Galois Groups of Polynomials of Degree Ten or Less
December 9, 2009
The idea of this document is to keep track of the polynomials used to collect data, the method they were
found, and as a summary of the results thus far. We will use the coding system used by Sage to enumerate
(α)
our Galois Groups. Also Ln will denote the generalized Laguerre Polynomial of degree n and parameter α.
1
Tools
We have a few tools to use from various published articles.
Firstly, we are given an efficient algorithm for finding whether a Galois group is nilpotent or not [2]
Next, we find a way to characterize the Galois groups of polynomials of prime degree, and are given useful
information about solvable, and transitive groups of low degree polynomials [3]
Finally, we are given a method for finding wheter a polynomial with prime degree has Galous group Ap
based on the amount of complex roots it has.[4]
2
More Techniques
This section is to document any techniques not appearing in the articles and to give a class of polynomials
with Galois group not Sn
Method 1
√
√
Consider the polynomial f (x) = x2n + 2axn + b. We may factor it as (xn + a + b − a2 )(xn + a − b − a2 ).
Let k = b − a2 If we want the polynomial to be irreducible over Q, we must have k not a square and a + k
and a − k not an n-th power in Q. Taking a = 1 and b = 3(mod4) will produce a family of polynomials
satisfying these conditions (We can certainly generate more by considering different cases of a)
Once we have that f(x) is irreducible over Q, we can prove that all f(x) of the above type with a fixed degree
√
√
have the same Galois group. It can be checked that the splitting field of f(x) is Q( n a + k, n a − k, ω) where ω
√
√
√
√
is a primitive n-th root of unity. We must prove that Gal(Q( n a0 + k0 , n a0 − k0 , ω)) = Gal(Q( n a1 + k1 , n a1 − k1 , ω)).
There is in fact a bijection between the splitting fields(but not an isomorphism), and thus a bijection between
the two Galois groups by the Fundamental Theorem of Galois Theory. We need to show this bijection is in
fact a group isomorphism, ie. that the bijective map is also a group homomorphism.
1
Each Galois group can be generated by the auotmorphisms mapping one generator and fixing the others.
Thus each has three generators since each field has three generators. Let φ1 , φ2 , φ3 be these maps for the
first Galois group, and τ1 , τ2 , τ3 be the maps for the second. In fact, we can choose τi equal to φi with a
change of name.
Now consider H, mapping φi to τi for i = 1, 2, 3, which clearly gives a bijection. Let us check that H is a
homomorphism. Since φi = τi after a change of name, they satisfy the same relations, thus H preserves these
relations, and is a homomorphism.
Thus H is an isomorphism between the two Galois groups. Thus all polynomials of the type described above
have the same Galois Group for a given degree 2n. It can be checked by Sage that we get the following
groups:
n
2
3
4
5
Galois Group
D(4)
F18 (6) : 2
1 4
2 [2 ]eD(4)
[52 : 4]22
What is interesting is that although the splitting fields are not isomorphic, their Galois groups are. The
reason that the splitting fields are not isomorphic is because although the additive structure is preserved in
the homomorphism, the multiplicative is not. A group homomorphism however requires only the additive
structure to be preserved.
3
Degree 3
1)A3
(1)
• L3
[1]
• X 3 − X 2 − 2X + 1 [5]
• (2m2 + 6)X 3 − (3m2 + 9)x2 + 3, m > 0, m ∈ Z[3]
4
Degree 4
1)C(4)
• X 4 − X 3 + X 2 − X + 1, X 4 − X 3 − 4X 2 + 4X + 1[5]
2)E(4)
• X 4 − X 2 + 1, X 4 − 6X 2 + 4[5]
3)D(4)
• X 4 − 2X 3 + X − 1, X 4 − X 3 + 3X 2 − 2X + 4, X 4 − X 3 − X 2 + X + 1, X 4 − X 3 − 3X 2 + X + 1[5]
• X 4 + 2X + b, where b = 3(mod4) (Method 1)
4)A4
(−5)
• L4
[1]
• X 4 − 2X 3 + 2X 2 + 2, X 4 − X 3 − 7X 2 + 2X + 9[5]
5
Degree 5
1)C(5)
• X 5 − X 4 − 4X 3 + 3X 2 + 3X − 1[5]
2)D(5)
• X 5 − 2X 4 + 2X 3 − X 2 + 1, X 5 − X 4 − 5X 3 + 4X 2 + 3X − 1[5]
3)F (5)
• X 5 − 9X 3 − 4X 2 + 17X + 12, X 5 − X 4 + 2X 3 − 4X 2 + X − 1[5]
4)A5
(1)
(−7)
• L3 , L5
[1]
• X 5 − X 4 + 2X 2 − 2X + 2, X 5 − X 4 − 11X 3 + X 2 + 12X − 4[5]
• (4m2 − 20)X 5 − (5m2 − 25)X 4 − 5, m > 0, m ∈ Z[3]
6
Degree 6
1)C(6)
• X 6 − X 5 + X 4 − X 3 + X 2 − X + 1, X 6 − X 5 − 7X 4 + 2X 3 + 7X 2 − 2X − 1[5]
2)D6 (6)
• X 6 − 3X 5 − 2X 4 + 9X 3 − 5X + 1, X 6 − 3X 5 + 5X 4 − 5X 3 + 5X 2 − 3X + 1[5]
3)D(6)
• X 6 + X 4 − 2X 3 + X 2 − X + 1, X 6 − 3X 5 + X 4 + 10X 2 − 9X + 3, X 6 − X 5 − X 4 + 4X 3 + 3X 2 − 1, X 6 −
X 5 − 10X 4 + X 3 + 12X 2 − 3X − 1[5]
4)A4 (6)
• X 6 + X 4 − 2X 2 − 1, X 6 − 19X 4 + 104X 2 − 169[5]
5)F18 (6)
• X 6 − 3X 5 + 4X 4 − 2X 3 + X 2 − X + 1, X 6 − X 5 − 6X 4 + 7X 3 + 4X 2 − 5X + 1[5]
• X 6 + 2X + b, where b = 3(mod4) (Method 1)
6)2A4 (6)
• X 6 − 2X 5 + 2X 3 − X − 1, X 6 − X 5 − X 4 − 2X 3 + 2X 2 + 3X − 1, X 6 − 2X 5 − 4X 4 + 5X 3 + 4X 2 −
2X − 1, X 6 − 2X 5 + 5X 4 − 7X 3 + 10X 2 − 8X + 8[5]
7)S4 (6d)
• X 6 + X 4 − 1, X 6 − 6X 4 + 8X 2 − 1, X 6 − X 4 − X 3 − X 2 + 1[5]
8)S4 (6c)
• X 6 + 4X 5 − 9X 4 − 51X 3 − 46X 2 + 8, X 6 − 2X 5 + 2X 4 − 4X 3 + 4X 2 − 2X + 2, X 6 − 3X 5 + 6X 4 −
7X 3 + 2X 2 + X − 1[5]
9)F18 (6) : 2
• X 6 − 3X 5 + 4X 4 − X 3 + X 2 − 2X + 7, X 6 − 3X 5 + 3X 4 − 2X 3 − 3X 2 + X − 1, X 6 − 2X 5 − 10X 4 +
8X 3 + 32X 2 + 14X + 1[5]
10)F36 (6)
• X 6 − X 5 + X 4 − X 3 − 4X 2 + 5, X 6 − 21X 4 + 21X 3 + 99X 2 − 198X + 99[5]
11)2S4 (6)
• X 6 − X 5 − X 3 − X + 1, X 6 − 2X 5 + 4X 4 − 6X 3 + 8X 2 − 8X + 8, X 6 − 2X 5 + 2X 4 − 2X 3 + 2X 2 −
X + 1, X 6 − 3X 5 + X 4 + 4X 3 − 3X 2 − 2X + 1, X 6 − 2X 5 − 2X 4 + 5X 3 − 2X 2 − 2X + 1, X 6 − 3X 5 −
2X 4 + 9X 3 − X 2 − 4X + 1[5]
12)L(6)
• X 6 − 10X 4 − 7X 3 + 15X 2 + 14X + 3, X 6 − 2X 5 + 3X 4 − 4X 3 + 2X 2 − 2X − 1[5]
13)F36 (6) : 2
• X 6 − 2X 5 + 2X 4 − X + 1, X 6 − X 5 + 2X 4 − X 2 + X − 1, X 6 − X 5 − 2X 4 − X 3 + X 2 + 2X − 1, X 6 −
3X 5 − 2X 4 + 10X 3 − X 2 − 7X + 1[5]
14)L(6) : 2
• X 6 +3X 4 −2X 3 +6X 2 +1, X 6 −18X 4 +9X 3 +90X 2 −70X −69, X 6 −2X 5 −X 4 +4X 3 −4X 2 +4X +1[5]
15)A6
(6)
• L6
Check if this is irreducible over Z [1]
• X 6 − 2X 4 + X 2 − 2X − 1, X 6 − 3X 5 − 9X 4 + 14X 3 + 27X 2 − 3X − 10[5]
7
Degree 7
1)C(7)
• X 7 − X 6 − 12X 5 + 7X 4 + 28X 3 − 14X 2 − 9X − 1[5]
2)D(7)
• X 7 − 2X 6 + 2X 5 + X 3 − 3X 2 + X − 1, X 7 − 2X 6 − 7X 5 + 10X 4 + 13X 3 − 10X 2 − X + 1[5]
3)F21 (7)
• X 7 − 8X 5 − 2X 4 + 16X 3 + 6X 2 − 6X − 2[5]
4)F42 (7)
• X 7 − 3X 6 + 9X 5 − 13X 4 + 17X 3 − 10X 2 + 4X + 1, X 7 − X 6 − 12X 5 + 9X 4 + 37X 3 − 26X 2 − 21X + 5[5]
5)L(7)
• X 7 − 8X 5 − 2X 4 + 15X 3 + 4X 2 − 6X − 2, X 7 − X 6 − 3X 5 + X 4 + 4X 3 − X 2 − X + 1[5]
6)A7
(1)
• L7 [1]
• X 7 − 2X 6 + 4X 4 − 5X 3 + 2X − 1, X 7 − 2X 6 − 7X 5 + 11X 4 + 16X 3 − 14X 2 − 11X + 2[5]
• (6m2 + 42)X 7 − (7m2 + 49)X 6 + 7, m > 0, m ∈ Z[3]
8
Degree 8
1)C(8)
• X 8 + 8X 6 + 20X 4 + 16X 2 + 2, X 8 − X 7 − 7X 6 + 6X 5 + 15X 4 − 10X 3 − 10X 2 + 4X + 1[5]
2)4[x]2
• X 8 + 2X 6 + 4X 4 + 8X 2 + 16, X 8 − 7X 6 + 14X 4 − 8X 2 + 1, X 8 − X 7 + X 5 − X 4 + X 3 − X + 1[5]
3)E(8)
• X 8 − X 4 + 1, X 8 − 12X 6 + 23X 4 − 12X 2 + 1[5]
4)[4]2
• X 8 − 4X 6 + 37X 4 − 66X 2 + 64, X 8 − 3X 7 + 4X 6 − 3X 5 + 3X 4 − 3X 3 + 4X 2 − 3X + 1, X 8 + X 7 −
16X 6 + 9X 5 + 29X 4 − 9X 3 − 16X 2 − X + 1[5]
5)Q8 (8)
• X 8 + 12X 6 + 36X 4 + 36X 2 + 9, X 8 − 12X 6 + 36X 4 − 36X 2 + 9[5]
6)D(8)
• X 8 − 3X 5 − X 4 + 3X 3 + 1, X 8 − X 7 + X 5 − 2X 4 − X 3 + 2X 2 + 2X − 1, X 8 − 4X 7 + 6X 6 − 7X 5 +
8X 4 + 5X 3 + 27X 2 + 26X + 19, X 8 − 2X 7 − 9X 6 + 10X 5 + 22X 4 − 14X 3 − 15X 2 + 2X + 1[5]
7) 21 [23 ]4
• X 8 +10X 6 +25X 4 +20X 2 +5, X 8 −10X 6 +25X 4 −20X 2 +5, X 8 −3X 7 −2X 6 +9X 5 −6X 3 −2X 2 −3X+1[5]
8)[D(4)]2
• X 8 + 24X 6 + 126X 4 + 216X 2 + 117, X 8 − 2X 7 + 2X 6 + X 4 + 5X 3 − 7X 2 − 6X + 1, X 8 − 14X 6 − 10X 5 +
31X 4 + 15X 3 − 14X 2 − 5X + 1[5]
9)E(8):2
• X 8 + 2X 4 − 3X 2 + 1, X 8 − 2X 6 − 2X 4 − 2X 2 + 1, X 8 − 4X 7 + 8X 6 − 8X 5 + 7X 4 + 6X 2 + 4X + 2, X 8 −
10X 6 − 4X 5 + 21X 4 + 8X 3 − 12X 2 − 4X + 1, X 8 − 4X 7 + 8X 6 − 8X 5 + X 4 + 4X 3 − 2X 2 + 1, X 8 +
2X 7 + 11X 6 + 6X 5 + 15X 4 + 4X 3 + 14X 2 − 8X + 4[5]
10)[22 ]4
• X 8 − 13X 6 + 44X 4 − 17X 2 + 1, X 8 + X 7 + 8X 6 + 11X 4 + 2X 2 + 7X + 31, X 8 + 3X 7 + 5X 6 + 3X 5 +
4X 4 − 3X 3 + 5X 2 − 3X + 1, X 8 − 2X 7 + X 6 − X 5 + 4X 4 − 3X 3 − X 2 + X + 1, X 8 − 2X 7 − 4X 6 +
4X 5 − X 4 − 8X 3 + 4X 2 + 6X + 1[5]
11)Q8 : 2
• X 8 − X 5 − 2X 4 + 4X 2 + X + 1, X 8 − 2X 7 − X 6 − 5X 4 − X 2 − 2X + 1, X 8 − 2X 7 − 7X 6 + 16X 5 +
4X 4 − 18X 3 + 2X 2 + 4X − 1, X 8 − 2X 7 + 5X 6 − 16X 5 + 25X 4 − 28X 3 + 59X 2 − 14X + 49[5]
12)SL(2; 3)
• X 8 −2X 7 +X 6 +X 5 −X 4 +2X 3 +4X 2 −16X +16, X 8 −3X 7 −8X 6 +24X 5 +9X 4 −34X 3 −4X 2 +11X −1[5]
13)E(8) : 3
• X 8 − 3X 6 + 3X 4 + 2X 2 + 1, X 8 − 2X 7 + 4X 4 − 4X 3 + 4X 2 + 2, X 8 − 3X 7 + X 6 + 7X 5 + 8X 4 − 16X 3 +
9X 2 + 8X + 13, X 8 − 4X 7 − 6X 6 + 24X 5 + 13X 4 − 28X 3 − 12X 2 + 4X + 1[5]
14) 21 (S4 [x]2)
• X 8 − 26X 6 + 99X 4 − 126X 2 + 49, X 8 + 4X 6 − 4X 5 + 11X 4 − 8X 3 + 18X 2 − 14X + 3, X 8 − 8X 7 +
35X 6 − 98X 5 + 193X 4 − 268X 3 + 257X 2 − 154X + 43[5]
15)[ 14 cD(4)2 ]2
• X 8 − X 4 − 1, X 8 + 12X 6 + 45X 4 + 54X 2 + 19, X 8 − 4X 7 + 2X 6 − 4X 5 + 12X 4 + 12X 3 − 4X − 2, X 8 −
2X 7 + 3X 6 − 2X 5 − X 4 + 6X 3 + 7X 2 + 4X + 1, X 8 − X 7 − 11X 6 + 4X 5 + 21X 4 − 4X 3 − 11X 2 + X + 1[5]
16) 21 [24 ]4
• X 8 − 2X 7 − 2X 6 + X 5 + 5X 4 + X 3 + 3X 2 + 3X + 1, X 8 − 2X 7 − 2X 6 + 6X 5 − 10X 4 + 6X 3 − 2X 2 − 2X +
1, X 8 − 3X 7 − 17X 6 + 54X 5 + 60X 4 − 201X 3 − 77X 2 + 177X + 1, X 8 − 2X 7 − 2X 6 + 36X 5 − 140X 4 +
316X 3 − 412X 2 + 168X + 76, X 8 − 4X 7 + 37X 6 − 97X 5 + 295X 4 − 433X 3 + 622X 2 − 421X + 241[5]
17)[42 ]2
• X 8 + 12X 6 + 48X 4 + 68X 2 + 17, X 8 − 2X 7 + 3X 6 − 4X 4 + 4X 3 − 2X + 1, X 8 − X 6 − 6X 5 + 3X 3 +
X 2 + 2X − 1, X 8 − 4X 7 + 14X 5 − 8X 4 − 12X 3 + 7X 2 + 2X − 1[5]
18)E(8) : E4
• X 8 + 3X 6 + 3X 4 + 3X 2 + 1, X 8 − 3X 6 + 3X 4 − 3X 2 + 1, X 8 + X 6 + 17X 4 + 9X 2 + 81, X 8 − 15X 6 +
57X 4 − 15X 2 + 1, X 8 − X 7 − X 6 + 5X 5 + 4X 4 + X 3 − X 2 − 2X + 1[5]
19)E(8) : 4
• X 8 + X 6 + 2X 2 + 4, X 8 + 4X 4 − 4X 2 + 1, X 8 + 14X 6 + 36X 4 + 28X 2 + 4, X 8 − 14X 6 + 36X 4 − 28X 2 +
4, X 8 − 2X 7 + 12X 6 − 13X 5 + 24X 4 − 13X 3 + 12X 2 − 2X + 1, X 8 + 2X 7 − 7X 6 − 14X 5 + 22X 4 +
66X 3 + 15X 2 − 90X − 63[5]
20)[23 ]4
• X 8 − 4X 6 − 6X 4 + 4X 2 + 1, X 8 + 12X 6 + 8X 5 + 44X 4 − 8X 3 + 40X 2 − 32X + 62, X 8 − 3X 7 + X 6 −
4X 5 − X 4 − 2X 3 − 6X 2 + 4X + 1, X 8 − 2X 7 + X 6 + 4X 5 + 4X 4 − 8X 3 + 4X 2 + 16X + 11, X 8 + 2X 7 −
15X 6 + 2X 5 + 29X 4 − 2X 3 − 15X 2 − 2X + 1[5]
21) 12 [24 ]E(4)
• X 8 + 2X 4 − 4X 2 + 2, X 8 + 14X 6 + 39X 4 + 32X 2 + 8, X 8 − 14X 6 + 39X 4 − 32X 2 + 8, X 8 − 2X 7 −
17X 6 − 16X 5 − 4X 3 − 2X 2 + 4, X 8 − 4X 7 + 21X 6 − 49X 5 + 94X 4 − 111X 3 + 63X 2 − 15X + 1[5]
22)E(8) : D4
• X 8 + 13X 6 + 47X 4 + 44X 2 + 4, X 8 − 2X 6 − 8X 5 − 5X 4 + 8X 3 + 12X 2 + 4X − 1, X 8 − 18X 6 + 8X 5 +
79X 4 − 32X 3 − 96X 2 + 32X + 1, X 8 + 6X 7 + 18X 6 + 28X 5 + 19X 4 − 12X 3 − 26X 2 − 10X + 13[5]
23)GL(2; 3)
• X 8 + X 7 − 3X 6 + X 5 + 8X 4 + X 2 + 7X + 1, X 8 − X 7 − X 5 + 25X 4 − 54X 3 + 50X 2 − 8X + 9, X 8 −
4X 7 − 4X 6 + 26X 5 + 2X 4 − 52X 3 + 31X + 1[5]
24)E(8) : D6
• X 8 − X 7 + X 6 + X 2 + X + 1, X 8 − X 7 + X 6 − X 4 + 2X 3 + 1, X 8 + X 6 − 2X 5 + X 4 − 2X 3 + X 2 +
1, X 8 − 4X 6 − X 5 + 3X 4 + 2X 3 + X 2 − 2X − 1, X 8 − 12X 6 − 4X 5 + 23X 4 + 4X 3 − 13X 2 + X + 1, X 8 −
3X 7 + 2X 6 + 6X 5 − 15X 4 + 12X 3 + 8X 2 − 24X + 16[5]
25)E(8) : 7
• X 8 − 4X 7 + 8X 6 − 6X 5 + 2X 4 + 6X 3 − 3X 2 + X + 3, X 8 − 2X 7 − 20X 6 + 10X 5 + 102X 4 + 26X 3 −
112X 2 − 50X + 7[5]
26) 21 [24 ]eD(4)
• X 8 − 5X 5 − 3X 4 − 5X 3 + 1, X 8 + 3X 6 − 3X 5 + 3X 4 + 6X 2 + 6X + 3, X 8 − 4X 7 + 4X 6 − X 4 + 4X 2 −
4X + 1, X 8 − 2X 7 + X 6 + 2X 5 − 2X 4 − 2X 3 + X 2 + 2X + 1, X 8 + X 7 − 11X 6 − 8X 5 + 38X 4 + 21X 3 −
39X 2 − 23X + 1, X 8 + 2X 7 + 20X 6 + 37X 5 + 164X 4 + 233X 3 + 615X 2 + 518X + 811, X 8 + 2X 7 −
14X 6 − 60X 5 − 246X 4 − 906X 3 − 1065X 2 + 1880X + 4159[5]
• X 8 + 2X + b, where b = 3(mod4) (Method 1)
27)[24 ]4
• X 8 − 2X 7 + 3X 5 − X 4 − 3X 3 + 2X + 1, X 8 − X 7 − 2X 6 + X 4 − 5X 3 − 3X 2 + 3X + 1, X 8 − 3X 7 +
2X 5 + 4X 4 + 3X 3 − 5X 2 − 2X + 1, X 8 + 7X 6 − 10X 5 + 24X 4 − 40X 3 + 63X 2 − 70X + 41, X 8 − 4X 7 +
2X 6 + 8X 5 − 15X 4 + 8X 3 + 2X 2 − 4X + 1, X 8 + 3X 7 + 7X 6 + 5X 5 + 11X 4 + 10X 3 + 3X 2 + 4X +
1, X 8 − 4X 7 − X 6 + 17X 5 − 6X 4 − 21X 3 + 6X 2 + 8X + 1[5]
28) 21 [24 ]dD(4)
• X 8 − 2X 6 + 3X 4 + 2, X 8 + 9X 6 + 24X 4 + 20X 2 + 5, X 8 − 9X 6 + 24X 4 − 20X 2 + 5, X 8 − 3X 7 + 5X 6 −
5X 5 + 6X 4 − 5X 3 + 5X 2 − 3X + 1, X 8 − 3X 7 + X 6 + 2X 5 − X 4 + 2X 3 + X 2 − 3X + 1, X 8 − 2X 7 −
2X 6 + 5X 5 + X 4 − 5X 3 − 2X 2 + 2X + 1, X 8 − 2X 7 − X 6 + 2X 5 − 4X 4 + 18X 3 − 15X 2 − 2X + 1[5]
29)E(8) : D8
• X 8 −X 6 −X 4 +X 2 +1, X 8 −9X 6 +25X 4 −22X 2 +4, X 8 +12X 6 +42X 4 +36X 2 +4, X 8 −2X 7 −2X 5 +6X 3 −
3X 2 −2X +1, X 8 −2X 7 −2X 6 +8X 4 −2X 3 −5X 2 +4X −1, X 8 −2X 7 +5X 6 −3X 5 +6X 4 −X 3 +5X 2 −X +
1, X 8 −X 7 −3X 6 +3X 5 −2X 4 +9X 3 −7X 2 −2X +1, X 8 +2X 7 +X 6 −4X 5 −5X 4 +4X 3 +14X 2 +12X +4[5]
30) 21 [24 ]cD(4)
• X 8 − 4X 6 − 20X 4 + 14, X 8 + 12X 6 + 44X 4 + 56X 2 + 14, X 8 − 3X 7 + 2X 6 + 4X 5 − X 4 − 4X 3 + 2X 2 +
3X + 1, X 8 − X 7 + 2X 6 − 5X 5 + X 4 − 5X 3 + 2X 2 − X + 1, X 8 + 3X 7 − 3X 6 − 30X 5 − 59X 4 − 50X 3 −
12X 2 + 4X + 1, X 8 − 4X 7 − 4X 6 + 26X 5 − X 4 − 46X 3 + 13X 2 + 15X + 1[5]
31)[24 ]E(4)
• X 8 + 12X 6 + 48X 4 + 72X 2 + 31, X 8 − 8X 5 + X 4 + 12X 3 − 2X 2 − 4X + 1, X 8 − 2X 7 + X 6 − 6X 5 +
6X 3 − X 2 − 2X − 1, X 8 − 2X 7 + X 6 + 2X 5 − 3X 4 − 2X 3 + X 2 + 2X + 1, X 8 − 2X 7 − 3X 6 + 8X 5 +
3X 4 − 16X 3 + 3X 2 + 6X + 1, X 8 − 4X 7 − 4X 6 + 18X 5 + 8X 4 − 20X 3 − 3X 2 + 6X − 1[5]
32)[23 ]A(4)
• X 8 − 2X 6 − 13X 4 − 9X 2 + 4, X 8 − 6X 6 + 15X 4 − 13X 2 + 4, X 8 + 23X 6 + 185X 4 + 610X 2 + 676, X 8 +
X 7 − 18X 6 + 3X 5 + 96X 4 − 98X 3 − 73X 2 + 124X − 35[5]
33)E(4) : 6
• X 8 − 2X 7 − 4X 5 + 12X 4 + 2X 3 − 14X 2 − 5X + 11, X 8 − 3X 7 − 3X 6 + 17X 5 − 3X 4 − 27X 3 + 10X 2 +
9X + 3, X 8 − 3X 7 − X 6 + 9X 5 − 11X 4 + 11X 3 − 13X 2 + 21X − 9, X 8 − 3X 7 + 7X 6 − 22X 5 + 36X 4 −
49X 3 + 76X 2 − 60X + 25, X 8 − X 7 − 15X 6 + 15X 5 + 62X 4 − 72X 3 − 53X 2 + 78X − 19[5]
34)E(4)2 : D6
• X 8 + 6X 6 − 4X 5 − 31X 4 − 12X 3 + 96X 2 − 26X + 29, X 8 − X 7 − 6X 6 + 13X 5 − 6X 4 + X 3 − 14X 2 +
7X + 1, X 8 + 6X 7 + 12X 6 + 10X 5 + 24X 4 + 42X 3 + 40X 2 + 18X + 3, X 8 − X 7 − 28X 6 − 13X 5 +
202X 4 + 277X 3 − 100X 2 − 203X − 11[5]
35)[24 ]D(4)
• X 8 + 2X 6 − 12X 4 − 3X 2 + 11, X 8 + 11X 6 + 42X 4 + 64X 2 + 31, X 8 − 3X 7 + 5X 6 − 5X 5 + 3X 4 − X +
1, X 8 − X 7 − 2X 5 + 3X 4 + 2X 3 + X + 1, X 8 − X 7 − 2X 6 + 2X 4 + 2X 3 − X 2 − X − 1, X 8 − X 7 − 3X 6 +
5X 5 + 3X 4 − 11X 3 + 8X − 1, X 8 − X 7 + X 6 − 2X 5 + 3X 4 − 4X 3 + 4X 2 − 2X + 1, X 8 − X 7 + X 6 −
2X 5 + X 4 − 2X 3 + X 2 − X + 1, X 8 − X 7 − X 6 − 2X 5 + 3X 4 + 4X 3 − 4X 2 − 2X + 1, X 8 − 2X 7 − 2X 6 +
X 5 + X 4 + 5X 3 − X 2 − 3X + 1, X 8 − 3X 7 − 5X 6 + 14X 5 + 8X 4 − 16X 3 − 2X 2 + 5X − 1[5]
36)E(8) : F21
• X 8 +3X 7 +20X 4 +18X 3 −18X 2 −8X+14, X 8 −2X 7 −22X 6 +50X 5 +72X 4 −256X 3 +180X 2 −12X−10[5]
37)L(8)
• X 8 − 4X 7 + 7X 6 − 7X 5 + 7X 4 − 7X 3 + 7X 2 + 5X + 1, X 8 − 2X 7 − 38X 6 + 16X 5 + 436X 4 + 424X 3 −
560X 2 − 488X − 28[5]
38)[24 ]A(4)
• X 8 − 2X 6 − 7X 4 + 3X 2 + 8, X 8 − 7X 6 + 11X 4 + 6X 2 − 7, X 8 + 14X 6 + 29X 4 + 17X 2 + 3, X 8 − 2X 7 +
2X 6 + X 4 + 2X 2 + 2X + 1, X 8 − X 7 − 3X 6 − X 5 + X 4 − X 3 − 3X 2 − X + 1, X 8 − 3X 7 − 13X 6 +
18X 5 + 42X 4 − 17X 3 − 31X 2 + 2X + 4[5]
39)[23 ]S(4)
• X 8 + X 4 + X 2 + 1, X 8 + X 4 − 4X 2 + 1, X 8 − X 7 + X 6 + X 5 − 2X 4 + X 3 + X 2 − X + 1, X 8 − 4X 7 +
6X 6 − 4X 5 − 4X 4 + 10X 3 − 3X 2 − 2X + 1, X 8 − X 7 − 11X 6 + X 5 + 24X 4 + X 3 − 11X 2 − X + 1, X 8 −
2X 7 + 139X 6 − 94X 5 + 6348X 4 + 5782X 3 + 97492X 2 + 262652X + 294463[5]
40) 21 [24 ]S(4)
• X 8 − X 7 + 4X 5 − 2X 4 + 3X 2 − X + 1, X 8 − X 7 − 4X 5 + 2X 4 + 3X 2 − X − 1, X 8 + 4X 7 + 9X 6 +
13X 5 + X 4 − 15X 3 − 14X 2 − 5X + 7, X 8 + 4X 7 − 2X 6 − 20X 5 − 10X 4 + 18X 3 + 10X 2 − 3X − 1, X 8 +
4X 7 + 34X 6 + 88X 5 + 280X 4 + 418X 3 + 586X 2 + 391X + 142[5]
41)E(8) : S4
• X 8 − 2X 6 − 4X 5 + 4X 3 − 10X 2 − 8X − 1, X 8 + 2X 6 + 15X 4 − 24X 3 − 10X 2 + 24X + 13, X 8 − 4X 7 +
5X 6 − X 4 − 4X 3 + X 2 + 2X + 1, X 8 − 14X 6 + 4X 5 + 36X 4 − 4X 3 − 22X 2 + 4X + 2, X 8 − 3X 7 + 4X 6 −
4X 5 + 6X 4 − 6X 3 + 4X 2 − 2X + 1, X 8 − 3X 7 + 4X 6 + 11X 5 − 19X 4 − X 3 + 14X 2 − 7X + 1, X 8 −
2X 7 − 59X 6 + 1440X 5 + 7704X 4 − 37440X 3 + 1241568X 2 + 18247680X + 62042112[5]
42)[A(4)2 ]2
• X 8 − 2X 7 + 2X 6 − 2X 5 + 2X 4 − X + 1, X 8 − 4X 7 + 2X 6 + 6X 5 + X 4 − 10X 3 + 4X + 1, X 8 − X 7 −
X 6 − 2X 5 − X 4 + X 3 − 4X 2 + 7X + 1, X 8 + 4X 7 − 8X 6 − 28X 5 + 17X 4 + 42X 3 − 20X 2 − 18X + 9[5]
43)L(8) : 2
• X 8 − X 6 − 3X 5 − X 4 + 4X 3 + 4X 2 − 2X − 1, X 8 − X 7 + 3X 6 − 3X 5 + 2X 4 − 2X 3 + 5X 2 + 5X +
1, X 8 − 2X 7 − 35X 6 + 308X 4 + 308X 3 − 462X 2 − 556X + 6[5]
44)[24 ]S(4)
• X 8 − X 5 − X 4 − X 3 + 1, X 8 + X 6 − 4X 4 − X 2 + 2, X 8 + 12X 6 + 50X 4 + 83X 2 + 43, X 8 − X 7 − X 5 +
2X 3 + X − 1, X 8 − X 7 − X 6 + X 4 − X 2 + X + 1, X 8 − X 7 + X 4 + 2X 3 − 2X 2 − X + 1, X 8 − X 7 +
X 5 − 8X 4 + X 3 + 8X 2 − 2X − 1, X 8 − 2X 7 − X 6 + 5X 5 − 2X 4 − 6X 3 + 3X 2 + 2X − 1, X 8 − 4X 7 −
X 6 + 15X 5 − 3X 4 − 16X 3 + 4X 2 + 4X − 1[5]
45)[ 21 S(4)2 ]2
• X 8 − 2X 6 + 7X 4 − 8X 2 − 4X + 7, X 8 − 2X 6 + X 4 + 4X 2 − 4X + 1, X 8 − 6X 6 − 6X 5 + X 4 + 2X 3 +
7X 2 + 8X − 8, X 8 − X 7 − 4X 6 + 4X 5 + 7X 4 − 8X 3 − 4X 2 + 5X − 1, X 8 − X 7 − 11X 6 + 8X 5 + 40X 4 −
17X 3 − 54X 2 + 6X + 19[5]
46) 21 [S(4)2 ]2
• X 8 − X 7 + X 5 − 4X 4 + 5X 3 + 6X 2 − 2X − 1, X 8 + 2X 7 + 7X 6 + 11X 5 + 19X 4 + 20X 3 + 20X 2 + 10X +
5, X 8 + 7X 7 − 10X 6 − 131X 5 − 200X 4 + 131X 3 + 382X 2 − 191, X 8 + X 7 − 40X 6 + 44X 5 + 4X 4 +
400X 3 − 320X 2 + 1920X − 2048[5]
47)[S(4)2 ]2
• X 8 − 2X 7 + 2X 6 + X 3 + X + 1, X 8 − 2X 5 + X 4 + 3X 3 − 2X 2 − X + 1, X 8 − 2X 6 − 3X 5 + 3X 3 + 2X 2 −
X − 1, X 8 − X 7 + X 5 − 2X 3 − 2X 2 + X + 1, X 8 − 3X 7 + 2X 5 + 14X 4 − 22X 3 + 8X + 1, X 8 − X 7 −
3X 6 + 4X 5 − 2X 4 − X 3 + 5X 2 − X − 1, X 8 − X 7 − 7X 6 + 5X 5 + 15X 4 − 7X 3 − 10X 2 + 2X + 1[5]
48)AL(8)
• X 8 + 3X 7 − X 6 − 10X 5 − 9X 4 − X 3 + 7X 2 + 11X + 4, X 8 − 4X 7 + 8X 6 − 11X 5 + 12X 4 − 10X 3 +
6X 2 − 3X + 2, X 8 + 4X 7 − 10X 6 − 48X 5 − 24X 4 + 36X 3 + 14X 2 − 8X − 1, X 8 − 3X 7 + 10X 6 − 17X 5 +
26X 4 − 29X 3 + 26X 2 − 19X + 9[5]
49)A8
(1)
(−9)
• L8 , L8
[1]
• X 8 − 2X 7 + 3X 5 − 5X 4 + 2X 3 + 2X 2 − X + 1, X 8 − 3X 7 + 3X 6 − X 5 + 2X 4 − 3X 3 + 2X 2 − X +
1, X 8 − 2X 7 − 11X 6 + 6X 5 + 30X 4 − 2X 3 − 22X 2 + X + 3[5]
9
Degree 9
1)C(9)
• X 9 − X 8 − 8X 7 + 7X 6 + 21X 5 − 15X 4 − 20X 3 + 10X 2 + 5X − 1[5]
2)E(9)
• X 9 − 15X 7 − 4X 6 + 54X 5 + 12X 4 − 38X 3 − 9X 2 + 6X + 1[5]
3)D(9)
• X 9 − 3X 8 + 4X 7 − 5X 6 + 6X 5 − X 4 − 5X 3 + 4X 2 − 2, X 9 + X 8 − 16X 7 + 6X 6 + 64X 5 − 65X 4 − 48X 3 +
78X 2 − 19X − 1[5]
4)S(3)[x]3
• X 9 − 5X 8 − X 7 + 4X 6 + 2X 5 + 3X 4 − X 3 − 3X 2 + 1, X 9 − 3X 8 − 8X 7 + 13X 6 + 22X 5 − 13X 4 − 20X 3 +
X 2 + 5X + 1[5]
5)32 : 2
• X 9 − 3X 6 + 3X 3 + 1, X 9 − 54X 7 − 12X 6 + 756X 5 + 180X 4 − 2652X 3 − 864X 2 + 288X + 64[5]
6) 31 [33 ]3
• X 9 − 3X 8 − 10X 7 + 42X 6 − 28X 5 − 28X 4 + 28X 3 + 2X 2 − 6X + 1[5]
7)E(9) : 3
• X 9 − 3X 8 − 21X 7 + 78X 5 + 69X 4 − 21X 3 − 39X 2 − 12X − 1[5]
8)E(9) : D4
• X 9 − X 8 + 3X 6 + X 5 + X 4 + 3X 3 + 2X 2 + 1, X 9 − 16X 7 − 7X 6 + 48X 5 + 20X 4 − 37X 3 − 16X 2 +
4X + 1, X 9 − 2X 8 − 3X 7 + 9X 6 − 4X 5 − 6X 4 + 10X 3 − 4X 2 − X − 1[5]
9)E(9) : 4
• X 9 − 45X 7 − 93X 6 + 72X 5 + 216X 4 + 63X 3 − 81X 2 − 54X − 9, X 9 − 2X 8 + 8X 7 − 8X 6 + 20X 5 −
8X 4 + 4X 3 − 24X 2 + 23X − 6[5]
10)[32 ]S(3)6
• X 9 + 6X 8 + 15X 7 + 18X 6 + 11X 5 + X 4 − 2X 3 + 3X 2 − X + 1, X 9 − 4X 8 − 14X 7 + 44X 6 + 62X 5 −
120X 4 − 92X 3 + 48X 2 + 12X − 4[5]
11)E(9) : 6
• X 9 − 3X 6 + 3X 3 + 8, X 9 − 27X 7 + 30X 6 + 189X 5 − 378X 4 − 21X 3 + 378X 2 − 126X − 42[5]
12)[32 ]S(3)
• X 9 − 4X 8 + 4X 7 + 4X 6 − 7X 5 − 2X 4 + 4X 3 + 3X 2 − X − 1, X 9 − 19X 7 − 10X 6 + 100X 5 + 86X 4 −
120X 3 − 99X 2 + 30X + 23[5]
13)E(9) : D6
• X 9 − X 6 − 2X 3 + 1, X 9 − 4X 8 − 30X 7 + 142X 6 + 79X 5 − 680X 4 − 247X 3 + 998X 2 + 716X + 104[5]
14)M (9)
• X 9 − 3X 8 + 12X 7 − 12X 6 + 12X 5 − 12X 4 + 12X 3 − 12X 2 + 9X − 3, X 9 − 2X 8 − 60X 7 + 120X 6 +
980X 5 − 1808X 4 − 4012X 3 + 4936X 2 + 4673X − 1434[5]
15)E(9) : 8
• X 9 − 9X 7 − 21X 6 + 72X 5 + 99X 4 − 99X 3 − 585X 2 + 549X + 166, X 9 − 72X 7 + 1464X 5 − 960X 4 −
8928X 3 + 13440X 2 − 2064X − 2560[5]
16)E(9) : D8
• X 9 − X 8 − 2X 6 − X 5 + 3X 4 + X 2 + X − 1, X 9 − 10X 7 − 3X 6 + 25X 5 + 5X 4 − 21X 3 + 5X − 1, X 9 −
2X 8 + 2X 7 − X 6 − X 5 + X 4 − X 3 + X − 1[5]
17)[33 ]3
• X 9 − 4X 8 − 2X 7 + 22X 6 − 14X 5 − 22X 4 + 20X 3 + 2X 2 − 5X + 1[5]
18)E(9) : D1 2
• X 9 − X 3 − 1, X 9 − 2X 6 − 4X 3 + 1, X 9 − 9X 7 − X 6 + 27X 5 + 6X 4 − 28X 3 − 9X 2 + 3X − 1, X 9 − 3X 8 −
39X 7 + 167X 6 − 24X 5 − 480X 4 + 136X 3 + 384X 2 + 144X + 16[5]
19)E(9) : 2D8
• X 9 − 3X 8 + 6X 7 − 18X 6 + 12X 5 − 24X 4 + 24X 3 − 12X 2 + 6X − 2, X 9 − 2X 8 − 8X 7 + 16X 6 + 28X 5 −
32X 4 −24X 3 +24X 2 +X −2, X 9 −3X 8 −32X 7 +80X 6 +298X 5 −558X 4 −616X 3 +616X 2 +255X −29[5]
20)[33 ]S(3)
• X 9 −4X 8 +6X 7 −8X 6 +7X 5 −4X 4 +2X 3 +1, X 9 −4X 8 −4X 7 +22X 6 −X 5 −31X 4 +4X 3 +15X 2 −1[5]
21) 12 [33 : 2]S(3)
• X 9 − 4X 8 + 6X 7 − 9X 6 + 13X 5 + 3X 4 − 24X 3 + 15X 2 − 5X + 5, X 9 + 3X 8 − 10X 7 − 37X 6 + 4X 5 +
81X 4 + 21X 3 − 50X 2 − 10X + 10[5]
22)[33 : 2]3
• X 9 − 4X 8 + 8X 7 − 11X 6 + 9X 5 − 3X 4 + 5X 3 − 4X 2 − X + 1, X 9 − 30X 7 − 20X 6 + 279X 5 + 372X 4 −
659X 3 − 1566X 2 − 1044X − 232[5]
23)E(9) : 2A4
• X 9 − 3X 8 + X 6 + 15X 5 − 13X 4 − 3X 3 + 4X − 1, X 9 + 2X 8 − 66X 7 − 196X 6 + 1022X 5 + 3614X 4 −
2711X 3 − 14194X 2 − 4931X + 5714[5]
24)[33 : 2]S(3)
• X 9 + X 8 + 3X 7 + 3X 5 − 5X 4 + 6X 3 + X + 1, X 9 + X 8 − 9X 7 − 10X 6 + 2X 5 + 35X 4 + 5X 3 − 17X 2 −
8X − 1, X 9 − X 8 − 6X 7 + 2X 6 + 12X 5 + 10X 4 − 2X 3 − 14X 2 − 7X − 1, X 9 − 2X 8 − 17X 7 + 33X 6 +
90X 5 − 183X 4 − 161X 3 + 379X 2 + 36X − 193[5]
25)[ 21 S(3)3 ]3
• X 9 − 3X 8 + 3X 7 + 4X 6 − 12X 5 + 9X 4 + X 3 − 9X 2 + 6X − 1, X 9 + 3X 8 − 20X 7 − 63X 6 + 87X 5 +
355X 4 + 147X 3 − 313X 2 − 317X − 83[5]
26)E(9) : 2S4
• X 9 − X 7 − 5X 6 + X 5 + 2X 4 + 4X 3 − 3X 2 − X + 1, X 9 − 3X 8 − 22X 6 − 9X 5 − 30X 4 + 2X 3 + 3X 2 +
3X − 1, X 9 − 60X 7 − 30X 6 + 441X 5 + 90X 4 − 1116X 3 + 180X 2 + 972X − 480[5]
27)L(9)
• X 9 + X 7 − 4X 6 − 12X 4 − X 3 − 7X 2 − X − 1[5]
28)[S(3)3 ]3
• X 9 − 2X 8 + 3X 7 − X 6 − 2X 5 + 5X 4 − 4X 3 + 2X − 1, X 9 − 11X 7 − 4X 6 + 31X 5 + 13X 4 − 24X 3 −
11X 2 + 3X + 1, X 9 − 2X 8 + X 7 + 2X 6 − 5X 5 + 2X 4 + X 3 − 3X 2 + X + 1, X 9 − 2X 8 − 5X 7 + 12X 6 +
3X 5 − 19X 4 + 7X 3 + 7X 2 − 2X − 1[5]
29)[ 21 S(3)3 ]S(3)
• X 9 − 3X 6 − 5X 5 + 5X 2 − 1, X 9 − X 8 + 3X 6 + 3X 4 − X 3 − 2X 2 − 3X − 1, X 9 + 3X 8 − 7X 7 − 21X 6 +
17X 5 + 42X 4 − 21X 3 − 22X 2 + 14X − 2[5]
30) 12 [S(3)3 ]S(3)
• X 9 − X 8 + 2X 5 − 2X 4 + 2X 2 − 2X + 1, X 9 − 4X 8 − 2X 7 + 6X 5 + 4X 4 − 4X 3 + 2X 2 − 2, X 9 − 19X 7 −
24X 6 + 53X 5 + 73X 4 − 46X 3 − 53X 2 + 15X + 9[5]
31)[S(3)3 ]S(3)
• X 9 − 5X 7 − X 6 + 7X 5 + 4X 4 − 2X 3 − 5X 2 − X + 1, X 9 − 6X 7 + X 6 + 7X 5 + 7X 4 − 11X 3 − X 2 +
4X − 1, X 9 − 3X 8 + X 7 + 4X 6 − 4X 5 + X 4 + X 3 − X 2 − 1, X 9 − 3X 8 + 4X 7 − 5X 6 + 6X 5 − 6X 4 +
5X 3 − 4X 2 + 2X − 1, X 9 − X 8 − 9X 7 + 6X 6 + 22X 5 − 9X 4 − 17X 3 + 5X 2 + 4X − 1, X 9 − 4X 8 − X 7 +
17X 6 − 5X 5 − 24X 4 + 6X 3 + 13X 2 − X − 1[5]
32)L(9) : 3
• X 9 − X 8 − 4X 7 + 28X 3 + 26X 2 + 9X + 1[5]
33)A9
• X 9 − X 8 − X 7 − 2X 5 + 4X 4 − 5X 2 + 1, X 9 − 3X 8 + 5X 7 − 7X 6 + 5X 5 − 3X 3 + 6X 2 − 4X + 1, X 9 +
X 8 − 17X 7 − 35X 6 + 18X 5 + 69X 4 + 8X 3 − 33X 2 − 3X + 4[5]
(1)
(−11)
• L9 , L9
10
[1]
Degree 10
18) [52 : 4]22
• X 10 + 2X + b, where b = 3(mod4) (Method 1)
44) A10
(10)
• L10
(Irreducible?)[1]
References
[1] Farshid Hajir On The Galois Group Of Generalized Laguerre Polynomials
[2] V. Arvid, Piyush P Kurur A Polynomial Time Nilpotence Test for Galois Groups and Related Results
[3] A. Bialostocki, T. Shaska Galois Groups of Prime Degree Polynomials with Nonreal Roots
[4] Oz Ben Shimol On Galois Groups of Prime Degree Polynomials With Complex Roots
[5] http://world.std.com/ jmccarro/math/GaloisGroups/GaloisGroupPolynomials.html Test Polynomials
for Galois Groups