0
p
p
(x + x2 + 4¯ 2 )2º ¡¹x
¹¼ 3
p
e
dx = 2º+3=2 2º [Jº+1=4 (¯¹)Nº¡1=4 (¯¹)¡Jº¡1=4 (¯¹)Nº+1=4 (¯¹)]
2
¯
x3 + 4¯ 2 x
[Re ¯ > 0; Re ¹ > 0]:
ET I 140(33)
3.394
Z
1
0
p
p
p
p
(1 + 1 + x2 )º+1=2 ¡¹x
p
e
dx = 2¡(¡º)Dº ( 2i¹)Dº ( ¡2i¹)
xº+1 1 + x2
[Re ¹ ¸ 0;
Re º < 0]:
ET I 140(32)
3.395
1:
2:
Z
Z
1
1
1
p
p
( x2 ¡ 1 + x)º + ( x2 ¡ 1 + x)¡º ¡¹x
p
e
dx = 2Kº (¹)
x2 ¡ 1
(x +
p
1
x2 ¡ 1)2º + (x ¡
p
x(x2 ¡ 1)
p
x2 ¡ 1)2º
¡¹x
e
dx =
r
[Re ¹ > 0]:
ET I 140(29)
³¹´
³¹´
2¹
Kº+1=4
Kº¡1=4
¼
2
2
[Re ¹ > 0]:
ET I 140(34)
3:
Z
1
(x +
0
p
x2 + 1)º + cos º¼(x +
p
x2 + 1
p
x2 + 1)¡º
e¡¹x dx = ¡¼[Eº (¹)+Nº (¹)]
[Re ¹ > 0]:
EH II 35(34)
3.41- 3.44 Combinations of rational functions of powers and exponentials
3.411
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
1
xº¡1 dx
= º ¡(º)³(º)
e¹x ¡ 1
¹
x2n¡1 dx
= (¡1)n¡1
epx ¡ 1
•
2¼
p
[Re ¹ > 0;
Re º > 1]:
FI II 792a
¶2n
B2n
4n
[n = 1; 2; . . . ]:
Z
3:
1
0
xº¡1 dx
1
= º (1 ¡ 21¡º )¡(º)³(º)
¹x
e +1
¹
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 792a, WH
371
Z
4:
1
0
x2n¡1 dx
= (1 ¡ 21¡2n )
epx + 1
•
2¼
p
¶2n
jB2n j
4n
[n = 1; 2; . . . ]:
BI((83))(2), EH I 39(25)
Z
5:
ln 2
0
Z
x dx
¼2
=
:
1 ¡ e¡x
12
BI ((104))(5)
1
1
P
xº¡1 e¡¹x
dx = ¡(º)
(¹ + n)¡º ¯ n = ¡(º)©(¯; º; ¹)
¡x
1
¡
¯e
n=0
0
[Re ¹ > 0 and either j¯ j ∙ 1; ¯=
= 1; Re º > 0; or ¯ = 1; Re º > 1]:
6:8
Z
7:
1
0
xº¡1 e¡¹x
1
dx = º ¡(º)³
1 ¡ e¡¯x
¯
•
¹
º;
¯
¶
[Re ¹ > 0;
EH I 27(3)
Re º > 1]:
ET I 144(10)
8:
9:
7
Z
Z
1
0
1
0
1 (¡1)k¡1
P
xn¡1 e¡px
dx
=
(n
¡
1)!
= (n ¡ 1)!©(¡1; n; p + 1)
n
1 + ex
k=1 (p + k)
[p > ¡1; n = 1; 2; . . . ]:
¼2
xe¡x dx
¡1
=
ex ¡ 1
6
BI ((83))(9)
(cf. 4.231 3.).
4.231
BI ((82))(1)
4.251
BI ((82))(2)
Z
11:
1
0
xe¡3x
¼2
3
¡
dx
=
¡x
e +1
12
4
(cf. 4.251 5.).
4.251
BI ((82))(3)
Z
12:
1
0
2n¡1
P (¡1)k¡1
xe¡2nx
¼2
dx
=
¡
+
1 + ex
12
k2
k=1
(cf. 4.251 6.).
4.251
BI ((82))(5)
Z
13:
1
0
2n (¡1)k
P
xe¡(2n¡1)x
¼2
dx
=
+
1 + ex
12
k2
k=1
(cf. 4.251 5.).
4.251
BI ((82))(4)
14:7
Z
1
0
Ã
!
n¡1
1 1
X 1
P
x2 e¡nx
dx = 2
= 2 ³(3) ¡
3
1 ¡ e¡x
k3
k=n k
[n = 1; 2; . . . ]:
(cf. 4.261 12.).
k=1
4.261
BI ((82))(9)
15:7
Z
1
0
1 (¡1)n+k
P
x2 e¡nx
dx
=
2
= (¡1)n+1
1 + e¡x
k3
k=n
Ã
n¡1
X (¡1)k
3
³(3) + 2
2
k3
k=1
!
[n = 1; 2; . . . ]:
(cf. 4.261 11.).
4.261
LI ((82))(10)
Z
16:
1
x2 e¡¹x
dx = ¼ 3 csc 3 ¹¼(2 ¡ sin2 ¹¼)
¡x
1
+
e
¡1
[0 < Re ¹ < 1]:
ET I 120(17)a
Z
17:
1
0
n¡1
P 1
x3 e¡nx
¼4
¡6
dx =
4
¡x
1¡e
15
k=1 k
(cf. 4.262 5.).
4.262
BI ((82))(12)
18:
7
Z
1
0
1 (¡1)n+k
P
x3 e¡nx
dx = 6
= (¡1)n+1
4
¡x
1+e
k
k=n
Ã
n¡1
X (¡1)k
7 4
¼ ¡6
120
k4
k=1
!
(cf. 4.262 4.).
4.262
LI ((82))(13)
19:¤
Z
1
0
e¡px (e¡x ¡ 1)n
³n´
n
P
dx
=¡
(¡1)k
ln(p + n ¡ k)
x
k
k=0
LI ((89))(10)
³ ´
n
P
dx
k n
=
(
¡
1)
(p + n ¡ k) ln(p + n ¡ k):
x2
k
k=0
LI ((89))(15)
372
20:
21:
¤
Z
Z
1
0
1
0
e¡px (e¡x ¡ 1)n
xn¡1
m 1
P
1 ¡ e¡mx
dx = (n ¡ 1)!
x
n
1¡e
k=1 k
(cf. 4.272 11.).
4.272
LI ((83))(8)
22:7
23:
Z
Z
1
1 qk
P
xp¡1
1
dx = p ¡(p)
= ¡(p)r¡p ©(q; p; 1]
p
¡q
qr
k
k=1
[p > 0;
erx
0
1
xe¹x dx
= ¼¯ ¹¡1 cosec(¹¼)[ln ¯ ¡¼ ctg(¹¼)]
x
¡1 ¯ + e
r > 0;
¡1 < q < 1]:
BI ((83))(5)
[j arg ¯ j < ¼;
0 < Re ¹ < 1]:
BI ((101))(5), ET I 120(16)a
24:
Z
³¼
xe¹x
¹¼ ´2
dx
=
cosec
ºx ¡ 1
º
º
¡1 e
1
[Re º > Re ¹ > 0]:
(cf. 4.254 2.).
4.254
LI ((101))(3)
25:
Z
1
x
0
1 + e¡x
¼2
dx
=
¡1
ex ¡ 1
3
(cf. 4.231 4.).
4.231
BI ((82))(6)
26:
Z
1
x
0
1 ¡ e¡x ¡x
2¼ 2
e
dx
=
:
1 + e¡3x
27
LI ((82))(7)a
27:
28:
Z
Z
1
0
2
´
3
6¡ 2 +1 p 7
1 ¡ e¡¹x dx
6 •
¶ ¼7
=
ln
4
5
¹+1
1 + ex x
¡
2
1 ¡ºx
e
0
³¹
¡ e¡¹x
e¡x + 1
³º ´ •¹ + 1¶
¡
dx
2
2
¶
= ln ³ ´ •
¹
º+1
x
¡
¡
2
2
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((93))(4)
¡
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
Z
29:
h p¼
q¼ i
epx ¡ eqx dx
=
ln
tg
ctg
rx
x
2r
2r
¡1 1 + e
1
[jr j > jpj;
jr j > jq j;
rp > 0;
rq > 0]:
(cf. 4.267 18.).
4.267
BI ((103))(3)
Z
30:
h
epx ¡ eqx dx
p¼
q¼ i
=
ln
sin
cosec
rx
x
r
r
¡1 1 ¡ e
1
[jrj > jpj;
jr j > jq j;
rp > 0;
rq > 0]
(cf. 4.267 19.).
4.267
BI ((103))(4)
Z
31:
Z
32:
1 ¡qx
e
0
+ e(q¡p)x
x dx =
1 ¡ e¡px
•
q¼
¼
cosec
p
p
0
[0 < q < p]:
BI ((82))(8)
1 ¡px
e
¶2
¡ e(p¡q)x dx
p¼
= ln ctg
e¡qx + 1
x
2q
[0 < p < q]:
BI ((93))(7)
3.412
Z
1
0
½
a + be¡qx
a + be¡px
¡ qx
px
¡px
ce + g + he
ce + g + he¡qx
¾
a+b
p
dx
=
ln
x
c+g+h
q
[p > 0;
q > 0]:
BI ((96))(7)
373
3.413
1.
Z
1
0
(1 ¡ 3¡¯x )(1 ¡ e¡°x )e¹x dx
¡(¹)¡(¯ + ° + ¹)
= ln
¡x
1¡e
x
¡(¹ + ¯)¡(¹ + °)
[Re ¹ + 0;
Re ¹ > ¡ Re ¯;
Re ¹ > ¡ Re °;
Re ¹ > ¡ Re(¯ + °)]
(cf. 4.267 25.)
4.267
BI ((93))(13)
BI ((95))(6)
Z
3.
1
e¡px ¡ e¡qx 1 + e¡(2n+1)x
dx =
1 + e¡x
x
0
½
¾
q(q + 2)(q + 4) . . . (q + 2n)(p + 1)(p + 3) . . . (p + 2n ¡ 1)
= ln
p(p + 2)(p + 4) . . . (p + 2n)(q + 1)(q + 3) . . . (q + 2n ¡ 1)
[Re p > ¡2n; Re q >= 2n]
(cf. 4.267 14.).
4.267
BI ((93))(11)
3.414
Z
1
0
(1 ¡ e¡¯x )(1 ¡ e¡°x )(1 ¡ e¡±x )e¡¹x dx
=
1 ¡ e¡x
x
= ln
¡(¹)¡(¹ + ¯ + °)¡(¹ + ¯ + ±)¡(¹ + ° + ±)
¡(¹ + ¯)¡(¹ + °)¡(¹ + ±)¡(¹ + ¯ + ° + ±)
[2 Re ¹ > j Re ¯ j + j Re ° j + j Re ± j]
(cf. 4.267 31.).
4.267
BI ((93))(14)
ET I 145(17)
3.415
Z
1:
1
0
∙ •
¶
•
¶¸
x dx
1
¼
¯¹
¯¹
=
ln
¡
¡Ã
(x2 + ¯ 2 )(e¹x ¡ 1)
2
2¼
¯¹
2¼
[Re ¯ > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((97))(20), EH I 18(27)
2:
7
Z
1
x dx
(x2
0
+
¯ 2 )2 (e2¼x
¡ 1)
=¡
1 0
1
1
¡ 2 +
à (¯);
3
8¯
4¯
4¯
1
1 X jB2k+2 j
=
4¯ 4
¯ 2k
[Re ¯ > 0]:
k=0
BI((97))(22), EH I 22(12)
3:8
4:
8
Z
Z
1
0
1
0
∙ •
¶
•
¶¸
x dx
1
1
¯¹
¯¹
=
ª
+
¡
ln
(x2 + ¯ 2 )(e¹x ¡ 1)
2
2¼
2
2¼
•
¶
x dx
1
1
1 0
=
¡ ª ¯+
(x2 + ¯ 2 )2 (e2¼x + 1)
4¯ 2 4¯
2
[Re ¯ > 0; Re ¹ > 0]
[Re ¯ > 0; Re ¹ > 0]
Z
1:
Z
2:
1
0
1
0
(1 + ix)2n ¡ (1 ¡ ix)2n
dx
1 2n ¡ 1
=
i
e2¼x ¡ 1
2 2n + 1
(1 + ix)2n ¡ (1 ¡ ix)2n
dx
1
=
i
e¼x + 1
2n + 1
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((88))(4)
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((87))(1)
3:
7
Z
1
0
(1 + ix)2n¡1 ¡ (1 ¡ ix)2n¡1
dx
1
=
[1¡22n B2n ]
i
e¼x + 1
2n
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((87))(2)
374
3.417
Z
1:
1
x dx
b
¼
=
ln
2 ex + b2 e¡x
a
2ab
a
¡1
[ab > 0]
(cf. 4.231 8.).
4.231
BI ((101))(1)
Z
2:
1
¼2
x dx
=
2 x
2 ¡x
4ab
¡1 a e ¡ b e
(cf. 4.231 10.).
4.231
LI ((101))(2)
3.418
1:
2:
6
6
Z
Z
1
0
1
0
∙ • ¶
¸
x dx
1
2 2
1
0
= 1:171 953 6193 . . . =
Ã
¡ ¼
ex + e¡x ¡ 1
3
3
3
∙ • ¶
¸
xe¡x dx
1
5 2
1
0
= 0:311 821 1319 . . . =
Ã
¡ ¼
ex + e¡x ¡ 1
6
3
6
LI ((88))(1)
3:
Z
ln 2
0
¼
x dx
= ln 2:
ex + 2e¡x ¡ 2
8
BI ((104))(7)
3.419
1:
Z
1
x dx
(ln ¯)2
=
x
¡x )
2(¯ ¡ 1)
¡1 (¯ + e )(1 + e
[j arg ¯ j < ¼]
(cf. 4.232 2.).
4.232
BI ((101))(16)
2:
Z
1
x dx
¼ 2 + (ln ¯)2
=
¡x
¡e )
2(¯ + 1)
¡1 (¯ +
ex )(1
[j arg ¯ j < ¼]
(cf. 4.232 3.).
4.232
BI ((101))(17)
3:
Z
1
x2 dx
[¼ 2 + (ln ¯)2 ] ln ¯
=
x
¡x )
3(¯ + 1)
¡1 (¯ + e )(1 ¡ e
[j arg ¯ j < ¼]
(cf. 4.261 4.).
4.261
BI ((102))(6)
4:
Z
1
x3 dx
[¼ 2 + (ln ¯)2 ]2
=
x
¡x )
4(¯ + 1)
¡1 (¯ + e )(1 ¡ e
[j arg ¯ j < ¼]
(cf. 4.262 3.).
4.262
BI ((102))(9)
5:
Z
1
x4 dx
[¼ 2 + (ln ¯)2 ]2
=
[7¼ 2 +3(ln ¯)2 ] ln ¯
x )(1 ¡ e¡x )
(¯
+
e
15(¯
+
1)
¡1
(cf. 4.263 1.).
4.263
BI ((102))(10)
6:
Z
1
x5 dx
[¼ 2 + (ln ¯)2 ]2
=
[3¼ 2 + (ln ¯)2 ]2
¡x
(¯
+
¡
e
)
6(¯
+
1)
¡1
(cf. 4.264 3).
ex )(1
4.264
BI ((102))(11)
7:
Z
1
¡[4¼ 2 + (ln ¯)2 ] ln ¯
(x ¡ ln ¯)x dx
=
x
¡x )
6(¯ ¡ 1)
¡1 (¯ ¡ e )(1 ¡ e
[j arg ¯ j < ¼]
(cf. 4.257 4.).
4.257
BI ((102))(7)
375
3.421
1:
Z
1
¡ºx
n
¡½x
¡ 1) (e
(e
0
¡
dx
1)m e¡¹x 2
x
=
n
X
k=0
k
(¡1)
m
³n´ X
k
l=0
(¡1)l
³m´
l
£
£ f(m ¡ l)½ + (n ¡ k)º + ¹g ln[(m ¡ l)½ + (n ¡ k)º + ¹]
[Re º > 0; Re ¹ > 0; Re ½ > 0]:
BI ((89))(17)
2:
Z
1
0
¡ºx n
(1 ¡ e
¡½x
) (1 ¡ e
dx
)e¡x 3
x
³n´
1X
=
(¡1)k
(½ + kº + 1)2 £
2
k
n
k=0
[n ¸ 2;
3:
Z
³n´
1X
(¡1)k¡1
(kº + 1)2 ln(kº + 1)
2
k
n
£ ln(½ + kº + 1) +
k=1
Re º > 0;
Re ½ > 0]:
BI ((89))(31)
1
xe¡¹x dx
¼(¯ ¹¡1 ln ¯ ¡ ° ¹¡1 ln °) ¼ 2 (¯ ¹¡1 ¡ ° ¹¡1 ) cos ¹¼
=
+
¡x )(° + e¡x )
(¯ ¡ °) sin ¹¼
(° ¡ ¯) sin2 ¹¼
¡1 (¯ + e
[j arg ¯ j < ¼; j arg ° j < ¼; ¯=
= °: 0 < Re ¹ < 2]:
ET I 120(19)
4.267
BI ((89))(11)
5:
Z
1
0
(1 ¡ e¡px )(1 ¡ e¡qx )(1 ¡ e¡rx )e¡x
dx
=
x
= (p + q + 1) ln(p + q + 1) +
+ (p + r + 1) ln(p + r + 1) + (q + r + 1) ln(q + r + 1) ¡
¡ (p + 1) ln(p + 1) ¡ (q + 1) ln(q + 1) ¡ (r + 1) ln(r + 1) ¡
¡ (p + q + r) ln(p + q + r)
[p > 0; q > 0; r > 0]
(cf. 4.268 3.).
4.268
BI ((89))(14)
3.422
Z
1
x(x ¡ a)e¹x dx
¡¼ 2
=
cosec 2 ¹¼[(e®¹ + 1) ln ¹ ¡ 2¼ ctg ¹¼(e®¹ ¡ 1)]
x
¡x )
ea ¡ 1
¡1 (¯ ¡ e )(1 ¡ e
[a > 0; j arg ¯ < ¼; j Re ¹j < 1]
(cf. 4.257 5.).
4.257
BI ((102))(8)a
3.423
1:
2:6
Z
Z
1
0
1
0
xº¡1
dx = ¡(º)[³(º ¡ 1) ¡ ³(º)]
(ex ¡ 1)2
[Re º > 2]:
ET I 313(10)
xº¡1 e¡¹x
dx = ¡(º)[³(º ¡1; ¹+2)¡(¹+1)³(º; ¹+2)]
(ex ¡ 1)2
[Re ¹ > ¡2;
Re º > 2]:
ET I 313(11)
3:7
Z
1
0
xq e¡px dx
= ¡(p+1)p¡q¡1 ©(a; q; 1)
(1 ¡ ae¡px )2
[¡1 ∙ a < 1; q > ¡1; p > 0]
BI ((85))(13)
376
4:
7
Z
1
0
xº¡1 e¡¹x
dx = ¡(º)[©(¯; º ¡ 1; ¹) ¡ (¹ ¡ 1)©(¯; º; ¹)]
(1 ¡ ¯e¡x )2
[Re º > 0; Re ¹ > 0; j arg(1 ¡ ¯)j < ¼]
(cf. 9.550)
9.550
ET I 313(12)
Z
5:
1
xex dx
1
=
ln ¯
x
2
¯
¡1 (¯ + e )
[j arg ¯ j < ¼]
(cf. 4.231 5.).
4.231
BI ((101))(10)
3.424
1:
2:
7
Z
Z
1
0
1
0
(1 + a)ex ¡ a ¡ax n
e
x dx = n!³(n; a)
(1 ¡ ex )2
[a > ¡1; n = 1; 2; . . . ]
BI ((85))(15)
(1 + a)ex + a ¡ax n
e
x dx = n!©(¡1; n; a + 1)
(1 + ex )2
[a > ¡1; n = 1; 2; . . . ]
BI ((85))(14)
3:
Z
1
a2 ex + b2 e¡x 2
¼2
x
dx
=
2 x
2 ¡x )2
2ab
¡1 (a e ¡ b e
[ab > 0]:
BI ((102))(3)a
4:
Z
1
a2 ex ¡ b2 e¡x 2
¼
b
x dx =
ln
2 ex + b2 e¡x )2
(a
ab
a
¡1
[ab > 0]:
BI ((102))(1)
5:
Z
1 x
0
e ¡ e¡x + 2 2
2
x dx = ¼ 2 ¡ 2:
(ex ¡ 1)2
3
Z
1:7
1
xex dx
2
2 2x n
¡1 (a + b e )
¶
1
•
∙
¶¸
¼¡ n ¡
a
1
2
¡C ¡Ã n¡
2 ln
[ab > 0;
=
4a2n¡1 b¡(n)
2b
2
(cf. 4.231 7.).
p
•
n > 0]
4.231
BI((101))(13), LI((101))(13)
2:
Z
7
³p p´
(a2 ex ¡ e¡x )x2 dx
1
=
¡
B
;
ln a
2 x
¡x )p+1
ap+1
2 2
¡1 (a e + e
1
[a > 0;
p > 0]:
BI ((102))(5)
3.426
Z
1:
1
(ln a)2
(ex ¡ ae¡x )x2 dx
=
:
x 2
¡x )2
a¡1
¡1 (a + e ) (1 + e
BI ((102))(12)
Z
2:
1
¼ 2 + (ln a)2
(ex ¡ ae¡x )x2 dx
=
:
x 2
¡x )2
a+1
¡1 (a + e ) (1 ¡ e
BI ((102))(13)
3.427
Z
1:
1
0
•
e¡¹x
e¡x
+ ¡x
x
e ¡1
¶
dx = Ã(¹)
[Re ¹ > 0]
(cf. 4.281 4.).
4.281
WH
377
2:
7
Z
1
0
•
1
1
¡
¡x
1¡e
x
¶
e¡x dx = C
(cf. 4.281 1.).
4.281
BI ((94))(1)
3:
Z
1
0
•
1
1
¡
2 1 + e¡x
¶
1
¼
e¡2x
dx = ln :
x
2
4
BI ((94))(5)
4:
Z
1
0
•
¶
1
1
1
¡ +
2 x ex ¡ 1
¶
•
e¡¹x
1
1
dx = ln ¡(¹)¡ ¹ ¡
ln ¹+¹¡ ln(2¼)
x
2
2
[Re ¹ > 0]:
WH
5:
Z
1
0
•
1
1 ¡2x
¡ x
e
2
e +1
¶
dx
1
= ¡ ln ¼:
x
2
BI ((94))(6)
6:
7:
Z
Z
1
0
1
0
•
•
e¹x ¡ 1
¡¹
1 ¡ e¡x
¶
e¡x
dx = ¡ ln ¡(¹) ¡ ln sin(¼¹)+ln ¼
x
[Re ¹ < 1]:
EH I 21(6)
e¡¹x
e¡ºx
¡
1 ¡ e¡x
x
¶
dx = ln ¹ ¡ Ã(º)
(cf. 4.281 5.).
4.281
BI ((94))(3)
8:
9:
10:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
•
•
•
e¡¹x
n
¡
x 1 ¡ e¡x=n
1 ¡ e¡¹x
¹¡
1 ¡ e¡x
¡x
ºe
¶
¶
e¡x dx = nÃ(n¹+n)¡n ln n
[Re ¹ > 0;
n = 1; 2; . . . ]:
BI ((94))(4)
e¡x
dx = ln ¡(¹ + 1)
x
e¡¹x ¡ e¡(¹+º)x
¡
ex ¡ 1
[Re ¹ > ¡1]:
WH
¶
¡(¹ + º + 1)
dx
= ln
x
¡(¹ + 1)
[Re ¹ > ¡1;
(cf. 4.267 33.).
Re º > 0]
4.267
BI ((94))(8)
11:
Z
1
0
[(1 ¡ ex )¡1 + x¡1 ¡ 1]e¡xz dx = Ã(z) ¡ ln z
[Re z > 0]:
EH I 18(24)
3.428
1:
Z
1
0
•
¡¹x
ºe
1
1 e¡1 ¡ e¡¹ºx
¡ e¡x ¡
¹
¹ 1 ¡ e¡x
¶
1
dx
= ln ¡(¹º)¡º ln ¹
x
¹
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((94))(18)
2:
Z
1
0
•
n¡1
e(1¡¹)x
e¡n¹x
n¡1
+
+
+
2
1 ¡ e¡x
1 ¡ e¡x
1 ¡ ex=n
•
¶
n¡1
1
=
ln 2¼ ¡ n¹ +
ln n
e
x
2
2
[Re ¹ > 0; n = 1; 2; . . . ]:
¶
¡x dx
BI ((94))(14)
3:
Z
1
0
•
n¹ ¡
n
e(1¡¹)x
n¡1
¡
¡
¡x
2
1¡e
1 ¡ ex=n
¶
•
¶
n¡1
X
k
e¡x
dx =
ln ¡ ¹ ¡ + 1
x
n
k=0
[Re ¹ > 0;
n = 1; 2; . . . ]:
BI ((94))(13)
4:
Z
1
0
•
e¡¹ºx
ex
e¹x
e¡ºx
¡
¡
+
1 ¡ ex
1 ¡ e¹x
1 ¡ ex
1 ¡ e¹x
¶
dx
= º ln ¹
x
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
LI ((94))(15)
378
5:
Z
1
0
∙
•
¶
¸
¹e¡¹x
¹+1
1
dx
¡¹x
¡x
¡
+
a¹
¡
e
+
(1
¡
a¹)
e
=
ex ¡ 1
1 ¡ e¡¹x
2
x
¶
•
¹¡1
1
¡ a¹ ln ¹
[Re ¹ > 0]:
=
ln(2¼) +
2
2
BI ((94))(16)
6:
Z
1
0
∙
¶
¸
•
¹¡1
e¡¹ºx
(¹ ¡ 1)e¡¹x
¹ ¡ 1 ¡¹
1
e¡ºx
dx
¡
¹º
ln ¹
¡
¡
¡
e
x
=
ln(2¼)+
1 ¡ e¡x
1 ¡ e¡¹x
1 ¡ e¡¹x
2
x
2
2
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
(cf. 4.267 37.).
4.267
BI ((94))(17)
Z
7:
1
0
∙
¡x
1¡e
(1 ¡ e¡ºx )(1 ¡ e¡¹x )
¡
1 ¡ e¡x
¸
dx
= ln B(¹; º)
x
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]
(cf. 4.267 35.).
4.267
BI ((94))(12)
3.429
Z
1
0
[e¡x ¡ (1 + x)¡¹ ]
dx
= Ã(¹)
x
[Re ¹ > 0]:
NH 184(7)
3.431
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
•
∙
1
e¡¹x ¡ 1 + ¹x ¡ ¹2 x2
2
¶
¡1
¡(º + 3)
º(º + 1)(º + 2)¹º
[Re ¹ > 0; ¡2 > Re º > ¡3]:
xº¡1 dx =
¸
•
¶ •
¶
1
1
1
ln 1 +
x¡1 ¡ x¡2 (x + 2)(1 ¡ e¡x ) e¡px dx = ¡1+ p +
2
2
p
LI ((90))(5)
[Re p > 0]:
ET I 144(6)
3.432
1:
Z
1
0
º¡1 ¡mx
x
e
¡x
(e
n
¡1) dx = ¡(º)
n
X
k=0
(¡1)k
³n´
k
1
(n + m ¡ k)º
[n = 0; 1; . . . ; Re º > 0]:
LI ((90))(10)
2:
Z
1
0
[xº¡1 e¡x ¡e¡¹x (1¡e¡x )º¡1 ] dx = ¡(º)¡
¡(¹)
¡(¹ + º)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
LI ((81))(14)
3.433
Z
1
p¡1
x
0
"
¡x
e
+
n
X
k=1
xk¡1
(¡1)
(k ¡ 1)!
k
#
dx = ¡(p)
[¡n < p < ¡n+1;
n = 0; 1; . . . ]:
FI II 805
3.434
Z
1:
1 ¡ºx
e
¡ e¡¹x
x½+1
0
dx =
¹½ ¡ º ½
¡(1¡½)
½
[Re ¹ > 0;
Re º > 0;
Re ½ < 1]:
BI ((90))(6)
Z
2:
1 ¡¹x
e
0
¡ e¡ºx
º
dx = ln
x
¹
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 634
379
3.435
Z
1:
2:
7
Z
1
0
1
0
©
x
(x + 1)e¡x ¡ e¡ 2
ª dx
= 1 ¡ ln 2:
x
LI ((89))(19)
1
1 ¡ e¡¹x
dx = [ln(¯¹C
C)¡e¯¹ Ei(¡¯¹)]
x(x + ¯)
¯
[j arg ¯ j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET II 217 (18)
3:
Z
1
0
•
1
¡ e¡x
1+x
¶
dx
= C:
x
FI II 7 95, 802
4:
Z
1
0
•
¡¹x
e
1
¡
1 + ax
¶
a
dx
= ln ¡ C
x
¹
[a > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((92))(10)
3.436
Z
1
0
½
e¡mpx ¡ e¡mqx
e¡npx ¡ e¡nqx
¡
n
m
¾
dx
m
= (q ¡p) ln
x2
n
[p > 0;
q > 0]:
BI ((89))(28)
3.437
Z
1
0
½
pe¡x ¡
1 ¡ e¡px
x
¾
dx
= p ln p ¡ p
x
[p > 0]:
BI ((89))(24)
3.438
Z
1:
1
0
½•
1
1
+
2 x
¶
¡x
e
1 x
¡ e¡ 2
x
¾
ln 2 ¡ 1
dx
=
:
x
2
BI ((89))(19)
2:
7
Z
1
0
½
p
1 ¡ e¡px
p3 ¡x p2
e ¡
+ 2 ¡
6
2x x
x3
¾
p3
11
dx
=
ln p ¡ p3
x
6
36
[p > 0]:
BI ((89))(33)
Z
3:
1
0
•
e¡x ¡ e¡2x ¡
1 ¡2x
e
x
¶
dx
= 1 ¡ ln 2:
x
BI ((89))(25)
Z
4:
1
0
½•
p¡
1
2
¶
e¡x +
x + 2 ¡ ¡px
x ¢
¡ e¡ 2
e
2x
¾
dx
=
x
•
p¡
1
2
¶
(ln p¡1)
[p > 0]:
BI ((89))(22)
3.439
Z
1
0
3.441
½
¾
1 ¡mpx
dx
¡mqx
+
(e
¡e
)
=
(p ¡ q)e
mx
x
³
´
r
= p ln p ¡ q ln q ¡ (p ¡ q) 1 + ln
m
¡rx
[p > 0;
q > 0;
r > 0]:
LI((89))(26), LI((89))(27)
4.268
BI ((89))(18)
3.442
1:
Z
1
0
½
1¡
¾
•
¶
dx
1
q+1
x+2
(1 ¡ e¡x ) e¡qx
= ¡1 + q +
ln
2x
x
2
q
[q > 0]:
BI ((89))(23)
2:
Z
1
0
•
1
e¡x ¡ 1
+
x
1+x
¶
dx
= C ¡ 1:
x
BI ((92))(16)
3:
Z
1
0
•
¡px
e
1
¡
1 + a2 x2
¶
a
dx
= ¡C + ln
x
p
[p > 0]:
BI ((92))(11)
380
3.443
1:
Z
1
0
½
p 1 ¡ e¡px
e¡x p2
¡ +
2
x
x2
¾
p2
3
dx
=
ln p ¡ p2
x
2
4
[p > 0]:
BI ((89))(32)
2:
Z
1
0
n
³ ´
(1 ¡ e¡px )n e¡qx
1 X
k¡1 n
dx
=
(
¡
1)
(q + kp)2 ln(q + kp)
x3
2
k
Kk=2
[n > 2;
q > 0;
pn + q > 0]
(cf. 4.268 4.).
4.268
BI ((89))(30)
3:
Z
1
0
(1 ¡ e¡px )2 e¡qx
dx
= (2p + q) ln(2p + q) ¡ 2(p + q) ln(p + q) + q ln q
x2
[q > 0; 2p > ¡q]
(cf. 4.268 2.).
3.45 Combinations of powers and algebraic functions of exponentials
3.451
1:
Z
1
¡x
xe
0
p
1¡
e¡x
4
dx =
3
•
¶
4
¡ ln 2 :
3
BI ((99))(1)
2:
Z
1
¡x
xe
0
p
1¡
e¡2x
¼
dx =
4
•
1
+ ln 2
2
¶
(cf. 4.241 9.).
4.241
BI ((99))(2)
3.452
1:
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
p
x dx
= 2¼ ln 2:
ex ¡ 1
½
¾
x2 dx
¼2
2
p
= 4¼ (ln 2) +
:
12
ex ¡ 1
¼
xe¡x dx
p
= [2 ln 2 ¡ 1]:
x
2
e ¡1
xe¡x dx
p
= 1 ¡ ln 2:
e2x ¡ 1
•
¶
xe¡2x dx
3
7
p
= ¼ ln 2 ¡
:
4
12
ex ¡ 1
FI II 643a,BI((99))(4)
BI ((99))(5)
BI ((99))(6)
BI ((99))(8)
BI ((99))(7)
3.453
1:
Z
1
0
•
¶
xex
2¼
dx
b
p
=
ln 1 +
a2 ex ¡ (a2 ¡ b2 ) ex ¡ 1
ab
a
[ab > 0]
(cf. 4.298 17.).
4.298
BI ((99))(16)
2:
Z
1
0
xex dx
2¼
b
p
arctg
=
2
x
2
2
x
ab
a
[a e ¡ (a + b )] e ¡ 1
[ab > 0]
(cf. 4.298 18.).
4.298
BI ((99))(17)
381
3.454
1:
Z
1
0
(2n ¡ 1)!! ¼
xe¡2nx dx
p
=
2x
(2n)!! 2
e +1
(
ln 2 +
2n
X
(¡1)k
k=1
k
)
:
LI ((99))(10)
2:
Z
1
0
(2n ¡ 2)!!
xe¡(2n¡1)x dx
p
=¡
2x
(2n ¡ 1)!!
e ¡1
(
ln 2 +
2n¡1
X
k=1
(¡1)k
k
)
:
LI ((99))(9)
3.455
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
x2 ex dx
p
= 8¼ ln 2:
(ex ¡ 1)3
BI ((99))(11)
∙
¸
x3 ex dx
¼2
p
= 24¼ (ln 2)2 +
:
12
(ex ¡ 1)3
BI ((99))(12)
3.456
Z
1:
Z
2:
1
0
1
0
p
3
∙
¸
x dx
¼
¼
= p ln 3 + p :
e3x ¡ 1
3 3
3 3
p
3
BI ((99))(13)
∙
¸
¼
¼
= p ln 3 ¡ p
3 3
3 3
(e3x ¡ 1)2
x dx
(cf. 4.244 3.).
4.244
BI ((99))(14)
3.457
Z
1:
1
0
xe¡x (1¡e¡2x )n¡1=2 dx =
(2n ¡ 1)!!
¼[C
C+Ã(n+1)+2 ln 2]
4 ¢ (2n)!!
(cf. 4.241 5.).
4.241
BI ((99))(3)
Z
2:
1
xex dx
2
=
[ln(4a) ¡ 3C
C ¡ 2Ã(2n) ¡ Ã(n)]:
x )n+3=2
n+1=2
(a
+
e
(2n
+
1)a
¡1
BI ((101))(12)
Z
3:
x dx
¡1 ³ ¹ ¹ ´
=
B
;
ln a
2 x
¡x )¹
2a¹
2 2
¡1 (a e + e
1
[a > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((101))(14)
3.458
1:
7
Z
ln 2
x
x
p¡1
xe (e ¡ 1)
0
"
#
1
X
1
(¡1)k¡1
dx =
ln 2 +
p
p+k+1
k=0
[p > ¡1]
BI ((104))(4)
2:
Z
1
xex dx
1
= º [ln a ¡ C ¡ Ã(º)]
[a > 0];
x
º+1
ºa
¡1 (a + e )
"
#
º¡1
X1
1
= º ln a ¡
[º = 1; 2; . . . ]:
ºa
k
k=1
382
3.46- 3.48 Combinations of exponentials of more complicated arguments and powers
3.461
Z
1:
1 ¡p2 x2
e
x2n
u
p
(¡1)n 2n¡1 p2n¡1 ¼
[1 ¡ ©(pu)] +
dx =
(2n ¡ 1)!!
2 2 n¡1
e¡p u X
(¡1)k 2k+1 (pu)2k
+ 2n¡1
2u
(2n ¡ 1)(2n ¡ 3) . . . (2n ¡ 2k ¡ 1)
[p > 0]:
k=0
NT 21(4)
Z
2:
1
(2n ¡ 1)!!
2(2p)n
2
x2n e¡px dx =
0
r
¼
p
[p > 0;
n = 0; 1; . . . ]:
FI II 743
Z
3:
Z
4:
1
2
x2n+1 e¡px dx =
0
n!
2pn+1
[p > 0]:
BI ((81))(7)
n
1
2
(x + ai)2n e¡x dx =
¡1
(2a)2k n!
(2n ¡ 1)!! p X
k
¼
(
¡
1)
:
2n
(2k)!(n ¡ k)!
k=0
BI ((100))(12)
5:
3
Z
1
2
e¡¹x
u
h
2
dx
1
p
p
= e¡¹u ¡ ¹¼[1 ¡ ©( ¹u)]
2
x
u
j arg ¹j <
¼
;
2
i
u>0 :
ET I 135(19)a
3.462
1:
Z
1
º¡1 ¡¯x2 ¡°x
x
e
¡º=2
dx = (2¯)
¡(º) exp
0
•
°2
8¯
¶
D¡º
•
°
p
2¯
¶
[Re ¯ > 0;
Re º > 0]:
EH II 119(3)A, ET I 313(13)
2:
Z
1
¡1
x e
r
2
¼ dn¡1
(qeq =p )
[p > 0];
n¡1
n¡1
2
p p dq
•
¶k
r • ¶n E(n=2)
X
2
¼ q
1
p
= n!eq =p
p p
(n ¡ 2k)!(k)! 4q2
n ¡px2 +2qx
dx =
1
k=0
[p > 0]:
Z
3:
Z
4:
1
º ¡¯ 2 x2 ¡iqx
(ix) e
¡1
1
¡1
¡ º2
p
¡º¡1
dx = 2
¼¯
h
Re ¯ > 0;
•
q2
exp ¡ 2
8¯
Re º > ¡1;
¶
Dº
•
q
p
¶
¯ 2
i
¼
arg ix = sign x :
2
ET I 121(23)
p
xn exp[¡(x ¡ ¯)2 ] dx = (2i)¡n ¼Hn (i¯):
EH II 195(31)
Z
5:
1
¡¹x2 ¡2ºx
xe
0
1
º
dx =
¡
2¹ 2¹
r
¶¸
∙
•
¼ º¹2
º
e
1¡© p
¹
¹
h
j arg º j <
¼
;
2
i
Re ¹ > 0 :
ET I 146(31)a
Z
6:
1
2
xe¡px
+2qx
dx =
¡1
q
p
r
¼
exp
p
•
q2
p
¶
[Re p > 0]:
BI ((100))(7)
383
Z
7:
1
2 ¡¹x2 ¡2ºx
x e
0
º
dx = ¡ 2 +
2¹
r
¶¸
∙
•
¼ 2º 2 + ¹ º¹2
º
e
1¡© p
¹5
4
¹
h
j arg º j <
¼
;
2
i
Re ¹ > 0 :
ET I 146(32)
Z
8:
1
2
x2 e¡¹x
+2ºx
dx =
¡1
1
2¹
r
¼
¹
•
1+2
º2
¹
¶
e
º2
¹
[j arg º j < ¼;
Re ¹ > 0]:
BI ((100))(8)a
3.463
Z
1
0
2
(e¡x ¡ e¡x )
dx
1
= C:
x
2
BI ((89))(5)
3.464
Z
1
0
2
2
(e¡¹x ¡ e¡ºx )
dx p p
p
= ¼( º ¡ ¹)
x2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
FI II 645
3.465
Z
1
2
(1 + 2¯x2 )e¡¹x dx =
0
¹+¯
2
r
¼
¹3
[Re ¹ > 0]:
ET I 136(24)a
3.466
Z
1:
Z
2:
Z
3:
1
0
1
0
2
2
¼ 2 2
e¡¹ x
dx = [1 ¡ ©(¯¹)] e¯ ¹
2
2
x +¯
2¯
Re ¯ > 0;
p
2 2
x2 e¡¹ x
¼ ¼¯ ¹2 ¯2
dx
=
¡ e
[1¡©(¯¹)]
2
2
x +¯
2¹
2
e
h
j arg ¹j <
Re ¯ > 0;
¼i
:
4
j arg ¹j <
NT 19(13)
¼i
:
4
ET II 217(16)
1
X
¡1
1
dx
=
:
2
x
k!(2k ¡ 1)
1 x2
0
h
k=1
FI II 683
3.467
Z
1
0
•
2
e¡x ¡
1
1 + x2
¶
1
dx
= ¡ C:
x
2
BI ((92))(12)
3.468
1:
Z
1
2
e¡x
dx
¼
p
=
[1 ¡ ©(u)]2
p
2
2
x
4u
u 2 x ¡u
[u > 0]:
NT 33(17)
NT 19(11)
3.469
1:
Z
1
1
dx =
4
¡¹x4 ¡2ºx2
e
0
r
2º
exp
¹
•
º2
2¹
¶
K1
4
•
º2
2¹
¶
[Re ¹ ¸ 0]:
ET I 146(23)
2:
3:
Z
Z
1
0
dx
3
= C:
x
4
4
(e¡x ¡ e¡x )
BI ((89))(7)
1
0
4
2
(e¡x ¡ e¡x )
dx
1
= C:
x
4
BI ((89))(6)
384
3.471
1:
Z
u
0
•
¯
exp ¡
x
¶
•
¶
1
¯
dx
=
exp ¡
:
x2
¯
u
ET II 188(22)
2:
Z
u
º¡1
x
0
¹¡1 ¡ ¯
x
(u¡x)
e
dx = ¯
º ¡1
2
u
•
¶
• ¶
¯
¯
exp ¡
¡(¹)W 1¡2¹¡º ; º
2
2
2u
u
[Re ¹ > 0; Re ¯ > 0; u > 0]:
2¹+º ¡1
2
ET II 187(18)
3:
Z
u
¡¹¡1
x
0
¹¡1 ¡ ¯
x
(u¡x)
e
dx = ¯
¡¹ ¹¡1
u
•
¯
¡(¹) exp ¡
u
¶
[Re ¹ > 0;
u > 0]:
ET II 187(16)
4:
Z
u
0
• ¶
¯
¯
1
1
¯
x¡2¹ (u ¡ x)¹¡1 e¡ x dx = p ¯ 2 ¡¹ e¡ 2u ¡(¹)K¹¡ 21
¼u
2u
[u > 0; Re ¯ > 0; Re ¹ > 0]:
5:
6:
Z
Z
1
u
1
¶
•
¯
¯
xº¡1 (x¡u)¹¡1 e x dx = B(1¡¹¡º; ¹)u¹+º¡1 1 F1 1 ¡ ¹ ¡ º; 1 ¡ º;
u
[0 < Re ¹ < Re(1 ¡ º); u > 0]:
¡2¹
x
u
¹¡1
(x¡u)
¯
x
e dx =
r
¼ 1 ¡¹
¯ 2 ¡(¹) exp
u
•
¯
2u
¶
I¹¡ 12
•
¯
2u
¶
ET II 203(15)
[Re ¹ > 0;
u > 0]:
ET II 202(14)
7:
8:
Z
Z
1
º¡1
x
¹¡1 ¡ ¯
x
(x+°)
e
dx = ¯
0
u
¡2¹
x
0
2 ¹¡1 ¡ ¯
x
2
(u ¡ x )
e
• ¶
¯
°
¡(1¡¹¡º)e W º ¡1 +¹; ¡ º
2
2
°
[j arg ° j < ¼; Re(1 ¡ ¹) > Re º > 0]:
º ¡1
2
º ¡1
2
1
dx = p
¼
¯
2°
+¹
ET II 234(13)a
• ¶¹¡ 12
• ¶
2
¯
¹¡ 32
u
¡(¹)K¹¡ 12
¯
u
[Re ¯ > 0; u > 0; Re ¹ > 0]:
ET II 188(23)a
9:
10:
11:
Z
Z
Z
1
º¡1 ¡ ¯
x ¡°x
x
e
0
1
xº¡1 exp
0
1
º¡1
x
0
∙
• ¶ º2
p
¯
dx = 2
Kº (2 ¯°)
°
i¹
2
∙
i¹
exp
2
•
•
x¡
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
ET II 82(23)A, LET I 146(29)
¶¸
¯2
iº¼
dx = 2¯ º e 2 K¡º (¯¹)
x
[Im ¹ > 0; Im(¯ 2 ¹) < 0; note K¡º ´ Kº ]:
¯2
x+
x
¶¸
dx = i¼¯ º e¡
iº¼
2
(1)
H¡º (¯¹)
[Im ¹ > 0;
EH II 82(24)
Im(¯ 2 ¹) > 0]:
EH II 21(33)
385
12:
Z
1
0
º¡1
x
•
¹2
exp ¡x ¡
4x
¶
dx = 2
³ ¹ ´º
2
K¡º (¹)
h
j arg ¹j <
i
¼
; Re ¹2 > 0; note K¡º ´ Kº :
2
13:
Z
1
0
•
¶
¯
xº¡1 e¡ x
¯
º¡1 ¯
°
dx = °
e ¡(1¡º)¡ º;
x+°
°
[j arg ° j < ¼;
Re ¯ > 0;
Re º < 1]:
ET II 218(19)
14:
Z
1
0
¡
¢
exp 1 ¡ x1 ¡ xº
dx = Ã(º)
x(1 ¡ x)
[Re º > 0]:
BI ((80))(7)
3.472
1:
Z
1
0
³
´
2
1
a´
exp ¡ 2 ¡ 1 e¡¹x dx =
x
2
³
r
p
¼
[exp(¡2 a¹)¡1]
¹
[Re ¹ > 0;
Re a > 0]:
ET I 146(30)
2:
Z
1
0
³
´
a
1
x exp ¡ 2 ¡ ¹x2 dx =
x
4
2
r
¼
p
p
(1+2 a¹) exp(¡2 a¹)
3
¹
[Re ¹ > 0;
Re a > 0]:
ET I 146(26)
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
³
´ dx
a
1
exp ¡ 2 ¡ ¹x2
=
2
x
x
2
∙
1
exp ¡
2a
•
1
x + 2
x
2
¶¸
r
p
¼
exp(¡2 a¹)
a
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
ET I 146(28)a
dx
=
x4
r
a¼
(1 + a)e¡1=a
2
[a > 0]:
BI ((98))(14)
3.473
Z
1
0
exp(¡xn )x(m+1=2)n¡1 dx =
(2m ¡ 1)!! p
¼:
2m n
BI ((98))(6)
3.474
1:
Z
1
0
½
xnp
n exp(1 ¡ x¡n )
¡
1 ¡ xn
1¡x
¾
•
¶
n
1X
k¡1
dx
=
à p+
x
n
n
k=1
[p > 0]:
Z
2:
1
0
(
¡
¢)
exp 1 ¡ x1
dx
n exp(1 ¡ x¡n )
= ¡ ln n:
¡
n
1¡x
1¡x
x
BI ((80))(9)
3.475
1:
7
Z
1
0
½
1
exp(¡x ) ¡
1 + x2n
2
¾
1
dx
= ¡ C:
x
2
[n 2]
BI ((92))(14)
386
Z
2:
1
0
½
1
exp(¡x ) ¡
1 + x2
2n
¾
dx
= ¡2¡n C :
x
BI ((92))(13)
Z
3:
1
0
n
fexp(¡x2 ) ¡ e¡x g
dx
= (1 ¡ 2¡n )C
C:
x
BI ((89))(8)
3.476
Z
1:
Z
2:
1
0
[exp(¡ºxp ) ¡ exp(¡¹xp )]
1
¹
dx
= ln
x
p
º
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((89))(3)
1
0
[exp(¡xp ) ¡ exp(¡xq )]
dx
p¡q
=
C
x
pq
[p > 0;
q > 0]:
BI ((89))(9)
3.477
1:
7
Z
1
exp(¡ajxj)
sign u
dx =
[exp(ajuj) Ei(¡ajuj)¡exp(¡ajuj) Ei(ajuj)]
x¡u
¼
¡1
[a > 0]:
ET II 251(35)
ET II 251(36)
3.478
Z
1:
1
º¡1
x
0
1 º
exp(¡¹x ) dx = ¹¡ p ¡
p
p
• ¶
º
p
[Re ¹ > 0;
Re º > 0;
p > 0]:
BI((81))(8)A, ET I 313(15, 16)
Z
2:
1
º¡1
x
0
[Re ¹ > 0
and
• ¶
º
1 ¡ ºp
[1 ¡ exp(¡¹x )] dx = ¡ ¹ ¡
jpj
p
¡ p < Re º < 0
for p > 0; 0 < Re º < ¡p
p
for
p < 0]:
ET I 313(18, 19)
Z
3:
u
0
•
º+n¡1
º º+1
;
;... ;
;
n
n
n
¶
¹+º ¹+º+1
¹+º +n¡1
;
;... ;
; ¯un
n
n
n
[Re ¹ > 0; Re º > 0; n = 2; 3; . . . ]:
xº¡1 (u¡x)¹¡1 exp(¯xn ) dx = B(¹; º)u¹+º¡1 n Fn
ET II 187(15)
Z
4:
1
0
º¡1
x
p
¡p
exp(¡¯x ¡°x
2
) dx =
p
º
• ¶ 2p
p
°
K ºp (2 ¯°)
¯
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
ET I 313(17)
3.479
Z
1:
1
0
p
• ¶ 12 ¡º
xº¡1 exp(¡¯ 1 + x)
2
¯
p
dx = p
¡(º)K 12 ¡º (¯)
¼ 2
1+x
[Re ¯ > 0;
Re º > 0]:
ET I 313(14)
387
2:
8
Z
1
0
p
p ³ ´ 1¡º ³ ´
xº¡1 exp(i¹ 1 + x2 )
¼ ¹ 2
º
(1)
p
dx = i
¡
H 1¡º (¹)
2
2
2
2
2
1+x
[Im ¹ > 0;
Re º > 2]:
EH II 83(30)
3.481
Z
1:
1
1
xex exp(¡¹ex ) dx = ¡ (C
C + ln ¹)
¹
¡1
[Re ¹ > 0]:
BI ((100))(13)
Z
2:
1
1
xe exp(¡¹e ) dx = ¡ [C
C + ln(4¹)]
4
¡1
x
2x
r
¼
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((100))(14)
3.482
1:
3
Z
Z
2:
1
0
exp(nx ¡ ¯ sh x) dx =
1
[Sn (¯) ¡ ¼ En (¯) ¡ ¼Nn (¯)]
2
[Re ¯ > 0]:
ET I 168(11)
1
0
1
exp(¡nx¡¯ sh x) dx = (¡1)n+1 [Sn (¯)+¼En (¯)+¼Nn (¯)]
2
[Re ¯ > 0]:
ET I 168(12)
Z
3:
1
0
exp(¡ºx ¡ ¯ sh x) dx =
¼
[Jº (¯) ¡ Jº (¯)]
sin º¼
[Re ¯ > 0]:
ET I 168(13)
3.4833
¶
•
8
iº¼
>
>
Z 1
Kº (a)
< 2 exp ¡
exp(º Arsh x ¡ iax)
2
•
¶
p
dx =
>
iº¼
1 + x2
¡1
>
: 2 exp
Kº (¡a)
2
for
for
a > 0;
a<0
[j Re º j < 1]:
ET I 122(32)
3.484
Z
1
0
∙•
a
1+
qx
¶ qx
•
a
¡ 1+
px
¶ px ¸
q
dx
= (ea ¡ 1) ln
x
p
[p > 0;
q > 0]:
BI ((89))(34)
3.485
Z
¼
2
exp(¡ tg 2 x) dx =
0
¼e
[1 ¡ ©(1)]:
2
6
3.486
Z
1
¡x
x
dx =
0
Z
1
e¡x ln x dx =
0
1
X
k ¡k = 1:2912859970627 . . . :
k=1
FI II 483
3.5 Hyperbolic Functions
3.51 Hyperbolic functions
3.511
1:
Z
1
dx
¼
=
ch ax
2a
1
sh ax
¼
a¼
dx =
tg
sh bx
2b
2b
0
[a > 0]:
388
2:
3:
Z
Z
0
[b > jaj]:
BI ((27))(10)a
1
0
sh ax
¼
a¼
1
¡ ¯
dx =
sec
ch bx
2b
2b
b
•
a+b
2b
¶
[b > jaj]:
GW ((351))(3b)
4:
5:
Z
Z
1
0
¼
a¼
ch ax
dx =
sec
ch bx
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((4))(14)a
1
0
sin a¼
sh ax ch bx
¼
c
dx =
a¼
sh cx
2c cos c + cos
b¼
c
[c > jaj + jbj]:
6:
Z
1
0
b¼
ch ax ch bx
¼ cos a¼
2c cos 2c
dx =
b¼
ch cx
c cos a¼
c + cos c
[c > jaj + jbj]:
BI ((27))(5)a
7:
Z
1
0
b¼
sh ax sh bx
¼ sin a¼
2c sin 2c
dx =
b¼
ch cx
c cos a¼
c + cos c
[c > jaj + jbj]:
BI ((27))(6)a
8:
Z
1
0
1
p X (¡1)k
dx
p
= ¼
2
ch x
2k + 1
k=0
BI ((98))(25)
9:
Z
1
sh2 ax
dx = 1 ¡ a¼ ctg a¼
2
¡1 sh x
[a2 < 1]:
BI ((16))(3)a
10:
Z
1
0
sh ax sh bx
a¼
a¼
dx = 2 sec
2
2b
2b
ch bx
[b > jaj]:
BI ((27))(16)a
3.512
1:
Z
1
0
•
¶
ch 2¯x
4º¡1
¯
¯
dx
=
B
º
+
;
º
¡
a
a
a
ch2º ax
[Re(º §¯) > 0;
a > 0;
¯ > 0]:
LI((27))(17)A, EH I 11(26)
2:
Z
1
0
sh¹ x
1
dx = B
chº x
2
•
¹+1 º ¡¹
;
2
2
¶
[Re ¹ > ¡1;
Re(¹ ¡ º) < 0]:
EH I 11(23)
3.513
1:
Z
1
0
p
dx
1
a + b + a2 + b2
p
= p
ln
a + b sh x
a2 + b2
a + b ¡ a2 + b2
[ab=
= 0]:
389
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
p
dx
b2 ¡ a2
2
= p
arctg
[b2 > a2 ];
a + b ch x
a+b
b2 ¡ a2
p
a + b + a2 ¡ b2
1
p
= p
ln
[b2 < a2 ]:
a2 ¡ b2
a + b ¡ a2 ¡ b2
GW ((351))(7)
p
dx
b2 ¡ a2
2
= p
arctg
[b2 > a2 ];
2
2
a sh x + b ch x
a+b
b ¡a
p
a + b + a2 ¡ b2
1
p
= p
ln
[a2 > b2 ]:
2
2
2
2
a ¡b
a+b¡ a ¡b
2
dx
= p
a + b ch x + c sh x
b2 ¡ a2 ¡ c2
"
arctg
p
b2 ¡ a2 ¡ c2
+ ²¼
a+b+c
GW ((351))(9)
#
[b2 > a2 + c2 ; ² = 0
for (b ¡ a)(a + b + c) > 0;
j² j = 1
for (b ¡ a)(a + b + c) < 0;
also ² = 1
for a < b + c and ² = ¡1
for a > b + c];
p
1
a + b + c + a2 ¡ b2 + c2 2
p
= p
ln
[b < a2 + c2 ; a2 =
= b2 ];
a2 ¡ b2 + c2
a + b + c ¡ a2 ¡ b2 + c2
1
a+c
= ln
[a = b=
= 0; c=
= 0];
c
a
2(a ¡ b)
=
[b2 = a2 + c2 ; c(a ¡ b ¡ c) < 0]:
c(a ¡ b ¡ c)
GW ((351))(6)
3.514
1:
2:
Z
Z
1
0
dx
t
= cosec t
ch ax + cos t
a
[0 < t < ¼;
a > 0]:
BI ((27))(22)a
1
0
a(¼ ¡ t2 )
ch ax ¡ cos t1
¼ sin
¼ ¡ t2
b
dx =
cos t1
a ¡
ch bx ¡ cos t2
b sin t2 sin b ¼ b sin t2
[0 < jaj < b;
0 < t2 < ¼]:
BI ((6))(20)a
3:
Z
1
0
ch ax dx
¼(¡ cos t sin at + a sin t cos at)
=
(ch x + cos t)2
sin3 t sin a¼
[0 < a2 < 1;
0 < t < ¼]:
BI ((6))(18)a
4:
Z
1
0
b¼
b¼
bt
sh ax sh bx
sin
dx = 2 cosec t cosec
(ch ax + cos t)2
a
a
a
[0 < jbj < a;
0 < t < ¼]:
BI ((27))(27)a
3.515
Z
1
¡1
Ã
!
p
2 ch x
dx = ¡ ln 2:
1¡ p
ch 2x
BI ((21))(12)a
390
3.516
1:
Z
1
(z +
0
p
dx
1
=
2
z 2 ¡ 1 ch x)¹
Z
1
¡1 (z +
p
dx
= Q¹¡1 (z)
z 2 ¡ 1 ch x)¹
[Re ¹ > ¡1]:
For a suitable choice of a single-valued branch of the integrand, this formula is valid for arbitrary values of z in the z-plane cut from
¡1 to +1 provided ¹ < 0. If ¹ > 0, this formula ceases to be valid for points at which the denominator vanishes.
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
(¯ +
0
1
(¯ +
0
1
0
p
p
dx
¯2
¡ 1 ch x)n+1
CO, WH
= Qn (¯):
EH II 181(32)
ch °x dx
¯ 2 ¡ 1 ch x)º+1
=
e¡i°¼ ¡(º ¡ ° + 1)Q°º (¯)
¡(º + 1)
[Re(º § °) > ¡1; º=
= ¡ 1; ¡2; ¡3; . . . ]:
¡
¢
2¹ e¡i¹¼ ¡(º ¡ 2¹ + 1)¡ ¹ + 12
sh2¹ x dx
p
=
Q¹º¡¹ (¯)
p
¹
2
2
º+1
2
¼(¯ ¡ 1) ¡(º + 1)
(¯ + ¯ ¡ 1 ch x)
[Re(º ¡ 2¹ + 1) > 0; Re(º + 1) > 0]:
EH I 157(12)
EH I 155(2)
3.517
Z
1:
•
¶
1
ch
°
+
x dx
1
2
º+ 12
(¯ + ch x)
0
=
r
¡º
(¯)
¼ 2
º ¡(º + ° + 1)¡(º ¡ °)P°
¶
•
(¯ ¡ 1)¡ 2
1
2
¡ º+
2
[Re(º ¡ °) > 0; Re(º + ° + 1) > 0]:
EH I 156(11)
•
1
Z a ch ° +
2
2:
0
¶
x dx
1
(ch a ¡ ch x)º+ 2
=
r
¶
1
¡º
¡
¼
2
P°º (ch a)
2
shº a
•
∙
Re º <
1
;
2
¸
a>0 :
EH I 156(8)
3.518
Z
1:
•
¶
1
¡(º ¡ 2¹ + 1)¡ ¹ +
1
sh2¹ x dx
2¹ e¡i¹¼
2
p
=
Q¹º¡¹ (ch a)
¹
º+1
¼ sh a
¡(º + 1)
0 (ch a + sh a ch x)
[Re(º + 1) > 0; Re(º ¡ 2¹ + 1) > 0; a > 0]:
Z
EH I 155(3)a
1
¹¡º
sh2¹+1 x dx
= 2¹ (¯ 2 ¡ 1) 2 ¡(º ¡ 2¹)¡(¹ + 1)P¹¹¡º (¯)
º+1
(¯
+
ch
x)
0
[Re (º ¡ ¹) > Re ¹ > ¡1; ¯ does not lie on the ray (¡1; +1) of the real axis ]:
2:
¤
EH I 155(1)
391
3:
Z
1
0
sh2¹¡1 x ch x dx
1
= a¡¹ B(¹; º ¡ ¹)
2
º
2
(1 + a sh x)
[Re º > Re ¹ > 0;
a > 0]:
EH I 11(22)
4:7
Z
1
0
•
¶
sh¹¡1 x(ch x + 1)º¡1 dx
1
¹+º¡½¡2
=
2
B
¹;
%
+
2
¡
¹
¡
º
£
(¯ + ch x)%
2
•
¶
1 1
1
£ 2 F1 %; % + 2 ¡ ¹ ¡ º; ½ + 2 ¡ ¹ ¡ 2; ¡ ¯
2
2 2
[Re ¹ > 0; Re(% ¡ ¹ ¡ º) > ¡2; j arg(1 + ¯)j < ¼]:
5:
6
Z
1
0
¶
•
sh¹¡1 x(ch x ¡ 1)º¡1 dx
¹ 1¡¯
¡(2¡¹¡º+%)
=2
;
2 F1 %; 2 ¡ ¹ ¡ º + %; 1 + % ¡
(¯ + ch x)%
2
2
³
´
¹
£ B 2 ¡ ¹ ¡ º + %; ¡1 + º +
2
[¯ 62 (¡1; ¡1); Re(2 + %) > Re(¹ + º); Re(2º + ¹) > 2]:
EH I 115(10)
6:
7
Z
1
0
¶ •
¶
•
¹
1
sh¹¡1 x chº¡1 x
º
¹+º
¹+º
dx =
F1 %; 1 + % ¡
; 1+%¡ ; ¯ B
; 1+%¡
22
2
2
2
2
(ch2 x ¡ ¯)%
[¯ 62 (1; 1); Re ¹ > 0; 2 Re(1 + %) > Re(¹ + º)]:
EH I 115(9)
3.519
Z
¼
2
0
1
X 1
sh[(r ¡ p) tg x]
pk¼
dx = ¼
sin
sh(r tg x)
k¼ + r
r
[p2 < r2 ]:
k=1
BI ((274))(13)
3.52- 3.53 Combinations of hyperbolic functions and algebraic functions
3.521
1:
Z
1
0
x dx
¼2
= 2
sh ax
4a
[a > 0]:
GW ((352))(2b)
2:
3:
Z
Z
1
0
1
1
³¼ ´
x dx
= 2G
G = ¼ ln 2 ¡ 4L
= 1:831931188 . . .
ch x
4
1
X
dx
= ¡2
Ei[¡(2k + 1)a]
x sh ax
LI III 225(103a), BI((84))(1)a
[a > 0]:
k=0
LI ((104))(14)
4:
Z
1
1
1
X
dx
= 2 (¡1)k+1 Ei[¡(2k + 1)a]
x ch ax
[a > 0]:
k=0
LI ((104))(13)
3.522
1:
2:
Z
Z
1
0
1
X (¡1)k
x dx
¼
=
+
¼
(b2 + x2 ) sh ax
2ab
ab + k¼
[a > 0;
b > 0]:
k=1
1
(b2
0
1
x dx
¡ ¯(b + 1)
=
2
+ x ) sh ¼x
2b
[b > 0]:
BI((97))(16), GW((352))(8)
392
3:
Z
1
0
1
dx
(¡1)k¡1
2¼ X
=
2
2
(b + x ) ch ax
b
2ab + (2k ¡ 1)¼
[a > 0;
b > 0]:
k=1
BI ((97))(5)
4:
Z
1
0
•
¶
dx
1
1
=
¯
b
+
(b2 + x2 ) ch ¼x
b
2
[b > 0]:
BI ((97))(4)
5:
Z
1
0
x dx
1
= ln 2 ¡ :
2
(1 + x ) sh ¼x
2
BI ((97))(7)
6:
Z
1
0
dx
¼
=2¡ :
2
(1 + x ) ch ¼x
2
BI ((97))(1)
7:
Z
1
0
x dx
(1 + x2 ) sh
¼x
2
=
¼
¡ 1:
2
BI ((97))(8)
8:
Z
1
0
dx
(1 + x2 ) ch
¼x
2
= ln 2:
9:
Z
1
0
x dx
(1 + x2 ) sh
¼x
4
p
1
= p [¼ + 2 ln( 2 + 1)] ¡ 2:
2
BI ((97))(9)
10:
Z
1
0
dx
(1 + x2 ) ch
¼x
4
p
1
= p [¼ ¡ 2 ln( 2 + 1)]:
2
BI ((97))(3)
3.523
1:
Z
1
0
x¯¡1
2¯ ¡ 1
dx = ¯¡1 ¯ ¡(¯)³(¯)
sh ax
2
a
[Re ¯ > 1;
a > 0]:
WH
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
x2n¡1
22n ¡ 1 ³ ¼ ´2n
jB2n j
dx =
sh ax
2n
a
[a > 0;
•
¶
x¯¡1
2
1
dx =
¡(¯)©
¡
1;
¯;
=
ch ax
(2a)¯
2
¶¯
•
1
X
2
2
k
=
¡(¯) (¡1)
(2a)¯
2k + 1
n = 1; 2; . . . ]:
WH, GW((352))(2a)
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
k=0
4:
5:
Z
Z
1
0
1
0
³ ¼ ´2n+1
x2n
dx =
jE2n j
ch ax
2a
x2 dx
¼3
=
ch x
8
EH I 35, ET I 322(1)
[a > 0]:
BI((84))(12)A, GW((352))(1a)
(cf. 4.261 6.).
4.261
BI ((84))(3)
6:
Z
1
0
x3 dx
¼4
=
sh x
8
(cf. 4.262 1. and 2.).
4.262
BI ((84))(5)
393
7:
Z
1
0
x4 dx
5 5
=
¼ :
ch x
32
BI ((84))(7)
8:
Z
1
0
x5
¼6
dx =
:
sh x
4
BI ((84))(8)
9:
Z
1
0
x6
61 7
dx =
¼ :
ch x
128
BI ((84))(9)
10:
Z
1
0
x7
17 8
dx =
¼ :
sh x
16
BI ((84))(10)
11:
12:
Z
Z
1p
1
x dx p X
1
= ¼
(¡1)k p
:
ch x
(2k + 1)3
0
k=0
1
0
p
BI ((98))(7)a
1
p X (¡1)k
dx
p
=2 ¼
:
x ch x
2k + 1
k=0
BI ((98))(25)a
3.524
1:
Z
1
0
x¹¡1
sh ¯x
¡(¹)
dx =
sh °x
(2°)¹
•
¶¸
∙
•
¶¸¾
½ ∙
1
¯
¯
1
1¡
¡ ³ ¹;
1+
³ ¹;
2
°
2
°
[Re ° > j Re ¯ j; Re ¹ > ¡1]:
Z
2:
1
x2
sh ax
a¼
¼ d2m
dx =
tg
2m
sh bx
2b da
2b
m
0
[b > jaj]:
BI ((112))(20)a
Z
3:
1
0
1
X
sh ax dx
= ¡(1¡p)
p
sh bx x
k=0
½
1
1
¡
[b(2k + 1) ¡ a]1¡p
[b(2k + 1) + a]1¡p
¾
[b > jaj;
p < 1]:
BI ((131))(2)a
Z
4:
1
x2
m
+1 sh ax
ch bx
0
dx =
a¼
¼ d2m+1
sec
2m+1
2b da
2b
[b > jaj]:
BI ((112))(18)a
Z
5:
Z
6:
1
¹¡1 ch ¯x
¡(¹)
dx =
sh °x
(2°)¹
x
0
1
x2m
0
•
¶¸
∙
•
¶¸¾
½ ∙
¯
1
¯
1
1¡
+ ³ ¹;
1+
³ ¹;
2
°
2
°
[Re ° > j Re ¯ j; Re ¹ > 1]:
¼ d2m
a¼
ch ax
sec
dx =
ch bx
2b da2m
2b
ET I 323(12)
[b > jaj]:
BI((112))(17)
Z
7:
Z
8:
1
0
1
X
ch ax dx
¢ p = ¡(1¡p) (¡1)k
ch bx x
k=0
1
x2m+1
0
½
1
1
+
1¡p
[b(2k + 1) ¡ a]
[b(2k + 1) + a]1¡p
ch ax
¼ d2m+1
a¼
dx =
tg
2m+1
sh bx
2b da
2b
[b > jaj;
¾
p < 1]:
BI((131))(1)a
[b > jaj]:
BI ((112))(19)a
394
9:
8
Z
1
0
x2
sh ax
a¼
¼3
a¼
dx = 3 sin
sec3
sh bx
4b
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((84))(18)
BI ((84))(18)
10:
11:
Z
Z
1
x4
0
1
x6
0
³¼
sh ax
a¼ ´5
a¼ ³
a¼ ´
¢ 2 + sin2
dx = 8
sec
¢ sin
sh bx
2b
2b
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((82))(17)a
³¼
a¼ ´7
a¼ ³
sh ax
a¼
a¼ ´
dx = 16
sec
45 ¡ 30 cos 2
+ 2 cos 4
sin
sh bx
2b
2b
2b
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((82))(21)a
12:
Z
1
x
0
sh ax
¼2
a¼
a¼
dx = 2 sin
sec 2
ch bx
4b
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((84))(15)a
13:
14:
15:
Z
Z
Z
1
x3
0
1
x5
0
1
x7
0
³¼
sh ax
a¼ ´4
a¼ ³
a¼ ´
dx =
sec
sin
¢ 6 ¡ cos 2
ch bx
2b
2b
2b
2b
[b > jaj]:
³¼
sh ax
a¼
a¼ ´
a¼ ´6
a¼ ³
dx =
sec
sin
120 ¡ 60 cos2
+ cos 4
ch bx
2b
2b
2b
2b
2b
BI ((82))(14)a
[b > jaj]:
BI ((82))(18)a
³¼
sh ax
a¼ ´8
a¼ ³
a¼
a¼
a¼ ´
dx =
sec
sin
5040 ¡ 4200 cos2
+ 546 cos4
¡ cos 6
ch bx
2b
2b
2b
2b
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((82))(22)a
16:
17:
Z
Z
1
0
1
0
x
³¼
ch ax
a¼ ´2
dx =
sec
sh bx
2b
2b
x3
[b > jaj]:
³¼
ch ax
a¼ ´4 ³
a¼ ´
dx = 2
sec
1 + 2 sin2
sh bx
2b
2b
2b
BI ((84))(16)a
[b > jaj]:
18:
19:
Z
Z
1
x5
0
1
x7
0
³¼
ch ax
a¼
a¼ ´
a¼ ´6 ³
dx = 8
sec
+ 2 cos 4
15 ¡ 15 cos 2
sh bx
2b
2b
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((82))(19)a
³¼
ch ax
a¼ ´8 ³
a¼
a¼
a¼ ´
¡ 4 cos6
dx = 16
sec
+ 126 cos 4
315 ¡ 420 cos 2
sh bx
2b
2b
2b
2b
2b
[b > jaj]:
BI((82))(23)a
20:
21:
22:
Z
Z
Z
1
x2
0
1
x4
0
1
0
x6
a¼ ´
ch ax
a¼
¼3 ³
¡ sec
dx = 3 2 sec 3
ch bx
8b
2b
2b
[b > jaj]:
BI ((84))(17)a
³¼
ch ax
a¼ ´5 ³
a¼
a¼ ´
dx =
sec
+ cos 4
24 ¡ 20 cos 2
ch bx
2b
2b
2b
2b
[b > jaj]:
³¼
ch ax
a¼ ´7 ³
a¼
a¼
a¼ ´
dx =
sec
+ 182 cos4
¡ cos 6
720 ¡ 840 cos 2
ch bx
2b
2b
2b
2b
2b
BI ((82))(16)a
[b > jaj]:
BI ((82))(20)a
23:
Z
1
0
³ a¼
sh ax dx
¼´
¢
= ln tg
+
ch bx x
4b
4
[b > jaj]:
BI ((95))(3)a
3.525
1:
Z
1
0
sh ax
1
dx
a
¢
= ¡ cos a + sin a ln[2(1 + cos a)]
2
sh ¼x 1 + x
2
2
[¼ ¸ jaj]:
BI ((97))(10)a
395
2:
Z
1
0
sh ax
¼
dx
1
1 ¡ sin a
= sin a + cos a ln
¢
¼
2
sh 2 x 1 + x
2
2
1 + sin a
[¼ ¸ 2jaj]:
BI ((97))(11)a
BI ((97))(12)a
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
ch ax
x dx
¼
1
1 + sin a
¢
= cos a ¡ 1 + sin a ln
sh ¼2 x 1 + x2
2
2
1 ¡ sin a
h¼
2
sh ax
x dx
a ¼
a+¼
¢
= ¡2 sin + sin a ¡ cos a ln tg
2
ch ¼x 1 + x
2
2
4
i
> jaj :
BI ((97))(13)a
[¼ > jaj]:
GW ((352))(12)
1
0
ch ax
dx
a ¼
a+¼
¢
= 2 cos ¡ cos a ¡ sin a ln tg
ch ¼x 1 + x2
2
2
4
[¼ > jaj]:
GW ((352))(11)
1
0
1
k(b¡a)
sh ax
dx
¼ X sin b ¼
¢ 2
=
2
sh bx c + x
c
bc + k¼
k=1
[b ¸ jaj]:
BI ((97))(18)
8:
Z
1
0
1
k(b¡a)
X cos
¼
ch ax
x dx
¼
b
¢ 2
=
+¼
2
sh bx c + x
2bc
bc + k¼
k=1
[b > jaj]:
BI ((97))(19)
3.526
1:
Z
1
0
½
¾
sh ax ch bx dx
1
(a + b + c)¼
(b + c ¡ a)¼
¢
= ln tg
ctg
ch cx
x
2
4c
4c
[c > jaj+jbj]:
BI ((93))(10)a
2:
Z
1
0
sh2 ax dx
1
a
¢
= ln sec ¼
sh bx
x
2
b
[b > j2aj]:
BI ((95))(5)a
3:
Z
1
0
x¹¡1
¡(¹)
dx =
sh ¯x ch °x
(2°)¹
½ ∙
•
¶¸
∙
•
¶¸¾
1
¯
1
¯
© ¡1; ¹;
1+
+ © ¡1; ¹;
1¡
2
°
2
°
[Re ° > j Re ¯ j; Re ¹ > 0]:
3.527
1:
Z
1
0
x¹¡1
4
¡(¹)³(¹ ¡ 1)
dx =
2
(2a)¹
sh ax
[Re a > 0;
Re ¹ > 2]:
BI ((86))(7)a
2:
Z
1
0
x2m
¼ 2m
jB2m j
dx
=
a2m+1
sh2 ax
[a > 0;
m = 1; 2; . . . ]:
BI((86))(5)a
3:6
Z
1
0
x¹¡1
4
(1 ¡ 22¡¹ )¡(¹)³(¹ ¡ 1)
dx =
2
(2a)¹
ch ax
[Re a > 0; Re ¹ > 0; ¹=
= 2; integral equals (1=a2 ) ln 2if¹ = 2]:
BI ((86))(6)a
396
4:
5:
Z
Z
1
0
x dx
ln 2
= 2
2
a
ch ax
[a=
= 0]:
LO III 396
1
0
x2m
(22m ¡ 2)¼ 2m
dx
=
jB2m j
(2a)2m a
ch2 ax
[a > 0;
m = 1; 2; . . . ]:
BI((86))(2)a
6:
Z
1
0
¹¡1
x
1
sh ax
2¡(¹) X (¡1)k
dx =
2
a¹
(2k + 1)¹¡1
ch ax
k=0
[Re ¹ > 1;
a > 0]:
BI ((86))(15)a
7:
8:
Z
Z
1
0
x sh ax
¼
dx = 2
2a
ch2 ax
[a > 0]:
BI ((86))(8)a
1
0
x2m+1
sh ax
2m + 1 ³ ¼ ´2m+1
dx
=
jE2m j
a
2a
ch2 ax
[a > 0;
m = 0; 1; . . . ]:
9:
Z
1
x2m+1
0
ch ax
22m+1 ¡ 1
(2m+1)!³(2m+1)
dx = 2
2
a (2a)2m
sh ax
[a=
= 0;
m = 1; 2; . . . ]:
BI ((86))(13)a
10:
11:
Z
Z
1
x2m
0
1
0
ch ax
22m 1 ³ ¼ ´2m
jB2m j
dx
=
a
a
sh2 ax
p
x sh ax
¼
¡(¹)
¶
•
dx =
2¹+1
2
1
4¹a
ch
ax
¹+
2
[a > 0;
m = 1; 2; . . . ]:
BI ((86))(14)a
[¹ > 0;
a > 0]:
LI ((86))(9)
12:
Z
1
¼2
x2 dx
=
:
2
3
¡1 sh x
BI ((102))(2)a
13:
Z
1
x2
0
¼2
ch ax
dx = 3
2
2a
sh ax
[a > 0]:
BI ((86))(11)a
14:
15:¤
Z
Z
1
0
x2
sh ax
ln 2
dx = 3
2a
ch2 ax
[a=
= 0]:
BI ((86))(10)a
1
0
• x2 dx
= ln 2:
ch x
BI ((93))(17)a
3.528
1:
Z
1
0
(1 + xi)2n¡1 ¡ (1 ¡ xi)2n¡1
dx = 2:
i sh ¼x
2
2:
Z
1
0
(1 + xi)2n ¡ (1 ¡ xi)2n
dx = (¡1)n+1 2jE2n j + 2
i sh ¼x
2
[n = 0; 1; . . . ]:
BI ((87))(7)
397
3.529
1:
Z
1
0
•
1
1
¡
sh x x
¶
dx
= ¡ ln 2:
x
BI ((94))(10)a
2:
3:
Z
Z
1
0
ch ax ¡ 1 dx
a¼
¢
= ¡ ln cos
sh bx
x
2b
[b > jaj]:
GW ((352))(66)
1
0
•
b
a
¡
sh ax
sh bx
¶
dx
= (b ¡ a) ln 2:
x
BI ((94))(11)a
3.531
1:7
2:¤
Z
1
0
Z
1
0
i
x dx
4 h¼
= p
ln 2 ¡ L(¼=3)
2 ch x ¡ 1
3 3
1:1719536193 . . .
LI ((88))(1)
x dx
t ln 2 ¡ L(t)
=
:
ch 2x + cos 2t
sin 2t
LO III 402
3:
Z
1
0
x2 dx
t ¼ 2 ¡ t2
= ¢
ch x + cos t
3
sin t
[0 < t < ¼]:
BI ((88))(3)a
4:
Z
1
0
x4 dx
t (¼ 2 ¡ t2 )(7¼ 2 ¡ 3t2 )
=
ch x + cos t
15
sin t
[0 < t < ¼]:
5:3
Z
1
0
1
X sin 2ka¼
x2m dx
= 2(2m)! cosec 2a¼
ch x ¡ cos 2a¼
k 2m+1
[0 < a < 1;
k=1
= 2(22m¡1 ¡ 1)¼ 2m jB2m j
[a =
1
a=
= ]
2
1
]:
2
BI ((88))(5)a
6:3
Z
1
0
x¹¡1 dx
i¡(¹) ¡it
=
[e ©(e¡it ; ¹; 1) ¡ eit ©(eit ; ¹; 1)]
ch x ¡ cos t
sin t
[Re ¹ > 0; 0 < t < 2¼;
3¡¹
= (2 ¡ 2
)¡(¹)³(¹ ¡ 1)
[¹=
= 2; t = ¼];
= 2 ln 2
[¹ = 2; t = ¼]:
t=
= ¼]:
ET I 323(5)
7:
Z
1
0
1
x¹ dx
sin kt
2¡(¹ + 1) X
=
(¡1)k¡1 ¹+1
ch x + cos t
sin t
k
k=1
[¹ > ¡1;
0 < t < ¼]:
BII ((96))(14)a
8:
Z
u
0
x dx
1
= cosec 2t[L(•+t)¡L(• ¡t)¡2L(t)]
ch 2x ¡ cos 2t
2
[• = arctg (•u ctg t);
t=
= n¼]:
LO III 402
3.532
1:
Z
1
0
1
xn dx
1
(2n)! X
=
a ch x + b sh x
a+b
(2k + 1)n+1
k=0
•
b¡a
b+a
¶k
[a > 0;
b > 0;
n > ¡1]:
GW ((352))(5)
398
2:
Z
u
0
½ •
¶
•
¶
•
¶
x ch x dx
1
Ã+t
•+t
•¡t
= cosec t L
¡L
+L ¼¡
ch 2x ¡ cos 2t
2
2
2
2
•
¶
• ¶
•
¶¾
át
t
¼¡t
+L
¡ 2L
¡ 2L
2
2
2
∙
¸
•
u
t
Ã
u
t
tg = • ctg ; tg = cth
ctg ; t=
= n¼ :
2
2
2
2
2
2
LO III 288a
3.533
Z
1:
2:6
Z
1
0
1
•
∙
• ¶
¶¸
(¼ ¡ t)
¼
t
x ch x dx
¡L
= cosec t
ln 2 ¡ L
ch 2x ¡ cos 2t
2
2
2
x
0
sh ax dx
¼¡t
=
cosec t
(ch ax ¡ cos t)2
a2
[a > 0;
0 < t < ¼]
[t=
= m¼]:
LO III 403
(cf. 3.5141.).
3.514
BI ((88))(11)a
Z
3:
1
x3
0
sh x dx
t(¼ 2 ¡ t2 )
=
(ch x + cos t)2
sin t
[0 < t < ¼]
(cf. 3.531 3.).
3.531
BI ((88))(13)
4:
¤
Z
1
x2
0
m
+1
1
X sin 2ka¼
sh x dx
= 2(2m + 1)! cosec 2a¼
2
(ch x ¡ cos 2a¼)
k 2m+1
[0 < a < 1;
k=1
= 2(2m + 1)(2
2m¡1
¡ 1)¼ 2m jB2m j;
[a =
1
a=
= ]:
2
1
]:
2
BI ((88))(14)
3.534
1:
Z 1p
0
2:
Z
1
0
1 ¡ x2 ch ax dx =
¼
I1 (a):
2a
WA 94(9)
ch ax
¼
p
dx = I0 (a):
2
1 ¡ x2
WA 94(9)
3.535
Z
1
0
p
x
dx
¼
arcsin(th a)
¢
= p
¢
sh a
ch 2a ¡ ch 2ax sh ax
2 2a2
[a > 0]:
3.536
1:
2:
Z
Z
1
0
p X
1
x2
¼
(¡1)k
p
dx
=
ch x2
2
(2k + 1)3 :
k=0
1
0
BI ((98))(7)
p X
1
x2 •x2 dx
¼
(¡1)k
p
=
:
ch x2
2
2k + 1
k=0
BI ((98))(8)
3:
Z
1
0
sin ¹¼
x¹¡1
2 sin
sh(º Arsh x) p
dx =
2
2¹ ¼
1+x
º¼
2
•
¶
•
¶
1¡¹¡º
1¡¹+º
¡(¹)¡
£¡
2
2
[¡1 < Re ¹ < 1 ¡ j Re º j]:
ET I 324(14)
399
4:
Z
1
0
¹¼
º¼
•
¶
•
¶
cos
cos
x¹¡1
1¡¹¡º
1¡¹+º
2
2
ch(º Arch x) p
dx =
¡(¹)¡
£¡
2¹ ¼
2
2
1 + x2
[0 < Re ¹ < 1 ¡ j Re º j]:
ET I 324(15)
3.54 Combinations of hyperbolic functions and exponentials
3.541
1:
Z
1
e¡¹x shº ¯x dx =
0
1
2º+1 ¯
B
•
º
¹
¡ ; º+1
2¯
2
¶
[Re ¯ > 0;
Re º > ¡1; Re ¹ > Re ¯º]:
EH I 11(25), ET I 163(5)
2:
Z
1
e¡¹x
0
∙ •
¶
•
¶¸
sh ¯x
1
1 ¹+¯
1 ¹¡¯
dx =
Ã
+
¡Ã
+
sh bx
2b
2
2b
2
2b
[Re(¹+b§¯) > 0]:
EH I 16(14)a
3:
Z
1
¡1
e¡¹x
sh ¹x
¼
¹¼
dx =
tg
sh ¯x
2¯
¯
[Re ¯ > 2j Re ¹j]:
BI ((18))(6)
4:
5:
Z
Z
1
0
e¡x
sh ax
1
¼
a¼
dx = ¡ ctg
sh x
a
2
2
[0 < a < 2]:
BI ((4))(3)
1
0
e¡px dx
22q¡2
1
=
B (q; q) ¡
2q+1
(ch px)
p
2qp
[p > 0;
q > 0]:
LI ((27))(19)
6:
Z
1
e¡¹x
0
dx
=¯
ch x
•
¹+1
2
¶
[Re ¹ > ¡1]:
ET I 163(7)
7:
8:
9:
Z
Z
Z
1
e¡¹x •x dx = ¯
0
1
0
1
³¹´
2
¡
1
¹
ET I 163(9)
³¹´
e¡¹x
¡1
dx
=
¹¯
2
ch2 x
e¡¹x
0
[Re ¹ > 0]:
[Re ¹ > 0]:
sh ¹x
1
dx = (1 ¡ ln 2)
2
¹
ch ¹x
ET I 163(8)
[Re ¹ > 0]:
LI ((27))(15)
10:
Z
1
0
e¡qx
sh px
1
p¼
¼
dx = ¡
ctg
sh qx
p 2q
2q
[0 < p < 2q]:
BI ((27))(9)a
3.542
1:
Z
1
0
e¡¹x (ch ¯x ¡ 1)º dx =
¶
•
1
¹
¡
º;
2º
+
1
B
2º ¯
¯
∙
1
Re ¯ > 0; Re º > ¡ ;
2
¸
Re ¹ > Re ¯º :
2:
Z
1
0
¡¹x
e
º¡1
(ch x ¡ ch u)
r
dx = ¡i
1
1
2 i¼º
2 ¡º
e ¡(º) shº¡ 2 uQ¹¡
1 (ch u)
2
¼
[Re º > 0; Re ¹ > Re º ¡ 1]:
EH I 155(4), ET I 164(23)
3.543
1:
Z
1
e¡ibx dx
i¼eitb
=¡
(ch ¼b ¡ e¡2itb )
sh ¼b ch t
¡1 sh x + sh t
[t > 0]:
ET I 121(30)
2:
Z
1
0
1
X sin kt
e¡¹x
dx = 2 cosec t
ch x ¡ cos t
¹+k
[Re ¹ > ¡1;
k=1
t=
= 2n¼]:
BI ((6))(10)a
3:
Z
1
0
1
X cos kt
1 ¡ e¡x cos t ¡(¹¡1)x
e
dx = 2
ch x ¡ cos t
¹+k
[Re ¹ > 0;
t=
= 2n¼]:
k=0
BI ((6))(9)a
4:
Z
1
0
epx ¡ cos t
1
dx =
2
(ch px + cos t)
p
•
t cosec t +
1
1 + cos t
¶
[p > 0]:
BI ((27))(26)a
3.544
∙ •
¶ ¸
1
Z 1 exp ¡ n +
x
2
p
dx = Qn (ch u);
2(ch x ¡ ch u)
u
[u > 0]:
EH II 181(33)
3.545
1:
Z
1
0
¼
a¼
1
sh ax
¡
dx =
cosec
epx + 1
2p
p
2a
[p > a;
p > 0]:
BI ((27))(3)
BI ((27))(9)
3.546
1:
Z
1
¡¯x2
e
0
•
¶
p
a
1 ¼
a2
p
sh ax dx = p exp
©
2 ¯
4¯
2 ¯
[Re ¯ > 0]:
ET I166(38)a
2:
Z
1
¡¯x2
e
0
1
ch ax dx =
2
r
¼
a2
exp
¯
4¯
[Re ¯ > 0]:
FI II 720a
3:
Z
1
¡¯x2
e
0
1
sh ax dx =
4
2
r
¼
¯
•
a2
exp
¡1
¯
¶
[Re ¯ > 0]:
ET I 166(40)
4:
Z
1
2
e¡¯x ch2 ax dx =
0
1
4
r
¼
¯
•
exp
a2
+1
¯
¶
[Re ¯ > 0]:
ET I 166(41)
401
3.547
1:
Z
1
0
exp(¡¯ sh x) sh °x dx =
°¼
¼
¼
ctg
[J° (¯)¡J° (¯)]¡ [E° (¯)+N° (¯)] = °S¡1; ° (¯)
2
2
2
[Re ¯ > 0]:
WA 341(5), ET I 168(14)a
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
exp(¡¯ ch x) sh °x sh x dx =
exp(¡¯ sh x) ch °x dx =
°
K° (¯):
¯
¼
¼°
¼
tg
[J° (¯)¡J° (¯)]¡ [E° (¯)+N° (¯)] = S0; ° (¯)
2
2
2
[Re ¯ > 0; ° not an integer ]:
ET I 168(16)A, WA 341(4), EH II 84(50)
ET I 168(16)A, WA 201(5)
5:
6:
7:
8:
9:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
exp(¡¯ sh x) sh °x ch x dx =
°
S0; ° (¯)
¯
[Re ¯ > 0]:
ET I 168(7), EH II 85(51)
1
0
exp(¡¯ sh x) sh[(2n + 1)x] ch x dx = O2n+1 (¯)
[Re ¯ > 0]:
ET I 167(5)
1
0
1
0
exp(¡¯ sh x) ch °x ch x dx =
1
S1; ° (¯)
¯
exp(¡¯ sh x) ch 2nx ch x dx = O2n (¯)
[Re ¯ > 0]:
[Re ¯ > 0]:
ET I 168(6)
1
0
1
exp(¡¯ ch x) sh2º x dx = p
¼
• ¶º •
¶
1
2
¡ º+
Kº (¯)
¯
2
∙
Re ¯ > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
EH II 82(20)
10:
Z
1
0
exp[¡2(¯ cth x + ¹x)] sh2º x dx =
1 º ¡1
¯ 2 ¡(¹ ¡ º) £
4
£ [W¡¹+ 21 ; º (4¯) ¡ (¹ ¡ º)W¡¹¡ 12 ; º (4¯)]
[Re ¯ > 0;
Re ¹ > Re º]:
ET I 165(31)
11:
Z
1
0
•
¶
³ i¼ ´
³
´
¯2
i¼
exp ¡
sh x shº¡1 x chº x dx = ¡¼Dº ¯e 4 Dº ¯e¡ 4
2
h
Re º > 0; j arg ¯ j ∙
¼i
:
4
EH II 120(10)
12:
Z
1
0
exp(2ºx ¡ 2¯ sh x)
1p 3
p
dx =
¼ ¯[Jº+ 41 (¯)Jº¡ 14 (¯)+Nº+ 14 (¯)Nº¡ 14 (¯)]
2
sh x
[Re ¯ > 0]:
Z
13:
1
0
1p 3
exp(¡2ºx ¡ 2¯ sh x)
p
dx =
¼ ¯[Jº+ 14 (¯)Nº¡ 14 (¯)¡Jº¡ 41 (¯)Nº+ 14 (¯)]
2
sh x
[Re ¯ > 0]:
ET I 169(21)
402
Z
14:
1
0
r
exp(¡2¯ sh x) sh 2ºx
1 ¼ 3 ¯ º¼i (1)
(2)
p
dx =
[e H 1 +º (¯)H 1 ¡º (¯) ¡
2
2
4i
2
sh x
(2)
¡º¼i (1)
¡e
H 1 ¡º (¯)H 1 +º (¯)]
[Re ¯ > 0]:
2
2
ET I 170(24)
Z
15:
1
0
r
exp(¡2¯ sh x) ch 2ºx
1 ¼ 3 ¯ º¼i (1)
(2)
p
dx =
[e H 1 +º (¯)H 1 ¡º (¯) +
2
2
4
2
sh x
(2)
¡º¼i (1)
+e
H 1 ¡º (¯)H 1 +º (¯)]
[Re ¯ > 0]:
2
2
ET I 170(25)
Z
16:
1
0
exp(¡2¯ ch x) ch 2ºx
p
dx =
ch x
r
¯
K 1 (¯)Kº¡ 41 (¯)
¼ º+ 4
[Re ¯ > 0]:
ET I 170(26)
17:
8
Z
1
0
exp[¡2¯(ch x ¡ 1)] ch 2ºx
p
dx =
ch x
r
¯ 2¯
¢e Kº+ 14 (¯)Kº¡ 14 (¯)
¼
[Re ¯ > 0]:
ET I 170(27)
18:
Z
1 cos
0
=
19:
Z
1 sin
0
=
∙•
1
º+
4
¶ ¸
∙•
¶ ¸
1
¼ exp(¡2ºx ¡ 2¯ sh x) + sin º +
¼ exp(2ºx ¡ 2¯ sh x)
4
p
dx =
sh x
1p 3
¼ ¯[J 14 +º (¯)J 14 ¡º (¯) + N 14 +º (¯)N 14 ¡º (¯)]
2
∙•
1
º+
4
[Re ¯ > 0]:
ET I 169(22)
¶ ¸
∙•
¶ ¸
1
¼ exp(¡2ºx ¡ 2¯ sh x) ¡ cos
º+
¼ exp(2ºx ¡ 2¯ sh x)
4
p
dx =
sh x
1p 3
¼ ¯[J 1 +º (¯)N 1 ¡º (¯) ¡ J 1 ¡º (¯)N 1 +º (¯)]
4
4
4
4
2
[Re ¯ > 0]:
20:
Z
1
exp[¡¯(ch x ¡ 1)] ch ºx sh x
p
dx = e¯ Kº (¯)
ch x(ch x ¡ 1)
0
[Re ¯ > 0]:
ET I 169(19)
3.548
1:
Z
1
¡¹x4
e
0
¼
sh ax dx =
4
2
r
a
exp
2¹
•
a2
8¹
¶
I 14
•
a2
8¹
¶
[Re ¹ > 0;
a ¸ 0]:
ET I 166(42)
2:
Z
1
0
4
e¡¹x ch ax2 dx =
¼
4
r
a
exp
2¹
•
a2
8¹
¶
I¡ 41
•
a2
8¹
¶
[Re ¹ > 0;
a > 0];
ET I 166(43)
3.549
1:
Z
1
e¡¯x sh[(2n+1) Arsh x] dx = O2n+1 (¯)
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.547 6.).
0
3.547
ET I 167(5)
2:
Z
1
e¡¯x ch(2n Arsh x) dx = O2n (¯)
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.547 8.).
0
3.547
ET I 168(6)
403
3:
Z
1
e¡¯x sh(º Arsh x) dx =
0
º
S0; º (¯)
¯
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.5475.).
3.547
ET I 168(7)
4:
Z
1
0
e¡¯x ch(º Arsh x) dx =
1
S1; º (¯)
¯
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.547 7.).
3.547
A number of other integrals containing hyperbolic functions and exponentials, depending on Arsh x or Arch x can be found by first
making the substitution x = sh t or x = ch t.
3.55- 3.56 Combinations of hyperbolic functions, exponentials, and powers
3.551
1:
Z
1
x¹¡1 e¡¯x sh °x dx =
0
1
¡(¹)[(¯ ¡°)¡¹ ¡(¯+°)¡¹ ]
2
[Re ¯ > ¡1;
Re ¯ > j Re ° j]:
ET I 164(18)
2:
Z
1
x¹¡1 e¡¯x ch °x dx =
0
1
¡(¹)[(¯ ¡°)¡¹ +(¯+°)¡¹ ]
2
[Re ¹ > 0;
Re ¯ > j Re ° j]:
ET I 164(19)
3:
Z
1
¹¡1 ¡¯x
x
e
∙
cth x dx = ¡(¹) 2
0
1¡¹
³
•
¯
¹;
2
¶
¡¯
¡¹
¸
[Re ¹ > 1;
Re ¯ > 0]:
ET I 164(21)
4:
Z
1
xn e¡(p+mq)x shm qx dx = 2¡m n!
0
m ³
X
m´
k=0
k
(¡1)k
(p + 2kq)n+1
[p > 0;
q > 0;
m < p+qm]:
LI ((81))(4)
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1 ¡¯x
e
0
x
1 ¡¯x
e
x
0
1 ¡¯x
e
1
x
sh °x dx =
∙
¸
1
¯+°
ln
Ei(° ¡ ¯) ¡ Ei(¡° ¡ ¯)
2
¯¡°
sh °x dx =
ch °x dx =
1
¯+°
ln
2
¯ ¡°
[¯ > °]:
BI ((80))(4)
[Re ¯ > j Re ° j]:
1
[¡ Ei(° ¡ ¯) ¡ Ei(¡° ¡ ¯)]
2
ET I 163(12)
[Re ¯ > j Re ° j]:
ET I 164(15)
8:
6
Z
1
0
xe¡x cth x dx =
¼2
¡ 1:
4
BI ((82))(6)
9:
• ¶
¯
Z 1
¡
dx
¯
4
¶
= ln + 2 ln •
e¡¯x •x
¯
1
x
4
0
¡
+
4
2
[Re ¯ > 0]:
ET I 164(16)
10:6
Z
1
0
xe¡x cth (x=2) dx =
¼2
¡ 1:
3
404
3.552
1:
Z
1
0
∙
¸
x¹¡1 e¡¯x
1
1¡¹
dx = 2
¡(¹)³ ¹; (¯ + 1)
sh x
2
[Re ¹ > 1;
Re ¯ > ¡1]:
ET I 164(20)
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
³ ¼ ´2m
x2m¡1 e¡ax
1
dx =
jB2m j
sh ax
2m
a
[a > 0;
x¹¡1 e¡x
dx = 21¡¹ (1¡21¡¹ )¡(¹)³(¹)
ch x
m = 1; 2; . . . ]:
EH I 38(24)a
[Re ¹ > 0;
¹=
= 1]
(= ln 2 if ¹ = 1):
EH I 32(5)
4:
Z
1
0
³ ¼ ´2m
x2m¡1 e¡ax
1 ¡ 21¡2m
jB2m j
dx =
ch ax
2m
a
[a > 0;
m = 1; 2; . . . ]:
EH I 39(25)a
4.261
BI((84))(4)
6:
Z
1
0
n
X
x3 e¡2nx
¼4
1
¡12
dx =
sh x
8
(2k + 1)4
[n = 0; 1; . . . ]:
(cf. 4.262 6.).
k=1
4.262
BI ((84))(6)
3.553
1:
Z
1
0
sh2 ax e¡x dx
1
= ln(a¼ cosec a¼)
sh x
x
2
[a < 1]:
BI ((95))(7)
2:
Z
1
0
sh2 ¼2 e¡x dx
1
4
¢
= ln
ch x
x
2
¼
(cf. 4.267 2.).
4.267
BI ((95))(4)
3.554
1:
Z
¶
¯+3
1
dx
¯
4
¶ ¡ ln
e¡¯x (1 ¡ sech s)
= 2 ln •
¯+1
x
4
0
¡
4
¡
•
[Re ¯ > 0]:
ET I 164(17)
2:
Z
1
e¡¯x
0
•
¶
•
¶
¯
¯+1
1
¡ cosech x dx = Ã
¡ ln
x
2
2
[Re ¯ > 0]:
ET I 163(10)
3:
Z
1
0
2
6 sh
6
4
•
1
¡¯
2
sh x2
¶
x
3
7 dx
¡ (1 ¡ 2¯)e¡x 7
5 x = 2 ln ¡(¯)¡ln ¼+ln(sin ¼¯)
[0 < Re ¯ < 1]:
4:
Z
1
¡¯x
e
0
•
¶
• ¶
¯
¯
1
1
¡ ln +
¡ cth x dx = Ã
x
2
2
¯
[Re ¯ > 0]:
ET I 163(11)
405
5:
Z
½
1
0
¡
sh qx
+ 2qe¡x
sh x2
¾
•
¶
1
dx
= 2 ln ¡ q +
+ln cos ¼q ¡ln ¼
x
2
∙
q2 <
¸
1
:
2
WH
6:
Z
1
0
x¹¡1 e¡¯x (cth x¡1) dx = 21¡¹ ¡(¹)³
•
¹;
¯
+1
2
¶
[Re ¯ > 0;
Re ¹ > 1]:
ET I 164(22)
3.555
1:
Z
1
0
sh2 ax dx
1
¢
= ln
1 ¡ epx x
4
•
2a¼
p
sin
2a¼
p
¶
[0 < 2jaj < p]:
(cf. 3.545 2.).
3.545
BI ((93))(15)
2:
Z
1
0
sh2 ax dx
1
¢
= ¡ ln(a¼ ctg a¼)
x
e +1 x
4
∙
1
a<
2
¸
(cf. 3.545 1.).
3.545
BI ((93))(9)
3.556
1:
Z
1
¡1
x
1 ¡ epx
¼ 2 2 p¼
dx = ¡
tg
sh x
2
2
[p < 1]
(cf. 4.255 3.).
4.255
BI ((101))(4)
2:
Z
1
0
1 ¡ e¡px 1 ¡ e¡(p+1)x
¢
dx = 2p ln 2
sh x
x
[p > ¡1]:
3.557
1:
2:
Z
Z
¶ •
¶
n+q+k
p+k
¡
1 ¡px
km
e
¡ e¡qx dx
m
2n
2n
¶ •
¶
= 2 cosec ¼
¼ ln •
(¡1)k¡1 sin
m ¢
n+p+k
q+k
n
n
0 ch x ¡ cos n ¼ x
k=1
¡
¡
2n
2n
[m + n odd];
•
¶ •
¶
n+q¡k
p+k
n¡1
•
¶
¡
¡
2
km
m X
n
n
¶ •
¶
= 2 cosec ¼
(¡1)k¡1 sin
¼ ln •
n+p¡k
q+k
n
n
k=1
¡
¡
n
n
[m + n even];
[p > ¡1; q > ¡1]:
n¡1
X
1
0
(1 ¡ e¡x )2
dx
¢
=
m
ch x + cos n ¼ x
n¡1
= 2 cosec
m X
¼
(¡1)k¡1
n
k=1
n¡1
2
m X
(¡1)k¡1
= 2 cosec ¼
n
k=1
•
¶
¡
•
BI ((96))(1)
∙ •
¶¸2 •
¶ • ¶
n+k+1
k+2
k
•
¶
¡
¡
¡
km
2n
2n
2n
sin
¼ £ ln ∙ •
¶¸2 •
¶ •
¶
n
n+k
n+k+2
k+1
¡
¡
¡
2n
2n
2n
[m + n odd];
∙ •
¶¸2 •
¶ • ¶
n¡k+1
k+2
k
•
¶
¡
¡
¡
km
n
n
n
sin
¼ £ ln ∙ •
¶¸2 •
¶ •
¶
n
n¡k
n¡k+2
k+1
¡
¡
¡
n
n
n
[m + n even]:
BI ((96))(2)
406
3:
Z
1
0
2
e¡px sin
m
n¼
3
5 ¢ dx =
4e¡x tg m ¼ ¡
m
2n
x
ch x + cos ¼
n
³
´
•
¶
n¡1
³m ´
¡ p+n+k
X
2n
km
¶
= tg
¼ ln(2n) + 2
(¡1)k¡1 sin
¼ ln •
[m + n odd];
p+k
2n
n
k=1
¡
2n
³
´
n¡1
p+n¡k
•
¶
2
³m ´
¡
X
n
km
¶
¼ ln n + 2
(¡1)k¡1 sin
¼ ln •
= tg
[m + n even]:
p+k
2n
n
k=1
¡
n
BI ((96))(3)
4:
•
1
Z 1
cos k ¡
1
¡x
X
1+e
a
dx
2
¢ 1¡p = 2 sec ¡(p) (¡1)k¡1
p
ch
x
+
cos
a
x
2
k
0
¶
a
[p > 0]:
k=1
LI ((96))(5)
5:
Z
•
¶
1
x
cos k ¡
¸
1
1x e
ch
X
2
k¡1
2 dx = ¡(q + 1)
(
¡
1)
k q+1
cos ¸2 k=1
0 ch x + cos ¸
q ¡ x2
[q > ¡1]:
LI ((96))(5)a
6:
7:
Z
Z
1
x
0
1
e¡x ¡ cos a
a2
¼2
dx = jaj¼ ¡
¡
:
ch x ¡ cos a
2
3
2m+1
x
0
BI ((88))(8)
1
X cos ka¼
e¡x ¡ cos a¼
dx = 2 ¢ (2m + 1)!
:
ch x ¡ cos a¼
k 2m+2
k=1
BI ((88))(6)
3.558
1:
Z
1
x
0
n¡1
Xn¡k
1 ¡ e¡nx
2n¼ 2
dx
=
¡
4
:
2 x
3
k2
sh 2
k=1
BI ((85))(3)
2:
Z
1
x
0
n¡1
X
1 ¡ (¡1)n e¡nx
n¼ 2
n¡k
dx
=
+
4
(¡1)k 2 :
2 x
3
k
ch 2
k=1
LI ((85))(1)
407
3:
Z
1
0
21
x
n¡1
Xn¡k
¡ e¡nx
dx = 8n³(3) ¡ 8
:
x
k3
sh2
k=1
2
Z
4:
1
x2 ex
0
n¡1
1
X
X n¡k
1 ¡ e¡2nx
1
dx
=
8n
¡
8
:
(2k ¡ 1)3
(2k ¡ 1)3
sh2 x
k=1
k=1
LI ((85))(6)
Z
5:
1
x2
0
n¡1
Xn¡k
1 + (¡1)n e¡nx
dx
=
6n³(3)
¡
8
:
k3
ch2 x2
k=1
LI ((85))(4)
Z
6:
1
x3
0
n¡1
Xn¡k
1 ¡ e¡nx
4
4
n¼
dx
=
¡
24
:
15
k4
sh2 x2
k=1
BI ((85))(9)
Z
7:
1
x3
0
n¡1
X
1 + (¡1)n e¡nx
7
n¡k
4
dx
=
n¼
+
24
(¡1)k 4 :
2 x
30
k
ch 2
k=1
BI ((85))(8)
3.559
Z
1
¡x
e
0
"
(1 ¡ e¡x )(1 ¡ ax) ¡ xe¡x (2¡a)x
1
e
a¡ +
2
4 sh2 x2
#
1
1
dx
= a¡ +ln ¡(a)¡ ln(2¼)
x
2
2
[a > 0]:
BI ((96))(6)
3.561
Z
x
¼
2 dx = 2 ln p
:
x ch x
2 2
¡2x
1e
0
•
BI ((93))(18)
3.562
1:
Z
1
0
2¹¡1 ¡¯x2
x
e
• 2 ¶∙
¶
¶¸
•
•
1
°
°
°
¡¹
sh °x dx = ¡(2¹)(2¯)
exp
D¡2¹ ¡ p
¡ D¡2¹ p
2
8¯
2¯
2¯
∙
¸
1
Re ¹ > ¡ ; Re ¯ > 0 :
2
ET I 166(44)
ET I 166(45)
3:
Z
1
°
sh °x dx =
4¯
¡¯x2
xe
0
r
¼
°2
exp
¯
4¯
[Re ¯ > 0]:
BI((81))(12)A,ET I 165(34)
4:
Z
1
2
xe¡¯x ch °x dx =
0
°
4¯
r
¼
°2
exp
©
¯
4¯
•
°
p
2 ¯
¶
+
1
2¯
[Re ¯ > 0]:
ET I 166(35)
408
5:
Z
1
2 ¡¯x2
x e
sh °x dx =
0
p
¼(2¯ + ° 2 )
p
exp
8¯ 2 ¯
•
°2
4¯
¶
©
•
°
p
2 ¯
¶
+
°
4¯ 2
[Re ¯ > 0]:
ET I 166(36)
6:
Z
1
2
x2 e¡¯x ch °x dx =
0
p
¼(2¯ + ° 2 )
p
exp
8¯ 2 ¯
•
°2
4¯
¶
[Re ¯ > 0]:
ET I 166(37)
3.6- 4.1 Trigonometric Functions
3.61 Rational functions of sines and cosines and trigonometric functions of multiple
angles
3.611
1:
Z
2¼
(1 ¡ cos x)n sin nx dx = 0:
0
BI ((68))(10)
2:
Z
2¼
0
(1 ¡ cos x)n cos nx dx = (¡1)n
¼
:
2n¡1
Z
3:
Z
¼
(cos t+i sin t cos x)n dx =
0
¼
(cos t+i sin t cos x)¡n¡1 dx = ¼Pn (cos t):
0
EH I 158(23)a
3.612
1:
6
Z
¼
0
sin nx cos mx
dx = 0
sin x
=¼
for
n ∙ m;
for
n>m
if
for n > m;
=0
m + n is odd and positive
if m + n is even.
LI ((64))(3)
2:
Z
¼
0
sin nx
dx = 0
sin x
for
n even;
=¼
for
n odd:
BI ((64))(1, 2)
3:
Z
¼
2
0
sin(2n ¡ 1)x
¼
dx = :
sin x
2
FI II 145
4:
Z
¼
2
0
•
¶
sin 2nx
1 1
(¡1)k¡1
dx = 2 1 ¡ + ¡ ¢ ¢ ¢ +
:
sin x
3 5
2n ¡ 1
GW ((332))(21b)
5:
Z
¼
0
sin 2nx
dx = 2
cos x
Z
¼
2
0
•
¶
(¡1)n¡1
sin 2nx
1 1
n¡1
dx = (¡1)
4 1 ¡ + ¡ ¢¢¢ +
:
cos x
3 5
2n ¡ 1
GW ((332))(22a)
6:
7:7
Z
Z
¼
0
¼
2
0
cos(2n + 1)x
dx = 2
cos x
Z
¼
2
0
cos(2n + 1)x
dx = (¡1)n ¼:
cos x
sin 2nx cos 2m+1 x
¼
dx =
sin x
2
GW ((332))(22b)
[n > m ¸ 0]
3.613
1:6
Z
¼
0
¼
cos nx dx
= p
1 + a cos x
1 ¡ a2
Ãp
1 ¡ a2 ¡ 1
a
!n
[a2 < 1;
n ¸ 0]:
BI ((64))(12)
2:6
Z
¼
0
¼an
cos nx dx
=
[a2 < 1; n ¸ 0]:
1 ¡ 2a cos x + a2
1 ¡ a2
¼
= 2
[a2 > 1; n ¸ 0]:
(a ¡ 1)an
BI ((65))(3)
Z
3:
¼
0
sin nx sin x dx
¼
= an¡1
2
1 ¡ 2a cos x + a
2
¼
= n+1
2a
[a2 < 1;
n ¸ 1];
[a2 > 1;
n ¸ 1]:
BI((65))(4), GW((332))(34a)
4:
5:
¤
Z
Z
¼
0
¼
0
cos nx cos x dx
¼ 1 + a2 n¡1
=
a
[a2 < 1; n ¸ 1];
¢
1 ¡ 2a cos x + a2
2 1 ¡ a2
¼
a2 + 1
= n+1 ¢ 2
[a2 > 1; n ¸ 1];
2a
a ¡1
¼a
=
[n = 0; a2 < 1]:
1 ¡ a2
¼
[n = 0; a2 > 1]:
=
2
a(a ¡ 1)
cos(2n ¡ 1)x dx
=
1 ¡ 2a cos 2x + a2
Z
¼
0
cos 2nx cos x dx
=0
1 ¡ 2a cos 2x + a2
BI((65))(5), GW((332))(34b)
[a2 =
= 1]:
BI ((65))(9, 10)
6:
7:
Z
Z
¼
0
¼
0
cos(2n ¡ 1)x cos 2x dx
=0
1 ¡ 2a cos 2x + a2
sin 2nx sin x dx
=
1 ¡ 2a cos 2x + a2
Z
¼
0
[a2 =
= 1]:
sin(2n ¡ 1)x sin 2x dx
=0
1 ¡ 2a cos 2x + a2
BI ((65))(12)
[a2 =
= 1]:
8:
Z
¼
0
¼ an¡1
sin(2n ¡ 1)x sin x dx
¢
=
[a2 < 1];
1 ¡ 2a cos 2x + a2
2 1+a
¼
1
= ¢
[a2 > 1]:
2 (1 + a)an
BI ((65))(8)
9:
Z
¼
0
cos(2n ¡ 1)x cos x dx
¼ an¡1
¢
=
[a2 < 1];
1 ¡ 2a cos 2x + a2
2 1¡a
1
¼
= ¢
[a2 > 1]:
2 (a ¡ 1)an
BI ((65))(11)
10:
Z
¼
0
sin nx ¡ a sin(n ¡ 1)x
sin mx dx = 0
for
1 ¡ 2a cos x + a2
¼
= am¡n
2
m < n;
for
m ¸ n;
[a2 < 1]:
LI ((65))(13)
410
11:6
12:
13:
Z
Z
Z
¼
0
¼
0
¼
0
cos nx ¡ a cos(n ¡ 1)x
¼
cos mx dx = (ajmj¡n ¡ 1)
2
1 ¡ 2a cos x + a
2
sin nx ¡ a sin[(n + 1)x]
dx = 0
1 ¡ 2a cos x + a2
cos nx ¡ a cos[(n + 1)x]
dx = ¼an
1 ¡ 2a cos x + a2
[a2 < 1]:
BI ((65))(14)
[a2 < 1]:
BI ((68))(13)
[a2 < 1]:
BI ((68))(14)
7
3.614
Z
¼
0
a2
sin x
sin px ¢ dx
¢
=
2
¡ 2ab cos x + b
1 ¡ 2ap cos px + a2p
¼bp¡1
= p+1
[0 < b ∙ a ∙ 1; p = 1; 2; 3; . . . ];
2a (1 ¡ bp )
¼ap¡1
=
[0 < a ∙ 1; a2 < b; a2 p = 1; 2; 3; . . . ]:
2b(bp ¡ a2p )
Z
1:
¼=2
0
cos 2nx dx
(¡1)n ¼
p
=
2
1 ¡ a2 sin x
2 1 ¡ a2
Ã
1¡
p
1 ¡ a2
a
!2n
[a2 < 1]:
BI ((47))(27)
Z
2:
Z
3:
¼
0
¼
0
r ¾
r
½
•
¶
cos x sin 2nx dx
s
s
¼
1
2n
=
¡
sin
2n
arctg
tg
arccos
:
1 + (a + b sin x)2
b
2
2
2a2
r ¾
r
½
•
¶
cos x cos(2n + 1)x dx
¼
s
s
1
2n+1
=
cos
(2n
+
1)
arctg
tg
arccos
;
1 + (a + b sin x)2
b
2
2
2a2
p
where s = ¡(1 + b2 ¡ a2 ) + (1 + b2 ¡ a2 )2 + 4a2 :
BI ((65))(21, 22)
3.616
Z
1:
¼
2 n
(1 ¡ 2a cos x + a ) dx = ¼
0
n ³ ´2
X
n
k=0
k
a2k :
BI ((63))(1)
2:
¤
Z
¼
0
dx
1
=
2
n
(1 ¡ 2a cos x + a )
2
Z
2¼
dx
=
(1 ¡ 2a cos x + a2 )n
0
n¡1
X (n + k ¡ 1)! • a2 ¶k
¼
=
(1 ¡ a2 )n
(k!)2 (n ¡ k ¡ 1)! 1 ¡ a2
=
¼
(a2 ¡ 1)n
k=0
n¡1
X
k=0
(n + k ¡ 1)!
1
(k!)2 (n ¡ k ¡ 1)! (a2 ¡ 1)k
[a2 < 1]
[a2 > 1]:
BI ((331))(63)
411
3:
4:
Z
Z
¼
(1 ¡ 2a cos x + a2 )n cos nx dx = (¡1)n ¼an :
0
BI ((63))(2)
¼
Z
1 2¼
(1¡2a cos x+a ) cos mx dx =
(1 ¡ 2a cos x + a2 )n cos mx dx =
2 0
= 0[n < m];
¶2k
¶•
[(n¡m)=2] ³ ´ •
X
n
n¡k
a
= ¼(¡a)m (1 + a2 )n¡m
1 + a2
k
m+k
2 n
0
k=0
5:
6:
Z
Z
2¼
0
¼
0
sin nx dx
= 0:
(1 ¡ 2a cos 2x + a2 )m
GW ((332))(32a)
sin x dx
1
=
2
m
(1 ¡ 2a cos 2x + a )
2(m ¡ 1)a
∙
1
1
¡
2m¡2
(1 ¡ a)
(1 + a)2m¡2
¸
[a=
= 0;
§1];
GW ((332))(32c)
7:
Z
¼
0
cos nx dx
=
(1 ¡ 2a cos x + a2 )m
Z
1 2¼
cos nx dx
=
=
2 0 (1 ¡ 2a cos x + a2 )m
¶k
¶•
¶•
m¡1 •
a2m+n¡2 ¼ X m + n ¡ 1
2m ¡ k ¡ 2
1 ¡ a2
=
(1 ¡ a2 )2m¡1
a2
k
m¡1
k=0
m¡1
X • m + n ¡ 1 ¶ • 2m ¡ k ¡ 2 ¶
¼
= n 2
(a2 ¡ 1)k
a (a ¡ 1)2m¡1
k
m¡1
[a2 < 1];
[a2 > 1]:
k=0
GW ((332))(31)
8:
Z
¼
2
0
cos 2nx dx
=
(a2 cos 2 x + b2 sin2 x)n+1
•
2n
n
¶
(b2 ¡ a2 )n
¼
(2ab)2n+1
[a > 0;
b > 0]:
GW ((332))(30b)
3.617*
Z
¼
0
2
dx
=
Fn
2
n+1=2
j1 + aj2n+1
(1 ¡ 2a cos x + a )
à p !
2 jaj
;
j1 + aj
jaj=
=1
with
Fn (k) =
Z
¼=2
0
dx
;
(1 ¡ k 2 sin2 x)n+1=2
where the Fn (k) satisfy the recurrence relation
Fn+1 (k) = Fn (k) +
k
dFn (k)
;
2n + 1 dk
n = 0; 1; 2; . . .
412
and
F0 (k) = K(k) ´
Z
¼=2
0
(1 ¡
k2
dx
sin2 x)1=2
is the complete elliptic integral of the first kind.
Introducing the complete elliptic integral of the second kind
E(k) =
Z
¼=2
0
(1 ¡ k 2 sin2 x)1=2 dx;
the derivatives
dK
E(k)
K(k)
=
¡
;
2
dk
k(1 ¡ k )
k
dE
E(k) ¡ K(k)
=
dk
k
combined with the recurrence relation lead to
dF0 (k)
dk
E(k)
E(k)
= K(k) +
¡ K(k) =
;
2
1 ¡ k2 ∙
1
¸ ¡k
E(k)
k d
E(k)
F2 (k) =
+
2
1¡k
3 dk 1 ¡ k 2
∙•
¶
¸
4 ¡ 2k 2
1
=
E (k) ¡ K (k) :
3(1 ¡ k2 )
1 ¡ k2
F1 (k) = F0 (k) + k
3.62 Powers of trigonometric functions
3.621
1:
Z
¼
2
0
sin¹¡1 x dx =
Z
¼
2
0
cos ¹¡1 x dx = 2¹¡2 B
³¹ ¹´
;
:
2 2
FI II 789
2:
3:
Z
Z
¼
2
sin
3
2
x dx =
0
¼
2
sin
2m
Z
x dx =
0
¼
2
cos
3
2
0
Z
¼
2
∙ • ¶¸2
1
1
x dx = p
¡
:
4
6 2¼
cos 2m x dx =
0
(2m ¡ 1)!! ¼
:
(2m)!! 2
FI II 151
4:
Z
¼
2
sin2m+1 x dx =
0
Z
¼
2
cos2m+1 x dx =
0
(2m)!!
:
(2m + 1)!!
FI II 151
413
5:
Z
¼
2
sin¹¡1 x cosº¡1 x dx =
0
1 ³¹ º ´
B
;
2
2 2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
LO V 113(50), LO V 122, FI II 788
3.622
1:
Z
¼
2
tg §¹ x dx =
0
¼
¹¼
sec
2
2
[j Re ¹j < 1]:
BI ((42))(1)
2:
Z
¼
4
0
1
tg x dx = ¯
2
¹
•
¹+1
2
¶
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((34))(1)
3:
Z
¼
4
tg
0
2n
n¼
x dx = (¡1)
4
+
n¡1
X
k=0
(¡1)k
:
2n ¡ 2k ¡ 1
BI ((34))(2)
4:
Z
¼
4
tg
0
2n+1
n+1 ln 2
x dx = (¡1)
2
+
n¡1
X
k=0
(¡1)k
:
2n ¡ 2k
3.623
Z
1:
2:6
Z
¼
2
tg ¹¡1 x cos 2º¡2 x dx =
¼
2
ctg ¹¡1 x sin2º¡2 x dx =
0
1 ³¹
¹´
= B
;º¡
[0 < Re ¹ < 2 Re º]:
2
2
2
0
¼
4
Z
tg ¹ x sin2 x dx =
0
1+¹
¯
4
•
¹+1
2
¶
¡
1
4
BI((42))(6), BI((45))(22)
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((34))(4)
3:
6
Z
¼
4
0
1¡¹
tg x cos x dx =
¯
4
¹
2
•
¹+1
2
¶
+
1
4
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((34))(5)
3.624
Z
1:
¼
4
0
sinp x
1
dx =
p+2
cos
x
p+1
[p > ¡1]:
GW ((331))(34b)
2:
3
Z
¼
2
0
1
sin¹¡ 2 x
dx =
cos2¹¡1 x
Z
¼
2
0
1
cos ¹¡ 2
sin2¹¡1
¶
9
8 •
¹ 1
>
>
>
+
¡ (1 ¡ ¹) >
¡
=
<
x
1
2
4
•
¶
dx =
>
5 ¹
2>
x
>
>
:
;
¡
¡
4
2
∙
¸
1
¡ < Re ¹ < 1 :
2
LI ((55))(12)
414
3:
4:
Z
Z
¼
4
0
¼
4
0
1
cosn¡ 2 2x
(2n ¡ 1)!!
dx =
¼:
2n+1
cos
x
2 ¢ (2n)!!
cos ¹ 2x
+ dx = 22¹ B (¹ + 1; ¹ + 1)
cos2(¹+1) x
BI ((38))(3)
[Re ¹ > ¡1]:
5:
Z
¼
4
0
•
¶
1
¡(1 ¡ ¹)
¡ ¹¡
sin2¹¡2 x
2
1¡2¹
p
dx = 2
B (2¹¡1; 1¡¹) =
cos ¹ 2x
2 ¼
∙
¸
1
< Re ¹ < 1 :
2
BI ((35))(4)
6:6
Z
¼
2
0
•
sin ax
sin x
¶2
dx =
a¼
1
¡ sin ¼a[2a¯(a) ¡ 1];
2
2
[a > 0]:
3.625
1:
Z
¼
4
0
sin2n¡1 x cos p 2x
(n ¡ 1)!
¡(p + 1)
¢
dx =
=
2p+2n+1
cos
x
2
¡(p + n + 1)
(n ¡ 1)!
1
=
= B (n; p + 1)
2(p + n)(p + n ¡ 1) . . . (p + 1)
2
(cf. 3.251 1.).
[p > ¡1];
3.251
BI ((35))(2)
2:
Z
¼
4
0
sin2n x cos p 2x
1
dx = B
cos 2p+2n+2 x
2
•
1
n+ ; p+1
2
¶
[p > ¡1]
(cf. 3.251 1.).
3.251
BI ((35))(3)
3:
4:
Z
Z
¼
4
0
¼
4
0
1
sin2n¡1 x cos m¡ 2 2x
(2n ¡ 2)!!(2m ¡ 1)!!
dx =
:
2n+2m
cos
x
(2n + 2m ¡ 1)!!
BI ((38))(6)
1
sin2n x cos m¡ 2 2x
(2n ¡ 1)!!(2m ¡ 1)!! ¼
¢ :
+ dx =
cos 2n+2m+1 x
(2n + 2m)!!
2
BI ((38))(7)
3.626
1:
Z
¼
4
0
sin2n¡1 x p
(2n ¡ 2)!!
cos 2x dx =
cos2n+2 x
(2n + 1)!!
(cf. 3.251 1.).
3.251
BI ((38))(4)
Z
2:
¼
4
0
sin2n x p
(2n ¡ 1)!! ¼
¢
cos 2x dx =
2n+3
cos
x
(2n + 2)!! 2
(cf. 3.251 1.).
3.251
BI ((38))(5)
415
3.627
Z
¼
2
0
tg ¹ x
dx =
cos ¹ x
Z
¼
2
0
ctg ¹ x
dx =
sin¹ x
•
1
¡¹
2
p
2¹ ¼
¡(¹)¡
¶
∙
¹¼
sin
2
¸
1
¡1 < Re ¹ <
:
2
BI ((55))(12)a
3.628
Z
¼
2
sec
2p+1
0
d sin2p x
1
x
dx = p ¡(p + 1)¡
dx
¼
•
¶
1
¡p
2
∙
¸
1
>p>0 :
2
WA 691
3.63 Powers of trigonometric functions and trigonometric functions of linear functions
3.631
Z
1:
¼
sinº¡1
0
a¼
2
•
¶
x sin ax dx =
º +a+1 º ¡a+1
º¡1
2
ºB
;
2
2
¼ sin
[Re º > 0]:
LO V 121(67a), WA 337a
2:
3:
7
6
Z
Z
¼=2
sinº¡2 x sin ºx dx =
0
¼
0
1
º¼
cos
1¡º
2
sinº x sin ºx dx = 2¡º ¼ sin
º¼
2
[Re º > 1]:
GW((332))(16d), FI I 152
[Re º > ¡1]:
4:
5:
Z
Z
¼
sinn x sin 2mx dx = 0:
0
GW ((332))(11a)
¼
sin2n x sin(2m + 1)x dx =
0
Z
¼=2
sin2n x sin(2m + 1)x dx =
0
(¡1)m 2n+1 n!(2n ¡ 1)!!
[m ∙ n]¤;
(2n ¡ 2m ¡ 1)!!(2m + 2n + 1)!!
(¡1)n 2n+1 n!(2m ¡ 2n ¡ 1)!!(2n ¡ 1)!!
[m ¸ n]:¤
=
(2m + 2n + 1)!!
=
* For m = n we should set (2n ¡ 2m ¡ 1)!! = 1 .
GW ((332))(11b)
6:
Z
¼
sin
2n+1
Z
¼=2
sin2n+1 x sin(2m + 1)x dx =
•
¶
(¡1)m ¼ 2n + 1
= 2n+1
[n ¸ m];
2
n¡m
=0
[n < m]:
x sin(2m + 1)x dx = 2
0
0
BI((40))(12), GW((332))(11c)
416
7:
8:
Z
Z
¼
sinn x cos(2m + 1)x dx = 0:
0
GW ((332))(12a)
¼
sin
0
º¡1
a¼
2
•
¶
x cos ax dx =
º ¡a+1
º
+
a
+
1
º¡1
2
ºB
;
2
2
¼ cos
[Re º > 0]:
LO V 121(68)A, WA 337a
9:
Z
¼=2
cos º¡1 x cos ax dx =
0
º
2 ºB
•
¼
¶
º +a+1 º ¡a+1
;
2
2
[Re º > 0]:
Z
10:
Z
11:
Z
12:
¼=2
sinº¡2 x cos ºx dx =
0
¼
sinº x cos ºx dx =
0
1
º¼
sin
º ¡1
2
¼
º¼
cos
2º
2
[Re º > 1]:
GW((332))(16b), FI II 15 2
[Re º > ¡1]:
LO V 121(70)a
¼
sin
2n
x cos 2mx dx = 2
0
Z
¼=2
sin
2n
0
(¡1)m
x cos 2mx dx =
22n
=0
[n < m]:
•
2n
n¡m
¶
¼
[n ¸ m];
BI((40))(16), GW((332))(12b)
13:
7
Z
¼
0
sin2n+1 x cos 2mx dx =
Z ¼=2
=2
sin2n+1 x cos 2mx dx =
(¡1)m 2n+1 n!(2n + 1)!!
(2n ¡ 2m + 1)!!(2m + 2n + 1)!!
0
n+1 n+1
2
n!(2m ¡ 2n ¡ 3)!!(2n + 1)!!
(¡1)
=
[n < m ¡ 1]:
(2m + 2n + 1)!!
[n ¸ m ¡ 1];
GW ((332))(12c)
14:
15:
Z
Z
¼=2
cos º¡2 x sin ºx dx =
0
1
º ¡1
[Re º > 1]:
GW((332))(16c), FI II 152
¼
0
cos m x sin nx dx = [1 ¡ (¡1)m+n ]
4r =
16:
Z
½
m
n
¼=2
cos n x sin nx dx =
0
¼=2
0
( r¡1
X
cos m x sin nx dx =
m!
(m + n ¡ 2k ¡ 2)!!
m!(n ¡ m ¡ 2)!!
= [1 ¡ (¡1)
]
+s
(m ¡ k)!
(m + n)!!
(m + n)!!
k=0
8
3
< 2 [n ¡ m = 4l + 2 > 0];
[m ∙ n];
5:
s=
1 [n ¡ m = 2l + 1 > 0];
:
[m ¸ n];
0 [n ¡ m = 4l or n ¡ m < 0]
m+n
2
Z
)
GW ((332))(13a)
n
1 X 2k
:
2n+1
k
k=1
17:
Z
¼
cos n x cos mx dx =
Z ¼2
m+n
= [1 + (¡1)
]
cos n x cos mx dx =
0
8
n!
>
s
[n < m];
>
>
>
(m
¡
n)(m
¡
n
+ 2) . . . (m + n)
>
< ¼ ³n´
[m ∙ n and
= [1 + (¡1)m+n ]
>
2n+1 k
>
>
>
n!
>
:
[m < n and
(2k + 1)!! (2m + 2k + 1)
8 !!
< 0 [m ¡ n = 2k];
where s =
1 [m ¡ n = 4k + 1];
:
¡1 [m ¡ n = 4k ¡ 1]:
0
n ¡ m = 2k] ;
n ¡ m = 2k + 1];
GW ((332))(15a)
417
18:6
19:
Z
Z
¼
cos m x cos ax dx =
0
¼
2
¶
•
(¡1)m sin a¼
a+m
a+m
F
;
1
¡
;
¡
1
¡
m;
¡
2 1
2m (m + a)
2
2
[a=
= 0; §1; §2; . . . ]:
cos º¡2 x cos ºx dx = 0
WA 313
[Re º > 1]:
0
GW((332))(16a), FI II 152
20:¤
Z
¼
2
cos n x cos nx dx =
0
¼
2n+1
[Re n > ¡1]:
LO V 122(78), FI II 153
3.632
1:
2:
Z
Z
¼
sinp¡1
0
¼
2
cos
¡¼
2
¶ •
¶
p¡a
p+a
¡
¡
´i
h ³¼
2
2
¡ x dx = 2p¡1
x cos a
¡(p)
2
¡(p ¡ a)¡(p + a)
º¡1
•
h ³
¼ ´i
dx =
x sin a x +
2
a¼
2
•
¶
º ¡a+1
º
+
a
+
1
º¡1
2
ºB
;
2
2
[p2 < a2 ]:
BI ((62))(11)
¼ sin
[Re º > 0]:
3:¤
Z
¼
2
0
cos p x sin[(p+2n)x] dx = (¡1)n¡1
n¡1
X
k=0
(¡1)k 2k
p+k+1
•
n¡1
k
¶
[n > 0]:
LI ((41))(12)
4:
Z
¼
cos
n¡1
¡¼
n+m
x cos[m(x¡a)] dx = [1 ¡ (¡1)
=
]=
Z
¼
2
¡¼
2
n+m
cos n¡1 x cos[m(x ¡ a)] dx =
[1 ¡ (¡1)
]¼ cos ma
•
¶
n
+
m
+
1 n¡m+1
n¡1
2
nB
;
2
2
[n ¸ m]:
LO V 123(80), LO V 139(94a)
418
5:
Z
¼
2
0
cos p+q¡2 x cos[(p¡q)x] dx =
¼
2p+q¡1 (p + q ¡ 1) B (p; q)
[p+q > 1]:
WH
3.633
1:
Z
¼
2
cos p¡1 x sin ax sin x dx =
0
2p+1 p(p + 1) B
•
a¼
¶:
p¡a
p+a
+ 1;
+1
2
2
LO V 150(110)
2:
3:
Z
Z
¼
2
n
cos x sin nx sin 2mx dx =
0
¼
2
cos
n¡1
Z
¼
2
cos n x cos nx cos 2mx dx =
0
x cos[(n + 1)x] cos 2mx dx =
0
¼
2n+1
•
n¡1
m¡1
¶
¼
2n+2
³n´
m
:
BI ((42))(19, 20)
[n > m ¡ 1]:
BI ((42))(21)
4:
Z
¼
2
cos
0
p+q
x cos px cos qx dx =
¼
2p+q+2
∙
1
1+
(p + q + 1) B (p + 1; q + 1)
¸
[p+q > ¡1]:
5:
6
Z
¼
2
cos
p+q
x sin px sin qx dx =
0
¼
2p+q+2
1 ³ ´³ ´
X
q
p
k=1
k
k
=
¼
2p+q+2
∙
¡(p + q + 1)
¡1
¡(p + 1)¡(q + 1)
[p + q > ¡1]:
¸
BI ((42))(16)
3.634
Z
1:
¼
2
sin¹¡1 x cosº¡1 x sin(¹+º)x dx = sin
0
¹¼
B (¹; º)
2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI((42))(23), FI II 814a
Z
2:
¼
2
sin¹¡1 x cosº¡1 x cos(¹+º)x dx = cos
0
¹¼
B (¹; º)
2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI((42))(24), FI II 814a
Z
3:
¼
2
cos p+n¡1 x sin px cos[(n+1)x] sin x dx =
0
¡(p + n)
¼
2p+n+1 n!¡(p)
[p > ¡n]:
BI ((42))(15)
3.635
Z
1:
¼
4
cos
0
¹¡1
∙ •
¶
³ ¹ ´¸
1
¹+1
2x tg x dx =
Ã
¡Ã
4
2
2
[Re ¹ > 0]:
BI ((34))(7)
419
2:
7
Z
¼
2
cos
0
p+2n
1 ³ ´
X
n ¡(p + n ¡ k)
x sin px tg x dx = p+2n+1
=
2
¡(p)
(n ¡ k)!
k
¼
k=0
=
p¼
¡(p + 2n)
2p+2n+1 ¡(n + 1)¡(p + n + 1)
[p > ¡2n]:
BI ((42))(22)
3:
Z
¼
2
0
cos n¡1 x sin[(n + 1)x] ctg x dx =
¼
:
2
BI ((45))(18)
3.636
1:
Z
¼
2
tg §¹ x sin 2x dx =
0
¹¼
¹¼
cosec
2
2
[0 < Re ¹ < 2]:
BI ((45))(20)a
2:
Z
¼
2
0
tg §¹ x cos 2x dx = ¨
¹¼
¹¼
sec
2
2
[j Re ¹j < 1]:
BI ((45))(21)
3:
Z
¼
2
0
tg 2¹ x
dx =
cos x
Z
¼
2
0
•
¶
1
¡
¹
+
¡(¡¹)
ctg 2¹ x
2
dx =
p
sin x
2 ¹
∙
¸
1
¡ < Re ¹ < 1 ;
2
(cf. 3.251 1.).
3.251
BI ((45))(13, 14)
3.637
1:
Z
¼
2
0
tg p x sinq¡2 x sin qx dx = ¡ cos
(p + q)¼
B (p+q¡1; 1¡p)
2
[p+q > 1 > p]:
GW ((332))(15d)
2:
Z
¼
2
0
tg p x sinq¡2 x cos qx dx = sin
(p + q)¼
B (p+q ¡1; 1¡p)
2
[p+q > 1 > p]:
GW ((332))(15b)
3:
Z
¼
2
ctg p x cosq¡2 x sin qx dx = cos
0
p¼
B(p+q¡1; 1¡p)
2
[p+q > 1 > p]:
GW ((332))(15c)
4:
Z
¼
2
0
ctg p x cosq¡2 x cos qx dx = sin
p¼
B (p+q¡1; 1¡p)
2
[p+q > 1 > p]:
1:
Z
¼
4
sin2¹ x dx
1
cos ¹+ 2 2x cos x
0
=
¼
sec ¹¼
2
∙
j Re ¹j <
¸
1
;
2
(cf. 3.192 2.).
3.192
BI ((38))(8)
420
2:
Z
¼
4
0
¶
1
•
¶
1
¡(1 ¡ ¹)
¡ ¹+
2¹ ¡ 1
sin¹¡ 2 2x dx
2
2
p
¢
=
sin
¼
cos ¹ 2x cos x
2¹ ¡ 1
¼
4
•
∙
¸
1
¡ < Re ¹ < 1 :
2
BI ((38))(17)
3:
Z
¼
2
0
cos p¡1 x sin px
¼
dx =
sin x
2
[p > 0]:
GW((332))(17), BI((45))(5)
3.64- 3.65 Powers and rational functions of trigonometric functions
3.641
1:
Z
¼
2
0
sinp¡1 x cos ¡p x
dx =
a cos x + b sin x
Z
¼
2
0
sin¡p x cos p¡1 x
¼ cosec p¼
dx =
a sin x + b cos x
a1¡p bp
[ab > 0;
0 < p < 1]:
GW ((331))(62)
2:
Z
¼
2
0
sin1¡p x cos p x
dx =
(sin x + cos x)3
Z
¼
2
0
sinp x cos 1¡p x
(1 ¡ p)p
dx =
¼ cosec p¼
3
(sin x + cos x)
2
[¡1 < p < 2]:
BI((48))(5)
3.642
1:
Z
¼
2
0
sin2¹¡1 x cos 2º¡1 x dx
1
= 2¹ 2º B (¹; º)
2
2
2
2
¹+º
2a b
(a sin x + b cos x)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((48))(28)
2:
Z
¼
2
0
n¡1
n¡1
sin
x cos
x dx
=
(a2 cos 2 x + b2 sin2 x)n
B
³n n´
;
2 2
2(ab)n
[ab > 0]:
GW ((331))(59a)
3:
Z
¼
2
0
sin2n x dx
=
(a2 cos 2 x + b2 sin2 x)n+1
Z
1 ¼
sin2n x dx
=
=
2 0 (a2 cos 2 x + b2 sin2 x)n+1
Z ¼2
Z
1 ¼
(2n ¡ 1)!!¼
cos 2n x dx
cos 2n x dx
=
=
= n+1
2
2
2
2
2
n+1
2
2
2
n+1
2 0 (a sin x + b cos x)
2
n!ab2n+1
0 (a sin x + b cos x)
[ab > 0]:
GW ((331))(58)
4:
Z
¼
2
0
¶
¶•
n •
X
cosp+2n x cos px dx
bp¡1
p+k¡1
2n ¡ k
=
¼
(2a)2n¡k+1 (a + b)p+k
k
n
(a2 cos 2 x + b2 sin2 x)n+1
k=0
[a > 0;
b > 0;
p > ¡2n ¡ 1]:
GW ((332))(30)
3.643
1:
Z
¼
2
0
cos p x cos px dx
¼
(1 + a)p¡1
=
¢
1 ¡ 2a cos 2x + a2
2p+1
1¡a
[a2 < 1;
p > ¡1]:
GW ((332))(33c)
421
2:
Z
¼
2
0
¶
m¡1 m¡k¡1 • ¶ •
sin2n x cos¹ x cos ¯x
(¡1)n ¼(1 ¡ a)2n¡2m+1 X X
¯
2n
dx
=
£
(1 ¡ 2a cos 2x + a2 )m
22m¡¯¡1 (1 + a)2m+¯+1
k
l
¶ k=0 l=0
•
2m ¡ k ¡ l ¡ 2
(a ¡ 1)k
£
m ¡ 1(¡2)l
[a2 < 1; ¯ = 2m ¡ 2n ¡ ¹ ¡ 2; ¹ > ¡1]:
GW ((332))(33)
3.644
1:
Z
¼
0
¶ • 2
¶º¡1 •
¶k
k • 2
X
sinm x
m + 1 ¡ 2º m + 1 ¡ 2º
p ¡ q2
p ¡ q2
m¡2 p
dx = 2
B
;
+
A;
p + q cos x
q2 º=1
¡4q2
2
2
¡q2
s
Ã
!
¼p
q2
A= 2 1¡ 1¡ 2
[m = 2k + 2];
q
p
p+q
1
[m = 2k+1]
[k ¸ 1; q=
= 0; p2 ¡q2 ¸ 0]:
A = ln
q
p¡q
Z
2:
Z
3:
Z
4:
Z
5:
¼
0
¼
0
¼
0
¼
0
sinm x
dx = 2m¡1 B
1 + cos x
•
m¡1 m+1
;
2
2
¶
[m ¸ 2]:
sinm x
dx = 2m¡1 B
1 ¡ cos x
•
m¡1 m+1
;
2
2
¶
[m ¸ 2]:
sin2 x
p¼
dx = 2
p + q cos x
q
Ã
1¡
sin3 x
1
p
dx = 2 2 +
p + q cos x
q
q
s
•
q2
1¡ 2
p
1¡
p2
q2
!
¶
:
ln
p+q
:
p¡q
3.645
Z
¼
0
•
¶k
n
X
a+b
cos n x dx
¼
k (2n ¡ 2k ¡ 1)!!(2k ¡ 1)!!
p
=
(¡1)
(a + b cos x)n+1
(n ¡ k)!k!
a¡b
2n (a + b)n a2 ¡ b2 k=0
[a2 > b2 ]:
LI ((64))(16)
3.646
Z
1:
¼
2
0
cos n x sin nx sin 2x
¼
dx =
2
1 ¡ 2a cos 2x + a
4a
∙•
1+a
2
¶n
1
¡ n
2
¸
[a2 < 1]:
BI ((50))(6)
422
Z
2:
¼
2
0
1 ¡ a cos 2nx
¼ X³ m ´ k
¼
m
cos
x
cos
mx
dx
=
a + m+1
2
m+2
1 ¡ 2a cos 2nx + a
2
2
kn
1
[a2 < 1]:
k=1
LI ((50))(7)
3.647
Z
¼
2
0
cos p x cos px dx
¼
ap¡1
¢
=
2b (a + b)p
a2 sin2 x + b2 cos2 x
[p > ¡1;
a > 0;
b > 0]:
BI ((47))(20)
3.648
1:
Z
¼
4
0
n¡1
tg l x dx
1
m X
km
=
cosec
¼
(¡1)k¡1 sin
¼£
m
1 + cos n ¼ sin 2x
2n
n
n
k=0
∙ •
¶
•
¶¸
n+l+k
l+k
£ Ã
¡Ã
2n
2n
n¡1
1
2
m X
km
[m + n
is odd];
2:
Z
¼
2
0
tg §¹ x dx
= ¼ cosec t sin ¹t cosec(¹¼)
1 + cos t sin 2x
[j Re ¹j < 1;
t2 < ¼ 2 ]:
BI ((47))(4)
3.649
1:
Z
¼
2
0
∙
¶¹ ¸
•
tg §¹ x sin 2x dx
¼
¹¼
1¡a
=
cosec
1¡
1 ¨ 2a cos 2x + a2
4a
2
1+a
∙
•
¶¹ ¸
a¡1
¼
¹¼
cosec
1+
=
4a
2
a+1
[a2 < 1];
[a2 > 1]
[¡2 < Re ¹ < 1]:
BI ((50))(3)
2:
Z
¼
2
0
∙
•
¶¹ ¸
tg §¹ x(1 ¨ a cos 2x)
¼
¹¼
1¡a
dx
=
sec
1
+
1 ¨ 2a cos 2x + a2
4
2
1+a
∙
•
¶¹ ¸
¼
¹¼
a¡1
= sec
1¡
4
2
a+1
[a2 < 1];
[a2 > 1]
[j Re ¹j < 1]:
BI ((50))(4)
3.651
1:
Z
¼
4
0
∙ •
¶
•
¶¸
tg ¹ x dx
1
¹+2
¹+1
=
Ã
¡Ã
1 + sin x cos x
3
3
3
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((36))(3)
423
2:
Z
¼
4
0
∙ •
¶
•
¶¸
tg ¹ x dx
1
¹+2
¹+1
=
¯
+¯
1 ¡ sin x cos x
3
3
3
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((36))(4)a
3.652
1:
Z
¼
2
0
tg ¹ x dx
=
(sin x + cos x) sin x
Z
¼
2
0
ctg ¹ x dx
= ¼ cosec ¹¼
(sin x + cos x) cos x
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((49))(1)
2:
Z
¼
2
0
tg ¹ x dx
=
(sin x ¡ cos x) sin x
Z
¼
2
0
ctg ¹ x dx
= ¡¼ ctg ¹¼
(cos x ¡ sin x) cos x
[0 < Re ¹ < 1]:
Z
3:
¼
2
0
1
ctg ¹+ 2 x dx
=
(sin x + cos x) cos x
Z
¼
2
0
∙
1
tg ¹¡ 2 x dx
= ¼ sec ¹¼
(sin x + cos x) cos x
¸
1
j Re ¹j <
:
2
BI ((61))(1, 2)
3.653
Z
1:
¼
2
0
tg 1¡2¹ x dx
=
a2 cos 2 x + b2 sin2 x
Z
¼
2
0
ctg 1¡2¹ x dx
¼
= 2¹ 2¡2¹
2
2
2
2
2a b
sin ¹¼
a sin x + b cos x
[0 < Re ¹ < 1]:
GW ((331))(59b)
2:
3:
7
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
tg ¹ x dx
=
1 ¡ a sin2 x
Z
¼
2
0
¼ sec ¹¼
ctg ¹ x dx
2
p
=
1 ¡ a cos 2 x
2 (1 ¡ a)¹+1
[j Re ¹j < 1;
h³ ¼
´ i
tg §¹ x dx
¼
¹¼
=
cosec
t
sec
cos
¡
t
¹
2
2
2
1 ¡ cos 2 t sin2 2x
a < 1]:
BI ((49))(6)
[j Re ¹j < 1;
t2 < ¼ 2 ]:
BI((49))(7), BI((47))(21)
4:
Z
¼
2
0
h³ ¼
´ i
tg §¹ x sin 2x
¹¼
dx
=
¼
cosec
2t
cosec
sin
¡
t
¹
2
2
1 ¡ cos 2 t sin2 2x
[j Re ¹j < 1;
t2 < ¼ 2 ]:
BI ((47))(22)a
5:
Z
¼
2
0
tg ¹ x sin2 x dx
=
1 ¡ cos 2 t sin2 2x
Z
¼
2
ctg ¹ x cos 2 x dx
=
2
2
0 1 ¡ cos t sin 2x h
i
¼
¹¼
¹¼
¡ (¹ + 1)t
= cosec 2t sec
cos
2
2
2
[j Re ¹j < 1;
t2 < ¼ 2 ]:
BI((47))(23)A, BI((49))(10)
424
6:
Z
¼
2
0
Z
¼
2
ctg ¹ x sin2 x dx
=
2
2
0 1 ¡ cos t sin 2x h
i
¼
¹¼
¹¼
¡ (¹ ¡ 1)t
= cosec 2t sec
cos
2
2
2
tg ¹ x cos 2 x dx
=
1 ¡ cos 2 t sin2 2x
[j Re ¹j < 1;
t2 < ¼ 2 ]:
Z
1:
Z
2:
¼
2
0
¼
2
0
tg ¹+1 x cos 2 x dx
=
(1 + cos t sin 2x)2
Z
¼
2
0
ctg ¹+1 x sin2 x dx
¼(¹ sin t cos ¹t ¡ cos t sin ¹t)
=
(1 + cos t sin 2x)2
2 sin ¹¼ sin3 t
[j Re ¹j < 1; t2 < ¼ 2 ]:
tg §¹ x dx
¹¼
=
(sin x + cos x)2
sin ¹¼
BI((48))(3), BI((49))(22)
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((56))(9)a
Z
3:
¼
2
0
tg §(¹¡1) x dx
¹¼
¼
= § ctg
2
2
2
2
cos x ¡ sin x
[0 < Re ¹ < 2]:
BI ((45))(27, 29)
3.655
Z
¼
2
0
tg 2¹¡1 x dx
=
1 ¡ 2a(cos t1 sin2 x + cos t2 cos 2 x) + a2
Z
¼
2
ctg 2¹¡1 x dx
=
2
2
2
0 1 ¡ 2a(cos t1 cos x + cos t2 sin x) + a
¼ cosec ¹¼
=
(1 ¡ 2a cos t2 + a2 )¹ (1 ¡ 2a cos t1 + a2 )1 ¡ ¹
[0 < Re ¹ < 1; t21 < ¼ 2 ; t22 < ¼ 2 ]:
BI ((50))(18)
3.656
1:
Z
¼
4
0
¶
•
¶
¹+1
¹+2
¡Ã
¡Ã
+
6
6
•
¶
•
¶
•
¶
•
¶¾
¹+4
¹+5
¹+2
¹+1
+Ã
+Ã
+ 2Ã
¡ 2Ã
6
6
3
3
[Re ¹ > ¡1];
(cf. 3.651 1. and 2.).
tg ¹ x dx
1
=
2
2
12
1 ¡ sin x cos x
½
•
3.651
LI ((36))(10)
2:
Z
¼
2
0
tg ¹¡1 x cos 2 x dx
=
1 ¡ sin2 x cos 2 x
Z
¼
2
0
ctg ¹¡1 x sin2 x dx
¼
¹¼
= p cosec
cosec
2
2
6
1 ¡ sin x cos x
4 3
[0 < Re ¹ < 4]:
•
2+¹
¼
6
¶
LI ((47))(26)
3.66 Forms containing powers of linear functions of trigonometric functions
3.661
1:
Z
2¼
(a sin x + b cos x)2n+1 dx = 0:
0
BI ((68))(9)
425
2:
Z
2¼
(a sin x + b cos x)2n dx =
0
(2n ¡ 1)!!
¢ 2¼(a2 + b2 )n :
(2n)!!
BI ((68))(8)
3:
Z
¼
1
(a+b cos x) dx =
2
n
0
Z
2¼
n
2
2
n
2
(a + b cos x) dx = ¼(a ¡ b ) Pn
0
•
p
[n=2]
¼ X (¡1)k (2n ¡ 2k)! n¡2k 2
a
(a ¡ b2 )k
= n
2
k!(n ¡ k)!(n ¡ 2k)!
a
2
a ¡ b2
¶
=
[a2 > b2 ]:
k=0
GW ((332))(37a)
4:
Z
¼
0
•
¶
¼
dx
a
p
=
=
n+1 Pn
(a + b cos x)n+1
a2 ¡ b2
(a2 ¡ b2 ) 2
0
•
¶k
n
X
(2n ¡ 2k ¡ 1)!!(2k ¡ 1)!!
a+b
¼
p
¢
=
(n ¡ k)!k!
a¡b
2n (a + b)n a2 ¡ b2
1
dx
=
n+1
(a + b cos x)
2
Z
2¼
k=0
[a > jbj]:
GW((332))(38), LI((64))(14)
3.662
1:
Z
¼
2
0
(sec x¡1)¹ sin x dx =
Z
¼
2
0
(cosec x¡1)¹ cos x dx = ¹¼ cosec ¹¼
[j Re ¹j < 1]:
BI ((55))(13)
2:
Z
¼
2
0
(cosec x ¡ 1)¹ sin 2x dx = (1 ¡ ¹)¹¼ cosec ¹¼
[¡1 < Re ¹ < 2]:
3:
Z
¼
2
0
(sec x¡1)¹ tg x dx =
Z
¼
2
0
(cosec x¡1)¹ ctg x dx = ¡¼ cosec ¹¼
[¡1 < Re ¹ < 0];
(cf. 3.192 2.).
3.192
BI ((46))(4,6)
4:
Z
¼
4
0
(ctg x ¡ 1)¹
dx
¼
= ¡ cosec ¹¼
sin 2x
2
[¡1 < Re ¹ < 0]:
BI ((38))(22)a
5:
Z
¼
4
0
(ctg x ¡ 1)¹
dx
= ¹¼ cosec ¹¼
cos 2 x
[j Re ¹j < 1]:
BI ((38))(11)a
3.663
1:
Z
u
º¡ 12
(cos x ¡ cos u)
0
r
•
¶
¼
1
º
cos ax dx =
sin u¡ º +
P¡º
(cos u)
a¡ 12
2
2
∙
¸
1
Re º > ¡ ; a > 0; 0 < u < ¼ :
2
EH I 159(27), ET I 22(28)
426
2:
Z
u
º¡1
(cos x¡cos u)
0
p
¼¡(¯ + 1)¡(º)¡(2º) sin2º¡1 u º
•
¶
C¯ (cos u)
1
2º ¡(¯ + 2º)¡ º +
2
[Re º > 0; Re ¯ > ¡1; 0 < u < ¼]:
cos[(º+¯)x] dx =
EH I 178(23)
3.664
1:
Z
¼
(z +
0
p
z 2 ¡ 1 cos x)q dx = ¼Pq (z)
h
p
Re z > 0; arg(z + z 2 ¡ 1 cos x) = arg z
for
x=
¼i
:
2
SM 482
WH
3:
Z
¼
(z +
0
p
¼
P n (z):
z 2 ¡ 1 cos x)q cos nx dx =
(q + 1)(q + 2) . . . (q + n) q
∙
p
¼
Re z > 0; arg(z + z 2 ¡ 1 cos x) = arg z for x = ;
2
¸
z lies outside the interval (¡1; 1) of the real axis :
WH, SM 483(15)
4:
Z
¼
(z +
0
p
z 2 ¡ 1 cos x)¹ sin2º¡1 x dx =
22º¡1 ¡(¹ + 1)[¡(º)]2 º
C¹ (z) =
¡(2º + ¹)
r
p
1
¼¡(º)¡(2º)¡(¹ + 1) º
¼ 2
1
º
º
2 ¡º
¡
¢ C¹ (z) = 2
=
(z ¡ 1) 4 ¡ 2 ¡(º)P¹+º¡
1 (z)
1
2
2
¡(2º + ¹)¡ º + 2
[Re º > 0]:
=
EH I 155(6)A, EH I 178(22)
5:
Z
2¼
p
¯ 2 ¡ 1 cos(a ¡ x)]º (° + ° 2 ¡ 1 cos x)º¡1 dx =
p
p
= 2¼Pº [¯° ¡ ¯ 2 ¡ 1 ° 2 ¡ 1 cos a]
[Re ¯ > 0; Re ° > 0]:
[¯ +
0
p
EH I 157(18)
3.665
1:
Z
¼
0
³¹ ¹´
sin¹¡1 x dx
2¹¡1
p
=
B
;
(a + b cos x)¹
2 2
(a2 ¡ b2 )¹
[Re ¹ > 0;
0 < b < a]:
FI II 790a
427
2:
Z
¼
0
sin2¹¡1 x dx
=B
(1 + 2a cos x + a2 )º
•
¹;
1
2
¶
F
•
1
1
º; º ¡ ¹ + ; ¹ + ; a2
2
2
¶
[Re ¹ > 0;
jaj < 1]:
EH I 81(9)
3.666
1:
Z
¼
¹¡º¡ 12
(¯ + cos x)
0
sin
2º
¡
¢
¹
1
2º+ 2 e¡i¹¼ (¯ 2 ¡ 1) 2 ¡ º + 12 Q¹º¡ 1 (¯)
2
•
¶
x dx =
1
¡ º+¹+
2
∙ •
¶
¸
1
1
Re º + ¹ +
> 0; Re º > ¡
:
2:6
Z
¼
(ch ¯+sh ¯ cos x)¹+º sin¡2º x dx =
0
p
¼
2º
shº (¯)¡
•
1
¡º
2
¶
P¹º (ch ¯)
∙
Re º <
¸
1
:
2
EH I 156(7)
3:
Z
¼
1
(cos t+i sin t cos x)¹ sin2º¡1 x dx = 2º¡ 2
p
1
1
¡º
2
¼ sin 2 ¡º t¡(º) P¹+º¡
1 (cos t)
2
0
[Re º > 0;
2
t < ¼ 2 ]:
EH I 158(23)
4:
Z
2¼
[cos t+i sin t cos(a¡x)]º cos mx dx =
0
i3m 2¼¡(º + 1)
cos ma Pm
º (cos t)
¡(º + m + 1)
h
0<t<
¼i
:
2
EH I 159(25)
5:
Z
2¼
[cos t+i+sin t cos(a¡x)]º sin mx dx =
0
i3m 2¼¡(º + 1)
sin ma Pm
º (cos t)
¡(º + m + 1)
h
0<t<
¼i
:
2
EH I 159(26)
3.667
1:
Z
¼
4
0
p
sin¹¡1 2x dx
¼
= ¹+1
2¹
(cos x + sin x)
2
¡(¹)
•
¶
1
¡ ¹+
2
[Re ¹ > 0]:
BI ((37))(1)
2:
Z
¼
4
0
sin¹ x dx
= ¡¼ cosec ¹¼
(cos x ¡ sin x)¹+1 cos x
[¡1 < Re ¹ < 0];
(cf. 3.192 2.).
3.192
BI ((37))(16)
3:
Z
¼
4
0
(cos x ¡ sin x)¹
¼
dx = ¡ cosec ¹¼
sin¹ x sin 2x
2
[¡1 < Re ¹ < 0]:
Z
4:
¼
4
sin¹ x dx
¼
= cosec ¹¼
(cos x ¡ sin x)¹ sin 2x
2
0
[0 < Re ¹ < 1]:
LI ((37))(20)a
Z
5:
¼
4
sin¹ x dx
= ¹¼ cosec ¹¼
(cos x ¡ sin x)¹ cos2 x
0
[j Re ¹j < 1]:
BI ((37))(17)
Z
6:
¼
4
sin¹ x dx
1¡¹
=
¹¼ cosec ¹¼
(cos x ¡ sin x)¹¡1 cos 3 x
2
0
[j Re ¹j < 1]:
BI((35))(24), BI((37))(18)
Z
7:
¼
2
sin¹¡1 x cos º¡1 x
dx = B (¹; º)
(sin x + cos x)¹+º
0
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((48))(8)
3.668
Z
1:
¼
4
¡¼
4
•
cos x + sin x
cos x ¡ sin x
¶cos 2t
dx =
¼
:
2 sin(¼ cos2 t)
FI II 788
Z
2:
v
u
(cos u ¡ cos x)¹¡1
sin x dx
(1 ¡ 2a cos u + a2 )¹¡1
¼
¢
=
¢
¹
2
2
¹
(cos x ¡ cos v)
1 ¡ 2a cos x + a
(1 ¡ 2a cos v + a )
sin ¹¼
2
[0 < Re ¹ < 1; a < 1]:
BI ((73))(2)
3.669
Z
¼
2
0
sinp¡1 x cos q¡p¡1 x dx
=
(a cos x + b sin x)q
Z
¼
2
0
sinq¡p¡1 x cos p¡1 x
B (p; q ¡ p)
dx =
q
(a sin x + b cos x)
aq¡p bp
[q > p > 0; ab > 0]:
BI ((331))(9)
3.67 Square roots of expressions containing trigonometric functions
3.671
Z
1:
Z
2:
Z
3:
¼
2
0
¼
2
0
¼
0
•
¶ •
¶
p
®+1 ¯+1
®+1
1
1 ®+¯+2 2
2
2
sin x cos x 1 ¡ k sin x dx = B
;
F
;¡ ;
;k
2
2
2
2
2
2
[® > ¡1; ¯ > ¡1; jk j < 1]:
®
¯
sin® x cos ¯ x
1
p
dx = B
2
2
2
1 ¡ k sin x
•
¶ •
¶
®+1 ¯+1
®+1 1 ®+¯+2 2
;
F
; ;
;k
2
2
2
2
2
[® > ¡1; ¯ > ¡1; jk j < 1]:
GW ((331))(93)
GW ((331))(92)
1
¼ X (2j ¡ 1)!!(2n + 2j ¡ 1)!! 2j
p
= n
k
[k2 < 1];
2 j=0
22j j!(n + j)!
1 ¡ k 2 sin2 x
•
¶j
¸
∙
1
(2n ¡ 1)!!¼ X [(2j ¡ 1)!!]2
1
k2
2
p
=
:
k <
2
2n 1 ¡ k2 j=0 22j j!(n + j)! k 2 ¡ 1
sin2n x dx
LI ((67))(2)
429
3.672
Z
1:
Z
2:
¼
4
0
¼
4
0
sinn x
dx
(2n)!!
¢p
:
=2¢
cos n+1 x
(2n
+ 1)!!
cos x(cos x ¡ sin x)
BI ((39))(5)
sinn x
(2n ¡ 1)!!
dx
¢p
=
¼:
cos n+1 x
(2n)!!
sin x(cos x ¡ sin x)
BI ((39))(6)
3.673
Z
¼
2
u
p
•
¶
p
dx
¼ ¡ 2u
K sin
= 2K
:
4
sin x ¡ sin u
BI ((74))(11)
3.674
1:
2:
Z
Z
¼
p
0
dx
1 § 2p cos x + p2
0
[p2 < 1]:
BI ((67))(5)
¼
p
= 2K
K(p)
sin x dx
1 ¡ 2p cos x + p2
=2
[p2 ∙ 1];
=
2
p
[p2 ¸ 1]:
BI ((67))(6)
3:
Z
¼
p
0
cos x dx
1 ¡ 2p cos x +
p2
=
2
[K
K(p) ¡ E (p)]
p
[p2 < 1]:
BI ((67))(7)
3.675
1:
2:
•
¶
1
Z ¼ sin n +
x dx
¼
2
p
= Pn (cos u):
2
2(cos u ¡ cos x)
u
¶
1
Z u cos n +
x dx
¼
2
p
= Pn (cos u):
2
2(cos x ¡ cos u)
0
WH
•
FI II 684, WH
3.676
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
p
sin x dx
2
1 + p2 sin x
=
1
arctg p:
p
q
tg 2 x 1 ¡ p2 sin2 x dx = 1:
BI ((60))(5)
430
3:
Z
¼
2
0
dx
1
p
= K
2
2
2
2
p
p cos x + q sin x
Ãp
p2 ¡ q2
p
!
[0 < q < p]:
FI II 165
3.677
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
p
sin2 x dx
p
= 2E
E
1 + sin2 x
Ãp !
Ãp !
2
2
1
¡p K
:
2
2
2
BI ((60))(2)
" Ãp !
à p !#
p
cos2 x dx
2
2
p
= 2 K
¡E
:
2
2
2
1 + sin x
BI ((60))(3)
3.678
1:
Z
¼
4
0
1
(sec 2 2x ¡ 1)
dx
= ln 2:
tg x
BI ((38))(23)
2:
3:
Z
Z
¼
4
0
u
0
p
r
tg 2 x dx
=
2
1 ¡ k 2 sin 2x
p
1
1 ¡ k 2 ¡ E (k) + K (k):
2
cos 2x ¡ cos 2u
¼
dx = (1 ¡ cos u)
cos 2x + 1
2
BI ((39))(2)
∙
¸
¼2
u <
:
4
2
LI ((74))(6)
4:
Z
¼
4
0
1
(cos x ¡ sin x)n¡ 2 p
(2n ¡ 1)!!
cosec x dx =
¼:
cosn+1 x
(2n)!!
BI ((38))(24)
5:
Z
¼
4
0
1
p
(cos x ¡ sin x)n¡ 2
(2n ¡ 1)!!(2m ¡ 1)!!
tg m x cosec x dx =
¼:
n+1
cos
x
(2n + 2m)!!
3.679
1:
Z
¼
2
0
cos 2 x
dx
¢p
=
2
2
1 ¡ cos ¯ cos x
1 ¡ k 2 sin2 x
n¼
o
1
p
¡ K E(¯; k0 ) ¡ E F (¯; k 0 ) + K F (¯; k 0 ) :¤
=
sin ¯ cos ¯ 1 ¡ k 02 sin2 ¯ 2
*
k0 =
p
1 ¡ k2
MO 138
2:
Z
¼
2
0
sin2 x
dx
¢p
=
2
2
02
1 ¡ (1 ¡ k sin ¯) sin x
1 ¡ k 2 sin2 x
n¼
o
1
p
=
¡ K E(¯; k 0 ) ¡ E F (¯; k 0 ) + K F (¯; k0 ) :¤
k02 sin ¯ cos ¯ 1 ¡ k 02 sin2 ¯ 2
MO 138
431
3:
Z
¼
2
0
sin2 x
dx
K E(¯; k) ¡ E F (¯; k)
p
¢p
=
:
2
2
2
2
2
2
1 ¡ k sin ¯ sin x
k sin ¯ cos ¯ 1 ¡ k 2 sin2 ¯
1 ¡ k sin x
MO 138
3.68 Various forms of powers of trigonometric functions
3.681
1:
Z
¼
2
0
sin2¹¡1 x cos 2º¡1 x dx
1
= B (¹; º)F (%; ¹; ¹+º; k 2 )
2
2
%
2
(1 ¡ k sin x)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
EH I 115(7)
2:
Z
¼
2
0
sin2¹¡1 x cos 2º¡1 x dx
B(¹; º)
=
2
2
¹+º
2(1 ¡ k 2 )¹
(1 ¡ k sin x)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
EH I 10(20)
BI ((54))(10)
4:
8
Z
¼
2
cos ¹ x(1 ¡ k 2 sin2 x)
0
•
¶
1¡¹
(1 + k)¡¹ ¡ (1 + k)¡¹ ³
¹´
p
=
¡ 1+
¡
2k¹ ¼
2
2
[¡2 < Re ¹ < 1]:
sin¹+1 x dx
¹+1
2
BI ((61))(5)
3.682
Z
¼
2
0
sin¹ x cos º x
1
dx = % B
2
%
(a ¡ b cos x)
2a
•
¶ •
¶
¹+1 º +1
º+1
¹+º
b
;
F
; %;
+ 1;
2
2
2
2
a
[Re ¹ > ¡1; Re º > ¡1; a > jbj ¸ 0]:
GW ((331))(64)
3.683
1:
Z
¼
4
0
n
(sin 2x¡1) tg
Z
´
+ x dx =
³¼
4
¼
4
0
n
1X1
(cos 2x ¡ 1) ctg x dx = ¡
=
2
k
n
k=1
1
= ¡ [C
C + Ã(n + 1)]
2
[n ¸ 0]:
BI((34))(8), BI((35))(11)
2:
Z
¼
4
0
¹
¹
(sin 2x¡1) cosec 2x tg
³¼
4
Z
´
+ x dx =
=
¼
4
(cos ¹ 2x ¡ 1) sec ¹ 2x ctg x dx =
0
1
[C
C + Ã(1 ¡ ¹)];
2
[Re ¹ < 1]:
BI ((35))(20)
432
3:
Z
¼
4
(sin
0
2¹
¹
2x¡1) cosec 2x tg
³¼
4
Z
´
+ x dx =
¼
4
0
(cos 2¹ 2x ¡ 1) sec ¹ 2x ctg x dx =
=¡
¼
1
+ ctg ¹¼:
2¹
2
BI ((35))(21)
4:
Z
¼
4
0
(1¡sec ¹ 2x) ctg x dx =
Z
¼
4
0
(1¡cosec ¹ 2x) tg
³¼
´
1
+ x dx = [C
C+Ã(1¡¹)]
4
2
[Re ¹ < 1]:
Z
¼
4
0
(ctg ¹ x ¡ 1) dx
=
(cos x ¡ sin x) sin x
Z
¼
2
0
(tg ¹ x ¡ 1) dx
= ¡C ¡Ã(1¡¹)
(sin x ¡ cos x) cos x
[Re ¹ < 1]:
BI ((37))(9)
3.685
1:
Z
¼
4
(sin
¹¡1
0
2x¡sin
º¡1
2x) tg
³¼
4
Z
´
+ x dx =
=
¼
4
0
(cos¹¡1 2x ¡ cos º¡1 2x) ctg x dx =
1
[Ã(º) ¡ Ã(¹)]
2
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI((34))(9), BI((35))(12)
2:
Z
¼
2
(sin
¹¡1
0
x¡sin
º¡1
Z
dx
x)
=
cos x
¼
2
0
³ ¹ ´i
1 h ³º ´
dx
=
Ã
¡Ã
sin x
2
2
2
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
(cos ¹¡1 x¡cosº¡1 x)
BI ((46))(2)
3:
Z
¼
2
0
(sin¹ x¡cosec ¹ x)
dx
=
cos x
Z
¼
2
0
(cos¹ x¡sec ¹ x)
dx
¼
¹¼
= ¡ tg
sin x
2
2
[j Re ¹j < 1]:
BI ((46))(1, 3)
4:
Z
¼
4
0
¹
¹
(sin 2x¡cosec 2x) ctg
³¼
4
Z
´
+ x dx =
=
¼
4
0
(cos ¹ 2x ¡ sec ¹ 2x) tg x dx =
1
¼
¡ cosec ¹¼
2¹
2
[j Re ¹j < 1]:
BI ((35))(19, 22)
5:
Z
¼
4
0
¹
¹
(sin 2x¡cosec 2x) tg
³¼
4
Z
´
+ x dx =
¼
4
0
=¡
(cos ¹ 2x ¡ sec ¹ 2x) ctg x dx =
¼
1
+ ctg ¹¼
2¹
2
[j Re ¹j < 1]:
BI ((35))(14)
6:
Z
¼
4
0
(sin¹¡1 2x+cosec ¹ 2x) ctg
³¼
4
Z
´
+ x dx =
¼
4
(cos ¹¡1 2x+sec ¹ 2x) tg x dx =
0
[0 < Re ¹ < 1]:
¼
cosec ¹¼
4
433
Z
7:
¼
4
0
(sin¹¡1 2x¡cosec ¹ 2x) tg
Z
´
+ x dx =
³¼
4
¼
4
0
(cos ¹¡1 2x¡sec ¹ 2x) ctg x dx =
¼
ctg ¹¼
2
[0 < Re ¹ < 1]:
BI((35))(7), LI((34))(10)
3.686
Z
¼
2
0
tg x dx
=
cos ¹ x + sec ¹ x
Z
¼
2
0
ctg x dx
¼
=
:
sin¹ x + cosec ¹ x
4¹
BI((47))(28), BI((49))(14)
3.687
1:
Z
¼
2
0
sin¹¡1 x + sinº¡1
cos ¹+º¡1 x
¶
º¡¹
¼
³¹ º ´
x
cos ¹¡1 x + cos º¡1 x
4
•
¶
dx =
dx
=
;
B
º+¹
2 2
sin¹+º¡1 x
0
2 cos
¼
4
[Re ¹ > 0; Re º > 0; Re(¹ + º) < 2]:
Z
¼
2
cos
•
BI ((46))(7)
2:
Z
¼
2
0
sin¹¡1 x ¡ sinº¡1
cos ¹+º¡1 x
¶
º¡¹
Z ¼2
¼
sin
³¹ º ´
x
cos ¹¡1 x ¡ cos º¡1 x
4
¡
¢
dx =
dx
=
B
;
2 2
sin¹+º¡1 x
2 sin º+¹
0
4 ¼
[Re ¹ > 0; Re º > 0; Re(¹ + º) < 4]:
•
BI((46))(8)
3:
Z
¼
2
0
sin¹ x + sinº x
ctg x dx =
sin¹+º x + 1
Z
¼
2
0
•
¶
cos ¹ x + cosº x
¼
¹¡º ¼
¢
tg
x
dx
=
sec
cos ¹+º x + 1
¹+º
¹+º 2
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
BI ((49))(15)A, BI ((47))(29)
4:
Z
¼
2
0
sin¹ x ¡ sinº x
ctg x dx =
sin¹+º x ¡ 1
Z
¼
2
0
•
¶
cos ¹ x ¡ cosº x
¼
¹¡º ¼
¢
tg x dx =
tg
cos ¹+º x ¡ 1
¹+º
¹+º 2
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
BI((149))(16)A, BI((47))(30)
BI ((49))(12)
6:
Z
¼
2
0
³¹ ¼ ´
cos ¹ x ¡ sec ¹ x
¼
¢
tg
x
dx
=
tg
cos º x ¡ sec º x
2º
º 2
[j Re º j > j Re ¹j]:
BI ((49))(13)
3.688
1:
2:
Z
Z
¼
4
0
¼
4
0
tg º x ¡ tg ¹ x dx
¢
= Ã(¹) ¡ Ã(º)
cos x ¡ sin x sin x
tg ¹ x ¡ tg 1¡¹ x dx
¢
= ¼ ctg ¹¼
cos x ¡ sin x
sin x
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((37))(10)
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((37))(11)
434
3:
Z
¼
4
0
(tg ¹ x + ctg ¹ x) dx =
¼
¹¼
sec
2
2
[j Re ¹j < 1]:
BI ((35))(9)
4:
Z
¼
4
0
(tg ¹ x ¡ ctg ¹ x) tg x dx =
1
¼
¹¼
¡ cosec
¹
2
2
[0 < Re ¹ < 2]:
BI ((35))(15)
5:
Z
¼
4
0
tg ¹¡1 x ¡ ctg ¹¡1 x
¼
¹¼
dx = ctg
cos 2x
2
2
[j Re ¹j < 2]:
BI ((35))(10)
6:
Z
¼
4
0
tg ¹ x ¡ ctg ¹ x
¼
¹¼
1
tg x dx = ¡ + ctg
cos 2x
¹
2
2
[¡2 < Re ¹ < 0]:
BI ((35))(23)
7:
Z
¼
4
0
tg ¹ x + ctg ¹ x
dx = ¼ cosec t cosec ¹¼ sin ¹t
1 + cos t sin 2x
[t=
= n¼;
j Re ¹j < 1]:
8:
Z
¼
4
0
tg ¹¡1 x + ctg ¹ x
dx = ¼ cosec ¹¼
(sin x + cos x) cos x
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((37))(3)
9:
Z
¼
4
0
tg ¹ x ¡ ctg ¹ x
1
dx = ¡¼ cosec ¹¼ +
(sin x + cos x) cos x
¹
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((37))(4)
10:
Z
¼
4
0
tg º x ¡ ctg ¹ x
dx = Ã(1¡¹)¡Ã(1+º)
(cos x ¡ sin x) cos x
Re º > ¡1]:
[Re ¹ < 1;
BI ((37))(5)
11:
Z
¼
4
0
tg ¹¡1 x ¡ ctg ¹ x
dx = ¼ ctg ¹¼
(cos x ¡ sin x) cos x
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((37))(7)
12:
Z
¼
4
0
tg ¹ x ¡ ctg ¹ x
1
dx = ¼ ctg ¹¼ ¡
(cos x ¡ sin x) cos x
¹
[0 < Re ¹ < 1]:
BI ((37))(8)
13:
Z
¼
4
1
dx
¼
¢
=
¹
tg x + ctg x sin 2x
8¹
¹
0
[Re ¹=
= 0]:
BI ((37))(12)
14:
Z
¼
2
0
1
dx
¢
=
¹
¹
º
(tg x + ctg x) tg x
Z
¼
2
0
p
1
¼
dx
¢
= 2º+1
¹
¹
º
(tg x + ctg x) sin 2x
2
¹
¡(º)
•
¶
1
¡ º+
2
[º > 0]:
BI((49))(25), BI((49))(26)
15:
Z
¼
4
0
(tg ¹ x¡ctg ¹ x)(tg º x¡ctg º x) dx =
º¼
2¼ sin ¹¼
2 sin 2
cos ¹¼ + cos º¼
[j Re ¹j < 1;
j Re º j < 1]:
16:
Z
¼
4
(tg ¹ x+ctg ¹ x)(tg º x+ctg º x) dx =
0
º¼
2¼ cos ¹¼
2 cos 2
cos ¹¼ + cos º¼
[j Re ¹j < 1;
j Re º j < 1]:
BI ((35))(16)
435
17:
Z
¼
4
0
(tg ¹ x ¡ ctg ¹ x)(tg º x + ctg º x)
sin ¹¼
dx = ¡¼
cos 2x
cos ¹¼ + cos º¼
[j Re ¹j < 1;
j Re º j < 1]:
BI ((35))(25)
18:
19:
Z
Z
¼
4
0
¼
4
0
tg º x ¡ ctg º x
dx
¼
º¼
¢
=
tg
tg ¹ x ¡ ctg ¹ x sin 2x
4¹
2¹
tg º x + ctg º x
dx
¼
º¼
¢
=
sec
¹
¹
tg x + ctg x sin 2x
4¹
2¹
[0 < Re º < 1]:
BI ((37))(14)
[0 < Re º < 1]:
BI ((37))(13)
20:
Z
¼
2
0
(1 + tg x)º ¡ 1
dx
= Ã(¹ + º) ¡ Ã(¹)
¹+º
(1 + tg x)
sin x cos x
[¹ > 0;
º > 0]:
BI ((49))(29)
3.689
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
(sin¹ x + cosec ¹ x) ctg x dx
¼
¹¼
¹t
= cosec t cosec
sin
sinº x ¡ 2 cos t + cosec º x
º
º
º
[¹ < º]:
LI ((50))(14)
¼
sin¹ x ¡ 2 cos t1 + cosec ¹ x
¹¼
¹t2 t2
¢ctg x dx = cosec t2 cosec
¡ cosec t2 cos t1
sin
sinº x + 2 cos t2 + cosec º x
º
º
º
º
[º > ¹ > 0 or º < ¹ < 0 or ¹ > 0; º < 0 and ¹ + º < 0
or ¹ < 0; º > 0 and ¹ + º > 0]:
BI ((50))(15)
3.69- 3.71 Trigonometric functions of more complicated arguments
3.69- 3.71 Trigonometric functions of more complicated arguments
3.691
1:
Z
1
2
sin(ax ) dx =
0
Z
1
0
1
cos ax dx =
2
2
r
¼
2a
[a > 0]:
FI II 743a, ET I 64(7)a
2:
3:
Z
Z
2
sin(ax ) dx =
r
¼ p
S( a)
2a
[a > 0]:
2
r
p
¼
C( a)
2a
[a > 0]:
1
0
1
cos(ax ) dx =
0
ET I 8(5)a
4:
Z
1
2
sin(ax ) sin 2bx dx =
0
r
¼
2a
½
b2
cos C
a
•
b
p
a
¶
b2
+ sin S
a
•
b
p
a
¶¾
[a > 0;
b > 0]:
ET I 82(1)a
5:
Z
1
0
1
sin(ax ) cos 2bx dx =
2
2
r
¼
2a
½
b2
b2
cos
¡ sin
a
a
¾
r
• 2
¶
¼
1 ¼
b
=
cos
+
2 a
a
4
[a > 0; b > 0]:
ET I 82(18), BI((70))(13) GW((334))(5a)
436
6:
Z
1
2
cos ax sin 2bx dx =
0
r
¼
2a
½
sin
b2
C
a
•
b
p
a
¶
¡ cos
b2
S
a
•
b
p
a
¶¾
[a > 0;
b > 0]:
ET I 83(3)a
7:
Z
1
0
cos ax2 cos 2bx dx =
1
2
r
¼
2a
½
cos
b2
b2
+ sin
a
a
¾
[a > 0;
b > 0]:
GW((334))(5a), BI((70))(14), ET I 24(7)
8:
Z
1
0
(cos ax + sin ax) sin(b2 x2 ) dx =
r ½³
• 2¶ ³
• 2 ¶¾
³ a ´´
³ a ´´
1
¼
a
a
=
1 + 2C
cos
¡
1
¡
2S
sin
2b
2
2b
4b2
2b
4b2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 85(22)
9:
Z
1
0
(cos ax + sin ax) cos(b2 x2 ) dx =
r ½³
• 2¶ ³
• 2 ¶¾
³ a ´´
³ a ´´
a
a
1
¼
=
1 + 2C
sin
cos
+ 1 ¡ 2S
2
2b
2
2b
4b
2b
4b2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 25(21)
10:
Z
1
0
p
¼
2bc
sin(a x ) sin 2bx sin 2cx dx =
sin 2 cos
2a
a
2 2
•
b2 + c2
¼
¡
2
a
4
¶
[a > 0; b > 0; c > 0]:
ET I 84(15)
11:
Z
1
sin(a2 x2 ) cos 2bx cos 2cx dx =
0
p
2bc
¼
cos 2 cos
2a
a
•
¼
b2 + c2
+
a2
4
¶
[a > 0; b > 0; c > 0]:
ET I 84(21)
12:
Z
1
0
p
¼
2bc
cos(a x ) sin 2bx sin 2cx dx =
sin 2 sin
2a
a
2 2
•
¼
b2 + c2
¡
a2
4
¶
[a > 0; b > 0; c > 0]:
ET I 25(19)
13:
14:
Z
Z
1
0
1
0
r •
¶
1
1 ¼
1
p
+p
sin(ax ) cos(bx ) dx =
4 2
a+b
a¡b
r •
¶
1 ¼
1
1
p
=
¡p
4 2
b+a
b¡a
2
2
(sin2 ax2 ¡ sin2 bx2 ) dx =
1
8
•r
¼
¡
b
r ¶
¼
a
[a > 0;
[a > b > 0];
[b > a > 0]:
BI ((177))(21)
b > 0]:
BI ((178))(1)
15:
Z
1
0
1
(cos ax ¡ sin bx ) dx =
8
2
2
2
2
•r
¼
+
b
r ¶
¼
a
[a > 0;
b > 0]:
BI ((178))(3)
BI ((178))(5)
437
17:
Z
1
0
p
1
(sin ax ¡sin bx ) x =
(8¡ 2)
64
4
2
4
2
•r
¼
¡
b
r ¶
¼
a
[a > 0;
b > 0]:
BI ((178))(2)
18:
Z
1
0
1
(cos ax ¡sin bx ) dx =
8
4
2
4
2
•r
¼
+
a
r ¶
r ¶
•r
¼
¼
¼
1
¡
+
b
32
2a
2b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((178))(4)
19:
Z
1
0
p
1
(cos ax ¡cos bx ) dx =
(8+ 2)
64
4
2
4
2
•r
¼
¡
a
r ¶
¼
b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((178))(6)
20:
21:
Z
Z
1
sin2n ax2 dx =
0
1
sin
2n+1
Z
1
0
2
(ax ) dx =
0
cos 2n ax2 dx = 1:
BI ((177))(5, 6)
1
22n+1
n
X
k=0
n+k
(¡1)
•
2n + 1
k
¶r
¼
2(2n ¡ 2k + 1)a
[a > 0]:
BI ((70))(9)
22:
Z
1
cos
2n+1
2
(ax ) dx =
0
1
22n+1
¶r
n •
X
2n + 1
k
k=0
¼
2(2n ¡ 2k + 1)a
[a > 0]:
BI((177))(7)A, BI((70))(10)
3.692
1:
Z
1
0
2
2
[sin(a ¡ x ) + cos(a ¡ x )] dx =
r
¼
sin a:
a
GW((333))(30c), BI((178))(7)a
GW((333))(30c), BI((178))(7)a
2:
Z
1
0
cos
•
x2
¼
¡
2
8
¶
cos ax dx =
r
¼
cos
2
•
a2
¼
¡
2
8
¶
[a > 0]:
ET I 24(8)
3:
Z
1
0
1
sin[a(1 ¡ x )] cos bx dx = ¡
2
2
r
•
¶
¼
b2
¼
cos a +
+
a
4a
4
[a > 0]:
ET I 23(2)
4:
Z
1
0
1
cos[a(1 ¡ x )] cos bx dx =
2
2
r
•
¶
b2
¼
¼
sin a +
+
a
4a
4
[a > 0]:
ET I 24(10)
5:
Z
1
0
•
b2
sin ax +
a
2
¶
cos 2bx dx =
Z
1
0
•
b2
cos ax +
a
2
¶
1
cos 2bx dx =
2
r
¼
2a
[a > 0]:
BI ((70))(19, 20)
3.693
1:
Z
1
sin(ax2 +2bx) dx =
0
r
¼
2a
½
cos
b2
a
•
1
¡ S2
2
•
b2
a
¶¶
•
• 2 ¶¶¾
b2 1
b
¡ C2
a 2
a
[see Use of Tables]
¡ sin
[a > 0]
BI ((70))(3)
2:
Z
1
2
cos(ax +2bx) dx =
0
r
¼
2a
½
b2
cos
a
•
1
¡ C2
2
•
b2
a
¶¶
•
• 2 ¶¶¾
b2 1
b
¡ S2
+ sin
a 2
a
[see Use of Tables]
[a > 0]
BI ((70))(4)
438
3.694
1:
Z
1
0
2
sin(ax +2bx+c) dx =
r
½•
•
¾
• 2 ¶¶
• 2 ¶¶
¼
b2
1
1
b
b
¡ C2
¡ S2
cos
sin c +
cos c +
2a
a
2
a
2
a
r
½•
•
¶¶
•
•
¶¶
¾
¼
b2
1
b2
1
b2
¡ S2
¡ C2
+
sin
sin c ¡
cos c
2a
a
2
a
2
a
[a > 0]
[see Use of Tables]
2:
Z
1
2
cos(ax +2bx+c) dx =
0
r
½•
¾
•
• 2 ¶¶
• 2 ¶¶
1
¼
b2
1
b
b
¡ C2
¡ S2
cos
cos c ¡
sin c +
2a
a
2
a
2
a
r
½•
•
¾
• 2 ¶¶
• 2 ¶¶
1
1
¼
b2
b
b
¡ S2
¡ C2
sin
cos c +
sin c
+
2a
a
2
a
2
a
[a > 0]
[see Use of Tables ]
GW ((334))(4b)
3.695
1:
Z
1
0
¼
sin(a x ) sin(bx) dx =
6a
3 3
r
b
3a
(
Ã
J 13
2b
3a
r
b
3a
!
Ã
+ J¡ 13
2b
3a
r
[a > 0;
b
3a
!
p
3
K1
¡
3
¼
Ã
2b
3a
r
b
3a
!)
b > 0]:
ET I 83(5)
2:
Z
1
0
¼
cos(a x ) cos(bx) dx =
6a
3 3
r
b
3a
(
J 13
Ã
2b
3a
r
b
3a
!
+ J¡ 31
Ã
2b
3a
[a > 0;
r
b
3a
!
p
3
K 13
+
¼
Ã
2b
3a
r
b
3a
!)
b > 0]:
ET I 24(11)
3.696
1:
Z
1
0
¼
sin(ax4 ) sin(bx2 ) dx = ¡
4
r
b
sin
2a
•
¶
• 2¶
3
b2
b
¡ ¼ J 14
8a 8
8a
[a > 0;
b > 0]:
ET I 83(2)
2:
Z
1
0
¼
sin(ax ) cos(bx ) dx = ¡
4
4
2
r
b
sin
2a
•
¼
b2
¡
8a
8
¶
J¡ 41
•
b2
8a
¶
[a > 0;
b > 0]:
ET I 84(19)
3:
Z
1
0
¼
cos(ax ) sin(bx ) dx =
4
4
2
r
b
cos
2a
•
3
b2
¡ ¼
8a
8
¶
J 14
•
b2
8a
¶
[a > 0;
b > 0]:
ET I 83(4), ET I 25(24)
4:
Z
1
0
¼
cos(ax ) cos(bx ) dx =
4
4
2
r
b
cos
2a
•
¼
b2
¡
8a
8
¶
J¡ 14
•
b2
8a
¶
[a > 0;
b > 0]:
ET I 25(25)
3.697
Z
1
sin
0
•
a2
x
¶
p
a¼
sin(bx) dx = p J1 (2a b)
2 b
[a > 0;
b > 0]:
ET I 83(6)
439
3.698
Z
1:
1
sin
0
•
a2
x2
¶
1
sin(b x ) dx =
4b
2 2
r
¼
[sin 2ab¡cos 2ab+e¡2ab ]
2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 83(9)
2:
8
Z
1
sin
0
•
a2
x2
¶
1
cos(b x ) dx =
4b
2 2
r
¼
[sin 2ab + cos 2ab ¡ e¡2ab ]
2
ET I 24(13)
3:
Z
1
cos
0
•
a2
x2
¶
1
sin(b x ) dx =
4b
2 2
r
¼
[sin 2ab+cos 2ab+e¡2ab ]
2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 84(12)
4:
Z
1
0
cos
•
a2
x2
¶
1
cos(b x ) dx =
4b
2 2
r
¼
[cos 2ab¡sin 2ab+e¡2ab ]
2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 24(14)
3.699
1:
Z
1
0
•
b2
sin a x + 2
x
2 2
¶
dx =
p
2¼
(cos 2ab + sin 2ab)
4a
[a > 0;
b > 0]:
BI ((70))(27)
2:
Z
1
0
•
b2
cos a x + 2
x
2 2
¶
dx =
p
2¼
(cos 2ab ¡ sin 2ab)
4a
[a > 0;
b > 0]:
BI ((70))(28)
BI((179))(11, 12)A, ET I 83(6)
Z
4:
1
0
•
b2
sin a x ¡ 2
x
2 2
¶
dx =
p
2¼ ¡2ab
e
4a
[a > 0;
b > 0]:
GW ((334))(9b)a
Z
5:
1
0
•
b2
cos a x ¡ 2
x
2 2
¶
dx =
p
2¼ ¡2ab
e
4a
[a > 0;
b > 0]:
GW ((334))(9b)a
3.711
Z
u
0
p
p
¼au
sin(a u2 ¡ x2 ) cos bx dx = p
J1 (u a2 + b2 )
2 a2 + b2
[a > 0;
b > 0;
u > 0]:
ET I 27(37)
3.712
1:
Z
1
¡
p
sin(ax ) dx =
³ ´
1
p
sin
¼
2p
1
pa p
0
[a > 0;
p > 1]:
EH I 13(40)
440
2:
Z
1
¡
p
cos(ax ) dx =
0
³ ´
1
p
cos
1
pa p
¼
2p
[a > 0;
p > 1]:
EH I 13(39)
3.713
1:
Z
1
0
1
1 X (¡b)k ¡ kq+1
sin(ax +bx ) dx =
a p ¡
p
k!
p
q
k=0
•
kq + 1
p
[a > 0;
¶
∙
k(q ¡ p) + 1
sin
¼
2p
b > 0;
p > 0;
¸
q > 0]:
BI ((70))(7)
2:
Z
1
0
cos(axp +bxq ) dx =
1
1 X (¡b)k ¡(kq+1)=p
a
¡
p
k!
k=0
[a > 0;
•
kq + 1
p
b > 0;
¶
cos
∙
p > 0;
k(q ¡ p) + 1
¼
2p
q > 0]:
¸
BI ((70))(8)
3.714
1:
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
Z
1
cos(z sh x) dx = K0 (z)
[Re z > 0]:
0
WA 202(14)
1
sin(z ch x) dx =
0
¼
J0 (z)
2
[Re z > 0]:
MO 36
1
0
¼
cos(z ch x) dx = ¡ N0 (z)
2
[Re z > 0]:
MO 37
1
¹¼
K¹ (z)
2
cos(z sh x) ch ¹x dx = cos
0
j Re ¹j < 1]:
[Re z > 0;
WA 202(13)
¼
cos(z ch x) sin
2¹
x dx =
p
0
• ¶¹ •
¶
1
2
¼
¡ ¹+
I¹ (z)
z
2
∙
Re z > 0;
¸
1
Re ¹ > ¡
:
2
WH
3.715
1:
Z
¼
sin(z sin x) sin ax dx = sin a¼s0; a (z) = sin a¼
0
1
X
k=1
(12
¡
(¡1)k¡1 z 2k¡1
¡ a2 ) . . . [(2k ¡ 1)2 ¡ a2 ]
a2 )(32
[a > 0]:
WA 338(13)
2:
Z
¼
sin(z sin x) sin nx dx =
0
1
2
Z
¼
sin(z sin x) sin nx dx =
¡¼
n
= [1 ¡ (¡1) ]
Z
¼
2
0
¼
sin(z sin x) sin nx dx = [1 ¡ (¡1)n ] Jn (z)
2
[n = 0; §1; §2; . . . ]:
3:
Z
¼
2
sin(z sin x) sin 2x dx =
0
2
(sin z ¡ z cos z):
z2
LI ((43))(14)
4:
Z
¼
sin(z sin x) cos ax dx = (1 + cos a¼)s0; a (z) =
0
1
X
= (1 + cos a¼)
k=1
(¡1)k¡1 z 2k¡1
(12 ¡ a2 )(32 ¡ a2 ) . . . [(2k ¡ 1)2 ¡ a2 ]
[a > 0]:
WA 338(14)
5:
6:
Z
Z
¼
sin(z sin x) cos[(2n + 1)x] dx = 0:
0
GW ((334))(53b)
¼
cos(z sin x) sin ax dx = ¡a(1 ¡ cos a¼)s¡1; a (z) =
(
)
1
X
(¡1)k¡1 z 2k
1
= ¡a(1 ¡ cos a¼) ¡ 2 +
a
a2 (22 ¡ a2 )(42 ¡ a2 ) . . . [(2k)2 ¡ a2 ]
0
k=1
[a > 0]:
WA 338(12)
7:
8:
Z
Z
¼
cos(z sin x) sin 2nx dx = 0:
0
GW ((334))(54a)
¼
cos(z sin x) cos ax dx = ¡a sin a¼s¡1; a (z) =
(
)
1
X
(¡1)k¡1 z 2k
1
= ¡a sin a¼ ¡ 2 +
a
a2 (22 ¡ a2 )(42 ¡ a2 ) . . . [(2k)2 ¡ a2 ]
0
k=1
[a > 0]:
WA 338(11)
9:
Z
¼
cos(z sin x) cos nx dx =
0
1
2
Z
¼
cos(z sin x) cos nx dx =
¡¼
n
= [1 + (¡1) ]
Z
¼
2
0
¼
cos(z sin x) cos nx dx = [1 + (¡1)n ] Jn (z):
2
10:
Z
¼
2
cos(z sin x) cos
2n
0
∙
¼ (2n ¡ 1)!!
x dx =
Jn (z)
2
zn
¸
1
Re n > ¡
:
2
FI II 486, WA 35a
11:
Z
¼
2
sin(z cos x) sin 2x dx =
0
2
(sin z ¡ z cos z):
z2
LI ((43))(15)
12:
Z
¼
2
a¼
¼
a¼
s0; a (z) = cosec
[Jº (z) ¡ J¡ º(z)] =
2
4
2
a¼
¼
[Eº (z) + E¡º (z)] =
= ¡ sec
4
4
1
a¼ X
(¡1)k¡1 z 2k¡1
= cos
2
(12 ¡ a2 )(32 ¡ a2 ) . . . [(2k ¡ 1)2 ¡ a2 ]
sin(z cos x) cos ax dx = cos
0
[a > 0]:
k=1
WA 339
442
13:
Z
¼
0
1
sin(z cos x) cos nx dx =
2
Z
¼
sin(z cos x) cos nx dx = ¼ sin
¡¼
n¼
Jn (z):
2
GW ((334))(55b)
14:
15:
16:
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
sin(z cos x) cos[(2n + 1)x] dx = (¡1)n J2n+1 (z):
2
WA 30(8)
¼
2
sin(a cos x) tg x dx = si(a) +
0
¼
2
[a > 0]:
BI ((43))(17)
¼
2
sin(z cos x) sin
0
2º
¶
p • ¶º •
¼ 2
1
x dx =
¡ º+
Hº (z)
2
z
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
WA 358(1)
17:
Z
¼
2
0
a¼
s¡1; a (z) =
2
a¼
¼
a¼
¼
= sec
[Jº (z) + J¡º (z)] = cosec
[Eº (z) ¡ E¡º (z)] =
4
2 (
4
2
)
1
X
a¼
(¡1)k¡1 z 2k
1
= ¡a sin
¡ 2 +
2
a
a2 (22 ¡ a2 )(42 ¡ a2 ) . . . [(2k)2 ¡ a2 ]
cos(z cos x) cos ax dx = ¡a sin
k=1
[a > 0]:
18:
Z
¼
0
1
cos(z cos x) cos nx dx =
2
Z
¼
cos(z cos x) cos nx dx = ¼ cos
¡¼
n¼
Jn (z):
2
GW ((334))(56b)
19:
Z
¼
2
0
cos(z cos x) cos 2nx dx = (¡1)n ¢
¼
J2n (z):
2
WA 30(9)
20:
Z
¼
2
cos(z cos x) sin
2º
0
¶
p • ¶º •
¼ 2
1
x dx =
¡ º+
Jº (z)
2
z
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
WA 35, WH
21:
Z
¼
cos(z cos x) sin
2¹
x dx =
0
p
• ¶¹ •
¶
1
2
¼
¡ ¹+
J¹ (z)
z
2
∙
¸
1
Re ¹ > ¡
:
2
WH
3.716
1:
Z
¼
2
sin(a tg x) dx =
0
1 ¡a
[e Ei(a) ¡ ea Ei(¡a)]
2
[a > 0]
(cf. 3.723 1.).
3.723
BI ((43))(1)
2:
3:
4:
Z
Z
Z
¼
2
cos(a tg x) dx =
0
¼ ¡a
e
2
[a ¸ 0]:
BI ((43))(2)
¼
2
sin(a tg x) sin 2x dx =
0
a¼ ¡a
e
2
[a ¸ 0]:
BI ((43))(7)
¼
2
0
cos(a tg x) sin2 x dx =
1 ¡ a ¡a
¼e
4
[a ¸ 0]:
5:
Z
¼
2
cos(a tg x) cos2 x dx =
0
1 + a ¡a
¼e
4
[a ¸ 0]:
BI ((43))(9)
6:
Z
¼
2
sin(a tg x) tg x dx =
0
¼ ¡a
e
2
[a > 0]:
BI ((43))(5)
7:
Z
¼
2
0
1
cos(a tg x) tg x dx = ¡ [e¡a Ei(a)+ea Ei(¡a)]
2
[a > 0]
(cf. 3.723 5.).
3.723
BI ((43))(6)
8:
9:
Z
Z
¼
2
sin(a tg x) sin2 x tg x dx =
0
2 ¡ a ¡a
¼e
4
[a > 0]:
BI ((43))(11)
¼
2
sin2 (a tg x) dx =
0
¼
(1 ¡ e¡2a )
4
[a ¸ 0]
(cf. 3.742 1.).
3.742
BI ((43))(3)
10:
Z
¼
2
0
cos 2 (a tg x) dx =
¼
(1 + e¡2a )
4
[a ¸ 0]
(cf. 3.742 3.).
3.742
BI ((43))(4)
11:
Z
¼
2
0
sin2 (a tg x) ctg 2 x dx =
¼ ¡2a
(e
+ 2a ¡ 1)
4
[a ¸ 0]:
12:
Z
¼
2
0
[1 ¡ sec2 x cos(tg x)]
dx
= C:
tg x
BI ((51))(14)
13:
Z
¼
2
sin(a ctg x) sin 2x dx =
0
a¼ ¡a
e
2
[a ¸ 0]
(cf. 3.716 3.),
3.716
and in general, formulas 3.716 remain valid if we replace tg x in the argument of the sine or cosine with ctg x if we also replace
sin x with cos x, cos x with sin x, hence tg x with ctg x, ctg x with tg x, sec x with cosec x, and cosec x with sec x in the factors.
Analogously,
3.717
Z
¼
2
0
dx
sin(a cosec x) sin(a ctg x)
=
cos x
Z
¼
2
sin(a sec x ) sin(a tg x)
0
dx
¼
= sin a
sin x
2
[a ¸ 0]:
BI ((52))(11, 12)
3.718
1:
2:
Z
Z
¼
2
sin
0
¼
2
0
³¼
2
Z
´
p ¡ a tg x tg p¡1 x dx =
sin(a tg x ¡ ºx) sinº¡2 x dx = 0
¼
2
cos
0
³¼
´
¼
p ¡ a tg x tg p x dx = e¡a
2
2
[p2 < 1; p=
= 0; a ¸ 0]:
[Re º > 0;
BI ((44))(5, 6)
a > 0]:
NH 157(15)
444
3:
Z
¼
2
sin(n tg x + ºx)
0
cos º¡1 x
¼
dx =
sin x
2
[Re º > 0]:
BI ((51))(15)
LO V 153(112), NT 157(14)
Z
5:
¼
2
cos(a tg x + ºx) cos º x dx = 2¡º¡1 ¼e¡a
[Re º > ¡1;
0
a ¸ 0]:
BI ((44))(4)
Z
6:
¼
2
º
W ° ; ¡ º+1 (2a)
¼a 2
2
¶
cos(a tg x ¡ °x) cos x dx = º +1 ¢ •2
°+º
22
¡ 1+
2
¸
∙
º+°
= ¡ 1; ¡2; . . . :
=
a > 0; Re º > ¡1;
2
º
0
EH I 274(13)a
Z
7:
¼
2
sin nx ¡ sin(nx ¡ a tg x)
cos n¡1 x dx =
sin x
0
½
¼=2
¼(1 ¡ e¡a )
[n = 0;
[n = 1;
a > 0];
a ¸ 0]:
LO V 153(114)
3.719
1:
6
2:
3:
Z
Z
Z
¼
sin(ºx ¡ z sin x) dx = ¼Eº (z):
0
WA 336(2)
¼
cos(nx ¡ z sin x) dx = ¼Jn (z):
0
WH
¼
cos(ºx ¡ z sin x) dx = ¼Jº (z):
0
WA 336(1)
3.72- 3.74 Combinations of trigonometric and rational functions
3.721
1:
Z
1
0
sin(ax)
¼
dx = sign a:
x
2
Z
2:
1
1
sin(ax)
dx = ¡ si(a):
x
BI 203(1)
Z
3:
1
1
cos(ax)
dx ¡ ci(a):
x
BI 203(5)
3.722
Z
1:
1
0
sin(ax)
dx = ci(a¯) sin(a¯)¡cos(a¯) si(a¯)
x+¯
[j arg ¯ j < ¼;
a > 0]:
BI((16))(1), FI II 646a
445
2:7
Z
3:
Z
1
sin(ax)
dx = ¼eia¯
x
+
¯
¡1
1
0
[a > 0;
Im ¯ > 0]:
cos(ax)
dx = ¡ sin(a¯) si(a¯)¡cos(a¯) ci(a¯)
x+¯
[j arg ¯ j < ¼;
a > 0]:
ET I 8(7), BI((160))(2)
¤
Z
5:¤
Z
4:
1
cos(ax)
dx = ¡i¼eiab
¡1 x + ¯
1
0
[a > 0;
Im ¯ > 0]:
sin(ax)
dx = sin(¯a) ci(¯a) ¡ cos(¯a)[si(¯a) + ¼]
¯ ¡x
[a > 0; ¯ not real and positive ]:
FI II 646, BI((161))(1)
6:
8
Z
1
sin(ax)
dx = ¡¼eia¯
¡1 ¯ ¡ x
[a > 0;
Im ¯ > 0]:
7:¤
Z
1
0
cos(ax)
dx = ¡ cos(a¯) ci(a¯) + sin(a¯)[si(a¯) + ¼]
¯¡x
[a > 0; ¯ not real and positive ]:
ET I 8(8), BI((161))(2)a
8:
7
Z
1
cos(ax)
dx = ¡¼eia¯
¡1 ¯ ¡ x
[a > 0;
Im ¯ > 0]:
3.723
1:
7
Z
1
0
sin(ax)
1 ¡a¯
[e
dx =
Ei(a¯) ¡ ea¯ Ei(¡a¯)]
2
2
¯ +x
2¯
[a > 0;
¯ > 0]:
ET I 65(14), BI((160))(3)
Z
2:
1
0
cos(ax)
¼ ¡a¯
dx =
e
2
2
¯ +x
2¯
[a ¸ 0;
Re ¯ > 0]:
FI II 741, 750, ET I 8(11), WH
Z
3:
1
0
x sin(ax)
¼
dx = e¡a¯
2
2
¯ +x
2
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
FI II 741, 750, ET I 65(15), WH
Z
4:
1
x sin(ax)
dx = ¼e¡a¯
2
2
¡1 ¯ + x
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
BI ((202))(10)
5:
7
Z
1
0
x cos(ax)
1
dx = ¡ [e¡a¯ Ei(a¯) + ea¯ Ei(¡a¯)]
2
2
¯ +x
2
[a > 0;
¯ > 0]:
BI ((160))(6)
6:
Z
1
sin[a(b ¡ x)]
¼
dx = e¡ac sin(ab)
2
2
c +x
c
¡1
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
LI ((202))(9)
7:
Z
1
cos[a(b ¡ x)]
¼
dx = e¡ac cos(ab)
2
2
c +x
c
¡1
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
446
8:
Z
1
0
³
sin(ax)
1h
¼ ´i
sin(a¯)
ci(a¯)
¡
cos(a¯)
si(a¯)
+
dx
=
¯ 2 ¡ x2
¯
2
[j arg ¯ j < ¼;
a > 0]:
BI ((161))(3)
9:
10:
Z
1
0
Z
cos(ax)
¼
sin(ab)
dx =
b2 ¡ x2
2b
1
0
[a > 0;
b > 0]:
BI((161))(5), ET I 9(15)
x sin(ax)
¼
dx = ¡ cos(ab)
b2 ¡ x2
2
[a > 0]:
FI II 647, ET II 252(45)
11:
Z
1
0
h
x cos(ax)
¼i
dx
=
cos(a¯)
ci(a¯)+sin(a¯)
si(a¯)
+
¯ 2 + x2
2
[j arg ¯ j < ¼;
a > 0]:
BI ((161))(6)
12:
Z
1
cos(ab) ¡ 1
sin(ax)
dx = ¼
x(x
¡
b)
b
¡1
[a > 0;
b > 0]:
ET II 252(44)
3.724
1:
Z
1
b + cx
sin(ax) dx =
p
+
2qx + x2
¡1
Ã
!
p 2
cq ¡ b
p
sin(aq) + c cos(aq) ¼e¡a p¡q
p ¡ q2
[a > 0;
p > q 2 ]:
BI ((202))(12)
2:
Z
1
b + cx
cos(ax) dx =
p
+
2qx + x2
¡1
Ã
!
p 2
b ¡ cq
p
cos(aq) + c sin(aq) ¼e¡a p¡q
p ¡ q2
[a > 0;
p > q 2 ]:
BI ((202))(13)
BI ((202))(14)
3.725
Z
1:
1
0
sin(ax) dx
¼
=
(1 ¡ e¡a¯ )
2
2
x(¯ + x )
2¯ 2
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((172))(1)
Z
2:
1
0
sin(ax) dx
¼
= 2 (1 ¡ cos(ab))
2
2
x(b ¡ x )
2b
[a > 0]:
BI ((172))(4)
Z
3:
1
0
¼ ¡¯b
sin(ax) cos(bx)
dx =
e
sh(a¯)
[0 < a < b]:
2
2
x(x + ¯ )
2¯ 2
¼
¼
= ¡ 2 e¡a¯ ch(b¯) + 2
[a > b > 0]:
2¯
2¯
ET I 19(4)
447
3.726
1:
7
2:7
Z
Z
1
0
x sin(ax) dx
=
§ b2 x + bx2 § x3
³
1 h ¡ab
¼ ´i
=§
e
Ei(ab) ¡ eab Ei(¡ab) ¡ 2 ci(ab) sin(ab) + 2 cos(ab) si(ab) +
+
4b
2
¼e¡ab ¡ ¼ cos(ab)
+
[a > 0; b > 0]
4b
ET I 65(21)A, BI((176))(10, 13)
b3
1
0
x2 sin(ax) dx
=
§ b2 x + bx2 § x3
³
1 h ab
¼ ´i
=
e Ei(¡ab) ¡ e¡ab Ei(ab) + 2 ci(ab) sin(ab) ¡ 2 cos(ab) si(ab) +
§
4
2
§¼(e¡ab + cos(ab))
[a > 0; b > 0]
b3
ET I 66(22), BI((176))(11, 14)
3.727
1:
Z
1
0
p
•
¶•
¶
cos(ax) dx
¼ 2
ab
ab
ab
=
exp ¡ p
cos p + sin p
b4 + x4
4b3
2
2
2
[a > 0;
b > 0]:
2:
8
Z
Z
3:
1
0
1
0
³
sin(ax) dx
1 h
¼´
+
=
2
sin(ab)
ci(ab)
¡
2
cos(ab)
si(ab)
+
b4 ¡ x4
4b3
2
+ e¡ab Ei(ab) ¡ eab Ei(¡ab)]
[a > 0; b > 0];
cos(ax) dx
¼
= 3 [e¡ab +sin(ab)]
b4 ¡ x4
4b
[a > 0;
b > 0]
BI ((161))(12)
(cf. 3.723 2. and 3.723 9.).
3.723
BI ((161))(16)
Z
4:
1
0
•
¶
x sin(ax) dx
ab
¼
ab
p
=
exp
¡
sin p
b4 + x4
2b2
2
2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((160))(23)a
Z
5:
1
0
x sin(ax)
¼
dx = 2 [e¡ab ¡ cos(ab)]
b4 ¡ x4
4b
[a > 0;
b > 0];
(cf. 3.723 3. and 3.723 10.).
3.723
BI ((161))(13)
6:
7
Z
1
0
³
x cos(ax) dx
1 h
¼´
=
¡
2
cos(ab)
ci(ab)
+
2
sin(ab)
si(ab)
+
b4 ¡ x4
4b2
2
[a > 0; b > 0];
¡ e¡ab Ei(ab) ¡ eab Ei(¡ab)]
(cf. 3.723 5. and 3.723 11.).
3.723
BI ((161))(17)
448
7:
Z
1
0
p
•
¶•
¶
ab
x2 cos(ax) dx
¼ 2
ab
ab
=
exp ¡ p
cos p ¡ sin p
b4 + x4
4b
2
2
2
[a > 0;
b > 0]:
8:
7
Z
1
0
x2 sin(ax) dx
1
= [2 sin(ab) ci(ab) ¡
4
4
b ¡x
4b
i
³
¼´
¡ e¡ab Ei (ab) + eab Ei (¡ab)
¡ 2 cos(ab) si(ab) +
2
[a > 0; b > 0];
3.723
BI ((161))(14)
9:
Z
1
0
¼
x2 cos(ax) dx
= (sin(ab) ¡ e¡ab )
b4 ¡ x4
4b
[a > 0;
b > 0];
BI ((161))(18)
10:
Z
1
0
•
¶
x3 sin(ax)
¼
ab
ab
dx = exp ¡ p
cos p
4
4
b +x
2
2
2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((160))(24)
11:
Z
1
0
x3 sin(ax)
¡¼ ¡ab
dx =
¡ cos(ab)]
[e
4
4
b ¡x
4
[a > 0;
b > 0];
BI ((161))(15)
12:7
Z
1
0
³
1h
¼´
x3 cos(ax) dx
=
2
cos(ab)
ci(ab)
+
2
sin(ab)
si(ab)
+
+
b4 ¡ x4
4
2
+ e¡ab Ei (ab) + eab Ei(¡ab)]
[a > 0; b > 0];
3.723
BI((161))(19)
3.728
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
cos(ax) dx
¼(¯e¡a° ¡ °e¡a¯ )
=
(¯ 2 + x2 )(° 2 + x2 )
2¯°(¯ 2 ¡ ° 2 )
x sin(ax) dx
¼(e¡a¯ ¡ e¡a° )
=
(¯ 2 + x2 )(° 2 + x2 )
2(° 2 ¡ ¯ 2 )
[a > 0;
Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
BI ((175))(1)
[a > 0;
Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
3:
4:
Z
Z
1
x2 cos(ax) dx
¼(¯e¡a¯ ¡ °e¡a° )
=
2
2
2
+ x )(° + x )
2(¯ 2 ¡ ° 2 )
[a > 0;
(¯ 2
0
1
0
Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
BI ((175))(2)
x3 sin(ax) dx
¼(¯ 2 e¡a¯ ¡ ° 2 e¡a° )
=
(¯ 2 + x2 )(° 2 + x2 )
2(¯ 2 ¡ ° 2 )
[a > 0;
Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
BI ((174))(2)
5:
6:
Z
Z
1
0
1
0
cos(ax) dx
¼(b sin(ac) ¡ c sin(ab))
=
(b2 ¡ x2 )(c2 ¡ x2 )
2bc(b2 ¡ c2 )
¼(cos(ab) ¡ cos(ac))
x sin(ax) dx
=
(b2 ¡ x2 )(c2 ¡ x2 )
2(b2 ¡ c2 )
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((175))(3)
[a > 0]:
BI ((174))(3)
449
7:
8:
Z
Z
1
x2 cos(ax) dx
¼(c sin(ac) ¡ b sin(ab))
=
¡ x2 )(c2 ¡ x2 )
2(b2 ¡ c2 )
(b2
0
1
[a > 0;
¼(b2 cos(ab) ¡ c2 cos(ac))
x3 sin(ax) dx
=
2
2
2
¡ x )(c ¡ x )
2(b2 ¡ c2 )
(b2
0
b > 0;
c > 0]:
BI ((175))(4)
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((174))(4)
3.729
1:
Z
1
0
cos(ax) dx
¼
= 3 (1 + ab)e¡ab
2
2
2
(b + x )
4b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((170))(7)
2:
Z
1
0
x sin(ax) dx
¼
= ae¡ab
2
2
2
(b + x )
4b
[a > 0;
b > 0]:
3:
Z
1
cos(px)
0
1 ¡ x2
¼p ¡p
dx =
e :
(1 + x2 )2
2
BI ((43))(10)a
4:
Z
1
0
x3 sin(ax) dx
¼
= (2 ¡ ab)e¡ab
(b2 + x2 )2
4
[a > 0;
b > 0]:
BI ((170))(4)
3.731
Notations: 2A2 =
1:
Z
1
p
b4 + c2 + b2 ; 2B 2 =
p
b4 + c2 ¡ b2 ,
cos(ax) dx
¼ e¡aA (B cos(aB) + A sin(aB))
p
=
2
2
2
+b ) +c
2c
b4 + c2
[a > 0;
(x2
0
b > 0;
c > 0]:
BI ((176))(3)
2:
Z
1
0
x sin(ax) dx
¼
= e¡aA sin(aB)
(x2 + b2 )2 + c2
2c
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((176))(1)
3:
Z
1
0
(x2 + b2 ) cos(ax) dx
¼ e¡aA (A cos(aB) ¡ B sin(aB))
p
=
(x2 + b2 )2 + c2
2
b4 + c2
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((176))(4)
4:
Z
1
0
x(x2 + b2 ) sin(ax) dx
¼
= e¡aA cos(aB)
2
2
2
2
(x + b ) + c
2
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((176))(2)
3.732
1:
Z
1
0
∙
¸
1
¼
1
¡
sin(ax) dx = e¡a¯ sin(a°)
¯ 2 + (° ¡ x)2
¯ 2 + (° + x)2
¯
[a > 0; Re ¯ > 0; ° + i¯is not real]:
ET I 65(16)
ET I 8(13)
450
3:
Z
1
0
∙
¸
° ¡x
°+x
¡
sin(ax) dx = ¼e¡a¯ cos(a°)
¯ 2 + (° + x)2
¯ 2 + (° ¡ x)2
[a > 0; Re ¯ > 0; ° + i¯is not real]:
LI ((175))(17)
4:
Z
1
0
∙
° ¡x
°+x
+ 2
2
2
¯ + (° + x)
¯ + (° ¡ x)2
¸
cos(ax) dx = ¼e¡a¯ sin(a°)
[a > 0;
j Im aj < Re ¯]:
LI ((176))(21)
3.733
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
cos(ax) dx
¼
sin(t + ab sin t)
= 3 exp(¡ab cos t)
x4 + 2b2 x2 cos 2t + b4
2b
sin 2t
h
¼i
a > 0; b > 0; jtj <
:
2
x sin(ax) dx
¼
sin(ab sin t)
= 2 exp(¡ab cos t)
4
2
2
4
x + 2b x cos 2t + b
2b
sin 2t
h
a > 0;
BI ((176))(7)
b > 0;
jtj <
¼i
:
2
BI((176))(5), ET I 66(23)
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
x2 cos(ax) dx
¼
sin(t ¡ ab sin t)
=
exp(¡ab cos t)
4
2
2
4
x + 2b x cos 2t + b
2b
sin 2t
h
¼i
a > 0; b > 0; jtj <
:
2
BI ((176))(8)
x3 sin(ax) dx
¼
sin(2t ¡ ab sin t)
= exp(¡ab cos t)
x4 + 2b2 x2 cos 2t + b4
2
sin 2t
h
¼i
a > 0; b > 0; jtj <
:
2
BI ((176))(6)
∙
¸
sin(ax) dx
¼
sin(2t + ab sin t)
= 4 1 ¡ exp(¡ab cos t)
x(x4 + 2b2 x2 cos 2t + b4 )
2b
sin 2t
h
¼i
a > 0; b > 0; jtj <
:
2
3.734
1:
Z
1
0
¶
¸
∙
•
sin(ax) dx
ab
¼
ab
= 4 1 ¡ exp ¡ p
cos p
x(b4 + x4 )
2b
2
2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((172))(7)
2:
Z
1
0
sin(ax) dx
¼
= 4 [2 ¡ e¡ab ¡ cos(ab)]
4
4
x(b ¡ x )
4b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((172))(10)
3.735
Z
1
0
¸
∙
sin(ax) dx
¼
1 ¡ab
= 4 1 ¡ e (2 + ab)
x(b2 + x2 )2
2b
2
[a > 0;
b > 0]:
WH, BI ((172))(22)
451
3.736
1:
Z
1
(b2
0
cos(ax) dx
¼
= 5 [sin(ab) + (2 + ab)e¡ab ]
[a > 0; b > 0]
2
4
4
+ x )(b ¡ x )
8b
(cf. 3.723 3. and 3.729 1.).
3.729
3.723
BI ((176))(5)
2:
Z
1
0
(b2
x sin(ax) dx
¼
= 4 [(1 + ab)e¡ab ¡ cos(ab)]
[a > 0; b > 0]
2
4
4
+ x )(b ¡ x )
8b
(cf. 3.723 3. and 10. and 3.729 2.).
3.729
3.723
BI ((174))(5)
3.729
3.723
BI ((175))(6)
4:
Z
1
0
x3 sin(ax) dx
¼
= 2 [(1 ¡ ab)e¡ab ¡ cos(ab)]
2
2
4
4
(b + x )(b ¡ x )
8b
[a > 0;
b > 0]
(cf. 3.723 3. and 10. and 3.729 2.).
3.729
3.723
BI ((174))(6)}
5:
Z
1
0
x4 cos(ax) dx
¼
[a > 0; b > 0]
= [sin(ab) + (ab ¡ 2)e¡ab ]
2
2
4
4
(b + x )(b ¡ x )
8b
(cf. 3.723 2. and 9. and 3.729 1.).
3.729
3.723
BI ((175))(7)
6:
Z
1
x5 sin(ax) dx
¼
= [(ab ¡ 3)e¡ab ¡ cos(ab)]
[a > 0; b > 0];
+ x2 )(b4 ¡ x4 )
8
(cf. 3.723 3. and 10. and 3.729 2.).
(b2
0
3.729
3.723
BI ((174))(7)
3.737
1:
Z
1
0
n¡1
X (2n ¡ k ¡ 2)!(2ab)k
cos(ax) dx
¼e¡ab
=
;
2
2
n
2n¡1
(b + x )
(2b)
(n ¡ 1)!
k!(n ¡ k ¡ 1)!
k=0
∙ n¡1 • ¡ab p ¶¸
p
e
(¡1)n¡1 ¼
d
= 2n¡1
;
p
b
(n ¡ 1)! dpn¡1
p
p=1
∙
¸
2:
Z
1
0
n¡1
x sin(ax) dx
¼ae¡a¯ X (2n ¡ k ¡ 2)!(2a¯)k
=
(x2 + ¯ 2 )n+1
22n n!¯ 2n¡1
k!(n ¡ k ¡ 1)!
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
k=0
GW ((333))(66c)
3:
£
a > 0;
¸
∙
¼
sin(ax) dx
e¡a¯
=
F
(a¯)
1
¡
n
2
2 n+1
2¯ 2n+2
2n n!
0 x(¯ + x )
¤
0
Re ¯ > 0; F0 (z) = 1; F1 (z) = z + 2; . . . ; Fn (z) = (z + 2n)Fn¡1 (z) ¡ zFn¡1
(z) :
Z
1
GW ((333))(66e)
452
4:
Z
1
0
x sin(ax) dx
¼a
=
(1 + ab)e¡ab
(b2 + x2 )3
16b3
[a > 0;
b > 0]:
BI((170))(5), ET I 67(35)a
5:
Z
1
0
x sin(ax) dx
¼a
=
(3 + 3ab + a2 b2 )e¡ab
(b2 + x2 )4
96b5
[a > 0;
b > 0]:
BI((170))(6), ET I 67(35)a
3.738
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
∙
¸
n
xm¡1 sin(ax)
¼¯ m¡2n X
(2k ¡ 1)¼
dx = ¡
exp ¡a¯ sin
£
x2n + ¯ 2n
2n
2n
k=1
¾
½
(2k ¡ 1)¼
(2k ¡ 1)m¼
£ cos
+ a¯ cos
[m is even];
2n
2n
h
i
¼
; 0 < m ∙ 2n :
a > 0; j arg ¯ j <
2n
∙
¸
n
¼¯ m¡2n X
(2k ¡ 1)¼
xm¡1 cos(ax)
dx =
exp ¡a¯ sin
£
x2n + ¯ 2n
2n
2n
k=1
½
¾
(2k ¡ 1)¼
(2k ¡ 1)m¼
+ a¯ cos
[m is odd];
£ sin
2n
2n
h
i
¼
a > 0; j arg ¯ j <
; 0 < m < 2n + 1 :
2n
ET I 67(38)
1:
Z
1
0
sin(ax) dx
=
+
+ 42 ) . . . (x2 + 4n2 )
" n¡1
• ¶
• ¶#
X
¼(¡1)n
2n
2n
k
2(k¡n)a
n
=
(¡1)
+ (¡1)
e
2
2n+1
(2n)!2
k
n
x(x2
22 )(x2
n ¸ 0]:
[a > 0;
k=0
LI ((174))(8)
2:
Z
1
0
n
cos(ax) dx
(¡1)n
¼ X
=
(¡1)k
(x2 + 12 )(x2 + 32 ) . . . [x2 + (2n + 1)2 ]
(2n + 1)! 22n+1
k=0
¼2¡2n¡1
=
(2n + 1)(n!)2
[a ¸ 0;
•
2n + 1
k
¶
e(2k¡2n¡1)a
n ¸ 0]
[a = 0;
n ¸ 0]:
BI((175))(8)
3:
Z
1
0
x sin(ax) dx
=
(x2 + 12 )(x2 + 32 ) . . . [x2 + (2n + 1)2 ]
•
¶
n
X
¼(¡1)n
2n + 1
=
(¡1)k
(2n ¡ 2k + 1)e(2k¡2n¡1)a
2n+1
(2n + 1)!2
k
[a > 0;
k=0
n ¸ 0]:
LI ((174))(9)
453
4:
Z
1
0
n
cos ax dx
¼21¡2n X
=
(¡1)k k
(x2 + 22 )(x2 + 42 ) . . . (x2 + 4n2 )
(2n)!
k=1
•
2n
n¡k
¶
e¡2ak
[n ¸ 1;
a ¸ 0]:
3.741
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
sin(ax) sin(bx)
1
dx = ln
x
4
sin(ax) cos(bx)
¼
dx =
x
2
¼
=
4
•
a+b
a¡b
¶2
[a > 0;
3:
1
0
sin(ax) sin(bx)
a¼
dx =
2
x
2
a=
= b]:
FI II 647
[a > b ¸ 0];
[a = b > 0];
=0
Z
b > 0;
[b > a ¸ 0]:
[0 < a ∙ b];
=
b¼
2
[0 < b ∙ a]:
FI II 645
1:
Z
1
0
sin(ax) sin(bx)
¼ ¡ja¡bj¯ ¡(a+b)¯
(e
dx =
¡e
)
2
2
¯ +x
4¯
[a > 0;
b > 0;
Re ¯ > 0]:
BI((162))(1)A, GW((333))(71a)
2:
Z
1
0
sin(ax) cos(bx)
1 ¡a¯ b¯
e
dx =
fe Ei[¯(a ¡ b)] + e¡b¯ Ei[¯(a + b)]g ¡
2
2
¯ +x
4¯
1
¡ ea¯ feb¯ Ei[¡¯(a + b)] + e¡b¯ Ei[¯(b ¡ a)]g:
4¯
BI ((162))(3)
3:
Z
1
0
cos(ax) cos(bx)
¼ ¡ja¡bj¯ ¡(a+b)¯
dx =
+e
]
[e
2
2
¯ +x
4¯
[a > 0;
b > 0;
Re ¯ > 0]:
BI((163))(1)A, GW((333))(71c)
4:
Z
1
0
x cos(ax) cos(bx)
1
dx = ¡ ea¯ feb¯ Ei[¡¯(a + b)] + e¡b¯ Ei[¯(b ¡ a)]g ¡
2
2
¯ +x
4
1
¡ e¡a¯ feb¯ Ei[¯(a ¡ b)] + e¡b¯ Ei[¯(a + b)]g
4
=1
[a = b]:
[a=
= b];
BI ((163))(2)
5:
Z
1
0
x sin(ax) cos(bx)
¼
dx = e¡a¯ ch(b¯)
[0 < b < a];
x2 + ¯ 2
2
¼
= e¡2a¯
[0 < b = a];
4
¼
= ¡ e¡b¯ sh(a¯)
[0 < a < b]:
2
BI ((162))(4)
454
6:
Z
1
0
sin(ax) sin(bx)
¼
dx = ¡
cos(ap) sin(bp)
[a > b > 0];
p2 ¡ x2
2p
¼
=¡
sin(2ap)
[a = b > 0];
4p
¼
=¡
sin(ap) cos(bp)
[b > a > 0]:
2p
BI ((166))(1)
BI ((166))(1)
Z
7:
1
0
sin(ax) cos(bx)
¼
[a > b > 0];
x dx = ¡ cos(ap) cos(bp)
p2 ¡ x2
2
¼
= ¡ cos(2ap)
[a = b > 0];
4
¼
= sin(ap) sin(bp)
[b > a > 0]:
2
BI ((166))(2)
Z
8:
1
0
cos(ax) cos(bx)
¼
sin(ap) cos(bp)
[a > b > 0];
dx =
2
2
p ¡x
2p
¼
=
sin(2ap)
[a = b > 0];
4p
¼
=
cos(ap) sin(bp)
[b > a > 0]:
2p
BI ((166))(3)
3.743
Z
1:
1
0
dx
sin(ax)
¼ sh(a¯)
¢
=
¢
sin(bx) x2 + ¯ 2
2¯ sh(b¯)
[0 < a < b;
Re ¯ > 0]:
ET I 80(21)
Z
2:
1
0
sin(ax)
x dx
¼ sh(a¯)
¢
=¡ ¢
cos(bx) x2 + ¯ 2
2 ch(b¯)
[0 < a < b;
Re ¯ > 0]:
ET I 81(30)
Z
3:
1
0
cos(ax)
¼ ch(a¯)
x dx
¢
= ¢
sin(bx) x2 + ¯ 2
2 sh(b¯)
[0 < a < b;
Re ¯ > 0]:
ET I 23(37)
Z
4:
1
0
¼ ch(a¯)
cos(ax)
dx
¢
¢
=
cos(bx) x2 + ¯ 2
2¯ ch(b¯)
[0 < a < b;
Re ¯ > 0]:
ET I 23(36)
5:
6
P.V.
Z
1
0
sin(ax)
dx
¢ 2
=0
if 0 ∙ a ∙ 1
sin x
b ¡ x2
¼
= sin(a ¡ 1)b
if 1 ∙ a ∙ 2
b
[b real;
b=¼ 62 Z]:
Z
1
sin(ax)
dx
¼
sh(a¯)
¢
=
¢
2
2
2
cos(bx) x(x + ¯ )
2¯
ch(b¯)
0
[0 < a < b;
Re ¯ > 0]:
ET I 82(32)
3.745
Z
1
sin(ax)
dx
¢
=0
2
cos(bx) x(c ¡ x2 )
0
[0 < a < b;
c > 0]:
ET I 82(31)
455
3.746
Z
1:
Z
2:
1
0
1
0
n
n
k=0
k=1
¼Y
dx Y
sin(ak x) =
ak
n+1
x
2
sin(ax)
dx
xn+1
n
Y
sin(ak x)
m
Y
a0 >
n
X
ak ;
#
ak > 0 :
k=1
cos(bj x) =
j=1
k=1
"
n
¼Y
2
k=1
ak
FI II 646
2
4a >
n
X
k=1
jak j +
m
X
j=1
3
jb j j5 :
WH
3.747
1:7
Z
¼
2
0
#
"
1
³ ¼ ´m 1
X
7
xm
22k¡1 ¡ 1
dx =
+
³(2k) = 2¼G¡ ³(3):
2k¡1
sin x
2
m
4
(m + 2k)
2
[m = 2]:
k=1
LI ((206))(2)
2:
3:
Z
Z
¼
2
0
1
0
x dx
=
sin x
Z
¼
2
0
¡¼
2
¢
¡ x dx
= 2G
G:
cos x
¼
x dx
=
(x2 + b2 ) sin(ax)
2 sh(ab)
BI((204))(18)
[b > 0]:
GW ((333))(79c)
BI ((218))(4)
5:
Z
¼
2
0
x tg x dx = 1:
BI ((205))(2)
6:
Z
¼
4
0
x tg x dx = ¡
1
¼
ln 2 + G = 0:1857845358 . . .
8
2
BI ((204))(1)
7:
Z
¼
2
x ctg x dx =
0
¼
ln 2:
2
FI II 623
8:
Z
¼
4
x ctg x dx =
0
¼
1
ln 2 + G = 0:730 181 0584 . . .
8
2
BI ((204))(2)
9:
10:
11:
Z
Z
Z
¼
2
0
Z
´
´
1 ¼ ³¼
¼
¡ x tg x dx =
¡ x tg x dx = ln 2:
2
2 0
2
2
³¼
1
tg ax
0
dx
¼
=
x
2
GW((333))(33b), BI((218))(12)
[a > 0]:
LO V 279(5)
¼
2
0
x ctg x
¼
dx = ln 2:
cos 2x
4
BI ((206))(12)
3.748
1:
Z
¼
4
m
x
0
1
1 ³ ¼ ´m X (4k ¡ 1)³(2k)
tg x dx =
:
2 4
42k¡1 (m + 2k)
k=1
456
Z
2:
Z
3:
¼
2
p
x ctg x dx =
0
¼
4
m
x
0
³ ¼ ´p
2
(
)
1
X
1
1
¡2
³(2k) :
p
4k (p + 2k)
1 ³ ¼ ´m
ctg x dx =
2 4
k=1
"
#
1
X
³(2k)
2
¡
:
m
42k¡1 (m + 2k)
LI ((205))(7)
k=1
LI ((204))(6)
3.749
Z
1:
1
0
x tg(ax) dx
¼
= 2ab
2
2
x +b
e +1
[a > 0;
b > 0]:
GW ((333))(79a)
Z
2:
1
0
x ctg(ax) dx
¼
= 2ab
2
2
x +b
e ¡1
[a > 0;
b > 0]:
GW ((333))(79b)
Z
3:
1
0
x tg(ax) dx
=
b2 ¡ x2
Z
1
0
x ctg(ax) dx
=
b2 ¡ x2
Z
1
0
x cosec(ax) dx
= 1:
b2 ¡ x2
BI ((161))(7, 8, 9)
3.75 Combinations of trigonometric and algebraic functions
3.751
Z
1:
2:
¤
Z
1
0
1
0
sin(ax) dx
p
=
x+¯
cos(ax) dx
p
=
x+¯
r
r
p
p
¼
[cos(a¯)¡sin(a¯)+2C( a¯) sin(a¯)¡2S( a¯) cos(a¯)]
2a
[a > 0; j arg ¯ j < ¼]:
p
p
¼
[cos(a¯)+sin(a¯)¡2C( a¯) cos(a¯)¡2S( a¯) sin(a¯)]
2a
[a > 0; j arg ¯ j < ¼]:
ET I 65(12)a
Z
3:
Z
4:
1
u
1
u
sin(ax)
p
dx =
x¡u
r
cos(ax)
p
dx =
x¡u
r
¼
[sin(au) + cos(au)]
2a
[a > 0;
u > 0]:
ET I 65(13)
¼
[cos(au) ¡ sin(au)]
2a
[a > 0;
u > 0]:
ET I 8(10)
3.752
1:
8
Z
1
p
X
2
sin(ax) 1 ¡ x dx =
1
0
k=0
(¡1)k a2k+1
¼
=
Hi ; (a)
(2k ¡ 1)!!(2k + 3)!!
2a
[a > 0]:
BI ((149))(6)
Z
2:
p
¼
cos(ax) 1 ¡ x2 dx =
J1 (a):
2a
1
0
KU 65(6)a
3.753
1:
8
Z
1
0
1
X (¡1)k a2k+1
sin(ax) dx
p
=
[(2k + 1)!!]2
1 ¡ x2
k=0
=
¼
H0 ; (a)[a > 0]:
2
BI ((149))(9)
457
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
0
cos(ax) dx
¼
p
= J0 (a):
2
2
1¡x
1
1
1
1
sin(ax) dx
¼
p
= J0 (a):
2
2
x ¡1
cos(ax)
¼
p
dx = ¡ N0 (a):
2
2
x ¡1
WA 30(7)a
[a > 0]:
WA 200(14)
5:
Z
1
0
x sin(ax)
¼
p
dx = J1 (a)
2
1 ¡ x2
[a > 0]:
WA 30(6)
3.754
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
sin(ax) dx
¼
p
= [I0 (a¯) ¡ L0 (a¯)]
2
2
2
¯ +x
cos(ax) dx
p
= K0 (a¯)
¯ 2 + x2
[a > 0;
x sin(ax)
p
dx = aK0 (a¯)
(¯ 2 + x2 )3
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
ET I 66(26)
Re ¯ > 0]:
WA 191(1), GW((333))(78a)
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
ET I 66(27)
3.755
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
qp
qp
x2 + ¯ 2 ¡ ¯ sin(ax) dx
p
=
x2 + ¯ 2
x2 + ¯ 2 + ¯ cos(ax) dx
p
=
x2 + ¯ 2
r
¼ ¡a¯
e
2a
[a > 0]:
ET I 66(31)
r
¼ ¡a¯
e
2a
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
ET I 10(25)
3.756
1:
Z
1
0
n
sin(ax) Y
sin(ak x) dx = 0
n
x 2 ¡1 k=2
"
ak > 0;
a>
n
X
ak
k=2
#
ET I 80(22)
2:
Z
1
0
x
n
2 ¡1
cos(ax)
n
Y
k=1
cos(ak x) dx = 0
"
ak > 0;
a>
n
X
k=1
#
ak :
3.757
1:
Z
1
sin(ax)
p
dx =
x
0
r
¼
:
2a
BI ((177))(1)
2:
Z
1
cos(ax)
p
dx =
x
0
r
¼
:
2a
BI ((177))(2)
458
3.76- 3.77 Combinations of trigonometric functions and powers
3.761
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
x¹¡1 sin(ax) dx =
0
1
x¹¡1 sin x dx =
u
1
1
¡i
[ 1 F1 (¹; ¹ + 1; ia) ¡ 1 F1 (¹; ¹ + 1; ¡ia)]
2¹
[a > 0; Re ¹ > ¡1; ¹=
= 0]:
¤
¼
i £ ¡ ¼ iu
e 2 ¡(¹; iu) ¡ e 2 i¹ ¡(¹; ¡iu)
2
sin(ax)
a2n¡1
dx
=
x2n
(2n ¡ 1)!
"2n¡1
X (2n ¡ k ¡ 1)!
a2n¡k
k=1
ET I 68(2)a
[Re ¹ > ¡1]:
EH II 149(2)
³
¼´
n
sin a + (k ¡ 1)
+ (¡1) ci (a)
2
#
[a > 0]:
LI ((203))(15)
4:
Z
1
x¹¡1 sin(ax) dx =
0
¼ sec ¹¼
¡(¹)
¹¼
2
sin
=
a¹
2
2a¹ ¡(1 ¡ ¹)
[a > 0;
0 < j Re ¹j < 1]:
FI II 809a, BI((150))(1)
5:
Z
¼
m
x
0
[m=2]
(¡1)n+1 X
m!
sin(nx) dx =
(¡1)k
(n¼)m¡2k ¡
m+1
n
(m ¡ 2k)!
k=0
¡ (¡1)[m=2]
m![m ¡ 2E[m=2] ¡ 1]
nm+1
6:
7
Z
1
x¹¡1 cos(ax) dx =
0
1
[ 1 F1 (¹; ¹+1; ia)+ 1 F1 (¹; ¹+1; ¡ia)]
2¹
[a > 0;
Re ¹ > 0]:
ET I 11(2)
7:
8:
Z
Z
1
x¹¡1 cos x dx =
u
1
1
¤
1 £ ¡ ¼ i¹
¼
e 2 ¡(¹; iu) + e 2 i¹ ¡(¹; ¡iu)
2
[Re ¹ < 1]:
EH II 149(1)
#
" 2n
³
cos(ax)
a2n X (2n ¡ k)!
¼´
n+1
+ (¡1)
dx =
cos a + (k ¡ 1)
ci (a)
x2n+1
(2n)!
a2n¡k+1
2
[a > 0]:
k=1
LI ((203))(16)
9:
Z
1
¹¡1
x
0
¼ cosec ¹¼
¡(¹)
¹¼
2
cos(ax) dx = ¹ cos
= ¹
a
a
2a ¡(1 ¡ ¹)
[a > 0;
0 < Re ¹ < 1]:
FI II 809a, BI((150))(2)
10:
Z
¼
xm cos(nx) dx =
0
(¡1)n
nm+1
[(m¡1)=2]
X
k=0
(¡1)k
m!
(n¼)m¡2k¡1 +
(m ¡ 2k ¡ 1)!
+ (¡1)[(m+1)=2]
2[(m + 1)=2] ¡ m
¢ m!
nm+1
GW ((333))(7)
459
11:
Z
¼
2
[m=2]
xm cos x dx =
0
X
k=0
(¡1)k
³ ¼ ´m¡2k
m!
+(¡1)[m=2] (2[m=2]¡m)m!:
(m ¡ 2k)! 2
GW ((333))(9c)
12:
Z
2n¼
m
x
0
m¡1
X
cos kx dx = ¡
j=0
j!
k j+1
•
m
j
¶
(2n¼)m¡j cos
j +1
¼:
2
BI ((226))(2)
3.762
1:
Z
1
0
1
¹¼
cos
¡(¹)[jb ¡ aj¡¹ ¡ (b + a)¡¹ ]
2
2
[a > 0; b > 0; a=
= b; ¡2 < Re ¹ < 1]
(for ¹ = 0; see 3.741 1.; for ¹ = ¡1; see 3.741 3.) :
x¹¡1 sin(ax) sin(bx) dx =
3.741
BI((149))(7), ET I 321(40)
2:
Z
1
1
¹¼
sin
¡(¹)[(a+b)¡¹ +ja¡bj¡¹ sign(a¡b)]
2
2
b > 0; j Re ¹j < 1]
(for ¹ = 0 see 3.741 2.) :
x¹¡1 sin(ax) cos(bx) dx =
0
[a > 0;
3.741
BI((159))(8)A, ET I 321(41)
3:
Z
1
0
x¹¡1 cos(ax) cos(bx) dx =
¹¼
1
cos
¡(¹)[(a + b)¡¹ + ja ¡ bj¡¹ ]
2
2
[a > 0; b > 0; 0 < Re ¹ < 1]:
ET I 20(17)
3.763
1:
2:
Z
Z
1
0
sin(ax) sin(bx) sin(cx)
dx =
xº
1
º¼
= cos
¡(1 ¡ º)[(c + a ¡ b)º¡1 ¡ (c + a + b)º¡1 ¡
4
2
¡ jc ¡ a + bjº¡1 sign(a ¡ b ¡ c) + jc ¡ a ¡ bjº¡1 sign(a + b ¡ c)]
[c > 0; 0 < Re º < 4; º=
= 1; 2; 3; a ¸ b > 0]:
1
0
sin(ax) sin(bx) sin(cx)
dx = 0
x
¼
=
8
[c < a ¡ b
and
GW((333))(26a)A, ET I 79(13)
c > a + b];
[c = a ¡ b and c = a + b];
¼
= [a ¡ b < c < a + b]:
4
[a ¸ b > 0;
c > 0]:
FI II 645
BI((157))(8)A, ET I 79(11)
460
Z
4:
1
0
sin(ax) sin(bx) sin(cx)
¼bc
[0 < c < a ¡ b and c > a + b];
dx =
3
x
2
¼bc
¼(a ¡ b ¡ c)2
¡
=
[a ¡ b < c < a + b];
2
8
[a ¸ b > 0; c > 0]:
BI((157))(20), ET I 79(12)
3.764
Z
1:
2:
Z
1
0
1
xp sin(ax+b) dx =
0
xp cos(ax+b) dx = ¡
³
p¼ ´
¡(1+p)
cos
b
+
ap+1
2
1
³
¼p ´
¡(1+p)
sin
b
+
ap+1
2
1
[a > 0;
¡1 < p < 0]:
GW ((333))(30a)
[a > 0;
¡1 < p < 0]:
GW ((333))(30b)
3.765
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
i
sin(ax) dx
=
¡(1 ¡ º)[e¡ia¯ ¡(º; ¡ia¯) ¡ eia¯ ¡(º; ia¯)]
º
x (x + ¯)
2¯ º
[a > 0; ¡1 < Re º < 2; j arg ¯ j < ¼]:
cos(ax) dx
¡(1 ¡ º) ia¯
=
[e ¡(º; ia¯) + e¡ia¯ ¡(º; ¡ia¯)]
º
x (x + ¯)
2¯ º
[a > 0; j Re º j < 1; j arg ¯ j < ¼]:
3.766
1:
Z
1
0
x¹¡1 sin(ax)
¼
¹¼
dx = sec
sh a +
1 + x2
2
2
1
¹¼
+ sin
¡(¹)fexp[¡a + i¼(1 ¡ ¹)]°(1 ¡ ¹; ¡a) ¡ ea °(1 ¡ ¹; a)g
2
2
[a > 0; ¡1 < Re ¹ < 3]:
ET I 219(34)
ET II 221(52)
Z
2:
1
0
x¹¡1 cos(ax)
¼
¹¼
dx = cosec
ch a +
1 + x2
2
2
¹¼
1
¡(¹)fexp[¡a + i¼(1 ¡ ¹)]°(1 ¡ ¹; ¡a) ¡ ea °(1 ¡ ¹; a)g
+ cos
2
2
[a > 0; 0 < Re ¹ < 3]:
ET I 319(24)
Z
1
3:¤
0
x2¹+1 sin(ax) dx
¼
= ¡ b2¹ sec(¹¼) sh(ab) +
2
2
x +b
2
sin(¹¼)
+
¡(2¹)[ 1 F1 (1; 1 ¡ 2¹; ab) + 1 F1 (1; 1 ¡ 2¹; ¡ab)]
2a2¹
∙
¸
1
3
:
a > 0; ¡ < Re ¹ <
2
2
ET II 220(39)
461
4:
¤
Z
1
0
1
¼
1
x2¹+1 cos(ax) dx
= ¡ b2(¹+ 2 ) cosec[(¹ + )¼] ch(ab) +
x2 + b2
2
2
cos[(¹ + 12 )¼]
1
1
+
¡[2(¹ + )][ 1 F1 (1; 1 ¡ 2(¹ + ); ab) +
1
2(¹+
)
2
2
2
2a
1
+ 1 F1 (1; 1 ¡ 2(¹ + ); ¡ab)]:
∙2
¸
1
a > 0; ¡1 < Re ¹ <
:
2
ET II 221(56)
3.767
1:
Z
1 x¯¡1
³
sin ax ¡
°2
0
+
¯¼
2
x2
´
¼
dx = ¡ ° ¯¡2 e¡a°
2
[a > 0;
Re ° > 0;
0 < Re ¯ < 2]:
BI ((160))(20)
2:
Z
1 x¯
0
³
cos ax ¡
°2
+
¯¼
2
x2
´
dx =
¼ ¯¡1 ¡a°
e
°
2
[a > 0;
Re ° > 0;
j Re ¯ j < 1]:
BI ((160))(21)
3:
Z
1 x¯¡1
0
³
sin ax ¡
x2 ¡ b2
¯¼
2
´
•
¶
¼ ¯¡2
¼¯
dx = b
cos ab ¡
2
2
[a > 0;
b > 0;
0 < Re ¯ < 2]:
Z
4:
1 x¯
³
cos ax ¡
x2 ¡ b2
0
¯¼
2
´
¶
•
¼
¼¯
dx = ¡ b¯¡1 sin ab ¡
2
2
[a > 0;
b > 0;
j¯ j < 1]:
GW ((333))(82)
3.768
Z
1:
Z
2:
3:
¤
Z
1
u
1
u
1
(x¡u)¹¡1 sin(ax) dx =
(x¡u)¹¡1 cos(ax) dx =
³
¡(¹)
¹¼ ´
sin
au
+
a¹
2
[a > 0;
³
¡(¹)
¹¼ ´
cos
au
+
a¹
2
[a > 0;
0 < Re ¹ < 1]:
ET II 203(19)
0 < Re ¹ < 1]:
ET II 204(24)
1
¡(º + 1)
¡
Cº (a) = a¡º¡1=2 sº+1=2; 1=2 (a)
a
aº+1
with Cº (a) the Young's function
1 º
2a
Cº (a) =
[ 1 F1 (1; º + 1; ia) + 1 F1 (1; º + 1; ¡ia)]
¡(º + 1)
1
X
=
(¡1)n aº+2n =¡(º + 2n + 1)
[a > 0; Re º > ¡1]:
(1 ¡ x)º sin(ax) dx =
0
n=0
ET I 11(3)a
462
4:3
Z
1
0
¸
½
∙
i ¡º¡1
i
a
(º¼ ¡ 2a) ° (º + 1; ¡ia) ¡
exp
2
2
∙
¸
¾
i
¡ exp ¡ (º¼ ¡ 2a) ° (º + 1; ia) =
2
1
X
= ¡(º + 1)
(¡a2 )n =¡(º + 2 + 2n)
[a > 0;
(1 ¡ x)º cos(ax) dx =
n=0
Re º > ¡1]:
ET I 11(3)a
5:
Z
u
0
u¹+º¡1
B (¹; º)[ 1 F1 (º; ¹+º; iau)¡ 1 F1 (º; ¹+º; ¡iau)]
2i
[a > 0; Re ¹ > 0; Re º > ¡1; º=
= 0]:
xº¡1 (u¡x)¹¡1 sin(ax) dx =
ET II 189(26)
ET II 189(32)
7:
Z
u
x¹¡1 (u¡x)¹¡1 sin(ax) dx =
0
³ au ´
p ³ u ´¹¡1=2
au
¡(¹)J¹¡1=2
¼
sin
a
2
2
[Re ¹ > 0]:
ET II 189(25)
8:
Z
1
u
x¹¡1 (x ¡ u)¹¡1 sin(ax) dx =
p ³ ´¹¡1=2
h
³ au ´
³ au ´i
au
¼ u
au
¡ sin
=
¡(¹) cos
J1=2¡¹
N1=2¡¹
2
a
2
2 ∙
2
2 ¸
1
:
a > 0; 0 < Re ¹ <
2
ET II 203(20)
9:
Z
u
x¹¡1 (u¡x)¹¡1 cos(ax) dx =
0
³ au ´
p ³ u ´¹¡ 12
au
¼
cos
¡(¹)J¹¡ 12
a
2
2
[Re ¹ > 0]:
ET II 189(31)
Z
10:
1
u
x¹¡1 (x¡u)¹¡1 cos(ax) dx = ¡
p ³ ´¹¡ 1
h
³ au ´
³ au ´i
¼ u
au
au
2
¡(¹) sin
J 12 ¡¹
¡ cos
N 12 ¡¹
2
a
2
2
2
2
∙
¸
1
a > 0; 0 < Re ¹ <
:
2
ET II 204(25)
11:
12:
3
3
Z
Z
1
0
i
xº¡1 (1¡x)¹¡1 sin(ax) dx = ¡ B(¹; º)[ 1 F1 (º; º+¹; ia)¡ 1 F1 (º; º+¹; ¡ia)]
2
[Re ¹ > 0; Re º > ¡1; º=
= 0]: ET I68(5)a;
1
0
xº¡1 (1¡x)¹¡1 cos(ax) dx =
ET I 317(5)
1
B(¹; º)[ 1 F1 (º; º+¹; ia)+ 1 F1 (º; º+¹; ¡ia)]
2
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
ET I 11(5)
463
13:
Z
1
¹
¹
x (1¡x) sin(2ax) dx =
0
p
¼
1
(2a)¹+ 2
¡(¹+1)J¹+ 21 (a) sin a
[a > 0;
Re ¹ > ¡1]:
ET I 68(4)
14:
Z
1
¹
0
¹
x (1¡x) cos(2ax) dx =
p
¼
1
(2a)¹+ 2
¡(¹+1)J¹+ 12 (a) cos a
[a > 0;
Re ¹ > ¡1]:
ET I 11(4)
3.769
1:
Z
1
0
[(¯+ix)¡º ¡(¯ ¡ix)¡º ] sin(ax) dx = ¡
¼iaº¡1 e¡a¯
¡(º)
[a > 0;
Re ¯ > 0;
Re º > 0]:
ET I 70(15)
2:
Z
1
0
[(¯+ix)¡º +(¯ ¡ix)¡º ] cos(ax) dx =
¼aº¡1 e¡a¯
¡(º)
[a > 0;
Re ¯ > 0;
Re º > 0]:
ET I 13(19)
3:
Z
1
0
¼aº¡2 (º ¡ 1 ¡ a¯) ¡a¯
e
¡(º)
[a > 0; Re ¯ > 0; Re º > 0]:
x[(¯ + ix)¡º + (¯ ¡ ix)¡º ] sin(ax) dx = ¡
ET I 70(16)
4:
5:
Z
Z
1
0
1
0
(¡1)n i
(2n)!¼aº¡2n¡1 e¡a¯ Lº¡2n¡1
(a¯)
2n
¡(º)
[a > 0; Re ¯ > 0; 0 ∙ 2n < Re º]:
x2n [(¯ ¡ix)¡º ¡(¯+ix)¡º ] sin(ax) dx =
x2n [(¯+ix)¡º +(¯ ¡ix)¡º ] cos(ax) dx =
[a > 0;
(¡1)n
(2n)!¼aº¡2n¡1 e¡a¯ Lº¡2n¡1
(a¯)
2n
¡(º)
Re ¯ > 0; 0 ∙ 2n < Re º]:
ET I 70(17)
ET I 13(20)
ET I 70(18)
7:
Z
1
0
x2n+1 [(¯ + ix)¡º ¡ (¯ ¡ ix)¡º ] cos(ax) dx =
=
(¡1)n+1
(2n + 1)!¼aº¡2n¡2 e¡a¯ Lº¡2n¡2
(a¯)
2n+1
¡(º)
[a > 0; Re ¯ > 0; 0 ∙ 2n < Re º ¡ 1]:
ET I 13(21)
464
3.771
1:
Z
1
0
¶
p • ¶º •
¼ 2¯
1
(¯ +x )
sin(ax) dx =
¡ º+
[I¡º (a¯) ¡ Lº (a¯)]
2
a
2
¸
∙
1
1
3
5
a > 0; Re ¯ > 0; Re º < ; º=
= ¡ ; ¡ ; ¡ ;... :
2
2
2
2
2
2 º¡ 12
EH II 38a, ET I 68(6)
2:
Z
1
0
2
2 º¡ 12
(¯ + x )
1
cos(ax) dx = p
¼
•
¶º
•
2¯
cos(¼º)¡ º +
a
∙
a > 0; Re ¯ > 0;
1
2
¶
K¡º (a¯)
¸
1
Re º <
:
2
WA 191(1)A, GW((333))(78)a
3:
Z
u
x2º¡1 (u2 ¡ x2 )¹¡1 sin(ax) dx =
0
•
¶
¶
•
a 2¹+2º¡1
1
1
a2 u2
1 3
= u
B ¹; º +
; ¹+º+ ; ¡
1 F2 º + ;
2
2
2 2
2
4
∙
¸
1
Re ¹ > 0; Re º > ¡
:
2
ET II 189(29)
4:
Z
u
0
x2º¡1 (u2 ¡x2 )¹¡1 cos(ax) dx =
¶
•
1 2¹+2º¡2
a2 u2
1
u
B (¹; º) 1 F2 º; ; ¹ + º; ¡
2
2
4
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
ET II 190(35)
ET I 69(11)
6:
Z
u
¶
p • ¶º •
¼ 2u
1
sin(ax) dx =
¡ º+
Hº (au)
2
a
2
2 º¡ 12
2
(u ¡x )
0
∙
¸
1
a > 0; u > 0; Re º > ¡
:
2
ET I 69(7), WA 358(1)a
7:
Z
1
u
1
(x2 ¡u2 )º¡ 2 sin(ax) dx =
¶
p • ¶º •
¼ 2u
1
¡ º+
J¡º (au)
2
a
2
∙
a > 0; u > 0; j Re º j <
¸
1
:
2
EH II 81(12)A, ET I 69(8), WA 187(3)a
8:
Z
u
2 º¡ 12
2
(u ¡x )
0
¶
p • ¶º •
¼ 2u
1
cos(ax) dx =
¡ º+
Jº (au)
2
a
2
∙
1
a > 0; u > 0; Re º > ¡
2
¸
:
ET I 11(8)
465
9:
Z
1
u
1
(x2 ¡ u2 )º¡ 2 cos(ax) dx = ¡
¶
p • ¶º •
¼ 2u
1
¡ º+
N¡º (au)
2
a
2
∙
¸
1
a > 0; u > 0; j Re º j <
:
2
WA 187(4)A, EH II 82(13)A, ET I 11(9)
10:
Z
u
2
2 º¡ 12
x(u ¡ x )
0
p
¼
sin(ax) dx =
u
2
•
¶º •
¶
1
2u
¡ º+
Jº+1 (au)
a
2
∙
¸
1
a > 0; u > 0; Re º > ¡
:
2
ET I 69(9)
11:
Z
1
u
2
2 º¡ 12
x(x ¡ u )
• ¶º •
¶
¼
1
2u
sin(ax) dx =
u
¡ º+
N¡º¡1 (au)
2
a
2
∙
¸
1
a > 0; u > 0; ¡ < Re º < 0 :
2
p
ET I 69(10)
12:7
Z
u
0
1
uº+1
sº¡1;º+1 (au) =
aº
•
¶ ¡1
¶
p • ¶º •
1
¼
1
1
2u
2º+1
=
u
¡
¡ º+
º+
u
Hº+1 (au)
2
2
2
a
2
∙
¸
x(u2 ¡ x2 )º¡ 2 cos(ax) dx = ¡
13:
Z
1
u
x(x2 ¡ u2 )º¡1=2 cos(ax) dx =
• ¶º •
¶
¼u 2u
1
¡ º+
J¡º¡1 (au)
2
a
2
¸
∙
1
:
a > 0; u > 0; 0 < Re º <
2
p
ET I 12(11)
3.772
1:
Z
1
0
(x2 + 2¯x)º¡1=2 sin(ax) dx =
¶
p • ¶º •
¼ 2¯
1
[J¡º (a¯) cos(a¯) + N¡º (a¯) sin(a¯)]
=
¡ º+
2
a
2
¸
∙
3
1
> Re º > ¡
:
a > 0; j arg ¯ j < ¼;
2
2
ET I 69(12)
2:
Z
1
0
(x2 + 2¯x)º¡1=2 cos(ax) dx =
¶
p • ¶º •
¼ 2¯
1
=¡
¡ º+
[N¡º (a¯) cos(a¯) ¡ J¡º (a¯) sin(a¯)]
2
a
2
¸
∙
1
a > 0; j Re º j <
:
2
ET I 12(13)
466
3:
Z
2u
2 º¡1=2
(2ux ¡ x )
0
sin(ax) dx =
p
¼
•
¶º •
¶
1
2u
¡ º+
sin(au)Jº (au)
a
2
∙
¸
1
a > 0; u > 0; Re º > ¡
:
2
ET I 69(13)a
4:
Z
1
(x2 ¡ 2ux)º¡1=2 sin(ax) dx =
¶
p • ¶º •
¼ 2¯
1
=
¡ º+
[J¡º (au) cos(au) ¡ N¡º (au) sin(au)]
2
a
2
∙
¸
1
a > 0; u > 0; j Re º j <
:
2
2u
5:
Z
2u
2 º¡1=2
(2ux ¡ x )
0
cos(ax) dx =
p
¼
•
¶º •
¶
2u
1
Jº (au) cos(au)
¡ º+
a
2
¸
∙
1
:
a > 0; u > 0; Re º > ¡
2
ET I 12(4)
6:
Z
1
(x2 ¡ 2ux)º¡1=2 cos(ax) dx =
2u
¶
p • ¶º •
¼ 2u
1
[J¡º (au) sin(au) + N¡º (au) cos(au)]
=¡
¡ º+
2
a
2
¸
∙
1
:
a > 0; u > 0; j Re º j <
2
ET I 12(12)
3.773
1:6
Z
1
0
(x2
x2º
sin (ax) dx =
+ ¯ 2 )¹+1
¶
•
1 2º¡2¹
3 ¯ 2 a2
¯
a B (1 + º; ¹ ¡ º)1 1 F2 º + 1; º + 1 ¡ ¹; ;
+
2
2
4
¶
•
p 2u¡2º+1
¼a
¡(º ¡ ¹)
¯ 2 a2
3
¡
¢
+
F
;
¹
¡
º
+
1;
=
¹
+
1;
¹
¡
º
+
1 2
4¹¡º+1
2
4
¡ ¹ ¡ º + 32
Ã
!
1
¯
p
2 2 ¯¡º+ 2
¼
¯
a
¯
=
¯ 2º¡2¹¡1 G21
13
2¡(¹ + 1)
4 ¯¹¡º+ 1 ; 1 ; 0
=
2
[a > 0;
2:
Z
1
0
2
Re ¯ > 0;
¡1 < Re º < Re ¹ + 1]:
(¡1)n+m ¼ dn m ¡a p
x2m+1 sin(ax)
dx
=
(z e
z)
¢
(z + x2 )n+1
n!
2 dz n
[a > 0;
0 ∙ m ∙ n;
ET I 71(28)A, ET II 234(17)
j arg z j < ¼]:
ET I 68(39)
467
3:
4:
Z
Z
1
x2m+1 sin(ax) dx
1
(¯ 2 + x2 )n+ 2
0
p
(¡1)m+1 ¼
d2m+1 n
•
¶
=
[a Kn (a¯)]
1 da2m+1
2n ¯ n ¡ n +
2
[a > 0; Re ¯ > 0; ¡1 ∙ m ∙ n]:
1
0
x2º cos(ax) dx
=
(x2 + ¯ 2 )¹+1
•
¶
•
1 2º¡2¹¡1
1
1
1
1 1
= ¯
B º+ ; ¹¡º+
;
1 F2 º + ; º ¡ ¹ + ;
2
2
2
2
2 2
¡
¢
•
p 2¹¡2º+1
¡ º ¡ ¹ ¡ 12
¼a
+
F
1 2 ¹ + 1; ¹ ¡ º + 1; ¹ ¡ º +
¡(¹ ¡ º + 1)
4¹¡º+1
Ã
!
¯¡º+ 12
p
¼
a2 ¯ 2 ¯
2º¡2¹¡1 21
¶
¯ 2 a2
+
4
¶
3 ¯ 2 a2
;
=
2
4
ET I 67(37)
Z
5:
1
0
x2m cos(ax) dx
dn m¡ 1 ¡apz
m+n ¼
2 e
¢
=
(
¡
1)
(z
)
(z + x2 )n+1
2 ¢ n! dz n
[a > 0; n + 1 > m ¸ 0;
j arg z j < ¼]:
ET I 10(28)
6:
7
Z
1
x2m cos(ax) dx
1
(¯ 2 + x2 )n+ 2
0
p
d2m
(¡1)m ¼
¶ ¢ 2m fan Kn (a¯)g
•
=
1
da
2n ¯ n ¡ n +
2
[a > 0; Re ¯ > 0; 0 ∙ m ∙ n] :
ET I 14(28)
3.774
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
p
∙
¸
sin(ax) dx
¼
i
i
º¼
p
= º
sin
Iº (ab) + Jº (iab) ¡ Jº (¡iab)
b sin(º¼)
2
2
2
x2 + b2 (x + x2 + b2 )º
[a > 0; b > 0; Re º > ¡1]:
¸
∙
cos(ax) dx
¼
1
º¼
1
p
p
= º
Jº (iab) + Jº (¡iab) ¡ cos
Iº (ab)
b sin(º¼) 2
2
2
x2 + b2 (x + x2 + b2 )º
[a > 0; b > 0; Re º > ¡1]:
ET I 70(19)
ET I 12(15)
p
r
• ¶
• ¶
(x + x2 + ¯ 2 )º
a¼ º
a¯
a¯
p
¯ I 14 ¡ º2
K 14 + º2
sin(ax) dx =
2
2
2
2
2
x(x + ¯ )
∙
¸
3
a > 0; Re ¯ > 0; Re º <
:
2
ET I 71(23)
468
4:
Z
1
0
p
r
• ¶
• ¶
( x2 + ¯ 2 ¡ x)º
a¼ º
a¯
a¯
p
cos(ax) dx =
¯ I¡ 41 + º2
K¡ 14 ¡ º2
2
2
2
x(x2 + ¯ 2 )
∙
¸
3
a > 0; Re ¯ > 0; Re º > ¡
:
2
ET I 12(17)
5:
Z
1
0
p
x2 + ¯ 2 )º
1
p
sin(ax) dx =
1
¯
xº+ 2 x2 + ¯ 2
(¯ +
r
∙
2
¡
a
•
º
3
¡
4
2
a > 0;
¶
W º ; 14 (a¯)M¡ º2 ; 14 (a¯)
2
¸
3
Re ¯ > 0; Re º <
:
2
6:
Z
1
p
•
¶
1
x2 + ¯ 2 )º
1
º
p
p
¡
cos(ax)
dx
=
¡
W º2 ; ¡ 14 (a¯)M¡ º2 ; ¡ 14 (a¯)
1
4
2
¯ 2a
xº+ 2 ¯ 2 + x2
¸
∙
1
:
a > 0; Re ¯ > 0; Re º <
2
(¯ +
0
ET I 12(18)
3.775
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
p
p
º¼
( x2 + ¯ 2 + x)º ¡ ( x2 + ¯ 2 ¡ x)º
p
sin(ax) dx = 2¯ º sin
Kº (a¯)
2
x2 + ¯ 2
[a > 0; Re ¯ > 0; j Re º j < 1]:
p
p
( x2 + ¯ 2 + x)º + ( x2 + ¯ 2 ¡ x)º
º¼
p
cos(ax) dx = 2¯ º cos
Kº (a¯)
2
2
2
x +¯
[a > 0; Re ¯ > 0; j Re º j < 1]:
(x +
p
u
x2 ¡ u2 )º + (x ¡
p
x2 ¡ u2
p
x2 ¡ u2 )º
ET I 70(20)
ET I 13(22)
h
º¼
º¼ i
sin(ax) dx = ¼uº Jº (au) cos
¡ Nº (au) sin
2
2
[a > 0; u > 0; j Re º j < 1]:
ET I 70(22)
4:
Z
1
u
(x +
p
x2 ¡ u2 )º + (x ¡
p
x2 ¡ u2
p
x2 ¡ u2 )º
h
º¼
º¼ i
cos(ax) dx = ¡¼uº Nº (au) cos
+ Jº (au) sin
2
2
[a > 0; u > 0; j Re º j < 1]:
ET I 13(25)
5:
Z
u
0
p
p
(x + i u2 ¡ x2 )º + (x ¡ i u2 ¡ x2 )º
¼
º¼
p
sin(ax) dx = uº cosec
[Jº (au)¡J¡º (au)]
2
2
2
2
u ¡x
[a > 0; u > 0]:
ET I 70(21)
6:
Z
u
0
p
p
(x + i u2 ¡ x2 )º + (x ¡ i u2 ¡ x2 )º
¼
º¼
p
cos(ax) dx = uº sec
[Jº (au)+J¡º (au)]
2
2
2
2
u ¡x
[a > 0; u > 0; j Re º j < 1]:
469
7:
6
Z
p
p
x2 ¡ u2 )º + (x ¡ x2 ¡ u2 )º
p
sin(ax) dx =
x(x2 ¡ u2 )
u
r³ ´
³ au ´
³ au ´
³ au ´
³ au ´i
¼ 3 ºh
N1=4¡º=2
+ J1=4¡º=2
N1=4+º=2
=¡
au J1=4+º=2
2
2
2
2 ¸
2
∙
3
a > 0; u > 0; j Re º j <
:
2
1
(x +
ET I 71(25)
8:
6
Z
p
p
x2 ¡ u2 )º + (x ¡ x2 ¡ u2 )º
p
cos(ax) dx =
x(x2 ¡ u2 )
u
r³ ´
³ au ´
³ au ´
³ au ´
³ au ´i
¼ 3 ºh
=¡
au J¡1=4+º=2
N¡1=4¡º=2
+ J¡1=4¡º=2
N¡1=4+º=2
2
2
2
2
∙
¸2
3
a > 0; u > 0; j Re º j <
:
2
1
(x +
ET I 13(26)
9:
10:
11:
Z
Z
Z
p
x2 + 2¯x)º + (x + ¯ ¡ x2 + 2¯x)º
p
sin(ax) dx =
x2 + 2¯x
³
´
³
h
º¼
º¼ ´i
= ¼¯ º Nº (¯a) sin ¯a ¡
+ Jº (¯a) cos ¯a ¡
2
2
[a > 0; j arg ¯ j < ¼; j Re º j < 1]:
1
0
2u
0
p
p
x2 + 2¯x)º + (x + ¯ ¡ x2 + 2¯x)º
p
cos(ax) dx =
x2 + 2¯x
³
³
h
º¼ ´
º¼ ´i
= ¼¯ º Jº (¯a) sin ¯a ¡
¡ Nº (¯a) cos ¯a ¡
2
2
[a > 0; j arg ¯ j < ¼; j Re º j < 1]:
1
0
(x + ¯ +
(x + ¯ +
ET I 71(26)
p
ET I 13(23)
p
p
p
p
( 2u + x + i 2u ¡ x)4º + ( 2u + x ¡ i 2u ¡ x)4º
p
cos(ax) dx =
4u2 x ¡ x3
r
a
= (4u)2º ¼ 3=2
Jº¡1=4 (au)J¡º¡1=4 (au)
[a > 0; u > 0]:
2
ET I 14(27)
3.776
1:
Z
1
0
a
a2 (b + x)2 + p(p + 1)
sin(ax) dx = p
p+2
(b + x)
b
[a > 0;
b > 0;
p > 0]:
BI ((170))(1)
2:
Z
1
0
a2 (b + x)2 + p(p + 1)
p
cos(ax) dx = p+1
p+2
(b + x)
b
[a > 0;
b > 0;
p > 0]:
BI ((170))(2)
470
3.78- 3.81 Rational functions of x and of trigonometric functions
3.781
1:
Z
1
0
•
1
sin x
¡
x
1+x
¶
dx
= 1¡C
x
(cf. 3.784 4. and 3.781 2.).
3.781
3.784
BI ((173))(7)
2:
Z
1
0
•
cos x ¡
1
1+x
¶
dx
= ¡C :
x
BI ((173))(8)
3.782
1:
2:
Z
Z
u
0
1 ¡ cos x
dx ¡
x
1
0
Z
1
u
cos x
dx = C + ln u
x
1 ¡ cos ax
a¼
dx =
2
x
2
[u > 0]:
GW ((333))(31)
[a ¸ 0]:
BI ((158))(1)
ET II 253(48)
3.783
1:
Z
1
0
∙
1
cos x ¡ 1
+
2
x
2(1 + x)
¸
dx
1
3
= C¡ :
x
2
4
BI ((173))(19)
2:
Z
1
0
•
1
cos x ¡
1 + x2
¶
dx
= ¡C :
x
EH I 17, BI((273))(21)
3.784
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
cos ax ¡ cos bx
b
dx = ln
x
a
[a > 0;
b > 0]:
FI II 635, GW((333))(20)
1
0
a sin bx ¡ b sin ax
a
dx = ab ln
2
x
b
[a > 0;
b > 0]:
FI II 647
1
0
cos ax ¡ cos bx
(b ¡ a)¼
dx =
2
x
2
[a ¸ 0;
b ¸ 0]:
BI((158))(12), FI II 645
4:
5:
Z
Z
1
0
sin x ¡ x cos x
dx = 1:
x2
BI ((158))(3)
1
0
"
cos ax ¡ cos bx
1
dx =
ci(a¯) cos a¯ + si(a¯) sin a¯ ¡
x(x + ¯)
¯
b
¡ ci(b¯) cos b¯ ¡ si(b¯) sin b¯ + ln
a
[a > 0;
b > 0;
#
j arg ¯ j < ¼]:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
1
0
cos ax + x sin ax
dx = ¼e¡a
1 + x2
[a > 0]:
GW ((333))(73)
1
0
¼
sin ax ¡ ax cos ax
dx = a2 sign a:
3
x
4
LI ((158))(5)
1
0
cos ax ¡ cos bx
¼[(b ¡ a)¯ + e¡b¯ ¡ e¡a¯ ]
dx
=
x2 (x2 + ¯ 2 )
2¯ 3
[a > 0;
b > 0;
j arg ¯ j < ¼]:
BI((173))(20)A, ET II 222(59)
3.785
Z
1
0
n
n
k=1
k=1
X
1X
ak cos bk x dx = ¡ ak ln bk
x
"
bk > 0;
n
X
#
ak = 0 :
k=1
FI II 649
3.786
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
(1 ¡ cos ax) sin bx
b
b2 ¡ a2 a
a+b
dx
=
+ ln
ln
x2
2
b2
2
a¡b
(1 ¡ cos ax) cos bx
dx = ln
x
p
ja2 ¡ b2 j
b
[0 > 0;
[a > 0;
b > 0]:
ET I 81(29)
b > 0;
a=
= b]:
FI II 647
3:
Z
1
0
(1 ¡ cos ax) cos bx
¼
dx = (a ¡ b)
2
x
2
[a < b ∙ a];
=0
[0 < a ∙ b]:
3.787
1:
Z
1
0
(cos a ¡ cos nax) sin mx
¼
dx = (cos a ¡ 1)
[m > na > 0];
x
2
¼
[na > m]:
= cos a
2
ET I 20(16)
Z
2:
1
0
sin2 ax ¡ sin2 bx
1
a
dx = ln
x
2
b
[a > 0;
b > 0]:
GW ((333))(20b)
Z
3:
1
0
13
x3 ¡ sin3 x
dx =
¼:
5
x
32
BI ((158))(6)
Z
4:
1
0
(3 ¡ 4 sin2 ax) sin2 ax
1
dx = ln 2
x
2
[a real;
a=
= 0]:
BI ((155))(6)
3.788
Z
¼
2
0
•
¶
¼
1
¡ ctg x dx = ln :
x
2
GW ((333))(61)a
3.789
Z
¼
2
0
4x2 cos x + (¼ ¡ x)x
dx = ¼ 2 ln 2:
sin x
LI ((206))(10)
472
3.791
1:
Z
¼
2
0
x dx
= ln 2:
1 + sin x
GW ((333))(55a)
2:
3:
Z
Z
¼
0
x cos x
dx = ¼ ln 2 ¡ 4G
G:
1 + sin x
GW ((333))(55c)
¼
2
0
x cos x
dx = ¼ ln 2 ¡ 2G
G:
1 + sin x
4:
Z
¼
¡¼
2
0
¢
¢
Z ¼2 ¡ ¼
¡ x cos x
2 ¡ x cos x
dx = 2
dx = ¼ ln 2+4G
G = 5:8414484669 . . .
1 ¡ sin x
1 ¡ sin x
0
BI((207))(3), GW((333))(56c)
5:
6:
7:
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
0
¼
2
0
x2 dx
¼2
=¡
+ ¼ ln 2 + 4G
G = 3:3740473667 . . .
1 ¡ cos x
4
BI ((207))(3)
x2 dx
= 4¼ ln 2:
1 ¡ cos x
BI ((219))(1)
³ ¼ ´p+1 ³ ¼ ´p
xp+1 dx
=¡
+
(p+1)
1 ¡ cos x
2
2
(
)
1
2 X
1
¡
³(2k)
p
42k¡1 (p + 2k)
[p > 0]:
k=1
LI ((207))(4)
8:
9:
10:
11:
Z
Z
Z
Z
¼
2
0
x dx
¼
= ¡ ln 2:
1 + cos x
2
GW ((333))(55a)
¼
2
0
¼
0
¼
0
x sin x dx
¼
= ln 2 + 2G
G:
1 ¡ cos x
2
x sin x dx
= 2¼ ln 2:
1 ¡ cos x
x ¡ sin x
¼
dx = +
1 ¡ cos x
2
Z
GW ((333))(56a)
GW ((333))(56b)
¼
2
0
x ¡ sin x
dx = 2:
1 ¡ cos x
GW ((333))(57a)
GW ((333))(55b)
3.792
1:
Z
¼
dx
2¼
=
2
1
¡
2a
cos
x
+
a
1
¡
a2
¡¼
[a2 < 1]:
FI II 485
473
2:
Z
1
¼
2
X
x cos x dx
¼
a2k
k
ln(1
+
a)
¡
=
(
¡
1)
1 + 2a sin x + a2
2a
(2k + 1)2
0
[a2 < 1]:
k=0
LI ((241))(2)
3:
Z
¼
0
x sin x dx
¼
= ln(1 + a)
[a2 < 1; a=
= 0];
1 ¡ 2a cos x + a2
a
•
¶
¼
1
= ln 1 +
[a2 < 1];
a
a
BI ((221))(2)
4:
Z
2¼
0
2¼
x sin x dx
=
ln(1 ¡ a)
[a2 < 1;
1 ¡ 2a cos x + a2
a
•
¶
2¼
1
=
ln 1 ¡
a
a
a=
= 0];
[a2 > 1]:
BI ((223))(4)
5:
Z
2¼
0
#
"
n¡1
X a¡k ¡ ak
2¼
x sin nx dx
n
¡n
=
(a ¡ a ) ln(1 ¡ a) +
1 ¡ 2a cos x + a2
1 ¡ a2
n¡k
[a2 < 1;
a=
= 0]:
k=1
BI ((223))(5)
6:
7:
Z
Z
1
0
1
0
¯
∙¯
¸
¼ ¯¯ 1 + a ¯¯
sin x
dx
¢
=
¡1
1 ¡ 2a cos x + a2 x
4a ¯ 1 ¡ a ¯
sin bx
¼ 1 + a ¡ 2a[b]+1
dx
¢
=
3
1 ¡ 2a cos x + a
x
2 (1 ¡ a)2 (1 ¡ a)
¼ 1 + a ¡ ab ¡ ab+1
=
2 (1 ¡ a2 )(1 ¡ a)
[a real;
a=
= 0;
a=
= 1]:
GW ((333))(62b)
[b=
= 0; 1; 2; . . . ];
[b = 0; 1; 2; . . . ];
[0 < a < 1]:
8:
Z
1
0
¼
sin x cos bx
dx
=
a[b]
¢
[b=
= 0; 1; 2; . . . ];
2
1 ¡ 2a cos x + a
x
2(1 ¡ a)
¼
¼
=
ab + ab¡1
[b = 1; 2; 3; . . . ]:;
2(1 ¡ a)
4
[0 < a < 1; b > 0; for b = 0; see 3:7926]:
3.792
ET I 19(5)
9:
Z
1
0
(1 ¡ a cos x) sin bx dx
¼ 1 ¡ a[b]+1
¢
=
[b=
= 1; 2; 3; . . . ];
¢
1 ¡ 2a cos x + a2
x
2
1¡a
¼ 1 ¡ ab
¼ab
= ¢
+
[b = 1; 2; 3; . . . ]:
2 1¡a
4
[0 < a < 1; b > 0]:
ET I 82(33)
10:3
11:
Z
Z
1
0
1
0
1
dx
¼
1 + ae¡b¯
=
1 ¡ 2a cos bx + a2 ¯ 2 + x2
2¯(1 ¡ a2 ) 1 ¡ ae¡b¯
[a2 < 1;
1
dx
a¼
sin b¯
=
2
2
2
2
1 ¡ 2a cos bx + a ¯ ¡ x
¯(1 ¡ a ) 1 ¡ 2a cos b¯ + a2
b ¸ 0]:
BI ((192))(1)
[a2 < 1;
b > 0]:
BI ((193))(1)
474
12:
Z
1
0
sin bcx
x dx
¼
e¡¯bc ¡ ac
=
1 ¡ 2a cos bx + a2 ¯ 2 + x2
2 (1 ¡ ae¡b¯ )(1 ¡ aeb¯ )
[a2 < 1;
b > 0;
c > 0]:
BI ((192))(8)
13:
Z
1
0
¼
sin bx
x dx
1
=
[a2 < 1; b > 0];
2
2
2
b¯
1 ¡ 2a cos bx + a ¯ + x
2 e ¡a
¼
1
=
[a2 > 1; b > 0]:
2a aeb¯ ¡ 1
BI ((192))(2)
BI ((193))(5)
15:
Z
1
0
¼
cos bcx
dx
(1 ¡ a2 ) sin ¯bc + 2ac+1 sin ¯b
=
2
2
2
2
1 ¡ 2a cos bx + a ¯ ¡ x
2¯(1 ¡ a )
1 ¡ 2a cos ¯b + a2
[a2 < 1; b > 0; c > 0]:
BI ((193))(9)
16:
17:
Z
Z
1
0
1
0
¼ eb
1 ¡ a cos bx
dx
=
1 ¡ 2a cos bx + a2 1 + x2
2 eb ¡ a
[a2 < 1;
b > 0]:
FI II 719
cos bx
dx
¼(e¯¡¯b + ae¯b )
¢ 2
=
2
2
1 ¡ 2a cos x + a x + ¯
2¯(1 ¡ a2 )(e¯ ¡ a)
[0 ∙ b < 1;
jaj < 1;
Re ¯ > 0]:
ET I 21(21)
18:
19:
Z
Z
1
0
1
0
sin bx sin x
dx
¼ sh b¯
¢
=
[0 ∙ b < 1];
1 ¡ 2a cos x + a2 x2 + ¯ 2
2¯ e¯ ¡ a
¼
=
[am e¯(m+1¡b) ¡ e(1¡b)¯ ] ¡
4¯(ae¯ ¡ 1)
¼
¡
[am e¡(m+1¡b)¯ ¡ e¡(1¡b)¯ ]
4¯(ae¡¯ ¡ 1)
[m ∙ b ∙ m + 1]
[0 < a < 1; Re ¯ > 0]:
(cos x ¡ a) cos bx
dx
¼ ch ¯b
¢
=
1 ¡ 2a cos x + a2 x2 + ¯ 2
2¯(e¯ ¡ a)
[0 ∙ b < 1;
jaj < 1;
ET I 81(27)
Re ¯ > 0]:
ET I 21(23)
20:
Z
1
0
sin x
dx
=
(1 ¡ 2a cos 2x + a2 )n+1 x
=
Z
Z
1
0
1
0
tg x
dx
=
(1 ¡ 2a cos 2x + a2 )n+1 x
X ³ n ´2 k
tg x
dx
¼
=
a2 :
(1 ¡ 2a cos 4x + a2 )n+1 x
2(1 ¡ a2 )2n+1
k
n
k=0
BI ((187))(14)
3.793
BI ((223))(9)
Z
2:
2¼
0
cos nx ¡ a cos[(n + 1)x]
x dx = 2¼an
1 ¡ 2a cos x + a2
[a2 < 1]:
BI ((223))(13)
475
3.794
1:
3
Z
Z
2:
¼
0
1
X a2k+1
x dx
¼2
4
=
+
1 + a2 + 2a cos x
2(1 ¡ a2 )
(1 ¡ a2 )
(2k + 1)2
[a2 < 1]:
k=0
2¼
0
"
p
p
2¼
x sin nx
1 ¡ a2 )n ¡ (1 ¡ 1 ¡ a2 )n
n (1 +
dx = p
£
(¨1)
1 § a cos x
an
1 ¡ a2
#
p
p
p
n¡1
X (¨1)k (1 + 1 ¡ a2 )k ¡ (1 ¡ 1 ¡ a2 )k
2 1§a
p
+
£ ln p
ak
1 + a + 1 ¡ a k=0 n ¡ k
[a2 < 1]:
BI ((223))(2)
3:
3
Z
2¼
0
x cos nx
2¼ 2
dx = p
1 § a cos x
1 ¡ a2
Ã
1¡
p
1 ¡ a2
¨a
!n
[a2 < 1]:
BI ((223))(3)
4:
Z
¼
0
p
x sin x dx
¼
a + a2 ¡ b2
= ln
a + b cos x
b
2(a ¡ b)
[a > jbj > 0]:
GW ((333))(53a)
5:
Z
2¼
0
p
x sin x dx
2¼
a + a2 ¡ b2
=
ln
a + b cos x
b
2(a + b)
[a > jbj > 0]:
GW ((333))(53b)
6:
Z
1
0
sin x
dx
¼
¢
= p
2
a § b cos 2x x
2 a ¡ b2
[a2 > b2 ];
=0
[a2 < b2 ]:
Z
1
(b2 + c2 + x2 )x sin ax ¡ (b2 ¡ c2 ¡ x2 )c sh ac
dx = ¼
2
2
2
2
¡1 [x + (b ¡ c) ][x + (b + c) ](cos ax + ch ac)
=
[c > b > 0];
2¼
+1
eab
[b > c > 0]
[a > 0]:
BI ((202))(18)
3.796
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
cos x § sin x
¼
x dx = ¨ ln 2 ¡ G :
cos x ¨ sin x
4
¼=4
0
BI ((207))(8, 9)
cos x ¡ sin x
¼
1
x dx = ln 2 ¡ G :
cos x + sin x
4
2
BI ((204))(23)
3.797
1:
Z
¼=4
0
´
1
¼2
¼
¼
¡ x tg x tg x dx = ln 2 +
¡ + ln 2:
4
2
32
4
8
³¼
BI ((204))(8)
476
2:
Z
¼=4
¡¼
4
0
¢
¡ x tg x dx
¼
1
= ¡ ln 2 + G :
cos 2x
8
2
BI ((204))(19)
3:
Z
¼=4 ¼
4
0
¡ x tg x
¼
1
dx = ln 2 + G :
cos 2x
8
2
BI ((204))(20)
3.798
1:
Z
1
0
tg x
dx
¼
¢
= p
2
a + b cos 2x x
2 a ¡ b2
=0
[a2 > b2 ];
[a2 < b2 ]
[a > 0]:
2:
Z
1
0
tg x
dx
¼
¢
= p
2
a + b cos 4x x
2 a ¡ b2
=0
[a2 > b2 ];
[a2 < b2 ]
[a > 0]:
BI ((181))(3)
3.799
1:
Z
¼
2
0
x dx
a
¼
ln a
¡
=
2
2
(sin x + a cos x)
1+a 2
1 + a2
[a > 0]:
BI ((208))(5)
2:
Z
¼
4
0
x dx
1
1+a
¼
1¡a
=
ln p + ¢
(cos x + a sin x)2
1 + a2
4 (1 + a)(1 + a2 )
2
[a > 0]:
BI ((204))(24)
3:
Z
¼
0
a cos x + b 2
2¼
2(a ¡ b)
p
x dx =
ln
(a + b cos x)2
b
a + a2 ¡ b2
[a > jbj > 0]:
GW ((333))(58a)
3.811
1:
Z
¼
0
t1
1 + tg
sin x
x dx
t1 + t2
t1 ¡ t2
2
¢
= ¼ cosec
cosec
ln
1 ¡ cos t1 cos x 1 ¡ cos t2 cos x
2
2
1 + tg t22 m
(cf. 3.794 4.).
3.794
BI ((222))(5)
2:
Z
¼
2
0
x dx
¼
= ln 2 + G :
(cos x § sin x) sin x
4
BI ((208))(16, 17)
3:
Z
¼
4
0
x dx
¼
= ¡ ln 2 + G :
(cos x + sin x) sin x
8
BI ((204))(29)}
BI ((204))(28)
Z
5:
¼
4
0
sin x
x dx
¼
1
¼
= ¡ ln 2 + ¡ ln 2:
2
sin x + cos x cos x
8
4
2
BI ((204))(30)
477
3.812
Z
1:
Z
2:
¼
0
¼
2
0
r
x sin x dx
¼
b
= p arctg
[a > 0; b > 0];
a + b cos2 x
a
ab
p
p
¼
a + ¡b
p
ln p
[a > ¡b > 0]:
= p
2 ¡ab
a ¡ ¡b
p
x sin 2x dx
¼
1+ 1+a
=
ln
1 + a cos 2 x
a
2
[a > ¡1;
GW ((333))(60a)
a=
= 0]:
BI ((207))(10)
Z
3:
¼
2
0
p
x sin 2x dx
¼
2(1 + a ¡ 1 + a)
= ln
a
2
1 + a sin2 x
[a > ¡1;
a=
= 0]:
BI ((207))(2)
4:
7
Z
¼
0
x dx
¼2
p
=
[a2 > 1];
a2 ¡ cos2 x
2a a2 ¡ 1
=0
[0 < a2 < 1]
BI ((219))(10)
5:
7
6:6
Z
Z
¼
0
¼
0
¯
¯
¯1 + a¯
x sin x dx
¼
¯
=
ln ¯¯
a2 ¡ cos2 x
2a
1 ¡ a¯
x sin 2x dx
= ¼ lnf4(1 ¡ a2 )g
a2 ¡ cos2 x
[0 < a2 < 1]
[0 ∙ a2 < 1];
p
= 2¼ ln[2(1 ¡ a2 + a a2 ¡ 1)]
[a2 > 1]:
BI ((219))(13)
7:
Z
1
X
x sin x dx
sin(2k + 1)t
:
=
¡
2
cosec
t
2
2
(2k + 1)2
cos t ¡ sin x
k=0
¼
2
0
BI ((207))(1)
8:
9:
Z
Z
¼
0
¼
0
x sin x dx
= ¼(¼ ¡ 2t) cosec 2t:
1 ¡ cos 2 t sin2 x
BI ((219))(12)
1
X
x cos x dx
sin(2k + 1)t
=
4
cosec
t
:
2
2
cos t ¡ cos x
(2k + 1)2
k=0
BI ((219))(17)
10:
11:
Z
Z
¼
0
x sin x dx
¼
= (¼ ¡ 2t) ctg t:
2
2
2
tg t + cos x
BI ((219))(14)
1
0
x(a cos x + b) sin x dx
t
= 2a¼ ln cos + ¼bt tg t:
2
2
2
ctg t + cos x
BI ((219))(18)
3.813
1:
Z
¼
0
x dx
1
=
2
2
2
2
4
a cos x + b sin x
Z
2¼
0
x dx
¼2
=
2ab
a2 cos2 x + b2 sin2 x
[a > 0;
b > 0]:
GW ((333))(36)
478
2:
Z
1
0
∙
¸
1
¼ sh(2a±)
dx
°
2
¯
¢
¡ ¡
=
¯
sh(2a±)
¯ 2 sin2 ax + ° 2 cos 2 ax x2 + ± 2
4±(¯ 2 sh2 (a±) ¡ ° 2 ch2 (a±)) °
¯
∙¯
¸
¯
¯
¯
¯arg ¯ < ¼; Re ± > 0; a > 0 :
¯
°¯
GW((333))(81), ET II 222(63)
3:
Z
1
0
x(a2
sin x dx
¼
=
2
2
2
2ab
sin x + b cos x)
[ab > 0]:
4:
Z
1
0
sin2 x dx
¼
=
2b(a + b)
x(a2 cos2 x + b2 sin2 x)
[a > 0;
b > 0]:
BI ((181))(11)
5:
6:
7:
Z
Z
Z
¼
2
a2
0
¼
0
a2
x sin 2x dx
¼
a+b
= 2
ln
2
2
2
2
a ¡b
2b
cos x + b sin x
[a > 0;
x sin 2x dx
2¼
a+b
= 2
ln
2
2
2
2
a ¡b
2a
cos x + b sin x
[a > 0;
1
a2
0
cos2
sin 2x
dx
¼
¢
=
2
2
x
a(a
+ b)
x + b sin x
b > 0;
a=
= b]:
GW ((333))(52a)
b > 0;
a=
= b]:
GW ((333))(52b)
[a > 0;
b > 0]:
BI ((182))(3)
8:
Z
1
0
sin 2ax
x dx
¢ 2
=
2
2
2
2
¯ sin ax + ° cos ax x + ± 2
2(¯ 2
∙
a > 0;
∙
¸
¼
¯ ¡°
¡2a±
¡e
sh2 (a±) ¡ ° 2 ch2 (a±)) ¯ + °
¯
¯
¸
¯
¯
¯arg ¯ ¯ < ¼; Re ± > 0 :
¯
°¯
ET II 222(64), GW((333))(80)
9:
Z
1
(1 ¡ cos x) sin x
dx
¼
¢
=
2
2
2
2b(a + b)
cos x + b sin x x
a2
0
[a > 0;
b > 0]:
BI ((182))(7)a
10:
Z
1
0
sin x cos2 x
¼
dx
¢
=
2
2
2
2
2a(a + b)
a cos x + b sin x x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((182))(4)
11:
Z
1
0
sin3 x
dx
¼
2
¢
¢
=
2
2
2
2
2b a + b
a cos x + b sin x x
[a > 0;
b > 0]:
1:
Z
¼
2
0
(1 ¡ x ctg x) dx
¼
= :
4
sin2 x
BI ((206))(9)
2:
Z
¼
4
0
x tg x dx
¼
1
¼
= ¡ ln 2 + ¡ ln 2:
(sin x + cos x) cos x
8
4
2
BI ((204))(30)
3:
4:
Z
Z
1
a2
0
cos2
tg x
dx
¼
=
2
2
x
2ab
x + b sin x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((181))(9)
¼
2
x ctg x dx
¼
a+b
= 2 ln
2
2
2
2a
b
cos x + b sin x
a2
0
[a > 0;
b > 0]:
LI ((208))(20)
479
5:
Z
¼
2
0
¢
¡¼
Z
1 ¼
2 ¡ x tg x dx
=
=
2 0 a2 cos 2 x + b2 sin2 x
a2 cos 2 x + b2 sin2 x
¼
a+b
= 2 ln
[a > 0; b > 0]:
2b
a
¡¼
2
¢
¡ x tg x dx
GW ((333))(59)
6:
Z
1
0
sin2 x tg x
¼
dx
¢
=
2
2
2
2
2b(a + b)
a cos x + b sin x x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((182))(6)
7:
8:
Z
Z
1
a2
0
cos2
tg x
¼
dx
¢
=
2
2
2ab
2x + b sin 2x x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((181))(10)a
1
0
sin2 2x tg x
dx
¼
1
¢
¢
=
2
2
2
2
2b a + b
a cos 2x + b sin 2x x
[a > 0;
b > 0]:
9:
Z
1
0
cos 2 2x tg x
dx
¼
1
¢
¢
=
2
2
2
2
2a a + b
a cos 2x + b sin 2x x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((182))(5)a
10:
Z
1
0
sin2 x cos x
dx
a
¼
¢
=¡
2
2
2
2
2
8b a + b2
a cos 2x + b sin 2x x cos 4x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((186))(12)a
11:
Z
1
0
sin x
dx
¼ b2 ¡ a2
¢
¢
=
2
2ab b2 + a2
a2 cos2 x + b2 sin x x cos 2x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((186))(4)a
12:
13:
Z
Z
1
a2
0
sin x cos x
dx
¼
b
¢
=
¢ 2
2
2
2
2a a + b2
cos x + b sin x x cos 2x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((186))(7)a
1
0
dx
sin x cos2 x
¼
b2
¢
=
¢
2ab a2 + b2
a2 cos2 x + b2 sin2 x x cos 2x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((186))(8)a
14:
Z
1
0
sin3 x
dx
¼
a
¢
=
¡
¢
2
2
2b a + b2
a2 cos2 x + b2 sin x x cos 2x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((186))(10)
15:
Z
1
0
a2
1 ¡ cos x
¼
dx
¢
=
2
2
2
2ab
cos x + b sin x x sin x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((186))(3)a
3.815
1:
Z
¼
2
0
x sin 2x dx
¼
=
ln
2
2
a¡b
(1 + a sin x)(1 + b sin x)
½
p
p
¾
1+a
1+ 1+b
p
¢ p
[a > 0;
1+ 1+a
1+b
(cf. 3.812 3.).
b > 0];
3.812
BI ((208))(22)
Z
2:
¼
2
0
p
p
x sin 2x dx
¼
(1 + 1 + n) 1 + a
p
ln
[a > 0;
=
a + ab + b
1+ 1+a
(1 + a sin2 x)(1 + b cos 2 x)
(cf. 3.812 2. and 3.).
b > 0];
3.812
BI ((208))(24)
480
Z
3:
¼
2
0
p
x sin 2x dx
¼
1+ 1+a
p
=
ln
(1 + a cos 2 x)(1 + b cos 2 x)
a¡b
1+ 1+b
[a > 0;
b > 0];
(cf. 3.812 2.).
3.812
BI ((208))(23)
Z
4:
¼
2
0
t1
cos
x sin 2x dx
2¼
2
=
ln
cos 2 t1 ¡ cos 2 t2
cos t22
(1 ¡ sin2 t1 cos 2 x)(1 ¡ sin2 t2 cos 2 x)
[¡¼ < t1 < ¼; ¡¼ < t2 < ¼]:
BI ((208))(21)
3.816
Z
1:
¼
0
p
2
x2 sin 2x
2 a ¡1¡a
dx
=
¼
(a2 ¡ cos2 x)2
a(a2 ¡ 1)
[a > 1]:
LI ((220))(9)
2:
7
Z
¼
0
¯
¯
¯1 ¡ a¯
(a2 ¡ 1 ¡ sin2 x) cos x 2
¼
¯
x dx = ln ¯¯
(a2 ¡ cos 2 x)2
a
1 + a¯
[a2 > 1]
(cf. 3.812 5.).
3.812
BI ((220))(12)
LI ((220))(10)
4:
Z
¼
0
a cos 2x + sin2 x 2
x dx = ¼ ln(4a)
(a ¡ sin2 x)2
[a > 1];
(cf. 3.812 6.).
3.812
LI ((220))(11)
3.817
1:
Z
1
0
sin x
¼ a2 + b2
dx
¢ 3 3
¢
=
4
a b
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2 x
[ab > 0]:
BI ((181))(12)
2:
Z
1
(a2
0
sin x cos x
dx
¼
¢
= 3
2
2
2
2
x
4a b
cos x + b sin x)
[ab > 0]:
BI ((182))(8)
3:
Z
1
0
sin3 x
dx
¼
¢
=
2
2
2
2
2
x
4ab3
(a cos x + b sin x)
[ab > 0]:
BI ((181))(15)
4:
Z
1
0
sin x cos2 x
dx
¼
¢
= 3
2
2
2
2
2
x
4a
b
(a cos x + b sin x)
[ab > 0]:
BI ((182))(9)
5:
Z
1
0
tg x
¼ a2 + b2
dx
¢ 3 3
¢
=
4
a b
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2 x
[ab > 0]:
BI ((181))(13)
6:
Z
1
0
tg x
¼ a2 + b2
dx
¢
=
4 a3 b3
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)2 x
[ab > 0]:
BI ((181))(14)
481
7:
Z
1
0
sin2 x tg x
¼
dx
¢
=
2
2
2
2
2
x
4ab3
(a cos x + b sin x)
[ab > 0]:
BI ((182))(11)
8:
Z
1
0
tg x cos 2 2x
¼
dx
¢
= 3
4a b
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)2 x
[ab > 0]:
BI ((182))(10)
3.818
1:
Z
1
0
sin x
dx
¼ 3a4 + 2a2 b2 + 3b4
¢
=
¢
2
16
a5 b5
(a2 cos2 x + b2 sin x)3 x
[ab > 0]:
BI ((181))(16)
2:
Z
1
0
sin x cos x
dx
¼ a2 + 3b2
¢
=
¢
16
a5 b3
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)3 x
[ab > 0]:
BI ((182))(13)
3:
Z
1
0
sin x cos2 x
dx
¼ a2 + 3b2
¢
=
¢
16
a5 b3
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)3 x
[ab > 0]:
BI ((182))(14)
4:
Z
1
0
sin3 x
¼ 3a2 + b2
dx
¢
¢
=
2
16
a3 b5
(a2 cos2 x + b2 sin x)3 x
[ab > 0]:
LI ((181))(19)
5:
Z
1
0
sin3 x cos x
¼ 3a2 + b2
dx
¢
¢
=
64
a3 b5
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)3 x
[ab > 0]:
BI ((182))(17)
6:
Z
1
0
tg x
¼ 3a4 + 2a2 b2 + 3b4
dx
¢
=
16
a5 b5
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)3 x
[ab > 0]:
7:
Z
1
0
sin2 x tg x
¼ 3a2 + b2
dx
¢
¢
=
2
16
a3 b5
(a2 cos2 x + b2 sin x)3 x
[ab > 0]:
BI ((182))(16)
8:
Z
1
0
tg x
¼ 3a4 + 2a2 b2 + 3b4
dx
¢
¢
=
16
a5 b5
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)3 x
[ab > 0]:
BI ((181))(18)
9:
Z
1
0
tg x cos 2 2x
¼ a2 + 3b2
dx
¢
¢
=
16
a5 b3
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)3 x
[ab > 0]:
BI ((182))(15)
3.819
1:
Z
1
0
sin x
dx
¼ 5a6 + 3a4 b2 + 3a2 b4 + 5b6
¢
=
¢
32
a7 b7
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)4 x
[ab > 0]:
BI ((181))(20)
2:
Z
1
0
sin x cos x
dx
¼ a4 + 2a2 b2 + 5b4
¢
=
¢
2
32
a7 b5
(a2 cos2 x + b2 sin x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(18)
3:
Z
1
0
sin x cos2 x
dx
¼ a4 + 2a2 b2 + 5b4
¢
=
¢
32
a7 b5
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(19)
482
4:
Z
1
0
sin3 x
¼ 5a4 + a2 b2 + b4
dx
¢
¢
=
2
32
a5 b7
(a2 cos2 x + b2 sin x)4 x
[ab > 0]:
BI ((181))(23)
5:
Z
1
0
sin3 x cos x
¼ a2 + b2
dx
¢ 5 5
¢
=
32
a b
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)4 x
[ab > 0]:
6:
Z
1
0
sin x cos3 x
¼ a2 + 5b2
dx
¢
¢
=
32
a7 b3
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(23)
7:
Z
1
0
sin3 x cos 2 x
¼ a2 + b2
dx
¢ 5 5
¢
=
2
32
a b
(a2 cos2 x + b2 sin x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(27)
8:
Z
1
0
sin x cos4 x
¼ a2 + 5b2
dx
¢
¢
=
32
a7 b3
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(24)
9:
Z
1
0
sin5 x
dx
¼ 5a2 + b2
¢
=
¢
2
2
2
2
4
x
32
a3 b7
(a cos x + b sin x)
[ab > 0]:
BI ((181))(24)
10:
Z
1
0
¼ 5a4 + 2a2 b2 + b4
sin3 x cos x
dx
¢
=
¢
128
a5 b7
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(22)
11:
Z
1
0
sin5 x cos 3 x
dx
¼ 5a2 + b2
¢
=
¢
2
512
a3 b7
(a2 cos2 2x + b2 sin 2x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(30)
12:
Z
1
0
sin2 x tg x
¼ 5a4 + 2a2 b2 + b4
dx
¢
¢
=
32
a5 b7
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(21)
13:
Z
1
0
sin4 x tg x
¼ 5a2 + b2
dx
¢
¢
=
2
32
a3 b7
(a2 cos2 x + b2 sin x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(29)
14:
Z
1
0
cos 2 2x tg x
¼ a4 + 2a2 b2 + 5b4
dx
¢
¢
=
32
a7 b5
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)4 x
[ab > 0]:
15:
Z
1
0
sin3 4x tg x
¼ a2 + b2
dx
¢ 5 5
¢
=
8
a b
(a2 cos2 2x + b2 sin2 2x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(28)
16:
Z
1
0
cos 4 2x tg x
¼ a2 + 5b2
dx
¢
¢
=
2
32
a7 b3
(a2 cos2 2x + b2 sin 2x)4 x
[ab > 0]:
BI ((182))(25)
3.82- 3.83 Powers of trigonometric functions combined with other powers
3.821
1:
Z
¼
x sinp x dx =
0
¼2
¡(p + 1)
´i2
h ³p
2p+1
+1
¡
2
[p > ¡1]:
BI((218))(7), LO V 121(71)
483
2:
Z
r¼
¼ 2 (2m ¡ 1)!! 2
[n = 2m];
¢
r
2
(2m)!!
(2m)!!
= (¡1)r+1 ¼
r
[n = 2m + 1];
(2m + 1)!!
x sinn x dx =
0
[r is a natural number] :
GW ((333))(8c)
3:
4:
Z
Z
¼
2
0
n
x cos x dx = ¡
k=0
(n ¡ 2k + 1)(n ¡ 2k + 3) . . . (n ¡ 1)
1
+
(n ¡ 2k)(n ¡ 2k + 2) . . . n
n ¡ 2k
8
¼ (2m ¡ 2)!!
>
>
< ¢
2 (2m ¡ 1)!!
+
>
¼ 2 (2m ¡ 1)!!
>
:
¢
8
(2m)!!
¼
x cos 2m x dx =
0
m¡1
X
¼ 2 (2m ¡ 1)!!
:
2
(2m)!!
[n = 2m ¡ 1];
[n = 2m]:
GW ((333))(9b)
5:
Z
s¼
x cos 2m x dx =
r¼
¼2 2
(2m ¡ 1)!!
(s ¡ r 2 )
:
2
(2m)!!
BI ((226))(3)
6:
Z
1
0
³p´
³p p´
¡
sin x
¼
¢ • 2 ¶ = 2p¡2 B
dx =
;
;
p+1
x
2
2 2
¡
2
[p is a fraction with odd numerator and denominator ]:
p
p
LO V 278, FI II 808
7:
Z
1
0
(2n ¡ 1)!! ¼
sin2n+1 x
¢ :
dx =
x
(2n)!!
2
BI ((151))(4)
8:
Z
1
0
sin2n x
dx = 1:
x
BI ((151))(3)
9:
Z
1
0
sin2 ax
a¼
dx =
2
x
2
[a > 0]:
LO V 307, 312, FI II 632
10:
11:
Z
Z
1
0
1
0
sin2m ax
(2m ¡ 3)!! a¼
dx =
¢
2
x
(2m ¡ 2)!! 2
[a > 0]:
sin2m+1 ax
(2m ¡ 3)!!
a2 ¼
dx
=
(2m
+
1)
x3
(2m)!!
4
GW ((333))(14b)
[a > 0]:
GW ((333))(14d)
12:
Z
1
0
Z 1 p¡1
sinp x
sin
x
p
dx =
cos x dx
[p > m ¡ 1 > 0];
m
m¡1
x
m¡1 0
x
Z 1 p¡2
Z 1 p
p(p ¡ 1)
sin
x
sin x
p2
=
dx ¡
dx
m¡2
(m ¡ 1)(m ¡ 2) 0
x
(m ¡ 1)(m ¡ 2) 0 xm¡2
[p > m ¡ 1 > 1]:
13:
Z
1
sin2n px
p
dx = 1:
x
0
BI ((177))(5)
14:
Z
1
sin
2n+1
0
dx
1
px p = 2n
x
2
r
n
¼X
(¡1)k
2p
k=0
•
2n + 1
n+k+1
¶
p
1
2k + 1
BI ((177))(7)
3.822
Z
1:
¼
2
0
xp cos m x dx = ¡
p(p ¡ 1)
m2
Z
¼
2
xp¡2 cos m x dx+
0
Z ¼
m¡1 2 p
x cosm¡2 x dx
m
0
[m > 1; p > 1]:
GW ((333))(9a)
Z
2:
1
¡ 12
x
cos
0
2n+1
1
(px) dx = 2n
2
r
n
¼X
2p
k=0
•
2n + 1
n+k+1
¶
p
1
:
2k + 1
BI ((177))(8)
3.823
Z
1
0
x¹¡1 sin2 ax dx = ¡
¡(¹) cos ¹¼
2
2¹+1 a¹
[a > 0;
¡2 < Re ¹ < 0]:
ET I 319(15), GW((333))(19c)a
3.824
1:
Z
1
0
sin2 ax
¼
dx =
(1 ¡ e¡2a¯ )
2
2
x +¯
4¯
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
BI ((160))(10)
2:
Z
1
0
cos 2 ax
¼
dx =
(1 + e¡2a¯ )
2
2
x +¯
4¯
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
BI ((160))(11)
3:7
Z
1
0
sin
2m
dx
(¡1)m ¼
x 2
=
¢
a + x2
22m+1 a
(
2
2m
sh
2m
a¡2
m
X
k=0
k
(¡1)
•
2m
k
¶
sh [2(m ¡ k)a]
)
[a > 0]:
4:
7
Z
1
0
(
¶
2m + 1
(¡1)
e
e¡2ka Ei [(2k ¡ 2m ¡ 1)a] +
k
k=0
)
¶
•
2m+1
X
2m
+
1
+ e¡(2m+1)a
(¡1)k¡1
e2ka Ei [(2m + 1 ¡ 2k)a]
k
dx
(¡1)m¡1
sin2m+1 x 2
=
a + x2
22m+2 a
(2m+1)a
2m+1
X
k
•
k=0
[a > 0]:
BI ((160))(14)
5:
7
6:7
Z
1
sin2m+1 x
0
Z
1
cos 2m x
0
x dx
¼
¡
¢
=
Pm
2
2m+1
m+k 2m+1 e2ka
¡(2m+1)a
+x
2
e
k=0 (¡1)
k
[j arg aj < ¼=2]; m = 0; 1; 2; . . .
a2
dx
¼
= 2m+1
2
2
a +x
2
a
•
¶
¶
m •
2m
¼ X
2m
+ 2m
e¡2ka
2 a
m
m+k
BI ((160))(15)
[a > 0]:
k=1
BI ((160))(16)
485
7:
Z
1
m
cos 2m+1 x
0
X
dx
¼
= 2m+1
2
2
a +x
2
a
k=1
•
2m + 1
m+k+1
¶
e¡(2k+1)a
[a > 0]:
BI ((160))(17)
8:
Z
1
0
cos
2m+1
¶
2m+1 •
x dx
e¡(2m+1)a X 2m + 1
x 2
= ¡ 2m+2
e2ka Ei[(2m ¡ 2k + 1)a] ¡
a + x2
2
k
k=0
(2m+1)a 2m+1
X • 2m + 1 ¶
e
¡ 2m+2
e¡2ka Ei[(2k ¡ 2m ¡ 1)a]:
2
k
k=0
BI ((160))(18)
9:
10:
Z
Z
1
0
1
0
cos 2 ax
¼
dx =
sin 2ab
2
2
b ¡x
4b
[a > 0;
b > 0]:
∙
¸
sin2 ax cos 2 bx
¼
1 ¡2(a+b)¯
1 2(b¡a)¯
¡2b¯
¡2a¯
dx
=
1
¡
e
+
e
¡
e
¡
e
¯ 2 + x2
8¯
2
2
¼
¡4a¯
[1 ¡ e
=
]
[a = b];
16¯∙
¸
¼
1
1
BI ((161))(10)
[a > b];
3.824
BI ((162))(6)
11:
Z
1
0
¼
x sin 2ax cos 2 bx
dx = [2e¡2a¯ + e¡2(a+b)¯ + e2(b¡a)¯ ]
¯ 2 + x2
8
¼
= [e¡4a¯ + 2e¡2a¯ ]
[a = b];
8
¼
= [2e¡2a¯ + e¡2(a+b)¯ ¡ e2(a¡b)¯ ]
8
[a > 0];
[a < b]:
LI ((162))(5)
3.825
Z
1:
1
0
sin2 ax dx
¼(b ¡ c + ce¡2ab ¡ be¡2ac )
=
(b2 + x2 )(c2 + x2 )
4bc(b2 ¡ c2 )
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((174))(15)
Z
2:
1
0
¼(b ¡ c + be¡2ac ¡ ce¡2ab )
cos 2 ax dx
=
(b2 + x2 )(c2 + x2 )
4bc(b2 ¡ c2 )
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI ((175))(14)
3:3
Z
1
0
sin2 ax dx
¼(c sin 2ab ¡ b sin 2ac)
=
(b2 ¡ x2 )(c2 ¡ x2 )
4bc(b2 ¡ c2 )
[a > 0;
b > 0;
c > 0;
b=
= c]:
LI ((174))(16)
4:
3
Z
1
0
cos 2 ax dx
¼(b sin 2ac ¡ c sin 2ab)
=
(b2 ¡ x2 )(c2 ¡ x2 )
4bc(b2 ¡ c2 )
[a > 0;
b > 0;
c > 0;
b=
= c]:
LI ((175))(15)
486
3.826
1:
Z
1
0
¸
∙
sin2 ax dx
¼
1
¡2ab
=
(1
¡
e
)
2a
¡
x2 (b2 + x2 )
4b2
b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((172))(13)
BII ((172))(14)
3.827
1:¤
Z
1
0
sin3 ax
3 ¡ 3º¡1 º¡1
º¼
dx
=
a
cos
¡(1¡º)
xº
4
2
[a > 0;
0 < Re º < 4]:
GW ((333))(19f)
2:
Z
1
0
sin3 ax
¼
dx =
sign a:
x
4
LO V 277
3:
Z
1
0
sin3 ax
3
dx = a ln 3:
2
x
4
BI ((156))(2)
4:
Z
1
0
sin3 ax
3
dx = a2 ¼ sign a:
3
x
8
BI((156))(7)A,LO V 312
5:
Z
1
0
sin4 ax
a¼
dx =
x2
4
[a > 0]:
BI ((156))(3)
6:
Z
1
0
sin4 ax
dx = a2 ln 2:
x3
BI ((156))(8)
7:
Z
1
0
sin4 ax
a3 ¼
dx
=
x4
3
[a > 0]:
BI((156))(11), LO V 312
8:
Z
1
0
sin5 ax
5
dx =
a(3 ln 3 ¡ ln 5):
2
x
16
9:
Z
1
0
sin5 ax
5 2
dx =
a ¼
x3
32
[a > 0]:
BI ((156))(9)
10:
Z
1
0
sin5 ax
5 3
dx =
a (25 ln 5 ¡ 27 ln 3):
4
x
96
BI ((156))(12)
11:
Z
1
0
sin5 ax
115 4
dx =
a ¼
5
x
384
[a > 0]:
BI((156))(13), LO V 312
12:
Z
1
0
sin6 ax
3
dx =
a¼
2
x
16
[a > 0]:
BI ((156))(5)
13:
Z
1
0
sin6 ax
3 2
dx =
a (8 ln 2 ¡ 3 ln 3):
x3
16
BI ((156))(10)
487
14:
Z
1
0
sin6 ax
1 4
dx =
a (27 ln 3 ¡ 32 ln 2):
5
x
16
BI ((156))(14)
15:
Z
1
0
sin6 ax
11 5
dx =
a ¼
x6
40
[a > 0]:
LO V 312
3.828
1:
Z
1
0
sin px sin qx
dx = ln
x
r
p+q
jp ¡ q j
[p=
= q]:
2:
Z
1
0
sin qx sin px
dx
1
= p¼
x2
2
[p ∙ q];
1
q¼
2
=
[p ¸ q]:
BI ((157))(1)
3:
Z
1
0
sin2 ax sin bx
¼
dx =
x
4
¼
=
8
[0 < b < 2a];
[b = 2a];
=0
[b > 2a]:
BI ((151))(10)
4:
Z
1
0
sin2 ax cos bx
1
4a2 ¡ b2
dx = ln
x
4
b2
BI ((151))(12)
5:
6:
Z
Z
1
0
sin2 ax cos 2bx
¼
dx = (a ¡ b)
2
x
2
[b < a];
=0
1
0
sin 2ax cos 2 bx
¼
dx =
x
2
3
= ¼
8
[b ¸ a]:
FI III 648a, BI((157))(5)A}\Cr
[a > b];
[a = b];
=
¼
4
[a < b]:
BI ((151))(9)
7:
Z
1
0
sin2 ax sin bx sin cx
¼
dx =
(jb¡2a¡cj¡j2a¡b¡cj+2c)
2
x
16
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
BI((157))(9)A, ET I 79(15)
8:
Z
1
0
sin2 ax sin bx sin cx
1
b+c
1
(2a ¡ b + c)(2a + b ¡ c)
dx = ln
+ ln
x
4
b¡c
8
(2a + b + c)(2a ¡ b ¡ c)
[a > 0; b > 0; c > 0; b=
= c]:
9:
Z
1
0
¼
sin2 ax sin2 bx
dx = a
2
x
4
[0 ∙ a ∙ b];
=
¼
b
4
[0 ∙ b ∙ a]:
BI ((157))(3)
488
10:
Z
1
0
sin2 ax sin2 bx
1
dx = a2 ¼(3b ¡ a)
4
x
6
1
= b2 ¼(3a ¡ b)
6
[0 ∙ a ∙ b];
[0 ∙ b ∙ a]:
BI ((157))(27)
11:
Z
1
0
sin2 ax cos 2 bx
2a ¡ b
dx =
¼
x2
4
[a ¸ b > 0];
=
a¼
4
[0 < a ∙ b]:
BI ((157))(6)
12:
Z
1
0
sin3 ax sin 3bx
a3 ¼
dx
=
[b > a];
x4
2
¼
=
[a ∙ 3b ∙ 3a];
[8a3 ¡ 9(a ¡ b)3 ]
16
9b¼ 2
=
(a ¡ b2 )
[3b ∙ a]:
8
LI ((157))(28)
BI ((157))(28)
13:
Z
1
0
sin3 ax cos bx
dx = 0
x
[b > 3a];
¼
16
¼
=¡
8
¼
=
16
¼
=
4
=¡
[b = 3a];
[3a > b > a];
[b = a];
[a > b]
[a > 0;
b > 0]:
BI ((151))(15)
14:
Z
1
0
(
sin3 ax cos 3bx
3
dx =
(a + b) ln[3(a + b)] + (b ¡ a) ln[3(b ¡ a)] ¡
x2
8
¡
¾
1
1
(a + 3b) ln(a + 3b) ¡ (3b ¡ a) ln(3b ¡ a)
3
3
[a > 0; b > 0]:
15:
Z
1
0
¼
sin3 ax cos bx
dx = (3a2 ¡ b2 )
[b < a];
3
x
8
¼b2
=
[a = b];
4
¼
=
(3a ¡ b)2
[a < b < 3a];
16
=0
[3a < b];
[a > 0; b > 0]:
BI((157))(19), ET I 19(10)
489
16:
Z
1
0
sin3 ax sin bx
b¼
(9a2 ¡ b2 )
dx =
[0 < b ∙ a];
4
x
24
¼
[0 < a ∙ b ∙ 3a];
=
[24a3 ¡ (3a ¡ b)3 ]
48
¼a3
=
[0 < 3a ∙ b]:
2
ET I 79(16)
17:
Z
1
0
¼
sin3 ax sin2 bx
dx =
x
8
5¼
=
32
3¼
=
16
3¼
=
32
[2b > 3a];
[2b = 3a];
[3a > 2b > a];
[2b = a];
=0
[a > 2b];
[a > 0;
b > 0]:
BI ((151))(14)
18:
Z
1
0
sin2 ax cos3 bx
1
(2a + b)3 (b ¡ 2a)3 (2a + 3b)(3b ¡ 2a)
dx =
ln
x
16
9b8
[b > 2a > 0 or 2a > 3b > 0];
1
(2a + b)3 (2a ¡ b)3 (2a + 3b)(3b ¡ 2a)
=
[3b > 2a > b]:
ln
16
9b8
BI ((151))(13)
19:
Z
1
0
sin2 ax sin2 bx sin 2cx
dx =
x
¼
=
[1 + sign(c ¡ a + b) + sign(c + a ¡ b) ¡ 2 sign(c ¡ a) ¡ 2 sign(c ¡ b)]
16
[a > 0; b > 0; c > 0]:
Z
20:
1
0
sin2 ax sin2 bx sin 2cx dx
a¡b¡c
=
ln 4(a ¡ b ¡ c)2 ¡
x2
16
a+b¡c
a+b+c
ln 4(a + b + c)2 +
ln 4(a + b ¡ c)2 ¡
¡
16
16
a+c
a¡b+c
¡
ln 4(a ¡ b + c)2 +
ln 4(a + c)2 ¡
16
8
b+c
a¡c
b¡c
ln 4(a ¡ c)2 +
ln 4(b + c)2 ¡
ln 4(b ¡ c)2 ¡
¡
8
8
8
1
¡ c ln 2c
[a > 0; b > 0; c > 0]:
2
BI ((157))(10)
490
21:
Z
1
0
sin2 ax sin3 bx
3b2 ¼
[2a > 3b];
dx
=
x3
16
a2 ¼
=
[2a = 3b];
12
6b2 ¡ (3b ¡ 2a)2
=
¼
32
a2 ¼
=
[b > 2a];
4
[3b > 2a > b];
[a > 0;
b > 0]:
BI ((157))(18)
3.829
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
xn ¡ sinn x
¼
dx = n
n+2
x
2 (n + 1)!
(1 ¡ cos
2m¡1
dx
x) 2 =
x
Z
1
0
[(n¡1)=2]
X
k=0
(1 ¡ cos
2m
(¡1)k
³n´
k
(n ¡ 2k)n+1
GW ((333))(63)
dx
m¼
x) 2 = 2m
x
2
•
2m
m
¶
:
BI ((158))(7, 8)
3.831
1:
Z
1
0
sin2n ax ¡ sin2n bx
(2n ¡ 1)!!
b
dx =
ln
x
(2n)!!
a
[ab > 0;
n = 1; 2; . . . ]:
FI II 651
2:
Z
1
0
∙
¸
cos 2n ax ¡ cos 2n bx
b
(2n ¡ 1)!!
dx = 1 ¡
ln
x
(2n)!!
a
[ab > 0;
n = 0; 1; . . . ]:
3:
Z
1
0
cos 2m+1 ax ¡ cos 2m+1 bx
b
dx = ln
x
a
[ab > 0;
m = 0; 1; . . . ]:
FI II
4:
Z
1
0
cos m ax cos max ¡ cos m bx cos mbx
dx =
x
•
1
1¡ m
2
¶
ln
b
a
[ab > 0;
m = 0; 1; . . . ]:
LI ((155))(8)
3.832
1:
•
¶
¶
p¡a+1
p+a+1
Z ¼2
¡Ã
Ã
¼
2
2
•
¶ •
¶
x cos p¡1 x sin ax dx = p+1 ¡(p)
p
+
a
+
1
p
¡
a
+1
2
0
¡
¡
2
2
[p > 0; ¡(p + 1) < a < p + 1]:
•
BI ((205))(6)
2:3
Z
1
0
sin2m+1 x sin 2mx
dx
(¡1)m ¼
=
[(1¡e¡2a )2m ¡1] sh a
[a > 0;
a2 + x2
22m+1 a
[for m = ¡1 see 3.723.2].
m = 0; 1: . . . ]
3.723
BI ((162))(17)
491
3:
Z
1
0
sin2m¡1 x sin[(2m¡1)x]
dx
(¡1)m+1 ¼
=
(1¡e¡2a )2m¡1
a2 + x2
22m a
[a > 0;
m = 1; 2; . . . ]:
BI ((162))(11)
4:
Z
1
sin2m¡1 x sin[(2m + 1)x]
0
a2
dx
(¡1)m¡1 ¼ ¡2a
=
e
(1 ¡ e¡2a )2m¡1
2
+x
22m a
[a > 0; m = 1; 2; . . . ]:
BI ((162))(12)
5:
Z
1
0
sin2m+1 x sin[3(2m+1)x]
a2
dx
(¡1)m ¼ ¡3(2m+1)a 2m+1
=
e
sh
a
2
+x
2a
[a > 0]:
6:
7:
3
Z
Z
1
0
1
sin2m x sin[(2m ¡ 1)x]
sin2m x sin(2mx)
0
x dx
(¡1)m ¼ a
=
e [(1 ¡e¡2a )2m ¡(1+e¡2a )]
a2 + x2
22m+1
[a ¸ 0; m = 0; 1; . . . ]:
x dx
(¡1)m ¼
=
[(1¡e¡2a )2m ¡1]
a2 + x2
22m+1
[a > 0;
BI ((162))(13)
m = 0; 1; . . . ]:
BI ((162))(14)
8:
Z
1
sin2m x sin[(2m+2)x]
0
x dx
(¡1)m ¼ ¡2a
=
e
(1¡e¡2a )2m
a2 + x2
22m+1
[a > 0;
m = 0; 1; . . . ]:
BI ((162))(15)
9:
Z
1
sin2m x sin 4mx
0
x dx
(¡1)m ¼ ¡4ma 2m
=
e
sh a
a2 + x2
2
[a > 0;
m = 1; 2; . . . ]:
BI ((162))(16)
10:
Z
1
0
sin2m x cos x
dx
(2m ¡ 3)!! ¼
=
¢
2
x
(2m)!!
2
[m = 1; 2; . . . ]:
GW ((333))(15a)
11:
Z
1
0
sin2m x cos[(2m ¡ 1)x]
dx
(¡1)m ¼
=
[(1 ¡ e¡2a )2m¡1 ¡ 1] sh a
a2 + x2
22m a
[a > 0; m = 1; 2; . . . ]:
BI ((162))(25)
12:
Z
1
0
sin2m x cos(2mx)
dx
(¡1)m ¼
=
(1¡e¡2a )2m
a2 + x2
22m+1 a
[a > 0;
m = 0; 1; . . . ]:
BI ((162))(26)
13:
Z
1
0
sin2m x cos[(2m+2)x]
dx
(¡1)m ¼ ¡2a
=
e
(1¡e¡2a )2m
a2 + x2
22m+1 a
[a > 0;
m = 0; 1; . . . ]:
Z
14:
1
sin2m x cos 4mx
0
a2
dx
(¡1)m ¼ ¡4ma 2m
e
=
sh a
2
+x
2a
[a > 0;
m = 0; 1; . . . ]:
BI ((162))(28)
Z
15:
1
sin2m+1 x cos x
0
dx
(2m ¡ 1)!! ¼
¢
=
x
(2m + 2)!! 2
[m = 0; 1; . . . ]:
GW ((333))(15)
492
16:
3
Z
1
sin2m+1 x cos x
0
dx
(2m ¡ 3)!! ¼
¢
=
3
x
(2m)!!
2
[m = 1; 2; . . . ]:
GW ((333))(15b)
17:
Z
1
0
sin2m¡1 x cos[(2m ¡ 1)x]
x dx
(¡1)m ¼
=
[(1 ¡ e¡2a )2m¡1 ¡ 1]
a2 + x2
22m
[m = 1; 2; . . . ; a > 0]:
BI ((162))(23)
18:3
19:
Z
Z
1
sin2m+1 x cos 2mx
0
1
ª
x dx
(¡1)m¡1 ¼ © a
=
e [(1 ¡ e¡2a )2m+1 ¡ 1] ¡ e¡a
2
2m+2
+x
2
[m = 0; 1; . . . ; a ¸ 0]:
a2
sin2m¡1 x cos[(2m + 1)x]
0
BI ((162))(29)
x dx
(¡1)m ¼ ¡2a
=
e
(1 ¡ e¡2a )2m¡1
2
+x
22m
[m = 1; 2; . . . ; a > 0]:
a2
BI ((162))(24)
20:
Z
1
sin2m+1 x cos[2(2m + 1)x]
0
x dx
(¡1)m¡1 ¼ ¡2(2m+1)a 2m+1
=
e
sh
a
a2 + x2
2
[m = 0; 1; . . . ; a > 0]:
BI ((162))(30)
21:
Z
1
0
x dx
1 X ³ m ´ ¡2ka
cos x sin mx 2
=
Ei(2ka)¡e2ka Ei(¡2ka)]
[e
a + x2
2m+1 a
k
m
m
k=1
[a > 0]:
Z
22:
1
cosn sx sin nsx
0
x dx
¼
= n+1 [(1+e¡2as )n ¡1]
2
+x
2
[s > 0;
a2
Re a > 0;
n ¸ 0]:
BI ((163))(9)
Z
23:
Z
24:
1
cosn sx sin nsx
0
1
x dx
¼
= (2¡n ¡cos n as cos nas)
2
¡x
2
a2
cos m¡1 x sin[(m+1)x]
0
[n = 0; 1; . . . ]:
BI ((166))(10)
x dx
¼
= m e¡2a (1+e¡2a )m¡1
2
+x
2
[a > 0;
a2
m = 1; 2; . . . ]:
BI ((163))(6)
Z
25:
1
cos m x sin[(m+1)x]
0
x dx
¼
= m+1 e¡a (1+e¡2a )m
2
+x
2
a2
[m = 0; 1; . . . ;
a > 0]:
BI ((163))(10)
26:
3
Z
1
0
cosm x sin[(m¡1)x]
x dx
¼
= m ch a[(1+e¡2a )m¡1 ¡1]
2
+x
2
a2
[m = 0; 1; . . . ;
a ¸ 0]:
BI ((163))(7)
27:
28:
29:
Z
Z
Z
1
cosm x sin(3mx)
0
x dx
¼
= e¡3a chm a
2
+x
2
a2
[a > 0;
m = 1; 2; . . . ]:
BI ((163))(11)
1
cosn sx cos nxs
0
dx
¼
= n+1 (1 + e¡2as )n
a2 + x2
2
a
[n = 0; 1; . . . ]:
BI ((163))(16)
1
0
cosn sx cos nsx
dx
¼
=
cos n as sin nas
a2 ¡ x2
2a
[n = 0; 1; . . . ]:
493
30:
Z
1
cosm¡1 x cos[(m+1)x]
0
a2
dx
¼
= m e¡2a (1+e¡2a )m¡1
2
+x
2 a
[m = 1; 2; . . . ;
a > 0]:
BI ((163))(14)
31:
Z
1
0
cosm x cos[(m ¡ 1)x]
a2
dx
¼
= m+1 ea [(1 + e¡2a )m ¡ (1 ¡ e¡2a )]
2
+x
2
a
[m = 0; 1; . . . ; a > 0]:
BI ((163))(15)
32:
Z
1
cosm x cos[(m+1)x]
0
dx
¼
= m+1 e¡a (1+e¡2a )m
a2 + x2
2
a
[m = 0; 1; . . . ;
a > 0]:
BI ((163))(17)
33:
Z
1
0
Z 1 p¡1
Z
sin
x
dx
p
p + 1 1 sinp+1 x
sin x cos x q =
dx ¡
dx
[p > q ¡ 1 > 0];
x
q¡1 0
xq¡1
q¡1 0
xq¡1
Z 1
dx
p(p ¡ 1)
sinp¡2 x cos x q¡2 ¡
=
(q ¡ 1)(q ¡ 2) 0
x
Z 1
(p + 1)2
dx
¡
sinp x cos x q¡2
[p > q ¡ 1 > 1]:
(q ¡ 1)(q ¡ 2) 0
x
p
GW ((333))(18)
34:
Z
1
0
cos
2m
dx
x cos 2nx sin x
=
x
Z
1
cos
2m¡1
0
dx
¼
x cos 2nx sin x
= 2m+1
x
2
•
2m
m+n
¶
:
BI ((152))(5, 6)
35:
36:
Z
Z
1
0
cosp ax sin bx cos x
dx
¼
=
x
2
[b > ap;
p > ¡1]:
BI ((153))(12)
1
0
cosp ax sin pax cos x
dx
¼
= p+1 (2p ¡ 1)
x
2
[p > ¡1]:
BI ((153))(2)
BI ((157))(15)
3.833
1:
Z
1
sin2m+1 x cos2n x
0
dx
=
x
Z
1
sin2m+1 x cos2n¡1 x
0
•
¶
1
1
1
= B m+ ; n+
:
2
2
2
dx
(2m ¡ 1)!!(2n ¡ 1)!!
=
¼:
x
2m+n+1 (m + n)!!
GW ((333))(24)
BI ((151))(24, 25)
2:
Z
1
sin2m+1 2x cos2n¡1 2x cos 2 x
0
¼ (2m ¡ 1)!!(2n ¡ 1)!!
dx
= ¢
:
x
2
(2m + 2n)!!
LI ((152))(4)
494
3.834
1:
Z
1
0
(¯
¯2m¡1
(¡1)m ¼(1 + a)4m ¯¯ 1 ¡ a ¯¯
dx
sin2m+1 x
¢
=
¡
¯1 + a¯
1 ¡ 2a cos x + a2 x
22m+2 a2m+1
¶•
•
¶k )
2m
X
4a
m ¡ 12
k
¡
(¡1)
k
(1 + a)2
k=0
[jaj=
= 1]:
GW ((333))(62a)
2:
Z
1
0
sin2m+1 x cos n x
dx
=
¢
2
p
(1 ¡ 2a cos x + a )
x
=
n
X (¡1)k (2m + 2n ¡ 2k + 1)!!(2m + 2k ¡ 1)!!
n!¼
£
n+1
2p
2
(2m + n + 1)!(1 + a)
k!(n ¡ k)!
k=0
•
¶
3
4a
£ F m + n ¡ k + ; p; 2m + n + 2;
[a=
= § 1]:
2
(1 + a)2
GW ((333))(62)
3.835
1:
Z
1
0
cos 2m x cos 2mx sin x dx
¼
b2m¡1
¢
=
x
2 a(a + b)2m
a2 cos 2 x + b2 sin2 x
[ab > 0]:
BI ((182))(31)a
LI ((182))(32)a
3.836
Z
1:
1
0
•
sin x
x
¶n
sin mx
¼
dx =
x
2
[m ¸ n]:
LI ((159))(12)
2:3
Z
1
0
•
sin x
x
¶n
cos mx dx =
n¼
2n
X
0∙k< m+n
2
(¡1)k (n + m ¡ 2k)n¡1
k!(n ¡ k)!
[m ¸ n]
=0
[0 ∙ m < n];
[n ¸ 2];
¼
=
4
[m = n = 1]:
GI((159))(14), ET I 20(11)
Z
3:
1
0
•
sin x
x
¶n¡1
sin nx cos x
¼
dx
=
x
2
[n ¸ 1]:
BI ((159))(20)
4:¤
Z
1
0
•
sin x
x
¶n
2
sin(anx)
¼
1
dx = 41 ¡ n¡1
x
2
2
n!
X
0∙k< n
2 (1¡a)
(¡1)k
³n´
[all real a;
k
3
n
(n + an ¡ 2k) 5
n ¸ 1]:
ET I 20(11)
495
5:
7
2
¼
Z
1
0
•
sin x
x
¶n
³ ´
X
¼
k n
(
¡
1)
(n ¡ b ¡ 2k)n¡1 ;
2n¡2 (n ¡ 1)!
k
[r]
cos bx dx =
k=0
where 0 ∙ b < n; n ¸ 1; r = (n ¡ b)=2, and [r] is the largest integer contained in r.
LO V 340(14)
6:
Z
1
0
•
sin x
x
¶n
cos anx dx = 0
[a ∙ ¡1 or a ¸ 1; n ¸ 2;
for n = 1see 3.741.2].
1:
Z
¼
2
0
x2 dx
= ¼ ln 2:
sin2 x
BI ((206))(9)
2:
Z
¼
4
0
x2 dx
¼
¼2
=¡
+ ln 2 + G = 0:8435118417 . . .
2
16
4
sin x
BI ((204))(10)
3:
Z
¼
4
0
x2 dx
¼2
¼
=
+ ln 2 ¡ G :
cos 2 x
16
4
GW ((333))(35a)
4:
Z
¼
4
0
³ ¼ ´p+1
³ ¼ ´p
xp+1
dx
=
¡
+(p+1)
4
4
sin2 x
(
)
1
1X
1
1
¡
³(2k)
p 2
42k¡1 (p + 2k)
[p > 0]:
k=1
LI ((204))(14)
5:
Z
¼
2
0
x2 cos x
¼2
dx = ¡
+ 4G
G = 1:1964612764 . . .
2
4
sin x
BI ((206))(7)
6:
Z
¼
2
0
x3 cos x
¼3
3
dx
=
¡
+ ¼ ln 2:
3
16
2
sin x
BI ((206))(8)
7:
Z
1
0
cos 2nx
dx
sin2n x m = 0
cos x
x
∙
n>
m¡1
;
2
¸
m>0 :
BI ((180))(16)
8:
Z
1
0
cos 2nx
dx
sin2n+1 x m = 0
cos x
x
∙
n>
m¡2
;
2
¸
m>0 :
BI ((180))(17)
BI ((149))(20)
10:
11:
3
3
Z
Z
¼
0
¼
0
x sin(2n + 1)x
1
dx = ¼ 2
sin x
2
[n = 0; 1; 2; . . . ]:
n
X
x sin 2nx
dx = ¡4 (2k ¡ 1)¡2
sin x
[n = 1; 2; 3; . . . ]:
k=1
3.838
1:
Z
¼
2
0
x cos p¡1 x
¼
¼p
dx =
sec
2p
2
sinp+1 x
[p < 1]:
BI ((206))(13)a
496
2:
Z
¼
4
0
x sinp¡1 x
¼
1
dx =
¡ ¯
p+1
cos
x
4p 2p
•
p+1
2
¶
[p > ¡1]:
LI ((204))(15)
3:
Z
¼
4
0
m¡1
¼
1 X (¡1)k¡1
x sin2m¡1 x
dx
=
(1
¡
cos
m¼)
+
:
cos 2m+1 x
8m
2m
2m ¡ 2k ¡ 1
k=0
BI ((204))(17)
4:
Z
¼
4
0
x sin2m x
1
dx =
2m+2
cos
x
2(2m + 1)
"
m¡1
X (¡1)k¡1
¼
+ (¡1)m¡1 ln 2 +
2
m¡k
k=0
#
:
BI ((204))(16)
3.839
1:
Z
¼
4
0
x tg 2 x dx =
¼
¼3
1
¡
¡ ln 2:
4
32
2
BI ((204))(3)
BI ((204))(7)
3:
Z
¼
4
x2 tg x
1
¼2
¼
dx
=
ln
2
¡
+
cos2 x
2
4
16
0
(cf. 3.839 1.).
3.839
BI ((204))(13)
4:
Z
¼
4
x2 tg 2 x
1
dx =
2
cos x
3
0
•
¼2
¼
¼
1 ¡ ln 2 ¡ +
+G
4
2
16
¶
(cf. 3.839 2.).
3.839
BI ((204))(12)
5:
6:
Z
Z
¼
2
x cos p x tg x dx =
0
¼
2
0
¡(p + 1)
¼
¢h ³
´i2
p
2p+1 p
+1
¡
2
¼
2p¡1
x sin x ctg x dx =
¡
B
2p
p
p
•
[p > ¡1]:
BI ((205))(3)
p+1 p+1
;
2
2
¶
[p > ¡1]:
BI ((206))(11)
7:
Z
1
0
sin2n x tg x
dx
¼ (2n ¡ 1)!!
= ¢
:
x
2
(2n)!!
GW ((333))(16)
8:
9:
Z
Z
1
0
cos s rx tg qx
dx
¼
=
x
2
[s > ¡1]:
BI ((151))(26)
1
0
cos[(2n ¡ 1)x]
¢
cos x
•
sin x
x
¶2n
dx = (¡1)n¡1
22n ¡ 1 2n¡1
¢2
¼ jB2n j:
(2n)!
10:
Z
1
tg r px
0
dx
¼
r¼ r
=
sec
• pq
q2 + x2
2q
2
[r2 < 1]:
BI ((160))(19)
3.84 Integrals containing the expressions
p
p
2
2
¡
1 k sin x; 1 ¡ k 2 cos2 x
, and similar expressions
Notation: k 0 = 1 ¡ k 2
3.841
1:
Z
1
0
p
dx
sin x 1 ¡ k 2 sin2 x
= E (k):
x
BI ((154))(8)
497
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
p
dx
sin x 1 ¡ k 2 cos 2 x
= E (k):
x
BI ((154))(20)
p
dx
tg x 1 ¡ k 2 sin2 x
= E (k):
x
BI ((154))(9)
p
dx
tg x 1 ¡ k 2 cos 2 x
= E (k):
x
BI ((154))(21)
3.842
1:
Z
1
0
p
sin x
dx
=
1 + sin2 x x
Z
1
tg x
dx
=
0
1 + sin2 x x
•
¶
Z 1
Z 1
sin x
dx
tg x
dx
1
1
p
p
=
=
= p K p
:
1 + cos 2 x x
1 + cos 2 x x
2
2
0
0
p
¢
BI ((183))(4, 5, 9, 10)
BI ((226))(4)
3:
Z
1
0
Z 1
dx
dx
tg x
p
p
=
=
2
2
2 sin x x
0
1 ¡ k 2 sin x x
1
¡
k
Z 1
Z 1
dx
dx
sin x
tg x
p
p
=
=
=
= K (k):
x
1 ¡ k2 cos 2 x x
1 ¡ k 2 cos 2 x
0
0
sin x
BI ((183))(12, 13, 21, 22)
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
¼
2
x sin x cos x
1
p
dx = 2 [¡¼k0 + 2E
E(k)]:
2
2k
1 ¡ k 2 sin x
0
¼
2
x sin x cos x
1
p
dx = 2 [¼ ¡ 2E
E(k)]:
2
2
2k
1 ¡ k cos x
0
®
0
¼ sin2 ®2
x sin x dx
p
=
:
cos 2 ®
cos2 x sin2 ® ¡ sin2 x
p
cos ® + 1 ¡ sin2 ® sin2 ¯
¼ ln
Z ¯
2 cos ¯ cos 2 ®2
x sin x dx
p
p
=
:
2
2
2
2
2 cos ® 1 ¡ sin2 ® sin2 ¯
0 (1 ¡ sin ® sin x) sin ¯ ¡ sin x
BI ((211))(1)
BI ((214))(1)
LO III 284
LO III 284
3.843
1:
Z
1
0
p
dx
tg x 1 ¡ k 2 sin2 2x
= E (k):
x
498
2:
Z
1
0
p
dx
tg x 1 ¡ k 2 cos 2 2x
= E (k):
x
BI ((154))(10)
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
tg x
dx
p
=
1 + sin2 2x x
tg x
Z
1
0
dx
p
=
2
2
1 ¡ k sin 2x x
tg x
dx
1
p
= p K
1 + cos 2 2x x
2
•
1
p
2
¶
:
BI ((183))(6, 11)
Z
1
0
p
tg x
dx
= K (k):
2
2
1 ¡ k cos 2x x
BI ((183))(14, 23)
3.844
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
p
sin x cos x dx
1
= 2 [K
K(k) ¡ E (k)]:
2
2
k
1 ¡ k cos x x
sin x cos 2 x
dx
1
p
K(k) ¡ E (k)]:
¢
= 2 [K
2
2
k
1 ¡ k cos x x
sin x cos 3 x
dx
1
p
K(k) ¡ 2(1 + k 2 )E
E(k)]:
¢
= 4 [(2 + k 2 )K
2
2
3k
1 ¡ k cos x x
sin x cos 4 x
dx
1
p
¢
= 4 [(2 + k 2 )K
K(k) ¡ 2(1 + k 2 )E
E(k)]:
2
2
3k
1 ¡ k cos x x
sin3 x cos x
1
dx
p
¢
= 4 [(1 + k 02 )E
E(k) ¡ 2k02 K (k)]:
3k
1 ¡ k 2 cos 2 x x
sin3 x cos2 x
1
dx
p
= 4 [(1 + k 02 )E
E(k) ¡ 2k02 K (k)]:
¢
2
2
x
3k
1 ¡ k cos x
BI ((185))(20)
BI ((185))(21)
BI ((185))(22)
BI ((185))(23)
BI ((185))(24)
BI ((185))(25)
BI ((184))(16)
8:
Z
1
0
p
dx
sin4 x tg x
1
¢
= 4 [(2 + 3k 2 )k 02 K (k) ¡ 2(k 02 ¡ k 2 )E
E(k)]:
2
2
3k
1 ¡ k cos x x
BI ((184))(18)
3.845
1:
Z
1
0
à p !#
" Ãp !
sin x cos x dx p
2
2
1
p
¢
= 2 E
¡ K
:
2
x
2
2
2
1 + cos x
BI ((185))(6)
2:
Z
1
0
" Ãp !
à p !#
sin x cos 2 x dx p
2
2
1
p
¢
= 2 E
¡ K
:
2
2
2
1 + cos 2 x x
BI ((185))(7)
3:
Z
1
0
" Ãp !
à p !#
sin2 x tg x dx p
2
2
p
¢
= 2 E
¡E
:
2
2
2
1 + cos x x
BU ((184))(8)
499
3.846
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
p
sin x cos x
1 ¡ k 2 sin2 x
¢
dx
1
= 2 [E
E(k) ¡ k 02 K (k)]:
x
k
sin x cos 2 x
1
dx
p
¢
= 2 [E
E(k) ¡ k 02 K (k)]:
2
k
1 ¡ k 2 sin x x
sin x cos 3 x
1
dx
p
¢
= 4 [(2 ¡ 3k 2 )k 02 K (k) ¡ 2(k02 ¡ k 2 )E
E(k)]:
2
x
3k
2
1 ¡ k sin x
BI ((185))(9)
BI ((185))(10)
4:
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
dx
sin x cos 4 x
1
p
¢
= 4 [(2 ¡ 3k 2 )k 02 K (k) ¡ 2(k02 ¡ k 2 )E
E(k)]:
2
2
x
3k
1 ¡ k sin x
BI ((185))(12)
dx
sin3 x cos x
1
p
¢
= 4 [(1 + k 02 )E
E(k) ¡ 2k 02 K (k)]:
2
2
x
3k
1 ¡ k sin x
BI ((185))(13)
dx
sin3 x cos 2 x
1
p
¢
= 4 [(1 + k 02 )E
E(k) ¡ 2k 02 K (k)]:
2
2
x
3k
1 ¡ k sin x
BI ((185))(14)
p
p
sin2 x tg x
2
1 ¡ k 2 sin x
sin4 x tg x
1¡
k2
2
sin x
¢
dx
1
= 2 [K
K(k) ¡ E (k)]:
x
k
BI ((184))(9)
¢
dx
1
= 4 [(2 + k 2 )K
K(k) ¡ 2(1 + k 2 )E
E(k)]:
x
3k
BI ((184))(11)
3.847
Z
1
0
sin x cos x dx
p
¢
=
1 + sin2 x x
Z
1
0
" Ãp !
à p !#
sin x cos 2 x dx p
2
2
p
¢
= 2 K
¡E
:
2
x
2
2
1 + sin x
BI ((185))(3, 4)
3.848
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
p
p
sin3 x cos x
1¡
k2
2
sin 2x
cos2 2x tg x
1 ¡ k 2 sin2 2x
¢
1
dx
= 2 [K
K(k) ¡ E (k)]:
x
4k
BI ((185))(15)
¢
1
dx
= 2 [E
E(k) ¡ k 02 K (k)]:
x
k
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
p
p
p
cos4 2x tg x
1¡
k2
2
sin 2x
¢
dx
1
= 4 [(2 ¡ 3k 2 )k 02 K (k) ¡ 2(k02 ¡ k 2 )E
E(k)]:
x
3k
BI ((184))(13)
sin2 4x tg x
2
1 ¡ k 2 sin 2x
¢
dx
4
= 4 [(1 + k 02 )E
E(k) ¡ 2k 02 K (k)]:
x
3k
sin3 x cos x
dx
1
¢
= 2 [E
E(k) ¡ k 02 K (k)]:
2
2
4k
1 ¡ k cos 2x x
BI ((184))(17)
BI ((185))(26)
500
6:
7:
Z
Z
1
0
1
0
p
p
cos 2 2x tg x
dx
1
K(k) ¡ E (k)]:
¢
= 2 [K
k
1 ¡ k 2 cos 2 2x x
dx
1
cos 4 2x tg x
K(k) ¡ 2(1 + k 2 )E
E(k)]:
¢
= 4 [(2 + k 2 )K
3k
1 ¡ k 2 cos 2 2x x
BI ((184))(19)
BI ((184))(20)
3.849
1:
Z
1
0
" Ãp !
à p !#
sin3 x cos x dx
1
2
2
p
¢
= p K
¡E
:
2
2
2
1 + cos 2x x
2 2
BI ((185))(8)
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
Ãp !
à p !#
p "
sin3 x cos x dx
2
2
2
p
¢
=
2K
K
¡K
:
2
x
8
2
2
1 + sin 2x
" Ãp !
à p !#
cos 2 2x tg x dx p
2
2
p
¢
= 2 K
¡E
:
2
x
2
2
1 + sin 2x
BI ((185))(5)
powers
3.851
1:
Z
1
0
b
x sin(ax ) sin(2bx) dx =
2a
2
r
¼
2a
•
b2
b2
cos
+ sin
a
a
¶
[a ¸ 0;
b > 0]:
BI ((150))(4)
2:
Z
1
0
1 b
¡
x sin(ax ) cos(2bx) dx =
2a a
2
r
∙
•
¶
•
¶¸
b2
b
b
¼
b2
¡ cos S p
sin C p
:
2a
a
a
a
a
BI ((150))(5)a
3:
Z
1
0
b
x cos(ax ) sin(2bx) dx =
2a
2
r
¼
2a
•
b2
b2
sin
¡ cos
a
a
¶
[a > 0;
b > 0];
(cf. 3.691 7.).
3.691
BI ((150))(7)
4:
Z
1
0
b
x cos(ax ) cos(2bx) dx =
a
2
r
∙
•
¶
•
¶¸
¼
b2
b2
b
b
cos C p
+ sin S p
:
2a
a
a
a
a
BI ((150))(6)a
5:
Z
1
0
dx
b¼
sin(ax ) cos(bx) 2 =
x
2
2
• 2
½ •
¶
•
¶
¶¾
p
¼
b
b
b
p
p
S
¡C
+ a¼ sin
+
2 a
2 a
4a
4
[a > 0; b > 0];
(cf. 3.691 7.).
3.691
ET I 23(3)a
3.852
1:
Z
1
0
sin(ax2 )
dx =
x2
r
a¼
2
[a ¸ 0]:
BI ((177))(10)a
501
2:
Z
1
0
r
p
dx
1 ¼ p
sin(ax ) cos(bx ) 2 =
( a + b + a ¡ b)
x
2 2
1p
=
¼a
[b = a ¸ 0];
2r
p
1 ¼ p
=
( a + b ¡ b ¡ a)
2 2
2
2
[a > b > 0];
[b > a > 0];
(cf. 3.852 1.).
3.852
BI ((177))(23)
3:
Z
1
0
p
sin2 (a2 x2 )
2 ¼ 3
dx
=
a
x4
3
[a ¸ 0]:
GW ((333))(19e)
4:
Z
1
0
p
sin3 (a2 x2 )
3 ¡ 3p
dx =
¼a
x2
8
[a ¸ 0]:
GW ((333))(19g)
5:
Z
1
0
dx
1
(sin x ¡ x cos x ) 4 =
x
3
2
2
2
r
¼
:
2
BI ((178))(8)
6:
Z
1
0
½
1
cos x ¡
1 + x2
2
¾
1
dx
= ¡ C:
x
2
BI ((173))(22)
3.853
1:
Z
1
0
³
³
¡ 2 ¢i
sin(ax2 )
¼ hp
¼ ´ ¡p ¢ p
¼ ´ ¡p ¢
2
2
¡
¡
sin
a¯
dx
=
2
sin
a¯
+
C
a¯
2
cos
a¯
+
S
a¯
¯ 2 + x2
2¯
4
4
[a > 0; Re ¯ > 0]:
ET II 219(33)a
2:
Z
1
0
³
³
p
cos(ax2 )
¼ h
¼ ´ ¡p ¢ p
¼ ´ ¡ p ¢i
2
2
2
dx
=
cos(a¯
)
¡
2
cos
a¯
+
C
a¯
2
sin
a¯
+
S
a¯
¯ 2 + x2
2¯
4
4
[a > 0; Re ¯ > 0]:
3:
Z
1
0
∙
•
¶ •
¶
•
¶
¸
p
p
p
p
¯¼
x2 sin(ax2 )
2
2 ¼
2 ¼
¡
dx
=
sin(a¯
)
¡
2
sin
a¯
+
C
a¯
+
2
cos
a¯
+
S(
a¯)
¯ 2 + x2
2
4
4
r
1 ¼
¡
[a > 0; Re ¯ > 0]:
2 2a
ET II 219(32)a
4:
Z
1
0
r
³
p
¼
¼ ´ ¡p ¢
¯¼ h
¡
cos(a¯ 2 ) ¡ 2 cos a¯ 2 +
C
a¯ ¡
2a
2
4
³
´
i
p
¡p ¢
¼
¡ 2 sin a¯ 2 +
S
a¯
[a > 0; Re ¯ > 0]:
4
x2 cos(ax2 )
1
dx =
2
2
¯ +x
2
ET II 221(50)a
3.854
1:
Z
1
0
2
dx
¼e¡ab
p
(cos(ax ) ¡ sin(ax )) 4
=
x + b4
2b3 2
2
2
[a > 0;
b > 0]:
LI ((178))(11)A, BI ((168))(25)
502
2:
Z
1
0
2
x2 dx
¼e¡ab
p
(cos(ax ) + sin(ax )) 4
=
x + b4
2b 2
2
2
[a > 0; b > 0]:
LI ((178))(12)
3:
Z
1
0
2
x2 dx
¼e¡ab
p
(cos(ax )+sin(ax )) 4
=
(x + b4 )2
4 2b3
2
2
•
1
a+ 2
2b
¶
[a > 0;
b > 0]:
LI ((178))(14)
4:
Z
1
0
2
x4 dx
¼e¡ab
p
(cos(ax )¡sin(ax )) 4
=
(x + b4 )2
4 2b
2
2
•
¶
1
¡a
2b2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((178))(15)
3.855
1:
Z
1
0
sin(ax2 )
1
p
dx =
2
4
2
¯ +x
r
a¼ 1
I
2 4
•
a¯
2
¶
K
1
4
•
a¯
2
¶
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
2:
3:
4:
5:
6:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
u
0
sin(a2 x2 )
a
p
dx =
4
4
4
u ¡x
1
u
u
0
cos(ax2 )
1
p
dx =
2
4
2
¯ +x
u
r
a¼ 1
I¡
2
4
•
a¯
2
¶
1
K
4
•
a¯
2
¶
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
ET I 9(22)
∙
•
¶¸2
¼3
1 a2 u2
J
2
4
2
[a > 0]:
ET I 66(29)
r
sin (a2 x2 )
a
p
dx = ¡
4
4
4
x ¡u
cos(a2 x2 )
a
p
dx =
4
u4 ¡ x4
1
r
r
¼3 1
J
2 4
•
a2 u2
2
¶
1
N
4
•
a2 u2
2
¶
[a > 0]:
ET I 66(30)
∙
•
¶¸2
¼3
1 a2 u2
J¡
:
2
4
2
cos (a2 x2 )
a
p
dx = ¡
4
4
4
x ¡u
ET I 9(23)
r
¼3
1
J¡
2
4
•
a2 u2
2
¶
1
N¡
4
•
a2 u2
2
¶
:
ET I 10(24)
3.856
1:
Z
1
0
p
r
•
¶
•
¶
( ¯ 4 + x4 + x2 )º
a ¼ 2º 1 º a2 ¯ 2
1 º a2 ¯ 2
p
sin(a2 x2 ) dx =
¯ I
K
2 2
4¡ 2
2
4+ 2
2
¯ 4 + x4
∙
¸
3
¼
Re º < ; j arg ¯ j <
:
2
4
ET I 71(23)
2:
Z
1
0
p
r
• 2 2¶
• 2 2¶
a ¼ 2º
( ¯ 4 + x4 + x2 )º
a ¯
a ¯
p
cos(a2 x2 ) dx =
¯ I¡ 41 º
K¡ 14 º
¡
+
4
4
2
2
2
2
2
2
¯ +x
∙
¸
3
¼
Re º < ; j arg ¯ j <
:
2
4
ET I 12(16)
503
3:
Z
1
0
p
r
•
¶
•
¶
( ¯ 4 + x4 ¡ x2 )º
a ¼ 2º 1 º a2 ¯ 2
1 º a2 ¯ 2
2 2
p
cos(a x ) dx =
¯ I¡
K¡
2 2
4+ 2
2
4¡ 2
2
¯ 4 + x4
∙
¸
¼
3
:
Re º > ¡ ; j arg ¯ j <
2
4
ET I 12(17)
4:
5:
6:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
2
2
sh a 2¯
sin (a2 x2 ) dx
q
p
=
K0
p
p
2
2¯
4
4
2
4
4
¯ +x
x + ¯ +x
2
2
•
a2 ¯ 2
2
sh a 2¯
cos (a2 x2 ) dx
q
p
=
K1
p
p
4
2
2¯
4
4
2
4
4
3
¯ +x
(x + ¯ + x )
qp
¶
h
j arg ¯ j <
¼i
:
4
ET I 66(32)
•
a2 ¯ 2
2
¯ 4 + x4 + x2
a2 ¯ 2
¼
p
sin(a2 x2 ) dx = p e¡ 2 I0
2 2
¯ 4 + x4
¶
h
j arg ¯ j <
¼i
:
4
ET I 10(27)
•
a2 ¯ 2
2
¶
h
j arg ¯ j <
¼i
;
4
ET I 67(33)
3.857
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
r
x2
R2 ¡ R1
1
sin(ax2 ) dx = p K0 (ac) sin ab
R R
R + R1
2 b
h 1 2 p 2
p
2
2
2
R1 = c + (b ¡ x ) ; R2 = c2 + (b + x2 )2 ; a > 0;
i
c>0 :
ET I 67(34)
r
x2
R2 + R1
1
cos(ax2 ) dx = p K0 (ac) cos ab
R R
R ¡ R1
2 b
h 1 2 p 2
p
2
2
2
R1 = c + (b ¡ x ) ; R2 = c2 + (b + x2 )2 ; a > 0;
i
c>0 :
ET I 10(26)
3.858
1:
Z
p
p
x4 ¡ u4 )º + (x2 ¡ x4 ¡ u4 )º
p
sin(a2 x2 ) dx =
4 ¡ u4
x
u
r
∙
• 2 2¶
• 2 2¶
• 2 2¶
• 2 2 ¶¸
a u
a u
a u
a u
a ¼ 3 2º
=¡
J 1 + º2
N 1 ¡ º2
+ J 1 ¡ º2
N 1 + º2
u
4
4
4
4
4
a
2
2
2
2
∙
¸
1
(x2 +
504
Z
2:
p
p
x4 ¡ u4 )º + (x2 ¡ x4 ¡ u4 )º
p
cos(a2 x2 ) dx =
4 ¡ u4
x
u
r
∙
• 2 2¶
• 2 2¶
• 2 2¶
• 2 2 ¶¸
a ¼ 3 2º
a u
a u
a u
a u
u
N¡ 14 º
+ J¡ 14 º
N¡ 14 º
=¡
J¡ 14 º
+
¡
¡
+
4
a
2
2
2
2
2
2
2
∙2
¸
3
Re º <
:
2
1
(x2 +
ET I 13(26)
3.859
Z
∙
1
0
n
cos(x2 ) ¡
1
1 + x2n+1
¸
1
dx
= ¡ n C:
x
2
BI ((173))(24)
3.861
Z
1:
1
sin
2n+1
0
•
¶
p m¡ 1
n+1
X
1
dx
¼a 2
2n + 1
k¡1
(ax ) 2m = § 2n¡m+ 1
(¡1)
(2k ¡1)m¡ 2
x
n+k
2 (2m ¡ 1)!!
2
2
k=1
[the sign + is taken when m ´ 0(mod 4) or m ´ 1(mod 4);
the sign ¡ is taken when m ´ 2(mod 4) or m ´ 3(mod 4)]:
BI ((177))(19)a
Z
2:
1
0
•
¶
p m¡ 1
n
X
1
¼a 2
dx
2n
k
sin (ax ) 2m = § 2n¡2m+1
(¡1)
k m¡ 2
x
2
(2m ¡ 1)!!
n+k
2n
2
k=1
[the sign + is taken when m ´ 0(mod 4) or m ´ 3(mod 4);
the sign ¡ is taken when m ´ 2(mod 4) or m ´ 1(mod 4)]:
BI ((177))(18)A, LI ((177))(18)
3.862
Z
1
0
•
¶n
p
p
sin x2
[cos(ax2 n) + sin(ax2 n)]
dx =
x2
p
n
³n´
X
p
1
¼
p
=
(¡1)k
(n ¡ 2k + a n)n¡ 2
k
(2n ¡ 1)!! 2 k=0
[a >
p
n > 0]:
BI ((178))(9)
3.863
1:
Z
1
0
¼
x cos(ax ) sin(2bx ) dx = ¡
8
2
4
2
r
¶
• 2
¶
• ¶¸
∙ • 2
• 2¶
b
b3
¼
¼
3 b2
b
b
¡
¡
J¡ 14
+ cos
J
sin
a3
2a
8
2a
2a
8
4 2a
[a > 0; b > 0]:
ET I 25(22)
2:
Z
1
0
¼
x cos(ax ) cos(2bx ) dx = ¡
8
2
4
2
r
¶
• 2
¶
∙ • 2
• 2¶
• 2 ¶¸
b
b3
¼
¼
b
b
b
+
J¡ 34
+ cos
+
J¡ 14
sin
3
a
2a
8
2a
2a
8
2a
[a > 0; b > 0]:
ET I 25(23)
3.864
1:
Z
1
sin
0
p
p
dx
¼
b
sin ax
= N0 (2 ab) + K0 (2 ab)
x
x
2
[a > 0;
b > 0]:
WA 204(3)a
505
2:
Z
1
0
cos
p
p
dx
¼
b
cos ax
= ¡ N0 (2 ab) + K0 (2 ab)
x
x
2
[a > 0;
b > 0]:
WA 204(4)A, ET I 24 (12)
3.865
1:
Z
u
0
p • ¶¹¡ 12
³a´
(u2 ¡ x2 )¹¡1
a
¼ 2
¹¡ 32
1
sin
dx
=
u
¡(¹)J
¡¹
2
x2¹
x
2
a
u
[a > 0; u > 0; 0 < Re ¹ < 1]:
ET II 189(30)
2:
Z
1
u
(x ¡ u)¹¡1
a
sin dx =
x2¹
x
r
³ a ´
¼ 1 ¡¹
a
a 2 ¡(¹) sin
J¹¡ 12
u
2u
2u
[a > 0;
u > 0;
Re ¹ > 0]:
ET II 203(21)
3:
Z
u
0
p • ¶¹¡ 12
³a´
(u2 ¡ x2 )¹¡1
a
¼ 2
¹¡ 32
1
cos
dx
=
¡
¡(¹)u
N
¡¹
2
x2¹
x
2
a
u
[a > 0; u > 0; 0 < Re ¹ < 1]:
4:
Z
1
u
(x ¡ u)¹¡1
a
cos dx =
2¹
x
x
r
³ a ´
¼ 1 ¡¹
a
a 2 ¡(¹) cos
J¹¡ 21
u
2u
2u
[a > 0;
u > 0;
Re ¹ > 0]:
ET II 204(26)
3.866
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
¹¡1
x
0
1
b2
¼
sin
sin(a2 x) dx =
x
4
x¹¡1 sin
0
1
¹¡1
x
0
b2
¼
cos(a2 x) dx =
x
4
b2
¼
cos
cos(a2 x) dx =
x
4
• ¶¹
b
¹¼
cosec
[J¹ (2ab)¡J¡¹ (2ab)+I¡¹ (2ab)¡I¹ (2ab)]
a
2
[a > 0; b > 0; j Re ¹j < 1]:
• ¶¹
b
¹¼
sec
[J¹ (2ab)+J¡¹ (2ab)+I¹ (2ab)¡I¡¹ (2ab)]
a
2
[a > 0; b > 0; j Re ¹j < 1]:
• ¶¹
¹¼
b
cosec
[J¡¹ (2ab)¡J¹ (2ab)+I¡¹ (2ab)¡I¹ (2ab)]
a
2
[a > 0; b > 0; j Re ¹j < 1]:
ET I 322(42)
ET I 322(43)
ET I 322(44)
3.867
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
cos ax ¡ cos
1 ¡ x2
a
x
cos ax + cos
1 + x2
a
x
dx =
1
2
1
dx =
2
Z
Z
1
0
1
0
cos ax ¡ cos
1 ¡ x2
a
x
cos ax + cos
1 + x2
a
x
dx =
¼
sin a
2
[a > 0]:
GW ((334))(7a)
dx =
¼ ¡a
e
2
[a > 0]:
GW ((334))(7b)
506
3.868
1:
Z
1
0
•
b2
sin a x +
x
2
¶
dx
= ¼J0 (2ab)
x
[a > 0;
b > 0]:
2:
Z
1
0
•
b2
cos a x +
x
2
¶
dx
= ¡¼N0 (2ab):
x
[a > 0;
b > 0]:
GW ((334))(11a)
3:
Z
1
0
•
¶
b2 dx
sin a2 x ¡
=0
x
x
[a > 0;
b > 0]:
GW ((334))(11b)
4:
Z
1
0
•
b2
cos a x ¡
x
2
¶
dx
= 2K0 (2ab)
x
[a > 0;
b > 0]:
GW ((334))(11b)
3.869
1:
Z
1
0
•
¶
•
¶
b
¼
b
x dx
sin ax ¡
=
exp
¡
®¯
¡
x ¯ 2 + x2
2
¯
[a > 0;
b > 0;
Re ¯ > 0]:
ET II 220(42)
2:
Z
1
0
•
¶
•
¶
b
¼
b
dx
cos ax ¡
=
exp
¡
a¯
¡
x ¯ 2 + x2
2¯
¯
[a > 0;
b > 0;
Re ¯ > 0]:
ET II 222(58)
3.871
1:
Z
1
0
∙ •
¶¸
h
b2
¹¼
¹¼ i
x¹¡1 sin a x +
dx = ¼b¹ J¹ (2ab) cos
¡ N¹ (2ab) sin
x
2
2
[a > 0; b > 0; Re ¹ < 1]:
ET I 319(17)
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
¹¡1
x
∙ •
¶¸
h
b2
¹¼
¹¼ i
cos a x +
dx = ¡¼b¹ J¹ (2ab) sin
+ N¹ (2ab) cos
x
2
2
[a > 0; b > 0; j Re ¹j < 1]:
∙ •
¶¸
¹¼
b2
x¹¡1 sin a x ¡
dx = 2b¹ K¹ (2ab) sin
x
2
[a > 0;
b > 0;
j Re ¹j < 1]:
ET I 321(35)
4:
Z
1
0
¹¡1
x
∙ •
¶¸
¹¼
b2
cos a x ¡
dx = 2b¹ K¹ (2ab) cos
x
2
[a > 0;
b > 0;
j Re ¹j < 1]:
ET I 321(36)
3.872
1:
Z
∙ •
¶¸
∙ •
¶¸
dx
1
1
sin a x +
sin a x ¡
=
x
x
1 ¡ x2
¶¸
∙ •
¶¸
∙ •
Z 1
dx
1
1
1
¼
sin a x ¡
=
sin a x +
= ¡ sin 2a
2
2 0
x
x
1¡x
4
1
0
[a ¸ 0]:
BI ((149))(15), GW ((334))(8a)
507
2:
Z
∙ •
¶¸
∙ •
¶¸
1
1
dx
cos a x +
cos a x ¡
=
x
x
1 + x2
∙ •
¶¸
∙ •
¶¸
Z 1
1
1
1
¼
dx
=
cos a x +
cos a x ¡
= e¡2a
2
2 0
x
x
1+x
4
1
0
[a ¸ 0]:
GW ((334))(8b)
3.873
1:
Z
1
0
p
a2
¼
2 2 dx
sin 2 cos b x 2 = p [sin(2ab)+cos(2ab)+e¡2ab ]
x
x
4 2a
[a > 0;
b > 0]:
ET I 24(15)
2:
Z
1
0
p
a2
¼
2 2 dx
cos 2 cos b x 2 = p [cos(2ab)¡sin(2ab)+e¡2ab ]
x
x
4 2a
[a > 0;
b > 0]:
ET I 24(16)
3.874
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
•
¶
p
³
b2 dx
¼
¼´
sin a2 x2 + 2
=
sin
2ab
+
x
x2
2b
4
•
b2
cos a x + 2
x
2 2
¶
p
³
¼
¼´
dx
=
cos
2ab
+
x2
2b
4
[a > 0;
b > 0]:
BI ((179))(6)A, GW((334))(10a)
[a > 0;
b > 0]:
Z
3:
1
0
•
b2
sin a x ¡ 2
x
2 2
¶
p
¼
dx
= ¡ p e¡2ab
2
x
2 2b
[a ¸ 0;
b > 0]:
GW ((335))(10b)
Z
4:
1
0
•
b2
cos a x ¡ 2
x
2 2
¶
p
¼
dx
= p e¡2ab
2
x
2 2b
[a ¸ 0;
b > 0]:
GW ((334))(10b)
Z
5:
1
0
•
b
sin ax ¡
x
¶2
p
dx
2¼
=
2
x
4b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((179))(13)a
Z
6:
1
0
•
b
cos ax ¡
x
¶2
p
dx
2¼
=
2
x
4b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((179))(14)a
3.875
Z
1:
Z
2:
3:
6
Z
1
u
1
u
1
0
p
p
x sin(p x2 ¡ u2 )
¼
cos bx dx = exp(¡p a2 + u2 ) ch ab
2
2
x +a
2
p
p
x sin(p x2 ¡ u2 )
¼ ¡ap
cos
bx
dx
=
cos(b
u2 ¡ a2 )
e
a2 + x2 ¡ u2
2
p
sin(p a2 + x2 )
¼p ¡ab
cos bx dx =
e
2
2
3=2
2a
(a + x )
[0 < p < b;
[0 < b < p]:
ET I 27(39)
[0 < b < p;
a > 0]:
ET I 27(38)
a > 0]:
ET I 26(29)
3.876
1:
Z
1
0
p
p
sin(p x2 + a2 )
¼
p
cos bx dx = J0 (a p2 ¡ b2 )
[0 < b < p];
2
2
2
x +a
=0
[b > p > 0];
[a > 0]:
Z
2:
Z
3:
Z
4:
1
0
1
0
1
0
p
p
cos(p x2 + a2 )
¼
p
cos bx dx = ¡ N0 (a p2 ¡ b2 )
[0 < b < p];
2
x2 + a2
p
= K0 (a b2 ¡ p2 )
[b > p > 0];
[a > 0]:
p
p
cos(p x2 + a2 )
¼
cos bx dx = e¡bc cos(p a2 ¡ c2 )
2
2
x +c
2c
[c > 0;
ET I 26(34)
b > p]:
ET I 26(33)
p
p
sin(p x2 + a2 )
¼ e¡bc sin(p a2 ¡ c2 )
p
p
cos bx dx =
[c=
= a];
2c
(x2 + c2 ) x2 + a2
a2 ¡ c2
p
¼
= e¡ba
[c = a];
[b > p; c > 0]:
2
a
ET I 26(31)a
5:
6
Z
1
0
p
cos(p x2 + a2 )
¼ ¡ab
cos bx dx =
e
x2 + a2
2a
[b > p > 0;
a > 0]:
ET I 27(35)a
6:
6
Z
1
0
p
x cos(p x2 + a2 )
¼
sin bx dx = e¡ab
x2 + a2
2
[a > 0;
b > p > 0]:
ET I 85(29)a
7:
8:
Z
Z
u
0
p
p
cos(p u2 ¡ x2 )
¼
p
cos bx dx = J0 (u b2 + p2 ):
2
u2 ¡ x2
1
u
ET I 28(42)
p
p
cos(p x2 ¡ u2 )
p
cos bx dx = K0 (u p2 ¡ b2 )
[0 < b < jpj]:
x2 ¡ u2
p
¼
= ¡ N0 (u b2 ¡ p2 )
[b > jpj]:
2
3.877
1:
Z
u
0
r
p
i 1
sin(p u2 ¡ x2 )
¼3 p 1 h u p 2
2 ¡ b) J
p
cos
bx
dx
=
J
(
b
+
p
4
8 4 2
4
(u2 ¡ x2 )3
[b > 0;
hu p
i
( b2 + p2 + b)
2
p > 0]:
ET I 28(43)
2:
Z
1
u
r
p
i 1 hu
i
p
p
sin(p x2 ¡ u2 )
¼3 p 1 h u
2 ¡ p2 ) N
2 ¡ p2 )
p
cos
bx
dx
=
¡
J
(b
¡
b
(b
+
b
4
8 4 2
4 2
(x2 ¡ u2 )3
[b > p > 0]:
ET I 27(41)
3:
Z
u
0
r
p
i
i
hu p
cos (p u2 ¡ x2 )
¼3 p 1 h u p 2
2 ¡ b) J 1
2 + b2 + b)
p
J
(
(
cos
bx
dx
=
p
+
b
p
¡
¡4
4
8
4 2
2
(u2 ¡ x2 )3
[u > 0; p > 0]:
ET I 28(44)
509
4:
Z
1
u
r
p
i 1 hu
i
p
p
cos(p x2 ¡ u2 )
¼3 p 1 h u
2 ¡ p2 ) N
2 ¡ p2 )
p
cos
bx
dx
=
¡
J
(b
¡
b
(b
+
b
¡
4
8
4 2
4 2
(x2 ¡ u2 )3
[b > p > 0]:
ET I 28(45)
3.878
1:
Z
1
0
r
p
¸
∙
¸
∙ 2
p
p
sin(p x4 + a4 )
1 ³ ¼ ´3
1 a2
a
2
2
2
2
2
p
cos bx dx =
bJ¡ 14
(p ¡ p ¡ b ) J
(p + p ¡ b )
2
2
2
4 2
x4 + a4
[p > b > 0]:
ET I 26(32)
2:
Z
p
cos (p x4 + a4 )
p
cos bx2 dx =
4 + a4
x
r
¸
∙
¸
∙ 2
p
p
1 a2
1 ³ ¼ ´3
a
=¡
bJ¡ 41
(p ¡ p2 ¡ b2 ) N
(p + p2 ¡ b2 )
2
2
2
4 2
1
0
[a > 0;
p > b > 0]:
ET I 27(36)
3:
Z
u
0
r
p
∙
¸
¸
∙ 2 p
cos (p u4 ¡ x4 )
1 ³ ¼ ´3
1 u2 p 2
u
2
2
2
2
p
cos bx dx =
bJ¡
( p + b ¡ p) J¡ 14
( p + b + p)
2
2
4 2
2
u4 ¡ x4
[p > 0; b > 0]:
ET I 28(46)
3.879
Z
1
sin axp
0
dx
¼
=
x
2p
[a > 0;
p > 0]:
GW ((334))(6)
3.881
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
¼
2
¼ ¡a
e [C
C + ln 2a ¡ e2a Ei(¡2a)]
4
x sin(a tg x) dx =
0
[a > 0]:
BI ((205))(9)
1
0
sin(a tg x)
dx
¼
= (1 ¡ e¡a )
x
2
[a > 0]:
BI ((151))(6)
1
sin(a tg x) cos x
0
dx
¼
= (1 ¡ e¡a )
x
2
[a > 0]:
BI ((151))(19)
1
cos(a tg x) sin x
0
¼
dx
= e¡a
x
2
[a > 0]:
BI ((151))(20)
1
sin(a tg x) sin 2x
0
dx
1 + a ¡a
=
¼e
x
2
[a > 0]:
BI ((152))(11)
1
cos (a tg x) sin3 x
0
dx
1 ¡ a ¡a
=
¼e
x
4
[a > 0]:
BI ((151))(23)
1
0
sin(a tg x) tg
x
dx
1 + a ¡a
cos 2 x
=
¼e
2
x
4
[a > 0]:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
¼
2
cos(a tg x)
0
x dx
¼
= ¡ Ei(¡a)
sin 2x
4
[a > 0]:
BI ((206))(15)
¼
2
sin(a ctg x)
0
x dx
1 ¡ e¡a
=
¼
2
2a
sin x
[a > 0]:
LI ((206))(14)
¼
2
0
¼
x cos(a tg x) tg x dx = ¡ e¡a [C
C + ln 2a + e2a Ei(¡2a)]
4
[a > 0]:
BI ((205))(10)
1
0
cos(a tg x) tg x
dx
¼
= e¡a
x
2
[a > 0]:
BI ((151))(21)
1
cos(a tg x) sin2 x tg x
0
dx
1 ¡ a ¡a
=
¼e
x
16
[a > 0]:
BI ((152))(15)
1
0
sin(a tg x) tg 2 x
¼
dx
= e¡a
x
2
[a > 0]:
BI ((152))(9)
1
0
cos(a tg 2x) tg x
dx
¼
= e¡a
x
2
[a > 0]:
BI ((151))(22)
1
0
sin(a tg 2x) cos 2 2x tg x
dx
1 + a ¡a
=
¼e
x
4
[a > 0]:
BI ((152))(13)
BI ((152))(10)
17:
Z
1
sin(a tg 2x) tg x ctg 2x
0
dx
¼
= (1 ¡ e¡a )
x
2
[a > 0]:
BI ((180))(6)
3.882
1:
2:
Z
Z
1
0
sin(a tg 2 x)
x dx
¼
= [exp(¡a •b) ¡ e¡a ]
2
+x
2
b2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((160))(22)
1
cos(a tg 2 x) cos x
0
dx
¼
= [ch b exp(¡a •b)¡e¡a sh b]
b2 + x2
2b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((163))(3)
3:
4:
Z
Z
1
cos(a tg 2 x) cosec 2x
0
x dx
¼
=
exp(¡a •b)
b2 + x2
2 sh 2b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((191))(10)
1
0
cos(a tg 2 x) tg x
x dx
¼
=
[e¡a ch b¡exp(¡a •b) sh b]
b2 + x2
2 ch b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((163))(4)
5:
6:
Z
Z
1
0
cos(a tg 2 x) ctg x
x dx
¼
= [cth b exp(¡a •b)¡e¡a ]
b2 + x2
2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((163))(5)
1
0
cos(a tg 2 x) ctg 2x
x dx
¼
= [cth 2b exp(¡a •b)¡e¡a ]
2
+x
2
b2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((191))(11)
511
3.883
BI ((404))(4)
2:
Z
1
x¹¡1 sin(¯ ln x) dx = ¡
0
¯2
¯
+ ¹2
[Re ¹ > j Im ¯ j]:
ET I 319(19)
3:
Z
1
x¹¡1 cos(¯ ln x) dx =
0
¹
¯ 2 + ¹2
[Re ¹ > j Im ¯ j]:
ET I 321(38)
3.884
Z
p
p
p
sin a jxj
sign x dx = cos a jbj + expg (¡a jbj)
x¡b
¡1
1
[a > 0]:
ET II 253(46)
3.89- 3.91 Trigonometric functions and exponentials
3.891
1:
2:
Z
Z
2¼
eimx sin nx dx = 0
[m=
= n;
m = n = 0];
0
= ¼i
[m = n=
= 0]:
2¼
eimx cos nx dx = 0
[m=
= n];
0
=¼
= 2¼
[m = n=
= 0];
[m = n = 0]:
3.892
1:
Z
¼
¼
ei¯x sinº¡1 x dx =
0
2
º¡1
ºB
•
¼ei¯ 2
¶
º+¯+1 º¡¯+1
;
2
2
[Re º > ¡1]:
NH 158, EH I 12(29)
2:
Z
¼
2
¡¼
2
ei¯x cos º¡1 x dx =
2
º¡1
ºB
•
¼
¶
º +¯ +1 º ¡¯ +1
;
2
2
[Re º > ¡1]:
3:6
Z
¼
2
ei2¯x sin2¹ x cos 2º x dx =
0
¶¸
∙ •
1
B (¯ ¡ ¹ ¡ º; 2º + 1) £
exp
i¼
¯
¡
º
¡
22¹+2º+1
2
¶¸
∙ •
1
£
£ F (¡2¹; ¯ ¡ ¹ ¡ º; 1 + ¯ ¡ ¹ + º; ¡1) + exp i¼ ¹ +
2
)
½
1
£ B(¯ ¡ ¹ ¡ º; 2¹ + 1)F (¡2º; ¯ ¡ ¹ ¡ º; 1 + ¯ + ¹ ¡ º; ¡1)
∙
1
Re ¹ > ¡ ;
2
¸
1
Re º > ¡
:
2
EH I 80(6)
512
4:
Z
¼
ei2¯x sin2¹ x cos 2º x dx =
0
¼ exp[i¼(¯ ¡ º)]F (¡2º; ¯ ¡ ¹ ¡ º; 1 + ¯ + ¹ ¡ º; ¡1)
:
4¹+º (2¹ + 1)B(1 ¡ ¯ + ¹ + º; 1 + ¯ + ¹ ¡ º)
EH I 80(8)
5:
Z
¼
2
0
¼
ei(¹+º)x sin¹¡1 x cos º¡1 x dx = ei¹ 2 B(¹; º) =
¾
½
1
1
1
i¹ ¼
2
= ¹+º¡1 e
F (1 ¡ º; 1; ¹ + 1; ¡1) + F (1 ¡ ¹; 1; º + 1; ¡1)
2
¹
º
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
EH I 80(7)
3.893
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
e¡px sin(qx + ¸) dx =
0
p2
1
(q cos ¸ + p sin ¸)
+ q2
[p > 0]:
BI ((261))(3)
1
0
e¡px cos(qx + ¸) dx =
1
(p cos ¸ ¡ q sin ¸)
p2 + q2
[p > 0]:
BI ((261))(4)
1
0
e¡x cos t cos(t ¡ x sin t) dx = 1:
BI ((261))(7)
3.893
GW ((335))(15)
Z
5:
1 ¡2px
e
0
n
X
sin[(2n + 1)x]
1
p
dx =
+
2
sin x
2p
p + k2
[p > 0]:
k=1
BI ((267))(15)
Z
6:
e
0
n¡1
X
sin 2nx
1
dx = 2p
2
sin x
p + (2k + 1)2
1 ¡px
[p > 0]:
k=0
GW ((335))(15c)
Z
7:
1
n¡1
e¡px cos[(2n+1)x] tg x dx =
0
X (¡1)k (2k + 1)
2n + 1
n
+(
¡
1)
2
p2 + (2n + 1)2
p2 + (2k + 1)2
[p > 0]:
k=0
LI ((267))(16)
3.894
Z
¼
[¯ +
¡¼
p
¯ 2 ¡ 1 cos x]º einx dx =
2¼¡(º + 1)Pºm (¯)
¡(º + m + 1)
[Re ¯ > 0]:
ET I 157(15)
3.895
Z
1:
1
e¡¯x sin2m x dx =
0
¯(¯ 2
+
22 )(¯ 2
(2m)!
;
+ 42 ) . . . [¯ 2 + (2m)2 ]
[Re ¯ > 0]:
FI II 615, WA 620a
2:
¤
Z
¼
0
e¡px sin2m x dx =
(2m)!(1 ¡ e¡p¼ )
:
p(p2 + 22 )(p2 + 42 ) . . . [p2 + (2m)2 ]
GW ((335))(4a)
513
3:
¤
Z
¼
2
0
(2m)!
£
e¡px sin2m x dx =
2
2
2
p(p + 2 )(p + 42 ) . . . [p2 + (2m)2 ]
½
∙
¸¾
p2
p2 (p2 + 22 )
p2 (p2 + 22 ) . . . [p2 + (2m ¡ 2)2 ]
¡ p¼
2
£ 1¡e
1+
+
+ ¢¢¢ +
2!
4!
(2m)!
BI ((270))(4)
Z
4:
1
e¡¯x sin2m+1 x dx =
0
(2m + 1)!
(¯ 2 + 12 )(¯ 2 + 32 ) . . . [¯ 2 + (2m + 1)2 ]
[Re ¯ > 0]:
FI II 615, WA 620a
5:
¤
Z
¼
e¡px sin2m+1 x dx =
0
(2m + 1)!(1 + e¡p¼ )
:
(p2 + 12 )(p2 + 32 ) . . . [p2 + (2m + 1)2 ]
GW ((335))(4b)
6:¤
Z
¼
2
0
(2m + 1)!
£
e¡px sin2m+1 x dx = 2
2
2
(p + 1 )(p + 32 ) . . . [p2 + (2m + 1)2 ]
½
∙
¸¾
p¼
p2 + 12
(p2 + 12 )(p2 + 32 ) . . . [p2 + (2m ¡ 1)2 ]
£ 1 ¡ pe
1+
+¢¢¢ +
2
3!
(2m + 1)!
BI ((270))(5)
Z
7:
1
0
e¡px cos 2m x dx =
(2m)!
£
+ (2m)2 ]
½
¾
p2
p2 (p2 + 22 )
p2 (p2 + 22 ) . . . [p2 + (2m ¡ 2)2 ]
£ 1+
+
+¢¢¢ +
2!
4!
(2m)!
[p > 0]:
p(p2
+
22 ) . . . [p2
BI ((262))(3)
8:
¤
Z
¼
2
(2m)!
e¡px cos 2m x dx =
£
2
2
p(p + 2 ) . . . [p2 + (2m)2 ]
0
½
¾
p2
p2 (p2 + 22 )
p2 (p2 + 22 ) . . . [p2 + (2m ¡ 2)2 ]
¡p ¼
2
= £ ¡e
+1+
+
+ ¢¢¢ +
2!
4!
(2m)!
BI ((270))(6)
9:
7
Z
1
(2m + 1)!p
£
e¡px cos 2m+1 x dx = 2
2
2
(p + 1 )(p + 32 ) . . . [p2 + (2m + 1)2 ]
0
½
¾
p2 + 12
(p2 + 12 )(p2 + 32 )
(p2 + 12 )(p2 + 32 ) . . . [p2 + (2m ¡ 1)2 ]
= £ 1+
+
+ ¢¢¢ +
3!
5!
(2m + 1)!
[p > 0]:
BI ((262))(4)
514
10:7
Z
¼
2
(2m + 1)!
£
e¡px cos 2m+1 x dx = 2
2
2
(p + 1 )(p + 32 ) . . . [p2 + (2m + 1)2 ]
¸¾
∙
½
p2 + 12
(p2 + 1)(p2 + 32 ) . . . [p2 + (2m ¡ 1)2 ]
¡p ¼
+¢¢¢ +
= £ e 2 +p 1+
3!
(2m + 1)!
0
BI ((270))(7)
Z
11:
1
0
e¡¯x sin2n x sin ax dx = ¡
8
>
>
>
>
<
1
(¡4)n+1 (2n
+ 1) >
>
>
>
:
Ã
1
a
2
i ¯2
+
+n
2n + 1
[Re ¯ > 0;
!+Ã
1
a
2
¡ i ¯2 + n
2n + 1
!
a > 0]:
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
ET I 80(19)
12:7
Z
1
e¡¯x sin2n¡1 x sin ax dx =
0
8
>
>
>
>
<
¡i
1
Ã
n+1
¯
a
(¡4)
n>
>
>
2 ¡ i2 + n ¡
>
:
2n
[Re ¯ > 0;
1
2
!¡Ã
1
a
2
+ i ¯2 + n ¡
2n
1
2
!
a > 0n > 0]:
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
ET I 80(20)a
13:
¤
Z
1
0
e¡¯x sin2n x cos ax dx =
9
>
>
>
>
=
8
>
>
>
>
<
(¡1)n i
1
1
!¡Ã
!
Ã
¯
¯
a
a
>
(2n + 1)22n+2 >
>
>
+
i
+
n
¡
i
+
n
>
>
2
2
2
2
>
>
;
:
2n + 1
2n + 1
[Re ¯ > 0;
14:
¤
Z
1
0
e¡¯x sin2n¡1 x cos ax dx =
8
>
>
>
>
<
(¡1)n
1
Ã
2n+2
¯
a
>
2
n>
>
2 ¡ i2 + n ¡
>
:
2n
[Re ¯ > 0;
1
2
a ¸ 0]:
!+Ã
ET I 20(12)a
1
a
2
+
i ¯2
a ¸ 0n > 0]:
+n¡
2n
1
2
!
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
1:
Z
1
¡q 2 x2
e
sin[p(x + ¸)] dx =
p
¼ ¡ 4qp22
e
sin p¸:
q
¡1
BI ((269))(2)
2:
Z
1
e¡q
2
x2
cos[p(x + ¸)] dx =
p
¼ ¡ 4qp22
e
cos p¸:
q
¡1
BI ((269))(3)
515
3:
Z
1
¡ax2
e
0
• 2¶
¶
•
b
b
1 3 b2
sin bx dx =
exp ¡
; ;
=
1 F1
2a
4a
2 2 4a
¶
•
b
b2
3
=
;¡
;
1 F1 1;
2a
2
4a
• 2 ¶ k¡1
1
b
1
b X
¡
=
[a > 0]:
2a
(2k ¡ 1)!!
2a
k=1
FI II 720
ET I 73(18)
4:
Z
1
¡¯x2
e
0
1
cos bx dx =
2
r
• 2¶
b
¼
exp ¡
¯
4¯
[Re ¯ > 0]:
BI ((263))(2)
3.897
1:
Z
1
¡¯x2 ¡ºx
e
0
∙
•
¶¸
(° ¡ ib)2
° ¡ ib
p
exp
1¡©
¡
4¯
2 ¯
∙
•
¶¸¾
(° + ib)2
° + ib
p
1¡©
[Re ¯ > 0]:
¡ exp
4¯
2 ¯
i
sin bx dx = ¡
4
r
¼
¯
½
ET I 74(27)
2:
Z
1
¡¯x2 ¡°x
e
0
∙
•
¶¸
(° ¡ ib)2
° ¡ ib
p
exp
1¡©
+
4¯
2 ¯
∙
•
¶¸¾
(° + ib)2
° + ib
p
+ exp
1¡©
[Re ¯ > 0]:
4¯
2 ¯
1
cos bx dx =
4
r
¼
¯
½
ET I 15(16)
3.898
1:
Z
1
0
¡¯x2
e
1
sin ax sin bx dx =
4
r
¼
¯
½
2
b)
¡ (a¡
4¯
e
2
¡ (a+b)
4¯
¡e
¾
[Re ¯ > 0]:
Z
2:
1
1
cos ax cos bx dx =
4
¡¯x2
e
0
r
¼
¯
½
2
b)
¡ (a¡
4¯
e
2
¡ (a+b)
4¯
+e
¾
[Re ¯ > 0]:
BI ((263))(5)
Z
3:
1
2
e¡px sin2 ax dx =
0
1
4
r
´
a2
¼³
1 ¡ e¡ p
p
[p > 0]:
BI ((263))(6)
3.899
1:
7
Z
1 ¡p2 x2
e
0
#
p "
n
sin[(2n + 1)x]
¼ 1 X ¡( kp )2
dx =
+
e
sin x
p 2
[p > 0]:
k=1
BI ((267))(17)
2:¤
Z
1 ¡p2 x2
e
0
#
p "
2n
k 2
cos[(4n + 1)x]
¼ 1 X
dx =
+
(¡1)k¡n e¡( p )
cos x
p 2
[p > 0]:
k=1
BI ((267))(18)
516
3:
Z
1
0
q
¼ (
• 2 ¶)
1
p
e
dx
k
1 X k
=
+
a exp ¡
1 ¡ a2 2
1 ¡ 2a cos x + a2
4p
k=1
q
¼ (
• 2 ¶)
1
p
1 X ¡k
k
= 2
+
a exp ¡
a ¡1 2
4p
¡px2
[a2 < 1;
[a2 > 1;
p > 0];
p > 0]:
k=1
LI ((266))(1)
3.911
1:
Z
1
0
sin ax
1
¼
¡
dx =
¯x
e +1
2a
2¯ sh
[a > 0;
a¼
¯
Re ¯ > 0]:
BI ((264))(1)
2:
Z
1
0
sin ax
¼
dx =
cth
¯x
e ¡1
2¯
•
¼a
¯
¶
¡
1
2a
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
3:
6
4:
Z
1
0
Z
sin ax x
1
e dx = ¼ •(a¼)
x
e ¡1 2
2
1
0
[a > 0]:
ET I 73(13)
n¡1
X
sin ax ¡nx
¼
1
¼
a
¡
¡
+
e
dx
=
1 ¡ e¡x
2
2a e2¼a ¡ 1
a2 + k 2
[a > 0]:
k=1
BI ((264))(8)
5:
Z
1
0
•
∙ •
¶
¶¸
¯ ¡ ia
¯ + ia
sin ax
1
¡Ã
dx =
Ã
e¯x ¡ e°x
2i(¯ ¡ °)
¯¡°
¯ ¡°
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
GW ((335))(8)
6:
Z
1
0
sin ax dx
i
= [Ã(¯ + ia) ¡ Ã(¯ ¡ ia)]
e¯x (e¡x ¡ 1)
2
[Re ¯ > ¡1]:
ET 73(15)
3.912
1:
Z
1
0
∙ •
¶
•
¶¸
i
¯ ¡ ia
¯ + ia
B º;
¡ B º;
2°
°
°
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; Re º > 0; a > 0]:
e¡¯x (1¡e¡°x )º¡1 sin ax dx = ¡
ET I 73(17)
2:
Z
1
¡¯x
e
0
¡°x º¡1
(1 ¡ e
)
∙ •
¶
•
¶¸
1
¯ ¡ ia
¯ + ia
B º;
+ B º;
cos ax dx =
2°
°
°
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; Re º > 0; a > 0]:
ET I 15(10)
3.913
1:
Z
¼
2
¡¼
2
ei¯x
•
¶
¯
º
º
¹
¹ ¯2
¯
¼ 2 F1 ¡¹; ¡ ¡ ; 1 + + ¡ ; 2
2
2
2
2
2
2 º
•
¶
cos º x(¯ 2 eix +º 2 e¡ix )¹ dx =
¯
º
¹
º
¹
¯
º
2 (º + 1)B 1 + + ¡ ; 1 ¡ + +
2
2
2
2
2
2
[Re º > ¡1; jº j > j¯ j]:
EH I 81(11)a
517
Z
2:
¼
2
eiux cos ¹ x(a2 eix + b2 e¡ix )º dx =
¡¼
2
¶
¹ ¡ º ¡ u a2
u+¹+º
; 1+
; 2
¼b 2 F1 ¡º;
2
2
b
•
¶
=
u
+
¹
+
º
u
+
º
¡
¹
¹
2 (¹ + 1)B 1 ¡
; 1+
2
2
•
¶
¹
¡
º
+
u b2
u
+
¹
¡
º
2º
; 1+
; 2
¼a 2 F1 ¡º;
2
2
a
•
¶
=
u
+
¹
¡
º
¹
+
º
¡
u
¹
2 (¹ + 1)B 1 +
; 1+
2
2
2º
•
for
a2 < b2 ;
for
b2 < a2
[Re ¹ > ¡1]:
ET I 122(31)a
3.914
Z
1
e¡¯
p
° 2 +x2
0
cos bx dx = p
¯°
¯ 2 + b2
K1 (°
p
¯ 2 + b2 )
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
ET I 16(26)
3.915
Z
1:
Z
2:
3:
3
Z
¼
ea cos x sin x dx =
0
2
sh a:
a
GW ((337))(15c)
¼
ei¯
cos x
cos nx dx = in ¼Jn (¯):
0
EH II 81(2)
¼
2
i¯ sin x
e
cos
2º
x dx =
p
¡¼
2
• ¶º •
¶
1
2
¼
¡ º+
Jº (¯)
¯
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
EH II 81(6)
4:
Z
¼
0
e§¯
cos x
sin2º x dx =
p
¼
• ¶º •
¶
1
2
¡ º+
Iº (¯)
¯
2
∙
Re º > ¡
¸
1
:
2
GW ((337))(15b)
GW ((337))(15b)
5:
Z
¼
i¯ cos x
e
sin
2º
x dx =
0
p
¶
• ¶º •
2
1
Jº (¯)
¼
¡ º+
¯
2
∙
¸
1
:
Re º > ¡
2
WA 34(2), WA 60(6)
3.916
1:
Z
¼
2
xp
¡p2 tg x sin 2 cos x
e
sin 2x
0
∙
1
dx = C(p) ¡
2
¸2
∙
1
+ S(p) ¡
2
¸2
:m
NT 33(18)a
2:
Z
¼
2
0
exp(¡p tg x) dx
1
= ¡ eap Ei(¡ap)
sin 2x + a cos 2x + a
2
[p > 0];
(cf. 3552 4. and 6.)
BI ((273))(11)
3:
Z
¼
2
0
exp(¡p ctg x) dx
1
= ¡ e¡ap Ei(ap)
sin 2x + a cos 2x ¡ a
2
[p > 0];
(cf. 3.552 4. and 6.).
3.552
BI ((273))(12)
518
4:
Z
¼
2
0
exp(¡p tg x) sin 2x dx
1
= ¡ [e¡ap Ei(ap)+eap Ei(¡ap)]
(1 ¡ a2 ) ¡ 2a2 cos 2x ¡ (1 + a2 ) cos 2 2x
4
[p > 0]:
BI ((273))(13)
5:
Z
¼
2
(1 ¡
0
a2 )
exp(¡p ctg x) sin 2x dx
1
= ¡ [e¡ap Ei(ap)+eap Ei(¡ap)]
2
2
2
+ 2a cos 2x ¡ (1 + a ) cos 2x
4
[p > 0]:
BI ((273))(14)
3.917
1:
Z
¼
2
¡2¯ ctg x
e
0
cos
º¡1=2
x sin
¡(º+1)
∙
•
1
x sin ¯ ¡ º ¡
2
¶ ¸
•
¶
p
¼
1
x dx =
¡ º+
Jº (¯)
2(2¯)º
2
¸
∙
1
Re º > ¡
:
2
2:
Z
¼
2
0
e¡2¯
ctg x
∙
¶ ¸
•
¶
•
p
¼
1
1
cos º¡1=2 x sin¡(º+1) x cos ¯ ¡ º ¡
x dx =
¡
º
+
Nº (¯)
2
2(2¯)º
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
WA 186(8)
3.918
1:
2:
3:
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
¼
2
0
r
cos ¹ x i°(¯¡¹x)¡2¯ ctg x
i°
¼
(")
dx =
(2¯)¡¹ ¡(¹ + 1)H¹+ 1 (¯)
e
2¹+2
2
2
2¯
sin
x
£
¤
"+1
" = 1; 2; ° = (¡1) ; Re ¯ > 0; Re ¹ > ¡1 :
cos ¹ x sin(¯ ¡ ¹x) ¡2¯
e
sin2¹+2 x
cos ¹ x cos(¯ ¡ ¹x) ¡2¯
e
sin2¹+2 x
ctg x
ctg x
dx =
1
2
r
1
dx = ¡
2
GW ((337))(16)
¼
1
(2¯)¡¹ ¡(¹ + 1)J¹+ (¯)
2¯
2
[Re ¯ > 0; Re ¹ > ¡1]:
r
¼
1
(2¯)¡¹ ¡(¹ + 1)N¹+ (¯)
2¯
2
[Re ¯ > 0; Re ¹ > ¡1]:
WH
GW ((337))(17b)
3.919
1:
Z
¼
2
0
sin 2nx
dx
2n ¡ 1
¢
= (¡1)n¡1
:
4(2n + 1)
sin2n+2 x exp(2¼ ctg x) ¡ 1
BI ((275))(6), LI ((275))(6)
2:
Z
¼
2
0
sin 2nx
dx
n
= (¡1)n¡1
:
2n+2
2n + 1
sin
x exp(¼ ctg x) ¡ 1
BI ((275))(7), LI ((275))(7)
519
3.92 Trigonometric functions of more complicated arguments combined with
exponentials
exponentials
3.921
Z
1
¡°x
e
0
2
cos ax (cos °x¡sin °x) dx =
r
• 2¶
°
¼
exp ¡
8a
2a
[a > 0;
Re ° ¸ j Im ° j]:
ET I 26(28)
3.922
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
2
e¡¯x
0
1
2
e¡¯x
0
1
¡¯x2
e
0
r sp
¼
¯ 2 + a2 ¡ ¯
e¡¯x sin ax2 dx =
=
8
¯ 2 + a2
¡1
•
¶
p
1
¼
a
= p
sin
arctg
[Re ¯ > 0; a > 0]:
2
¯
2 4 ¯ 2 + a2
FI II 750, BI ((263))(8)
r sp
¼
¯ 2 + a2 + ¯
e¡¯x cos ax2 dx =
=
8
¯ 2 + a2
¡1
•
¶
p
¼
a
1
= p
cos
arctg
[Re ¯ > 0; a > 0]:
2
¯
2 4 ¯ 2 + a2
FI II 750, BI ((263))(9)
1
sin ax2 dx =
2
1
cos ax2 dx =
2
Z
Z
1
2
1
2
1
sin ax cos bx dx = ¡
2
r
¼
e¡A¯ (B sin Aa ¡ C cos Aa) =
+ a2
•
¶
½
¾
p
¼
¯b2
a
ab2
1
= p
exp ¡
sin
arctg ¡
:
4(¯ 2 + a2 )
2
¯
4(¯ 2 + a2 )
2 4 ¯ 2 + a2
2
¯2
LI ((263))(10), GW ((337))(5)
4:
Z
1
1
2
r
¼
e¡A¯ (B cos Aa + C sin Aa) =
¯ 2 + a2
•
¶
½
¾
p
¼
a
ab2
¯b2
1
exp ¡
= p
cos
arctg ¡
:
4(¯ 2 + a2 )
2
¯
4(¯ 2 + a2 )
2 4 ¯ 2 + a2
2
e¡¯x cos ax2 cos bx dx =
0
LI ((263))(11), GW ((337))(5)
[In formulas 3.922 3 and 4. a > 0; b > 0; Re ¯ > 0 ,
b2
A=
;
4(a2 + ¯ 2 )
B=
r
1 p 2
( ¯ + a2 + ¯);
2
C=
r
1 p 2
( ¯ + a2 ¡ ¯):
2
If a is complex, Re ¯ > j Im aj.]
520
3.923
1:
Z
1
exp[¡(ax2 + 2bx + c)] sin(px2 + 2qx + r) dx =
p
¼
a(b2 ¡ ac) ¡ (aq 2 ¡ 2bpq + cp2 )
= p
exp
£
4
a2 + p2
a2 + p2
½
¾
1
p p(q2 ¡ pr) ¡ (b2 p ¡ 2abq + a2 r)
arctg ¡
£ sin
2
a
a2 + p2
¡1
[a > 0]:
GW ((337))(3), BI ((296))(6)
2:
Z
1
exp[¡(ax2 + 2bx + c)] cos(px2 + 2qx + r) dx =
p
¼
a(b2 ¡ ac) ¡ (aq 2 ¡ 2bpq + cp2 )
= p
exp
£
4
a2 + p2
a2 + p2
½
¾
p p(q2 ¡ pr) ¡ (b2 p ¡ 2abq + a2 r)
1
£ cos
arctg ¡
2
a
a2 + p2
¡1
[a > 0]:
GW ((337))(3), BI ((269))(7)
3.924
1:
Z
1
¡¯x4
e
0
¼
sin bx dx =
4
2
s
• 2¶
• ¶
b
b
1 b2
exp ¡
I
2¯
8¯
4 8¯
[Re ¯ > 0;
b > 0]:
ET 73(22)
2:
Z
1
4
¡¯x
e
0
¼
cos bx2 dx =
4
s
• 2¶
• ¶
b
1 b2
b
exp ¡
I¡
2¯
8¯
4 8¯
[Re ¯ > 0;
b > 0]:
ET I 15(12)
3.925
1:
Z
1
0
2
p
¡x
2
e
1
sin 2a x dx =
2
2 2
Z
1
¡1
2
p
¡x
2
e
2 2
sin 2a x dx =
p
¼ ¡2ap
e
(cos 2ap+sin 2ap)
4a
[a > 0; b > 0]:
BI ((268))(12)
BI ((268))(13)
3.926
Z
1:
1
¡(¯x2 + x°2 )
e
0
1
sin ax dx =
2
2
r
a2
p
p
p
¼
e¡2u ° [v cos(2v °)+u sin(2v °)]
2
+¯
[Re ¯ > 0; Re ° > 0]:
BI ((268))(14)
521
Z
2:
1
¡(¯x2 + x°2 )
e
0
1
cos ax dx =
2
2
r
a2
p
p
p
¼
e¡2u ° [u cos(2v °)¡v sin(2v °)]
2
+¯
[Re ¯ > 0; Re ° > 0]:
BI ((268))(15)
[In formulas 3.926 1., 3.926 2.
u=
sp
a2
¯2
+
2
+¯
;
v=
sp
a2
¯2
+
2
3
¡¯ 5
:
3.927
Z
1
p
e¡ x sin2
0
2a
p
p2
a
dx = a arctg
+ ln 2
x
p
4
p + 4a2
[a > 0;
p > 0]:
LI ((268))(4)
3.928
1:
Z
1
0
∙ •
¶¸
•
¶
p
q2
b2
¼ ¡2rs cos(A+B)
2 2
2 2
exp ¡ p x + 2
e
sin fA + 2rs sin(A + B)g :
sin a x + 2 dx =
x
x
2r
BI ((268))(22)
2:
Z
1
0
∙ •
¶¸
•
¶
p
q2
b2
¼ ¡2rs cos(A+B)
exp ¡ p2 x2 + 2
cos fA + 2rs sin(A + B)g :
e
cos a2 x2 + 2 dx =
x
x
2r
BI ((268))(23)
[In formulas 3.928 1., 3.928 2. a2 + p2 > 0 and
p
4
r=
a4
+
p4 ;
s=
p
4
b4
+
1
a2
A = arctg 2 ;
2
p
q4 ;
1
b2
B = arctg 2 :
2
q
¸
3.929
Z
1
p
2
[e¡x cos(p x) + pe¡x sin px] dx = 1:
0
LI ((268))(3)
3.93 Trigonometric and exponential functions of trigonometric functions
3.931
1:
Z
¼
2
0
e¡p cos x sin(p sin x) dx = Ei(¡p) ¡ ci(p):
NT 13(27)
2:
Z
¼
0
Z
e¡p cos x sin(p sin x) dx = ¡
0
¡¼
e¡p cos x sin(p sin x) dx = ¡2 si (p):
GW ((337))(11b)
3:
4:
Z
Z
¼
2
0
e¡p cos x cos(p sin x) dx = ¡ si(p):
NT 13(26)
¼
2
e¡p cos x cos(p sin x) dx =
0
1
2
Z
2¼
e¡p cos x cos(p sin x) dx = ¼:
0
GW ((337))(11a)
522
3.932
1:
Z
¼
p cos x
e
0
1
sin(p sin x) sin mx dx =
2
Z
2¼
ep cos x sin(p sin x) sin mx dx =
0
¼ pm
¢
:
2 m!
2:
Z
¼
p cos x
e
0
1
cos(p sin x) cos mx dx =
2
Z
2¼
ep cos x cos(p sin x) cos mx dx =
0
¼ pm
¢
:
2 m!
BI ((277))(8), GW ((337))(13b)
3.933
Z
¼
ep cos x sin(p sin x) cosec x dx = ¼ sh p:
0
BI ((278))(1)
3.934
1:
2:
Z
Z
¼
ep cos x sin(p sin x) tg
0
x
dx = ¼(1 ¡ ep ):
2
BI ((271))(8)
¼
ep cos x sin(p sin x) ctg
0
x
dx = ¼(ep ¡ 1):
2
BI ((272))(5)
3.935
Z
n¡1
¼
ep cos x cos(p sin x)
0
X p2k+1
sin 2nx
dx = ¼
sin x
(2k + 1)!
[p > 0]:
k=0
LI ((278))(3)
3.936
1:
Z
2¼
p cos x
e
0
cos(p sin x¡mx) dx = 2
Z
¼
0
ep cos x cos(p sin x¡mx) dx =
2¼pm
:
m!
BI ((277))(9), GW ((337))(14a)
2:
Z
2¼
ep sin x sin(p cos x + mx) dx =
0
2¼pm
m¼
sin
m!
2
[p > 0]:
GW ((337))(14b)
GW ((337))(14b)
4:
Z
2¼
ecos x sin(mx ¡ sin x) dx = 0:
0
WH
5:
Z
¼
e¯
cos x
cos(ax + ¯ sin x) dx = ¯ ¡a sin(a¼)°(a; ¯):
0
EH II 137(2)
3.937
1:
Z
2¼
0
exp(p cos x + q sin x) sin(a cos x + b sin x ¡ mx) dx =
o
n
p
p
m
m
m
= i¼[(b ¡ p)2 + (a + q)2 ]¡ 2 (A + iB) Im ( C ¡ iD ) ¡ (A ¡ iB) Im ( C + iD ) :
2
2
GW ((337))(9b)
523
2:
Z
2¼
0
exp(p cos x + q sin x) cos(a cos x + b sin x ¡ mx) dx =
o
n
p
p
m
m
m
= ¼[(b ¡ p)2 + (a + q)2 ]¡ 2 (A + iB) 2 Im ( C ¡ iD ) + (A ¡ iB) 2 Im ( C + iD ) :
[In formulas 3.937 1. and 3.937 2. (b ¡ p)2 + (a + q)2 > 0; m = 0; 1; 2; . . . ; A = p2 ¡ q 2 + a2 ¡ b2 ;
B = 2(pq + ab); C = p2 + q2 ¡ a2 ¡ b2 ; D = 2(ap + bq) .]
3:
Z
2¼
0
•
¶
2¼ 2 2 m
q
exp(p cos x+q sin x) sin(q cos x¡p sin x+mx) dx =
(p +q ) sin m arctg
:
m!
2
p
GW ((337))(12)
GW ((337))(9a)
4
Z
2¼
0
•
¶
2¼ 2 2 m
q
exp(p cos x+q sin x) cos(q cos x¡p sin x+mx) dx =
(p +q ) cos m arctg
:
m!
2
p
1:
Z
¼
er(cos px+cos qx) sin(r sin px) sin(r sin qx) dx =
0
1
¼X
1
r(p+q)k :
2
¡(pk + 1)¡(qk + 1)
k=1
BI ((277))(14)
2:
Z
¼
r(cos px+cos qx)
e
0
¼
cos(r sin px) cos(r sin qx) dx =
2
Ã
2+
1
X
k=1
r(p+q)k
¡(pk + 1)¡(qk + 1)
!
:
BI ((277))(15)
3.939
1:
Z
¼
eq
0
cos x
1
sin rx
¼ X (pq)kr
sin(q sin x) dx =
r
2r
1 ¡ 2p cos rx + p
2pr
¡(kr + 1)
[r > 0;
0 < p < 1]:
k=1
BI ((278))(15)
2:3
Z
¼
0
"
#
1
r
kr
X
1
¡
p
cos
rx
¼
(pq)
eq cos x
cos(q sin x) dx =
2+
1 ¡ 2pr cos rx + p2r
2
¡(kr + 1)
[r > 0; 0 < p < 1]:
k=1
BI ((278))(16)
3:
Z
¼
2
0
•
¶
ep cos 2x cos(p sin 2x) dx
¼
q¡1
=
exp p
:
2q
q+1
cos 2 x + q 2 sin2 x
BI ((273))(8)
3.94- 3.97 Combinations involving trigonometric functions, exponentials,and powers
3.941
1:
Z
1
e¡px sin qx
0
dx
q
= arctg
x
p
BI ((365))(1)
524
2:
Z
[p > 0]:
1
0
e¡px cos qx
dx
= 1:
x
Z
1:
Z
2:
1
e¡px cos px
0
p
x dx
¼
= 2 exp(¡bp 2)
4
+x
4b
b4
[p > 0;
b > 0]:
BI ((386))(6)a
1
e¡px cos px
0
x dx
¼
= 2 e¡bp sin bp
4
¡x
4b
b4
[p > 0;
b > 0]:
BI ((386))(7)a
3.943
Z
1
0
e¡¯x (1 ¡ cos ax)
dx
1
a2 + ¯ 2
= ln
x
2
¯2
[Re ¯ > 0]:
BI ((367))(6)
3.944
1:
Z
u
x¹¡1 e¡¯x sin ±x dx =
0
i
i
(¯+i±)¡¹ °[¹; (¯+i±)u]¡ (¯ ¡i±)¡¹ °[¹; (¯ ¡i±)u]
2
2
[Re ¹ > ¡1]:
ET I 318(8)
2:
Z
1
x¹¡1 e¡¯x sin ±x dx =
u
i
i
(¯+i±)¡¹ ¡[¹; (¯+i±)u]¡ (¯ ¡i±)¡¹ ¡[¹; (¯ ¡i±)u]
2
2
[Re ¯ > j Im ± j]:
ET I 318(9)
3:
Z
u
x¹¡1 e¡¯x cos ±x dx =
0
1
1
(¯+i±)¡¹ °[¹; (¯+i±)u]+ (¯ ¡i±)¡¹ °[¹; (¯ ¡i±)u]
2
2
[Re ¹ > 0]:
ET I 320(28)
4:
Z
1
x¹¡1 e¡¯x cos ±x dx =
u
1
1
(¯+i±)¡¹ ¡[¹; (¯+i±)u]+ (¯ ¡i±)¡¹ ¡[¹; (¯ ¡i±)u]
2
2
[Re ¯ > j Im ± j]:
ET I 320(29)
5:
Z
1
0
x¹¡1 e¡¯x sin ±x dx =
•
¶
¡(¹)
±
sin
¹
arctg
(¯ 2 + ± 2 ) ¹2
¯
[Re ¹ > ¡1;
Re ¯ > j Im ± j]:
6:
Z
1
x¹¡1 e¡¯x cos ±x dx =
0
•
¶
¡(¹)
±
cos
¹
arctg
(± 2 + ¯ 2 ) ¹2
¯
[Re ¹ > 0;
Re ¯ > j Im ± j]:
FI II 812, BI ((361))(10)
7:
Z
1
0
x¹¡1 exp(¡ax cos t) sin(ax sin t) dx = ¡(¹)a¡¹ sin(¹t)
h
Re ¹ > ¡1; a > 0;
¼i
:
2
EH I 13(36)
x¹¡1 exp(¡ax cos t) cos(ax sin t) dx = ¡(¹)a¡¹ cos(¹t)
h
¼i
Re ¹ > ¡1; a > 0; jtj <
:
2
EH I 13(35)
jtj <
525
8:
9:
10:
11:
Z
Z
Z
Z
1
0
1
xp¡1 e¡qx sin(qx tg t) dx =
0
1
xp¡1 e¡qx cos(qx tg t) dx =
0
1
n ¡¯x
x e
0
1
¡(p) cosp t sin pt
qp
1
¡(p) cos p (t) cos pt
qp
h
jtj <
h
¼
;
2
jtj <
¼
;
2
i
q>0 :
i
q>0 :
LO V 288(16)
LO V 288(15)
•
¶n+1 X
•
¶ • ¶2k+1
¯
n+1
b
k
sin bx dx = n!
(¡1)
=
¯ 2 + b2
¯
2k + 1
0∙2k∙n
•
¶
n
b
n @
= (¡1)
[Re ¯ > 0; b > 0]:
@¯ n b2 + ¯ 2
GW ((336))(3), ET I 72(3)
12:
Z
1
0
n ¡¯x
x e
•
¶n+1
•
¶ • ¶2k
X
¯
n+1
b
k
cos bx dx = n!
(¡1)
=
¯ 2 + b2
¯
2k
0∙2k∙n+1
•
¶
n
¯
n @
= (¡1)
[Re ¯ > 0; b > 0]:
@¯ n b2 + ¯ 2
13:
14:
Z
Z
1
0
1
xn¡1=2 e¡¯x sin bx dx = (¡1)n
n¡1=2 ¡¯x
x
e
0
r
n
cos bx dx = (¡1)
r
qp
¯ 2 + b2 ¡ ¯
p
¯ 2 + b2
n
¼ d
2 d¯ n
n
¼ d
2 d¯ n
[Re ¯ > 0;
b > 0]:
ET I 72(6)
qp
¯ 2 + b2 + ¯
p
¯ 2 + b2
[Re ¯ > 0;
b > 0]:
ET I 15(6)
3.945
1:
Z
1
0
dx
(e¡¯x sin ax ¡ e¡°x sin bx) r =
x
∙
¸
∙
¸¾
½
¡
¢ r¡1
r
¡
1
b
a
sin (r ¡ 1) arctg
¡ a2 + ¯ 2
sin (r ¡ 1) arctg
= ¡(1 ¡ r) (b2 + ° 2 )
2
°
2
¯
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; r < 2; r=
= 1]:
BI((371))(6)
2:
Z
1
0
dx
(e¡¯x cos ax ¡ e¡°x cos bx) r =
x
½
∙
¸
∙
¸¾
¡ 2
¢
a
b
2
2 r¡1
2 r¡1
= ¡(1 ¡ r) (a + ¯ )
cos (r ¡ 1) arctg
¡ b +°
cos (r ¡ 1) arctg
2
¯
2
°
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; r < 2; r=
= 1]:
BI ((371))(7)
526
3:
Z
1
0
¡¯x
(ae
¡°x
sin bx¡be
∙
¸
dx
a2 + ° 2
°
°
¯
¯
1
sin ax) 2 = ab
ln 2
+ arcctg ¡ arcctg
x
2
b + ¯2
a
a
b
b
[Re ¯ > 0; Re ° > 0]:
BI ((368))(22)
3.946
1:
Z
1
0
m
e¡px sin2m+1 ax
dx
(¡1)m X
=
(¡1)k
x
22m
k=0
•
2m + 1
k
¶
arctg
(2m ¡ 2k + 1)a
p
[m = 0; 1; . . . ;
p > 0]:
GW ((336))(9a)
GW ((336))(9b)
3.947
1:
2:
Z
Z
1
e¡¯x sin °x sin ax
0
1
e¡px sin ax sin bx
0
dx
1
¯ 2 + (a + °)2
= ln 2
x
4
¯ + (a ¡ °)2
[Re ¯ > j Im ° j;
a > 0]:
BI ((365))(5)
dx
a
b
p
2pb
2pa
p2 + (a ¡ b)2
=
arctg
+
arctg
+
ln
x2
2
p2 + a2 ¡ b2 2
p2 + b2 ¡ a2 4
p2 + (a + b)2
[p > 0]:
BI ((368))(1), FI II 744
3:
[a ¸ 0;
Z
1
e¡px sin ax cos bx
0
p > 0;
s=0
for
dx
1
2pa
¼
= arctg 2
+s
2
2
x
2
p ¡a +b
2
p2 ¡ a2 +b2 ¸ 0 and s = 1 for
p2 ¡ a2 +b2 < 0]:
GW ((336))(10b)
3.948
1:
Z
1
0
e¡¯x (sin ax¡sin bx)
dx
(a ¡ b)¯
= arctg
x
ab + ¯ 2
[Re ¯ > 0];
(cf. 3.951 2.).
3.951
BI ((367))(7)
2:
Z
1
0
e¡¯x (cos ax¡cos bx)
dx
1
b2 + ¯ 2
= ln 2
x
2
a + ¯2
[Re ¯ > 0];
(cf. 3.951 3.).
3.951
BI ((367))(8), FI II 748a
3:
Z
1
0
e¡¯x (cos ax¡cos bx)
a
dx
¯
a2 + ¯ 2
b
=
ln 2
+b arctg ¡a arctg
2
x
2
b + ¯2
¯
¯
[Re p > 0]:
Z
4:
1
0
e¡¯x (sin2 ax¡sin2 bx)
2b p
dx
2a
p2 + 4a2
¡
b
arctg
¡
=
a
arctg
ln
x2
p
p 4
p2 + 4b2
[p > 0]:
BI ((368))(25)
Z
5:
1
0
e¡¯x (cos2 ax¡cos 2 bx)
dx
2a
2b p
p2 + 4a2
=
¡
a
arctg
+b
arctg
+
ln
x2
p
p 4
p2 + 4b2
[p > 0]:
BI ((368))(26)
527
3.949
Z
1:
1
e¡px sin ax sin bx sin cx
0
dx
a+b+c
1
a+b¡c
1
a¡b+c
1
= ¡ arctg
+ arctg
+ arctg
+
x
4
p
4
p
4
p
1
¡a + b + c
+ arctg
[p > 0]:
4
p
BI ((365))(11)
2:
8
Z
1
¡¯x
e
0
∙
¸∙
½
¸
dx
1
b 1 1
2pb
¼
1; p2 + 4a2 ¡ b2 < 0
sin ax sin bx
+s
= arctg ¡
arctg 2
s=
x
2
p 2 2
p + 4a2 ¡ b2
2
0; p2 + 4a2 ¡ b2 ¸ 0
2
BI ((365))(8)
3:
Z
1
e¡¯x sin2 ax cos bx
0
dx
1
[p2 + (2a + b)2 ][p2 + (2a ¡ b)2 ]
= ln
x
8
(p2 + b2 )2
[p > 0]:
BI ((365))(9)
4:
Z
1
0
¡¯x
e
∙
¸∙
½
¸
dx
1
a1
2pb
¼
1; p2 + 4a2 ¡ b2 < 0
sin ax cos bx
= arctg
arctg 2
+s
s=
x
2
p2
p + 4a2 ¡ b2
2
0; p2 + 4a2 ¡ b2 ¸ 0
2
BI ((365))(10)
5:
Z
1
0
e¡px sin2 ax sin bx sin cx
dx
1 p2 + (b + c)2
= ln 2
+
x
8 p + (b ¡ c)2
1
[p2 + (2a ¡ b + c)2 ][p2 + (2a + b ¡ c)2 ]
+
ln 2
16
[p + (2a + b + c)2 ][p2 + (2a ¡ b ¡ c)2 ]
[p > 0]:
BI ((365))(15)
3.951
FI II 745
2:
Z
1 ¡°x
e
0
(¯ ¡ °)b
¡ e¡¯x
sin bx dx = arctg 2
x
b + ¯°
[Re ¯ > 0;
Re ° ¸ 0]:
BI ((367))(3)
3:
Z
1 ¡°x
e
0
1
b2 + ¯ 2
¡ e¡¯x
cos bx dx = ln 2
x
2
b + °2
[Re ¯ > 0;
Re ° ¸ 0]:
BI ((367))(4)
4:
Z
1 ¡°x
e
0
¡ e¡¯x
b
b2 + ¯ 2
b
b
sin bx dx = ln 2
+¯ arctg ¡° arctg
2
x
2
b +°
¯
°
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
BI ((368))(21)a
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1
x
1
¼2
b¼
cos bx dx = 2 ¡ 2 cosech 2
¡1
2b
2¯
¯
e¯x
0
1
0
1
0
•
1
1
¡
x
e ¡1
x
¶
[Re ¯ > 0]:
ET I 15(18)
1
cos bx dx = ln b ¡ [Ã(ib) + Ã(¡ib)]
2
[b > 0]:
ET I 15(9)
1 ¡ cos ax dx
a 1
1 ¡ e¡a
¢
= + ln
2¼x
e
¡1
x
4
2
a
[a > 0]:
BI ((387))(10)
528
8:
Z
1
0
(e¡¯x ¡ e¡°x cos ax)
dx
1
a2 + ° 2
= ln
x
2
¯2
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0]:
BI ((367))(10)
9:
Z
1
0
•
¶
•
¶
cos px ¡ e¡px dx
¼
1 p
1 p
= 4 exp ¡ bp 2 sin
bp 2
b4 + x4
x
2b
2
2
[p > 0]:
10:
11:
Z
Z
1
0
1
0
•
•
cos x
1
¡
x
e ¡1
x
¡px
ae
¶
dx = C :
NT 65(8)
¶
dx
a
a
a2 + q2
e¡qx
¡
sin ax
= ln
+q arctg ¡a
2
x
x
2
p
q
[p > 0;
q > 0]:
BI ((368))(24)
12:
Z
1
0
x2m sin bx
@ 2m
dx = (¡1)m 2m
x
e ¡1
@b
∙
1
¼
cth b¼ ¡
2
2b
¸
[b > 0]:
GW ((336))(15a)
13:
Z
1
0
2m+1
x2m+1 cos bx
m @
dx
=
(
¡
1)
ex ¡ 1
@b2m+1
∙
1
¼
cth b¼ ¡
2
2b
¸
[b > 0]:
GW ((336))(15b)
14:
Z
1
0
2m
x2m sin bx dx
m @
=
(
¡
1)
@b2m
e(2n+1)cx ¡ e(2n¡1)cx
"
n
b
¼ b¼ X
•
¡
4c 2c
b2 + (2k ¡ 1)2 c2
k=1
#
[b > 0]:
GW ((336))(14a)
15:
Z
1
0
2m+1
x2m+1 cos bx dx
m @
=
(
¡
1)
@b2m+1
e(2n+1)cx ¡ e(2n¡1)cx
"
n
b
¼ b¼ X
•
¡
2
4c 2c
b + (2k ¡ 1)2 c2
k=1
#
[b > 0]:
GW ((336))(14b)
16:
Z
1
0
2m
x2m sin bx dx
m @
=
(
¡
1)
@b2m
e(2n¡2)cx
"
n¡1
X
b¼
b
1
¼
¡
¡
cth
4c
2c
2b
b2 + (2k)2 c2
k=1
[b > 0;
#
c > 0]:
GW ((336))(14c)
17:
Z
1
0
2m+1
x2m+1 cos bx dx
m @
=
(
¡
1)
@b2m+1
e2ncx ¡ e(2n¡2)cx
"
n¡1
X
¼
b¼
1
b
¡
¡
cth
2
4c
2c
2b
b + (2k)2 c2
k=1
[b > 0;
c > 0]:
#
18:
Z
1
0
cos ax ¡ cos bx
e(2m+1)px ¡ e(2m¡1)px
b¼
m
dx
b2 + (2k ¡ 1)2 p2
1
2p 1 X
¡
= ln
ln 2
a¼
x
2
2
a + (2k ¡ 1)2 p2
ch
k=1
2p
ch
[p > 0]:
GW ((336))(16a)
19:
Z
1
0
m¡1
a sh b¼
cos ax ¡ cos bx dx
1
b2 + 4k 2 p2
1X
2p
=
ln
¡
ln
a¼
2
b sh 2p 2
a2 + 4k 2 p2
e2mpx ¡ e(2m¡2)px x
[p > 0]:
k=1
GW ((336))(16b)
20:
Z
1
0
sin x sin bx dx
1
(b + 1) sh[(b ¡ 1)¼]
¢
= ln
1 ¡ ex
x
4
(b ¡ 1) sh[(b + 1)¼]
= 1]:
[b2 =
LO V 305
529
21:
Z
1
0
sin2 ax dx
1
2a¼
¢
= ln
:
x
1¡e
x
4
sh 2a¼
LO V 306, BI ((387))(5)
3.952
1:
Z
1
¡p2 x2
xe
0
•
¶
p
a ¼
a2
sin ax dx =
exp ¡ 2 :
4p3
4p
BI ((362))(1)
2:
3:
Z
Z
1
¡p2 x2
xe
0
k=0
1
0
1
1
a X (¡1)k k!
cos ax dx = 2 ¡ 3
2p
4p
(2k + 1)!
x2 e¡p
2
x2
sin ax dx =
1
• ¶2k+1
a
p
a
2p2 ¡ a2 X (¡1)k k!
+
4
4p
8p5
(2k + 1)!
k=0
[a > 0]:
BI ((362))(2)
• ¶2k+1
a
p
[a > 0]:
BI ((362))(4)
BI ((362))(5)
5:
Z
1
3 ¡p2 x2
x e
0
•
¶
p 6ap2 ¡ a3
a2
sin ax dx = ¼
exp ¡ 2 :
16p7
4p
BI ((362))(6)
6:3
7:
8:¤
Z
Z
Z
1
e¡p
2
x2
sin ax
0
• ¶2k
• ¶
p 1
a
a
dx
¼
a ¼ X (¡1)k
=
= ©
:
x
2p
k!(2k + 1) 2p
2
2p
k=0
1
°2
2
¹¡1 ¡¯x
x
e
sin °x dx =
0
1
2
x¹¡1 e¡¯x cos ax dx =
0
°e¡ 4¯
2¯
¹+1
2
¡
•
1+¹
2
¶
¶
¹ 3 °2
; ;
1 F1 1 ¡
2 2 4¯
[Re ¯ > 0; Re ¹ > ¡1]:
BI ((365))(21)
•
ET I 318(10)
2
1 ¡¹=2
¯
¡(¹=2)e¡a =4¯ 1 F1 (¡¹=2+1=2; 1=2; a2 =4¯)
2
[Re ¯ > 0; Re ¹ > 0; a > 0]:
ET I 320(30)
9:
10:
530
3.953
Z
Z
•
¶
¶
•
a2
¼
a
p
x e
cos ax dx = (¡1) n+1 2n+1 exp ¡ 2 D2n
=
2
¯
8¯
¯ 2
•
¶
¶
•
p
h
i
¼
¼
a2
a
= (¡1)n
exp
¡
j
arg
¯
j
<
;
a
>
0
:
H
2n
(2¯)2n+1
4¯ 2
2¯
4
1
0
p
n
¶
¶
•
a2
a
p
x
e
sin ax dx = (¡1) n+ 3
exp ¡ 2 D2n+1
=
8¯
¯ 2
2 2 ¯ 2n+2
•
¶
¶
•
p
h
i
¼
¼
a2
a
= (¡1)n
exp
¡
j
arg
¯
j
<
;
a
>
0
:
H
2n+1
(2¯)2n+2
4¯ 2
2¯
4
1
0
2n ¡¯ 2 x2
2n+1 ¡¯ 2 x2
n
p
¼
WH, ET I 15(13)
•
WH, ET I 74(23)
ET I 318(11)
Z
2:
1
0
2
x¹¡1 e¡°x¡¯x cos ax dx =
¶
¶¾
• 2
¶
½
•
¶
•
•
ia°
° ¡ a2
1
ia°
° ¡ ia
° + ia
=
¡(¹) exp ¡
D¡¹ p
+ fexpg
D¡¹ p
¹ exp
8¯
4¯
4¯
2¯
2¯
2(2¯) 2
[Re ¹ > 0; Re ¯ > 0; a > 0]:
ET I 16(18)
Z
3:
1
0
¸∙
•
¶¸
∙
p ½
2
° ¡ ia
i ¼
(° ¡ ia)2
p
¡
xe¡°x¡¯x sin ax dx = p
1¡©
(° ¡ ia) exp ¡
4¯
2 ¯
8 ¯3
∙
¸∙
•
¶¸¾
(° + ia)2
° + ia
p
¡ (° + ia) exp ¡
1¡©
[Re ¯ > 0; a > 0]:
4¯
2 ¯
ET I 74(28)
Z
4:
1
¡°x¡¯x2
xe
0
¶¸
∙
•
p ½
¼
° ¡ ia
(° ¡ ia)2
p
cos ax dx = ¡ p
+
1¡©
(° ¡ ia) exp
4¯
2 ¯
8 ¯3
∙
•
¶¸¾
(° + ia)2
1
° + ia
p
+ (° + ia) exp
1¡©
+
4¯
2¯
2 ¯
[Re ¯ > 0; a > 0]:
ET I 16(17)
3.954
Z
1:
1
¡¯x2
e
0
•
¶
•
¶¸
∙
p
p
x dx
¼ ¯°2
a
a
°a
¡°a
sin ax 2
=¡ e
© ° ¯¡ p
¡e © ° ¯+ p
2 sh a° + e
° + x2
4
2 ¯
2 ¯
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; a > 0]:
ET I 74(26)a
Z
2:
1
¡¯x2
e
0
•
¶
•
¶¸
∙
p
p
dx
¼ ¯°2
a
a
°a
¡°a
cos ax 2
=
e
© ° ¯¡ p
¡e © ° ¯+ p
2 ch a° ¡ e
° + x2
4°
2 ¯
2 ¯
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; a > 0]:
ET I 15(15)
3.955
Z
1
0
2
º ¡ x2
x e
³
¼´
cos ¯x ¡ º
dx =
2
r
¼ ¡ ¯2
e 4 Dº (¯)
2
[Re º > ¡1]:
3.956
Z
1
0
2
e¡x (2x cos x ¡ sin x) sin x
dx p e ¡ 1
:
= ¼
x2
2e
BI ((369))(19)
3.957
1:
Z
1
•
¶
¹
¡¯ 2
i
exp
sin ax dx = ¹ ¯ ¹ a¡ 2 £
4x
2
¶
•
¶
∙
•
´¸
³ ¼i p ´
³
i
i
¼i p
¡
£ exp ¡ ¹¼ K¹ ¯e 4 a ¡ fexpg
¹¼ K¹ ¯e 4 a
4
4
[Re ¯ > 0; Re ¹ < 1; a > 0]:
¹¡1
x
0
ET I 318(12)
2:
Z
1
¹¡1
x
0
=
exp
•
1 ¹ ¡¹
¯ a 2
2¹
¶
¡¯ 2
cos ax dx =
4x
•
¸
¶
¶
∙
•
³ ¼i p ´
³
p ´
i
i
¡ ¼i
4
4
a + fexpg
a
¹¼ K¹ ¯e
exp ¡ ¹¼ K¹ ¯e
4
4
[Re ¯ > 0; Re ¹ < 1; a > 0]:
ET I 320(32)a
3.958
1:
Z
1
n ¡(ax2 +bx+c)
x e
¡1
•
¶n r
• 2
¶ [n=2]
X
¼
n!
b ¡ p2
sin(px+q) dx = ¡
exp
¡c
ak £
a
4a
(n ¡ 2k)!k!
k=0
•
¶
•
¶
n¡2k
X n ¡ 2k
¼
pb
n¡2k¡j j
£
p sin
¡q+ j
[a > 0]:
b
2a
2
j
j=0
¡1
2a
GW ((37))(1b)
2:
Z
1
¡1
n ¡(ax2 +bx+c)
x e
cos(px+q) dx =
•
¶n r
¶ [n=2]
X
n!
b2 ¡ p2
¡c
ak £
4a
(n ¡ 2k)!k!
k=0
•
¶
•
¶
n¡2k
X n ¡ 2k
¼
pb
¡q+ j
£
pj cos
2a
2
j
j=0
¡1
2a
¼
exp
a
•
[a > 0]:
GW ((337))(1a)
3.959
Z
1
• 2 2¶
p 1
a k
a ¼X
k
tg ax dx = 3
(¡1) k exp ¡ 2
p
p
¡p2 x2
xe
0
[p > 0]:
k=1
BI ((362))(15)
3.961
1:
Z
1
0
exp(¡¯
p
° 2 + x2 ) sin ax p
x dx
° 2 + x2
a°
p
a2 + ¯ 2 )
a2 + ¯ 2
[Re ¯ > 0; Re ° > 0; a > 0]:
= p
K1 (°
ET I 75(36)
532
2:
Z
1
0
exp[¡¯
p
° 2 + x2 ] cos ax p
dx
° 2 + x2
= K0 (°
p
a2 + ¯ 2 )
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0;
a > 0]:
ET I 17(27)
3.962
1:
Z
1
0
qp
° 2 + x2 ¡ ° exp(¡¯
p
° 2 + x2
p
° 2 + x2 )
p
a exp(¡° a2 + ¯ 2 )
¼
q
p
2p 2
¯ + a2 ¯ + a2 + ¯ 2
sin ax dx =
r
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0;
a > 0]:
ET I 75(38)
2:
Z
1
0
p
°2
x2 )
x exp(¡¯
+
qp
cos ax dx =
p
° 2 + x2
° 2 + x2 ¡ °
r
¼
2
q
p
p
¯ + a2 + ¯ 2
p
exp[¡° a2 + ¯ 2 ]
a2 + ¯ 2
[Re ¯ > 0;
Re ° > 0;
a > 0]:
ET I 17(29)
3.963
1:
Z
1
0
¡ tg 2 x
e
p
sin x dx
¼
=
:
cos 2 x x
2
BI ((391))(1)
3.339
BI ((396))(3)
3:
4:
Z
Z
¼
2
xe¡ tg
2
x
sin 4x
0
dx
3p
=¡
¼:
2
cos x
2
BI ((396))(5)
¼
2
xe¡ tg
2
sin2 2x
x
0
p
dx
= 2 ¼:
2
cos x
BI ((396))(6)
3.964
1:
2:
Z
Z
¼
2
xe¡p tg x
0
p sin x ¡ cos x
dx = ¡ sin p si(p) ¡ ci(p) cos p
cos 3 x
[p > 0]:
LI ((396))(4)
¼
2
¡p tg2 x
xe
0
p ¡ cos 2 x
1
dx =
cos 4 x ctg x
4
r
¼
p
[p > 0]:
BI ((396))(7)
3:8
Z
¼
2
xe¡p tg
0
2
¡ 2 cos 2 x
1 + 2p
dx =
6
cos x ctg x
8p
xp
r
¼
p
[p > 0]:
BI ((396))(8)
3.965
1:
Z
1
¡¯x
xe
0
¯
sin ax sin ¯x dx =
4
2
r
¼ ¡ ¯2
e 2a
2a3
h
j arg ¯ j <
¼
;
4
i
a>0 :
533
2:
Z
1
0
¡¯x
xe
¯
cos ax cos ¯x dx =
4
2
r
¼ ¡ ¯2
e 2a
2a3
[a > 0;
Re ¯ > j Im ¯ j]:
ET I 84(17)
Z
1:
Z
2:
1
xe¡px cos(2x2 + px) dx = 0
[p > 0]:
0
BI ((361))(16)
1
•
¶
p
1 2
p ¼
cos(2x ¡ px) dx =
exp ¡ p
8
4
¡px
2
xe
0
[p > 0]:
BI ((361))(17)
Z
3:
Z
4:
1
x2 e¡px [sin(2x2 + px) + cos(2x2 + px)] dx = 0
[p > 0]:
0
BI ((361))(18)
1
0
x2 e¡px [sin(2x2 ¡ px) ¡ cos(2x2 ¡ px)] dx =
•
¶
¼
1
(2 ¡ p2 ) exp ¡ p2 :
16
4
p
BI ((361))(19)
5:
3
Z
1
1
¹¡1 ¡x
x
e
0
e 4a ¡(¹)
¹¼
cos(x+ax ) dx =
cos
D¡¹
¹
2
4
(2a)
2
•
1
p
a
¶
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
ET I 321(37)
6:
6
Z
1
1
¹¡1 ¡x
x
e
0
e 4a ¡(¹)
¹¼
sin(x+ax ) dx =
sin
D¡¹
¹
4
(2a) 2
2
•
1
p
a
¶
[Re ¹ > ¡1;
a > 0]:
ET I 319(18)
3.967
1:
Z
1
2
¡¯
x2
e
0
dx
sin a2 x2 2
x
=
p
p
¼ ¡p2a¯
e
sin( 2a¯)
2¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
ET I 75(30)A, BI((369))(3)a
2:
Z
1
0
2
¡¯
x2
e
dx
cos a2 x2 2
x
=
p
p
¼ ¡p2a¯
e
cos( 2a¯)
2¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((369))(4), ET I 16(20)
3:
Z
1
2 ¡¯x2
x e
2
cos ax dx =
0
4
p
4
p
¼
(a2 + ¯ 2 )3
cos
•
3
a
arctg
2
¯
¶
[Re ¯ > 0]:
ET I 14(3)a
3.968
1:
Z
1
¡¯x2
e
0
¼
sin ax dx = ¡
8
4
r
∙ • 2¶
• 2
¶
• 2
¶¸
• 2¶
¯
¯
¯
¼
¼
¯
¯
fcosg
fsing
J1
+
+ N1
+
4
4
a
8a
8a
8
8a
8a
8
[Re ¯ > 0; a > 0]:
ET I 75(34)
534
2:
Z
1
¡¯x2
e
0
¼
cos ax dx =
8
4
r
∙ • 2¶
• 2
¶
• 2
¶¸
• 2¶
¯
¼
¼
¯
¯
¯
¯
J 14
sin
+
¡ N 14
fcosg
+
a
8a
8a
8
8a
8a
8
[Re ¯ > 0; a > 0]:
ET I 16(24)
3.969
1:
Z
1
¡p2 x4 +q 2 x2
e
0
3
3
[2px cos(2pqx ) + q sin(2pqx )] dx =
p
¼
:
2
BI ((363))(7)
2:
Z
1
e¡p
2
x4 +q 2 x2
0
[2px sin(2pqx3 ) ¡ q cos(2pqx3 )] dx = 0:
BI ((363))(8)
3.971
1:
Z
•
¶
b
q ´
dx
2
exp ¡px ¡ 2 sin ax + 2
=
x
x
x2
•
¶
Z 1
³
1
b
q ´
dx
2
2
=
exp ¡px ¡ 2 sin ax + 2
=
2 ¡1
x
x
x2
p
¼
=
exp[¡2rs cos(A + B)] sin[A + 2rs sin(A + B)]:
2s
1
0
³
2
BI ((369))(16, 17)
3.971
BI ((369))(15, 18)
3.972
1:
Z
h p
i
dx
exp ¡¯ ° 4 + x4 sin ax2 p
=
4
° + x4
r
¸
¸
∙ 2 p
∙ 2 p
a¼
°
°
2
2
2
2
I1=4
( ¯ + a ¡ ¯) K1=4
( ¯ + a + ¯)
=
8
2
4
h
i
¼
Re ¯ > 0; j arg ° j < ; a > 0 :
4
1
0
ET I 75(37)
535
2:
Z
1
0
exp[¡¯
p
° 4 + x4 ] cos ax2 p
dx
=
° 4 + x4
r
¸
¸
∙ 2 p
∙ 2 p
a¼
°
°
2
2
2
2
=
I¡1=4
( ¯ + a ¡ ¯) K1=4
( ¯ + a + ¯)
8
2
4
h
i
¼
Re ¯ > 0; j arg ° j < ; a > 0 :
4
ET I 17(28)
3.973
1:
2:
Z
Z
1
0
exp(p cos ax) sin(p sin ax)
dx
¼
= (ep ¡ 1)
x
2
[p > 0;
a > 0]:
WH, FI II 725
1
exp(p cos ax) sin(p sin ax + bx)
0
x dx
¼
= exp(¡cb + pe¡ac )
2
+x
2
[a > 0; b > 0; c > 0; p > 0]:
c2
BI ((372))(3)
3:
Z
1
0
exp(p cos ax) cos(p sin ax + bx)
c2
dx
¼
=
exp(¡cb + pe¡ac )
2
+x
2c
[a > 0; b > 0; c > 0; p > 0]:
BI ((372))(4)
BI ((366))(2)
5:
Z
1
exp(p cos x) sin(p sin x) cos nx
0
1
dx
pn ¼
¼ X pk
¢ +
=
x
n! 4
2
k!
[p > 0]:
k=n+1
LI ((366))(3)
6:
Z
1
n¡1
exp(p cos x) cos(p sin x) sin nx
0
dx
¼ X pk
pn ¼
=
+
x
2
k!
n! 4
[p > 0]:
k=0
LI ((366))(4)
3.974
1:
Z
1
exp(p cos ax) sin(p sin ax) cosec ax
0
b2
dx
¼[ep ¡ exp(pe¡ab )]
=
2
+x
2b sh ab
[a > 0; b > 0; p > 0]:
BI ((391))(4)
2:
Z
1
0
[1¡exp(p cos ax) cos(p sin ax)] cosec ax
x dx
¼[ep ¡ exp(pe¡ab )]
=
b2 + x2
2 sh ab
[a > 0; b > 0; p > 0]:
BI ((391))(5)
3:
Z
1
exp(p cos ax) sin(p sin ax+ax) cosec ax
0
dx
¼[ep ¡ exp(pe¡ab ¡ ab)]
=
2
+x
2b sh ab
[a > 0; b > 0; p > 0]:
b2
BI ((391))(6)
4:
Z
1
exp(p cos ax) cos(p sin ax+ax) cosec ax
0
x dx
¼[ep ¡ exp(pe¡ab ¡ ab)]
=
b2 + x2
2 sh ab
[a > 0; b > 0; p > 0]:
BI ((391))(7)
5:
Z
1
0
exp(p cos ax) sin(p sin ax)
x dx
¼
= [1¡exp(p cos ab) cos(p sin ab)]
2
¡x
2
[p > 0; a > 0]:
b2
536
6:
Z
1
exp(p cos ax) cos(p sin ax)
0
b2
dx
¼
exp(p cos ab) sin(p sin ab)
=
2
¡x
2b
[a > 0; b > 0; p > 0]:
BI ((378))(2)
7:
Z
1
exp(p cos ax) sin(p sin ax) tg ax
0
b2
dx
¼
¢ •ab[exp(pe¡ab ) ¡ ep ]
=
2
+x
2b
[a > 0; b > 0; p > 0]:
BI ((372))(14)
8:
Z
1
exp(p cos ax) sin(p sin ax) ctg ax
0
dx
¼
=
cth ab[ep ¡exp(pe¡ab )]
b2 + x2
2b
[a > 0; b > 0; p > 0]:
BI ((372))(15)
9:
Z
1
exp(p cos ax) sin(p sin ax) cosec ax
0
dx
¼
=
cosec ab[ep ¡exp(p cos ab) cos(p sin ab)]
b2 ¡ x2
2b
[a > 0; b > 0; p > 0]:
BI ((391))(12)
10:
Z
1
0
[1 ¡ exp(p cos ax) cos(p sin ax)] cosec ax
=¡
¼
exp(p cos ab) sin(p sin ab) cosec ab
2
x dx
=
¡ x2
b2
[a > 0;
b > 0;
p > 0]:
BI ((391))(13)
3.975
1:
•
x
Z 1 sin ¯ arctg
°
(° 2 + x2 )
0
¯
2
¶
¢
1
dx
° 1¡¯
1
=
³(¯;
°)
¡
¡
e2¼x ¡ 1
2
4° ¯ 2(¯ ¡ 1)
[Re ¯ > 1;
Re ° > 0]:
WH, ET I 26(7)
2:
Z
1
0
sin(¯ arctg x)
(1 +
¯
x2 ) 2
¢
1
³(¯)
dx
¡ ¯
=
e2¼x + 1
2(¯ ¡ 1)
2
[Re ¯ > 1]:
Z
1
0
1
2
(1+x2 )¯¡ 2 e¡px cos[2px+(2¯ ¡1) arctg x] dx =
e¡p
sin ¼¯¡(¯)
2p¯
[Re ¯ > 0;
p > 0]:
WH
3.98- 3.99 Combinations of trigonometric and hyperbolic functions
3.981
1:
2:
Z
Z
1
0
¼ a¼
sin ax
dx =
•
sh ¯x
2¯ 2¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((264))(16)
1
0
∙ •
¶
•
¶¸
¯ + ai
¯ ¡ ai
sin ax
¼ a¼ i
dx = ¡
• ¡
Ã
¡Ã
ch ¯x
2¯ 2¯ 2¯
4¯
4¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
GW ((335))(12), ET I 88(1)
537
3:
4:
Z
Z
1
0
cos ax
¼
a¼
dx =
sech
ch ¯x
2¯
2¯
[Re ¯ > 0;
all real a]:
BI ((264))(14)
1
0
sh ¯x
¼
sin ax
dx =
sh °x
2°
a¼
°
∙ •
¶
•
¶¸
i
¯ + ° + ia
¯ + ° ¡ ia
+
Ã
¡Ã
¯¼ 2°
a¼
2°
2°
ch
+ cos
°
°
[j Re ¯ j < Re °; a > 0]:
sh
ET I 88(5)
5:
Z
1
0
cos ax
sh ¯x
¼
dx =
sh °x
2°
sin
¼¯
°
a¼
¯¼
ch
+ cos
°
°
[j Re ¯ j < Re °]:
BI ((265))(7)
6:
Z
1
0
sh ¯x
¼
sin ax
dx =
ch °x
°
¯¼
a¼
sh
2°
2°
a¼
¯¼
ch
+ cos
°
°
sin
[j Re ¯ j < Re °;
a > 0]:
7:
8:
Z
Z
1
0
1
0
8
>
>
> •
•
¶
•
¶
¶
3° + ¯ ¡ ia
3° ¡ ¯ + ia
3° ¡ ¯ ¡ ia
sh ¯x
1 <
¡Ã
¡
cos ax
dx =
Ã
+Ã
ch °x
4° >
4°
4°
4°
>
>
:
9
>
¼¯
>
>
•
¶
2¼ sin
=
3° + ¯ + ia
°
¡Ã
+
[j Re ¯ j < Re °; a > 0]:
¼¯
¼a >
4°
>
>
+ ch
cos
°
° ;
ch ¯x
¼
¢
sin ax
dx =
sh °x
2°
sh
ch
¼a
°
¼a
¼¯
+ cos
°
°
[j Re ¯ j < Re °;
ET I 31(13)
a > 0]:
BI ((265))(4)
9:
Z
1
0
2
¶
•
¶
•
¶
•
i 6
ch ¯x
3° + ¯ ¡ ai
3° ¡ ¯ + ia
3° + ¯ + ia
6
sin ax
dx =
¡Ã
+Ã
¡
6Ã
ch °x
4° 4
4°
4°
4°
¼a
•
¶
2¼i sh
3° ¡ ¯ ¡ ai
°
¡Ã
¡
a¼
¯¼
4°
ch
+ cos
°
°
3
7
7
7
5
[j Re ¯ j < Re °;
a > 0]:
ET I 88(6)
538
10:
Z
1
0
ch ¯x
¼
cos ax
dx =
ch °x
°
¯¼
a¼
ch
2°
2°
a¼
¯¼
ch
+ cos
°
°
cos
[j Re ¯ j < Re °;
all real a]:
BI ((265))(6)
11:
Z
¼
2
0
¼¯
2
cos 2m x ch ¯x dx =
¯(¯ 2 + 22 ) . . . [¯ 2 + (2m)2 ]
(2m)! sh
[Re ¯ > 0]:
WA 620a
WA 620a
3.982
Z
1:
1
0
cos ax
a¼
dx =
a¼
2
2
ch ¯x
2¯ sh
2¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((264))(16)
Z
2:
1
0
•
¯¼
¯¼
a¼
a¼
¡ ¯ cos
¼ a sin
ch
sh
sh ¯x
2°
2°
2°
2°
¶
•
dx =
sin ax 2
¯¼
a¼
ch °x
¡ cos
° 2 ch
°
°
¶
[j Re ¯ j < 2 Re °;
a > 0]:
ET I 88(9)
3:
8
Z
1
0
½
¾
¼
sin2 x cos ax
2a
a¡2
a+2
dx =
¡
+
= I(a)
sin h2 x
4 1 ¡ e¡¼(a+2)
1 ¡ e¡¼a
1 ¡ e¡¼(a¡2)
¸
∙
1
¼
1
I(o) = (¼coth¼ ¡ 1); I(§2) = + (coth2¼ ¡ coth¼)
2
4
2
3.983
1:6
•
¶
c
a
Z 1
¼ sin
Arch
cos ax dx
¯
b
= p
a¼
b
ch
¯x
+
c
2
2
0
¯ c ¡ b sh
¯
•
¶
c
a
¼ sh
arccos
¯
b
= p
a¼
2
2
¯ b ¡ c sh
¯
Z
2:
1
0
a°
sh
cos ax dx
¼
¯
=
ch ¯x + cos °
¯ sin ° sh a¼
¯
[c > b > 0]
[b > jcj > 0];
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
GW ((335))(13a)
[¼ Re ¯ < Im ¯°;
a > 0]:
BI ((267))(3)
3:
3
Z
1
0
cos ax dx
sin ab
= ¡¼ cth a¼
ch x ¡ ch b
sh b
[a > 0;
b > 0]:
539
Z
4:
1
0
r
¼
cos ax dx
2
!
Ãr
Ãr
! =
2
2
¼a
1 + 2 ch
1 + 2 ch
¼x
3
3
[a > 0]:
ET I 30(9)
Z
5:
∙
½ ∙
¸
∙
¸
¸
∙
¸¾
¯
¯
a
a
¡
sin
¼
sin
(¼
¡
±)
sh
(¼
+
±)
(¼
+
±)
sh
(¼
¡
±)
1
sin ax sh ¯x
°
°
°
°
•
¶
dx =
2¼¯
2¼a
0 ch °x + cos ±
¡ cos
° sin ± ch
°
°
[¼ Re ° > j Re °± j; j Re ¯ j < Re °; a > 0]:
BI ((267))(2)
½
¸
∙
¸
∙
¸
∙
¸¾
¯
a
¯
a
Z 1
¼ cos
(¼ ¡ b) ch
(¼ + b) ¡ fcosg
(¼ + b) ch
(¼ ¡ b)
cos ax ch ¯x
°
°
°
°
•
¶
dx =
2¼a
2¼¯
0 ch °x + cos b
° sin b ch
¡ cos
°
°
[j Re ¯ j < Re °; 0 < b < ¼; a < 0]:
6:
∙
BI ((267))(6)
Z
7:
1
0
cos ax dx
Qai (¯)
p
= ¡(º + 1 ¡ ai)ea¼ º
¡(º + 1)
(¯ + ¯ 2 ¡ 1 ch x)º+1
[Re º > ¡1; j arg(¯ + 1)j < ¼;
a > 0]:
ET I 30(10)
3.984
1:
2:
6
lim
Z
1
c"1 0
6
lim
Z
c"1 0
sin ax sh cx
ch ab
dx = ¼
ch x + cos b
sh a¼
[jbj ∙ ¼;
a real]:
BI ((267))(1)
1
cos ax ch cx
sh ab
dx = ¡¼ ctg b
ch x + cos b
sh a¼
[0 < jbj < ¼;
a real]:
BI ((267))(5)
ET I 80(10)
Z
4:
a°
¯
¼ cos
x
¯
2 dx =
°
a¼
ch ¯x + ch °
2¯ ch ch
2
¯
1 cos ax
0
ch
[¼ Re ¯ > j Im(¯°)j]:
ET I 31(16)
Z
5:
1
0
sin ax sh ¯x
a¼
dx =
ch 2¯x + cos 2ax
4(a2 + ¯ 2 )
[a > 0;
Re ¯ > 0]:
BI ((267))(7)
Z
6:
1
0
cos ax ch ¯x
¯¼
dx =
ch 2¯x + cos 2ax
4(a2 + ¯ 2 )
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((267))(8)
540
7:
8
Z
1
0
1
sh2¹¡1 x ch2%¡2º+1 x
dx = B(¹; º ¡¹) 2 F1 (%; ¹; º; ¯)
2
2
%
2
(ch x ¡ ¯ sh x)
[Re º > Re ¹ > 0]:
EH I 115(12)
3.985
1:
Z
1
0
cos ax dx
2º¡2
=
¡
º
ch ¯x
¯¡(º)
•
ai
º
+
2
2¯
¶
¡
•
ai
º
¡
2
2¯
¶
[Re ¯ > 0;
Re º > 0;
a > 0]:
ET I 30(5)
2:
Z
1
0
¶
n¡1
Y • a2
cos ax dx
4n¡1 ¼a
2
=
+k ;
a¼
4¯ 2
ch2n ¯x
2(2n ¡ 1)!¯ 2 sh
k=1
2¯
£
¤
¼a(a2 + 22 ¯ 2 )(a2 + 42 ¯ 2 ) . . . a2 + (2n ¡ 2)2 ¯ 2
=
a¼
2(2n ¡ 1)!¯ 2n sh
2¯
[n ¸ 2;
a > 0]:
ET I 30(3)
ET I 30(4)
3.986
1:
Z
1
0
°¼
¯¼
sh
sh
sin ¯x sin °x
¼
2±
2±
dx = ¢
¯
°
ch ±x
±
ch ¼ + ch ¼
±
±
[j Im(¯ + °)j < Re ±]:
BI ((264))(19)
2:
Z
1
0
sin ®x cos ¯x
dx =
sh °x
¼ sh
•
¼®
°
®¼
¯¼
2° ch
+ ch
°
°
¶
[j Im(® + ¯)j < Re °]:
LI ((264))(20)
3:
Z
1
0
°¼
¯¼
cos ¯x cos °x
¼ ch 2± ch 2±
dx = ¢
°¼
¯¼
ch ±x
±
ch
+ ch
±
±
[j Im(¯ + °)j < Re ±]:
BI ((264))(21)
3
4:
Z
1
0
¯¡1
¯ cth ¯ ¡ 1
sin2 ¯x
¯
+
=
dx =
2
2¯ ¡ 1)
¼(e
2¼
2¼
sh ¼x
[j Im ¯ j < ¼]:
EH I 44(3)
541
3.987
1:
Z
1
0
sin ax(1 ¡ •¯x) dx =
1
¼
¡
a 2¯ sh ®¼
2¯
[Re ¯ > 0]:
ET I 88(4)a
2:
3.988
Z
1
0
sin ax(cth ¯x ¡ 1) dx =
¼
a¼
1
¡
cth
2¯
2¯
a
[Re ¯ > 0]:
ET I 88(3)
ET I 37(66)
2:
Z
¼
2
0
cos ax ch(2b cos x)
¼p
p
dx =
¼bI a ¡ 14 (b)I¡ a2 ¡ 14 (b)
2
cos x
2
[a > 0]:
ET I 37(67)
3:
Z
1
0
¼P¡ 12 +ia (cos b)
cos ax dx
p
p
=
2 ch a¼
ch x cos b
[a > 0;
b > 0]:
ET I 30(7)
3.989
1:
Z
1 sin
0
a2 x2
sin bx
¼
¼b2
¼b
¼
dx =
sin 2 cosech
sh ax
2a
4a
2a
[a > 0;
b > 0]:
ET I 93(44)
2:
Z
1 cos
0
¼b
a2 x2
¼b2
ch
sin bx
¡
cos
¼
¼
a
4a2
dx =
¼b
sh ax
2a
sh
2a
[a > 0;
b > 0]:
ET I 93(45)
3:
Z
1 sin
0
a2 ¼
1
x2
cos
¡p
cos ax
¼
4
2
¼
dx =
:
a¼
ch x
2
ch
2
ET I 36(54)
4:
Z
a2 ¼
1
x2
sin
+p
1 cos
cos ax
¼
4
2
¼
dx = ¢
:
a¼
ch
x
2
0
ch
2
ET I 36(55)
542
5:
Z
1
0
"•
∙ •
¶ ¸
1
X
sin(¼ax2 ) cos bx
1
k+
dx = ¡
exp ¡ k +
b sin
ch ¼x
2
k=0
"
"
¡
¢#
1
b k + 12
1 X
¼
+p
exp ¡
sin
a
a
4
1
2
¶2
#
¼a +
¡
¢2 #
k + 12 ¼
b2
¡
+
a
4¼a
6:
Z
1
0
"•
¶ ¸
¶2 #
∙ •
1
X
1
cos(¼ax2 ) cos bx
1
k
k+
dx =
b cos
(¡1) exp ¡ k +
¼a +
ch ¼x
2
2
k=0
2
¶3
¶2 3
•
•
2
1
1
¼7
k+
1
6¼
6 b k+2 7
1 X
b2
2
6
7
6
7
¡
+p
exp 4¡
+
7
5 cos 6
44
5
a
a
4¼a
a
k=0
[a > 0;
b > 0]:
ET I 36(57)
3.991
1:
Z
1
0
1 a
sin ¼x sin ax cth ¼x dx = • sin
2 2
2
•
¼
a2
+
4
4¼
¶
:
ET I 93(42)
2:
Z
1
0
cos ¼x2 sin ax cth ¼x dx =
∙
•
¶¸
1 a
a2
¼
•
1 cos
+
:
2 2
4
4¼
ET I 93(43)
3.992
1:
Z
1
0
p
sin ¼x2 cos ax
•
¶ dx = ¡ 3 +
2
1 + 2 ch p ¼x
3
•
¶
a2
¼
¡
12
4¼
:
a
4 ch p ¡ 2
3
cos
ET I 37(60)
2:
¶
a2
¼
Z 1
¡
sin
cos ¼x2 cos ax
12
4¼
•
¶ dx = 1 ¡
:
a
2
0
p
¡
2
4
ch
1 + 2 ch p ¼x
3
3
•
ET I 37(61)
3.993
Z
1
0
p
sin x2 + cos x2
¼ sin a2 + cos a2
p
p
¢
cos ax dx =
:
ch( ¼x)
2
ch( ¼a)
543
3.994
1:
Z
1
0
i
sin(2a ch x) cos bx
¼p h
p
dx = ¡
a¼ J 1 + ib (a)N 1 ¡ ib (a) + J 1 ¡ ib (a)N 1 + ib (a)
4
2
4
2
4
2
4
2
4
ch x
[a > 0; b > 0]:
ET I 37(62)
2:
Z
1
0
i
cos(2a ch x) cos bx
¼p h
p
dx = ¡
a¼ J¡ 1 + ib (a)N¡ 1 ¡ ib (a) + J¡ 1 ¡ ib (a)N¡ 1 + ib (a)
4
2
4
2
4
2
4
2
4
ch x
[a > 0; b > 0]:
ET I 37(63)
3:
Z
1
0
i
sin(2a sh x) sin bx
ip h
p
dx = ¡
¼a I 1 ¡ ib (a)K¡ 1 + ib (a) ¡ I 1 + ib (a)K 1 ¡ ib (a)
4
2
4
2
4
2
4
2
2
sh x
[a > 0; b > 0]:
ET I 93(47)
4:
Z
1
0
i
cos(2a sh x) sin bx
ip h
p
dx = ¡
¼a I¡ 1 ¡ ib (a)K¡ 1 + ib (a) ¡ I¡ 1 + ib (a)K¡ 1 ¡ ib (a)
4
2
4
2
4
2
4
2
2
sh x
[a > 0; b > 0]:
ET I 93(48)
5:
Z
1
0
sin(2a sh x) cos bx
p
dx =
sh x
p
i
¼a h
I 1 ¡ ib (a)K 1 + ib (a) + I 1 + ib (a)K 1 ¡ ib (a)
4
2
4
2
4
2
4
2
2
[a > 0; b > 0]:
ET I 37(64)
6:
Z
1
0
cos(2a sh x) cos bx
p
dx =
sh x
p
i
¼a h
I¡ 1 ¡ ib (a)K¡ 1 + ib (a) + I¡ 1 + ib (a)K¡ 1 ¡ ib (a)
4
2
4
2
4
2
4
2
2
[a > 0; b > 0]:
ET I 37(65)
7:
Z
1
0
sin(a ch x) sin(a sh x)
dx
¼
= sin a
sh x
2
[a > 0]:
BI ((264))(22)
3.995
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
sin(2a cos 2 x) ch(a sin 2x)
¼
2ac
dx =
sin
2
2
2
2
2bc
b+c
b cos x + c sin x
[b > 0;
c > 0]:
BI ((273))(9)
¼
2
0
cos(2a cos 2 x) ch(a sin 2x)
¼
2ac
dx =
cos
2
2
2
2
2bc
b+c
b cos x + c sin x
[b > 0;
c > 0]:
BI ((273))(10)
3.996
1:
2:
Z
Z
1
sin(a sh x) sh ¯x dx = sin
0
¯¼
K¯ (a)
2
[j Re ¯ j < 1;
a > 0]:
EH II 82(26)
1
cos(a sh x) ch ¯x dx = cos
0
¯¼
K¯ (a)
2
[j¯ j < 1;
a > 0]:
WA 202(13)
544
3:
4:
Z
Z
¼
2
cos(a sin x) ch(¯ cos x) dx =
0
1
0
•
1
sin a ch x ¡ ¯¼
2
¶
p
¼
J0 ( a2 ¡ ¯ 2 ):
2
ch ¯x dx =
¼
J¯ (a)
2
MO 40
[j Re ¯ j < 1;
a > 0]:
WA 199(12)
5:
Z
1
0
•
1
cos a ch x ¡ ¯¼
2
¶
¼
ch ¯x dx = ¡ N¯ (a)
2
[j Re ¯ j < 1;
a > 0]:
WA 199(13)
3.997
EH II 38(53)
2:
Z
¼
º
sin x ch(¯ cos x) dx =
0
p
• ¶ º2 •
¶
2
º+1
¼
¡
I º2 (¯)
¯
2
[Re º > ¡1]:
WH
3:
Z
¼
2
0
dx
p
=
ch(tg x) cos x sin 2x
p
2¼
1
X
(¡1)k
p
:
2k + 1
k=0
BI ((276))(13)
4:
Z
¼
2
0
1
¡(q) X
tg q x
dx
sin k¸
=
(¡1)k¡1
ch(tg x) + cos ¸ sin 2x
sin ¸
kq
[q > 0]:
k=1
BI ((275))(20)
4.11- 4.12 Combinations involving trigonometric and hyperbolic functions and
powers
4.111
1:
Z
1
0
sin ax 2m
¼ @ 2m
¢x dx = (¡1)m ¢ 2m
sh ¯x
2¯ @a
•
a¼
•
2¯
¶
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.981 1.).
3.981
GW ((336))(17a)
2:
Z
1
0
cos ax 2m+1
¼ @ 2m+1
¢x
dx = (¡1)m
sh ¯x
2¯ @a2m+1
•
a¼
•
2¯
¶
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.981 1.).
3.981
GW ((336))(17b)
3:
Z
1
0
2m+1
0
1
sin ax 2m+1
¼ @
B 1 C
¢x
dx = (¡1)m+1 ¢ 2m+1 @ a¼ A
ch ¯x
2¯ @a
ch
2¯
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.981 3.).
4:
Z
1
0
2m
0
1
cos ax 2m
¼ @
B 1 C
¢x dx = (¡1)m ¢ 2m @ a¼ A
ch ¯x
2¯ @a
ch
2¯
[Re ¯ > 0]
(cf. 3.981 3.).
3.981
GW ((336))(18a)
545
5:
Z
1
0
a¼
sh
sin 2ax
¼2
¯
x
¢
dx =
a¼
2
2
ch ¯x
4¯
ch
¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((364))(6)a
6:
Z
1
0
x
cos 2ax
¼2
1
¢
dx =
sh ¯x
4¯ 2 ch2 a¼
¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((364))(1)a
7:
Z
1
0
•
¶
sin ax dx
¼a
¼
= 2 arctg exp
¡
ch ¯x x
2¯
2
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((387))(1), ET I 89(13), LI ((298))(17)
4.112
1:
Z
1
0
(x2 + ¯ 2 )
cos ax
2¯ 3
dx
=
¼x
ch3 a¯
ch
2¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
ET I 32(19)
2:
Z
1
0
x(x2 + 4¯ 2 )
cos ax
6¯ 4
¼x dx = ch4 a¯
sh
2¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
ET I 32(20)
4.113
1:
Z
1
0
sin ax
dx
1
¼e¡a¯
¢ 2
+
=
¡
¡
sh ¼x x + ¯ 2
2¯ 2
¯ sin ¼¯
1
+ 2 [ 2 F1 (1; ¡¯; 1 ¡ ¯; ¡e¡a ) + 2 F1 (1; ¯; 1 + ¯: ¡e¡a )] =
2¯
1
X
1
(¡1)k e¡ak
¼e¡a¯
¡
=
¡
2¯ 2
2¯ sin ¼¯
k2 ¡ ¯ 2
k=1
[Re ¯ > 0;
¯=
= 0; 1; 2; . . . ; a > 0]:
ET I 90(18)
2:
Z
1
0
m¡1
dx
(¡1)m ae¡ma
1 X (¡1)k e¡ka
(¡1)m e¡ma
sin ax
¢ 2
=
+
+
ln(1 + e¡a ) +
sh ¼x x + m2
2m
2m
m¡k
2m
k=1
¸
∙
1 dm¡1 (1 + z)m¡1
+
ln(1 + z)
[a > 0]:
2m! dz m¡1
z
z=e¡a
ET I 89(17)
3:
Z
1
0
sin ax
dx
1
¢
=
2
sh ¼x 1 + x
2
Z
³
sin ax dx
a
a´
=
¡
ch
a
+
sh
a
ln
2
ch
:
2
2
2
¡1 sh ¼x 1 + x
1
GW ((336))(21b)
546
4:
Z
1
0
dx
sin ax
1
¼ ¢ 1 + x2 = 2
sh x
2
Z
1
dx
sin ax
¼
¼ ¢ 1 + x2 = 2 sh a ¡ ch a arctg(sh a):
¡1 sh x
2
GW ((336))(21a)
5:
Z
1
0
p
p
sin ax dx
2 ch a + 2 p
2
¼ ¡a sh a
¼ ¢ 1 + x2 = ¡ p2 e + p2 ln 2 ch a ¡ p2 + 2 ch a arctg 2 sh a
sh x
4
[a > 0]:
LI ((389))(1)
6:
Z
1
0
p
•
¶
sin ax x dx
¼ ¡a sh a
2 ch a + 2 p
1
p ¡ 2 ch a arctg p
= p e + p ln
¼ ¢
2
2
2
2 ch a ¡ 2
2 sh a
ch x 1 + x
4
[a > 0]:
BI ((388))(1)
BI ((389))(14), ET I 32(24)
8:
Z
1
0
cos ax x dx
¼ ¡a
¡a
¼ ¢ 1 + x2 = 2 sh a arctg(e ) + 2 e ¡ 1
sh x
2
[a > 0]:
BI ((389))(11)
9:
Z
1
0
1
X
cos ax x dx
¢ 2
=
(¡1)k
2
ch ¼x x + ¯
k=0
•
¶2
1
1
e¡a¯ ¡ ¯e¡(k+ 2 )a
k+
2
"•
#
¶2
1
2
k+
¯
¡¯
2
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
ET I 32(26)
10:
Z
1
0
1
cos ax
dx
(¡1)m e¡(m+ 2 )a
=
¢¡
[a + ln(1 + e¡a )] +
¢
2
1
2
ch ¼x
2m
+
1
m+ 2 +x
a
a
m¡1
e¡ 2 X (¡1)k e¡ak
e¡ 2
+
+
£
2m + 1
k¡m
(2m + 1)(m + 1)
k=0
£2 F1 (1; m + 1; m + 2; ¡e¡a )
11:
12:
Z
Z
1
0
1
0
¡ a¢
¡ a ¢¤
cos ax dx
a £
¢
= 2 ch ¡ ea arctg e¡ 2 + e¡a arctg e 2
ch ¼x 1 + x2
2
cos ax
dx
¢
= ae¡a + ch a ln(1 + e¡2a )
ch ¼2 x 1 + x2
[a > 0]:
ET I 32(25)
[a > 0]:
ET I 32(21)
[a > 0]:
BI ((388))(6)
13:
Z
1
0
¼
2 sh a
cos ax dx
= p e¡a + p
arctg
¼ ¢
2
ch 4 x 1 + x
2
2
•
p
¶
2 ch a + 2
ch a
1
p
p
¡ p ln
2 sh a
2
2 ch a ¡ 2
[a > 0]:
BI ((388))(5)
547
4.114
1:
Z
1
0
•
¶
sin ax sh ¯x
¯¼ a¼
dx = arctg tg
•
x sh °x
2° 2°
[j Re ¯ j < Re °;
a > 0]:
BI ((387))(6)a
2:
Z
1
0
cos ax sh ¯x
1
dx = ln
x ch °x
2
a¼
¯¼
+ sin
2°
2°
¯¼
a¼
¡ sin
ch
2°
2°
ch
[j Re ¯ j < Re °]:
ET I 33(34)
4.115
1:
Z
1
0
1
¡ak
x sin ax sh ¯x
sin k¯
¼ e¡ab sin b¯ X
k ke
¢
dx
=
+
(
¡
1)
2
2
2
x +b
sh ¼x
2 sin b¼
k ¡ b2
k=1
[0 < Re ¯ < ¼;
a > 0;
b > 0]:
BI ((389))(23)
2:
Z
1
0
x sin ax sh ¯x
1
1
¢
dx = e¡a (a sin ¯ ¡ ¯ cos ¯) ¡ sh a sin ¯ ln[1 + 2e¡a cos ¯ + e¡2a ] +
2
x + 1 sh ¼x
2
2
sin ¯
[j Re ¯ j < ¼; a > 0]:
+ ch a cos ¯ arctg a
e + cos ¯
LI ((389))(10)
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
x sin ax sh ¯x
¼
1
ch a + sin ¯
¢ ¼ dx = e¡a sin ¯+ cos ¯ sh a ln
¡sin ¯ ch a arctg
2
x + 1 sh x
2
2
ch a ¡ sin ¯
2
h
i
¼
j Re ¯ j < ; a > 0 :
2
•
cos ¯
sh a
¶
BI ((389))(8)
1
¡ak
cos ax sh ¯x
¼ e¡ab sin b¯ X
sin k¯
ke
¢
¢
dx
=
+
(
¡
1)
2
2
2
x + b sh ¼x
2b
sin b¼
k ¡ b2
k=1
[0 < Re ¯ < ¼;
a > 0;
b > 0]:
BI ((389))(22)
BI ((389))(20)a
6:
7:
Z
Z
1
0
1
0
cos ax sh ¯x
¼
ch a + sin ¯
cos ¯
1
¢ ¼ dx = e¡a sin ¯ ¡ ch a cos ¯ ln
+sh a sin ¯ arctg
2
x + 1 sh x
2
2
ch a ¡ sin ¯
sh a
2
h
i
¼
j Re ¯ j < ; a > 0; b > 0 :
2
sin ax sh ¯x
a
¢
dx = e¡ 2
1
ch ¼x
x2 +
4
•
+ ch
¯
¯
a sin ¡ ¯ cos
2
2
¶
¡ sh
BI ((389))(18)
a
¯
sin ln(1 + 2e¡a cos ¯ + e¡2a ) +
2
2
a
¯
sin ¯
cos arctg
2
2
1 + e¡a cos ¯
[j Re ¯ j < ¼;
a > 0]:
ET I 91(26)
548
8:
9:
Z
Z
1
0
1
sin ax ch °x
1
e¡ak cos k°
¼ e¡a¯ cos ¯° X
¢
dx =
¡ ¢
+
(¡1)k¡1
2
2
2
x + ¯ sh ¼x
2¯
2¯
sin ¯¼
k2 ¡ ¯ 2
k=1
[0 ∙ Re ¯;
1
0
j Re ° j < ¼;
a > 0]:
BI ((389))(21)
sin ax ch ¯x
1
1
¢
dx = ¡ e¡a (a cos ¯ + ¯ sin ¯) + sh a cos ¯ ln(1 + 2e¡a cos ¯ + e¡2a ) +
x2 + 1 sh ¼x
2
2
sin ¯
+ ch a sin ¯ arctg a
[j Re ¯ j < ¼; a > 0]:
e + cos ¯
ET I 91(25), LI ((389))(9)
10:
11:
Z
Z
1
0
1
0
sin ax ch ¯x
1
ch a + sin ¯
cos ¯
¼
¢ ¼ dx = ¡ e¡a cos ¯+ sh a sin ¯ ln
+ch a cos ¯ arctg
2
x + 1 sh x
2
2
ch a ¡ sin ¯
sh a
2
h
i
¼
j Re ¯ j < ; a > 0 ;
2
1
x cos ax ch ¯x
¼ e¡ab cos b¯ X
ke¡ak cos k¯
¢
dx = ¢
+ (¡1)k
2
2
x + b sh ¼x
2
sin b¼
k 2 ¡ b2
k=1
[j Re ¯ j < ¼;
a > 0]:
BI ((389))(7)
12:
Z
1
0
1
x cos ax ch ¯x
¢
dx = e¡a (a cos ¯ + ¯ sin ¯) ¡
2
x + 1 sh ¼x
2
1 1
¡ + ch a cos ¯ ln[1 + 2e¡a cos ¯ + e¡2a ] +
2 2
sin ¯
[j Re ¯ j < ¼; a > 0]:
+ sh a sin ¯ arctg a
e + cos ¯
BI ((389))(19)
13:
14:
Z
Z
1
0
1
0
x cos ax ch ¯x
¼
1
ch a + sin ¯
¢
dx = ¡1 + e¡a cos ¯ + ch a sin ¯ ln
x2 + 1 sh ¼ x
2
2
ch a ¡ sin ¯
2
h
i
¼
cos ¯
j Re ¯ j < ; a > 0 :
+ sh a cos ¯ arctg
sh a
2
BI ((389))(17)
cos ax ch ¯x
e¡2a sin 2¯
¡a
¡a
cos
¯
+
¯e
sin
¯
+
sh
a
sin
¯
arctg
¢
dx
=
ae
+
¼
x2 + 1 ch x
1 + e¡2a cos 2¯
2
h
i
1
¼
+ ch a cos ¯ ln(1 + 2e¡2a cos 2¯ + e¡4a )
j Re ¯ j < ; a > 0 :
2
2
ET I 34(37)
4.116
1:
6
Z
1
x cos 2ax •x dx the integral is divergent.
0
BI ((364))(2)
549
2:
Z
1
0
cos ax •¯x
dx
a¼
= ln cth
x
4¯
[Re ¯ > 0;
a > 0]:
BI ((387))(8)
4.117
1:
2:
Z
Z
1
0
sin ax ¼x
•
dx = a ch a ¡ sh a ln(2 sh a)
1 + x2 2
[a > 0]:
BI ((388))(3)
1
0
sin ax ¼x
a
¼
•
dx = ¡ ea + sh a ln cth + 2 ch a arctg(ea ):
1 + x2 4
2
2
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
sin ax
a
cth ¼x dx = e¡a ¡ sh a ln(1 ¡ e¡a )
1 + x2
2
[a > 0]:
BI ((389))(5)
1
0
¼
a
sin ax
cth x dx = sh a ln cth
1 + x2
2
2
[a > 0]:
BI ((389))(6)
1
0
x cos ax ¼
• x dx = ¡ae¡a ¡ ch a ln(1 ¡ e¡2a )
1 + x2 2
[a > 0]:
BI ((388))(7)
1
0
x cos ax ¼
¼
a
• x dx ¡ ea + ch a ln cth + 2 sh a arctg(ea )
2
1+x
4
2
2
[a > 0]:
BI ((388))(8)
1
0
x cos ax
a
1
cth ¼x dx = ¡ e¡a ¡ ¡ ch a ln(1 ¡ e¡a ):
1 + x2
2
2
BI ((389))(15)A, ET I 33(31)a
1
0
x cos ax
a
¼
cth x dx = ¡1 + ch a ln cth
1 + x2
2
2
[a > 0]:
BI ((389))(12)
1
0
x cos ax
¼
¼
a
cth x dx = ¡2+ e¡a +ch a ln cth +2 sh a arctg(e¡a )
2
1+x
4
2
2
[a > 0]:
BI ((389))(13)
4.118
Z
1
0
0
1
x sin ax
d
¼a A
dx = ¡ @
¼a
2
da
ch x
2 sh
2
[a > 0]:
Z
1
0
•
¶
1 ¡ cos px dx
p¼
¢
= ln ch
:
sh qx
x
2q
BI ((387))(2)a
4.121
Z
1:
1
0
sin ax ¡ sin bx dx
¢
= 2 arctg
ch ¯x
x
b¼
a¼
¡ exp
2¯
2¯
(a + b)¼
1 + exp
2¯
exp
[Re ¯ > 0]:
GW ((336))(19b)
Z
2:
1
0
b¼
cos ax ¡ cos bx dx
2¯
¢
= ln
a¼
sh ¯x
x
ch
2¯
ch
[Re ¯ > 0]:
GW ((336))(19a)
550
4.122
1:
6
Z
1
0
°¼
sh
cos ¯x sin °x dx
2±
¢
= arctg
¯¼
ch ±x
x
ch
2±
[Re ± > j Im ¯ j + j Im ° j]:
ET I 93(46)a
2:
Z
1
0
sin2 ax
ch ¯x dx
1
ch 2a¼ + cos ¯¼
¢
= ln
sh x
x
4
1 + cos ¯¼
[j Re ¯ j < 1]:
BI ((387))(7)
4.123
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
sin x
1
x dx
1
¢ 2
= arctg ¡ :
2
ch ax + cos x x ¡ ¼
a a
sin x
x dx
a
1
¢ 2
=
¡ arctg :
2
2
ch ax ¡ cos x x ¡ ¼
1+a
a
BI ((390))(1)
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
1 1 + 2a2
1
sin 2x
x dx
¢ 2
¢
=
¡ arctg :
2
ch 2ax ¡ cos 2x x ¡ ¼
2a 1 + a2
a
BI ((390))(4)
¡1
x dx
ch ax sin x
¢ 2
:
=
2
ch 2ax ¡ cos 2x x ¡ ¼
2a(1 + a2 )
LI ((390))(3)
5:
Z
1
0
cos ax
dx
¼e¡a°
¢ 2
+
=
2
ch ¼x + cos ¼¯ x + °
2°(cos °¼ + cos ¯¼)
¾
1 ½
1 X exp[¡(2k + 1 ¡ ¯)a]
exp[¡(2k + 1 + ¯)a]
+
¡ 2
sh ¯¼
° 2 ¡ (2k + 1 ¡ ¯)2
° ¡ (2k + 1 + ¯)2
k=0
[0 < Re ¯ < 1;
Re ° > 0;
a > 0]:
ET I 33(27)
6:
Z
1
0
³
sin ax sh bx
¡(p)
a ´ X (¡1)k
xp¡1 dx = 2
p
arctg
p sin
cos 2ax + ch 2bx
b
(2k + 1)p
(a + b2 ) 2
k=0
1
[p > 0]:
BI ((364))(8)
7:
Z
1
0
¼x
¼x
∙
¸
sh
1 @•1 (z; q)
2
2
sin ax
¢ x dx =
cos ¼x + ch ¼x
4
@z
z=0;q=e¡2a
2
sin
[a > 0]:
ET I 93(49)
4.124
1:
2:
Z
Z
1
0
p
p
¼
cos px ch(q 1 ¡ x2 )
p
dx = J0 ( p2 ¡ q 2 ):
2
1 ¡ x2
1
u
cos ax ch
p
¼
dx
¯(u2 ¡ x2 ) ¢ p
= J0
2
2
2
u ¡x
MO (40)
Ã
p
u
a2 ¡ ¯ 2
!
:
ET I 34(38)
551
4.125
1:
Z
1
0
∙
¸
dx
(¡1)n¡1 a2n¡1 ¼
a2
sh(a sin x) cos(a cos x) sin x sin 2nx
=
1+
:
x
(2n ¡ 1)!
8
2n(2n + 1)
LI ((367))(14)
2:
Z
1
0
∙
¸
dx
(¡1)n¡1 a2(n¡1) ¼
a2
=
1¡
:
ch(a sin x) cos(a cos x) sin x cos(2n¡1)x
x
[2(n ¡ 1)]!
8
2n(2n ¡ 1)
LI ((367))(15)
3:
Z
1
sh(a sin x) cos(a cos x) cos x cos 2nx
0
1
dx
¼ X (¡1)k a2k+1
(¡1)n a2n+1 3¼
=
+
x
2
(2k + 1)!
(2n + 1)! 8
k=n+1
+
(¡1)n¡1 a2n¡1 ¼
:
(2n ¡ 1)!
8
LI ((367))(21)
4.126
1:
Z
1
sin(a cos bx) sh(a sin bx)
0
x dx
¼
= [cos(a cos bc) ch(a sin bc)¡1]
2
¡x
2
c2
[b > 0]:
BI ((381))(2)
2:
Z
1
sin(a cos bx) ch(a sin bx)
0
c2
dx
¼
=
cos(a cos bc) sh(a sin bc)
2
¡x
2c
[b > 0;
c > 0]:
BI ((381))(1)
3:
Z
1
cos(a cos bx) sh(a sin bx)
0
x dx
¼
= [a cos bc¡sin(a cos bc) ch(a sin bc)]
2
¡x
2
c2
[b > 0]:
BI ((381))(4)
4:
Z
1
0
cos(a cos bx) ch(a sin bx)
c2
dx
¼
=¡
sin(a cos bc) sh(a sin bc)
2
¡x
2c
[b > 0]:
BI ((381))(3)
4.13 Combinations of trigonometric and hyperbolic functions and exponentials
4.131
1:
Z
1
0
¶
¶ 9
•
¯ ¡ º° + ai
¯ ¡ º° ¡ ai
>
>
¡
¡
=
i¡(º + 1)
2°
2°
º
¡¯x
¶
¶
•
•
¡
sin ax sh °xe
dx = ¡ º+2
>
¯ + º° ¡ ai
¯ + °º + ai
2
° >
>
:¡
;
+1
+1 >
¡
2°
2°
[Re º > ¡2; Re ° > 0; j Re(°º)j < Re ¯]:
•
8
>
>
<
ET I 91(30)a
2:
Z
1
0
¶
9
³
´
¯ ¡ º° ¡ ai
>
¯¡º°+ai
>
¡
=
¡
2°
¡(º
+
1)
2°
º
¡¯x
•
¶ ¡ •
¶
cos ax sh °xe
dx = º+2
>
¯ + °º ¡ ai
¯ + º° + ai
2
° >
>
:¡
;
+1
¡
+1 >
2°
2°
[Re º > ¡1; Re ° > 0; j Re(°º)j < Re ¯]:
8
>
>
<
•
ET I 34(40)a
552
3:
Z
1
0
1
X
sin ax
2a
dx =
;
2
sh °x
a + [¯ + (2k ¡ 1)°]2
k=1
∙ •
¶
•
¶¸
1
¯ + ° + ia
¯ + ° ¡ ia
=
Ã
¡Ã
2°i
2°
2°
e¡¯x
[Re ¯ > j Re ° j]:
ET I 91(28)
BI ((264))(9)a
4:
Z
1
0
e¡x
sin ax
¼
a¼
1
¡ :
dx = cth
sh x
2
2
a
ET I 91(29)
4.132
1:
Z
1
0
sin ax sh ¯x
¼
a
¢
dx = ¡
+
°x
2
2
e ¡1
2(a + ¯ )
2°
sh
2¼a
°
+
2¼¯
2¼a
¡ cos
ch
°
∙ •
¶° •
¶¸
i
a
a
¯
¯
+
¡i +1
Ã
+i +1 ¡Ã
2°
°
°
°
°
[Re ° > j Re ¯ j; a > 0]:
2:
Z
1
0
sin ax ch ¯x
¼
a
dx = ¡
+ ¢
°x
2
2
e ¡1
2(a + ¯ ) 2°
sh
2¼a
°
2¼¯
2¼a
¡ cos
ch
°
°
[Re ° > j Re ¯ j]:
BI ((265))(5)a
3:
Z
1
0
a
¼
sin ax ch ¯x
¡ ¢
dx =
°x
2
2
e +1
2(a + ¯ ) °
¯¼
a¼
cos
°
°
2¯¼
2a¼
¡ cos
ch
°
°
sh
[Re ° > j Re ¯ j]:
ET I 92(35)
4:
Z
1
0
cos ax sh ¯x
¯
¼
¡ ¢
dx =
°x
2
2
e ¡1
2(a + ¯ ) 2°
sin 2¼¯
°
2¯¼
2a¼
¡ cos
ch
°
°
[Re ° > j Re ¯ j]:
LI ((265))(8)
5:
Z
1
0
¯
¼
cos ax sh ¯x
dx = ¡
+
e°x + 1
2(a2 + ¯ 2 ) °
¼a
sin ¼¯
° ch °
2a¼
2¯¼
ch
¡ cos
°
°
[Re ° > j Re ¯ j]:
ET I 34(39)
4.133
1:
Z
1
0
•
x2
sin ax sh ¯x exp ¡
4°
¶
dx =
p
¼° exp °(¯ 2 ¡a2 ) sin(2a¯°)
[Re ° > 0]:
ET I 92(37)
553
2:
Z
1
0
•
¶
p
x2
cos ax ch ¯x exp ¡
dx = ¼° exp °(¯ 2 ¡a2 ) cos(2a¯°)
4°
[Re ° > 0]:
ET I 35(41)
4.134
1:
Z
1
0
2
e¡¯x (ch x ¡ cos x) dx =
r
¼
1
ch
¯
4¯
[Re ¯ > 0]:
ME 24
2:
Z
1
0
2
e¡¯x (ch x ¡ cos x) dx =
r
¼
1
sh
¯
4¯
[Re ¯ > 0]:
4.135
1:
Z
1
2
¡¯x
2
sin ax ch 2°xe
0
1
dx =
2
s
4
•
¶
¶
•
¯° 2
1
a
¼2
a° 2
exp ¡ 2
+ arctg
sin
a2 + ¯ 2
a + ¯2
a2 + ¯ 2
2
¯
[Re ¯ > 0]:
LI ((268))(7)
2:
Z
1
2
¡¯x
2
cos ax ch 2°xe
0
1
dx =
2
s
4
¶
•
¶
•
¯° 2
¼2
1
a
a° 2
exp ¡ 2
+ arctg
cos
a2 + ¯ 2
a + ¯2
a2 + ¯ 2
2
¯
[Re ¯ > 0]:
LI ((268))(8)
4.136
1:
Z
1
2
2
p
• ¶
2¼
1
1
dx = p I 14
ch
8¯
8¯
4 ¯
¡¯x4
(sh x + sin x )e
0
[Re ¯ > 0]:
ME 24
2:
Z
1
0
2
2
p
• ¶
2¼
1
1
dx = p I 1
sh
4
8¯
8¯
4 ¯
¡¯x4
(sh x ¡ sin x )e
[Re ¯ > 0]:
ME 24
3:
Z
1
2
2
¡¯x4
(ch x + cos x )e
0
p
• ¶
2¼
1
1
dx = p I¡ 14
ch
8¯
8¯
4 ¯
[Re ¯ > 0]:
ME 24
4:
Z
1
0
2
2
¡¯x4
(ch x ¡ cos x )e
p
• ¶
2¼
1
1
dx = p I¡ 14
sh
8¯
8¯
4 ¯
[Re ¯ > 0]:
ME 24
4.137
1:
Z
1
0
2
2 ¡¯x4
sin 2x sh 2x e
dx = p
4
¼
128¯ 2
J¡ 14
•
¶
• ¶
¼
1
1
cos
+
¯
¯
4
[Re ¯ > 0]:
2:
Z
1
2
2 ¡¯x4
sin 2x ch 2x e
0
•
¶
• ¶
1
¼
1
¡
dx = p
J1
cos
4
¯
4
128¯ 2 4 ¯
¼
[Re ¯ > 0]:
MI 32
554
3:
4:
Z
Z
1
2
2 ¡¯x4
cos 2x sh 2x e
0
1
2
2 ¡¯x4
cos 2x ch 2x e
0
•
¶
• ¶
1
¼
1
¡
dx = p
J1
sin
4
¯
4
128¯ 2 4 ¯
¡¼
dx = p
4
¼
128¯ 2
J¡ 14
•
¶
• ¶
1
¼
1
sin
+
¯
¯
4
[Re ¯ > 0]:
MI 32
[Re ¯ > 0]:
MI 32
4.138
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
1
2
2
2
2
¡¯x4
(sin 2x ch 2x +cos 2x sh 2x )e
0
1
0
1
4
(sin 2x2 ch 2x2 ¡cos 2x2 sh 2x2 )e¡¯x dx = p
4
2
2
2
2
¡¯x4
(cos 2x ch 2x +sin 2x sh 2x )e
0
1
0
• ¶
• ¶
1
1
dx = p
J 14
cos
4
2
¯
¯
32¯
¼
4
dx = p
4
(cos 2x2 ch 2x2 ¡sin 2x2 sh 2x2 )e¡¯x dx = p
4
¼
32¯ 2
J 14
• ¶
• ¶
1
1
sin
¯
¯
[Re ¯ > 0]:
MI 32
[Re ¯ > 0]:
MI 32
¼
32¯ 2
J¡ 14
• ¶
• ¶
1
1
cos
¯
¯
[Re ¯ > 0]:
MI 32
¼
32¯ 2
J¡ 14
• ¶
• ¶
1
1
sin
¯
¯
[Re ¯ > 0]:
MI 32
4.14 Combinations of trigonometric and hyperbolic functions, exponentials, and
powers
4.141
1:
Z
1
r
1
ch x sin x dx =
4
¡¯x2
xe
0
¼
¯3
•
1
1
+ sin
cos
2¯
2¯
¶
[Re ¯ > 0]:
MI 32
2:
Z
1
2
xe¡¯x sh x cos x dx =
0
1
4
r
•
¼
¯3
cos
1
1
¡ sin
2¯
2¯
¶
[Re ¯ > 0]:
MI 32
3:
Z
1
2
x2 e¡¯x ch x cos x dx =
0
1
4
r
¼
¯3
•
cos
1
1
1
¡ sin
2¯
¯
2¯
¶
[Re ¯ > 0]:
MI 32
4:
Z
1
2 ¡¯x2
x e
0
1
sh x sin x dx =
4
r
¼
¯3
•
1
1
1
+ cos
sin
2¯
¯
2¯
¶
[Re ¯ > 0]:
MI 32
4.142
1:
Z
1
¡¯x2
xe
0
1
(sh x + sin x) dx =
2
r
¼
1
ch
3
¯
4¯
[Re ¯ > 0]:
ME 24
2:
Z
1
¡¯x2
xe
0
1
(sh x ¡ sin x) dx =
2
r
¼
1
sh
3
¯
4¯
[Re ¯ > 0]:
ME 24
555
3:
Z
1
2 ¡¯x2
x e
0
1
(ch x+cos x) dx =
2
r
¼
¯3
•
1
1
1
+
sh
ch
4¯
2¯
4¯
¶
[Re ¯ > 0]:
ME 24
4:
Z
1
0
2 ¡¯x2
x e
1
(ch x¡cos x) dx =
2
r
¼
¯3
•
1
1
1
sh
+
ch
4¯
2¯
4¯
¶
[Re ¯ > 0]:
4.143
Z
1:
1
¡¯x2
xe
0
1
(ch x sin x + sh x cos x) dx =
2¯
r
¼
1
cos
¯
2¯
[Re ¯ > 0]:
MI 32
Z
2:
1
0
2
xe¡¯x (ch x sin x ¡ sh x cos x) dx =
1
2¯
r
¼
1
sin
¯
2¯
[Re ¯ > 0]:
MI 32
4.144
Z
1
2
e¡x sh x2 cos ax
0
dx
=
x2
r
∙
•
¶¸
a
¼ ¡ a2
¼a
e 8 ¡
1¡© p
2
4
8
[a > 0]:
ET I 35(44)
4.145
Z
1:
1
2
xe¡¯x ch(2ax sin t) sin(2ax cos t) dx =
0
a
2
• 2
¶
•
¶
a
a2
¼
exp
¡
cos
2t
cos
t
¡
sin
2t
¯3
¯
¯
[Re ¯ > 0]:
r
BI ((363))(5)
Z
2:
1
¡¯x2
xe
0
a
sh(2ax sin t) cos(2ax cos t) dx =
2
r
• 2
¶
•
¶
¼
a
a2
exp ¡
cos 2t sin t ¡
sin 2t
¯3
¯
¯
[Re ¯ > 0]:
BI ((363))(6)
4.146*
1:
2:
3:
8
8
Z
Z
Z
1
¡¯x2
1
sh ax sin bx dx =
2
r
¼
exp
¯
•
¡¯x2
1
ch ax cos bx dx =
2
r
¼
exp
¯
•
e
0
1
e
0
1
0
¡¯x2
xe
a
ch ax sin ax dx =
4¯
r
¼
¯
•
¶
sin
ab
2¯
[Re ¯ > 0]:
¶
cos
ab
2¯
[Re ¯ > 0]:
a2
a2
cos
+ sin
2¯
2¯
¶
[Re ¯ > 0]:
a2 ¡ b2
4¯
a2 ¡ b2
4¯
Z
4:
5:
6:
8
8
Z
Z
1
2
xe¡¯x sh ax cos ax dx =
0
1
¼
¯
•
cos
1
ch ax sin ax dx =
4
r
¼
¯3
•
2 ¡¯x2
1
ch ax cos ax dx =
4
r
¼
¯3
•
x e
x e
0
r
2 ¡¯x2
0
1
a
4¯
a2
a2
¡ sin
2¯
2¯
¶
a2
a2
a2
+
cos
sin
2¯
¯
2¯
a2
a2
a2
¡
sin
cos
2¯
¯
2¯
[Re ¯ > 0]:
¶
[Re ¯ > 0]:
¶
[Re ¯ > 0]:
556
4.2- 4.4 Logarithmic Functions
4.21 Logarithmic Functions
4.211
1:
Z
1
e
dx
= ¡1
ln x1
BI((33))(9)
2:
Z
u
0
dx
= li u
ln x
FI III 653, FI II 606
4.212
1:7
Z
1
0
dx
= e¡a Ei(a)[a > 0]:
a + ln x
(cf. note after 4:212:9)
4.212
BI((31))(4)
2:
Z
1
0
dx
= ¡ea Ei(¡a)[a > 0]:
a ¡ ln x
3:
7
Z
1
0
dx
1
= ¡ + e¡a Ei(a)
2
(a ln x)
a
[a > 0]:
BI((31))(14)
Z
4:
5:8
Z
1
0
1
0
dx
1
= + ea Ei(¡a)
2
(a ¡ ln x)
a
[a > 0]:
ln x dx
= 1 + (1 ¡ a)e¡a Ei(a)
(a + ln x)2
BI((31))(16)
[a > 0]:
BI((31))(15)
Z
6:
Z
7:
1
0
e
1
ln x dx
= 1 + (1 + a)ea Ei(¡a)
(a ¡ ln x)2
[a > 0]:
BI((31))(17)
ln x dx
e
= ¡ 1:
(1 + ln x)2
2
BI((33))(10)
8:7
Z
1
0
n¡1
X
dx
1
1
¡a
=
e
Ei(a)
¡
(n ¡ k ¡ 1)!ak¡n
n
(a + ln x)
(n ¡ 1)!
(n ¡ 1)!
k=1
[a > 0; n odd]:
BI((31))(22)
9:
Z
1
0
n¡1
dx
(¡1)n a
(¡1)n¡1 X
=
e Ei(¡a) +
(n ¡ k ¡ 1)!(¡a)k¡n
(a ¡ ln x)n
(n ¡ 1)!
(n ¡ 1)!
k=1
[a > 0; n odd]:
BI((31))(23)
In integrals of the form
R
(ln x)m
[an +(ln x)n ]l
dx it is convenient to make the substitution x = e¡t .
557
Results 4.212.3, 4.212.5, and 4.212.8 [for n > 1] and 4.213.6., 4.213.8 below are divergent but may be considered to be valid if
defined as follows:
Z
a
0
f (z) dz
1
=
n
(z ¡ z0 )
(n ¡ 1)!
•
d
dz0
¶n¡1
P
Z
a
0
f (z)
dz
z ¡ z0
where a > z0 > 0; n = 1; 2; 3; . . . and P indicates the Cauchy principal value.
4.213
Z
1:
1
0
1
dx
= [ci(a) sin a ¡ si (a) cos a]
a2 + (ln x)2
a
[a > 0]:
BI ((31))(6)
2:
7
Z
1
a2
0
1 ¡a
dx
=
[e Ei (a)¡ea Ei(¡a)]
2
¡ (ln x)
2a
[a > 0];
(cf. 4.212 1. and 2.)
4.212
BI ((31))(8)
3:
Z
1
a2
0
ln x dx
= ci(a) cos a + si (a) sin a
+ (ln x)2
[a > 0]:
BI ((31))(7)
4:7
Z
1
0
ln x dx
1
= ¡ [e¡a Ei (a)+ea Ei(¡a)]
a2 ¡ (ln x)2
2
[a > 0];
(cf. 4.212 1. and 2.).
4.212
BI ((31))(9)
5:
Z
1
0
dx
1
1
= 3 [ci(a) sin a¡si (a) cos a]¡ 2 [ci(a) cos a+si (a) sin a]
[a2 + (ln x)2 ]2
2a
2a
[a > 0]:
6:
7
7:
Z
Z
1
[a2
0
1
[a2
0
dx
1
= 3 [(a ¡ 1)ea Ei(¡a) + (1 + a)e¡a Ei (a)]
2
2
¡ (ln x) ]
4a
ln x dx
1
1
[ci(a) sin a ¡ si (a) cos a] ¡ 2
=
2
2
+ (ln x) ]
2a
2a
[a > 0]:
BI ((31))(20)
[a > 0]:
BI ((31))(19)
8:7
Z
1
0
ln x dx
1
= 2 f2 + a[ea Ei(¡a) ¡ e¡a Ei (a)]g
[a2 ¡ (ln x)2 ]2
4a
[a > 0]:
LI ((31))(21)
4.214
1:
Z
1
0
dx
1
= ¡ 3 [ea Ei(¡a)¡e¡a Ei (a)¡2 ci(a) sin a+2 si (a) cos a]
a4 ¡ (ln x)4
4a
[a > 0]:
BI ((31))(10)
2:
Z
1
a4
0
ln x dx
1
= ¡ 2 [ea Ei(¡a)+e¡a Ei (a)¡2 ci(a) cos a¡2 si (a) sin a]
4
¡ (ln x)
4a
[a > 0]:
BI ((31))(11)
3:
Z
1
0
1
(ln x)2 dx
= ¡ [ea Ei(¡a)¡e¡a Ei (a)+2 ci(a) sin a¡2 si (a) cos a]
a4 ¡ (ln x)4
4a
[a > 0]:
BI ((31))(12)
558
4:7
Z
1
0
(ln x)3 dx
1
= ¡ [ea Ei(¡a)+e¡a Ei (a)+2 ci(a) cos a+2 si (a) sin a]
a4 ¡ (ln x)4
4
[a > 0]:
BI ((31))(13)
4.215
1:
Z
1
0
•
1
ln
x
¶¹¡1
dx = ¡(¹)
[Re ¹ > 0]:
2:
Z
1
•
0
dx
¼
¶¹ =
cosec ¹¼
¡(¹)
1
ln
x
[Re ¹ < 1]:
BI ((31))(1)
3:
Z 1r
0
p
1
¼
:
ln dx =
x
2
BI ((32))(1)
4:
Z
1
dx
r
1
ln
x
0
=
p
¼:
BI ((32))(3)
4.216
Z
1
e
0
p
dx
(ln x)2 ¡ 1
= K0 (1):
GW ((32))(2)
4.22 Logarithms of more complicated arguments
4.221
1:
Z
1
ln x ln(1 ¡ x) dx = 2 ¡
0
¼2
:
6
BI ((30))(7)
2:
Z
1
ln x ln(1 + x) dx = 2 ¡
0
¼2
¡ 2 ln 2:
12
BI ((30))(8)
3:
Z
1
ln
0
1
X
ln(1 + k)
1 ¡ ax dx
= ¡ ak
1 ¡ a ln x
k
k=1
[a < 1]:
1:
Z
1
0
ln
a2 + x2
dx = (a ¡ b)¼
b2 + x2
[a > 0;
b > 0]:
GW ((322))(20)
2:
Z
1
ln x ln
0
a2 + x2
aa
dx
=
¼(b
¡
a)
+
¼
ln
b2 + x2
bb
[a > 0;
b > 0]:
BI ((33))(1)
3:
Z
1
0
•
b2
ln x ln 1 + 2
x
¶
dx = ¼b(ln b ¡ 1)
[b > 0]:
BI ((33))(2)
4:
Z
1
0
•
b2
ln(1+a x ) ln 1 + 2
x
2 2
¶
∙
1 + ab
ln(1 + ab) ¡ b
dx = 2¼
a
¸
[a > 0;
b > 0]:
BI ((33))(3)
559
5:
Z
1
0
•
b2
ln(a +x ) ln 1 + 2
x
2
2
¶
dx = 2¼[(a+b) ln(a+b)¡a ln a¡b]
[a > 0;
b > 0]:
BI ((33))(4)
6:
Z
1
0
•
a2
ln 1 + 2
x
¶
•
b2
ln 1 + 2
x
¶
dx = 2¼[(a+b) ln(a+b)¡a ln a¡b ln b]
[a > 0;
b > 0]:
BI ((33))(5)
7:
Z
1
0
•
1
ln a + 2
x
2
¶
•
b2
ln 1 + 2
x
¶
∙
1 + ab
ln(1 + ab) ¡ b ln b
dx = 2¼
a
¸
[a > 0;
b > 0]:
BI ((33))(7)
4.223
1:
Z
1
0
ln(1 + e¡x ) dx =
¼2
:
12
2:
Z
1
0
ln(1 ¡ e¡x ) dx = ¡
¼2
:
6
BI ((256))(11)
3:
Z
1
ln(1 + 2e¡x cos t + e¡2x ) dx =
0
¼2
t2
¡
6
2
[jtj < ¼]:
BI ((256))(18)
4.224
1:
2:
Z
Z
u
ln sin x dx = L
0
¼
4
0
³¼ ´
´
¡u ¡L
:
2
2
³¼
ln sin x dx = ¡
LO III 186(15)
¼
1
ln 2 ¡ G :
4
2
BI ((285))(1)
3:
Z
¼
2
ln sin x dx =
0
1
2
Z
¼
0
ln sin x dx = ¡
¼
ln 2:
2
FI II 629,643
4:
5:
Z
Z
u
ln cos x dx = ¡L(u):
0
LO III 184(10)
¼
4
0
ln cos x dx = ¡
1
¼
ln 2 + G :
4
2
BI ((286))(1)
6:
Z
¼
2
0
ln cos x dx = ¡
¼
ln 2:
2
BI 306(1)
7:
Z
¼
2
0
∙
¸
¼
¼2
2
(ln sin x) dx =
(ln 2) +
:
2
12
2
BI ((305))(19)
Z
8:
¼
2
0
∙
¸
¼
¼2
2
(ln cos x) dx =
(ln 2) +
:
2
12
2
BI ((306))(14)
560
Z
9:
¼
ln(a + b cos x) dx = ¼ ln
a+
p
0
a2 ¡ b2
2
[a ¸ jbj > 0]:
GW ((322))(15)
Z
10:
11:
7
Z
¼
2
0
¼
ln(1 § sin x) dx = ¡¼ ln 2 § 4G
G:
0
GW ((322))(16a)
k
1
X
bk X (¡1)n+1
ln(1 + a sin x) dx = ¼ ln(a=2) + 4G + 4
k n=1 2n ¡ 1
2
b=
k=1
= ¡¼ ln 2 ¡ 4G
(1 ¡ a)
(1 + a)
[a > 0]
[a = ¡1]:
BI ((308))(5, 6, 7, 8)
Z
12:
Z
13:
¼
2
ln(1 + a cos x) dx = 2¼ ln
1+
0
p
1 ¡ a2
2
[a2 ∙ 1]:
BI ((330))(1)
¼
2
ln(1+2a sin x+a2 ) dx =
0
1
X
k=0
22k (k!)2
(2k + 1) ¢ (2k + 1)!!
•
2a
1 + a2
¶2k+1
[a2 ∙ 1]:
BI ((308))(24)
14:
8
Z
n¼
0
ln(b2 ¡ 2ab cos x + a2 ) dx = n¼ ln a2
[a2 ¸ b2 > 0];
= n¼ ln b2
[b2 > a2 > 0]:
FI II 142, 163, 688
4.225
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
¼
4
ln(cos x ¡ sin x) dx = ¡
0
¼
1
ln 2 ¡ G :
8
2
GW ((322))(9b)
¼
4
1
ln(cos x + sin x) dx =
2
0
Z
¼
2
0
ln(cos x + sin x) dx = ¡
1
¼
ln 2 + G :
8
2
GW ((322))(9a)
2¼
ln(1 + a sin x + b cos x) dx = 2¼ ln
1+
0
p
1 ¡ a2 ¡ b2
2
[a2 + b2 < 1]:
BI ((332))(2)
Z
2¼
ln(1 + a2 + b2 + 2a sin x + 2b cos x) dx = 0
[a2 + b2 ∙ 1];
0
= 2¼ ln(a2 +b2 )
[a2 +b2 ¸ 1]:
BI ((322))(3)
4.226
1:
Z
¼
2
0
ln(a2 ¡ sin2 x)2 dx = ¡2¼ ln 2
= 2¼ ln
a+
p
[a2 ∙ 1];
a2 ¡ 1
= 2¼(Arch a¡ln 2)
2
[a > 1]:
FI II 644, 687
561
2:
Z
¼
2
ln(1+a sin2 x) dx =
1
2
Z
¼
Z
¼
2
ln(1 + a cos 2 x) dx =
0
0
p
Z
1 ¼
1+ 1+a
2
=
ln(1 + a cos x) dx = ¼ ln
[a ¸ ¡1]:
2 0
2
0
ln(1 + a sin2 x) dx =
BI ((308))(15), GW((322))(12)
3:
Z
u
0
¶
¼
1
sin ® ¡ ln 2 +
2
2
´
³¼
¡ 2u
+ L(• + u) ¡ L(• ¡ u) + L
2
¼
¼i
ln(1¡sin2 ® sin2 x) dx = (¼ ¡ 2•) ln ctg
h
®
+ 2u ln
2
•
LO III 287
4:
Z
¼
2
0
" Ã
!#
r
1
®
¯
¯
2 ®
2
+ cos 4 + sin
cos 2
ln[1¡cos x(sin ®¡sin ¯ sin x)] dx = ¼ ln
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
[® > ¯ > 0]:
LO III 283
5:
6:
Z
Z
•
u
sin2 x
ln 1 ¡
sin2 a
0
¼
2
0
¶
´
³¼
´
³¼
¡®+u +L
¡®¡u
dx = ¡u ln sin2 ® ¡ L
2
2
h ¼
i
¼
¡ ∙ u ∙ ; j sin uj ∙ j sin ®j :
2
2
1
ln(a cos x+b sin x) dx =
2
2
2
2
2
Z
¼
LO III 287
a+b
2
b > 0]:
ln(a2 cos 2 x+b2 sin2 x) dx = ¼ ln
0
[a > 0;
GW ((322))(13)
7:
Z
¼
2
0
t
1 + sin
1 + sin t cos 2 x
2 = ¼ ln ctg ¼ ¡ t
ln
dx = ¼ ln
t
1 ¡ sin t cos 2 x
4
cos
2
h
jtj <
¼i
:
2
LO III 283
4.227
1:
2:
Z
Z
u
ln tg x dx = L(u) + L
0
¼
4
0
Z
ln tg x dx = ¡
¼
2
¼
4
³¼
´
³¼ ´
¡u ¡L
:
2
2
LO III 186(16)
ln tg x dx = ¡G :
BI ((286))(11)
3:
Z
¼
2
ln(a tg x) dx =
0
¼
ln a
2
[a > 0]:
4:
7
Z
¼
4
0
(ln tg x)n dx = n!(¡1)n
1
X
k=0
(¡1)k
1 ³ ¼ ´n+1
=
jEn j
(2k + 1)n+1
2 2
[n even]:
BI ((286))(21)
5:7
Z
¼
2
0
(ln tg x)2n dx
•
¶
¼ 2n+1
jE2n j :
2
BI ((307))(15)
6:
Z
¼
2
(ln tg x)2n+1 dx = 0:
0
BI ((307))(14)
7:
Z
¼
4
(ln tg x)2 dx =
0
¼3
:
16
BI ((286))(16)
8:
Z
¼
4
0
(ln tg x)4 dx =
5 5
¼ :
64
BI ((286))(19)
9:
Z
¼
4
ln(1 + tg x) dx =
0
¼
ln 2:
8
BI ((287))(1)
10:
Z
¼
2
ln(1 + tg x) dx =
0
¼
ln 2 + G :
4
BI ((308))(9)
11:
Z
¼
4
0
ln(1 ¡ tg x) dx =
¼
ln 2 ¡ G :
8
BI ((287))(2)
BI ((308))(10)
13:
Z
¼
4
ln(1 + ctg x) dx =
0
¼
ln 2 + G :
8
BI ((287))(3)
14:
Z
¼
4
0
ln(ctg x ¡ 1) dx =
¼
ln 2:
8
BI ((287))(4)
15:
Z
¼
4
ln(tg x + ctg x) dx =
0
1
2
Z
¼
2
ln(tg x + ctg x) dx =
0
¼
ln 2:
2
BI ((287))(5), BI ((308))(11)
16:
Z
¼
4
0
ln(ctg x ¡ tg x)2 dx =
Z
1
2
¼
2
0
ln(ctg x ¡ tg x)2 dx =
¼
ln 2:
2
BI ((287))(6), BI ((308))(12)
17:
Z
¼
2
0
1
ln(a + b tg x) dx =
2
2
2
2
Z
¼
ln(a2 + b2 tg 2 x) dx = ¼ ln(a + b)
0
[a > 0;
b > 0]:
GW ((322))(17)
563
4.228
1:
2:
Z
Z
¼
2
ln(sin t sin x+
0
u
ln(cos x+
0
p
p
1¡
cos 2
¼
t sin x) dx = ln 2 ¡ 2L
2
2
• ¶
•
¶
t
¼¡t
¡ 2L
:
2
2
³¼
´
1
1
cos 2 x ¡ cos 2 t) dx = ¡
¡ t ¡ ' ln cos t+ L(u+')¡ L(u¡')¡L(')
2
2
2
∙
¸
sin u
¼
cos ' =
; 0∙u∙t∙
:
sin t
2
LO III 290
3:
4:
Z
Z
t
ln(cos x +
0
u
0
p
cos 2 x ¡ cos 2 t) dx = ¡
³¼
2
´
¡ t ln cos t:
LO III 285
"
#
p
r
sin u + sin t cos x sin2 u ¡ sin2 x
t
t
2
2
p
dx = ¼ ln tg sin u + tg
sin u + 1
ln
2
2
sin u ¡ sin t cos x sin2 u ¡ sin2 x
[t > 0; u > 0]:
LO III 283
5:
6:
Z
Z
¼
4
0
¼
4
0
p
p
p X
1
¼
(¡1)k
p
ln ctg x dx =
:
2
(2k + 1)3
k=0
BI ((297))(9)
1
p X
dx
(¡1)k
p
:
= ¼
ln ctg x
2k + 1
k=0
BI ((304))(24)
7:
Z
¼
4
0
p
p
1
ln( tg x + ctg x) dx =
2
Z
¼
2
0
p
p
¼
1
ln( tg x + ctg x) dx = ln 2 + G :
8
2
BI ((287))(7), BI ((308))(22)
8:
Z
¼
4
0
p
p
1
ln( ctg x ¡ tg x)2 dx =
2
Z
¼
2
0
p
p
¼
ln( ctg x ¡ tg x)2 dx = ln 2 ¡ G :
4
BI ((287))(8), BI ((308))(23)
4.229
1:
Z
1
0
•
¶
1
ln ln
dx = ¡C :
x
FI II 807
2:
Z
1
0
dx
•
¶ = 0:
1
ln ln
x
Z
3:
•
1
1
ln ln
x
0
¶
dx
r
ln
1
x
p
= ¡(C
C + 2 ln 2) ¼:
BI ((32))(4)
564
Z
4:
•
1
1
ln ln
x
0
¶•
1
ln
x
¶u¡1
dx = Ã(¹) ¡(¹)
[Re ¹ > 0]:
BI ((30))(10)
If the integrand contains ln (ln x1 ), it is convenient to make the substitution ln
5:
7
Z
1
ln(a + ln x) dx = ln a ¡ e¡a Ei (a)
0
1
x
= u; i.e., x = e¡u .
[a > 0]:
BI ((30))(5)
6:
Z
1
ln(a ¡ ln x) dx = ln a ¡ ea Ei(¡a)
0
[a > 0]:
BI ((30))(6)
7:
Z
¼
2
ln ln tg x dx =
¼
4
¼
ln
2
½
¡( 34 ) p
2¼
¡( 14 )
¾
:
BI ((308))(28)
4.23 Combinations of logarithms and rational functions
4.231
1:
Z
1
0
ln x
¼2
dx = ¡ :
1+x
12
FI II 483a
2:
Z
1
0
ln x
¼2
dx = ¡ :
1¡x
6
FI II 714
BI ((108))(7)
Z
4:
5:
7
Z
1
0
1+x
¼2
ln x dx = 1 ¡
:
1¡x
3
1
0
ln a
ln x dx
=
2
(x + a)
a
BI ((108))(9)
[a > 0]:
BI ((139))(1)
Z
6:
1
0
ln x
dx = ¡ ln 2:
(1 + x)2
BI ((111))(1)
7:
7
Z
1
0
p
∙
•
¶¸
¡(n ¡ 12 ) ¼
dx
1
a
ln x 2
=
2 ln
¡C¡Ã n¡
(a + b2 x2 )n
4(n ¡ 1)!a2n¡1 b
2b
2
[a > 0;
b > 0]:
LI ((139))(3)
8:
9:
10:
Z
Z
Z
1
0
ln x dx
a
¼
=
ln
a2 + b2 x2
2ab
b
[ab > 0]:
BI ((135))(6)
1
0
ln px
¼
dx =
ln pq
q2 + x2
2q
[p > 0;
BI ((135))(4)
1
ln x dx
¼2
=¡
2
2
¡b x
4ab
a2
0
[ab > 0]:
LI ((324))(7b)
565
11:
Z
q > 0]:
a
0
ln x dx
¼ ln a G
¡
=
x2 + a2
4a
a
[a > 0]:
12:
Z
1
0
Z 1
ln x
ln x
dx
=
¡
dx = ¡G :
1 + x2
1
+ x2
1
FI II 482, 614
13:
14:
Z
Z
1
0
1
0
ln x dx
¼2
:
=
¡
1 ¡ x2
8
BI ((108))(11)
x ln x
¼2
dx
=
¡
:
1 + x2
48
GW ((324))(7b)
15:
16:
Z
Z
1
0
x ln x
¼2
dx
=
¡
:
1 ¡ x2
24
n
1
ln x
0
1 ¡ x2n+2
(n + 1)¼ 2 X n ¡ k + 1
dx
=
¡
+
:
(1 ¡ x2 )2
8
(2k ¡ 1)2
k=1
BI ((111))(5)
17:
Z
1
0
n
n¡k+1
1 + (¡1)n xn+1
(n + 1)¼ 2 X
ln x
dx
=
¡
¡
(¡1)k
(1 + x)2
12
k2
k=1
BI ((111))(2)
18:
Z
n
1
ln x
0
1 ¡ xn+1
(n + 1)¼ 2 X n ¡ k + 1
dx
=
¡
+
:
(1 ¡ x)2
6
k2
k=1
BI ((111))(3)
4.232
1:
Z
À
u
ln x dx
ln uÀ
(u + À)2
=
ln
:
(x + u)(x + À)
2(À ¡ u)
4uÀ
Z
2:
Z
3:
1
0
1
0
ln x dx
(ln ¯)2 ¡ (ln °)2
=
(x + ¯)(x + °)
2(¯ ¡ °)
ln x dx
¼ 2 + (ln a)2
=
x+a x¡1
2(a + 1)
[j arg ¯ j < ¼;
j arg ° j < ¼]:
ET II 218(24)
[a > 0]:
BI ((140))(10)
4.233
1:
3
Z
1
0
∙
• ¶¸
ln x dx
2 2¼ 2
1
0
¡Ã
= ¡0:781 302 4129 . . .
=
2
1+x+x
9
3
3
LI ((113))(1)
2:3
3:
7
Z
Z
1
0
1
0
∙
• ¶¸
1 2¼ 2
ln x dx
1
0
=
¡
Ã
= ¡1:171 953 619 34 . . .
1 ¡ x + x2
3
3
3
LI ((113))(2)
∙
• ¶¸
1 7¼ 2
x ln x dx
1
0
=¡
¡Ã
= ¡0:157 660 149 17 . . .
1 + x + x2
9
6
3
LI ((113))(2)
4:
3
5:
Z
Z
1
0
∙
• ¶¸
1 5¼ 2
x ln x dx
1
0
=
¡Ã
= ¡0:311 821 131 9 . . .
2
1¡x+x
6
6
3
1
0
ln x dx
t ln a
=
x2 + 2xa cos t + a2
a sin t
1:
0 < t < ¼]:
GW ((324))(13c)
566
4.234
Z
[a > 0;
LI ((113))(4)
1
1
ln x dx
= ln 2:
(1 + x2 )2
2:
Z
1
0
x ln x dx
1
= ¡ ln 2:
(1 + x2 )2
4
BI ((111))(4)
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
1 + x2
ln x dx = 0:
(1 ¡ x2 )2
BI ((142))(2)a
1 ¡ x2
¼
ln x dx = ¡ :
(1 + x2 )2
2
BI ((142))(1)a
5:
Z
1
0
¼2
x2 ln x dx
p :
=
¡
(1 ¡ x2 )(1 + x4 )
16(2 + 2)
BI ((112))(21)
6:
Z
1
0
ln x dx
b¼
a
=
ln
(a2 + b2 x2 )(1 + x2 )
2a(b2 ¡ a2 )
b
[ab > 0]:
BI ((317))(16)a
7:
8:
Z
Z
1
0
1
0
ln x
dx
¼
¢
=
2
2
2
2
x +a 1+b x
2(1 ¡ a2 b2 )
•
1
ln a + b ln b
a
x2 ln x dx
a¼
b
=
ln
2
2
2
2
2
2
(a + b x )(1 + x )
2b(b ¡ a )
a
¶
[a > 0;
b > 0]:
LI ((140))(12)
[ab > 0]:
LI ((140))(12), BI ((317))(15)a
4.235
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
ln x
(1 ¡ x)xn¡2
¼
¼2
dx
=
¡
tg 2
1 ¡ x2n
4n2
2n
(1 ¡ x2 )xm¡1
ln x
dx = ¡
1 ¡ x2n
[n > 1]:
m+1
¼
¼ sin
n •
n ¶
m+2
2
2 m¼
2
4n sin
sin
¼
2n
2n
¼ 2 sin
BI ((135))(10)
LI ((135))(12)
3:
4:
Z
Z
1
ln x
0
1
ln x
0
(1 ¡ x2 )xn¡2
¼
¼2
dx
=
¡
tg 2
2n
2
1¡x
4n
n
[n > 2]:
BI ((135))(11)
xm¡1 + xn¡m¡1
¼2
³m ´
dx
=
¡
1 ¡ xn
¼
n2 sin2
n
[n > m]:
BI ((108))(15)
4.236
1:
Z
1
0
½
x ln x
1 + (p ¡ 1) ln x
+
1¡x
(1 ¡ x)2
¾
xp¡1 dx = ¡1 + Ã 0 (p)
[p > 0]:
BI ((111))(6)A, GW ((326))(13)
2:
Z
1
0
∙
x ln x
1
+
1¡x
(1 ¡ x)2
¸
dx =
¼2
¡ 1:
6
GW ((326))(13a)
567
4.24 Combinations of logarithms and algebraic functions
4.241
1:
Z
1
0
x2n ln x
(2n ¡ 1)!! ¼
p
¢
dx =
2
(2n)!!
2
1¡x
Ã
2n
X
(¡1)k¡1
k
k=1
¡ ln 2
!
:
BI ((118))(5)a
2:
Z
1
0
x2n+1 ln x
(2n)!!
p
dx =
(2n + 1)!!
1 ¡ x2
Ã
ln 2 +
2n+1
X
k=1
(¡1)k
k
!
:
BI ((118))(5)a
3:
Z
1
2n
x
0
p
1¡
x2
(2n ¡ 1)!! ¼
¢
ln x dx =
(2n + 2)!! 2
Ã
2n
X
(¡1)k¡1
k=1
k
1
¡
¡ ln 2
2n + 2
!
:
4:
Z
1
2n+1
x
0
p
(2n)!!
1 ¡ x2 ln x dx =
(2n + 3)!!
Ã
ln 2 +
2n+1
X
k=1
(¡1)k
1
¡
k
2n + 3
!
:
BI ((117))(5), GW ((324))(53b)
5:
6:
Z
1
ln x ¢
0
Z p 12
7:
8:
9:
Z
1
0
10:
11:
Z
Z
1
0
1 ¡ x2 ln x dx = ¡
0
p
BI ((145))(1)
BI ((144))(17)
¼
¼
¡ ln 2:
8
4
BI ((117))(1), GW ((324))(53c)
p
1
4
x 1 ¡ x2 ln x dx = ln 2 ¡ :
3
9
1
BI ((117))(3)
FI II 614, 643
ln x dx
p
= 1 ¡ ln 2:
x2 x2 ¡ 1
Z 1p
0
(2n ¡ 1)!!
¼[Ã(n + 1) + C + ln 4]:
4 ¢ (2n)!!
ln x dx
¼
p
= ¡ ln 2:
2
2
1¡x
1
1
(1 ¡ x2 )2n¡1 dx = ¡
ln x dx
¼
1
p
= ¡ ln 2 ¡ G :
4
2
1 ¡ x2
0
Z
p
p
∙ • ¶¸2
2¼
1
=¡
¡
:
2
8
4
x(1 ¡ x )
ln x dx
BI ((117))(2)
GW ((324))(54a)
4.242
1:
2:
Z
Z
1
0
b
p
0
Ãp
1
p
=
K
2
2
2
2
2a
(a + x )(x + b )
ln x dx
ln x dx
(a2 + x2 )(b2 ¡ x2 )
a2 ¡ b2
a
!
ln ab
[a > b > 0]:
BY (800.04)
1
∙
= p
K
2 a2 + b2
•
b
p
2
a + b2
¶
•
¶¸
a
¼
ln ab ¡ K p
2
a2 + b2
[a > 0; b > 0]:
BY (800.02)
568
3:
Z
1
b
p
ln x dx
(x2 + a2 )(x2 ¡ b2 )
1
∙
= p
K
2 a2 + b2
•
a
p
a2 + b2
¶
•
¶¸
b
¼
ln ab + K p
2
a2 + b2
[a > 0; b > 0]:
BY (800.06)
4:
5:
6:
Z
Z
Z
b
0
a
b
Ãp
" • ¶
!#
1
¼
a2 ¡ b2
b
p
=
ln ab ¡ K
K
2a
a
2
a
(a2 ¡ x2 )(b2 ¡ x2 )
ln x dx
1
p
=
K
2
2
2
2
2a
(a ¡ x )(x ¡ b )
1
a
ln x dx
1
0
a2 ¡ b2
a
!
x ln x
¼
p
dx = ¡ ln 2:
8
1 ¡ x4
BY (800.01)
ln ab:
Ãp
" • ¶
!#
¼
a2 ¡ b2
1
b
p
=
ln ab + K
K
2a
a
2
a
(x2 ¡ a2 )(x2 ¡ b2 )
ln x dx
4.243
Z
Ãp
[a > b > 0]:
BY (800.03)
[a > b > 0]:
BY (800.05)
4.244
Z
1:
Z
2:
Z
3:
1
p
3
0
1
0
1
0
∙ • ¶¸3
1
1
=¡ ¡
:
2
2
8
3
x(1 ¡ x )
ln x dx
GW ((324))(54b)
ln x dx
¼
p
=¡ p
3
1 ¡ x3
3 3
•
x ln x dx
¼
p
= p
3
3
2
3 3
(1 ¡ x )
¼
ln 3 + p
3 3
¶
:
BI ((118))(7)
•
¶
¼
p ¡ ln 3 :
3 3
BI ((118))(8)
4.245
Z
1:
1
0
Ã
x4n+1 ln x
(2n ¡ 1)!! ¼
p
dx =
¢
4
(2n)!!
8
1¡x
2n
X
(¡1)k¡1
k=1
k
¡ ln 2
!
GW ((324))(56a)
Z
2:
1
0
x4n+3 ln x
(2n)!!
p
dx =
4
4
¢
(2n
+ 1)!!
1¡x
Ã
ln 2 +
2n+1
X
k=1
(¡1)k
k
!
:
GW ((324))(56c)
4.246
Z
1
0
2 n¡ 21
(1 ¡ x )
"
#
n
X
1
(2n ¡ 1)!! ¼
¢
ln x dx = ¡
2 ln 2 +
:
(2n)!!
4
k
k=1
GW ((324))(55)
4.247
1:
6
Z
1
0
p
n
ln x
1 ¡ x2n
•
1 1
;
¼B
2n 2n
dx = ¡
¼
8n2 sin
2n
¶
[n > 1]:
2:6
Z
1
0
•
1 1
;
¼B
ln x dx
2n 2n
p
=
¡
¼
n
xn¡1 (1 ¡ x2 )
8 sin
2n
¶
:
GW ((324))(54)
4.25 Combinations of logarithms and powers
4.251
Z
1:
1
0
x¹¡1 ln x
¼¯ ¹¡1
dx =
(ln ¯ ¡¼ ctg ¹¼)
¯+x
sin ¹¼
[j arg ¯ j < ¼;
0 < Re ¹ < 1]:
BI ((135))(1)
Z
2:
1
0
¶
•
x¹¡1 ln x
¼
dx = ¼a¹¡1 ctg ¹¼ ln a ¡
a¡x
sin2 ¹¼
[a > 0;
0 < Re ¹ < 1]:
ET I 314(5)
3:
¤
Z
1
0
x¹¡1 ln x
dx = ¯ 0 (¹)
x+1
[Re ¹ > 0]:
GW ((324))(6), ET I 314(3)
4:
5:
Z
Z
1
0
x¹¡1 ln x
dx = ¡Ã 0 (¹) = ¡³(2; ¹)
1¡x
[Re ¹ > 0]:
BI ((108))(8)
2n
1
ln x
0
x2n dx
¼ 2 X (¡1)k¡1
=¡
+
:
1+x
12
k2
k=1
BI ((108))(4)
6:
Z
1
ln x
0
2n¡1
X (¡1)k
x2n¡1 dx
¼2
=
+
:
1+x
12
k2
k=1
BI ((108))(5)
4.252
BI ((140))(9)A, ET 314(6)
Z
2:
Z
3:
1
0
1
0
x¹¡1 ln x dx
¼
=
[¼ ¡ ¯ ¹¡1 (sin ¹¼ ln ¯ ¡ ¼ cos ¹¼)]
(x + ¯)(x ¡ 1)
(¯ + 1) sin2 ¹¼
[j arg ¯ j < ¼; 0 < Re ¹ < 2; ¹=
= 1]:
xp¡1 ln x
p¼
¼2
dx
=
¡
cosec 2
1 ¡ x2
4
2
[0 < p < 2]
BI ((140))(11)
(see also 4.254 2.).
4.254
4:
6
Z
1
0
(1 ¡ ¹)a¹¡2 ¼
x¹¡1 ln x
dx
=
(x + a)2
sin ¹¼
•
¶
1
ln a ¡ ¼ ctg ¹¼ +
¹¡1
[j arg aj < ¼ 0 < Re ¹ < 2
(¹=
= 1)]:
GW ((324))(13b)
570
4.253
Z
1:
1
x¹¡1 (1 ¡ xr )º¡1 ln x dx =
0
³¹
´i
1 ³¹ ´ h ³¹´
B
;
º
Ã
¡
Ã
+
º
r2
r
r
r
[Re ¹ > 0; Re º > 0; r > 0]:
GW ((324))(3b)A, BI ((107))(5)a
Z
2:
Z
3:
1
0
xp¡1
¼
ln x dx = ¡ cosec p¼
(1 ¡ x)p+1
p
1
u
[0 < p < 1]:
Bi ((319))(10)a
(x ¡ u)¹¡1 ln x dx
= u¹¡¸ B (¸ ¡ ¹; ¹)[ln u + Ã(¸) ¡ Ã(¸ ¡ ¹)]
x¸
[0 < Re ¹ < Re ¸]:
ET II 203(18)
4:
8
Z
1
ln x
0
•
x
2
a + x2
¶p
dx
ln a ³ p p ´
= pB
;
x
2a
2 2
[a > 0;
p > 0]:
Z
5:
6:
7
7:7
Z
Z
1
1
(x ¡ 1)p¡1 ln x dx =
¼
cosec ¼p
p
[¡1 < p < 0]:
BI ((289))(12)a
1
ln x
0
1
0
ln x
dx
1
=
(ln a ¡ C ¡ Ã(¹))
(a + x)¹+1
¹a¹
[Re ¹ > 0;
dx
1
(a + x)n+ 2
=
2
1
(2n ¡ 1)an¡ 2
Ã
ln a + 2 ln 2 ¡ 2
a=
= 0; j arg aj < ¼]:
n¡1
X
k=1
1
2k ¡ 1
NT 68(7)
!
[j arg aj < ¼; n = 1; 2; . . . ]:
BI ((142))(5)
4.254
1:
2:
Z
Z
1
0
xp¡1 ln x
1
dx = ¡ 2 Ã 0
1 ¡ xq
q
1
0
• ¶
p
q
¼2
xp¡1 ln x
dx = ¡
p¼
q
1¡x
q 2 sin2
q
[p > 0;
q > 0]:
GW ((324))(5)
[0 < p < q]:
BI ((135))(8)
3:
Z
1
0
ln x dx
=
q
x ¡ 1 xp
¼2
p¡1
q2 sin2
¼
q
[p < 1;
p + q > 1]:
BI ((140))(2)
4:3
Z
1
0
xp¡1 ln x
1
dx = 2 ¯ 0
1 + xq
q
• ¶
p
q
[p > 0;
q > 0]:
GW ((324))(7)
5:
Z
1
0
p¼
cos
xp¡1 ln x
¼2
q
dx = ¡ 2
1 + xq
q sin2 p¼
q
[0 < p < q]:
BI ((135))(7)
6:
Z
1
0
xq¡1 ln x
¼2
dx
=
¡
1 ¡ x2q
8q2
[q > 0]:
BI ((108))(12)
571
4.255
1:
Z
1
2
ln x
0
p¡2
(1 ¡ x )x
1 + x2p
dx = ¡
•
¼
2p
¼
2p
2 ¼
cos
2p
¶2 sin
[p > 1]:
BI ((108))(13)
2:
3:
Z
Z
1
0
(1 + x2 )xp¡2
ln x
dx = ¡
1 ¡ x2p
1
0
ln x
•
¼
2p
¶2
sec 2
¼
2p
[p > 1]:
BI ((108))(14)
1 ¡ xp
¼ 2 2 p¼
dx
=
tg
1 ¡ x2
4
2
[p < 1]:
BI ((140))(3)
4.256
Z
1
0
∙ •
¶
³ ¹ ´¸
1
x¹¡1 dx
1 ³¹ m´
¹+m
p
ln n
= 2B
;
Ã
¡Ã
x (1 ¡ xn )n¡m
n
n n
n
n
[Re ¹ > 0]:
LI ((118))(12)
4.257
1:
2:
Z
Z
1
x
¯
dx
(x + ¯)(x + °)
0
1
0
xº ln
x
ln
q
•
=
xp
q2p + x2p
¶
h
¼ ° º ln
dx
=0
x
°
¯
+ ¼(¯ º ¡ ° º ) ctg º¼
i
sin º¼(° ¡ ¯)
[j arg ¯ j < ¼; j arg ° j < ¼;
[q > 0]:
j Re º j < 1]:
ET II 219(30)
Z
3:
1
ln
0
x
q
•
xp
2p
q + x2p
¶r
dx
=0
q 2 + x2
[q > 0]:
BI ((140))(4)a
Z
4:
1
ln x ln
0
x
dx
[4¼ 2 + (ln a)2 ] ln a
=
a (x ¡ 1)(x ¡ a)
6(a ¡ 1)
[a > 0];
[a = 1
see 4.261 5. ]:
4.261
BI ((141))(5)
Z
5:
1
ln x ln
0
x
¼ 2 [(ap + 1) ln a ¡ 2¼(ap ¡ 1) ctg p¼]
xp dx
=
a (x ¡ 1)(x ¡ a)
(a ¡ 1) sin2 p¼
[p2 < 1;
a > 0]:
BI ((141))(6)
4.26-4.27 Combinations involving powers of the logarithm and other powers
4.261
1:
Z
1
(ln x)2
0
dx
t(¼ 2 ¡ t2 )
=
2
1 + 2x cos t + x
6 sin t
[0 < t < ¼]:
BI ((113))(7)
2:
Z
1
0
(ln x)2 dx
1
=
x2 ¡ x + 1
2
Z
(ln x)2 dx
1
=
x2 + x + 1
2
Z
1
0
(ln x)2 dx
10¼ 3
p :
=
x2 ¡ x + 1
81 3
GW ((324))(16c)
572
3:
Z
1
0
1
0
(ln x)2 dx
8¼ 3
= p :
2
x +x+1
81 3
GW ((324))(16b)
4:
Z
1
0
(ln x)2
dx
[¼ 2 + (ln a)2 ] ln a
=
(x ¡ 1)(x + a)
3(1 + a)
[a > 0]:
5:
Z
1
(ln x)2
0
2
dx
= ¼2:
(1 ¡ x)2
3
BI ((139))(4)
6:
Z
1
(ln x)2
0
¼3
dx
=
:
1 + x2
16
BI ((109))(3)
7:
Z
1
0
+ x2
1
(ln x)
dx =
4
1+x
2
21
Z
1
0
p
+ x2
3 2 3
(ln x)
dx =
¼ :
1 + x4
64
21
BI ((109))(5), BI ((135))(13)
8:3
9:
Z
Z
Z
10:
1
0
1
1¡x
(ln x)2
dx =
6
1¡x
36
1
2
(ln x) p
0
1
(ln x)2
0
à p
• ¶!
4 3¼ 3
1
¡ Ã 00
:
27
3
∙
¸
dx
¼
¼2
2
=
(ln 2) +
:
2
12
1 ¡ x2
BI ((118))(13)
x¹¡1
¼ 3 (2 ¡ sin2 ¹¼)
dx =
1+x
sin3 ¹¼
[0 < Re ¹ < 1]:
ET I 315(10)
11:7
Z
1
2xn
(ln x)
0
dx
= (¡1)n
1+x
Ã
n
X (¡1)k
3
³(3) + 2
2
k3
k=1
!
[n = 0; 1; . . . ]
BI ((109))(1)
12:
7
Z
1
0
Ã
!
n
X
dx
1
(ln x)
= 2 ³(3) ¡
1¡x
k3
n
2x
[n = 0; 1; . . . ]
k=1
BI ((109))(2)
13:
7
Z
1
0
n
X
dx
7
1
(ln x)
=
³(3)
¡
2
2
1¡x
4
(2k ¡ 1)3
2n
2x
k=1
[n = 0; 1; . . . ]:
BI ((109))(4)
Z
14:
1
(ln x)2
0
xp¡1 dx
¼ sin(1 ¡ p)t 2 2
f¼ ¡t +2¼ ctg p¼[¼ ctg p¼+t ctg(1¡p)t]g
=
x2 + 2x cos t + 1
sin t sin p¼
[0 < t < ¼; 0 < p < 2 (p=
= 1)]:
GW ((324))(17)
Z
15:
Z
16:
1
0
1
0
8
" 2n
#2 9
2n
<
=
2
k
k
X
X
(2n ¡ 1)!!
x dx
¼
(¡1)
(¡1)
(ln x)2 p
=
¼
+
+
+
ln
2
:
;
2 ¢ (2n)!! : 12
k2
k
1 ¡ x2
k=1
k=1
GW ((324))(60a)
8
"2n+1
#29
2n+1
<
=
2
k
k
X
X
x
dx
(¡1)
(¡1)
(2n)!!
¼
(ln x)2 p
=
¡
+
+
ln
2
¡
:
;
(2n + 1)!! : 12
k2
k
1 ¡ x2
k=1
k=1
GW ((324))(60b)
2n
2n+1
573
17:
7
Z
1
0
©
ª
(ln x)2 x¹¡1 (1¡x)º¡1 dx = B(¹; º) [Ã(¹) ¡ Ã(º + ¹)]2 + à 1 (¹) ¡ à 0 (¹ + º)
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET I 315(11)
18:
Z
n
1
(ln x)2
0
Xn ¡ k + 1
1 ¡ xn+1
dx = 2(n + 1)³(3) ¡ 2
:
2
(1 ¡ x)
k3
k=1
LI ((111))(8)
19:
Z
1
21
(ln x)
0
n
X
+ (¡1)n xn+1
3
n¡k+1
dx
=
(n
+
1)³(3)
¡
2
(¡1)k¡1
:
2
(1 + x)
2
k3
k=1
LI ((111))(7)
20:7
Z
n
1
(ln x)2
0
Xn ¡ k + 1
1 ¡ x2n+2
7
dx = (n + 1)³(3) ¡ 2
:
2
2
(1 ¡ x )
4
(2k ¡ 1)3
k=1
21:
Z
1
(ln x)2 xp¡1 (1¡xr )q¡1 dx =
0
½ ³ ´
³p
´ h ³p´
´i 2 ¾
³
1 ³p ´
0 p
0 p
¡
Ã
¡
Ã
B
;
q
Ã
+
q
+
Ã
+
q
r3
r
r
r
r
r
[p > 0; q > 0; r > 0]:
GW ((324))(8a)
4.262
1:
Z
1
(ln x)3
0
dx
7 4
=¡
¼ :
1+x
120
BI ((109))(9)
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
(ln x)3
0
1
(ln x)3
0
1
0
dx
¼4
=¡ :
1¡x
15
BI ((109))(11)
dx
[¼ 2 + (ln a)2 ]2
=
(x + a)(x ¡ 1)
4(a + 1)
[a > 0]:
BI ((141))(2)
"
#
n¡1
n
4
X (¡1)k
x
dx
7¼
(ln x)3
= (¡1)n+1
¡6
1+x
120
(k + 1)4
[n = 1; 2; . . . ]:
k=0
BI ((109))(10)
5:
Z
n¡1
1
(ln x)3
0
X
xn dx
¼4
1
=¡
+6
1¡x
15
(k + 1)4
[n = 1; 2; . . . ]:
k=0
BI ((109))(12)
6:
Z
n¡1
1
(ln x)3
0
X
x2n dx
1
¼4
=
¡
+
6
2
1¡x
16
(2k + 1)4
[n = 1; 2; . . . ]:
k=0
BI ((109))(14)
7:
Z
1
0
n
Xn ¡ k + 1
¡ xn+1
(n + 1)¼ 4
(ln x)
dx
=
¡
+
6
:
(1 ¡ x)2
15
k4
31
k=1
Z
8:
n
1
(ln x)3
0
X
1 + (¡1)n xn+1
n¡k+1
7(n + 1)¼ 4
+
6
dx
=
¡
(¡1)k¡1
:
2
(1 + x)
120
k4
k=1
BI ((111))(10)
Z
9:
n
1
(ln x)3
0
Xn ¡ k + 1
1 ¡ x2n+2
(n + 1)¼ 4
dx = ¡
+6
:
2
2
(1 ¡ x )
16
(2k ¡ 1)4
k=1
BI ((111))(12)
574
4.263
1:
8
2:
Z
Z
1
(ln x)4
0
1
(ln x)4
0
dx
ln a[¼ 2 + (ln a)2 ][7¼ 2 + 3(ln a)2 ]
=
(x ¡ 1)(x + a)
15(1 + a)
[a > 0]:
BI ((141))(3)
5¼ 5
dx
=
:
1 + x2
64
BI ((109))(17)
3:
Z
1
(ln x)4
0
t(¼ 2 ¡ t2 )(7¼ 2 ¡ 3t2 )
dx
=
1 + 2x cos t + x2
30 sin t
[jtj < ¼]:
BI ((113))(8)
4.264
1:
Z
1
(ln x)5
0
dx
31¼ 6
=¡
:
1+x
252
BI ((109))(20)
2:
3:
Z
Z
1
(ln x)5
0
1
0
dx
8¼ 6
=¡
:
1¡x
63
(ln x)5
dx
[¼ 2 + (ln a)2 ]2 [3¼ 2 + (ln a)2 ]
=
(x ¡ 1)(x + a)
6(1 + a)
BI ((109))(21)
[a > 0]:
Z
1
(ln x)6
0
dx
61¼ 7
:
=
1 + x2
256
BI ((109))(25)
4.266
1:
Z
1
(ln x)7
0
dx
127¼ 8
=¡
:
1+x
240
BI ((109))(28)
2:
Z
1
(ln x)7
0
dx
8¼ 8
=¡
:
1¡x
15
BI ((109))(29)
4.267
1:
Z
1
0
1 ¡ x dx
2
= ln :
1 + x ln x
¼
BI ((127))(3)
2:
Z
1
0
(1 ¡ x)2 dx
¼
= ln :
2
1 + x ln x
4
BI ((128))(2)
Z
1
(1 ¡ x)2
dx
¢
mx
2
ln
x=
0 1 + 2x cos
+x
n
½ •
¶¾ 2 •
¶ • ¶
n+k+1
k+2
k
¡
¡
¡
n¡1
X
1
km¼
2n
2n
2n
(¡1)k sin
=
ln ½ •
¶¾ 2 •
¶ •
¶
m¼
n
n+k
n+k+2
k+1
sin
k=1
¡
¡
¡
n
2n
2n
2n
[m + n is odd];
½ •
¶¾ 2 •
¶ • ¶
n
¡
k
+
1
k
+2
k
1
[ 2 (n¡1)
]
¡
¡
¡
X
1
km¼
n
n
n
=
(¡1)k sin
ln ½ •
¶¾ 2 •
¶ •
¶
m¼
n
n¡k
n¡k+2
k+1
sin
k=1
¡
¡
¡
n
n
n
n
[m + n is even]; [m < n].
3:8
5:
6:
Z
Z
1
0
1
p
1¡x
x2
2 2
dx
¢
¢
= ln
:
1 + x 1 + x2 ln x
¼
1
X
dx
p
(4 ¡ x)
=
(¡1)k ln(1 + k)
k
ln x
p
0
[p ¸ 1]:
k=1
BI ((123))(2)
7:
8:
Z
Z
1
0
1
0
•
¶
dx
1 ¡ xp
¡p
= ln ¡(p + 1):
1¡x
ln x
xp¡1 ¡ xq¡1
p
dx = ln
ln x
q
GW ((326))(10)
[p > 0;
q > 0]:
FI II 647
9:
10:
11:
Z
Z
Z
1
0
1
0
xp¡1 ¡ xq¡1
ln x
³q ´ •p + 1¶
¡
dx
2
2
¶
¢
= ln ³ ´ •
p
q+1
1+x
¡
¡
2
2
1
xp¡1 ¡ x¡p
dx =
(1 + x) ln x
2
1
(xp ¡ xq )xr¡1
0
¡
Z
1
0
[p > 0;
FI II 186
³ p¼ ´
xp¡1 ¡ x¡p
dx = ln tg
(1 + x) ln x
2
dx
p+r
= ln
ln x
r+q
[r > 0;
p > 0;
q > 0]:
[0 < p < 1]:
FI II 816
q > 0]:
LI ((123))(5)
12:
Z
1
0
¶
1 •
xp ¡ xq
dx
p X n+k¡1 k p+k
= ln +
a ln
(1 ¡ ax)n x ln x
q
q+k
k
[p > 0;
q > 0;
a2 < 1]:
k=1
BI ((130))(15)
13:
Z
1
0
(xp ¡1)(xq ¡1)
dx
p+q+1
= ln
ln x
(p + 1)(q + 1)
[p > ¡1;
q > ¡1;
p+q > ¡1]
14:
Z
1
0
xp ¡ xq 1 + x2n+1
¢
dx = ln
1+x
x ln x
¡
¡
³p
2
³q
2
¶ •
¶ ³ ´
q+1
p+1
q
+n+1 ¡
+n ¡
¡
2
2
2
¶ •
¶ ³ ´
´ •p + 1
q+1
p
+n+1 ¡
+n ¡
¡
2
2
2
[p > 0; q > 0]:
´
•
BI ((127))(7)
15:
Z
1
0
xp ¡ xq 1 ¡ xr
¡(q + 1)¡(p + r + 1)
¢
dx = ln
1¡x
ln x
¡(p + 1)¡(q + r + 1)
[p > ¡1; q > ¡1; p + r > ¡1;
q + r > ¡1]:
GW ((324))(23)
576
16:
17:
•
¶ ³ ´
p+r
q
Z 1 p¡1
¡
¡
q¡1
x
¡x
2r
2r
¶ ³ ´
dx = ln •
r ) ln x
q
+
r
p
(1
+
x
0
¡
¡
2r
2r
Z
1
0
1 ¡ x2p¡2q xq¡1 dx
q¼
= ln tg
1 + x2p
ln x
4p
[p > 0;
q > 0;
r > 0]:
GW ((324))(21)
[0 < q < p]
(see also 3.524 27.).
3.524
BI ((128))(6)
18:
19:
20:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
³ p¼
xp¡1 ¡ xq¡1
q¼ ´
dx
=
ln
tg
ctg
(1 + xr ) ln x
2r
2r
p¼ 1
x
¡x
r A
dx = ln @
q¼
(1 ¡ xr ) ln x
sin
r
p¡1
q¡1
xp¡1 ¡ xq¡1
1 ¡ x2n
0
[0 < p < r; 0 < q < r]:
GW ((324))(22), BI ((143))(2)
sin
¶ ³ ´
p+2
q
¡
1 ¡ x2
2n
2n
¶ ³ ´
¢
dx = ln •
p
q+2
ln x
¡
¡
2n
2n
¡
•
[0 < p < r;
0 < q < r]:
BI ((143))(4)
[p > 0;
q > 0]:
BI ((128))(11)
21:
Z
1
0
xp¡1 ¡ xq¡1
1 + x2(2n+1)
•
¶ •
¶ •
¶ •
¶
p + 4n + 4
q+2
p + 4n + 2
q
¡
¡
¡
¡
1 + x2
4(2n + 1)
4(2n + 1)
4(2n + 1)
4(2n + 1)
¶ •
¶ •
¶ •
¶
dx = ln •
q + 4n + 4
p+2
q + 4n + 2
p
ln x
¡
¡
¡
¡
4(2n + 1)
4(2n + 1)
4(2n + 1)
4(2n + 1)
[p > 0; q > 0]:
BI ((128))(7)
22:
Z
1
0
½
¾
(p + 2)¼
q¼
(q + 2)¼
xp¡1 ¡ xq¡1 1 + x2
p¼
¢
tg
¢
ctg
¢
ctg
¢
dx
=
ln
tg
4(2n + 1)
4(2n + 1)
4(2n + 1)
4(2n + 1)
1 + x2(2n+1) ln x
[0 < p < 4n; 0 < q < 4n]:
BI ((143))(5)
23:
Z
1
0
(q + 2)¼
p¼
sin
¢ sin
xp¡1 ¡ xq¡1 1 ¡ x2
2n
2n
dx = ln
q¼
(p + 2)¼
1 ¡ x2n
ln x
sin
¢ sin
2n
2n
[0 < p < 2n;
0 < q < 2n]:
BI ((143))(6)
24:
Z
1
(1¡xp )(1¡xq )
0
xr¡1 dx
(p + q + r)r
= ln
ln x
(p + r)(q + r)
[p > 0;
q > 0;
r > 0]:
BI ((123))(8)
25:
Z
1
(1 ¡ xp )(1 ¡ xq )
0
xr¡1 dx
¡(p + r)¡(q + r)
= ln
(1 ¡ x) ln x
¡(p + q + r)¡(r)
[r > 0; r + p > 0; r + q > 0;
r + p + q > 0]:
FI II 815a
26:
[p > ¡1;
Z
1
0
dx
(p + q + 1)(q + r + 1)(r + p + 1)
= ln
ln x
(p + q + r + 1)(p + 1)(q + 1)(r + 1)
p+q > ¡1; p+r > ¡1; q+r > ¡1; p+q+r > ¡1]:
(1 ¡ xp )(1 ¡ xq )(1 ¡ xr )
q > ¡1;
r > ¡1;
GW ((324))(19c)
577
FI II 815
28:
Z
1
(1¡xp )(1¡xq )(1¡xr )
0
xs¡1 dx
(p + q + s)(p + r + s)(q + r + s)s
= ln
ln x
(p + s)(q + s)(r + s)(p + q + r + s)
[p > 0; q > 0; r > 0; s > 0]:
BI ((123))(10)
29:
Z
¶ •
¶
p+s
q+s
¡
1
xs¡1 dx
r
r
¶
(1 ¡ xp )(1 ¡ xq )
= ln ³ ´ •
r
s
p+q+s
(1 ¡ x ) ln x
0
¡
¡
r
r
[p > 0; q > 0; r > 0;
¡
•
s > 0]:
GW ((324))(23a)
30:
Z
1
xs¡1 dx
(1 ¡ xp )(1 ¡ xq )
=
(1 ¡ xp+q+2s ) ln x
½
¾
Z 1
xs¡1 dx
s¼
(p + s)¼
= 2 (1 ¡ xp )(1 ¡ xq )
=
2
ln
sin
cosec
(1 ¡ xp+q+2s ) ln x
p + q + 2s
p + q + 2s
0
[s > 0; s + p > 0; s + p + q > 0]:
0
GW ((324))(23b)a
31:
Z
1
0
(1¡xp )(1¡xq )(1¡xr )
xs¡1 dx
¡(p + s)¡(q + s)¡(r + s)¡(p + q + r + s)
= ln
(1 ¡ x) ln x
¡(p + q + s)¡(p + r + s)¡(q + r + s)¡(s)
[p > 0; q > 0; r > 0; s > 0]¤ : < f tn1 >
* These restrictions can be somewhat weakened by writing, for example, s > 0, p + s > 0, q + s > 0 ,
r + s > 0 , p + q + s > 0, p + r + s > 0 , q + r + s > 0 , p + q + r + s > 0 , in 4.267 31. and 32.
BI ((127))(11)
32:
•
¶ •
¶ •
¶ •
¶
p+s
q+s
r+s
p+q+r+s
Z 1
¡
¡
¡
¡
xs¡1 dx
t
t
t
t
•
¶
•
¶
•
¶ ³ ´
(1¡xp )(1¡xq )(1¡xr )
=
ln
t ) ln x
p
+
q
+
s
q
+
r
+
s
p
+
r
+
s
s
(1
¡
x
0
¡
¡
¡
¡
t
t
t
t
[p > 0; q > 0; r > 0; s > 0; t > 0]¤ :
GW ((324))(23b)
BI ((127))(19)
Z
34:
Z
35:
1
0
1
0
½
½
¾
dx
x¹ ¡ x
¡ x(¹ ¡ 1)
= ln ¡(¹)
x¡1
x ln x
(1 ¡ xp )(1 ¡ xq )
1¡x¡
1¡x
¾
[Re ¹ > 0]:
WH, BI ((127))(18)
dx
= lnfB (p; q)g
x ln x
[p > 0;
q > 0]:
BI ((130))(18)
578
Z
36:
Z
37:
1
0
1
0
½
½
xpq¡1
1
1
xp¡1
¡
¡
+
q
1¡x
1¡x
x(1 ¡ x)
x(1 ¡ xq )
¾
dx
= q ln p
ln x
xpq¡1
p ¡ 1 p¡1 p ¡ 1 p¡1
xq¡1
¡
¡
x
¡
x
p
1¡x
1¡x
1 ¡ xp
2
[p > 0]:
BI ((130))(20)
¾
•
¶
1¡p
1
dx
=
ln(2¼)+ pq ¡
ln p
ln x
2
2
[p > 0; q > 0]:
BI ((130))(22)
Z
38:
39:6
Z
1
0
(1 ¡ xp )(1 ¡ xq ) ¡ (1 ¡ x)2
dx = ln B (p; q)
x(1 ¡ x) ln x
q > 0]:
GW ((324))(24)
n
1
(xp ¡ 1)n
0
[p > 0;
X n
dx
=
(¡1)n¡k ln(pk + 1)
ln x
n¡k
[n > 0;
k=0
pn > ¡1]
GW ((324))(19d), BI ((123))(12)a
40:
6
Z
1
0
n
X
(1 ¡ xp )n dx
=
(¡1)k¡1 ln ¡[(n ¡ k)p + 1]
1 ¡ x ln x
k=0
[n > 1;
pn > ¡1]
BI ((127))(12)
BI ((123))(12)
42:6
Z
n
1
(1 ¡ xp )n xq¡1
0
X
dx
=
(¡1)k¡1 ln ¡[(n ¡ k)p + q]
(1 ¡ x) ln x
k=0
[n > 1;
43:
6
Z
n
1
0
(xp ¡1)n (xq ¡1)m
[n ¸ 0;
q > 0;
pn > ¡q]
BI ((127))(13)
m
xr¡1 dx X
nX
m
=
(¡1)j
(¡1)k [r+(m¡k)q+(n¡j)p]
j
k
ln x
j=0
k=0
m ¸ 0;
n + m > 0;
r > 0;
pn + qm + r > 0]:
BI ((123))(16)
4.268
1:
Z
1
0
(xp ¡ xq )(1 ¡ xr )
dx = (p + 1) ln(p + 1) ¡ (q + 1) ln(q + 1) ¡
(ln x)2
¡ (p + r + 1) ln(p + r + 1) + (q + r + 1) ln(q + r + 1)
[p > ¡1; q > ¡1; p + r > ¡1; q + r > ¡1]:
GW ((324))(26)
2:
Z
1
(xp ¡xq )2
0
dx
= (2p+1) ln(2p+1)+(2q+1) ln(2q+1)¡2(p+q+1) ln(p+q+1)
(ln x)2
∙
¸
1
1
p>¡ ; q>¡
2
2
GW ((324))(26a)
Z
1
dx
=
(ln x)2
0
= (p + q + 1) ln(p + q + 1) + (q + r + 1) ln(q + r + 1) + (p + r + 1) ln(p + r + 1) ¡
¡(p+1) ln(p+1)¡(q+1) ln(q+1)¡(r+1) ln(r+1)¡(p+q+r) ln(p+q+r)
[p > ¡1; q > ¡1; r > ¡1; p+q > ¡1; p+r > ¡1; q+r > ¡1; p+q+r > 0]:
3:
(1 ¡ xp )(1 ¡ xq )(1 ¡ xr )
BI ((124))(4)
579
4:
Z
1
p n q¡1
0
(1¡x ) x
• ¶
n
dx
1X
k n
=
(¡1)
(pk+q)2 ln(pk+q)
(ln x)2
2
k
k=0
h
q > 0;
p>¡
qi
:
n
5:
Z
1
p n
q m r¡1
(1 ¡ x ) (1 ¡ x ) x
0
• ¶X
• ¶
n
m
X
dx
j n
k m
=
(¡1)
(¡1)
£
(ln x)2
j
k
j=0
k=0
£ [(m ¡ k)q + (n ¡ j)p + r] ln[(m ¡ k)q + (n ¡ j)p + r]
[r > 0; mq + r > 0; np + r > 0; mq + np + r > 0]:
BI ((124))(8)
6:
7:
Z
Z
1
0
dx
=
(ln x)2
= (q ¡ r)p ln p + (r ¡ p)q ln q + (p ¡ q)r ln r
[p > 0;
[(q ¡ r)xp¡1 + (r ¡ p)xq¡1 + (p ¡ q)xr¡1 ]
1
0
∙
q > 0;
r > 0]:
BI ((124))(9)
xq¡1
xr¡1
xp¡1
+
+
+
(p ¡ q)(p ¡ r)(p ¡ s)
(q ¡ p)(q ¡ r)(q ¡ s)
(r ¡ p)(r ¡ q)(r ¡ s)
¸
∙
xs¡1
1
q2 ln q
dx
p2 ln p
+
=
+
+
(s ¡ p)(s ¡ q)(s ¡ r) (ln x)2
2 (p ¡ q)(p ¡ r)(p ¡ s)
(q ¡ p)(q ¡ r)(q ¡ s)
¸
s2 ln s
r2 ln r
+
+
(r ¡ p)(r ¡ q)(r ¡ s)
(s ¡ p)(s ¡ q)(s ¡ r)
[p > 0; q > 0; r > 0; s > 0]:
BI ((124))(16)
4.269
1:
Z 1r
ln
0
2:
Z
k=0
1
0
p X
1
dx
1
¼
(¡1)k
p
¢
=
:
2
x 1+x
2
(2k + 1)3
r
dx
ln
1
¢ (1 + x)2
x
BI ((115))(33)
1
p X
(¡1)k
p
= ¼
:
2k + 1
k=0
BI ((133))(2)
3:
Z 1r
0
1
1
ln ¢ xp¡1 dx =
x
2
r
¼
p3
[p > 0]:
GW ((324))(1c)
BI ((133))(1)
5:
Z
1
0
n
p X
sin t ¡ xn sin[(n + 1)t] + xn+1 sin nt
sin kt
dx
r
p
¢
=
¼
2
1 ¡ 2x cos t + x
k
1
k=1
ln
x
[jtj < ¼]:
BI ((133))(5)
580
6:
Z
1
0
X cos kt
p n¡1
cos t ¡ x ¡ xn¡1 cos nt + xn cos[(n ¡ 1)t]
dx
r
p
=
¢
¼
2
1 ¡ 2x cos t + x
k
1
k=1
ln
x
[jtj < ¼]:
BI ((133))(6)
7:
Z
v
u
x¢
r
dx
=¼
v
x
ln ln
u
x
[uv > 0]:
BI ((145))(37)
4.271
1:
Z
1
(ln x)2n
0
dx
22n ¡ 1
=
¢ (2n)!³(2n + 1):
1+x
22n
BI ((110))(1)
2:
Z
1
(ln x)2n¡1
0
dx
1 ¡ 22n¡1 2n
=
¼ jB2n j
1+x
2n
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((110))(2)
3:
4:
Z
Z
1
(ln x)2n¡1
0
1
(ln x)p¡1
0
dx
1
= ¡ 22n¡2 ¼ 2n jB2n j
1¡x
n
dx
= ei(p¡1)¼ ¡(p)³(p)
1¡x
[n = 1; 2; . . . ]:
BI (110)(5), GW((324))(9a)
[p > 1]:
5:
Z
1
(ln x)n
0
1
X
dx
(¡1)k
= (¡1)n n!
:
2
1+x
(2k + 1)n+1
k=0
BI ((110))(11)
6:
Z
1
2n
(ln x)
0
dx
1
=
1 + x2
2
Z
1
(ln x)2n
0
dx
¼ 2n+1
=
jE2n j:
1 + x2
22n+2
GW ((324))(10)a
7:
Z
1
0
(ln x)2n+1
dx = 0
1 + bx + x2
[jbj < 2]:
BI ((135))(2)
8:
9:
10:
Z
Z
Z
1
(ln x)2n
0
1
dx
22n+1 ¡ 1
=
¢ (2n)!³(2n + 1)
1 ¡ x2
22n+1
(ln x)2n
0
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((110))(12)
dx
= 0:
1 ¡ x2
1
2n¡1
(ln x)
0
dx
1
=
2
1¡x
2
BI ((312))(7)a
Z
1
(ln x)2n¡1
0
dx
1 ¡ 22n 2n
=
¼ jB2n j
1 ¡ x2
4n
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((290))(17)A, BI((312))(6)a
11:
12:
Z
Z
1
(ln x)2n¡1
0
1
(ln x)2n
0
x dx
1 2n
=¡
¼ jB2n j
1 ¡ x2
4n
[n = 1; 2; . . . ]:
1 + x2
22n ¡ 1 2n
dx
=
¼ jB2n j
(1 ¡ x2 )2
2
BI ((290))(19)a
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((296))(17)a
581
Z
13:
1
2n+1
(ln x)
0
1
X cos 2ak¼
(cos 2a¼ ¡ x) dx
=
¡
(2n+1)!
1 ¡ 2x cos 2a¼ + x2
k2n+2
[a is not an integer].
k=1
LI ((113))(10)
14:6
Z
Z
15:
16:3
Z
1
(ln x)n
0
1
¸
∙
xº¡1 dx
dn
º¡2 sin(º ¡ 1)t
=
¡
¼
cosec
t
a
a2 + 2ax cos t + x2
dº n
sin º¼
[a > 0; 0 < Re º < 2; 0 < jtj < ¼]:
1
xp¡1
(ln x)
dx = ¡ n+1 Ã (n)
q
1¡x
q
n
0
1
(ln x)n
0
1
xp¡1
dx = n+1 ¯ (n)
1 + xq
q
• ¶
p
q
[p > 0;
ET I 315(12)
q > 0]:
GW ((324))(9)
• ¶
p
q
[p > 0;
q > 0]:
GW ((324))(10)
4.272
Z
1:
Z
2:
1
0
• ¶¸q¡1
1
dx
ln
1
X
sin kt
x
=
cosec
t¡(q)
(¡1)k¡1
2
1 + 2x cos t + x
kq
∙
k=1
1
0
•
1
ln
x
¶q¡1
[jtj < ¼; q < 1]:
LI ((130))(1)
∙•
¶ ¸
1
cos k ¡
t
1
X
(1 + x) dx
t
2
k¡1
= sec ¢¡(q)
(¡1)
1 + 2x cos t + x2
2
kq
k=1
¸
∙
1
:
jtj < ¼; q <
2
LI ((130))(5)
3:
¤
Z
1
0
∙
• ¶¸¹
1
xº¡1 dx
¡(¹ + 1) X
ak sin kt
1
ln
=
x
1 ¡ 2ax cos t + x2 a2
a sin t
(º + k ¡ 1)¹+1
k=1
[a > 0;
Re ¹ > 0;
Re º > 0;
¡¼ < t < ¼]:
4:
Z
1
0
•
ln
1
x
¶r¡1
1
X pk¡1 cos k¸
cos ¸ ¡ px
xq¡1 dx = ¡(r)
2
2
1 + p x ¡ 2px cos ¸
(q + k ¡ 1)r
[r > 0;
q > 0]:
k=1
BI ((113))(11)
5:
6:
Z
Z
1
(ln x)p
1
dx
= ¡(1 + p)
x2
[p > ¡1]:
BI ((149))(1)
1
0
•
ln
1
x
¶¹¡1
xº¡1 dx =
1
¡(¹)
º¹
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((107))(3)
7:
Z
1
0
•
1
ln
x
¶n¡ 12
º¡1
x
(2n ¡ 1)!!
dx =
(2º)n
r
¼
º
[Re º > 0]:
BI ((107))(2)
8:
Z
1
0
•
1
ln
x
¶n¡1
1
X (¡1)k
xº¡1
dx = (n ¡ 1)!
1+x
(º + k)n
[Re º > 0]:
k=0
BI ((110))(4)
582
9:
10:
Z
Z
1
0
1
0
•
•
1
ln
x
ln
1
x
¶n¡1
¶¹¡1
xº¡1
dx = (n ¡ 1)!³(n; º)
1¡x
[Re º > 0]:
BI ((110))(7)
¶
•
n
X
(¡1)k n(n ¡ 1) . . . (n ¡ k + 1)
nx
(x¡1)n a +
xa¡1 dx = ¡(¹)
x¡1
(a + n ¡ k)¹¡1 k!
k=0
[Re ¹ > 0]:
LI ((110))(10)
11:
Z
1
0
•
1
ln
x
¶n¡1
m
X 1
1 ¡ xm
dx = (n ¡ 1)!
:
1¡x
kn
k=1
12:
Z
1
0
•
ln
1
x
¶¹¡1
³ º´
X
xº¡1 dx
1
1
=
¡(¹)
=
¡(¹)³
¹;
1 ¡ x2
(º + 2k)¹
2¹
2
1
k=0
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((110))(13)
13:
14:
Z
Z
1
0
1
0
xq ¡ x¡q
1 ¡ x2
•
1
ln
x
•
¶r¡1
1
ln
x
¶p
dx = ¡(p+1)
1 ½
X
k=1
1
1
¡
p+1
(2k + q ¡ 1)
(2k ¡ q ¡ 1)p+1
q2 < 1]:
[p > ¡1;
¾
LI ((326))(12)a
1
X ¡s
xp¡1 dx
1
= ¡(r)
q
s
(1 + x )
k (p + kq)r
k=0
[p > 0;
q > 0;
r > 0;
0 < s < r + 2]:
GW ((324))(11)
15:
Z
1
0
•
1
ln
x
¶n
q m p¡1
(1+x ) x
dx = n!
¶
m •
X
m
k=0
k
1
(p + kq)n+1
[p > 0;
q > 0]:
BI ((107))(6)
16:
Z
1
0
•
ln
1
x
¶n
(1¡xq )m xp¡1 dx = n!
¶
m •
X
m
k=0
k
(¡1)k
(p + kq)n+1
[p > 0;
q > 0]:
BI ((107))(7)
17:
Z
1
0
•
1
ln
x
¶p¡1
1
X
xq¡1 dx
1
ak
=
¡(p)
1 ¡ axq
aq p
kp
[p > 0;
q > 0;
a < 1]:
k=1
LI ((110))(8)
18:
Z
1
0
•
1
ln
x
¶2¡ n1
p¡1
(x
q¡1
¡x
n
) dx =
¡
n¡1
• ¶³
´
1
1
1
q1¡ n ¡ p1¡ n
n
[q > p > 0]:
BI ((133))(4)
LI ((110))(16)
4.273
Z
v
u
³
ln
³ v ´p+q¡1
x ´p¡1 ³ v ´q¡1 dx
= B(p; q) ln
ln
u
x
x
u
[p > 0;
q > 0;
uv > 0]:
BI ((145))(36)
4.274
Z
1
e
0
p
q
p
q¼
p
= p
q
e
x ¡(1 + ln x)
x dx
[q > 0]:
BI ((145))(4)
583
4.275
1:
Z
1
0
"•
1
ln
x
¶q¡1
p¡1
¡x
(1 ¡ x)
q¡1
#
dx =
¡(q)
[¡(p+q)¡¡(p)]
¡(p + q)
[p > 0;
q > 0]:
BI ((107))(8)
2:
Z
1
0
∙
x¡
•
1
1 ¡ ln x
¶q ¸
dx
= ¡Ã(q)
x ln x
[q > 0]:
BI ((126))(5)
4.28 Combinations of rational functions of ln x and powers
4.281
1:
2:
Z
Z
1
0
∙
1
1
1
1
+
ln x 1 ¡ x
¸
dx = C :
BI ((127))(15)
dx
1
= li(p):
x2 (ln p ¡ ln x)
p
LA 281(30)
LI ((144))(11,12)
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
∙
∙
∙
∙
x¹¡1
1
+
ln x 1 ¡ x
¸
xq¡1
xp¡1
+
ln x
1¡x
dx = ¡Ã(¹)
[Re ¹ > 0]:
WH
¸
dx = ln p ¡ Ã(q)
1
1
+
1 ¡ x2
2x ln x
[p > 0;
q > 0]:
BI ((127))(17)
¸
dx
ln 2
=
:
ln x
2
LI ((130))(19)
¸
1
ln 2¼
1 (1 ¡ x)(1 + q ln x) + x ln x q¡1 dx
x
= ¡q¡ln ¡(q)+
q¡ +
2
2
(1 ¡ x)
ln x
2
2
[q > 0]:
BI ((128))(15)
4.282
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
4¼ 2
0
1
0
1
0
1 1
dx
ln x
¢
= ¡ C:
2
+ (ln x)
1¡x
4 2
1
1
dx
¢
=
¯
a2 + (ln x)2 1 + x2
2a
•
2a + ¼
4¼
BI ((129))(1)
¶
h
a>¡
¼i
:
2
BI ((129))(9)
1
dx
4¡¼
=
:
¼ 2 + (ln x)2 1 + x2
4¼
BI ((129))(6)
4:
Z
1
0
ln x
1
dx
¢
=
2
2
2
¼ + (ln x)
1¡x
2
•
¶
1
¡ ln 2 :
2
584
Z
5:
Z
6:
Z
7:
1
0
1
0
³ a ´i
1h¼
ln x
¼
x dx
¢
=
+
ln
+
Ã
a2 + (ln x)2 1 ¡ x2
2 2a
a
¼
1
ln x
x dx
¢
=
2
2
2
¼ + (ln x)
1¡x
2
1
¼2
0
•
[a > 0]:
BI ((129))(14)
¶
1
¡C :
2
BI ((129))(13)
1
ln 2
dx
¢
=
:
2
2
+ 4(ln x)
1+x
4¼
BI ((129))(7)
Z
8:
9:
¤
Z
1
0
1
0
ln x
dx
2¡¼
¢
=
:
¼ 2 + 4(ln x)2 1 ¡ x2
16
1
dx
1
p
¢
=
¼ 2 + 16(ln x)2 1 + x2
8¼ 2
BI ((129))(11)
p
[¼ + 2 ln( 2 ¡ 1)]:
BI ((129))(8)
10:
11:
12:
Z
Z
Z
1
¼2
0
1
0
• ¶2k¡2
1
ln x
dx
¼2 X
2¼
=
¡
j
B
j
2k
[a2 + (ln x)2 ]2 1 ¡ x
a4
a
BI ((129))(12)
k=1
1
0
p
ln x
dx
¼
1
1
¢
=¡ p +
+ p ln( 2 ¡ 1):
2
2
+ 16(ln x)
1¡x
16
32 2
16 2
1
³ ¼ ´2k¡2
ln x
x dx
¼2 X
=
¡
j
B
j
2k
[a2 + (ln x)2 ]2 1 ¡ x2
4a4
a
k=1
BI ((129))(4)
13:
Z
1
0
1
xp ¡ x¡p
dx
2¼ X
sin kp¼
=
(¡1)k¡1
2
2
2
x ¡ 1 q + (ln x)
q
2q + k¼
[p2 < 1]:
k=1
BI ((132))(13)a
4.283
1:
Z
1
0
•
¶
dx
x¡1
¡x
= ln 2 ¡ 1:
ln x
ln x
BI ((132))(17)a
2:
3:
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
¡
+
ln x 1 ¡ x
2
¶
x
x
1
+
+
ln x 1 ¡ x
2
¶
x
1
¡
2
(ln x)
(1 ¡ x)2
¸
•
•
∙
•
•
∙
dx
ln 2¼
¡ 1:
=
ln x
2
BI ((127))(20)
ln 2¼
dx
=
:
x ln x
2
BI ((127))(23)
1
1
1
+
¡
2
1¡x
2 ln x
2
1
dx = C ¡ :
2
GW ((326))(8a)
¶
ln 2 ¡ 1
dx
=
:
ln x
2
¶
1 1+x
ln 2¼
dx
1
¡ ln x
+ ¢
=
:
ln x 2 1 ¡ x
ln x
2
¸
dx
1
¡x
= ¡C :
1 ¡ ln x
x ln x
BI ((128))(14)
BI ((127))(22)
GW ((326))(11a)
585
8:
Z
1
0
∙
q
xq ¡ 1
¡
x(ln x)2
ln x
¸
dx = q ln q ¡ q
[q > 0]:
BI ((126))(2)
9:
10:
Z
Z
1
0
1
0
∙
∙
1
x+
a ln x ¡ 1
¸
1+x
1
+
ln x 2(1 ¡ x)
dx
a
= ln + C
x ln x
q
[a > 0;
q > 0]:
BI ((126))(8)
¸
•
¶
xp¡1
ln 2¼
1
dx = ¡ ln ¡(p)+ p ¡
ln p¡p+
ln x
2
2
[p > 0]:
GW ((326))(9)
11:
Z
1
0
∙
p¡1¡
1
+
1¡x
•
1
1
¡
2 ln x
¶
xp¡1
¸
dx
=
ln x
•
¶
ln 2¼
1
¡ p ln p+p¡
2
2
[p > 0]:
BI ((127))(25)
12:
13:
14:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
∙
(p ¡ 2)xp ¡ (p ¡ 1)xp¡1
1
+
¡
(ln x)2
(1 ¡ x)2
∙•
∙•
1
p¡
2
1
q¡
2
¶
¶
1
x +
2
3
•
1
1¡
ln x
¶
¡
2p¡1
x
¸
dx = ¡Ã(p) + p ¡
3
2
[p > 0]
GW ((326))(8)
¡1
¢
¸
pxpq¡1
rxrq¡1
xp¡1 ¡ xr¡1
¡
+
ln x
1 ¡ xp
1 ¡ xr
dx
=
ln x
•
¶
1
¡ p (ln p¡1)
2
[p > 0]:
BI ((132))(23)a
¸
∙
¸
ln 2¼
1
dx
¡ q ¡ ln ¡(q) +
= (p¡r)
ln x
2
2
[q > 0]:
BI ((132))(13)
4.284
1:
Z
1
0
∙
¸
q2
q
q2
3
xq ¡ 1
¡
¡
dx
=
ln q ¡ q2
3
2
x(ln x)
x(ln x)
2 ln x
2
4
[q > 0]:
2:
Z
1
0
∙
¸
q3
q
q2
q3
11
xq ¡ 1
¡
¡
¡
dx =
ln q¡ q3
4
3
2
x(ln x)
x(ln x)
2x(ln x)
6 ln x
6
36
[q > 0]:
BI ((126))(4)
4.285
Z
1
0
n¡1
X
xp¡1 dx
pn¡1 ¡pq
1
e
=
Ei(pq)
¡
(n ¡ k ¡ 1)!(pq)k¡1
(q + ln x)n
(n ¡ 1)!
(n ¡ 1)!qn¡1
k=1
[p > 0;
q < 0]:
BI ((125))(21)
In integrals of the form
3.351-3.356.
R
xa (ln x)n dx
[b§(ln x)m ]l ,
we should make the substitution x = et or x = e¡t and then seek the resulting integrals in
4.29- 4.32 Combinations of logarithmic functions of more complicated arguments
and powers
4.291
1:
Z
1
0
ln(1 + x)
¼2
dx =
:
x
12
FI II 483
586
2:
Z
1
0
ln(1 ¡ x)
¼2
dx = ¡ :
x
6
FI II 714
3:
4:
Z
Z
1
2
0
ln(1 ¡ x)
1
¼2
dx = (ln 2)2 ¡
:
x
2
12
BI ((145))(2)
1
0
³
1
x ´ dx
¼2
ln 1 ¡
= (ln 2)2 ¡
:
2 x
2
12
5:
6:
Z
Z
1
0
1
0
ln 1+x
1
¼2
2
dx = (ln 2)2 ¡
:
1¡x
2
12
BI ((115))(1)
ln(1 + x)
1
dx = (ln 2)2 :
1+x
2
BI ((114))(14)a
7:
Z
1
0
ln(1 + ax)
¼
dx = ln(1 + a2 ) ¡
1+x
4
Z
a
0
ln u du
1 + u2
[a > 0]:
GI II (2209)
8:
Z
1
0
ln(1 + x)
¼
dx = ln 2:
2
1+x
8
FI II 157
9:
Z
1
0
ln(1 + x)
¼
dx = ln 2 + G :
1 + x2
4
BI ((136))(1)
10:
Z
1
0
ln(1 ¡ x)
¼
dx = ln 2 ¡ G :
2
1+x
8
BI ((114))(17)
11:
Z
1
1
ln(x ¡ 1)
¼
dx = ln 2:
2
1+x
8
BI ((144))(4)
12:
Z
1
0
ln(1 + x)
¼2
1
¡ (ln 2)2 :
dx =
x(1 + x)
12
2
BI ((144))(4)
BI ((141))(9)a
14:
Z
1
0
ln(1 + x)
1
a+b
2 ln 2
ln
+ 2
dx =
2
(ax + b)
a(a ¡ b)
b
b ¡ a2
1
= 2 (1 ¡ ln 2)
2a
[a=
= b;
ab > 0];
[a = b]:
LI ((114))(5)a
15:
16:
Z
Z
1
0
ln ab
ln(1 + x)
dx
=
(ax + b)2
a(a ¡ b)
1
ln(a + x)
0
[ab > 0]:
BI ((139))(5)
p
dx
1
= p arcctg a ln[(1 + a)a]
2
a+x
2 a
[a > 0]:
BI ((114))(20)
17:
Z
1
0
ln(a + x)
dx
a ln a ¡ b ln b
=
2
(b + x)
b(a ¡ b)
[a > 0;
b > 0;
a=
= b]:
LI ((139))(6)
587
18:
Z
a
0
ln(1 + ax)
1
dx = arctg a ln(1 + a2 ):
1 + x2
2
GI II (2195)
19:
Z
1
0
p
ln(1 + ax)
1
dx = p arctg a ln(1 + a)
2
1 + ax
2 a
[a > 0]:
BI ((114))(21)
20:
Z
1
0
ln(ax + b)
1
dx =
2
(1 + x)
a¡b
∙
1
(a + b) ln(a + b) ¡ b ln b ¡ a ln 2
2
¸
[a > 0;
b > 0;
a=
= b]:
BI ((114))(22)
BI ((139))(8)
22:
Z
1
0
x dx
1
ln(a+x) 2
=
(b + x2 )2
2(a2 + b2 )
•
¶
a¼
a2
ln b +
+ 2 ln a
2b
b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((139))(9)
23:
Z
1
ln(1 + x)
0
1 + x2
23
1
:
dx = ¡ ln 2 +
4
(1 + x)
3
72
LI ((114))(12)
24:
Z
1
ln(1+x)
0
h¼
i
1 + x2
1
dx
2
¢
=
)
¡
2
arctg
a
¢
ln
a
ln(1
+
a
a2 + x2 1 + a2 x2
2a(1 + a2 ) 2
[a > 0]:
LI ((114))(11)
25:
26:
27:
Z
Z
Z
1
0
dx
1 ¡ x2
1
ln(1+x)
= 2
2
2
(ax + b) (bx + a)
a ¡ b2
¾
4 ln 2
+ 2
[a > 0;
b ¡ a2
1
ln(1+x)
0
1
½
1
a¡b
∙
¸
1
1
a+b
ln(a + b) ¡ ln b ¡ ln a +
ab
a
b
= b2 ]:
a2 =
b > 0;
LI ((114))(13)
1 ¡ x2
dx
1
b
¢
=
ln
2
2
2
2
(ax + b) (bx + a)
ab(a ¡ b )
a
[a > 0;
b > 0]:
LI ((139))(14)
1 ¡ x2
1 (1 + a)2
a
1
¼ a2
¢
¢
dx
=
ln(1+a)
¡
ln
2
¡
(1 + x2 )2
2 1 + a2
2 1 + a2
4 1 + a2
ln(1+ax)
0
[a > ¡1]:
BI ((114))(23)}
28:
Z
1
0
ln(a+x)
b2 ¡ x2
1
dx = 2
(b2 + x2 )2
a + b2
•
a ln
b¼
b
¡
a
2
¶
[a > 0;
b > 0]:
BI ((139))
29:
Z
1
0
b2 ¡ x2
2
ln(a¡x) 2
dx = 2
(b + x2 )2
a + b2
2
•
a b¼
a ln ¡
b
2
¶
[a > 0;
b > 0]:
30:
Z
1
0
x dx
1
ln(a¡x) 2
= 2
2
2
(b + x )
a + b2
2
•
¶
a2
a¼
+ 2 ln a
ln b ¡
2b
b
[a > 0;
b > 0]:
BI ((139))(10)
588
4.292
1:
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
Z
1
ln(1 § x)
¼
p
dx = ¡ ln 2 § 2G
G:
2
2
1¡x
0
1
x ln(1 § x)
¼
p
dx = ¡1 § :
2
2
1¡x
0
a
ln(1 + bx)
1+
p
dx = ¼ ln
2
2
a ¡x
¡a
1
0
1
0
GW ((325))(20)
p
GW ((325))(22c)
1 ¡ a2 b2
2
∙
¸
1
0 ∙ jb j ∙
:
a
BI ((145))(16, 17)A, GW ((325))(21e)
p
p
x ln(1 + ax)
1 ¡ a2
¼ 1 ¡ 1 ¡ a2
p
dx = ¡ 1 + ¢
+
arcsin a
[jaj ∙ 1];
2
a
a
1 ¡ x2
p
p
¼
a2 ¡ 1
= ¡1+
+
ln(a + a2 ¡ 1)
[a ¸ 1]:
2a
a
ln(1 + ax)
1
¼2 1
p
¡ (arccos a)2
dx = arcsin a(¼ ¡arcsin a) =
2
2
8
2
x 1¡x
GW ((325))(22)
[jaj ∙ 1]:
BI ((120))(4), GW ((325))(21a)
4.293
1:
Z
1
x¹¡1 ln(1 + x) dx =
0
1
[ln 2 ¡ ¯(¹ + 1)]
¹
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((106))(4)a
ET I 315(17)
Z
3:
Z
4:
1
x¹¡1 ln(1 + x) dx =
0
¼
¹ sin ¹¼
[¡1 < Re ¹ < 0]:
GW ((325))(3)a
1
2n¡1
x
0
2n
1 X (¡1)k¡1
ln(1 + x) dx =
2n
k
k=1
GW ((325))(2b)
Z
5:
1
0
"
#
2n+1
X (¡1)k
1
x2n ln(1 + x) dx =
ln 4 +
:
2n + 1
k
k=1
GW ((325))(2c)
Z
6:
1
n¡ 12
x
0
"
#
n
X
(¡1)n ¢ 4
(¡1)k
2 ln 2
ln(1 + x) dx =
+
¼¡
:
2n + 1
2n + 1
2k + 1
k=0
GW ((325))(2f)
Z
7:
Z
8:
1
0
x¹¡1 ln j1 ¡ xj dx =
¼
ctg(¹¼)
¹
[¡1 < Re ¹ < 0]:
BI ((134))(4), ET I 315(18)
1
0
1
x¹¡1 ln(1 ¡ x) dx = ¡ [Ã(¹ + 1) ¡ Ã(1)]
¹
[Re ¹ > ¡1]:
ET I 316(19)
589
9:
7
Z
1
1
x¹¡1 ln(x ¡ 1) dx =
1
[¼ ctg(¹¼) + Ã(¹ + 1) + C ]
¹
[Re ¹ < 0]:
ET I 316(20)
BI ((134))(3)
11:
Z
1
0
x¹¡1 ln(1 + x)
¼
dx =
[C
C + Ã(1 ¡ ¹)]
1+x
sin ¹¼
[¡1 < Re ¹ < 1]:
ET I 316(21)
12:
Z
1
0
¡ ln 2 2¹ ¡ 1
ln(1 + x)
dx = ¹ + ¹ 2 :
¹+1
(1 + x)
2 ¹
2 ¹
BI ((114))(6)
13:
14:
Z
Z
1
0
x¹¡1 ln(1 ¡ x)
dx = B(¹; º)[Ã(º)¡Ã(¹+º)]
(1 ¡ x)1¡º
1
0
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
ET I 316(122)
x¹¡1 ln(° + x)
dx = ° ¹¡º B(¹; º ¡¹)[Ã(º)¡Ã(º ¡¹)+ln °]
(° + x)º
[0 < Re ¹ < Re º]:
ET I 316(23)
4.294
1:
Z
1
ln(1 + x)
0
¼
(p ¡ 1)xp¡1 ¡ px¡p
dx = 2 ln 2 ¡
x
sin p¼
[0 < p < 1]:
BI ((114))(2)
2:
Z
1
0
j
n
2n+1
X
X 1X
1 + x2n+1
1
(¡1)k¡1
¡
ln(1 + x)
dx = 2 ln 2
:
1+x
2k + 1
j
k
k=0
j=1
k=1
BI ((114))(7)
3:
Z
1
ln(1 + x)
0
j
n¡1
2n
X
X
1 ¡ x2n
1
1 X (¡1)k¡1
¡
dx = 2 ln 2 ¢
:
1+x
2k + 1 j=1 j
k
k=0
k=1
BI ((114))(8)
4:
Z
1
ln(1 + x)
0
j
n¡1
2n
X
X
1 ¡ x2n
1
(¡1)j X (¡1)k¡1
dx = 2 ln 2 ¢
+
:
1¡x
2k + 1
j
k
k=0
i=1
k=1
5:
Z
1
0
j
n
2n+1
X
X (¡1)j X
1 ¡ x2n+1
1
(¡1)k¡1
dx = 2 ln 2
+
:
ln(1 + x)
1¡x
2k + 1
j
k
j=1
k=0
k=1
BI ((114))(10)
6:
Z
1
0
j
n
X
1 ¡ (¡1)n xn
(¡1)j X 1
dx =
:
ln(1 ¡ x)
1¡x
j
k
j=1
k=1
BI ((114))(15)
7:
Z
1
ln(1 ¡ x)
0
j
n
X
1X1
1 ¡ xn
dx = ¡
:
1¡x
j
k
j=1
k=1
BI ((114))(16)
8:
Z
1
0
ln(1 ¡ x)2 xp dx =
2¼
ctg p¼
p+1
[¡2 < p < ¡1]:
BI ((134))(13)a
590
9:
Z
n
1
[ln(1+x)]n (1+x)r dx = (¡1)n¡1
0
X (¡1)k n!(ln 2)n¡k
n!
r+1
+2
:
(r + 1)n+1
(n ¡ k)!(r + 1)k+1
k=0
LI ((106))(34)a
10:
Z
1
[ln(1 ¡ x)]n (1 ¡ x)r dx = (¡1)n
0
n!
(r + 1)n+1
[r > ¡1]:
BI ((106))(35)a
11:
12:
Z
Z
1
0
•
ln
1
1 ¡ x2
¶n
x2q¡1 dx =
1
0
(ln x)2n ln(1 ¡ x2 )
n!
³(n + 1; q + 1)
2
[¡1 < q < 0]:
BI ((311))(15)a
dx
¼ 2n+2
jB2n+2 j:
=¡
x
2(n + 1)(2n + 1)
BI ((309))(5)a
13:
6
Z
1
[ln(1=x)]m ln(1 ¡ x2 ) dx = ¡
0
1
X
n=1
¡(m + 1)
[m+1 > 0;
n(2n + 1)m+1
n+1 > 0]:
4.295
1:
Z
1
ln(¹x2 +¯)
0
p
p
dx
¼
= p ln( ¹°+ ¯)
2
°+x
°
[Re ¯ > 0;
Re ¹ > 0;
j arg ° j < ¼]:
ET II 218(27)
2:
Z
1
ln(1 + x2 )
0
dx
¼
= ¡ ln 2:
x2
2
GW ((325))(2g)
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
ln(1 + x2 )
0
dx
= ¼:
x2
GW ((325))(4c)
1
ln(1 + x2 )
0
1
ln(1 + x2 )
0
´
dx
2a ³ ¼
=
+
ln
a
(a + x)2
1 + a2 2a
[a > 0]:
BI ((319))(6)a
dx
¼
= ln 2 ¡ G :
1 + x2
2
BI ((114))(24)
6:
7:
Z
Z
1
1
ln(1 + x2 )
dx
¼
= ln 2 + G :
1 + x2
2
BI ((114))(5)
1
0
ln(a2 +b2 x2 )
c2
dx
¼
ag + bc
=
ln
2
2
+g x
cg
g
[a > 0;
b > 0;
c > 0;
g > 0]:
8:
Z
1
ln(a2 +b2 x2 )
0
dx
bc
¼
= ¡ arctg
c2 ¡ g 2 x2
cg
ag
[a > 0;
b > 0;
c > 0;
g > 0]:
BI ((136))(15)a
9:
Z
1
0
ln(1 + p2 x2 ) ¡ ln(1 + q 2 x2 )
dx = ¼(p ¡ q)
x2
[p > 0;
q > 0]:
FI II 645
10:
Z
1
ln
0
1 + a2 x2 dx
= ¡(arctg a)2 :
1 + a2 1 ¡ x2
BI ((115))(2)
591
11:
12:
13:
Z
Z
Z
1
ln(1 ¡ x2 )
0
1
0
dx
¼2
=¡ :
x
12
ln(1 ¡ x2 )2
dx
= 0:
x2
BI ((142))(9)a
1
ln(1 ¡ x2 )
0
dx
¼
= ln 2 ¡ G :
2
1+x
4
GW ((325))(17)
14:
15:
16:
Z
Z
Z
1
1
ln(x2 ¡ 1)
dx
¼
= ln 2 + G :
2
1+x
4
BI ((144))(6)
1
0
ln(a2 ¡ x2 )2
dx
¼
= ln(a2 + b2 )
b2 + x2
b
[b > 0]:
BI ((136))(16)
1
0
ln(a2 ¡ x2 )2
b2 ¡ x2
2b¼
dx = ¡ 2
(b2 + x2 )2
a + b2
[b > 0]:
17:
Z
1
∙
¸
dx
1 ¼2
1
2
¡ (ln 2) :
=
ln(1 + x )
x(1 + x2 )
2 12
2
2
0
BI ((114))(25)
18:
Z
1
0
ln(1 + x2 )
dx
¼2
=
:
x(1 + x2 )
12
BI ((141))(9)
19:
20:
21:
Z
Z
Z
1
ln(cos 2 t + x2 sin2 t)
0
1
ln(a2 +b2 x2 )
0
dx
= ¡t2 :
1 ¡ x2
BI ((114))(27)a
¶
•
dx
2 ln b
b2
c
c
a2 g
a
a
=
+
¼
+
2
ln
+
2
ln
(c + gx)2
cg
a2 g 2 + b2 c2 b
g g
b2 c
b
[a > 0; b > 0; c > 0; g > 0]:
1
dx
=
(c + gx)2
¸
∙
2
b2
a cb2 ¡ ga2
a2 + b2
c c+g
2a
=
¡ 2 ln
ln a + 2 2
arcctg + 2
ln
c(c + g)
a g + b2 c2 b
b
b (c + g)
a2
g
c
[a > 0; b > 0; c > 0; g > 0]:
ln(a2 + b2 x2 )
0
BI ((114))(28)a
22:
Z
1
0
ln(1 + p2 x2 )
dx =
r2 + q2 x2
Z
1
0
ln(p2 + x2 )
¼
q + pr
dx =
ln
2
2
2
q +r x
qr
q
[qr > 0;
p > 0]:
FI II 745a, BI ((318))(1)A, BI ((318))(4)a
23:
Z
1
0
•
¶
•
¶¸
∙
ln(1 + a2 x2 )
dx
¼
ad
ab
c
g
=
ln
1
+
¡
ln
1
+
b2 + c2 x2 d2 + g 2 x2
b2 g 2 ¡ c2 d2 d
g
b
c
2 2
2 2
[a > 0; b > 0; c > 0; d > 0; g > 0; b g =
= c d ]:
BI ((141))(10)
24:
Z
1
0
∙
•
¶
•
¶¸
ln(1 + a2 x2 ) x2 dx
¼
ab
ad
d
b
= 2 2
ln 1 +
¡ ln 1 +
b2 + c2 x2 d2 + g 2 x2
b g ¡ c2 d2 c
c
g
g
2 2
2 2
[a > 0; b > 0; c > 0; d > 0; g > 0; b g =
= c d ]:
592
Z
25:
1
0
•
¶
dx
¼
ag + bc
bc
¡
ln(a + b x ) 2
= 3
ln
(c + g 2 x2 )2
2c g
g
ag + bc
[a > 0; b > 0; c > 0; g > 0]:
2
2 2
GW ((325))(18a)
Z
26:
1
0
¶
•
x2 dx
¼
bc
ag + bc
ln(a + b x ) 2
=
+
ln
(c + g 2 x2 )2
2cg 3
g
ag + bc
[a > 0; b > 0; c > 0; g > 0]:
2
2 2
GW ((325))(18b)
Z
27:
Z
28:
Z
29:
30:
31:
32:
6
Z
Z
Z
1
p
p
½
¾
p
¼
1+ 1+a
1 1¡ 1+a
2
p
ln(1+ax ) 1 ¡ x dx =
ln
+
2
2
2 1+ 1+a
2
0
1
p
p
½
¾
p
¼
1+ 1+a
1 1¡ 1+a
2
p
ln(1+a¡ax ) 1 ¡ x dx =
ln
¡
2
2
2 1+ 1+a
2
0
1
p
dx
1 + 1 ¡ a2
ln(1 ¡ a x ) p
= ¼ ln
2
1 ¡ x2
2 2
0
1
[a > 0]:
BI ((117))(6)
[a > 0]:
BI ((117))(7)
[a2 < 1]:
•
¶2
dx
¼
ln(1 ¡ a x ) p
= ¡ arccos jaj ¡
2
x 1 ¡ x2
BI ((119))(1)
2 2
0
1
ln(1 ¡ x2 ) p
0
dx
(1 ¡ x2 )(1 ¡ k2 x2 )
1
0
ln(1 § kx2 ) p
dx
(1 ¡
x2 )(1
¡
k 2 x2 )
= ln
LI ((120))(11)
k0
¼
K (k) ¡ K (k 0 ):
k
2
BI ((120))(12)
=
1 2 § 2k
¼
ln p K (k) ¡ K (k 0 ):
2
8
k
Z
33:
Z
34:
Z
35:
Z
36:
1
p
0
ln(1 ¡ k 2 x2 )
(1 ¡ x2 )(1 ¡ k 2 x2 )
1
2 2
r
ln(1 ¡ k x )
0
1
0
r
dx = ln k 0 K (k):
BI ((119))(27)
1 ¡ k2 x2
dx = (2 ¡ k 2 )K
K(k) ¡ (2 ¡ ln k 0 )E
E(k):
1 ¡ x2
BI ((119))(3)
1
1 ¡ x2
ln(1¡k 2 x2 ) dx = 2 (1+k02 ¡k 02 ln k 0 )K
K(k)¡(2¡ln k 0 )E
E(k):
2
2
1¡k x
k
p
dx
2¼
a2 ¡ b2
p
p
ln(1¡x )
= p
ln
2
2
2
(a + bx) 1 ¡ x
a ¡b
a + a2 ¡ b2
¡1
BI ((119))(7)
1
2
[a > 0;
b > 0;
a=
= b]:
BI ((145))(15)
37:
8
Z
1
ln(1¡x2 )(pxp¡1 ¡qxq¡1 ) dx = Ã
0
³q
´
³p
´
+ 1 ¡Ã
+1
2
2
[p > ¡2;
q > ¡2]:
BI ((106))(15)
38:
Z
1
p
dx
1+ 1+a
ln(1 + ax ) p
= ¼ ln
2
1 ¡ x2
2
0
[a ¸ ¡1]:
GW ((325))(21b)
593
39:
40:
Z
Z
1
ln(1 + x2 )x¹¡1 dx =
0
1
0
ln(1 + x2 )x¹¡1 dx =
³¹
´i
1h
ln 2 ¡ ¯
+1
¹
2
¼
¹ sin
¹¼
2
[Re ¹ > ¡2]:
[¡2 < Re ¹ < 0]:
BI ((106))(12)
41:
Z
1
0
x¹¡1 dx
¼
ln(1+x )
=
1+x
sin ¹¼
2
½
•
¶
•
¶¾
¹¼
1¡¹
2¡¹
¹¼
¡ (2 ¡ ¹) cos
ln 2 ¡ (1 ¡ ¹) sin
¯
¯
2
2
2
2
[¡2 < Re ¹ < 1]:
ET I 316(25)
4.296
1:
Z
1
ln(1 + 2x cos t + x2 )
0
dx
¼2
t2
¡ :
=
x
6
2
BI ((114))(34)
2:
Z
1
¡1
ln(a2 ¡ 2ax cos t + x2 )
dx
= ¼ ln(1 + 2a j sin tj + a2 ):
1 + x2
BI ((145))(28)
3:
4:
Z
Z
1
ln(1+2x cos t+x2 )x¹¡1 dx =
0
2¼ cos ¹t
¹ sin ¹¼
[jtj < ¼;
¡1 < Re ¹ < 0]:
ET I 316(27)
1
ln
0
•
x2 + 2ax cos t + a2
x2 ¡ 2ax cos t + a2
¶
1
(a2 ¡ b2 ) cos t
x dx
= ¼ 2 ¡¼t+¼ arctg 2
2
+b
2
(a + b2 ) sin t + 2ab
[a > 0; b > 0; 0 < t < ¼]
x2
4.297
1:
Z
1
ln
0
¸
∙
ax + b
dx
1
a+b
¡
a
ln
a
¡
b
ln
b
=
(a
+
b)
ln
bx + a (1 + x)2
a¡b
2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((115))(16)
2:
Z
1
ln
0
ax + b
dx
=0
bx + a (1 + x)2
[ab > 0]:
BI ((139))(23)
3:
Z
1
ln
0
1 ¡ x dx
¼
= ln 2:
2
x 1+x
8
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
1
ln
0
1
ln
0
v
ln
u
1
0
1 + x dx
= G:
1 ¡ x 1 + x2
•
1+x
1¡x
¶2
BI ((115))(17)
dx
¼2
=
:
x(1 + x2 )
2
BI ((141))(13)
v + x dx
1 ³ v ´2
=
ln
u+x x
2
u
[uv > 0]:
BI ((145))(33)
b ln(1 + ax) ¡ a ln(1 + bx)
b
dx = ab ln
2
x
a
[a > 0;
b > 0]:
FI II 647
594
8:
9:
Z
Z
1
ln
0
v
ln
u
1 + ax
dx
p
= ¼ arcsin a
1 ¡ ax x 1 ¡ x2
•
1 + ax
1 ¡ ax
¶
p
dx
(x2 ¡ u2 )(v 2 ¡ x2 )
[jaj ∙ 1]
GW ((325))(21c), BI ((122))(2)
=
¼ ³
u´
F arcsin av;
v
v
[jav j < 1]:
BI ((145))(35)
4.298
1:
Z
1
ln
0
1 + x2 x2n¡1
ln 2
1
1
dx =
+ 2 ¡
¯(2n + 1):
x
1+x
2n
4n
2n
BI ((137))(1)
2:
Z
1
0
ln
1 + x2 x2n
ln 2
1
1
dx =
+ 2 ¡
¯(2n + 1):
x
1+x
2n
4n
2n
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
ln
0
1
ln
0
1
ln
0
1 + x2 x2n¡1
ln 2
1
1
dx =
+ 2 ¡
¯(2n + 1):
x
1¡x
2n
4n
2n
BI ((137))(2)
1 + x2 x2n
1
1
ln 2
¡ 2 +
dx = ¡
¯(2n + 1):
x
1¡x
2n
4n
2n
BI ((137))(4)
1 + x2 x2n¡1
ln 2
1
1
dx =
+ 2 ¡
¯(2n + 1):
x
1 + x2
2n
4n
2n
BI ((137))(10)
6:
Z
1
0
1 + x2 2n
1
ln
x dx =
x
2n + 1
(
n¡1
X
1
(¡1)k
+ ln 2 ¡
+2
(¡1)
2
2n + 1
2n ¡ 2k ¡ 1
n¼
k=0
)
:
BI ((294))(8)
7:
Z
1
0
1 + x2 2n¡1
1
ln
x
dx =
x
2n
(
n¡1
n+1
(¡1)
X (¡1)k
1
ln 2 + ln 2 ¡
+ (¡1)n+1
2n
k
k=1
)
:
BI ((294))(9)a
8:
Z
1
ln
0
1 + x2 dx
¼
= ln 2:
2
x
1+x
2
BI ((115))(7)
9:
Z
1
ln
0
1 + x2 dx
= ¼ ln 2:
x
1 + x2
BI ((137))(8)
10:
11:
Z
Z
1
ln
0
1
ln
0
1 + x2 dx
= 0:
x
1 ¡ x2
1 ¡ x2 dx
¼
= ln 2:
2
x
1+x
4
BI ((137))(9)
BI ((115))(9)
12:
Z
1
ln
1
1 + x2 dx
3¼
=
ln 2:
2
x+1 1+x
8
BI ((144))(8)
13:
Z
1
ln
0
1 + x2 dx
3¼
ln 2 ¡ G :
=
x + 1 1 + x2
8
BI ((115))(18)
14:
Z
1
ln
1
1 + x2 dx
3¼
=
ln 2 + G :
x ¡ 1 1 + x2
8
BI ((144))(9)
595
15:
16:
Z
Z
1
ln
0
1
1 + x2 dx
3¼
=
ln 2:
2
1¡x 1+x
8
ln
0
BI ((115))(19)
1 + x2 x dx
¼2
=
:
x2 1 + x2
12
BI ((138))(3)
17:
Z
1
ln
0
a2 + b2 x2
dx
¼
ag + bc
=
ln
2
2
2
2
x
c +g x
cg
c
[a > 0;
b > 0;
c > 0;
g > 0]:
BI ((138))(6, 7, 9, 10)a
18:
19:
Z
Z
1
ln
0
1
0
ln
a2 + b2 x2
1
ag
dx
=
arctg
x2
c2 ¡ g 2 x2
cg
bc
1 + x2 x2 dx
¼
= (ln 4 ¡ 1):
x2 (1 + x2 )2
4
[a > 0; b > 0; c > 0; g > 0]:
BI ((138))(8, 11)a
20:
21:
Z
Z
1
ln
0
1
0
•
1 ¡ x2
x2
¶2 p
1 ¡ x2 dx = ¼:
1 + 2x cos t + x2 dx
1
=
ln
(1 + x)2
x
2
FI II 643a
Z
1
ln
0
1 + 2x cos t + x2 dx
t2
=
¡
(1 + x)2
x
2
[jtj < ¼]:
BI ((115))(23), BI ((134))(15)
22:
Z
1
ln
0
1 + 2x cos t + x2 p¡1
2¼(1 ¡ cos pt)
x
dx = ¡
2
(1 + x)
p sin p¼
[0 < jpj < 1;
jtj < ¼]:
BI ((134))(17)
23:
Z
1
0
1 + x2 sin t
dx
p
ln
= ¼ ln ctg
2
1 ¡ x sin t 1 ¡ x2
•
¼¡t
4
¶
[jtj < ¼]:
GW ((325))(21d)
4.299
1:
Z
1
ln
0
(x + 1)(x + a2 ) dx
= (ln a)2
(x + a)2
x
[a > 0]:
BI ((134))(14)
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
ln
0
1
ln
0
1
ln
0
p
(1 ¡ ax)(1 + ax2 )
1
dx
= p arctg a ln(1 + a)
2
2
2
(1 ¡ ax )
1 + ax
2 a
p
(1 ¡ a2 x2 )(1 + ax2 )
dx
1
= p arctg a ln(1 + a)
2
2
2
(1 ¡ ax )
1 + ax
a
(x + 1)(x + a2 ) ¹¡1
¼(a¹ ¡ 1)2
x
dx
=
(x + a)2
¹ sin ¹¼
[a > 0;
[a > 0]:
BI ((115))(25)
[a > 0]:
BI ((115))(26)
Re ¹ > 0]:
BI ((134))(16)
4.311
1:3
Z
1
0
ln(a3 ¡ x3 )
dx
x3
integral divergent.
BI ((134))(7)
596
Z
2:
1
ln(1 + x3 )
0
dx
2¼
= p ln 3:
1 ¡ x + x2
3
LI ((136))(8)
Z
3:
1
ln(1 + x3 )
0
dx
¼
¼2
p
=
ln
3
¡
:
1 + x3
9
3
LI ((136))(6)
Z
4:
1
ln(1 + x3 )
0
x dx
¼
¼2
p
=
ln
3
+
:
1 + x3
9
3
LI ((136))(7)
Z
5:
6:
8
1
0
Z
Z
1¡x
2
dx = ¡ ¼ 2 :
1 + x3
9
BI ((136))(9)
1
0
4.312
1:
ln(1 + x3 )
1
p
¯
¯
¯
¼ 3
n3 ¯¯ dx
¯
ln ¯1 ¡ 3 ¯ 3 = ¡ 2
a x
6a
ln
0
1 + x3 dx
¼
¼2
p
=
ln
3
+
:
x3 1 + x3
9
3
BI ((138))(12)
2:
Z
1
0
ln
1 + x3 x dx
¼
¼2
p
=
ln
3
¡
:
x3 1 + x3
9
3
4.313
1:
2:
Z
Z
1
ln x ln(1 + a2 x2 )
0
dx
= ¼a(1 ¡ ln a)
x2
[a > 0]:
BI ((134))(18)
1
0
dx
ln(1+c x ) ln(a +b x ) 2 = 2¼
x
2 2
2
2 2
∙•
b
c+
a
¶
¸
b
ln (b + ac) ¡ ln b ¡ c ln c
a
[a > 0; b > 0; c > 0]:
BI ((134))(20, 21)a
3:
Z
1
0
•
b2
ln(1 + c x ) ln a + 2
x
2 2
2
¶
∙
¸
a + bc
a
dx
= 2¼
ln(a + bc) ¡ ln a ¡ c
x2
b
b
[a > 0; a + bc > 0]:
BI ((134))(22, 23)a
4:
Z
1
ln x ln
0
1 + a2 x2 dx
bb
=
¼(a
¡
b)
+
¼
ln
1 + b2 x2 x2
aa
[a > 0;
b > 0]:
BI ((134))(24)
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1
0
1
ln x ln
a2 + 2bx + x2 dx
b
= 2¼ ln a arcsin
2
2
a ¡ 2bx + x x
a
ln(1 + x)
0
1
0
x ln x ¡ x ¡ a dx
(ln a)2
=
(x + a)2
x
2(a ¡ 1)
ln(1 ¡ x)2
[a ¸ jbj]:
BI ((134))(25)
[a > 0]:
x ln x ¡ x ¡ a dx
¼ 2 + (ln a)2
=
(x + a)2
x
1+a
BI ((141))(7)
[a > 0]:
LI ((141))(8)
4.314
1:
Z
1
ln(1+ax)
0
1
X ak
xp¡1 ¡ xq¡1
p+k
p
dx =
ln
+ln
ln x
k
q+k
q
k=1
[a > 0;
p > 0;
q > 0]:
597
2:
Z
1
0
∙
1
1
(q ¡ 1)x
¡
+
2
(1 + x)
x+1
(1 + x)q
¸
dx
= ln ¡(q)
x ln(1 + x)
[q > 0]:
BI ((143))(7)
3:
Z
1
0
x ln x + 1 ¡ x
4
ln(1 + x)dx = ln :
x(ln x)2
¼
BI ((126))(12)
4:
Z
1
0
ln(1 ¡ x2 )dx
¼
= ¡ ln ¡
2
2
x(q + (ln x) )
q
•
q+¼
¼
¶
+
q
¼
ln 2q + ln ¡ 1
2q
¼
[q > 0]:
LI ((327))(12)a
4.315
1:
Z
1
n¡1 dx
ln(1 + x)(ln x)
x
0
n¡1
= (¡1)
•
1
(n ¡ 1)! 1 ¡ n
2
¶
³(n + 1):
BI ((116))(3)
2:
Z
1
ln(1 + x)(ln x)2n
0
22n+1 ¡ 1
dx
=
¼ 2n+2 jB2n+2 j:
x
(2n + 1)(2n + 2)
BI ((116))(1)
3:
Z
1
ln(1 ¡ x)(ln x)n¡1
0
dx
= (¡1)n (n ¡ 1)!³(n + 1):
x
BI ((116))(4)
4:
Z
1
ln(1 ¡ x)(ln x)2n
0
dx
22n
=¡
¼ 2n+2 jB2n+2 j:
x
(n + 1)(2n + 1)
BI ((116))(2)
4.316
1:
Z
1
0
•
1
ln(1¡ax ) ln
x
r
¶p
1
X
dx
ak
1
= ¡ p+1 ¡(p+1)
x
r
k p+2
k=1
[p > ¡1;
a < 1;
r > 0]:
2:
Z
1
0
•
1
ln(1 ¡ 2ax cos t + a x ) ln
x
2 2
¶p
1
X ak cos kt
dx
= ¡2¡(p + 1)
:
x
k p+2
k=1
LI ((116))(8)
4.317
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
1
0
p
1 + x2 + a
dx
p
ln p
= ¼ arcsin a
2
1 + x ¡ a 1 + x2
1
ln
p
0
1
0
BI ((142))(11)
p
1 ¡ a2 x2 ¡ x 1 ¡ a2 dx
1
= (arcsin a)2 :
1¡x
x
2
BI ((115))(32)
p
cos v¡t
dx
1 + cos t 1 ¡ x2
2
p
ln
=
¼
ctg
t
:
sin v+t
1 ¡ cos t 1 ¡ x2 x2 + tg 2 v
2
1
ln
0
[jaj < 1]:
Ã
BI ((115))(30)
!2
p
1 ¡ x2
x dx
¼2
p
=
:
1 ¡ x2
2
x ¡ 1 ¡ x2
x+
BI ((115))(31)
598
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1
0
1
0
p
p
lnf 1 + kx+ 1 ¡ kx g p
p
p
lnf 1 + kx ¡ 1 ¡ kx g p
1
0
lnf1 +
p
1 ¡ k 2 x2 g p
dx
(1 ¡ x2 )(1 ¡ k2 x2 )
dx
(1 ¡
x2 )(1
¡
k2 x2 )
dx
(1 ¡
x2 )(1
¡
k2 x2 )
=
1
¼
ln(4k)K
K(k)+ K (k 0 ):
4
8
BI ((121))(8)
=
1
3
ln(4k)K
K(k)+ ¼K
K(k 0 ):
4
8
BI ((121))(9)
=
1
¼
ln kK
K(k) + K (k0 ):
2
4
Z
8:
Z
9:
Z
10:
Z
11:¤
4.318
1:
2:
Z
Z
1
lnf1 ¡
0
1
0
1
0
p
1 ¡ k 2 x2 g p
dx
(1 ¡
x2 )(1
¡
k2 x2 )
p
1 + p 1 ¡ x2 dx
p
ln
= ¼ arcsin p
1 ¡ p 1 ¡ x2 1 ¡ x
=
1
3
ln kK
K(k) ¡ ¼K
K(k 0 ):
2
4
BI ((121))(7)
[p2 < 1]:
BI ((115))(29)
p
1 + q 1 ¡ k 2 x2
dx
p
p
ln
= ¼F (arcsin q; k 0 )
2
2
2
1 ¡ q 1 ¡ k 2 x2
(1 ¡ x )(1 ¡ k x )
[q2 < 1]:
BI ((122))(15)
¯
¯
¯ 1 + 2p1 + x2 ¯
dx
¯
¯
p
ln ¯
= ¼ 2 =3
¯p
2
¯
¯
1¡2 1+x
1 + x2
¡1
1
1
0
∙
³ q
´ ln q
´¸
q ³ q
ln(1 ¡ xq ) dx
=
¼
ln
¡
+
1
¡
+
ln
¡
1
1 + (ln x)2 x
2¼
2
2¼
2¼
1
0
∙
xq ¡ xp
(p ¡ r)xp ¡ (q ¡ r)xq
ln(1+x )
+
ln x
(ln x)2
r
¸
[q > 0]:
³ q¼
p¼ ´
dx
=
r
ln
tg
ctg
xr+1
2r
2r
BI ((126))(11)
[p < r; q < r]:
BI ((143))(9)
In integrals containing ln(a + bxr ), it is useful to make the substitution xr = t and then to seek the resulting integral in the tables.
For example,
Z
1
0
p¡1
x
1
ln(1 + x ) dx =
r
r
Z
1
0
p
t r ¡1 ln(1 + t) dt =
¼
p sin
p¼
r
(see 4.293 3).
4.293
4.319
Z
1:
1
0
¡2a¼x
ln(1¡e
∙
¸
1
dx
)
= ¡¼
ln 2a¼ + a(ln a ¡ 1) ¡ ln ¡(a + 1)
1 + x2
2
[a > 0]:
BI ((354))(6)
Z
2:
1
¡2a¼x
ln(1+e
0
∙
¶
¸
•
dx
1
)
= ¼ ln ¡(2a) ¡ ln ¡(a) + a(1 ¡ ln a) ¡ 2a ¡
ln 2
1 + x2
2
[a > 0]:
BI ((354))(7)
599
Z
3:
1
ln
0
a
p
a + be¡px dx
= ln
ln
a + be¡qx x
a+b q
∙
b
> ¡1;
a
¸
pq > 0 :
FI II 635, BI ((354))(1)
4.321
Z
1:
1
x ln ch x dx = 0:
¡1
BI ((358))(2)a
Z
2:
1
ln ch x
0
dx
= 0:
1 ¡ x2
BI ((138))(20)a
4.322
1:
7
Z
¼
0
1
x ln sin x dx =
2
Z
¼
0
x ln cos 2 x dx = ¡
¼2
ln 2:
2
BI ((432))(1, 2) FI II 643
2:
Z
1
0
ln sin2 ax
¼ 1 ¡ e¡2ab
dx
=
ln
b2 + x2
b
2
[a > 0;
b > 0]:
GW ((338))(28b)
GW ((338))(28a)
Z
4:
Z
5:
Z
6:
1
0
1
0
1
0
ln sin2 ax
¼2
dx = ¡
+ a¼
2
2
b ¡x
2b
ln cos2 ax
dx = a¼
b2 ¡ x2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((418))(1)
[a > 0]:
BI ((418))(2)
ln cos2 x
dx = ¡¼:
x2
FI II 686
7:
7
Z
¼
4
¹¡1
x
0
#
"
1
1 ³ ¼ ´¹
³(2k)
2 X
ln sin x dx = ¡
ln 2 + ¡
2¹ 4
¹
42k¡1 (¹ + 2k)
[Re ¹ > 0]:
k=1
LI ((425))(1)
8:7
9:
Z
Z
¼
2
¹¡1
x
0
#
"
1
X
1 ³ ¼ ´¹ 1
³(2k)
ln sin x dx = ¡
¡2
¹ 2
¹
4k (¹ + 2k)
[Re ¹ > 0]:
k=1
¼
2
0
¹¡1
ln(1¡cos x)x
#
"
1
¡1 ³ ¼ ´¹ 2 X
³(2k)
¡
dx =
¹ 2
¹
42k¡1 (¹ + 2k)
LI ((430))(1)
[Re ¹ > 0]:
k=1
LI ((430))(2)
10:
Z
1
0
ln(1 § 2p cos ¯x + p2 )
q2
dx
¼
= ln(1 § pe¡¯q )
[p2 < 1];
2
+x
q
¼
= ln(p § e¡¯q )
[p2 > 1]
q
FI II 718a
4.323
1:7
Z
¼
x ln tg 2 x dx = 0:
0
BI ((432))(3)
600
2:
Z
1
0
ln tg 2 ax
¼
dx = ln • ab
2
2
b +x
b
[a > 0;
b > 0]:
GW ((338))(28c)
3:
Z
1
ln
0
•
1 + tg x
1 ¡ tg x
¶2
dx
¼2
=
:
x
2
GW ((338))(26)
4.324
1:
2:
Z
Z
1
ln
0
1
0
ln
•
1 + sin x
1 ¡ sin x
¶2
dx
= ¼2 :
x
GW ((338))(25)
1 + 2a cos px + a2 dx
q2
[¡1 < a ∙ 1];
=
ln(1
+
a)
ln
1 + 2a cos qx + a2 x
p2
•
¶
1
q2
= ln 1 +
ln 2
[a < ¡1 or
a
p
a ¸ 1].
GW ((338))(27)
3:
Z
1
ln(a2 sin2 px + b2 cos 2 px)
0
dx
¼
= [ln(a sh cp + b ch cp) ¡ cp]
c2 + x2
c
[a > 0; b > 0; c > 0; p > 0]:
GW ((338))(29)
4.325
1:3
Z
1
ln ln
0
• ¶
1
X
ln k
1
1
dx
= ¡C ln 2+ (¡1)k
= ¡C ln 2+0:159 868 905 . . . = ¡ (ln 2)2 :
x 1+x
k
2
k=2
2:
Z
1
0
• ¶
1
X
1
dx
(¡1)k ¡ik¸
ln ln
=
e
(C
C + ln k):
x x + ei¸
k
k=1
GW ((325))(26)
3:
Z
1
0
∙ • ¶
¸
• ¶
Z 1
´
1
dx
1
dx
1
1³ ¼
¡
C
:
Ã
+
ln
2¼
=
ln
ln ln
=
ln
ln
x
=
x (1 + x)2
(1 + x)2
2
2
2
2
1
BI ((147))(7)
4:
Z
1
0
• ¶
Z 1
1
dx
dx
¼
ln ln
=
ln ln x
= ln
2
x 1 + x2
1
+
x
2
1
p
• ¶
3
2¼¡
4
• ¶ :
1
¡
4
BI ((148))(1)
5:
Z
• ¶
Z 1
1
dx
¼
1
dx
ln ln
=
ln ln x
= p ln
2
2
x 1+x+x
1+x+x
3
0
1
p
3
• ¶
2
2¼¡
3
• ¶ :
1
¡
3
BI ((148))(2)
6:
Z
1
0
• ¶
• ¶¸
∙
Z 1
dx
2¼ 5
1
dx
1
ln ln
=
ln ln x
= p
ln 2¼ ¡ ln ¡
:
2
2
x 1¡x+x
1¡x+x
6
3 6
1
BI ((148))(5)
601
7:
Z
•
¶
t
1
t=¼
•
¶
Z
(2¼)
¡
+
1
1
dx
¼
1
dx
2 2¼
•
¶
ln ln
=
ln ln x
=
ln
:
2
2
t
1
x 1 + 2x cos t + x
1 + 2x cos t + x
2 sin t
0
1
¡
¡
2 2¼
BI ((147))(9)
8:
Z
1
ln ln
0
1 ¹¡1
1
x
dx = ¡ (C
C + ln ¹)
x
¹
[Re ¹ > 0]:
9:
Z
1
1
ln ln x
1+
x2
xn¡2 dx
=
+ x4 + ¢ ¢ ¢ + x2n¡2
¶
n+k
¼
¼
¼
k¼
2n
• ¶
=
tg
ln 2¼ +
ln
(¡1)k¡1 sin
k
2n
2n
n
n
k=1
¡
2n
•
¶
n¡k
n¡1
¡
2
¼
¼
¼X
k¼
n
• ¶
=
tg
ln ¼ +
ln
(¡1)k¡1 sin
k
2n
2n
n
n
k=1
¡
n
¡
n¡1
X
•
[n is even].
[n is odd].
BI ((148))(4)
10:
Z
1
0
• ¶
1
ln ln
x
dx
r
(1 + x2 )
ln
1
x
=
=
Z
1
ln ln x
1
dx
p
=
(1 + x2 ) ln x
1
p X
(¡1)k+1
p
¼
[ln(2k + 1) + 2 ln 2 + C ]:
2k + 1
k=0
BI ((147))(4)
11:
Z
1
ln ln
0
• ¶ ¹¡1
r
dx
¼
1 x
r
= ¡(C
C + ln 4¹)
x
¹
1
ln
x
[Re ¹ > 0]:
BI ((147))(3)
12:
Z
1
0
• ¶•
¶¹¡1
1
1
1
ln ln
ln
xº¡1 dx = ¹ ¡(¹)[Ã(¹) ¡ ln(º)]
x
x
º
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((147))(2)
4.326
1:
Z
1
ln(a ¡ ln x)x¹¡1 dx =
0
1
[ln a ¡ ea¹ Ei(¡a¹)]
¹
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
BI ((107))(23)
2:
Z
1
e
0
•
1
ln 2 ln ¡ 1
x
¶
1
x2¹¡1
dx = ¡ [Ei(¡¹)]2
ln x
2
[Re ¹ > 0]:
BI ((145))(5)
602
4.327
1:
•
¶
2a + 3¼
Z 1
2¡
¼ ¼
dx
4¼
2
2
•
¶ + ln
ln[a + (ln x) ]
= ¼ ln
2
2a
+
¼
1
+
x
2
2
0
¡
4¼
h
a>¡
¼i
:
2
BI ((147))(10)
2:
Z
¶
a + 3¼
1
¼
dx
4¼
¶ + ln ¼
•
ln[a2 + 4(ln x)2 ]
= ¼ ln
2
a+¼
1+x
2
0
¡
4¼
2¡
•
[a > ¡¼]:
BI ((147))(16)a
3:
Z
1
ln[a2 + (ln x)2 ]x¹¡1 dx =
0
2
[¡ cos a¹ ci(a¹) ¡ sin a¹ si(a¹) + ln a]
¹
[a > 0; Re ¹ > 0]:
GW ((325))(28)
If the integrand contains a logarithm whose argument also contains a logarithm, for example, if the integrand contains ln ln
1
x,
it is
useful to make the substitution ln x = t and then seek the transformed integral in the tables.
4.33- 4.34 Combinations of logarithms and exponentials
4.331
1:
2:
Z
Z
1
0
1
e¡¹x ln x dx = ¡ (C
C + ln ¹)
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((256))(2)
1
1
e¡¹x ln x dx = ¡
1
Ei(¡¹)
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((260))(5)
GW ((324))(81a)
4.332
1:
Z
1
0
∙
• ¶¸
1
ln x dx
2¼ 5
p
=
ln
2¼
¡
ln
¡
x
¡x
e +e ¡1
6
3 6
(cf. 4.325 6.).
4.325
BI ((257))(6)
2:
Z
1
0
2 • ¶
3
2
¡
p 7
6
ln x dx
¼
6 • 3 ¶ 2¼ 7
p
=
ln
5
1
ex + e¡x + 1
3 4
¡
3
(cf. 4.325 5.).
4.325
BI ((257))(7)A, LI ((260))(3)
4.333
Z
1
0
r
2
1
¼
e¡¹x ln x dx = ¡ (C
C + ln 4¹)
4
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((256))(8), FI II 807a
4.334
Z
1
ex2
0
ln x dx
1
2 =
¡x
2
+1+e
r
1
¼X
C + ln 4k
k¼
p
(¡1)k
sin
:
3
3
k
k=1
BI ((357))(13)
603
4.335
1:
Z
1
¡¹x
e
0
∙
¸
1 ¼2
2
(ln x) dx =
+ (C
C + ln ¹)
¹ 6
2
[Re ¹ > 0]:
ET I 149(13)
2:
Z
1
0
2
e¡x (ln x)2 dx =
¸
p ∙
¼
¼2
(C
C + 2 ln 2)2 +
:
8
2
3:
7
Z
1
¡¹x
e
0
∙
¸
¼2
1
3
(ln x) dx = ¡
(C
C + ln ¹) +
(C
C + ln ¹) + 2³(3) :
¹
2
3
MI 26
4.336
1:
6
Z
1
0
e¡x
dx = ¡0:154479567:
ln x
BI ((260))(9)
Z
2:
1
0
e¡¹x dx
= º 0 (¹) ¡ e¹
¼ 2 + (ln x)2
[Re ¹ > 0]:
MI 26
4.337
Z
1:
Z
2:
1
e¡¹x ln(¯+x)dx =
0
1
[ln ¯ ¡e¹¯ Ei(¡¯¹)]
¹
[j arg ¯ j < ¼;
Re ¹ > 0]:
BI ((256))(3)
1
¡¹x
e
0
•
¶
1 ¹¯
¹
ln(1 + ¯x)dx = ¡ e Ei ¡
¹
¯
[j arg ¯ j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET I 148(4)
Z
3:
4:
7
Z
1
0
e¡¹x ln ja ¡ xj dx =
1
[ln a ¡ e¡a¹ Ei(a¹)]
¹
[a > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((256))(4)
1
0
¡¹x
e
¯
¯
¯ ¯ ¯
¯
¯ dx = 1 [e¡¯¹ Ei(¯¹)]
ln ¯
¯ ¡ x¯
¹
[Re ¹ > 0]:
4.338
1:
Z
1
0
e¡¹x ln(¯ 2 + x2 ) dx =
2
[ln ¯ ¡ ci(¯¹) cos(¯¹) ¡ si (¯¹) sin(¯¹)]
¹
[Re ¯ > 0; Re ¹ > 0]:
MI 26
Z
2:
1
0
e¡¹x ln(x2 ¡ ¯ 2 )2 dx =
2
[ln ¯ 2 ¡ e¯¹ Ei(¡¯¹) ¡ e¯¹ Ei(¯¹)]
¹
[Im ¯ > 0; Re ¹ > 0]:
BI ((256))(5)
4.339
Z
1
¡¹x
e
0
¯
¯
¯x + 1¯
¯
¯ dx = 1 [e¡¹ (ln 2¹ + °) ¡ e¹ Ei(¡2¹)]
ln ¯
x ¡ 1¯
¹
[Re ¹ > 0]:
MI 27
604
4.341
Z
1
¡¹x
e
p
ln
0
p
¼
x + ai + x ¡ ai
p
dx =
[H0 (a¹)¡N0 (a¹)]
4¹
2a
[a > 0;
Re ¹ > 0]:
ET I 149(20)
4.342
1:
Z
1
¡2nx
e
0
∙
¸
1 1
ln(sh x) dx =
+ ln 2 ¡ 2¯(2n + 1) :
2n n
BI ((256))(17)
2:
3:
Z
Z
1
¡¹x
e
0
1
0
¡¹x
e
∙ ³ ´
¸
1
1
¹
ln(ch x) dx =
¯
¡
¹
2
¹
[Re ¹ > 0]:
∙
³ ¹ ´¸
1
¹
1
¡Ã
[ln(shx) ¡ ln x] dx =
ln ¡
¹
2
2¹
2
ET I 165(32)
[Re ¹ > 0]:
ET I 165(33)
4.343
Z
¼
0
e¹ cos x [ln(2¹ sin2 x) + C ] dx = ¡¼K0 (¹):
WA 95(16)
4.35- 4.36 Combinations of logarithms, exponentials, and powers
4.351
1:
Z
1
0
(1 ¡ x)e¡x ln x dx =
1¡e
:
e
BI ((352))(1)
2:
Z
1
e¹x (¹x2 + 2x) ln x dx =
0
1
[(1 ¡ ¹)e¹ ¡ 1]:
¹2
BI ((352))(2)
3:
Z
1 ¡¹x
e
1
ln x
1
dx = e¹ [Ei(¡¹)]2
1+x
2
[Re ¹ > 0]:
NT 32(10)
4.352
1:
Z
1
xº¡1 e¡¹x ln x dx =
0
1
¡(º)[Ã(º) ¡ ln ¹]
¹º
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
BI ((353))(3), ET I 315(10)a
2:
Z
1
n ¡¹x
x e
ln x dx =
0
n!
¹n+1
∙
1
1 1
1 + + + ¢ ¢ ¢ + ¡ C ¡ ln ¹
2 3
n
¸
[Re ¹ > 0]:
ET I 148(7)
3:
Z
1
0
n¡ 12 ¡¹x
x
e
¶
¸
∙ •
p (2n ¡ 1)!!
1
1 1
ln x dx = ¼
¡ C ¡ ln 4¹
2 1 + + + ¢¢¢ +
1
3 5
2n ¡ 1
2n ¹n+ 2
[Re ¹ > 0]:
ET I 148(10)
4:
Z
1
x¹¡1 e¡x ln x dx = ¡0 (¹)
[Re ¹ > 0]:
0
GW ((324))(83a)
4.353
Z
1:
1
0
(x ¡ º)xº¡1 e¡x ln x dx = ¡(º)
[Re º > 0]:
GW ((324))(84)
605
Z
2:
1
0
•
1
¹x ¡ n ¡
2
¶
n¡ 12 ¡¹x
x
e
(2n ¡ 1)!!
ln x dx =
(2¹)n
r
¼
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((357))(2)
Z
3:
1
n ¹x
(¹x+n+1)x e
¹
ln x dx = e
0
n
X
k=0
(¡1)k¡1
n!
n!
+(¡1)n n+1
k+1
(n ¡ k)!¹
¹
[¹=
= 0]:
GW ((324))(82)
4.354
1:
6
Z
1
0
1
X
xº¡1 ln x
(¡1)k¡1
dx
=
¡(º)
[Ã(º) ¡ ln k]
ex + 1
kº
[Re º > 0]:
k=1
1
= ¡ (ln 2)2
2
for º = 1.
GW ((324))(86a)
2:
Z
1
0
1
X (¡1)k (k ¡ 1)
xº¡1 ln x
dx = ¡(º)
[Ã(º) ¡ ln k]
x
2
(e + 1)
kº
[Re º > 0]:
k=2
GW ((324))(86b)
3:
Z
1
0
1
X (¡1)k¡1
(x ¡ º)ex ¡ º º¡1
x
ln
x
dx
=
¡(º)
(ex + 1)2
kº
[Re º > 0]:
k=1
GW ((324))(87a)
4:
Z
1
0
(x ¡ 2n)ex ¡ 2n 2n¡1
22n¡1 ¡ 1 2n
x
ln
x
dx
=
¼ jB2n j
(ex + 1)2
2n
[n = 1; 2; . . . ]:
GW ((324))(87b)
GW ((324))(86c)
4.355
1:
Z
1
2 ¡¹x2
x e
0
r
1
¼
ln x dx =
(2 ¡ ln 4¹ ¡ C )
8¹
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((357))(1)a
2:
Z
1
0
¡¹x2 +2ºx
2
x(¹x ¡ºx¡1)e
1
º
ln x dx =
+
4¹ 4¹
r
¼
exp
¹
•
º2
¹
¶∙
•
º
1+© p
¹
[Re ¹ > 0]:
¶¸
BI ((358))(1)
3:
Z
1
0
2
(¹x2 ¡ n)x2n¡1 e¡¹x ln x dx =
(n ¡ 1)!
4¹n
[Re ¹ > 0]:
BI ((353))(4)
4:
Z
1
0
2n ¡¹x2
2
(2¹x ¡ 2n ¡ 1)x e
(2n ¡ 1)!!
ln x dx =
2(2¹)n
r
¼
¹
[Re ¹ > 0]:
BI ((353))(5)
4.356
1:
Z
1
0
h
³x
a ´i
dx
exp ¡¹
+
ln x
= 2 ln a K0 (2¹)
a
x
x
[a > 0;
Re ¹ > 0]:
GW ((324))(91)
606
2:
Z
¶
1
b
exp ¡ax ¡
ln x[2ax2 ¡ (2n + 1)x ¡ 2b]xn¡ 2 dx =
x
• ¶ n2 r
1
¼ ¡2pab X
(n + k)!
b
p
=2
e
[a > 0;
a
a
(n ¡ k)!(2k)!!(2 ab)k
1
0
•
b > 0]:
k=0
3:
Z
•
¶
dx
b
exp ¡ax ¡
ln x[2ax2 + (2n ¡ 1)x ¡ 2b]
3 =
n+
x
x 2
0
1
³ a ´ n2 r ¼
p X
(n + k ¡ 1)!
p
=2
e¡2 ab
[a > 0;
b
a
(n ¡ k ¡ 1)!(2k)!!(2 ab)k
BI ((357))(4)
1
k=0
b > 0]:
For n =
1
2:
Z
4:
1
0
³
p
a´
ax2 ¡ b
exp ¡ax ¡
ln x
dx = 2K0 (2 ab)
2
x
x
[a > 0;
b > 0]:
GW ((324))(92c)
For n = 0:
Z
5:
1
0
•
b
exp ¡ax ¡
x
¶
2ax2 ¡ x ¡ 2b
p
ln x
dx = 2
x x
r
¼ ¡2pab
e
:
a
[a > 0;
b > 0]:
BI ((357))(7), GW((324))(92a)
For n = ¡1:
Z
6:
1
0
•
b
exp ¡ax ¡
x
¶
p r
1 + 2 ab ¼ ¡2pab
2ax2 ¡ 3x ¡ 2b
p
ln x
dx =
e
x
a
a
[a > 0; b > 0]:
LI ((357))(6), GW ((324))(92b)
7:
¤
8:¤
9:
¤
Z
1
0
Z
Z
•
b
exp ¡ax ¡
x
¶
•
b
ln x a ¡ 2
x
¶
p
dx = K0 (2 ab)
[a > 0;
b > 0]:
•
¶
3
b
exp ¡ax ¡
ln x[2ax2 ¡ (2n + 1)x ¡ 2b]xn¡ 2 dx =
x
0
p
= 4(b=a)(2n+1)=4 Kn+ 12 (2 ab) =
r
n
n
¼ ¡2pab X
(n + k)!
p
= 2(b=a) 2
e
[n = 0; 1; . . . ; a > 0;
k
a
(n
¡
k)!(2k)!!(2
ab)
k=0
1
¶
dx
b
exp ¡ax ¡
ln[(ax2 ¡ b) cos(® ln x) + ®x sin(® ln x)] 2 =
x
x
p
p
= 2 cos(® ln b=a)Ki® (2 ab)
[a > 0; b > 0; ¡1 < ® < 1]:
1
0
•
b > 0]:
607
11:¤ q
Z
1
0
∙
¶
• ¶®=2
¸
•
p
b
b
®
b
x® ln x a ¡ ¡ 2 exp ¡ax ¡
dx = 2
K® (2 ab)
x
x
x
a
[a > 0; b > 0; ¡1 < ® < 1]:
4.357
Z
1:
1
0
•
1 + x4
exp ¡
2ax2
¶
p
2a3 ¼
1 + ax2 ¡ x4
p
dx
=
¡
ln x
x2
2ae
[a > 0]:
BI ((357))(8)
Z
2:
1
0
•
1 + x4
exp ¡
2ax2
¶
p
2a3 ¼
x4 + ax2 ¡ 1
p
dx
=
ln x
x4
2ae
[a > 0]:
BI ((357))(9)
Z
3:
1
0
•
1 + x4
exp ¡
2ax2
¶
p
(1 + a) 2a3 ¼
x4 + 3ax ¡ 1
p
dx =
ln x
x6
2 ae
[a > 0]:
BI ((357))(10)
4.358
1:6
Z
Z
2:
1
xº¡1 e¡¹x (ln x)m dx =
1
@m
f¹¡º ¡(º; ¹)g
@º m
[m = 0; 1; . . . ;
Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
MI 26
1
xº¡1 e¡¹x (ln x)2 dx =
0
¡(º)
f[Ã(º)¡ln ¹]2 +³(2; º)g
¹º
[Re ¹ > 0;
Re º > 0]:
MI 26
3:
¤
Z
1
0
xº¡1 e¡¹x (ln x)3 dx =
¡(º)
f[Ã(º)¡ln ¹]3 +3³(2; º)[Ã(º)¡ln ¹]¡2³(3; º)g
¹º
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
MI 26
4.359
1:
Z
1
e¡¹x
0
xp¡1 ¡ xq¡1
1
dx = [¸(¹; p¡1)¡¸(¹; q ¡1)]
ln x
¹
[Re ¹ > 0;
p > 0;
q > 0]:
MI 27
2:
Z
1
e¹x
0
1
X ¹k
xp¡1 ¡ xq¡1
p+k
dx =
ln
ln x
k!
q+k
[Re ¹ > 0;
p > 0;
q > 0]:
k=0
BI ((352))(9)
608
4.361
1:
Z
1
(x + 1)e¡¹x
dx = º 0 (¹) ¡ º 00 (¹)
¼ 2 + (ln x)2
0
[Re ¹ > 0]:
MI 27
2:
Z
1
e¡¹x dx
= e¹ ¡ º(¹)
+ (ln x)2 ]
x[¼ 2
0
[Re ¹ > 0]:
MI 27
4.362
1:
Z
1
0
xex ln(1 ¡ x) dx = 1 ¡ e:
BI ((352))(5)a
2:
Z
1
1
e¡¹x ln(2x ¡ 1)
dx
1 h ³ ¹ ´i2
=
Ei ¡
x
2
2
[Re ¹ > 0]:
ET I 148(8)
4.363
1:
Z
1
¹(x + a) ln(x + a) ¡ 2
e¡¹x ln(a + x)
dx =
x+a
0
Z 1
1
¹(x ¡ a) ln(x ¡ a)2 ¡ 4
=
e¡¹x ln(a ¡ x)2
dx = (ln a)2
4 0
x¡a
[Re ¹ > 0;
a > 0]:
Z
2:
1
0
2
x(1 ¡ x)(2 ¡ x)e¡(1¡x) ln(1 ¡ x) dx =
1¡e
:
4e
BI ((352))(4)
4.364
Z
1:
1
0
dx
=
x+a+b
= e(a+b)¹ fEi(¡a¹) Ei(¡b¹) ¡ ln(ab) Ei[¡(a + b)¹]g
e¡¹x ln[(x + a)(x + b)]
[a > 0;
b > 0;
Re ¹ > 0]:
BI ((354))(11)
Z
2:
¶
1
1
dx =
+
x+a
x+b
= (1 + ln a ln b) ln(a + b) + e¡(a+b)¹ fEi(¡®¹) Ei(¡b¹) +
+ (1 ¡ ln(ab)) Ei[¡(a + b)¹]g
[a > 0; b > 0; Re ¹ > 0]:
1
0
e¡¹x ln(x + a + b)
•
BI ((354))(12)
4.365
Z
1
0
∙
¡x
e
¡
x
(1 +
x)p+1
ln(1 + x)
¸
dx
= ln p
x
[p > 0]:
BI ((354))(15)
609
4.366
1:
Z
1
¡¹x
e
0
•
x2
ln 1 + 2
a
¶
dx
= [ci(a¹)]2 + [si(a¹)]2
x
[Re ¹ > 0]:
NT 32(11)a
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
¯
¯
¯
x2 ¯ dx
e¡¹x ln ¯¯1 ¡ 2 ¯¯
= Ei(a¹) Ei(¡a¹)
a
x
¡¹x2
xe
[Re ¹ > 0]:
¯
¯
¯ 1 + x2 ¯
¯
¯ dx = 1 [ch ¹ sh i(¹)¡sh ¹ ch i(¹)]
ln ¯
1 ¡ x2 ¯
¹
ME 18
[Re ¹ > 0];
(cf. 4.339).
4.367
Z
1
¡¹x2
xe
ln
0
x+
p
x2 + 2¯
e¯¹
p
K0 (¯¹)
dx =
4¹
2¯
[j arg ¯ j < ¼;
Re ¹ > 0]:
ET I 149(19)
4.368
Z
2u
2
e¡¹x ln
0
i
x2 (4u2 ¡ x2 )
dx
¼ ¡2u2 ¹ h ¼
2
2
p
e
N
=
(2iu
¹)
¡
(C
C
¡
ln
2)J
(2iu
¹)
0
0
u4
2
2
4u2 ¡ x2
[Re ¹ > 0]:
ET I 149(21)a
4.369
1:
Z
1
0
xº¡1 e¡¹x [Ã(º) ¡ ln x] dx =
¡(º) ln ¹
¹º
[Re º > 0]:
ET I 149(12)
2:
Z
1
0
)
¸2
1
1
xn e¡¹x
ln x ¡ Ã(n + 1) ¡ Ã 0 (n + 1) dx =
2
2
)
(∙
¸2
n!
1 0
1
= n+1
ln ¹ ¡ Ã(n + 1) + Ã (n + 1)
¹
2
2
(∙
[Re ¹ > 0]:
MI 26
4.37 Combinations of logarithms and hyperbolic functions
4.371
1:
2:
Z
Z
• ¶3
3
2¼¡
1
6
ln x
4 7
• ¶ 7
dx = ¼ ln 6
4
5:
1
0 ch x
¡
4
2p
•
¼+t
(2¼) ¡
1
ln x dx
¼
2¼
•
¶
=
ln
¼¡t
sin t
0 ch x + cos t
¡
2¼
t
¼
LI ((260))(1)a
¶
[t2 < ¼ 2 ]:
3:
Z
1
0
ln x dx
=Ã
ch2 x
• ¶
1
+ ln ¼ = ln ¼ ¡ 2 ln 2 ¡ C :
2
BI ((257))(4)a
610
4.372
1:
Z
1
ln x
1
sh mx
dx =
sh nx
=
¼
m¼
tg
2n
2n
=
¼
m¼
tg
2n
2n
¶
n+k
¡
n¡1
¼X
km¼
2n
• ¶
ln 2¼ +
ln
(¡1)k¡1 sin
k
n
n
k=1
¡
2n
•
¶
n
¡
k
n¡1
¡
2
km¼
¼X
n
• ¶
(¡1)k¡1 sin
ln ¼ +
ln
k
n
n
k=1
¡
n
•
[m + n is odd];
[m + n is even].
BI ((148))(3)a
2:
Z
1
1
ln x
ch mx
dx =
ch nx
•
¶
2n + 2k ¡ 1
¡
n
(2k ¡ 1)m¼
¼ ln 2¼
¼X
4n
k¡1
•
¶
(
¡
1)
cos
ln
=
+
m¼
2k ¡ 1
2n cos
n
2n
k=1
¡
2n
4n
•
¶
2n ¡ 2k + 1
n¡1
¡
2
¼X
(2k ¡ 1)m¼
¼ ln ¼
2n
k¡1
•
¶
+
(
¡
1)
cos
ln
=
m¼
2k ¡ 1
2n cos
n
2n
k=1
¡
2n
2n
[m + n is odd];
[m + n is even].
BI ((148))(6)a
4.373
1:
2:
Z
Z
¶
3
2ab + 3¼
1
ln(a2 + x2 )
¼6
2b 7
4¼
•
¶ ¡ ln 7
dx = 6
2 ln
4
2ab + ¼
ch bx
b
¼5
0
¡
4¼
2
1
0
ln(1 + x2 )
2¡
dx
4
¼x = 2 ln ¼ :
ch
2
•
h
b > 0;
a>¡
¼i
:
2b
BI ((258))(11)a
3:
•
¶
•
¶ •
¶
a+4
2
a+5
Z 1
¼x
6¡
¡
sh
¼
3
6
6
¶ •
¶
dx = 2 sin ln •
ln(a2 +x2 )
a
+
1
a
+
2
sh
¼x
3
0
¡
¡
6
6
[a > ¡1]:
BI ((258))(12)
611
4:
Z
1
ln(1 + x2 )
0
•
∙
¶¸
¼+a
dx
2
a
¼
¡
Ã
ln
+
=
a
¼
2a
¼
sh2 ax
[a > 0]:
BI ((258))(5)
5:
Z
1
0
¼
x
2 dx = 2¼ ¡ 4 :
ln(1 + x )
¼
¼
sh2 x
2
2
ch
BI ((258))(3)
6:
Z
1
0
¼
p
x
4 dx = 4p2 ¡ 16 + 8 2 ln(p2 + 1):
ln(1 + x )
¼
¼
¼
sh2 x
4
2
ch
BI ((258))(2)
4.374
1:
2:
Z
Z
1
ln(cos 2 t + e¡2x sin2 t)
0
dx
= ¡2t2 :
sh x
BI ((259))(10)a
1
¡2x
ln(a+be
0
dx
2
) 2 =
(b ¡ a)
ch x
∙
a+b
ln(a + b) ¡ a ln a ¡ b ln 2
2
¸
[a > 0;
a+b > 0]:
LI ((259))(14)
4.375
1:
Z
1
0
ln ch
x dx
¼
= G + ln 2:
2 ch x
4
2:
Z
1
ln cth x
0
dx
¼
= ln 2:
ch x
2
BI ((259))(16)
4.376
1:
Z
1
0
p
1
p X (¡1)k+1
ln x
p
fln(2k + 1) + 2 ln 2 + C g:
dx = 2 ¼
x ch x
2k + 1
k=0
BI ((147))(4)
2:
Z
1
0
1
X
(¹ + 1) ch x ¡ x sh x ¹
(¡1)k+1
ln x
x dx = 2¡(¹+1)
2
(2k + 1)¹+1
ch x
k=0
[Re ¹ > ¡1]:
BI ((356))(10)
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
0
1
(n + 1) ch x ¡ x sh x n
(¡1)n (n)
ln x
¯
x dx =
2
2n
ch x
ln 2x
0
1
ln x
0
• ¶
1
:
2
n sh 2ax ¡ ax 2n¡1
1 ³ ¼ ´2n
x
dx
=
¡
jB2n j
n a
sh2 ax
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((356))(9)a
ax ch ax ¡ (2n + 1) sh ax 2n
22n+1 ¡ 1
dx
=
2
(2n)!³(2n + 1):
x
(2a)2n+1
sh2 ax
BI ((356))(14)
6:
Z
1
ln x
0
³ ¼ ´2n
ax ch ax ¡ 2n sh ax 2n¡1
22n¡1 ¡ 1
jB2n j
x
dx =
2
2n
a
sh ax
[n = 1; 2; . . . ; a > 0]:
BI ((356))(15)
612
7:
Z
1
0
ln
³ ¼ ´2n+1
(2n + 1) ch ax ¡ ax sh ax 2n
dx
=
¡
jE2n j
x
2a
ch2 ax
[a > 0]:
BI ((356))(11)
BI ((356))(2)
9:6
Z
1
ln x
0
2ax ch ax ¡ (2n + 1) sh ax 2n
1 ³ ¼ ´2n
x dx =
jB2n j
3
a a
sh ax
[a > 0;
n = 1; 2; . . . ]:
BI ((356))(6)a
10:
Z
1
ln x
x sh x ¡ 6 sh2
³x´
¡ 6 cos 2
2
(ch x + cos t)2
0
t
2
2 x2 dx = (¼ ¡ t )t
3 sin t
[0 < t < ¼]:
BI ((356))(16)a
11:
12:
Z
Z
1
0
ln(1 + x2 )
ch ¼x + ¼x sh ¼x dx
= 4 ¡ ¼:
x2
ch2 ¼x
BI ((356))(12)
1
0
ln(1 + 4x2 )
ch ¼x + ¼x sh ¼x dx
= 4 ln 2:
x2
ch2 ¼x
BI ((356))(13)
4.377
Z
1
ln 2x
0
ax ¡ n(1 ¡ e¡2ax ) 2n¡1
1 ³ ¼ ´2n
dx
=
jB2n j
x
2n a
sh2 ax
[n = 1; 2; . . . ]:
LI ((356))(8)a
4.38- 4.41 Logarithms and trigonometric functions
4.381
1:
Z
1
0
1
ln x sin ax dx = ¡ [C
C + ln a ¡ ci(a)]
a
[a > 0]:
GW ((338))(2a)
2:
Z
1
0
ln x cos ax dx = ¡
¼i
1h
si(a) +
a
2
[a > 0]:
3:
Z
2¼
0
1
C + ln(2n¼) ¡ ci(2n¼)]:
ln x sin nx dx = ¡ [C
n
GW ((338))(1a)
4:
Z
2¼
ln x cos nx dx = ¡
0
¼i
1h
si(2n¼) +
:
n
2
GW ((338))(1b)
4.382
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¯
¯
¯x + a¯
¯
¯ sin bx dx = ¼ sin ab
ln ¯
x¡ a¯
b
[a < 0;
b > 0]:
ET I 77(11)
¯
¯
¯x + a¯
¯
¯ cos bx dx = 2 [cos ab si(ab)¡sin ab ci(ab)]
ln ¯
x¡ a¯
b
[a > 0;
b > 0]:
ET I 18(9)
613
3:
Z
1
ln
0
a2 + x2
¼
cos cx dx = (e¡bc ¡ e¡ac )
b2 + x2
c
[a > 0;
b > 0;
c > 0]:
FI III 648a, BI ((337))(5)
4:
Z
1
0
x2 + x + a2
2¼
ln 2
sin bx dx =
exp
x ¡ x + a2
b
Ã
¡b
r
1
a2 ¡
4
!
sin
b
2
[b > 0]:
ET I 77(12)
5:
Z
1
0
ln
(x + ¯)2 + ° 2
2¼ ¡°b
sin bx dx =
e
sin ¯b
(x ¡ ¯)2 + ° 2
b
[Re ° > 0;
j Im ¯ j ∙ Re °;
b > 0]:
ET I 77(13)
4.383
1:
Z
1
0
ln(1 + e¡¯x ) cos bx dx =
¯
¡
2b2
2b sh
¼
•
¼b
¯
¶
[Re ¯ > 0;
b > 0]:
2:
Z
1
0
ln(1 ¡ e¡¯x ) cos bx dx =
¯
¼
¡
cth
2b2
2b
•
¼b
¯
¶
[Re ¯ > 0;
b > 0]:
ET I 18(14)
4.384
1:
Z
1
ln(sin ¼x) sin 2n¼x dx = 0:
0
GW ((338))(3a)
2:7
Z
1
0
Z 12
ln(sin ¼x) sin(2n + 1)¼x dx = 2
ln(sin ¼x) sin(2n + 1)¼x dx =
0
"
#
n
X
2
1
1
=
¡2
ln 2 ¡
:
(2n + 1)¼
2n + 1
2k ¡ 1
k=1
3:6
Z
1
ln(sin ¼x) cos 2n¼x dx = = 2
0
Z
GW ((338))(3b)
1
2
ln(sin ¼x) cos 2n¼x dx =
0
= ¡ ln 2
[n = 0];
1
=¡
2n
[n > 0]:
GW ((338))(3c)
4:
Z
1
ln(sin ¼x) cos(2n + 1)¼x dx = 0:
0
GW ((338))(3d)
5:
Z
¼
2
0
ln sin x sin x dx = ln 2 ¡ 1:
BI ((305))(4)
6:
Z
¼
2
0
ln sin x cos x dx = ¡1:
BI ((305))(5)
614
7:
8:
9:
Z
Z
Z
¼
2
0
8
¼
<¡ ;
4n
ln sin x cos 2nx dx =
: ¡ ¼ ln 2;
2
¼
ln sin x cos[2m(x ¡ n)] dx = ¡
0
n>0
n = 0:
LI ((305))(6)
¼ cos 2mn
:
2m
LI ((330))(8)
¼
2
ln sin x sin2 x dx =
0
¼
(1 ¡ ln 4):
8
BI ((305))(7)
10:
Z
¼
2
0
¼
ln sin x cos 2 x dx = ¡ (1 + ln 4):
8
BI ((305))(8)
11:
Z
¼
2
ln sin x sin x cos 2 x dx =
0
1
(ln 8 ¡ 4):
9
BI ((305))(9)
12:
Z
¼
2
0
ln sin x tg x dx = ¡
¼2
:
24
BI ((305))(11)
13:
Z
¼
2
ln sin 2x sin x dx =
0
Z
¼
2
0
ln sin 2x cos x dx = 2(ln 2 ¡ 1):
BI ((305))(16, 17)
14:
Z
¼
0
ln(1 + p cos x)
dx = ¼ arcsin p
cos x
[p2 < 1]:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
¼
ln sin x
0
dx
¼
1 ¡ a2
=
ln
[a2 < 1];
2
2
1 ¡ 2a cos x + a
1¡a
2
¼
a2 ¡ 1
= 2
ln
[a2 > 1]:
a ¡1
2a2
¼
ln sin bx
0
¼
ln cos bx
0
¼
2
0
[a2 < 1]:
dx
¼
1 + a2b
=
ln
2
2
1 ¡ 2a cos x + a
1¡a
2
[a2 < 1]:
dx
1
ln sin x
=
2
1 ¡ 2a cos 2x + a
2
Z
BI ((331))(10)
BI ((331))(11)
¼
dx
=
1 ¡ 2a cos 2x + a2
0
¼
1¡a
=
ln
[a2 < 1];
2(1 ¡ a2 )
2
¼
a¡1
=
ln
[a2 > 1]:
2
2(a ¡ 1)
2a
¼
ln sin bx
0
¼
ln cos bx
0
dx
¼
1 ¡ a2b
=
ln
1 ¡ 2a cos x + a2
1 ¡ a2
2
ln sin x
dx
¼
1 ¡ ab
=
ln
1 ¡ 2a cos 2x + a2
1 ¡ a2
2
[a2 < 1]:
dx
¼
1 + ab
=
ln
2
2
1 ¡ 2a cos 2x + a
1¡a
2
[a2 < 1]:
Z
¼
2
0
BI ((321))(1), BI ((331))(13)
BI ((331))(18)
615
21:
BI ((331))(8)
ln cos x dx
¼
1+p
=
ln
[p2 < 1];
1 ¡ 2p cos 2x + p2
2(1 ¡ p2 )
2
¼
p+1
=
ln
[p2 > 1]:
2
2(p ¡ 1)
2p
BI ((331))(21)
22:
Z
¼
ln sin x
0
cos x dx
¼ 1 + a2
a¼ ln 2
=
ln(1 ¡ a2 ) ¡
2
1 ¡ 2a cos x + a
2a 1 ¡ a2
1 ¡ a2
¼ a2 + 1 a2 ¡ 1
¼ ln 2
=
ln
¡
2a a2 ¡ 1
a2
a(a2 ¡ 1)
[a2 < 1]
[a2 > 1]:
LI ((331))(9)
23:
Z
¼
ln sin bx
0
cos x dx
=
1 ¡ 2a cos 2x + a2
Z
¼
ln cos bx
0
cos x dx
=0
1 ¡ 2a cos 2x + a2
[0 < a < 1]:
BI ((331))(19, 22)
24:
25:
26:
Z
Z
Z
¼
ln sin x
0
¼
2
0
¼
2
0
cos 2 x dx
¼ 1+a
¼ ln 2
=
ln(1 ¡ a) ¡
1 ¡ 2a cos 2x + a2
4a 1 ¡ a
2(1 ¡ a)
¼ a+1 a¡1
¼ ln 2
¡
=
ln
4a a ¡ 1
a
2a(a ¡ 1)
cos 2x dx
1
ln sin x
=
1 ¡ 2a cos 2x + a2
2
Z
[0 < a < 1];
[a > 1]:
BI ((331))(16)
¼
cos 2x dx
ln sin x
=
1
¡
2a
cos 2x + a2
0
¾
½
¼
1 + a2
2
=
[a2 < 1];
ln(1 ¡ a) ¡ a ln 2
2a(1 ¡ a2 )
2
½
¾
¼
a¡1
1 + a2
=
ln
¡ ln 2
[a2 > 1]:
2a(a2 ¡ 1)
2
a
=
BI ((321))(2), BI ((331))(15), LI ((321))(2)
½
¾
cos 2x dx
¼
1 + a2
2
ln cos x
=
ln(1 + a) ¡ a ln 2
[a2 < 1]
1 ¡ 2a cos 2x + a2
2a(1 ¡ a2 )
2
½
¾
¼
1+a
1 + a2
=
ln
¡ ln 2
[a2 > 1]:
2a(a2 ¡ 1)
2
a
BI ((321))(9)
4.385
1:
2:
Z
Z
¼
0
¼
2
0
p
dx
¼
a2 ¡ b2
p
ln sin x
= p
ln
2
2
a + b cos x
a ¡b
a + a2 ¡ b2
dx
ln sin x
=
(a sin x § b cos x)2
Z
[a > 0;
a > b]:
BI ((331))(6)
¼
2
dx
ln cos x
=
(a
cos
x
§
b sin x)2
0
•
¶
1
a b¼
=
¨a ln ¡
[a > 0;
b(a2 + b2 )
b
2
b > 0]:
616
3:
Z
¼
2
0
ln sin x dx
=
a2 sin2 x + b2 cos 2 x
Z
¼
2
0
ln cos x dx
¼
b
ln
=
2ab a + b
b2 sin2 x + a2 cos 2 x
[a > 0;
b > 0]:
BI ((317))(4, 10)
4:
Z
¼
2
sin 2x dx
=
(a sin x + b cos2 x)2
sin 2x dx
1
a
ln
ln cos x
=
2b(b ¡ a)
b
(b sin2 x + a cos2 x)2
ln sin x
0
=
Z
¼
2
0
2
[a > 0;
b > 0]:
BI ((319))(3, 7), LI ((319))(3)
5:
Z
¼
2
a2 sin2 x ¡ b2 cos2 x
dx =
(a2 sin2 x + b2 cos 2 x)2
a2 cos2 x ¡ b2 sin2 x
¼
ln cos x 2
dx =
2b(a + b)
(a cos 2 x + b2 sin2 x)2
ln sin x
0
=
Z
¼
2
0
[a > 0;
b > 0]:
LI ((319))(2, 8)
4.386
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
¼
2
0
¼
2
0
ln sin x p
sin x
2
1 + sin x
¼
2
0
cos x ln cos x
¼
p
dx = ¡ ln 2:
2
8
1 + cos x
BI ((322))(1, 6)
sin3 x ln sin x
p
dx =
1 + sin2 x
ln sin x p
dx =
Z
Z
¼
2
0
cos 3 x ln cos x
ln 2 ¡ 1
p
dx =
:
2
4
1 + cos x
BI ((322))(2, 7)
dx
1
¼
= ¡ K (k) ln k ¡ K (k0 ):
2
4
1 ¡ k 2 sin x
2
ln cos x dx
1
k0
¼
p
¡ K (k 0 ):
= K (k) ln
2
2
k
4
1 ¡ k 2 sin x
BI ((322))(3)
1:
Z
¼
2
¹
º
¼
2
ln cos x cos ¹ x sinº x dx =
•
•
¶∙ •
¶
¶¸
¹+º+2
¹+1 º+1
¹+1
1
¡Ã
;
Ã
= B
4
2
2
2
2
=
[Re ¹ > ¡1; Re º > ¡1]:
ln sin x sin x cos x dx =
0
Z
0
GW ((338))(6c)
2:
Z
¼
2
ln sin x sin
¹¡1
0
¡ ¢∙ ³ ´
•
¶¸
¼¡ ¹2
¹+1
¹
¡
¢ Ã
¡Ã
x dx =
2
2
4¡ ¹+1
2
p
[Re ¹ > 0]:
GW ((338))(6a)
617
3:
Z
¼
2
0
³º ´
∙ ³ ´
•
¶¸
¼¡
º
º+1
º¡1
2
•
¶ Ã
ln sin x cos
x dx =
¡Ã
º+1
2
2
4¡
2
p
[Re º > 0]:
GW ((338))(6b)
4:
Z
¼
2
ln sin x sin
2n
0
(2n ¡ 1)!! ¼
x dx =
(2n)!! 2
( 2n
X (¡1)k+1
k=1
k
¡ ln 2
)
:
FI II 811
5:
Z
¼
2
ln sin x sin
2n+1
0
(2n)!!
x dx =
(2n + 1)!!
(2n+1
X (¡1)k
k=1
k
+ ln 2
)
:
BI ((305))(13)
6:
Z
¼
2
ln sin x cos
0
2n
#
" n
(2n ¡ 1)!! ¼ X 1
x dx = ¡
+ ln 4 =
(2n)!! 4
k
k=1
(2n ¡ 1)!! ¼
=¡
[C
C + Ã(n + 1) + ln 4]:
(2n)!! 4
BI ((305))(14)
7:
Z
n
¼
2
ln sin x cos
0
2n+1
(2n)!! X 1
x dx = ¡
=
(2n + 1)!!
2k + 1
k=0
∙ •
¶
• ¶¸
3
(2n)!!
1
= ¡
à n+
¡Ã
:
2(2n + 1)!!
2
2
8:
9:
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
ln cos x sin2n x dx = ¡
(2n ¡ 1)!! ¼
fC + 2 ln 2 + Ã(n + 1)g:
2n+1 ¢ n! 2
(2n ¡ 1)!! ¼
ln cos x cos 2n x dx = ¡
2n n! 2
(
ln 2 +
2n
X
(¡1)k
k
k=1
)
BI ((306))(8)
:
BI ((306))(10)
10:
Z
¼
2
0
"
#
2n¡1
n¡1
X (¡1)k
2
(n
¡
1)!
ln cos x cos2n¡1 x dx =
ln 2 +
:
(2n ¡ 1)!!
k
k=1
BI ((306))(9)
4.388
1:
Z
¼
4
0
sin2n x
1
ln sin x 2n+2 dx =
cos
x
2n + 1
"
n¡1
1
¼ X (¡1)k
ln 2 + (¡1)n +
2
4
2n ¡ 2k ¡ 1
k=0
#
:
BI ((288))(1)
2:
Z
¼
4
0
"
#
n¡1
X (¡1)k
1
sin2n¡1 x
n
ln sin x 2n+1 dx =
¡ ln 2 + (¡1) ln 2 +
:
cos
x
4n
n¡k
k=1
LI ((288))(2)
3:
Z
¼
4
0
"
#
n
X
sin2n x
1
(¡1)k¡1
1
n+1 ¼
ln cos x 2n+2 dx =
+
¡ ln 2 + (¡1)
:
cos
x
2n + 1
2
4
2n ¡ 2k + 1
k=0
BI ((288))(10)
618
4:
Z
¼
4
0
"
#
n¡1
X (¡1)k
sin2n¡1 x
1
ln cos x 2n+1 dx =
¡ ln 2 + (¡1)n ln 2 +
:
cos
x
4n
n¡k
k=0
BI ((288))(11)
BI ((310))(4)
Z
6:
¼
2
ln sin x
0
dx
1 ¼
p¼
=
sec
4p¡1
2
tg p¡1 x sin 2x
[p2 < 1]:
BI ((310))(3)
4.389
Z
1:
¼
ln sin x sin2n 2x cos 2x dx = ¡
0
(2n ¡ 1)!! ¼
:
(2n)!! 4n + 2
BI ((330))(9)
Z
2:
¼
4
0
ln sin x cos n 2x sin 2x dx = ¡
1
fC + Ã(n + 2) + ln 2g:
4(n + 1)
BI ((285))(2)
Z
3:
¼
4
ln cos x cos¹¡1 2x tg 2x dx =
0
1
¯(¹)
4(1 ¡ ¹)
[Re ¹ > 0]:
BI ((286))(2)
Z
4:
¼
2
ln sin x sin¹¡1 x cos x dx =
0
Z
¼
2
0
ln cos x cos ¹¡1 x sin x dx = ¡
1
¹2
[Re ¹ > 0]:
BI ((306))(11)
5:
3
6:
Z
Z
¼
2
¡¼
2
¼
2
0
ln cos x cos p x cos px dx =
¼
2p+1
[C
C + Ã(p + 1) ¡ 2 ln 2]
ln cos x cosp¡1 x sin px sin x dx =
¼
2p+2
∙
C + Ã(p) ¡
[p > ¡1]:
1
¡ 2 ln 2
p
¸
[p > 0]:
BI ((306))(12)
4.391
1:
Z
¼
4
0
(ln cos 2x)n cos p¡1 2x tg x dx =
Z ¼4
³¼
´
1
¡ x dx = ¯ (n) (p)
=
(ln sin 2x)n sinp¡1 2x tg
4
2
0
[p > 0]:
2:
Z
¼
4
(ln sin 2x)n sinp¡1 2x tg
0
³¼
´
(¡1)n n!
+ x dx =
³(n + 1; p):
4
2
BI ((285))(17)
619
3:
Z
¼
4
(ln cos 2x)2n¡1 tg x dx =
0
1 ¡ 22n¡1 2n
¼ jB2n j
4n
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((286))(7)
4:
Z
¼
4
(ln cos 2x)2n tg x dx =
0
22n ¡ 1
(2n)!³(2n + 1):
22n+1
BI ((286))(8)
4.392
1:
Z
¼
4
0
"
#
n¡1
X (¡1)k¡1
1
1
sin2n x
n+1 ¼
ln(sin x cos x) 2n+2 dx =
¡ ln 2 +
+2
(¡1)
:
cos
x
2n + 1
2
2n + 1
2n ¡ 2k ¡ 1
k=0
BI ((294))(8)
2:
Z
¼
4
0
"
#
n¡1
X (¡1)k
1
sin2n¡1 x
1
ln(sin x cos x) 2n+1 dx =
+ (¡1)n
(¡1)n ln 2 ¡ ln 2 +
:
cos
x
2n
2n
k
k=1
BI ((294))(9)
4.393
1:
Z
¼
2
ln tg x sin x dx = ln 2:
0
BI ((307))(3)
2:
Z
¼
2
0
ln tg x cos x dx = ¡ ln 2:
BI ((307))(4)
BI ((307))(5, \, 6)
4:
5:
Z
Z
¼
4
0
ln tg x
¼2
dx = ¡ :
cos 2x
8
GW ((338))(10b)a
¼
2
sin x ln ctg
0
x
dx = ln 2:
2
LO III 290
4.394
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
ln tg x dx
1¡a
¼
=
ln
[a2 < 1];
1 ¡ 2a cos 2x + a2
2(1 ¡ a2 )
1+a
¼
a¡1
=
ln
[a2 > 1]:
2
2(a ¡ 1)
a+1
ln tg x cos 2x dx
¼ 1 + a2
1¡a
=
ln
[a2 < 1];
1 ¡ 2a cos 2x + a2
4a 1 ¡ a2
1+a
¼ a2 + 1 a ¡ 1
=
ln
[a2 > 1]:
4a a2 ¡ 1 a + 1
BI ((321))(15)
BI ((321))(16)
620
3:
4:
5:
Z
Z
Z
¼
0
¼
0
ln tg bx dx
¼
1 ¡ ab
=
ln
1 ¡ 2a cos 2x + a2
1 ¡ a2
1 + ab
ln tg bx cos x dx
=0
1 ¡ 2a cos 2x + a2
¼
4
ln tg x
0
[0 < a < 1;
b > 0]:
BI ((331))(24)
[0 < a < 1]:
cos 2x dx
arcsin a
=¡
(¼ + arcsin a)
1 ¡ a sin 2x
4a
BI ((331))(25)
[a2 ∙ 1]:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
¼
4
ln tg x
0
¼
4
ln tg x
0
u
cos 2x dx
¼
arcsin a
=¡
4a
1 ¡ a2 sin2 2x
BI ((291))(9)
p
cos 2x dx
¼
¼
Arsh
a
=
¡
ln(a+
1 + a2 )
=
¡
4a
4a
1 + a2 sin2 x
x
2
2
sin x ln ctg
1 ¡ cos 2 ® sin x
0
[a2 < 1]:
dx = cosec 2®
n¼
[a2 < 1]:
BI ((291))(10)
ln 2 + L(' ¡ ®) ¡ L(' + ®) ¡ L
2
[tg ' = ctg ® cos u;
0 < u < ¼]:
³¼
2
¡ 2®
´o
LO III 290
9:
Z
¼
4
0
h ³¼
´ ³¼
´
i
ln tg x sin 2x dx
=
cosec
2t
L
¡
t
¡
¡
t
ln
2
:
2
2
1 ¡ cos 2 t sin2 2x
LO III 290a
4.395
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
¼
4
u
p
ln tg x dx
1¡
k2
2
sin x
= ¡ ln k0 K (k):
BI ((322))(11)
p
ln tg x sin 4x dx
¼ cos 2 À
sin À + 1 ¡ cos 2 u cos2 À
p
=¡
ln
2 sin u sin À
sin u(1 + sin À)
(sin2 u + tg 2 À sin2 2x) sin2 2x ¡ sin2 u
h
¼
¼i
0<u< ; 0<À<
:
2
2
LO III 285a
4.396
1:
Z
¼
2
0
n ³ a ´o2
¡
2
ln(a tg x) sin¹¡1 2x dx = 2¹¡2 ln a
¡(a)
[a > 0;
Re ¹ > 0]
LI ((307))(8)
BI ((307))(9)
3:
Z
¼
2
0
¼
ln tg x cos q¡1 x ctg x sin[(q + 1)x] dx = ¡ [C
C + Ã(q + 1)]
2
[q > ¡1]:
BI ((307))(11)
621
4:
Z
¼
2
0
ln tg x cos q¡1 x cos[(q + 1)x] dx = ¡
¼
2q
[q > 0]:
BI ((307))(10)
5:
Z
¼
4
(ln tg x)n tg p x dx =
0
1
2
B (n)
n+1
•
p+1
2
¶
[p > ¡1]:
LI ((286))(22)
6:
7:
Z
Z
¼
2
(ln tg x)2n¡1
0
dx
1 ¡ 22n 2n
=
¼ jB2n j
cos 2x
2n
[n = 1; 2; . . . ]:
BI ((312))(6)
¼
4
ln tg x tg
0
2n+1
(¡1)n+1
x dx =
4
"
n
¼ 2 X (¡1)k
+
12
k2
k=1
#
:
GW ((338))(8a)
4.397
1:
2:
3:
Z
Z
Z
¼
2
ln(1 + p sin x)
0
dx
¼2
1
¡ (arccos p2 )
=
sin x
8
2
[p2 < 1]:
BI ((313))(1)
¼
2
ln(1 + p cos x)
0
dx
¼2
1
¡ (arccos p)2
=
cos x
8
2
[p2 < 1]:
BI ((313))(8)
¼
ln(1 + p cos x)
0
dx
= ¼ arcsin p
cos x
[p2 < 1]:
BI ((331))(1)
4:
5:
6:
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
¼
L
cos x ln(1 + cos ® cos x)
dx =
2
2
1 ¡ cos ® cos x
¡¼
L
cos x ln(1 ¡ cos ® cos x)
dx =
1 ¡ cos 2 ® cos 2 x
¡¼
1
ln(1¡2a cos x+a ) cos nx dx =
2
2
0
2
Z
2
¢
¡ ® ¡ ® ln sin ®
sin ® cos ®
h
0<®<
¢
¡ ® + (¼ ¡ ®) ln sin ®
sin ® cos ®
h
¼i
:
2
LO III 291
0<®<
¼i
:
2
LO III 291
2¼
0
ln(1 ¡ 2a cos x + a2 ) cos nx dx =
¼ n
a
n
¼
= ¡ n
na
= ¡
[a2 < 1];
[a2 > 1]:
GW ((338))(13a)
BI ((330))(11), BI ((332))(5)
7:
Z
¼
ln(1 ¡ 2a cos x + a2 ) sin nx sin x dx =
•
¶
Z
an¡1
¼ an+1
1 2¼
2
ln(1 ¡ 2a cos x + a ) sin nx sin x dx =
¡
=
2 0
2 n+1
n¡1
[a2 > 1]:
0
BI ((330))(10), BI ((332))(4)
622
8:
Z
¼
0
ln(1 ¡ 2a cos x + a2 ) sin nx sin x dx =
•
¶
Z
1 2¼
an¡1
¼ an+1
=
ln(1 ¡ 2a cos x + a2 ) cos nx cos x dx = ¡
+
2 0
2 n+1
n¡1
[a2 < 1]:
BI ((330))(12), BI ((332))(6)
9:
Z
¼
0
ln(1 ¡ 2a cos 2x + a2 ) cos(2n ¡ 1)x dx = 0
[a2 < 1]:
BI ((330))(15)
BI ((330))(13)
11:
Z
¼
¼
ln(1¡2a cos 2x+a ) sin(2n¡1) x sin x dx =
2
2
0
•
an
an¡1
¡
n
n¡1
¶
[a2 < 1]:
BI ((330))(14)
12:
13:
Z
Z
¼
ln(1 ¡ 2a cos 2x + a2 ) cos 2nx cos x dx = 0
0
[a2 < 1]:
BI ((330))(16)
¼
¼
ln(1¡2a cos 2x+a ) cos(2n¡1) x cos x dx = ¡
2
2
0
•
an
an¡1
+
n
n¡1
¶
[a2 < 1]:
BI ((330))(17)
14:
Z
¼
2
0
a¼
4
ln(1 + 2a cos 2x + a2 ) sin2 x dx = ¡
=
[a2 < 1];
¼ ln a2
¼
¡
4
4a
[a2 > 1]:
BI ((309))(22), LI ((309))(22)
15:
Z
¼
2
ln(1 + 2a cos 2x + a2 ) cos 2 x dx =
0
a¼
4
[a2 < 1];
=
¼ ln a2
¼
+
4
4a
[a2 > 1]:
BI ((309))(23), LI ((309))(23)
16:
Z
¼
0
ln(1 ¡ 2a cos x + a2 )
2¼ ln(1 ¡ ab)
dx =
1 ¡ 2b cos x + b2
1 ¡ b2
[a2 ∙ 1;
b2 < 1]:
BI ((331))(26)
4.398
1:
Z
¼
ln
0
2n+1
1 + 2a cos x + a2
n 2¼a
sin(2n
+
1)x
dx
=
(
¡
1)
1 ¡ 2a cos x + a2
2n + 1
[a2 < 1]:
2:
Z
2¼
0
¶
n m
am
n
a ¡
[a2 ∙ 1];
m
m
•
¶
n ¡m
a¡m
n
a
¡
[a2 ¸ 1]:
= 2¼
m
m
1 ¡ 2a cos x + a2
ln
cos mx dx = 2¼
1 ¡ 2a cos nx + a2
•
BI ((332))(9)
3:
Z
¼
ln
0
1 + 2a cos 2x + a2
ctg x dx = 0:
1 + 2a cos 2nx + a2
BI ((331))(5), LI((331))(5)
623
4.399
1:
Z
¼
2
ln(1+a sin2 x) sin2 x dx =
0
¼
2
•
ln
1+
p
p
¶
1+a
11¡ 1+a
p
¡
2
21+ 1+a
[a > ¡1]:
BI ((309))(14)
2:
Z
¼
2
0
¼
ln(1+a sin x) cos x dx =
2
2
2
•
ln
1+
p
p
¶
1+a
11¡ 1+a
p
+
2
21+ 1+a
[a > ¡1]:
BI ((309))(15)
3:
Z
¼
2
0
h
ln(1 ¡ cos 2 ¯ cos 2 x)
¼
1 + sin ®
dx = ¡
ln
1 ¡ cos 2 ® cos 2 x
sin ® sin ® + sin ¯
0<¯<
¼
;
2
0<®<
¼i
:
2
LO III 285
4.411
1:
2:
Z
Z
¼
ln
0
1 + sin x
dx
= ¸2
1 + cos ¸ sin x sin x
[¸2 < ¼ 2 ]:
BI ((331))(2)
¼
2
ln
0
p + q sin ax dx
=
p ¡ q sin ax sin ax
Z
¼
2
ln
0
p + q cos ax dx
=
p ¡ q cos ax cos ax
Z
¼
2
p + q tg ax dx
q
= ¼ arcsin
p ¡ q tg ax tg ax
p
[p > q > 0]:
ln
0
FI II 695a, BI ((315))(5, 13,17)a
LO III 284
4.412
1:
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
Z
¼
4
ln tg
0
¼
4
ln tg
0
¼
4
ln tg
0
¼
4
ln tg
0
¼
4
ln tg
0
³¼
4
´
§x
dx
¼2
=§ :
sin 2x
8
BI ((293))(1)
´ dx
¼2
§x
=§ :
4
tg 2x
16
³¼
BI ((293))(2)
³¼
´
dx
22n+2 ¡ 1
§ x (ln tg x)2n
=§
¼ 2n+2 jB2n+2 j:
4
sin 2x
4(n + 1)(2n + 1)
³¼
´
dx
1 ¡ 22n+1
§ x (ln tg x)2n¡1
= § 2n+2 (2n)!³(2n + 1):
4
sin 2x
2
n
³¼
´
dx
(¡1)n¡1
§ x (ln sin 2x)n¡1
=
(n ¡ 1)!³(n + 1):
4
tg 2x
2
BI ((294))(24)
BI ((294))(25)
LI ((294))(20)
624
4.413
1:
Z
¼
2
0
ln(p2 + q2 tg 2 x)
a2
dx
¼
ap + bq
=
ln
2
2
ab
a
sin x + b cos x
[a > 0; b > 0; p > 0;
2
q > 0]:
BI ((318))(1--4)a
2:
Z
¼
2
0
1
dx
ln(1 + q2 tg 2 x) 2 2
=
2
2
2
2
p sin x + r cos x s sin x + t2 cos 2 x
½ 2
•
¶
•
¶¾
¼
qr
t2 ¡ s2
qt
p ¡ r2
= 2 2
ln 1 +
+
ln 1 +
p t ¡ s2 r 2
pr
p
st
s
[q > 0; p > 0; r > 0; s > 0; t > 0]:
3:
Z
¼
2
sin2 x
dx
ln(1 + q2 tg 2 x) 2 2
=
2
2
2
2
t2 cos 2 x
• x + r¶ cos x s• sin x +
¶¾
½ p sin
r
¼
qt
qr
t
¡ ln 1 +
= 2 2
ln 1 +
2
2
p t ¡s r
s
s
p
p
[q > 0; p > 0; r > 0; s > 0; t > 0]:
0
BI ((320))(20)
4:
Z
¼
2
cos 2 x
dx
ln(1 + q2 tg 2 x) 2 2
=
2
2
2
2
t2 cos 2 x
• x + r ¶cos x s• sin x +
¶¾
½ p sin
s
¼
qr
qt
p
¡ ln 1 +
= 2 2
ln 1 +
p t ¡ s2 r 2 r
p
t
s
[q > 0; p > 0; r > 0; s > 0; t > 0]:
0
BI ((320))(21)
5:
Z
¼
0
ln tg rx dx
¼
1 ¡ p2r
=
ln
1 ¡ 2p cos x + p2
1 ¡ p2
1 + p2r
[p2 < 1]:
BI ((331))(12)
4.414
1:
2:
3:
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
¼
2
0
ln(1 ¡ k2 sin2 x) p
ln(1¡k 2 sin2 x) p
ln(1¡k 2 sin2 x) p
dx
1¡
k2
2
sin x
= ln k 0 K (k):
BI ((323))(1)
sin2 x dx
1 ¡ k2 sin2 x
=
1
f(k2 ¡2+ln k 0 )K
K(k)+(2¡ln k 0 )E
E(k)g:
k2
BI ((323))(3)
cos 2 x dx
1¡
k2
2
sin x
=
1
[(1+k02 ¡k 02 ln k 0 )K
K(k)¡(2¡ln k0 )E
E(k)]:
k2
BI ((323))(6)
625
4:
Z
¼
2
0
ln(1¡k 2 sin2 x) q
dx
(1 ¡ k2 sin2 x)3
=
1
[(k 2 ¡2)K
K(k)+(2+ln k 0 )E
E(k)]:
k 02
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
¼
2
0
¼
2
0
ln(1¡k 2 sin2 x) q
ln(1¡k 2 sin2 x) q
sin2 x dx
(1 ¡
k2
sin
2
=
x)3
1
k 2 k 02
[(2+ln k 0 )E
E(k)¡(1+k 02 +k02 ln k 0 )K
K(k)]:
BI ((323))(10)
cos 2 x dx
=
(1 ¡ k2 sin2 x)3
1
[(1+k02 +ln k 0 )K
K(k)¡(2+ln k 0 )E
E(k)]:
k2
BI ((323))(16)
p
ln(1 ¡ k2 sin2 x) 1 ¡ k2 sin2 x dx = (1 + k02 )K
K(k) ¡ (2 ¡ ln k 0 )E
E(k):
BI ((324))(18)
p
1 n
ln(1¡k 2 sin2 x) sin2 x 1 ¡ k 2 sin2 x dx = 2 (¡2+11k 2 ¡6k 4 +3k 02 ln k0 )K
K(k)+
9k
o
E(k) :
+ [2 ¡ 10k2 ¡ 3(1 ¡ 2k 2 ) ln k 0 ]E
BI ((324))(20)
9:
Z
¼
2
0
p
1 n
ln(1¡k 2 sin2 x) cos 2 x 1 ¡ k 2 sin2 x dx = 2 (2 + 7k 2 ¡ 3k 4 ¡ 3k02 ln k0 )K
K(k) ¡
9k
o
¡ [2 + 8k2 ¡ 3(1 + k 2 ) ln k 0 ]E
E(k) :
BI ((324))(21), LI ((324))(21)
10:
Z
¼
2
0
ln(1¡k 2 sin2 x) q
sin x cos x dx
(1 ¡ k 2 sin2 x)2n+1
=
2
f[1+(2n¡1) ln k 0 ]k01¡2n ¡1g:
(2n ¡ 1)2 k 2
BI ((324))(17)
4.415
1:
Z
1
0
ln x sin ax2 dx = ¡
1
4
r
¼ ³
¼´
ln 4a + C ¡
2a
2
[a > 0]:
GW ((338))(19)
GW ((338))(19)
4.416
Z
1:
¼
2
0
³
´
p
cos x ln 1 + sin2 ¯ ¡ cos 2 ¯ tg 2 ® sin2 x
dx =
1 ¡ sin2 ® cos2 x
= cosec 2®f(2® + 2° ¡ ¼) ln cos ¯ + 2L(®) ¡ 2L(°) + L(® + °) ¡ L(® ¡ °)g
¸
∙
¼
sin ®
; 0<®<¯<
:
cos ° =
sin ¯
2
LO III 291
626
Z
2:
¼
2
0
³
´
p
cos x ln 1 ¡ sin2 ¯ ¡ cos 2 ¯ tg 2 ® sin2 x
dx =
1 ¡ sin2 ® cos2 x
= cosec 2®f(¼ + 2® ¡ 2°) ln cos ¯ + 2L(®) + 2L(°) ¡ L(® + °) + L(® ¡ °)g
∙
¸
sin ®
¼
cos ° =
; 0<®<¯<
:
sin ¯
2
LO III 291
Z
3:
4:
7
Z
p
ln(sin x + sin2 x ¡ sin2 ¯)
dx =
1 ¡ cos 2 ® cos 2 x
¯
(
)
¶
•
1 + sin ®
¼
tg ¯
p
= ¡ cosec ® arctg
ln sin ¯ + ln
sin ®
2
sin ® + 1 ¡ cos2 ® cos 2 ¯
h
¼i
0 < ® < ¼; 0 < ¯ <
:
2
¼
2
¼
4
ln tg x(ln cos 2x)n¡1 tg 2x dx =
0
LO III 285
1
(¡1)n (n ¡ 1)!(1 ¡ 2¡(n+1) )³(n + 1)
2
4.42- 4.43 Combinations of logarithms, trigonometric functions, and powers
4.421
1:
Z
1
0
ln x sin ax
dx
¼
= ¡ (C
C + ln a)
x
2
[a > 0]:
FI II 810a
ET I 76(5), NT 27(10)a
3:
Z
1
ln ax cos bx
0
0
0
0
¯ 0 dx
¼
¼
= e¡b¯ ln(a¯ 0 )+ [eb¯ Ei(¡b¯ 0 )¡e¡b¯ Ei(b¯ 0 )]
2
2
¯ +x
2
4
[¯ 0 = ¯ sign ¯; a > 0; b > 0]:
ET I 17(3), NT 27(11)a
4:
Z
1
ln ax sin bx
0
x dx
¼
= f¡ si(bc) sin bc + cos bc[ln ac ¡ ci(bc)]g
x2 ¡ c2
2
[a > 0; b > 0; c > 0]:
BI ((422))(5)
5:
Z
1
ln ax cos bx
0
dx
¼
= fsin bc[ci(bc) ¡ ln ac] ¡ cos bc si(bc)g
x2 ¡ c2
2c
[a > 0; b > 0; c > 0]:
BI ((422))(6)
627
4.422
1:
Z
1
ln x sin ax x¹¡1 dx =
0
¼
¹¼ i
¡(¹)
¹¼ h
sin
Ã(¹)
¡
ln
a
+
ctg
a¹
2
2
2
[a > 0;
j Re ¹j < 1]:
BI ((411))(5)
2:
Z
1
ln x cos ax x¹¡1 dx =
0
¡(¹)
¹¼ h
¹¼ i
¼
cos
Ã(¹)
¡
ln
a
¡
tg
a¹
2
2
2
[a > 0;
0 < Re ¹ < 1]:
BI ((411))(6)
4.423
1:
Z
1
0
cos ax ¡ cos bx
a
ln x
dx = ln
x
b
•
1
C + ln ab
2
¶
[a > 0;
b > 0]:
GW ((338))(21a)
2:
Z
1
0
ln x
cos ax ¡ cos bx
¼
dx = [(a¡b)(C
C¡1)+a ln a¡b ln b]
2
x
2
[a > 0;
b > 0]:
3:
Z
1
ln x
0
sin2 ax
a¼
dx = ¡ (C
C + ln 2a ¡ 1)
x2
2
[a > 0]:
GW ((338))(20b)
4.424
1:
Z
1
(ln x)2 sin ax
0
dx
¼3
¼
¼
= C2 +
+ ¼C
C ln a + (ln a)2
x
2
24
2
[a > 0]:
ET I 77(9), FI II 810a
2:6
Z
1
(ln x)2 sin ax x¹¡1 dx =
0
¡(¹)
¹¼ h 0
¹¼
¡ 2Ã(¹) ln a ¡
sin
à (¹) + à 2 (¹) + ¼Ã(¹) ctg
¹
a
2
2
¸
¹¼
1
¡ ¼ ln a ctg
+ (ln a)2 ¡ ¼ 2
[a > 0; 0 < Re ¹ < 1]:
2
4
ET I 77(10)
4.425
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
1
ln(1 + x) cos ax
0
dx
1
= f[si(a)]2 + [ci(a)]2 g
x
2
[a > 0]:
ET I 18(8)
1
0
1
0
ln
•
b+x
b¡x
¶2
cos ax
ln(1 + b2 x2 ) sin ax
dx
= ¡2¼ si(ab)
x
b > 0]:
ET I 18(11)
³ a´
dx
= ¡¼ Ei ¡
x
b
1
0
[a ¸ 0;
ln(1 ¡ x2 ) cos(p ln x)
[a > 0;
b > 0]:
GW ((338))(24), ET I 77(14)
dx
1
¼
p¼
= 2 +
cth
:
x
2p
2p
2
LI ((309))(1)a
628
4.426
1:
Z
1
ln
0
b2 + x2
¼
sin ax x dx = 2 [(1+ac)e¡ac ¡(1+ab)e¡ab ]
c2 + x2
a
[b ¸ 0;
c ¸ 0;
a > 0]:
GW ((338))(23)
2:
Z
1
0
ln
³ ap ´i
h ³ ap ´
b2 x2 + p2
dx
¡
¡
¡
Ei
sin
ax
=
¼
Ei
c2 x2 + p2
x
c
b
[b > 0;
c > 0;
p > 0;
a > 0]:
ET I 77(15)
4.427
Z
1
ln(x +
0
p
sin ax
¼
¼
¯ 2 + x2 ) p
dx = K0 (a¯) + ln(¯)[I0 (a¯) ¡ L(a¯)]
2
2
2
2
¯ +x
[Re ¯ > 0; a > 0]:
ET I 77(16)
4.428
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
ln cos 2 ax
0
cos bx
dx = ¼b ln 2 ¡ a¼
x2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 22(29)
1
ln(4 cos 2 ax)
0
1
ln cos 2 ax
0
cos bx
¼
dx = ch(bc) ln(1+e¡2ac )
2
2
x +c
c
h
a < b < 2a <
sin bx
dx = ¼ ln(1+e¡2a ) sh b¡¼ ln 2(1¡e¡b )
x(1 + x2 )
¼i
:
c
[a > 0;
ET I 22(30)
b > 0]:
ET I 82(36)
4:
Z
1
0
ln cos 2 ax
cos bx
dx = ¡¼ ln(1+e¡2a ) ch b+(b+e¡b )¼ ln 2¡a¼
x2 (1 + x2 )
[a > 0;
b > 0]:
ET I 22(31)
4.429
Z
1
0
(1 + x)x
¼
sin(ln x) dx = :
ln x
4
BI ((326))(2)a
4.431
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
ln(2§2 cos x)
sin bx
x dx = ¡ ¼ sh(bc) ln(1§e¡c )
x2 + c2
[b > 0;
c > 0]:
ET I 22(32)
1
0
ln(2 § 2 cos x)
cos bx
¼
dx =
ch(bc) ln(1 § e¡c )
2
2
x +c
c
[b > 0;
c > 0]:
ET I 22(32)
1
[b]
ln(1+2a cos x+a2 )
0
sin bx
¼ X (¡a)k
dx = ¡
[1+sign(b¡k)]
x
2
k
[0 < a < 1;
b > 0]:
k=1
ET I 82(25)
4:
Z
1
0
[b]
ln(1¡2a cos x+a2 )
cos bx
¼
¼ X ak
dx = ln(1¡ae¡c ) ch(bc)+
sh[c(b¡k)]
2
2
x +c
c
c
k
k=1
[jaj < 1;
b > 0;
c > 0]:
ET I 22(33)
629
4.432
1:
2:
Z
Z
1
0
¼
2
0
sin x
dx
ln(1¡k sin x) p
=
2
1 ¡ k2 sin x x
2
2
ln(1 ¡ k2 sin2 x) p
=
sin x cos x
1 ¡ k 2 sin2 x
Z
1
0
ln(1¡k 2 cos 2 x) p
sin x
dx
= ln k0 K (k):
2
2
1 ¡ k cos x x
x dx =
1
f¼k 0 (1 ¡ ln k 0 ) + (2 ¡ k 2 )K
K(k) ¡ (4 ¡ ln k0 )E
E(k)g:
k2
BI ((412, 414))(4)
3:
Z
¼
2
0
ln(1¡k 2 cos 2 x) p
sin x cos x
1¡
k2
cos2
x
x dx =
1
f¡¼ ¡(2¡k 2 )K
K(k)+(4¡ln k 0 )E
E(k)g:
k2
BI ((426))(6)
4:
5:
Z
Z
1
0
1
0
ln(1¡k 2 sin2 x) p
ln(1¡k 2 cos 2 x) p
sin x cos x
1¡
k2
dx
1
= 2 f(2¡k 2 ¡k 02 ln k 0 )K
K(k)¡(2¡ln k 0 )E
E(k)g:
x
k
sin x
2
BI ((412))(5)
sin x cos x dx
1
= 2 f(k2 ¡2+ln k 0 )K
K(k)+(2¡ln k 0 )E
E(k)g:
2
2
x
k
1 ¡ k cos x
BI ((414))(5)
6:
Z
1
0
Z 1
dx
dx
sin x
ln(1§k sin x) p
=
ln(1 § k cos 2 x) p
=
2
2
2
2
x
1 ¡ k cos x x
0
1 ¡ k sin x
Z 1
tg x
dx
=
ln(1 § k sin2 x) p
=
2
2 sin x x
0
1
¡
k
Z 1
tg x
dx
=
ln(1 § k cos2 x) p
=
2 cos 2 x x
1
¡
k
0
Z 1
tg x
dx
ln(1 § k sin2 2x) p
=
=
2 sin 2 2x x
0
1
¡
k
Z 1
dx
tg x
=
ln(1 § k 2 cos 2 2x) p
=
2
2
1 ¡ k cos 2x x
0
1 2(1 § k)
¼
= ln p
K (k) ¡ K (k 0 ):
2
8
k
sin x
2
BI ((413))(1--6), BI ((415))(1--6)
7:
Z
1
0
ln(1¡k 2 sin2 x) p
sin3 x
dx
1
= 2 f(k 2 ¡2+ln k 0 )K
K(k)+(2¡ln k 0 )E
E(k)g:
k
1 ¡ k2 sin x x
2
BI ((412))(6)
630
8:
Z
1
0
ln(1¡k 2 cos 2 x) p
sin3 x
dx
1
= 2 f(2¡k2 ¡k 02 ln k 0 )K
K(k)¡(2¡ln k 0 )E
E(k)g:
2
2
k
1 ¡ k cos x x
BI ((414))(6)a
BI ((412))(7)
10:
Z
1
0
sin x cos 2 x dx
1
ln(1¡k 2 cos 2 x) p
= 2 f(k 2 ¡2+ln k 0 )K
K(k)+(2¡ln k 0 )E
E(k)g:
2
2
k
1 ¡ k cos x x
BI ((414))(7)
11:
12:
13:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
ln(1¡k 2 sin2 x) p
ln(1¡k 2 sin2 x) p
ln(1¡k 2 cos 2 x) p
tg x
dx
=
1 ¡ k 2 sin2 x x
Z
1
ln(1¡k 2 cos 2 x) p
0
tg x
dx
= ln k 0 K (k):
2
2
1 ¡ k cos x x
BI ((412, 414))(9)
sin2 x tg x
1¡
k2
dx
1
= 2 f(k 2 ¡2+ln k 0 )K
K(k)+(2¡ln k0 )E
E(k)g:
x
k
sin x
2
BI ((412))(8)
sin2 x tg x dx
1
= 2 f(2¡k 2 ¡k 02 ln k 0 )K
K(k)¡(2¡ln k0 )E
E(k)g:
2
2
k
1 ¡ k cos x x
BI ((414))(8)
14:
Z
1
0
ln(1¡k 2 sin2 x) q
sin2 x
(1 ¡ k 2 sin2 x)3
dx
=
x
Z
=
1
0
ln(1 ¡ k 2 cos 2 x) p
dx
=
(1 ¡ k 2 cos2 x)3 x
sin x
1
f(k2 ¡ 2)K
K(k) + (2 + ln k 0 )E
E(k)g:
k 02
BI ((412, 414))(13)
15:
16:
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
ln(1¡k 2 sin2 x) q
sin x cos x
x dx =
(1 ¡ k 2 sin2 x)3
ln(1 ¡ k2 cos 2 x) p
o
1 n
0 ¼
0
)
¡
(2
+
ln
k
)K
K
(k)
:
(1
+
ln
k
k2
k0
BI ((426))(9)
sin x cos x
(1 ¡
k2
cos 2
x)3
x dx =
1
f¡¼ + (2 + ln k0 )K
K(k)g:
k2
BI ((426))(15)
17:
Z
1
0
ln(1¡k 2 sin2 x) q
sin x cos x
(1 ¡ k 2 sin2 x)3
dx
=
x
Z
1
0
ln(1 ¡ k 2 cos 2 x) p
sin3 x
k2
(1 ¡
cos2
x)3
dx
=
x
1
f(2 ¡ k 2 + ln k 0 )K
K(k) ¡ (2 + ln k 0 )E
E(k)g:
k2
=
BI ((412))(14), BI((414))(15)
631
18:
Z
1
0
ln(1 ¡ k 2 sin2 x) q
=
Z
1
sin3 x
(1 ¡ k 2 sin2 x)3
dx
=
x
dx
=
x
sin x cos x
ln(1 ¡ k2 cos2 x) p
k2
cos 2
x)3
(1 ¡
1
E(k) ¡ (2 ¡ k2 + k 02 ln k 0 )K
K(k)g:
= 2 02 f(2 + ln k 0 )E
k k
0
BI ((412))(15), BI((414))(14)
19:
Z
1
0
2
sin x cos2 x
2
ln(1¡k sin x) q
(1 ¡ k 2 sin2 x)3
dx
=
x
Z
1
0
ln(1 ¡ k 2 cos 2 x) p
sin2 x tg x
(1 ¡
k2
cos 2
x)3
dx
=
x
1
f(2 ¡ k 2 + ln k 0 )K
K(k) ¡ (2 + ln k 0 )E
E(k)g:
k2
=
BI ((412))(16), BI((414))(17)
20:
Z
1
0
ln(1 ¡ k 2 sin2 x) q
=
Z
1
0
sin2 x tg x
(1 ¡ k 2 sin2 x)3
ln(1 ¡ k2 cos2 x) p
dx
=
x
sin x cos 2 x
k2
cos 2
x)3
dx
=
x
(1 ¡
1
= 2 02 f(2 + ln k 0 )E
E(k) ¡ (2 ¡ k2 + k 02 ln k 0 )K
K(k)g:
k k
BI ((412))(17), BI((414))(16)
21:
Z
1
0
ln(1¡k 2 sin2 x) q
tg x
2
(1 ¡ k 2 sin x)3
dx
=
x
Z
=
1
0
ln(1 ¡ k 2 cos 2 x) p
tg x
(1 ¡
k2
cos2
x)3
1
f(k2 ¡ 2)K
K(k) + (2 + ln k 0 )E
E(k)g:
k 02
dx
=
x
22:
Z
Z 1
p
p
dx
dx
2
2
ln(1¡k sin x) 1 ¡ k sin x sin x
=
ln(1 ¡ k 2 cos 2 x) 1 ¡ k 2 cos 2 x sin x
=
x
x
0
= (2 ¡ k 2 )K
K(k) ¡ (2 ¡ ln k 0 )E
E(k)
1
2
0
2
BI ((412, 414))(1)
23:
Z
¼
2
0
p
ln(1 ¡ k2 sin2 x) 1 ¡ k2 sin2 x sin x cos x ¢ x dx =
=
1
f3¼k 03 (1 ¡ 3 ln k0 ) + (22k 02 + 6k4 ¡ 3k 02 ln k 0 )K
K(k) ¡
27k2
E(k)g
¡ (2 ¡ k 2 )(14 ¡ 6 ln k 0 )E
BI ((426))(1)
24:
Z
¼
2
0
p
ln(1 ¡ k2 cos 2 x) 1 ¡ k 2 cos 2 x sin x cos x ¢ x dx =
=
1
f¡3¼ ¡ (22k 02 + 6k 4 ¡ 3k 02 ln k0 )K
K(k) + (2 ¡ k 2 )(14 ¡ 6 ln k 0 )E
E(k)g:
27k2
BI ((426))(2)
632
25:
Z
1
0
Z 1
p
p
dx
dx
ln(1¡k 2 sin2 x) 1 ¡ k 2 sin2 x tg x
=
ln(1 ¡ k 2 cos 2 x) 1 ¡ k 2 cos 2 x tg x
=
x
x
0
K(k) ¡ (2 ¡ ln k 0 )E
E(k):
= (2 ¡ k2 )K
BI ((412, 414))(2)
26:
Z
1
0
Z 1
dx
dx
sin x
tg x
ln(sin x+k cos x) p
=
ln(sin2 x + k 0 cos 2 x) p
=
2
2
2
2
1 ¡ k cos x x
1 ¡ k cos x x
0
Z 1
tg x
dx
=
ln(sin2 2x + k 0 cos 2 2x) p
=
2
2
1 ¡ k cos 2x x
0
" p
#
2( k0 )3
1
= ln
K (k):
2
1 + k0
2
0
2
BI ((415))(19--21)
4.44 Combinations of logarithms, trigonometric functions, and exponentials
4.441
1:7
Z
1
0
e¡qx sin px ln x dx =
∙
¸
1
p
p
2
2
¡
pC
C
¡
q
arctg
ln(p
¡
q
)
p2 + q2
q
2
[q > 0;
p > 0]:
Z
2:
1
0
e¡qx cos px ln x dx = ¡
1
p2 + q 2
∙
p
q
ln(p2 + q2 ) + p arctg + qC
C
2
q
¸
[q > 0]:
BI ((467))(2)
4.442
Z
¼
2
e¡p tg x ln cos x dx
1
1
= ¡ [ci(p)]2 + [si(p)]2
sin x cos x
2
2
0
[Re p > 0]:
NT 32(11)
4.5 Inverse Trigonometric Functions
4.51 Inverse trigonometric functions
4.511
Z
1
0
¼
arcctg px arcctg qx dx =
2
½
•
¶
•
¶¾
p
q
1
1
ln 1 +
+ ln 1 +
p
q
q
p
[p > 0;
q > 0]:
BI ((77))(8)
4.512
Z
¼
arctg(cos x) dx = 0:
0
BI ((345))(1)
4.52 Combinations of arcsines, arccosines, and powers
4.521
1:
Z
1
0
arcsin x
¼
dx = ln 2:
x
2
FI II 614, 623
2:
Z
1
0
arccos x
¼
dx = ¨ ln 2 + 2G
G:
1§x
2
BI ((231))(7, 8)
633
3:
Z
1
0
p
x
¼
2 1+q
p
ln
arcsin x
dx =
1 + qx2
2q 1 + 1 + q
[q > ¡1]:
BI ((231))(1)
4:
5:
Z
Z
1
0
p
x
¼
1 + 1 ¡ p2
arcsin x
dx = 2 ln p
1 ¡ p2 x2
2p
2 1 ¡ p2
1
arccos x
0
[p2 < 1]:
LI ((231))(3)
1
X
sin[(2k + 1)¸]
dx
=
2
cosec
¸
:
2
2
(2k + 1)2
sin ¸ ¡ x
k=0
BI ((231))(10)
6:
Z
1
arcsin x
0
p
dx
¼ 1+ 1+q
p
=
ln
x(1 + qx2 )
2
1+q
[q > ¡1]:
BI ((235))(10)
7:
Z
1
0
x
¼
arcsin x
dx =
(1 + qx2 )2
4q
p
1+q ¡1
1+q
[q > ¡1]:
BI ((234))(2)
8:
Z
1
0
x
¼
arccos x
dx =
2
2
(1 + qx )
4q
p
1+q ¡1
1+q
[q > ¡1]:
BI ((234))(4)
4.522
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¸
∙
p
1 3
02
02
2
2
x 1 ¡ k x arccos x dx = 2
¼ + k K (k) ¡ 2(1 + k )E
E(k) :
9k 2
∙
¸
p
1
3 03
02
02
2
2
x 1 ¡ k x arcsin x dx = 2 ¡ ¼k ¡ k K (k) + 2(1 + k )E
E(k) :
9k
2
BI ((236))(9)
3:
4:
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
¸
∙
p
1 3
x k 02 + k 2 x2 arcsin x dx = 2
¼ + k 02 K (k) ¡ 2(1 + k 02 )E
E(k) :
9k 2
i
1 h ¼
x arcsin x
p
dx = 2 ¡ k 0 + E (k) :
k
2
1 ¡ k 2 x2
i
1 h¼
x arccos x
p
¡ E (k) :
dx = 2
k 2
1 ¡ k 2 x2
i
x arcsin x
1 h¼
p
dx = 2
¡ E (k) :
k 2
k 02 + k 2 x2
i
x arccos x
1 h ¼
p
dx = 2 ¡ k0 + E (k) :
k
2
k 02 + k 2 x2
BI((236))(5)
BI ((237))(1)
BI ((240))(1)
BI ((238))(1)
BI ((241))(1)
1
x arcsin x dx
2 X sin[(2k + 1)¸]
p
=
:
sin ¸
(2k + 1)2
(x2 ¡ cos 2 ¸) 1 ¡ x2
k=0
BI ((243))(11)
9:
10:
Z
Z
1
p
0
1
0
p
x arcsin kx
(1 ¡
x2 )(1
¡
k 2 x2 )
dx = ¡
¼
ln k 0 :
2k
BI ((239))(1)
x arccos kx
(1 ¡
x2 )(1
¡
k 2 x2 )
dx =
¼
ln(1 + k):
2k
BI ((242))(1)
634
4.523
1:
Z
1
2n
x
0
1
arcsin x dx =
2n + 1
∙
¸
¼
2n n!
¡
:
2
(2n + 1)!!
BI ((229))(1)
2:
Z
1
2n¡1
x
0
∙
¸
¼
(2n ¡ 1)!!
1¡
:
arcsin x dx =
4n
2n n!
BI ((229))(2)
3:
Z
1
x2n arccos x dx =
0
2n n!
:
(2n + 1)(2n + 1)!!
BI ((229))(4)
4:
Z
1
x2n¡1 arccos x dx =
0
¼ (2n ¡ 1)!!
:
4n 2n n!
BI ((229))(5)
5:
Z
1
¡1
(1 ¡ x2 )n arccos x dx = ¼
2n n!
:
(2n + 1)!!
BI ((254))(2)
6:
Z
1
1
¡1
(1 ¡ x2 )n¡ 2 arccos x dx =
¼ 2 (2n ¡ 1)!!
:
2
2n n!
BI ((254))(3)
4.524
1:
2:
Z
Z
1
(arcsin x)2
0
1
0
x2
dx
p
= ¼ ln 2:
1 ¡ x2
dx
(arccos x)2 p
= ¼ ln 2:
( 1 ¡ x2 )3
BI ((243))(13)
4.53- 4.54 Combinations of arctangents, arccotangents, and powers
4.531
1:
Z
1
0
arctg x
dx =
x
Z
1
1
arcctg x
dx = G :
x
FI II 482, BI ((253))(8)
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
arcctg x
¼
dx = § ln 2 + G :
1§x
4
BI ((248))(6, 7)
¼
arcctg x
dx = ¡ ln 2 + G :
x(1 + x)
8
BI ((235))(11)
4:
5:
Z
Z
1
0
arctg x
dx = ¡G :
1 ¡ x2
1
arctg qx
0
dx
1
q
(1 + p)2
q2 ¡ p
=
ln
+
arctg q
(1 + px)2
2 p2 + q2
1 + q2
(1 + p)(p2 + q 2 )
BI ((248))(2)
[p > ¡1]:
BI ((243))(7)
6:
Z
1
arcctg qx
0
dx
1
1 + q2
p
1
q
=
ln
+
arctg q+
arcctg q
(1 + px)2
2 p2 + q2
(1 + p)2 p2 + q2
1+p
[p > ¡1]:
635
7:
Z
1
0
arctg x
¼
1
dx = ln 2 + G :
x(1 + x2 )
8
2
BI ((234))(10)
8:
Z
1
0
x arctg x
¼2
dx
=
:
1 + x4
16
BI ((248))(3)
9:
10:
11:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
x arctg x
¼
dx = ¡ ln 2:
1 ¡ x4
8
BI ((248))(4)
¼
x arctg x
dx = ln 2:
4
1¡x
8
arcctg x
p
dx =
x 1 + x2
Z
1
0
BI ((248))(12)
arcctg x
p
dx = 2G
G:
1 + x2
BI ((251))(3, 10)
12:
13:
Z
Z
1
0
1
0
p
arctg x
¼
p
dx = ln(1 + 2):
2
x 1 ¡ x2
FI II 694
#
"
³¼ ´
1
¼
p
= 2 F
;k ¡ p
:
k
4
(1 + x2 )(1 + k 02 x2 )
2 2 (1 + k 02 )
x arctg x dx
BI ((294))(14)
4.532
1:
2:
Z
Z
1
xp arctg x dx =
0
1
³p
h¼
´i
1
¡¯
+1
2(p + 1) 2
2
xp arctg x dx =
0
¼
p¼
cosec
2(p + 1)
2
[p > ¡2]:
BI ((229))(7)
[¡1 > p > ¡2]:
BI ((246))(1)
3:
Z
1
xp arcctg x dx =
0
h¼
³p
´i
1
+¯
+1
2(p + 1) 2
2
[p > ¡1]:
4:
Z
1
0
xp arcctg x dx = ¡
p¼
¼
cosec
2(p + 1)
2
[¡1 < p < 0]:
BI ((246))(2)
5:
Z
1
0
•
xp
1 + x2p
¶2q
p
dx
¼3
= 2q+2
arctg x
x
2
p
¡(q)
¶
•
1
¡ q+
2
[q > 0]:
BI ((250))(10)
4.533
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
(1 ¡ x arcctg x) dx =
¼
:
4
BI ((246))(3)
1
0
1
0
´ dx
¼
¡ arctg x
= ¡ ln 2 + G :
4
1¡x
8
³¼
´ 1 + x dx
1
¼
¡ arctg x
= ln 2 + G :
4
1 ¡ x 1 + x2
8
2
³¼
BI ((232))(2)
BI ((235))(25)
636
4:
Z
1
0
•
x arcctg x ¡
¶
¼
dx
1
arctg x
= ¡ ln 2:
x
1 ¡ x2
4
BI ((232))(1)
4.534
Z
1
0
(arctg x)2
dx
p
=
2
x 1 + x2
Z
1
0
(arcctg x)2 p
x dx
¼2
=¡
+ 4G
G:
4
1 + x2
BI ((251))(9, 17)
4.535
1:
Z
1
0
arctg px
1
dx = 2 arctg p ln(1 + p2 ):
2
1+p x
2p
BI ((231))(19)
2:
Z
1
0
arcctg px
1
dx = 2
1 + p2 x
p
½
1
¼
+ arcctg p
4
2
¾
ln(1 + p2 )
[p > 0]:
BI ((231))(24)
3:
4:
Z
Z
1
0
1
0
³
arctg qx
q
¼ ´
dx
=
¡
pq
ln
pq
¡
(p + x)2
1 + p2 q2
2
[p > 0;
¶
[p > 0;
arcctg qx
q
dx =
2
(p + x)
1 + p2 q 2
•
ln pq +
¼
2pq
q > 0]:
BI ((249))(1)
q > 0]:
BI ((249))(8)
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1
0
x arcctg px
¼ 1 + pq
dx = ln
2
2
q +x
2
pq
[p > 0;
q > 0]:
BI ((248))(9)
1
0
1
0
x arcctg px dx
¼ 1 + p2 q2
=
ln
x2 ¡ q2
4
p2 q2
arctg px
¼
dx = ln(1 + p)
2
x(1 + x )
2
[p > 0;
q > 0]:
BI ((248))(10)
[p ¸ 0]:
FI II 745
8:
Z
1
0
arctg px
¼
dx = ln(1 + p2 )
2
x(1 ¡ x )
4
[p ¸ 0]:
BI ((250))(6)
BI ((250))(3)
10:
11:
Z
Z
1
0
1
0
arctg qx
dx
¼ p2 + q2
= ln
2
2
x(1 ¡ p x )
4
p2
¼q
x arctg qx
dx =
2
2
2
(p + x )
4p(1 + pq)
[p ¸ 0]:
[p > 0;
BI ((250))(6)
q ¸ 0]:
BI ((252))(12)a
12:
Z
1
0
x arcctg qx
¼
dx = 2
2
2
2
(p + x )
4p (1 + pq)
[p > 0;
q ¸ 0]:
BI ((252))(20)a
13:
14:¤
Z
Z
1
0
´
p
¼ ³
arctg qx
p
dx = ln q + 1 + q2 :
2
x 1 ¡ x2
8
>
>
<
•
¶
¼
1 + j®¯ j
log
sign(®)
1
x arctan (®x) dx
¯ 2 ¡ °2
1 + j®° j
=
2
2
2
2
¼®
>
¡1 (x + ¯ )(x + ° )
>
:
2j¯ j (1 + j®¯ j)
BI ((244))(11)
(®; ¯; °real; ¯=
= °)
(¯ = °)
637
15:¤
4.536
1:
8
>
>
<
•
¶
¼
1
+
j
®=°
j
Z 1
log
sign(®)
x arctan (®=x) dx
¯ 2 ¡ °2
1 + j®=¯ j
=
2
2
2
2
¼®
>
¡1 (x + ¯ )(x + ° )
>
:
2
2¯ (j¯ j + j®j)
Z
1
0
(®; ¯; ° real; ¯=
= °)
(¯ = °)
p
´ ¼
p
dx
1
1 + 1 + q2 ¼ ³
arctg qx arcsin x 2 = q¼ ln p
+ ln q + 1 + q2 ¡ ¡arctg q:
x
2
2
2
1 + q2
Z
2:
Z
3:
1
0
¼
p
arctg px ¡ arctg qx
dx = ln
x
2
q
[p > 0;
q > 0]:
FI II 635
1
0
arctg px arctg qx
¼
(p + q)p+q
ln
dx
=
x2
2
pp qq
[p > 0;
q > 0]:
FI II 745
4.537
1:
8
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
p
arctg( 1 ¡ x2 )
∙
•
¶
•
¶¸
¼ ¡ 4¸
¼ + 4¸
dx
¼
=
ln cos
cosec
:
1 ¡ x2 cos 2 ¸
2 cos ¸
8
8
³ p
´
arctg p 1 ¡ x2
³
´
p
1
dx
2
=
¼
ln
p
+
1
+
p
1 ¡ x2
2
³
´
p
arctg tg ¸ 1 ¡ k 2 x2
r
BI ((245))(9)
[p > 0]:
BI ((245))(10)
¼
1 ¡ x2
dx = 2 [E(¸; k) ¡ k 02 F (°; k)] ¡
1 ¡ k 2 x2
2k
•
¶
q
¼
¡ 2 ctg ° 1 ¡ 1 ¡ k 2 sin2 ° :
2k
BI ((245))(12)
4:
Z
1
0
³
´
p
arctg tg ¸ 1 ¡ k 2 x2
r
³
´
p
1 ¡ k 2 x2
¼
¼
2 sin 2 ¸ :
dx
=
E(¸;
k)
¡
ctg
¸
1
¡
1
¡
k
1 ¡ x2
2
2
BI ((245))(11)
5:
Z
1
0
p
¡
¢
arctg tg ¸ 1 ¡ k 2 x2
¼
p
dx = F (¸; k):
2
2
2
2
(1 ¡ x )(1 ¡ k x )
4.538
1:
Z
1
0
Z 1
dx
dx
arctg x
=
arctg x3
;
2
1+x
1 + x2
0
Z 1
Z 1
dx
¼2
3 dx
=
arcctg x2
=
arcctg
x
=
:
1 + x2
1 + x2
8
0
0
2
BI ((245))(13)
638
Z
2:
1
0
1 ¡ x2
¼ p
arctg x2 dx = ( 2 ¡ 1):
2
x
2
BI ((244))(10)a
4.539
Z
1
s¡1
x
¡x
arctg(ae
) dx = 2
¡s¡1
0
•
1
¡(s)a© ¡a ; s + 1;
2
2
¶
:
ET I 222(47)
4.541
Z
1
arctg
0
•
p sin qx
1 + p cos qx
¶
¼
x dx
= ln(1 + pe¡q )
2
1+x
2
[p > ¡eq ]:
BI ((341))(14)a
4.55 Combinations of inverse trigonometric functions and exponentials
4.551
Z
1:
1
(arcsin x)e¡bx dx =
0
¼
[I0 (b) ¡ L 0 (b)]:
2b
ET I 160(1)
Z
2:
1
x(arcsin x)e¡bx dx =
0
¼
1
[L
L0 (b) ¡ I0 (b) + bL
L1 (b) ¡ bI1 (b)] + :
2b2
b
ET I 161(2)
3:¤
4:
¤
Z
Z
1
0
1
0
1
x ´ ¡bx
e
dx = [ci(ab) sin(ab) ¡ si(ab) cos(ab)]
a
b
³
arctg
³
arcctg
[Re b > 0]:
i
1 h¼
x ´ ¡bx
¡ ci(ab) sin(ab) + si(ab) cos(ab)
e
dx =
a
b 2
ET I 161(3)
[Re b > 0]:
ET I 161(4)
4.552
Z
1
0
∙
¶
¸
•
1
1
1
dx =
ln ¡(q) ¡ q ¡
ln q + q ¡ ln 2¼
e2¼x ¡ 1
2
2
2
arctg
x
q
[q > 0]:
WH
4.553
Z
1
0
•
2
arcctg x ¡ e¡px
¼
¶
dx
= C + ln p
x
[p > 0]:
NT 66(12)
4.56 A combination of the arctangent and a hyperbolic function
4.561
Z
1
arctg e¡x
1
dx =
2q
2
px
¡1 ch
Z
p
¦(x)
¼3
dx
=
2q
4p
¡1 ch px
1
¡(q)
•
¶
1
¡ q+
2
[q > 0]:
LI ((282))(10)
4.57 Combinations of inverse and direct trigonometric functions
4.571
Z
¼
2
0
arcsin(k sin x) p
sin x dx
2
1 ¡ k 2 sin x
=¡
¼
ln k 0 :
2k
BI ((344))(2)
4.572
Z
1
0
•
¶
2
arcctg x ¡ cos px dx = C + ln p
¼
[p > 0]:
NT 66(12)
4.573
1:
Z
1
0
arcctg qx sin px dx =
´
p
¼ ³
1 ¡ e¡ q
2p
[p > 0;
q > 0]
2:
Z
1
0
∙
• ¶
•
¶¸
p
p
p
1
¡ pq
q
¡ e Ei ¡
arcctg qx cos px dx =
e Ei
2p
q
q
[p > 0;
q > 0]
BI ((347))(2)a
3:
Z
1
arcctg rx
0
sin px dx
1§q
¼
ln
=§
p
1 § 2q cos px + q 2
2pq 1 § qe¡ r
q§1
¼
ln
=§
p
2pq q § e¡ r
[p2 < 1;
[q2 > 1;
r > 0;
r > 0;
p > 0];
p > 0]:
BI ((347))(10)
4:
Z
1
arcctg px
0
¶
•
¼
tg x dx
r 1
=
ln
1
+
•
2r2
q p
q2 cos 2 x + r 2 sin2 x
[p > 0;
q > 0;
r > 0]:
BI ((347))(9)
4.574
1:
Z
1
arctg
0
•
2a
x
¶
sin(bx) dx =
¼ ¡ab
e
sh(ab)
b
[Re a > 0;
b > 0]:
ET I 87(8)
2:7
3:
Z
Z
1
arctg
0
1
a
cos(bx) dx = [e¡ab Ei(ab)¡eab Ei(¡ab)]
x
2b
[a > 0;
b > 0]:
ET I 29(7)
1
0
∙
¸
2ax
¼ ¡bpa2 +c2
arctg 2
e
sh(ab)
sin(bx)
dx
=
x + c2
b
[b > 0]:
ET I 87(9)
4:
Z
1
arctg
0
•
2
x2
¶
cos(bx) dx =
¼ ¡b
e sin b
b
[b > 0]:
ET I 29(8)
4.575
1:
Z
¼
arctg
0
p sin x
¼ n
sin nx dx =
p
1 ¡ p cos x
2n
[p2 < 1]:
2:
Z
¼
0
p sin x
¼
arctg
sin nx cos x dx =
1 ¡ p cos x
4
•
pn+1
pn¡1
+
n+1
n¡1
¶
[p2 < 1]:
BI ((345))(5)
3:
Z
¼
arctg
0
p sin x
¼
cos nx sin x dx =
1 ¡ p cos x
4
•
pn+1
pn¡1
¡
n+1
n¡1
¶
[p2 < 1]:
BI ((345))(6)
4.576
1:
2:
Z
Z
¼
arctg
0
¼
arctg
0
p sin x
dx
¼ 1+p
= ln
1 ¡ p cos x sin x
2
1¡p
p sin x
dx
¼
= ¡ ln(1 ¡ p2 )
1 ¡ p cos x tg x
2
[p2 < 1]:
BI((346))(1)
[p2 < 1]:
BI((346))(3)
640
4.577
1:
2:
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
p
sin2 x dx
arctg(tg ¸ 1 ¡ k 2 sin2 x) p
=
1 ¡ k 2 sin2 x
p
¼
= 2 [F (¸; k) ¡ E(¸; k) + ctg ¸(1 ¡ 1 ¡ k2 sin2 ¸)]:
2k
BI ((344))(4)
p
cos 2 x dx
arctg(tg ¸ 1 ¡ k 2 sin2 x) p
=
1 ¡ k 2 sin2 x
p
¼
= 2 [E(¸; k) ¡ k 02 F (¸; k) + ctg ¸( 1 ¡ k 2 sin2 ¸ ¡ 1)]:
2k
BI ((344))(5)
4.58 A combination involving an inverse and a direct trigonometric function and a
power
4.581*
Z
1
arctg x cos px
0
dx
=
x
Z
1
arctg
0
x
dx
¼
cos x
= ¡ Ei(¡p)
p
x
2
[Re(p) > 0]:
ET I 29(3), NT 25(13)
4.59 Combinations of inverse trigonometric functions and logarithms
4.591
Z
1:
1
0
1
arcsin x ln x dx = 2 ¡ ln 2 ¡ ¼:
2
BI ((339))(1)
Z
2:
1
arccos x ln x dx = ln 2 ¡ 2:
0
BI ((339))(2)
4.592
Z
1
arccos x
0
1
X
(2k ¡ 1)!! ln(2k + 2)
dx
=¡
:
ln x
2k k!
2k + 1
k=0
BI ((339))(8)
4.593
1:
Z
1
arctg x ln x dx =
0
1
1 2
¼
ln 2 ¡ +
¼ :
2
4
48
BI ((339))(3)
2:
Z
1
0
arcctg x ln x dx = ¡
1
1 2 ¼
¼ ¡ ¡ ln 2:
48
4
2
BI ((339))(4)
4.594
Z
1
arctg x(ln x)n¡1 (ln x + n) dx =
0
n!
(2¡n ¡ 1)³(n + 1):
(¡2)n+1
4.6 Multiple Integrals
4.60 Change of variables in multiple integrals
4.601
1:
ZZ
f (x; y) dx dy =
(¾)
ZZ
f ['(u; À); Ã(u; À)] j¢j du dÀ;
(¾0 )
641
where x = '(u; À); y = Ã(u; À) , and ¢ =
2:
ZZZ
f (x; y; z) dx dy dz =
ZZZ
@' @Ã
@u @À
¡
@Ã @'
@u @À
´
¢('; Ã)
¢(u; À)
is the Jacobian determinant of the functions ' and Ã.
f ['(u; À; w); Ã(u; À; w); chi(u; À; w)] j¢j du dÀ dw;
(V 0 )
(V )
where x = '(u; À; w); y = Ã(u; À; w) , and z = chi(u; À; w) and where
¯
¯ @'
¯
¯ @u
¯ @Ã
¢ = ¯¯
¯ @u
¯ @ chi
¯
@u
@'
@À
@Ã
@À
@ chi
@À
@'
@w
@Ã
@w
@ chi
@w
¯
¯
¯
¯
¯ D('; Ã; chi)
¯´
¯
D(u; À; w)
¯
¯
¯
is the Jacobian determinant of the functions ', Ã, and chi.
Here, we assume, both in (4.601 2.) and in (4.601 1.) that
(a) the functions '; Ã, and chi and also their first partial derivatives are continuous in the region of integration;
(b) the Jacobian does not change sign in this region;
(c) there exists a one-to-one correspondence between the old variables x; y; z and the new ones u; À; w in the region of integration;
(d) when we change from the variables x; y; z to the variables u; À; w, the region V (resp. ¾) is mapped into the region V 0 (resp.
¾ 0 ).
4.602
Transformation to polar coordinates:
x = r cos ';
y = r sin ';
D(x; y)
= r:
D(r; ')
4.603
Transformation to spherical coordinates:
x = r sin • cos ';
y = r sin • sin ';
z = r cos •;
D(x; y; z)
= r2 sin •:
D(r; •; ')
4.61 Change of the order of integration and change of variables
4.611
1:
Z
®
dx
0
Z
x
f (x; y) dy =
0
Z
®
dy
0
Z
®
f (x; y) dx:
y
642
2:
Z
®
dx
0
Z
¯
®
x
f (x; y) dy =
0
Z
¯
dy
0
Z
®
f (x; y) dx:
®
¯
y
4.612
1:
Z
R
0
Z
dx
=
Z
p
0
R
0
R2 ¡x2
f (x; y) dy =
p
Z R2 ¡y2
dy
f (x; y) dx:
0
2:
Z
2p
dx
0
=
Z
Z
q=p
2px¡x2
f (x; y) dy =
0
q
dy
0
p
Z
p
p[1+
p[1¡
p
1¡(y=q)2 ]
f (x; y) dx:
1¡(y=q)2 ]
4.613
1:
Z
®
0
dx
Z
=
Z
¯=(¯+x)
0
¯=(¯+®)
0
+
Z
1
f (x; y) dy =
Z ®
dy
f (x; y) dx +
0
Z ¯(1¡y)=y
dy
f (x; y) dx:
¯=(¯+®)
0
2:
Z
®
dx
0
=
Z
Z
±¡ºx
f (x; y) dy =
¯x
®¯
dy
0
Z
±
Z
y=¯
f (x; y) dx +
0
Z
(±¡y)=°
+
dy
0
∙ ®¯
±
®=
;
¯+°
f (x; y) dx:
a > 0;
¯ > 0;
¸
°>0 :
643
3:
Z
2®
dx
0
=
Z
Z
3®¡x
f (x; y) dy =
x2 =4®
Z
®
0
+
dy
Z 3®
®
p
2 ®y
f (x; y) dx +
0
dy
Z
3®¡y
f (x; y) dx:
0
4:
Z
R
0
Z x+2R
Z
dx p
f (x; y) dy =
R2 ¡x2
Z R
dy p
f (x; y) dx +
0
R2 ¡y 2
Z 2R Z R
+
dy
f (x; y) dx +
R
0
Z 3R Z R
+
dy
f (x; y) dx:
R
2R
y¡2R
4.614
Z
¼
2
d'
0
Z
2R cos '
f (r; ') dr =
0
Z
2R
dr
0
Z
arccos
r
2R
f (r; ') d':
0
4.615
Z
R
0
Z
dx
p
R2 ¡x2
f (x; y) dy =
0
Z
¼
2
d'
0
Z
R
f (r cos 'r; sin ') r dr:
0
644
4.616
Z
2R
0
dx
Z
=
Z
0
p
2R¡x2
f (x; y) dy =
0
¼
2
Z
d'
2R cos '
f (r cos 'r; sin ') r dr:
0
4.617
Z
Z
dx
¯
®
'2 (x)
f (x; y)dy =
'1 (x)
Z
Z
dx
¯
0
+
Z
'2 (x)
0
Z
®
dx
0
f (x; y)dy ¡
'1 (x)
Z
Z
dx
¯
0
'1 (x)
0
f (x; y)dy ¡
Z
Z
dx
®
0
'2 (x)
f (x; y)dy +
0
f (x; y) dy['1 (x) ∙ '2 (x) for ® ∙ x ∙ ¯].
0
4.618
Z
°
dx
0
Z
'(x)
f (x; y) dy =
0
Z
°
dx
0
=°
Z
1
Z
dz
0
1
f [x; z'(x)]'(x)dz
[y = z'(x)];
0
Z
'(°z)
f (°z; y) dy
[x = °z]:
0
4.619
Z
x1
dx
x0
Z
y1
f (x; y) dy =
y0
Z
x1
dx
x0
Z
1
0
(y1 ¡y0 )f [x; y0 +(y1 ¡y0 )t] dt
[y = y0 +(y1 ¡y0 )t]:
4.62 Double and triple integrals with constant limits
4.620
General formulas
1:
Z
¼
d!
0
Z
1
0
´
p
¼ sign p ³
f 0 (p ch x+q cos ! sh x) sh x dx = ¡ p
f sign p p2 ¡ q2
p2 ¡ q2
¸
∙
2
2
lim f (x) = 0
p >q ;
x!+1
LO III 389
2:
3:
Z
Z
Z
2¼
0
0
1
f 0 [p ch x + (q cos ! + r sin !) sh x] sh x dx =
∙
p
2¼ sign p
2
2
2
f (sign p p ¡ q ¡ r )
p2 > q 2 + r 2 ;
= ¡p
p2 ¡ q2 ¡ r2
d!
¼Z ¼
0
0
lim
x!+1
¸
f (x) = 0 :
LO III 390
¸
∙
³
´
p
dx dy
2¼ sign p
0 p ¡ q cos x
2 ¡ q2 ¡ r2
p
f
f
sign
p
p
+
r
ctg
y
=
¡
sin x sin y
sin x sin2 y
p2 ¡ q 2 ¡ r 2
¸
∙
2
2
2
lim f (x) = 0 :
p >q +r ;
x!+1
LO III 280
645
4:
5:
Z
Z
1
Z
1
f 0 (p ch x ch y + q sh x ch y + r sh y) ch y dy =
¡1
¡1
∙
p
2¼ sign p
f (sign p p2 ¡ q2 ¡ r 2 )
p2 > q 2 + r 2 ;
= ¡p
p2 ¡ q2 ¡ r2
1
0
dx
dx
Z
¼
f (p ch x+q cos ! sh x) sh2 x sin ! d! = 2
0
Z
¸
lim f (x) = 0 :
x!+1
LO III 390
p
f (sign p p2 ¡ q2 ch x) sh2 x dx
0∙
¸
lim f (x) = 0 :
1
x!+1
LO III 391
6:
Z
1
0
Z
dx
Z
=4
0
2¼
Z
¼
f [p ch x + (q cos ! + r sin !) sin • sh x] sh2 x sin • d• =
0
0
∙
¸
1
p
f (sign p p2 ¡ q2 ¡ r2 ch x) sh2 x dx
p2 > q 2 + r2 ;
lim f (x) = 0 :
d!
x!+1
7:
Z
1
dx
0
Z
= 4¼
2¼
0
¼
f fp ch x+[(q cos !+r sin !) sin •+s ch •] sh xg sh2 x sin • d• =
∙
¸
1
p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f (sign p p ¡ q ¡ r ¡ s ch x) sh x dx
p >q +r +s ;
lim f (x) = 0 :
d!
Z0
Z
0
x!+1
LO III 391
4.621
1:
2:
3:
Z
Z
Z
¼
2
0
¼
2
0
¼
2
0
Z
Z
Z
¼
2
sin y
0
¼
2
cos y
0
¼
2
0
p
p
1 ¡ k2 sin2 x sin2 y
¼
:
dx dy = p
2
2
1 ¡ k sin y
2 1 ¡ k2
LO I 252(90)
p
1 ¡ k 2 sin2 x sin2 y
dx dy = K (k):
1 ¡ k2 sin2 y
sin ® sin y dx dy
2
2
2
1 ¡ sin ® sin x sin y
=
LO I 252(91)
¼®
:
2
LO I 253
4.622
1:
Z
0
¼Z ¼Z ¼
0
0
dx dy dz
= 4¼K
K2
1 ¡ cos x cos y cos z
Ãp !
2
:
2
MO 137
2:
3:
Z
Z
0
0
¼Z ¼Z ¼
³
p
dx dy dz
¼´
= 3¼K
K2 sin
:
3 ¡ cos y cos z ¡ cos x cos z ¡ cos x cos y
12
¼Z ¼Z ¼
p
p
p
p p p
dx dy dz
= 4¼[18+12 2¡10 3¡7 6]K
K2 [(2¡ 3)( 3¡ 2)]:
3 ¡ cos x ¡ cos y ¡ cos z
0
0
0
0
MO 137
MO 137
646
4.623
Z
0
1Z 1
'(a2 x2 + b2 y 2 ) dx dy =
0
¼
2ab
Z
1
'(x2 ) x dx:
0
4.624
Z
0
¼ Z 2¼
0
f (® cos • + ¯ sin • cos à + ° sin • sin Ã) sin • d• dà =
Z ¼
Z 1
h
i
p
= 2¼
f (R cos p) sin p dp = 2¼
f (Rt) dt
R = ®2 + ¯ 2 + ° 2 :
¡1
0
4.625*
Z
Z
´
³ p
dy (x2 + y 2 + 1)¡3=2 Pl 1= x2 + y 2 + 1
0
0
•
¶•
¶
l+k
l¡k¡1 2k 2l+2k
2
l¡1 (¡1)
l+k
l¡k¡1
X
1
ab
•
¶
p
P2l (a; b) =
£
2l
l(2l + 1)2
a2 + b2 + 1 k=0
2k
(2k + 1)
k
• ¶
2j
Ã
!
k
j
X
1
1
1
+ 2
£ (2l + 2k + 1)
:
22j (a2 + b2 + 1)j (a2 + 1)k¡j+1
(b + 1)k¡j+1
j=0
• ¶•
¶•
¶
l
X
(¡1)l+k l
1
l+k+1
2l + 2k + 1
£
p2l+1 (a; b) = 2l+1
2
(2l + 1)
22k
k
k
l+k
k=0
(
b
a
1
a
b
1
p
p
arctg ¡1 p
+ 2
arctg ¡1 p
+
£
(b2 + 1)k b2 + 1
(a + 1)k a2 + 1
b2 + 1
a2 + 1
•
¶)
k
X
22j¡1
1
1
1
• ¶¢ 2
+ ab
+ 2
:
(a + b2 + 1)j (a2 + 1)k¡j+1
(b + 1)k¡j+1
j=1 j 2j
j
Pl (a; b) =
a
dx
b
4.63-4.64 Multiple integrals
4.631
Z
x
dtn¡1
p
Z
tn¡1
dtn¡2 . . .
p
Z
t1
f (t) dt =
p
1
(n ¡ 1)!
Z
x
p
(x ¡ t)n¡1 f (t) dt;
Z
x
dtn¡1
p
Z
tn¡1
dtn¡2 . . .
p
Z
t1
f (t) dt =
p
1
(n ¡ 1)!
Z
x
p
(x ¡ t)n¡1 f (t) dt;
where f (t) is continuous on the interval [p; q] and p ∙ x ∙ q.
4.632
Z Z
1:
Z
dx1 dx2 . . . dxn =
hn
n!
[the volume of an n-dimensional simplex]
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
x1 +x2 +¢¢¢+xn ∙h
FI III 472
FI II 692
Z Z
2:
¢¢¢
Z
x21 +x22 +¢¢¢+x2n ∙R2
p
¼n
´ Rn
dx1 dx2 . . . dxn = ³ n
¡
+1
2
[the volume of an n-dimensional sphere]
FI III 473
647
4.633
Z Z
Z
¼ (n+1)=2
•
¶
[n > 1]
n+1
1 ¡ x21 ¡ x22 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ x2n
2
2
¡
2
x1 +x2 +¢¢¢+xn ∙1
2
[Half-area of the surface of an (n + 1)-dimensional sphere x21 + x22 + ¢ ¢ ¢ + x2n+1 = 1].
¢¢¢
dx1 dx2 . . . dxn
p
=
FI III {474}
8
4.634
( xq11 )
Z Z
Z
(
(
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1 dx1 dx2 . . . dxn =
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
®1
x2 ®2
xn
+
+¢¢¢+
qn
q2
=
)
)
®n
q1p1 q2p2 . . . qnpn
®1 ®2 . . . ®n
∙1
• ¶ • ¶
• ¶
p1
p2
pn
¡
¡
...¡
®1
®2
®n
•
¶
p2
pn
p1
¡
+
+ ¢¢¢ +
+1
®1
®2
®n
[®i > 0;
pi > 0;
qi > 0;
i = 1; 2; . . . ; n]:
FI III 477
4.635
1:
8
Z Z
¢¢¢
Z
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
f
∙•
x1
q1
¶®1
+
•
x2
q2
¶®2
+ ¢¢¢ +
•
xn
qn
¶®n ¸
£
( xq11 )®1 +( xq22 )®2 +¢¢¢+( xqnn )®n ¸1
£ xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1 dx1 dx2 . . . dxn =
• ¶ • ¶
• ¶
p1
p2
pn
Z 1
¡
¡
.
.
.
¡
p1
p2
pn
q2p1 q2p2 . . . qnpn
®1
®2
®n
•
¶
=
f (x)x ®1 + ®2 +¢¢¢+ ®n ¡1 dx
p1
p2
pn
®1 ®2 . . . ®n
1
2:
Z Z
8
( xq11 )
¢¢¢
Z
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
®1
x2 ®2
xn
+
+¢¢¢+
qn
q2
(
)
(
f
∙•
x1
q1
¶®1
+
•
x2
q2
¶®2
+ ¢¢¢ +
•
xn
qn
¶®n ¸
£
)®n ∙1
£ xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1 dx1 dx2 . . . dxn =
• ¶ • ¶
• ¶
p1
p2
pn
Z 1
¡
...¡
p1 p2
pn ¡
p1
p2
pn
q1 q2 . . . qn
®1
®2
®n
•
¶
=
f (x)x ®1 + ®2 +¢¢¢+ ®n ¡1 dx
p
p
p
®1 ®2 . . . ®n
1
2
n
0
¡
+
+ ¢¢¢ +
®1
®2
®n
FI III 487
under the assumptions that the one-dimensional integral on the right coverges absolutely and that the numbers qi ; ®i, and pi are
positive.
648
In particular,
Z Z
3:
¢¢¢
Z
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1 e¡q(x1 +x2 +...xn ) dx1 dx2 . . . dxn =
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
x1 +x2 +¢¢¢ +xn ∙1
=
¡(p1 )¡(p2 ) . . . ¡(pn )
¡(p1 + p2 + ¢ ¢ ¢ + pn )
Z
1
xp1 +p2 +¢ ¢ ¢+pn ¡1 e¡qx dx
[n > 0;
p1 > 0;
p2 > 0; . . . ; pn > 0]:
0
FI III 479
4:
8
Z Z
¢¢¢
Z
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
®
®
®
x 1 +x 2 +¢¢¢ +xnn ∙1
1
2
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1
®2
®n ¹ dx1 dx2 . . . dxn =
1
(1 ¡ x®
1 ¡ x2 ¡ . . . ¡ xn )
•
¶ • ¶
• ¶
p2
pn
¡
¡
...¡
1
®2
®n
•
¶
=
p1
p2
pn
®1 ®2 . . . ®n
¡ 1¡¹+
+
+ ¢¢¢ +
®1
®2
®n
[p1 > 0; p2 > 0; . . . ; pn > 0;
p1
®1
¹ > 1]:
FI III 480
4.636
1:8
Z Z
¢¢¢
Z
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
®
®
®
x 1 +x 2 +¢¢¢ +xnn ¸1
1
2
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1
®2
®n ¹ dx1 dx2 . . . dxn =
1
(x®
1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn )
•
¶ • ¶
• ¶
p1
p2
pn
¡
¡
...¡
1
®1
®2
®n
•
¶
•
¶
=
p1
p2
pn
p1
p2
pn
®1 ®2 . . . ®n ¹ ¡
¡
¡ ¢¢¢ ¡
¡
+
+¢¢¢ +
®1
®2
®n
®1
®2
®n
∙
¸
2:
Z Z
8
¢¢¢
Z
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
®
®
®
x 1 +x 2 +¢¢¢ +xnn ∙1
1
2
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1
®1
®n ¹
2
(x1 + x®
2 + ¢ ¢ ¢ + xn )
dx1 dx2 . . . dxn =
•
¶ • ¶
• ¶
p1
p2
pn
¡
¡
...¡
1
®
®2
®n
¶
•1
•
¶
=
p1
p2
pn
p2
pn
p1
®1 ®2 . . . ®n
+
+ ¢¢¢ +
¡¹
¡
+
+¢¢¢ +
®1
®2
®n
®1
®2
®n
¸
∙
pn
p2
p1
¡
+¢¢¢ +
:
¹<
®1
®2
®n
FI III 480
649
Z Z
3:8
¢¢¢
Z
xp11 ¡1 xp22 ¡1
. . . xpnn ¡1
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
®
®
®
x 1 +x 2 +¢¢¢ +xnn ∙1
1
2
=
where m =
p1
®1
p ¡
¼
2
+
•
p2
®2
p1
®1
s
®2
®n
1
1 ¡ x®
1 ¡ x2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ xn
dx1 dx2 . . . dxn =
®1
®2
n
1 + x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + x®
n
¶ • ¶
• ¶
p1
pn
¡
...¡
1
®2
®n
®1 ®2 . . . ®n
¡(m)
+¢¢¢ +
¶9
m+1 >
>
¡
=
¡
2
2
•
¶¡ •
¶ ;
>
m+1
m+2 >
>
>
:¡
;
¡
2
2
8
>
>
<
³m´
•
pn
®n .
4.637
Z Z
¢¢¢
Z
f (x1 +x2 +¢ ¢ ¢+xn )
x1 ∙0;
x2 ¸0;... ;xn ¸0
x1 +x2 +¢¢¢+xn ∙1
¡(p1 )¡(p2 ) . . . ¡(pn )
=
¡(p1 + p2 + . . . + pn )
Z
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1 dx1 dx2 . . . dxn
=
(q1 x1 + q2 x2 + ¢ ¢ ¢ + qn xn + r)p1 +p2 +¢¢¢+pn
1
f (x)
0
xp1 +p2 +¢ ¢ ¢+pn ¡1
dx;
(q1 x + r)p1 (q2 x + r)p2 . . . (qn x + r)pn
FI III 480
where f (x) is continuous on the interval (0; 1)
[q1 ¸ 0;
q2 ¸ 0; . . . ; qn ¸ 0;
r > 0]:
4.638
1:
Z
0
1Z 1
Z
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1 e¡(q1 x1 +q2 x2 +¢ ¢ ¢+qn xn )
dx1 dx2 . . . dxn =
(r0 + r1 x1 + r2 x2 + ¢ ¢ ¢ + rn xn )s
0
0
Z 1
¡(p1 )¡(p2 ) . . . ¡(pn )
e¡r0 x xs¡1 dx
=
p1
p2
pn
¡(s)
0 (q1 + r1 x) (q1 + r2 x) . . . (qn + rn x)
...
1
pi ; qi ; ri
2:
3:
Z
Z
0
0
s
1Z 1
p1 + p2 + ¢ ¢ ¢ + pn > s
r0 = 0
Z
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1
dx1 dx2 . . . dxn =
s
0
0 (r0 + r1 x1 + r2 x2 + ¢ ¢ ¢ + rn xn )
¡(p1 )¡(p2 ) . . . ¡(pn )¡(s ¡ p1 ¡ p2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ pn )
=
[pi > 0; ri > 0;
r1p1 r2p2 . . . rnpn r0s¡p1 ¡p2 ¡¢ ¢ ¢¡pn ¡(s)
...
1
s > 0]:
Z
1Z 1
1
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1
...
dx1 dx2 . . . dxn =
[1 + (r x )q1 + (r x )q2 + ¢ ¢ ¢ + (rn xn )qn ]s
0 •
¶0 • ¶ 1 1 • ¶2 2•
¶
p1
p1
p2
pn
p2
pn
¡
¡ s¡
¡
¡¢¢¢ ¡
¡
...¡
q1
q2
qn
q1
q2
qn
=
q1 q2 . . . qn r1p1 q1 r2p1 q2 . . . rnpn qn
¡(s)
[pi > 0; qi > 0; ri > 0; s > 0]:
650
4.639
1:
Z Z
¢¢¢
Z
(p1 x1 + p2 x2 + ¢ ¢ ¢ + pn xn )2m dx1 dx2 . . . dxn =
x21 +x22 +¢¢¢+x2n ∙1
2:
Z Z
¢¢¢
p
(2m ¡ 1)!!
¼n
³
´ (p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p2n )m :
=
n
2m
¡
+m+1
2
Z
FI III 482
(p1 x1 + p2 x2 + ¢ ¢ ¢ + pn xn )2m+1 dx1 dx2 . . . dxn = 0:
x21 +x22 +¢¢¢+x2n ∙1
FI III 483
4.641
1:
Z Z
¢¢¢
Z
ep1 x1 +p2 x2 +¢ ¢ ¢+pn xn dx1 dx2 . . . dxn =
x21 +x22 +¢¢¢+x2n ∙1
=
p
¼n
1
X
k=0 k!¡
2:
Z Z
¢¢¢
Z
x21 +x22 +¢¢¢+x22n ∙1
³n
2
1
+k+1
p1 x1 +p2 x2 +¢ ¢ ¢+p2n x2n
e
´
•
p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p2n
4
dx1 dx2 . . . dx2n
¶k
:
FI III 483
p
(2¼)n In ( p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p22n )
=
:
(p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p22n )n=2
4.642
Z Z
¢¢¢
Z
x21 +x22 +¢¢¢+x2n ∙R2
p Z
q
2 ¼ n R n¡1
2
2
2
f ( x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn ) dx1 dx2 . . . dxn = ³ n ´
x
f (x) dx;
0
¡
2
where f (x) is a function that is continuous on the interval (0; R) .
4.643
Z 1Z
0
1
...
0
Z
1
0
f (x1 x2 . . . xn )(1 ¡ x1 )p1 ¡1 (1 ¡ x2 )p2 ¡1 . . . (1 ¡ xn )pn ¡1 £
xp21 xp31 +p2 . . . xpn1 +p2 +¢ ¢ ¢+pn¡1 dx1 dx2 . . . dxn =
Z 1
¡(p1 )¡(p2 ) . . . ¡(pn )
=
f (x)(1 ¡ x)p1 +p2 +¢¢¢+pn ¡1 dx
¡(p1 + p2 + ¢ ¢ ¢ + pn ) 0
FI III 485
under the assumption that the integral on the right converges absolutely.
4.644
n¡1
zZ Z
}| Z
¢¢¢
x21 +x22 +¢¢¢+x2n =1
=2
Z Z
{
f (p1 x1 + p2 x2 + ¢ ¢ ¢ + pn xn )
¢¢¢
Z
x21 +x22 +¢¢¢+x2n¡1 ∙1
dx1 dx2 . . . dxn¡1
=
jxn j
f (p1 x1 + p2 x2 + ¢ ¢ ¢ + pn xn ) q
dx1 dx2 . . . dxn¡1
1 ¡ x21 ¡ x22 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ x2n¡1
p
Z ¼ q
2 ¼ n¡1
¶
•
=
f ( p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p2n cos x) sinn¡2 x dx
n¡1
0
¡
2
=
[n ¸ 3];
FI III 488
651
h p
i
p
where f (x) is continuous on the interval ¡ p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p2n ; p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p2n .
4.645
Suppose that two functions f (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) and g(x1 ; x2 ; . . . ; xn ) are continuous in a closed bounded region D and that the
smallest and greatest values of the function g in D are m and M respectively. Let '(u) denote a function that is continuous for
m∙u∙M
. We denote by Ã(u) the integral
1:
Ã(u) =
Z Z
¢¢¢
Z
f (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) dx1 dx2 . . . dxn ;
m∙g(x1 ; x2 ;... ;xn )∙u
FI III 489
over that portion of the region D on which the inequality m ∙ g(x1 ; x2 ; . . . ; xn ) ∙ u is satisfied. Then
Z Z
2:
¢¢¢
Z
f (x1 ; x2 ; . . . ; xn )'[g(x1 ; x2 ; . . . ; xn )] dx1 dx2 . . . dxn =
m∙g(x1 ; x2 ;... ;xn )∙M
Z M
= (S)
m
Z
'(u)dÃ(u) = (R)
M
'(u)
m
dÃ(u)
du;
du
where the middle integral must be understood in the sense of Stieltjes. If the derivative
dÃ
du exists and is continuous, the Riemann
integral on the right exists.
M may be +1 in formulas 4.645 2., in which case
4.6463
Z Z
¢¢¢
Z
x1 ¸0; x2 ¸0;... ;xn ¸0
x1 +x2 +¢¢¢ +xn ∙1
R +1
m
should be understood to mean limM !+1
RM
m
.
xp11 ¡1 xp22 ¡1 . . . xpnn ¡1
dx1 dx2 . . . dxn =
(q1 x1 + q2 x2 + ¢ ¢ ¢ + qn xn )r
Z 1
xr¡1 dx
¡(p1 )¡(p2 ) . . . ¡(pn )
=
¡(p1 + p2 + ¢ ¢ ¢ + pn ¡ r + 1)¡(r) 0 (1 + q1 x)p1 (1 + q2 x)p2 . . . (1 + qn x)pn
[p1 > 0; p2 > 0; . . . ; pn > 0; q2 > 0; q2 > 0; . . . ; qn > 0; p1 + p2 + ¢ ¢ ¢ + pn > r > 0]:
FI III 493
4.647
(
)
p1 x1 + p2 x2 + ¢ ¢ ¢ + pn xn
p
exp
¢¢¢
dx1 dx2 . . . dxn =
x21 + x22 + ¢ ¢ ¢ + x2n
2
2
2
0∙x1 +x2 +¢¢¢+xn ∙1
p
q
2 ¼n
n
=
I
(
p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p2n ):
¡1
n
1
n(p21 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p2n ) 4 ¡ 2 2
Z Z
4.648
Z
FI III 495
FI III 496
5. Indefinite Integrals of Special Functions
5.1 Elliptic Integrals and Functions
Notation: k 0 =
p
1 ¡ k2 (cf. 8.1).
5.11 Complete elliptic integrals
5.111
1:
Z
K (k)k
2p+3
1
dk =
(2p + 3)2
½
2
4(p + 1)
Z
K (k)k
2p+1
dk + k
2p+2
02
[E
E(k) ¡ (2p + 3)K
K(k)k ]
¾
:
BY (610.04)
2:
Z
E (k)k
2p+3
½
Z
1
2
dk = = 2
4(p + 1)
E (k)k2p+1 dk ¡
4p + 16p + 15
¡ E (k)k
2p+2
02
[(2p + 3)k ¡ 2] ¡ k
¾
k K (k)
2p+2 02
BY (611.04)
5.112
1:
2:6
3:
Z
Z
Z
2
3
1
X
[(2j)!]2 k2j 5
¼k 4
K (k) dk =
1+
:
2
(2j + 1)24j (j!)4
j=1
E (k) dk =
2
1
X
2 2j
3
[(2j)!] k
¼k 4
5:
1¡
2 ¡ 1)24j (j!)4
2
(4j
j=1
K (k)k dk = E (k) ¡ k 02 K (k):
BY (610.00)
BY (611.00)
4:
5:
6:
7:
Z
E (k)k dk =
Z
K (k)k 3 dk =
Z
E (k)k 3 dk =
Z
K (k)k 5 dk =
Z
E (k)k 5 dk =
1
[(1 + k2 )E
E(k) ¡ k02 K (k)]:
3
BY (611.01)
1
[(4 + k 2 )E
E(k) ¡ k 02 (4 + 3k 2 )K
K(k)]:
9
BY (610.02)
1
[(4 + k 2 + 9k 4 )E
E(k) ¡ k 02 (4 + 3k 2 )K
K(k)]:
45
BY 611.02
1
[(64 + 16k 2 + 9k 4 )E
E(k) ¡ k 02 (64 + 48k2 + 45k 4 )K
K(k)]:
225
BY (610.03)
653
8:
1
[(64+16k 2 +9k 4 +225k 6 )E
E(k)¡k 02 (64+48k 2 +45k 4 )K
K(k)]:
1575
BY (611.03)
9:
10:
11:
Z
E (k)
K (k)
dk = ¡
k2
k
Z
1
E (k)
dk = [k02 K (k) ¡ 2E
E(k)]:
2
k
k
Z
E (k)
dk = kK
K(k):
k 02
BY (612.05)
BY (612.02)
BY (612.01)
BY (612.03)
13:
Z
kE
E(k)
dk = K (k) ¡ E (k):
k02
BY (612.04)
5.113
Z
[K
K(k) ¡ E (k)]
Z
[E
E(k) ¡ k 02 K (k)]
Z
[(1 + k 2 )K
K(k) ¡ E (k)]
Z
[K
K(k) ¡ E (k)]
5:
Z
[E
E(k) ¡ k 02 K (k)]
6:
Z
[(1 + k 2 )E
E(k) ¡ k 02 K (k)]
1:
2:
3:
4:
dk
= ¡E (k):
k
BY (612.06)
dk
= 2E
E(k) ¡ k 02 K (k):
k
BY (612.09)
dk
= ¡k 02 K (k):
k
BY (612.12)
dk
1
= [E
E(k) ¡ k 02 K (k)]:
2
k
k
BY (612.07)
dk
k2 k 02
=
1
[K
K(k) ¡ E (k)]:
k
dk
E (k)
= 02 :
kk04
k
5.114
Z
1
kK
K(k) dk
= 02
:
02
2
[E
E(k) ¡ k K (k)]
k K (k) ¡ E (k)
BY (612.13)
BY (612.11)
5.115
Z
1:
¦
Z h
2:
´
³¼
´
; r 2 ; k k dk = (k 2 ¡ r 2 )¦
; r 2 ; k ¡ K (k) + E (k):
2
2
K (k) ¡ ¦
Z ∙
3:
³¼
³¼
2
; r2 ; k
´i
k dk = k2 K (k) ¡ (k2 ¡ r2 )¦
³¼
2
BY (612.14)
´
; r2 ; k :
BY (612.15)
³¼
´¸
³¼
´
E (k)
2
2
2
2
+
¦
;
k
k
dk
=
(k
¡
r
)¦
;
k
:
;
r
;
r
k 02
2
2
BY (612.16)
654
5.12 Elliptic integrals
5.121
Z
x
0
[F (x; k)]2
F (x; k) dx
p
=
2
1 ¡ k 2 sin2 x
h
0<x∙
¼i
:
2
BY (630.01)
5.122
Z
x
0
p
[E
E(x; k)]2
E(x; k) 1 ¡ k 2 sin2 x dx =
:
2
BY (630.32)
5.123
1:
2:
Z
Z
x
F (x; k) sin x dx = ¡ cos xF (x; k) +
0
1
arcsin(k sin x):
k
BY (630.11)
x
0
1
F (x; k) cos x dx = sin xF (x; k)+ Arch
k
s
1 ¡ k 2 sin2 x 1
¡ Arch
k 02
k
•
1
k0
¶
:
5.124
1:
2:
Z
Z
x
E(x; k) sin x dx = ¡ cos xE(x; k)+
0
x
0
i
p
1 h
k sin x 1 ¡ k 2 sin2 x+arcsin(k sin x) :
2k
BY (630.12)
∙
p
1
E(x; k) cos x dx = sin xE(x; k) +
k cos x 1 ¡ k 2 sin2 x ¡
2k
s
• ¶¸
2
1
1 ¡ k 2 sin x
02
¡ k02 Arch
¡
k
+
k
Arch
:
k 02
k0
BY (630.22)
5.125
1:
Z
x
¦(x; ®2 ; k) sin x dx = ¡ cos x¦(x; ®2 ; k) +
2s
3
2
2
1
k ¡®
+p
arctg 4
sin x5
2
2
1 ¡ k 2 sin2 x
k ¡®
0
= ¡ cos x¦(x; ®2 ; k) +
+p
2:
Z
2s
1
Arth 4
®2 ¡ k 2
®2
k2
[®2 < k2 ];
3
¡
sin x5
1 ¡ k 2 sin2 x
[®2 > k 2 ]:
x
0
¦(x; ®2 ; k) cos x dx = sin x¦(x; ®2 ; k) ¡ f + f0 ;
where
"
#
2(1 ¡ ®2 )(®2 ¡ k 2 ) + (1 ¡ ®2 sin2 x)(2k 2 ¡ ®2 ¡ ®2 k 2 )
p
f= p
arctg
p
2 (1 ¡ ®2 )(®2 ¡ k2 )
2®2 (1 ¡ ®2 )(®2 ¡ k 2 ) cos x 1 ¡ k 2 sin2 x
for (1 ¡ ®2 )(®2 ¡ k 2 ) > 0;
∙
2
2
2
1
2(® ¡ 1)(® ¡ k ) + (1 ¡ ®2 sin2 x)(®2 + ®2 k2 ¡ 2k 2 )
= p
ln
+
1 ¡ ®2 sin2 x
2 (®2 ¡ 1)(®2 ¡ k 2 )
#
p
p
2®2 (®2 ¡ 1)(®2 ¡ k 2 ) cos x 1 ¡ k 2 sin2 x
+
for (1 ¡ ®2 )(®2 ¡ k2 ) < 0;
1 ¡ ®2 sin2 x
1
BY (630.13)
655
f0 is the value of f at x = 0.
BY (630.23)
Integration with respect to the modulus
5.126
Z
p
F (x; k)k dk = E(x; k) ¡ k 02 F (x; k) + ( 1 ¡ k 2 sin2 x ¡ 1) ctg x:
BY (613.01)
5.127
Z
E(x; k)k dk =
i
p
1h
(1 + k 2 )E(x; k) ¡ k 02 F (x; k) + ( 1 ¡ k 2 sin2 x ¡ 1) ctg x :
3
BY (613.02)
5.128
Z
p
¦(x; r 2 ; k)k dk = (k 2 ¡r2 )¦(x; r2 ; k)¡F (x; k)+E(x; k)+( 1 ¡ k 2 sin2 x ¡1) ctg x:
BY (613.03)
5.13 Jacobian elliptic functions
5.131
1:
Z
snm u du =
∙
Z
1
snm+1 u cn u dn u + (m + 2)(1 + k2 ) snm+2 u du ¡
m+1
¸
Z
¡ (m + 3)k 2 snm+4 u du :
SI 259, PE(567)
2:
Z
1
[¡ cnm+1 u sn u dn u +
(m + 1)k 02
¸
Z
Z
2
m+2
2
m+4
+ (m + 2)(1 ¡ 2k ) cn
u du + (m + 3)k
u du :
cn
cnm u du =
PE (568)
3:
Z
1
[k 2 dnm+1 u sn u cn u +
(m + 1)k02
¸
Z
Z
m+2
m+4
2
u du ¡ (m + 3) dn
u du :
+ (m + 2)(2 ¡ k ) dn
dnm u du =
PE (569)
By using formulas 5.131, we can reduce the integrals
5.132
1:
Z
R
snm udu;
R
cnm udu;
R
dnm udu to the integrals 5.132, 5.133 and 5.134.
du
sn u
= ln
;
sn u
cn u + dn u
dn u ¡ cn u
= ln
:
sn u
SI 266(4)
ZH 87(164)
656
2:
Z
1
k 0 sn u + dn u
du
= 0 ln
:
cn u
k
cn u
SI 266(5)
3:
Z
1
k 0 sn u ¡ cn u
du
= 0 arctg 0
;
dn u
k
k sn u + cn u
1
cn u
= 0 arccos
;
k
dn u
0
1
cn u + ik sn u
= 0 ln
;
ik
dn u
0
1
k sn u
= 0 arcsin
:
k
dn u
JA
SI 266(6)
JA
ZH 88(166)
5.133
1:
Z
1
ln(dn u ¡ k cn u);
k
1
dn u ¡ k 2 cn u
= Arch
;
k
1 ¡ k2 ¶
•
1
dn u ¡ cn u
= Arsh k
;
k
1 ¡ k2
sn u du =
JA
ZH 87(161)
2:
Z
cn u du =
=
1
arccos(dn u);
k
i
ln(dn u ¡ ik sn u);
k
1
= arcsin(k sn u):
k
JA
SI 265(2)A, ZH 87(162)
ZH 87(162)
3:
Z
dn u du = arcsin(sn u);
= am u = i ln(cn u ¡ i sn u):
SI 266(3), ZH 87(163)
5.134
1:
2:
3:
Z
sn2 u du =
Z
cn2 u du =
Z
dn2 u du = E(am u; k):
1
[u ¡ E(am u; k)]:
k2
PE (564)}
1
[E(am u; k) ¡ k 02 u]:
k2
PE (565)
PE (566)
657
5.135
1:
Z
1
dn u + k 0
sn u
du = 0 ln
;
cn u
k
cn u
1
dn u + k0
= 0 ln
:
2k
dn u ¡ k0
2:
Z
sn u
i
ik 0 ¡ k cn u
du =
;
ln
dn u
kk 0
dn u
1
k cn u
=
arcctg
:
kk 0
k0
ZH 88(169)
SI 266(8)
Z
3:
cn u
1 ¡ dn u
du = ln
;
sn u
sn u
1 1 ¡ dn u
= ln
:
2 1 + dn u
ZH 88(168)
SI 266(10)
4:
Z
cn u
1 1 ¡ k sn u
du = ¡ ln
;
dn u
k
dn u
1
1 + k sn u
=
ln
:
2k 1 ¡ k sn u
5:
Z
ZH 88(171)
SI 266(9)
1 1 + sn u
dn u
du = ln
;
cn u
2 1 ¡ sn u
1 + sn u
= ln
:
cn u
JA
ZH 88(172)
Z
1 1 ¡ cn u
dn u
du = ln
:
sn u
2 1 + cn u
1:
Z
sn u cn u du = ¡
2:
Z
sn u dn u du = ¡ cn u:
6:
ZH 87(170)
5.136
1
dn u:
k2
5.137
1:
2:
Z
sn u
1 dn u
du = 02
:
2
cn u
k cn u
Z
sn u
1 cn u
:
du = ¡ 02
k dn u
dn2 u
Z
dn u
cn u
du = ¡
:
2
sn u
sn u
Z
sn u
cn u
:
du =
2
dn u
dn u
Z
cn u
dn u
du = ¡
:
2
sn u
sn u
Z
sn u
dn u
du =
:
2
cn u
cn u
Z
sn u
cn u
du = ln
:
sn u dn u
dn u
Z
1
dn u
sn u
du = 02 ln
:
cn u dn u
k
cn u
ZH 88(173)
ZH 88(175)
658
3:
4:
5:
6:
ZH 88(174)
ZH 88(177)
ZH 88(176)
ZH 88(178)
5.138
1:
2:
ZH 88(183)
3:
Z
dn u
sn u
du = ln
:
sn u cn u
cn u
Z
cn u dn u
du = ln snu:
sn u
Z
sn u dn u
1
du = ln
:
cn u
cn u
Z
1
sn u cn u
du = ¡ 2 ln dn u:
dn u
k
ZH 88(184)
5.139
1:
2:
3:
ZH 88(179)
ZH 88(180)
ZH 88(181)
5.14 Weierstrass elliptic functions
5.141
1:
Z
}(u) du = ¡³(u):
2:
Z
}2 (u) du =
Z
}3 (u) du =
Z
∙
¸
1
¾(u ¡ v)
du
= 0
2u³(v) + ln
:
P (u) ¡ P (v)
P (v)
¾(u + v)
3:
4:
1 0
1
} (u) +
g2 u:
6
12
ZH 120(192)
1 000
1
3
} (u) ¡
g2 ³(u) +
g3 u:
120
20
10
ZH 120(193)
659
5:
¸
∙
®P (u) + ¯
au ®± ¡ ¯°
¾(u + v)
±
¡ 2 0
¡ 2u³(v) ; where P 0 (v) = ¡ :
du =
ln
° P (u) + ±
° ° P (v)
¾(u ¡ v)
°
Z
ZH 120(195)
5.2 The Exponential-Integral Function
5.21 The exponential-integral function
5.211
Z
1
x
Ei(¡¯x) Ei(¡°x) dx =
•
1
1
+
¯
°
¶
Ei[¡(¯ + °)x] ¡
¡ x Ei(¡¯x) Ei(¡°x) ¡
e¡¯x
e¡°x
Ei(¡°x) ¡
Ei(¡¯x)
¯
°
[Re(¯ + °) > 0]:
NT 53(2)
5.22 Combinations of the exponential-integral function and powers
5.221
1:
Z
1
x
∙
¸
Ei[¡a(x + b)]
(¡1)n Ei[¡a(x + b)]
1
dx =
¡
+
xn+1
xn
bn
n
Z
n¡1
e¡ab X (¡1)n¡k¡1 1 e¡ax
+
dx[a > 0;
n
bn¡k
xk+1
x
b > 0]:
k=0
NT 52(3)
2:
Z
1
x
Ei[¡a(x + b)]
dx =
x2
•
1
1
+
x
b
¶
Ei[¡a(x+b)]¡
e¡ab Ei(¡ax)
b
[a > 0; b > 0]:
NT 52(4)
5.23 Combinations of the exponential-integral and the exponential
5.231
1:
Z
x
0
ex Ei(¡x) dx = ¡ ln x ¡ C + ex Ei(¡x):
2:
Z
x
0
e¡¯x Ei(¡®x) dx = ¡
1
¯
½
¾
•
¶
¯
¡ Ei [¡(® + ¯)x] :
e¡¯x Ei(¡®x) + ln 1 +
®
ET II 308(12)
5.3 The Sine-Integral and the Cosine-Integral
5.31
1:
Z
cos ®x ci(¯x) dx =
Z
sin ®x ci(¯x) dx = ¡
sin ®x ci(¯x)
si(®x + ¯x) + si(®x ¡ ¯x)
¡
:
®
2®
NT 49(1)
660
2:
ci(®x + ¯x) + ci(®x ¡ ¯x)
cos ®x ci(¯x)
+
:
®
2®
NT 49(2)
5.32
1:
2:
Z
cos ®x si(¯x) dx =
Z
sin ®x si(¯x) dx = ¡
sin ®x si(¯x)
ci(®x + ¯x) ¡ ci(®x ¡ ¯x)
+
:
®
2®
NT 49(3)
si(®x + ¯x) ¡ si(®x ¡ ¯x)
cos ®x si(¯x)
+
:
®
2®
NT 49(4)
5.33
1:
Z
1
(si(®x + ¯x) + si(®x ¡ ¯x)) +
2®
1
1
1
+
(si(®x + ¯x) + si(¯x ¡ ®x)) ¡ sin ®x ci(¯x) ¡ sin ¯x ci(®x):
2¯
®
¯
ci(®x) ci(¯x) dx = x ci(®x) ci(¯x) +
2:
Z
1
(si(®x + ¯x) + si(®x ¡ ¯x)) ¡
2¯
1
1
1
(si(®x + ¯x) + si(¯x + ®x)) + cos ®x si(¯x) + cos ¯x si(®x):
¡
2®
®
¯
si(®x) si(¯x) dx = x si(®x) si(¯x) ¡
NT 54(6)
3:
Z
1
cos ®x ci(¯x) ¡
® •
¶
¶
•
1
1
1
1
1
¡
¡ sin ¯x si(®x) ¡
+
ci(®x + ¯x) ¡
ci(®x ¡ ¯x):
¯
2®
2¯
2®
2¯
si(®x) ci(¯x) dx = x si(®x) ci(¯x) +
NT 54(10)
5.34
1:
Z
1
si[a(x+b)]
x
dx
=
x2
•
1
1
+
x
b
¶
si[a(x+b)]¡
cos ab si(ax) + sin ab ci(ax)
[a > 0;
b
b > 0]:
NT 52(6)
2:
Z
1
x
ci[a(x+b)]
dx
=
x2
•
1
1
+
x
b
¶
ci[a(x+b)]+
sin ab si(ax) ¡ cos ab ci(ax)
[a > 0;
b
b > 0]:
NT 52(5)
5.4 The Probability Integral and Fresnel Integrals
5.41
Z
2
2
e¡® x
©(®x) dx = x©(ax) + p :
® ¼
NT 12(20)a
661
5.42
Z
S(®x) dx = xS(®x) +
cos ®2 x2
p
:
® 2¼
5.43
Z
C(®x) dx = xC(®x) ¡
sin ®2 x2
p
:
® 2¼
NT 12(21)a
5.5 Bessel Functions
5.51
Z
Jp (x) dx = 2
1
X
Jp+2k+1 (x):
k=0
JA, MO 30
5.52
1:
2:
Z
xp+1 Zp (x) dx = xp+1 Zp+1 (x)¤
Z
x¡p+1 Zp (x) dx = ¡x¡p+1 Zp¡1 (x)¤ :
WA 146(1)
WA 146(2)
5.53
Z ∙
(®2 ¡ ¯ 2 )x ¡
p2 ¡ q2
x
¸
Zp (®x)Zq (¯x) dx = ¯xZp (®x)Zq¡1 (¯x) ¡
¡ ®xZp¡1 (®x)Zq (¯x) + (p ¡ q)Zp (®x)Zq (¯x)¤
JA, MO 30, WA 148(7)a
5.54
1:
2:
6
Z
xZp (®x)Zp (¯x) dx =
Z
x[Zp (®x)]2 dx =
¯xZp (®x)Zp¡1 (¯x) + ®xZp¡1 (®x)Zp (¯x)¤
:
®2 ¡ ¯ 2
WA 148(8)a
x2
f[Zp (®x)]2 ¡ Zp¡1 (®x)Zp+1 (®x)g¤ :
2
WA 149(11)
5.55
Z
Zp¡1 (®x)Zq (®x) ¡ Zp (®x)Zq¡1 (®x) Zp (®x)Zq (®x)¤
1
Zp (®x)Zq (®x) dx = ®x
¡
x
p2 ¡ q2
p+q
* In formulas 5.52- 5.56, Zp (x) and Z are arbitrary Bessel
functions.
WA 149(13)
5.56
1:
2:
Z
Z1 (x) dx = ¡Z0 (x)¤ :
Z
xZ0 (x) dx = xZ1 (x)¤ :
JA
JA
6.-7. Definite Integrals of Special Functions
6.1 Elliptic Integrals and Functions
6.1 Elliptic Integrals and Functions
Notation: k 0 =
p
1 ¡ k2 (cf. 8.1).
6.11 Forms containing F(x, k)
6.111
Z
¼
2
F (x; k) ctg x dx =
0
¼
1
K (k0 ) + ln kK
K(k):
4
2
BI ((350))(1)
6.112
1:
Z
¼
2
0
p
1
(1 + k) k
¼
sin x cos x
dx =
F (x; k)
K (k) ln
+
K (k 0 ):
2
4k
2
16k
1 + k sin x
BI ((350))(6)
2:
3:
Z
Z
¼
2
F (x; k)
0
¼
2
F (x; k)
0
sin x cos x
1
2
¼
p ¡
dx =
K (k) ln
K (k 0 ):
4k
16k
1 ¡ k sin2 x
(1 ¡ k) k
sin x cos x
1
dx = ¡ 2 ln k0 K (k):
2
2
2k
1 ¡ k sin x
BI ((350))(7)
BI ((350))(2)A, BY(802.12)a
6.113
1:
Z
¼
2
F (x; k 0 )
0
sin x cos x dx
1
2
p K (k 0 ):
=
ln
2
2
4(1 ¡ k)
cos x + k sin x
(1 + k) k
BI ((350))(5)
2:
Z
¼
2
F (x; k)
0
sin x cos x
dx
¢p
=
2
2
2
1 ¡ k sin t sin x
1 ¡ k2 sin2 x
h
i
1
¼
=¡ 2
K (k) arctg(k 0 tg t) ¡ F (t; k) :
k sin t cos t
2
BI ((350))(12)
6.114
Z
v
F (x; k) q
u
dx
=
(sin2 x ¡ sin2 u)(sin2 v ¡ sin2 x)
q
1
K (k)K
K( 1 ¡ tg 2 u ctg 2 v )
2 cos u sin v
[k 2 = 1 ¡ ctg 2 u ¢ ctg 2 v]:
BI ((351))(9)
663
6.115
Z
1
0
p
x dx
1
(1 + k) k
¼
K (k) ln
+
K (k 0 )
F (arcsin x; k)
=
1 + kx2
4k
2
16k
(cf. 6.112 2.).
6.112
BI ((466))(1)
This and similar formulas can be obtained from formulas 6.111 6.113 by means of the substitution x = arcsin t:
6.12 Forms containing E(x, k)
6.121
Z
¼
2
E(x; k)
0
sin x cos x
1
dx = 2 f(1 + k 02 )K
K(k) ¡ (2 + ln k0 )E
E(k)g:
2
2
2k
1 ¡ k sin x
BI ((350))(4)
6.122
Z
¼
2
0
E(x; k) p
dx
1 ¡ k 2 sin2 x
=
1
fE (k)K
K(k) ¡ ln k 0 g:
2
BI ((350))(10), BY (630.02)
6.123
Z
¼
2
sin x cos x
dx
¢p
=
2
2
2
1 ¡ k sin t sin x
1 ¡ k 2 sin2 x
h
i
p
1
¼
¼
=¡ 2
E (k) arctg(k 0 tg t) ¡ E(t; k) + ctg t(1 ¡ 1 ¡ k 2 sin2 t) :
k sin t cos t
2
2
E(x; k)
0
BI ((350))(13)
6.124
Z
n
u
Ãs
!
1
tg 2 u
=
E (k)K
K
E(x; k) q
1¡ 2
+
2 cos u sin v
tg v
(sin2 x ¡ sin2 u)(sin2 v ¡ sin2 x)
0s
1
sin2 2u A
k 2 sin v @
K
1¡
+
2 cos u
sin2 2v
dx
[k 2 = 1 ¡ ctg 2 u ctg 2 v]:
BI ((351))(10)
6.13 Integration of elliptic integrals with respect to the modulus
6.131
Z
1
F (x; k)k dk =
0
1 ¡ cos x
x
= tg :
sin x
2
BY (616.03)
6.132
Z
1
E(x; k)k dk =
0
sin2 x + 1 ¡ cos x
:
3 sin x
BY (616.04)
6.133
Z
1
x
¦(x; r ; k)k dk = tg ¡ r ln
2
2
0
r
Y
1 + r sin x
¡ r2
(x; r 2 ; 0):
1 ¡ r sin x
BY (616.05)
6.14- 6.15 Complete elliptic integrals
6.141
1:
Z
1
K (k) dk = 2G
G:
0
FI II 755
2:
Z
1
0
K (k 0 ) dk =
¼2
:
4
BY (615.03)
664
6.142
Z
1
0
³
K (k) ¡
¼ ´ dk
= ¼ ln 2 ¡ 2G
G:
2 k
BY (615.05)
6.143
Z
1
0
dk
K (k) 0 = K 2
k
Ãp !
2
:
2
BY (615.08)
6.144
Z
1
K (k)
0
dk
¼2
=
:
1+k
8
BY (615.09)
6.145
Z
1
0
•
4
K (k ) ¡ ln
k
0
¶
1
dk
=
[24(ln 2)2 ¡ ¼ 2 ]:
k
12
BY (615.13)
6.146
n
2
Z
1
n
0
2
k K (k) dk = (n ¡ 1)
Z
1
k n¡2 K (k) dk + 1:
0
BY (615.12)
6.147
n
Z
1
Z 1
k K (k ) dk = (n ¡ 1) kn¡2 E (k) dk
n
0
0
[n > 1]
(see 6.152).
0
6.152
BY (615.11)
6.148
Z
1:
1
E (k) dk =
0
1
+ G:
2
BY (615.02)
Z
2:
1
E (k0 ) dk =
0
¼2
:
8
BY (615.04)
6.149
Z
1:
Z
2:
1
0
1
0
³
E (k) ¡
¼
¼ ´ dk
= ¼ ln 2 ¡ 2G
G+1¡ :
2 k
2
(E
E(k 0 ) ¡ 1)
BY (615.06)
dk
= 2 ln 2 ¡ 1:
k
BY (615.07)
6.151
2
Ãp !
6
Z 1
dk
16
2
E (k) 0 = 6
4K
K2
+
6
k
84
2
0
3
7
7
¼2
Ãp !7
7:
2 5
2
K
2
BY (615.10)
6.152
(n + 2)
Z
1
0
Z 1
k n E (k0 ) dk = (n + 1) k n K (k 0 ) dk
[n > 1]
(see 6.147).
0
6.147
BY (615.14)
6
6.153
LO I 252
6.154
Z
¼
2
0
E (p sin x)
¼
sin x dx = p
1 ¡ p2 sin2 x
2 1 ¡ p2
[p2 > 1]:
FI II 489
6.16 The theta function
665
6.161
1:
Z
1
0
s
xs¡1 •2 (0jix2 ) dx = 2s (1 ¡ 2¡s )¼ ¡ 2 ¡
•
¶
1
s ³(s)
2
[Re s > 2]:
ET I 339(20)
2:
Z
1
0
s
xs¡1 [•3 (0jix2 ) ¡ 1] dx = ¼ ¡ 2 ¡
•
¶
1
s ³(s)
2
[Re s > 2]:
ET I 339(21)
3:
Z
1
0
1
xs¡1 [1 ¡ •4 (0jix2 )] dx = (1 ¡ 21¡s )¼ ¡ 2 s ¡
•
¶
1
s ³(s)
2
[Re s > 2]:
ET I 339(22)
4:
Z
1
0
1
xs¡1 [•4 (0jix2 )+•2 (0jix2 )¡•3 (0jix2 )] dx = ¡(2s ¡1)(21¡s ¡1)¼ ¡ 2 s ¡
•
¶
1
s ³(s):
2
ET I 339(24)
6.162
1:
2:
Z
Z
1
¡ax
e
•4
0
1
0
¡ax
e
•1
•
•
¯
¶
p
p
l
b¼ ¯¯ i¼x
dx = p ch(b a) cosec(l a)
¯
2
2l l
a
¯
¶
p
p
l
b¼ ¯¯ i¼x
dx = ¡ p sh(b a) sech(l a)
¯
2
2l l
a
[Re a > 0;
jbj ∙ l]:
ET I 224(1)a
[Re a > 0;
jbj ∙ l]:
Z
3:
Z
4:
1
e¡ax •2
0
1
e¡ax •3
0
•
•
¯
¶
p
p
(1 + b)¼ ¯¯ i¼x
l
p
sh(b
a)
sech(l
a)
dx
=
¡
¯
2l
l2
a
¯
¶
p
p
(1 + b)¼ ¯¯ i¼x
l
p
ch(b
a)
cosech(l
a)
dx
=
¯
2l
l2
a
[Re a > 0;
jbj ∙ l]:
ET I 224(3)a
[Re a > 0;
jbj ∙ l]:
ET I 224(4)a
6.163*
Z
1:
1
e¡(a¡¹)x •3 (¼
0
p
p p
p p
1
¹xj i¼x) dx = p [coth( a+ ¹)+coth( a¡ ¹)]
2 a
[Re a > 0]:
ET I 224(7)a
Z
2:¤
1
0
•3 (i¼kxji¼x)e¡(k
2
+l2 )x
dx =
sinh 2l
:
l(cosh 2l ¡ cos 2k)
6.164
Z
1
0
1
[•4 (0jie2x ) + •2 (0jie2x ) ¡ •3 (0jie2x )]e 2 x cos(ax) dx =
•
¶ •
¶
1 1
1
1
1 1
1
1
+ ia ³
+ ia
= (2 2 +ia ¡ 1)(1 ¡ 2 2 ¡ia )¼ ¡ 4 ¡ 2 ia ¡
2
4 2
2
[a > 0]:
ET I 61(11)
6.165
Z
1
0
1
e 2 x [•3 (0jie2x ) ¡ 1] cos(ax) dx =
¶
•
¶ •
¶¸¾
½
∙•
1
1
1
1
2 ¡1
2
¡ 12 ia¡ 14
= 2(1+4a )
¼
¡
ia +
³ ia +
1+
a +
4
2
4
2
[a > 0]:
ET I 61(12)
666
6.17 Generalized elliptic integrals
1. Set
Z
¼
1
[1 ¡ k 2 cos Á]¡(j+ 2 ) dÁ;
0
• ¶2
1
¼
j! (4m + 2j)!
®m (j) =
;
(64)m (2j)! (2m + j)!
m!
−j (k) ´
p
¸ = (¼=2) (2j + 1)k 2 =(1 ¡ k 2 ) ;
then
−j (k) =
1
X
®m (j)k 4m
m=0
=
p
1)k2 (1
2 ¡j
∙
¡1
•
1
1+ 2
2k
¶
¼=(2j +
¡k )
£
erf ¸ + (1=2)(2j + 1)
•
½
¶¾
•
¶
p
2 2
1
13
¡¸2
¡2
) 1+ ¸
£ erf ¸ ¡ (2= ¼)(¸e
¡ (1=12)(2j + 1)
16 + 2 + 4 £
3
k
k
•
¶¾
¸
½
p
2
2
4
+... ;
£ erf ¸ ¡ (2= ¼)(¸e¡¸ ) 1 + ¸2 + ¸4
3
15
while for large ¸
p
¼=(2j + 1)k 2 (1 ¡ k 2 )¡j £
∙
½
¾
½
¾
¸
1
1
13
¡2
¡1
£ 1 + (1=2)(2j + 1)
+
1 + 2 ¡ (4=3) (2j + 1)
1+
+ ... :
2k
16k 2
16k 4
lim −j (k) =
j!1
2. Set
R¹ (k; ®; ±) =
Z
¼
cos 2®¡1 (•=2) sin2±¡2®¡1 (•=2) d•
;
1
[1 ¡ k 2 cos •]¹+ 2
0 < k < 1; Re ± > Re ® > 0; Re ¹ > ¡1=2;
∙
¶
¸
•
1
º º
Mº (¹; ®; ±) = (¡1) 2 ¹ +
=º! ¡(®)¡(± ¡ ® + º)=¡(± + º);
2 º
with (¸)º = ¡(¸ + º)=¡(¸); and
∙ •
¶
¸
1
º
Wº (¹; ®; ±) = 2 ¹ +
º! ¡(® + º)¡(± ¡ ®)=¡(± + º);
2 º
667
0
then:
for small k;
1
R¹ (k; ®; ±) = (1 ¡ k 2 )¡(¹+ 2 )
1
= (1 + k 2 )¡(¹+ 2 )
1
X
º=0
1
X
[k 2 =(1 ¡ k 2 )]º Mº (¹; ®; ±)
[k 2 =(1 + k 2 )]º Wº (¹; ®; ±);
º=0
for k 2 close to 1;
∙
•
¶ •
¶¸
1
1
1
R¹ (k; ®; ±) = ¡(± ¡ ®)¡ ¹ + ® ¡ ± +
¡ ¹+
(2k2 )®¡± (1 ¡ k 2 )±¡®¡¹¡ 2 £
2
2
½ •
¶
∙ •
¶
¸¾
1
1 ¡ 2 ¢¹+ 12
£ ¡ ±¡®¡¹¡
¡ (®) ¡ ± ¡ ¹ ¡
2k
;
2
2
¶
¸
∙ •
1
not an integer
Re ¹ + ® ¡ ± +
2
∙
•
¶
¸
1
1
= 2¹+ 2 k 2¹+1 ¡ ¹ +
¡ (1 ¡ ®) £
2
¶ ¸
•
1 ∙
X
1
1
£
n! [2k 2 =(1 ¡ k 2 )]®¡±+¹¡n+ 2
¡(± ¡ ® + n)¡(1 ¡ ® + n)¡ ® ¡ ± + ¹ ¡ n +
2
n=0
¸
∙
1
® ¡ ± + ¹ + = m; with m a non-negative integer
2
6.2- 6.3 The Exponential-Integral Function and Functions Generated by It
6.21 The logarithm-integral
6.211
Z
1
0
li (x) dx = ¡ ln 2:
BI ((79))(5)
6.212
1:
Z
1
0
• ¶
1
li
x dx = 0:
x
668
2:
Z
1
0
1
li(x)xp¡1 dx = ¡ ln(p + 1)
p
[p > ¡1]:
BI ((255))(2)
3:
Z
1
li(x)
0
dx
1
= ln(1 ¡ q)
xq+1
q
[q < 1]:
BI ((255))(3)
4:
Z
1
li(x)
1
dx
1
= ¡ ln(q ¡ 1)
xq+1
q
[q > 1]:
BI ((255))(4)
6.213
1:
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
Z
1
li
0
1
1
1
0
• ¶
´
1 ³¼
1
li
sin(a ln x) dx = ¡
+
a
ln
a
x
1 + a2 2
• ¶
1 ³
1
¼ ´
li
cos(a ln x) dx = ¡
a
ln
a
+
x
1 + a2
2
1
1
• ¶
1 ³
1
¼´
sin(a ln x) dx =
a
ln
a
¡
x
1 + a2
2
li
• ¶
1 ³
1
¼ ´
cos(a ln x) dx =
a
ln
a
¡
x
1 + a2
2
1
li(x) sin(a ln x)
0
dx
ln(1 + a2 )
=
x
2a
[a > 0]:
[a > 0]:
BI ((475))(1)
[a > 0]:
BI ((475))(9)
[a > 0]:
BI ((475))(2)
[a > 0]:
BI ((475))(10)
6:
Z
1
li(x) cos(a ln x)
0
dx
arctg a
=¡
:
x
a
BI ((479))(2)
7:
8:
9:
10:
11:
Z
Z
Z
Z
Z
1
li(x) sin(a ln x)
0
1
li(x) sin(a ln x)
1
1
li(x) cos(a ln x)
0
1
dx
1 ³
¼´
=
a
ln
a
+
x2
1 + a2
2
´
dx
1 ³¼
¡
a
ln
a
=
x2
1 + a2 2
dx
1 ³
¼ ´
=
a
ln
a
¡
x2
1 + a2
2
li(x) cos(a ln x)
1
dx
1 ³
¼ ´
=
¡
a
ln
a
+
x2
1 + a2
2
1
li(x) sin(a ln x)xp¡1 dx =
0
1
a2 + p2
½
[a > 0]:
BI ((479))(3)
[a > 0]:
BI ((479))(13)
[a > 0]:
BI ((479))(4)
[a > 0]:
BI ((479))(14)
a
a
ln[(1 + p)2 + a2 ] ¡ p arctg
2
1+p
¾
[p > 0]:
BI ((477))(1)
12:
Z
1
p¡1
li(x) cos(a ln x)x
0
1
dx = ¡ 2
a + p2
½
p
a
+ ln[(1 + p)2 + a2 ]
a arctg
1+p 2
¾
[p > 0]:
BI ((477))(2)
6.214
1:
Z
1
li
0
• ¶•
¶p¡1
1
1
dx = ¡¼ ctg p¼ ¢ ¡(p)
ln
x
x
[0 < p < 1]:
BI ((340))(1)
669
2:
Z
1
1
• ¶
1
¼
li
(ln x)p¡1 dx = ¡
¡(p)
x
sin p¼
[0 < p < 1]:
BI ((340))(9)
6.215
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
xp¡1
li(x) q ¡ ¢ dx = ¡2
ln x1
r
dx
q ¡ ¢ = ¡2
li(x)
xp+1 ln x1
p
¼
Arsh p = ¡2
p
r
p p
¼
ln( p+ p + 1)
p
[p > 0]:
BI ((444))(3)
r
¼
p
arcsin p
p
[1 > p > 0]:
BI ((444))(4)
6.216
1:
Z
1
0
∙ • ¶¸p¡1
ax
1
1
li(x) ln
= ¡ ¡(p)
x
x
p
[0 < p ∙ 1]:
BI ((444))(1)
2:
Z
1
0
∙
• ¶¸p¡1
dx
¼¡(p)
1
li(x) ln
=¡
2
x
x
sin p¼
[0 < p < 1]:
BI ((444))(2)
6.22- 6.23 The exponential-integral function
6.221
Z
p
Ei(®x) dx = p Ei(®p) +
0
1 ¡ e®p
:
®
NT 11(7)
6.222
Z
1
0
Ei(¡px) Ei(¡qx) dx =
•
1
1
+
p q
¶
ln(p + q) ¡
ln p
ln q
¡
p
q
[p > 0;
q > 0]:
FI II 653, NT 53(3)
6.223
Z
1
0
Ei(¡¯x)x¹¡1 dx = ¡
¡(¹)
¹¯ ¹
[Re ¯ ¸ 0;
Re ¹ > 0]:
NT 55(7), ET I 325(10)
6.224
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¡¹x
Ei(¡¯x)e
•
¶
¹
1
dx = ¡ ln 1 +
[Re(¯ + ¹) ¸ 0;
¹
¯
= ¡ 1=¯
[¹ = 0]:
Ei(ax)e¡¹x dx = ¡
´
1 ³¹
ln
¡1
¹
a
[a > 0;
Re ¹ > 0;
¹ > 0];
FI II 652, NT 48(8)
¹ > a]:
ET I 178(23)A, BI ((283))(3)
670
6.225
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
r
r
2
¼
p
¼
p p
Ei(¡x2 )e¡¹x dx = ¡
Arsh ¹ = ¡
ln( ¹+ 1 + ¹)
¹
¹
r
2
¼
p
Ei(¡x2 )epx dx = ¡
arcsin p
p
[Re ¹ > 0]:
BI ((283))(5), ET I 178(25)a
[1 > p > 0]:
NT 59(9)a
6.226
1:
Z
1
0
•
1
Ei ¡
4x
¶
p
2
e¡¹x dx = ¡ K0 ( ¹)
¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
2:
Z
1
0
Ei
•
a2
4x
¶
p
2
e¡¹x dx = ¡ K0 (a ¹)
¹
[a > 0;
Re ¹ > 0]:
Z
3:
1
0
•
¶
r
2
1
¼
p
Ei ¡ 2 e¡¹x dx =
Ei(¡ ¹)
4x
¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
Z
4:
1
0
•
1
Ei ¡ 2
4x
¶
¡¹x2 + 4x12
e
dx =
r
p
p
p
p
¼
[cos ¹ ci ¹¡sin ¹ si ¹]
¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
6.227
Z
1:
1
0
Ei(¡x)e¡¹x x dx =
1
1
¡ 2 ln(1 + ¹)
¹(¹ + 1)
¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
Z
2:
1
0
∙
eax Ei(¡ax)
e¡ax Ei(ax)
¡
x¡b
x+b
¸
dx = 0
[a > 0;
= ¼ 2 e¡ab
b < 0];
[a > 0;
b > 0]:
ET II 253(1)a
6.228
Z
1:
1
0
Ei(¡x)ex xº¡1 dx = ¡
¼¡(º)
sin º¼
[0 < Re º < 1]:
ET II 308(13)
Z
2:
1
0
¶
•
¡(º)
¹
F
1;
º;
º
+
1;
2 1
º(¯ + ¹)º
¯ +¹
[j arg ¯ j < ¼; Re(¯ + ¹) > 0; Re º > 0]:
Ei(¡¯x)e¡¹x xº¡1 dx = ¡
ET II 308(14)
6.229
Z
1
0
•
¶
•
¶
p
p
p
p
p
1
1
dx
Ei ¡ 2 exp ¡¹x2 + 2
= 2 ¼(cos ¹ si ¹¡sin ¹ ci ¹)
2
4x
4x
x
[Re ¹ > 0]:
MI 34
6.231
Z
1
¡ ln a
[Ei(¡a) ¡ Ei(¡e¡x )]e¡¹x dx =
1
°(¹; a)
¹
[a < 1;
Re ¹ > 0]:
671
6.232
1:
Z
1
0
Ei(¡ax) sin bx dx = ¡
³
ln 1 +
b2
a2
2b
´
[a > 0;
b > 0]:
BI ((473))(1)a
2:
Z
1
0
b
1
Ei(¡ax) cos bx dx = ¡ arctg
b
a
[a > 0;
b > 0]:
BI ((473))(2)a
6.233
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¡¹x
Ei(¡x)e
1
sin ¯x dx = ¡ 2
¯ + ¹2
Ei(¡x)e¡¹x cos ¯x dx = ¡
1
2
¯ + ¹2
½
½
¯
¯
ln[(1 + ¹)2 + ¯ 2 ] ¡ ¹ arctg
2
1+¹
[Re ¹ > j Im ¯ j]:
¯
¹
ln[(1 + ¹)2 + ¯ 2 ] + ¯ arctg
2
1+¹
[Re ¹ > j Im ¯ j]:
¾
BI ((473))(7)a
¾
BI ((473))(8)a
6.234
Z
1
0
Ei(¡x) ln x dx = C + 1:
NT 56(10)
6.24- 6.26 The sine- and cosine-integral functions
6.241
1:
Z
1
0
si(px) si(qx) dx =
¼
2p
[p ¸ q]:
BI II 653, NT 54(8)
FI II 653, NT 54(7)
3:
Z
1
0
1
si(px) ci(qx) dx =
ln
4q
•
p+q
p¡q
¶2
+
=
1
(p2 ¡ q2 )2
ln
4p
q4
1
ln 2
q
[p=
= q];
[p = q]:
FI II 653, NT 54(10, 12)
6.242
Z
1
0
ci(ax)
1
dx = ¡ f[si(a¯)]2 + [ci(a¯)]2 g
¯+x
2
j arg ¯ j < ¼]:
[a > 0;
ET II 224(1)
6.243
1:
2:
Z
Z
1
si(ajxj)
sign x dx = ¼ ci(ajbj)
¡1 x ¡ b
1
ci(ajxj)
dx = ¡¼ sign b ¢ si(ajbj)
¡1 x ¡ b
[a > 0;
b > 0]:
ET II 253(3)
[a > 0]:
ET II 253(2)
672
6.244
1:
2:
Z
Z
1
[si(px)]
0
x dx
¼
= Ei(¡pq)
q2 + x2
2
[p > 0;
q > 0]:
BI ((255))(6)
1
[si(px)]
0
x dx
¼
= ¡ ci(pq)
q2 ¡ x2
2
[p > 0;
dx
¼
=
Ei(¡pq)
2
+x
2q
[p > 0;
q > 0]:
BI ((255))(6)
6.245
1:
Z
1
0
ci(px)
q2
q > 0]:
Z
2:
1
ci(px)
0
q2
dx
¼
=
si(pq)
2
¡x
2q
[p > 0;
q > 0]:
BI ((255))(8)
6.246
Z
1:
1
0
¹¼
¡(¹)
sin
¹a¹
2
si(ax)x¹¡1 dx = ¡
[a > 0;
0 < Re ¹ < 1]:
NT 56(9), ET I 325(12)a
Z
2:
1
0
ci(ax)x¹¡1 dx = ¡
¹¼
¡(¹)
cos
¹a¹
2
[a > 0;
0 < Re ¹ < 1]:
NT 56(8), ET I 325(13)a
6.247
Z
1:
Z
2:
1
0
si(¯x)e¡¹x dx = ¡
1
¹
arctg
¹
¯
[Re ¹ > 0]:
NT 49(12), ET I 177(18)
1
¡¹x
ci(¯x)e
0
1
dx = ¡ ln
¹
s
1+
¹2
¯2
[Re ¹ > 0]:
NT 49(11), ET I 178(19)a
6.248
1:
8
Z
1
¡¹x2
si(x)e
0
∙ •
¶
¸
¼
1
x dx =
©
¡1
p
4¹
2 ¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
Z
2:
1
0
¡¹x2
ci(x)e
1
dx =
4
r
•
¶
¼
1
Ei ¡
¹
4¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
6.249
Z
1
0
h
¼ i ¡¹x
¼
si(x2 ) +
e
dx =
2
¹
(∙ • ¶
¸2 ∙ • 2 ¶
¸2)
1
1
¹2
¹
S
¡
+ C
¡
4
2
4
2
[Re ¹ > 0]:
6.251
Z
1:
1
0
• ¶
p
1
2
si
e¡¹x dx = kei(2 ¹)
x
¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
673
Z
2:
1
0
ci
• ¶
p
1
2
e¡¹x dx = ¡ ker(2 ¹)
x
¹
[Re ¹ > 0]:
MI 34
6.252
Z
1:
1
0
¼
2p
¼
=¡
4p
[p2 > q 2 ]
sin px si(qx) dx = j¡
[p2 = q 2 ];
[p2 < q 2 ]:
=0
FI II 652, NT 50(8)
2:
6
Z
1
0
1
cos px si(qx) dx = ¡ ln
4p
•
p+q
p¡q
¶2
=
[p=
= 0;
1
q
p2 =
= q2 ];
[p = 0]:
FI II 652, NT 50(10)
3:
Z
1
0
1
sin px ci(qx) dx = ¡ ln
4p
•
p2
¡1
q2
¶2
=0
[p=
= 0;
p2 =
= q 2 ];
[p = 0]:
FI II 652, NT 50(9)
4:
Z
1
0
¼
2p
¼
=¡
4p
cos px ci(qx) dx = ¡
[p2 > q 2 ];
[p2 = q2 ];
=0
[p2 < q 2 ]:
FI II 654, NT 50(7)
6.253
Z
1
si(ax) sin bx
¼(r m + rm+1 )
dx
=
¡
[b = a ¡ m];
1 ¡ 2r cos x + r2
4b(1 ¡ r)(1 ¡ r 2 )
¼(2 + 2r ¡ rm ¡ rm+1 )
[b = a + m];
=¡
4b(1 ¡ r)(1 ¡ r 2 )
¼rm+1
=¡
[a ¡ m ¡ 1 < b < a ¡ m];
2b(1 ¡ r)(1 ¡ r 2 )
¼(1 + r ¡ rm+1 )
=¡
[a + m < b < a + m + 1]:
2b(1 ¡ r)(1 ¡ r 2 )
0
ET I 97(10)
6.254
Z
1:
Z
2:
1
0
1
0
h
si(ax) +
h
si(ax) +
³ a ´i
dx
1 h ³a´
¼i
sin bx
=
L2
¡ L2 ¡
2
x
2
b
b
dx
¼ a
¼i
cos bx ¢
= ln
2
x
2
b
[a > 0;
[a > 0;
b > 0]:
ET I 97(12)
b > 0]:
ET I 41(11)
674
6.255
Z
1:
1
¡1
[cos ax ci(ajxj)+sin(ajxj) si(ajxj)
dx
= ¡¼[sign b cos ab si(ajbj)¡sin ab ci(ajbj)]
x¡b
[a > 0]:
ET II 253(4)
Z
2:
1
¡1
[sin ax ci(ajxj)¡sign x cos ax si(ajxj)]
dx
= ¡¼[sin(ajbj) si(ajbj)+cos ab ci(ajbj)]
x¡b
[a > 0]:
ET II 253(5)
6.256
Z
1
0
[si2 (x) + ci2 (x)] cos ax dx =
¼
ln(1 + a)
a
[a > 0]:
6.257
Z
1
0
³a´
sin bx dx = ¡
Z
si(ax) +
si
x
p
¼
J0 (2 ab)
2b
[b > 0]:
ET I 96(9)
6.258
1:
1
0
h
=
dx
¼i
sin bx 2
=
2
x + c2
¼ ¡bc
fe [Ei(bc) ¡ Ei(¡ac)] + ebc [Ei(¡ac) ¡ Ei(¡bc)]g
[0 < b ∙ a;
4c
¼
= e¡bc [Ei(ac) ¡ Ei(¡ac)]
[0 < a ∙ b; c > 0]:
4c
c > 0];
BI ((460))(1)
2:
Z
1
0
h
si(ax) +
x dx
¼
¼i
cos bx 2
= ¡ fe¡bc [Ei(bc) ¡ Ei(¡ac)] + ebc [Ei(¡bc) ¡ Ei(¡ac)]g
2
2
x +c
4
[0 < b ∙ a; c > 0];
¼ ¡bc
= e [Ei(¡ac) ¡ Ei(ac)]
[0 < a ∙ b; c > 0]:
4
BI ((460))(2, 5)
6.259
1:
Z
1
si(ax) sin bx
0
x2
dx
¼
=
Ei(¡ac) sh(bc)
[0 < b ∙ a; c > 0];
2
+c
2c
¼
= e¡cb [Ei(¡bc) + Ei(bc) ¡ Ei(¡ac) ¡ Ei(ac)] +
4c
¼
+
Ei(¡bc) sh(bc)
[0 < a ∙ b; c > 0]:
2c
ET I 96(8)
2:
Z
1
0
ci(ax) sin bx
x dx
¼
= ¡ sh(bc) Ei(¡ac)
[0 < b ∙ a; c > 0];
2
+c
2
¼
¼
= ¡ sh(bc) Ei(¡bc) + e¡bc [Ei(¡bc) + Ei(bc) ¡
2
4
¡ Ei(¡ac) ¡ Ei(ac)]
[0 < a ∙ b; c > 0]:
x2
BI ((460))(3)A, ET I 97(15)a
675
BI ((460))(4), ET I 41(15)
6.261
1:
Z
1
¡px
si(bx) cos ax e
0
1
dx = ¡
2
2(a + p2 )
∙
a p2 + (a + b)2
2bp
ln 2
+ p arctg 2
2
2 p + (a ¡ b)
b ¡ a2 ¡ p2
[a > 0; b > 0; p > 0]:
¸
ET I 40(8)
2:
Z
1
0
si(¯x) cos ax e¡¹x dx = ¡
arctg
¹+ai
¯
2(¹ + ai)
¡
arctg
¹¡ai
¯
2(¹ ¡ ai)
[a > 0;
Re ¹ > j Im ¯ j]:
ET I 40(9)
6.262
1:
Z
1
ci(bx) sin ax e¡¹x dx =
0
1
2(a2 + ¹2 )
½
a (¹2 + b2 ¡ a2 )2 + 4a2 ¹2
2a¹
¡ ln
2
2
2
¹ +b ¡a
2
b4
[a > 0; b > 0; Re ¹ > 0]:
¹ arctg
¾
ET I 98(16)a
2:
Z
1
0
¡px
ci(bx) cos ax e
¡1
dx =
2
2(a + p2 )
½
2ap
p [(b2 + p2 ¡ a2 )2 + 4a2 p2 ]
+ a arctg 2
ln
4
2
b
b + p2 ¡ a2
[a > 0; b > 0; Re p > 0]:
¾
ET I 41(16)
3:
Z
1
0
∙
∙
¸
¸
(¹ + ai)2
(¹ ¡ ai)2
¡ ln 1 +
ln
1
+
¯2
¯2
ci(¯x) cos ax e¡¹x dx =
¡
4(¹ + ai)
4(¹ ¡ ai)
[a > 0; Re ¹ > j Im ¯ j]:
ET I 41(17)
6.263
1:
Z
1
[ci(x) cos x + si(x) sin x]e¡¹x dx =
0
¡ ¼2 ¡ ¹ ln ¹
1 + ¹2
[Re ¹ > 0]:
ME 26a, ET I 178(21)a
2:
Z
1
0
[si(x) cos x ¡ ci(x) sin x]e¡¹x dx =
¡ ¼2 ¹ + ln ¹
1 + ¹2
[Re ¹ > 0]:
676
3:
Z
1
0
[sin x ¡ x ci(x)]e¡¹x dx =
ln(1 + ¹2 )
2¹2
[Re ¹ > 0]:
ME 26
6.264
1:
2:
Z
Z
1
si(x) ln x dx = C + 1:
0
NT 46(10)
1
ci(x) ln x dx =
0
¼
:
2
NT 56(11)
6.27 The hyperbolic-sine- and cosine-integral functions
6.271
1:
2:
Z
Z
1
shi(x)e¡¹x dx =
0
1
0
1
¹+1
1
ln
= Arcth ¹
2¹ ¹ ¡ 1
¹
chi(x)e¡¹x dx = ¡
1
ln(¹2 ¡ 1)
2¹
[Re ¹ > 1]:
MI 34
[Re ¹ > 1]:
MI 34
6.272
Z
1
¡px2
chi(x)e
0
1
dx =
4
r
¼
Ei
p
•
1
4p
¶
[p > 0]:
MI 35
6.273
1:
Z
1
0
[ch x shi(x) ¡ sh x chi(x)]e¡¹x dx =
ln ¹
¹2 ¡ 1
[Re ¹ > 0]:
Z
2:
1
[ch x chi(x) + sh x shi(x)]e¡¹x dx =
0
¹ ln ¹
1 ¡ ¹2
[Re ¹ > 2]:
MI 35
6.274
Z
1
0
¡¹x2
[ch x shi(x) ¡ sh x chi(x)]e
1
dx =
4
r
•
¶
1
1
¼ 4¹
e Ei ¡
¹
4¹
[Re ¹ > 0]:
MI 35
6.275
Z
1
0
[x chi(x) ¡ sh x]e¡¹x dx = ¡
ln(¹2 ¡ 1)
2¹2
[Re ¹ > 1]:
MI 35
6.276
Z
1
¡¹x2
[ch x chi(x)+sh x shi(x)]e
0
1
x dx =
8
r
¼
exp
¹3
•
1
4¹
¶
•
1
Ei ¡
4¹
¶
[Re ¹ > 0]:
MI 35
6.277
Z
1:
1
0
[chi(x) + ci(x)]e¡¹x dx = ¡
ln(¹4 ¡ 1)
2¹
[Re ¹ > 1]:
MI 34
677
Z
2:
1
0
[chi(x) ¡ ci(x)]e¡¹x dx =
1
¹2 + 1
ln 2
2¹ ¹ ¡ 1
[Re ¹ > 1]:
MI 35
6.28- 6.31 The probability integral
6.281
1:
6
Z
1
0
2q¡1
[1 ¡ ©(px)]x
¡
¢
¡ q + 12
p
dx =
2 ¼qp2q
[Re q > 0;
Re p > 0]:
2:6
Z
1
0
∙
¡®
• ¶ 12®
•
¶¸
i
h
b
b
2b
K 1+® (2ab) § K 1¡® (2ab) e§2ab
1 ¡ © at® § ®
dt = p
2®
2®
t
¼ a
[a > 0; b > 0; ®=
= 0]:
6.282
Z
1:
1
¡pt
©(qt)e
0
∙
• ¶¸
• 2 ¶
p
p
1
dt =
1¡©
exp
p
2q
4q2
[Re p > 0;
j arg qj < ¼=4]:
MO 175, EH II 148(11)
Z
2:
1
0
• ¶¸
¶
∙
•
¶¸
∙ •
1
¹+1
1
(¹ + 1)2
1
1
¡©
e¡¹x+ 4 dx =
exp
1¡©
:
© x+
2
2
(¹ + 1)(¹ + 2)
4
2
ME 27
6.283
Z
1:
Z
2:
1
0
1
p
1
e¯x [1¡©( ®x)] dx =
¯
p
©( qt)e¡pt dt =
0
∙
p
p
®
¡1
®¡¯
p
q
1
p
p
p+q
¸
[Re ® > 0;
Re ¯ < Re ®]:
ET II 307(5)
[Re p > 0;
Re(q + p) > 0]:
EH II 148(12)
6.284
Z
1
0
∙
1¡©
•
q
p
2 x
¶¸
e¡px dx =
1 ¡qpp
e
p
h
Re p > 0; j arg qj <
¼i
:
4
EH II 148(13)
EF 147(235)
6.285
1:
Z
1
0
2
[1 ¡ ©(x)]e¡¹
x2
arctg ¹
dx = p
¼¹
[Re ¹ > 0]:
MI 37
2:
Z
1
0
©(iat)e¡a
2 2
t ¡st
dt =
¡1
p exp
2ai ¼
•
s2
4a2
¶
•
¶
s2
Ei ¡ 2
4a
h
Re s > 0;
j arg aj <
¼i
:
4
678
6.286
•
º+1
Z 1
¡
2 2
2
[1 ¡ ©(¯x)]e¹ x xº¡1 dx = p
º
¼º¯
0
1:
¶
¶
¹2
º º+1 º
;
; + 1; 2
2
2
2
¯
2
2
[Re ¯ > Re ¹ ; Re º > 0]:
2 F1
•
ET II 306(2)
Z
2:
1
0
"
1¡©
Ãp
2x
2
!#
e
x2
2
º¼ ³ º ´
¡
2
2
º
xº¡1 dx = 2 2 ¡1 sec
[0 < Re º < 1]:
ET I 325(9)
6.287
Z
1:
Z
2:
1
2
©(¯x)e¡¹x x dx =
0
1
0
2
[1¡©(¯x)]e¡¹x
2¹
p
¯
¹+
1
x dx =
2¹
[Re ¹ > ¡ Re ¯ 2 ;
¯2
Re ¹ > 0]:
ME 27a, ET I 176(4)
Ã
1¡ p
¯
¹ + ¯2
!
[Re ¹ > ¡ Re ¯ 2 ;
Re ¹ > 0]:
NT 49(14), ET I 177(9)
6.288
Z
1
2
©(iax)e¡¹x x dx =
0
ai
p
2¹ ¹ ¡ a2
[a > 0;
Re ¹ > Re a2 ]:
MI 37a
6.289
1:
2:
Z
Z
1
©(¯x)e(¯
2
¡¹2 )x2
x dx =
0
1
0
[1¡©(¯x)]e(¯
2
¡¹2 )x2
¯
2
2¹(¹ ¡ ¯ 2 )
x dx =
1
2¹(¹ + ¯)
h
Re ¹2 > Re ¯ 2 ;
h
Re ¹2 > Re ¯ 2 ;
j arg ¹j <
arg ¹ <
¼i
:
4
¼i
4
ET I 176(5)
Z
3:
1
0
p
2
©( b ¡ ax)e¡(a+¹)x x dx =
p
b¡a
p
2(¹ + a) ¹ + b
[Re ¹ > ¡a > 0;
b > a]:
ME 27
6.291
Z
1
¡(¹x+x2 )
©(ix)e
0
i
x dx = p
¼
∙
•
¶¸
¹2
1
¹
+ Ei ¡
¹
4
4
[Re ¹ > 0]:
MI 37
6.292
Z
1
0
¡¹2 x2
[1 ¡ ©(x)]e
1
x dx = p
2 ¼
2
½
arctg ¹
1
¡ 2 2
3
¹
¹ (¹ + 1)
¾
h
j arg ¹j <
¼i
:
4
MI 37
6.293
Z
1
¡¹x2
©(x)e
0
p
p
dx
¹+1+1
1
= ln p
= Arcth ¹ + 1
x
2
¹+1¡1
[Re ¹ > 0]:
MI 37a
679
6.294
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
∙
∙
• ¶¸
2 2
1
¯
e¡¹ x x dx =
exp(¡2¯¹)
1¡©
x
2¹2
• ¶¸
2 2 dx
1
e¡¹ x
= ¡ Ei(¡2¹)
1¡©
x
x
h
h
j arg ¯ j <
j arg ¹j <
¼
;
4
j arg ¹j <
¼i
:
4
6.295
1:
Z
1
0
∙
1¡©
•
• ¶¸
¶
1
1
1
exp ¡¹2 x2 + 2 dx = p [sin 2¹ ci(2¹)¡cos 2¹ si(2¹)]
x
x
¼¹
h
¼i
j arg ¹j <
:
4
¼i
:
4
ET I 177(11)
MI 37
Z
2:
1
0
∙
•
• ¶¸
¶
1
1
1
¼
2 2
exp ¡¹ x + 2 x dx =
[H1 (2¹)¡N1 (2¹)]¡ 2
1¡©
x
x
2¹
¹
h
j arg ¹j <
¼i
:
4
MI 37
Z
3:
1
0
∙
•
• ¶¸
¶
1
¼
1
dx
2 2
exp ¡¹ x + 2
= [H0 (2¹)¡N0 (2¹)]
1¡©
x
x
x
2
h
j arg ¹j <
¼i
:
4
MI 37
6.296
Z
1
0
(
2
2
∙
(x + a ) 1 ¡ ©
•
a
p
2x
¶¸
r
¡
a2
2
ax ¢ e¡ 2x2
¼
)
1 ¡a¹p2
e
2¹4
i
h
¼
j arg ¹j < ; a > 0 :
4
2
e¡¹
x2
x dx =
MI 38a
6.297
Z
1:
1
0
∙
¶¸
•
2
2
1
p
¯
e(° ¡¹)x x dx = p p
exp[¡2(¯°+¯ ¹)]
1 ¡ © °x +
x
2 ¹( ¹ + °)
[Re ¯ > 0; Re ¹ > 0]:
ET I 177(12)a
Z
2:
1
0
∙
1¡©
•
b + 2ax2
2x
¶¸
e¡b¹
2¹(¹ + a)
b > 0; Re ¹ > 0]:
exp[¡(¹2 ¡ a2 )x2 + ab]x dx =
[a > 0;
MI 38
Z
3:
1
0
½∙
1¡©
•
b ¡ 2ax2
2x
¶¸
¡ab
e
∙
+ 1¡©
•
¶¸
¾
p
2
1
b + 2ax2
ab
e
e¡¹x x dx = exp(¡b a2 + ¹)
2x
¹
[a > 0; b > 0; Re ¹ > 0]:
MI 38
6.298
Z
1
0
½
¡ab
2 ch ab ¡ e
©
•
b ¡ 2ax2
2x
¶
ab
¡e ©
•
¶¾
2
2
p
1
b + 2ax2
e¡(¹¡a )x x dx =
exp(¡b ¹)
2
2x
¹¡a
[a > 0; b > 0; Re ¹ > 0]:
MI 38
680
6.299
Z
1
ch(2ºt) exp[(a ch t)2 ][1 ¡ ©(a ch t)] dt =
0
•
¶
1 2
1
exp
a Kº (a2 )
2 cos(º¼)
2
∙
¸
1
1
Re a > 0; ¡ < Re º <
:
2
2
ET II 308(10)
6.311
Z
1
0
[1 ¡ ©(ax)] sin bx dx =
´
b2
1³
1 ¡ e¡ 4a2
b
[a > 0;
b > 0]:
ET I 96(4)
6.312
Z
1
0
1
©(ax) sin bx dx = p
4 2¼b
2
Ã
p
p !
a 2b
b + a2 + a 2b
p + 2 arctg
ln
b ¡ a2
b + a2 ¡ a 2b
[a > 0;
b > 0]:
ET I 96(3)
6.313
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
0
1 12
®
p
1
1
1
sin(¯x)[1¡©( ®x)] dx = ¡@ 2 2 2 A [(®2 +¯ 2 ) 2 ¡®]¡ 2
¯
® +¯
0
1 12
®
p
1
1
cos(¯x)[1¡©( ®x)] dx = @ 2 2 2 A [(®2 +¯ 2 ) 2 +®]¡ 2
® +¯
[Re ® > j Im ¯ j]:
ET II 307(6)
[Re ® > j Im ¯ j]:
ET II 307(7)
6.314
1:
Z
1
0
∙
•r ¶¸
a
1
1
sin(bx) 1 ¡ ©
dx = b¡1 exp[¡(2ab) 2 ] cos[(2ab) 2 ]
x
[Re a > 0;
b > 0]:
Z
2:
1
0
∙
•r ¶¸
a
1
1
cos(bx) 1 ¡ ©
dx = ¡b¡1 exp[¡(2ab) 2 ] sin[(2ab) 2 ]
x
[Re a > 0;
b > 0]:
ET II 307(9)
6.315
•
¶
1
•
¶
Z 1
¡ 1+ º ¯
3 º+3
¯2
º+1 º
2
;
+
1;
;
;
¡
xº¡1 sin(¯x)[1¡©(®x)] dx = p
F
2 2
¼(º + 1)®º+1
2
2
2
2
4®2
0
[Re ® > 0; Re º > ¡1]:
1:
ET II 307(3)
•
1 1
Z 1
¡
+ º
2 2
p
xº¡1 cos(¯x)[1¡©(®x)]dx =
¼º®º
0
2:
¶
•
¯2
º º +1 1 º
;
; ; + 1; ¡ 2
2
2
2 2
4®
[Re ® > 0; Re º > 0]:
2 F2
¶
ET II 307(4)
681
Z
3:
1
0
[1¡©(ax)] cos bx¢x dx =
•
¶
∙
•
¶¸
1
b2
1
b2
exp
¡
¡
1
¡
exp
¡
2a2
4a2
b2
4a2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 40(5)
Z
4:
1
0
∙ •
¶
• 2 ¶¸
dx
1
p2
p
[©(ax)¡©(bx)] cos px
=
Ei ¡ 2 ¡ Ei
x
2
4b
4a2
[a > 0;
b > 0;
p > 0]:
ET I 40(6)
Z
5:
1
0
¡ 12
x
p
1
©(a x) sin bx dx = p
2 2¼b
(
"
#
" p #)
p
b + a 2b + a2
a 2b
p
ln
+ 2 arctg
2
b
¡ a2
b ¡ a 2b + a
[a > 0; b > 0]:
ET I 96(3)
6.316
Z
1
0
e
1 2
2x
∙
1¡©
•
x
p
2
¶¸
sin bx dx =
r
¶¸
∙
•
¼ b2
b
e 2 1¡© p
2
2
[b > 0]:
Z
1
¡a2 x2
e
0
p
i ¼ ¡ b22
e 4a
©(iax) sin bx dx =
a 2
[b > 0]:
ET I 96(2)
6.318
Z
1
0
[1 ¡ ©(x)] si(2px) dx =
2
2
2
(1 ¡ e¡p ) ¡ p (1 ¡ ©(p))
¼p
¼
[p > 0]:
NT 61(13)a
6.32 Fresnel integrals
6.321
1:
Z
0
1∙
p
¸
1
¡ S(px) x2q¡1 dx =
2
•
¶
1
2q + 1
2¡ q +
sin
¼
2
4
p
4 ¼qp2q
∙
3
0 < Re q < ;
2
¸
p>0 :
NT 56(14)a
2:
Z
1
0
∙
¸
1
¡ C(px) x2q¡1 dx =
2
p
•
¶
1
2q + 1
2¡ q +
cos
¼
2
4
p
4 ¼qp2q
∙
3
0 < Re q < ;
2
¸
p>0 :
NT 56(13)a
6.322
1:
2:
Z
Z
1
S(t)e¡pt dt =
0
1
0
¡pt
C(t)e
1
p
1
dt =
p
½
cos
½
p2
4
p2
cos
4
∙
∙
∙
³ p ´¸
³ p ´¸¾
p2 1
1
¡C
+ sin
¡S
:
2
2
4 2
2
∙
³ p ´¸
³ p ´¸¾
p2 1
1
¡S
¡C
¡ sin
:
2
2
4 2
2
6.323
1:
Z
1
0
p
1
p ¡pt
( p2 + 1 ¡ p) 2
p
S( t)e
dx =
:
2p p2 + 1
MO 173a
MO 172a
2:
Z
1
0
p
1
p ¡pt
( p2 + 1 + p) 2
p
C( t)e
dt =
:
2p p2 + 1
EF 122(58)a
6.324
1:
Z
1
0
∙
¸
1
¡ S(x) sin 2px dx = (1 + sin p2 ¡ cos p2 )=4p
2
[p > 0]:
NT 61(12)a
2:
Z
1
0
∙
¸
1
¡ C(x) sin 2px dx = (1 ¡ sin p2 ¡ cos p2 )=4p
2
[p > 0]:
NT 61(11)a
6.325
1:
Z
1
S(x) sin b2 x2 dx =
0
1p ¡5
¼2 2
b
[0 < b2 < 1];
=0
[b2 > 1]:
ET I 98(21)a
2:
Z
1
C(x) cos b2 x2 dx =
0
p
¼ ¡5
2 2
b
[0 < b2 < 1];
=0
[b2 > 1]:
ET I 42(22)
6.326
1:
Z
1
0
∙
¸
1
¡ S(x) si(2px) dx = (¼=8)1=2 (S(p)+C(p)¡1)¡(1+sin p2 ¡cos p2 )=4p
2
[p > 0]:
NT 61(15)a
2:
Z
1
0
∙
¸
1
¡ C(x) si(2px) dx = (¼=8)1=2 (S(p)¡C(p))¡(1¡sin p2 ¡cos p2 )=4p
2
[p > 0]:
NT 61(14)a
6.4 The Gamma Function and Functions Generated by It
6.41 The gamma function
6.411
Z
1
¡1
¡(®+x)¡(¯ ¡x) dx = ¡i¼21¡®¡¯ ¡(® + ¯)
= i¼21¡®¡¯ ¡(® + ¯)
=0
[Re(® + ¯) < 1;
[Re(® + ¯) < 1;
[Re(® + ¯) < 1;
Im ®;
Im ®;
Im ®;
Im ¯ > 0];
Im ¯ < 0];
Im ¯ < 0]:
ET II 297(1)
ET II 297(2)
ET II 297(3)
683
6.412
Z
i1
¡i1
¡(®+s)¡(¯+s)¡(° ¡s)¡(± ¡s) ds = 2¼i
¡(® + °)¡(® + ±)¡(¯ + °)¡(¯ + ±)
¡(® + ¯ + ° + ±)
[Re ®; Re ¯; Re °; Re ± > 0]:
ET II 302(32)
6.413
1:
Z
1
0
p
j¡(a+ix)¡(b+ix)j2 dx =
•
¶
•
¶
1
1
¼¡(a)¡ a +
¡(b)¡ b +
¡(a + b)
2
2
•
¶
1
2¡ a + b +
2
[a > 0;
b > 0]:
ET II 302(27)
2:
6.414
¯
Z 1¯
¯ ¡(a + ix) ¯2
¯
¯
¯ ¡(b + ix) ¯ dx =
0
p
•
¶ •
¶
1
1
¼¡(a)¡ a +
¡ b¡a¡
2
2
•
¶
1
2¡(b)¡ b ¡
¡(b ¡ a)
2
∙
0<a<b¡
¸
1
:
2
ET II 302(28)
ET II 297(4)
2:
Z
1
dx
2®+¯¡2
=
¡(® + ¯ ¡ 1)
¡1 ¡(® + x)¡(¯ ¡ x)
[Re(® + ¯) > 1]:
ET II 297(5)
3:
Z
1
¡(° + x)¡(± + x)
dx = 0
¡(®
+ x)¡(¯ + x)
¡1
[Re(®+¯ ¡° ¡±) > 1;
Im °;
Im ± > 0]:
ET II 299(18)
4:
Z
1
¡(° + x)¡(± + x)
§2¼ 2 i¡(® + ¯ ¡ ° ¡ ± ¡ 1)
dx =
sin[¼(° ¡ ±)]¡(® ¡ °)¡(® ¡ ±)¡(¯ ¡ °)¡(¯ ¡ ±)
¡1 ¡(® + x)¡(¯ + x)
[Re(® + ¯ ¡ ° ¡ ±) > 1 , Im °, Im ± < 0. In the numerator, we take the plus sign of Im ° > Im ± and the minus sign if
Im ° < Im ±:]
5:
Z
∙
¸
1
¼
exp
§
¼(±
¡
°)i
1
¡(® ¡ ¯ ¡ ° + x + 1) dx
2
∙
¸ ∙
¸
=
1
1
¡1 ¡(® + x)¡(¯ ¡ x)¡(° + x)
¡(¯ + ° ¡ 1)¡ (® + ¯) ¡ (° ¡ ± + 1)
2
2
ET II 300(19)
[Re(¯ + °) > 1; ± = ® ¡ ¯ ¡ ° + 1; Im ±=
= 0: The sign is plus in the argument if the exponential for Im ± > 0 and minus for
Im ± < 0].
6:
Z
1
dx
¡(® + ¯ + ° + ± ¡ 3)
=
¡(®
+
x)¡(¯
¡
x)¡(°
+
x)¡(±
¡
x)
¡(®
+
¯
¡
1)¡(¯
+ ° ¡ 1)¡(° + ± ¡ 1)¡(± + ® ¡ 1)
¡1
[Re(® + ¯ + ° + ±) > 3]:
ET II 300(21)
ET II 300(20)
684
6.415
ET II 301(24)
Z
2:
∙
¸
1
R(t)
cos
¼(2t
+
®
¡
¯)
dt
1
R(x) dx
2
0
¶ •
¶
= •
®+¯
°+±
¡1 ¡(® + x)¡(¯ ¡ x)¡(° + x)¡(± ¡ x)
¡
¡
¡(® + ± ¡ 1)
2
2
[® + ± = ¯ + °; Re(® + ¯ + ° + ±) > 2; R(x + 1) = ¡R(x)]:
Z
1
ET II 301(25)
6.42 Combinations of the gamma function, the exponential, and powers
6.421
Z
1:
1
¡1
¡(®+x)¡(¯ ¡x) exp[2(¼n+•)xi] dx = 2¼i¡(® + ¯)(2 cos •)¡®¡¯ exp[(¯ ¡ ®)i•] £
£[´n (¯) exp(2n¼¯i)¡´n (¡®) exp(¡2n¼®i)]
¼
¼
Re(® + ¯) < 1; ¡ < • < ; n ¡ an integer; ´n (³) = 0;
2 •
2¶
•
¶
•
¶
¸
1
1
1
¡ n Im ³ > 0; ´n (³) = sign
¡ n ; if
¡ n Im ³ < 0 :
2
2
2
h
if
ET II 298(7)
2:
3:
Z
Z
1
e¼icx dx
=0
¡1 ¡(® + x)¡(¯ ¡ x)¡(° + kx)¡(± ¡ kx)
[Re(® + ¯ + ° + ±) > 2; c; k ¡ are real:
jcj > jk j + 1]:
ET II 301(26)
1
¡(® + x)
exp[(2¼n + ¼ ¡ 2•)xi] dx = =
¡1 ¡(¯ + x)
•
¶
1 (2 cos •)¯¡®¡1
= 2¼i sign n +
exp[¡(2¼n + ¼ ¡ •)®i + •i(¯ ¡ 1)]
2
¡(¯ ¡ ®)
∙
•
¶
¸
¼
1
¼
Re(¯ ¡ ®) > 0; ¡ < • < ; n ¡ an integer ;
n+
Im ® < 0 :
2
2
2
ET II 298(8)
4:
Z
1
¡(® + x)
exp[(2¼n + ¼ ¡ 2•)xi] dx = 0
¡1 ¡(¯ + x)
∙
¼
¼
Re(¯ ¡ ®) > 0; ¡ < • < ; n ¡ an integer ;
2
2
•
n+
1
2
¶
¸
Im ® > 0 :
Z
1:
•
¶ •
¶
1
1
¡(s ¡ k ¡ ¸)¡ ¸ + ¹ ¡ s +
¡ ¸¡¹¡s+
z s ds =
2
2
¡i1
¶ •
¶
•
1
1
z
¡k¡¹ ¡
¡ k + ¹ z ¸ e 2 Wk; ¹ (z)
= 2¼i¡
2
2
¸
∙
3¼
1
:
Re(k + ¸) < 0; Re ¸ > j Re ¹j ¡ ; j arg z j <
2
2
i1
ET II 302(29)
Z
2:
°+i1
¡(® + s)¡(¡s)¡(1 ¡ c ¡ s)xs ds = 2¼i¡(®)¡(® ¡ c + 1)ª(®; c; x)
∙
¸
3¼
3¼
¡ Re ® < ° < min(0; 1 ¡ Re c); ¡
< arg x <
:
2
2
°¡i1
EH I 256(5)
Z
3:
°+i1
°¡i1
¡(¡s)¡(¯+s)ts ds = 2¼i¡(¯)(1+t)¡¯
[0 > ° > Re(1¡¯);
j arg tj < ¼]:
EH I 256, BU 75
Z
4:
1i
¡
¡1i
•
t¡p
2
¶
p
1 2
¡(¡t)( 2)t¡p¡2 z t dt = 2¼ie 4 z ¡(¡p)Dp (z)
∙
¸
3
j arg z j < ¼; p ¡ not a positive integer :
4
WH
Z
5:
¶ •
¶ • 2 ¶s
1
1
1
z
1
º + ¡s ¡
º¡ ¡s
ds = =
2
4
2
4
2
¡i1
•
¶ •
¶
1
1
3 2
1
1
1
1
1
= 2¼i ¢ 2 4 ¡ 2 º z ¡ 2 e 4 z ¡
º+
¡
º¡
Dº (z)
2
4
2
4
∙
¸
3
1
1
3
j arg z j < ¼; º=
= ; ¡ ; ¡ ;... :
4
2
2
2
i1
¡(s)¡
•
EH II 120
6:
3
Z
c+i1
c¡i1
•
¶ ¡s •
¶∙ •
¶¸¡1
1
1
1
1
1
¡
ds = 4¼iJº (x)
x
º+ s
¡ 1+ º¡ s
2
2
2
2
2
[x > 0; ¡ Re º < c < 1]:
EH II 21(34)
7:
8:
Z
Z
¡c+i1
¡c¡i1
¡c+i1
¡c¡i1
•
1
¡(¡º ¡ s)¡(¡s) ¡ iz
2
•
¡(¡º ¡ s)¡(¡s)
1
iz
2
¶ º+2s
h
¶ º+2s
1
ds = ¡2¼ 2 e 2 iº¼ Hº(1) (z)
i
0 < Re º < c :
EH II 83(34)
ds = 2¼ 2 e¡ 2 iº¼ Hº(2) (z)
h
i
¼
j arg(iz)j < ; 0 < Re º < c :
2
EH II 83(35)
j arg(¡iz)j <
¼
;
2
1
686
9:
•
¶ º+2s
1
Z i1
x
2
¡(¡s)
ds = 2¼iJº (x)
¡(º + s + 1)
¡i1
[x > 0;
Re º > 0]:
EH II 83(36)
10:
Z
•
¶
5
1
¡(¡s)¡(¡2º ¡s)¡ º + s +
(¡2iz)s ds = ¡¼ 2 e¡i(z¡º¼) sec(º¼)(2z)¡º Hº(1) (z)
2
¡i1
∙
¸
3
j arg(¡iz)j < ¼; 2º=
= § 1; §3 . . . :
2
i1
EH II 83(37)
11:
Z
•
¶
1
5
¡(¡s)¡(¡2º ¡s)¡ º + s +
(2iz)s ds = ¼ 2 ei(z¡º¼) sec(º¼)(2z)¡º Hº(2) (z)
2
¡i1
∙
¸
3
j arg(iz)j < ¼; 2º=
= § 1; §3 . . . :
2
i1
EH II 84(38)
12:
Z
i1
¡(s)¡
¡i1
•
1
¡s¡º
2
¶
¡
•
¶
3
3
1
1
¡ s + º (2z)s ds = 2 2 ¼ 2 iz 2 ez sec(º¼)Kº (z)
2
∙
¸
3¼
j arg z j <
; 2º=
= § 1; §3; . . . :
2
13:
Z
¡ 21 +i1
¡ 12
¡(¡s) 2s
x ds = 4¼
s¡(1 + s)
¡i1
Z
1
2x
J0 (t)
dt
t
[x > 0]:
MO 41
14:
Z
i1
¡(® + s)¡(¯ + s)¡(¡s)
¡(®)¡(¯)
(¡z)s ds = 2¼i
F (®; ¯; °; z)
¡(°
+
s)
¡(°)
¡i1
[For arg(¡z) < ¼ , the path of integration must separate the poles of the integrand at the points s = 0; 1; 2; 3; . . . from the poles
s = ¡® ¡ n and s = ¡¯ ¡ n (for n = 0; 1; 2; . . . ) ].
15:
16:
17:
Z
±+i1
2¼i¡(®)
¡(® + s)¡(¡s)
(¡z)s ds =
1 F1 (®; °; z)
¡(°
+
s)
¡(°)
±¡i1
h ¼
i
¼
¡ < arg(¡z) < ; 0 > ± > ¡ Re ®; °=
= 0; 1; 2; . . . :
2
2
¶ 32
2 •
1
Z i1 ¡
¡s 7
6
2
7 z s ds = 2¼iz 12 [2¼ ¡1 K0 (4z 14 ) ¡ N0 (4z 14 )]
6
5
4 ¡ (s)
¡i1
EH I 256(4)
EH I 62(15)
[z > 0]:
ET II 303(33)
•
¶ •
¶
1
1
Z i1 ¡ ¸ + ¹ ¡ s +
¡ ¸¡¹¡s+
z
2
2
z s ds = 2¼iz ¸ e¡ 2 Wk; ¹ (z)
¡(¸ ¡ k ¡ s + 1)
¡i1
¸
∙
¼
1
Re ¸ > j Re ¹j ¡ ; j arg z j <
:
2
2
ET II 302(30)
687
18:
•
¶
•
¶
1
1
Z i1 ¡(k ¡ ¸ + s)¡ ¸ + ¹ ¡ s +
¡ k+¹+
z
2
2
s
•
¶
z ¸ e¡ 2 Mk; ¹ (z)
z ds = 2¼i
1
¡(2¹
+
1)
¡i1
¡ ¹¡¸+s+
2
∙
¸
1
¼
Re(k ¡ ¸) > 0; Re(¸ + ¹) > ¡ ; j arg z j <
:
2
2
19:
Z
à ¯
!
Qn
¯a ; . . . ; a
¡(b
¡
s)
¡(1
¡
a
+
s)
j
j
¯ 1
j=1
j=1
p
s
mn
Qp
Qq
z ds = 2¼iGpq z ¯
¯ b1 ; . . . ; bq
¡i1
j=m+1 ¡(1 ¡ bj + s) j=n+1 ¡(aj ¡ s)
¶
∙
•
1
1
p + q < 2(m + n); j arg z j < m + n ¡ p ¡ q ¼;
2
2
¸
Re ak < 1; k = 1; . . . ; n; Re bj > 0; j = 1; . . . ; m :
i1
Qm
ET II 303(34)
6.423
1:
Z
1
e¡®x
0
dx
= º(e¡® ):
¡(1 + x)
MI 39, EH III 222(16)
2:
Z
1
e¡®x
0
dx
= e¯® º(e¡® ; ¯):
¡(x + ¯ + 1)
MI 39, EH III 222(16)
3:
Z
1
e¡®x
0
xm
dx = ¹(e¡® ; m)¡(m + 1)
¡(x + 1)
[Re m > ¡1]:
MI 39, EH III 222(17)
4:
Z
1
0
e¡®x
xm
dx = en® ¹(e¡® ; m; n)¡(m + 1):
¡(x + n + 1)
MI 39, EH III 222(17)
6.424
∙
• ¶¸®+¯¡2
•
∙
¸Z 1
Z 1
2 cos
R(x) exp[(2¼n + •)xi] dx
1
2
=
exp
•(¯ ¡ ®)i
R(t) exp(2¼nti) dt
¡(® + x)¡(¯ ¡ x)
¡(® + ¯ ¡ 1)
2
0
¡1
[Re(® + ¯) > 1; ¡¼ < • < ¼; n ¡ an integer ; R(x + 1) = R(x)]:
ET II 299(16)
6.43 Combinations of the gamma function and trigonometric functions
6.431
1:
Z
r(q ¡ p)
r ´p+q¡2
sin
sin rx dx
2
2
=
¡(p + q ¡ 1)
[jrj < ¼];
¡1 ¡(p + x)¡(q ¡ x)
=0
[jrj > ¼];
[r ¡ real;
1
³
2 cos
Re(p + q) > 1]:
2:
Z
³
r(q ¡ p)
r ´p+q¡2
cos
cos rx dx
2
2
=
¡(p
+
x)¡(q
¡
x)
¡(p
+
q
¡
1)
[
j
r
j
<
¼];
¡1
=0
[jrj > ¼];
[r ¡ real;
1
2 cos
Re(p + q) > 1]:
MO 10a, ET II 299(13, 14)
6.432
Z
1
sin(m¼x)
dx
=0
sin(¼x)
¡(®
+
x)¡(¯
¡ x)
¡1
=
[m¡ an even integer];
2®+¯¡2
¡(® + ¯ ¡ 1)
[m¡ an odd integer]
[Re(® + ¯) > 1]:
ET II 298(11, 12)
6.433
1:
Z
h¼
i
sin
(¯
¡
®)
sin ¼x dx
•
¶ •2
¶
=
®+¯
°+±
¡1 ¡(® + x)¡(¯ ¡ x)¡(° + x)¡(± ¡ x)
2¡
¡
¡(® + ± ¡ 1)
2
2
[® + ± = ¯ + °; Re(® + ¯ + ° + ±) > 2]:
1
ET II 300(22)
2:
Z
h¼
i
cos
(¯
¡
®)
cos ¼x dx
•
¶ •2
¶
=
®+¯
°+±
¡1 ¡(® + x)¡(¯ ¡ x)¡(° + x)¡(± ¡ x)
2¡
¡
¡(® + ± ¡ 1)
2
2
[® + ± = ¯ + °; Re(® + ¯ + ° + ±) > 2]:
1
ET II 301(23)
6.44 The logarithm of the gamma function* Here, we are violating our usual order of
presentation of the formulas in order to make it easier to examine the integrals
involving the gamma function.
6.441
1:
Z
p+1
ln ¡(x) dx =
p
1
ln 2¼ + p ln p ¡ p:
2
Z
2:
1
ln ¡(x) dx =
0
Z
1
0
ln ¡(1 ¡ x) dx =
1
ln 2¼:
2
FI II 783
Z
3:
1
ln ¡(x + q) dx =
0
1
ln 2¼ + q ln q ¡ q
2
[q ¸ 0]:
NH 89(17), ET II 304(40)
Z
z
z
z(z + 1)
ln 2¼ ¡
+ z ln ¡(z + 1) ¡ ln G(z + 1);
2
2
0
•
¶ 1 ½
•
¶¾
z2
z(z + 1)
Cz 2 Y ³
z
z ´k
2
¡
G(z+1) = (2¼) exp ¡
exp ¡z +
1+
2
2
k
2k
4:
where
ln ¡(x + 1) dx =
k=1
WH
689
Z
5:
n
ln ¡(® + x) dx =
0
n¡1
X
k=0
1
1
(a + k) ln(a + k) ¡ na + n ln(2¼) ¡ n(n ¡ 1)
2
2
[a ¸ 0;
n = 1; 2; . . . ]:
ET II 304(41)
6.442
Z
1
0
exp(2¼nxi) ln ¡(a + x) dx = (2¼ni)¡1 [ln a ¡ exp(¡2¼nai) Ei(2¼nai)]
[a > 0;
n = §1; §2; . . . ]:
ET II 304(38)
6.443
1:
Z
1
ln ¡(x) sin 2¼nx dx =
0
1
[ln(2¼n) + C ]:
2¼n
NH 203(5), ET II 304(42)
2:
Z
1
0
∙ ³ ´
•
¶
¸
1
1
1
1
¼
ln ¡(x) sin(2n+1) ¼x dx =
ln
+ 2 1 + +¢¢¢ +
+
:
(2n + 1)¼
2
3
2n ¡ 1
2n + 1
ET II 305(43)
Z
3:
1
ln ¡(x) cos 2¼nx dx =
0
1
:
4n
NH 203(6), ET II 305(44)
4:
7
5:
Z
Z
1
0
1
0
2
ln ¡(x) cos(2n+1)¼x dx = 2
¼
"
1
X
ln k
1
(C
C + ln 2¼) + 2
2
2
(2n + 1)
4k ¡ (2n + 1)2
k=2
#
:
sin(2¼nx) ln ¡(a+x) dx = ¡(2¼n)¡1 [ln a+cos(2¼na) ci(2¼na)¡sin(2¼na) si(2¼na)]
[a > 0;
n = 1; 2; . . . ]:
ET II 304(36)
6:
Z
1
0
cos(2¼nx) ln ¡(a+x) dx = ¡(2¼n)¡1 [sin(2¼na) ci(2¼na)+cos(2¼na) si(2¼na)]
[a > 0;
n = 1; 2; . . . ]:
ET II 304(37)
6.45 The incomplete gamma function
6.451
1:
2:
Z
Z
1
e¡®x °(¯; x) dx =
0
1
¡(¯)(1 + ®)¡¯
®
[¯ > 0]:
MI 39
1
e¡®x ¡(¯; x) dx =
0
∙
¸
1
1
¡(¯) 1 ¡
®
(® + 1)¯
[¯ > 0]:
MI 39
6.452
1:
Z
1
0
¡¹x
e
•
x2
° º; 2
8a
¶
dx =
2
1 ¡º¡1
2
¡(2º)e(a¹) D¡2º (2a¹)
¹
∙
¼
1
j arg aj < ; Re º > ¡ ;
4
2
¸
Re ¹ > 0 :
Z
2:
1
¡¹x
e
°
0
•
1 x2
;
4 8a2
¶
3p
2
24 a
dx = p e(a¹) K 14 (a2 ¹2 )
¹
h
j arg aj <
¼
;
4
i
Re ¹ > 0 :
ET I 179(35)
6.453
Z
1
0
³ a´
p
1
1
dx = 2a 2 º ¹ 2 º¡1 Kº (2 ¹a)
e¡¹x ¡ º;
x
h
j arg aj <
¼
;
2
i
Re ¹ > 0 :
ET I 179(32)
6.454
Z
1
¡¯x
e
1
2
°(º; ®x ) dx = 2
¡ 21 º
º
® ¯
¡ 12 º¡1
¡(º) exp
0
•
®2
8¯
¶
D¡º
•
®
p
2¯
¶
[Re ¯ > 0;
Re º > 0]:
ET II 309(19), MI 39a
6.455
1:
Z
1
¹¡1 ¡¯x
x
e
0
¶
•
®º ¡(¹ + º)
¯
¡(º; ®x) dx =
2 F1 1; ¹ + º; ¹ + 1;
¹(® + ¯)¹+º
®+¯
[Re(® + ¯) > 0; Re ¹ > 0; Re(¹ + º) > 0]:
ET II 309(16)
2:
Z
1
¹¡1 ¡¯x
x
e
0
¶
•
®º ¡(¹ + º)
®
°(º; ®x) dx =
2 F1 1; ¹ + º; º + 1;
º(® + ¯)¹+º
®+¯
[Re(® + ¯) > 0; Re ¯ > 0; Re(¹ + º) > 0]:
(15)
6.456
1:
Z
1
¡®x
e
º¡ 12
(4x)
0
•
1
° º;
4x
¶
p
p °(2º; ®)
:
dx = ¼
1
®º+ 2
MI 39a
2:
Z
1
0
¡®x
e
º¡ 12
(4x)
•
1
¡ º;
4x
¶
dx =
p
¼¡(2º;
p
®)
1
®º+ 2 :
MI 39a
6.457
Z
1:
1
º
¡®x (4x)
e
0
•
¶
1
p ° º + 1;
x
4x
p °(2º + 1;
dx = ¼
1
®º+ 2
p
®)
:
MI 39
Z
2:
1
0
º
¡®x (4x)
e
•
1
p ¡ º + 1;
x
4x
¶
p ¡(2º + 1;
dx = ¼
1
®º+ 2
p
®)
:
MI 39
6.458
Z
1
1¡2º
x
0
¶
• 2¶
∙
¸
b
3
b
¡ º exp
exp(®x ) sin(bx)¡(º; ®x ) dx = ¼ 2 ®
¡
D2º¡2
1
2
8®
(2®) 2
¸
∙
3¼
; 0 < Re º < 1 :
j arg ®j <
2
2
1
2
2
¡º
º¡1
•
ET II 309(18)
6.46-6.47 The function ψ(x)
6.461
Z
x
Ã(x) dx = ln ¡(x):
1
691
6.462
Z
1
Ã(® + x) dx = ln ®
[® > 0]:
0
ET II 305(1)
6.463
Z
1
0
x¡® [C
C + Ã(1 + x)] = ¡¼ cosec(¼®)³(®)
6.464
[1 < Re ® < 2]:
ET II 305(6)
ET II 305(2)
6.465
1:7
Z
1
0
"
#
1
X
ln k
2
Ã(x) sin ¼x dx = ¡
C + ln 2¼ + 2
:
¼
4k 2 ¡ 1
k=2
NH 204
Z
2:
1
0
1
Ã(x) sin(2¼nx) dx = ¡ ¼
2
[n = 1; 2; . . . ]:
ET II 305(3)
6.466
Z
1
0
[Ã(® + ix) ¡ Ã(® ¡ ix)] sin xy dx = i¼e¡®y (1 ¡ e¡y )¡1
[® > 0;
y > 0]:
ET I 96(1)
6.467
1:
2:
Z
Z
1
sin(2¼nx)Ã(® + x) dx = sin(2¼n®) ci(2¼n®) + cos(2¼n®) si(2¼n®)
0
[® ¸ 0;
n = 1; 2; . . . ]:
ET II 305(4)
1
cos(2¼nx)Ã(® + x) dx = sin(2¼n®) si(2¼n®) ¡ cos(2¼n®) ci(2¼n®)
0
[® > 0;
n = 1; 2; . . . ]:
ET II 305(5)
6.468
Z
1
0
1
Ã(x) sin2 ¼x dx = ¡ [C
C + ln(2¼)]:
2
NH 204
6.469
1:
Z
1
0
¼
Ã(x) sin ¼x cos ¼x dx = ¡ :
4
2:
7
Z
1
n
[n ¡ even];
1 ¡ n2
1 n¡1
= ln
[n ¡ odd]:
2 n+1
Ã(x) sin ¼x sin(n¼x) dx =
0
NH 204(8)a
6.471
Z
1:
1
0
x¡® [ln x ¡ Ã(1 + x)] dx = ¼ cosec(¼®)³(®)
[0 < Re ® < 1]:
ET II 306(7)
692
Z
2:
1
0
x¡® [ln(1+x)¡Ã(1+x)] dx = ¼ cosec(¼®)[³(®)¡(®¡1)¡1 ]
[0 < Re ® < 1]:
ET II 306(8)
Z
3:
1
0
[Ã(x + 1) ¡ ln x] cos(2¼xy) dx =
1
[Ã(y + 1) ¡ ln y]:
2
ET II 306(12)
6.472
Z
1:
1
0
x¡® [(1+x)¡1 ¡Ã 0 (1+x)] dx = ¡¼® cosec(¼®)[³(1+®)¡®¡1 ]
[j Re ®j < 1]:
ET II 306(9)
Z
2:
1
0
x¡® [x¡1 ¡ Ã 0 (1+x)] dx = ¡¼® cosec(¼®)³(1+®)
[¡2 < Re ® < 0]:
ET II 306(10)
6.473
Z
1
0
x¡® Ã (n) (1+x) dx = (¡1)n¡1
¼¡(® + n)
³(®+n)
¡(®) sin ¼®
[n = 1; 2; . . . ;
0 < Re ® < 1]:
ET II 306(11)
6.5- 6.7 Bessel Functions
6.51 Bessel functions
6.511
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
Jº (bx) dx =
0
1
b
[Re º > ¡1;
b > 0]:
ET II 22(3)
1
0
Nº (bx) dx = ¡
a
Jº (x) dx = 2
0
³ º¼ ´
1
tg
b
2
1
X
Jº+2k+1 (a)
k=0
[j Re º j < 1;
b > 0]:
WA 432(7), ET II 96(1)
[Re º > ¡1]:
ET II 333(1)
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
a
0
p
J 12 (t) dt = 2S( a):
WA 599(4)
a
0
p
J¡ 12 (t) dt = 2C( a):
WA 599(3)
a
J0 (x) dx = aJ0 (a) +
0
¼a
[J1 (a)H0 (a) ¡ J0 (a)H1 (a)]
2
[a > 0]:
ET II 7(2)
a
0
J1 (x) dx = 1 ¡ J0 (a)
[a > 0]:
8:
Z
1
a
J0 (x) dx = 1 ¡ aJ0 (a) +
¼a
[J0 (a)H1 (a) ¡ J1 (a)H0 (a)]
2
[a > 0]:
ET II 7(3)
693
9:
10:
Z
Z
1
J1 (x) dx = J0 (a)
[a > 0]:
a
ET II 18(2)
b
Nº (x) dx = 2
a
1
X
n=0
[Nº+2n+1 (b) ¡ Nº+2n+1 (a)]:
ET II 339(46)
11:
Z
a
Iº (x) dx = 2
0
1
X
n=0
(¡1)n Iº+2n+1 (a)
[Re º > ¡1]:
ET II 364(1)
6.512
1:
Z
¶
¹+º+1
•
¶
1
b2
¹+º +1 º ¡¹+1
2
º ¡º¡1
•
¶F
J¹ (ax)Jº (bx) dx = b a
;
; º + 1; 2
¹¡º+1
2
2
a
0
¡(º + 1)¡
2
[a > 0; b > 0; Re(¹ + º) > ¡1; b > a:
For a < b; the positions of ¹ and º should be reversed ]:
¡
•
ET II 48(6)
2:7
Z
1
•
¶
¯ º¡n¡1 ¡(º)
¯2
F
º;
¡
n;
º
¡
n;
[0 < ¯ < ®];
®º¡n n!¡(º ¡ n)
®2
1
[0 < ¯ = ®];
= (¡1)n
2®
=0
[0 < ® < ¯]
[Re(º) > 0; n ¸ 0]:
Jº+n (®t)Jº¡n¡1 (¯t) dt =
0
MO 50
3.
Z
1
0
¯ º¡1
Jº (ax)Jº¡1 (¯x) dx =
®º
1
=
2¯
=0
9
>
>
[¯ < ®]; >
>
>
=
[¯ = ®]; >
>
>
>
>
;
[¯ > ®];
[Re º > 0]:
4:
5:
Z
Z
1
º ¡º¡1
Jº+2n+1 (ax)Jº (bx) dx = b a
0
¶
2b2
1¡ 2
a
[Re º > ¡1 ¡ n;
Pn(º; 0)
=0
1]
0
n+1
Jº+n (ax)Nº¡n (ax) dx = (¡1)
•
∙
1
2a
[Re º > ¡1 ¡ n;
0 < b < a];
0 < a < b]:
ET II 47(5)
1
Re º > ¡ ;
2
a > 0;
n = 0; 1; 2; . . .
¸
:
ET II 347(57)
6:
Z
1
0
•
¶
b¡1
b2
J1 (bx)N0 (ax) dx = ¡
ln 1 ¡ 2
¼
a
[0 < b < a]:
ET II 21(31)
7:
Z
a
Jº (x)Jº+1 (x) dx =
0
1
X
[Jº+n+1 (a)]2
n=0
[Re º > ¡1]:
ET II 338(37)
694
6.513
1:
•
¶
1 + º + 2¹
Z 1
¡
2
2
2¹ ¡2¹¡1
•
¶ £
[J¹ (ax)] Jº (bx) dx = a b
1 + º ¡ 2¹
0
2
[¡(¹ + 1)] ¡
2
2 0
1¡
6 B 1 ¡ º + 2¹ 1 + º + 2¹
B
;
;
¹
+
1;
£6
F
4 @
2
2
[Re º + Re 2¹ > ¡1;
2:
Z
1
0
b¡1
[J¹ (ax)] Kº (bx) dx =
¡
2
2
•
2¹ + º + 1
2
r
0 < 2a < b]:
1 32
4a2
1 ¡ 2 C7
b C7
A5
2
ET II 52(33)
Ãr
!# 2
¶ •
¶"
4a2
2¹ ¡ º + 1
¡¹
¡
1+ 2
P 1 º¡ 1
2
2
2
b
[2 Re ¹ > j Re º j ¡ 1;
Re b > 2j Im aj]:
ET II 138(18)
ET II 65(20)
4:
Z
1
0
³ º¼ ´
¼
sec
P 1¹º¡ 1
J¹ (ax)J¡¹ (ax)Kº (bx) dx =
2
2
2b
2
Ãr
[j Re º j < 1;
4a2
1+ 2
b
!
P 1¡¹
1
2 º¡ 2
Ãr
4a2
1+ 2
b
!
Re b > 2j Im aj]:
ET II 138(21)
5:
Z
¶
1 + º + 2¹ "
Ãr
!# 2
¡
e
1
4a2
2
¡¹
2
•
¶
[K¹ (ax)] Jº (bx) dx =
1+ 2
Q 1 º¡ 1
2
2
1 + º ¡ 2¹
b
0
b¡
2
¶
¸
∙
•
1
1
º§¹ >¡
:
Re a > 0; b > 0; Re
2
2
2¹¼i
•
ET II 66(28)
6:
Z
z
J¹ (x)Jº (z ¡x) dx = 2
0
1
X
k=0
(¡1)k J¹+º+2k+1 (z)
[Re ¹ > ¡1;
Re º > ¡1]
[see also 6.683 3.].
6.683
WA 414(2)
7:
8:
Z
Z
z
J¹ (x)J¡¹ (z ¡ x) dx = sin z
0
[¡1 < Re ¹ < 1]:
WA 415(4)
z
0
J¹ (x)J1¡¹ (z ¡ x) dx = J0 (z) ¡ cos(z)
[¡1 < Re ¹ < 2]:
WA 415(4)
695
6.514
1:
Z
1
0
Jº
³a´
x
Jº (bx) dx = b
¡1
p
J2º (2 ab)
∙
a > 0;
b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
2:
Z
1
Jº
0
³a´
x
Nº (bx) dx = b
¡1
∙
¸
p
2
N2º (2 ab) + K2º ( 2ab)
¼
∙
¸
3
1
:
a > 0; b > 0; ¡ < Re º <
2
2
p
ET II 110(12)
3:
Z
1
Jº
0
³a´
p
p
1
1
1
1
Kº (bx) dx = b¡1 e 2 i(º+1)¼ K2º [2e 4 i¼ ab]+b¡1 e¡ 2 i(º+1)¼ K2º [2e¡ 4 ¼i ab]
x
∙
¸
5
a > 0; Re b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 141(31)
4:
Z
1
Nº
0
p
p i
2b¡1 h
¼
Jº (bx) dx = ¡
K2º (2 ab) ¡ N2º (2 ab)
x
¼
2
³a´
∙
¸
1
a > 0; b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 62(37)a
5:
6:
Z
Z
1
Nº
0
1
Nº
0
³a´
x
Nº (bx) dx = ¡b
¡1
∙
p
J2º (2 ab)
a > 0;
b > 0;
¸
1
j Re º j <
:
2
ET II 110(14)
³a´
p
p
1
1
1
1
Kº (bx) dx = ¡b¡1 e 2 º¼i K2º (2e 4 ¼i ab)¡b¡1 e¡ 2 º¼i K2º (2e¡ 4 ¼i ab)
x
¸
∙
5
:
a > 0; Re b > 0; j Re º j <
2
ET II 143(37)
7:
Z
1
Kº
0
³a´
x
Nº (bx) dx = ¡2b
¡1
∙
•
¶
³ p ´
³ p ´¸
3º¼
ker2º 2 ab + cos
kei 2º 2 ab
sin
2
∙
¸
1
Re a > 0; b > 0; j Re º j <
:
2
•
3º¼
2
¶
ET II 113(28)
8:
Z
1
0
Kº
³a´
x
p
Kº (bx) dx = ¼b¡1 K2º (2 ab)
[Re a > 0;
Re b > 0]:
ET II 146(54)
6.515
1:
2:
Z
Z
1
J¹
0
1
0
h
³a´
K¹
x
N¹
³a´
x
³ a ´i2
x
p
p
K0 (bx) dx = ¡2b¡1 J2¹ (2 ab)K2¹ (2 ab)
[a > 0;
Re b > 0]:
ET II 143(42)
p
p
1
1
K0 (bx) dx = 2¼b¡1 K2¹ (2e 4 ¼i ab)K2¹ (2e¡ 4 ¼i ab)
[Re a > 0;
Re b > 0]:
ET II 147(59)
3:
Z
1
0
H¹(1)
•
a2
x
¶
H¹(2)
•
a2
x
¶
p
p
J0 (bx) dx = 16¼ ¡2 b¡1 cos ¹¼K2¹ (2e¼i=4 a b)K2¹ (2e¡¼i=4 a b)
∙
¸
¼
1
j arg aj < ; b > 0; j Re ¹j <
:
4
4
ET II 17(36)
696
6.516
1:
Z
1
0
p
J2º (a x)Jº (bx) dx = b¡1 Jº
•
a2
4b
¶
∙
a > 0;
b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 58(16)
2:
Z
1
0
p
J2º (a x)Nº (bx) dx = ¡b¡1 Hº
•
a2
4b
¶
∙
a > 0;
b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 111(18)
3:
Z
1
0
∙ • 2¶
• 2 ¶¸
p
¼
a
a
J2º (a x)Kº (bx) dx = b¡1 Iº
¡ Lº
2
4b
4b
∙
Re b > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
ET II 144(45)
4:
Z
1
0
∙
• 2¶
• 2¶
• 2 ¶¸
p
a
a
a
¡1 1
N2º (a x)Jº (bx) dx = 2 sec(º¼)b
cos(º¼)Nº
¡ N¡º
+ H¡º
2
4b
4b
4b
∙
¸
1
a > 0; b > 0; Re º > ¡
:
2
5:
Z
1
0
p
N2º (a x)Nº (bx) dx =
∙
• 2¶
• 2¶
• 2 ¶¸
b¡1
a
a
a
¡ 2 ctg (2º¼) Hº
=
sec(º¼)J¡º
+ cosec (º¼) H¡º
2
4b
4b
4b
¸
∙
1
:
a > 0; b > 0; j Re º j <
2
ET II 111(19)
6:
Z
1
0
∙
• 2¶
• 2¶
p
¼b¡1
a
a
¡ ctg (2º¼) Lº
¡
N2º (a x)Kº (bx) dx =
cosec(2º¼)L¡º
2
4b
4b
• 2¶
• 2 ¶¸
sec (º¼)
a
a
¡
¡ tg(º¼)Iº
Kº
4b
¼
4b
∙
¸
1
Re b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 144(46)
7:
Z
1
0
∙
• 2¶
• 2 ¶¸
p
1 ¡1
a
a
K2º (a x)Jº (bx) dx = ¼b sec(º¼) H¡º
¡ N¡º
4
4b
4b
∙
¸
1
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡
:
2
ET II 70(22)
8:
Z
1
0
p
K2º (a x)Nº (bx) dx =
∙
• 2¶
• 2¶
• 2 ¶¸
1 ¡1
a
a
a
= ¡ ¼b
¡ cosec (º¼) H¡º
+ 2 cosec (2º¼) Hº
sec(º¼)J¡º
4
4b
4b
4b
∙
¸
1
Re a > 0; b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 114(34)
697
9:
Z
1
0
p
K2º (a x)Kº (bx) dx =
¼b¡1
4 cos(º¼)
½
Kº
•
¶
∙
• 2¶
• 2 ¶¸¾
¼
a2
a
a
+
L¡º
¡ Lº
4b
2 sin (º¼)
4b
4b
∙
¸
1
Re b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 147(63)
10:
Z
1
0
∙ • 2¶
• 2 ¶¸
p
¼b¡1
a
a
I2º (a x)Kº (bx) dx =
Iº
+ Lº
2
4b
4b
∙
Re b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
6.517
Z
z
0
p
J0 ( z 2 ¡ x2 ) dx = sin z:
MO 48
6.518
Z
1
0
¼2
K2º (2z sh x) dx =
(J 2 (z)+Nº2 (z))
8 cos º¼ º
∙
Re z > 0;
¸
1
1
¡ < Re º <
:
2
2
MO 45
6.519
1:
Z
¼=2
0
¼
J2º (2z cos x) dx = Jº2 (z)
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
WH
2:
Z
¼=2
J2º (2z sin x) dx =
0
¼ 2
J (z)
2 º
∙
Re º > ¡
¸
1
:
2
WA 42(1)a
6.52 Bessel functions combined with x and x2
6.521
1:
Z
1
xJº (®x)Jº (¯x) dx = 0
0
=
[®=
= ¯];
1
fJº+1 (®)g2
2
[® = ¯]
[Jº (®) = Jº (¯) = 0;
º > ¡1]:
WH
2:
Z
1
xKº (®x)Jº (bx) dx =
0
bº
aº (b2 + a2 )
[Re a > 0;
b > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 63(2)
3:
Z
1
0
xKº (ax)Kº (bx) dx =
¼(ab)¡º (a2º ¡ b2º )
2 sin(º¼)(a2 ¡ b2 )
[j Re º j < 1;
Re(a+b) > 0]:
4:
Z
a
2
2 ¡1
xJº (¸x)Kº (¹x) dx = (¹ +¸ )
0
¸
∙• ¶º
¸
+ ¸aJº+1 (¸a) Kº (¹a) ¡ ¹aJº (¸a) Kº+1 (¹a)
¹
[Re º > ¡1]:
ET II 367(26)
6.522
1:
Z
1
0
•
¶ •
¶
1
1
x[J¹ (ax)]2 Kº (bx) dx = ¡ ¹ + º + 1 ¡ ¹ ¡ º + 1 b¡2 £
2
2
1
1
1
£ (1 + 4a2 b¡2 )¡ 2 P 1¡¹
[(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]P 1¡¹
[(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]
º
º¡1
2
2
[Re b > 2j Im aj;
2 Re ¹ > j Re º j ¡ 2]:
ET II 138(19)
698
¶
1
Z 1
2e
¡ 1+ º+¹
2
2
•
¶ £
x[K¹ (ax)] Jº (bx) dx =
1
1
0
2
2 2
b(4a + b ) ¡
º¡¹
2
2¹¼i
2:
•
1
1
[(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]Q¡¹
[(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]
£ Q¡¹
1
1
º¡1
2º
∙
• 2
¶
¸
1
b > 0; Re a > 0; Re
º § ¹ > ¡1 :
2
ET II 66(27)a
3:
Z
1
0
xK0 (ax)Jº (bx)Jº (cx) dx = r1¡1 r2¡1 (r2 ¡ r1 )º (r2 + r1 )¡º ;
1
1
r1 = [a2 + (b ¡ c)2 ] 2 ;
r2 = [a2 + (b + c)2 ] 2
[c > 0; Re º > ¡1; Re a > j Im bj]:
ET II 63(6)
4:
Z
1
0
1
xI0 (ax)K0 (bx)J0 (cx) dx = (a4 + b4 + c4 ¡ 2a2 b2 + 2a2 c2 + 2b2 c2 )¡ 2
[Re b > Re a;
c > 0]:
ET II 16(27)
5:
Z
1
0
1
xJ0 (ax)K0 (bx)J0 (cx) dx = (a4 + b4 + c4 ¡ 2a2 c2 + 2a2 b2 + 2b2 c2 )¡ 2
[Re b > j Im aj;
c > 0]:
6:
7:
Z
Z
1
xJ0 (ax)N0 (ax)J0 (bx) dx = 0
[0 < b < 2a];
0
1
= ¡2¼ ¡1 b¡1 [b2 ¡ 4a2 ]¡ 2
1
0
•
3+º
xJ¹ (ax)J¹+1 (ax)Kº (bx) dx = ¡ ¹ +
2
¶
1
2
2
[Re b > 2j Im aj;
Z
3¡º
¡ ¹+
2
¶
ET II 15(21)
1
b¡2 (1 + 4a2 b¡2 )¡ 2 £
1
£ P 1¡¹
[(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]P 1¡¹¡1
[(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]
º¡ 1
º¡ 1
2
8:
•
[0 < 2a < b < 1]:
2
2 Re ¹ > j Re º j ¡ 3]:
ET II 138(20)
1
xK¹¡ 12 (ax)K¹+ 12 (ax)Jº (bx) dx =
•
¶
1
2¹¼i
¡
º+¹+1
2e
1
1
2
¡¹+ 1
¡¹¡ 1
•
¶
Q 1 º¡ 12 [(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]Q 1 º¡ 12 [(1 + 4a2 b¡2 ) 2 ]
=¡
2
2
2
2
1
1
b¡
º ¡ ¹ (b2 + 4a2 ) 2
2
∙
¸
1
b > 0; Re a > 0; Re º > ¡1; j Re ¹j < 1 + Re º :
2
0
ET II 67(29)a
9:
Z
1
0
1
xI 12 º (ax)K 12 (ax)Jº (bx) dx = b¡1 (b2 +4a2 )¡ 2
[b > 0;
Re a > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 65(16)
699
10:
Z
1
0
xJ 12 º (ax)N 12 º (ax)Jº (bx) dx =
=0
[a > 0;
= ¡2¼
¡1 ¡1
b
2
Re º > ¡1;
2 ¡ 12
(b ¡ 4a )
0 < b < 2a];
[a > 0;
Re º > ¡1;
2a < b < 1]:
ET II 55(48)
11:
Z
1
0
xJ 12 (º+n) (ax)J 12 (º¡n) (ax)Jº (bx) dx =
• ¶
b
¡1 ¡1
2
2 ¡ 12
= 2¼ b (4a ¡ b ) Tn
[a > 0;
2a
=0
[a > 0; Re º > ¡1; 2a < b < 1]:
Re º > ¡1;
0 < b < 2a];
12:
Z
1
2
0
1
1
xI 1 (º¡¹) (ax)K 1 (º+¹) (ax)Jº (bx) dx = 2¡¹ a¡¹ b¡1 (b2 +4a2 )¡ 2 [b+(b2 +4a2 ) 2 ]¹
2
[b > 0;
Re º > ¡1;
Re a > 0;
Re(º ¡ ¹) > ¡2]:
ET II 66(23)
13:
14:6
Z
Z
1
0
1
0
(sin ')¹ (sin Ã)º (cos ')º¡¹ (cos Ã)¹¡º
a2 (1 ¡ sin2 ' sin2 Ã)
i
Re º > ¡1 :
xJ¹ (xa sin ')Kº¡¹ (ax cos ' cos Ã)Jº (xa sin Ã) dx =
h
¼
a > 0; 0 < '; Ã < ; Re ¹ > ¡1;
2
ET II 64(10)
7xJ¹ (xa sin ' cos Ã)Jº¡¹ (ax)Jº (xa cos ' sin Ã) dx =
= ¡2¼ ¡1 a¡2 sin(¹¼)(sin ')¹ (sin Ã)º (cos ')¡º (cos Ã)¡¹ [cos(' + Ã) cos(' ¡ Ã)]¡1
¸
∙
1
a > 0; 0 < '; Ã < ¼; Re º > ¡1 :
2
ET II 54(39)
6.523
Z
1
0
b
a
Re(a + b) > 0]:
x[2¼ ¡1 K0 (ax) ¡ N0 (ax)]K0 (bx) dx = 2¼ ¡1 [(a2 + b2 )¡1 + (b2 ¡ a2 )¡1 ] ln
[Re b > j Im aj;
ET II 145(50)
6.524
1:
Z
1
0
∙
¸
1
0 < a < b; Re º > ¡
;
2
¸
∙
1
= ¡(2¼ab)¡1
:
0 < b < a; Re º > ¡
2
xJº2 (ax)Jº (bx)Nº (bx) dx = 0
ET II 352(14)
2:
Z
1
0
¼
1
¡
x[J0 (ax)K0 (bx)] dx =
arcsin
8ab 4ab
2
•
b2 ¡ a2
b2 + a2
¶
[a > 0;
b > 0]:
ET II 373(9)
6.525
1:
Z
1
0
3
x2 J1 (ax)K0 (bx)J0 (cx) dx = 2a(a2 + b2 ¡ c2 )[(a2 + b2 + c2 )2 ¡ 4a2 c2 ]¡ 2
[c > 0;
Re b ¸ j Im aj;
Re a > 0]:
700
2:
Z
1
0
3
x2 I0 (ax)K1 (bx)J0 (cx) dx = 2b(b2 + c2 ¡ a2 )[(a2 + b2 + c2 )2 ¡ 4a2 b2 ]¡ 2 :
ET II 16(28)
6.526
1:
Z
1
0
2
¡1
xJ 12 º (ax )Jº (bx) dx = (2a)
J 12 º
•
b2
4a
¶
[a > 0;
b > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 56(1)
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
2
xJ 1 º (ax )Nº (bx) dx = (4a)
2
0
1
0
1
∙
N 12 º
¶
• 2¶
• 2 ¶¸
³ º¼ ´
³ º¼ ´
b2
b
b
¡ tg
J 12 º
+ sec
H¡ 12 º
4a
2
4a
2
4a
[a > 0; b > 0; Re º > ¡1]:
•
∙
• 2¶
• 2 ¶¸
¼
b
b
¡
¢
xJ 12 º (ax )Kº (bx) dx =
¡ N¡ 12 º
H¡ 12 º
º¼
4a
4a
8a cos 2
[a > 0; Re b > 0; Re º > ¡1]:
ET II 109(9)
2
xN 1 º (ax2 )Jº (bx) dx = ¡(2a)¡1 H 1 º
2
0
¡1
2
•
b2
4a
¶
[a > 0;
Re b > 0;
ET II 140(27)
Re º > ¡1]:
ET II 61(35)
5:
6:
Z
Z
1
xN 12 º (ax2 )Kº (bx) dx =
0
∙
• 2¶
• 2¶
• 2 ¶¸
³ º¼ ´
³ º¼ ´
¼
b
b
b
=
cos
H¡ 21 º
¡ sin
J¡ 12 º
¡ H 12 º
4a sin(º¼)
2
4a
2
4a
4a
[a > 0; Re b > 0; j Re º j < 1]:
1
0
∙
• 2¶
• 2 ¶¸
¼
b
b
xK 12 º (ax )Jº (bx) dx =
I 12 º
¡ L 12 º
4a
4a
4a
2
[Re a > 0;
b > 0;
ET II 141(28)
Re º > ¡1]:
ET II 68(9)
ET II 112(25)
Z
8:
1
xK 1 º (ax2 )Kº (bx)dx =
2
0
¼
8a
½
sec
³ º¼ ´
2
K1º
2
¶
∙
• 2¶
• 2 ¶¸¾
b2
b
b
¡ L 12 º
+ ¼ cosec (º¼) L¡ 21 º
4a
4a
4a
[Re a > 0; j Re º j < 1]:
•
ET II 146(52)
6.527
Z
1:
1
0
x2 J2º (2ax)Jº¡ 12 (x2 ) dx =
∙
1
aJ 1 (a2 )
2 º+ 2
Re º > ¡
a > 0;
¸
1
:
2
ET II 355(33)
701
Z
2:
1
0
1
aJ 1 (a2 )
2 º¡ 2
[a > 0;
Re º > ¡2]:
ET II 355(35)
Z
3:
x2 J2º (2ax)Jº+ 12 (x2 ) dx =
1
0
1
x2 J2º (2ax)Nº+ 12 (x2 ) dx = ¡ aHº¡ 12 (a2 )
2
[a > 0;
Re º > ¡2]:
ET II 355(36)
6.528
Z
1
0
xK 14 º
•
x2
4
¶
I 14 º
•
x2
4
¶
Jº (bx) dx = K 14 º
•
x2
4
¶
I 14 º
•
b2
4
¶
[b > 0;
º > ¡1]:
MO 183a
6.529
1:
2:
Z
Z
1
0
p
p
1
2a
xJº (2 ax)Kº (2 ax)Jº (bx) dx = b¡2 e¡ b
2
[Re a > 0;
b > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 70(23)
a
xJ¸ (2a)I¸ (2x)J¹ (2
0
=
p
a2 ¡ x2 )I¹ (2
p
a2 ¡ x2 ) dx =
a2¸+2¹+2
£
2¡(¸ + 1)¡(¹ + 1)¡(¸ + ¹ + 2)
•
¶
¸+¹+3
¸+¹+1
4
£ 1 F4
; ¸ + 1; ¹ + 1; ¸ + ¹ + 1;
; ¡a
2
2
[Re ¸ > ¡1; Re ¹ > ¡1]:
6.53- 6.54 Combinations of Bessel functions and rational functions
6.531
1:
Z
1
0
Nº (bx)
¼
dx =
[Eº (ab) + Nº (ab)] + 2 ctg(¼º)[Jº (ab) ¡ Jº (ab)]
x+a
sin(¼º)
¸
∙
1
:
b > 0; j arg aj < ¼; j Re º j < 1; º=
= 0; §
2
ET II 97(5)
2:
Z
1
0
Nº (bx)
dx = ¼ fctg(º¼)[Nº (ab)+Eº (ab)]+Jº (ab)+2[ctg(º¼)]2 [Jº (ab)¡Jº (ab)]g
x¡a
[b > 0; a > 0; j Re º >< 1]:
ET II 98(9)
3:
Z
1
0
¼2
Kº (bx)
1
1
dx =
[cosec(º¼)]2 [Iº (ab)+I¡º (ab)¡e¡ 2 iº¼ Jº (iab)¡e 2 iº¼ J¡º (iab)]
x+a
2
[Re b > 0; j arg aj < ¼; j Re º j < 1]:
ET II 128(5)
6.532
1:
Z
1
0
Jº (x)
¼[Jº (a) ¡ Jº (a)]
dx =
x2 + a2
a sin(º¼)
[Re a > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 340(2)
702
2:
Z
1
0
∙
³ º¼ ´
1
Nº (x)
¼
1
dx
=
¡
tg
Iº (ab) ¡ Kº (ab) +
º¼
2
2
x +a
2a
2
a
cos
2 ³ ´
3
º¼
¶
•
b sin
2 2
3
+
º
a
b
3
¡
º
2
5
+
;
;
1 F2 1;
1 ¡ º2
2
2
4
[b > 0;
Re a > 0;
j Re º j < 1]:
ET II 99(13)
3:
Z
1
0
³ º¼ ´ n ³ º¼ ´
oo
Nº (bx)
¼ n
dx
=
J
(ab)
+
tg
tg
[J
(ab)
¡
J
(ab)]
¡
E
(ab)
¡
N
(ab)
º
º
º
º
º
x2 ¡ a2
2a
2
2
[b > 0; a > 0; j Re º j < 1]:
4:
Z
1
0
xJ0 (ax)
dx = K0 (ak)
x2 + k 2
[a > 0;
Re k > 0]:
WA 466(5)
5:
Z
1
0
N0 (ax)
K0 (ak)
dx = ¡
2
2
x +k
k
[a > 0;
Re k > 0]:
WA 466(6)
6:
Z
1
0
J0 (ax)
¼
[I0 (ak) ¡ L0 (ak)]
dx =
2
2
x +k
2k
[a > 0;
Re k > 0]:
WA 467(7)
6.533
1:
Z
z
Jp (x)Jq (z ¡ x)
0
Jp+q (z)
dx
=
x
p
[Re p > 0;
Re q > ¡1]:
WA 415(3)
2:
3:
Z
z
0
Z
Jp (x) Jq (z ¡ x)
dx =
x
z¡x
1
0
[J0 (ax) ¡ 1]J1 (bx)
•
1 1
+
p q
¶
Jp+q (z)
z
[Re p > 0;
Re q > 0]:
WA 415(5)
¡b h
ai
dx
=
1 + 2 ln
x
4
b
a2
=¡
4b
[0 < b < a];
[0 < a < b]:
ET II 21(28)a
4:
Z
1
0
[1 ¡ J0 (ax)]J0 (bx)
dx
=0
x
[0 < a < b];
= ln
a
b
[0 < b < a]:
ET II 14(16)
6.534
Z
1
0
x3 J0 (x)
1
1
dx = K0 (a) ¡ ¼N0 (a)
x4 ¡ a4
2
4
[a > 0]:
6.535
Z
1
x2
0
x
[Jº (x)]2 dx = Iº (a)Kº (a)
+ a2
[Re a > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 342(26)
703
6.536
Z
1
0
∙
x3 J0 (bx)
dx = ker(ab)
x4 + a4
b > 0;
j arg aj <
¸
1
¼ :
4
ET II 8(9), MO 46a
6.537
Z
1
0
x2 J0 (bx)
1
dx = ¡ 2 kei(ab)
x4 + a4
a
h
b > 0;
j arg aj <
¼i
:
4
MO 46a
6.538
Z
1:
1
0
" Ã p !
à p !#
dx
a+b
2i ab
2i ab
J1 (ax)J1 (bx) 2 =
E
¡K
x
¼
jb ¡ aj
jb ¡ aj
[a > 0;
b > 0]:
ET II 21(30)
2:
8
Z
1
x¡1 Jº+2n+1 (x)Jº+2m+1 (x) dx = 0
0
[m=
= n with m, n integers ;
= (4n + 2º + 2)¡1
[m = n;
º > ¡1];
º > ¡1]:
EH II 64
6.539
1:
Z
b
a
dx
¼
=
x[Jº (x)]2
2
∙
Nº (a)
Nº (b)
¡
Jº (b)
Jº (a)
¸
[Jº (x)=
=0
for x 2 [a; b]]:
ET II 338(41)
2:
Z
b
a
dx
¼
=
2
x[Nº (x)]
2
∙
Jº (b)
Jº (a)
¡
Nº (a)
Nº (b)
¸
[Nº (x)=
=0
for x 2 [a; b]]:
Z
3:
b
a
∙
¸
Jº (a)Nº (b)
dx
¼
= ln
:
xJº (x)Nº (x)
2
Jº (b)Nº (a)
ET II 339(50)
6.541
Z
1:
1
0
xJº (ax)Jº (bx)
x2
dx
= Iº (bc)Kº (ac)
+ c2
= Iº (ac)Kº (bc)
[0 < b < a;
Re c > 0;
Re º > ¡1];
[0 < a < b;
Re c > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 49(10)
2:8
Z
1
0
dx
x1¡2n Jº (ax)Jº (bx) 2
=
x + c2
#
•
• ¶º
¶n "
n¡1
X (a2 c2 =4)p n¡1¡p
X
1
1 b
¼
(b2 c2 =4)k
= ¡ 2
;
Iº (bc)Kº (ac) ¡
c
2 a
sin(¼º) p=0 p!¡(1 ¡ º + p)
k!¡(1 + º + k)
k=0
[0 < b < a]
#
• ¶º n¡1
•
¶n "
n¡1¡p
X (a2 c2 =4)p X (b2 c2 =4)k
1
b
1
= ¡ 2
Iº (bc)Kº (ac) ¡
;
c
2º a
p!(1 ¡ º)p
k!(1 + º)k
p=0
k=0
[n = 1; 2; . . . ;
Re º > n ¡ 1;
Re c > 0;
0 < b < a]:
704
Z
1 ³ c ´2½¡®
x®¡1
J
(cx)J
(cx)
dx
=
£
º
2
2 ½ ¹
2 2
0 (x ∙ + z )
¸
(¹ + º + ®)=2 ¡ ½; 1 + 2½ ¡ ®
£¡
£
(¹ ¡ º ¡ ®)=2 + ½ + 1; (¹ + º ¡ ®)=2 + ½ + 1; (º ¡ ¹ ¡ ®)=2 + ½ + 1
•
®
¹+º+®
¹¡º¡®
1¡®
+ ½; 1 ¡ + ½; ½; ½ + 1 ¡
; ½+1+
;
£ 3 F4
2
2
2
2
¶
¹+º¡®
º¡¹¡® 2 2
z ®¡2½ ³ cz ´¹+º
½+1+
; ½+1+
;c z
£
+
2
2
2
2
∙
¸
•
¹+º
½ ¡ (® + ¹ + º)=2; (® + ¹ + º)=2
1+¹+º
£¡
F
; 1+
;
3 4
2
2
½; ¹ + 1; º + 1
¶
®+¹+º
®+¹+º
; 1¡½+
; ¹ + 1; º + 1; ¹ + º + 1; c2 z 2
2
2
¸
¸
∙ ∙
¡(a1 ) . . . ¡(ap )
a1 ; . . . ; ap
=
c; Re z; Re(® + ¹ + º) > 0; Re(® ¡ 2p) < 1 :
¡
b1 ; . . . ; bq
¡(b1 ) . . . ¡(bq )
3:7
1
6.542
Z
1
0
Jº (ax)Nº (bx) ¡ Jº (bx)Nº (ax)
¼
dx = ¡
2
2
x f[Jº (bx)] + [Nº (bx)] g
2
• ¶º
b
a
[0 < b < a]
Z
1
0
½
∙
¸
∙
¸
¾
1
1
x dx
J¹ (bx) cos
(º ¡ ¹)¼ Jº (ax) ¡ sin
(º ¡ ¹)¼ Nº (ax)
= I¹ (br)Kº (ar)
2
2
2
x + r2
[Re + > 0; a ¸ b > 0; Re ¹ > j Re º j ¡ 2]:
Jº
³a´
6.544
1:
Z
1
0
x
Nº
∙
• p ¶
• p ¶¸
³ x ´ dx
1 2
2 a
2 a
p
p
¡
N
K
=
¡
2º
2º
b x2
a ¼
b
b
∙
a > 0; b > 0; j Re º j <
¸
1
:
2
ET II 357(47)
2:
3:
Z
Z
1
Jº
0
1
Jº
0
• p ¶
³ x ´ dx
1
2 a
Jº
= J2º p
x
b x2
a
b
³a´
∙
a > 0;
b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 57(10)
• p
¶
• p
¶
³ x ´ dx
1 1 iº¼
1 ¡ 1 iº¼
2 a 1 i¼
2 a ¡ 1 i¼
2
4
2
4
p
p
Kº
= e
K2º
e
K2º
e
+ e
x
b x2
a
a
b
¸b
∙
1
:
Re b > 0; a > 0; j Re º j <
2
³a´
ET II 142(32)
4:
Z
1
Nº
0
∙
• p ¶
• p ¶¸
³ x ´ dx
2
¼
2 a
2 a
p
Jº
=
K2º
+ N2º p
x
b x2
a¼
2
b
b
³a´
∙
¸
1
a > 0; b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 62(38)
5:
Z
1
Nº
0
∙
• p
¶
• p
¶¸
³ x ´ dx
4 1 i(º+1)¼
2 a 1 i¼
2 a ¡ 1 i¼
¡ 12 i(º+1)¼
2
4
4
Kº
=
e
K2º p e
K2º p e
+e
x
b x2
a
b
b
¸
∙
1
:
Re b > 0; a > 0; j Re º j <
2
³a´
ET II 143(38)
705
6:
Z
1
0
Kº
³a´
x
Jº
∙
•
•
p ¶
p ¶¸
³ x ´ dx
i
2 a
1
1
¡ 12 º¼i
¡ 14 ¼i 2 a
2 º¼i K
4 ¼i p
p
=
e
¡
e
K
e
e
2º
2º
b x2
a
b
b
∙
¸
5
Re a > 0; b > 0; j Re º j <
:
2
7:
Z
1
Kº
0
•
∙ •
¶
¶
• p ¶
• p ¶¸
³ x ´ dx
3
3
2
2 a
2 a
p
p
¡ cos
Nº
=
sin
¼º kei 2º
¼º ker 2º
x
b x2
a
2
2
b
b
∙
¸
5
:
Re a > 0; b > 0; j Re º j <
2
³a´
ET II 113(29)
8:
Z
1
0
Kº
• p ¶
³ x ´ dx
¼
2 a
Kº
= K2º p
x
b x2
a
b
³a´
[Re a > 0;
Re b > 0]:
ET II 146(55)
6.55 Combinations of Bessel functions and algebraic functions
6.551*
1:
Z
•
¶
3 1
¡
+ º
1
p
4 2
¶ +
x1=2 Jº (xy) dx = 2y ¡3=2 •
1 1
0
¡
+ º
4 2
¶
¸
∙•
1
¡1=2
Jº (y)S¡1=2; º¡1 (y) ¡ Jº¡1 (y)S1=2; º (y)
+y
º¡
2
∙
¸
3
y > 0; Re º > ¡
:
2
ET II 21(1)
2:
Z
1
1
•
¶
¸
∙
1
x1=2 Jº (xy) dx = y ¡1=2 Jº¡1 (y)S1=2; º (y) +
¡ º Jº (y)S¡1=2; º¡1 (y)
2
[y > 0]:
ET II 22(2)
6.552
1:
Z
1
0
Jº (xy)
dx
= Iº=2
2
(x + a2 )1=2
•
¶
¶
•
1
1
ay Kº=2
ay
2
2
[Re a > 0;
y > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 23(11)
WA 477(3)
MO 44
2:
Z
1
0
Nº (xy)
dx
1
= ¡ sec
2
2
1=2
¼
(x + a )
•
¶
¶∙
¶
•
¶
¶¸
•
•
•
1
1
1
1
1
º¼ Kº=2
ay
Kº=2
ay + ¼ sin
º¼ Iº=2
ay
2
2
2
2
2
[y > 0; Re a > 0; j Re º j < 1]:
Z
3:
1
0
dx
¼2
sec
Kº (xy) 2
=
2
1=2
8
(x + a )
•
1
º¼
2
¶ (∙
Jº=2
[Re a > 0;
•
1
ay
2
¶¸2
Re y > 0;
∙
+ Nº=2
•
1
ay
2
j Re º j < 1]:
¶¸2 )
ET II 128(6)
Z
4:
1
0
∙
• ¶¸2
dx
¼
1
Jº=2
y
Jº (xy)
=
2
1=2
2
2
(1 ¡ x )
Re º > ¡1]:
[y > 0;
ET II 24(22)a
706
Z
5:
Z
6:
Z
7:
1
0
dx
¼
N0 (xy)
= J0
2
1=2
2
(1 ¡ x )
1
1
1
1
•
¶
• ¶
1
1
y N0
y
2
2
ET II 102(26)a
dx
¼
Jº (xy) 2
= ¡ Jº=2
1=2
2
(x ¡ 1)
dx
¼
Nº (xy) 2
=
4
(x ¡ 1)1=2
[y > 0]:
(∙
•
Jº=2
¶
• ¶
1
1
y Nº=2
y
2
2
[y > 0]:
ET II 24(23)a
•
1
y
2
¶¸2
∙
¡ Nº=2
•
1
y
2
¶¸2 )
[y > 0]:
ET II 102(27)
6.553
Z
1
¡
x¡1=2 Iº (x)Kº (x)K¹ (2x) dx =
0
•
¶ •
¶ •
¶ •
¶
1
1
1 1
1 1
1
1
¡ ¹ ¡
+ ¹ ¡
+º + ¹ ¡
+º ¡ ¹
4 2
4 2
4
2
4
2
•
¶ •
¶
1
1
3
3
4¡
+º+ ¹ ¡
+º¡ ¹
4
2
4
2
∙
¸
1
1
j Re ¹j < ; 2 Re º > j Re ¹j ¡
:
2
2
ET II 372(2)
6.554
1:
Z
1
0
xJ0 (xy)
(a2
dx
= y ¡1 e¡ay
+ x2 )1=2
[y > 0;
Re a > 0]:
Z
2:
Z
3:
Z
4:
1
xJ0 (xy)
0
1
dx
= y ¡1 sin y
(1 ¡ x2 )1=2
xJ0 (xy)
1
1
xJ0 (xy)
0
[y > 0]:
ET II 7(5)a
dx
= y ¡1 cos y
(x2 ¡ 1)1=2
[y > 0]:
dx
= a¡1 e¡ay
(x2 + a2 )3=2
[y > 0;
ET II 7(6)a
Re a > 0]:
ET II 7(7)a
Z
5:
1
0
xJ (ax)
p 0
dx = K0 (ak)J0 (ak)
x4 + 4k 4
[a > 0;
k > 0]:
WA 473(1)
6.555
Z
1
0
x1=2 J2º¡1 (ax1=2 )Nº (xy) dx = ¡
a
Hº¡1
2y 2
•
a2
4y
¶
∙
a > 0;
y > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
ET II 111(17)
6.556
Z
1
0
h
i
³a´
³a´
¼
dx
Jº a(x2 + 1)1=2 p
= ¡ Jº=2
Nº=2
2
2
2
x2 + 1
[Re º > ¡1;
a > 0]:
MO 46
6.56- 6.58 Combinations of Bessel functions and powers
6.561
1:
Z
1
º
x Jº (ax) dx = 2
º¡1 ¡º
a
0
•
1
¼ ¡ º+
2
1
2
¶
[Jº (a)Hº¡1 (a)¡Hº (a)Jº¡1 (a)]
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 333(2)a
2:
Z
1
º
x Nº (ax) dx = 2
0
º¡1 ¡º
a
•
1
¼ ¡ º+
2
1
2
¶
[Nº (a)Hº¡1 (a)¡Hº (a)Nº¡1 (a)]
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
707
3:
Z
1
º
x Iº (ax) dx = 2
º¡1 ¡º
a
0
•
1
¼ ¡ º+
2
1
2
¶
[Iº (a)Lº¡1 (a) ¡ Lº (a)Iº¡1 (a)]
∙
¸
1
:
Re º > ¡
2
ET II 364(2)a
4:
Z
1
º
x Kº (ax) dx = 2
0
º¡1 ¡º
a
•
1
¼ ¡ º+
2
1
2
¶
[Kº (a)Lº¡1 (a) + Lº (a)Kº¡1 (a)]
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 367(21)a
5:
Z
1
xº+1 Jº (ax) dx = a¡1 Jº+1 (a)
0
[Re º > ¡1]:
ET II 333(3)a
6:
Z
1
xº+1 Nº (ax) dx = a¡1 Nº+1 (a)+2º+1 a¡º¡2 ¼ ¡1 ¡(º+1)
0
[Re º > ¡1]:
ET II 339(44)a
7:
Z
1
xº+1 Iº (ax) dx = a¡1 Iº+1 (a)
0
[Re º > ¡1]:
ET II 365(3)a
8:
Z
1
0
xº+1 Kº (ax) dx = 2º a¡º¡2 ¡(º + 1) ¡ a¡1 Kº+1 (a)
[Re º > ¡1]:
ET II 367(22)a
9:
Z
1
x1¡º Jº (ax) dx =
0
aº¡2
2º¡1 ¡(º)
¡ a¡1 Jº¡1 (a):
ET II 333(4)a
ET II 339(45)a
11:
Z
1
0
x1¡º Iº (ax) dx = a¡1 Iº¡1 (a) ¡
aº¡2
:
2º¡1 ¡(º)
ET II 365(4)a
12:
Z
1
0
x1¡º Kº (ax) dx = 2¡º aº¡2 ¡(1 ¡ º) ¡ a¡1 Kº¡1 (a)
[Re º < 1]:
ET II 367(23)a
¶
º+¹+1
Z 1
2 ¡
2
¹
•
¶ +a¡¹ f(¹ + º ¡ 1)Jº (a)S¹¡1;º¡1 (a) ¡ Jº¡1 (a)S¹;º (a)g
x Jº (ax) dx =
º
¡
¹
+
1
0
a¹+1 ¡
2
[a > 0; Re(¹ + º) > ¡1]:
¹
13:7
•
ET II 22(8)a
14:
Z
•
1 1
¡
+ º+
1
2 2
x¹ Jº (ax) dx = 2¹ a¡¹¡1 •
1 1
0
¡
+ º¡
2 2
¶
1
¹
2
¶
1
¹
2
∙
1
¡ Re º ¡ 1 < Re ¹ < ;
2
¸
a>0 :
EH II 49(19)
15:
Z
¶
1
1 1
+
º
+
¹
1
1
2 2
2
¶
x¹ Nº (ax) dx = 2¹ ctg
(º + 1 ¡ ¹)¼ a¡¹¡1 •
1
1 1
2
0
¡
+ º¡ ¹
2 2
2
∙
¸
1
j Re º j ¡ 1 < ¹ < ; a > 0 :
2
∙
¸
¡
•
ET II 97(3)a
708
16:
Z
1
0
¹
x Kº (ax) dx = 2
¹¡1 ¡¹¡1
a
¡
•
¶ •
¶
1+¹+º
1+¹¡º
¡
2
2
[Re(¹ + 1 § º) > 0; Re a > 0]:
17:
•
¶
1
1
Z 1
q+
¡
Jº (ax)
2
2
•
¶
dx =
º¡q
1
1
x
0
º¡q q¡º+1
2
a
¡ º¡ q+
2
2
∙
¸
1
¡1 < Re q < Re º ¡
:
2
WA 428(1), KU 144(5)
18:
Z
1
0
Nº (x)
dx =
xº¡¹
¡
•
¶ •
¶
•
¶
1 1
1 1
1
+ ¹ ¡
+ ¹ ¡ º sin
¹¡º ¼
2 2
2 2
2
2º¡¹ ¼
¸
∙
3
j Re º j < Re(1 + ¹ ¡ º) <
:
2
WA 430(5)
6.562
1:
Z
1
0
dx
=
x+a
¸ ∙
¸ ∙
¸
½ ∙
1
1
1
¹ ¡1
= (2a) ¼
sin ¼(¹ ¡ º) ¡ (¹ + º + 1) ¡ (1 + ¹ ¡ º) S¡¹; º (ab) ¡
2
2
2
∙
¸ •
¶ •
¶
¾
1
1
1
1
1
¡ 2 cos ¼(¹ ¡ º) ¡ 1 + ¹ + º ¡ 1 + ¹ ¡ º S¡¹¡1; º (ab)
2
2
2
2
2
∙
¸
3
b > 0; j arg aj < ¼; Re(¹ § º) > ¡1; Re ¹ <
:
2
x¹ Nº (bx)
ET II 98(8)
2:
Z
1
0
xº Jº (ax)
¼k º
dx =
[H¡º (ak)¡N¡º (ak)]
x+k
2 cos º¼
∙
1
3
¡ < Re º < ;
2
2
a > 0;
¸
j arg k j < ¼ :
WA 479(7)
3:
Z
1
0
dx
x¹ Kº (bx)
=
x+a
∙
¸ ∙
¸
¶
•
¹ ¡ º a2 b2
1
1
¹+º
¹¡2
¡¹
=2
¡ (¹ + º) ¡ (¹ ¡ º) b 1 F2 1; 1 ¡
; 1¡
;
¡
2
2
2
2
4
∙
¸ ∙
¸
¶
•
1
1
3 ¡ ¹ ¡ º 3 ¡ ¹ + º a2 b2
¹¡3
1¡¹
¡2
¡ (¹ ¡ º ¡ 1) ¡ (¹ + º ¡ 1) ab
;
;
¡
1 F2 1;
2
2
2
2
4
¡ ¼a¹ cosec[¼(¹ ¡ º)] fKº (ab) + ¼ cos(¹¼) cosec[¼(º + ¹)]Iº (ab)g
[Re b > 0; j arg aj < ¼; Re ¹ > j Re º j ¡ 1]:
ET II 127(4)
709
6.563
Z
1
x%¡1 Jº (bx)
0
dx
¼a%¡¹¡1
£
=
(x + a)1+¹
sin[(% + º ¡ ¹)¼]¡(¹ + 1)
8
¶ º+2m
•
>
1
>
m
>
ab
¡(% + º + 2m)
1 (¡1)
<X
2
£
¡
>
>m=0 m!¡(º + m + 1)¡(% + º ¡ ¹ + 2m)
>
:
¶ ¹+1¡%+m
∙
¸
•
1
1
ab
¡(¹ + m + 1) sin (% + º ¡ ¹ ¡ m)¼
1
X
2
2
¸
¸
∙
∙
¡
1
1
m=0 m!¡
(¹ + º ¡ % + m + 3) ¡ (¹ ¡ º ¡ % + m + 3)
2
2
∙
¸
5
b > 0; j arg aj < ¼; Re(% + º) > 0; Re(% ¡ ¹) <
:
2
9
>
>
>
=
>
>
>
;
ET II 23(10), WA 479
6.564
1:
Z
1
º+1
x
0
dx
Jº (bx) p
=
2
x + a2
r
2 º+ 1
a 2 Kº+ 12 (ab)
¼b
∙
Re a > 0;
b > 0;
1
¡1 < Re º <
2
¸
:
ET II 23(15)
2:
Z
1
1¡º
x
0
dx
Jº (bx) p
=
2
x + a2
r
¼ 1 ¡º
a 2 [Iº¡ 12 (ab) ¡ Lº¡ 21 (ab)]
2b
¸
∙
1
:
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡
2
ET II 23(16)
6.565
1:
Z
1
¡º
x
2
2 ¡º¡ 21
(x + a )
0
¶
ab
Jº (bx) dx = 2 a
Kº
2
∙
¸
1
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡
:
2
¡(º + 1)
b
Iº
¡(2º + 1)
º ¡2º º
•
ab
2
¶
•
WA 477(4), ET II 23(17)
2:
Z
1
0
º+1
x
2
2 ¡º¡ 21
(x +a )
p
¼bº¡1
•
¶
Jº (bx) dx =
1
2º eab ¡ º +
2
∙
Re a > 0;
b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
3:
Z
1
º+1
x
2
2 ¡º¡ 23
(x +a )
0
p
bº ¼
•
¶
Jº (bx) dx =
3
º+1 ab
2
ae ¡ º +
2
[Re a > 0;
b > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 24(19)
710
4:
Z
1
0
aº¡¹ b¹
Jº (bx)xº+1
dx
=
Kº¡¹ (ab)
(x2 + a2 )¹+1
2¹ ¡(¹ + 1)
∙
•
3
¡1 < Re º < Re 2¹ +
2
¶
¸
; a > 0; b > 0 :
MO 43
5:
6:
Z
Z
1
0
1
0
xº+1 (x2 + a2 )¹ Nº (bx) dx = 2º¡1 ¼ ¡1 a2¹+2 (1 + ¹)¡1 ¡(º)b¡º £
¶
•
a2 b2
£ 1 F2 1; 1 ¡ º; 2 + ¹;
¡ 2¹ a¹+º+1 [sin(º¼)]¡1 £
4
£ ¡(¹ + 1)b¡1¡¹ [I¹+º+1 (ab) ¡ 2 cos(¹¼)K¹+º+1 (ab)]
[b > 0; Re a > 0; ¡1 < Re º < ¡2 Re ¹]:
1¡º
x
2
2 ¹
ET II 100(19)
½
cos(º¼)
¡(¹ + 1) £
¼
ª
£ ¡(º)Iº¡¹¡1 (ab) ¡ 2 cosec(º¼)[¡(¡¹)]¡1 Kº¡¹¡1 (ab) ¡
¶
•
a2¹+2 ctg(º¼)bº
a2 b2
¡ º+1
1 F2 1; º + 1; ¹ + 2;
2
(¹ + 1)¡(º + 1)
4
∙
¸
1
b > 0; Re a > 0;
+ 2 Re ¹ < Re º < 1 :
2
¹ ¹¡º+1 ¡1¡¹
(x + a ) Nº (bx) dx = 2 a
b
ET II 100(20)
7:
Z
1
x1+º (x2 + a2 )¹ Kº (bx) dx = 2º ¡(º + 1)aº+¹+1 b¡1¡¹ S¹¡º; ¹+º+1 (ab)
0
[Re a > 0;
Re b > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 128(8)
8:
Z
¶ •
¶
1
1
1
1
%
+
º
¡
¹
+
1
¡
%
¡
º
1 %¡1
x
Jº (ax)
2
2
2
2
dx =
£
º+1
2
2
¹+1
2
¡(¹ + 1)¡(º + 1)
0 (x + k )
•
¶
a2 k 2
%+º %+º
£ 1 F2
¡ ¹; º + 1;
;
+
2
2
4
•
¶
1
1
a2¹+2¡% ¡
º+ %¡¹¡1
2
2
•
¶ £
+
1
1
2¹+3¡%
2
¡ ¹+2+ º¡ %
2
2
•
¶
º¡%
º + % a2 k2
aº k %+º¡2¹¡2 ¡
•
1:
Z
1
x¹ Nº (bx)
0
dx
= 2¹¡2 ¼ ¡1 b1¡¹ £
x2 + a2
¶ •
¶
h¼
i •1
1
1
1
1
1
£
£ cos
(¹ ¡ º + 1) ¡
¹+ º¡
¡
¹¡ º¡
2
2
2
2
2
2
2
¶
•
¹ + 1 ¡ º a2 b2
¹+1+º
¡
£ 1 F2 1; 2 ¡
; 2¡
;
2
2
4
h
i
h
i
1
¼
¼
¡ ¼a¹¡1 cosec
(¹ + º + 1) ctg
(¹ ¡ º + 1) Iº (ab) ¡
2
2
h¼ 2
i
¹¡1
cosec
(¹ ¡ º + 1) Kº (ab)
¡a
2
∙
¸
5
b > 0; Re a > 0; j Re º j ¡ 1 < Re ¹ <
:
2
ET II 100(17)
2:
Z
1
xº+1 Jº (ax)
0
dx
= bº Kº (ab)
2
x + b2
∙
a > 0;
¡1 < Re º <
Re b > 0;
3
2
¸
:
EH II 96(58)
3:
Z
1
xº Kº (ax)
0
∙
dx
¼ 2 bº¡1
=
[H¡º (ab)¡N¡º (ab)]
2
2
x +b
4 cos º¼
a > 0;
Re b > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
WA 468(9)
4:
Z
1
¡º
x
0
dx
¼2
Kº (ax) 2
=
[Hº (ab)¡Nº (ab)]
x + b2
4bº+1 cos º¼
∙
a > 0;
Re b > 0;
¸
1
Re º <
:
2
WA 468(10)
5:
Z
1
¡º
x
0
dx
¼
Jº (ax) 2
= º+1 [Iº (ab)¡Lº (ab)]
2
x +b
2b
∙
a > 0;
Re b > 0;
¸
5
Re º > ¡
:
2
WA 468(11)
6.567
1:
2:
Z
Z
1
0
xº+1 (1 ¡ x2 )¹ Jº (bx) dx = 2¹ ¡(¹ + 1)b¡(¹+1) Jº+¹+1 (b)
[b > 0;
Re º > ¡1;
Re ¹ > ¡1]:
1
0
xº+1 (1 ¡ x2 )¹ Nº (bx) dx =
¤
£
= b¡(¹+1) 2¹ ¡(¹ + 1)N¹+º+1 (b) + 2º+1 ¼ ¡1 ¡(º + 1)S¹¡º; ¹+º+1 (b)
[b > 0; Re ¹ > ¡1; Re º > ¡1]:
ET II 26(33)a
712
3:
Z
1
x1¡º (1¡x2 )¹ Jº (bx) dx =
0
21¡º sº+¹; ¹¡º+1 (b)
b¹+1 ¡(º)
[b > 0;
Re ¹ > ¡1]:
ET II 25(31)a
4:
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
£
x1¡º (1 ¡ x2 )¹ Nº (bx) dx = b¡(¹+1) 21¡º ¼ ¡1 cos(º¼)¡(1 ¡ º) £
£ s¹+º; ¹¡º+1 (b) ¡ 2¹ cosec(º¼)¡(¹ + 1)J¹¡º+1 (b)]
[b > 0; Re ¹ > ¡1; Re º < 1]: cr
1
0
¶
•
b2
x1¡º (1¡x2 )¹ Kº (bx) dx = 2¡º¡2 bº (¹ + 1)¡1 ¡(¡º) 1 F2 1; º + 1; ¹ + 2;
+
4
+ ¼2¹¡1 b¡(¹+1) cosec(º¼)¡(¹ + 1)I¹¡º+1 (b)
[Re ¹ > ¡1; Re º < 1]:
1
1¡º
x
0
1
1+º
x
0
1
1¡º
x
0
dx
Jº (bx) p
=
1 ¡ x2
r
dx
Nº (bx) p
=
1 ¡ x2
r
dx
Nº (bx) p
=
1 ¡ x2
¼
H 1 (b)
2b º¡ 2
ET II 104(37)a
ET II 129(12)a
[b > 0]:
ET II 24(24)a
r
¼
cosec(º¼)[cos(º¼)Jº+ 12 (b) ¡ H¡º¡ 12 (b)]
2b
[b > 0; Re º > ¡1]:
ET II 102(28)a
h
i
o
¼ n
ctg(º¼) Hº¡ 12 (b) ¡ Nº¡ 21 (b) ¡ Jº¡ 12 (b)
2b
[b > 0; Re º < 1]:
ET II 102(30)a
9:
Z
1
º
0
2 º¡ 12
x (1¡x )
Jº (bx) dx = 2
º¡1
p
¼b
¡º
•
1
¡ º+
2
¶∙
• ¶¸2
b
Jº
2
∙
b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
10:
Z
1
2 º¡ 12
º
x (1¡x )
0
Nº (bx) dx = 2
º¡1
p
¼b
¡º
•
1
¡ º+
2
¶
• ¶
• ¶
b
b
Jº
Nº
2
2
∙
¸
1
b > 0; Re º > ¡
:
2
ET II 102(31)a
11:
Z
1
2 º¡ 12
º
x (1¡x )
0
Kº (bx) dx = 2
º¡1
p
¼b
¡º
•
1
¡ º+
2
¶
• ¶
• ¶
b
b
Iº
Kº
2
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 129(10)a
12:
Z
1
2 º¡ 12
º
x (1 ¡ x )
0
Iº (bx) dx = 2
¡º¡1
p
¼b
¡º
•
1
¡ º+
2
¶∙
• ¶¸2
b
Iº
2
ET II 365(5)a
13:
Z
1
º+1
x
0
2 ¡º¡ 12
(1¡x )
Jº (bx) dx = 2
¡º
bº¡1
p ¡
¼
•
1
¡º
2
¶
∙
sin b
b > 0;
¸
1
j Re º j <
:
2
ET II 25(27)a
713
14:
Z
1
1
º
2
º¡ 12
x (x ¡1)
Nº (bx) dx = 2
º¡2
p
¼b
¡º
•
¶∙ • ¶
• ¶
• ¶
• ¶¸
1
b
b
b
b
¡ º+
Jº
J¡º
¡ Nº
N¡º
2
2
2
2
2
∙
¸
1
j Re º j < ; b > 0 :
2
ET II 103(32)a
15:
Z
1
1
•
¶∙
• ¶¸2
1
2º¡1
1
b
xº (x2 ¡1)º¡ 2 Kº (bx) dx = p b¡º ¡ º +
Kº
¼
2
2
∙
Re b > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
ET II 129(11)a
16:
Z
1
1
p
1
x¡º (x2 ¡1)¡º¡ 2 Jº (bx) dx = ¡2¡º¡1 ¼bº ¡
•
∙
1
¡º
2
b > 0;
¶
• ¶
• ¶
b
b
Nº
2
2
¸
1
j Re º j <
:
2
Jº
ET II 25(26)a
ET II 25(28)
6.568
1:
2:
Z
Z
1
xº Nº (bx)
0
1
x¹ Nº (bx)
0
dx
¼
= aº¡1 Jº (ab)
x2 ¡ a2
2
∙
a > 0;
b > 0;
¡
5
1
< Re º <
2
2
¸
:
ET II 101(22)
i
h¼
dx
¼ ¹¡1
¹ ¡1 ¹¡1
£
a
(¹
¡
º
+
1)
=
J
(ab)
+
2
¼
a
cos
º
x2 ¡ a2
2
2
•
¶ •
¶
¹¡º+1
¹+º+1
£¡
¡
S¡¹; º (ab)
2
2
¸
∙
5
:
a > 0; b > 0; j Re º j ¡ 1 < Re ¹ <
2
ET II (101)(25)
6.569
Z
1
0
x¸ (1 ¡ x)¹¡1 Jº (ax) dx =
¡(¹)¡(1 + ¸ + º)2¡º aº
£
¡(º + 1)¡(1 + ¸ + ¹ + º)
¶
•
¸+1+¹+º ¸+2+¹+º
a2
¸+1+º ¸+2+º
£ 2 F3
;
; º + 1;
;
;¡
2
2
2
2
4
[Re ¹ > 0; Re(¸ + º) > ¡1]:
=
ET II 193(56)a
6.571
1:
Z
1
0
h
• ¶
• ¶
i¹
1
dx
ab
ab
= a¹ I 12 (º¨¹)
K 12 (º§¹)
(x2 + a2 ) 2 § x Jº (bx) p
2
2
2
2
x +a
∙
¸
3
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡1; Re ¹ <
:
2
ET II 26(38)
714
2:
Z
1
0
1
dx
[(x2 + a2 ) 2 ¡ x]¹ Nº (bx) p
=
2
2
∙
• ¶x + a • ¶
• ¶
• ¶¸
ab
ab
ab
ab
¹
= a ctg(º¼)I 1 (¹+º)
K 1 (¹¡º)
¡ cosec(º¼)I 12 (¹¡º)
K 1 (¹+º)
2
2
2
2
2
2
2
∙
¸
3
Re a > 0; b > 0; Re ¹ > ¡ ; j Re º j < 1 :
2
3:
Z
i¹
1
dx
=
(x2 + a2 ) 2 + x Kº (bx) p
2
x ¶
+ a2
∙
•
• ¶
• ¶
• ¶¸
¼2 ¹
ab
ab
ab
ab
¡ N 12 (º¡¹)
a cosec(º¼) J 12 (º¡¹)
N¡ 12 (º+¹)
J¡ 12 (º+¹)
=
4
2
2
2
2
[Re a > 0; Re b > 0]:
1
0
h
ET II 130(15)
6.572
1:
2:
3:
Z
Z
Z
¶
1+º¡¹
i¹
1
h
1
dx
2
W 1 ¹; 12 º (ab)M¡ 12 ¹; 12 º (ab)
x¡¹ (x2 + a2 ) 2 + a Jº (bx) p
=
2
2
2
ab¡(º + 1)
x +a
0
[Re a > 0; b > 0; Re(º ¡ ¹) > ¡1]:
¡
•
i¹
h
1
dx
x¡¹ (x2 + a2 ) 2 + a Kº (bx) p
=
2
2
•
¶ •
¶x + a
1+º ¡¹
1¡º ¡¹
¡
¡
2
2
=
W 12 ¹; 12 º (iab)W 12 ¹; 12 º (¡iab)
2ab
[Re a > 0; Re b > 0; Re ¹ + j Re º j < 1]:
ET II 26(40)
1
0
ET II 130(18), BU 87(6a)
i¹
h
1
dx
x¡¹ (x2 + a2 ) 2 ¡ a Nº (bx) p
=
2
2
x +
¶a
8 •
1+º +¹
>
>¡
•
¶
<
1
º¡¹
2
= ¡ W¡ 12 ¹; 12 º (ab)
tg
¼ M 12 ¹; 12 º (ab) +
>
ab
¡(º + 1)
2
>
:
•
¶
¾
∙
¸
1 1
º¡¹
+ sec
¼ W 1 ¹; 21 º (ab)
+ Re ¹ :
Re
a
>
0;
b
>
0;
j
Re
º
j
<
2
2
2 2
1
0
ET II 105(42)
715
6.573
1:
Z
1
0
k
Y
xº¡M +1 Jº (bx) J¹i (ai x) dx = 0;
"
i=1
ai > 0;
k
X
i=1
ai < b < 1;
M=
k
X
¹i
i=1
1
1
¡1 < Re º < Re M + k ¡
2
2
#
:
2:
Z
1
0
k
k
Y
Y
xº¡M ¡1 Jº (bx) J¹i (ai x) dx = 2º¡M ¡1 b¡º ¡(º)
"
a¹i i
;
¡(1 + ¹i )
i=1
i=1
ai > 0;
k
X
i=1
1
3
0 < Re º < Re M + k +
2
2
ai < b < 1;
M=
#
k
X
¹i
i=1
:
WA 460(16)A, ET II 54(43)
6.574
¶
º+¹¡¸+1
Z 1
® ¡
2
¶
•
£
Jº (®t)J¹ (¯t)t¡¸ dt =
¡
º
+
¹
+
¸+1
0
¸ º¡¸+1
¡(º + 1)
2 ¯
¡
2
•
¶
º +¹¡¸+1 º ¡¹¡¸+1
a2
£F
;
; º + 1; 2
2
2
¯
[Re(º + ¹ ¡ ¸ + 1) > 0; Re ¸ > ¡1; 0 < ® < ¯]:
º
1:
•
WA 439(2)A, MO 49
If we reverse the positions of º and ¹ and at the same time reverse the positions of ® and ¯, the function on the right hand side of this
®
equation will change. Thus, the right hand side represents a function of ¯ that is not analytic at
®
¯
= 1.
For ® = ¯ , we have the following equation
2:
Z
¶
º+¹¡¸+1
®
¡(¸)¡
1
2
•
¶ •
¶ •
¶
Jº (®t)J¹ (®t)t¡¸ dt =
¡º + ¹ + ¸ + 1
º +¹+¸+1
º¡¹+¸+1
0
¸
2 ¡
¡
¡
2
2
2
[Re(º + ¹ + 1) > Re ¸ > 0; ® > 0]:
¸¡1
•
MO 49, WA 441(2)a
3:
Z
¶
º +¹¡¸+1
¯ ¡
1
2
•
¶
Jº (®t)J¹ (¯t)t¡¸ dt =
º ¡¹+¸+1
0
¸ ¹¡¸+1
2 ®
¡
¡(¹ + 1) £
2
•
¶
¯2
º + ¹ ¡ ¸ + 1 ¡º + ¹ ¡ ¸ + 1
£F
;
; ¹ + 1; 2
2
2
®
[Re(º + ¹ ¡ ¸ + 1) > 0; Re ¸ > ¡1; 0 < ¯ < ®]:
¹
•
MO 50, WA 440(3)a
716
If ¹ ¡ º + ¸ + 1 (or º ¡ ¹ + ¸ + 1 ) is a negative integer, the right hand side of equation 6.574 1. (or 6.574 3.) vanishes. The
¹¡º +¸+1
º¡¹+¸+1
cases in which the hypergeometric function F in 6.574 3. (or 6.574 1.) can be reduced to an elementary function are then especially
important.
6.575
1:
Z
1
Jº+1 (®t)J¹ (¯t)t¹¡º dt = 0
[® < ¯];
0
(®2 ¡ ¯ 2 )º¡¹ ¯ ¹
2º¡¹ ®º+1 ¡(º ¡ ¹ + 1)
=
[® ¸ ¯]
[Re ¹ > Re(º + 1) > 0]:
MO 51
2:
Z
1
0
Jº (x)J¹ (x)
dx =
xº+¹
p
¼¡(º + ¹)
¶ •
¶ •
¶
1
1
1
º+¹
2
¡ º +¹+
¡ º+
¡ ¹+
2
2
2
•
[Re(º+¹) > 0]:
KU 147(17), WA 434(1)
6.576
1:
2:
Z
Z
1
x¹¡º+1 J¹ (x)Kº (x) dx =
0
1
¡(¹¡º+1)
2
[Re ¹ > ¡1;
Re(¹¡º) > ¡1]:
ET II 370(47)
1
0
•
1¡¸
2 b ¡ º+
2
º º
x¡¸ Jº (ax)Jº (bx) dx =
¸
2º¡¸+1
¶
•
1+¸
2
¶ £
2 (a + b)
¡(º + 1)¡
∙
¸
1
4ab
1¡¸
; º + ; 2º + 1;
£F º+
2
2
(a + b)2
[a > 0; b > 0; 2 Re º + 1 > Re ¸ > ¡1]:
ET II 47(4)
3:
Z
•
¶ •
¶
º¡¸+¹+1
º¡¸¡¹+1
b ¡
¡
1
2
2
£
x¡¸ K¹ (ax)Jº (bx) dx =
¸+1
º¡¸+1
2
a
¡(1 + º)
0
•
¶
b2
º ¡¸+¹+1 º ¡¸¡¹+1
£F
;
; º + 1; ¡ 2
2
2
a
[Re(a § ib) > 0; Re(º ¡ ¸ + 1) > j Re ¹j]:
º
EH II 52(31), ET II 63(4), WA 449(1)
ET II 145(49), EH II 93(36)
717
Z
5:
Z
6:
1
0
x¡¸ K¹ (ax)Iº (bx) dx =
¶ •
¶
•
1
1
1
1
1
1
1
1
º
¡ ¸+ ¹+ º ¡
¡ ¸¡ ¹+ º
b ¡
2
2
2
2
2
2
2
2
=
£
2¸+1 ¡(º + 1)a¡¸+º+1
•
¶
1 1
1
1 1
1
1
b2
1
¡ ¸ + ¹ + º; ¡ ¸ ¡ ¹ + º; º + 1; 2
£F
2 2
2
2 2
2
2
2
a
[Re(º + 1 ¡ ¸ § ¹) > 0; a > b]:
1
0
EH II 93(35)
Z
2
¼(º ¡ ¹ ¡ ¸) 1 ¡¸
x N¹ (ax)Jº (bx) dx = sin
x K¹ (ax)Iº (bx) dx
¼
2
0
[a > b; Re ¸ > ¡1; Re(º ¡ ¸ + 1 § ¹) > 0];
(see 6.576 5.).
¡¸
6.576
EH II 93(37)
Z
7:
1
x¹+º+1 J¹ (ax)Kº (bx) dx = 2¹+º a¹ bº
0
¡(¹ + º + 1)
(a2 + b2 )¹+º+1
[Re ¹ > j Re º j¡1;
Re b > j Im aj]:
ET 137(16), EH II 93(36), B 449(2)
6.577
1:
8
[a > 0;
Z
1
dx
= (¡1)n cº¡¹+2n I¹ (ac)Kº (bc)
+ c2
2+Re ¹¡2n > Re º > ¡1¡n; n ¸ 0 an integer ]:
xº¡¹+1+2n J¹ (ax)Jº (bx)
0
b > a;
Re c > 0;
x2
ET II 49(13)
2:8
Z
1
dx
= (¡1)n c¹¡º+2n Iº (bc)K¹ (ac)
+ c2
Re º ¡ 2n + 2 > Re ¹ > ¡n ¡ 1; n ¸ 0 an integer ]:
x¹¡º+1+2n J¹ (ax)Jº (bx)
0
[b > 0;
a > b;
x2
ET II 49(15)
6.578
6.578
¶
•
¸+¹+º+%
%¡1 ¸ ¹ ¡¸¡¹¡%
2
a
b
c
¡
1
2
•
¶ £
1:
x%¡1 J¸ (ax) J¹ (bx)Jº (cx) dx =
¸+¹¡º+%
0
¡(¸ + 1)¡(¹ + 1)¡ 1 ¡
2
•
¶
a2 b2
¸+¹¡º +% ¸+¹+º +%
£ F4
;
; ¸ + 1; ¹ + 1; 2 ; 2
2
2
c c
¸
∙
5
Re(¸ + ¹ + º + %) > 0; Re % < ; a > 0; b > 0; c > 0; c > a + b :
2
Z
ET II 351(9)
2:
Z
1
x%¡1 J¸ (ax) J¹ (bx)Kº (cx) dx =
0
•
¶ •
¶
%+¸+¹¡º
%+¸+¹+º
2%¡2 a¸ b¹ c¡%¡¸¡¹
=
¡
¡
£
¡(¸ + 1)¡(¹ + 1)
2
2
•
¶
a2
b2
%+¸+¹¡º %+¸+¹+º
;
; ¸ + 1; ¹ + 1; ¡ 2 ; ¡ 2
£ F4
2
2
c
c
[Re(% + ¸ + ¹) > j Re º j; Re c > j Im aj + j Im bj]:
ET II 373(8)
718
3:
Z
1
0
x¸¡¹¡º+1 Jº (ax)J¹ (bx)J¸ (cx) dx = 0
∙
1
Re ¸ > ¡1; Re(¸ ¡ ¹ ¡ º) < ; c > b > 0;
2
0 < a < c¡b
¸
:
ET II 53(36)
4:
Z
1
0
2¸¡¹¡º¡1 aº b¹ ¡(¸)
x¸¡¹¡º¡1 Jº (ax)J¹ (bx)J¸ (cx) dx = ¸
c ¡(¹ + 1)¡(º + 1)
∙
¸
5
Re ¸ > 0; Re(¸ ¡ ¹ ¡ º) < ; c > b > 0; 0 < a < c ¡ b :
2
ET II 53(37)
5:
Z
1
0
x1+¹ N¹ (ax)Jº (bx)Jº (cx) dx = 0
[0 < b < c;
0 < a < c ¡ b]:
ET II 352(13)
WA 452(2), ET II 64(12)
Z
1
1
1
1
1
1
1
1
x¹+1 Iº (ax)K¹ (bx)Jº (cx) dx = p a¡¹¡1 b¹ c¡¹¡1 e¡(¹¡ 2 º+ 4 )¼i (v 2 +1)¡ 2 ¹¡ 4 Q¹ + ¡ (iv);
2
2
º
2¼
0
2acv = b2 ¡ a2 + c2
[Re b > j Re aj; c > 0; Re º > ¡1; Re(¹ + º) > ¡1]:
7:
ET II 66(22)
Z
1
1
1
c¹¡1 (sh u)¹¡ 2 (¹¡ 1 )¼i
2 ¡¹
2
x1¡¹ J¹ (ax)Jº (bx)Jº (cx) dx = r
e
sin[(¹ ¡ º)¼]Qº¡
1 (ch u);
2
1 3 ¹ 1¡¹
0
¼ a b
2
¸
∙
1
2
2
2
2bc ch u = a ¡ b ¡ c
Re º > ¡1; Re ¹ > ¡ ; 0 < c < a ¡ b; b > 0 ;
2
1
1
b¹¡1 c¹¡1
2 ¡¹
(sin v)¹¡ 2 Pº¡
2bc cos v = b2 + c2 ¡ a2
= p
1 (cos v);
¹
2
2¼a
¸
∙
1
Re º > ¡1; Re ¹ > ¡ ; ja ¡ bj < c < a + b; a > 0; b > 0 ;
2
=0
∙
¸
1
Re º > ¡1; Re ¹ > ¡ ; 0 < c < b ¡ a or a + b < c < 1; a > 0; b > 0 :
2
8:
ET II 52(34)
9:
Z
1
0
Jº (ax)Jº (bx)Jº (cx)x1¡º dx =
2º¡1 ¢2º¡1
•
¶ • ¶;
1
1
º
(abc) ¡ º +
¡
2
2
where ¢ is the area of a triangle whose sides are a; b, and c. In the case in which the segments whose lengths are a; b, and c cannot
£
¤
form a triangle, the value of the integral is zero Re º > ¡ 12 .
719
10:
Z
1
0
xº+1 K¹ (ax)K¹ (bx)Jº (cx) dx =
p º
¼c ¡(º + ¹ + 1)¡(º ¡ ¹ + 1) ¡º¡ 12
=
P¹¡ 1 (u);
2abu = a2 + b2 + c2
3
1
1
(ab)º+1
º+
2
2
2
2
4
2
(u ¡ 1)
[Re a > 0; Re b > 0; c > 0; Re(º § ¹) > ¡1; Re º > ¡1]:
ET II 67(30)
MO 52, WA 451(3)
ET II 66(24)
12:
Z
1
º+1
x
∙
2
[Jº (ax)] Nº (bx) dx = 0
0
=
a > 0;
1
j Re º j <
2
0 < b < 2a;
23º+1 a2º b¡º¡1 2
1
¶ (b ¡ 4a2 )¡º¡ 2
•
p
1
¡º
¼¡
2
¸
∙
1
:
a > 0; 2a < b < 1; j Re º j <
2
¸
;
ET II 109(3)
13:
Z
1
xº+1 Jº (ax)Nº (ax)Jº (bx) dx = 0
0
∙
j Re º j <
a > 0;
1
;
2
¸
0 < b < 2a ;
23º+1 a2º b¡º¡1 2
1
•
¶ (b ¡ 4a2 )¡º¡ 2
p
1
¼¡
¡º
2
¸
∙
1
:
a > 0; 2a < b < 1; j Re º j <
2
=¡
ET II 55(49)
14:
15:
Z
1
xº+1 J¹ (xa sin Ã)Jº (xa sin ')K¹ (xa cos ' cos Ã) dx =
0
³
® ´2º+1
2º ¡(¹ + º + 1)(sin ')º cos
1
2
Pº¡¹ (cos ®);
tg ® = tg à cos '
=
aº+2 (cos Ã)2º+2
2
h
i
¼
¼
a > 0;
> ' > 0; 0 < Ã < ; Re º > ¡1; Re(¹ + º) > ¡1 :
2
2
Z
1
0
ET II 64(11)
•
¶
1
23º (abc)º ¡ º +
2
xº+1 Jº (ax)Kº (bx)Jº (cx) dx = p
1
¼[(a2 + b2 + c2 )2 ¡ 4a2 c2 ]º+ 2
¸
∙
1
:
Re b > j Im aj; c > 0; Re º > ¡
2
ET II 63(8)
720
16:
Z
1
0
•
1
2 (abc) ¡ º +
2
3º
º
¶
xº+1 Iº (ax)Kº (bx)Jº (cx) dx = p
1
¼[(b2 ¡ a2 + c2 )2 + 4a2 c2 ]º+ 2
∙
¸
1
Re b > Re a; c > 0; Re º > ¡
:
2
6.579
1:
Z
1
a2º ¡(3º + 1)
¶ •
•
¶ £
3
1
¡ º ¡ 2º +
2¼b4º+2 ¡
2
2
•
¶
1
3 a2
£ F º + ; 3º + 1; 2º + ; 2
2
2 b
¸
∙
1
1
:
0 < a < b; ¡ < Re º <
3
2
x2º+1 Jº (ax)Nº (ax)Jº (bx)Nº (bx) dx =
0
EH II 94(45), ET II 352(15)
2:
Z
¶ •
¶ •
¶
º+1
3º + 1
1
¡ º+
¡
2
a ¡
1
2
2
2
p 4º+2
£
x2º+1 Jº (ax)Kº (ax)Jº (bx)Kº (bx) dx =
¼b
¡(º + 1)
0
•
¶
1 3º + 1
a4
£F º + ;
; 2º + 1; 1 ¡ 4
2
2
b
¸
∙
1
:
0 < a < b; Re º > ¡
3
º¡3 2º
•
ET II 373(10)
3:
Z
1
x1¡2º [Jº (ax)]4 dx =
0
¡(º)¡(2º)
∙ •
¶¸2
1
2¼ ¡ º +
¡(3º)
2
[Re º > 0]:
ET II 342(25)
4:
Z
1
x1¡2º [Jº (ax)]2 [Jº (bx)]2 dx =
0
a2º¡1 ¡(º)
¶ •
¶F
1
1
2¼b¡ º +
¡ 2º +
2
2
•
•
º;
1 a2
1
¡ º; 2º + ; 2
2
2 b
¶
:
ET II 351(10)
6.581
1:
721
Z
a
¸¡1
x
0
J¹ (x)Jº (a¡x) dx = 2
¸
1
X
(¡1)m ¡(¸ + ¹ + m)¡(¸ + m)
m=0
m!¡(¸)¡(¹ + m + 1)
[Re(¸ + ¹) > 0;
J¸+¹+º+2m (a)
Re º > ¡1]:
ET II 354(25)
ET II 354(27)
•
¶ •
¶
1
1
Z a
¡ º+
¡ ¹+
1
2
2
p
x¹ (a¡x)º J¹ (x)Jº (a¡x) dx =
a¹+º+ 2 J¹+º+ 12 (a)
2¼¡(¹
+
º
+
1)
0
∙
¸
1
1
Re ¹ > ¡ ; Re º > ¡
:
2
2
3:
ET II 354(28), EH II 46(6)
Z
4:
•
¶ •
¶
1
3
¡ º+
¡ ¹+
a
3
2
2
p
x¹ (a¡x)º+1 J¹ (x)Jº (a¡x) dx =
a¹+º+ 2 J¹+º+ 12 (a)
2¼¡(¹ + º + 2)
0
∙
¸
1
:
Re º > ¡1; Re ¹ > ¡
2
ET II 354(29)
Z
5:
•
¶
1
¹
2
¡
¹
+
¡(º ¡ ¹)
a
2
¹
¡¹¡1
p
x (a ¡ x)
J¹ (x)Jº (a ¡ x) dx =
a¹ Jº (a)
¼¡(¹ + º + 1)
0
¸
∙
1
:
Re º > Re ¹ > ¡
2
ET II 355(30)
6.582
Z
1
0
•
¶
1
1
x¹¡1 jx¡bj¡¹ K¹ (jx¡bj)Kº (x) dx = p (2b)¡¹ ¡
¡ ¹ ¡(¹+º)¡(¹¡º)Kº (b)
¼
2
∙
¸
1
b > 0; Re ¹ < ; Re ¹ > j Re º j :
2
ET II 374(14)
6.583
Z
1
x¹¡1 (x + b)¡¹ K¹ (x + b)Kº (x) dx =
0
6.584
p
¼¡(¹ + º)¡(¹ ¡ º)
•
¶ Kº (b)
1
¹ ¹
2 b ¡ ¹+
2
[j arg bj < ¼; Re ¹ > j Re º j]:
ET II 374(15)
1:
Z
1
0
• ¶m
(1)
(1)
d
¼i
x%¡1 [Hº (ax) ¡ e%¼i Hº (axe¼i )]
dx =
[r %¡2 Hº(1) (ar)]
(x2 ¡ r 2 )m+1
m! dr
∙
¸
7
m = 0; 1; 2; . . . ; Im r > 0; a > 0; j Re º j < Re % < 2m +
:
2
WA 465
722
2:
Z
¸
x%¡1
1
1
dx =
cos (% ¡ º)¼Jº (ax) + sin (% ¡ º)¼Nº (ax)
2
2
2
(x ¡ k 2 )m+1
•
¶m
d
(¡1)m+1
= m
[k %¡2 Kº (ak)]
2 ¢ m!
k dk
∙
¸
7
m = 0; 1; 2; . . . ; Re k > 0; a > 0; j Re º j < Re % < 2m +
:
2
1
0
∙
WA 466(2)
3:
Z
1
0
x1¡º dx
am Kº+m (ak)
fcos º¼Jº (ax) ¡ sin º¼Nº (ax)g 2
=
(x + k 2 )m+1
2m ¢ m!k º+m
¸
∙
3
m = 0; 1; 2; . . . ; Re k > 0; a > 0; ¡2m ¡ < Re º < 1 :
2
WA 466(3)
4:
Z
∙•
¾
¶ ¸
¶ ¸
1
1
1
x%¡1
1
dx =
% ¡ º ¡ ¹ ¼ Jº (ax) + sin
% ¡ º ¡ ¹ ¼ Nº (ax)
cos
2
2
2
2
(x2 + k 2 )¹+1
0
¶º •
¶
2 •
1
1
1
¶
•
ak
¡
%+ º
6
¼k %¡2¹¡2
a2 k 2
%+º %+º
2
2
2
6
•
¶
=
F
;
¡
¹;
º
+
1;
¡
1 2
1
1
2 sin º¼ ¢ ¡(¹ + 1) 4
2
2
4
¡(º + 1)¡
%+ º ¡¹
2
2
3
•
¶ ¡º •
¶
1
1
1
¶
•
ak
¡
%¡ º
a2 k 2 7
%¡º %¡º
2
2
2
7
•
¶ 1 F2
¡ ¹; 1 ¡ º;
¡
;
7
1
1
5
2
2
4
¡(1 ¡ º)¡
%¡ º ¡¹
2
2
∙
¸
7
a > 0; Re k > 0; j Re º j < Re % < 2 Re ¹ +
:
2
1
½
∙•
WA 407(1)
5:8
Z
38
1 3
2 0
<
X
4 J¹j (bn x)5 cos 4 1 @% +
¹j ¡ º A ¼ 5 Jº (ax) +
:
2
0
j; n
j
9
2 0
1 3
= x%¡1
X
1
+ sin 4 @% +
¹j ¡ º A ¼ 5 Nº (ax)
dx =
; x2 + k 2
2
j
2
3
1
2
Y
6.59 Combinations of powers and Bessel functions of more complicated arguments
6.591
1:
Z
1
0
1
x2º+ 2 Jº+ 12
³a´
x
Kº (bx) dx =
p
1
2¼b¡º¡1 aº+ 2 J1+2º
[a > 0;
³p
Re b > 0;
´
´
³p
2ab K1+2º
2ab
Re º > ¡1]:
ET II 142(35)
723
2:
Z
1
0
1
x2º+ 2 Nº+ 21
³a´
x
Kº (bx) dx =
p
1
2¼b¡º¡1 aº+ 2 N2º+1
[a > 0;
³p
Re b > 0;
´
´
³p
2ab K2º+1
2ab
Re º > ¡1]:
ET II 143(41)
3:
Z
1
0
1
x2º+ 2 Kº+ 12
³a´
x
Kº (bx) dx =
p
´
´
³ 1 p
³ 1 p
1
2¼b¡º¡1 aº+ 2 K2º+1 e 4 i¼ 2ab K2º+1 e¡ 4 i¼ 2ab
[Re a > 0;
Re b > 0]:
ET II 146(56)
4:
Z
1
0
1
x¡2º+ 2 Jº¡ 12
³a´
x
Kº (bx) dx =
´
³p
1
2¼bº¡1 a 2 ¡º K2º¡1
2ab £
´
³p
³p ´
2ab + cos(º¼)N2º¡1
2ab ]
£ [sin(º¼)J2º¡1
p
[a > 0;
Re b > 0;
Re º < 1]:
ET II 142(34)
5:
Z
1
¡2º+ 12
x
0
Nº¡ 12
³a´
x
r
´
³p
¼ º¡1 1 ¡º
b
a 2 sec(º¼)K2º¡1
2ab £
2
´
´
³p
³p
£ [J2º¡1
2ab ¡ J1¡2º
2ab ]
[a > 0;
Kº (bx) dx = ¡
Re º < 1]:
ET II 143(40)
6:
Z
1
0
1
x¡2º+ 2 J 12 ¡º
³a´
x
Jº (bx) dx =
1
1
= ¡ i cosec(2º¼)bº¡1 a 2 ¡º [e2º¼i J1¡2º (u)J2º¡1 (v) ¡ e¡2º¼i J2º¡1 (u)J1¡2º (v)];
2
•
¶ 12
•
¶ 12
∙
¸
1
1
1
1
¼i
¡ 14 ¼i
4
u=
ab
e ;
v=
ab
e
a > 0; b > 0; ¡ < Re º < 3 :
2
2
2
Z
7:
1
0
1
x¡2º+ 2 Kº¡ 12
³a´
x
Nº (bx) dx =
p
´
´
³p
³p
1
2¼bº¡1 a 2 ¡º N2º¡1
2ab K2º¡1
2ab
¸
∙
1
:
b > 0; Re a > 0; Re º >
6
ET II 113(30)
Z
8:
¶
1
1
1
¹+ %¡ º
2
2
2
¶ £
•
1
1
1
¹+ º¡ %+1
22º¡%+1 ¡(º + 1)¡
2
2
2
¶
•
º+¹¡%
a2 b2
º¡¹¡%
£0 F3 º + 1;
+ 1;
+ 1;
+
2
2
16
•
¶
1
1
1
a¹ b¹+% ¡
º¡ ¹¡ %
2
2
2
•
¶ £
+
1
1
1
22¹+%+1 ¡(¹ + 1)¡
¹+ º + %+1
2
2
2
¶
•
º+¹+%
a2 b2
¹¡º +%
£0 F3 ¹ + 1;
+ 1;
+ 1;
2
2
16
•
¶
•
¶¸
3
3
b > 0; ¡ Re ¹ +
< Re % < Re º +
:
2
2
• ¶
1
b
%¡1
x
J¹ (ax)Jº
dx =
x
0
∙
a > 0;
aº¡% bº ¡
•
WA 480(1)
724
6.592
¶
1
Z 1
¡(¹)¡ ¸ + 1 + º
¡ p ¢
2
¸
¹¡1
¡º º
•
¶ £
x (1¡x)
Nº a x dx = 2 a ctg(º¼)
1
0
¡(1 + º)¡ ¸ + 1 + ¹ + º
2
¶
•
1
a2
1
¡
£ 1 F2 ¸ + 1 + º; 1 + º; ¸ + 1 + ¹ + º; ¡
2
2
4
•
¶
1
¡(¹)¡ ¸ + 1 ¡ º
2
•
¶ £
¡ 2º a¡º cosec(º¼)
1
¡(1 ¡ º)¡ ¸ + 1 + ¹ ¡ º
2
¶
•
1
a2
1
£ 1 F2 ¸ ¡ º + 1; 1 ¡ º; ¸ + 1 + ¹ ¡ º; ¡
2
2
4
¸
∙
1
Re ¸ > ¡1 + j Re º j; Re ¹ > 0 :
2
•
1:
ET II 197(76)a
2:
¤
Z
1
0
¡ p ¢
x¸ (1 ¡ x)¹¡1 Kº a x dx =
•
¶
1
•
¶
¡(º)¡(¹)¡ ¸ + 1 ¡ º
1
1 a2
2
•
¶
F
¸
+
1
¡
º;
1
¡
º;
¸
+
1
+
¹
¡
º;
= 2¡º¡1 a¡º
+
1 2
1
2
2
4
¡ ¸+1+¹¡ º
2
•
¶
3:
Z
1
1
1
0 ¯
¯
2 ¯
¢
¡
0
p
@a ¯
x¸ (x¡1)¹¡1 Jº a x dx = 22¸ a¡2¸ G20
1
1 A ¡(¹)
13
4 ¯¯ ¡¹; ¸ + º; ¸ ¡ º
2
2¸
∙
1
a > 0; 0 < Re ¹ < ¡ Re ¸ :
4
ET II 205(36)a
4:
Z
1
1
¯
1
¯
¯
0
¯
A
¯ ¡¹; 1 º + ¸; ¡ 1 º + ¸
¯
2
2
[Re a > 0; Re ¹ > 0]:
0
2
¢
¡
p
@a
x¸ (x¡1)¹¡1 Kº a x dx = ¡(¹)22¸¡1 a¡2¸ G30
13
4
ET II 209(60)a
725
5:
6:
7:
Z
Z
Z
1
¡ 12
x
0
1
¡ 12
x
0
1
0
¡ 21
(1 ¡ x)
¡ 21
(1 ¡ x)
∙
• ¶¸2
¡ p ¢
1
1
Jº a x dx = ¼ J 2 º
a
2
[Re º > ¡1]:
∙
• ¶¸2
¡ p ¢
1
Iº a x dx = ¼ I 12 º
a
2
[Re º > ¡1]:
¡ p ¢
1
1
1
x¡ 2 (1¡x)¡ 2 Kº a x dx = ¼ sec
2
•
ET II 194(59)a
ET II 197(79)
¶h ³ ´
³ a ´i
³a´
1
a
º¼ I º2
+ I¡ º2
K º2
2
2
2
2
[j Re º j < 1]:
ET II 198(85)a
8:
9:
Z
Z
1
1
1
h
³ a ´i 2
¡ p ¢
1
1
x¡ 2 (x ¡ 1)¡ 2 Kº a x dx = K º2
2
¡ 12
x
0
¡ 12
(1¡x)
[Re a > 0]:
½
h ³ a ´i2
h
³ a ´i2 ¾
¡ p ¢
º
º
Nº a x dx = ¼ ctg(º¼) J 2
¡ cosec (º¼) J¡ 2
2
2
[j Re º j < 1]:
ET II 208(56)a
10:
11:
Z
Z
1
1
1
1
¡ 12 º
x
¹¡1
(x¡1)
¡ p ¢
Jº a x dx = ¡(¹)2¹ a¡¹ Jº¡¹ (a)
∙
a > 0;
¸
1
3
0 < Re ¹ < Re º +
:
2
4
ET II 205(34)a
¡ p ¢
1
x¡ 2 º (x¡1)¹¡1 J¡º a x dx = ¡(¹)2¹ a¡¹ [cos(º¼)Jº¡¹ (a)¡sin(º¼)Nº¡¹ (a)]
∙
¸
1
3
a > 0; 0 < Re ¹ < Re º +
:
2
4
ET II 205(35)a
12:
13:
14:
15:
16:
17:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
¡ p ¢
1
x¡ 2 º (x¡1)¹¡1 Kº a x dx = ¡(¹)2¹ a¡¹ Kº¡¹ (a)
¡ p ¢
1
x¡ 2 º (x¡1)¹¡1 Nº a x dx = 2¹ a¡¹ Nº¡¹ (a)¡(¹)
¡ p ¢
1
(1)
x¡ 2 º (x¡1)¹¡1 Hº(1) a x dx = 2¹ a¡¹ Hº¡¹ (a)¡(¹)
¡ p ¢
1
(2)
x¡ 2 º (x¡1)¹¡1 Hº(2) a x dx = 2¹ a¡¹ Hº¡¹ (a)¡(¹)
¡ p ¢
22¡º a¡¹
1
x¡ 2 º (1 ¡ x)¹¡1 Jº a x dx =
s¹+º¡1; ¹¡º (a)
¡(º)
[Re a > 0;
Re ¹ > 0]:
ET II 209(59)a
∙
a > 0;
0 < Re ¹ <
¸
1
3
Re º +
:
2
4
ET II 206(40)a
[Re ¹ > 0;
Im a > 0]:
ET II 206(45)a
[Re ¹ > 0;
Im a < 0]:
ET II 207(48)a
[Re ¹ > 0]:
¡ p ¢
22¡º a¡¹ ctg(º¼)
1
x¡ 2 º (1 ¡ x)¹¡1 Nº a x dx =
s¹+º¡1; ¹¡º (a)
¡(º)
¡ 2¹ a¡¹ cosec(º¼)J¹¡º (a)¡(¹)
[Re ¹ > 0; Re º < 1]:
ET II 194(64)a
1:
2:
Z
Z
1p
0
1p
0
¡ p ¢
1
xJ2º¡1 a x Jº (bx) dx = ab¡2 Jº¡1
2
•
a2
4b
¶
∙
b > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
ET II 58(15)
∙
• 2¶
• 2 ¶¸
¡ p ¢
¼a
a
a
¡ Lº¡1
xJ2º¡1 a x Kº (bx) dx = 2 Iº¡1
4b
4b
4b
∙
Re b > 0;
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 144(44)
6.594
1:
Z
1
0
¡ p ¢
¡ p ¢
p
1
x I2º¡1 a x J2º¡1 a x Kº (bx) dx = ¼2¡º a2º¡1 b¡2º¡ 2 Jº¡ 12
º
[Re b > 0;
•
Re º > 0]:
a2
2b
¶
ET II 148(65)
2:
Z
1
¡ p ¢
¡ p ¢
xº I2º¡1 a x N2º¡1 a x Kº (bx) dx =
0
∙
• 2¶
p ¡º¡1 2º¡1 ¡2º¡ 1
a
2
= ¼2
a
b
cosec(º¼) H 12 ¡º
+
2b
• 2¶
• 2 ¶¸
a
a
+ cos(º¼)Jº¡ 12
+ sin (º¼) Nº¡ 12
[Re b > 0;
2b
2b
Re º > 0]:
ET II 148(66)
3:
Z
1
0
¡ p ¢
¡ p ¢
xº J2º¡1 a x K2º¡1 a x Kº (bx) dx =
∙
• 2¶
• 2 ¶¸
a
a
2 ¡º¡2 2º¡1 ¡2º¡ 12
=¼ 2
a
b
cosec(º¼) H 12 ¡º
¡ N 12 ¡º
2b
2b
[Re b > 0;
Re º > 0]:
ET II 148(67)
6.595
1:
"
Z
1
xº+1 Jº (cx)
0
ai > 0;
n
Y
zi¡¹i J¹i (ai zi ) dx = 0;
i=1
Re bi > 0;
n
X
i=1
ai < c;
Re
Ã
zi =
n
q
x2 + b2i
X
1
1
n+
¹i ¡
2
2
i=1
!
#
> Re º > ¡1 :
EH II 52(33), ET II 60(26)
EH II 52(34), ET II 60(27)
727
6.596
Z
1:
1
0
³ p
´
2¹ ¡(¹ + 1)
x2¹+1
Jº ® x2 + z 2 p
dx = ¹+1 º¡¹¡1 Jº¡¹¡1 (®z)
®
z
(x2 + z 2 )º
∙
•
¶
¸
1
1
® > 0; Re
º¡
> Re ¹ > ¡1 :
2
4
WA 457(5)
Z
2:
Z
3:
4:
6
Z
Z
5:
1
0
1
0
1
0
1
0
¢
¡ p
³®´
³®´
Jº ® t2 + 1
¼
p
dt = ¡ J º2
N º2
2
2
2
t2 + 1
[Re º > ¡1;
® > 0]:
MO 46
³ p
´
2¹ ¡(¹ + 1)
x2¹+1
Kº ® x2 + z 2 p
dx = ¹+1 º¡¹¡1 Kº¡¹¡1 (®z)
®
z
(x2 + z 2 )º
Jº (¯x)
© p
ª
J¹¡1 ® x2 + z 2
(x2 + z 2 )
1
2
¹+ 12
®¹¡1 z º
Kº (¯x)
2¹¡1 ¡(¹)
[® < ¯; Re(¹ + 2) > Re º > ¡1]:
[® > 0;
Re ¹ > ¡1]:
WA 457(6)
xº+1 dx =
© p
ª
J¹ ® x2 + z 2 º¡1
2º¡1 ¡(º) J¹(®z)
Jº (¯x) p
x
dx =
¯º
z¹
(x2 + z 2 )¹
[Re(¹ + 2) > Re º > 0;
WA 459(11)A, ET II 59(19)
¯ > ® > 0]:
WA 459(12)
6:
6
Z
¡ p
¢
J¹ ® x2 + z 2 º+1
Jº (¯x) p
x
dx
(x2 + z 2 )¹
=0
[0 < ® < ¯];
!¹¡º¡1
Ãp
n p
o
¯º
®2 ¡ ¯ 2
= ¹
J¹¡º¡1 z ®2 ¡ ¯ 2
®
z
1
0
[® > ¯ > 0];
[Re ¹ > Re º > ¡1]:
7:
8:6
Z
1
0
Z
!¹¡º¡1
Ãp
¡ p
¢
³ p
´
K¹ ® x2 + z 2 º+1
¯º
®2 + ¯ 2
Jº (¯x) p
x
dx = ¹
K¹¡º¡1 z z®2 + ¯ 2
®
z
(x2 + z 2 )¹
h
¼i
:
® > 0; ¯ > 0; Re º > ¡1; j arg z j <
2
KU 151(31), WA 416(2)
1
0
³ p
´
)¹¡º¡1
(p
∙
•
¶¸
K¹ ® t2 ¡ y 2
¼i
¼ ¯º
®2 + ¯ 2
1
º+1
£
Jº (¯t) p
t
dt =
exp ¡
¹¡º¡
2 ®¹
y
2
2
(t2 ¡ y 2 )¹
n
h p
i
h p
io
£ J¹¡º¡1 y ®2 + ¯ 2 ¡ iN¹¡º¡1 y ®2 + ¯ 2
[Re ¹ < 1: Here, it is assumed that the integration contour does not contain the singularity t = y, which can be excluded by going
upwards around it, and that the sign of
t > y; ® > 0; ¯ > 0; y > 0 ].
p
t2 ¡ y 2 is chosen in such a way that the expression in question is positive for
728
9:
Z
1
0
"
∙
•
¶¸ º
³ p
´¡
¢¡ ¹
¼
1
u
Jº (ux)K¹ v x2 ¡ y 2 x2 ¡ y 2 2 xº+1 dx = exp ¡i¼ ¹ ¡ º ¡
¢ ¹¢
2
2
v
"p
#¹¡º¡1
³ p
´
u2 + v 2
(2)
¢
H¹¡º¡1 y u2 + v 2
y
Re ¹ < 1;
Re º > ¡1; u > 0;
v > 0;
if x < y; then arg(x2 ¡ y 2 )¾ = ¼¾;
arg
p
x2 ¡ y 2 = 0
where ¾ =
1
2
for x > y;
#
or ¾ = ¡ ¹2 :
MO 43
WA 416(3)
#¹¡º¡1
³ p
´
2 ¡ u2
v
(2)
10:6
H¹¡º¡1 y v 2 ¡ u2
y
0
p
[u < v] [Re ¹ < Re º; Re º > ¡1; u > 0; v > 0; y > 0; arg v 2 ¡ u2 = 0
¸
1
¹¡º ¡1
for v > u; arg(v 2 ¡ u2 )¾ = ¡¼¾ for v < u; where ¾ =
or ¾ =
:
2
2
Z
1
³ p
´
¹
uº
Jº (ux)H¹(2) v x2 + y 2 (x2 +y 2 )¡ 2 xº+1 dx = ¹
v
"p
MO 43
11:
Z
1
0
³ p
´ ³ p
´
2º¡1 ¡(º) J¹ (®z) J¹ (°z)
xº¡1
Jº (¯x)J¹ ® x2 + z 2 J¹ ° x2 + z 2
dx
=
(x2 + z 2 )¹
¯º
z¹
z¹
∙
•
¶
¸
5
® > 0; ¯ > ® + °; ° > 0; Re 2¹ +
> Re º > 0 :
2
12:6
"
Z
1
Jº (¯t)tº¡1
0
k=1
®1 > 0;
x > 0;
n
Y
n
³ p
´p
Y
¤
£ ¡¹
J¹ ®k t2 + x2
(t2 + x2 )¡n¹ dt = 2º¡1 ¯ ¡º ¡(º)
x J¹ (®k x)
®2 > 0; . . . ; ®n > 0;
¯>
n
Y
®k ;
k=1
•
1
1
Re n¹ + n +
2
2
¶
k=1
> Re º > 0
#
:
MO 43
13:
Z
1
0
¡p
2
Jº
a2 + x2
(a2 + x2 )º
¢
•
¶
1
¡ º¡
2
2º¡2
p Hº (2a)
x
dx =
2aº+1 ¼
∙
¸
1
:
Re º >
2
WA 457(8)
6.597
Z
h
i
1
1
tº+1 J¹ b(t2 + y 2 ) 2 (t2 + y 2 )¡ 2 ¹ (t2 + ¯ 2 )¡1 Jº (at) dt =
h
i
1
1
[a ¸ b;
= ¯ º J¹ b(y 2 ¡ ¯ 2 ) 2 (y 2 ¡¯ 2 )¡ 2 ¹ Kº (a¯)
1
0
Re ¯ > 0;
¡1 < Re º < 2+Re ¹]:
EH II 95(56)
6.598
Z
1
0
³p
´
¢
¡ p ¢ ¡ p
¹
º
1
x 2 (1¡x) 2 J¹ a x Jº b 1 ¡ x dx = 2a¹ bº (a2 +b2 )¡ 2 (º+¹+1) Jº+¹+1
a2 + b2
[Re º > ¡1;
Re ¹ > ¡1]:
EH II 46a
729
6.61 Combinations of Bessel functions and exponentials
6.611
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
e¡®x Jº (¯x) dx =
¯ ¡º
hp
®2 + ¯ 2 ¡ ®
p
®2 + ¯ 2
iº
[Re º > ¡1;
Re(®§i¯) > 0]:
EH II 49(18), WA 422(8)
1
e¡®x Nº (¯x) dx = (®2 + ¯ 2 )¡ 2 cosec(º¼) £
½ h
i ¡º
h
iº¾
º
2
2 12
¡º
2
2 12
£ ¯ (® + ¯ ) + ®
cos(º¼) ¡ ¯
(® + ¯ ) + ®
[Re ® > 0;
¯ > 0;
j Re º j < 1]:
3:
4:
5:
Z
Z
1
∙
¸
¼
sin(º•)
®
¼
cos • = ; • !
for ¯ ! 1 ;
¯ sin(º¼) sin •
¯
2
∙
´ ¡º ¸
³
´
³p
p
º
¼ cosec(º¼)
®2 ¡ ¯ 2 + ®
= p
¯ ¡º ® + ®2 ¡ ¯ 2 ¡ ¯ º
2 ®2 ¡ ¯ 2
[j Re º j < 1; Re(® + ¯) > 0]:
e¡®x Kº (¯x) dx =
0
1
0
Z
e¡®x Iº (¯x) dx = p
1
0
³
¯º
®2 ¡ ¯ 2 ® +
e¡®x Hº(1;2) (¯x) dx =
p
®2 ¡ ¯ 2
³p
®2 + ¯ 2 ¡ ®
p
¯ º ®2 + ¯ 2
´º 8
>
<
>
:
´º
1§
[Re º > ¡1;
ET I 197(24), MO 180
ET II 131(22)
Re ® > j Re ¯ j]:
MO 180, ET I 195(1)
2
i
6
4cos(º¼) ¡
sin(º¼)
³
(1)
®+
p
®2 + ¯ 2
b2º
´ 2º 3 9
>
=
7
5
>
;
(2)
[¡1 < Re º < 1; a plus sign corresponds to the function Hº ; a minus sign to the function Hº ].
6:
7:
8:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
39
• ¶2 =
® 5
1+
;
¯
[Re ® > j Im ¯ j]:
2
39
s
• ¶2 =
®
®
2i
(2)
5
e¡®x H0 (¯x) dx = p
ln 4 + 1 +
1+
;
¼
¯
¯
®2 + ¯ 2 :
[Re ® > j Im ¯ j]:
(1)
e¡®x H0 (¯x) dx = p
1
®2
+
¯2
1
¡®x
e
0
N0 (¯x) dx =
¼
p
¡2
®2 + ¯ 2
8
<
:
1¡
2
2i 4 ®
ln
+
¼
¯
s
8
<
ln
®+
p
®2 + ¯ 2
¯
MO 180, ET I 188(53)
MO 180, ET I 188(54, 55)
MO 180, ET I 188(53)}
[Re ® > j Im ¯ j]:
MO 47, ET I 187(44)
730
9:
Z
1
0
arccos ®
¯
e¡®x K0 (¯x) dx = p
2
¯ ¡ ®2
[0 < ® < ¯; Re(® + ¯) > 0];
s
Ã
!
®
1
®2
= p
ln
+
¡1
[0 ∙ ¯ < ®;
¯
¯2
®2 ¡ ¯ 2
Re(®+¯) > 0]:
6.612
Z
1:
1
e¡2®x J0 (x)N0 (x) dx =
0
h
i
1
K ®(®2 + 1)¡ 2
[Re ® > 0]:
1
¼(®2 + 1) 2
ET II 347(58)
Z
2:
1
e¡2®x I0 (x)K0 (x) dx =
0
i
1 h
1
K (1 ¡ ®2 ) 2
[0 < ® < 1];
2
"•
¶1#
1 2
1
1¡ 2
K
=
[1 < ® < 1]:
2®
®
ET II 370(48)
Z
3:
1
0
¶
• 2
1
® + ¯2 + °2
e¡®x Jº (¯x)Jº (°x) dx = p Qº¡ 12
2¯°
¼ °¯
∙
¸
1
Re(® § i¯ § i°) > 0; ° > 0; Re º > ¡
:
2
WA 426(2), ET II 50(17)
Z
4:
Z
5:
1
¡®x
e
2
[J0 (¯x)] dx =
0
1
0
¼
p
2
K
®2 + 4¯ 2
(2®2 + ¯ 2 )K
K
e¡2®x J12 (¯x) dx =
•
Ã
p
p
2¯
®2 + 4¯ 2
¯
®2 +¯ 2
!
:
MO 178
¶
E
¡ 2(®2 + ¯ 2 )E
p
¼¯ 2 ®2 + ¯ 2
•
p
¯
®2 +¯ 2
¶
:
WA 428(3)
6.6137
R1
0
2
e¡x Jº+ 21
³
x2
2
´
dx =
¡(º+1)
p
D¡º¡1
¼
¡
³
´
¼ ¢
¼i
ze 4 i D¡º¡1 ze¡ 4
[Re º > ¡1]:
6.614
1:
Z
1
0
¡ p ¢
¯
e¡®x Jº ¯ x dx =
4
r
•
¶∙
• 2¶
• 2 ¶¸
¼
¯2
¯
¯
1
1
exp
¡
I
¡
I
:
(º¡1)
(º+1)
2
2
®3
8®
8®
8®
MO 122
Z
2:
1
¡®x
e
0
• ¶
• ¶¾
1 ¯ ½
³ p ´
e¡ 2 ®
¡(º + 1)
¯
¯
¡ cosec (º¼) W 12 ; nu
M1;º
N2º 2 ¯x dx = p
ctg(º¼)
2
¡(2º + 1)
®
®
®¯
[Re ® > 0; j Re º j < 1]:
ET I 188(50)a
731
Z
3:
Z
4:
1
¡®x
e
0
1
0
• ¶
1 ¯
³ p ´
e 2 ® ¡(º + 1)
¯
M¡ 12 ; º
I2º 2 ¯x dx = p
¡(2º
+
1)
®
®¯
[Re ® > 0;
Re º > ¡1]:
ET I 197(20)a
• ¶
1 ¯
³ p ´
e2 ®
¯
e¡®x K2º 2 ¯x dx = p ¡(º+1)¡(1¡º)W¡ 12 ; º
®
2 ®¯
[Re ® > 0;
j Re º j < 1]:
ET I 199(37)a
Z
5:
1
¡®x
e
0
¡ p ¢
¯
K1 ¯ x dx =
8
r
¼
exp
®3
•
¯2
8®
¶∙
K1
•
¯2
8®
¶
¡ K0
•
¯2
8®
¶¸
:
MO 181
6.615
Z
1
¡®x
e
Jº
0
¡
p ¢ ¡ p ¢
1
2¯ x Jº 2° x dx = Iº
®
•
2¯°
®
¶
•
¯2 + °2
exp ¡
®
¶
[Re º > ¡1]:
MO 178
6.616
1:
2:
Z
Z
1
0
1
1
´
h ³
³ p
´i
p
1
e¡®x J0 ¯ x2 + 2°x dx = p
exp ° ® ¡ ®2 + ¯ 2 :
®2 + ¯ 2
MO 179
´
³ p
³ p
´
1
e¡®x J0 ¯ x2 ¡ 1 dx = p
exp ¡ ®2 + ¯ 2 :
®2 + ¯ 2
MO 179
MO 49
Z
4:
5:
3
Z
1
e
¡1
1
¡1
p
2
2
³ p
´
e¡i® r +x
r ®2 ¡ t2 dt = 2i p
r2 + x2
p
[¡¼ < arg ®2 ¡ t2 ∙ 0; ¡¼ < arg ® ∙ 0;
¡itx
(2)
H0
rand x are real ]:
³ p
´
p
e¡ax I0 b 1 ¡ x2 dx = 2(a2 +b2 )¡1=2 sh a2 + b2
MO 49
[a > 0;
b > 0]:
6.617
1:
Z
1
Kq¡p (2z sh x)e(p+q)x dx =
0
¼2
[Jp (z)Nq (z) ¡ Jq (z)Np (z)]
4 sin[(p ¡ q)¼]
[Re z > 0; ¡1 < Re(p ¡ q) < 1] :
MO 44
2:
Z
1
¡2px
K0 (2z sh x)e
0
¼
dx = ¡
4
½
@Np (z)
@Jp (z)
Jp (z)
¡ Np (z)
@p
@p
¾
[Re z > 0]:
MO 44
732
6.618
1:
Z
1
0
•
¶
• 2¶
p
2
¼
¯2
¯
e¡®x Jº (¯x) dx = p exp ¡
I1º
2
2 ®
8®
8®
[Re ® > 0;
¯ > 0;
Re º > ¡1]:
WA 432(5), ET II 29(8)
2:
Z
1
¡®x2
e
0
•
¶∙
• 2¶
• 2 ¶¸
p
³ º¼ ´
¼
º¼
1
¯2
¯
¯
Nº (¯x) dx = ¡ p exp ¡
tg
I1
+ sec
K 12 º
2 ®
8®
2 2 º 8®
¼
2
8®
[Re ® > 0; ¯ > 0; j Re º j < 1]:
WA 432(6), ET II 106(3)
3:
Z
1
0
¡®x2
e
• 2¶
• 2¶
³ º¼ ´ p¼
1
¯
¯
p exp
Kº (¯x) dx = sec
K1º
2
4
2
®
8®
8®
[Re ® > 0;
j Re º j < 1]:
4:
Z
1
0
• 2¶
• 2¶
p
2
¯
¼
¯
e¡®x Iº (¯x) dx = p exp
I1º
2
2 ®
8®
8®
[Re º > ¡1;
Re ® > 0]:
EH II 92(27)
5:
Z
1
0
2
e¡®x J¹ (¯x)Jº (¯x) dx =
¶
¹+º+1
º+¹+1
2
£
= 2¡º¡¹¡1 ®¡ 2 ¯ º+¹
¡(¹ + 1)¡(º + 1)
¶
•
¯2
º+¹+1 º+¹+2 º+¹+1
£ 3 F3
;
;
; ¹ + 1; º + 1; º + ¹ + 1; ¡
2
2
2
®
[Re(º + ¹) > ¡1; Re ® > 0]:
¡
•
EH II 50(21)a
6.62- 6.63 Combinations of Bessel functions, exponentials, and powers
6.621
1:
Z
1
0
e¡®x Jº (¯x)x¹¡1 dx =
• ¶º
¯
¶
¡(º + ¹) •
¯2
º+¹ º+¹+1
2®
=
F
;
; º + 1; ¡ 2 ;
®¹ ¡(º + 1)
2
2
®
• ¶º
¯
¶ 1 ¡¹ •
¶
¡(º + ¹) •
¯2
¯2 2
º ¡¹+1 º ¡¹
2®
F
1
+
;
+
1;
º
+
1;
¡
=
;
®¹ ¡(º + 1)
®2
2
2
®2
• ¶º
¯
•
¶
¡(º + ¹)
¯2
º+¹ 1¡¹+º
2
;
; º + 1; 2
F
= p
2
2
® + ¯2
(®2 + ¯ 2 )º+¹ ¡(º + 1)
[Re (º + ¹) > 0; Re (® + i¯) > 0; Re (® ¡ i¯) > 0];
h
i
2
2 ¡ 21 ¹
2
2 ¡ 12
¡(º+¹)P¡º
+
¯
)
= (® +¯ )
®(®
[® > 0; ¯ > 0; Re (º+¹) > 0]:
¹¡1
ET II 29(6)
WA 421(3)
WA 421(3)
WA 421(2)
733
2:
Z
1
0
e¡®x Nº (¯x)x¹¡1 dx =
• ¶º
¯
•
¶
¡(º + ¹)
¯2
º +¹ º ¡¹+1
2
= ctg º¼ p
F
;
; º + 1; 2
¡
2
2
® + ¯2
(®2 + ¯ 2 )º+¹ ¡(º + 1)
• ¶¡º
¯
3:
Z
1
¹¡1 ¡®x
x
e
0
•
¶
1
¼(2¯)º ¡(¹ + º)¡(¹ ¡ º)
1 ®¡¯
•
¶
F ¹ + º; º + ; ¹ + ;
Kº (¯x) dx =
1
(® + ¯)¹+º
2
2 ®+¯
¡ ¹+
2
[Re ¹ > j Re º j; Re (® + ¯) > 0]:
p
ET II 131(23)A, EH II 50(26)
4:
Z
1
0
" p
#
( ®2 + ¯ 2 ¡ ®)º
p
®2 + ¯ 2
[¯ > 0; Re º > ¡m ¡ 2]:
dm+1
xm+1 e¡®x Jº (¯x) dx = (¡1)m+1 ¯ ¡º m+1
d®
ET II 28(3)
6.622
1:
2:
Z
Z
1
0
(J0 (x) ¡ e¡®x )
dx
= ln 2®
x
[® > 0]:
NT 66(13)
1 i(u+x)
e
¼ (1)
J0 (x) dx = iH0 (u):
u+x
2
0
MO 44
3:
Z
1
0
¡x ch ®
e
dx
Ip (x) p =
x
r
2
Q 1 (ch ®):
¼ p¡ 2
WA 424(5)
6.623
¶
1
Z 1
(2¯) ¡ º +
2
º
¡®x
e
Jº (¯x)x dx = p
1
º+
2
2
¼(® + ¯ ) 2
0
º
1:
•
∙
1
Re º > ¡ ;
2
¸
Re ® > j Im ¯ j :
WA 422(5)
734
2:
Z
•
¶
3
2®(2¯) ¡ º +
1
2
e¡®x Jº (¯x)xº+1 dx = p
3
º+
2
2
¼(® + ¯ ) 2
0
º
[Re º > ¡1;
Re ® > j Im ¯ j]:
3:
Z
1
e¡®x Jº (¯x)
0
dx
=
x
³p
®2 + ¯ 2 ¡ ®
º¯ º
´º
Re ® > j Im ¯ j]
[Re º > 0;
(cf. 6.611 1.).
6.611
WA 422(7)
6.624
1:
2:
Z
Z
1
xe¡®x K0 (¯x) dx =
0
1p
¡®x
xe
0
8
<
2
®
1
®
p
ln 4 +
®2 ¡ ¯ 2 : ®2 ¡ ¯ 2
¯
K§ 21 (¯x) dx =
r
s
9
3
• ¶2
=
®
¡ 15 ¡ 1 :
;
¯
MO 181
¼
1
:
2¯ ® + ¯
MO 181
3:
4:
5:
6:
Z
Z
Z
Z
1
e¡tz(z
2
1
¡1)¡ 2
¡(º ¡ ¹ + 1)
K¹ (t)tº dt =
1
(z 2 ¡ 1)¡ 2 (º+1)
0
1
e¡tz(z
2
1
¡1)¡ 2
0
1
e¡tz(z
2
1
¡1)¡ 2
I¡¹ (t)tº dt =
I¹ (t)tº dt =
0
1
¡t cos •
e
º
J¹ (t sin •)t dt =
0
¡(¡º ¡ ¹)
(z 2
¡ 1)
1
2
º
ei¹¼ Q¹º (z)
[Re (º §¹) > ¡1]:
EH II 57(7)
Pº¹ (z)
[Re(º + ¹) < 0]:
EH II 57(8)
¡(º + ¹ + 1)
1
(z 2 ¡ 1)¡ 2 (º+1)
Pº¡¹ (z)
[Re(º+¹) > ¡1]:
EH II 57(9)
¡(º+¹+1)P¡¹
º (cos
∙
•)
Re (º + ¹) > ¡1;
¸
1
0∙•< ¼ :
2
EH II 57(10)
7:
•
1
Z 1
(2b) ¡ º +
º
Jº (bx)x
2
p
dx =
¼x ¡ 1
e
¼
0
º
¶
1
X
n=1
1
(n2 ¼ 2
1
+ b2 )º+ 2
[Re º > 0;
j Im bj < ¼]:
6.625
1:
Z
1
0
¶
•
2¡º ®º ¡(¸)¡(¹)
1
;
¸
+
¹;
2º
+
1;
§
2i®
F
¸;
º
+
2 2
¡(¸ + ¹)¡(º + 1)
2
[Re ¸ > 0; Re ¹ > 0]:
x¸¡º¡1 (1¡x)¹¡1 e§i®x Jº (®x) dx =
ET II 194(58)a
•
¶
1
¶
•
Z 1
(2®) ¡(¹)¡ º +
1
2
;
¹
+
2º
+
1;
§
2i®
xº (1¡x)¹¡1 e§i®x Jº (®x) dx = p
F
º
+
1 1
¼¡(¹ + 2º + 1)
2
0
∙
¸
1
Re ¹ > 0; Re º > ¡
:
2
º
2:
ET II 194(57)a
735
¶
1
¶
•
Z 1
(2®) ¡ º +
¡(¹)
1
2
xº (1¡x)¹¡1 e§®x Jº (®x) dx = p
F
;
¹
+
2º
+
1;
§
2®
º
+
1 1
¼¡(¹ + 2º + 1)
2
0
∙
¸
1
Re ¹ > 0; Re º > ¡
:
2
º
3:
•
BU 9(16a), ET II 197(77)a
4:
Z
•
¶º
1
®
¡(¸ + º)¡(¹)
1
2
¸¡1
¹¡1 §®x
x
(1 ¡ x)
e
Iº (®x) dx =
£
¡(º + 1)¡(¸ + ¹ + º)
0
¶
•
1
£ 2 F2 º + ; ¸ + º; 2º + 1; ¹ + ¸ + º; §2®
2
[Re ¹ > 0; Re (¸ + º) > 0]:
ET II 197(78)a
5:
Z
1
¹¡{
x
0
2{¡1
(1¡x)
I¹¡{
•
¶
¡(2{)
x
1
1
1
xz e¡ 2 xz dx = p
e 2 z ¡{¡ 2 M{; u (z)
2
¼¡(1 + 2¹)
¶
∙
•
¸
1
Re { ¡ ¡ ¹ < 0; Re { > 0
2
BU 129(14a)
ET II 207(50)a
7:
8:
Z
Z
1
1
¡¸
x
¹¡1 ¡®x
(x¡1)
e
¶
• ¯
¯
p
0; 12 ¡ ¸
¸ 30
¯
Kº (®x) dx = ¡(¹) ¼(2®) G23 2® ¯
¡¹; º ¡ ¸; ¡º ¡ ¸
[Re ¹ > 0; Re ® > 0]:
ET II 208(55)a
¶
•
1
º¡¹
¡
¹
+
º
¡(¹)
(2®)
¡
1
2
¹¡1 ¡®x
¡º
p
£
x (x ¡ 1)
e
Iº (®x) dx =
¼¡(1 ¡ ¹ + 2º)
1
¶
•
1
£ 1 F1
¡ ¹ + º; 1 ¡ ¹ + 2º; ¡2®
2
∙
¸
1
0 < Re ¹ < + Re º; Re ® > 0 :
2
ET II 207(49)a
9:
Z
1
1
x¡º (x¡1)¹¡1 e¡®x Kº (®x) dx =
p
1
1
¼¡(¹)(2®)¡ 2 ¹¡ 2 e¡® W¡ 12 ¹; º¡ 21 ¹ (2®)
[Re ¹ > 0;
Re ® > 0]:
ET II 208(53)a
736
Z
10:
1
1
x¡¹¡ 2 (x¡1)¹¡1 e¡®x Kº (®x) dx =
1
p
1
¼¡(¹)(2®)¡ 2 e¡® W¡¹; º (2®)
[Re ¹ > 0;
Re ® > 0]:
ET II 207(51)a
11:
3
Z
³ p
´
o
p
2n
(1¡x2 )¡1=2 xe¡ax I1 b 1 ¡ x2 dx =
sh a ¡ a(a2 + b2 )¡1=2 sh a2 + b2
b
¡1
[a > 0; b > 0]:
1
6.626
1:
Z
1
0
1
X
¯¹°º
¡(¸ + ¹ + º + 2m)
£
2¡º¡¹ ®¡¸¡¹¡º
¡(º + 1)
m!¡(¹ + m + 1)
m=0
•
¶•
¶m
°2
¯2
£ F ¡m; ¡¹ ¡ m; º + 1; 2
¡ 2
¯
4®
[Re (¸ + ¹ + º) > 0; Re (® § i¯ § i°) > 0]:
x¸¡1 e¡®x J¹ (¯x)Jº (°x) dx =
2:
•
¶
1
Z 1
¯ º+¹
¡ º+¹+
2
º+¹
¡2®x
p
e
Jº (¯x)J¹ (¯x)x
dx =
£
¼3
0
Z ¼2
cosº+¹ ' cos(º ¡ ¹)'
p
£
d'
2
2
2
º+¹
®2 + ¯ 2 cos 2 '
0 (® + ¯ cos ')
¸
∙
1
:
Re ® > j Im ¯ j; Re (º + ¹) > ¡
2
WA 427(1)
3:
4:
Z
Z
1
K
¡2®x
e
J0 (¯x)J1 (¯x)x dx =
Ã
0
1
¡2®x
e
0
1
I0 (¯x)I1 (¯x)x dx =
2¼¯
p
½
¯
®2 + ¯ 2
2¼¯
!
p
®
E
2
® ¡ ¯2
¡E
Ã
p
¯
®2 + ¯ 2
!
®2 + ¯ 2
:6
WA 427(2)
• ¶¾
• ¶
¯
¯
1
¡ K
®
®
®
[Re ® > Re ¯]:
WA 428(5)
6.627
Z
1
0
∙
x¡1=2 ¡x
¼ea Kº (a)
e Kº (x) dx = p
x+a
a cos(º¼)
¸
1
j Re º j <
:
2
j arg aj < ¼;
ET II 368(29)
6.628
1:
Z
1
0
e¡x cos ¯ J¡º (x sin ¯)x¹ dx = ¡(¹¡º+1)Pº¹ (cos ¯)
h
0<¯<
¼
;
2
i
Re (¹ ¡ º) > ¡1 :
WA 424(3), WH
737
2:
3:
Z
Z
1
0
1
e
0
¡(¹ ¡ º + 1)
sin ¹¼
£
sin(¹ + º)¼
¼
h
i
1
1
£ Qº¹ (cos ¯ + 0 ¢ i)e 2 º¼i + Qº¹ (cos ¯ ¡ 0 ¢ i)e¡ 2 º¼i
h
¼i
:
Re (¹ + º) > ¡1; 0 < ¯ <
2
e¡x cos ¯ Nº (x sin ¯)x¹ dx = ¡
xu
2
2º¡1 ¹¡º
(1¡x)
x
J¹¡º
•
ixu
2
¶
u
dx = 2
2(º¡¹)
e
¼
2
(¹¡º)i
B(2º; 2¹ ¡ 2º + 1) e 2
1 Mº; ¹ (u):
¡(¹ ¡ º + 1)
uº+ 2
WA 424(4)
Z
4:
Z
5:
1
0
e¡x ch ® Iº (x sh ®)x¹ dx = ¡(º + ¹ + 1)P¹¡º (ch ®)
[Re ¹ > ¡2]:
WA 423(1)
1
e¡x ch ® Kº (x sh ®)x¹ dx =
0
sin ¹¼
¡(¹¡º+1)Qº¹ (ch ®)
sin(º + ¹)¼
[Re(¹+1) > j Re º j]:
WA 423(2)
Z
6:
1
cos º¼
¹
sin(¹+º)¼ Q
e¡x ch ® Iº (x)x¹¡1 dx =
r
0
¡
1
2º
¡ 12 (ch ®)
1
¼
(sh ®)¹¡ 2
2
[Re (¹+º) > 0;
Re (ch ®) > 1]:
WA 424(6)
Z
7:
1
¡x ch ®
e
¹¡1
Kº (x)x
dx =
0
r
1
¡¹
2
Pº¡
1 (ch ®)
¼
2
¡(¹ ¡ º)¡(¹ + º)
1
2
(sh ®)¹¡ 2
[Re ¹ > j Re º j; Re (ch ®) > ¡1]:
WA 424(7)
6.629
Z
1
¡1=2 ¡x® cos ' cos Ã
x
e
0
•
¶
1
1
J¹ (®x sin ')Jº (®x sin Ã) dx = ¡ ¹ + º +
(cos ')P¡º
(cos Ã)
®¡ 2 P¡¹
¹¡ 12
º¡ 12
2
∙
¸
¼
1
® > 0; 0 < '; Ã < ; Re (¹ + º) > ¡
:
2
2
ET II 50(19)
6.631
1:
Z
1
0
º
¯ ¡
2
x¹ e¡®x Jº (¯x) dx =
•
1
1
1
1
º+ ¹+
2
2
2
¶
1 F1
•
¯2
º +¹+1
; º + 1; ¡
2
4®
2º+1 ® 2 (¹+º+1) ¡(º + 1)
•
¶
1
1
1
•
¶
• 2¶
¡
º+ ¹+
¯2
¯
2
2
2
=
exp ¡
M 12 ¹; 12 º
1
¹
8®
4®
¯® 2 ¡(º + 1)
[Re ® > 0; Re(¹ + º) > ¡1]:
¶
;
EH II 50(22), ET II 30(14), BU 14(13b)
BU 8(15)
738
2:
•
¶
•
¶
2
¯2
º¡¹
1
£
x¹ e¡®x Nº (¯x) dx = ¡®¡ 2 ¹ ¯ ¡1 sec
¼ exp ¡
2
8®
0
¶
8 •
9
1
1 1
>
>
>
>
•
¶
¶
¶
•
•
+
¹
+
º
¡
<
=
º ¡¹
¯2
¯2
2 2
2
£
sin
¼ M 1 ¹; 12 º
+ W 1 ¹; 12 º
2
2
>
¡ (1 + º)
2
4®
4® >
>
>
:
;
Z
1
Re ¹ > j Re º j ¡ 1;
[Re ® > 0;
3:
Z
1
¹ ¡®x2
x e
0
1
1
Kº (¯x) dx = ®¡ 2 ¹ ¯ ¡1 ¡
2
•
1+º+¹
2
¯ > 0]:
ET II 106(4)
¶ •
¶
• 2¶
• 2¶
1¡º +¹
¯
¯
¡
exp
W¡ 12 ¹; 21 º
2
8®
4®
[Re ¹ > j Re º j ¡ 1]:
ET II 132(25)
4:
Z
1
º+1 ¡®x2
x
e
0
•
¶
¯º
¯2
Jº (¯x) dx =
exp ¡
(2®)º+1
4®
[Re ® > 0;
Re º > ¡1]:
WA 43(4), ET II 29(10)
5:
Z
1
0
•
¶
2
¯2
xº¡1 e¡®x Jº (¯x) dx = 2º¡1 ¯ ¡º ° º;
4®
[Re ® > 0;
Re º > 0]:
ET II 30(11)
6:
Z
1
º+1 §i®x2
x
e
0
∙ •
¶¸
¯º
¯2
º+1
Jº (¯x) dx =
exp §i
¼¡
(2®)º+1
2
4®
∙
¸
1
® > 0; ¡1 < Re º < ; ¯ > 0 :
2
ET II 30(12)
7:
Z
1
0
¡®x2
xe
Jº (¯x) dx =
p
¼¯
3
8® 2
•
¯2
exp ¡
8®
¶∙
¶
• 2 ¶¸
¯2
¯
I 1 º¡ 12
¡ I 12 º+ 12
2
8®
8®
[Re ® > 0; Re º > ¡2]:
•
8:
Z
1
#
"
n
X
1
In (2®x) dx =
Ir (2®)
e® ¡ e¡®
4®
r=¡n
2
xn+1 e¡®x
0
[n = 0; 1; . . . ]:
ET II 365(8)a
9:
Z
1
2
x1¡n e¡®x
1
#
"
n¡1
X
1
In (2®x) dx =
Ir (2®)
e® ¡ e¡®
4®
r=1¡n
[n = 1; 2; . . . ]:
ET II 367(20)a
10:
Z
1
p
2
n!
1
e¡x x2n+¹+1 J¹ (2x z) dx = e¡z z 2 ¹ L¹n (z)
2
0
[n = 0; 1; . . . ;
n+Re ¹ > ¡1]:
BU 135(5)
6.632
Z
1
0
1
1
1
x¡ 2 exp[¡(x2 + a2 ¡ 2ax cos ') 2 ][x2 + a2 ¡ 2ax cos ']¡ 2 Kº (x) dx =
∙
¸
1
¡ 12
= ¼a sec(º¼)Pº¡ 12 (¡ cos ')Kº (a)
j arg aj + j Re 'j < ¼; j Re º j <
:
2
ET II 368(32)
739
6.633
1:
Z
1
0
2
x¸+1 e¡®x J¹ (¯x)Jº (°x) dx =
•
¶
1
1
1
•
¶m
¹+º+¸+2
1 ¡ m+ º + ¹+ ¸+1
X
2
¯ ¹ ° º ®¡
¯2
2
2
2
£
= º+¹+1
¡
2
¡(º + 1) m=0
m!¡(m + ¹ + 1)
4®
•
¶
°2
£ F ¡m; ¡¹ ¡ m; º + 1; 2
[Re ® > 0; Re (¹ + º + ¸) > ¡2; ¯ > 0;
¯
° > 0]:
EH II 49(20)A, ET II 51(24)a
2:
Z
1
0
¡%2 x2
e
•
¶ •
¶
1
®2 + ¯ 2
®¯
Jp (®x)Jp (¯x)x dx = 2 exp ¡
Ip
2%
4%2
2%2
i
h
¼
Re p > ¡1; j arg %j < ; ® > 0; ¯ > 0 :
4
KU 146(16)A, WA 433(1)
ET II 347(59)
4:
Z
1
¡®x2
xe
0
1
Iº (¯x)Jº (°x) dx =
exp
2®
•
¯2 ¡ °2
4®
¶
Jº
•
¯°
2®
¶
Re º > ¡1]:
[Re ® > 0;
ET II 63(1)
5:
Z
1
0
2
x¸¡1 e¡®x J¹ (¯x)Jº (¯x) dx =
¶
•
1
1
1
¸+ ¹+ º
¡
1
2
2
2
£
= 2¡º¡¹¡1 ®¡ 2 (º+¸+¹) ¯ º+¹
¡(¹ + 1)¡(º + 1)
¸
∙
¹ 1 º
¹
º +¹+¸
¯2
º
£ 3 F3
+ + ; + + 1;
; ¹ + 1; º + 1; ¹ + º + 1; ¡
2
2
2 2
2
2
®
[Re (º + ¸ + ¹) > 0; Re ® > 0]:
WA 434, EH II 50(21)
6.634
Z
1
0
x2
xe¡ 2a [Iº (x)+I¡º (x)]Kº (x) dx = aea Kº (a)
[Re a > 0;
¡1 < Re º < 1]:
ET II 371(49)
6.635
1:
2:
Z
Z
1
®
x¡1 e¡ x Jº (¯x) dx = 2Jº
0
1
®
³p
x¡1 e¡ x Nº (¯x) dx = 2Nº
0
´
´
³p
2®¯ Kº
2®¯
³p
[Re ® > 0;
¯ > 0]:
ET II 30(15)
´
´
³p
2®¯ Kº
2®¯
[Re ® > 0;
¯ > 0]:
ET II 106(5)
740
3:
Z
1
0
¡1 ¡ ®
x ¡¯x
x
e
Jº (°x) dx = 2Jº
½
p
2®
hp
¯2
+
°2
[Re ® > 0;
¡¯
i 12 ¾
Kº
Re ¯ > 0;
½
p
2®
hp
° > 0]:
¯2
+
°2
+¯
i 12 ¾
ET II 30(16)
6.636
Z
1
p
¡ 12 ¡® x
x
e
0
p
•
¶
2
1
1
1
1
1
1
1
Jº (¯x) dx = p ¡ º +
D¡º¡ 12 (2¡ 2 ®e 4 ¼i ¯ ¡ 2 )D¡º¡ 12 (2¡ 2 ®e¡ 4 ¼i ¯ ¡ 2 )
2
¼¯
∙
¸
1
Re ® > 0; ¯ > 0; Re º > ¡
:
2
ET II 30(17)
6.637
1:
2:
Z
Z
1
0
½
h
i¾
i
1
1
1 h 2
1
£
(¯ 2 +x2 )¡ 2 exp ¡®(¯ 2 + x2 ) 2 Jº (°x) dx = I 1 º
¯ (® + ° 2 ) 2 ¡ ®
2
2
½
i¾
1
1 h 2
£ K 12 º
¯ (® + ° 2 ) 2 + ®
2
[Re ® > 0; Re ¯ > 0; ° > 0; Re º > ¡1]:
ET II 31(20)
h
i
1
1
(¯ 2 + x2 )¡ 2 exp ¡®(¯ 2 + x2 ) 2 Nº (°x) dx =
½
i¾
³ º¼ ´
1
1 h 2
K 12 º
¯ (® + ° 2 ) 2 + ®
£
= ¡ sec
2
2
•
½
½
i¾
³ º¼ ´
i ¾¶
1
1
1
1 h 2
1 h 2
£
K 12 º
¯ (® + ° 2 ) 2 + ®
+ sin
I 12 º
¯ (® + ° 2 ) 2 ¡ ®
¼
2
2
2
[Re ® > 0; Re ¯ > 0; ° > 0; j Re º j < 1]:
1
0
ET II 106(6)
3:
Z
h
i
1
1
(x2 + ¯ 2 )¡ 2 exp ¡®(x2 + ¯ 2 ) 2 Kº (°x) dx =
½
½
³ º¼ ´
i¾
i¾
1
1 h
1 h
2
2 12
2
2 12
1
1
= sec
K2º
¯ ® + (® ¡ ° )
¯ ® ¡ (® ¡ ° )
K2º
2
2
2
2
[Re ® > 0; Re ¯ > 0; Re(° + ¯) > 0; j Re º j < 1]:
1
0
ET II 132(26)
6.64 Combinations of Bessel functions of more complicated arguments,
exponentials, and titles
6.641
Z
1p
0
¡®x
xe
2
J§ 14 (x ) dx =
∙
• 2¶
• 2 ¶¸
¼®
®
®
H¨ 14
¡ N¨ 14
:
4
4
4
p
6.642
1:
2:
Z
Z
1
¡1 ¡®x
x
e
0
1
0
¡1 ¡®x
x
e
• ¶
¡p ¢
¡p ¢
2
Nº
dx = Nº
® Kº
® :
x
Hº(1; 2)
MI 44
• ¶
¡p ¢
¡p ¢
2
dx = Hº(1; 2)
® Kº
® :
x
MI 44, EH II 91(26)
741
6.643
1:
Z
•
¶
1
• 2¶
¡
¹
+
º
+
1
¡ p ¢
¯2
¯
2
¹¡ 12 ¡®x
¡ 2®
¡¹
x
e
J2º 2¯ x dx =
e
® M¹; º
¯¡(2º + 1)
®
0
(cf. 6.631 1.).
∙
Re
•
1
¹+º+
2
¶
¸
>0 ;
6.631
BU 14(13a), MI 42a
2:
Z
•
¶
1
• 2¶
¡
¹
+
º
+
1
2
¡ p ¢
¯
2
¹¡ 12 ¡®x
¡1 ¯
¡¹
2®
x
e
I2º 2¯ x dx =
¯ e ® M¡¹; º
¡(2º + 1)
®
0
∙
•
¶
¸
1
Re ¹ + º +
>0 :
2
MI 45
3:
•
¶
1
• 2¶
Z 1
¡ ¹¡º+
¡ p ¢
¯2
1
¯
2
x¹¡ 2 e¡®x K2º 2¯ x dx =
e 2® ®¡¹ W¡¹; º
2¯
®
0
∙
•
¶
¸
1
Re ¹ + º +
>0 ;
(cf. 6.631 3.).
2
1
¡ ¹+º+
2
¶
•
6.631
MI 47a
MO 178a
•
¶
¯2
r
∙
• 2¶
• 2 ¶¸
Z 1
exp ¡
¡ p ¢
1
¼
¯
¯
8®
¡ 12 ¡®x
sin(º¼)Iº
+ Kº
x e
N2º ¯ x dx = ¡
® cos(º¼)
8®
¼
8®
0
∙
¸
1
j Re º j <
:
2
5:
MI 44
Z
6:
1
x
1
m
2
¡®x
e
0
¡ p ¢
¡(m + 1)
Km 2 x dx =
2®
• ¶ 12 m¡ 12
• ¶
1
1
1
:
e 2® W¡ 12 (m+1); ¡ 12 m
®
®
MI 48a
6.644
Z
1
¡¯x
e
J2º
0
¡
•
¶ •
¶
p ¢
a2 ¯
a2 b
1
p
Jº
2a x Jº (bx) dx = exp ¡ 2
2
2
2
¯ +b
¯ +b
¯ 2 + b2
¸
∙
1
:
Re ¯ > 0; b > 0; Re º > ¡
2
ET II 58(17)
6.645
Z
1:
1
1
∙ ³p
∙ ³p
´
´¸
´¸
³ p
1
1
1
(x2 ¡1)¡ 2 e¡®x Jº ¯ x2 ¡ 1 dx = I 12 º
®2 + ¯ 2 ¡ ® K 12 º
®2 + ¯ 2 + ® :
2
2
MO 179a
742
Z
2:
3:
3
6.646
Z
1
1
2
(x ¡1)
1
2
º ¡®x
e
r
´
³ p
³p
´
¢ ¡ 1 º¡ 1
2 º¡ 2
Jº ¯ x2 ¡ 1 dx =
¯ ® + ¯ 2 2 4 Kº+ 12
®2 + ¯ 2 :
¼
o
³ p
´
2n p 2
(1¡x2 )¡1=2 e¡ax I1 b 1 ¡ x2 dx =
ch a + b2 ¡ ch a
b
¡1
1
[a > 0;
b > 0]:
MO 179a
EF 89(52), MO 179
Z
2:
1
1
•
x¡1
x+1
¶ 12 º
³ p
´Ã
!º
´
³ p
exp ¡ ®2 ¡ ¯ 2
¯
¡®x
p
p
e
Iº ¯ x2 ¡ 1 dx =
®2 ¡ ¯ 2
® + ®2 ¡ ¯ 2
[Re º > ¡1; ® > ¯]:
MO 180
¶º=2
h
i
¤
t¡b
¡(º + 1) £ º ¡bs
Kº a(t2 ¡ b2 )1=2 dt =
x e ¡(¡º; bx) ¡ y º ebs ¡(¡º; by)
º
t+b
2sa
b
2
2 1=2
[Re (p+a) > 0; j Re (º)j < 1]:
where x = p¡s; y = p+s; s = (p ¡a )
3:7
Z
1
e¡pt
•
ME 39a
6.647
Z
1:
1
•
¶ •
¶
1 1 ®¯
1
1
2
e
K2¹
x(¯ + x) dx = e
¡
¡¸+¹ ¡
¡ ¸ ¡ ¹ W¸; ¹ (z1 )£
¯
2
2
£ W¸; ¹ (z2 );
´
p
1 ³
z 1 = ¯ ® + ®2 ¡ 1 ;
2 ³
´
p
1
z 2 = ¯ ® ¡ ®2 ¡ 1 ;
2
∙
¸
1
j arg ¯ j < ¼; Re ® > ¡1; Re ¸ + j Re ¹j <
:
2
¸¡ 12 ¡®x
¡¸¡ 12
x
(¯+x)
0
i
hp
ET II 377(37)
Z
2:
1
0
¡ 12
(®+x)
¡ 12 ¡x ch t
x
e
Kº
hp
•
¶
•
¶
³ º¼ ´ 1
1
1 t
1 ¡t
®
ch
t
x(® + x) dx = sec
e2
K 12 º
®e K 12 º
®e
2
2
4
4
[¡1 < Re º < 1]:
i
ET II 377(36)
743
3:
7
Z
p
1
1
x¸¡ 2 (® ¡ x)¡¸¡ 2 e¡x sh t I2¹ [ x(® ¡ x)] dx =
¶
•
¶ •
1
1
•
¶
•
¶
¡¸+¹
2¡
+¸+¹ ¡
1 t
1 ¡t
2
2
¡(®=2) sh t
=e
M¸; ¹
®e M¡¸; ¹
®e
®[¡(2¹ + 1)]2
2
2
¸
∙
1
:
Re ¹ > j Re ¸j ¡
2
®
0
Z
1
%x
e
¡1
•
® + ¯ex
®ex + ¯
¶º
h
i
1
K2º (®2 + ¯ 2 + 2®¯ ch x) 2 dx = 2Kº+% (®)Kº¡% (¯)
[Re ® > 0;
Re ¯ > 0]:
ET II 379(45)
6.649
1:
Z
1
K¹¡º (2z sh x)e(º+¹)x dx =
0
¼2
[Jº (z)N¹ (z) ¡ J¹ (z)Nº (z)]
4 sin[(º ¡ ¹)¼]
[Re z > 0; ¡1 < Re (º ¡ ¹) < 1]:
MO 44
2:
Z
1
Jº+¹ (2x sh t)e(º¡¹)t dt = Kº (x)I¹ (x)
0
∙
Re (º ¡ ¹) <
3
;
2
Re (º + ¹) > ¡1;
¸
x>0 :
EH II 97(68)
3:
Z
1
0
1
Nº¡¹ (2x sh t)e¡(º+¹)t dt =
fI¹ (x)Kº (x) ¡ cos[(º ¡ ¹)¼]Iº (x)K¹ (x)g
sin[¼(¹ ¡ º)]
¸
∙
1
j Re (º ¡ ¹)j < 1; Re (º + ¹) > ¡ ; x > 0 :
2
EH II 97(73)
4:
Z
1
0
K0 (2z sh x)e¡2ºx dx = ¡
¼
4
½
Jº (z)
@Nº (z)
@Jº (z)
¡ Nº (z)
@º
@º
¾
:
6.65 Combinations of Bessel and exponential functions of more complicated
arguments and powers
6.651
1:
Z
1
0
1
1
2
x¸+ 2 e¡ 4 ®
x2
I¹
•
1 2 2
® x
4
¶
3
4
3
k=
4
∙
¼
j arg ®j < ;
4
h=
¯
1
¯
1
¡
¹;
1
+
¹
¯
1
3
A;
@ ¯ ¯
Jº (¯x) dx = p 2¸+1 ¯ ¡¸¡ 2 G21
23
2®2 ¯¯ h; 1 ; k
2¼
2
1
1
+ ¸ + º;
2
2
1
1
+ ¸ ¡ º;
2
2
¸
3
¯ > 0; ¡ ¡ Re (2¹ + º) < Re ¸ < 0 :
2
0
2
ET II 68(8)
744
2:
Z
1
1
1
2
x¸+ 2 e¡ 4 ®
2
x
K¹
0
•
1 2 2
® x
4
¶
Jº (¯x) dx =
r
3
4
3
k=
4
∙
¼
j arg ®j < ;
4
h=
¯
1
¯
1
¡
¹;
1
+
¹
¯
¼ ¸+1 ¡¸¡ 3 12 @ ¯ ¯
A;
2 G
2
¯
23
2
2®2 ¯¯ h; 1 ; k
2
1
1
+ ¸ + º;
2
2
1
1
+ ¸ ¡ º;
2
2
¸
3
Re (¸ + º § 2¹) > ¡
:
2
0
2
ET II 69(15)
3:
Z
¶
1 2
x
e
I¹
®x Jº (¯x) dx =
4
•
¶
¶
•
1
¯2
1
¯ º¡2¹¡1
1
¹¡º+ 12
¡ 21
•
¶ 1 F1
=2
(¼®) ¡
+¹
+ ¹; ¡ ¹ + º; ¡
1
2
2
2
2®
¡
¡¹+º
2
∙
¸
1
1
Re ® > 0; ¯ > 0; Re º > 2 Re ¹ + > ¡
:
2
2
1
0
2¹¡º+1 ¡ 14 ®x2
•
ET II 68(6)
4:
Z
¶
1 2 2
x
e
K¹
® x Jº (¯x) dx =
4
•
¶
p ¹ ¡2¹¡2º¡2 º ¡(1 + 2¹ + º)
¯2
3
¶ 1 F1 1 + 2¹ + º; ¹ + º + ; ¡ 2
= ¼2 ®
¯ •
3
2
2®
¡ ¹+º+
2
¸
∙
1
j arg ®j < ¼; Re º > ¡1; Re (2¹ + º) > ¡1; ¯ > 0 :
4
1
0
•
2¹+º+1 ¡ 14 ®2 x2
ET II 69(13)
5:
Z
1
0
1
2
x2¹+º+1 e¡ 2 ®x I¹
•
1 2
®x
2
¶
Kº (¯x) dx =
•
¶
• 2¶
• 2¶
1
2¹¡ 2 ¡¹¡ 3 ¡ 1 ¹¡ 1 º¡ 1
1
¯
¯
2
2
2
4
= p ¯
®
¡(2¹+º+1)¡ ¹ +
exp
Wk; m
;
¼
2
8®
4®
1
2k = ¡3¹ ¡ º ¡ ;
2
1
2m = ¹ + º +
2
∙
¸
1
Re ® > 0; Re ¹ > ¡ ; Re (2¹ + º) > ¡1 :
2
ET II 146(53)
745
6:
7:
8:
Z
Z
Z
1
¡ 14 ®x2
xe
0
1
¡ 14 ®x2
xe
0
1
•
J 12 º
I 12 º
•
1¡º ¡ 14 ®2 x2
x
e
1 2
¯x
4
1 2
®x
4
Iº
0
•
¶
¶
•
¶
•
¶
®° 2
¯° 2
Jº (°x) dx = 2(® +¯ ) exp ¡ 2
J 12 º
® + ¯2
®2 + ¯ 2
[° > 0; Re ® > j Im ¯ j; Re º > ¡1]:
2
2 ¡ 12
¶ ¡ 12
¶
•
¯2
1
¡1
¼®
¯ exp ¡
Jº (¯x) dx =
2
2®
[Re ® > 0; ¯ > 0; Re º > ¡1]:
1 2 2
® x
4
ET II 56(2)
•
¶
ET II 67(3)
r
•
¶
• ¶
2 ¯ º¡1
¯2
¯
exp ¡ 2 D¡2º
Jº (¯x) dx =
¼ ®
4®
®
∙
¸
1
1
j arg ®j < ¼; ¯ > 0; Re º > ¡
:
4
2
ET II 67(1)
9:
Z
1
¡º¡1 ¡ 41 ®2 x2
x
e
Iº+1
0
•
1 2 2
® x
4
r
•
¶
• ¶
2 º
¯2
¯
¯ exp ¡ 2 D¡2º¡3
Jº (¯x) dx =
¼
4®
®
∙
¸
1
j arg ®j < ¼; Re º > ¡1; ¯ > 0 :
4
¶
ET II 67(2)
6.652
Z
1
2º ¡
x e
0
³
x2
8
´
+®x
Iº
•
x2
8
¶
®2
¡(4º + 1) e 2
dx = 4º
W 3 1 (®2 )
2 ¡(º + 1) ®º+1 ¡ 2 º; 2 º
∙
Re
•
1
º+
4
¶
¸
>0 :
MI 45
6.653
1:
Z
1
0
∙
¸ • ¶
1 2
1
ab dx
2
exp ¡ x ¡
(a + b ) Iº
= 2Iº (a)Kº (b)
2
2x
x
x
= 2Kº (a)Iº (b)
[0 < a < b];
[0 < b < a]
[Re º > ¡1]:
Z
2:
1
0
∙
¸
³ zw ´ dx
1
1 2
2
exp ¡ x ¡
(z + w ) Kº
= 2Kº (z)Kº (w)
2
2x
x
x
∙
¸
1
j arg z j < ¼; j arg wj < ¼; j arg(z + w)j < ¼ :
4
WA 483(1), EH II 53(36)
6.654
Z
1
2
¡ 12 ¡ ¯8x ¡®x
x
e
0
Kº
•
¯2
8x
¶
dx =
p
¡ p ¢
1
4¼®¡ 2 K2º ¯ ® :
ME 39
6.655
Z
1
2 ¡ 12
2
x(¯ +x )
0
•
®2 ¯
exp ¡ 2
¯ + x2
¶
Jº
•
¶
p
®2 x
Jº (°x) dx = ° ¡1 e¡¯° J2º (2® °)
2
2
¯ +x
∙
¸
1
Re ¯ > 0; ° > 0; Re º > ¡
:
2
ET II 58(14)
6.656
1:
Z
1
¡(»¡z) ch t
e
1
2
J2º [2(z») sh t] dt = Iº (z)Kº (»)
0
∙
1
Re º > ¡ ;
2
¸
Re (» ¡ z) > 0 :
EH II 98(78)
746
2:
Z
1
0
¡(»+z) ch t
e
1
K2º [2(z») sh t] dt = Kº (z)Kº (») sec(º¼)
2
1
2
∙
¸
1
1
1
2
j Re º j < ; Re(z 2 + » 2 ) ¸ 0 :
2
EH II 98(79)
6.66 Combinations of Bessel, hyperbolic, and exponential functions
Bessel and hyperbolic functions
6.661
1:
Z
1
0
¼ cosec
sh(ax)Kº (bx) dx =
2
³ º¼ ´
h
³ a ´i
sin º arcsin
2 p
b
b2 ¡ a2
[Re b > j Re aj;
j Re º j < 2]:
ET II 133(32)
ET II 133(32)
2:
Z
1
0
h
³ a ´i
¼ cos º arcsin
b ´
³ º¼
ch(ax)Kº (bx) dx = p
2 b2 ¡ a2 cos
2
[Re b > j Re aj;
j Re º j < 1]:
ET II 134(33)
6.662
1:
Z
1
0
K (k)
;
ch(¯x)K0 (®x)J0 (°x) dx = p
u+v
o
1n 2
1
u=
[(® + ¯ 2 + ° 2 )2 ¡ 4®2 ¯ 2 ] 2 + ®2 ¡ ¯ 2 ¡ ° 2 ;
2
o
1
1n 2
[(® + ¯ 2 + ° 2 )2 ¡ 4®2 ¯ 2 ] 2 ¡ ®2 + ¯ 2 + ° 2 ;
v=
2
[Re ® > j Re ¯ j;
k 2 = v(u + v)¡1
° > 0]:
ET II 15(23)
¸
K (k) sn u dn u
2:
sh(¯x)K1 (®x)J0 (°x) dx = a
;
uE
E(k) ¡ K (k)E(u) +
cn u
0
n£
o ¡1
¤1
;
cn2 u = 2° 2 (®2 + ¯ 2 + ° 2 )2 ¡ 4®2 ¯ 2 2 ¡ ®2 + ¯ 2 + ° 2
n
o
1
1
k2 =
1 ¡ (®2 ¡ ¯ 2 ¡ ° 2 )[(®2 + ¯ 2 + ° 2 )2 ¡ 4®2 ¯ 2 ]¡ 2
[Re ® > j Re ¯ j; ° > 0]:
2
Z
1
¡1
∙
ET II 15(24)
747
6.663
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
Kº§¹ (2z ch t) ch[(¹ ¨ º)t] dt =
1
K¹ (z)Kº (z)
2
[Re z > 0]:
WA 484(1), EH II 54(39)
1
0
N¹+º (2z ch t) ch[(¹¡º)t] dt =
¼
[J¹ (z)Jº (z)¡N¹ (z)Nº (z)]
4
[z > 0]:
EH II 96(64)
1
0
¼
J¹+º (2z ch t) ch[(¹¡º)t] dt = ¡ [J¹ (z)Nº (z)+Jº (z)N¹ (z)]
4
[z > 0]:
4:
Z
1
0
1
J¹+º (2z sh t) ch[(¹ ¡ º)t] dt = [Iº (z)K¹ (z) + I¹ (z)Kº (z)]
2
∙
¸
3
Re (º + ¹) > ¡1; j Re (¹ ¡ º)j < ; z > 0 :
2
EH II 97(71)
5:
Z
1
0
1
J¹+º (2z sh t) sh[(¹ ¡ º)t] dt = [Iº (z)K¹ (z) ¡ I¹ (z)Kº (z)]
2
¸
∙
3
Re (º + ¹) > ¡1; j Re (¹ ¡ º)j < ; z > 0 :
2
EH II 97(72)
6.664
1:
Z
1
0
sin(º¼)
J0 (2z sh t) sh(2ºt) dt =
[Kº (z)]2
¼
∙
¸
3
j Re º j < ;
4
z>0 :
EH II 97(69)
2:
Z
1
0
N0 (2z sh t) ch(2ºt) dt = ¡
cos(º¼)
[Kº (z)]2
¼
∙
j Re º j <
3
;
4
¸
z>0 :
EH II 97(70)
3:
Z
1
N0 (2z sh t) sh(2ºt) dt =
0
∙
¸
1
@Kº (z)
@Iº (z)
1
Iº (z)
¡ Kº (z)
¡ cos(º¼)[Kº (z)]2
¼
@º
@º
¼
¸
∙
3
j Re º j < ; z > 0 :
4
EH II 97(75)
4:
5:
Z
Z
1
K0 (2z sh t) ch 2ºt dt =
0
1
0
K2¹ (z sh 2t) cth
2º
ª
¼2 © 2
Jº (z) + Nº2 (z)
8
1
t dt =
¡
4z
[Re z > 0]:
MO 44
¶
¶ •
1
1
¡ ¹ ¡ º Wº; ¹ (iz)Wº; ¹ (¡iz)
+¹¡º ¡
2
2
∙
¸
¼
1
j arg z j ∙ ; j Re ¹j + Re º <
:
2
2
•
MO 119
Z
6:
1
ch(2¹x)K2º (2a ch x) dx =
0
1
K¹+º (a)K¹¡º (a)
2
[Re a > 0]:
ET II 378(42)
748
6.665
Z
1
¡
sech x ch(2¸x)I2¹ (a sech x) dx =
•
0
¶
¶ •
1
1
¡¸+¹
+¸+¹ ¡
2
2
M¸; ¹ (a)M¡¸; ¹ (a)
2a[¡(2¹ + 1)]2
∙
¸
1
j Re ¸j ¡ Re ¹ <
:
2
ET II 378(43)
Bessel, hyperbolic, and algebraic functions
6.666
Z
1
xº+1 sh(®x) cosech ¼xJº (¯x) dx =
0
1
2X
(¡1)n¡1 nº+1 sin(n®)Kº (n¯)
¼ n=1
[j Re ®j < ¼;
Re º > ¡1]:
ET II 41(3), WA 469(12)
6.667
1:
3
Z
a
y
0
¡1
¼
ch(y sh t)I2º (x) dx = Iº
2
•
¶ •
¶
1 t
1 ¡t
ae Iº
ae
;
2
2
2
2
y = (a ¡ x )
1
2
∙
¸
1
:
Re º > ¡
2
ET II 365(10)
2:
Z
a
0
y ¡1 ch(y sh t)K2º (x) dx =
¼2
cosec(º¼)[I¡º (aet )I¡º (ae¡t )¡Iº (aet )Iº (ae¡t )];
4
¸
∙
1
2
2 12
y = (a ¡ x )
:
j Re º j <
2
ET II 367(25)
Exponential, hyperbolic, and bessel functions
6.668
1:
Z
1
0
1
1
r1 = [° 2 + (¯ ¡ ®)2 ] 2 ;
2:
Z
1
0
1
1
e¡®x sh(¯x)J0 (°x) dx = (®¯) 2 r1¡1 r2¡1 (r2 ¡ r1 ) 2 (r2 + r1 )¡ 2 ;
1
r2 = [° 2 + (¯ + ®)2 ] 2
[Re ® > j Re ¯ j;
1
1
° > 0]:
ET II 12(52)
1
e¡®x ch(¯x)J0 (°x) dx = (®¯) 2 r1¡1 r2¡1 (r2 + r1 ) 2 (r2 ¡ r1 )¡ 2 ;
1
r1 [° 2 + (¯ ¡ ®)2 ] 2 ;
1
r2 = [° 2 + (¯ + ®)2 ] 2
[Re ® > j Re ¯ j;
° > 0]:
ET II 12(54)
749
6.669
1:
Z
0
1∙
cth
•
¶¸2¸
1
x
e¡¯
2
•
¶
1
¡
¡¸+¹
i
h
1
2
ch x
J2¹ (® sh x) dx =
M¡¸; ¹ (®2 + ¯ 2 ) 2 ¡ ¯ £
®¡(2¹ + 1)
i
h
1
£ W¸; ¹ (®2 + ¯ 2 ) 2 + ¯
∙
¸
1
Re ¯ > j Re ®j; Re (¹ ¡ ¸) > ¡
:
2
BU 86(5b)A, ET II 363(34)
2:
Z
¶¸2¸
1
x
e¡¯ ch x N2¹ (® sh x) dx =
cth
2
´
´
³p
³p
sec[(¹ + ¸)¼]
=¡
W¸; ¹
®2 + ¯ 2 + ¯ W¡¸; ¹
®2 + ¯ 2 ¡ ¯ ¡
®
¶
•
1
¡¸+¹
tg[(¹ + ¸)¼]¡
´
´
³p
³p
2
¡
W¸; ¹
®2 + ¯ 2 + ¯ M¡¸; ¹
®2 + ¯ 2 ¡ ¯
®¡(2¹ + 1)
¸
∙
1
Re ¯ > j Re ®j; Re ¸ < ¡ j Re ¹j :
2
1
0
∙
•
ET II 363(35)
3:
¶
¶ •
1
1
∙
• ¶¸2º
Z 1
¡¹¡º
¡
+¹¡º ¡
p
1
2
2
¡ 21 (a1 +a2 )t ch x
e
cth
x
K2¹ (t a1 a2 sh x) dx =
Wº;¹ (a1 t)£
p
2
2t a1 a2
0
£ Wº; ¹ (a2 t)
∙
¸
£ p
p 2¤
1 § 2¹
Re º < Re
; Re t( a1 + a2 ) > 0 :
2
•
4:
Z
•
¶
1
+
¹
¡
º
¡
1
h
³ x ´i2º
p
1
2
Wº; ¹ (a1 t)Mº; ¹ (a2 t)
e¡ 2 (a1 +a2 )t ch x cth
I2¹ (t a1 a2 sh x) dx = p
2
t a1 a2 ¡(1 + 2¹)
0
∙ •
¶
¸
1
+ ¹ ¡ º > 0; Re ¹ > 0; a1 > a2 :
Re
2
BU 86(5c)
5:
Z
1
y
2ºs¡ x¡
•s
2
e
I2¹
¡1
•p
xy
ch s
¶
ds
=
ch s
¡
•
¶ •
¶
1
1
+¹+º ¡
+¹¡º
2
2
Mº; ¹ (x)M¡º; ¹ (y)
p
xy[¡(1 + 2¹)]2
¶
¸
∙
•
1
Re §º + + ¹ > 0 :
2
BU 83(3a)a
750
6:
Z
1
¡1
e2ºs¡
x+y
2
•s
J2¹
•p
xy
ch s
¶
ds
=
ch s
¡
•
¶ •
¶
1
1
+¹+º ¡
+¹¡º
2
2
Mº; ¹ (x)Mº; ¹ (y)
p
xy[¡(1 + 2¹)]2
¶
¸
∙
•
1
Re ¨º + + ¹ > 0
2
BU 84(3b)a
6.67- 6.68 Combinations of Bessel and trigonometric functions
6.671
1:
2:
•
¶
¯
Z 1
sin º arcsin
®
p
Jº (®x) sin ¯x dx =
2
2
® ¡¯
0
= 1 or 0
º¼
®º cos
2
³
´º
= p
p
¯ 2 ¡ ®2 ¯ + ¯ 2 ¡ ® 2
Z
•
¶
¯
cos º arcsin
1
®
p
Jº (®x) cos ¯x dx =
®2 ¡ ¯ 2
0
= 1 or 0
º¼
¡®º sin
2
³
´º
= p
p
2
2
¯ ¡ ® ¯ + ¯ 2 ¡ ®2
9
>
>
>
>
>
>
[¯ < ®]; >
>
>
>
=
[¯ = ®];
>
>
>
>
>
>
>
[¯ > ®]: >
>
>
;
[Re º > ¡2]:
9
>
>
>
>
>
>
[¯ < ®]; >
>
>
>
=
[¯ = ®];
>
>
>
>
>
>
>
[¯ > ®]: >
>
>
;
[Re º > ¡1]:
WA 444(4)
3:
Z
1
0
³ º¼ ´
2 ¡ 21
2
∙
• ¶¸
b
sin º arcsin
a
(a ¡ b )
[0 < b < a; j Re º j < 2];
³
´
º¼
1
1
(b2 ¡ a2 )¡ 2 £
= cosec
2 ½
2
h
iº
h
i ¡º ¾
2
2 12
º
2
2 12
¡º
£ a cos(º¼) b ¡ (b ¡ a )
¡ a b ¡ (b ¡ a )
Nº (ax) sin(bx) dx = ctg
2
[0 < a < b;
4:
Z
1
0
j Re º j < 2]:
ET I 103(33)
³ º¼ ´
∙
• ¶¸
b
2
[0 < b < a; j Re º j < 1];
Nº (ax) cos(bx) dx =
º arcsin
1 cos
2
2
a
(a ¡ b ) 2
³ º¼ ´
n
h
iº
1
1
= ¡ sin
(b2 ¡ a2 )¡ 2 a¡º b ¡ (b2 ¡ a2 ) 2
+ ctg(º¼) +
2
¾
h
i
¡º
1
cosec(º¼)
+ aº b ¡ (b2 ¡ a2 ) 2
tg
[0 < a < b;
j Re º j < 1]:
ET I 47(29)
751
5:
Z
1
Kº (ax) sin(bx) dx =
0
³ º¼ ´
iº h
iºo
nh
1 ¡º
1
1
1
¼a cosec
(a2 +b2 )¡ 2
(b2 + a2 ) 2 + b ¡ (b2 + a2 ) 2 ¡ b
4
2
[Re a > 0; b > 0; j Re º j < 2; º=
= 0]:
ET I 105(48)
6:
Z
1
Kº (ax) cos(bx)dx =
0
³ º¼ ´ ½
h
iº
h
i ¡º ¾
1
1
¼ 2 2 ¡1
(b +a ) 2 sec
a¡º b + (b2 + a2 ) 2
+ aº b + (b2 + a2 ) 2
4
2
[Re a > 0; b > 0; j Re º j < 1]:
ET I 49(40)
7:
Z
1
J0 (ax) sin(bx) dx = 0
[0 < b < a];
0
= p
8:
Z
1
0
J0 (ax) cos(bx) dx = p
1
¡ a2
b2
1
a2
=1
[0 < a < b]:
[0 < b < a];
¡ b2
[a = b];
=0
[0 < a < b]:
ET I 99(1)
9:
Z
1
0
J2n+1 (ax) sin(bx) dx = (¡1)n p
• ¶
1
b
T2n+1
[0 < b < a];
a
a2 ¡ b2
=0
[0 < a < b]:
ET I 99(2)
10:
Z
1
0
J2n (ax) cos(bx) dx = (¡1)n p
1
T2n
2
a ¡ b2
=0
• ¶
b
[0 < b < a];
a
[0 < a < b]:
ET I 43(2)
11:
• ¶
b
Z 1
2 arcsin
a
p
N0 (ax) sin(bx) dx =
[0 < b < a];
2 ¡ b2
¼
a
0
"
#
r
b
b2
1
2
= p
ln
¡
¡1
¼ b2 ¡ a2
a
a2
[0 < a < b]:
ET I 103(31)
12:
Z
1
N0 (ax) cos(bx) dx = 0
[0 < b < a];
0
= ¡p
13:
14:
Z
Z
1
0
1
0
K0 (¯x) sin ®x dx = p
1
b2 ¡ a2
1
®2 + ¯ 2
ln
¼
K0 (¯x) cos ®x dx = p
2
2 ® + ¯2
[0 < a < b]:
ET I 47(28)
Ã
®
+
¯
s
®2
+1
¯2
!
[® > 0;
¯ > 0]:
WA 425(11)A, MO 48
[® and ¯ are real; ¯ > 0].
752
6.672
1:
Z
1
Jº (ax)Jº (bx) sin(cx) dx =
0
[Re º > ¡1; 0 < c < b ¡ a; 0 < a < b];
• 2
¶
1
b + a2 ¡ c2
= p Pº¡ 21
[Re º > ¡1; b ¡ a < c < b + a; 0 < a < b];
2ab
2 ab
• 2
¶
cos(º¼)
b + a2 ¡ c2
=¡ p
[Re º > ¡1; b + a < c; 0 < a < b]
Qº¡ 12 ¡
2ab
¼ ab
=0
WA 425(10)A, MO 48
2:
Z
1
0
1
Jº (x)J¡º (x) cos(bx) dx = Pº¡ 12
2
•
1 2
b ¡1
2
=0
¶
[0 < b < 2];
[2 < b]:
ET I 46(21)
3:
Z
1
0
¼2
Kº (ax)Kº (bx) cos(cx) dx = p sec(º¼)Pº¡ 12 [(a2 + b2 + c2 )(2ab)¡1 ]
¸
∙ 4 ab
1
:
Re (a + b) > 0; c > 0; j Re º j <
2
ET I 50(51)
4:
Z
1
0
¶
• 2
1
a + b2 + c2
Kº (ax)Iº (bx) cos(cx) dx = p Qº¡ 21
2ab
∙2 ab
¸
1
Re a > j Re bj; c > 0; Re º > ¡
:
2
ET I 49(47)
5:
Z
1
1
P 1 (1 ¡ 2a2 )
[0 < a < 1; Re º > ¡1];
2 º¡ 2
1
[a > 1; Re º > ¡1];
= cos(º¼)Qº¡ 12 (2a2 ¡ 1)
¼
sin(2ax)[Jº (x)]2 dx =
0
ET II 343(30)
6:
Z
1
0
∙
¸
1
1
2
cos(2ax)[Jº (x)] dx = Qº¡ 12 (1 ¡ 2a )
0 < a < 1; Re º > ¡
;
¼
2
∙
¸
1
1
2
= ¡ sin(º¼)Qº¡ 21 (2a ¡ 1)
a > 1; Re º > ¡
:
¼
2
2
ET II 344(32)
7:
Z
1
sin(2ax)J0 (x)N0 (x) dx = 0
0
[0 < a < 1];
h
i
1
K (1 ¡ a¡2 ) 2
=¡
¼a
[a > 1]:
ET II 348(60)
8:
Z
1
0
K0 (ax)I0 (bx) cos(cx) dx = p
1
c2 + (a + b)2
K
(
p
p
2 ab
c2 + (a + b)2
)
[Re a > j Re bj;
c > 0]:
9:
Z
1
0
1
cos(2ax)J0 (x)N0 (x) dx = ¡ K (a)
[0 < a < 1];
¼
• ¶
1
1
=¡ K
[a > 1]:
¼a
a
ET II 348(61)
753
10:
Z
1
cos(2ax)[N0 (x)]2 dx =
0
1 p
K ( 1 ¡ a2 )
[0 < a < 1];
¼
Ãr
!
2
1
K
1¡ 2
=
[a > 1]:
¼a
a
ET II 348(62)
6.673
1:
Z
1
0
h
Jº (ax) cos
³ º¼ ´
¡ Nº (ax) sin
³ º¼ ´i
sin(bx) dx =
2
2
=0
[0 < b < a; j Re º j < 2];
nh
iº h
iºo
1
1
1
p
=
+ b ¡ (b2 ¡ a2 ) 2
b + (b2 ¡ a2 ) 2
2aº b2 ¡ a2
[0 < a < b;
j Re º j < 2]:
ET I 104(39)
2:
Z
1
0
h
Nº (ax) cos
³ º¼ ´
+ Jº (ax) sin
³ º¼ ´i
cos(bx) dx =
2
2
=0
[0 < b < a; j Re º j < 1];
nh
iº h
iºo
1
1
1
p
=¡
+ b ¡ (b2 ¡ a2 ) 2
b + (b2 ¡ a2 ) 2
2aº b2 ¡ a2
[0 < a < b;
j Re º j < 1]:
ET I 48(32)
6.674
1:
Z
a
sin(a¡x)Jº (x) dx = aJº+1 (a)¡2º
0
1
X
n=0
(¡1)n Jº+2n+2 (a)
[Re º > ¡1]:
ET II 334(12)
2:
Z
a
0
cos(a ¡ x)Jº (x) dx = aJº (a) ¡ 2º
1
X
n=0
(¡1)n Jº+2n+1 (a)
[Re º > ¡1]:
3:
Z
"
a
sin(a¡x)J2n (x) dx = aJ2n+1 (a)+(¡1)n 2n cos a ¡ J0 (a) ¡ 2
0
n
X
m=1
#
(¡1)m J2m (a)
[n = 0; 1; 2; . . . ]:
ET II 334(10)
4:
Z
"
a
cos(a¡x)J2n (x) dx = aJ2n (a)¡(¡1)n 2n sin a ¡ 2
0
n¡1
X
m=0
#
(¡1)m J2m+1 (a)
[n = 0; 1; 2; . . . ]:
ET II 335(21)
5:
Z
"
a
sin(a¡x)J2n+1 (x) dx = aJ2n+2 (a)+(¡1)n (2n+1) sin a ¡ 2
0
n
X
m=0
#
(¡1)m J2m+1 (a)
[n = 0; 1; 2; . . . ]:
ET II 334(11)
6:
Z
"
a
cos(a¡x)J2n+1 (x) dx = aJ2n+1 (a)+(¡1)n (2n+1) cos a ¡ J0 (a) ¡ 2
0
n
X
m=1
#
(¡1)m J2m (a)
[n = 0; 1; 2; . . . ]:
ET II 336(22)
7:
8:
Z
Z
z
sin(z ¡ x)J0 (x) dx = zJ1 (z):
0
WA 415(2)
z
0
cos(z ¡ x)J0 (x) dx = zJ0 (z):
WA 415(1)
754
6.675
1:
Z
1
0
¶
• 2
¶
• 2
• 2¶
• 2 ¶¸
p ∙
¡ p ¢
a ¼
º¼
º¼
a
a
a
a
Jº a x sin(bx) dx =
¡
¡
J 1 º¡ 12
¡ sin
J 1 º+ 21
cos
3
2
2
8b
4
8b
8b
4
8b
4b 2
[a > 0; b > 0; Re º > ¡4]:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
0
¡ p ¢
Jº a x cos(bx) dx =
¶
• 2
¶
• 2¶
• 2 ¶¸
p ∙ • 2
a
º¼
º¼
a ¼
a
a
a
¡
¡
= ¡ 3 sin
J 12 º¡ 12
+ cos
J 12 º+ 21
8b
4
8b
8b
4
8b
4b 2
[a > 0; b > 0; Re º > ¡2]:
1
0
1
0
¡ p ¢
1
J0 a x sin(bx) dx = cos
b
¡ p ¢
1
J0 a x cos(bx) dx = sin
b
•
a2
4b
¶
[a > 0;
ET I 53(22)a
b > 0]:
ET I 110(22)
•
a2
4b
¶
[a > 0;
b > 0]:
ET I 53(21)
6.676
1:
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
• 2
¶
• ¶
¡ p ¢
p
1
º¼
a + b2
ab
Jº a x Jº (b x) sin(cx) dx = Jº
cos
¡
c
2c
4c
2
[a > 0; b > 0; c > 0; Re º > ¡2]:
ET I 111(29)a
• 2
¶
• ¶
¡ p ¢
p
1
º¼
a + b2
ab
Jº a x Jº (b x) cos(cx) dx = Jº
sin
¡
c
2c
4c
2
[a > 0; b > 0; c > 0; Re º > ¡1]:
¡ p ¢
¡ p ¢
1
J0 a x K0 a x sin(bx) dx = K0
2b
•
a2
2b
¶
[Re a > 0;
b > 0]:
ET I 111(31)
³ a ´i
p
p
¼ h ³a´
J0 ( ax)K0 ( ax) cos(bx) dx =
I0
¡ L0
4b
2b
2b
³a´
p
p
1
K0 ( ax)N0 ( ax) cos(bx) dx = ¡ K0
2b
2b
ET I 54(27)
[Re
p
[Re a > 0;
b > 0]:
ET I 54(29)
a > 0;
b > 0]:
Z
6:
1
0
K0
³p
´
³p
´
³ a ´i
1
¼2 h ³ a ´
1
¡ N0
axe 4 ¼i K0
axe¡ 4 ¼i cos(bx) dx =
H0
8b
2b
2b
[Re a > 0; b > 0]:
ET I 54(31)
6.677
Z
1:
1
a
³ p
´
J0 b x2 ¡ a2 sin(cx) dx = 0
[0 < c < b];
¢
¡ p
cos a c2 ¡ b2
p
=
c2 ¡ b2
[0 < b < c]:
ET I 113(47)
755
Z
2:
3:
6
Z
1
a
1
0
¡ p
¢
³ p
´
exp ¡a b2 ¡ c2
2
2
p
J0 b x ¡ a cos(cx) dx =
[0 < c < b];
b2 ¡ p
c2
¡
¢
¡ sin a c2 ¡ b2
p
[0 < b < c]:
=
c2 ¡ b2
ET I 57(48)a
p
³ p
´
cos z ®2 ¡ ¯ 2
2
2
J0 ® x + z cos ¯x dx = p
[0 < ¯ < ®; z > 0];
®2 ¡ ¯ 2
=0
[0 < ® < ¯; z > 0]:
MO 47a
4:
5:
Z
Z
1
0
1
0
³ p
³ p
´
´
1
N0 ® x2 + z 2 cos ¯x dx = p
sin z ®2 ¡ ¯ 2
[0 < ¯ < ®; z > 0];
®2 ¡ ¯ 2
³ p
´
1
exp ¡z ¯ 2 ¡ ®2
= ¡p
[0 < ® < ¯; z > 0]:
¯ 2 ¡ ®2
MO 47a
³ p
h p
i
´
¼
K0 ® x2 + ¯ 2 cos(°x) dx = p
exp ¡¯ ®2 + ° 2
2 ®2 + ° 2
[Re ® > 0; Re ¯ > 0; ° > 0]:
ET I 56(43)
6:
Z
a
0
¡ p
¢
³ p
´
2 + c2
sin
a
b
p
J0 b a2 ¡ x2 cos(cx) dx =
b2 + c2
[b > 0]:
Z
7:
1
0
¢
¡ p
³ p
´
ch a b2 ¡ c2
2
2
p
J0 b x ¡ a cos(cx) dx =
[0 < c < b; a > 0];
b2 ¡ c2
=0
[0 < b < c; a > 0]:
ET I 57(49)
Z
8:
Z
9:
1
0
1
0
´
³ p
³ p
´
exp i¯ ®2 + ° 2
(1)
p
H0
® ¯ 2 ¡ x2 cos(°x) dx = ¡i
®2 + ° 2
h
p
¼ > arg ¯ 2 ¡ x2 ¸ 0; ® > 0;
i
°>0 :
ET I 59(59)
³
´
p
³ p
´
i exp ¡i¯ ®2 + ° 2
(2)
p
H0
® ¯ 2 ¡ x2 cos(°x) dx =
®2 + ° 2
h
p
¡¼ < arg ¯ 2 ¡ x2 ∙ 0; ® > 0;
i
°>0 :
ET I 58(58)
6.678
Z
1
0
h
• ¶
p i
¼
¼
1
sin
K0 (2 x) + N0 (2 x) sin(bx) dx =
2
2b
b
p
[b > 0]:
ET I 111(34)
6.679
1:
Z
1
0
h
³ x ´i
J2º 2b sh
sin(bx) dx = ¡i[Iº¡ib (a)Kº+ib (a) ¡ Iº+ib (a)Kº¡ib (a)]
2
[a > 0; b > 0; Re º > ¡1]:
ET I 115(59)
756
2:
Z
1
0
h
³ x ´i
J2º 2a sh
cos(bx) dx = Iº¡ib (a)Kº+ib (a) + Iº+ib (a)Kº¡ib (a)
2
∙
¸
1
a > 0; b > 0; Re º > ¡
:
2
3:
4:
5:
6:
7:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
h
³ x ´i
¼
cos(bx) dx = ¡ [Jº+ib (a)Nº¡ib (a)+Jº¡ib (a)Nº+ib (a)]:
J2º 2a ch
2
2
h
³ x ´i
2
sin(bx) dx = sh(¼b)[Kib (a)]2
J0 2a sh
2
¼
[a > 0;
ET I 59(63)
b > 0]:
ET I 115(58)
h
³ x ´i
J0 2a sh
cos(bx) dx = [Iib (a)+I¡ib (a)]Kib (a)
2
[a > 0;
b > 0]:
ET I 59(62)
h
³ x ´i
2
N0 2a sh
cos(bx) dx = ¡ ch(¼b)[Kib (a)]2
2
¼
[a > 0;
b > 0]:
ET I 59(65)
h
³ x ´i
ª
¼2 ©
K0 2a sh
cos(bx) dx =
[Jib (a)]2 + [Nib (a)]2
2
4
[Re a > 0;
b > 0]:
ET I 59(66)
6.681
1:
Z
¼
2
0
¼
cos(2¹x)J2º (2a cos x) dx = Jº+¹ (a)Jº¡¹ (a)
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 361(23)
2:
Z
¼
2
cos(2¹x)N2º (2a cos x) dx =
0
¼
= [ctg(2º¼)Jº+¹ (a)Jº¡¹ (a) ¡ cosec(2º¼)J¹¡º (a)J¡¹¡º (a)]
2
∙
¸
1
j Re º j <
:
2
ET II 361(24)
3:
Z
¼
2
0
¼
cos(2¹x)I2º (2a cos x) dx = Iº¡¹ (a)Iº+¹ (a)
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET I 59(61)
4:
Z
¼
2
cos(ºx)Kº (2a cos x) dx =
0
¼
I0 (a)Kº (a)
2
[Re º < 1]:
5:
6:
7:
8:
Z
Z
Z
Z
¼
J0 (2z cos x) cos 2nx dx = (¡1)n ¼Jn2 (z):
0
MO 45
¼
J0 (2z sin x) cos 2nx dx = ¼Jn2 (z):
0
WA 43(3), MO 45
¼
2
cos(2n¼)N0 (2a sin x) dx =
0
¼
Jn (a)Nn (a)
2
[n = 0; 1; 2; . . . ]:
ET II 360(16)
¼
sin(2¹x)J2º (2a sin x) dx = ¼ sin(¹¼)Jº¡¹ (a)Jº+¹ (a)
0
[Re º > ¡1]:
ET II 360(13)
757
9:
Z
¼
cos(2¹x)J2º (2a sin x) dx = ¼ cos(¹¼)Jº¡¹ (a)Jº+¹ (a)
0
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 360(14)
10:
Z
¼
2
0
Jº+¹ (2z cos x) cos[(º ¡ ¹)x] dx =
¼
Jº (z)J¹ (z)
2
[Re (º + ¹) > ¡1]:
MO 42
11:
Z
¼
2
0
cos[(¹ ¡ º)x]I¹+º (2a cos x) dx =
¼
I¹ (a)Iº (a)
2
[Re (¹ + º) > ¡1]:
WA 484(2), ET II 378(39)
12:
Z
¼
2
0
cos[(¹¡º)x]K¹+º (2a cos x) dx =
¼2
cosec[(¹+º)¼][I¡¹ (a)I¡º (a)¡I¹ (a)Iº (a)]
4
[j Re (¹ + º)j < 1]:
13:
Z
¼
2
0
Kº¡m (2a cos x) cos[(m+º)x] dx = (¡1)m
¼2
Im (a)Kº (a)
4
[j Re (º ¡m)j < 1]:
WA 485(4)
6.682
1:
7
Z
¼
2
Jº¡ 12 (x sin t) sin
0
º+ 12
t dt =
r
¼
Jº (x)
2x
[x > 0; º ¸ 0 integer or half-integer ]
MO 42a
2:
Z
¼
2
0
¶
•
³z ´
p
1
Jº (z sin x) sinº x cos 2º x dx = 2º¡1 ¼¡ º +
z ¡º Jº2
2
2
∙
Re º > ¡
¸
1
:
2
MO 42a
6.683
1:
Z
¼
2
0
Jº (z sin x)I¹ (z cos x) tg º+1
¶
¹¡º
2
2
•
¶ J¹ (z)
x dx =
¹+º
¡
+1
2
³ z ´º
¡
•
[Re º > Re ¹ > ¡1]:
WA 407(4)
2:
3:
Z
Z
¼
2
Jº (z1 sin x)J¹ (z2 cos x) sinº+1 x cos ¹+1
0
¼
2
Jº (z cos 2 x)J¹ (z sin2 x) sin x cos x dx =
0
³p
´
z1º z2¹ Jº+¹+1
z12 + z22
p
x dx =
(z12 + z22 )º+¹+1
[Re º > ¡1; Re ¹ > ¡1]:
WA 410(1)
1
1X
(¡1)k Jº+¹+2k+1 (z)
z
k=0
[Re º > ¡1;
Re ¹ > ¡1]
(see also 6.513 6.).
6.513
WA 414(1)
758
758
4:
Z
¼
2
J¹ (z sin •)(sin •)1¡¹ (cos •)2º+1 d• =
0
s¹+º; º¡¹+1 (z)
2¹¡1 z º+1 ¡(¹)
[Re º > ¡1]:
WA 407(2)
5:
Z
¼
2
J¹ (z sin •)(sin •)1¡¹ d• =
0
H¹¡ 12 (z)
r
:
2z
¼
WA 407(3)
6:
Z
¼
2
J¹ (a sin •)(sin •)¹+1 (cos •)2%+1 d• = 2% ¡(% + 1)a¡%¡1 J%+¹+1 (a)
0
[Re % > ¡1;
Re ¹ > ¡1]:
WA 406(1), EH II 46(5)
7:
Z
¼
2
0
¶ •
¶
1
1
¡ º+m+
¡ º+
1 (¡1) z
1X
2
2
Jº (2z sin •)(sin •)º (cos •)2º d• =
;
2 m=0
m!¡(º + m + 1)¡(2º + m + 1)
•
¶
¸
∙
1
1 ¡º p
1
2
¼¡ º +
= z
[Jº (z)]
:
Re º > ¡
2
2
2
m º+2m
•
EH II 47(10)
8:
Z
¼
2
0
z º¡1
Jº (z sin •)(sin •)º+1 (cos •)¡2º d• = 2¡º p ¡
¼
•
1
¡º
2
¶
sin z
∙
¡1 < Re º <
¸
1
:
2
EH II 68(39)
9:
Z
¼
2
¡
2
2
2º+1
Jº (z sin •)Jº (z cos •)(sin •)
0
2º+1
(cos •)
d• =
•
1
+º
2
¶
J2º+ 12 (z)
p
3
22º+ 2 ¡(º + 1) z
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
WA 409(1)
10:
Z
¼
2
0
J¹ (z sin2 •)Jº (z cos2 •) sin2¹+1
•
¶ •
¶
1
1
¡ ¹+
¡ º+
J¹+º+ 12 (z)
2
2
2º+1
p
• cos
• d• =
p
2 ¼¡(¹ + º + 1) 2z
∙
¸
1
1
Re ¹ > ¡ ; Re º > ¡
:
2
2
Z
1:
Z
2:
¼
0
¼
0
´
³p
¶
•
Jº
®2 + ¯ 2 ¡ 2®¯ cos x
p
1 Jº (®) Jº (¯)
2º
º
´º dx = 2 ¼¡ º +
(sin x) ³p
2
®º
¯º
®2 + ¯ 2 ¡ 2®¯ cos x
∙
¸
1
:
Re º > ¡
2
ET II 362(27)
´
³p
¶
•
Nº
®2 + ¯ 2 ¡ 2®¯ cos x
p
1 Jº (®) Nº (¯)
2º
º
´º dx = 2 ¼¡ º +
³p
(sin x)
2
®º
¯º
®2 + ¯ 2 ¡ 2®¯ cos x
¸
∙
1
:
j®j < j¯ j; Re º > ¡
2
ET II 362(28)
759
6.685
Z
¼
2
sec x cos(2¸x)K2¹ (a sec x) dx =
0
¼
W¸; ¹ (a)W¡¸; ¹ (a)
2a
[Re a > 0]:
ET II 378(41)
6.686
1:
Z
1
0
• 2
¶
• 2¶
p
¼
º+1
b
b
sin(ax2 )Jº (bx) dx = ¡ p sin
¡
¼ J 12 º
2 a
8a
4
8a
[a > 0; b > 0; Re º > ¡3]:
ET II 34(13)
2:
Z
1
0
• 2
¶
• 2¶
p
¼
º+1
b
b
¡
cos(ax )Jº (bx) dx = p cos
¼ J 12 º
2 a
8a
4
8a
2
[a > 0;
b > 0;
Re º > ¡1]:
ET II 38(38)
3:
Z
1
0
p
³ º¼ ´
¼
sin(ax )Nº (bx) dx = ¡ p sec
£
4 a
2
∙
• 2
¶
• 2
¶
• 2¶
• 2 ¶¸
º¡1
3º + 1
b
b
b
b
¡
£ cos
¼ J 12 º
¡ sin
+
¼ N 12 º
8a
4
8a
8a
4
8a
[a > 0; b > 0; ¡3 < Re º < 3]:
2
ET II 107(7)
ET II 107(8)
5:
Z
1
sin(ax2 )J1 (bx) dx =
0
1
b2
sin
b
4a
[a > 0;
b > 0]:
ET II 19(16)
6:
Z
1
0
2
cos(ax )J1 (bx) dx = sin2
b
2
•
b2
8a
¶
[a > 0;
b > 0]:
ET II 20(20)
7:
Z
1
0
1
sin (ax )J1 (bx) dx =
cos
2b
2
2
•
b2
8a
¶
[a > 0;
b > 0]:
ET II 19(17)
6.687
Z
1
cos
0
•
x2
2a
¶
¡
i¼
4
K2º xe
¢
¡
¡i ¼
4
K2º xe
¢
¡
dx =
•
1
+º
4
¶
∙
•
¡
p
8 a
1
¡º
4
a > 0;
¶
p
¼
¡ ¼¢
¡
¼ ¢
W 14 ; º aei 2 W 14 ; º ae¡i 2
¸
1
:
j Re º j <
4
ET II 372(1)
760
6.688
1:
Z
¼
2
0
¼
Jº (¹z sin t) cos(¹x cos t) dt = J º2
2
à p
x2 + z 2 + x
¹
2
!
J º2
[Re º > ¡1;
à p
x2 + z 2 ¡ x
¹
2
!
Re z > 0]:
MO 46
2:
Z
¼
2
0
1
(sin x)º+1 cos(¯ cos x)Jº (® sin x) dx = 2¡ 2
p
h
i
1
1
1
¼®º (®2 +¯ 2 )¡ 2 º¡ 4 Jº+ 12 (®2 + ¯ 2 ) 2
[Re º > ¡1]:
ET II 361(19)
EH II 47(8)
6.69- 6.74 Combinations of Bessel and trigonometric functions and powers
6.691
Z
1
x sin(bx)K0 (ax) dx =
0
¼b 2
3
(a + b2 )¡ 2
2
[Re a > 0;
b > 0]:
ET I 105(47)
6.692
1:
Z
1
0
1
3
1
xKº (ax)Iº (bx) sin(cx) dx = ¡ (ab)¡ 2 c(u2 ¡1)¡ 2 Q1º¡ 1 (u);
u = (2ab)¡1 (a2 +b2 +c2 )
2
2
¸
∙
3
:
Re a > j Re bj; c > 0; Re º > ¡
2
ET I 106(54)
2:
•
¶ •
¶
¼
3
3
¡1
2
¡ 32
¡ 12
xKº (ax)Kº (bx) sin(cx) dx = (ab) c(u ¡1) ¡
+º ¡
¡ º Pº¡
1 (u);
2
4
2
2
0
∙
¸
3
u = (2ab)¡1 (a2 + b2 + c2 )
Re (a + b) > 0; c > 0; j Re º j <
:
2
Z
1
ET I 107(61)
6.693
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
•
¶
dx
1
¯
= sin º arcsin
x
º
®
º¼
®º sin
2
´º
= ³
p
2
º ¯ + ¯ ¡ ®2
Jº (®x) sin ¯x
9
>
[¯ ∙ ®] >
>
>
>
=
>
>
[¯ ¸ ®] >
>
>
;
•
¶
dx
1
¯
Jº (®x) cos ¯x
= cos º arcsin
x
º
a
º¼
º
® cos
2
´º
= ³
p
2
º ¯ + ¯ ¡ ®2
[Re º > ¡1]:
9
>
[¯ ∙ ®] >
>
>
>
=
>
>
[¯ ¸ ®] >
>
>
;
WA 443(2)
[Re º > 0]:
WA 443(3)
761
3:
Z
1
0
∙
• ¶¸
³ º¼ ´
b
dx
1
Nº (ax) sin(bx)
= ¡ tg
sin º arcsin
[0 < b < a; j Re º j < 1];
x
º
2
a
½
³ º¼ ´
h
iº
h
i ¡º ¾
1
2
2 12
º
2
2 12
¡º
=
sec
a cos(º¼) b ¡ (b ¡ a )
¡ a b ¡ (b ¡ a )
2º
2
[0 < a < b; j Re º j < 1]:
ET I 103(35)
4:
5:
Z
∙
• ¶¸
∙
• ¶¸
b
b
2 ¡ b2 sin º arcsin
a
b
cos
º
arcsin
1
dx
a
a
¡
Jº (ax) sin(bx) 2 =
2
2
x
º ¡1
º(º ¡ 1)
0
[0 < b < a; Re º > 0];
³ º¼ ´ h
i
p
¡aº cos
b + º b2 ¡ a2
2£
=
[0 < a < b; Re º > 0]:
p
¤º
º(º 2 ¡ 1) b + b2 ¡ a2
p
ET I 99(6)
∙
• ¶¸
∙
• ¶¸
b
b
Z 1
a cos (º ¡ 1) arcsin
a cos (º + 1) arcsin
dx
a
a
Jº (ax) cos(bx) 2 =
+
x
2º(º
¡
1)
2º(º
+
1)
0
[0 < b < a; Re º > 1];
³ º¼ ´
³ º¼ ´
aº sin
aº+2 sin
2
2
=
p
p
£
£
¤º¡1 ¡
¤ º+1
2º(º ¡ 1) b + b2 ¡ a2
2º(º + 1) b + b2 ¡ a2
[0 < a < b; Re º > 1]:
ET I 44(6)
6:
Z
1
J0 (®x) sin x
0
dx
¼
=
x
2
[0 < ® < 1];
= arccosec ®
[® > 1]:
WH
7:
Z
1
0
J0 (x) sin ¯x
dx
¼
=
[¯ > 1];
x
2
= arcsin ¯
[¯ 2 < 1];
¼
=¡
[¯ < ¡1]:
2
NT 66(13)
9:
Z
z
Jº (x) sin(z ¡ x)
0
1
dx
2X
=
(¡1)k Jº+2k+1 (z)
x
º
[Re º > 0]:
k=0
WA 416(4)
10:
Z
z
0
Jº (x) cos(z ¡ x)
1
dx
1
2X
= Jº (z) +
(¡1)k Jº+2k (z)
x
º
º
[Re º > 0]:
k=1
WA 416(5)
762
6.694*
Z
1
0
∙
¸2
J1 (ax)
sin(bx) dx =
x
• ¶ ∙•
¶ • ¶ •
¶ • ¶¸
1
b2
b2
4a
b
b
= b¡
1+ 2 E
+ 1¡ 2 K
[0 ∙ b ∙ 2a]:
2
3¼
4a
2a
4a
2a
Ã
"•
#
!
• 2 ¶¡1
¶ • ¶
• ¶
1
2b
b2
4a
2a
2a
= b¡
1+ 2 E
¡ 1¡
[0 ∙ 2a ∙ b]:
K
2
3¼
4a
b
b2
b
ET I 102(22)
6.695
1:
2:
Z
Z
1
0
sin ®x
sh ®¯
J0 (ux) dx =
K0 (¯u)
2
2
¯ +x
¯
[® > 0;
Re ¯ > 0;
u > ®]:
MO 46
1
0
cos ®x
¼ e¡®¯
J
(ux)
dx
=
I0 (¯u)
0
¯ 2 + x2
2 ¯
[® > 0;
Re ¯ > 0;
¡® < u < ®]:
MO 46
3:
Z
1
0
x2
x
¼
sin(®x)J0 (°x) dx = e¡®¯ I0 (°¯)
2
+¯
2
[® > 0;
Re ¯ > 0;
0 < ° < ®]:
ET II 10(36)
ET II 11(45)
6.696
Z
1
0
dx
[1 ¡ cos(®x)]J0 (¯x)
= Arch
x
• ¶
®
¯
[0 < ¯ < ®];
=0
[0 < ® < ¯]:
ET II 11(43)
6.697
1:
Z
Z ®
sin[®(x + ¯)]
cos ¯u
p
J0 (x) dx = 2
du
x+¯
1 ¡ u2
0
¡1
= ¼J0 (¯)
[1 ∙ ® < 1]:
1
[0 ∙ ® ∙ 1];
WA 463(1), ET II 345(42)
WA 463(2)
2:
Z
1
0
sin(x + t)
¼
J0 (t) dt = J0 (x)
x+t
2
[x > 0]:
WA 475(4)
3:
Z
1
0
cos(x + t)
¼
J0 (t) dt = ¡ N0 (x)
x+t
2
[x > 0]:
WA 475(5)
4:
Z
1
jxj
sin[®(x + ¯)]J0 (bx) dx = 0
¡1 x + ¯
[0 ∙ ® < b]:
WA 464(5), ET II 345(43)a
5:
Z
1
sin[®(x + ¯)]
[Jn+ 12 (x)]2 dx = ¼[Jn+ 21 (¯)]2
x+¯
¡1
[2 ∙ ® < 1;
n = 0; 1; . . . ]:
ET II 346(45)
6:
Z
1
sin[®(x + ¯)]
Jn+ 12 (x)J¡n¡ 12 (x) dx = ¼Jn+ 12 (¯)J¡n¡ 12 (¯)
x+¯
¡1
[2 ∙ ® < 1;
n = 0; 1; . . . ]:
ET II 346(46)
763
7:
r
p
2
Z 1
¡(¹ + º) ¼
J¹ [a(z + x)] Jº [a(³ + x)]
a ¢ J¹+º¡ 12 [a(z ¡ ³)]
¶
dx = •
1
¹
º
1
1
(³ + x)
(z ¡ ³)¹+º¡ 2
¡1 (z + x)
¡ ¹+
¡(º + )
2
2
[Re (¹ + º) > 0]:
WA 463(3)
6.698
1:
Z
1p
0
xJº+ 14 (ax)J¡º+ 14 (ax) sin(bx) dx =
r
2
¼b
∙
•
b
2a
¶¸
cos 2º arccos
p
4a2 ¡ b2
=0
[0 < 2a < b]:
[0 < b < 2a];
ET I 102(26)
2:
Z
1p
0
xJº¡ 41 (ax)J¡º¡ 14 (ax) cos(bx) dx =
r
2
¼b
∙
•
b
2a
¶¸
cos 2º arccos
p
4a2 ¡ b2
=0
[0 < 2a < b]:
[0 < b < 2a];
ET I 46(24)
3:
Z
1p
0
xI 14 ¡º
•
p
r
¶
¶
•
¼ ¡2º (b + a2 + b2 )2º
1
1
p
ax K 14 +º
ax sin(bx) dx =
a
2
2
2b
a2 + b2¸
∙
5
:
Re a > 0; b > 0; Re º <
4
ET I 106(56)
4:
Z
1p
0
xI¡ 14 ¡º
•
p
r
¶
¶
•
¼ ¡2º (b + a2 + b2 )2º
1
1
p
ax K¡ 41 +º
ax cos(bx) dx =
a
2
2
2
2b
a2 +
¸ b
∙
3
:
Re a > 0; b > 0; Re º <
4
ET I 50(49)
6.699
1:
•
2+¸+º
Z 1
¡
2
•
¶
x¸ Jº (ax) sin(bx) dx = 21+¸ a¡(2+¸) b
º
¡
¸
0
¡
2
∙
¶
F
•
2 + ¸ + º 2 + ¸ ¡ º 3 b2
;
; ; 2
2
2
2 a
3
¸
¶
764
2:
Z
1
0
x¸ Jº (ax) cos(bx) dx =
¶
•
1+¸+º
¸ ¡(1+¸)
•
¶
2 a
¡
1 + ¸ + º 1 + ¸ ¡ º 1 b2
2
•
¶
F
;
; ; 2
=
º ¡¸+1
2
2
2 a
¡
2
¸
∙
3
;
0 < b < a; ¡ Re º < 1 + Re ¸ <
2
³ a ´º
i
h¼
•
¶
(1 + ¸ + º)
b¡(º+1+¸) ¡(1 + ¸ + º) cos
1+¸+º 2+¸+º
a2
2
2
=
F
;
; º + 1; 2
¡(º + 1)
2
2
b
¸
∙
3
:
0 < a < b; ¡ Re º < 1 + Re ¸ <
2
ET I 45(13)
•
¶ •
¶
2+¹+¸
2+¸¡¹
•
¶
Z 1
2 b¡
¡
b2
2+¹+¸ 2+¸¡¹ 3
2
2
x¸ K¹ (ax) sin(bx)dx =
F
;
;
;
¡
a2+¸
2
2
2 a2
0
[Re (¡¸ § ¹) < 2; Re a > 0; b > 0]:
¸
3:
ET I 106(50)
4:
Z
1
0
•
¶ •
¶
¹+¸+1
1+¸¡¹
x K¹ (ax) cos(bx) dx = 2
a
¡
¡
£
2
2
•
¶
b2
¹+¸+1 1+¸¡¹ 1
;
; ;¡ 2
£F
2
2
2
a
[Re(¡¸ § ¹) < 1; Re a > 0; b > 0]:
¸¡1 ¡¸¡1
¸
ET I 49(42)
5:
Z
1
0
º
x sin(ax)Jº (bx) dx =
p
1
¼2º bº (a2 ¡ b2 )¡º¡ 2
¶
•
1
¡º
¡
2
∙
=0
0 < a < b;
∙
1
¡1 < Re º <
2
0 < b < a;
1
¡1 < Re º <
2
¸
¸
;
:
ET II 32(4)
6:
Z
1
0
xº cos(ax)Jº (bx) dx =
•
¶
∙
¸
1
1
º sin(º¼)
º 2
2 ¡º¡ 12
p
= ¡2
¡
+ º b (a ¡ b )
0 < b < a; j Re º j <
;
¼
2
2
•
¶
∙
¸
bº
1
1
1
= 2º p ¡
0 < a < b; j Re º j <
:
+ º (b2 ¡ a2 )¡º¡ 2
¼
2
2
7:
Z
1
0
xº+1 sin(ax)Jº (bx) dx =
•
¶
¸
∙
sin(º¼) º
3
1
3
3
= ¡21+º a p
b ¡ º+
(a2 ¡ b2 )¡º¡ 2
;
0 < b < a; ¡ < Re º < ¡
¼
2
2
2
•
¶
¸
∙
3
1
21+º
3
3
(b2 ¡ a2 )¡º¡ 2
:
= ¡ p abº ¡ º +
0 < a < b; ¡ < Re º < ¡
¼
2
2
2
ET II 32(3)
765
8:
Z
1
0
∙
3
p
(a2 ¡ b2 )¡º¡ 2
¶
0 < b < a;
xº+1 cos(ax)Jº (bx) dx = 21+º ¼abº •
1
¡ ¡ ¡º
2
∙
¸
1
=0
0 < a < b; ¡1 < Re º < ¡
:
2
¡1 < Re º < ¡
1
2
¸
;
ET II 36(28)
9:
Z
1
xº sin(ax)Jº (ax) dx =
0
1
[sin aJº (a)¡cos aJº+1 (a)]
2º + 1
[Re º > ¡1]:
ET II 334(9)a
10:
Z
1
1
x cos(ax)Jº (ax) dx =
[cos aJº (a)+sin aJº+1 (a)]
2º + 1
º
0
∙
¸
1
Re ° > ¡
:
2
ET II 335(20)
11:
Z
1
x1+º Kº (ax) sin(bx) dx =
0
p
•
¶
3
3
¼(2a)º ¡
+ º b(b2 + a2 )¡ 2 ¡º
2
¸
∙
3
:
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡
2
ET I 105(49)
12:
Z
1
0
x¹ K¹ (ax) cos(bx) dx =
•
¶
1p
1
1
¼(2a)¹ ¡ ¹ +
(b2 + a2 )¡¹¡ 2
2
2
¸
∙
1
:
Re a > 0; b > 0; Re ¹ > ¡
2
ET I 49(41)
ET I 104(36)
14:
Z
1
0
∙
¸
1
x Nº (ax) cos(bx) dx = 0
0 < b < a; j Re º j <
;
2
∙
1
p
(b2 ¡ a2 )¡º¡ 2
¶
•
0 < a < b;
= ¡2º ¼aº
1
¡º
¡
2
º
¸
1
j Re º j <
:
2
ET I 47(30)
6.711
1:
2:
Z
Z
1
xº¡¹ J¹ (ax)Jº (bx) sin(cx) dx = 0
0
[0 < c < b¡a; ¡1 < Re º < 1+Re ¹]:
ET I 103(28)
1
xº¡¹+1 J¹ (ax)Jº (bx) cos(cx) dx = 0
0
[0 < c < b¡a; a > 0; b > 0; ¡1 < Re º < Re ¹]:
ET I 47(25)
766
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
0
[0 < a;
1
c¡(º)
¡(¹ + 1)
0 < Re º < Re ¹ + 3]:
xº¡¹¡2 J¹ (ax)Jº (bx) sin(cx) dx = 2º¡¹¡1 a¹ b¡º
0 < b;
0 < c < b ¡ a;
ET I 103(29)
¡(%)
¡(¹ + 1)
0 < Re % < Re ¹ + 2]:
x%¡¹¡1 J¹ (ax)J% (bx) cos(cx) dx = 2%¡¹¡1 b¡% a¹
0
[b > 0;
a > 0;
0 < c < b ¡ a;
¶
3
•
¶
¡
º
a
1
3
3
2
1¡2º
2
¶
¡ º; ¡ 2º; 2 ¡ º; a
x
sin(2ax)Jº (x)Nº (x) dx = ¡ •
F
1
2
2
0
2¡ 2º ¡
¡(2 ¡ º)
2
¸
∙
3
0 < Re º < ; 0 < a < 1 :
2
¡
•
ET I 47(26)
1:
Z
1
p
¼(2a)º
1
¶ (b2 +2ab)¡º¡ 2
•
1
¡º
¡
2
¸
∙
1
:
b > 0; ¡1 < Re º <
2
xº [Jº (ax) cos(ax)+Nº (ax) sin(ax)] sin(bx) dx =
0
ET I 104(40)
2:
Z
1
0
p
¼(2a)º
1
¶ (b2 +2ab)¡º¡ 2 :
x [Nº (ax) cos(ax)¡Jº (ax) sin(ax)] cos(bx) dx = ¡ •
1
¡º
¡
2
º
ET I 48(35)
3:
Z
1
0
xº [Jº (ax) cos(ax) ¡ Nº (ax) sin(ax)] sin(bx) dx =
∙
¸
1
=0
0 < b < 2a; ¡1 < Re º <
;
2
¸
∙
p
2º ¼bº
1
2
¡º¡ 21
•
¶
=
:
(b ¡ 2ab)
2a < b; ¡1 < Re º <
1
2
¡
¡º
2
ET I 104(41)
4:
Z
1
0
xº [Jº (ax) sin(ax) + Nº (ax) cos(ax)] cos(bx) dx
∙
¸
1
=0
0 < b < 2a; j Re º j <
;
2
∙
p
¼(2a)º 2
1
¡º¡
2
¢ (b ¡ 2ab)
= ¡ ¡1
0 < 2a < b;
¡ 2 ¡º
¸
1
:
j Re º j <
2
ET I 48(33)
767
6.713
1:
Z
n
o
2
2
x1¡2º sin(2ax) [Jº (x)] ¡ [Nº (x)]
dx =
¶ •
¶
•
3
3
¶
¡º ¡
¡ 2º a •
sin(2º¼)¡
3
3
2
2
2
¡ º; ¡ 2º; 2 ¡ º; a
F
=
¼¡(2 ¡ º)
2
2
¸
∙
3
0 < Re º < ; 0 < a < 1 :
4
1
0
ET II 348(64)
ET II 348(65)
3:
Z
1
0
x2¡2º sin(2ax) [Jº (x)Nº¡1 (x) + Nº (x)Jº¡1 (x)] dx =
¶
•
3
•
¶
¡º a
¡
5
3
2
2
¶
¡ º; ¡ 2º; 2 ¡ º; a
=¡ •
F
3
2
2
¡ 2º ¡
¡(2 ¡ º)
2
∙
5
1
< Re º < ;
2
2
¸
0<a<1 :
ET II 349(66)
6.714
1:
Z
1
0
2
sin(2ax) [xº Jº (x)] dx =
•
¶
1
¡2º
•
¸
¶
∙
¡
+º
a
1
1
1
2
2
p
=
F
+ º; ; 1 ¡ º; a
;
0 < a < 1; j Re º j <
2 ¼¡(1 ¡ º)
2
2
2
•
¶
1
¸
•
¶
∙
a¡4º¡1 ¡
+º
1
1
1
1
2
•
¶
=
+ º; + 2º; 1 + º; 2
:
F
a > 1; j Re º j <
1
2
2
a
2
2¡(1 + º)¡
¡ 2º
2
ET II 343(31)
768
2:
Z
1
0
2
•
¶
a¡2º ¡(º)
1 1
•
¶ F º + ; ; 1 ¡ º; a2 +
p
1
2 2
2 ¼¡
¡º
2
¶
•
1
•
¶
+ 2º
¡(¡º)¡
1
1
2
¶ F
•
+ º; + 2º; 1 + º; a2
+
1
2
2
¡º
2¼¡
2
¸
∙
1
1
;
0 < a < 1; ¡ < Re º <
4
2
•
¶
1
•
¶
sin(º¼)a¡4º¡1 ¡
+ 2º
1
1
1
2
¶
•
=¡
+ º; + 2º; 1 + º; 2
F
1
2
2
a
¡º
¡(1 + º)¡
2
¸
∙
1
1
:
a > 1; ¡ < Re º <
4
2
cos(2ax) [xº Jº (x)] dx =
ET II 344(33)
6.715
1:
Z
1
0
xº
¼
sin(x+¯)Jº (x) dx = sec(º¼)¯ º J¡º (¯)
x+¯
2
∙
¸
1
j Re º j <
:
2
j arg ¯ j < ¼;
ET II 340(8)
2:
Z
1
0
xº
¼
cos(x+¯)Jº (x) dx = ¡ sec(º¼)¯ º N¡º (¯)
x+¯
2
∙
j arg ¯ j < ¼;
¸
1
j Re º j <
:
2
ET II 340(9)
6.716
1:
2:
Z
Z
a
x¸ sin(a¡x)Jº (x) dx = 2a¸+1
0
1
X
(¡1)n ¡(º ¡ ¸ + 2n)¡(º + ¸ + 1)
n=0
¡(º ¡ ¸)¡(º + ¸ + 3 + 2n)
(º+2n+1)Jº+2n+1 (a)
[Re(¸ + º) > ¡1] :
a
0
x¸ cos(a ¡ x)Jº (x) dx =
ET II 335(16)
a¸+1 Jº (a)
+ 2a¸+1 £
¸+º+1
1
X
(¡1)n ¡(º ¡ ¸ + 2n ¡ 1)¡(º + ¸ + 1)
£
(º+2n)Jº+2n (a)
¡(º ¡ ¸)¡(º + ¸ + 2n + 2)
n=1
[Re(¸ + º) > ¡1] :
ET II 335(26)
6.717
Z
1
¡1
sin [a(x + ¯)]
Jº+2n (x) dx = ¼¯ ¡º Jº+2n (¯)
xº (x + ¯)
∙
3
1 ∙ a < 1; n = 0; 1; 2; . . . ; Re º > ¡
2
¸
:
ET II 345(44)
769
6.718
1:
Z
1
0
xº
sin(®x)Jº (°x) dx = ¯ º¡1 sh(®¯)Kº (¯°)
x2 + ¯ 2
∙
¸
3
0 < ® ∙ °; Re ¯ > 0; ¡1 < Re º <
:
2
Z
2:
1
xº+1
cos(®x)Jº (°x) dx = ¯ º ch(®¯)Kº (¯°)
+ ¯2
∙
0 < ® ∙ °; Re ¯ > 0;
x2
0
¡1 < Re º <
1
2
¸
:
ET II 37(33)
Z
3:
1
0
∙
x1¡º
¼
sin(®x)Jº (°x) dx = ¯ ¡º e¡®¯ Iº (¯°)
2
x + ¯2
2
0 < ° ∙ ®;
Re ¯ > 0;
Re º > ¡
1
2
¸
:
ET II 33(9)
Z
4:
1
0
∙
¼
x¡º
cos(®x)Jº (°x) dx = ¯ ¡º¡1 e¡®¯ Iº (¯°)
x2 + ¯ 2
2
3
0 < ° ∙ ®; Re ¯ > 0; Re º > ¡
2
¸
:
ET II 37(34)
6.719
1:
6
Z
®
0
• ¶
• ¶
1
X
sin(¯x)
1
1
n
p
Jº (x) dx = ¼
(¡1) J2n+1 (®¯)J 12 º+n+ 12
® J 12 º¡n¡ 12
®
2
2
2
2
® ¡x
n=0
[Re º > ¡2] :
ET II 335(17)
2:
Z
®
0
∙
• ¶¸2 X
• ¶
• ¶
1
cos(¯x)
¼
1
1
1
n
p
Jº (x) dx = J0 (®¯) J 12 º
®
+¼
(¡1) J2n (®¯)J 12 º+n
® J 12 º¡n
® :
2
2
2
2
2
2
® ¡x
n=1
[Re º > ¡1] :
ET II 336(27)
6.721
1:
Z
1p
0
2 2
xJ 14 (a x ) sin(bx) dx = 2
¡ 32
¡2
a
p
¼bJ 14
•
b2
4a2
¶
[b > 0] :
ET I 108(1)
2:
Z
1p
0
p
3
xJ¡ 14 (a2 x2 ) cos(bx) dx = 2¡ 2 a¡2 ¼bJ¡ 14
•
b2
4a2
¶
[b > 0] :
ET I 51(1)
3:
Z
1p
0
2 2
xN 1 (a x ) sin(bx) dx = ¡2
4
¡ 32
p
¡2
¼ba
H1
4
•
b2
4a2
¶
:
4:
Z
1p
0
2 2
xN¡ 14 (a x ) cos(bx) dx = ¡2
¡ 23
p
¡2
¼ba
H¡ 41
•
b2
4a2
¶
:
ET I 52(7)
770
5:
Z
1p
0
2 2
xK 14 (a x ) sin(bx) dx = 2
¡ 52
p
¼ 3 ba¡2
∙
I 14
•
b2
4a2
¶
¡ L 14
•
b2
4a2
¶¸
h
j arg aj <
i
¼
; b>0 :
4
ET I 109(11)
6:
Z
1p
0
2 2
xK¡ 14 (a x ) cos(bx) dx = 2
¡ 25
p
¼ 3 ba¡2
∙
I¡ 14
•
b2
4a2
¶
¡ L¡ 14
•
b2
4a2
¶¸
[b > 0] :
ET I 52(10)
6.722
1:
•
¶
5
• 2 ¶
• 2 ¶
Z 1
¡
¡º
p
p
b
b
3
8
• ¶ Wº; 1
1
xK 18 +º (a2 x2 )I 18 ¡º (a2 x2 ) sin(bx) dx = 2¼b¡ 2
M
¡º;
2
8
8
5
8a
8a2
0
¡
4
¸
∙
¼
5
Re º < ; j arg aj < ; b > 0 :
8
4
ET I 109(13)
2:
Z
1p
0
xJ¡ 18 ¡º (a2 x2 )J¡ 18 +º (a2 x2 ) cos(bx) dx =
"
Ã
!
Ã
!
r
¼i
¼i
2 ¡ 3 ¡ i¼
b2 e¡ 2
b2 e¡ 2
=
b 2 e 8 Wº; ¡ 18
W¡º; ¡ 18
+
¼
8a2
8a2
Ã
!
Ã
!#
¼i
¼i
i¼
b2 e 2
b2 e 2
+ e 8 Wº; ¡ 18
W¡º; ¡ 18
[b > 0] :
8a2
8a2
ET I 52(6)
3:
Z
1p
0
xJ 18 ¡º (a2 x2 )J 18 +º (a2 x2 ) sin(bx) dx =
"
Ã
!
Ã
!
Ã
!
Ã
!#
r
¼i
¼i
¼i
¼i
2 ¡3
¼i
i¼
b2 e 2
b2 e 2
b2 e¡ 2
b2 e¡ 2
¡
=
b 2 e 8 Wº; 18
W¡º; 18
+ e 8 Wº; 18
W¡º; 18
¼
8a2
8a2
8a2
8a2
[b > 0] :
4:
¶
3
• 2 ¶
• 2 ¶
Z 1
¡º
¡
p
p
b
b
8
2 2
2 2
¡ 32
•
¶
1
1
1
1
Wº; ¡ 8
xK 8 ¡º (a x )I¡ 8 ¡º (a x ) cos(bx) dx = 2¼b
M¡º; ¡ 8
2
2
3
8a
8a
0
¡
4
¸
∙
3
Re º < ; b > 0 :
8
•
ET I 52(12)
771
6.723
Z
1
0
£
¤
1
xJº (x2 ) sin(º¼)Jº (x2 ) ¡ cos(º¼)Nº (x2 ) J4º (4ax) dx = Jº (a2 )J¡º (a2 )
4
[a > 0; Re º > ¡1] :
ET II 375(20)
6.724
1:
Z
³a´
x2¸ J2º
sin(bx) dx =
x
¶
•
p 2º
¼a ¡(¸ ¡ º + 1)b2º¡2¸¡1
1 a2 b2
•
¶ 0 F3 2º + 1; º ¡ ¸; º ¡ ¸ + ;
=
+
1
2 16
2º¡¸
4
¡(2º + 1)¡ º ¡ ¸ +
2
¶
•
a2 b2
a2¸+2 ¡(º ¡ ¸ ¡ 1)b
3
+ 2¸+3
; ¸ ¡ º + 2; ¸ + º + 2;
0 F3
2
¡(º + ¸ + 2)
2
16
∙
¸
5
¡ < Re ¸ < Re º; a > 0; b > 0 :
4
1
0
ET I 109(15)
2:
Z
1
0
x2¸ J2º
³a´
x
cos(bx) dx =
•
¶
1
¶
•
¡ ¸¡º+
p
a2 b2
1
2
F
= 4¸¡2º ¼a2º b2º¡2¸¡1
;
º
¡
¸;
+
2º
+
1;
º
¡
¸
+
0 3
¡(2º + 1)¡(º ¡ ¸)
2
16
•
¶
1
¶
•
¡ º¡¸¡
3
3 a2 b2
1
2
¡¸¡1 2¸+1 •
¶ 0 F3
+4
a
; ¸¡º + ; º +¸+ ;
3
2
2
2 16
¡ º+¸+
2
∙
¸
3
1
¡ < Re ¸ < Re º ¡ ; a > 0; b > 0 :
4
2
ET I 53(14)
6.725
1:
Z
1
0
r
• 2
¶
• 2¶
p
sin(bx)
¼
º¼
¼
a
a
p
¡
¡
Jº (a x) dx = ¡
sin
J º2
x
b
8b
4
4
8b
[Re º > ¡3; a > 0;
b > 0] :
2:
3:
Z
Z
1
0
1
p
cos(bx)
p
Jº (a x) dx =
x
x
1
º
2
r
¼
cos
b
•
¶
• 2¶
a2
º¼
¼
a
¡
¡
J1º
2
8b
4
4
8b
[Re º > ¡1; a > 0;
p
Jº (a x) sin(bx) dx = 2¡º aº b¡º¡1 cos
0
•
a2
º¼
¡
4b
2
¶
b > 0] :
ET I 54(25)
∙
¸
1
¡2 < Re º < ; a > 0; b > 0 :
2
ET I 110(28)
772
4:
Z
1
x
1
2º
p
Jº (a x) cos(bx) dx = 2¡º b¡º¡1 aº sin
0
•
º¼
a2
¡
4b
2
¶
∙
¸
1
¡1 < Re º < ; a > 0; b > 0 :
2
ET I 54(26)
6.726
1:
Z
p
1
x(x2 + b2 )¡ 2 º Jº (a x2 + b2 ) sin(cx) dx =
r
³ p
´
3
¼ ¡º ¡º+ 3
1
2
2
2 c(a2 ¡c2 ) 2 º¡ 4 J
=
a b
º¡ 32 b a ¡ c
2
∙
¸
1
=0
0 < a < c; Re º >
:
2
1
0
∙
0 < c < a;
¸
1
;
Re º >
2
ET I 111(37)
2:
Z
³ p
´
1
(x2 + b2 )¡ 2 º Jº a x2 + b2 cos(cx) dx =
r
∙
³ p
´
¼ ¡º ¡º+ 1 2 2 1 º¡ 1
2
2
2
2
4
a b
(a ¡c )
Jº¡ 12 b a ¡ c
=
0 < c < a;
2
∙
¸
1
=0
0 < a < c; b > 0; Re º > ¡
:
2
1
0
b > 0;
1
Re º > ¡
2
¸
;
ET I 55(37)
3:
Z
1
0
2
2
x(x +b )
1
2º
r
³ p
´
³ p
´
¼ º º+ 3
3
1
2
2
K§º a x + b sin(cx) dx =
a b 2 c(a2 +c2 )¡ 2 º¡ 4 K¡º¡ 32 b a2 + c2
2
[Re a > 0; Re b > 0; c > 0] :
4:
Z
1
0
2
2 ¨ 21 º
(x +b )
r
³ p
´
³ p
´
¼ ¨º 1 ¨º 2 2 § 1 º¡ 1
Kº a x2 + b2 cos(cx) dx =
a b 2 (a +c ) 2 4 K§º¡ 12 b a2 + c2
2
[Re a > 0; Re b > 0; c > 0] :
ET I 56(45)
5:
Z
³ p
´
1
(x2 + a2 )¡ 2 º Nº b x2 + a2 cos(cx) dx =
r
³ p
´
1
a¼
1
(ab)¡º (b2 ¡c2 ) 2 º¡ 4 Nº¡ 12 a b2 ¡ c2
=
2
r
³ p
´
1
2a
1
=¡
(ab)¡º (c2 ¡b2 ) 2 º¡ 4 Kº¡ 12 a c2 ¡ b2
¼
1
0
∙
¸
1
;
0 < c < b; a > 0; Re º > ¡
2
¸
∙
1
:
0 < b < c; a > 0; Re º > ¡
2
ET I 56(41)
6.727
1:
Z
a
0
i
i
ha p
ha p
p
sin(cx)
¼
p
Jº (b a2 ¡ x2 ) dx = J 12 º
( b2 + c2 ¡ c) J 12 º
( b2 + c2 + c)
2
2
2
a2 ¡ x2
[Re º > ¡1; c > 0; a > 0] :
ET I 113(48)
773
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
a
1
a
a
0
³ p
´
ha ³
´i
ha ³
´i
p
p
sin(cx)
¼
p
Jº b x2 ¡ a2 dx = J 12 º
c ¡ c2 + b2 J¡ 12 º
c + c2 + b2
2
2
2
x2 ¡ a2
[0 < b < c; a > 0; Re º > ¡1] :
³ p
´
ha ³
´i
ha ³
´i
p
p
cos(cx)
¼
p
Jº b x2 ¡ a2 dx = ¡ J 1 º
c2 ¡ b2 N¡ 12 º
c2 ¡ b2
c
¡
c
+
2 2 2
2
x2 ¡ a2
[0 < b < c; a > 0; Re º > ¡1] :
p
1
(a2 ¡ x2 ) 2 º cos Iº ( a2 ¡ x2 ) dx =
p
¼a2º+1
¡
¢
2º+1 ¡ º + 32
∙
Re º > ¡
Z
1
0
ET I 58(54)
¸
1
:
2
6.728
1:
ET I 113(49)
x sin(ax2 )Jº (bx) dx =
• 2
¶
• 2¶
• 2
¶
• 2 ¶¸
p ∙
¼b
º¼
º¼
b
b
b
b
1
1
1
1
¡
¡
=
cos
J
¡
sin
J
3
º¡ 2
º+ 2
2
2
8a
4
8a
8a
4
8a
2
8a
[a > 0; b > 0; Re º > ¡4] :
WA 409(2)
2:
3:
Z
Z
1
2
x cos(ax )Jº (bx) dx =
0
1
J0 (¯x) sin(®x2 )x dx =
0
p
¼b
3
8a 2
∙
cos
•
1
¯2
cos
2®
4®
¶
• 2
¶
• 2¶
• 2 ¶¸
b
º¼
º¼
b2
b
b
¡
¡
J 1 º+ 12
+ sin
J 1 º¡ 12
2
2
8a
4
8a
8a
4
8a
[a > 0; b > 0; Re º > ¡2] :
[® > 0;
ET II 38(39)
¯ > 0] :
MO 47
4:
Z
1
J0 (¯x) cos(®x2 )x dx =
0
1
¯2
sin
2®
4®
[® > 0;
¯ > 0] :
MO 47
5:
Z
1
xº+1 sin(ax2 )Jº (bx) dx =
0
bº
cos
º+1
2
aº+1
•
º¼
b2
¡
4a
2
¶
∙
a > 0;
b > 0;
¡2 < Re º <
1
2
¸
:
ET II 34(15)
6:
Z
1
0
º+1
x
bº
cos(ax )Jº (bx) dx = º+1 º+1 sin
2
a
2
•
º¼
b2
¡
4a
2
¶
∙
a > 0;
b > 0;
1
¡1 < Re º <
2
¸
:
ET II 38(40)
6.729
1:
Z
1
0
• 2
¶ • ¶
1
º¼
b + c2
bc
¡
x sin(ax )Jº (bx)Jº (cx) dx =
cos
Jº
2a
4a
2
2a
[a > 0; b > 0; c > 0; Re º > ¡2] :
2
ET II 51(26)
774
2:
Z
1
0
• 2
¶ • ¶
1
º¼
b + c2
bc
¡
x cos(ax )Jº (bx)Jº (cx) dx =
sin
Jº
2a
4a
2
2a
[a > 0; b > 0; c > 0; Re º > ¡1] :
2
ET II 51(27)
6.731
Z
1:
2:
1
x sin(ax2 )Jº (bx2 )J2º (2cx) dx =
•
¶ •
¶
ac2
1
bc2
= p
sin
Jº
b2 ¡ a2
b2 ¡ a2
2 b2 ¡ a2
•
¶
•
¶
2
ac
bc2
1
cos
Jº
= p
a2 ¡ b2
a2 ¡ b2
2 a2 ¡ b2
0
Z
¤
[0 < a < b;
Re º > ¡1] ;
[0 < b < a;
Re º > ¡1] :
ET II 356(41)a
1
x cos(ax2 )Jº (bx2 )J2º (2cx) dx =
•
¶ •
¶
ac2
1
bc2
= p
cos
Jº
b2 ¡ a2
b2 ¡ a2
2 b2 ¡ a2
•
¶
•
¶
2
1
ac
bc2
= p
sin
Jº
a2 ¡ b2
a2 ¡ b2
2 a2 ¡ b2
0
∙
∙
0 < a < b;
0 < b < a;
¸
1
;
Re º > ¡
2
¸
1
:
Re º > ¡
2
ET II 356(42)a
6.732
Z
1
2
x cos
0
•
x2
2a
¶
N1 (x)K1 (x) dx = ¡a3 K0 (a)
[a > 0] :
ET II 371(52)
6.733
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
1
sin
0
1
0
1
cos
³ a ´
p
p
dx
[sin xJ0 (x) + cos xN0 (x)]
= ¼J0 ( a)N0 ( a)
2x
x
[a > 0] :
³ a ´
p
p
dx
[sin xN0 (x) ¡ cos xJ0 (x)]
= ¼J0 ( a)N0 ( a)
2x
x
[a > 0] :
x sin
0
1
0
x cos
³ a ´
p
p
¼a
K0 (x) dx =
J1 ( a)K1 ( a)
2x
2
³ a ´
p
p
¼a
K0 (x) dx = ¡ N1 ( a)K1 ( a)
2x
2
ET II 346(51)
ET II 347(52)
[a > 0] :
ET II 368(34)
[a > 0] :
ET II 369(35)
6.734
Z
1
0
p
dx
cos(a x)Kº (bx) p =
x
∙
¶
¶
¶
¶¸
•
•
•
•
¼
a
a
a
a
1
1
p
p
p
p
p
1
1
=
sec(º¼) Dº¡ 2
D¡º¡ 2 ¡
+ Dº¡ 2 ¡
D¡º¡ 2
2 b
2b
2b
2b ¸
2b
∙
1
:
Re b > 0; j Re º j <
2
ET II 132(27)
775
6.735
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
1
0
p
p 3
1
x 4 sin(2a x)J¡ 41 (x) dx = ¼a 2 J 34 (a2 )
[a > 0] :
ET II 341(10)
1
0
p
p 3
1
x 4 cos(2a x)J 14 (x) dx = ¼a 2 J¡ 43 (a2 )
[a > 0] :
ET II 341(12)
1
0
p
p 3
1
x 4 sin(2a x)J 34 (x) dx = ¼a 2 J¡ 41 (a2 )
[a > 0] :
ET II 341(11)
1
p
p 3
1
x 4 cos(2a x)J¡ 34 (x) dx = ¼a 2 J 1 (a2 )
4
0
[a > 0] :
ET II 341(13)
6.736
1:
Z
1
0
h
³
³
¡ ¢i
p
¼ ´ ¡ 2¢
¼´
1
3 p
x¡ 2 sin cos(4a x)J0 (x) dx = ¡2¡ 2 ¼ cos a2 ¡
J0 a ¡ sin a2 ¡
N0 a2
4
4
[a > 0] :
ET II 341(18)
2:
Z
1
0
h ³
³
¡ ¢i
p
¼ ´ ¡ 2¢
¼´
1
3 p
x¡ 2 cos x cos(4a x)J0 (x) dx = ¡2¡ 2 ¼ sin a2 ¡
J0 a + cos a2 ¡
N0 a2
4
4
[a > 0] :
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
p
1
x¡ 2 sin x sin (4a x)J0 (x) dx =
0
1
0
1
0
¡ 12
x
p
cos x sin (4a x)J0 (x) dx =
r
r
³
¼´
¼
cos a2 +
J0 (a2 )
2
4
[a > 0] :
³
¼
¼´
cos a2 ¡
J0 (a2 )
2
4
[a > 0] :
ET II 341(16)
ET II 342(20)
h
³
³
¡ ¢i
p
¼ ´ ¡ 2¢
¼´
1
3 p
x¡ 2 sin x cos(4a x)N0 (x) dx = 2¡ 2 ¼ 3 sin a2 ¡
J0 a ¡ cos a2 ¡
N0 a2
4
4
[a > 0] :
ET II 347(55)
6:
Z
1
0
h
³
³
¡ ¢i
p
¼ ´ ¡ 2¢
¼´
1
3 p
x¡ 2 cos x cos(4a x)N0 (x) dx = ¡2¡ 2 ¼ 3 cos a2 ¡
J0 a + sin a2 ¡
N0 a2
4
4
[a > 0] :
ET II 347(56)
6.737
1:
Z
1
0
¡ p
¢
∙ ³
∙ ³
´¸
´¸
p
p
sin a x2 + b2
¼
b
b
2
2
2
2
p
1
1
Jº (cx) dx = J 2 º
a¡ a ¡c
a+ a ¡c
J¡ 2 º
2
2
2
x2 + b2
[a > 0; Re b > 0; c > 0; a > c; Re º > ¡1] :
ET II 35(19)
2:
Z
1
0
¡ p
¢
∙ ³
∙ ³
´¸
´¸
p
p
cos a x2 + b2
¼
b
b
2
2
2
2
p
1
1
Jº (cx) dx = ¡ J º
a¡ a ¡c
a+ a ¡c
N¡ 2 º
2 2 2
2
x2 + b2
[a > 0; Re b > 0; c > 0; a > c; Re º > ¡1] :
ET II 39(44)
776
3:
Z
a
0
¡ p
¢
h a ³p
´i
h a ³p
´i
cos b a2 ¡ x2
¼
p
Jº (cx) dx = J 1 º
b2 + c2 ¡ b J 1 º
b2 + c2 + b
2
2 2 2
2
a2 ¡ x2
[c > 0; Re º > ¡1] :
4:
Z
a
º+1 cos
¡p
p
x
0
a2 ¡ x2
a2 ¡ x2
¢
Iº (x) dx =
p
¼a2º+1
•
¶
3
º+1
2
¡ º+
2
[Re º > ¡1] :
ET II 365(9)
5:
Z
1
º+1 sin
x
0
¡ p
¢
r
³ p
´
a b2 + x2
¼ 1 +º º 2 2 ¡ 1 ¡ 1 º
p
b 2 c (a ¡c ) 4 2 J¡º¡ 12 b a2 ¡c2
Jº (cx)dx =
2
b2 + x2
¸
∙
1
;
0 < c < a; Re b > 0; ¡1 < Re º <
2
¸
∙
1
:
=0
0 < a < c; Re b > 0; ¡1 < Re º <
2
ET II 35(20)
6:
Z
1
º+1 cos
x
0
¡ p
¢
r
³ p
´
a x2 + b2
¼ 1 +º º 2 2 ¡ 1 ¡ 1 º
p
Jº (cx) dx = ¡
b 2 c (a ¡c ) 4 2 N¡º¡ 12 b a2 ¡ c2
2
x2 + b2
¸
∙
1
;
0 < c < a; Re b > 0; ¡1 < Re º <
2
r
³ p
´
2 1 +º º 2 2 ¡ 1 ¡ 1 º
=
b 2 c (c ¡a ) 4 2 Kº+ 21 b c2 ¡ a2
¼
¸
∙
1
:
0 < a < c; Re b > 0; ¡1 < Re º <
2
ET II 39(45)
6.738
1:
Z
a
º+1
x
0
r
³ p
´
³ p
´
3
¼ º+ 3
1
2
2
sin b a ¡ x Jº (x) dx =
a 2 b(1+b2 )¡ 2 º¡ 4 Jº+ 32 a 1 + b2
2
[Re º > ¡1] :
ET II 335(19)
2:
Z
³ p
´
xº+1 cos a x2 + b2 Jº (cx) dx =
r
³ p
´
³ p
´i
¼ º+ 3 º 2 2 ¡ 1 º¡ 3 h
=
ab 2 c (a ¡c ) 2 4 cos(¼º)Jº+ 32 b a2 ¡ c2 ¡ sin(¼º)Nº+ 32 b a2 ¡ c2
2
¸
∙
1
;
0 < c < a; Re b > 0; ¡1 < Re º < ¡
2
∙
¸
1
=0
0 < a < c; Re b > 0; ¡1 < Re º < ¡
:
2
1
0
ET II 39(43)
777
6.739
Z
t
¡ 12
x
0
p
∙ p ³p
´ ¸ ∙ pt ³ p
´¸
¡ p ¢
cos(b t ¡ x)
t
2
2
2
2
p
J2º a x dx = ¼Jº
a + b + b Jº
a +b ¡b
2
2
t¡x
¸
∙
1
:
Re º > ¡
2
EH II 47(7)
6.741
1:
Z
1
0
³a´
³a´
cos(¹ arccos x)
¼
p
J 12 (º¡¹)
Jº (ax) dx = J 12 (¹+º)
2
2
2
1 ¡ x2
[Re(¹ + º) > ¡1;
a > 0] :
ET II 41(54)
2:
Z
1
0
cos [(º + 1) arccos x]
p
Jº (ax) dx =
1 ¡ x2
r
³a´
³a´
¼
cos
Jº+ 12
a
2
2
[Re º > ¡1;
a > 0] :
ET II 40(53)
3:
Z
1
0
cos [(º ¡ 1) arccos x]
p
Jº (ax) dx =
1 ¡ x2
r
³a´
³a´
¼
sin
Jº¡ 12
a
2
2
[Re º > 0;
a > 0] :
ET II 40(52)a
6.75 Combinations of Bessel, trigonometric, and exponential functions and powers
6.751
1:
Z
1
¡ 12 ax
e
sin(bx)I0
0
•
¶
q
p
1
1
1
p
ax dx = p
b + b2 + a2
2
2b b2 + a2
[Re a > 0;
b > 0] :
ET I 105(44)
2:
3:
Z
Z
1
0
1
0
¡ 12 ax
e
cos(bx)I0
•
¶
a
1
1
p
ax dx = p p
p
2
2b a2 + b2 b + a2 + b2
e¡bx cos(ax)J0 (cx) dx =
hp
[Re a > 0;
(b2 + c2 ¡ a2 )2 + 4a2 b2 + b2 + c2 ¡ a2
p p
2 (b2 + c2 ¡ a2 )2 + 4a2 b2
b > 0] :
ET I 48(38)
i 12
[c > 0] :
6.752
1:
Z
1
0
dx
= arcsin
e¡ax J0 (bx) sin(cx)
x
Ã
p
2c
!
p
a2 + (c + b)2 + a2 + (c ¡ b)2
[Re a > j Im bj; c > 0] :
ET I 101(17)
2:
Z
1
¡ax
e
0
dx
b
J1 (cx) sin(bx)
= (1 ¡ r);
x
c
∙
c2
a2
b =
¡
;
1 ¡ r2
r2
2
¸
c>0 :
ET II 19(15)
778
6.753
1:
2:
3:¤
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
³ ' ´º
sin(xa sin Ã) ¡xa cos ' cos Ã
e
Jº (xa sin ') dx = º ¡1 tg
sin(ºÃ)
x
2
h
¼i
:
Re º > ¡1; a > 0; 0 < '; Ã <
2
³ ' ´º
cos(xa sin Ã) ¡xa cos ' cos Ã
e
Jº (xa sin ') dx = º ¡1 tg
cos(ºÃ)
x
2
h
¼i
:
Re º > 0; a > 0; 0 < '; Ã <
2
xº+1 e¡sx sin(bx)Iº (ax)dx =
0
2(2a)º
= ¡ p ¡(º + 3=2)R¡2º¡3 [b cos(º + 3=2)' + s sin(º + 3=2)'] ;
¼
¤
£
Re º > ¡3=2; Re s > j Im aj + j Im bj; R4 = (s2 + a2 ¡ b2 )2 + 4b2 s2 ; ' = arg(s2 + a2 ¡ b2 ¡ 2ibs) :
4:¤
Z
1
xº+1 e¡sx cos(bx)Jº (ax)dx =
0
2(2a)º
p ¡(º + 3=2)R¡2º¡3 [s cos(º + 3=2)Q ¡ b sin(º + 3=2)'] ;
¼
¤
£
Re º > ¡1; Re s > j Im aj + j Im bj; R4 = (s2 + a2 ¡ b2 )2 + 4b2 s2 ; Q = arg(s2 + a2 ¡ b2 ¡ 2ibs) :
=
ET II 33(10)
ET II 38(35)
5:
6:
Z
1
xº e¡ax cos ' cos à sin(ax sin Ã)Jº (ax sin ') dx =
0
¶
•
1
¶ ¸
∙•
¡ º+
3
2
º
º
2
2
2
¡º¡1
¡º¡ 12
p
a
¯ ;
=2
(sin ') (cos Ã+sin à cos ')
sin º +
¼
2
h
i
¯
¼
tg = tg à cos '
a > 0; 0 < '; Ã < ; Re º > ¡1 :
2
2
Z
ET II 34(12)
1
0
xº e¡ax cos ' cos à cos(ax sin Ã)Jº (ax sin ') dx =
¶
•
1
¶ ¸
∙•
¡ º+
1
2
º
º
2
2
2
¡º¡1
¡º¡ 12
p
=2
a
¯ ;
(sin ') (cos Ã+sin à cos ')
cos
º+
¼
2
∙
¸
¯
¼
1
a > 0; 0 < '; Ã < ; Re º > ¡
:
tg = tg à cos '
2
2
2
ET II 38(37)
779
6.754
1:
Z
1
¡x2
e
2
sin(bx)I0 (x ) dx =
0
p
¼
3
22
2
¡ b8
e
I0
•
b2
8
¶
[b > 0] :
ET I 108(9)
2:
Z
1
0
¡ax
e
1
cos(x )J0 (x ) dx =
4
2
2
r
∙ • 2¶
• 2
¶
• 2
¶¸
• 2¶
¼
¼
¼
a
a
a
a
J0
cos
¡
¡ N0
cos
+
2
16
16
4
16
16
4
[a > 0] :
MI 42
3:
Z
1
0
e¡ax sin(x2 )J0 (x2 ) dx =
1
4
r
∙ • 2¶
• 2
¶
• 2
¶¸
• 2¶
¼
¼
¼
a
a
a
a
¡
J0
sin
¡ N0
sin
+
2
16
16
4
16
16
4
[a > 0] :
MI 42
6.755
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¡ p ¢
2
3
x¡º e¡x sin 4a x Iº (x) dx = (2 2 a)º¡1 e¡a W 12 ¡ 32 º; 21 ¡ 12 º (2a2 )
¡ p ¢
2
3
1
x¡º¡ 2 e¡x cos 4a x Iº (x) dx = 2 2 º¡1 aº¡1 e¡a W¡ 23 º; 12 º (2a2 )
[a > 0;
Re º > 0] :
ET II 366(14)
∙
a > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
ET II 366(16)
3:
¶
3
Z 1
¡ 2º
¡
¡ p ¢
2
3
2
¶ ea W 3 º¡ 1 ; 1 ¡ 1 º (2a2 )
x¡º ex sin 4a x Kº (x) dx = (2 2 a)º¡1 ¼ •
2 2
2
2
1
0
+º
¡
2
¸
∙
3
:
a > 0; 0 < Re º <
4
•
ET II 369(38)
4:
¶
1
Z 1
¡ 2º
¡
¡ p ¢
2
3
1
2
¶ ea W 3 º; ¡ 1 º (2a2 )
x¡º¡ 2 ex cos 4a x Kº (x) dx = 2 2 º¡1 ¼aº¡1 •
2
2
1
0
¡
+º
2
∙
¸
1
1
a > 0; ¡ < Re º <
:
2
4
•
ET II 369(42)
5:
Z
1
0
¡ p ¢
3
x%¡ 2 e¡x sin 4a x Kº (x) dx =
•
¶
p
¼a¡(% + º)¡(% ¡ º)
1
3
2
•
¶
=
; % + ; ¡2a
2 F2 % + º; % ¡ º;
1
2
2
2%¡2 ¡ % +
2
[Re % > j Re º j] :
ET II 369(39)
780
6:
Z
1
0
¡ p ¢
x%¡1 e¡x cos 4a x Kº (x) dx =
•
¶
p
¼¡(% + º)¡(% ¡ º)
1
1
2
•
¶
=
; % + ; ¡2a
2 F2 % + º; % ¡ º;
1
2
2
%
2 ¡ %+
2
[Re % > j Re º j] :
ET II 370(43)
7:
Z
1
0
¡ p ¢
2
1
1
x¡ 2 e¡x cos 4a x I0 (x) dx = p e¡a K0 (a2 )
2¼
[a > 0] :
ET II 366(15)
ET II 369(40)
9:
Z
1
0
¡ p ¢
2
1 3
1
x¡ 2 e¡x cos 4a x K0 (x) dx = p ¼ 2 e¡a I0 (a2 ):
2
ET II 369(41)
6.756
1:
Z
1
0
¡ p ¢
sin a x Jº (bx) dx =
¶
•
¶∙
¶
¶¸
•
•
•
i
1
ia
a
ia
¡ D¡º¡ 12 ¡ p
= p
D¡º¡ 21 p
¡ º+
D¡º¡ 12 p
2
2¼b
b
b
b
[a > 0; b > 0; Re º > ¡1] :
1
x¡ 2 e¡a
p
x
ET II 34(17)
2:
Z
1
0
¡ p ¢
cos a x Jº (bx) dx =
¶
•
¶∙
¶
¶¸
•
•
•
1
1
ia
a
ia
D¡º¡ 21 p
= p
¡ º+
D¡º¡ 12 p
+ D¡º¡ 12 ¡ p
2
2¼b
b
b
b¸
∙
1
a > 0; b > 0; Re º > ¡
:
2
1
x¡ 2 e¡a
p
x
ET II 39(42)
3:
4:
Z
Z
1
1
x¡ 2 e¡a
p
x
0
1
p
¡ 12 ¡a x
x
e
0
¡ p ¢
1
sin a x J0 (bx) dx = aI 14
2b
¡ p ¢
a
cos a x J0 (bx) dx = I¡ 14
2b
•
a2
4b
•
¶
a2
4b
K 14
¶
K 14
•
a2
4b
•
¶
a2
4b
¶
h
j arg aj <
h
j arg aj <
i
¼
; b>0 :
4
i
¼
; b>0 :
4
6.757
1:
Z
1
0
£
¤
e¡bx sin a(1 ¡ e¡x ) Jº (ae¡x ) dx =
=2
1
X
(¡1)n ¡(º ¡ b + 2n + 1)¡(º + b)
n=0
¡(º ¡ b + 1)¡(º + b + 2n + 2)
(º+2n¡1)Jº+2n+1 (a)
[Re b > ¡ Re º] :
ET II 11(40)
ET II 12(49)
2:
Z
1
0
£
¤
e¡bx cos a(1 ¡ e¡x ) Jº (ae¡x ) dx =
1
¡(º ¡ b + 2n)¡(º + b)
Jº (a) X
+
(º + 2n)Jº+2n (a)
=
2(¡1)n
º + b n=0
¡(º ¡ b + 1)¡(º + b + 2n + 1)
[Re b > ¡ Re º] :
ET I 193(27)
6.758
Z
¼
2
¡¼
2
ei(¹¡º)• (cos •)º+¹ (¸z)¡º¡¹ Jº+¹ (¸z) d• = ¼(2az)¡¹ (2bz)¡º J¹ (az)Jº (bz);
¸=
q
2 cos •(a2 ei• + b2 e¡i• )
[Re(º + ¹) > ¡1] :
EH II 48(12)
6.76 Combinations of Bessel, trigonometric, and hyperbolic functions
6.761
Z
1
0
x
¡x
ch x cos(2a sh x)Jº (be )Jº (be
¡ p
¢
J2º 2 b2 ¡ a2
p
) dx =
[0 < a < b; Re º > ¡1] ;
2 b2 ¡ a2
=0
[0 < b < a; Re º > ¡1] :
ET II 359(10)
6.762
Z
1
0
£
¤
ch x sin(2a sh x) Jº (bex )Nº (be¡x ) ¡ Nº (bex )Jº (be¡x ) dx =
¸
∙
1
;
=0
0 < a < b; j Re º j <
2
∙
h
i
2
1
1
= ¡ cos(º¼)(a2 ¡ b2 )¡ 2 K2º 2(a2 ¡ b2 ) 2
0 < b < a;
¼
j Re º j <
¸
1
:
2
ET II 360(12)
6.763
Z
1
0
ch x cos(2a sh x)Nº (bex )Nº (be¡x ) dx =
h
i
1
1
1
= ¡ (b2 ¡ a2 )¡ 2 J2º 2(b2 ¡ a2 ) 2
[0 < a < b; j Re º j < 1] ;
2
h
i
1
2
1
= cos(º¼)(a2 ¡ b2 )¡ 2 K2º 2(a2 ¡ b2 ) 2
[0 < b < a; j Re º j < 1] :
¼
ET II 360(11)
6.77 Combinations of Bessel functions and the logarithm, or arctangent
6.771
Z
1
¶
¹+º
3
¶
•
¶
¸
∙ •
+
2
¡
a2
º ¡¹
3
1
¹+º
2
4
¶
¡ ln
+
+Ã
+
ln xJº (ax) dx = •
Ã
º ¡¹
3
1
2
4
2
4
4
¡
+
a¹+ 2
2
4
∙
¸
3
a > 0; ¡ Re º ¡ < Re ¹ < 0 :
2
¹¡ 21
1
x¹+ 2
0
•
ET II 32(25)
6.772
1:
Z
1
0
1
ln xJ0 (ax) dx = ¡ [ln(2a) + C ] :
a
WA 430(4)A, ET II 10(27)
782
2:
3:
4:
Z
Z
Z
1
0
1
ln xJ1 (ax) dx = ¡
i
1 h ³a´
ln
+C :
a
2
ln(a2 + x2 )J1 (bx) dx =
0
ET II 19(11)
2
[K0 (ab) + ln a] :
b
ET II 19(12)
1
0
J1 (t x) ln
p
1 + t4 dt =
2
ker x:
x
MO 46
6.773
Z
1
0
p
¡
¢
∙
• ¶
• ¶
• ¶¸
ln x + x2 + a2
1 2 ab
ab
ab
p
J0 (bx) dx =
K0
+ ln aI0
K0
2
2
2
2
x2 + a2
[a > 0;
b > 0] :
ET II 10(28)
6.774
Z
1
0
p
• ¶
x2 + a2 + x
dx
ab
2
ln p
J0 (bx) p
= K0
2
2
2
2
2
x +a ¡x
x +a
[Re a > 0;
b > 0] :
ET II 10(29)
6.775
Z
1
0
h ³
i
´
p
1
x ln 1 + a2 + x2 ¡ ln x J0 (bx) dx = 2 (1¡e¡ab )
b
[Re a > 0;
b > 0] :
ET II 12(55)
6.776
Z
1
0
•
a2
x ln 1 + 2
x
¶
∙
¸
2 1
¡ aK1 (ab)
J0 (bx) dx =
b b
[Re a > 0;
b > 0] :
ET II 10(30)
6.777
Z
1
0
2
J1 (t x) arctg t2 dt = ¡ kei x:
x
MO 46
6.78 Combinations of Bessel and other special functions
6.781
Z
1
0
1
si(ax)J0 (bx) dx = ¡ arcsin
b
• ¶
b
a
[0 < b < a] ;
=0
[0 < a < b] :
ET II 13(6)
6.782
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¡ p ¢
e¡z ¡ 1
Ei(¡x)J0 2 zx dx =
:
z
¡ p ¢
sin z
si(x)J0 2 zx dx = ¡
:
z
NT 60(4)
3:
4:
5:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
¡ p ¢
cos z ¡ 1
:
ci(x)J0 2 zx dx =
z
NT 60(5)
¡ p ¢ dx
Ei(¡z) ¡ C ¡ ln z
p
:
Ei(¡x)J1 2 zx p =
x
z
NT 60(7)
¼
¡ p ¢ dx
¡ si(z)
si(x)J1 2 zx p = ¡ 2 p
:
x
z
NT 60(9)
783
6:
7:
Z
Z
1
0
1
0
¡ p ¢ dx
ci(z) ¡ C ¡ ln z
p
ci(z)J1 2 zx p =
:
x
z
NT 60(8)
¡ p ¢
C + ln z ¡ e2 Ei(¡z)
Ei(¡x)N0 2 zx dx =
:
¼z
NT 63(5)
6.783
1:
Z
1
0
2
x si(a x )J0 (bx) dx = ¡ 2 sin
b
2 2
•
b2
4a2
¶
[a > 0] :
ET II 13(7)a
2:
Z
1
x ci(a2 x2 )J0 (bx) dx =
0
∙
• 2 ¶¸
2
b
1
¡
cos
b2
4a2
[a > 0] :
ET II 13(8)a
3:
Z
1
0
∙ • 2 ¶
• 2 ¶
¸
1
b
b
ci
+ ln
+ 2C
C
ci(a x )J0 (bx) dx =
b
4a2
4a2
2 2
[a > 0] :
4:
Z
• 2 ¶
∙
¸
b
1
¼
¡ si
si(a x )J1 (bx) dx =
¡
b
4a2
2
1
2 2
0
[a > 0] :
ET II 20(25)a
6.784
1:
2:
•
¶
3
•
¶
• 2 ¶
Z 1
¡ º+
b2
b
2
exp ¡ 2 M 1 º+ 12 ; 12 º+ 12
xº+1 [1 ¡ ©(ax)] Jº (bx) dx = a¡º 2
2
b ¡(º + 2)
8a
4a2
0
i
h
¼
j arg aj < ; b > 0; Re º > ¡1 :
4
Z
1
0
xº [1 ¡ ©(ax)] Jº (bx) dx =
r
ET II 92(22)
¶
1
•
¶
• 2 ¶
a
¡ º+
2
b2
b
2
•
¶ exp ¡ 2 M 1 º¡ 1 ; 1 º+ 1
4 2
4
2
3
¼ 32
8a
4a2
b ¡ º+
2
¸
∙
1
¼
j arg aj < ; Re º > ¡ ; b > 0 :
4
2
1
2
¡º
•
ET II 92(23)
6.785
Z
1
0
exp
•
¶
a2
•
¶¸
¡x ∙
5
n
o
¼2
a
2x
2
2
1¡© p
Kº (x) dx =
sec(º¼) [Jº (a)] + [Nº (a)]
x
4
2x
¸
∙
1
:
Re a > 0; j Re º j <
2
ET II 370(46)
784
6.786
Z
1
xº¡2¹+2n+2 ex2 ¡(¹; x2 )Nº (bx) dx =
0
¶ •
¶
•
3
3
• 2¶
• 2¶
¡¹+º +n ¡
¡¹+n
¡
b
b
2
2
n
= (¡1)
exp
W¹¡ 12 º¡n¡1; 12 º
b¡(1 ¡ ¹)
8
4
∙
¸
3
1
3
n ¡ an integer, b > 0; Re(º ¡ ¹ + n) > ¡ ; Re(¡¹ + n) > ¡ ; Re º < ¡ 2n :
2
2
2
ET II 108(2)
6.787
Z
1
0
1
xº+2n¡ 2
Jº (bx) dx = 0
B(a + x; a ¡ x)
∙
¼ ∙ b < 1;
7
¡1 < Re º < 2a ¡ 2n ¡
2
¸
:
ET II 92(21)
6.79 Integration of Bessel functions with respect to the order
6.791
1:
Z
1
Kix+iy (a)Kix+iz (b) dx = ¼Kiy¡iz (a + b)
¡1
[j arg aj + j arg bj < ¼] :
ET II 382(21)
2:
Z
1
Jº¡x (a)J¹+x (a) dx = J¹+º (2a)
[Re(¹ + º) > 1] :
¡1
ET II 379(1)
3:
Z
1
J{+x (a)J¸¡x (a)J¹+x (a)Jº¡x (a) dx =
¡1
=
¡({ + ¸ + ¹ + º + 1)
£
¡({ + ¸ + 1)¡(¸ + ¹ + 1)¡(¹ + º + 1)¡(º + { + 1)
•
{+ ¸ + ¹ + º + 1 {+ ¸ + ¹ + º + 1 {+ ¸ + ¹ + º
{+ ¸ + ¹ + º
£ 4 F5
;
;
+ 1;
+ 1;
2
2
2
2
{ + ¸ + ¹ + º + 1; { + ¸ + 1; ¸ + ¹ + 1; ¹ + º + 1; º + { + 1; ¡4a2 )
[Re({ + ¸ + ¹ + º) > ¡1] :
ET II 379(3)
6.792
1:
Z
1
¡1
e¼x Kix+iy (a)Kix+iz (b) dx = ¼e¡¼z Ki(y¡z) (a ¡ b)
[a > b > 0] :
ET II 382(22)
2:
Z
1
¡1
i%x
e
Kº+ix (®)Kº¡ix (¯) dx = ¼
•
¶º
´
³p
®e½ + ¯
2 + ¯ 2 + 2®¯ ch %
K
®
2º
® + ¯e½
[j arg ®j + j arg ¯ j + j Im %j < ¼] :
Z
3:
1
¡1
[0 < ° < ¼;
e(¼¡°)x Kix+iy (a)Kix+iz (b) dx = ¼e¡¯y¡®z Kiy¡iz (c)
a > 0;
b > 0;
®; ¯; ° ¡ ¡ ¡ the angles of the triangle with sides a; b; c ] :
c > 0;
ET II 382(24), EH II 55(44)a
785
Z
4:
1
¡cxi
e
¡1
h=
Z
5:
1
¡1
q
• ¶2º
h
(2)
= 2i
H2º (hk);
k
q
1
1
k = ae¡ 2 c + be 2 c
[a; b > 0;
(2)
(2)
Hº¡ix (a)Hº+ix (b) dx
1
1
ae 2 c + be¡ 2 c ;
Im c = 0] :
ET II 380(11)
a¡¹¡x b¡º+x ecxi J¹+x (a)Jº¡x (b) dx =
2
2 cos
³c´
3 12 ¹+ 21 º
2
5
=4
1
1
a2 e¡ 2 ci + b2 e 2 ci
=0
[a > 0;
½h
i
³c´³
´i 12 ¾
2 ¡ 12 ci
2 12 ci
exp (º ¡ ¹)i J¹+º
a e
+b e
2 cos
2
2
hc
[b > 0; a > 0; jcj < ¼; Re(¹ + º) > 1] ;
b > 0; jcj ¸ ¼; Re(¹ + º) > 1] :
EH II 54(41), ET II 379(2)
6.793
Z
1:
Z
2:
3:
£
¤
Z
• ¶2º
h
e
[Jº¡ix (a)Nº+ix (b) + Nº¡ix (a)Jº+ix (b)] dx = ¡2
J2º (hk);
k
¡1
q
q
1
1
1
1
h = ae 2 c + be¡ 2 c ;
k = ae¡ 2 c + be 2 c
[a; b > 0; Im c = 0] :
ET II 380(9)
• ¶2º
h
e¡cxi [Jº¡ix (a)Jº+ix (b) ¡ Nº¡ix (a)Nº+ix (b)] dx = 2
N2º (hk);
k
¡1
q
q
1
1
1
1
h = ae 2 c + be¡ 2 c ;
k = ae¡ 2 c + be 2 c
[a; b > 0; Im c = 0] :
ET II 380(10)
1
¡cxi
1
1
¡1
®; ¯; ° 2 R ;
1
ei°x sech(¼x) [J¡ix (®)Jix (¯) ¡ Jix (®)J¡ix (¯)] dx = 2iH(¾) sgn(¯ ¡®)J0 (¾ 2 )
®; ¯ > 0;
¾ = ®2 + ¯ 2 ¡ 2®¯ cosh °;
H(¾) the Heaviside step function
¤
:
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
Kix (a)Kix (b) ch [(¼ ¡ ')x] dx =
1
ch
0
1
³¼ ´
¼
x Kix (a) dx =
2
2
EH II 55(42)
[a > 0] :
ET II 382(19)
ch(%x)Kix+º (a)K¡ix+º (a) dx =
0
´
³p
¼
K0
a2 + b2 ¡ 2ab cos ' :
2
h
³ % ´i
¼
K2º 2a cos
2
2
[2j arg aj + j Re %j < ¼] :
ET II 383(28)
4:
5:
Z
Z
1
sech
¡1
1
³¼ ´
x Jix (a) dx = 2 sin a
2
cosech
¡1
[a > 0] :
ET II 380(6)
³¼ ´
x Jix (a) dx = ¡2i cos a
2
[a > 0] :
ET II 380(7)
786
6:
7:
8:
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
n
o
2
2
sech(¼x) [Jix (a)] + [Nix (a)]
dx = ¡N0 (2a)¡E0 (2a)
x sh
³¼ ´
¼a
x Kix (a) dx =
2
2
x •(¼x)Kix (¯)Kix (®) dx =
[a > 0] :
ET II 380(12)
[a > 0] :
ET II 382(20)
¼ p exp (¡¯ ¡ ®)
®¯
2
®+¯
[j arg ¯ j < ¼;
j arg ®j < ¼] :
ET II 175(4)
9:
Z
1
0
x sh(¼x)K2ix (®)Kix (¯) dx =
•
¶
3
¼2®
®2
exp
¡
¯
¡
5p
8¯
22 ¯
h
¯ > 0;
j arg ®j <
¼i
:
4
10:
Z
1
0
x sh(¼x)
¼2
Kix (®)Kix (¯) dx =
In (¯)Kn (®)
2
2
x +n
2
¼2
In (®)Kn (¯)
=
2
[0 < ¯ < ®;
n = 0; 1; 2; . . . ] ;
[0 < ® < ¯;
n = 0; 1; 2; . . . ] :
ET II 176(8)
11:
12:
Z
Z
1
0
1
0
∙
•
¶¸
° ®
¼2
¯
®¯
x sh(¼x)Kix (®)Kix (¯)Kix (°) dx =
exp ¡
+ + 2
4
2 ¯
®
°
i
h
¼
j arg ®j + j arg ¯ j < ; ° > 0
2
ET II 176(9)
"
#
p
³¼ ´
¼2°
(® + ¯) ° 2 + 4®¯
p
x sh
x K 12 ix (®)K 12 ix (¯)Kix (°) dx = p
exp ¡
2
2 ®¯
2 ° 2 + 4®¯
[j arg ®j + j arg ¯ j < ¼; ° > 0] :
ET II 176(10)
13:
Z
1
0
x sh(¼x)K 12 ix+¸ (®)K 12 ix¡¸ (®)Kix (°) dx = 0
[0 < ° < 2®] ;
£
¼2 °
22¸+1 ®2¸ z
[0 < 2® < °] :
=
z=
p
° 2 ¡ 4®2
¤
(° + z)2¸ + (° ¡ z)2¸ ;
ET II 176(11)
6.795
1:
2:
3:
Z
Z
Z
1
0
1
0
cos(bx)Kix (a) dx =
¼ ¡a ch b
e
2
Jx (ax)J¡x (ax) cos(¼x) dx =
h
j Im bj <
1
1
(1 ¡ a2 )¡ 2
4
¼
;
2
i
a>0 :
EH II 55(46), ET II 175(2)
[jaj < 1] :
ET II 380(4)
1
0
x sin(ax)Kix (b) dx =
¼b
sh a exp(¡b ch a)
2
h
j Im aj <
¼
;
2
i
b>0 :
787
4:
Z
1
¡1
sin [(º + ix)¼]
Kº+ix (a)Kº¡ix (b) dx = ¼ 2 In (a)Kn+2º (b)
n + º + ix
= ¼ 2 Kn+2º (a)In (b)
[0 < a < b;
n = 0; 1; . . . ] ;
[0 < b < a;
n = 0; 1; . . . ] :
ET II 382(25)
5:
Z
1
x sin
0
•
¶
¶
•
3
b2
1
¼2b
¼x K 1 ix (a)Kix (b) dx = p exp ¡a ¡
2
2
8a
2a
h
j arg aj <
¼
;
2
i
b>0 :
ET II 175(6)
6.796
1:
Z
1
1
e 2 ¼x cos(bx)
Jix (a) dx = ¡i exp(ia ch b)
sh(¼x)
¡1
[a > 0;
b > 0] :
ET II 380(8)
2:
Z
1
cos(bx) ch
0
•
¶
¼
1
¼x Kix (a) dx = cos(a sh b):
2
2
EH II 55(47)
3:
Z
1
0
sin(bx) sh
•
¶
¼
1
¼x Kix (a) dx = sin(a sh b):
2
2
EH II 55(48)
4:
Z
1
0
∙
• ¶¸
¼2
b
cos(bx) ch(¼x) [Kix (a)] dx = ¡ N0 2a sh
4
2
2
[a > 0;
b > 0] :
ET II 383(27)
5:
Z
1
0
2
sin(bx) sh(¼x) [Kix (a)] dx =
∙
• ¶¸
¼2
b
J0 2a sh
4
2
[a > 0;
b > 0] :
ET II 382(26)
6.797
6.797
1:
Z
1
0
(2)
(2)
xe¼x sh(¼x)¡(º + ix)¡(º ¡ ix)Hix (a)Hix (b) dx =
¶
•
p
1
º
+ º (ab)º (a+b)¡º Kº (a+b)
= i2 ¼¡
[a > 0;
2
b > 0;
Re º > 0] :
ET II 381(14)
2:
Z
1
0
3
(2)
(2)
i¼ 2 2º
¶ (b¡a)¡º Hº(2) (b¡a)
•
1
¡º
¡
2
¸
1
0 < Re º <
:
2
xe¼x sh(¼x) ch(¼x)¡(º+ix)¡(º ¡ix)Hix (a)Hix (b) dx =
∙
0 < a < b;
ET II 381(15)
3:
4:
Z
Z
¶ •
¶
º ¡ ix
(2)
(2)
xe sh(¼x)¡
¡
Hix (a)Hix (b) dx =
2
³p
´
1
= i¼22¡º (ab)º (a2 +b2 )¡ 2 º Hº(2)
a2 + b2
[a > 0; b > 0;
1
0
1
0
¼x
•
º + ix
2
Re º > 0] :
•
¶
3
1
x sh(¼x)¡(¸+ix)¡(¸¡ix)Kix (a)Kix (b) dx = 2º¡1 ¼ 2 (ab)¸ (a+b)¡¸ ¡ ¸ +
K¸ (a+b)
2
[j arg aj < ¼; Re ¸ > 0; b > 0] :
ET II 381(16)
ET II 176(12)
788
5:
Z
1
0
•
¶¸
5
2¸ ¼ 2
ab
¶
x sh(2¼x)¡(¸+ix)¡(¸¡ix)Kix (a)Kix (b) dx = •
K¸ (jb¡aj)
1
jb ¡ aj
¡¸
¡
2
∙
¸
1
a > 0; 0 < Re ¸ < ; b > 0 :
2
ET II 176(13)
6:
Z
1
0
•
¶ •
¶
•
¶
³p
´
1
1
ab
p
x sh(¼x)¡ ¸ + ix ¡ ¸ ¡ ix Kix (a)Kix (b) dx = 2¼ 2
a2 + b2
K2¸
2
2
2 a2i+ b2
h
¼
j arg aj < ; Re ¸ > 0; b > 0 :
2
7:
Z
1
0
1
x •(¼x)Kix (a)Kix (b)
¶ •
¶ dx =
•
3 1
3 1
2
¡ ix
+ ix ¡
¡
4 2
4 2
r
³ p
´
¼ab
2 + b2
¡
exp
a
a2 + b2
h
j arg aj <
¼
;
2
i
b>0 ;
(see also 7.335).
7.335
ET II 177(15)
6.8 Functions Generated by Bessel Functions
6.81 Struve functions
6.811
1:
Z
1
0
ctg
Hº (bx) dx = ¡
³ º¼ ´
2
b
[¡2 < Re º < 0;
b > 0] :
ET II 158(1)
2:
Z
1
0
Hº
•
a2
x
¶
Hº (bx) dx = ¡
³ p ´
J2º 2a b
∙
b
a > 0;
b > 0;
¸
3
Re º > ¡
:
2
ET II 170(37)
3:
Z
1
0
Hº¡1
•
a2
x
¶
Hº (bx)
³ p ´∙
dx
1
= ¡ p J2º¡1 2a b a > 0;
x
a b
b > 0;
Re º > ¡
¸
1
:
2
ET II 170(38)
6.812
1:
Z
1
0
H1 (bx) dx
¼
=
[I1 (ab) ¡ L1 (ab)]
2
2
x +a
2a
[Re a > 0;
b > 0] :
ET II 158(6)
2:
Z
1
0
³ º¼ ´
¶
•
Hº (bx)
¼
3 ¡ º 3 + º a2 b2
2
³
´
dx
=
¡
(ab)+
F
;
;
L
1;
º
1 2
º¼
x2 + a2
1 ¡ º2
2
2
2
2a sin
2
[Re a > 0; b > 0; j Re º j < 2] :
b ctg
¶
s+º
•
¶
Z 1
2 ¡
s+º
2
•
¶ tg
¼
xs¡1 Hº (ax) dx =
1
1
2
0
as ¡
º ¡ s+1
2
2
∙
•
¶¸
3
a > 0; ¡1 ¡ Re º < Re s < min
; 1 ¡ Re º
:
2
s¡1
1:
•
WA 429(2), ET I 335(52)
2:
Z
1
¡º¡1
x
0
2¡º¡1 ¼
Hº (x) dx =
¡(º + 1)
∙
¸
3
Re º > ¡
:
2
ET II 383(2)
3:
Z
1
¡¹¡º
x
0
p
2¡¹¡º ¼¡(¹ + º)
¶ •
¶ •
¶
H¹ (x)Hº (x) dx = •
1
1
1
¡ ¹+
¡ º+
¡ ¹+º+
2
2
2
[Re(¹ + º) > 0] :
WA 435(2), ET II 384(8)
4:
Z
1
º+1
x
0
1
Hº (ax) dx = Hº+1 (a)
a
∙
a > 0;
¸
3
Re º > ¡
:
2
ET II 158(2)a
5:
Z
1
x1¡º Hº (ax) dx =
0
aº¡1
1
•
¶ ¡ Hº¡1 (a)
p
1
a
2º¡1 ¼¡ º +
2
[a > 0] :
ET II 158(3)a
6.814
1:
∙
Z
1
0
Re a > 0;
¯
¶
•
3
x¸ Hº (bx)
1 a¸+2¹¡ 2 22 a2 b2 ¯¯
l; m
dx = p
G24
;
(x2 + a2 )1¡¹
4 ¯ l; m ¡ ¹; h; k
2b ¡(1 ¡ ¹)
1 º
3 º
3 ¸
1 º
h= + ; k= ¡ ; l= + ; m= ¡
4
2
4
2
4
2
4
2
¸
5
b > 0; Re(¸ + º) > ¡2; Re(¸ + 2¹) < ; Re(¸ + 2¹ + º) < 2 :
2
ET II 159(10)
2:
Z
1
xº+1 Hº (bx)
2¹¡1 ¼a¹+º b¡¹
dx
=
[I¡¹¡º (ab) ¡ L¹+º (ab)]
(x2 + a2 )1¡¹
¡(1 ¡ ¹) cos [(¹ + º)¼]
∙0
¸
1
3
3
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡ ; Re(¹ + º) < ; Re(2¹ + º) <
:
2
2
2
6.815
Z
1:
1
x
1
2º
0
¹¡1
(1¡x)
p
Hº (a x) dx = 2¹ a¡¹ ¡(¹)H¹+º (a)
∙
3
Re º > ¡ ;
2
¸
Re ¹ > 0 :
ET II 199(88)a
790
Z
2:
1
¸¡ 12 º¡ 32
x
0
¹¡1
(1¡x)
p
Hº (a x) dx =
¶
•
B(¸; ¹)aº+1
3
a2
3
¢ 2 F3 1; ¸; ; º + ; ¸ + ¹; ¡
p ¡
2
2
4
2º ¼¡ º + 32
[Re ¸ > 0; Re ¹ > 0] :
ET II 199(89)a
6.82 Combinations of Struve functions, exponentials, and powers
6.821
1:
2:
3:
4:
6
6
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
e¡®x H¡n¡ 12 (¯x) dx = (¡1)n ¯ n+ 2 (®+
1
e¡®x L¡n¡ 12 (¯x) dx = ¯ n+ 2 (®+
¡®x
e
2
H0 (¯x) dx =
¼
ln
p
Ãp
p
1
®2 ¡ ¯ 2 )¡n¡ 2 p
®2 + ¯ 2 + ¯
®
p
®2 + ¯ 2
• ¶
¯
arcsin
1
2
®
p
e¡®x L0 (¯x) dx =
¼
®2 + ¯ 2
0
!
1
1
®2 + ¯ 2 )¡n¡ 2 p
®2
+ ¯2
1
®2
¡ ¯2
[Re ® > j Im ¯ j] :
ET I 206(6)
[Re ® > j Re ¯ j] :
ET I 208(26)
[Re ® > j Im ¯ j] :
ET II 205(1)
[Re ® > j Re ¯ j] :
ET II 207(18)
6.822
Z
1
(º+1)x
e
Hº (a sh x) dx =
0
r
³a´
h ³a´
³a´
³ a ´i
¼
¡ ch
cosec(º¼) sh
Iº+ 21
I¡º¡ 12
a
2
2
2
2
[Re a > 0; ¡2 < Re º < 0] :
ET II 385(11)
6.823
1:
Z
1
¸ ¡®x
x e
0
•
¶
bº+1 ¡(¸ + º + 2)
¸+º +3 3
3
b2
¸+º
¶
•
Hº (bx) dx =
+ 1;
; ;º+ ;¡ 2
3 F2 1;
p
3
2
2
2
2
a
2º a¸+º+2 ¼¡ º +
2
[Re a > 0; b > 0; Re(¸ + º) > ¡2] :
ET II 161(19)
¶
• ¶º
1
¯
• ¶
Z 1
(2¯) ¡ º +
¡(2º + 1)
1 ¯
1
2
®
º ¡®x
x e
Lº (¯x) dx =
P º¡ º¡
´2º+1 ¡ r
p ³p 2
2
2 ®
¼
0
2
2 12 º+ 14
¼
® ¡ ¯2
®(¯ ¡ ® )
2
∙
¸
1
Re ® > j Re ¯ j; Re º > ¡
:
2
º
2:
•
ET I 209(35)a
791
6.824
1:
2:
Z
Z
1
º ¡at
t e
0
1
0
º ¡at
t e
³ p´
L2º 2 t dt =
³p ´
L¡2º
t dt =
1
a2º+1
1
a
e ©
•
1
p
a
¶
:
MI 51
¡
•
1
1
¡ 2º
2
¶
1
a
e °
2º+1
a
•
1
1
¡ 2º;
2
a
¶
:
MI 51
6.825
Z
¶
s
º
1
•
¶
+
+
1
º+s+1 3
3
¯2
2 2
2
s¡1 ¡®2 x2
•
¶ 2 F2 1;
x e
Hº (¯x) dx =
; ;º+ ;¡ 2
p
3
2
2
2
4®
0
2º+1 ¼®º+s+1 ¡ º +
2
h
¼i
Re s > ¡ Re º ¡ 1; j arg ®j <
:
4
¯ º+1 ¡
•
6.83 Combinations of Struve and trigonometric functions
6.831
Z
1
∙
x¡º sin(ax)Hº (bx) dx = 0
0
=
p
¼2
Re º > ¡
0 < b < a;
¡º ¡º
b
¡
¢ º¡ 12
b2 ¡ a2
•
¶
1
¡ º+
2
¸
1
;
2
∙
0 < a < b;
¸
1
Re º > ¡
:
2
ET II 162(21)
6.832
Z
1
0
p
2 2
x sin(ax)H 14 (b x ) dx = ¡2
¡ 32
p
¼
p
a
b2
N 14
•
a2
4b2
¶
[a > 0] :
ET I 109(14)
6.84- 6.85 Combinations of Struve and Bessel functions
6.841
Z
1
0
Hº¡1 (ax)Nº (bx) dx = ¡aº¡1 b¡º
∙
=0
¸
1
;
0 < b < a; j Re º j <
2
∙
¸
1
0 < a < b; j Re º j <
:
2
ET II 114(36)
6.842
Z
1
0
∙
¸
4
ja ¡ b j
[H0 (ax) ¡ N0 (ax)] J0 (bx) dx =
K
¼(a + b)
a+b
[a > 0;
b > 0] :
ET II 15(22)
6.843
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
¡ p ¢
1
J2º a x Hº (bx) dx = ¡ Nº
b
K2º
¡
•
a2
4b
¶
∙
a > 0;
p ¢
2º
¡(º+1)S¡º¡1; º
2a x Hº (bx) dx =
¼b
b > 0;
5
¡1 < Re º <
4
¸
:
ET II 164(10)
•
a2
b
¶
[Re a > 0;
b > 0;
Re º > ¡1] :
792
6.844
Z
1
0
∙
•
¶
¶
¸
¡ p ¢
¡ p ¢
¡ p ¢
¹¡º
¹¡º
¼ J¹ a x ¡ sin
¼ N¹ a x K¹ a x Hº (bx) dx =
2
2
• 2¶
• 2¶
h
i
¼
1
a
a
j arg aj < ; b > 0; Re º > j Re ¹j ¡ 2 :
W¡ 21 º; 12 ¹
= 2 W 12 º; 12 ¹
a
2b
2b
4
cos
•
ET II 169(35)
6.845
Z
1:
1
0
h
H¡º
³a´
x
¡ N¡º
³ a ´i
x
³ p ´
4
Jº (bx) dx =
cos(º¼)K2º 2 ab
¼b
¸
∙
1
j arg aj < ¼; b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 73(7)
Z
2:
1
0
∙
J¡º
•
a2
x
¶
+ sin (º¼) Hº
•
a2
x
¶¸
∙
¸
∙
p
p
1 2
K2º (2a b) ¡ N2º (2a b)
b ¼
¸
3
b > 0; ¡ < Re º < 0 :
2
Hº (bx) dx =
a > 0;
ET II 170(39)
6.846
Z
1
0
∙
¸
• 2¶
¡ p ¢
¡ p ¢
1
2
a
K2º 2a x + N2º 2a x Hº (bx) dx = Jº
¼
b
b
∙
a > 0;
b > 0;
j Re º j <
¸
1
:
2
ET II 169(30)
6.847
Z
1
0
h
cos
i
º¼
¼
dx
º¼
Jº (ax) + sin
Hº (ax)
=
[Iº (ak) ¡ Lº (ak)]
2
2
2
2
x +k
2k
∙
¸
1
a > 0; Re k > 0; ¡ < Re º < 2 :
2
ET II 384(5)A, WA 467(8)
6.848
1:
Z
1
0
2 ³ a ´º¡1
1
x [Iº (ax) ¡ L¡º (ax)] Jº (bx) dx =
cos(º¼) 2
¼ b
a + b2
∙
¸
1
Re a > 0; b > 0; ¡1 < Re º < ¡
:
2
2:
Z
1
0
cos(º¼) º¡1 1
b
x [H¡º (ax) ¡ N¡º (ax)] Jº (bx) dx = 2 º
a ¼
a+b
∙
1
j arg aj < ¼; ¡ < Re º;
2
¸
b>0 :
ET II 73(5)
6.849
1:
Z
1
¡º¡1 º+1
xKº (ax)Hº (bx) dx = a
0
b
1
2
a + b2
∙
Re a > 0;
¸
3
:
Re º > ¡
2
b > 0;
ET II 164(12)
793
2:
Z
1
0
2
x [K¹ (ax)] H0 (bx) dx = ¡2
¡¹¡1
¤
(z + b)2¹ + (z ¡ b)2¹
¼a
sec(¹¼);
bz
¸
∙
3
:
Re a > 0; b > 0; j Re ¹j <
2
¡2¹
£
z=
p
4a2 + b2
ET II 166(18)
6.851
1:
Z
1
x
0
½h
∙
¸
3
0 < b < 2a; ¡ < Re º < 0 ;
2
¸
∙
4
1
3
p
=
0 < 2a < b; ¡ < Re º < 0 :
¼b b2 ¡ 4a2
2
i2 h
i 2¾
J 12 º (ax) ¡ N 12 º (ax)
Hº (bx)dx = 0
ET II 164(7)
2:
Z
n
o
2
2
xº+1 [Jº (ax)] ¡ [Nº (ax)] Hº (bx) dx =
∙
¸
3
=0
0 < b < 2a; ¡ < Re º < 0 ;
4
∙
23º+2 a2º b¡º¡1 2
1
2
¡º¡
2
¶ (b ¡ 4a )
•
=
0 < 2a < b;
p
1
¡º
¼¡
2
1
0
¸
3
¡ < Re º < 0 :
4
ET II 163(6)
6.852
1:
Z
1
0
1¡¹¡º
x
(2º ¡ 1)2¡¹¡º
•
¶ •
¶
Jº (x)H¹ (x) dx =
1
1
(¹ + º ¡ 1)¡ ¹ +
¡ º+
2
2
∙
¸
1
Re º > ; Re(¹ + º) > 1 :
2
Z
2:
1
0
x¹¡º+1 N¹ (ax)Hº (bx) dx =
∙
¸
1
3
=0
0 < b < a; Re(º ¡ ¹) > 0; ¡ < Re ¹ <
;
2
2
∙
21+¹¡º a¹ b¡º 2 2 º¡¹¡1
(b ¡a )
=
0 < a < b; Re(º ¡ ¹) > 0;
¡(º ¡ ¹)
1
3
¡ < Re ¹ <
2
2
¸
:
ET II 163(3)
Z
3:
1
¹+º+1
x
0
•
¶ •
¶
2¹+º+1 bº+1
3
3 3
b2
K¹ (ax)Hº (bx) dx = p ¹+2º+3 ¡ ¹ + º +
F 1; ¹ + º + ; ; ¡ 2
¼a
2
2 2
a
¸
∙
3
3
:
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡ ; Re(¹ + º) > ¡
2
2
ET II 165(13)
794
6.853
1:
Z
1
0
x1¡¹ [sin(¹¼)J¹+º (ax) + cos(¹¼)N¹+º (ax)] Hº (bx) dx =
∙
¸
3
3
1
=0
0 < b < a; 1 < Re ¹ < ; Re º > ¡ ; Re(º ¡ ¹) <
;
2
2
2
∙
¸
3
1
bº (b2 ¡ a2 )¹¡1
3
= ¹¡1 ¹+º
0 < a < b; 1 < Re ¹ < ; Re º > ¡ ; Re(º ¡ ¹) <
:
2
a
¡(¹)
2
2
2
ET II 163(4)
2:
Z
1
1
x¸+ 2 [I¹ (ax) ¡ L¡¹ (ax)] Jº (bx) dx =
0
1
0 ¯
¹
¹
1+¹
¯
;
1
¡
;
1
+
2 ¯
1 cos(¹¼)
3
C
Bb ¯
2
2
2
= 2¸+ 2
b¡¸¡ 2 G22
A
33 @ 2 ¯ 3
¸
+
º
1
+
¹
3
¸
¡
º
¯
¼
a
;
; +
¯ +
4
2
2
4
2
∙
¸
3
5
Re a > 0; b > 0; Re(¹ + º + ¸) > ¡ ; ¡ Re º ¡ < Re(¸ ¡ ¹) < 1 :
2
2
ET II 76(21)
3:
Z
1
0
1
x¸+ 2 [H¹ (ax) ¡ N¹ (ax)] Jº (bx) dx =
0 ¯
1
1¡¹
¹
¹
¯
;
1
¡
;
1
+
2 ¯
3
1 cos(¹¼)
Bb ¯
C
2
2
2
= 2¸+ 2
b¡¸¡ 2 G23
A
33 @ 2 ¯ 3
2
¸
+
º
1
¡
¹
3
¸
¡
º
¯
¼
a
;
; +
¯ +
4
2
2
4
2
∙
¸
3
b > 0; j arg aj < ¼; Re(¸ + ¹) < 1; Re(¸ + º) + > j Re ¹j :
2
4:
Z
1p
0
r
i
2 º¡ 1 ¡º
1
x Iº¡ 12 (ax) ¡ Lº¡ 12 (ax) Jº (bx) dx =
a 2b p
2
¼
a + b2 ¸
∙
1
:
Re a > 0; b > 0; j Re º j <
2
h
ET II 74(11)
5:
Z
1
0
¹¡º+1
x
•
¶
1
2¹¡º+1 a¹¡1 bº¡2¹¡1
1
b2
¶ F 1; ; º ¡ ¹ + ; ¡ 2
•
[I¹ (ax) ¡ L¹ (ax)] Jº (bx) dx =
p
1
2
2
a
¼¡ º ¡ ¹ +
2
¸
∙
1
¡1 < 2 Re ¹ + 1 < Re º + ; Re a > 0; b > 0 :
2
ET II 74(13)
795
6:
Z
1
0
•
¶
2¹¡º+1 a¡¹¡1 bº¡1
1
b2
1
•
¶ •
¶ F 1; + ¹; + º; ¡ 2
1
1
2
2
a
¡
¡¹ ¡
+º
2
2
¸
1
Re º > ¡ ; Re ¹ > ¡1; b > 0 :
2
x¹¡º+1 [I¹ (ax) ¡ L¡¹ (ax)] Jº (bx) dx =
∙
Re a > 0;
ET II 75(18)
6.854
1:
Z
1
0
¡
xH 12 º (ax2 )Kº (bx) dx =
•
1
º+1
2
1
21¡ 2 º a¼
¶
S¡ 12 º¡1; 21 º
•
b2
4a
¶
[a > 0;
Re º > ¡2] :
Re b > 0;
ET II 150(75)
2:
Z
1
0
1
xH 12 º (ax )Jº (bx) dx = ¡ N 12 º
2a
2
•
b2
4a
¶
∙
a > 0;
b > 0;
3
¡2 < Re º <
2
¸
:
ET II 73(3)
6.855
1:
Z
1
0
1
h
³a´
³ a ´i
³p ´
p
1
3
aº+ 2
x2º+ 2 Iº+ 21
¡ Lº+ 12
Jº (bx) dx = 2 2 p º+1 J2º+1
2ab K2º+1 ( 2ab)
x
x
¼b
∙
¸
1
Re a > 0; b > 0; ¡1 < Re º <
:
2
2:
Z
1
0
h
H¡º¡1
³a´
x
¡ N¡º¡1
³ a ´i
x
³ p ´
dx
4
Jº (bx)
= ¡ p cos(º¼)K¡2º¡1 2 ab
x
¼ ab
¸
∙
1
j arg aj < ¼; b > 0; j Re º j <
:
2
ET II 74(8)
3:
Z
h
³a´
³ a ´i
1
¡ Nº+ 12
x2º+ 2 Hº+ 12
Jº (bx) dx =
x
x
³p
´
³p
´
5
1
1
3
1
= ¡2 2 ¼ ¡ 2 aº+ 2 b¡º¡1 sin(º¼)K2º+1
2abe 4 ¼i K2º+1
2abe¡ 4 ¼i
¸
∙
1
:
j arg aj < ¼; b > 0; ¡1 < Re º < ¡
6
1
0
ET II 74(9)
6.856
Z
1
0
• 2¶
¡ p ¢
¡ p ¢
1
a
xNº a x Kº a x Hº (bx) dx = 2 exp ¡
2b
2b
∙
¸
3
¼
b > 0; j arg aj < ; Re º > ¡
:
4
2
ET II 169(32)
796
6.857
1:
Z
0
•
¶
a2 x2
Hº (bx) dx =
8
• 2 ¶
• 2¶
³ º¼ ´ • 1 ¶
2
º
b
b
º
= p a¡ 2 ¡1 b 2 ¡1 cos
¡ ¡ º exp
W
;
k; m
¼
2
2
2a2
a2
∙
¸
1 1
3
3
1
m= + º
j arg aj < ¼; b > 0; ¡ < Re º < 0 :
k = º;
4
2 4
4
2
1
x exp
a2 x2
8
¶
K 12 º
•
ET II 167(24)
2:
Z
•
¶
•
¶
1
1 2 2
x¾¡2 exp ¡ a2 x2 K¹
a x Hº (bx) dx =
2
2
¶
•
¶ •
º+¾
º +¾
p
¡¹
¡
+¹ ¡
¼
2
2
¶ •
¶ £
= º+2 a¡º¡¾ bº+1 • ¶ •
3
3
º+¾
2
¡
¡ º+
¡
2
2
2
•
¶
3
º+¾
3 º+¾
b2
º +¾
¡ ¹; ; º + ;
+ ¹;
;¡ 2
£ 3 F3 1;
2
2
2
2
2
4a
i
h
¼
b > 0; j arg aj < ; Re(¾ + º) > 2j Re ¹j :
4
1
0
ET II 167(23)
6.86 Lommel functions
6.861
Z
1
¡
x¸¡1 s¹; º (x) dx =
0
∙
¸ ∙
¸ ∙
¸ ∙
¸
1
1
1
1
(1 + ¸ + ¹) ¡ (1 ¡ ¸ ¡ ¹) ¡ (1 + ¹ + º) ¡ (1 + ¹ ¡ º)
2
2
2
2
∙
¸ ∙
¸
1
1
22¡¸¡¹ ¡ (º ¡ ¸) + 1 ¡ 1 ¡ (¸ + º)
2
2
¸
∙
5
¡ Re ¹ < Re ¸ + 1 <
:
2
ET II 385(17)
6.862
1:
Z
u
0
¡ p ¢
1
1
x¸¡ 2 ¹¡ 2 (u ¡ x)¾¡1 s¹; º a x dx =
a¹+1 u¸+¾ ¡(¸ + 1)
£
(¹ ¡ º + 1)(¹ + º + 1)¡(¸ + ¾ + 1)
¶
•
a2 u
¹¡º+3 ¹+º +3
£ 2 F3 1; 1 + ¸;
;
; ¸ + ¾ + 1; ¡
2
2
4
= ¡(¾)
[Re ¸ > ¡1;
Re ¾ > 0] :
ET II 199(92)
797
2:
¸
1
1
1
Z 1
B ¹; (1 ¡ ¸ ¡ º) ¡ ¹ u 2 ¹+ 2 º
¡ p ¢
p
1
2
x 2 º (x¡u)¹¡1 S¸; º (a x) dx =
S¸+¹; ¹+º a u
¹
a
u
£
¤
p
j arg(a u)j < ¼; 0 < 2 Re ¹ < 1 ¡ Re(¸ + º) :
∙
ET II 211(71)
6.863
Z
1
0
p
¡®x
xe
s¹; 14
•
x2
2
¶
dx = 2
¡2¹¡1
p
•
3
®¡ 2¹ +
2
¶
S¡¹¡1; 41
•
®2
2
¶
∙
¸
3
Re ® > 0; Re ¹ > ¡
:
4
ET I 209(38)
6.864
Z
1
0
exp [(¹ + 1)x] s¹; º (a sh x) dx = 2¹¡2 ¼ cosec(¹¼)¡(%)¡(¾) £
h ³a´ ³a´
³a´
³ a ´i
£ I%
I¾
¡ I¡%
I¡¾
;
2
2
2
2
2% = ¹ + º + 1; 2¾ = ¹ ¡ º + 1
[a > 0; ¡2 < Re ¹ < 0] :
Z
1
0
p
B
sh x ch(ºx)S¹; 12 (a ch x) dx =
•
¶
1 ¹+º 1 ¹¡º
¡
; ¡
4
2
4
2
S¹+ 12 ; º (a)
p ¹+ 3
a2 2
¸
∙
1
j arg aj < ¼; Re ¹ + j Re º j <
2
ET II 388(31)
6.866
1:
Z
1
x¡¹¡1 cos(ax)s¹; º (x) dx =
0
=0
[a > 1] ;
•
¶ •
¶
p
¹+º+1
¹¡º+1
1
1
¡¹¡ 1
¹¡ 21
¼¡
¡
(1¡a2 ) 2 ¹+ 4 Pº¡ 1 2 (a)
=2
2
2
2
[0 < a < 1] :
ET II 386(18)
2:
Z
1
¡¹
x
sin(ax)S¹; º (x) dx = 2
¡¹¡ 12
0
p
•
¶ •
¶
1
¹+º
1
¹¡º
¹¡ 1
¼¡ 1 ¡
¡ 1¡
(a2 ¡1) 2 ¹¡ 4 Pº¡ 12 (a)
2
2
2
[a > 1; Re ¹ < 1 ¡ j Re º j] :
ET II 387(23)
6.867
1:
Z
¼
2
cos(2¹x)S2¹¡1; 2º (a cos x) dx =
0
=
³a´
³a´
³a´
³ a ´i
¼22¹¡3 a2¹ cosec(2º¼) h
J¹+º
N¹¡º
¡ J¹¡º
N¹+º
¡(1 ¡ ¹ ¡ º)¡(1 ¡ ¹ + º)
2
2
2
2
[Re ¹ > ¡2; j Re º j < 1] :
ET II 388(29)
798
2:
Z
¼
2
cos [(¹ + 1)x] s¹; º (a cos x) dx = 2¹¡2 ¼¡(%)¡(¾)J%
0
2% = ¹+º+1;
³a´
J¾
2
2¾ = ¹¡º+1
³a´
2
;
[Re ¹ > ¡2] :
ET II 386(21)
6.868
Z
¼
2
0
¡ ¼¢
¡
cos(2¹x)
¼22¹¡1
¼ ¢
S2¹; 2º (a sec x) dx =
W¹; º aei 2 W¹; º ae¡i 2
cos x
a
[j arg aj < ¼;
Re ¹ < 1] :
6.869
1:
Z
1
0
1¡¹¡º
x
p
¼aº¡1 ¡(1 ¡ ¹ ¡ º) 2
1
¹+º¡1
¶ (a ¡1) 2 (¹+º¡1) P¹+º
•
(a)
1
2¹+2º ¡ º +
2
∙
¸
1
a > 1; Re º > ¡ ; Re(¹ + º) < 1 :
2
Jº (ax)S¹; ¡¹¡2º (x) dx =
ET II 388(28)
2:
Z
1
0
x¡¹ Jº (ax)sº+¹; ¡º+¹+1 (x) dx =
¸
∙
3
º¡1
2 ¹
¡º
=2
¡(º)a (1¡a )
;
0 < a < 1; Re ¹ > ¡1; ¡1 < Re º <
2
¸
∙
3
=0
1 < a; Re ¹ > ¡1; ¡1 < Re º <
:
2
ET II 92(24)
3:
Z
1
0
•
¶ •
¶
• 2¶
1
1
1
b
xKº (bx)s¹; 12 º (ax ) dx =
¡ ¹ + º + 1 ¡ ¹ ¡ º + 1 S¡¹¡1; 12 º
4a
2
2
4a
∙
¸
1
Re ¹ > j Re º j ¡ 2; a > 0; Re b > 0 :
2
2
ET II 151(78)
6.87 Thomson functions
6.871
1:
2:
799
Z
Z
1
e¡¯x ber x dx =
0
1
0
e¡¯x bei x dx =
³p
¯4 + 1 + ¯2
p
2(¯ 4 + 1)
³p
¯4 + 1 ¡ ¯2
p
2(¯ 4 + 1)
´ 12
´ 12
:
ME 40
:
ME 40
6.872
1:
Z
1
0
∙
•
¶
• ¶
1
¼
3º¼
1
¡
J 1 (º¡1)
cos
+
2
¯
2¯
2¯
4
•
¶¸
• ¶
1
3º + 6
1
¡ J 12 (º+1)
cos
+
¼
:
2¯
2¯
4
¡ p ¢
1
e¡¯x ber º 2 x dx =
2¯
r
MI 49
2:
Z
1
0
¡¯x
e
∙
•
¶
• ¶
1
¼
3º
1
J 12 (º¡1)
sin
+
¼ ¡
¯
2¯
2¯
4
•
¶¸
• ¶
1
3º + 6
1
¡ J 12 (º+1)
sin
+
¼
:
2¯
2¯
4
¡ p ¢
1
bei º 2 x dx =
2¯
r
MI 49
3:
4:
5:
6:
7:
6.873
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
¡ p ¢
1
1
e¡¯x ber 2 x dx = cos :
¯
¯
ME 40
¡ p ¢
1
1
e¡¯x bei 2 x dx = sin :
¯
¯
ME 40
∙
¸
¡ p ¢
1
1
1
1
1
e¡¯x ker 2 x dx = ¡
cos ci + sin si
:
2¯
¯
¯
¯
¯
MI 50
∙
¸
¡ p ¢
1
1
1
1
1
e¡¯x kei 2 x dx = ¡
sin ci ¡ cos si
:
2¯
¯
¯
¯
¯
MI 50
¡ p ¢
¡ p ¢
1
e¡¯x ber º 2 x beiº 2 x dx =
Jº
2¯
•
¶
• ¶
3º¼
2
2
sin
+
¯
¯
2
[Re º > ¡1] :
MI 49
ME 40
6.874
1:
2:
3:
4:
Z
Z
Z
Z
1 ¡¯x
e
p
0
x
1 ¡¯x
e
p
0
1
x
º
2
0
1
x
0
º
2
x
ber2º
bei2º
•
¶
• ¶
r
³ p ´
1
3¼
3º¼
¼
1
¡
Jº
cos
+
2 2x dx =
¯
¯
¯
4
2
∙
•
¶
• ¶
r
³ p ´
1
3¼
3º¼
¼
1
¡
Jº
sin
+
2 2x dx =
¯
¯
¯
4
2
∙
¡p ¢ ¡¯x
2¡º
berº
x e
dx = 1+º cos
¯
¡p ¢ ¡¯x
2¡º
beiº
x e
dx = 1+º sin
¯
•
•
3º¼
1
+
4¯
4
¶
Re º > ¡
¸
1
:
2
MI 49
¸
1
Re º > ¡
:
2
MI 49
[Re º > ¡1] :
ME 40
3º¼
1
+
4¯
4
¶
[Re º > ¡1] :
ME 40
800
6.875
1:
2:
Z
Z
1
¡¯x
e
0
1
0
¡¯x
e
∙
∙
¸
∙
¸
¡ p ¢
¡ p ¢ 1
1
1
¼
1
ln ¯ cos + sin
:
ker 2 x ¡ ln x ber 2 x dx =
2
¯
¯
4
¯
MI 50
¸
∙
¸
¡ p ¢
¡ p ¢ 1
1
1
1
¼
ln ¯ sin ¡ cos
:
kei 2 x ¡ ln x bei 2 x dx =
2
¯
¯
4
¯
MI 50
6.876
1:
Z
1
0
x kei xJ1 (ax) dx = ¡
1
arctg a2
2a
[a > 0] :
ET II 21(32)
ET II 21(32)
2:
Z
1
x ker xJ1 (ax) dx =
0
1
1
ln(1 + a4 ) 2
2a
[a > 0] :
ET II 21(33)
6.9 Mathieu Functions
(m)
Notation: k 2 = q. For definition of the coefficients Ap
(m)
and Bp
see 8.6
6.91 Mathieu functions
6.911
1:
Z
2¼
cem (z; q) cep (z; q) dz = 0
[m=
= p] :
0
MA
2:
Z
2¼
0
1 h
h
i2
i2
X
(2n)
(2n)
2
[ce2n (z; q)] dz = 2¼ A0
+¼
= ¼:
A2r
r=1
MA
3:
Z
2¼
2
[ce2n+1 (z; q)] dz = ¼
0
1 h
X
(2n+1)
A2r+1
r=0
i2
= ¼:
MA
4:
Z
2¼
sem (z; q) sep (z; q) dz = 0
[m=
= p] :
0
MA
5:
Z
2¼
2
[se2n+1 (z; q)] dz = ¼
0
1 h
X
r=0
(2n+1)
B2r+1
i2
= ¼:
MA
MA
7:
Z
2¼
sem (z; q) cep (z; q) dz = 0
[m = 1; 2; . . . ;
p = 1; 2; . . . ] :
0
MA
6.92 Combinations of Mathieu, hyperbolic, and trigonometric functions
6.921
1:
Z
(2n)
¼
ch(2k cos u sh z) ce 2n (u; q) du =
0
¼A0
³¼
ce2n
2
;q
´ (¡1)n Ce2n (z; ¡q)
[q > 0] :
MA
801
2:
Z
(2n)
¼
ch(2k sin u ch z) ce2n (u; q) du =
0
¼A0
(¡1)n Ce 2n (z; ¡q)
ce2n (0; q)
[q > 0] :
MA
3:
Z
(2n+1)
¼
sh(2k sin u ch z) se2n+1 (u; q) du =
0
¼kB1
(¡1)n Ce 2n+1 (z; ¡q)
se02n+1 (0; q)
[q > 0] :
MA
4:
5:
Z
Z
(2n+1)
¼
sh(2k cos u sh z) ce2n+1 (u; q) du =
0
ce 02n+1
2
;q
´ (¡1)n+1 Se2n+1 (z; ¡q)
[q > 0] :
MA
(2n+1)
¼
sh(2k sin u sin z) se2n+1 (u; q) du =
0
¼kA1
³¼
¼kB1
se2n+1 (z; q)
se02n+1 (0; q)
[q > 0] :
MA
6.922
MA
2:
3:
4:
Z
Z
Z
(2n+1)
¼
sin u sh z cos(2k cos u ch z) se2n+1 (u; q) du =
0
¼B1
2 se2n+1
2
;q
´ Se2n+1 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n+2)
¼
sin u sh z sin(2k cos u ch z) se2n+2 (u; q) du = ¡
0
³¼
¼kB2
2 se02n+2
³¼
2
;q
´ Se2n+2 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n+2)
¼
cos u ch z sin(2k sin u sh z) se2n+2 (u; q) du =
0
¼kB2
Se2n+2 (z; q)
2 se02n+2 (0; q)
[q > 0] :
MA
5:
Z
(2n+1)
¼
sin u ch z ch(2k cos u sh z) se2n+1 (u; q) du =
0
¼B1
2 se2n+1
³¼
2
;q
´ (¡1)n Ce2n+1 (z; ¡q)
[q > 0] :
MA
6:
Z
(2n+1)
¼
cos u sh z ch(2k sin u ch z) ce2n+1 (u; q) du =
0
¼A1
(¡1)n Se2n+1 (z; ¡q)
2 ce 2n+1 (0; q)
[q > 0] :
MA
7:
Z
(2n+2)
¼
sin u ch z sh(2k cos u sh z) se2n+2 (u; q) du =
0
¼kB2
2
se02n+2
³¼
2
;q
´ (¡1)n+1 Se2n+2 (z; ¡q)
[q > 0] :
MA
802
8:
Z
(2n+2)
¼
cos u sh z sh(2k sin u ch z) se2n+2 (u; q) du =
0
¼kB2
(¡1)n Se2n+2 (z; ¡q)
2 se02n+2 (0; q)
[q > 0] :
6.923
1:
2:
3:
4:
5:
Z
Z
Z
Z
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
(2n+1)
sin(2k ch z ch u) sh z sh u Se2n+1 (u; q) du = ¡
¼B1
4 se2n+1
³¼
;q
2
´ Se2n+1 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n+1)
cos(2k ch z ch u) sh z sh u Se2n+1 (u; q) du = ¡
¼B1
4 se2n+1
³¼
2
;q
´ Gey 2n+1 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n+2)
sin(2k ch z ch u) sh z sh u Se2n+2 (u; q) du = ¡
k¼B2
4 se02n+2
³¼
2
;q
´ Gey 2n+2 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n+2)
cos(2k ch z ch u) sh z sh u Se2n+2 (u; q) du = ¡
k¼B2
4 se2n+2
³¼
2
;q
´ Se2n+2 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n)
sin(2k ch z ch u) Ce 2n (u; q) du =
¼A0
•
2 ce2n
1
¼; q
2
¶ Ce 2n (z; q)
[q > 0] :
MA
6:
7:
Z
Z
1
0
1
0
(2n)
cos(2k ch z ch u) Ce2n (u; q) du = ¡
¼A0
³ ¼ ´ Fey 2n (z; q)
2 ce2n
;q
2
[q > 0] :
MA
(2n+1)
sin(2k ch z ch u) Ce 2n+1 (u; q) du =
k¼A1
2 ce02n+1
³¼
2
;q
´ Fey 2n+1 (z; q)
[q > 0] :
8:
Z
1
(2n+1)
cos(2k ch z ch u) Ce2n+1 (u; q) du =
0
k¼A1
2 ce02n+1
³¼
2
;q
´ Ce 2n+1 (z; q)
[q > 0] :
MA
6.924
1:
Z
(2n)
¼
cos(2k cos u cos z) ce2n (u; q) du =
0
¼A0
³¼
ce 2n
2
;q
´ ce 2n (z; q)
[q > 0] :
MA
803
2:
3:
4:
Z
Z
Z
(2n+1)
¼
sin(2k cos u cos z) ce 2n+1 (u; q) du = ¡
0
ce02n+1
2
;q
´ ce2n+1 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n)
¼
cos(2k cos u ch z) ce2n (u; q) du =
0
¼A0
³¼
ce2n
2
;q
´ Ce2n (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n)
¼
cos(2k sin u sh z) ce2n (u; q) du =
0
¼kA1
³¼
¼A0
Ce 2n (z; q)
ce2n (0; q)
[q > 0] :
MA
5:
6:
Z
Z
(2n+1)
¼
sin(2k cos u ch z) ce2n+1 (u; q) du = ¡
0
ce02n+1
³¼
2
;q
´ Ce 2n+1 (z; q)
[q > 0] :
MA
(2n+1)
¼
sin(2k sin u sh z) se2n+1 (u; q) du =
0
¼kA1
¼kB1
Se2n+1 (z; q)
se02n+1 (0; q)
[q > 0] :
MA
6.925
Notation:z1 = 2k
1:
Z
p
ch2 » ¡ sin2 ´; tg ® = •» tg ´
2¼
sin [z1 cos(• ¡ ®)] ce2n (•; q) d• = 0:
0
MA
2:
3:
4:
Z
Z
Z
(2n)
2¼
cos [z1 cos(• ¡ ®)] ce2n (•; q) d• =
0
2¼A0
ce2n (0; q) ce2n
2
;q
´ Ce2n (»; q) ce2n (´; q):
MA
(2n+1)
2¼
sin [z1 cos(• ¡ ®)] ce2n+1 (•; q) d• = ¡
0
³¼
2¼kA1
ce2n+1 (0; q) ce02n+1
³¼
2
;q
´ Ce 2n+1 (»; q) ce 2n+1 (´; q):
MA
2¼
cos [z1 cos(• ¡ ®)] ce2n+1 (•; q) d• = 0:
0
MA
5:
6:
Z
Z
(2n+1)
2¼
sin [z1 cos(• ¡ ®)] se2n+1 (•; q) d• =
0
2¼kB1
se2n+1 (0; q) se2n+1
³¼
2
;q
´ Se2n+1 (»; q) se2n+1 (´; q):
MA
2¼
cos [z1 cos(• ¡ ®)] se2n+1 (•; q) d• = 0:
0
MA
7:
Z
2¼
0
sin [z1 cos(• ¡ ®)] se2n+2 (•; q) d• = 0:
MA
MA
804
6.926
Z
(2n+2)
¼
sin u sin z sin(2k cos u cos z) se2n+2 (u; q) du = ¡
0
¼kB2
2 se02n+2
³¼
2
;q
´ se2n+2 (z; q)
[q > 0]:
MA
6.93 Combinations of Mathieu and Bessel functions
6.931
1:
2:
Z
Z
¼
(2n) 2
0
2¼
]
ce2n (0; q) ce2n
³¼
2
;q
´ ce 2n (z; q):
MA
´ Fey 2n (z; q):
MA
(2n) 2
2¼[A0
1
N0 fk[2(cos 2u+ch 2z)] 2 g ce 2n (u; q) du =
0
¼[A0
1
J0 fk[2(cos 2u+cos 2z)] 2 g ce2n (u; q) du =
ce2n (0; q) ce2n
]
³¼
2
;q
7.1- 7.2 Associated Legendre Functions
7.11 Associated Legendre functions
7.111
Z
1
cos '
Pº (x) dx = sin ' P¡1
º (cos '):
MO 90
7.112
1:
Z
1
¡1
m
Pm
n (x)Pk (x) dx = 0
[n=
= k];
=
2
(n + m)!
2n + 1 (n ¡ m)!
[n = k]:
2:
Z
1
¡1
m
m
Qm
n (x)Pk (x) dx = (¡1)
1 ¡ (¡1)n+k (n + m)!
:
(k ¡ n)(k + n + 1)(n ¡ m)!
EH I 171(18)
3:
Z
1
2¼ sin ¼(¾ ¡ º) + 4 sin(¼º) sin(¼¾)[Ã(º + 1) ¡ Ã(¾ + 1)]
¼ 2 (¾ ¡ º)(¾ + º + 1)
[¾ + º + 1=
= 0];
¼ 2 ¡ 2(sin ¼º)2 à 0 (º + 1)
¶
•
[¾ = º]:
=
1
2
¼ º+
2
Pº (x)P¾ (x) dx =
¡1
EH I 170(9)a
EH I 170(7)
805
4:
Z
1
¡1
Qº (x)Q¾ (x) dx =
=
[Ã(º + 1) ¡ Ã(¾ + 1)][1 + cos(¼¾) cos(º¼)] ¡
(¾ ¡ º)(¾ + º + 1)
[¾ + º + 1=
= 0; º;
1 2
¼ ¡ à 0 (º + 1)[1 + (cos º¼)2 ]
2
=
2º + 1
[º = ¾;
¼
sin ¼(º ¡ ¾)
2
¾=
= ¡ 1; ¡2; ¡3; . . . ];
º=
= ¡ 1; ¡2; ¡3; . . . ]:
EH I 170(12)
EH I 170(11)
5:
Z
1
¡1
Pº (x)Q¾ (x) dx =
=
1 ¡ cos ¼(¾ ¡ º) ¡ 2¼ ¡1 sin(¼º) cos(¼¾)[Ã(º + 1) ¡ Ã(¾ + 1)]
(º ¡ ¾)(º + ¾ + 1)
[Re º > 0; Re ¾ > 0; ¾=
= º];
sin(2º¼)à 0 (º + 1)
= ¡
[Re º > 0; ¾ = º]:
¼(2º + 1)
EH I 171(14)
EH I 170(13)
7.113
Notation : A =
1:
Z
¡( 12 + º2 ) ¡(1+ ¾2 )
¡( 12 + ¾
¡ 1+ º2 )
2) (
A sin
1
Pº (x)P¾ (x) dx =
0
¼¾
¼º
¼º
¼¾
¡ A¡1 sin
cos
cos
2
2
2
2 :
1
¼(¾ ¡ º)(¾ + º + 1)
2
EH I 171(15)
2:
Z
1
0
Qº (x)Q¾ (x) dx =
∙
¸
¼(¾ + º)
¼(¾ ¡ º)
¼
¡1
¡1
(A ¡ A ) sin
(A + A ) sin
Ã(º + 1) ¡ Ã(¾ + 1) ¡
2
2
2
=
(¾ ¡ º)(¾ + º + 1)
[Re º > 0; Re ¾ > 0]:
EH I 171(16)
3:
Z
0
¼(º ¡ ¾)
¡1
2
(¾ ¡ º)(¾ + º + 1)
A¡1 cos
1
Pº (x)Q¾ (x) dx =
[Re º > 0;
Re ¾ > 0]:
EH I 171(17)
7.114
1:
Z
1
Pº (x)Q¾ (x) dx =
1
1
(¾ ¡ º)(¾ + º + 1)
[Re(¾ ¡º) > 0;
Re(¾+º) > ¡1]:
ET II 324(19)
806
2:
Z
1
Qº (x)Q¾ (x) dx =
1
Ã(¾ + 1) ¡ Ã(º + 1)
(¾ ¡ º)(¾ + º + 1)
[Re(º+¾) > ¡1;
¾; º=
= ¡1; ¡2; ¡3; . . . ]:
EH I 170(5)
3:
Z
1
1
à 0 (º + 1)
[Qº (x)] dx =
2º + 1
2
∙
¸
1
Re º > ¡
:
2
EH I 170(6)
7.115
Z
1
1
Qº (x) dx =
1
º(º + 1)
[Re º > 0]:
ET II 324(18)
7.12- 7.13 Combinations of associated Legendre functions and powers
7.121
Z
1
xPº (x) dx =
cos '
¡ sin '
[sin 'Pº (cos ') + cos 'P1º (cos ')]:
(º ¡ 1)(º + 2)
MO 90
7.122
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
2
[Pm
1 (n + m)!
n (x)]
dx =
2
1¡x
2m (n ¡ m)!
[P¹º (x)]2
[0 < m ∙ n]:
dx
¡(1 + ¹ + º)
=¡
1 ¡ x2
2¹¡(1 ¡ ¹ + º)
MO 74
[Re ¹ < 0;
º+¹¡a positive integer ]:
EH I 172(26)
3:
Z
1
0
[Pn¡º
(x)]2
º
dx
n!
=¡
2
1¡x
2(n ¡ º)¡(1 ¡ n + 2º)
[n = 0; 1; 2; . . . ;
Re º > n]:
ET II 315(9)
7.123
Z
1
¡1
k
Pm
n (x)Pn (x)
dx
=0
1 ¡ x2
[0 ∙ m ∙ n;
0 ∙ k ∙ n;
m=
= k]:
MO 74
7.124
Z
1
1
¡1
1
m 2
2 m Qm (z) ¢ z k
xk (z ¡ x)¡1 (1 ¡ x2 ) 2 m Pm
n (x) dx = (¡2) (z ¡ 1)
n
[m ∙ n; k = 0; 1; . . . ; n ¡ m; z in the complex plane with a cut along the interval (¡1; 1) on the real axis].
7.125
Z
1
¡1
1
m
m
(1 ¡ x2 ) 2 m Pm
k (x)Pl (x)Pn (x) dx =
3 (k + m)!(l + m)!(n + m)!(s ¡ m)!
£
= (¡1)m ¼ ¡ 2
(k ¡ m)!(l ¡ m)!(n ¡ m)!(s ¡ k)!
•
¶ •
¶ •
¶ •
¶
1
1
1
1
¡ m+
¡ t¡k+
¡ t¡l+
¡ t¡n+
2
2
2
2
•
¶
£
807
7.126
Z
1:
1
¾
Pº (x)x dx =
0
p
¼2¡¾¡1 ¡(1 + ¾)
¶ •
¶
1
1
1
3
1
¡ 1+ ¾¡ º ¡
¾+ º+
2
2
2
2
2
•
[Re ¾ > ¡1]:
EH I 171(23)
Z
2:
1
¾
x
0
Pm
º (x) dx
¡
¢
1
(¡1)m ¼ 2 2¡2m¡1 ¡ 1+¾
¡(1 + m + º)
2
¶ •
¶
£
= •
1
3 ¾
1
m
+ m ¡
+ +
¡(1 ¡ m + º)
¡
2
2
2
2
2
¶
•
3+¾+m
m+º +1 m¡º m
£ 3 F2
;
;
+ 1; m + 1;
;1
2
2
2
2
[Re ¾ > ¡1; m = 0; 1; 2; . . . ]:
ET II 313(2)
¶
1+¾
Z 1
¼ 2
¡
2
¾ ¹
•
¶
•
¶£
x Pº (x) dx =
1
¡
¹
3
+
¾¡¹
0
¡
¡
2
2
¶
•
¹+º
¹
3+¾¡¹
º ¡¹+1
;¡
; 1 ¡ ; 1 ¡ ¹;
;1
£ 3 F2
2
2
2
2
[Re ¾ > ¡1; Re ¹ < 2]:
1
2
3:
2¹¡1
•
ET II 313(3)
Z
4:
1
1
1
x¹¡1 Qº (ax) dx = e¹¼i ¡(¹)a¡¹ (a2 ¡ 1) 2 ¹ Q¡¹
º (a)
[j arg(a ¡ 1)j < ¼;
Re ¹ > 0;
Re(º ¡ ¹) > ¡1]:
ET II 325(26)
7.127
Z
1
(1 + x)¾ Pº (x) dx =
¡1
2¾+1 [¡(¾ + 1)]2
¡(¾ + º + 2)¡(1 + ¾ ¡ º)
[Re ¾ > ¡1]:
ET II 316(15)
7.128
1:
Z
1
1
1
1
3
(1 ¡ x)¡ 2 ¹ (1 + x) 2 ¹¡ 2 (z + x)¹¡ 2 P¹º (x) dx =
¡1
•
¶
1
1
1
¡ ¹¡
(z ¡ 1)¹¡ 2 (z + 1)¡ 2
2
=¡
£
1
2¹¼i
808
2:
Z
1
1
1
1
1
(1 ¡ x)¡ 2 ¹ (1 + x) 2 ¹¡ 2 (z + x)¹¡ 2 P¹º (x) dx =
¡1
¶
•
1
¡2¹¼i
"•
"•
¶1 #
¶1 #
+¹
¡
2e
1+z 2
1+z 2
2
¹
¹ ¹
(z ¡1) Qº
= 1
Q¡º¡1
2
2
¼ 2 ¡(¹ ¡ º)¡(¹ + º + 1)
∙
1
¡ < Re ¹ < 1; z ¡ in the complex plane with a cut along the interval
2
(-1, 1) of the real axis ]:
ET II 316(18)
7.129
Z
1
Pº (x)P¸ (x)(1+x)¸+º dx =
¡1
2¸+º+1 [¡(¸ + º + 1)]4
[¡(¸ + 1)¡(º + 1)]2 ¡(2¸ + 2º + 2)
[Re(º+¸+1) > 0]:
EH I 172(30)
7.131
1:
Z
1
1
1
1
1
1
(x ¡ 1)¡ 2 ¹ (x + 1) 2 ¹¡ 2 (z + x)¹¡ 2 Pº¹ (x) dx =
(
"•
¶ 12 #) 2
1 ¡(¡¹ ¡ º)¡(1 ¡ ¹ + º)
1
+
z
•
¶
= ¼2
(z ¡ 1)¹ Pº¹
1
2
¡
¡¹
2
[Re(¹ + º) < 0; Re(¹ ¡ º) < 1; j arg(z + 1)j < ¼]:
ET II 321(6)
2:
Z
1
1
1
1
1
3
(x ¡ 1)¡ 2 ¹ (x + 1) 2 ¹¡ 2 (z + x)¹¡ 2 Pº¹ (x) dx =
"•
"•
¶1#
¶1 #
1
1
1
¼ 2 ¡(1 ¡ ¹ ¡ º)¡(2 ¡ ¹ + º)(z ¡ 1)¹¡ 2 (z + 1)¡ 2 ¹
1+z 2
1+z 2
¹¡1
¶
•
=
Pº
Pº
3
2
2
¡¹
¡
2
[Re ¹ < 1; Re(¹ + º) < 1; Re(¹ ¡ º) < 2; arg(1 + z)j < ¼]:
7.132
1:
Z
1
¡1
(1 ¡ x2 )¸¡1 P¹º (x) dx =
•
¶ •
¶
1
1
¼2¹ ¡ ¸ + ¹ ¡ ¸ ¡ ¹
2
2
¶ •
¶ •
¶ •
¶
= •
1
1
1
1
1
1
1
1
¡ ¸+ º+
¡ ¸¡ º ¡ ¡ ¹+ º+1 ¡ ¡ ¹¡ º+
2
2
2
2
2
2
2
2
ET II 321(7)
809
¶ •
¶ •
¶
1
1
1
1
Z 1
¡¸¡ º
2
¡ ¸¡ ¹ ¡ 1¡¸+ º ¡
2
2
2
2
¶ •
¶ •
¶
(x2 ¡1)¸¡1 Pn¹ (x) dx = •
1
1
1
1
1
1
1
¡ ¹¡ º ¡ 1¡¸¡ ¹
¡ 1¡ ¹+ º ¡
2
2
2
2
2
2
[Re ¸ > Re ¹; Re(1 ¡ 2¸ ¡ º) > 0; Re(2 ¡ 2¸ + º) > 0]:
¹¡1
2:
•
ET II 320(2)
3:
Z
1
1
¡
(x2 ¡1)¸¡1 Q¹º (x) dx = e¹¼i
•
¶ •
¶ •
¶ •
¶
1 1
1
1
1
1
+ º + ¹ ¡ 1¡¸+ º ¡ ¸+ ¹ ¡ ¸¡ ¹
2 2
2
2
2
2
•
¶ •
¶
1
1
1
1
22¸¡¹ ¡ 1 + º ¡ ¹ ¡
+¸+ º
2
2
2
2
[j Re ¹j < 2 Re ¸ < Re º + 2]:
ET II 324(23)
¶ •
¶
1
1 1
Z 1
2
¡
+ ¾ ¡ 1+ ¾
1
2 2
2
¶ •
¶
x¾ (1¡x2 )¡ 2 ¹ P¹º (x) dx = •
1
1
1
1
3
1
1
0
¡ 1+ ¾¡ º ¡ ¹ ¡
¾+ º¡ ¹+
2
2
2
2
2
2
2
[Re ¹ < 1; Re ¾ > ¡1]:
¹¡1
4:
•
EH I 172(24)
5:
Z
•
¶ •
¶
1
1 1
m ¡m¡1
(
¡
1)
2
¡
+
¾
¡
1
+
¾
¡(1 + m + º)
1
2 2
2
¾
2 12 m m
•
¶ •
¶
x (1¡x ) Pº (x) dx =
1
1
1
1
1
3 1
0
¡(1 ¡ m + º)¡ 1 + ¾ + m ¡ º ¡
+ ¾+ m+ º
2
2
2
2 2
2
2
[Re ¾ > ¡1; m is a positive integer ]:
EH I 172(25), ET II 313(4)
¶ •
¶
1
1 1
Z 1
2
¡ 1+´¡ ¹ ¡
+ ¾
2
2 2
•
¶ £
(1 ¡ x2 )´ P¹º (x) dx =
1
1
3
0
¡(1 ¡ ¹)¡
+´+ ¾¡ ¹
2
2
2
¶
•
3+¾¡¹
¹+º
¹
º ¡¹+1
;¡
; 1 + ´ ¡ ; 1 ¡ ¹;
+ ´; 1
£ 3 F2
2
2
2
2
∙ •
¶
¸
1
Re ´ ¡ ¹ > ¡1; Re ¾ > ¡1 :
2
¹¡1
6:
•
7:
Z
1
2
¡%
x
1
¡ 12 ¹
2
(x ¡ 1)
Pº¹ (x) dx
[Re ¹ < 1;
=
¡
2
¡
2
¼¡(%)
Re(% + ¹ + º) > 0; Re(% + ¹ ¡ º) > 1]:
p
7.133
1:
Z
1
u
1
Qº (x)(x ¡ u)¹¡1 dx = ¡(¹)e¹¼i (u2 ¡ 1) 2 ¹ Q¡¹
º (u)
[j arg(u ¡ 1)j < ¼;
0 < Re ¹ < 1 + Re º]:
MO 90a
810
2:
Z
1
u
1
1
1
¹¡1
(x2 ¡ 1) 2 ¸ Q¡¸
dx = ¡(¹)e¹¼i (u2 ¡ 1) 2 ¸+ 2 ¹ Q¡¸¡¹
(u)
º (x)(x ¡ u)
º
[j arg(u ¡ 1)j < ¼;
0 < Re ¹ < 1 + Re(º ¡ ¸)]:
ET II 204(30)
7.134
1:
2:
Z
Z
1
1
1
[Re ¸ > 0;
1
1
2¸+¹ ¡(¸)¡(¡¸ ¡ ¹ ¡ º)¡(1 ¡ ¸ ¡ ¹ + º)
¡(1 ¡ ¹ + º)¡(¡¹ ¡ º)¡(1 ¡ ¸ ¡ ¹)
Re(¸ + ¹ + º) < 0; Re(¸ + ¹ ¡ º) < 1]:
(x¡1)¸¡1 (x2 ¡1) 2 ¹ Pº¹ (x) dx =
1
2¸¡¹ sin ¼º¡(¸ ¡ ¹)¡(¡¸ + ¹ ¡ º)¡(1 ¡ ¸ + ¹ + º)
¼¡(1 ¡ ¸)
Re(¹ ¡ ¸ ¡ º) > 0; Re(¹ ¡ ¸ + º) > ¡1]:
(x¡1)¸¡1 (x2 ¡1)¡ 2 ¹ Pº¹ (x) dx = ¡
[Re(¸ ¡ ¹) > 0;
7.135
1:
Z
1
¡1
1
1
(1 ¡ x2 )¡ 2 ¹ (z ¡ x)¡1 P¹¹+n (x) dx = 2e¡i¹¼ (z 2 ¡ 1)¡ 2 ¹ Q¹¹+n (z)
[n = 0; 1; 2; . . . ; Re ¹ + n > ¡1; z ---in the complex plane with a cut along the interval (¡1; 1) of the real axis].
2:
Z
1
1
ET II 321(4)
(x ¡ 1)¸¡1 (x2 ¡ 1)¹=2 (x + z)¡½ Pº¹ (x) dx =
=
2¸+¹¡½ ¡(¸ ¡ ½)¡(½ ¡ ¸ ¡ ¹ ¡ º)¡(½ ¡ ¸ ¡ ¹ + º + 1)
£
¡(1 ¡ ¹ + º)¡(¡¹ ¡ º)¡(1 + ½ ¡ ¸ ¡ ¹)
•
¶
1+z
£ 3 F2 ½; ½ ¡ ¸ ¡ ¹ ¡ º; ½ ¡ ¸ ¡ ¹ + º + 1; ½ ¡ ¸ + 1; ½ ¡ ¸ ¡ ¹ + 1;
+
2
•
¶
1+z
¡(½ ¡ ¸)¡(¸) ¹
¸¡½
+
2 (z+1)
3 F2 ¸; ¡¹ ¡ º; 1 ¡ ¹ + º; 1 ¡ ¹; 1 ¡ ½ + ¸;
¡(½)¡(1 ¡ ¹)
2
[Re ¸ > 0; Re(½ ¡ ¸ ¡ ¹ ¡ º) > 0; Re(½ ¡ ¸ ¡ ¹ + º + 1) > 0
j arg(z + 1)j < ¼]:
ET II 321(5)
3:
Z
1
1
(x ¡ 1)¸¡1 (x2 ¡ 1)¡¹=2 (x + z)¡½ Pº¹ (x) dx =
sin(º¼)¡(¸ ¡ ¹ ¡ ½)¡(½ ¡ ¸ + ¹ ¡ º)¡(½ ¡ ¸ + ¹ + º + 1)
£
2½¡¸+¹ ¼¡(1 + ½ ¡ ¸)
¶
•
1+z
£ 3 F2 ½; ½ ¡ ¸ + ¹ ¡ º; ½ ¡ ¸ + ¹ + º + 1; 1 + ½ ¡ ¸; 1 + ½ ¡ ¸ + ¹;
+
2
¡(¸ ¡ ¹)¡(½ ¡ ¸ + ¹)
+
(z + 1)¸¡½¡¹ £
¡(½)¡(1 ¡ ¹)
¶
•
1+z
£ 3 F2 ¸ ¡ ¹; ¡º; º + 1; 1 + ¸ ¡ ¹ ¡ ½; 1 ¡ ¹;
2
[Re(¸ ¡ ¹) > 0; Re(½ ¡ ¸ + ¹ ¡ º) > 0; Re(½ ¡ ¸ + ¹ + º + 1) > 0;
j arg(z + 1)j < ¼]:
=¡
ET II 322(10)
811
7.136
1:
Z
1
¡1
(1¡x2 )¸¡1 (1¡a2 x2 )¹=2 Pº (ax) dx =
•
¶ •
1
1
¡
+¸ ¡
¡
2
2
•
¹+º
;
£ 2 F1 ¡
2
[Re ¸ > 0;
¼2¹ ¡(¸)
¶ •
¶£
1
1
1
1
¹¡ º ¡ 1¡ ¹+ º
2
2
2
2
¶
1¡¹+º 1
; + ¸; a2
2
2
¡1 < a < 1]:
ET II 318(31)
2:
Z
1
1
(x2 ¡ 1)¸¡1 (a2 x2 ¡ 1)¹=2 Pº¹ (ax) dx =
¶ •
¶
•
1
1
1
1
1
¡¸¡ ¹¡ º
¡(¸)¡ 1 ¡ ¸ ¡ ¹ + º ¡
2
2
2
2
2
¶ •
¶
= •
£
1
1
1
1 1
¡ 1¡ ¹+ º ¡
¡ º ¡ ¹ ¡(1 ¡ ¸ ¡ ¹)
2
2
2 2
2
•
¶
¹¡º
1
1¡¹+º
¹¡1 ¹¡º¡1
£2
a
; 1¡¸¡
; 1 ¡ ¸ ¡ ¹; 1 ¡ 2
2 F1
2
2
a
[Re a > 0; Re ¸ > 0; Re(º ¡ ¹ ¡ 2¸) > ¡2; Re(2¸ + ¹ + º) < 1]:
ET II 325(25)
3:
Z
1
1
1
(x2 ¡ 1)¸¡1 (a2 x2 ¡ 1)¡ 2 ¹ Q¹º (ax) dx =
•
¶
•
¶
¹+º
¹+º+1
¡
¡(¸)¡ 1 ¡ ¸ +
2¹¡2 e¹¼i a¡¹¡º¡1
2
2
•
¶
=
£
3
¡ º+
2
•
¶
¹+º
3 ¡2
¹+º+1
£ 2 F1
; 1¡¸+
;º+ ;a
2
2
2
[j arg(a ¡ 1)j < ¼; Re ¸ > 0; Re(2¸ ¡ ¹ ¡ º) < 2]:
1:
Z
1
¡ 12 ¹¡ 12
x
1
¡¹¡ 12
(x¡1)
1
2
¹
¶
1
1
1
¡ ¹ a 2 ¹ fQ¹º [(1+a) 2 ]g2
=¼ e
¡
2
¸
1
Re ¹ < ; Re(¹ + º) > ¡1 :
2
¡ 12 ¡¹¼i
Q¹º (1+2ax) dx
(1+ax)
∙
j arg aj < ¼;
•
ET II 325(28)
812
2:
Z
1
1
1
1
3
x¡ 2 ¹¡ 2 (x ¡ 1)¡¹¡ 2 (1 + ax) 2 ¹ Q¹º (1 + 2ax) dx =
1
•
¶
1
1
1
1
1
1
1
= ¡¼ ¡ 2 e¡¹¼i ¡ ¡¹ ¡
a 2 ¹+ 2 (1 + a2 )¡ 2 Q¹+1
[(1 + a) 2 ]Q¹º [(1 + a) 2 ]
º
2
∙
¸
1
j arg aj < ¼; Re ¹ < ¡ ; Re(¹ + º + 2) > 0 :
2
ET II 326(29)
3:
Z
1
¡ 12 ¹¡ 12
x
0
¡¹¡ 12
(1¡x)
(1+ax)
1
2
¹
¶
1
1
1
¡ ¹ a 2 ¹ fPº¹ [(1+a) 2 ]g2
=¼ ¡
2
¸
∙
1
Re ¹ < ; j arg aj < ¼ :
2
•
1
2
Pº¹ (1+2ax) dx
ET II 319(32)
4:
Z
1
0
1
1
1
3
x¡ 2 ¹¡ 2 (1 ¡ x)¡¹¡ 2 (1 + ax) 2 ¹ Pº¹ (1 + 2ax) dx =
•
¶
1
1
1
1
1
2
= ¼ ¡ ¡ ¡ ¹ a 2 ¹+ 2 Pº¹+1 [(1+a) 2 ]Pº¹ [(1+a)2 ]
2
∙
1
Re ¹ < ¡ ;
2
¸
j arg aj < ¼ :
ET II 319(33)
5:
Z
1
x
1
1
2 ¹¡ 2
0
¹¡ 12
(1¡x)
¡ 12 ¹
(1+ax)
¶
1
1
1
1
=¼ ¡
+ ¹ a¡ 2 ¹ Pº¹ [(1+a) 2 ]Pº¡¹ [(1+a) 2 ]
2
∙
¸
1
Re ¹ > ¡ ; j arg aj < ¼ :
2
Pº¹ (1+2ax) dx
1
2
•
ET II 319(34)
6:
Z
1
0
1
1
3
1
x 2 ¹¡ 2 (1 ¡ x)¹¡ 2 (1 + ax)¡ 2 ¹ Pº¹ (1 + 2ax) dx =
•
¶
1 1
1
1
1
1
1
1
= ¼2¡ ¹ ¡
a 2 ¡ 2 ¹ (1 + a)¡ 2 fPº1¡¹ [(1 + a) 2 ]Pº¹ [(1 + a) 2 ] +
2
2
∙
¸
1
1
1
¹
¡¹
+(¹+º)(1¡¹+º)Pº [(1+a) 2 ]Pº [(1+a) 2 ]g
Re ¹ > ; j arg aj < ¼ :
2
ET II 319(35)
ET II 320(38)
8:
Z
1
¹
1
1
3
x¡ 2 ¡ 2 (1 ¡ x)¡¹¡ 2 (1 + ax) 2 ¹ Q¹º (1 + 2ax) dx =
0
¶
•
1
1 1
1
1
1
2
(1 + a)¡ 2 a 2 ¹+ 2 £
= ¼ ¡ ¡¹ ¡
2
2
1
1
1
1
£ fPº¹+1 [(1 + a) 2 ]Q¹º [(1 + a) 2 ] + Pº¹ [(1 + a) 2 ]Q¹+1
[(1 + a) 2 ]g
º
¸
∙
1
Re ¹ < ¡ ; j arg aj < ¼ :
2
ET II 320(39)
813
9:
Z
¶¸¡ 21 ¸
∙ •
1
(y ¡ x)
Pº¸ (1 + °x) dx =
x 1 + °x
2
0
• ¶ 12 ¹ ∙ •
¶¸ 12 ¹¡ 12 ¸
2
1
= ¡(¹)
Pº¸¡¹ (1+°y)
y 1 + °y
°
2
y
¹¡1
[Re ¸ < 1;
Re ¹ > 0;
arg °y j < ¼]:
ET II 193(52)
10:
11:
Z
Z
¶ ¡ 12 ¸
1
(y ¡ x)
x
Pº¸ (1 + °x) dx =
1 + °x
2
¡ ° ¢¡ 12 ¸
¶
•
¡(¾)¡(¹)y ¾+¹¡1
1
= 2
F
°y
¡
º;
1
+
º;
¾;
1
¡
¸;
¾
+
¹;
¡
3 2
¡(1 ¡ ¸)¡(¾ + ¹)
2
[Re ¾ > 0; Re ¹ > 0; j°y j < 1]:
y
0
y
0
¹¡1 ¾+ 12 ¸¡1
•
1
1
ET II 193(53)
1
(y ¡x)¹¡1 [x(1¡x)]¡ 2 ¸ P¸º (1¡2x) dx = ¡(¹)[y(1¡y)] 2 ¹¡ 2 ¸ P¸¡¹
(1¡2y)
º
[Re ¸ < 1;
Re ¹ > 0;
0 < y < 1]:
ET II 193(54)
12:
Z
y
0
1
1
(y ¡ x)¹¡1 x¾+ 2 ¸¡1 (1 ¡ x)¡ 2 ¸ P¸º (1 ¡ 2x) dx =
=
¡(¹)¡(¾)y ¾+¹¡1
3 F2 (¡º; 1 + º; ¾; 1 ¡ ¸; ¾ + ¹; y)
¡(¾ + ¹)¡(1 ¡ ¸)
[Re ¾ > 0; Re ¹ > 0;
0 < y < 1]:
Z
1
¡¹¡º¡2
(a+x)
P¹
0
•
a¡x
a+x
¶
Pº
•
a¡x
a+x
¶
a¡¹¡º¡1 [¡(¹ + º + 1)]4
[¡(¹ + 1)¡(º + 1)]2 ¡(2¹ + 2º + 2)
[j arg aj < ¼; Re(¹ + º) > ¡1]:
dx =
ET II 326(3)
7.14 Combinations of associated Legendre functions, exponentials, and powers
7.141
Z
1:
Z
2:
Z
3:
1
¡ax
e
1
1
¡ax
e
1
1
1
¸¡1
(x¡1)
¸¡1
(x¡1)
2
(x ¡1)
2
(x ¡1)
1
2¹
1
2¹
P¹º (x) dx
• ¯
¶
¯
a¡¸¡¹ e¡a
1 + ¹; 1
31
¯
G
=
2a¯
¡(1 ¡ ¹ + º)¡(¡¹ ¡ º) 23
¸ + ¹; ¡º; 1 + º
[Re a > 0; Re ¸ > 0]:
• ¯
¶
¯
¡(º + ¹ + 1)e¹¼i ¡¸¡¹ ¡a 22
1 + ¹; 1
¯
=
a
e G23 2a¯
2¡(º ¡ ¹ + 1)
¸ + ¹; º + 1; ¡º
[Re a > 0; Re ¸ > 0; Re(¸ + ¹) > 0]:
ET II 323(13)
Q¹º (x) dx
• ¯
¶
¯
1; 1 ¡ ¹
1
¯
e¡ax (x¡1)¸¡1 (x2 ¡1)¡ 2 ¹ Pº¹ (x) dx = ¡¼ ¡1 sin(º¼)a¹¡¸ e¡a G31
2a
23
¯ ¸ ¡ ¹; 1 + º; ¡º
[Re a > 0; Re(¸ ¡ ¹) > 0]:
ET II 325(24)
ET II 323(15)
814
Z
4:
Z
5:
1
1
1
1
1
•¯
¶
1 ¹¼i ¹¡¸ ¡a 22 ¯¯
1 ¡ ¹; 1
e a
e G23 ¯2a
2
¸ ¡ ¹; º + 1; ¡º
[Re a > 0; Re ¸ > 0; Re(¸ ¡ ¹) > 0]:
e¡ax (x¡1)¸¡1 (x2 ¡1)¡ 2 ¹ Q¹º (x) dx =
1
1
1
1
e¡ax (x2 ¡1)¡ 2 ¹ Pº¹ (x) dx = 2 2 ¼ ¡ 2 a¹¡ 2 Kº+ 12 (a)
[Re a > 0;
ET II 323(14)
Re ¹ < 1]:
ET II 323(11), MO 90
7.142
Z
1
1
¡ 12 ax
e
•
x+1
x¡1
¶ 12 ¹
¹
Pº¡
1 (x) dx
2
2
= W¹; º (a)
a
∙
Re ¹ < 1;
1
º¡ =
= 0; §1; §2; . . .
2
¸
:
Z
1:
1
1
[x(1+x)]
¡ 12 ¹ ¡¯x
e
0
Pº¹ (1+2x) dx
¯ ¹¡ 2 1
= p e 2 ¯ Kº+ 12
¼
• ¶
¯
2
[Re ¹ < 1;
Re ¯ > 0]:
ET I 179(1)
2:
Z
1
0
•
1
1+
x
¶ 12 ¹
1
¡¯x
e
Pº¹ (1+2x) dx
e2¯
W¹; º+ 12 (¯)
=
¯
[Re ¹ < 1;
Re ¯ > 0]:
ET I 179(2)
7.144
1:
Z
1
0
1
1
e¡¯x x¸+ 2 ¹¡1 (x + 2) 2 ¹ Q¹º (1 + x) dx =
½
sin(º¼)
¡(º + ¹ + 1)
E(¡º; º + 1; ¸ + ¹; ¹ + 1: 2¯) ¡
=
¸+¹
¡(º ¡ ¹ + 1) 2¯
sin(¹¼)
¾
sin[(¹ + º)¼]
¡ 1¡¹ ¸
E(º ¡ ¹ + 1; ¡º ¡ ¹; ¸: 1 ¡ ¹: 2¯)
2
¯ sin(¹¼)
[Re ¯ > 0; Re ¸ > 0; Re(¸ + ¹) > 0]:
ET I 181(16)
2:
Z
1
0
1
1
e¡¯x x¸¡ 2 ¹¡1 (x + 2) 2 ¹ Q¹º (1 + x) dx =
sin(º¼)
E(¡º; º + 1; ¸ ¡ ¹: 1 ¡ ¹: 2¯) ¡
2¯ ¸¡¹ sin(¹¼)
sin[(¹ ¡ º)¼]
¡ 1+¹ ¸
E(¹ + º + 1; ¹ ¡ º; ¸: 1 + ¹: 2¯)
2
¯ sin(¹¼)
[Re ¯ > 0; Re ¸ > 0; Re(¸ ¡ ¹)] > 0:
=¡
ET I 181(17)
7.145
1:
Z
1
0
¸
∙
e¡¯x
e¯
1
Pº
¡
1
dx
=
W 1 (¯)W¡º¡ 12 ; 0 (¯)
1+x
(1 + x)2
¯ º+ 2 ; 0
[Re ¯ > 0]:
ET I 180(6)
815
2:
Z
1
0
¡1 ¡¯x
x
e
¡2
Q¡ 21 (1+2x
¼2
) dx =
8
(∙
J0
•
1
¯
2
¶¸2
∙
+ N0
•
1
¯
2
¶¸2 )
[Re ¯ > 0]:
Z
3:
1
x¡1 e¡ax Qº (1+2x¡2 ) dx =
0
1
[¡(º+1)]2 a¡1 W¡º¡ 21 ; 0 (ai)W¡º¡ 12 ; 0 (¡ai)
2
[Re a > 0; Re º > ¡1]:
ET II 327(6)
7.146
Z
1:
1
p
¯
5
1
1
x¡ 2 ¹ e¡¯x Pº¹ ( 1 + x) dx = 2¹ ¯ 2 ¹¡ 4 e 2 W 1 ¹+ 14 ; 12 º+ 41 (¯)
[Re ¹ < 1;
2
0
Re ¯ > 0]:
ET I 180(7)
Z
2:
1
0
p
¯
3
e¡¯x
1
1
x¡ 2 ¹ p
Pº¹ ( 1 + x) dx = 2¹ ¯ 2 ¹¡ 4 e 2 W 12 ¹+ 14 ; 12 º+ 41 (¯)
1+x
[Re ¹ < 1; Re ¯ > 0]:
ET I 180(8)a
Z
3:
1p
¡¯x
xe
0
• ¶
• ¶
r
p
p
¼ (1)
1
1
1
¡ 14
(2)
2
2
Pº ( 1 + x )Pº ( 1 + x ) dx =
Hº+ 1
¯ Hº+ 1
¯
2
2
2 2¯
2
2
1
4
[Re ¯ > 0]:
ET I 180(9)
7.147
Z
1
0
1
x¸¡1 (x2 + a2 ) 2 º e¡¯x P¹º
∙
x
¸
dx =
1
(x2 + a2 ) 2
¯
1
0
¯
¯
¯
¸+¹+º
¸¡¹+ºC
2¡º¡2 a¸+º 32 B
C
B a2 ¯ 2 ¯ ¸ 1 ¡ ¸ 1
G24 B
0; ; ¡
;¡
=
¯ 1¡ ;
C
¯
A
@ 4
¼¡(¡¹ ¡ º)
2
2
2
2
2
¯
¯
[a > 0;
Re ¯ > 0;
Re ¸ > 0]:
ET II 327(7)
7.148
Z
1
¡1
¡ 12 ¹
(1¡x)
(1+x)
1
2 ¹+º¡1
•
¶
1
1
1
1¡x
exp ¡
y P¹º (x) dx = 2º y 2 ¹+º¡ 2 e 2 y W 12 ¹¡º¡ 12 ; 12 ¹ (y)
1+x
[Re y > 0]:
ET II 317(21)
7.149
Z
1
1
1
1
1
(®2 +¯ 2 +2®¯x)¡ 2 exp[¡(®2 +¯ 2 +2®¯x) 2 ]Pº (x) dx = 2¼ ¡1 (®¯)¡ 2 Kº+ 21 (®)Kº+ 12 (¯)
[Re ® > 0;
Re ¯ > 0]:
7.15 Combinations of associated Legendre and hyperbolic functions
7.151
1:
Z
¶ •
¶ •
¶
1
1
1 1
1
1
1
¡ ®¡ º
®+ ¹ ¡
º¡ ®+1 ¡
2
¡
1
2
2
2
2
2 2
2
•
¶ •
¶ •
¶
(sh x)®¡1 Pº¡¹ (ch x) dx =
1
1 1
1
1
1
1
0
¡
¹+ º+1 ¡
+ ¹¡ º ¡ 1+ ¹¡ ®
2
2
2 2
2
2
2
[Re(® + ¹) > 0; Re(º ¡ ® + 2) > 0; Re(1 ¡ ® ¡ º) > 0]:
¡1¡¹
•
EH I 172(28)
816
2:
Z
¶ •
¶
1
1
1
1
1
e 2
¡
+ º+ ¹ ¡ 1+ º¡ ®
1
2
2
2
2
2
•
¶ •
¶
(sh x)®¡1 Q¹º (ch x) dx =
£
1
1
1
1 1
0
¡ 1+ º¡ ¹ ¡
+ º+ ®
2
2
2 2
2
¶ •
¶
•
1
1
1
1
®+ ¹ ¡
®¡ ¹
£¡
2
2
2
2
[Re(® § ¹) > 0; Re(º ¡ ® + 2) > 0]:
i¹¼ ¹¡®
•
EH I 172(29)
7.152
Z
1
e¡®x sh2¹
0
•
¶
•
¶
1
1
• ¶
∙ • ¶¸
¡ 2¹ +
¡(® ¡ n ¡ ¹)¡ ® + n ¡ ¹ +
1
1
2
2
¡2¹
¡
¢
x P2n
x
dx =
ch
p
2
2
4¹ ¼¡(® + n + ¹ + 1)¡ ® ¡ n + ¹ + 12
¸
∙
1
:
Re ® > n + Re ¹; Re ¹ > ¡
4
ET I 181(15)
7.16 Combinations of associated Legendre functions, powers, and trigonometric
functions
7.161
1:
Z
1
0
1
x¸¡1 (1 ¡ x2 )¡ 2 ¹ sin(ax)P¹º (x) dx =
1
=
¼ 2 2¹¡¸¡1 ¡(¸ + 1)a
¶ •
¶£
¸¡¹¡º
3+¸¡¹+º
¡ 1+
¡
2
2
•
¶
¸ 3
¸¡¹¡º 3+¸¡¹+º
a2
1+¸
; 1+ ; ; 1+
;
;¡
£ 2 F3
2
2 2
2
2
4
[Re ¸ > ¡1; Re ¹ < 1]:
•
2:
Z
1
0
1
x¸¡1 (1 ¡ x2 )¡ 2 ¹ cos(ax)P¹º (x) dx =
1
¼ 2 2¹¡¸ ¡(¸)
¶ •
¶£
=
1+¸¡¹¡º
¸¡¹+º
¡ 1+
¡
2
2
¶
•
¸¡¹+º
a2
¸ ¸+1 1 1+¸¡¹¡º
£ 2 F3
;
; ;
; 1+
;¡
2
2
2
2
2
4
•
[Re ¸ > 0; Re ¹ < 1]:
ET II 314(8)
3:
Z
1
0
1
1
(x2 ¡1) 2 ¹ sin(ax)Pº¹ (x) dx =
1
2¹ ¼ 2 a¡¹¡ 2
¶ •
¶ S¹+ 1 ; º+ 1 (a)
2
2
1 1
1
1
1
¡ ¹¡ º ¡ 1¡ ¹+ º
¡
2 2
2
2
2
∙
¸
3
a > 0; Re ¹ < ; Re(¹ + º) < 1 :
2
•
ET II 320(1)
817
7.162
1:
Z
1
2 ¡2
Pº (2x a
a
¼a
¡1) sin(bx) dx = ¡
4 cos(º¼)
(∙
[a > 0;
Jº+ 12
•
b > 0;
ab
2
¶¸2
∙
¡ J¡º¡ 12
¡1 < Re º < 0]:
•
ab
2
¶¸2 )
ET II 326(1)
2:
3:
Z
Z
1
2 ¡2
Pº (2x a
a
1
0
1
∙
• ¶
• ¶
• ¶
• ¶¸
¼
ab
ab
ab
ab
¡1) cos(bx) dx = ¡ a Jº+ 12
J¡º¡ 12
¡ Nº+ 12
N¡º¡ 12
4
2
2
2
2
[a > 0; b > 0; ¡1 < Re º < 0]:
1
ET II 326(2)
1
(x2 + 2)¡ 2 sin(ax)Pº¡1 (x2 + 1) dx = 2¡ 2 ¼ ¡1 a sin(º¼)[Kº+ 21 (2¡ 2 a)]2
[a > 0;
¡2 < Re º < 1]:
ET I 98(22)
4:
Z
1
0
1
3
1
1
(x2 + 2)¡ 2 sin(ax)Q1º (x2 + 1) dx = ¡2¡ 2 ¼aKº+ 21 (2¡ 2 a)Iº+ 12 (2¡ 2 a)
∙
¸
3
a > 0; Re º > ¡
:
2
5:
Z
1
0
p
∙
¶¸2
•
2
a
sin(º¼) Kº+ 21 p
cos(ax)Pº (1+x ) dx = ¡
¼
2
2
[a > 0;
¡1 < Re º < 0]:
ET I 42(23)
6:
Z
1
0
¼
cos(ax)Qº (1+x2 ) dx = p Kº+ 21
2
•
a
p
2
¶
Iº+ 12
•
a
p
2
¶
[a > 0;
Re º > ¡1]:
ET I 42(24)
7:
Z
1
cos(ax)Pº (2x2 ¡ 1) dx =
0
³a´
³a´
¼
Jº+ 21
J¡º¡ 12
2
2
2
[a > 0]:
ET I 42(25)
7.163
1:
Z
1
a
1
1
1
(x2 ¡a2 ) 2 º¡ 4 sin(bx) P02
¡º
³
º¼
¼´
1
(ax¡1 ) dx = b¡º¡ 2 cos ab ¡
+
2
4
∙
a > 0;
j Re º j <
¸
1
:
2
ET I 98(24)
2:
Z
1
0
1
x¡1 cos(ax)Pº (2x¡2 ¡1) dx = ¡ ¼ cosec(º¼) 1 F1 (º+1: 1: ai) 1 F1 (º+1: 1: ¡ai)
2
[a > 0; ¡1 < Re º < 0]:
ET II 327(4)
7.164
1:
Z
1
0
1
2
¡ 41
x sin(bx)[Pº
r
2 ¡1 ¡ 1
∙
• ¶¸2
a b 2
b
¼
•
¶ •
¶ Kº+ 1
2
5
1
2a
¡
+º ¡
¡º
4
4
¸
∙
1
5
:
Re a > 0; b > 0; ¡ < Re º <
4
4
p
( 1 + a2 x2 )]2 dx =
ET II 327(8)
818
2:
Z
p
p
1
¡1
¡1
x 2 sin(bx)Pº 4 ( 1 + a2 x2 )Qº 4 ( 1 + a2 x2 ) dx =
r
•
¶
¼ ¡ 1 ¼i
5
• ¶
• ¶
∙
e 4 ¡ º+
b
b
2
4
•
¶
=
Kº+ 12
Re a > 0;
Iº+ 12
3
1
2a
2a
ab 2 ¡ º +
4
1
0
b > 0;
¸
5
Re º > ¡
:
4
3:
Z
p
p
dx
¡ 14
( 1 + a2 x2 )Pº¡1
( 1 + a2 x2 ) p
=
1 + a2 x2
• ¶
• ¶
1
a¡2 b 2
b
b
¶ Kº¡ 1
•
¶ •
= p
Kº+ 12
2
5
5
2a
2a
¡º
2¼¡
+º ¡
4
4
∙
¸
5
5
Re a > 0; b > 0; ¡ < Re º <
:
4
4
1
0
1
¡ 41
x 2 sin(bx)Pº
ET II 328(10)
4:
Z
p
1 p
1
dx
¡3
x 2 sin(bx)Pº4 ( 1 + a2 x2 )Pº 4 ( 1 + a2 x2 ) p
=
1 + a2 x2
∙
• ¶¸2
∙
1
a¡2 b 2
b
¶ Kº+ 1
¶ •
•
= p
Re a > 0;
2
7
3
2a
¡º
+º ¡
2¼¡
4
4
1
0
b > 0;
3
7
¡ < Re º <
4
4
¸
:
ET II 328(11)
¶¡ 12
¼b
∙
• ¶¸2
Z 1
a
1 p
1
b
2
2
4
2
2
2
•
¶
•
¶
x cos(bx)[Pº ( 1 + a x )] dx =
Kº+ 12
1
3
2a
0
¡
+º ¡ ¡ ¡º
4
4
¸
∙
1
3
:
Re a > 0; b > 0; ¡ < Re º < ¡
4
4
¡1
5:
•
ET II 328(12)
6:
Z
r
•
¶
¼ 1 ¼i
3
4
• ¶
• ¶
e ¡ º+
1
1 p
1 p
1
b
b
2
4
4
4
2
2
2
2
•
¶ Iº+ 1
x 2 cos(bx)Pº ( 1 + a x )Qº ( 1 + a x ) dx =
Kº+ 12
2
1
5
2a
2a
0
ab 2 ¡ º +
4
∙
¸
3
Re a > 0; b > 0; Re º > ¡
:
4
ET II 328(13)
7:
Z
p
3 p
dx
( 1 + a2 x2 )Pº4 ( 1 + a2 x2 ) p
=
1 + a2 x2
∙
• ¶¸2
∙
1
a¡2 b 2
b
¶ Kº+ 1
•
¶ •
= p
Re a > 0;
2
5
1
2a
¡º
2¼¡
+º ¡
4
4
1
0
1
¡ 14
x 2 cos(bx)Pº
b > 0;
1
5
¡ < Re º <
4
4
¸
:
ET II 328(14)
819
Z
8:
p
1 p
1
1
dx
4
x 2 cos(bx)Pº4 ( 1 + a2 x2 )Pº¡1
( 1 + a2 x2 ) p
=
1 + a2 x2
¶
¶
∙
•
•
1
a¡2 b 2
b
b
¶ Kº¡ 1
•
¶ •
Kº+ 12
Re a > 0;
= p
2
3
3
2a
2a
¡º
2¼¡
+º ¡
4
4
1
0
b > 0;
¸
3
j Re º j <
:
4
ET II 329(15)
7.165
Z
1
0
sin(º¼)
cos(ax)Pº (ch x) dx = ¡
¡
4¼ 2
•
1 + º + i®
2
¶ •
¶ •
¶ •
¶
º + i®
º ¡ i®
1 + º ¡ i®
¡
¡ ¡
¡ ¡
2
2
2
[a > 0; ¡1 < Re º < 0]:
ET II 329(18)
7.166
Z
¼
0
®¡1
P¡¹
' d' =
º (cos ') sin
¶ •
¶
1
1
1
1
2 ¼¡
®+ ¹ ¡
®¡ ¹
2
2
2
2
¶ •
¶ •
¶ •
¶
= •
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
¡
+ ®+ º ¡
®¡ º ¡
¹+ º+1 ¡
¹¡ º+
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
[Re(® § ¹) > 0]:
¡¹
•
MO 90, EH I 172(27)
7.167
¶
1
∙
¸´
Z a
2 ¡(¹ ¡ ´)¡ ´ +
(sin a)´
dx
sin(a ¡ x)
2
¡¹
¡´
p
Pº (cos x)Pº [cos(a¡x)]
=
P¡¹
º (cos a)
sin
x
sin
x
¼¡(´
+
¹
+
1)
0
∙
¸
1
Re ¹ > Re ´ > ¡
:
2
´
•
ET II 329(16)
7.17 A combination of an associated Legendre function and the probability integral
7.171
Z
1
1
1
(x2 ¡ 1)¡ 2 ¹ exp(a2 x2 )[1 ¡ ©(ax)]Pº¹ (x) dx =
•
¶ •
¶
1+¹+º
¹¡º
a2
3
= ¼ ¡1 2¹¡1 ¡
¡
a¹¡ 2 e 2 W 1 ¡ 21 ¹; 14 + 12 º (a2 )
4
2
2
[Re a > 0; Re ¹ < 1; Re(¹ + º) > ¡1; Re(¹ ¡ º) > 0]:
7.181
1:
Z
1
1
1
2
Pº¡ 12 (x)x Nº (ax) dx = 2
¡ 21
¡1
a
∙
cos
•
• ¶
¶ • ¶
• ¶¸
1
1
1
1
a Jº
a ¡ sin
a Nº
a
2
2
2
2
∙
¸
1
a > 0; Re º <
:
2
ET II 108(3)a
820
2:
Z
1
1
∙
• ¶
• ¶ • ¶¸
• ¶
1
1
1
1
1
1
Pº¡ 12 (x)x 2 Jº (ax) dx = ¡ p
cos
a Nº
a + sin
a Jº
a
2
2
2
2
2a
∙
j Re º j <
¸
1
:
2
ET II 344(36)a
7.182
1:
Z
1
1
2
º
2
x (x ¡1)
1
2
¸¡ 12
P¸¸¡1 (x)Jº (ax) dx
∙
=
a > 0;
¸+º ¡¸
a
¡
•
1
+º
2
¶
S¸¡º; ¸+º (a)
1
¼ 2 ¡(1 ¡ ¸)
¸
3
5
Re º < ; Re(2¸ + º) <
:
2
2
ET II 345(38)a
2:
Z
1
1
h
³a´
³a´
³ a ´ ³ a ´i
1
1
¹
¡ 32 12 ¹¡ 12
x 2 ¡¹ (x2 ¡1)¡ 2 ¹ Pº¡
¼ a
Nº
+ N¹¡ 21
Jº
J¹¡ 12
1 (x)Jº (ax) dx = ¡2
2
2
2
2
2
¸
∙
1
1
¡ < Re ¹ < 1; a > 0; j Re º j < + 2 Re ¹ :
4
2
ET II 344(37)a
3:
Z
1
1
h ³a´
³a´
³a´
³ a ´i
1
1
¹
¡ 32 12 ¹¡ 12
x 2 ¡¹ (x2 ¡1)¡ 2 ¹ Pº¡
¼ a
J¹¡ 12
¡ Nº
N¹¡ 12
Jº
1 (x)Nº (ax) dx = 2
2
2
2
2
2
∙
¸
1
1
¡ < Re ¹ < 1; a > 0; Re(2¹ ¡ º) > ¡
:
4
2
ET II 349(67)a
4:
Z
1
x
0
1
2 ¡¹
2 ¡ 12 ¹
(1¡x )
P¹º (x)Jº+ 12 (ax) dx
=
r
• ¶
• ¶
¼ ¹¡ 1
1
1
2
a
J 1 ¡¹
a Jº+ 21
a
2
2
2
2
[Re ¹ < 1; Re(¹ ¡ º) < 2]:
5:
Z
1
x
1
2 ¡¹
1
¡ 21 ¹
2
(x ¡1)
¹
Pº¡
1 (x)Kº (ax) dx
2
¶
• ¶
1
1
= (2¼) a
Kº
a K¹¡ 12
a
2
2
[Re ¹ < 1; Re a > 0]:
¡ 21
¹¡ 21
•
ET II 135(5)a
6:
Z
1
¹+ 12
x
1
¡ 21 ¹
2
(x ¡1)
¹
Pº¡
1 (x)Kº (ax) dx
2
=
r
¼ ¡3 ¡1a
a 2 e 2 W¹; º (a)
2
[Re ¹ < 1;
Re a > 0]:
ET II 135(3)a
7:
Z
1
3
1
¹
x¹¡ 2 (x2 ¡1)¡ 2 ¹ Pº¡
1 (x)Kº (ax) dx =
2
1
r
¼ ¡1 ¡1a
a 2 e 2 W¹¡1; º (a)
2
[Re ¹ < 1;
Re a > 0]:
ET II 135(4)a
8:
Z
1
¹¡ 21
x
1
¡ 21 ¹
2
(x ¡1)
¹
Pº¡
3 (x)Kº (ax) dx
2
=
r
¼ ¡1 ¡ 1 a
a e 2 W¹¡ 12 ; º¡ 21 (a)
2
[Re ¹ < 1]:
ET II 135(6)a
9:
Z
1
1
1
1
1
1
x 2 (x2 ¡1) 2 º¡ 4 P¹2
¡º
h
³ a ´i2
1
(2x2 ¡1)Kº (ax) dx = ¼ ¡ 2 a¡º 2º¡1 K¹+ 21
2
¸
∙
1
Re º > ¡ ; Re a > 0 :
2
ET II 136(11)a
821
10:
Z
1
1
1
1
1
1
¡º
x 2 (x2 ¡ 1) 2 º¡ 4 P¹2 (2x2 ¡ 1)Nº (ax) dx =
h
³a´
³a´
³a´
³ a ´i
1
= ¼ 2 2º¡2 a¡º J¹+ 12
J¡¹¡ 12
¡ N¹+ 12
N¡¹¡ 12
2
2
2
2
∙
¸
3
1
Re º > ¡ ; a > 0; Re º + j2 Re ¹ + 1j <
:
2
2
ET II 108(5)a
11:
Z
1
1
1
1
1
1
x 2 (x2 ¡ 1) 2 º¡ 4 P¹2
¡º
(2x2 ¡ 1)Jº (ax) dx =
½h
³ a ´i2 h
³ a ´i2 ¾
º¡2 ¡º 12
= ¡2
a ¼ sec (¹¼) J¹+ 12
¡ J¡¹¡ 21
2
2
¸
∙
1
1
3
Re º > ¡ ; a > 0; Re º ¡ < 2 Re ¹ < ¡ Re º :
2
2
2
12:
Z
1
1
1
x(x2 ¡1)¡ 2 º P¹º (2x2 ¡1)Kº (ax) dx = 2¡º aº¡1 K¹+1 (a)
[Re a > 0;
Re º < 1]:
ET II 136(10)a
13:
Z
1
0
1
x(x2 + a2 ) 2 º P¹º (1 + 2x2 a¡2 )Kº (xy) dx = 2¡º ay ¡º¡1 S2º; 2¹+1 (ay)
[Re a > 0;
Re y > 0;
Re º < 1]:
ET II 135(7)
14:
Z
1
0
1
º
x(x2 +a2 ) 2 º [(¹¡º)P¹º (1+2x2 a¡2 )+(¹+º)P¡¹
(1+2x2 a¡2 )]Kº (xy) dx =
= 21¡º ¹y ¡º¡2 S2º+1; 2¹ (ay)
[Re a > 0;
Re y > 0;
Re º < 1]:
ET II 136(8)
15:
Z
1
0
1
º
x(x2 +a2 ) 2 º¡1 [P¹º (1+2x2 a¡2 )+P¡¹
(1+2x2 a¡2 )]Kº (xy) dx = 21¡º y ¡º S2º¡1; 2¹ (ay)
[Re a > 0;
Re y > 0;
Re º < 1]:
ET II 136(9)
16:
Z
1
1
1
1
1
¡º¡ 21
x 2 (x2 +2)¡ 2 º¡ 4 P¹
0
1
1
1
y ¡ 2 2 2 ¡º ¼ ¡ 2 [K¹+ 21 (2¡ 2 y)]2
•
¶ •
¶
3
1
¡ º+¹+
¡ º¡¹+
2
2
∙
¸
3
1
¡ ¡ Re º < Re ¹ < Re º + ; y > 0 :
2
2
(x2 +1)Jº (xy) dx =
ET II 44(1)
17:
Z
1
1
1
1
º+ 12
x 2 (x2 +2)¡ 2 º¡ 4 Q¹
0
1
1
1
1
1
(x2 +1)Jº (xy) dx = 2¡º¡ 2 ¼ 2 e(º+ 2 )¼i y º K¹+ 12 (2¡ 2 y)I¹+ 21 (2¡ 2 y)
∙
¸
5
Re º > ¡1; Re(2¹ + º) > ¡ ; y > 0 :
2
ET II 46(12)
7.183
Z
1
0
1
1
¹+ 1
x1¡¹ (1 + a2 x2 )¡ 2 ¹¡ 4 Qº¡ 12 (§iax)Jº (xy) dx =
2
•
¶
•
¶
1 ¡1
1 ¡1
1
1
1
a y K¹
a y
= i(2¼) 2 ei¼(¹¨ 2 º¨ 4 ) a¡1 y ¹¡1 Iº
2
2
∙
¸
3 1
¡ ¡ Re º < Re ¹ < 1 + Re º; y > 0; Re a > 0 :
4 2
1:
Z
1
1
1
2
2
x (x ¡1)
1
1
2 ¹¡ 4
∙
1
=2 a
¼
cos a + (º ¡ ¹)¼
2
¸
∙
1
j Re ¹j < ; Re º > ¡1; a > 0 :
2
¡ 1 ¡¹
P¡ 12+º (x¡1 )Jº (xa) dx
2
1
2
¡1¡¹ ¡ 12
¸
ET II 44(2)a
2:
Z
1
1
1
º¡ 12
1
1
x¡º (x2 ¡1) 4 ¡ 2 º P¹
(2x¡2 ¡1)Kº (ax) dx = ¼ 2 2¡º a¡2+º W¹+ 12 ; º¡ 21 (a)W¡¹¡ 12 ; º¡ 12 (a)
∙
¸
3
Re º < ; a > 0 :
2
ET II 370(45)a
3:
Z
¶
2
x (1 + x )
1 + 2 Jº (ax) dx =
x
¶¸2 •
¶
∙ •
1
3
1
= ¡iei¼º ¼ ¡ 2 2º a¡º¡2 ¡
+¹+º
¡
+º ¡¹ £
2
2
2
1
0
º
1
4
2
+ º2
º+ 1
Q¹ 2
•
6 cos(¹¼)
£W¡¹¡ 12 ; º+ 21 (a) 6
4 ¡(2 + 2º) M¹+ 12 ; º+ 12 (a) +
∙
a > 0;
•
sin(º¼)
¡ º+¹+
3
Re(¹ + º) > ¡ ;
2
3
2
3
7
¶ W¹+ 1 ; º+ 1 (a)7
5
1
Re(¹ ¡ º) <
2
2
¸
2
:
ET II 46(14)
4:
Z
1
0
1
1
¡º¡ 1
xº (1 ¡ x2 ) 2 º+ 4 P¹ 2 (2x¡2 ¡ 1)Jº (xy) dx =
•
¶ •
¶
3
1
¡
+¹+º ¡
+º¡¹
2
2
º+ 21 º
=2
y
£
¶¸2
∙ •
1
3
2
(2¼) ¡
+º
2
¶
¶
•
•
3
3
£ 1 F1 º + ¹ + ; 2º + 2; iy 1 F1 º + ¹ + ; 2º + 2; ¡iy
2
2
∙
¸
1
3
y > 0; ¡ ¡ Re º < Re ¹ < Re º +
:
2
2
ET II 45(3)
5:
Z
1
0
1
1
1
x¡º (x2 + a2 ) 4 ¡ 2 º Q¹2
¡º
(1 + 2a2 x¡2 )Kº (xy) dx =
∙ •
¶¸2
3
¡i¼º 12 ¡º¡1 ¡º¡ 21 º¡2
= ie
¼ 2
a
y
¡
+¹¡º
W¡¹¡ 21 ; º¡ 12 (iay)W¡¹¡ 12 ; º¡ 12 (¡iay)
2
∙
¸
3
3
Re a > 0; Re y > 0; Re ¹ > ¡ ; Re(¹ ¡ º) > ¡
:
2
2
823
Z
6:
1
1
1
1
x¡º (x2 + 1) 4 ¡ 2 º Q¹2
¡º
(1 + 2x¡2 )Jº (ax) dx =
¶
•
3
1
+¹¡º
ie¡iº¼ ¼ 2 ¡
2
M¹+ 21 ; º¡ 12 (a)W¡¹¡ 12 ; º¡ 12 (a)
= 2¡º a¡º¡2
¡(2º)
¸
∙
3
:
a > 0; 0 < Re º < Re ¹ +
2
0
ET II 47(15)a
Z
7:
1
0
1
1
1
¡º
x¡º (x2 + a2 ) 4 ¡ 2 º Q¡2 1 (1 + 2a2 x¡2 )Kº (xy) dx =
2
½h
¾
¡ ¢i 2 h
¡ ay ¢i2
3
1
1
+
N
= ie¡i¼º ¼ 2 2¡º¡3 a 2 ¡º y º¡1 [¡(1¡º)]2 £ Jº¡ 21 ay
º¡ 2
2
2
[Re a > 0;
Re y > 0;
Re º < 1]:
ET II 136(12)
7.185
Z
1
0
1
2
x Qº¡ 21 [(a2 +x2 )x¡1 ]Jº (xy) dx = 2
¡ 12
¼y ¡1
" •
¶ 12 # • ¶
1
1
exp ¡ a2 ¡
y Jº
y
4
2
∙
¸
1
Re º > ¡ ; y > 0 :
2
ET II 46(10)
7.186
Z
1
x(1+x2 )¡º¡1 Pº
0
•
1 ¡ x2
1 + x2
¶
J0 (xy) dx = y 2º [2º ¡(º+1)]¡2 K0 (y)
[Re º > 0]:
ET II 13(10)
7.187
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
p
3
xP¹º ( 1 + x2 )Kº (xy) dx = y ¡ 2 Sº+ 12 ; ¹+ 12 (y)
[Re º < 1;
Re y > 0]:
h
³ y ´i2
p
x[P¸¡ 12 ( 1 + a2 x2 )]2 J0 (xy) dx = 2¼ ¡2 y ¡1 a¡1 cos(¸¼) K¸
2a
∙
¸
1
Re a > 0; j Re ¸j < ; y > 0 :
4
ET II 137(14)
3:
Z
1
0
p
1
1
x(1+x2 )¡ 2 P¹º ( 1 + x2 )Kº (xy) dx = y ¡ 2 Sº¡ 12 ; ¹+ 12 (y)
[Re º < 1;
Re y > 0]:
ET II 137(15)
4:
Z
p
p
¡1º
( 1 + a2 x2 )Q¹ 2 ( 1 + a2 x2 )Jº (xy) dx =
0
¶
•
1
¡1 ¡ 12 º¼i
y e
¡ 1+¹+ º
³y ´
³y ´
2
•
¶
I¹+ 12
=
K¹+ 12
1
2a
2a
a¡ 1 + ¹ ¡ º
2
∙
3
Re a > 0; y > 0; Re ¹ > ¡ ;
4
1
¡ 21 º
xP¹
¸
Re º > ¡1 :
ET II 47(16)
824
5:
Z
1
0
p
¹
xP¾¡
1 (
2
1+
a2 x2 )Q¹¾¡ 1
2
∙
¢
³y´
³y´
+¾¡¹
W¹; ¾
M¡¹; ¾
¡(1 + 2¾)
a
a
¸
Re ¹ < 1 :
p
¡
( 1 + a2 x2 )J0 (xy)dx=y ¡2 e¹¼i
Re a > 0;
y > 0;
1
Re ¾ > ¡ ;
4
¡1
2
ET II 14(15)
6:
Z
1
0
³y´
³y´
p
p
¹
¡¹
xP¾¡
1 + a2 x2 )P¾¡
1 + a2 x2 )J0 (xy) dx = 2¼ ¡1 y ¡2 cos(¾¼)W¹; ¾
W¡¹; ¾
1 (
1 (
2
2
a
a
∙
¸
1
Re a > 0; y > 0; j Re ¾ j <
:
4
ET II 14(14)
7:
Z
1
0
³y´ h
³ y´
³
p
y ´i
¹
xfP¾¡
1 + a2 x2 )g2 J0 (xy) dx = ¡i¼ ¡1 y ¡2 W¹; ¾
W¹; ¾ e¼i
¡ W¹; ¾ e¡¼i
1 (
2
a
a
a
∙
¸
1
Re a > 0; y > 0; j Re ¾ j < ; Re ¹ < 1 :
4
ET II 14(13)
8:
Z
p
p
1
1
¡1º
¡1¡1º
x(1 + a2 x2 )¡ 2 P¹ 2 2 ( 1 + a2 x2 )P¹2 2 ( 1 + a2 x2 )Jº (xy) dx =
0
h
³ y ´i2
∙
¸
K¹+ 12
1
5
2a
•
¶ •
¶
=
Re a > 0; y > 0; ¡ < Re ¹ <
:
1
3
º
º
4
4
¡¹+
¼a2 ¡
+¹+
¡
2
2
2
2
1
9:
Z
1
0
¡ 12
xfP¹
h
³ y ´i2
2 K¹+ 12
y ¡1
2a
¶ •
¶
•
1
1
º ¡¹
¼a¡ 1 + ¹ + º ¡
2
2
¸
3
1
¡ < Re ¹ < ¡ ; Re º > ¡1 :
4
4
p
º
( 1 + a2 x2 )g2 Jº (xy) dx =
∙
Re a > 0;
y > 0;
ET II 45(7)
10:
Z
p
p
1
¡1º
¡ 12 º
x(1 + a2 x2 )¡ 2 P¹ 2 ( 1 + a2 x2 )P¹+1
( 1 + a2 x2 )Jº (xy) dx =
³ y ´
³y ´
∙
¸
K¹+ 12
K¹+ 32
7
1
2a
2a
•
¶ •
¶
=
Re a > 0; y > 0; ¡ < Re ¹ < ¡
:
1
1
4
4
¼a2 ¡ 2 + º + ¹ ¡
º ¡¹
2
2
1
0
ET II 45(8)
7.188
1:
Z
1
2 ¡ 21 ¹
2
x(a + x )
0
P¡º
¹¡1
∙
¸
y ¹¡2 e¡ay
a
p
Jº (xy) dx =
2
2
¡(¹ + º)
∙ a +x
Re a > 0;
y > 0;
Re º > ¡1;
1
Re ¹ >
2
¸
:
ET II 45(4)
825
2:
3:
Z
Z
1
º+1
x
2
2
(x +a )
1
2º
Pº
0
1
0
1¡º
x
2
2 ¡ 21 º
(x +a )
•
¶
³ ya ´i2
(2a)º+1 y ¡º¡1 h
x2 + 2a2
p
Kº+ 21
Jº (xy) dx =
¼¡(¡º)
2
2a x2 + a2
[Re a > 0; ¡1 < Re º < 0; y > 0]:
Pº¡1
•
ET II 45(5)
¶
³ ay ´
³ ay ´
(2a)1¡º y º¡1
x2 + 2a2
p
Iº¡ 12
Kº¡ 12
Jº (xy) dx =
¡(º)
2
2
2a x2 + a2
[Re a > 0; y > 0; 0 < Re º < 1]:
ET II 45(6)
7.189
1:
Z
1
0
¶
•
2x
(a + x)¹ e¡x Pº¡2¹ 1 +
I¹ (x) dx = 0
a
¸
∙
1
1
1
¡ < Re ¹ < 0; ¡ + Re ¹ < Re º < ¡ ¡ Re ¹ :
2
2
2
2:
3:
4:
Z
Z
Z
¶
•
2x
(x + a)¡¹ e¡x Pº¡2¹ 1 +
I¹ (x) dx =
a
•
¶ •
¶
1
1
¡ ¹¡º ¡
ea
2¹¡1 ¡ ¹ + º +
2
2
=
W 12 ¡¹; 12 +º (2a)
1
¼ 2 ¡(2¹ + º + 1)¡(2¹ ¡ º)
¯
∙
¯
j arg aj < ¼; Re ¹ > ¯¯Re º +
1
0
¶
•
2x
x¡¹ ex Pº2¹ 1 +
K¹ (x + a) dx =
a
•
¶ •
1
1
= ¼ ¡ 2 2¹¡1 cos(¹¼)¡ ¹ + º +
¡ ¹¡º+
2
∙
j arg aj < ¼;
¯¸
1 ¯¯
:
2¯
ET II 367(19)
1
0
1
¡ 12 ¹
x
¡ 12 ¡x
(x+a)
e
0
P¹º¡ 1
2
•
a¡x
a+x
¶
1
2
¶
W 12 ¡¹; 21 +º (2a)
¯
¯¸
¯
1¯
Re ¹ > ¯¯Re º + ¯¯ :
2
Kº (a+x) dx =
r
¼ ¡1¹
a 2 ¡(¹; 2a)
2
ET II 373(11)
[a > 0;
Re ¹ < 1]:
ET II 374(12)
5:
Z
1
0
3
(sh x)¹+1 (ch x)¡2¹¡ 2 Pº¡¹ [ch(2x)]I¹¡ 12 (a sech x) dx =
1
=
2¹¡ 2 ¡(¹ ¡ º)¡(¹ + º + 1)
1
3
¼ 2 a¹+ 2 [¡(¹ + 1)]2
Mº+ 12 ; ¹ (a)M¡º¡ 12 ; ¹ (a)
[Re ¹ > Re º;
Re ¹ > ¡ Re º ¡ 1]:
ET II 378(44)
826
7.19 Combinations of associated Legendre functions and functions generated by
Bessel functions
7.191
1:
Z
1
a
1
1
1
º+ 21
x 2 (x2 ¡ a2 )¡ 4 ¡ 2 º P¹
(2x2 a¡2 ¡ 1)[Hº (x) ¡ Nº (x)] dx =
(∙ • ¶¸
∙ • ¶¸2 )
2
1
1
1
Nº
= 2¡º¡2 ¼ 2 a cosec(¹¼) cos(º¼)
a
¡ Jº
a
2
2
¸
∙
1
:
¡1 < Re ¹ < 0; Re º <
2
2:
Z
1
0
x1=2 (x2 ¡ a2 )¡1=4¡º=2 P¹º+1=2 (2x2 a¡2 ¡ 1)[I¡º (x) ¡ Lº (x)] dx =
(∙ • ¶¸
∙
• ¶¸2 )
2
1
1
¡º¡1 1=2
Iº
¼ a cosec(2¹¼) cos(º¼)
a
¡ I¡º
a
=2
2
2
¸
∙
1
:
¡1 < Re ¹ < 0; Re º <
2
ET II 385(15)
7.192
1:
2:
Z
Z
1
0
(¹¡º+2)=2
x(º¡¹¡1)=2 (1 ¡ x2 )(º¡¹¡2)=4 Pº¡1=2
(x)S¹; º (ax) dx =
¶ •
¶
•
¶
•
¹+º+3
¹ ¡ 3º + 3
¹¡º
¹¡3=2 1=2 ¡(º¡¹¡1)=2
¡
cos
¼ £
=2
¼ a
¡
4
4
2
∙ • ¶
• ¶
• ¶
• ¶¸
1
1
1
1
£ Jº
a N¡(¹¡º+1)=2
a ¡ Nº
a J¡(¹¡º+1)=2
a
2
2
2
2
[Re(¹ ¡ º) < 0; a > 0; j Re(¹ + º)j < 1; Re(¹ ¡ 3º) < 1]:
ET II 387(24)a
1
1
x1=2 (x2 ¡ 1)¡¯=2 Pº¯ (x)S¹; 1=2 (ax) dx =
•
¶ •
¶
1
1
¯ ¡¹+º
¯ ¡¹¡º
¡3=2+¯¡¹ ¯¡1
a
¡
+
¡
¡
2
2
4
2
4
•
¶
=
S¹¡¯+1; º+1=2 (a)
1
¼ 1=2 ¡
¡¹
2
∙
¸
1
1
Re ¯ < 1; a > 0; Re(¹ + º ¡ ¯) < ¡ ; Re(¹ ¡ º ¡ ¯) <
:
2
2
ET II 387(25)a
827
7.193
1:
Z
1
1
º¡1=2
x¡º (x2 ¡ 1)1=4¡º=2 P¹=2¡º=2 (2x¡2 ¡ 1)S¹; º (ax) dx =
•
¶
3º ¡ ¹ ¡ 1
2¹¡º aº¡2 ¼ 1=2 ¡
2
•
¶
=
W½; ¾ (aei¼=2 )W½; ¾ (ae¡i¼=2 );
1+º ¡¹
¡
2
1
1
½ = (¹ + 1 ¡ º);
¾=º¡
2
∙
¸ 2
3
Re(¹ ¡ º) < 0; a > 0; Re º < ; Re(3º ¡ ¹) > 1 :
2
ET II 387(27)a
ET II 387(26)a
7.21 Integration of associated Legendre functions with respect to the order
7.211
1:
Z
1
0
P¡x¡ 12 (cos •) dx =
•
1
cosec
2
1
•
2
¶
[0 < • < ¼]:
ET II 329(19)
2:
Z
1
Px (cos •) dx = cosec
¡1
•
1
•
2
¶
[0 < • < ¼]:
ET II 329(20)
7.212
Z
1
0
1
x¡1 •(¼x)P¡ 12 +ix (ch a) dx = 2e¡ 2 a K (e¡a )
[a > 0]:
ET II 330(22)
7.213
Z
1
0
x •(¼x)
P 1
(ch b) dx = Qa¡ 12 (ch b)
a2 + x2 ¡ 2 +ix
[Re a > 0]:
ET II 387(23)
7.214
Z
1
0
sh(¼x) cos(ax)P¡ 21 +ix (b) dx = p
1
2(b + ch a)
[a > 0;
jbj < 1]:
ET I 42(27)
7.215
Z
1
0
cos(bx) P¡¹ 1 +ix (ch a) dx = 0
2
[0 < a < b];
r
¼
(sh a)¹
2
¶
= •
1
1
¡ ¹ (ch a ¡ ch b)¹+ 2
¡
2
[0 < b < a]:
Z
1
0
r
1
¼
¡(¹)(sh a)¹¡ 2
2
¡¹
cos(bx)¡(¹ + ix)¡(¹ ¡ ix)P¡ 1 +ix (ch a) dx =
2
(ch a + ch b)¹
[a > 0; b > 0; Re ¹ > 0]:
1
2
ET II 330(24)
7.217
1:
Z
1
¡1
¶ •
¶ •
¶
1
1
1
1
2 ¡º
¡ ix ¡ 2º ¡ + ix Pº+ix¡1
+ ix ¡
(cos •)Iº¡ 21 +ix (a)Kº¡ 21 +ix (b) dx =
2
2
2
• ¶º
p
1
1
ab
= 2¼(sin •)º¡ 2
Kº (!);
! = (a2 + b2 + 2ab cos •) 2 :
!
•
º¡
ET II 383(29)
2:
Z
1
0
1
(2)
(2)
[a > 0;
b > 0;
xe¼x •(¼x)P¡ 21 +ix (¡ cos •)Hix (ka)Hix (kb) dx = ¡
1
R = (a2 + b2 ¡ 2ab cos •) 2
2(ab) 2 ¡ikR
e
;
¼R
0 < • < ¼;
Im k ∙ 0]:
ET II 381(17)
3:
Z
1
0
1
¡º
(2)
(2)
xe¼x sh(¼x)¡(º + ix)¡(º ¡ ix)P¡2 1 +ix (¡ cos •)Hix (a)Hix (b) dx =
2
• ¶º
1
1
1
ab
= i(2¼) 2 (sin •)º¡ 2
Hº(2) (R);
R = (a2 + b2 ¡ 2ab cos •) 2
R
[a > 0; b > 0; 0 < • < ¼; Re º > 0]:
ET II 381(18)
4:
Z
1
1
2 ¡¸
¡ 12 +ix
1
¼2
(¯) dx = p
2
x sh(¼x)¡(¸+ix)¡(¸¡ix)Kix (a)Kix (b)P
0
h
p
¼
z = a2 + b2 + 2ab¯
j arg aj < ; j arg(¯ ¡ 1)j < ¼;
2
•
ab
z
¶¸
1
1
(¯ 2 ¡1) 2 ¸¡ 4 K¸ (z);
i
Re ¸ > 0 :
ET II 177(16)
7.22 Combinations of Legendre polynomials, rational functions, and algebraic
functions
7.221
1:
Z
1
Pn (x)Pm (x) dx = 0
[m=
= n]
¡1
=
2
2n + 1
[m = n]:
2:
6
Z
1
1
[m = n];
2n + 1
=0
[n ¡ m is even; m=
= n];
1
(m+n¡1)
(¡1) 2
m!n!
=
¶ ¸2
∙• ¶ •
n
m¡1
m+n¡1
!
!
2
(m ¡ n)(n + m + 1)
2
2
Pn (x)Pm (x) dx =
0
[n¡even; m¡odd]:
WH
3:
Z
2¼
P2n (cos ') d' = 2¼
0
∙•
¶
¸2
2n ¡2n
2
:
n
MO 70, EH II 183(50)
829
7.222
1:
2:
Z
Z
1
xm Pn (x) dx = 0
[m < n]:
¡1
1
(1 + x)m+n Pm (x)Pn (x) dx =
¡1
2m+n+1 [(m + n)!]4
:
(m!n!)2 (2m + 2n + 1)!
ET II 277(15)
3:
Z
1
(1 + x)m¡n¡1 Pm (x)Pn (x) dx = 0
[m > n]:
¡1
ET II 278(16)
4:
Z
1
2n2
(1¡x ) P2m (x) dx =
(n ¡ m)(2m + 2n + 1)
¡1
2 n
Z
1
¡1
(1¡x2 )n¡1 P2m (x) dx
[m < n]:
WH
5:
7.223
Z
1
x2 Pn+1 (x)Pn¡1 (x) dx =
0
n(n + 1)
:
(2n ¡ 1)(2n + 1)(2n + 3)
WH
WH
7.224
[z belongs to the complex plane with a discontinuity along the interval from ¡1 to +1].
1:
Z
1
¡1
(z ¡ x)¡1 Pn (x) dx = 2Qn (z):
ET II 277(7)
2:
Z
1
¡1
x(z ¡ x)¡1 P0 (x) dx = 2Q1 (z):
ET II 277(8)
3:
Z
1
¡1
xn+1 (z ¡ x)¡1 Pn (x) dx = 2z n+1 Qn (z) ¡
2n+1 (n!)2
:
(2n + 1)!
ET II 277(9)
4:
Z
1
¡1
xm (z ¡ x)¡1 Pn (x) dx = 2z m Qn (z)
[m ∙ n]:
ET II 277(10)a
5:
Z
1
¡1
(z ¡ x)¡1 Pm (x)Pn (x) dx = 2Pm (z)Qn (z)
[m ∙ n]:
ET II 278(18)a
6:
Z
1
¡1
(z ¡ x)¡1 Pn (x)Pn+1 (x) dx = 2Pn+1 (z)Qn (z) ¡
2
:
n+1
ET II 278(19)
7:
Z
1
¡1
x(z ¡ x)¡1 Pm (x)Pn (x) dx = 2zPm (z)Qn (z)
[m < n]:
ET II 278(21)
ET II 278(20)
7.225
1:
Z
x
¡1
¡ 12
(x ¡ t)
Pn (t) dt =
•
1
n+
2
¶ ¡1
1
(1 + x)¡ 2 [Tn (x) + Tn+1 (x)]:
EH II 187(43)
2:
Z
1
x
¡ 12
(t ¡ x)
¡ 12
P
Pn (t) dt =
•
1
n+
2
¶ ¡1
1
(1 ¡ x)¡ 2 [Tn (x) ¡ Tn+1 (x)]:
EH II 187(44)
830
3:
Z
1
¡1
(1 ¡ x)¡1=2 Pn (x) dx =
23=2
:
2n + 1
EH II 183(49)
4:
Z
1
¡1
¡1=2
(ch 2p ¡ x)
p
2 2
Pn (x) dx =
exp[¡(2n + 1)p]
2n + 1
[p > 0]:
WH
7.226
1:
2:
Z
Z
¶ 32
2 •
1
+
m
¡
1
6
7
2
7 :
(1 ¡ x2 )¡1=2 P2m (x) dx = 6
4
5
m!
¡1
1
¡1
¡
2 ¡1=2
x(1 ¡ x )
P2m+1 (x) dx =
•
ET II 276(4)
¶ •
¶
1
3
+m ¡
+m
2
2
m!(m + 1)!
ET II 276(5)
3:
Z
1
¡1
(1 + px2 )¡m¡3=2 P2m (x) dx =
2
(¡p)m (1 + p)¡m¡1=2
2m + 1
[jpj < 1]:
7.227
Z
1
0
x(a2 + x2 )¡1=2 Pn (1 ¡ 2x2 ) dx =
[a + (a2 + 1)1=2 ]¡2n¡1
2n + 1
[Re a > 0]:
ET II 278(23)
6
7.228
Z 1
1
¡(1 + ¹)
Pl (x)(z ¡ x)¡¹¡1 dx = (z 2 ¡ 1)¡¹=2 e¡i¼¹ Q¹l (z):
2
¡1
[l = 0; 1; 2; . . . ; j arg(z ¡ 1)j < ¼]
7.23 Combinations of Legendre polynomials and powers
7.231
¶ •
¶
1
1 1
Z 1
(¡1) ¡ m ¡ ¸ ¡
+ ¸
2
2 2
¸
•
¶
•
¶
x P2m (x) dx =
3 1
1
0
2¡ ¡ ¸ ¡ m + + ¸
2
2 2
m
1:
•
[Re ¸ > ¡1]:
EH II 183(51)
2:6
Z
•
¶ •
¶
1
1
1
m
(
¡
1)
¡
m
+
¡
¸
¡
1
+
¸
1
2
2
2
•
¶ •
¶
x¸ P2m+1 (x) dx =
1
1
1
0
2¡
¡ ¸ ¡ m+2+ ¸
2
2
2
[Re ¸ > ¡2]:
EH II 183(52)
831
7.232
1:
Z
1
¡1
(1 ¡ x)a¡1 Pm (x)Pn (x) dx =
=
2a ¡(a)¡(n ¡ a + 1)
4 F3 (¡m; m+1; a; a; 1; a+n+1; a¡n; 1)
¡(1 ¡ a)¡(n + a + 1)
[Re a > 0]:
ET II 278(17)
2:
Z
1
¡1
(1¡x)a¡1 (1+x)b¡1 Pn (x) dx =
2a+b¡1 ¡(a)¡(b)
3 F2 (¡n; 1+n; a; 1; a+b; 1)
¡(a + b)
[Re a > 0; Re b > 0]:
Z
3:
1
(1 ¡ x)¹¡1 Pn (1 ¡ °x) dx =
0
¡(¹)n!
P (¹; ¡¹) (1 ¡ °)
¡(¹ + n + 1) n
[Re ¹ > 0]:
ET II 190(37)a
Z
4:
1
¹¡1 º¡1
0
(1¡x)
x
¶
•
¡(¹)¡(º)
1
Pn (1¡°x) dx =
°
3 F2 ¡n; n + 1; º; 1; ¹ + º;
¡(¹ + º)
2
[Re ¹ > 0; Re º > 0]:
ET II 190(38)
7.233
Z
1
x2¹¡1 Pn (1 ¡ 2x2 ) dx =
0
(¡1)n [¡(¹)]2
2¡(¹ + n + 1)¡(¹ ¡ n)
[Re ¹ > 0]:
ET II 278(22)
7.24 Combinations of Legendre polynomials and other elementary functions
7.241
Z
1
0
¡ax
Pn (1 ¡ x)e
¶n • a ¶
1 d
e
a
;
a da
a
¶n •
•
¶
1 d
1
n
= a 1+
2 da
an+1
¡a n
dx = e
•
[Re a > 0]:
ET I 171(2)
7.242
Z
1
Pn (e¡x )e¡ax dx =
0
(a ¡ 1)(a ¡ 2) . . . (a ¡ n + 1)
(a + n)(a + n ¡ 2) . . . (a ¡ n + 2)
[n ¸ 2;
Re a > 0]:
ET I 171(3)
7.243
1:
2:
Z
Z
1
0
1
0
P2n (ch x)e¡ax dx =
(a2 ¡ 12 )(a2 ¡ 32 ) . . . [a2 ¡ (2n ¡ 1)2 ]
a(a2 ¡ 22 )(a2 ¡ 42 ) . . . [a2 ¡ (2n)2 ]
P2n+1 (ch x)e¡ax dx =
a