Calculus 3, harjoitus 2
1
(%i1)
integrate(1/sqrt(1-x^2), x);
(%o1)
(%i2)
integrate(1/sqrt(1-4*x^2), x);
(%o2)
(%i3)
asin (2 · x)
2
integrate(1/sqrt(9-x^2), x);
(%o3)
(%i4)
asin (x)
asin
x
3
integrate((x+1)/sqrt(9-x^2), x);
x p
(%o4)
asin
− 9 − x2
3
2
(%i5)
integrate(x^2/sqrt(1-x^2), x);
(%o5)
(%i6)
asin (x) x ·
−
2
√
1 − x2
2
integrate(x^2/sqrt(1-4*x^2), x);
(%o6)
asin (2 · x) x ·
−
16
√
1 − 4 · x2
8
3
(%i7)
integrate(1/(2*cos(x)+3), x, 0, %pi/2);
2 · atan √15
√
(%o7)
5
1
4
(%i8)
integrate(1/(x^2+2*x+2), x, -1, sqrt(3)-1);
(%o8)
π
3
5
(%i9)
integrate((2*x-x^2)^(-1/2), x, 1/2, 1);
(%o9)
π
6
6
(%i10) integrate(1/(x-1)^3, x, 2, inf);
(%o10)
1
2
(%i11) integrate(1/(x-1)^(1/3), x, 2, inf);
defint: integral is divergent.
– an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i12) integrate(%e^(-2*x), x, 0, inf);
(%o12)
1
2
(%i13) integrate(1/(x^2+1), x, minf, -1);
(%o13)
π
4
7
(%i14) integrate(1/(x-1)^(1/3), x, 0, 1);
(%o14)
2
−
3
2
(%i15) integrate(1/(x-1)^3, x, 0, 1);
defint: integral is divergent.
– an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i16) integrate(1/(x*sqrt(log(x))), x, 1, %e);
(%o16)
2
8
(%i17) integrate(x*%e^(-x), x, 0, inf);
(%o17)
1
9
(%i18) integrate(x/(1+2*x^2), x, 0, inf);
defint: integral is divergent.
– an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i19) integrate(x/(1+2*x^2)^(3/2), x, 0, inf);
(%o19)
1
2
10
(%i26) integrate(x^2/(x^5+1), x, 1, inf);
p
(%o26)
2·
√
5 + 10 · atan
4·
√
(
√
5+5)·
√
2· 5+10
p
20
√
−
5
(%i27) integrate(x^2/(x^5+1), x, 0, inf);
3
2·
√
5 + 10 · atan
20
√
(
√
5+5)·
√
2· 5+10
20
+
log
√
5 + 3 lo
√
+
4· 5
(%o27)
π
5 · sin
3·π
5
(%i29) integrate(1/(1+sqrt(x)), x, 0, inf);
Z ∞
1
√
(%o29)
dx
x
+1
0
Ei suppene; ykkösestä alkaen 1<sqrt(x) eli integroitava on > 1/(2sqrt(x)).
11
(%i34) integrate(1/sqrt(9+x^2), x);
(%o34)
x
asinh
3
(%i35) integrate(1/sqrt(x^2+2*x+10), x);
2·x+2
(%o35) asinh
6
(%i36) ratsimp(%);
(%o36)
asinh
x+1
3
12
(%i37) integrate(x^3/sqrt(9+x^2), x);
√
p
x2 · x2 + 9
(%o37)
− 6 · x2 + 9
3
(%i38) integrate(sqrt(9+x^2)/x^4, x);
(%o38)
3
x2 + 9 2
−
27 · x3
4
13
(%i39) integrate(1/(a^2-x^2)^(3/2), x);
(%o39)
a2
·
√
x
a2 − x2
(%i40) integrate(1/(1+cos(x)+sin(x)), x, 0, %pi/2);
Z π2
1
(%o40)
dx
sin
(x)
+
cos
(x) + 1
0
(%i41) integrate(1/(1+(1-t^2)/(1+t^2)+(2*t)/(1+t^2))*(2/(1+t^2)), t, 0, 1);
(%o41)
log (2)
14
14.1
(%i48) integrate(x/(1+x^2), x, minf, inf);
Principal Value
(%o48)
0
(%i49) integrate(x/(1+x^2), x, 0, inf);
defint: integral is divergent.
– an error. To debug this try: debugmode(true);
14.2
(%i50) integrate(x/(1+x^4), x, minf, inf);
(%o50)
0
(%i51) integrate(x/(1+x^4), x, 0, inf);
(%o51)
5
π
4
15
(%i53) integrate(1/(sqrt(x)+x^2), x, 0, inf);
Z ∞
1
√ dx
(%o53)
2+
x
x
0
(%i54) integrate(1/(sqrt(x)+x^2), x, 0, 1);
Z 1
1
√ dx
(%o54)
2
x
0 x +
Arviointi: kummallakin välillä [0,1] ja [1, inf] löytyy majorantti, jonka epäol.
integraali suppenee; välillä [0,1] majorantti on 1/sqrt(x) ja muualla 1/x^2.
6