Appendix
A
Tables
•
Table A.1 Binomial Probabilities
•
Table A.2 Cumulative Normal Distribution
•
Table A.3 Critical Values for the Student’s t Distribution
•
Table A.4 Critical Values for the χ2 Distribution
•
Table A.5 Critical Values for the F Distribution
•
Table A.6 Critical Values for the Studentized Range
A-1
A-2
Appendix A: Tables
Table A.1 Binomial Probabilities
P(x) =
n!
p x (1 − p)(n−x)
x!(n − x)!
p
n
x
0.05
0.10
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.75
0.80
0.90
0.95
2
0
1
2
0.903
0.095
0.003
0.810
0.180
0.010
0.640
0.320
0.040
0.563
0.375
0.063
0.490
0.420
0.090
0.360
0.480
0.160
0.250
0.500
0.250
0.160
0.480
0.360
0.090
0.420
0.490
0.063
0.375
0.563
0.040
0.320
0.640
0.010
0.180
0.810
0.003
0.095
0.903
3
0
1
2
3
0.857
0.135
0.007
0.000+
0.729
0.243
0.027
0.001
0.512
0.384
0.096
0.008
0.422
0.422
0.141
0.016
0.343
0.441
0.189
0.027
0.216
0.432
0.288
0.064
0.125
0.375
0.375
0.125
0.064
0.288
0.432
0.216
0.027
0.189
0.441
0.343
0.016
0.141
0.422
0.422
0.008
0.096
0.384
0.512
0.001
0.027
0.243
0.729
0.000+
0.007
0.135
0.857
4
0
1
2
3
4
0.815
0.171
0.014
0.000+
0.000+
0.656
0.292
0.049
0.004
0.000+
0.410
0.410
0.154
0.026
0.002
0.316
0.422
0.211
0.047
0.004
0.240
0.412
0.265
0.076
0.008
0.130
0.346
0.346
0.154
0.026
0.063
0.250
0.375
0.250
0.063
0.026
0.154
0.346
0.346
0.130
0.008
0.076
0.265
0.412
0.240
0.004
0.047
0.211
0.422
0.316
0.002
0.026
0.154
0.410
0.410
0.000+
0.004
0.049
0.292
0.656
0.000+
0.000+
0.014
0.171
0.815
5
0
1
2
3
4
5
0.774
0.204
0.021
0.001
0.000+
0.000+
0.590
0.328
0.073
0.008
0.000+
0.000+
0.328
0.410
0.205
0.051
0.006
0.000+
0.237
0.396
0.264
0.088
0.015
0.001
0.168
0.360
0.309
0.132
0.028
0.002
0.078
0.259
0.346
0.230
0.077
0.010
0.031
0.156
0.313
0.313
0.156
0.031
0.010
0.077
0.230
0.346
0.259
0.078
0.002
0.028
0.132
0.309
0.360
0.168
0.001
0.015
0.088
0.264
0.396
0.237
0.000+
0.006
0.051
0.205
0.410
0.328
0.000+
0.000+
0.008
0.073
0.328
0.590
0.000+
0.000+
0.001
0.021
0.204
0.774
6
0
1
2
3
4
5
6
0.735
0.232
0.031
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.531
0.354
0.098
0.015
0.001
0.000+
0.000+
0.262
0.393
0.246
0.082
0.015
0.002
0.000+
0.178
0.356
0.297
0.132
0.033
0.004
0.000+
0.118
0.303
0.324
0.185
0.060
0.010
0.001
0.047
0.187
0.311
0.276
0.138
0.037
0.004
0.016
0.094
0.234
0.313
0.234
0.094
0.016
0.004
0.037
0.138
0.276
0.311
0.187
0.047
0.001
0.010
0.060
0.185
0.324
0.303
0.118
0.000+
0.004
0.033
0.132
0.297
0.356
0.178
0.000+
0.002
0.015
0.082
0.246
0.393
0.262
0.000+
0.000+
0.001
0.015
0.098
0.354
0.531
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.031
0.232
0.735
7
0
1
2
3
4
5
6
7
0.698
0.257
0.041
0.004
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.478
0.372
0.124
0.023
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.210
0.367
0.275
0.115
0.029
0.004
0.000+
0.000+
0.133
0.311
0.311
0.173
0.058
0.012
0.001
0.000+
0.082
0.247
0.318
0.227
0.097
0.025
0.004
0.000+
0.028
0.131
0.261
0.290
0.194
0.077
0.017
0.002
0.008
0.055
0.164
0.273
0.273
0.164
0.055
0.008
0.002
0.017
0.077
0.194
0.290
0.261
0.131
0.028
0.000+
0.004
0.025
0.097
0.227
0.318
0.247
0.082
0.000+
0.001
0.012
0.058
0.173
0.311
0.311
0.133
0.000+
0.000+
0.004
0.029
0.115
0.275
0.367
0.210
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.023
0.124
0.372
0.478
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.004
0.041
0.257
0.698
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.663
0.279
0.051
0.005
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.430
0.383
0.149
0.033
0.005
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.168
0.336
0.294
0.147
0.046
0.009
0.001
0.000+
0.000+
0.100
0.267
0.311
0.208
0.087
0.023
0.004
0.000+
0.000+
0.058
0.198
0.296
0.254
0.136
0.047
0.010
0.001
0.000+
0.017
0.090
0.209
0.279
0.232
0.124
0.041
0.008
0.001
0.004
0.031
0.109
0.219
0.273
0.219
0.109
0.031
0.004
0.001
0.008
0.041
0.124
0.232
0.279
0.209
0.090
0.017
0.000+
0.001
0.010
0.047
0.136
0.254
0.296
0.198
0.058
0.000+
0.000+
0.004
0.023
0.087
0.208
0.311
0.267
0.100
0.000+
0.000+
0.001
0.009
0.046
0.147
0.294
0.336
0.168
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.005
0.033
0.149
0.383
0.430
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.005
0.051
0.279
0.663
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.630
0.299
0.063
0.008
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.387
0.387
0.172
0.045
0.007
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.134
0.302
0.302
0.176
0.066
0.017
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.075
0.225
0.300
0.234
0.117
0.039
0.009
0.001
0.000+
0.000+
0.040
0.156
0.267
0.267
0.172
0.074
0.021
0.004
0.000+
0.000+
0.010
0.060
0.161
0.251
0.251
0.167
0.074
0.021
0.004
0.000+
0.002
0.018
0.070
0.164
0.246
0.246
0.164
0.070
0.018
0.002
0.000+
0.004
0.021
0.074
0.167
0.251
0.251
0.161
0.060
0.010
0.000+
0.000+
0.004
0.021
0.074
0.172
0.267
0.267
0.156
0.040
0.000+
0.000+
0.001
0.009
0.039
0.117
0.234
0.300
0.225
0.075
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.017
0.066
0.176
0.302
0.302
0.134
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.007
0.045
0.172
0.387
0.387
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.008
0.063
0.299
0.630
A value of 0.000+ indicates that the probability is 0.000 when rounded to three decimal places. The actual probability is slightly greater than 0.
A-3
Appendix A: Tables
Table A.1 Binomial Probabilities (continued)
p
n
x
0.05
0.10
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.75
0.80
0.90
0.95
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.599
0.315
0.075
0.010
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.349
0.387
0.194
0.057
0.011
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.107
0.268
0.302
0.201
0.088
0.026
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.056
0.188
0.282
0.250
0.146
0.058
0.016
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.028
0.121
0.233
0.267
0.200
0.103
0.037
0.009
0.001
0.000+
0.000+
0.006
0.040
0.121
0.215
0.251
0.201
0.111
0.042
0.011
0.002
0.000+
0.001
0.010
0.044
0.117
0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.010
0.001
0.000+
0.002
0.011
0.042
0.111
0.201
0.251
0.215
0.121
0.040
0.006
0.000+
0.000+
0.001
0.009
0.037
0.103
0.200
0.267
0.233
0.121
0.028
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.016
0.058
0.146
0.250
0.282
0.188
0.056
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.026
0.088
0.201
0.302
0.268
0.107
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.011
0.057
0.194
0.387
0.349
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.010
0.075
0.315
0.599
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.569
0.329
0.087
0.014
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.314
0.384
0.213
0.071
0.016
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.086
0.236
0.295
0.221
0.111
0.039
0.010
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.042
0.155
0.258
0.258
0.172
0.080
0.027
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.020
0.093
0.200
0.257
0.220
0.132
0.057
0.017
0.004
0.001
0.000+
0.000+
0.004
0.027
0.089
0.177
0.236
0.221
0.147
0.070
0.023
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.005
0.027
0.081
0.161
0.226
0.226
0.161
0.081
0.027
0.005
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.023
0.070
0.147
0.221
0.236
0.177
0.089
0.027
0.004
0.000+
0.000+
0.001
0.004
0.017
0.057
0.132
0.220
0.257
0.200
0.093
0.020
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.027
0.080
0.172
0.258
0.258
0.155
0.042
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.010
0.039
0.111
0.221
0.295
0.236
0.086
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.016
0.071
0.213
0.384
0.314
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.014
0.087
0.329
0.569
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.540
0.341
0.099
0.017
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.282
0.377
0.230
0.085
0.021
0.004
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.069
0.206
0.283
0.236
0.133
0.053
0.016
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.032
0.127
0.232
0.258
0.194
0.103
0.040
0.011
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.014
0.071
0.168
0.240
0.231
0.158
0.079
0.029
0.008
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.017
0.064
0.142
0.213
0.227
0.177
0.101
0.042
0.012
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.016
0.054
0.121
0.193
0.226
0.193
0.121
0.054
0.016
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.012
0.042
0.101
0.177
0.227
0.213
0.142
0.064
0.017
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.008
0.029
0.079
0.158
0.231
0.240
0.168
0.071
0.014
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.011
0.040
0.103
0.194
0.258
0.232
0.127
0.032
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.016
0.053
0.133
0.236
0.283
0.206
0.069
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.004
0.021
0.085
0.230
0.377
0.282
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.017
0.099
0.341
0.540
13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.513
0.351
0.111
0.021
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.254
0.367
0.245
0.100
0.028
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.055
0.179
0.268
0.246
0.154
0.069
0.023
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.024
0.103
0.206
0.252
0.210
0.126
0.056
0.019
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.010
0.054
0.139
0.218
0.234
0.180
0.103
0.044
0.014
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.011
0.045
0.111
0.184
0.221
0.197
0.131
0.066
0.024
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.010
0.035
0.087
0.157
0.209
0.209
0.157
0.087
0.035
0.010
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.024
0.066
0.131
0.197
0.221
0.184
0.111
0.045
0.011
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.014
0.044
0.103
0.180
0.234
0.218
0.139
0.054
0.010
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.019
0.056
0.126
0.210
0.252
0.206
0.103
0.024
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.023
0.069
0.154
0.246
0.268
0.179
0.055
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.028
0.100
0.245
0.367
0.254
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.021
0.111
0.351
0.513
14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.488
0.359
0.123
0.026
0.004
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.229
0.356
0.257
0.114
0.035
0.008
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.044
0.154
0.250
0.250
0.172
0.086
0.032
0.009
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.018
0.083
0.180
0.240
0.220
0.147
0.073
0.028
0.008
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.007
0.041
0.113
0.194
0.229
0.196
0.126
0.062
0.023
0.007
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.007
0.032
0.085
0.155
0.207
0.207
0.157
0.092
0.041
0.014
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.022
0.061
0.122
0.183
0.209
0.183
0.122
0.061
0.022
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.014
0.041
0.092
0.157
0.207
0.207
0.155
0.085
0.032
0.007
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.007
0.023
0.062
0.126
0.196
0.229
0.194
0.113
0.041
0.007
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.008
0.028
0.073
0.147
0.220
0.240
0.180
0.083
0.018
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.009
0.032
0.086
0.172
0.250
0.250
0.154
0.044
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.008
0.035
0.114
0.257
0.356
0.229
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.004
0.026
0.123
0.359
0.488
A value of 0.000+ indicates that the probability is 0.000 when rounded to three decimal places. The actual probability is slightly greater than 0.
A-4
Appendix A: Tables
Table A.1 Binomial Probabilities (continued)
p
n
x
0.05
0.10
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.75
0.80
0.90
0.95
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.463
0.366
0.135
0.031
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.206
0.343
0.267
0.129
0.043
0.010
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.035
0.132
0.231
0.250
0.188
0.103
0.043
0.014
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.013
0.067
0.156
0.225
0.225
0.165
0.092
0.039
0.013
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.005
0.031
0.092
0.170
0.219
0.206
0.147
0.081
0.035
0.012
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.005
0.022
0.063
0.127
0.186
0.207
0.177
0.118
0.061
0.024
0.007
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.014
0.042
0.092
0.153
0.196
0.196
0.153
0.092
0.042
0.014
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.007
0.024
0.061
0.118
0.177
0.207
0.186
0.127
0.063
0.022
0.005
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.012
0.035
0.081
0.147
0.206
0.219
0.170
0.092
0.031
0.005
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.013
0.039
0.092
0.165
0.225
0.225
0.156
0.067
0.013
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.014
0.043
0.103
0.188
0.250
0.231
0.132
0.035
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.010
0.043
0.129
0.267
0.343
0.206
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.031
0.135
0.366
0.463
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.440
0.371
0.146
0.036
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.185
0.329
0.275
0.142
0.051
0.014
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.028
0.113
0.211
0.246
0.200
0.120
0.055
0.020
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.010
0.053
0.134
0.208
0.225
0.180
0.110
0.052
0.020
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.023
0.073
0.146
0.204
0.210
0.165
0.101
0.049
0.019
0.006
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.015
0.047
0.101
0.162
0.198
0.189
0.142
0.084
0.039
0.014
0.004
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.009
0.028
0.067
0.122
0.175
0.196
0.175
0.122
0.067
0.028
0.009
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.004
0.014
0.039
0.084
0.142
0.189
0.198
0.162
0.101
0.047
0.015
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.019
0.049
0.101
0.165
0.210
0.204
0.146
0.073
0.023
0.003
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.020
0.052
0.110
0.180
0.225
0.208
0.134
0.053
0.010
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.020
0.055
0.120
0.200
0.246
0.211
0.113
0.028
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.014
0.051
0.142
0.275
0.329
0.185
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.006
0.036
0.146
0.371
0.440
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.418
0.374
0.158
0.041
0.008
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.167
0.315
0.280
0.156
0.060
0.017
0.004
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.023
0.096
0.191
0.239
0.209
0.136
0.068
0.027
0.008
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.008
0.043
0.114
0.189
0.221
0.191
0.128
0.067
0.028
0.009
0.002
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.017
0.058
0.125
0.187
0.208
0.178
0.120
0.064
0.028
0.009
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.010
0.034
0.080
0.138
0.184
0.193
0.161
0.107
0.057
0.024
0.008
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.018
0.047
0.094
0.148
0.185
0.185
0.148
0.094
0.047
0.018
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.008
0.024
0.057
0.107
0.161
0.193
0.184
0.138
0.080
0.034
0.010
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.009
0.028
0.064
0.120
0.178
0.208
0.187
0.125
0.058
0.017
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.002
0.009
0.028
0.067
0.128
0.191
0.221
0.189
0.114
0.043
0.008
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.008
0.027
0.068
0.136
0.209
0.239
0.191
0.096
0.023
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.004
0.017
0.060
0.156
0.280
0.315
0.167
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.008
0.041
0.158
0.374
0.418
A value of 0.000+ indicates that the probability is 0.000 when rounded to three decimal places. The actual probability is slightly greater than 0.
A-5
Appendix A: Tables
Table A.1 Binomial Probabilities (continued)
p
n
x
0.05
0.10
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.75
0.80
0.90
0.95
18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0.397
0.376
0.168
0.047
0.009
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.150
0.300
0.284
0.168
0.070
0.022
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.018
0.081
0.172
0.230
0.215
0.151
0.082
0.035
0.012
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.006
0.034
0.096
0.170
0.213
0.199
0.144
0.082
0.038
0.014
0.004
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.013
0.046
0.105
0.168
0.202
0.187
0.138
0.081
0.039
0.015
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.007
0.025
0.061
0.115
0.166
0.189
0.173
0.128
0.077
0.037
0.015
0.004
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.012
0.033
0.071
0.121
0.167
0.185
0.167
0.121
0.071
0.033
0.012
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.004
0.015
0.037
0.077
0.128
0.173
0.189
0.166
0.115
0.061
0.025
0.007
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.015
0.039
0.081
0.138
0.187
0.202
0.168
0.105
0.046
0.013
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.004
0.014
0.038
0.082
0.144
0.199
0.213
0.170
0.096
0.034
0.006
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.012
0.035
0.082
0.151
0.215
0.230
0.172
0.081
0.018
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.022
0.070
0.168
0.284
0.300
0.150
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.009
0.047
0.168
0.376
0.397
19
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.377
0.377
0.179
0.053
0.011
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.135
0.285
0.285
0.180
0.080
0.027
0.007
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.014
0.068
0.154
0.218
0.218
0.164
0.095
0.044
0.017
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.004
0.027
0.080
0.152
0.202
0.202
0.157
0.097
0.049
0.020
0.007
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.009
0.036
0.087
0.149
0.192
0.192
0.153
0.098
0.051
0.022
0.008
0.002
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.017
0.047
0.093
0.145
0.180
0.180
0.146
0.098
0.053
0.024
0.008
0.002
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.007
0.022
0.052
0.096
0.144
0.176
0.176
0.144
0.096
0.052
0.022
0.007
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.002
0.008
0.024
0.053
0.098
0.146
0.180
0.180
0.145
0.093
0.047
0.017
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.002
0.008
0.022
0.051
0.098
0.153
0.192
0.192
0.149
0.087
0.036
0.009
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.007
0.020
0.049
0.097
0.157
0.202
0.202
0.152
0.080
0.027
0.004
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.017
0.044
0.095
0.164
0.218
0.218
0.154
0.068
0.014
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.007
0.027
0.080
0.180
0.285
0.285
0.135
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.011
0.053
0.179
0.377
0.377
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.358
0.377
0.189
0.060
0.013
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.122
0.270
0.285
0.190
0.090
0.032
0.009
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.012
0.058
0.137
0.205
0.218
0.175
0.109
0.055
0.022
0.007
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.003
0.021
0.067
0.134
0.190
0.202
0.169
0.112
0.061
0.027
0.010
0.003
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.007
0.028
0.072
0.130
0.179
0.192
0.164
0.114
0.065
0.031
0.012
0.004
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000++
0.000+
0.003
0.012
0.035
0.075
0.124
0.166
0.180
0.160
0.117
0.071
0.035
0.015
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000++
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.015
0.037
0.074
0.120
0.160
0.176
0.160
0.120
0.074
0.037
0.015
0.005
0.001
0.000+
0.000+
0.000+
0.000++
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.005
0.015
0.035
0.071
0.117
0.160
0.180
0.166
0.124
0.075
0.035
0.012
0.003
0.000+
0.000+
0.000++
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.004
0.012
0.031
0.065
0.114
0.164
0.192
0.179
0.130
0.072
0.028
0.007
0.001
0.000++
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.001
0.003
0.010
0.027
0.061
0.112
0.169
0.202
0.190
0.134
0.067
0.021
0.003
0.000++
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.007
0.022
0.055
0.109
0.175
0.218
0.205
0.137
0.058
0.012
0.000++
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.009
0.032
0.090
0.190
0.285
0.270
0.122
0.000++
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.000+
0.002
0.013
0.060
0.189
0.377
0.358
A value of 0.000+ indicates that the probability is 0.000 when rounded to three decimal places. The actual probability is slightly greater than 0.
A-6
Appendix A: Tables
Table A.2 Cumulative Normal Distribution
Area
z
z
0.00
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
.0002
.0002
.0003
.0005
.0007
.0009
.0013
.0018
.0025
.0034
.0045
.0060
.0080
.0104
.0136
.0174
.0222
.0281
.0351
.0436
.0537
.0655
.0793
.0951
.1131
.1335
.1562
.1814
.2090
.2389
.2709
.3050
.3409
.3783
.4168
.4562
.4960
.0001
.0002
.0003
.0005
.0006
.0009
.0013
.0018
.0024
.0033
.0044
.0059
.0078
.0102
.0132
.0170
.0217
.0274
.0344
.0427
.0526
.0643
.0778
.0934
.1112
.1314
.1539
.1788
.2061
.2358
.2676
.3015
.3372
.3745
.4129
.4522
.4920
.0001
.0002
.0003
.0004
.0006
.0009
.0012
.0017
.0023
.0032
.0043
.0057
.0075
.0099
.0129
.0166
.0212
.0268
.0336
.0418
.0516
.0630
.0764
.0918
.1093
.1292
.1515
.1762
.2033
.2327
.2643
.2981
.3336
.3707
.4090
.4483
.4880
.0001
.0002
.0003
.0004
.0006
.0008
.0012
.0016
.0023
.0031
.0041
.0055
.0073
.0096
.0125
.0162
.0207
.0262
.0329
.0409
.0505
.0618
.0749
.0901
.1075
.1271
.1492
.1736
.2005
.2296
.2611
.2946
.3300
.3669
.4052
.4443
.4840
.0001
.0002
.0003
.0004
.0006
.0008
.0011
.0016
.0022
.0030
.0040
.0054
.0071
.0094
.0122
.0158
.0202
.0256
.0322
.0401
.0495
.0606
.0735
.0885
.1056
.1251
.1469
.1711
.1977
.2266
.2578
.2912
.3264
.3632
.4013
.4404
.4801
.0001
.0002
.0003
.0004
.0006
.0008
.0011
.0015
.0021
.0029
.0039
.0052
.0069
.0091
.0119
.0154
.0197
.0250
.0314
.0392
.0485
.0594
.0721
.0869
.1038
.1230
.1446
.1685
.1949
.2236
.2546
.2877
.3228
.3594
.3974
.4364
.4761
.0001
.0002
.0003
.0004
.0005
.0008
.0011
.0015
.0021
.0028
.0038
.0051
.0068
.0089
.0116
.0150
.0192
.0244
.0307
.0384
.0475
.0582
.0708
.0853
.1020
.1210
.1423
.1660
.1922
.2206
.2514
.2843
.3192
.3557
.3936
.4325
.4721
.0001
.0002
.0003
.0004
.0005
.0007
.0010
.0014
.0020
.0027
.0037
.0049
.0066
.0087
.0113
.0146
.0188
.0239
.0301
.0375
.0465
.0571
.0694
.0838
.1003
.1190
.1401
.1635
.1894
.2177
.2483
.2810
.3156
.3520
.3897
.4286
.4681
.0001
.0002
.0002
.0003
.0005
.0007
.0010
.0014
.0019
.0026
.0036
.0048
.0064
.0084
.0110
.0143
.0183
.0233
.0294
.0367
.0455
.0559
.0681
.0823
.0985
.1170
.1379
.1611
.1867
.2148
.2451
.2776
.3121
.3483
.3859
.4247
.4641
−3.7
or
.0001
less
−3.6
−3.5
−3.4
−3.3
−3.2
−3.1
−3.0
−2.9
−2.8
−2.7
−2.6
−2.5
−2.4
−2.3
−2.2
−2.1
−2.0
−1.9
−1.8
−1.7
−1.6
−1.5
−1.4
−1.3
−1.2
−1.1
−1.0
−0.9
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
−0.0
.0002
.0002
.0003
.0005
.0007
.0010
.0013
.0019
.0026
.0035
.0047
.0062
.0082
.0107
.0139
.0179
.0228
.0287
.0359
.0446
.0548
.0668
.0808
.0968
.1151
.1357
.1587
.1841
.2119
.2420
.2743
.3085
.3446
.3821
.4207
.4602
.5000
Appendix A: Tables
Table A.2 Cumulative Normal Distribution (continued)
Area
0
z
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
.9998
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.9998
.9998
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.9998
.9999
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.9998
.9999
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.9998
.9999
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
.9998
.9999
3.7
or
.9999
more
A-7
A-8
Appendix A: Tables
Table A.3 Critical Values for the Student’s t Distribution
Area
0
Degrees of
Freedom
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
50
60
80
100
200
z
tα
Area in Right Tail
0.025
0.01
0.005
0.40
0.25
0.10
0.05
0.0025
0.001
0.0005
0.325
0.289
0.277
0.271
0.267
0.265
0.263
0.262
0.261
0.260
0.260
0.259
0.259
0.258
0.258
0.258
0.257
0.257
0.257
0.257
0.257
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.254
0.254
0.254
0.254
0.253
20%
1.000
0.816
0.765
0.741
0.727
0.718
0.711
0.706
0.703
0.700
0.697
0.695
0.694
0.692
0.691
0.690
0.689
0.688
0.688
0.687
0.686
0.686
0.685
0.685
0.684
0.684
0.684
0.683
0.683
0.683
0.682
0.682
0.682
0.682
0.682
0.681
0.681
0.681
0.681
0.681
0.679
0.679
0.678
0.677
0.676
0.674
50%
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.309
1.309
1.308
1.307
1.306
1.306
1.305
1.304
1.304
1.303
1.299
1.296
1.292
1.290
1.286
1.282
80%
6.314 12.706 31.821 63.657 127.321 318.309 636.619
2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.599
2.353 3.182 4.541 5.841
7.453 10.215 12.924
2.132 2.776 3.747 4.604
5.598
7.173
8.610
2.015 2.571 3.365 4.032
4.773
5.893
6.869
1.943 2.447 3.143 3.707
4.317
5.208
5.959
1.895 2.365 2.998 3.499
4.029
4.785
5.408
1.860 2.306 2.896 3.355
3.833
4.501
5.041
1.833 2.262 2.821 3.250
3.690
4.297
4.781
1.812 2.228 2.764 3.169
3.581
4.144
4.587
1.796 2.201 2.718 3.106
3.497
4.025
4.437
1.782 2.179 2.681 3.055
3.428
3.930
4.318
1.771 2.160 2.650 3.012
3.372
3.852
4.221
1.761 2.145 2.624 2.977
3.326
3.787
4.140
1.753 2.131 2.602 2.947
3.286
3.733
4.073
1.746 2.120 2.583 2.921
3.252
3.686
4.015
1.740 2.110 2.567 2.898
3.222
3.646
3.965
1.734 2.101 2.552 2.878
3.197
3.610
3.922
1.729 2.093 2.539 2.861
3.174
3.579
3.883
1.725 2.086 2.528 2.845
3.153
3.552
3.850
1.721 2.080 2.518 2.831
3.135
3.527
3.819
1.717 2.074 2.508 2.819
3.119
3.505
3.792
1.714 2.069 2.500 2.807
3.104
3.485
3.768
1.711 2.064 2.492 2.797
3.091
3.467
3.745
1.708 2.060 2.485 2.787
3.078
3.450
3.725
1.706 2.056 2.479 2.779
3.067
3.435
3.707
1.703 2.052 2.473 2.771
3.057
3.421
3.690
1.701 2.048 2.467 2.763
3.047
3.408
3.674
1.699 2.045 2.462 2.756
3.038
3.396
3.659
1.697 2.042 2.457 2.750
3.030
3.385
3.646
1.696 2.040 2.453 2.744
3.022
3.375
3.633
1.694 2.037 2.449 2.738
3.015
3.365
3.622
1.692 2.035 2.445 2.733
3.008
3.356
3.611
1.691 2.032 2.441 2.728
3.002
3.348
3.601
1.690 2.030 2.438 2.724
2.996
3.340
3.591
1.688 2.028 2.434 2.719
2.990
3.333
3.582
1.687 2.026 2.431 2.715
2.985
3.326
3.574
1.686 2.024 2.429 2.712
2.980
3.319
3.566
1.685 2.023 2.426 2.708
2.976
3.313
3.558
1.684 2.021 2.423 2.704
2.971
3.307
3.551
1.676 2.009 2.403 2.678
2.937
3.261
3.496
1.671 2.000 2.390 2.660
2.915
3.232
3.460
1.664 1.990 2.374 2.639
2.887
3.195
3.416
1.660 1.984 2.364 2.626
2.871
3.174
3.390
1.653 1.972 2.345 2.601
2.839
3.131
3.340
1.645 1.960 2.326 2.576
2.807
3.090
3.291
90%
95%
98%
99%
99.5%
99.8%
99.9%
Confidence Level
Appendix A: Tables
Table A.4 Critical Values for the χ2 Distribution
Area
χ2
0
Degrees of
Freedom 0.995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
50
60
70
80
90
100
0.000
0.010
0.072
0.207
0.412
0.676
0.989
1.344
1.735
2.156
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
8.034
8.643
9.260
9.886
10.520
11.160
11.808
12.461
13.121
13.787
14.458
15.134
15.815
16.501
17.192
17.887
18.586
19.289
19.996
20.707
21.421
22.138
22.859
23.584
24.311
27.991
35.534
43.275
51.172
59.196
67.328
0.99
0.975
0.95
0.000
0.020
0.115
0.297
0.554
0.872
1.239
1.646
2.088
2.558
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
8.897
9.542
10.196
10.856
11.524
12.198
12.879
13.565
14.256
14.953
15.655
16.362
17.074
17.789
18.509
19.233
19.96
20.691
21.426
22.164
22.906
23.650
24.398
25.148
25.901
29.707
37.485
45.442
53.540
61.754
70.065
0.001
0.051
0.216
0.484
0.831
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
13.844
14.573
15.308
16.047
16.791
17.539
18.291
19.047
19.806
20.569
21.336
22.106
22.878
23.654
24.433
25.215
25.999
26.785
27.575
28.366
32.357
40.482
48.758
57.153
65.647
74.222
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
19.281
20.072
20.867
21.664
22.465
23.269
24.075
24.884
25.695
26.509
27.326
28.144
28.965
29.787
30.612
34.764
43.188
51.739
60.391
69.126
77.929
Area in Right Tail
0.90
0.10
0.05
0.025
0.01
0.016
2.706
3.841
5.024
6.635
0.211
4.605
5.991
7.378
9.210
0.584
6.251
7.815
9.348 11.345
1.064
7.779
9.488
11.143
13.277
1.610
9.236 11.070 12.833 15.086
2.204
10.645
12.592 14.449
16.812
2.833 12.017 14.067 16.013 18.475
3.490
13.362
15.507 17.535
20.090
4.168 14.684 16.919 19.023 21.666
4.865
15.987
18.307 20.483
23.209
5.578 17.275 19.675 21.920 24.725
6.304
18.549
21.026 23.337
26.217
7.042 19.812 22.362 24.736 27.688
7.790
21.064
23.685 26.119
29.141
8.547 22.307 24.996 27.488 30.578
9.312
23.542
26.296 28.845
32.000
10.085 24.769 27.587 30.191 33.409
10.865
25.989
28.869 31.526
34.805
11.651 27.204 30.144 32.852 36.191
12.443
28.412
31.410 34.170
37.566
13.240 29.615 32.671 35.479 38.932
14.041
30.813
33.924 36.781
40.289
14.848 32.007 35.172 38.076 41.638
15.659
33.196
36.415 39.364
42.980
16.473 34.382 37.652 40.646 44.314
17.292
35.563
38.885 41.923
45.642
18.114 36.741 40.113 43.195 46.963
18.939
37.916
41.337 44.461
48.278
19.768 39.087 42.557 45.722 49.588
20.599
40.256
43.773 46.979
50.892
21.434 41.422 44.985 48.232 52.191
22.271
42.585
46.194 49.480
53.486
23.110 43.745 47.400 50.725 54.776
23.952
44.903
48.602 51.966
56.061
24.797 46.059 49.802 53.203 57.342
25.643
47.212
50.998 54.437
58.619
26.492 48.363 52.192 55.668 59.893
27.343
49.513
53.384 56.896
61.162
28.196 50.660 54.572 58.120 62.428
29.051
51.805
55.758 59.342
63.691
29.907 52.949 56.942 60.561 64.950
30.765
54.090
58.124 61.777
66.206
31.625 55.230 59.304 62.990 67.459
32.487
56.369
60.481 64.201
68.710
33.350 57.505 61.656 65.410 69.957
37.689
63.167
67.505 71.420
76.154
46.459 74.397 79.082 83.298 88.379
55.329
85.527
90.531 95.023 100.425
64.278 96.578 101.879 106.629 112.329
73.291 107.565 113.145 118.136 124.116
82.358 118.498 124.342 129.561 135.807
0.005
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
26.757
28.300
29.819
31.319
32.801
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
41.401
42.796
44.181
45.559
46.928
48.290
49.645
50.993
52.336
53.672
55.003
56.328
57.648
58.964
60.275
61.581
62.883
64.181
65.476
66.766
68.053
69.336
70.616
71.893
73.166
79.490
91.952
104.215
116.321
128.299
140.169
A-9
A-10
Appendix A: Tables
Table A.5 Critical Values for the F Distribution
Area
0
F
Denominator
Degrees of
Freedom
Area
1
2
1
1
1
1
0.100
0.050
0.025
0.010
39.86
161.45
647.79
4052.18
2
2
2
2
2
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
8.53
18.51
38.51
98.50
998.50
9.00
19.00
39.00
99.00
999.00
3
3
3
3
3
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
5.54
10.13
17.44
34.12
167.03
4
4
4
4
4
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
5
5
5
5
5
3
Numerator Degrees of Freedom
4
5
6
7
49.50
53.59
199.50
215.71
799.50 864.16
4999.50 5403.35
8
58.91
59.44
236.77 238.88
948.22 956.66
5928.36 5981.07
9
55.83
224.58
899.58
5624.58
57.24
230.16
921.85
5763.65
58.20
233.99
937.11
5858.99
59.86
240.54
963.28
6022.47
9.16
19.16
39.17
99.17
999.17
9.24
19.25
39.25
99.25
999.25
9.29
19.30
39.30
99.30
999.30
9.33
19.33
39.33
99.33
999.33
9.35
19.35
39.36
99.36
999.36
9.37
19.37
39.37
99.37
999.37
9.38
19.38
39.39
99.39
999.39
5.46
9.55
16.04
30.82
148.50
5.39
9.28
15.44
29.46
141.11
5.34
9.12
15.10
28.71
137.10
5.31
9.01
14.88
28.24
134.58
5.28
8.94
14.73
27.91
132.85
5.27
8.89
14.62
27.67
131.58
5.25
8.85
14.54
27.49
130.62
5.24
8.81
14.47
27.35
129.86
4.54
7.71
12.22
21.20
74.14
4.32
6.94
10.65
18.00
61.25
4.19
6.59
9.98
16.69
56.18
4.11
6.39
9.60
15.98
53.44
4.05
6.26
9.36
15.52
51.71
4.01
6.16
9.20
15.21
50.53
3.98
6.09
9.07
14.98
49.66
3.95
6.04
8.98
14.80
49.00
3.94
6.00
8.90
14.66
48.47
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
4.06
6.61
10.01
16.26
47.18
3.78
5.79
8.43
13.27
37.12
3.62
5.41
7.76
12.06
33.20
3.52
5.19
7.39
11.39
31.09
3.45
5.05
7.15
10.97
29.75
3.40
4.95
6.98
10.67
28.83
3.37
4.88
6.85
10.46
28.16
3.34
4.82
6.76
10.29
27.65
3.32
4.77
6.68
10.16
27.24
6
6
6
6
6
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.78
5.99
8.81
13.75
35.51
3.46
5.14
7.26
10.92
27.00
3.29
4.76
6.60
9.78
23.70
3.18
4.53
6.23
9.15
21.92
3.11
4.39
5.99
8.75
20.80
3.05
4.28
5.82
8.47
20.03
3.01
4.21
5.70
8.26
19.46
2.98
4.15
5.60
8.10
19.03
2.96
4.10
5.52
7.98
18.69
7
7
7
7
7
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.59
5.59
8.07
12.25
29.25
3.26
4.74
6.54
9.55
21.69
3.07
4.35
5.89
8.45
18.77
2.96
4.12
5.52
7.85
17.20
2.88
3.97
5.29
7.46
16.21
2.83
3.87
5.12
7.19
15.52
2.78
3.79
4.99
6.99
15.02
2.75
3.73
4.90
6.84
14.63
2.72
3.68
4.82
6.72
14.33
8
8
8
8
8
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.46
5.32
7.57
11.26
25.41
3.11
4.46
6.06
8.65
18.49
2.92
4.07
5.42
7.59
15.83
2.81
3.84
5.05
7.01
14.39
2.73
3.69
4.82
6.63
13.48
2.67
3.58
4.65
6.37
12.86
2.62
3.50
4.53
6.18
12.40
2.59
3.44
4.43
6.03
12.05
2.56
3.39
4.36
5.91
11.77
9
9
9
9
9
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.36
5.12
7.21
10.56
22.86
3.01
4.26
5.71
8.02
16.39
2.81
3.86
5.08
6.99
13.90
2.69
3.63
4.72
6.42
12.56
2.61
3.48
4.48
6.06
11.71
2.55
3.37
4.32
5.80
11.13
2.51
3.29
4.20
5.61
10.70
2.47
3.23
4.10
5.47
10.37
2.44
3.18
4.03
5.35
10.11
Appendix A: Tables
Table A.5 Critical Values for the F Distribution (continued)
Area
F
0
Denominator
Degrees of
Freedom
Area
10
12
15
Numerator Degrees of Freedom
20
25
30
40
50
60
1
1
1
1
0.100
0.050
0.025
0.010
60.19
241.88
968.63
6055.85
60.71
243.91
976.71
6106.32
61.22
245.95
984.87
6157.28
61.74
62.05
62.26
62.53
62.69
62.79
248.01
249.26
250.10
251.14 251.77
252.20
993.10 998.08 1001.41 1005.60 1008.12 1009.80
6208.73 6239.83 6260.65 6286.78 6302.52 6313.03
2
2
2
2
2
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
9.39
19.40
39.40
99.40
999.40
9.41
19.41
39.41
99.42
999.42
9.42
19.43
39.43
99.43
999.43
9.44
19.45
39.45
99.45
999.45
9.45
19.46
39.46
99.46
999.46
9.46
19.46
39.46
99.47
999.47
9.47
19.47
39.47
99.47
999.47
9.47
19.48
39.48
99.48
999.48
9.47
19.48
39.48
99.48
999.48
3
3
3
3
3
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
5.23
8.79
14.42
27.23
129.25
5.22
8.74
14.34
27.05
128.32
5.20
8.70
14.25
26.87
127.37
5.18
8.66
14.17
26.69
126.42
5.17
8.63
14.12
26.58
125.84
5.17
8.62
14.08
26.50
125.45
5.16
8.59
14.04
26.41
124.96
5.15
8.58
14.01
26.35
124.66
5.15
8.57
13.99
26.32
124.47
4
4
4
4
4
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.92
5.96
8.84
14.55
48.05
3.90
5.91
8.75
14.37
47.41
3.87
5.86
8.66
14.20
46.76
3.84
5.80
8.56
14.02
46.10
3.83
5.77
8.50
13.91
45.70
3.82
5.75
8.46
13.84
45.43
3.80
5.72
8.41
13.75
45.09
3.80
5.70
8.38
13.69
44.88
3.79
5.69
8.36
13.65
44.75
5
5
5
5
5
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.30
4.74
6.62
10.05
26.92
3.27
4.68
6.52
9.89
26.42
3.24
4.62
6.43
9.72
25.91
3.21
4.56
6.33
9.55
25.39
3.19
4.52
6.27
9.45
25.08
3.17
4.50
6.23
9.38
24.87
3.16
4.46
6.18
9.29
24.60
3.15
4.44
6.14
9.24
24.44
3.14
4.43
6.12
9.20
24.33
6
6
6
6
6
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.94
4.06
5.46
7.87
18.41
2.90
4.00
5.37
7.72
17.99
2.87
3.94
5.27
7.56
17.56
2.84
3.87
5.17
7.40
17.12
2.81
3.83
5.11
7.30
16.85
2.80
3.81
5.07
7.23
16.67
2.78
3.77
5.01
7.14
16.44
2.77
3.75
4.98
7.09
16.31
2.76
3.74
4.96
7.06
16.21
7
7
7
7
7
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.70
3.64
4.76
6.62
14.08
2.67
3.57
4.67
6.47
13.71
2.63
3.51
4.57
6.31
13.32
2.59
3.44
4.47
6.16
12.93
2.57
3.40
4.40
6.06
12.69
2.56
3.38
4.36
5.99
12.53
2.54
3.34
4.31
5.91
12.33
2.52
3.32
4.28
5.86
12.20
2.51
3.30
4.25
5.82
12.12
8
8
8
8
8
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.54
3.35
4.30
5.81
11.54
2.50
3.28
4.20
5.67
11.19
2.46
3.22
4.10
5.52
10.84
2.42
3.15
4.00
5.36
10.48
2.40
3.11
3.94
5.26
10.26
2.38
3.08
3.89
5.20
10.11
2.36
3.04
3.84
5.12
9.92
2.35
3.02
3.81
5.07
9.80
2.34
3.01
3.78
5.03
9.73
9
9
9
9
9
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.42
3.14
3.96
5.26
9.89
2.38
3.07
3.87
5.11
9.57
2.34
3.01
3.77
4.96
9.24
2.30
2.94
3.67
4.81
8.90
2.27
2.89
3.60
4.71
8.69
2.25
2.86
3.56
4.65
8.55
2.23
2.83
3.51
4.57
8.37
2.22
2.80
3.47
4.52
8.26
2.21
2.79
3.45
4.48
8.19
A-11
A-12
Appendix A: Tables
Table A.5 Critical Values for the F Distribution (continued)
Denominator
Degrees of
Freedom
Area
1
2
10
10
10
10
10
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.29
4.96
6.94
10.04
21.04
2.92
4.10
5.46
7.56
14.91
2.73
3.71
4.83
6.55
12.55
2.61
3.48
4.47
5.99
11.28
2.52
3.33
4.24
5.64
10.48
2.46
3.22
4.07
5.39
9.93
11
11
11
11
11
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.23
4.84
6.72
9.65
19.69
2.86
3.98
5.26
7.21
13.81
2.66
3.59
4.63
6.22
11.56
2.54
3.36
4.28
5.67
10.35
2.45
3.20
4.04
5.32
9.58
12
12
12
12
12
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.18
4.75
6.55
9.33
18.64
2.81
3.89
5.10
6.93
12.97
2.61
3.49
4.47
5.95
10.80
2.48
3.26
4.12
5.41
9.63
13
13
13
13
13
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.14
4.67
6.41
9.07
17.82
2.76
3.81
4.97
6.70
12.31
2.56
3.41
4.35
5.74
10.21
14
14
14
14
14
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.10
4.60
6.30
8.86
17.14
2.73
3.74
4.86
6.51
11.78
15
15
15
15
15
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.07
4.54
6.20
8.68
16.59
16
16
16
16
16
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
17
17
17
17
17
Numerator Degrees of Freedom
3
4
5
6
7
8
9
2.41
3.14
3.95
5.20
9.52
2.38
3.07
3.85
5.06
9.20
2.35
3.02
3.78
4.94
8.96
2.39
3.09
3.88
5.07
9.05
2.34
3.01
3.76
4.89
8.66
2.30
2.95
3.66
4.74
8.35
2.27
2.90
3.59
4.63
8.12
2.39
3.11
3.89
5.06
8.89
2.33
3.00
3.73
4.82
8.38
2.28
2.91
3.61
4.64
8.00
2.24
2.85
3.51
4.50
7.71
2.21
2.80
3.44
4.39
7.48
2.43
3.18
4.00
5.21
9.07
2.35
3.03
3.77
4.86
8.35
2.28
2.92
3.60
4.62
7.86
2.23
2.83
3.48
4.44
7.49
2.20
2.77
3.39
4.30
7.21
2.16
2.71
3.31
4.19
6.98
2.52
3.34
4.24
5.56
9.73
2.39
3.11
3.89
5.04
8.62
2.31
2.96
3.66
4.69
7.92
2.24
2.85
3.50
4.46
7.44
2.19
2.76
3.38
4.28
7.08
2.15
2.70
3.29
4.14
6.80
2.12
2.65
3.21
4.03
6.58
2.70
3.68
4.77
6.36
11.34
2.49
3.29
4.15
5.42
9.34
2.36
3.06
3.80
4.89
8.25
2.27
2.90
3.58
4.56
7.57
2.21
2.79
3.41
4.32
7.09
2.16
2.71
3.29
4.14
6.74
2.12
2.64
3.20
4.00
6.47
2.09
2.59
3.12
3.89
6.26
3.05
4.49
6.12
8.53
16.12
2.67
3.63
4.69
6.23
10.97
2.46
3.24
4.08
5.29
9.01
2.33
3.01
3.73
4.77
7.94
2.24
2.85
3.50
4.44
7.27
2.18
2.74
3.34
4.20
6.80
2.13
2.66
3.22
4.03
6.46
2.09
2.59
3.12
3.89
6.19
2.06
2.54
3.05
3.78
5.98
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.03
4.45
6.04
8.40
15.72
2.64
3.59
4.62
6.11
10.66
2.44
3.20
4.01
5.18
8.73
2.31
2.96
3.66
4.67
7.68
2.22
2.81
3.44
4.34
7.02
2.15
2.70
3.28
4.10
6.56
2.10
2.61
3.16
3.93
6.22
2.06
2.55
3.06
3.79
5.96
2.03
2.49
2.98
3.68
5.75
18
18
18
18
18
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
3.01
4.41
5.98
8.29
15.38
2.62
3.55
4.56
6.01
10.39
2.42
3.16
3.95
5.09
8.49
2.29
2.93
3.61
4.58
7.46
2.20
2.77
3.38
4.25
6.81
2.13
2.66
3.22
4.01
6.35
2.08
2.58
3.10
3.84
6.02
2.04
2.51
3.01
3.71
5.76
2.00
2.46
2.93
3.60
5.56
19
19
19
19
19
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.99
4.38
5.92
8.18
15.08
2.61
3.52
4.51
5.93
10.16
2.40
3.13
3.90
5.01
8.28
2.27
2.90
3.56
4.50
7.27
2.18
2.74
3.33
4.17
6.62
2.11
2.63
3.17
3.94
6.18
2.06
2.54
3.05
3.77
5.85
2.02
2.48
2.96
3.63
5.59
1.98
2.42
2.88
3.52
5.39
Appendix A: Tables
Table A.5 Critical Values for the F Distribution (continued)
Denominator
Degrees of
Freedom
Area
1
2
20
20
20
20
20
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.97
4.35
5.87
8.10
14.82
2.59
3.49
4.46
5.85
9.95
2.38
3.10
3.86
4.94
8.10
2.25
2.87
3.51
4.43
7.10
2.16
2.71
3.29
4.10
6.46
2.09
2.60
3.13
3.87
6.02
21
21
21
21
21
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.96
4.32
5.83
8.02
14.59
2.57
3.47
4.42
5.78
9.77
2.36
3.07
3.82
4.87
7.94
2.23
2.84
3.48
4.37
6.95
2.14
2.68
3.25
4.04
6.32
22
22
22
22
22
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.95
4.30
5.79
7.95
14.38
2.56
3.44
4.38
5.72
9.61
2.35
3.05
3.78
4.82
7.80
2.22
2.82
3.44
4.31
6.81
23
23
23
23
23
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.94
4.28
5.75
7.88
14.20
2.55
3.42
4.35
5.66
9.47
2.34
3.03
3.75
4.76
7.67
24
24
24
24
24
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.93
4.26
5.72
7.82
14.03
2.54
3.40
4.32
5.61
9.34
25
25
25
25
25
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.92
4.24
5.69
7.77
13.88
30
30
30
30
30
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
40
40
40
40
40
Numerator Degrees of Freedom
3
4
5
6
7
8
9
2.04
2.51
3.01
3.70
5.69
2.00
2.45
2.91
3.56
5.44
1.96
2.39
2.84
3.46
5.24
2.08
2.57
3.09
3.81
5.88
2.02
2.49
2.97
3.64
5.56
1.98
2.42
2.87
3.51
5.31
1.95
2.37
2.80
3.40
5.11
2.13
2.66
3.22
3.99
6.19
2.06
2.55
3.05
3.76
5.76
2.01
2.46
2.93
3.59
5.44
1.97
2.40
2.84
3.45
5.19
1.93
2.34
2.76
3.35
4.99
2.21
2.80
3.41
4.26
6.70
2.11
2.64
3.18
3.94
6.08
2.05
2.53
3.02
3.71
5.65
1.99
2.44
2.90
3.54
5.33
1.95
2.37
2.81
3.41
5.09
1.92
2.32
2.73
3.30
4.89
2.33
3.01
3.72
4.72
7.55
2.19
2.78
3.38
4.22
6.59
2.10
2.62
3.15
3.90
5.98
2.04
2.51
2.99
3.67
5.55
1.98
2.42
2.87
3.50
5.23
1.94
2.36
2.78
3.36
4.99
1.91
2.30
2.70
3.26
4.80
2.53
3.39
4.29
5.57
9.22
2.32
2.99
3.69
4.68
7.45
2.18
2.76
3.35
4.18
6.49
2.09
2.60
3.13
3.85
5.89
2.02
2.49
2.97
3.63
5.46
1.97
2.40
2.85
3.46
5.15
1.93
2.34
2.75
3.32
4.91
1.89
2.28
2.68
3.22
4.71
2.88
4.17
5.57
7.56
13.29
2.49
3.32
4.18
5.39
8.77
2.28
2.92
3.59
4.51
7.05
2.14
2.69
3.25
4.02
6.12
2.05
2.53
3.03
3.70
5.53
1.98
2.42
2.87
3.47
5.12
1.93
2.33
2.75
3.30
4.82
1.88
2.27
2.65
3.17
4.58
1.85
2.21
2.57
3.07
4.39
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.84
4.08
5.42
7.31
12.61
2.44
3.23
4.05
5.18
8.25
2.23
2.84
3.46
4.31
6.59
2.09
2.61
3.13
3.83
5.70
2.00
2.45
2.90
3.51
5.13
1.93
2.34
2.74
3.29
4.73
1.87
2.25
2.62
3.12
4.44
1.83
2.18
2.53
2.99
4.21
1.79
2.12
2.45
2.89
4.02
60
60
60
60
60
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.79
4.00
5.29
7.08
11.97
2.39
3.15
3.93
4.98
7.77
2.18
2.76
3.34
4.13
6.17
2.04
2.53
3.01
3.65
5.31
1.95
2.37
2.79
3.34
4.76
1.87
2.25
2.63
3.12
4.37
1.82
2.17
2.51
2.95
4.09
1.77
2.10
2.41
2.82
3.86
1.74
2.04
2.33
2.72
3.69
120
120
120
120
120
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.75
3.92
5.15
6.85
11.38
2.35
3.07
3.80
4.79
7.32
2.13
2.68
3.23
3.95
5.78
1.99
2.45
2.89
3.48
4.95
1.90
2.29
2.67
3.17
4.42
1.82
2.18
2.52
2.96
4.04
1.77
2.09
2.39
2.79
3.77
1.72
2.02
2.30
2.66
3.55
1.68
1.96
2.22
2.56
3.38
A-13
A-14
Appendix A: Tables
Table A.5 Critical Values for the F Distribution (continued)
Denominator
Degrees of
Freedom
Area
10
12
10
10
10
10
10
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.32
2.98
3.72
4.85
8.75
2.28
2.91
3.62
4.71
8.45
2.24
2.85
3.52
4.56
8.13
2.20
2.77
3.42
4.41
7.80
2.17
2.73
3.35
4.31
7.60
2.16
2.70
3.31
4.25
7.47
11
11
11
11
11
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.25
2.85
3.53
4.54
7.92
2.21
2.79
3.43
4.40
7.63
2.17
2.72
3.33
4.25
7.32
2.12
2.65
3.23
4.10
7.01
2.10
2.60
3.16
4.01
6.81
12
12
12
12
12
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.19
2.75
3.37
4.30
7.29
2.15
2.69
3.28
4.16
7.00
2.10
2.62
3.18
4.01
6.71
2.06
2.54
3.07
3.86
6.40
13
13
13
13
13
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.14
2.67
3.25
4.10
6.80
2.10
2.60
3.15
3.96
6.52
2.05
2.53
3.05
3.82
6.23
14
14
14
14
14
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.10
2.60
3.15
3.94
6.40
2.05
2.53
3.05
3.80
6.13
15
15
15
15
15
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.06
2.54
3.06
3.80
6.08
16
16
16
16
16
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
17
17
17
17
17
Numerator Degrees of Freedom
15
20
25
30
40
50
60
2.13
2.66
3.26
4.17
7.30
2.12
2.64
3.22
4.12
7.19
2.11
2.62
3.20
4.08
7.12
2.08
2.57
3.12
3.94
6.68
2.05
2.53
3.06
3.86
6.52
2.04
2.51
3.03
3.81
6.42
2.03
2.49
3.00
3.78
6.35
2.03
2.50
3.01
3.76
6.22
2.01
2.47
2.96
3.70
6.09
1.99
2.43
2.91
3.62
5.93
1.97
2.40
2.87
3.57
5.83
1.96
2.38
2.85
3.54
5.76
2.01
2.46
2.95
3.66
5.93
1.98
2.41
2.88
3.57
5.75
1.96
2.38
2.84
3.51
5.63
1.93
2.34
2.78
3.43
5.47
1.92
2.31
2.74
3.38
5.37
1.90
2.30
2.72
3.34
5.30
2.01
2.46
2.95
3.66
5.85
1.96
2.39
2.84
3.51
5.56
1.93
2.34
2.78
3.41
5.38
1.91
2.31
2.73
3.35
5.25
1.89
2.27
2.67
3.27
5.10
1.87
2.24
2.64
3.22
5.00
1.86
2.22
2.61
3.18
4.94
2.02
2.48
2.96
3.67
5.81
1.97
2.40
2.86
3.52
5.54
1.92
2.33
2.76
3.37
5.25
1.89
2.28
2.69
3.28
5.07
1.87
2.25
2.64
3.21
4.95
1.85
2.20
2.59
3.13
4.80
1.83
2.18
2.55
3.08
4.70
1.82
2.16
2.52
3.05
4.64
2.03
2.49
2.99
3.69
5.81
1.99
2.42
2.89
3.55
5.55
1.94
2.35
2.79
3.41
5.27
1.89
2.28
2.68
3.26
4.99
1.86
2.23
2.61
3.16
4.82
1.84
2.19
2.57
3.10
4.70
1.81
2.15
2.51
3.02
4.54
1.79
2.12
2.47
2.97
4.45
1.78
2.11
2.45
2.93
4.39
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.00
2.45
2.92
3.59
5.58
1.96
2.38
2.82
3.46
5.32
1.91
2.31
2.72
3.31
5.05
1.86
2.23
2.62
3.16
4.78
1.83
2.18
2.55
3.07
4.60
1.81
2.15
2.50
3.00
4.48
1.78
2.10
2.44
2.92
4.33
1.76
2.08
2.41
2.87
4.24
1.75
2.06
2.38
2.83
4.18
18
18
18
18
18
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
1.98
2.41
2.87
3.51
5.39
1.93
2.34
2.77
3.37
5.13
1.89
2.27
2.67
3.23
4.87
1.84
2.19
2.56
3.08
4.59
1.80
2.14
2.49
2.98
4.42
1.78
2.11
2.44
2.92
4.30
1.75
2.06
2.38
2.84
4.15
1.74
2.04
2.35
2.78
4.06
1.72
2.02
2.32
2.75
4.00
19
19
19
19
19
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
1.96
2.38
2.82
3.43
5.22
1.91
2.31
2.72
3.30
4.97
1.86
2.23
2.62
3.15
4.70
1.81
2.16
2.51
3.00
4.43
1.78
2.11
2.44
2.91
4.26
1.76
2.07
2.39
2.84
4.14
1.73
2.03
2.33
2.76
3.99
1.71
2.00
2.30
2.71
3.90
1.70
1.98
2.27
2.67
3.84
Appendix A: Tables
Table A.5 Critical Values for the F Distribution (continued)
Denominator
Degrees of
Freedom
Area
10
12
20
20
20
20
20
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
1.94
2.35
2.77
3.37
5.08
1.89
2.28
2.68
3.23
4.82
1.84
2.20
2.57
3.09
4.56
1.79
2.12
2.46
2.94
4.29
1.76
2.07
2.40
2.84
4.12
1.74
2.04
2.35
2.78
4.00
21
21
21
21
21
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.96
4.32
2.73
8.02
14.59
2.57
3.47
2.64
5.78
9.77
2.36
3.07
2.53
4.87
7.94
2.23
2.84
2.42
4.37
6.95
2.14
2.68
2.36
4.04
6.32
22
22
22
22
22
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.95
4.30
2.70
7.95
14.38
2.56
3.44
2.60
5.72
9.61
2.35
3.05
2.50
4.82
7.80
2.22
2.82
2.39
4.31
6.81
23
23
23
23
23
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.94
4.28
2.67
7.88
14.20
2.55
3.42
2.57
5.66
9.47
2.34
3.03
2.47
4.76
7.67
24
24
24
24
24
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.93
4.26
2.64
7.82
14.03
2.54
3.40
2.54
5.61
9.34
25
25
25
25
25
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.92
4.24
2.61
7.77
13.88
30
30
30
30
30
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
40
40
40
40
40
Numerator Degrees of Freedom
15
20
25
30
40
50
60
1.71
1.99
2.29
2.69
3.86
1.69
1.97
2.25
2.64
3.77
1.68
1.95
2.22
2.61
3.70
2.08
2.57
2.31
3.81
5.88
2.02
2.49
2.25
3.64
5.56
1.98
2.42
2.21
3.51
5.31
1.95
2.37
2.18
3.40
5.11
2.13
2.66
2.32
3.99
6.19
2.06
2.55
2.27
3.76
5.76
2.01
2.46
2.21
3.59
5.44
1.97
2.40
2.17
3.45
5.19
1.93
2.34
2.14
3.35
4.99
2.21
2.80
2.36
4.26
6.70
2.11
2.64
2.29
3.94
6.08
2.05
2.53
2.24
3.71
5.65
1.99
2.44
2.18
3.54
5.33
1.95
2.37
2.14
3.41
5.09
1.92
2.32
2.11
3.30
4.89
2.33
3.01
2.44
4.72
7.55
2.19
2.78
2.33
4.22
6.59
2.10
2.62
2.26
3.90
5.98
2.04
2.51
2.21
3.67
5.55
1.98
2.42
2.15
3.50
5.23
1.94
2.36
2.11
3.36
4.99
1.91
2.30
2.08
3.26
4.80
2.53
3.39
2.51
5.57
9.22
2.32
2.99
2.41
4.68
7.45
2.18
2.76
2.30
4.18
6.49
2.09
2.60
2.23
3.85
5.89
2.02
2.49
2.18
3.63
5.46
1.97
2.40
2.12
3.46
5.15
1.93
2.34
2.08
3.32
4.91
1.89
2.28
2.05
3.22
4.71
1.82
2.16
2.51
2.98
4.24
1.77
2.09
2.41
2.84
4.00
1.72
2.01
2.31
2.70
3.75
1.67
1.93
2.20
2.55
3.49
1.63
1.88
2.12
2.45
3.33
1.61
1.84
2.07
2.39
3.22
1.57
1.79
2.01
2.30
3.07
1.55
1.76
1.97
2.25
2.98
1.54
1.74
1.94
2.21
2.92
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
1.76
2.08
2.39
2.80
3.87
1.71
2.00
2.29
2.66
3.64
1.66
1.92
2.18
2.52
3.40
1.61
1.84
2.07
2.37
3.14
1.57
1.78
1.99
2.27
2.98
1.54
1.74
1.94
2.20
2.87
1.51
1.69
1.88
2.11
2.73
1.48
1.66
1.83
2.06
2.64
1.47
1.64
1.80
2.02
2.57
60
60
60
60
60
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
1.71
1.99
2.27
2.63
3.54
1.66
1.92
2.17
2.50
3.32
1.60
1.84
2.06
2.35
3.08
1.54
1.75
1.94
2.20
2.83
1.50
1.69
1.87
2.10
2.67
1.48
1.65
1.82
2.03
2.55
1.44
1.59
1.74
1.94
2.41
1.41
1.56
1.70
1.88
2.32
1.40
1.53
1.67
1.84
2.25
120
120
120
120
120
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
1.65
1.91
2.16
2.47
3.24
1.60
1.83
2.05
2.34
3.02
1.55
1.75
1.94
2.19
2.78
1.48
1.66
1.82
2.03
2.53
1.44
1.60
1.75
1.93
2.37
1.41
1.55
1.69
1.86
2.26
1.37
1.50
1.61
1.76
2.11
1.34
1.46
1.56
1.70
2.02
1.32
1.43
1.53
1.66
1.95
A-15
A-16
Appendix A: Tables
Table A.6 Critical Values for the Studentized Range
Area
q
0
I
N − I Area
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
1
0.10 8.93 13.44 16.36 18.49 20.15 21.51 22.64 23.62 24.48 25.24 25.92 26.54 27.10
0.05 17.97 26.98 32.82 37.08 40.41 43.12 45.40 47.36 49.07 50.59 51.96 53.20 54.33
0.01 90.03 135.0 164.3 185.6 202.2 215.8 227.2 237.0 245.6 253.2 260.0 266.2 271.8
27.62
55.36
277.0
2
2
2
0.10 4.13
6.08
0.05
0.01 14.04
5.73
8.33
19.02
6.77
9.80
22.29
7.54
10.88
24.72
8.14
11.74
26.63
8.63
12.44
28.20
9.05
13.03
29.53
9.41
13.54
30.68
9.72
13.99
31.69
10.01
14.39
32.59
10.26
14.75
33.40
10.49
15.08
34.13
10.70
15.38
34.81
10.89
15.65
35.43
3
3
3
0.10
0.05
0.01
3.33
4.50
8.26
4.47
5.91
10.62
5.20
6.82
12.17
5.74
7.50
13.33
6.16
8.04
14.24
6.51
8.48
15.00
6.81
8.85
15.64
7.06
9.18
16.20
7.29
9.46
16.69
7.49
9.72
17.13
7.67
9.95
17.53
7.83
10.15
17.89
7.98
10.35
18.22
8.12
10.52
18.52
4
4
4
0.10
0.05
0.01
3.01
3.93
6.51
3.98
5.04
8.12
4.59
5.76
9.17
5.03
6.29
9.96
5.39
6.71
10.58
5.68
7.05
11.10
5.93
7.35
11.55
6.14
7.60
11.93
6.33
7.83
12.27
6.49
8.03
12.57
6.65
8.21
12.84
6.78
8.37
13.09
6.91
8.52
13.32
7.02
8.66
13.53
5
5
5
0.10
0.05
0.01
2.85
3.64
5.70
3.72
4.60
6.98
4.26
5.22
7.80
4.66
5.67
8.42
4.98
6.03
8.91
5.24
6.33
9.32
5.46
6.58
9.67
5.65
6.80
9.97
5.82
6.99
10.24
5.97
7.17
10.48
6.10
7.32
10.70
6.22
7.47
10.89
6.34
7.60
11.08
6.44
7.72
11.24
6
6
6
0.10
0.05
0.01
2.75
3.46
5.24
3.56
4.34
6.33
4.07
4.90
7.03
4.44
5.30
7.56
4.73
5.63
7.97
4.97
5.90
8.32
5.17
6.12
8.61
5.34
6.32
8.87
5.50
6.49
9.10
5.64
6.65
9.30
5.76
6.79
9.48
5.87
6.92
9.65
5.98
7.03
9.81
6.07
7.14
9.95
7
7
7
0.10
0.05
0.01
2.68
3.34
4.95
3.45
4.16
5.92
3.93
4.68
6.54
4.28
5.06
7.01
4.55
5.36
7.37
4.78
5.61
7.68
4.97
5.82
7.94
5.14
6.00
8.17
5.28
6.16
8.37
5.41
6.30
8.55
5.53
6.43
8.71
5.64
6.55
8.86
5.74
6.66
9.00
5.83
6.76
9.12
8
8
8
0.10
0.05
0.01
2.63
3.26
4.75
3.37
4.04
5.64
3.83
4.53
6.20
4.17
4.89
6.62
4.43
5.17
6.96
4.65
5.40
7.24
4.83
5.60
7.47
4.99
5.77
7.68
5.13
5.92
7.86
5.25
6.05
8.03
5.36
6.18
8.18
5.46
6.29
8.31
5.56
6.39
8.44
5.64
6.48
8.55
9
9
9
0.10
0.05
0.01
2.59
3.20
4.60
3.32
3.95
5.43
3.76
4.41
5.96
4.08
4.76
6.35
4.34
5.02
6.66
4.54
5.24
6.91
4.72
5.43
7.13
4.87
5.59
7.33
5.01
5.74
7.49
5.13
5.87
7.65
5.23
5.98
7.78
5.33
6.09
7.91
5.42
6.19
8.03
5.51
6.28
8.13
10
10
10
0.10
0.05
0.01
2.56
3.15
4.48
3.27
3.88
5.27
3.70
4.33
5.77
4.02
4.65
6.14
4.26
4.91
6.43
4.47
5.12
6.67
4.64
5.30
6.87
4.78
5.46
7.05
4.91
5.60
7.21
5.03
5.72
7.36
5.13
5.83
7.49
5.23
5.93
7.60
5.32
6.03
7.71
5.40
6.11
7.81
11
11
11
0.10
0.05
0.01
2.54
3.11
4.39
3.23
3.82
5.15
3.66
4.26
5.62
3.96
4.57
5.97
4.20
4.82
6.25
4.40
5.03
6.48
4.57
5.20
6.67
4.71
5.35
6.84
4.84
5.49
6.99
4.95
5.61
7.13
5.05
5.71
7.25
5.15
5.81
7.36
5.23
5.90
7.46
5.31
5.98
7.56
12
12
12
0.10
0.05
0.01
2.52
3.08
4.32
3.20
3.77
5.05
3.62
4.20
5.50
3.92
4.51
5.84
4.16
4.75
6.10
4.35
4.95
6.32
4.51
5.12
6.51
4.65
5.27
6.67
4.78
5.39
6.81
4.89
5.51
6.94
4.99
5.61
7.06
5.08
5.71
7.17
5.16
5.80
7.26
5.24
5.88
7.36
A-17
Appendix A: Tables
Table A.6 Critical Values for the Studentized Range (continued)
I
N−I
Area
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13
13
13
0.10
0.05
0.01
2.50
3.06
4.26
3.18
3.73
4.96
3.59
4.15
5.40
3.88
4.45
5.73
4.12
4.69
5.98
4.30
4.88
6.19
4.46
5.05
6.37
4.60
5.19
6.53
4.72
5.32
6.67
4.83
5.43
6.79
4.93
5.53
6.90
5.02
5.63
7.01
5.10
5.71
7.10
5.18
5.79
7.19
14
14
14
0.10
0.05
0.01
2.49
3.03
4.21
3.16
3.70
4.89
3.56
4.11
5.32
3.85
4.41
5.63
4.08
4.64
5.88
4.27
4.83
6.08
4.42
4.99
6.26
4.56
5.13
6.41
4.68
5.25
6.54
4.79
5.36
6.66
4.88
5.46
6.77
4.97
5.55
6.87
5.05
5.64
6.96
5.12
5.71
7.05
15
15
15
0.10
0.05
0.01
2.48
3.01
4.17
3.14
3.67
4.84
3.54
4.08
5.25
3.83
4.37
5.56
4.05
4.59
5.80
4.23
4.78
5.99
4.39
4.94
6.16
4.52
5.08
6.31
4.64
5.20
6.44
4.75
5.31
6.55
4.84
5.40
6.66
4.93
5.49
6.76
5.01
5.57
6.84
5.08
5.65
6.93
16
16
16
0.10
0.05
0.01
2.47
3.00
4.13
3.12
3.65
4.79
3.52
4.05
5.19
3.80
4.33
5.49
4.03
4.56
5.72
4.21
4.74
5.92
4.36
4.90
6.08
4.49
5.03
6.22
4.61
5.15
6.35
4.71
5.26
6.46
4.81
5.35
6.56
4.89
5.44
6.66
4.97
5.52
6.74
5.04
5.59
6.82
17
17
17
0.10
0.05
0.01
2.46
2.98
4.10
3.11
3.63
4.74
3.50
4.02
5.14
3.78
4.30
5.43
4.00
4.52
5.66
4.18
4.70
5.85
4.33
4.86
6.01
4.46
4.99
6.15
4.58
5.11
6.27
4.68
5.21
6.38
4.77
5.31
6.48
4.86
5.39
6.57
4.93
5.47
6.66
5.01
5.54
6.73
18
18
18
0.10
0.05
0.01
2.45
2.97
4.07
3.10
3.61
4.70
3.49
4.00
5.09
3.77
4.28
5.38
3.98
4.49
5.60
4.16
4.67
5.79
4.31
4.82
5.94
4.44
4.96
6.08
4.55
5.07
6.20
4.65
5.17
6.31
4.75
5.27
6.41
4.83
5.35
6.50
4.90
5.43
6.58
4.98
5.50
6.65
19
19
19
0.10
0.05
0.01
2.45
2.96
4.05
3.09
3.59
4.67
3.47
3.98
5.05
3.75
4.25
5.33
3.97
4.47
5.55
4.14
4.65
5.73
4.29
4.79
5.89
4.42
4.92
6.02
4.53
5.04
6.14
4.63
5.14
6.25
4.72
5.23
6.34
4.80
5.31
6.43
4.88
5.39
6.51
4.95
5.46
6.58
20
20
20
0.10
0.05
0.01
2.44
2.95
4.02
3.08
3.58
4.64
3.46
3.96
5.02
3.74
4.23
5.29
3.95
4.45
5.51
4.12
4.62
5.69
4.27
4.77
5.84
4.40
4.90
5.97
4.51
5.01
6.09
4.61
5.11
6.19
4.70
5.20
6.28
4.78
5.28
6.37
4.85
5.36
6.45
4.92
5.43
6.52
24
24
24
0.10
0.05
0.01
2.42
2.92
3.96
3.05
3.53
4.55
3.42
3.90
4.91
3.69
4.17
5.17
3.90
4.37
5.37
4.07
4.54
5.54
4.21
4.68
5.69
4.34
4.81
5.81
4.44
4.92
5.92
4.54
5.01
6.02
4.63
5.10
6.11
4.71
5.18
6.19
4.78
5.25
6.26
4.85
5.32
6.33
30
30
30
0.10
0.05
0.01
2.40
2.89
3.89
3.02
3.49
4.45
3.39
3.85
4.80
3.65
4.10
5.05
3.85
4.30
5.24
4.02
4.46
5.40
4.16
4.60
5.54
4.28
4.72
5.65
4.38
4.82
5.76
4.47
4.92
5.85
4.56
5.00
5.93
4.64
5.08
6.01
4.71
5.15
6.08
4.77
5.21
6.14
40
40
40
0.10
0.05
0.01
2.38
2.86
3.82
2.99
3.44
4.37
3.35
3.79
4.70
3.60
4.04
4.93
3.80
4.23
5.11
3.96
4.39
5.26
4.10
4.52
5.39
4.21
4.63
5.50
4.32
4.73
5.60
4.41
4.82
5.69
4.49
4.90
5.76
4.56
4.98
5.83
4.63
5.04
5.90
4.69
5.11
5.96
60
60
60
0.10
0.05
0.01
2.36
2.83
3.76
2.96
3.40
4.28
3.31
3.74
4.59
3.56
3.98
4.82
3.75
4.16
4.99
3.91
4.31
5.13
4.04
4.44
5.25
4.16
4.55
5.36
4.25
4.65
5.45
4.34
4.73
5.53
4.42
4.81
5.60
4.49
4.88
5.67
4.56
4.94
5.73
4.62
5.00
5.78
120
120
120
0.10
0.05
0.01
2.34
2.80
3.70
2.93
3.36
4.20
3.28
3.68
4.50
3.52
3.92
4.71
3.71
4.10
4.87
3.86
4.24
5.01
3.99
4.36
5.12
4.10
4.47
5.21
4.19
4.56
5.30
4.28
4.64
5.37
4.35
4.71
5.44
4.42
4.78
5.50
4.48
4.84
5.56
4.54
4.90
5.61
∞
∞
∞
0.10
0.05
0.01
2.33
2.77
3.64
2.90
3.31
4.12
3.24
3.63
4.40
3.48
3.86
4.60
3.66
4.03
4.76
3.81
4.17
4.88
3.93
4.29
4.99
4.04
4.39
5.08
4.13
4.47
5.16
4.21
4.55
5.23
4.28
4.62
5.29
4.35
4.68
5.35
4.41
4.74
5.40
4.47
4.80
5.45