File No.24/21/29/12/2014
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
ANDHRA PRADESH - TELANGANA
2014-2015 PROGRAM M E
5TH - CHAPTER - SOLUTIONS
5. TRIGONOMETRY
1.

.....   cos
 
46   cos

G.E  cos 2 10  cos 2 890  cos 2 20  cos 2 880 

2
440  cos 2
2 0
2 0
0
 
2
2
0
 
450 )  0 2
2
0
 cos 1  sin 1  cos 2  sin 2

2
2

1 89

2 2
 44 
2.

 1 
 .......  cos 44  sin 44  

 2
2
G.E   sec A   tan A  1   sec A   tan A  1 


 sec2 A  tan2 A  2tan A  1

2

2
 sec A  tan A  2tan A  1  2tan A
3.
G.E 


cot   cos ec   cos ec 2   cot 2 
cot   cos ec  1

2014 - 2015
 cos ec  cot  1  cos ec  cot  
cot   coe sec   1
1  cos 
 cos ec  cot  
sin 
4.
sin x  cos x
 tan x sec2 x  sec 2 x
cos 3 x


 tan x 1 tan2 x  1 tan2 x
3
2
 tan x  tan x  tan x  1
 a  1,b  1,c  1,d  1
 abcd  4
5.
4
x 2 y 2  a2  sec   tan   .b 2  sec   tan  

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 a2b2 sec2   tan2 
6.
G.E 

4
4
 a2b 2
1 tan 20 tan 280
1

0
0
 tan28  tan 2
tan300
  cot 300   3
 k 3  3  k  1
CHALLENGER
1
CHAPTER SOLUTIONS - 5
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7.
tan  A  B  
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tan A  tanB
1 tan A tanB
1 1
3 2

2
3

 6 1
 1  1  6  1
1   
6
 2  3 
8.
sin   sin ,cos   cos 
 sin   sin   cos   cos   0

 
 2cos
sin
2
2

 
 2sin
sin
0
2
2
 
 sin
0
2
2
9.

10.
2
 3  3  1 
sin2 600  cos 2 30 0  sin2 450  


 2   2   2 

 

2
3 3 1 334 2 1
  
 
4 4 2
4
4 2
1 
1 

cos ec 2 1
1


 sec   sec  
 sec   1 sec  
 cos ec 2 


 sec   sec  



cos ec 2 sec2   1
sec2 
 sec2   tan2  1

tan  cot2014
1

-
2015
 cot 2 tan2   1
11.
3 tan A  4  tan A 
4
3
2sin A  7 cos A
3cos A  4
5
4
A
3
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 4
3
8 21
2   7  

8  21 13
5
5



 5 5 

9  20
29
29
3
3   4
5
5
12.
sin A 
1
2
 A Q 2
sin A  sin1500  A 1500  A 
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5
6
2
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c
13.
3 3
  180  3  36 1080
5 5
14.
logsec  1 sin2   logcos1  cos 2 
15.
sin  

180  c
2
logcos  cos    2
1

4
5
 Q1
4
3
24
  

 sin 2  2sin  cos   2  5 
 5  25
16.





sin 4   cos 4   sin2   cos 2  sin2   cos 2   1   cos 2   sin2  


  cos 2   1 2 sin2   2 sin2   1
17.
cot  A  B   1 and cos  A  B  
1
2
A  B  450 ----- (1)
A  B  600 ------- (2)
(2) - (1) 
18.
A
A


B
B


60
45
2B

15
B
 7
2sin A  12sin A  1  0
2
4sin2 A  1  0  sin A 
19.
1
2
sin 4   cos 4  
1
1
- 2015
A 
 sin2014
A  300
4
2
1
1
2
 2sin  cos    sin4   cos4   4 sin2  cos2 
2
2


2
 sin4   cos 4   2sin2  cos 2    sin 2   cos 2  
2
 1 = 1
1 sin2

1 cos 2 
20.
 sin   cos  

21.
sin2   cos 2   2sin  cos 
sin2 
sin 
2

sin   cos 
 1  cot 
sin 
Let A,B are complementary angles  A  B  90  B  90  A
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tan B  tan  90  A    cot A

22.
sin2 A  sin2B
1
 1
2
2
cos ec A  tan B 1



4 sin4 30 0  cos 4 30 0  3 cos 2 450  sin2 900
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
3
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 1 4  3 4 
 1 2

2
 

 4    

3
 1   4  1  9   3  1  1




16 16 
2 
 2   2  




 2 



 10 
3 5 9
4
 4    3        2
16
2
2
 
  2 2
23.
sec 
 tan  
sec 
 tan  
2sec  
4
3
4
3
3
4
3
4

25
7
24

sec  
16  9
12
25
7
and tan  
24
24
 25  7  175
 sec  tan   


 24  24  576
24.
sin   cos   n  sin2  cos   n2  2sin  cos   n2 sin  cos  
2014 - 2015

sin6   cos6   sin2 
3
3
   cos     sin
2
2
  cos 2 
2
3

n2  1
2

 3 sin 2  cos 2  sin 2   cos 2 
2
 n2  1
n2  1  4  3 n2  1

1

3



1

3
 1 3sin  cos 
 2 
4
4
2
25.
2
2
sin 250 cos 250 sin350 sin 250  cos 350 cos 250


cos 350 sin350
cos 350 sin350

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

 cos 350  25

1
 2sin35cos 35
2
26.
tan 300  tan3 300
 tan3 300  tan900
1 3 tan2 300
27.
cot 4 x  cot 2 x  1

 1
2  
2cos 600
 2    cos ec 700

sin700  sin70

cot 4 x  1  cot 2 x
cot 4 x  cos ec 2 x
cos 4 x
1

4
sin x sin2 x
cos 4 x  sin2 x
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4
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4
2
2
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2
 cos x  cos x  sin x  cos x  1
28.
cos  A  B 
cos  A  B 

8
3
cos A cosB  sin A sinB 8

cos A cosB  sin A sinB 3
1 tan A tanB 8

1 tan A tanB 3
3  3tan A tanB  8  8tan A tanB
11tan A tanB  5
tan A tanB 
5
11
29.
1
1 
cot    2k  
2
2k 
30.
  Q2  sin   0 , cos   0
1  sin 
1  sin   1  sin 


1  sin 
1  sin    cos 
 cos ec   cot  
1
2k
  1  sin  


   cos  
  sec  tan   sec   tan   2sec
1.
2014 - 2015
sec 6   tan 6    sec3   tan 2  sec4   sec 4  tan 2   tan 4  

 1 sec 4   sec 2   sec 2   1   sec 2   1
2

 3sec4   3sec2   1  a  b  c  1
2.
1
 42 3
1  cos 
1  cos  
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3.
1
42 3


3
3

 1
 cos 
,   ,11
4
6
6
4 2 3
2
2
cot   cos ec  1
cot   cos ec  1

=
cot   cos ec   cos ec 2  cot 2  
cot   cos ec  1

 cos ec   cot   cos ec  cot   1
cot   cos ec  1
cos ec  cot 
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5
CHAPTER SOLUTIONS - 5
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

 1  tan A 
 A    1  tan A   1 

4

 1  tan A 

4.
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1  tan A  1  tan 

 1  tan A  1  tan A 
 1  tan A  
2
1  tan A


tan   tan 
p
p


1  tan  tan  1  q q  1
5.
tan     
6.


 3

tan     tan 
 
4

 4

7.
 1  tan 

 1   1 tan 

1  tan 
1  tan 

1  tan 
1  tan  



  1  tan     1  tan  1  tan   

 1
1  tan  
1  tan  1  tan  
a
 42 3
1 r
1
 42 3
1  cos x
Let x  30 0
1
3
1
2
 4 2 3
2014 - 2015
2
2 3
.
 4 2 3
2 3 2 3
4 2 3  4 2 3
 x  300
8.




 cos 6
 1  3sin 2
cos 2
49
49
49
49
sin 6
1  3sin 2
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9.




cos 2
 1  3sin 2
cos 2
0
49
49
49
49
2
2
81sin x  81cos x  30
2
81sin x  811sin
81sin
a
2
x
2
x
 30
a
81
 30
a
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2
a  30a  81  0
 a  3 a  27   0
a3
a  27
81sin
2
x
 27
81sin
2
x
 33
2
34sin x  33
4sin 2 x  3
sin 2 x 
3
4
sin x 
3
2
x
10.

3
If A  B  450 then 1  tan A 1  tan B   2
2
1
2
11.
A B
C
  90 
2 2
2
C
 A B

tan     tan  90  
2
2 2

2014 - 2015
A
B
 tan
2
2  cot C  1
A
B
2 tan C
1  tan tan
2
2
2
tan
5 20

6 37  1
5 20
C
1 
tan
6 37
2
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tan
12.
C 2

2 5
1
3

0
sin10 cos100
cos100  3 sin100
sin100 cos100
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7
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1

3
2  cos100 
sin100 
2
2

0
0
sin10 cos10
2  2 sin 300 cos100  cos30 0 sin100 
2 sin100 cos100
4 sin  300  100  
sin 200
4
tan 1800  200   tan  900  200 
13.
1  tan 1800  200  tan  98  28 
 tan 200  cot 200
1  tan 200 cot 200
1
p
p2 1
p

2
2p
14.
tan  A  B 

tan A  tan B
1  tan A tan B
1 1

 2 3 1
1 1
1 .
2 3
15.
2014 - 2015
1  cos    sin 
1  cos    sin 



 2sin cos
2
2
2



2 cos 2  2 sin cos
2
2
2
2 sin 2
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
 
2 sin  sin  cos 

2
 2
 tan
 

2
2 cos  cos  sin 
2
2
2
16.
 tan A 1  tan A

1  tan A 1  tan A
2
1  tan A  1  tan A
2
1  tan 2 A
CHALLENGER
8
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2 1  tan 2 A 
1  tan 2 A
17.
 2 sec 2 A
Let x x  y  00
1 0
  1,
1 0
18.
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1 0
 1
1 0
cos 2 760  cos 2 160  cos 760 cos160
cos 2 760  1  sin 2 160  cos 760 cos160
1  cos 2 76  sin 2 160  cos 760 cos160
1  cos  920  cos 60 0  cos 76 0 cos16 0
19.
20.
1
cos 920 1
  cos 920  cos 600 
2
2
1
cos 920 cos 920 1 1

 
2
2
2 2
1
1 3

4 4
 cos
2
A  sin2 B  cos  A  B  cos  A  B 

1


 cos A cosB  2 cos  A  B   cos  A  B   


cos 200 cos 40 0 cos 600 cos 80 0
=
1
cos 600  200 cos 200 cos 600  200 

2
=
11
 1
cos 3 200   cos600

2 4
 8
=
1 1 1
 
2 8 16






2014 - 2015
sin 2 A  sin 2 B  sin 2C
2cos  A  B  sin  A  B   2sin C cos C
2cos c sin  A  B   2sin A cos C
2 cos c sin sin  A  B   sin C 
2 cos c sin  A  B   sin  A  B  
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2cos c  2cos A sin B 
4cos A sin B cos C
21.
Let
  00
2
 1  1
cos 45  cos 15  cos 15  
 2
 2
2
0
CHALLENGER
2
0
2
0
9
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
22.
1
sin200 sin 400 sin600 sin800
3
=
1 1
 sin 200 sin600 2sin 400 sin800
3 2
=
1
sin200 sin600 cos 400  cos1200
6
=
1 3
1

sin200 1 2sin2 200  
6 2
2

=
3
3

sin 200   2sin2 20 0 
12
2


=
3
3 sin 200  4 sin3 200
24
=
3
3
3
sin600 

24
24 2



=
23.
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD



3
1

24  2 16
sin  x  2x  6x   sin  9x 
Period 
2
9
x
2

6

3
3
24.
sin
25.
sin 120  x  120  x  sin 120  x  120 0  x 
0
2014 - 2015
0
0
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= sin 240.sin  2x 
=
3
 sin  2 x  
2
=
3
sin 2 x
2
max 
3
3
1 
2
2
min 
3
 3
 1 
2
2
3
 p p   3

,

,


 2 2 
2 
 2
p 3
CHALLENGER
10
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
26.
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
 cos 2 x  1  sin x  2 
cos x 

 1  sin x  cos x 


cos2 x  1  sin 2 x  2sin x
1  sin x
2  2 sin x
1  sin x
2 1  sin x 
2
1  sin x
27.
sin 4 x  cos 4 x  1  2 sin 2 x cos 2 x
1
 1   4 sin 2 x cos 2 x 
2
1
 1  sin 2 2 x
2
 1
1
 0
2
=1
 1
1
1
1 
2
2
1
,
2
= 
28.
2

1

2014 - 2015
2
cos  60  x   cos  60  x 
sin  60  x  60  x  sin  60  x  60  x 
sin1200 sin  2x 
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 sin1200 sin 2x

3
sin 2 x
2

3
3
 1 
2
2

3
3
1  
2
2
3
 m m    3
 2 , 2    2 , 2 


m 3
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11
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
29.
sin 480 sin120 

1
 2sin 48. sin12
2
2 sin A sinB  cos  A  B   cos  A  B  
1
1 5 1 1
 
 cos 36  cos60   
2
2 4
2 
=
30.
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
cos 480 cos120 
5 1
8
1
2cos 480.cos120
2

  2cos A cosB  cos  A  B   cos  A  B  
1
1 1
5  1
0
0
= 2 cos60  cos36  2  2  4 




=
5 3
8
BRAIN TWISTERS
:
D
G
C


90 100  / 2
1.
Using the formula
2.
tan2 A  cos 2 B  tan2 450  cos2 300 1
sin2 A  cos 2 A  sin2 450  cos 2 450 
3 7

4 4
1 1
 1
2 2
2014 - 2015
3.
2
sec   1  tan 
sec  
4.
1
cos 
Given tan   cot   2
 tan   cot  
2
 22
tan2   cot 2   2tan  cot   4
tan2   cot 2   4  2
 tan2   cot 2   2
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:
5.
Assertion :   10  0.017450
Reason :
D
G
C


90 100  / 2
Both A and R are true R is the correct explanation of A.
CHALLENGER
12
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6.
Assertion : SinA  Cos A 
Reason : Sin A 
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17
13
12
5
12 5 17
; Cos A 
 Sin A  Cos A 


13
13
13 13 13
Both A and R are true R is the correct explanation of A.
7.
Assertion : sec 2 450  tan2 450
=
 2
2
 12  1
Reason : 3 tan2 300  4 cos 2 450
2
2
 1 
 1 
= 3
  4
  1 2  3
3


 2
8.
From Statement we have sec   tan   p also sec 2   tan2   1
  sec   tan   sec   tan   1 sec   tan  
solving, we get sec  
1
1

sec   tan  p
1 p2
2p
 cos  
2p
1 p2
1 p2
sin


using sin   1 cos 2 

1 p2
9.
Assertion :
Given x  cos , y  sin 
x 2  y 2  cos 2   sin2   1
Reason :
x  cos   sin 
2
2014 - 2015
2
x   cos   sin    1 2cos  sin 
y  cos   sin 
2
y 2   cos   sin    1  2cos  sin 
x 2  y 2  1 2cos  sin   1 2cos  sin 
x2  y2  2
 Assertion is true but Reason is false
:
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10.
a) 90 0
-
c
2
b) 180 0
-
2 Right angles
c) 1 Right angle
-
c
2
-
400 g
, 120 0
3
d)
2 c
3
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13
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11.
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a) sin A  cos A   sin A  cos A   sin A  cos 2 A 
4
4
2
2
2
= sin2 A  cos 2 A
= 1  2cos 2 A
b) 1

1 sin A  1 sin2 A
cos 2 A
1 sin A  cos 2 A


1 sin A
1 sin A
1 sin A
=
1 sin A  1 sin A 1 sin A 
1 sin A


1 sin A  1 1 sin A  
1 sin A 
= sin A
c) Given Cos A + Sin A =
cos A  sin A
2
2 cos A
 sin A

2
4
2
2
2
2
d) tan A  tan A  tan A 1 tan A    sec A  1 1  sec A  1
=  sec2 A  1   sec2 A  1

2
= sec 2 A  1  sec 4 A  2 sec 2 A  1
= sec 4 A  sec 2 A
12.


cos 3000  cos 3600  600  cos600 




1
2
tan 2250  tan 180 0  450  tan 450  1
sin 4200  sin 3600  600  sin600 

32014
2
- 2015

cos 270 0  cos 360 0  90 0  cos 00  0
13.
0
a) cos  60    cos 60     2 cos60 cos   2 
0
b) cos15 
1
cos   cos 
2
3 1
2 2
c) sin  900     sin90 0 cos   cos 90 0 sin 
= cos 
d) cos 4 450  cos 2 150  cos  450  150  cos  450  150 
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1 3
3
cos600 cos300  

2 2
4
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14
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:
14.
15cos A  8 sin A  0  8 sin A 15cos A 
 tan A 
15 opp 
sin A 

 tan A 

8
adj 
cos A 
15 8

sin A  cos A 17 17


 23
8 15
cisA  sin A
2.

17 17
Hence hyp =
15.
sin A 15

cos A 8
15cot A  17 sin A

8tan A  16 sec A
8
15
 17
15
17  23
15
17
49
8
 16
6
8
15
16.
17 17

cos ec A  sec A 15 8
119


cos ec A  sec A 17 17
391

15 8
17.
1
0
Given 4cos 2   1 0  cos    cos60     
2
2tan 
2tan600
2. 3


 3
2
2
0
1 3
1 tan  1 tan 60
 
18.
2 3
2tan 
2tan60
2 3
3




2
2
4
2
1 tan  1 tan 60 1 3
19.
1 tan2 60 1 3 2 1



2
1 tan2 60 1 3 4
2014 - 2015


tan 1600  tan1100
20.
0
0
1 tan160 .tan110

tan 180  20   tan  90  20 
1 tan 180  20   tan  90  20 
 tan200  cot 200
= 1  tan 200  cot 200



1
p 1 p 2

=
1
2p
1 p.
p
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p 
21.
tan  360  250   tan  720  20 
tan6100  tan7000

0
0
tan  360  200   tan  360  110 
tan 560  tan 470


tan 2500  tan 200
0
tan 200  tan110
CHALLENGER
0
  tan  270  20   tan  360  20
tan 180  20   tan  90  20 
15
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
1
p
cot 20  tan 20 p
1 p2



1 1 p2
tan 20  cot 20
p
p

tan 180


   tan60
 30   tan30
tan 3600  600  tan 900  300
22.
0


 300  tan 2700
0
0
0
 cot 300
0
 cot 300
:
23.
Given A  B  450
tan  A  B   tan 450 
tan A  tanB
1
1 tan A.tanB
 tan A  tanB 1 tan A tanB
 tan A  tanB  tan A tanB 1
adding ‘1’ on both sides
 1 tan A    tanB  tan A tanB  1 1
 1 tan A 1 tanB   2
24.
Given A  B  450
Apply ‘cot’ on both sides and get the result as  cot A  1 cotB  1  2
25.


Tan 230  220  1
2014 - 2015
1.
tan 10 tan 20 .. tan 890
= (tan 10 tan 890) (tan 20 tan 880) .....
= (tan 10 tan (900 – 10) (tan 20 tan (900 – 20) ......
= (tan 10 . cot 10) (tan 20. cot 20) ..... [  tan (900–  ) = cot  ]
= 1  1  1.... =1.
2.
n(m2–1) = (sec  +cose  ). 2sin  cos  ) = 2
[  m2 = 1+2 sin  cos  ]
=
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3.
sin   cos 
.2sin  cos   2m.
sin .cos 
We have sinx + sin y = 3 (cos y – cos x)
 sin x + 3 cos x = 3 cos y – sin y
........(i)
 r cos (x–  )= r cos (y +  ),
where r =
10, tan  
1
3
 x –  =  (y+  )  x = –y or x + y = 2 
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16
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
Clearly, x = –y statisfies (i); 
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sin3x  sin 3y

1
sin3y sin3y
1 sin 
1 sin 

is the sum of two positive quantities and hence the result must be positive. But for
1 sin 
1 sin 
4.

   , we have the sum equal to
2
1 sin   1 sin 
2

1 sin 
2
cos  ; which is negative.
(  cos  is negative for  lying in 2nd quadrant). So the required positive value
=
5.
2

  2sec ,(     )
cos 
2
We have
0
0
e log10 tan 1 log10 tan 2
0
 elog10 (tan 1
 log10 tan 30  ..........  log10 tan 890
tan(900 1)tan 20 tan(900  20 ) .....1
0
0
0
 elog10 (tan 1 cot 1 tan 2
cot 20 ......)
1
 elog10  e 0  1.
6.
2sin 
2
Given expression = (1 tan )2 (tan (1 tan )  sec )

7.
2sin 
2sin 
{tan   tan2   1 tan2 } 
2
(1 tan )
1 tan 
2014 - 2015
We have, xy = (sec  – tan  ) (cosec  +cot  )
=
1 sin  1 cos 
.
cos 
sin 
 xy 1
=
1 sin   cos   sin  cos   sin  cos 
cos  sin 
1 sin   cos 
cos  sin 
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x-y - (sec  –tab  ) – (cosec  +cot  )
=
1 sin  1 cos  sin   sin2   cos   cos 2


cos 
sin 
cos  sin 
=
sin   cos   1
cos  sin 
Adding (i) and (ii), we get xy+1+(x–y)=0
 x
y 1
y 1
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17
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
8.
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
sin2   sin2   sin2 

tan2 
tan2 
tan2 


2
2
1 tan  1 tan  1 tan2 

x
y
z


(x  tan2 , y  tan2 , z  tan2  )
1 x 1 y 1 z

(x  y  z)  (xy  yz  zx  2xyz)  xy  yz  zx  xyz
(1 x)(1 y)(1 z)
1 x  y  z  xy  yz  zx  xyz
1
(1 x)(1 y)(1 z)
[xy  yz  zx  2xyz  1]
9.
0
sin55  sin35

sin100
=
10.
0
2cos
550  350
550  350
sin
2
2
sin100
2cos 450.sin100
 2
sin100
As given
sin A  sinB C

cos A  cosB D
A B
A B
.cos
2
2  C  tan A  B  C

A B
A B D
2
D
2cos
.cos
2
2
2sin
A B
2
Thus, sin (A+B) =
A
B
1 tan2
2
2tan
2014 - 2015
C
2CD
D


C2 (C2  D2 )
1 2
D
2
11.
tan700  tan 200
tan 500
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sin700 sin 200 sin700 cos 200  cos700 sin 200

cos700 cos 200
cos700 cos 200


sin500
sin 500
cos 500
cos 500

2 sin(700  200 )cos 50 0
2sin500 cos 50 0


2 cos700 cos 20 0 sin 50 0 2cos 70 0 cos 20 0 sin 50 0

2cos 500
2cos 50 0

2
cos 900  cos 50 0 0  cos 50 0
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18
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
12.
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
cot A
cotB
1
.

1 cot A 1 cotB (1 tan A)(1 tanB)

1
tan A  tanB  1 tan A tanB
[ tan(A  B)  tan2250 ]
 tan A  tanB 1 tan A tanB

13.
1
1

1 tan A tanB  t  tan A tanB 2
4
5
We have, cos (   )  and sin(  ) 
5
13
3
12
 sin(  )  andcos(   ) 
5
13
3
5
 2  sin1  sin1 
5
13
3
25
5
9 
 sin1  1

1

169 13
25 
 5
56
 56 
 2  sin1 
  sin 2  65
65


Now, tan 2 
14.
sin 2 56 / 65 56


cos 2 33 / 65 33
cos 120 + cos 840 + cos 1560 + cos 1320
2014
= (cos 120 + cos 1320) + (cos 840 + cos
1560) -
2015
= 2 cos 720 cos 600 + 2 cos 360
1 1


 2 cos720    cos 360 
2 2


 5  1 5  1 1
 [cos720  cos 360 ]  


4  2
 4
15.
cos 90  sin90
cos 90  sin90
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divided by numerator and denominator by cos 90
cos 90  sin90
cos90

cos 90  sin90
cos90
1 tan90
 tan(450  90 )  tan 540
1 tan90
16.
 1
 1
 a 
 a 
tan   cos 1     tan   cos 1   
 b 
 b 
4 2
4 2
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19
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
1

1 a 
 x  2 cos b 






 tan   x   tan   x 
4

4 
1  tan x 1  tan x 2(1  tan2 x)


1  tan x 1  tan x
1  tan2 x

=
17.
18.
2cos

9
3
5
.cos
 cos
 cos
13
13
13
13
= 2cos

9
4
5
.cos
 2cos
 cos
13
13
13
13
= 2cos
 
9
4 
cos
 cos 

13 
13
13 
= 2cos
 

5 
2cos  cos
0

13 
2
26 
 

 cos 2  0 


cos120  sin120
sin147 0

cos120  sin120 cos147 0

19.
2
2
2b


cos 2x a / b a
1 tan120
 tan1470  tan 330  tan 330  0
1 tan120
sin 120 sin 240 sin 480 sin 840
1
 (2sin120 sin 480 )(2sin240 sin840 )
4
1
 (cos 360  cos600 )(cos600  cos1080 )
2
2014 - 2015
1
1 1
 (cos 360  )(  sin180 )
4
2 2
11
1  1 1
 1
  ( 5  1)     ( 5  1) 
4 4
2  2 4
 16
and cos 200 cos 400 cos 60 cos 800
1
 cos (600  200 )cos 200 cos(60 0  20 0 )
2
11
1 1 1
 1
  cos 3(200 )  cos600   
2 4
2 8 16
 8
20.
tan 90 – tan 270 – tan 630 + tan 810
= tan 90 – tan 270– cot 270 + cot 90
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= (tan 90 + cot 90) - (tan 270+cot 270)

cos(90  90 ) cos(270  27 0 )
2
2



sin90 cos 90 sin27 0 .cos 27 0 sin180 sin 540
 sin540  sin180 
2.cos 360.sin18
 2

2.
4

0
0
sin180.sin540
 sin18 sin 54 
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20
CHAPTER SOLUTIONS - 5
File No.24/21/29/12/2014
21.
1
1

tan3A  tan A cot 3A  cot A

22.
1
tan A tan3A
1


 cot 2A
tan3A  tan A tan3A  tan A tan 2A
sin x  cos x 
1
5
 sin2 x  cos 2 x  2sin x cos x 
sin 2x 
23.
IX CLASS - IIT/N.T.S.E FOUNDATION -OLYMPIAD
1
25
24
7
24
 cos 2x 
 tan 2x 
25
25
7
Given that ABCD is a cyclic quadrilateral.
So A+C = 1800  A = 1800 -C
 cos A = cos (1800-C) = –cosC
 cos A + cos C = 0
Similarly, cosB + cosD = 0.
....
(1)
....
(2)
Adding (1) and (2)
Cos A + cos B + cos C + cos D = 0
24.
In  ABC, A  B  C  1800
 sin A  sinB  sinC
 2sin
A B
A B
C
C
cos
 2sin cos
2
2
2
2
 A B
A B
C
 C
 2sin    cos
 2cos sin  

2
2
2
2 
2 2

25.
2014 - 2015
 2cos
C
A B
C
A B
cos
 2cos cos
2
2
2
2
 2cos
C
A B
A  B
cos
 cos

2
2
2 
 2cos
C
A
B
A
B
C
2cos cos   4cos cos cos

2
2
2
2
2
2
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sinB sinC
and cos A + cos B + cos C –1= 4 sin
A
B
C
sin sin
2
2
2
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4 sin A sinB sinC
A
B
C
 8cos cos cos
2
2
2
Hence 4 sin A sin B sin C
2
2
2
NOTE :- LEVEL - III -
23,24 Questions Statement is not entered
So, Statement is : If A + B = 450
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21
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