ICNS 103
Solution:
Exercies 2
Find
dy
where:
dx
1) y = x3 − 2xπ + π 4 .
4) y = 3xπ + 4πx2 + 10πx − π 4 .
Solution :
3
π
Solution :
4
y = x − 2x + π
dy
d 3
d
d
=
(x ) − 2 (xπ ) + (π 4 )
dx
dx
dx
dx
= 3x2 − 2πxπ−1 .
y = 3xπ + 4πx2 + 10πx − π 4
dy
d
d
= 3 (xπ ) + 4π (x2 )
dx
dx
dx
d
d
+ 10π (x) − (π 4 )
dx
dx
= 3πxπ−1 + 8πx + 10π.
2) y = 3x2 − 5x + 4.
Solution :
y = 3x2 − 5x + 4
dy
d
d
d
=
(3x2 ) − 5 (x) + (4)
dx
dx
dx
dx
= 6x − 5
5) y = (2x3 − 8x)(x4 − 2x2 + 3x).
3) y = 2x5 − 3π 2 + 2x2 − 3πx.
Solution :
Solution :
y = 2x5 − 3π 2 + 2x2 − 3πx
dy
d
d
= 2 (x5 ) − (3π 2 )
dx
dx
dx
d 2
d
+ 2 (x ) − 3π (x)
dx
dx
4
= 10x − 0 + 4x − 3π
dy
∴
= 10x4 + 4x − 3π.
dx
y = (2x3 − 8x)(x4 − 2x2 + 3x)
dy
d 3
=
2x − 8x (x4 − 2x2 + 3x)
dx
dx
d 4
+ (2x3 − 8x)
x − 2x2 + 3x
dx
dy
∴
= (6x2 − 8)(x4 − 2x2 + 3x)
dx
+ (2x3 − 8x)(4x3 − 4x + 3)
x3 − 4x + 5
.
x2 − x + 3
Solution :
6) y =
x3 − 4x + 5
x2 − x + 3
d 3
d 2
2
3
x − 4x + 5 (x − x + 3) − (x − 4x + 5)
x −x+3
dy
dx
= dx
dx
(x2 − x + 3)2
(3x2 − 4)(x2 − x + 3) − (x3 − 4x + 5)(2x − 1)
=
(x2 − x + 3)2
y=
1
1
ICNS 103 Fundamental Mathematics
( Solution : Exercise II )
2x5 + 3x2 − 5x
.
x3 − 2x2 + x − 5
Solution :
7) y =
d
d 3
5
2
2
5
2
(x − 2x + x − 5)
(2x + 3x − 5x) − (2x + 3x − 5x)
(x − 2x + x − 5)
dy
dx
dx
=
dx
(x3 − 2x2 + x − 5)2
3
=
2
(x3 − 2x2 + x − 5)(10x4 + 6x − 5) − (2x5 + 3x2 − 5x)(3x2 − 4x + 1)
(x3 − 2x2 + x − 5)2
8) y = (x2 + 3x − 2)10 .
Solution :
d 10 dy
=
u
dx
dx
where u = x2 + 3x − 2
d 10 du
=
u
du
dx
= 10u9 (2x + 3)
= 10(x2 + 3x − 2)9 (2x) + 3
9) y 0 = 5(3x2 − 4)4 (6x) − 6(3x3 + 7x2 )5 (9x2 + 7)
10) y 0 = 15(x3 − 3x2 + 5x)14 (3x2 − 6x + 5)(x2 − 9)4 + (x3 − 3x2 + 5x)15 4(x2 − 9)3 (2x)
11) y 0 = 2e2x
12) y 0 =
2x
+3
x2
3
ex 5(4x3 − 5x + 1)4 (12x2 − 5) − (4x3 − 5x + 1)5 3x2 ex
13) y =
e2x3
3
0
14) y 0 = (2x + 3)ex
2 +3x−5
15) y 0 = 27(3x + 2)8
16) y 0 =
−6
(3x − 4)2
17) y 0 =
−36
(2x − 5)7
log(x2 + 10) + ex
2 +3x−5
2x
(ln 10)(x2 + 10)
2
99 5
5
0
2
18) y = 100 x − 4x −
+3
2x − 4 + 2
2x
2x
19) y 0 = −8x(x2 − 5)−5
20) y 0 = (−10/7)(x2 − 7x + 12)−12/7 (2x − 7)
21) y 0 = (−12)(2x3 − 18x + 2)−13 (6x2 − 18)
4 3
6
0
22) y = 5 4x − 2 + 7x − 3π
11 + 3
x
x
23) y 0 = 63(7x − 3)8 (2x3 − 3x + 5)4 + (7x − 3)9 4(6x2 − 3)(2x3 − 3x + 5)3
24) y 0 = 10(5x4 − 3xπ )9 (20x3 − 3πxπ−1 ) + 10x4
(6x − 4)(3x2 − 4x + 8)−3/4
4
2 2x + 5
2(x − 3) − (2x + 5)
0
26) y = 3
x−3
(x − 3)2
4x
0
27) y =
(x + 1)−4/5
5
25) y 0 =
28) y 0 = −4(x2 − 7x)−5 (2x − 7)
29) y 0 = −20(2x2 − 3x + 4)−6 (4x − 3)
!
r
2x
+
5
(2x + 5) − 2(x − 3)
1
0
30) y =
2 x−3
(2x + 5)2
3
3
31) y 0 = √ +
2 3x (3x)3/2
32) y 0 = 2x(4x3 − 2x + 1)3 + (x2 − 4)3(12x2 − 2)(4x − 2x + 1)2
2/3 2
1 8x2 − 4
(x + 6)16x − (8x2 − 4)2x
0
33) y =
3 x2 + 6
(x2 + 6)2
34) y 0 =
((2x5 + 4)3 ((6x2 − 6)(x2 − 5x + 3) + (2x3 − 6x + 7)(2x − 5)) − U )
(2x5 + 4)6
where
U = (2x3 − 6x + 7)(x2 − 5x + 3)30x4 (2x5 + 4)2
3
0
x
3x
− 2xe
35) y = e + 3e
2x
51) y 0 =
(ln 3)(x2 + 7)
x2
3
36) y 0 = 6x2 e2x e4
0
37) y = (5 − 2x)e
5x−x2
3x−x3
2
− (3 − 3x )e
38) y 0 = (ln 4)4x − (3 ln 5)53x
39) y 0 = (ln 10)10x + (2x ln 7)7x
52) y 0 =
2x − 6
(ln 10)(x2 − 6x + 9)
53) y 0 =
2x + 4
(ln 2)(x2 + 4x + 4)
54) y 0 =
4x3 − 12x
(ln 5)(x4 − 6x2 + 6)
2
2
40) y 0 = (ln 3)3x + (2 ln 5)52x
41) y 0 = (3 ln π)π x
55) y 0 = 0
42) y 0 = −(ln 4)4x + (3 ln 7)73x
3
43) y 0 = (3x2 ln 10)10x −
0
44) y = (5 ln 2)e
5x
56) y 0 =
4
(ln 5)54/x
2
x
4x2
+ (8x ln 3)3
2
45) y 0 = (4 ln 5)54x 43x + (6x ln 4)54x 43x
3
46) y 0 = 6x2 e2x − (2x + 4)(ln 5)5x
47) y 0 = (6x ln π)π 3x
(2 ln 3)32x − 5
32x − 5x
58) y 0 =
3x2 − (ln 10)10x
x3 − 10x + π 2
59) y 0 =
2x + 5
(2 ln 6)62x − 3x2
−
x2 + 5x − 3
62x − x3
60) y 0 =
5(2x − 7)
10(4x3 − 6x2 )
+
x2 − 7x + 4 x4 − 2x3 + 16
2 +4x
48)
y 0 =(2 ln 5)e2x 5e
2x
+ (3 ln 5)53x e5
− 5e2 x5e
x2
0
49) y = (2x ln 10)10
50) y 0 =
2
x
3x
61) y 0 =
2 −1
+ (10 ln 2)2
10x
− 100x
99
2x − 5
− 5x − 10
57) y 0 =
2
2 +5
x2
x2
2x − 10
− 10x + 7
62) y 0 =
3
x
63) y 0 =
12x2 − πxπ−1 + 2e2x
4x3 − xπ + e2x