MATHEMATICS OF COMPUTATION
Volume 00, Number 0, Pages 000–000
S 0025-5718(XX)0000-0
THE MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER
TABLES
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
7x3 + 7x2 − 1
[−0.737, 0.328]
6
5
4
3
2
57x + 81x + 6x − 32x − 9x + 3x + 1
[−0.728, 0.494]
7x3 + 4x2 − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
6
5
4
3
2
59x + 28x − 43x − 15x + 11x + 2x − 1
[−0.669, 0.528]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
6
5
4
3
2
59x − 28x − 43x + 15x + 11x − 2x − 1
[−0.528, 0.669]
7x3 − 4x2 − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
6
5
4
3
2
57x − 81x + 6x + 32x − 9x − 3x + 1
[−0.494, 0.728]
7x3 − 7x2 + 1
[−0.328, 0.737]
6
5
4
3
2
63x − 136x + 72x + 16x − 17x + 1
[−0.310, 1.115]
63x6 − 146x5 + 91x4 + 7x3 − 18x2 + x + 1
[−0.285, 1.141]
6
5
4
3
2
58x − 139x + 90x + 6x − 18x + x + 1
[−0.285, 1.178]
59x6 − 147x5 + 105x4 − 3x3 − 18x2 + 2x + 1
[−0.271, 1.184]
6
5
4
3
2
63x − 159x + 115x − 4x − 19x + 2x + 1
[−0.260, 1.197]
15x4 − 29x3 + 13x2 + x − 1
[−0.244, 1.208]
6
5
4
3
2
57x − 171x + 153x − 21x − 21x + 3x + 1 [−0.228, 1.228]
15x4 − 31x3 + 16x2 − 1
[−0.208, 1.244]
6
5
4
3
2
63x − 219x + 265x − 126x + 14x + 5x − 1 [−0.197, 1.260]
59x6 − 207x5 + 255x4 − 127x3 + 18x2 + 4x − 1 [−0.184, 1.271]
58x6 − 209x5 + 265x4 − 136x3 + 20x2 + 4x − 1 [−0.178, 1.285]
63x6 − 232x5 + 306x4 − 171x3 + 34x2 + 2x − 1 [−0.141, 1.285]
63x6 − 242x5 + 337x4 − 204x3 + 48x2 − 1
[−0.115, 1.310]
1
Table 1. Polynomials used to prove L+ 63√6 < 1.4715.
c
1997
American Mathematical Society
1
2
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
57x6 + 81x5 + 6x4 − 32x3 − 9x2 + 3x + 1
[−0.728, 0.494]
3
2
7x + 4x − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
59x6 + 28x5 − 43x4 − 15x3 + 11x2 + 2x − 1
[−0.669, 0.528]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
59x6 − 28x5 − 43x4 + 15x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.528, 0.669]
3
2
7x − 4x − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
57x6 − 81x5 + 6x4 + 32x3 − 9x2 − 3x + 1
[−0.494, 0.728]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
55x6 − 120x5 + 64x4 + 15x3 − 16x2 + 1
[−0.316, 1.131]
6
5
4
3
2
58x − 129x + 71x + 15x − 17x + 1
[−0.315, 1.141]
60x6 − 141x5 + 89x4 + 7x3 − 18x2 + x + 1
[−0.301, 1.158]
30x5 − 56x4 + 17x3 + 12x2 − 3x − 1
[−0.296, 1.171]
6
5
4
3
2
58x − 139x + 90x + 6x − 18x + x + 1
[−0.285, 1.178]
59x6 − 147x5 + 105x4 − 3x3 − 18x2 + 2x + 1
[−0.271, 1.184]
4
3
2
15x − 29x + 13x + x − 1
[−0.244, 1.208]
57x6 − 171x5 + 153x4 − 21x3 − 21x2 + 3x + 1 [−0.228, 1.228]
15x4 − 31x3 + 16x2 − 1
[−0.208, 1.244]
59x6 − 207x5 + 255x4 − 127x3 + 18x2 + 4x − 1 [−0.184, 1.271]
58x6 − 209x5 + 265x4 − 136x3 + 20x2 + 4x − 1 [−0.178, 1.285]
30x5 − 94x4 + 93x3 − 27x2 − 2x + 1
[−0.171, 1.296]
6
5
4
3
2
60x − 219x + 284x − 153x + 27x + 3x − 1 [−0.158, 1.301]
58x6 − 219x5 + 296x4 − 169x3 + 34x2 + 2x − 1 [−0.141, 1.315]
55x6 − 210x5 + 289x4 − 171x3 + 38x2 + x − 1 [−0.131, 1.316]
1
√
Table 2. Polynomials used to prove L+ 60 6 < 1.4789.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
57x6 + 81x5 + 6x4 − 32x3 − 9x2 + 3x + 1
[−0.728, 0.494]
3
2
7x + 4x − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
59x6 + 28x5 − 43x4 − 15x3 + 11x2 + 2x − 1
[−0.669, 0.528]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
59x6 − 28x5 − 43x4 + 15x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.528, 0.669]
3
2
7x − 4x − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
57x6 − 81x5 + 6x4 + 32x3 − 9x2 − 3x + 1
[−0.494, 0.728]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
55x6 − 120x5 + 64x4 + 15x3 − 16x2 + 1
[−0.316, 1.131]
6
5
4
3
2
58x − 129x + 71x + 15x − 17x + 1
[−0.315, 1.141]
27x5 − 50x4 + 15x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.311, 1.166]
30x5 − 56x4 + 17x3 + 12x2 − 3x − 1
[−0.296, 1.171]
6
5
4
3
2
58x − 139x + 90x + 6x − 18x + x + 1
[−0.285, 1.178]
59x6 − 147x5 + 105x4 − 3x3 − 18x2 + 2x + 1
[−0.271, 1.184]
4
3
2
15x − 29x + 13x + x − 1
[−0.244, 1.208]
57x6 − 171x5 + 153x4 − 21x3 − 21x2 + 3x + 1 [−0.228, 1.228]
15x4 − 31x3 + 16x2 − 1
[−0.208, 1.244]
59x6 − 207x5 + 255x4 − 127x3 + 18x2 + 4x − 1 [−0.184, 1.271]
58x6 − 209x5 + 265x4 − 136x3 + 20x2 + 4x − 1 [−0.178, 1.285]
30x5 − 94x4 + 93x3 − 27x2 − 2x + 1
[−0.171, 1.296]
5
4
3
2
27x − 85x + 85x − 26x − x + 1
[−0.166, 1.311]
58x6 − 219x5 + 296x4 − 169x3 + 34x2 + 2x − 1 [−0.141, 1.315]
55x6 − 210x5 + 289x4 − 171x3 + 38x2 + x − 1 [−0.131, 1.316]
1
√
Table 3. Polynomials used to prove L+ 30 5 < 1.4818.
3
4
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
57x6 + 81x5 + 6x4 − 32x3 − 9x2 + 3x + 1
[−0.728, 0.494]
3
2
7x + 4x − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
59x6 + 28x5 − 43x4 − 15x3 + 11x2 + 2x − 1
[−0.669, 0.528]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
59x6 − 28x5 − 43x4 + 15x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.528, 0.669]
3
2
7x − 4x − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
57x6 − 81x5 + 6x4 + 32x3 − 9x2 − 3x + 1
[−0.494, 0.728]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
55x6 − 120x5 + 64x4 + 15x3 − 16x2 + 1
[−0.316, 1.131]
6
5
4
3
2
58x − 129x + 71x + 15x − 17x + 1
[−0.315, 1.141]
27x5 − 50x4 + 15x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.311, 1.166]
59x6 − 140x5 + 89x4 + 7x3 − 18x2 + x + 1
[−0.302, 1.174]
6
5
4
3
2
58x − 139x + 90x + 6x − 18x + x + 1
[−0.285, 1.178]
59x6 − 147x5 + 105x4 − 3x3 − 18x2 + 2x + 1
[−0.271, 1.184]
4
3
2
15x − 29x + 13x + x − 1
[−0.244, 1.208]
57x6 − 171x5 + 153x4 − 21x3 − 21x2 + 3x + 1 [−0.228, 1.228]
15x4 − 31x3 + 16x2 − 1
[−0.208, 1.244]
59x6 − 207x5 + 255x4 − 127x3 + 18x2 + 4x − 1 [−0.184, 1.271]
58x6 − 209x5 + 265x4 − 136x3 + 20x2 + 4x − 1 [−0.178, 1.285]
59x6 − 214x5 + 274x4 − 143x3 + 22x2 + 4x − 1 [−0.174, 1.302]
27x5 − 85x4 + 85x3 − 26x2 − x + 1
[−0.166, 1.311]
58x6 − 219x5 + 296x4 − 169x3 + 34x2 + 2x − 1 [−0.141, 1.315]
55x6 − 210x5 + 289x4 − 171x3 + 38x2 + x − 1 [−0.131, 1.316]
1
√
Table 4. Polynomials used to prove L+ 59 6 < 1.4842.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
57x6 + 81x5 + 6x4 − 32x3 − 9x2 + 3x + 1
[−0.728, 0.494]
3
2
7x + 4x − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
3
2
7x − 4x − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
57x6 − 81x5 + 6x4 + 32x3 − 9x2 − 3x + 1
[−0.494, 0.728]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
55x6 − 120x5 + 64x4 + 15x3 − 16x2 + 1
[−0.316, 1.131]
6
5
4
3
2
58x − 129x + 71x + 15x − 17x + 1
[−0.315, 1.141]
27x5 − 50x4 + 15x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.311, 1.166]
6
5
4
3
2
58x − 138x + 88x + 7x − 18x + x + 1
[−0.307, 1.176]
58x6 − 139x5 + 90x4 + 6x3 − 18x2 + x + 1
[−0.285, 1.178]
15x4 − 28x3 + 11x2 + 2x − 1
[−0.279, 1.204]
4
3
2
15x − 29x + 13x + x − 1
[−0.244, 1.208]
57x6 − 171x5 + 153x4 − 21x3 − 21x2 + 3x + 1 [−0.228, 1.228]
15x4 − 31x3 + 16x2 − 1
[−0.208, 1.244]
15x4 − 32x3 + 17x2 − 1
[−0.204, 1.279]
6
5
4
3
2
58x − 209x + 265x − 136x + 20x + 4x − 1 [−0.178, 1.285]
58x6 − 210x5 + 268x4 − 139x3 + 21x2 + 4x − 1 [−0.176, 1.307]
27x5 − 85x4 + 85x3 − 26x2 − x + 1
[−0.166, 1.311]
58x6 − 219x5 + 296x4 − 169x3 + 34x2 + 2x − 1 [−0.141, 1.315]
55x6 − 210x5 + 289x4 − 171x3 + 38x2 + x − 1 [−0.131, 1.316]
1
√
Table 5. Polynomials used to prove L+ 15 4 < 1.4882.
5
6
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
57x6 + 81x5 + 6x4 − 32x3 − 9x2 + 3x + 1
[−0.728, 0.494]
3
2
7x + 4x − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
3
2
7x − 4x − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
57x6 − 81x5 + 6x4 + 32x3 − 9x2 − 3x + 1
[−0.494, 0.728]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
55x6 − 120x5 + 64x4 + 15x3 − 16x2 + 1
[−0.316, 1.131]
6
5
4
3
2
58x − 129x + 71x + 15x − 17x + 1
[−0.315, 1.141]
27x5 − 50x4 + 15x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.311, 1.166]
6
5
4
3
2
58x − 138x + 88x + 7x − 18x + x + 1
[−0.307, 1.176]
58x6 − 139x5 + 90x4 + 6x3 − 18x2 + x + 1
[−0.285, 1.178]
28x5 − 57x4 + 23x3 + 10x2 − 4x − 1
[−0.280, 1.211]
3
2
7x − 10x + x + 1
[−0.252, 1.214]
57x6 − 171x5 + 153x4 − 21x3 − 21x2 + 3x + 1 [−0.228, 1.228]
7x3 − 11x2 + 2x + 1
[−0.214, 1.252]
28x5 − 83x4 + 75x3 − 17x2 − 3x + 1
[−0.211, 1.280]
6
5
4
3
2
58x − 209x + 265x − 136x + 20x + 4x − 1 [−0.178, 1.285]
58x6 − 210x5 + 268x4 − 139x3 + 21x2 + 4x − 1 [−0.176, 1.307]
27x5 − 85x4 + 85x3 − 26x2 − x + 1
[−0.166, 1.311]
58x6 − 219x5 + 296x4 − 169x3 + 34x2 + 2x − 1 [−0.141, 1.315]
55x6 − 210x5 + 289x4 − 171x3 + 38x2 + x − 1 [−0.131, 1.316]
1
√
Table 6. Polynomials used to prove L+ 58 6 < 1.4954.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
57x6 + 81x5 + 6x4 − 32x3 − 9x2 + 3x + 1
[−0.728, 0.494]
3
2
7x + 4x − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
3
2
7x − 4x − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
57x6 − 81x5 + 6x4 + 32x3 − 9x2 − 3x + 1
[−0.494, 0.728]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
55x6 − 120x5 + 64x4 + 15x3 − 16x2 + 1
[−0.316, 1.131]
5
4
3
2
27x − 50x + 15x + 11x − 3x − 1
[−0.311, 1.166]
7x3 − 9x2 + 1
[−0.300, 1.184]
6
5
4
3
2
57x − 138x + 90x + 6x − 18x + x + 1
[−0.287, 1.197]
28x5 − 57x4 + 23x3 + 10x2 − 4x − 1
[−0.280, 1.211]
7x3 − 10x2 + x + 1
[−0.252, 1.214]
6
5
4
3
2
57x − 171x + 153x − 21x − 21x + 3x + 1 [−0.228, 1.228]
7x3 − 11x2 + 2x + 1
[−0.214, 1.252]
5
4
3
2
28x − 83x + 75x − 17x − 3x + 1
[−0.211, 1.280]
57x6 − 204x5 + 255x4 − 126x3 + 15x2 + 5x − 1 [−0.197, 1.287]
7x3 − 12x2 + 3x + 1
[−0.184, 1.300]
27x5 − 85x4 + 85x3 − 26x2 − x + 1
[−0.166, 1.311]
6
5
4
3
2
55x − 210x + 289x − 171x + 38x + x − 1 [−0.131, 1.316]
1
√
Table 7. Polynomials used to prove L+ 57 6 < 1.4980.
7
8
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
7x3 + 4x2 − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
7x3 − 4x2 − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
55x6 − 120x5 + 64x4 + 15x3 − 16x2 + 1
[−0.316, 1.131]
5
4
3
2
27x − 50x + 15x + 11x − 3x − 1
[−0.311, 1.166]
7x3 − 9x2 + 1
[−0.300, 1.184]
6
5
4
3
2
56x − 136x + 89x + 6x − 18x + x + 1
[−0.295, 1.200]
14x4 − 26x3 + 10x2 + 2x − 1
[−0.290, 1.209]
5
4
3
2
28x − 57x + 23x + 10x − 4x − 1
[−0.280, 1.211]
7x3 − 10x2 + x + 1
[−0.252, 1.214]
53x6 − 159x5 + 142x4 − 19x3 − 20x2 + 3x + 1 [−0.241, 1.241]
7x3 − 11x2 + 2x + 1
[−0.214, 1.252]
28x5 − 83x4 + 75x3 − 17x2 − 3x + 1
[−0.211, 1.280]
4
3
2
14x − 30x + 16x − 1
[−0.209, 1.290]
56x6 − 200x5 + 249x4 − 122x3 + 14x2 + 5x − 1 [−0.200, 1.295]
7x3 − 12x2 + 3x + 1
[−0.184, 1.300]
27x5 − 85x4 + 85x3 − 26x2 − x + 1
[−0.166, 1.311]
6
5
4
3
2
55x − 210x + 289x − 171x + 38x + x − 1 [−0.131, 1.316]
1
√
Table 8. Polynomials used to prove L+ 56 6 < 1.5044.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Intervals [ai , bi ]
[−0.737, 0.328]
[−0.684, 0.517]
[−0.577, 0.577]
[−0.517, 0.684]
[−0.328, 0.737]
[−0.322, 1.144]
[−0.311, 1.166]
[−0.300, 1.184]
[−0.290, 1.209]
[−0.252, 1.214]
[−0.245, 1.245]
[−0.214, 1.252]
[−0.209, 1.290]
[−0.184, 1.300]
[−0.166, 1.311]
[−0.144, 1.322]
1
√
Table 9. Polynomials used to prove L+ 14 4 < 1.5092.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Polynomials Qi
7x3 + 7x2 − 1
7x3 + 4x2 − 2x − 1
3x2 − 1
7x3 − 4x2 − 2x + 1
7x3 − 7x2 + 1
27x5 − 46x4 + 9x3 + 12x2 − 2x − 1
27x5 − 50x4 + 15x3 + 11x2 − 3x − 1
7x3 − 9x2 + 1
14x4 − 26x3 + 10x2 + 2x − 1
7x3 − 10x2 + x + 1
14x4 − 28x3 + 13x2 + x − 1
7x3 − 11x2 + 2x + 1
14x4 − 30x3 + 16x2 − 1
7x3 − 12x2 + 3x + 1
27x5 − 85x4 + 85x3 − 26x2 − x + 1
27x5 − 89x4 + 95x3 − 33x2 + 1
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
7x + 7x − 1
[−0.737, 0.328]
7x3 + 4x2 − 2x − 1
[−0.684, 0.517]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
7x3 − 4x2 − 2x + 1
[−0.517, 0.684]
3
2
7x − 7x + 1
[−0.328, 0.737]
7x3 − 9x2 + 1
[−0.300, 1.184]
6
5
4
3
2
51x − 124x + 81x + 6x − 17x + x + 1
[−0.298, 1.209]
7x3 − 10x2 + x + 1
[−0.252, 1.214]
3
2
7x − 11x + 2x + 1
[−0.214, 1.252]
51x6 − 182x5 + 226x4 − 110x3 + 12x2 + 5x − 1 [−0.209, 1.298]
7x3 − 12x2 + 3x + 1
[−0.184, 1.300]
1
Table 10. Polynomials used to prove L+ 51√6 < 1.5123.
9
10
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Polynomials Qi
7x3 + 7x2 − 1
7x3 + 4x2 − 2x − 1
3x2 − 1
7x3 − 4x2 − 2x + 1
7x3 − 7x2 + 1
7x3 − 9x2 + 1
7x3 − 10x2 + x + 1
7x3 − 11x2 + 2x + 1
7x3 − 12x2 + 3x + 1
Intervals [ai , bi ]
[−0.737, 0.328]
[−0.684, 0.517]
[−0.577, 0.577]
[−0.517, 0.684]
[−0.328, 0.737]
[−0.300, 1.184]
[−0.252, 1.214]
[−0.214, 1.252]
[−0.184, 1.300]
1
Table 11. Polynomials used to prove L+ √
< 1.5141.
7
3
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
11
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
5
4
2
25x + 33x − 11x − x + 1
[−0.866, 0.422]
3x2 + x − 1
[−0.768, 0.434]
5
4
3
2
23x + 19x − 10x − 9x + x + 1
[−0.723, 0.537]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
5
4
3
2
23x − 19x − 10x + 9x + x − 1
[−0.537, 0.723]
3x2 − x − 1
[−0.434, 0.768]
5
4
2
25x − 33x + 11x − x − 1
[−0.422, 0.866]
24x5 − 33x4 − 3x3 + 12x2 − 1
[−0.419, 1.108]
5
4
3
2
25x − 37x + x + 12x − x − 1
[−0.416, 1.110]
43x6 − 63x5 − 10x4 + 32x3 + 3x2 − 5x − 1
[−0.409, 1.110]
6
5
4
3
2
48x − 91x + 28x + 27x − 12x − 2x + 1
[−0.402, 1.117]
41x6 − 55x5 − 17x4 + 29x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.401, 1.118]
25x5 − 38x4 + 2x3 + 12x2 − x − 1
[−0.387, 1.120]
4
3
2
13x − 15x − 4x + 4x + 1
[−0.381, 1.133]
48x6 − 99x5 + 43x4 + 21x3 − 14x2 − x + 1
[−0.367, 1.133]
6
5
4
3
2
44x − 94x + 43x + 20x − 14x − x + 1
[−0.362, 1.168]
23x5 − 40x4 + 8x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.338, 1.170]
6
5
4
3
2
48x − 111x + 63x + 14x − 16x + 1
[−0.331, 1.204]
25x5 − 48x4 + 15x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.323, 1.210]
4
3
2
13x − 24x + 9x + 2x − 1
[−0.303, 1.215]
25x5 − 49x4 + 16x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.300, 1.233]
6
5
4
3
2
48x − 134x + 102x + 3x − 20x + x + 1
[−0.298, 1.237]
13x4 − 25x3 + 10x2 + 2x − 1
[−0.293, 1.247]
4
3
2
13x − 26x + 12x + x − 1
[−0.254, 1.254]
13x4 − 27x3 + 13x2 + x − 1
[−0.247, 1.293]
6
5
4
3
2
48x − 154x + 152x − 31x − 19x + 4x + 1 [−0.237, 1.298]
25x5 − 76x4 + 70x3 − 15x2 − 4x + 1
[−0.233, 1.300]
4
3
2
13x − 28x + 15x − 1
[−0.215, 1.303]
25x5 − 77x4 + 73x3 − 18x2 − 3x + 1
[−0.210, 1.323]
6
5
4
3
2
48x − 177x + 228x − 116x + 14x + 5x − 1 [−0.204, 1.331]
23x5 − 75x4 + 78x3 − 25x2 − x + 1
[−0.170, 1.338]
6
5
4
3
2
44x − 170x + 233x − 132x + 24x + 3x − 1 [−0.168, 1.362]
48x6 − 189x5 + 268x4 − 163x3 + 37x2 + x − 1 [−0.133, 1.367]
13x4 − 37x3 + 29x2 − 3x − 1
[−0.133, 1.381]
25x5 − 87x4 + 100x3 − 40x2 + 2x + 1
[−0.120, 1.387]
6
5
4
3
2
41x − 191x + 323x − 231x + 56x + 2x − 1 [−0.118, 1.401]
48x6 − 197x5 + 293x4 − 189x3 + 47x2 − 1
[−0.117, 1.402]
6
5
4
3
2
43x − 195x + 320x − 222x + 54x − 1
[−0.110, 1.409]
25x5 − 88x4 + 103x3 − 43x2 + 3x + 1
[−0.110, 1.416]
5
4
3
2
24x − 87x + 105x − 45x + 3x + 1
[−0.108, 1.419]
1
Table 12. Polynomials used to prove L+ 48√6 < 1.5472.
12
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
5
4
2
25x + 33x − 11x − x + 1
[−0.866, 0.422]
3x2 + x − 1
[−0.768, 0.434]
5
4
3
2
23x + 19x − 10x − 9x + x + 1
[−0.723, 0.537]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
5
4
3
2
23x − 19x − 10x + 9x + x − 1
[−0.537, 0.723]
3x2 − x − 1
[−0.434, 0.768]
5
4
2
25x − 33x + 11x − x − 1
[−0.422, 0.866]
24x5 − 33x4 − 3x3 + 12x2 − 1
[−0.419, 1.108]
5
4
3
2
25x − 37x + x + 12x − x − 1
[−0.416, 1.110]
43x6 − 63x5 − 10x4 + 32x3 + 3x2 − 5x − 1
[−0.409, 1.110]
6
5
4
3
2
41x − 55x − 17x + 29x + 6x − 4x − 1
[−0.401, 1.118]
25x5 − 38x4 + 2x3 + 12x2 − x − 1
[−0.387, 1.120]
13x4 − 15x3 − 4x2 + 4x + 1
[−0.381, 1.133]
6
5
4
3
2
47x − 98x + 43x + 21x − 14x − x + 1
[−0.372, 1.146]
23x5 − 39x4 + 7x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.370, 1.154]
5
4
3
2
25x − 43x + 8x + 12x − 2x − 1
[−0.370, 1.162]
44x6 − 94x5 + 43x4 + 20x3 − 14x2 − x + 1
[−0.362, 1.168]
5
4
3
2
23x − 40x + 8x + 11x − 2x − 1
[−0.338, 1.170]
25x5 − 48x4 + 15x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.323, 1.210]
4
3
2
13x − 24x + 9x + 2x − 1
[−0.303, 1.215]
25x5 − 49x4 + 16x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.300, 1.233]
4
3
2
13x − 25x + 10x + 2x − 1
[−0.293, 1.247]
13x4 − 26x3 + 12x2 + x − 1
[−0.254, 1.254]
4
3
2
13x − 27x + 13x + x − 1
[−0.247, 1.293]
25x5 − 76x4 + 70x3 − 15x2 − 4x + 1
[−0.233, 1.300]
4
3
2
13x − 28x + 15x − 1
[−0.215, 1.303]
25x5 − 77x4 + 73x3 − 18x2 − 3x + 1
[−0.210, 1.323]
5
4
3
2
23x − 75x + 78x − 25x − x + 1
[−0.170, 1.338]
44x6 − 170x5 + 233x4 − 132x3 + 24x2 + 3x − 1 [−0.168, 1.362]
25x5 − 82x4 + 86x3 − 28x2 − x + 1
[−0.162, 1.370]
23x5 − 76x4 + 81x3 − 28x2 + 1
[−0.154, 1.370]
6
5
4
3
2
47x − 184x + 258x − 153x + 32x + 2x − 1 [−0.146, 1.372]
13x4 − 37x3 + 29x2 − 3x − 1
[−0.133, 1.381]
5
4
3
2
25x − 87x + 100x − 40x + 2x + 1
[−0.120, 1.387]
41x6 − 191x5 + 323x4 − 231x3 + 56x2 + 2x − 1 [−0.118, 1.401]
43x6 − 195x5 + 320x4 − 222x3 + 54x2 − 1
[−0.110, 1.409]
25x5 − 88x4 + 103x3 − 43x2 + 3x + 1
[−0.110, 1.416]
5
4
3
2
24x − 87x + 105x − 45x + 3x + 1
[−0.108, 1.419]
1
Table 13. Polynomials used to prove L+ 25√5 < 1.5482.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
13
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
23x5 + 19x4 − 10x3 − 9x2 + x + 1
[−0.723, 0.537]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
23x5 − 19x4 − 10x3 + 9x2 + x − 1
[−0.537, 0.723]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
13x4 − 12x3 − 6x2 + 3x + 1
[−0.430, 1.093]
5
4
3
2
23x − 30x − 4x + 11x − 1
[−0.422, 1.094]
24x5 − 33x4 − 3x3 + 12x2 − 1
[−0.419, 1.108]
6
5
4
3
2
43x − 63x − 10x + 32x + 3x − 5x − 1
[−0.409, 1.110]
41x6 − 55x5 − 17x4 + 29x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.401, 1.118]
5
4
3
2
24x − 37x + 2x + 12x − x − 1
[−0.400, 1.132]
13x4 − 15x3 − 4x2 + 4x + 1
[−0.381, 1.133]
23x5 − 39x4 + 7x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.370, 1.154]
6
5
4
3
2
44x − 94x + 43x + 20x − 14x − x + 1
[−0.362, 1.168]
23x5 − 40x4 + 8x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.338, 1.170]
4
3
2
13x − 24x + 9x + 2x − 1
[−0.303, 1.215]
13x4 − 25x3 + 10x2 + 2x − 1
[−0.293, 1.247]
4
3
2
13x − 26x + 12x + x − 1
[−0.254, 1.254]
13x4 − 27x3 + 13x2 + x − 1
[−0.247, 1.293]
4
3
2
13x − 28x + 15x − 1
[−0.215, 1.303]
23x5 − 75x4 + 78x3 − 25x2 − x + 1
[−0.170, 1.338]
6
5
4
3
2
44x − 170x + 233x − 132x + 24x + 3x − 1 [−0.168, 1.362]
23x5 − 76x4 + 81x3 − 28x2 + 1
[−0.154, 1.370]
4
3
2
13x − 37x + 29x − 3x − 1
[−0.133, 1.381]
24x5 − 83x4 + 94x3 − 36x2 + x + 1
[−0.132, 1.400]
6
5
4
3
2
41x − 191x + 323x − 231x + 56x + 2x − 1 [−0.118, 1.401]
43x6 − 195x5 + 320x4 − 222x3 + 54x2 − 1
[−0.110, 1.409]
5
4
3
2
24x − 87x + 105x − 45x + 3x + 1
[−0.108, 1.419]
23x5 − 85x4 + 106x3 − 49x2 + 5x + 1
[−0.094, 1.422]
4
3
2
13x − 40x + 36x − 7x − 1
[−0.093, 1.430]
1
Table 14. Polynomials used to prove L+ 13√4 < 1.5533.
14
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
23x5 + 19x4 − 10x3 − 9x2 + x + 1
[−0.723, 0.537]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
23x5 − 19x4 − 10x3 + 9x2 + x − 1
[−0.537, 0.723]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
23x5 − 30x4 − 4x3 + 11x2 − 1
[−0.422, 1.094]
5
4
3
2
24x − 33x − 3x + 12x − 1
[−0.419, 1.108]
43x6 − 63x5 − 10x4 + 32x3 + 3x2 − 5x − 1
[−0.409, 1.110]
6
5
4
3
2
41x − 55x − 17x + 29x + 6x − 4x − 1
[−0.401, 1.118]
24x5 − 37x4 + 2x3 + 12x2 − x − 1
[−0.400, 1.132]
6
5
4
3
2
46x − 96x + 42x + 21x − 14x − x + 1
[−0.386, 1.148]
21x5 − 33x4 + 2x3 + 11x2 − x − 1
[−0.384, 1.153]
23x5 − 39x4 + 7x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.370, 1.154]
6
5
4
3
2
44x − 94x + 43x + 20x − 14x − x + 1
[−0.362, 1.168]
23x5 − 40x4 + 8x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.338, 1.170]
3
2
6x − 8x + 1
[−0.318, 1.222]
45x6 − 125x5 + 94x4 + 4x3 − 19x2 + x + 1
[−0.307, 1.232]
4
3
2
12x − 23x + 9x + 2x − 1
[−0.306, 1.256]
46x6 − 126x5 + 90x4 + 10x3 − 20x2 + 1
[−0.301, 1.258]
2
3x − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
46x6 − 150x5 + 150x4 − 30x3 − 20x2 + 4x + 1 [−0.258, 1.301]
12x4 − 25x3 + 12x2 + x − 1
[−0.256, 1.306]
45x6 − 145x5 + 144x4 − 30x3 − 18x2 + 4x + 1 [−0.232, 1.307]
6x3 − 10x2 + 2x + 1
[−0.222, 1.318]
23x5 − 75x4 + 78x3 − 25x2 − x + 1
[−0.170, 1.338]
6
5
4
3
2
44x − 170x + 233x − 132x + 24x + 3x − 1 [−0.168, 1.362]
23x5 − 76x4 + 81x3 − 28x2 + 1
[−0.154, 1.370]
5
4
3
2
21x − 72x + 80x − 29x + 1
[−0.153, 1.384]
46x6 − 180x5 + 252x4 − 149x3 + 31x2 + 2x − 1 [−0.148, 1.386]
24x5 − 83x4 + 94x3 − 36x2 + x + 1
[−0.132, 1.400]
41x6 − 191x5 + 323x4 − 231x3 + 56x2 + 2x − 1 [−0.118, 1.401]
43x6 − 195x5 + 320x4 − 222x3 + 54x2 − 1
[−0.110, 1.409]
24x5 − 87x4 + 105x3 − 45x2 + 3x + 1
[−0.108, 1.419]
5
4
3
2
23x − 85x + 106x − 49x + 5x + 1
[−0.094, 1.422]
1
Table 15. Polynomials used to prove L+ 46√6 < 1.5652.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
15
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
23x5 + 19x4 − 10x3 − 9x2 + x + 1
[−0.723, 0.537]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
23x5 − 19x4 − 10x3 + 9x2 + x − 1
[−0.537, 0.723]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
23x5 − 30x4 − 4x3 + 11x2 − 1
[−0.422, 1.094]
6
5
4
3
2
43x − 63x − 10x + 32x + 3x − 5x − 1
[−0.409, 1.110]
41x6 − 55x5 − 17x4 + 29x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.401, 1.118]
6
5
4
3
2
45x − 94x + 41x + 21x − 14x − x + 1
[−0.397, 1.150]
21x5 − 33x4 + 2x3 + 11x2 − x − 1
[−0.384, 1.153]
5
4
3
2
23x − 39x + 7x + 11x − 2x − 1
[−0.370, 1.154]
44x6 − 94x5 + 43x4 + 20x3 − 14x2 − x + 1
[−0.362, 1.168]
23x5 − 40x4 + 8x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.338, 1.170]
3
2
6x − 8x + 1
[−0.318, 1.222]
45x6 − 125x5 + 94x4 + 4x3 − 19x2 + x + 1
[−0.307, 1.232]
4
3
2
12x − 23x + 9x + 2x − 1
[−0.306, 1.256]
3x2 − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
4
3
2
12x − 25x + 12x + x − 1
[−0.256, 1.306]
45x6 − 145x5 + 144x4 − 30x3 − 18x2 + 4x + 1 [−0.232, 1.307]
6x3 − 10x2 + 2x + 1
[−0.222, 1.318]
23x5 − 75x4 + 78x3 − 25x2 − x + 1
[−0.170, 1.338]
6
5
4
3
2
44x − 170x + 233x − 132x + 24x + 3x − 1 [−0.168, 1.362]
23x5 − 76x4 + 81x3 − 28x2 + 1
[−0.154, 1.370]
5
4
3
2
21x − 72x + 80x − 29x + 1
[−0.153, 1.384]
45x6 − 176x5 + 246x4 − 145x3 + 30x2 + 2x − 1 [−0.150, 1.397]
41x6 − 191x5 + 323x4 − 231x3 + 56x2 + 2x − 1 [−0.118, 1.401]
43x6 − 195x5 + 320x4 − 222x3 + 54x2 − 1
[−0.110, 1.409]
5
4
3
2
23x − 85x + 106x − 49x + 5x + 1
[−0.094, 1.422]
1
Table 16. Polynomials used to prove L+ 45√6 < 1.5702.
16
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
23x5 + 19x4 − 10x3 − 9x2 + x + 1
[−0.723, 0.537]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
23x5 − 19x4 − 10x3 + 9x2 + x − 1
[−0.537, 0.723]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
23x5 − 30x4 − 4x3 + 11x2 − 1
[−0.422, 1.094]
6
5
4
3
2
43x − 63x − 10x + 32x + 3x − 5x − 1
[−0.409, 1.110]
41x6 − 55x5 − 17x4 + 29x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.401, 1.118]
5
4
3
2
21x − 33x + 2x + 11x − x − 1
[−0.384, 1.153]
23x5 − 39x4 + 7x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.370, 1.154]
5
4
3
2
23x − 40x + 8x + 11x − 2x − 1
[−0.338, 1.170]
6x3 − 8x2 + 1
[−0.318, 1.222]
43x6 − 120x5 + 88x4 + 9x3 − 20x2 + 1
[−0.307, 1.253]
4
3
2
12x − 23x + 9x + 2x − 1
[−0.306, 1.256]
3x2 − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
4
3
2
12x − 25x + 12x + x − 1
[−0.256, 1.306]
43x6 − 138x5 + 133x4 − 21x3 − 20x2 + 3x + 1 [−0.253, 1.307]
6x3 − 10x2 + 2x + 1
[−0.222, 1.318]
23x5 − 75x4 + 78x3 − 25x2 − x + 1
[−0.170, 1.338]
5
4
3
2
23x − 76x + 81x − 28x + 1
[−0.154, 1.370]
21x5 − 72x4 + 80x3 − 29x2 + 1
[−0.153, 1.384]
6
5
4
3
2
41x − 191x + 323x − 231x + 56x + 2x − 1 [−0.118, 1.401]
43x6 − 195x5 + 320x4 − 222x3 + 54x2 − 1
[−0.110, 1.409]
5
4
3
2
23x − 85x + 106x − 49x + 5x + 1
[−0.094, 1.422]
1
Table 17. Polynomials used to prove L+ 23√5 < 1.5707.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
17
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
11x4 + 13x3 − 4x − 1
[−0.756, 0.552]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
11x4 − 13x3 + 4x − 1
[−0.552, 0.756]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
41x6 − 55x5 − 17x4 + 29x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.401, 1.118]
5
4
3
2
21x − 33x + 2x + 11x − x − 1
[−0.384, 1.153]
22x5 − 38x4 + 7x3 + 11x2 − 2x − 1
[−0.379, 1.173]
4
3
2
11x − 14x − 3x + 4x + 1
[−0.352, 1.192]
6x3 − 8x2 + 1
[−0.318, 1.222]
4
3
2
12x − 23x + 9x + 2x − 1
[−0.306, 1.256]
3x2 − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
12x4 − 25x3 + 12x2 + x − 1
[−0.256, 1.306]
3
2
6x − 10x + 2x + 1
[−0.222, 1.318]
11x4 − 30x3 + 21x2 − 1
[−0.192, 1.352]
5
4
3
2
22x − 72x + 75x − 24x − x + 1
[−0.173, 1.379]
21x5 − 72x4 + 80x3 − 29x2 + 1
[−0.153, 1.384]
6
5
4
3
2
41x − 191x + 323x − 231x + 56x + 2x − 1 [−0.118, 1.401]
1
√
Table 18. Polynomials used to prove L+ 12 4 < 1.5739.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Polynomials Qi
3x2 + x − 1
11x4 + 13x3 − 4x − 1
3x2 − 1
11x4 − 13x3 + 4x − 1
3x2 − x − 1
11x4 − 11x3 − 5x2 + 3x + 1
21x5 − 33x4 + 2x3 + 11x2 − x − 1
11x4 − 14x3 − 3x2 + 4x + 1
6x3 − 8x2 + 1
3x2 − 3x − 1
6x3 − 10x2 + 2x + 1
11x4 − 30x3 + 21x2 − 1
21x5 − 72x4 + 80x3 − 29x2 + 1
11x4 − 33x3 + 28x2 − 4x − 1
Intervals [ai , bi ]
[−0.768, 0.434]
[−0.756, 0.552]
[−0.577, 0.577]
[−0.552, 0.756]
[−0.434, 0.768]
[−0.411, 1.125]
[−0.384, 1.153]
[−0.352, 1.192]
[−0.318, 1.222]
[−0.264, 1.264]
[−0.222, 1.318]
[−0.192, 1.352]
[−0.153, 1.384]
[−0.125, 1.411]
1
Table 19. Polynomials used to prove L+ 21√
< 1.5815.
5
18
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Intervals [ai , bi ]
[−0.768, 0.434]
[−0.756, 0.552]
[−0.577, 0.577]
[−0.552, 0.756]
[−0.434, 0.768]
[−0.411, 1.125]
[−0.404, 1.172]
[−0.386, 1.189]
[−0.352, 1.192]
[−0.318, 1.222]
[−0.264, 1.264]
[−0.222, 1.318]
[−0.192, 1.352]
[−0.189, 1.386]
[−0.172, 1.404]
[−0.125, 1.411]
1
√
Table 20. Polynomials used to prove L+ 11 4 < 1.5928.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Polynomials Qi
3x2 + x − 1
11x4 + 13x3 − 4x − 1
3x2 − 1
11x4 − 13x3 + 4x − 1
3x2 − x − 1
11x4 − 11x3 − 5x2 + 3x + 1
20x5 − 32x4 + 2x3 + 11x2 − x − 1
6x3 − 7x2 − x + 1
11x4 − 14x3 − 3x2 + 4x + 1
6x3 − 8x2 + 1
3x2 − 3x − 1
6x3 − 10x2 + 2x + 1
11x4 − 30x3 + 21x2 − 1
6x3 − 11x2 + 3x + 1
20x5 − 68x4 + 74x3 − 25x2 − x + 1
11x4 − 33x3 + 28x2 − 4x − 1
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
20x5 − 32x4 + 2x3 + 11x2 − x − 1
[−0.404, 1.172]
3
2
6x − 7x − x + 1
[−0.386, 1.189]
36x6 − 71x5 + 8x4 + 36x3 − x2 − 6x − 1
[−0.384, 1.204]
3
2
6x − 8x + 1
[−0.318, 1.222]
3x2 − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
3
2
6x − 10x + 2x + 1
[−0.222, 1.318]
36x6 − 145x5 + 193x4 − 78x3 − 15x2 + 7x + 1 [−0.204, 1.384]
6x3 − 11x2 + 3x + 1
[−0.189, 1.386]
20x5 − 68x4 + 74x3 − 25x2 − x + 1
[−0.172, 1.404]
1
Table 21. Polynomials used to prove L+ 20√
< 1.6058.
5
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
19
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
6x3 − 7x2 − x + 1
[−0.386, 1.189]
6
5
4
3
2
36x − 71x + 8x + 36x − x − 6x − 1
[−0.384, 1.204]
6x3 − 8x2 + 1
[−0.318, 1.222]
2
3x − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
6x3 − 10x2 + 2x + 1
[−0.222, 1.318]
6
5
4
3
2
36x − 145x + 193x − 78x − 15x + 7x + 1 [−0.204, 1.384]
6x3 − 11x2 + 3x + 1
[−0.189, 1.386]
1
< 1.6232.
Table 22. Polynomials used to prove L+ 20√
5
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
31x6 − 50x5 − 11x4 + 30x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.433, 1.198]
6
5
4
3
2
34x − 69x + 23x + 23x − 11x − 2x + 1
[−0.420, 1.199]
33x6 − 71x5 + 31x4 + 18x3 − 12x2 − x + 1
[−0.407, 1.211]
4
3
2
10x − 13x − 3x + 4x + 1
[−0.397, 1.223]
33x6 − 85x5 + 50x4 + 18x3 − 15x2 − x + 1
[−0.358, 1.240]
2
3x − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
33x6 − 113x5 + 120x4 − 28x3 − 16x2 + 4x + 1 [−0.240, 1.358]
10x4 − 27x3 + 18x2 + x − 1
[−0.223, 1.397]
33x6 − 127x5 + 171x4 − 92x3 + 13x2 + 4x − 1 [−0.211, 1.407]
34x6 − 135x5 + 188x4 − 105x3 + 16x2 + 4x − 1 [−0.199, 1.420]
31x6 − 136x5 + 204x4 − 106x3 − 5x2 + 10x + 1 [−0.198, 1.433]
1
Table 23. Polynomials used to prove L+ 34√
< 1.6366.
6
20
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
31x6 − 50x5 − 11x4 + 30x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.433, 1.198]
6
5
4
3
2
33x − 71x + 31x + 18x − 12x − x + 1
[−0.407, 1.211]
10x4 − 13x3 − 3x2 + 4x + 1
[−0.397, 1.223]
6
5
4
3
2
33x − 85x + 50x + 18x − 15x − x + 1
[−0.358, 1.240]
3x2 − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
6
5
4
3
2
33x − 113x + 120x − 28x − 16x + 4x + 1 [−0.240, 1.358]
10x4 − 27x3 + 18x2 + x − 1
[−0.223, 1.397]
6
5
4
3
2
33x − 127x + 171x − 92x + 13x + 4x − 1 [−0.211, 1.407]
31x6 − 136x5 + 204x4 − 106x3 − 5x2 + 10x + 1 [−0.198, 1.433]
1
Table 24. Polynomials used to prove L+ 33√
< 1.6439.
6
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
31x6 − 50x5 − 11x4 + 30x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.433, 1.198]
4
3
2
10x − 13x − 3x + 4x + 1
[−0.397, 1.223]
18x5 − 33x4 + 7x3 + 10x2 − 2x − 1
[−0.375, 1.240]
2
3x − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
18x5 − 57x4 + 55x3 − 13x2 − 3x + 1
[−0.240, 1.375]
4
3
2
10x − 27x + 18x + x − 1
[−0.223, 1.397]
31x6 − 136x5 + 204x4 − 106x3 − 5x2 + 10x + 1 [−0.198, 1.433]
1
< 1.6560.
Table 25. Polynomials used to prove L+ 18√
5
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
21
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
31x6 − 50x5 − 11x4 + 30x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.433, 1.198]
4
3
2
10x − 13x − 3x + 4x + 1
[−0.397, 1.223]
32x6 − 83x5 + 47x4 + 22x3 − 16x2 − 2x + 1
[−0.394, 1.257]
2
3x − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
32x6 − 109x5 + 112x4 − 20x3 − 18x2 + 3x + 1 [−0.257, 1.394]
10x4 − 27x3 + 18x2 + x − 1
[−0.223, 1.397]
31x6 − 136x5 + 204x4 − 106x3 − 5x2 + 10x + 1 [−0.198, 1.433]
1
< 1.6582.
Table 26. Polynomials used to prove L+ 32√
6
i
1
2
3
4
5
6
7
8
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
3x + x − 1
[−0.768, 0.434]
3x2 − 1
[−0.577, 0.577]
2
3x − x − 1
[−0.434, 0.768]
31x6 − 50x5 − 11x4 + 30x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.433, 1.198]
4
3
2
10x − 13x − 3x + 4x + 1
[−0.397, 1.223]
3x2 − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
4
3
2
10x − 27x + 18x + x − 1
[−0.223, 1.397]
31x6 − 136x5 + 204x4 − 106x3 − 5x2 + 10x + 1 [−0.198, 1.433]
1
Table 27. Polynomials used to prove L+ 10√
< 1.6603.
4
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3x2 + x − 1
[−0.768, 0.434]
2
3x − 1
[−0.577, 0.577]
3x2 − x − 1
[−0.434, 0.768]
6
5
4
3
2
31x − 50x − 11x + 30x + 6x − 4x − 1
[−0.433, 1.198]
5x3 − 6x2 − x + 1
[−0.419, 1.230]
6
5
4
3
2
31x − 77x + 39x + 23x − 14x − 2x + 1
[−0.399, 1.236]
3x2 − 3x − 1
[−0.264, 1.264]
6
5
4
3
2
31x − 109x + 119x − 29x − 16x + 4x + 1 [−0.236, 1.399]
5x3 − 9x2 + 2x + 1
[−0.230, 1.419]
6
5
4
3
2
31x − 136x + 204x − 106x − 5x + 10x + 1 [−0.198, 1.433]
1
Table 28. Polynomials used to prove L+ 31√
< 1.6631.
6
22
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polynomials Qi
3x2 + x − 1
3x2 − 1
3x2 − x − 1
5x3 − 6x2 − x + 1
16x5 − 27x4 + 2x3 + 10x2 − x − 1
16x5 − 33x4 + 7x3 + 13x2 − x − 1
3x2 − 3x − 1
16x5 − 47x4 + 35x3 + 4x2 − 6x − 1
16x5 − 53x4 + 54x3 − 14x2 − 3x + 1
5x3 − 9x2 + 2x + 1
Intervals [ai , bi ]
[−0.768, 0.434]
[−0.577, 0.577]
[−0.434, 0.768]
[−0.419, 1.230]
[−0.413, 1.239]
[−0.408, 1.252]
[−0.264, 1.264]
[−0.252, 1.408]
[−0.239, 1.413]
[−0.230, 1.419]
1
< 1.6722.
Table 29. Polynomials used to prove L+ 16√
5
i
1
2
3
4
5
6
Polynomials Qi
3x2 + x − 1
3x2 − 1
3x2 − x − 1
5x3 − 6x2 − x + 1
3x2 − 3x − 1
5x3 − 9x2 + 2x + 1
Intervals [ai , bi ]
[−0.768, 0.434]
[−0.577, 0.577]
[−0.434, 0.768]
[−0.419, 1.230]
[−0.264, 1.264]
[−0.230, 1.419]
1
Table 30. Polynomials used to prove L+ √
< 1.6824.
3
2
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
5x + 3x − 2x − 1
[−0.785, 0.606]
2x2 − 1
[−0.707, 0.707]
3
2
5x − 3x − 2x + 1
[−0.606, 0.785]
5x3 − x2 − 4x − 1
[−0.584, 1.096]
6
5
4
3
2
25x − 23x − 24x + 15x + 9x − 2x − 1 [−0.575, 1.112]
25x6 − 27x5 − 20x4 + 18x3 + 7x2 − 3x − 1 [−0.556, 1.120]
15x5 − 18x4 − 7x3 + 9x2 + x − 1
[−0.526, 1.144]
14x5 − 20x4 − 3x3 + 9x2 − 1
[−0.472, 1.191]
4
3
2
8x − 9x − 4x + 3x + 1
[−0.456, 1.212]
5x3 − 6x2 − x + 1
[−0.419, 1.230]
3
2
5x − 7x + 1
[−0.339, 1.277]
5x3 − 8x2 + x + 1
[−0.277, 1.339]
5x3 − 9x2 + 2x + 1
[−0.230, 1.419]
4
3
2
8x − 23x + 17x − 1
[−0.212, 1.456]
14x5 − 50x4 + 57x3 − 20x2 − x + 1
[−0.191, 1.472]
5
4
3
2
15x − 57x + 71x − 30x + x + 1
[−0.144, 1.526]
25x6 − 123x5 + 220x4 − 168x3 + 46x2 − 1 [−0.120, 1.556]
25x6 − 127x5 + 236x4 − 189x3 + 55x2 − 1 [−0.112, 1.575]
5x3 − 14x2 + 9x + 1
[−0.096, 1.584]
1
< 1.7171.
Table 31. Polynomials used to prove L+ 15√
5
23
24
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
5x + 3x − 2x − 1
[−0.785, 0.606]
2x2 − 1
[−0.707, 0.707]
3
2
5x − 3x − 2x + 1
[−0.606, 0.785]
5x3 − x2 − 4x − 1
[−0.584, 1.096]
6
5
4
3
2
25x − 23x − 24x + 15x + 9x − 2x − 1
[−0.575, 1.112]
25x6 − 27x5 − 20x4 + 18x3 + 7x2 − 3x − 1
[−0.556, 1.120]
5
4
3
2
13x − 15x − 7x + 8x + x − 1
[−0.554, 1.150]
25x6 − 29x5 − 19x4 + 19x3 + 7x2 − 3x − 1
[−0.535, 1.151]
5
4
3
2
14x − 20x − 3x + 9x − 1
[−0.472, 1.191]
8x4 − 9x3 − 4x2 + 3x + 1
[−0.456, 1.212]
3
2
5x − 6x − x + 1
[−0.419, 1.230]
5x3 − 7x2 + 1
[−0.339, 1.277]
5x3 − 8x2 + x + 1
[−0.277, 1.339]
3
2
5x − 9x + 2x + 1
[−0.230, 1.419]
8x4 − 23x3 + 17x2 − 1
[−0.212, 1.456]
5
4
3
2
14x − 50x + 57x − 20x − x + 1
[−0.191, 1.472]
25x6 − 121x5 + 211x4 − 153x3 + 35x2 + 3x − 1 [−0.151, 1.535]
13x5 − 50x4 + 63x3 − 27x2 + x + 1
[−0.150, 1.554]
25x6 − 123x5 + 220x4 − 168x3 + 46x2 − 1
[−0.120, 1.556]
6
5
4
3
2
25x − 127x + 236x − 189x + 55x − 1
[−0.112, 1.575]
5x3 − 14x2 + 9x + 1
[−0.096, 1.584]
1
< 1.7258.
Table 32. Polynomials used to prove L+ 15√
5
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
25
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
4
3
2
8x + 3x − 6x − x + 1
[−0.882, 0.630]
23x6 + 14x5 − 25x4 − 11x3 + 9x2 + 2x − 1
[−0.877, 0.667]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
23x6 − 14x5 − 25x4 + 11x3 + 9x2 − 2x − 1
[−0.667, 0.877]
4
3
2
8x − 3x − 6x + x + 1
[−0.630, 0.882]
24x6 − 19x5 − 25x4 + 13x3 + 9x2 − 2x − 1
[−0.612, 1.086]
6
5
4
3
2
24x − 17x − 28x + 11x + 11x − x − 1
[−0.607, 1.100]
7x4 − 4x3 − 6x2 + x + 1
[−0.595, 1.121]
5
4
3
2
13x − 15x − 7x + 8x + x − 1
[−0.554, 1.150]
7x4 − 6x3 − 5x2 + 2x + 1
[−0.539, 1.170]
5
4
3
2
14x − 20x − 3x + 9x − 1
[−0.472, 1.191]
8x4 − 9x3 − 4x2 + 3x + 1
[−0.456, 1.212]
23x6 − 60x5 + 32x4 + 20x3 − 13x2 − 2x + 1
[−0.435, 1.297]
5
4
3
2
14x − 33x + 13x + 11x − 3x − 1
[−0.424, 1.311]
24x6 − 65x5 + 40x4 + 16x3 − 14x2 − x + 1
[−0.422, 1.321]
6
5
4
3
2
24x − 71x + 55x + 7x − 16x + x + 1
[−0.419, 1.347]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
6
5
4
3
2
24x − 73x + 60x + 3x − 15x + x + 1
[−0.347, 1.419]
24x6 − 79x5 + 75x4 − 6x3 − 16x2 + 2x + 1
[−0.321, 1.422]
5
4
3
2
14x − 37x + 21x + 8x − 4x − 1
[−0.311, 1.424]
23x6 − 78x5 + 77x4 − 8x3 − 16x2 + 2x + 1
[−0.297, 1.435]
4
3
2
8x − 23x + 17x − 1
[−0.212, 1.456]
14x5 − 50x4 + 57x3 − 20x2 − x + 1
[−0.191, 1.472]
4
3
2
7x − 22x + 19x − 2x − 1
[−0.170, 1.539]
13x5 − 50x4 + 63x3 − 27x2 + x + 1
[−0.150, 1.554]
4
3
2
7x − 24x + 24x − 5x − 1
[−0.121, 1.595]
24x6 − 127x5 + 247x4 − 209x3 + 66x2 − x − 1 [−0.100, 1.607]
24x6 − 125x5 + 240x4 − 203x3 + 68x2 − 4x − 1 [−0.086, 1.612]
1
√
Table 33. Polynomials used to prove L+ 24 6 < 1.7851.
26
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
4
3
2
8x + 3x − 6x − x + 1
[−0.882, 0.630]
23x6 + 14x5 − 25x4 − 11x3 + 9x2 + 2x − 1 [−0.877, 0.667]
2x2 − 1
[−0.707, 0.707]
23x6 − 14x5 − 25x4 + 11x3 + 9x2 − 2x − 1 [−0.667, 0.877]
8x4 − 3x3 − 6x2 + x + 1
[−0.630, 0.882]
14x5 − 12x4 − 11x3 + 7x2 + 2x − 1
[−0.626, 1.100]
4
3
2
7x − 4x − 6x + x + 1
[−0.595, 1.121]
13x5 − 15x4 − 7x3 + 8x2 + x − 1
[−0.554, 1.150]
4
3
2
7x − 6x − 5x + 2x + 1
[−0.539, 1.170]
14x5 − 20x4 − 3x3 + 9x2 − 1
[−0.472, 1.191]
4
3
2
8x − 9x − 4x + 3x + 1
[−0.456, 1.212]
23x6 − 60x5 + 32x4 + 20x3 − 13x2 − 2x + 1 [−0.435, 1.297]
14x5 − 33x4 + 13x3 + 11x2 − 3x − 1
[−0.424, 1.311]
2
2x − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
14x5 − 37x4 + 21x3 + 8x2 − 4x − 1
[−0.311, 1.424]
6
5
4
3
2
23x − 78x + 77x − 8x − 16x + 2x + 1 [−0.297, 1.435]
8x4 − 23x3 + 17x2 − 1
[−0.212, 1.456]
5
4
3
2
14x − 50x + 57x − 20x − x + 1
[−0.191, 1.472]
7x4 − 22x3 + 19x2 − 2x − 1
[−0.170, 1.539]
5
4
3
2
13x − 50x + 63x − 27x + x + 1
[−0.150, 1.554]
7x4 − 24x3 + 24x2 − 5x − 1
[−0.121, 1.595]
5
4
3
2
14x − 58x + 81x − 42x + 5x + 1
[−0.100, 1.626]
1
√
Table 34. Polynomials used to prove L+ 14 5 < 1.7901.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
4
3
2
8x + 3x − 6x − x + 1
[−0.882, 0.630]
23x6 + 14x5 − 25x4 − 11x3 + 9x2 + 2x − 1
[−0.877, 0.667]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
23x6 − 14x5 − 25x4 + 11x3 + 9x2 − 2x − 1
[−0.667, 0.877]
4
3
2
8x − 3x − 6x + x + 1
[−0.630, 0.882]
7x4 − 4x3 − 6x2 + x + 1
[−0.595, 1.121]
5
4
3
2
13x − 15x − 7x + 8x + x − 1
[−0.554, 1.150]
7x4 − 6x3 − 5x2 + 2x + 1
[−0.539, 1.170]
5
4
3
2
13x − 17x − 6x + 9x + x − 1
[−0.534, 1.208]
22x6 − 36x5 − 10x4 + 25x3 + 5x2 − 4x − 1
[−0.526, 1.209]
4
3
2
8x − 9x − 4x + 3x + 1
[−0.456, 1.212]
23x6 − 60x5 + 32x4 + 20x3 − 13x2 − 2x + 1 [−0.435, 1.297]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
6
5
4
3
2
23x − 78x + 77x − 8x − 16x + 2x + 1
[−0.297, 1.435]
8x4 − 23x3 + 17x2 − 1
[−0.212, 1.456]
6
5
4
3
2
22x − 96x + 140x − 65x − 10x + 7x + 1 [−0.209, 1.526]
13x5 − 48x4 + 56x3 − 19x2 − 2x + 1
[−0.208, 1.534]
4
3
2
7x − 22x + 19x − 2x − 1
[−0.170, 1.539]
13x5 − 50x4 + 63x3 − 27x2 + x + 1
[−0.150, 1.554]
4
3
2
7x − 24x + 24x − 5x − 1
[−0.121, 1.595]
1
√
Table 35. Polynomials used to prove L+ 23 6 < 1.8010.
27
28
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
4
3
2
8x + 3x − 6x − x + 1
[−0.882, 0.630]
2x2 − 1
[−0.707, 0.707]
4
3
2
8x − 3x − 6x + x + 1
[−0.630, 0.882]
7x4 − 4x3 − 6x2 + x + 1
[−0.595, 1.121]
5
4
3
2
13x − 15x − 7x + 8x + x − 1
[−0.554, 1.150]
7x4 − 6x3 − 5x2 + 2x + 1
[−0.539, 1.170]
5
4
3
2
13x − 17x − 6x + 9x + x − 1
[−0.534, 1.208]
22x6 − 36x5 − 10x4 + 25x3 + 5x2 − 4x − 1
[−0.526, 1.209]
4
3
2
8x − 9x − 4x + 3x + 1
[−0.456, 1.212]
22x6 − 59x5 + 35x4 + 16x3 − 13x2 − x + 1
[−0.439, 1.313]
4
3
2
8x − 15x + 4x + 3x − 1
[−0.437, 1.349]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
8x4 − 17x3 + 7x2 + 2x − 1
[−0.349, 1.437]
6
5
4
3
2
22x − 73x + 70x − 6x − 15x + 2x + 1
[−0.313, 1.439]
8x4 − 23x3 + 17x2 − 1
[−0.212, 1.456]
6
5
4
3
2
22x − 96x + 140x − 65x − 10x + 7x + 1 [−0.209, 1.526]
13x5 − 48x4 + 56x3 − 19x2 − 2x + 1
[−0.208, 1.534]
4
3
2
7x − 22x + 19x − 2x − 1
[−0.170, 1.539]
13x5 − 50x4 + 63x3 − 27x2 + x + 1
[−0.150, 1.554]
4
3
2
7x − 24x + 24x − 5x − 1
[−0.121, 1.595]
1
Table 36. Polynomials used to prove L+ √
< 1.8033.
8
4
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
29
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
4
3
2
7x + x − 6x + 1
[−0.899, 0.658]
2x2 − 1
[−0.707, 0.707]
4
3
2
7x − x − 6x + 1
[−0.658, 0.899]
21x6 − 17x5 − 22x4 + 12x3 + 8x2 − 2x − 1
[−0.645, 1.097]
4
3
2
7x − 4x − 6x + x + 1
[−0.595, 1.121]
13x5 − 15x4 − 7x3 + 8x2 + x − 1
[−0.554, 1.150]
4
3
2
7x − 6x − 5x + 2x + 1
[−0.539, 1.170]
13x5 − 17x4 − 6x3 + 9x2 + x − 1
[−0.534, 1.208]
6
5
4
3
2
22x − 36x − 10x + 25x + 5x − 4x − 1
[−0.526, 1.209]
13x5 − 19x4 − 3x3 + 9x2 − 1
[−0.512, 1.221]
6
5
4
3
2
22x − 50x + 15x + 25x − 9x − 3x + 1
[−0.510, 1.263]
13x5 − 22x4 + x3 + 9x2 − x − 1
[−0.465, 1.269]
4x3 − 5x2 − x + 1
[−0.462, 1.294]
6
5
4
3
2
22x − 59x + 35x + 16x − 13x − x + 1
[−0.439, 1.313]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
6
5
4
3
2
22x − 73x + 70x − 6x − 15x + 2x + 1
[−0.313, 1.439]
4x3 − 7x2 + x + 1
[−0.294, 1.462]
5
4
3
2
13x − 43x + 43x − 10x − 3x + 1
[−0.269, 1.465]
22x6 − 82x5 + 95x4 − 25x3 − 14x2 + 4x + 1
[−0.263, 1.510]
5
4
3
2
13x − 46x + 51x − 16x − 2x + 1
[−0.221, 1.512]
22x6 − 96x5 + 140x4 − 65x3 − 10x2 + 7x + 1
[−0.209, 1.526]
5
4
3
2
13x − 48x + 56x − 19x − 2x + 1
[−0.208, 1.534]
7x4 − 22x3 + 19x2 − 2x − 1
[−0.170, 1.539]
5
4
3
2
13x − 50x + 63x − 27x + x + 1
[−0.150, 1.554]
7x4 − 24x3 + 24x2 − 5x − 1
[−0.121, 1.595]
6
5
4
3
2
21x − 109x + 208x − 174x + 57x − 3x − 1 [−0.097, 1.645]
1
√
Table 37. Polynomials used to prove L+ 22 6 < 1.8051.
30
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
4
3
2
7x + x − 6x + 1
[−0.899, 0.658]
2x2 − 1
[−0.707, 0.707]
4
3
2
7x − x − 6x + 1
[−0.658, 0.899]
7x4 − 4x3 − 6x2 + x + 1
[−0.595, 1.121]
4
3
2
7x − 6x − 5x + 2x + 1
[−0.539, 1.170]
11x5 − 16x4 − 3x3 + 8x2 − 1
[−0.519, 1.240]
6
5
4
3
2
19x − 33x − 7x + 23x + 4x − 4x − 1
[−0.481, 1.274]
4x3 − 5x2 − x + 1
[−0.462, 1.294]
6
5
4
3
2
19x − 49x + 24x + 19x − 11x − 2x + 1 [−0.457, 1.348]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
6
5
4
3
2
19x − 65x + 64x − 5x − 15x + 2x + 1
[−0.348, 1.457]
4x3 − 7x2 + x + 1
[−0.294, 1.462]
19x6 − 81x5 + 113x4 − 45x3 − 14x2 + 6x + 1 [−0.274, 1.481]
11x5 − 39x4 + 43x3 − 13x2 − 2x + 1
[−0.240, 1.519]
7x4 − 22x3 + 19x2 − 2x − 1
[−0.170, 1.539]
4
3
2
7x − 24x + 24x − 5x − 1
[−0.121, 1.595]
1
√
Table 38. Polynomials used to prove L+ 19 6 < 1.8231.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Polynomials Qi
7x4 + x3 − 6x2 + 1
2x2 − 1
7x4 − x3 − 6x2 + 1
7x4 − 4x3 − 6x2 + x + 1
7x4 − 6x3 − 5x2 + 2x + 1
11x5 − 16x4 − 3x3 + 8x2 − 1
4x3 − 5x2 − x + 1
2x2 − 2x − 1
4x3 − 7x2 + x + 1
11x5 − 39x4 + 43x3 − 13x2 − 2x + 1
7x4 − 22x3 + 19x2 − 2x − 1
7x4 − 24x3 + 24x2 − 5x − 1
Intervals [ai , bi ]
[−0.899, 0.658]
[−0.707, 0.707]
[−0.658, 0.899]
[−0.595, 1.121]
[−0.539, 1.170]
[−0.519, 1.240]
[−0.462, 1.294]
[−0.366, 1.366]
[−0.294, 1.462]
[−0.240, 1.519]
[−0.170, 1.539]
[−0.121, 1.595]
1
Table 39. Polynomials used to prove L+ √
< 1.8281.
7
4
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
31
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
11x5 − 9x4 − 10x3 + 6x2 + 2x − 1
[−0.690, 1.124]
6
5
4
3
2
17x − 14x − 20x + 11x + 8x − 2x − 1
[−0.655, 1.140]
18x6 − 16x5 − 20x4 + 12x3 + 8x2 − 2x − 1
[−0.632, 1.150]
5
4
3
2
11x − 8x − 13x + 3x + 5x + 1
[−0.597, 1.222]
11x5 − 14x4 − 6x3 + 8x2 + x − 1
[−0.570, 1.224]
5
4
3
2
11x − 16x − 3x + 8x − 1
[−0.519, 1.240]
4x3 − 5x2 − x + 1
[−0.462, 1.294]
2
2x − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
4x3 − 7x2 + x + 1
[−0.294, 1.462]
5
4
3
2
11x − 39x + 43x − 13x − 2x + 1
[−0.240, 1.519]
11x5 − 41x4 + 48x3 − 16x2 − 2x + 1
[−0.224, 1.570]
11x5 − 47x4 + 65x3 − 26x2 − 5x + 1
[−0.222, 1.597]
6
5
4
3
2
18x − 92x + 170x − 132x + 34x + 2x − 1 [−0.150, 1.632]
17x6 − 88x5 + 165x4 − 131x3 + 36x2 + x − 1 [−0.140, 1.655]
11x5 − 46x4 + 64x3 − 32x2 + 3x + 1
[−0.124, 1.690]
1
Table 40. Polynomials used to prove L+ 18√
< 1.8541.
6
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
11x5 − 9x4 − 10x3 + 6x2 + 2x − 1
[−0.690, 1.124]
6
5
4
3
2
17x − 14x − 20x + 11x + 8x − 2x − 1
[−0.655, 1.140]
6x4 − 5x3 − 5x2 + 2x + 1
[−0.643, 1.200]
5
4
3
2
11x − 8x − 13x + 3x + 5x + 1
[−0.597, 1.222]
11x5 − 14x4 − 6x3 + 8x2 + x − 1
[−0.570, 1.224]
5
4
3
2
11x − 16x − 3x + 8x − 1
[−0.519, 1.240]
4x3 − 5x2 − x + 1
[−0.462, 1.294]
2
2x − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
4x3 − 7x2 + x + 1
[−0.294, 1.462]
5
4
3
2
11x − 39x + 43x − 13x − 2x + 1
[−0.240, 1.519]
11x5 − 41x4 + 48x3 − 16x2 − 2x + 1
[−0.224, 1.570]
5
4
3
2
11x − 47x + 65x − 26x − 5x + 1
[−0.222, 1.597]
6x4 − 19x3 + 16x2 − x − 1
[−0.200, 1.643]
6
5
4
3
2
17x − 88x + 165x − 131x + 36x + x − 1 [−0.140, 1.655]
11x5 − 46x4 + 64x3 − 32x2 + 3x + 1
[−0.124, 1.690]
1
Table 41. Polynomials used to prove L+ 11√
< 1.8645.
5
32
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
17x6 − 14x5 − 20x4 + 11x3 + 8x2 − 2x − 1
[−0.655, 1.140]
4
3
2
6x − 5x − 5x + 2x + 1
[−0.643, 1.200]
17x6 − 26x5 − 13x4 + 22x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.631, 1.226]
6
5
4
3
2
16x − 19x − 15x + 15x + 6x − 3x − 1
[−0.600, 1.235]
17x6 − 29x5 − 8x4 + 22x3 + 4x2 − 4x − 1
[−0.574, 1.238]
4
3
2
5x − 5x − 4x + 2x + 1
[−0.563, 1.286]
4x3 − 5x2 − x + 1
[−0.462, 1.294]
2
2x − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
4x3 − 7x2 + x + 1
[−0.294, 1.462]
4
3
2
5x − 15x + 11x + x − 1
[−0.286, 1.563]
17x6 − 73x5 + 102x4 − 40x3 − 13x2 + 5x + 1 [−0.238, 1.574]
16x6 − 77x5 + 130x4 − 85x3 + 11x2 + 5x − 1 [−0.235, 1.600]
17x6 − 76x5 + 112x4 − 50x3 − 11x2 + 6x + 1 [−0.226, 1.631]
6x4 − 19x3 + 16x2 − x − 1
[−0.200, 1.643]
6
5
4
3
2
17x − 88x + 165x − 131x + 36x + x − 1 [−0.140, 1.655]
1
√
Table 42. Polynomials used to prove L+ 17 6 < 1.8691.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
16x6 − 11x5 − 21x4 + 8x3 + 9x2 − x − 1
[−0.665, 1.146]
4
3
2
6x − 5x − 5x + 2x + 1
[−0.643, 1.200]
16x6 − 19x5 − 15x4 + 15x3 + 6x2 − 3x − 1
[−0.600, 1.235]
3
2
4x − 4x − 2x + 1
[−0.585, 1.241]
5x4 − 5x3 − 4x2 + 2x + 1
[−0.563, 1.286]
3
2
4x − 5x − x + 1
[−0.462, 1.294]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
3
2
4x − 7x + x + 1
[−0.294, 1.462]
5x4 − 15x3 + 11x2 + x − 1
[−0.286, 1.563]
3
2
4x − 8x + 2x + 1
[−0.241, 1.585]
16x6 − 77x5 + 130x4 − 85x3 + 11x2 + 5x − 1 [−0.235, 1.600]
6x4 − 19x3 + 16x2 − x − 1
[−0.200, 1.643]
16x6 − 85x5 + 164x4 − 134x3 + 37x2 + 2x − 1 [−0.146, 1.665]
1
Table 43. Polynomials used to prove L+ 17√
< 1.8781.
6
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
5x4 − 3x3 − 5x2 + x + 1
[−0.672, 1.182]
4
3
2
6x − 5x − 5x + 2x + 1
[−0.643, 1.200]
9x5 − 11x4 − 6x3 + 7x2 + x − 1
[−0.637, 1.244]
6
5
4
3
2
14x − 24x − 8x + 20x + 4x − 4x − 1
[−0.599, 1.277]
5x4 − 5x3 − 4x2 + 2x + 1
[−0.563, 1.286]
6
5
4
3
2
15x − 36x + 11x + 21x − 8x − 3x + 1 [−0.558, 1.360]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
6
5
4
3
2
15x − 54x + 56x − 5x − 14x + 2x + 1 [−0.360, 1.558]
5x4 − 15x3 + 11x2 + x − 1
[−0.286, 1.563]
6
5
4
3
2
14x − 60x + 82x − 28x − 14x + 4x + 1 [−0.277, 1.599]
9x5 − 34x4 + 40x3 − 13x2 − 2x + 1
[−0.244, 1.637]
6x4 − 19x3 + 16x2 − x − 1
[−0.200, 1.643]
4
3
2
5x − 17x + 16x − 2x − 1
[−0.182, 1.672]
1
√
Table 44. Polynomials used to prove L+ 15 6 < 1.9237.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
Polynomials Qi
2x2 − 1
5x4 − 3x3 − 5x2 + x + 1
9x5 − 11x4 − 6x3 + 7x2 + x − 1
5x4 − 5x3 − 4x2 + 2x + 1
2x2 − 2x − 1
5x4 − 15x3 + 11x2 + x − 1
9x5 − 34x4 + 40x3 − 13x2 − 2x + 1
5x4 − 17x3 + 16x2 − 2x − 1
Intervals [ai , bi ]
[−0.707, 0.707]
[−0.672, 1.182]
[−0.637, 1.244]
[−0.563, 1.286]
[−0.366, 1.366]
[−0.286, 1.563]
[−0.244, 1.637]
[−0.182, 1.672]
1
Table 45. Polynomials used to prove L+ √
< 1.9286.
9
5
33
34
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
Intervals [ai , bi ]
[−0.707, 0.707]
[−0.672, 1.182]
[−0.563, 1.286]
[−0.366, 1.366]
[−0.286, 1.563]
[−0.182, 1.672]
1
Table 46. Polynomials used to prove L+ √
< 1.9582.
5
4
i
1
2
3
4
5
6
Polynomials Qi
2x2 − 1
5x4 − 3x3 − 5x2 + x + 1
5x4 − 5x3 − 4x2 + 2x + 1
2x2 − 2x − 1
5x4 − 15x3 + 11x2 + x − 1
5x4 − 17x3 + 16x2 − 2x − 1
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2
2x − 1
[−0.707, 0.707]
3x3 − 3x2 − 2x + 1
[−0.685, 1.314]
6
5
4
3
2
11x − 19x − 8x + 18x + 4x − 4x − 1
[−0.667, 1.351]
2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
6
5
4
3
2
11x − 47x + 62x − 16x − 15x + 3x + 1 [−0.351, 1.667]
3x3 − 6x2 + x + 1
[−0.314, 1.685]
1
Table 47. Polynomials used to prove L+ 11√
< 2.0353.
6
i
1
2
3
4
Polynomials Qi
2x2 − 1
3x3 − 3x2 − 2x + 1
2x2 − 2x − 1
3x3 − 6x2 + x + 1
Intervals [ai , bi ]
[−0.707, 0.707]
[−0.685, 1.314]
[−0.366, 1.366]
[−0.314, 1.685]
1
√
Table 48. Polynomials used to prove L+ 11 6 < 2.0507.
i Polynomials Qi Intervals [ai , bi ]
1 2x2 − 1
[−0.707, 0.707]
2 2x2 − 2x − 1
[−0.366, 1.366]
Table 49. Polynomials used to prove L+ √12 < 2.0731.
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
5
4
3
2
5x − 4x − 7x + 4x + 2x − 1
[−0.894, 1.290]
5x5 − 4x4 − 9x3 + 3x2 + 5x + 1
[−0.884, 1.316]
4
3
2
3x − 2x − 4x + x + 1
[−0.835, 1.338]
7x6 − 4x5 − 14x4 + 3x3 + 8x2 − 1
[−0.811, 1.390]
6
5
4
3
2
7x − 15x − 3x + 18x − 2x − 5x + 1
[−0.795, 1.423]
5x5 − 11x4 + 9x2 − x − 1
[−0.762, 1.492]
6
5
4
3
2
7x − 20x + 8x + 15x − 8x − 2x + 1
[−0.740, 1.701]
7x6 − 21x5 + 10x4 + 15x3 − 9x2 − 2x + 1
[−0.726, 1.726]
6
5
4
3
2
7x − 22x + 13x + 13x − 10x − x + 1
[−0.701, 1.740]
5x5 − 14x4 + 6x3 + 7x2 − 2x − 1
[−0.492, 1.762]
6
5
4
3
2
7x − 27x + 27x + 4x − 11x + 1
[−0.423, 1.795]
7x6 − 38x5 + 71x4 − 47x3 − 2x2 + 9x − 1
[−0.390, 1.811]
3x4 − 10x3 + 8x2 + x − 1
[−0.338, 1.835]
5
4
3
2
5x − 21x + 25x − 2x − 7x − 1
[−0.316, 1.884]
5x5 − 21x4 + 27x3 − 9x2 − 2x + 1
[−0.290, 1.894]
6
5
4
3
2
7x − 36x + 60x − 29x − 9x + 5x + 1
[−0.289, 2.089]
7x6 − 39x5 + 76x4 − 58x3 + 10x2 + 4x − 1
[−0.257, 2.101]
5
4
3
2
5x − 23x + 33x − 14x − x + 1
[−0.232, 2.127]
7x6 − 41x5 + 85x4 − 71x3 + 16x2 + 4x − 1
[−0.227, 2.148]
6
5
4
3
2
7x − 42x + 91x − 84x + 28x − 1
[−0.152, 2.152]
7x6 − 43x5 + 95x4 − 89x3 + 30x2 − 1
[−0.148, 2.227]
5
4
3
2
5x − 27x + 49x − 32x + 3x + 1
[−0.127, 2.232]
7x6 − 45x5 + 106x4 − 110x3 + 46x2 − 4x − 1 [−0.101, 2.257]
7x6 − 48x5 + 120x4 − 131x3 + 57x2 − 5x − 1 [−0.089, 2.289]
1
< 2.4652.
Table 50. Polynomials used to prove L+ √
7
6
35
36
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Intervals [ai , bi ]
[−0.894, 1.290]
[−0.884, 1.316]
[−0.835, 1.338]
[−0.823, 1.421]
[−0.762, 1.492]
[−0.745, 1.733]
[−0.733, 1.745]
[−0.492, 1.762]
[−0.421, 1.823]
[−0.338, 1.835]
[−0.316, 1.884]
[−0.290, 1.894]
[−0.232, 2.127]
[−0.220, 2.189]
[−0.198, 2.198]
[−0.189, 2.220]
[−0.127, 2.232]
1
Table 51. Polynomials used to prove L+ √
< 2.4942.
5
5
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Polynomials Qi
5x5 − 4x4 − 7x3 + 4x2 + 2x − 1
5x5 − 4x4 − 9x3 + 3x2 + 5x + 1
3x4 − 2x3 − 4x2 + x + 1
5x5 − 8x4 − 5x3 + 8x2 + 2x − 1
5x5 − 11x4 + 9x2 − x − 1
5x5 − 14x4 + 5x3 + 10x2 − 4x − 1
5x5 − 11x4 − x3 + 9x2 − 1
5x5 − 14x4 + 6x3 + 7x2 − 2x − 1
5x5 − 17x4 + 13x3 + 5x2 − 4x − 1
3x4 − 10x3 + 8x2 + x − 1
5x5 − 21x4 + 25x3 − 2x2 − 7x − 1
5x5 − 21x4 + 27x3 − 9x2 − 2x + 1
5x5 − 23x4 + 33x3 − 14x2 − x + 1
5x5 − 24x4 + 36x3 − 16x2 − x + 1
3x4 − 12x3 + 13x2 − 2x − 1
5x5 − 26x4 + 44x3 − 24x2 − x + 1
5x5 − 27x4 + 49x3 − 32x2 + 3x + 1
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3x4 − 2x3 − 4x2 + x + 1
[−0.835, 1.338]
6
5
4
3
2
6x − 17x + 6x + 14x − 7x − 2x + 1
[−0.772, 1.718]
6x6 − 18x5 + 8x4 + 14x3 − 8x2 − 2x + 1
[−0.752, 1.752]
6
5
4
3
2
6x − 19x + 11x + 12x − 9x − x + 1
[−0.718, 1.772]
3x4 − 10x3 + 8x2 + x − 1
[−0.338, 1.835]
6
5
4
3
2
6x − 31x + 52x − 25x − 9x + 5x + 1
[−0.328, 2.094]
3x4 − 11x3 + 10x2 − 1
[−0.275, 2.149]
6
5
4
3
2
6x − 34x + 65x − 42x − 4x + 7x + 1
[−0.263, 2.171]
3x4 − 12x3 + 13x2 − 2x − 1
[−0.198, 2.198]
6
5
4
3
2
6x − 38x + 85x − 78x + 24x + x − 1
[−0.171, 2.263]
3x4 − 13x3 + 16x2 − 4x − 1
[−0.149, 2.275]
6
5
4
3
2
6x − 41x + 102x − 111x + 49x − 5x − 1 [−0.094, 2.328]
1
Table 52. Polynomials used to prove L+ √
< 2.5529.
6
6
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
4
3
2
3x − 2x − 4x + x + 1
[−0.835, 1.338]
4x5 − 10x4 + x3 + 9x2 − 2x − 1
[−0.828, 1.723]
6
5
4
3
2
5x − 12x − 2x + 16x − 2x − 5x + 1
[−0.821, 1.760]
4x5 − 11x4 + 3x3 + 9x2 − 3x − 1
[−0.790, 1.765]
5
4
3
2
4x − 9x − x + 8x − 1
[−0.765, 1.790]
5x6 − 18x5 + 13x4 + 12x3 − 11x2 − x + 1 [−0.760, 1.821]
4x5 − 10x4 + x3 + 8x2 − x − 1
[−0.723, 1.828]
3x4 − 10x3 + 8x2 + x − 1
[−0.338, 1.835]
6
5
4
3
2
5x − 25x + 39x − 14x − 10x + 3x + 1 [−0.334, 2.111]
3x4 − 11x3 + 10x2 − 1
[−0.275, 2.149]
4
3
2
3x − 12x + 13x − 2x − 1
[−0.198, 2.198]
3x4 − 13x3 + 16x2 − 4x − 1
[−0.149, 2.275]
5x6 − 35x5 + 89x4 − 98x3 + 42x2 − 3x − 1 [−0.111, 2.334]
1
< 2.5880.
Table 53. Polynomials used to prove L+ √
4
5
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3x4 − 2x3 − 4x2 + x + 1
[−0.835, 1.338]
6
5
4
3
2
5x − 12x − 2x + 16x − 2x − 5x + 1
[−0.821, 1.760]
3x4 − 8x3 + 2x2 + 6x − 2
[−0.810, 1.777]
6
5
4
3
2
5x − 15x + 6x + 13x − 7x − 2x + 1
[−0.792, 1.792]
3x4 − 4x3 − 4x2 + 2x + 1
[−0.777, 1.810]
6
5
4
3
2
5x − 18x + 13x + 12x − 11x − x + 1 [−0.760, 1.821]
3x4 − 10x3 + 8x2 + x − 1
[−0.338, 1.835]
6
5
4
3
2
5x − 25x + 39x − 14x − 10x + 3x + 1 [−0.334, 2.111]
3x4 − 11x3 + 10x2 − 1
[−0.275, 2.149]
4
3
2
3x − 12x + 13x − 2x − 1
[−0.198, 2.198]
3x4 − 13x3 + 16x2 − 4x − 1
[−0.149, 2.275]
6
5
4
3
2
5x − 35x + 89x − 98x + 42x − 3x − 1 [−0.111, 2.334]
1
Table 54. Polynomials used to prove L+ √
< 2.6020.
3
4
37
38
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
2x − 2x − 2x + 1
[−0.855, 1.452]
5x6 − 7x5 − 10x4 + 9x3 + 7x2 − 2x − 1
[−0.849, 1.748]
6
5
4
3
2
5x − 12x − 2x + 16x − 2x − 5x + 1
[−0.821, 1.760]
5x6 − 15x5 + 6x4 + 13x3 − 7x2 − 2x + 1
[−0.792, 1.792]
6
5
4
3
2
5x − 18x + 13x + 12x − 11x − x + 1 [−0.760, 1.821]
5x6 − 23x5 + 30x4 + x3 − 21x2 + 6x + 1
[−0.748, 1.849]
3
2
2x − 4x + 1
[−0.452, 1.855]
5x6 − 25x5 + 39x4 − 14x3 − 10x2 + 3x + 1 [−0.334, 2.111]
5x6 − 30x5 + 61x4 − 45x3 + 4x2 + 5x − 1 [−0.319, 2.231]
5x6 − 30x5 + 63x4 − 52x3 + 10x2 + 4x − 1 [−0.267, 2.267]
5x6 − 30x5 + 61x4 − 43x3 − 2x2 + 7x + 1 [−0.231, 2.319]
5x6 − 35x5 + 89x4 − 98x3 + 42x2 − 3x − 1 [−0.111, 2.334]
1
Table 55. Polynomials used to prove L+ √
< 2.6124.
5
6
i
1
2
3
4
5
6
7
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
3
2
2x − 2x − 2x + 1
[−0.855, 1.452]
2x3 − 4x2 + 1
[−0.452, 1.855]
6
5
4
3
2
4x − 19x + 26x − 3x − 11x + x + 1 [−0.439, 2.134]
2x3 − 5x2 + x + 1
[−0.341, 2.162]
4
3
2
2x − 8x + 8x − 1
[−0.307, 2.307]
2x3 − 7x2 + 5x + 1
[−0.162, 2.341]
6
5
4
3
2
4x − 29x + 76x − 85x + 35x − x − 1 [−0.134, 2.439]
1
Table 56. Polynomials used to prove L+ √
< 2.7093.
5
6
MONIC INTEGER TRANSFINITE DIAMETER – TABLES
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Intervals [ai , bi ]
[−0.950, 1.753]
[−0.874, 1.818]
[−0.818, 1.874]
[−0.753, 1.950]
[−0.715, 2.059]
[−0.710, 2.094]
[−0.463, 2.185]
[−0.345, 2.282]
[−0.307, 2.307]
[−0.282, 2.345]
[−0.185, 2.463]
[−0.094, 2.710]
[−0.059, 2.715]
1
< 2.8957.
Table 57. Polynomials used to prove L+ √
3
5
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polynomials Qi
3x5 − 7x4 − x3 + 8x2 − x − 1
3x5 − 8x4 + x3 + 8x2 − 2x − 1
3x5 − 7x4 − x3 + 7x2 − 1
3x5 − 8x4 + x3 + 7x2 − x − 1
3x5 − 9x4 + 3x3 + 7x2 − 2x − 1
3x5 − 11x4 + 9x3 + 4x2 − 5x + 1
3x5 − 12x4 + 11x3 + 4x2 − 4x − 1
3x5 − 14x4 + 18x3 − x2 − 6x − 1
2x4 − 8x3 + 8x2 − 1
3x5 − 16x4 + 26x3 − 11x2 − 2x + 1
3x5 − 18x4 + 35x3 − 22x2 + 1
3x5 − 19x4 + 41x3 − 34x2 + 7x + 1
3x5 − 21x4 + 51x3 − 49x2 + 14x + 1
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
2x4 − 5x3 + 5x − 1
[−0.939, 1.846]
4
3
2
2x − 4x − 2x + 4x + 1
[−0.899, 1.899]
2x4 − 3x3 − 3x2 + 2x + 1
[−0.846, 1.939]
6
5
4
3
2
3x − 11x + 6x + 12x − 7x − 3x + 1
[−0.832, 2.119]
3x6 − 12x5 + 10x4 + 8x3 − 8x2 − x + 1
[−0.719, 2.145]
4
3
2
2x − 7x + 5x + 2x − 1
[−0.471, 2.211]
2x4 − 8x3 + 8x2 − 1
[−0.307, 2.307]
4
3
2
2x − 9x + 11x − 2x − 1
[−0.211, 2.471]
3x6 − 24x5 + 70x4 − 88x3 + 40x2 + x − 1 [−0.145, 2.719]
3x6 − 25x5 + 76x4 − 100x3 + 49x2 − x − 1 [−0.119, 2.832]
1
Table 58. Polynomials used to prove L+ √
< 2.9776.
3
6
39
40
K. G. HARE AND C. J. SMYTH
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Intervals [ai , bi ]
[−0.939, 1.846]
[−0.899, 1.899]
[−0.846, 1.939]
[−0.834, 2.134]
[−0.726, 2.156]
[−0.471, 2.211]
[−0.307, 2.307]
[−0.211, 2.471]
[−0.156, 2.726]
[−0.134, 2.834]
Table 59. Polynomials used to prove L+ √14 < 2.9893.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Polynomials Qi
2x4 − 5x3 + 5x − 1
2x4 − 4x3 − 2x2 + 4x + 1
2x4 − 3x3 − 3x2 + 2x + 1
2x4 − 5x3 − x2 + 5x + 1
2x4 − 6x3 + 2x2 + 4x − 1
2x4 − 7x3 + 5x2 + 2x − 1
2x4 − 8x3 + 8x2 − 1
2x4 − 9x3 + 11x2 − 2x − 1
2x4 − 10x3 + 14x2 − 4x − 1
2x4 − 11x3 + 17x2 − 5x − 1
Polynomials Qi
Intervals [ai , bi ]
5
4
3
2
2x − 5x − x + 6x − 1
[−0.915, 2.067]
2x5 − 6x4 − x3 + 9x2 + 2x − 1
[−0.913, 2.308]
6
5
4
3
2
2x − 9x + 9x + 7x − 10x − x + 1
[−0.861, 2.322]
2x5 − 8x4 + 6x3 + 6x2 − 4x − 1
[−0.738, 2.353]
5
4
3
2
2x − 9x + 10x + 2x − 5x + 1
[−0.678, 2.444]
2x5 − 10x4 + 13x3 + x2 − 6x + 1
[−0.638, 2.492]
5
4
3
2
2x − 11x + 17x − 2x − 8x + 1
[−0.592, 2.548]
2x6 − 12x5 + 22x4 − 8x3 − 10x2 + 4x + 1 [−0.566, 2.566]
2x5 − 9x4 + 9x3 + 4x2 − 4x − 1
[−0.548, 2.592]
2x5 − 10x4 + 13x3 + x2 − 6x − 1
[−0.492, 2.638]
5
4
3
2
2x − 11x + 18x − 6x − 5x + 1
[−0.444, 2.678]
2x5 − 12x4 + 22x3 − 10x2 − 4x + 1
[−0.353, 2.738]
6
5
4
3
2
2x − 15x + 39x − 39x + 8x + 5x − 1 [−0.322, 2.861]
2x5 − 14x4 + 31x3 − 19x2 − 6x + 1
[−0.308, 2.913]
5
4
3
2
2x − 15x + 39x − 40x + 12x + 1
[−0.067, 2.915]
1
Table 60. Polynomials used to prove L+ √5 < 3.2352.