Recitation 5, February 18, 2010
������� �������� ������� ������������
�������� �����������
√
z = 1 + 3i �� ��� ������� ������ ���� �� ��� ����� ������������
n
���� ���� z ��� n = 1, 2, 3, 4� ���� �� ���� �� ��� ���� a + bi� ���� �� ����
iθ
n
��� �� ��� ���� Ae � ���� ���� z ��� n = 0, −1, −2, −3, −4�
�� ����
θ = π/3� �� ���� �� ��� ������ ���� �� π/3� ���� � �������� �
2
���� ��� ������� z ��� �������� 2π/3 ��� ������ �� �� �� ������� ��������
√
z 2 = 4ei2π/3 = −2 + 2 3i� z 3 ��� �������� π ��� ������ �� ��√���� ����� �� ���
z 4 ��� �������� 4π/3 ��� ������ ��� �� ���� ����� �� −8 − 8 3i� z n ��� ���
n inπ/3
0
���� 2 e
� ��� n = 1, 2, 3, 4� z = 1� ��� �������� ������ ��� �� ��� ������
−k
−k
���� �� ��� ������� ������ z
�� �� ��� ������ ���� �� −kπ/3 ���� ������ 2
��� k = 1, 2, 3, 4�
��� ��
r=2
���
√
a+bi ���� ���� ea+bi = 1+ 3i� �� ����� ��� ��� ����
������� �������� ��� ������������ �� b �� �� �������� ��� �� ����� �� ���������
n(a+bi)
����� �� �������� ��� ���� ��� ��� ������� ���� ���� �� e
��� n =
n(a+bi)
a+bi n
1, 2, 3, 4� ������ e
= (e
) �� ��� ����� ��� n = 0, −1, −2, −3, −4�
√
√
1 + 3i ��� ������� 2 ��� �������� π/3 + 2kπ ��� ��� �������� �� �� 1 + 3i
i(π/3+2kπ)
��� �� ��������� �� � ������� ����������� �� ��� ���� 2e
� ������
���� ����� �� ��� �������� a + bi = ln 2 + i(π/3 + 2kπ)� ��� �������� ��������
√ n
n(a+bi)
����� �� b �� π/3� ��������� ��� ����� e
=
(1
+
3i) � √
�� �� �������� ��
√
√
��� n = 1, 2, 3, 4� ��� ������ �� 1 + 3i, −2 + 2 3i, −8,√−8 − 8 3i� �������������
√
1− 3i
−1− 3i
−1 −iπ/3
−2 −i2π/3
��� n = 0, −1, −2, −3, −4� �� ���� 1� 2 e
=
� 2 e
=
�
4
8
√
−1+ 3i
−3 −iπ
−4 −i4π/3
2 e
= −1/8� ��� 2 e
= 32 �
�� ���� � ������� ������
�� ����� ���� �� ��� ��������� ���������
f (t) �� ��� ���� A cos(ωt−φ)� �� ����
a ��� b� ��� cos(2t) + sin(2t)�
����� ����� �� ������� � ����� �������� ���� �����
it
√
���
cos(πt) −
3 sin(πt)�
���
Re
e
�
2 + 2i
√
���� ����� ��� ����� �������� ��� ����������
√ 2� �� ω = 2� φ
f (t) = 2 cos(2t − π/4)�
���� ��������� ����������
����� ��
π/4�
��
2�
��
A=
π � ��
f (t) = 2 cos(πt + π/3)�
�������� ��������� �� ���� �������� ��
−π/3�
��
���� ��������
√
12 + (− 3)2 = 2� ���
ω = π � ��� �������� �� ���
��� ����� �������� ��� ���������� �� ������
���������� ��
2�
�� ��� �������� �� ��� �����������
�
����
√
1
��� ���� ���� �� ����
cos(t) +
4
√
1
sin(t)�√ ��� ����� �������� ���� ��� ���������� 42 ��� �������� π/4� ��
4
f (t) = 42 cos(t − π/4)�
����
eit = cos(t) + i sin(t)�
�� ���� � �������� ��
���
1
2+2i
=
1−i
�
4
ẋ+2x = et �� ��� ���� wet �
�� ��� ���� ���
ż +2z = e2it �
�� ���� ������ �� �� �� ����� ���� ��� ������� ���������
�
t
2t
�� ��� ��� ����������� ������� �� ��� (ux) = ue ��� u = e �
2t
3t
t
−2t
������ e x = e /3 + c� �� x = e /3 + ce
� �� ���� c = 0�
��� �������� �� ��� �������� �����
�����������
x = et /3 ��
�� ��� ��� ��� ���� ����������� �������
z � ����� ��� ��������� ���� ��������� ����������� ������ ���� ����� ��
e z = e(2+2i)t /(2 + 2i) + C � �� z = e2it /(2 + 2i) + Ce−2t � ����� C �� ���
2it
������� ������� �� ����������� ���� C = 0� z = e /(2 + 2i)�
���
2t
�� ���� � �������� ��
ẋ + 2x = cos(2t)
�� ��������� �� ���� � ������� ������
��������� ������� ����� ��� ���� ���������� ��� ���� ����� ���� ���� ���� �����
��� � �������� ���
ẋ + 2x = sin(2t)�
cos(2t) = Re(e2it )� �� x ��� �� ��� ���� ���� �� ��� �������� z �� ż+2z = e2it � ��
2it
����������� ���� �������� �� ��� �������� �� ����� �� x = Re (e /(2 + 2i)) =
cos(2t)+sin(2t)
� ��� �������� ��� ẋ + 2x = sin(2t) ���� �� ��� �������������
4
− cos(2t)+sin(2t)
��������� ����� ����� x =
� ���� ���� ��� ������� ��������� ��
4
cos(2t)+sin(2t)
ẋ + 2x = cos(2t) ��� ����� ��
+ ce−2t �
4
MIT OpenCourseWare
http://ocw.mit.edu
18.03 Differential Equations����
Spring 2010
For information about citing these materials or our Terms of Use, visit: http://ocw.mit.edu/terms.