MAA153 Linear algebra academic year 2016/17
Exercises in class – Set 3 – Linear transformations
1.
Let F , G and H be three transformations from the
linear space of all vectors parallel with a plane to itself.
Furthermore, let F (e1 ) = G(e1 ) = H(e1 ) = w1 and
F (e2 ) = G(e2 ) = H(e2 ) = w2 , where e1 , e2 is an basis.
In the adjacent figure, the images of the vector u =
e1 − 2e2 are sketched, and it is known that only one of
the three transformations is linear. Which of the three
is the linear one?
2.
Find the linear operator F which rotates the quadrat with vertices at the points
(1, 0), (0, 1), (−1, 0) and (0, −1) one eighth revolution in the positive direction
around the origin. State the matrix of the operator relative to the standard basis
e1 ,e2 . What is the result of two rotations, one after the other?


1 1 3
The linear operator F : R3 → R3 has in the standard basis the matrix 1 2 5.
0 2 4
Find the image and the kernel of F , and a basis for each space.
3.
4.
A triangle has its vertices at the points P : (2, 1, 5), Q : (3, 0, 1) and R : (0, 1, 6),
where the coordinates are given in an orthonormal system. Find the vertices of the
mirror image of the triangle when reflecting in the plane π : x + 3y − z = 0.
5.
Construct a matrix which defines a linear transformation F : R4 → R3 with
ker(F ) = span{(1, −1, 3, 2), (1, 0, 1, −1)} and im(F ) = span{(2, −1, 3), (1, 3, 1)}.
6.
A linear operator F projects vectors along e1 + 2e2 + e3 on the subspace
M = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + 2x2 − x3 = 0}
of R3 . Find the matrix of F relative to the basis e1 , e2 , e3 .
7.
The linear transformation F : R5 → R3 is in the standard bases defined by
F (u) = (2x1 +3x2 +x3 +12x4 +3x5 , −2x1 +x2 −5x3 −4x4 +x5 , 3x1 +4x2 +2x3 +17x4 +4x5 )
8.
where u = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ). Find a basis for each of the image of F and the kernel
of F , and state the dimensions of the two spaces. Finally, find the real numbers a
for which the image of F contains the vector (9 − a, 1 + 3a, 13 − 2a).




0 1 0
1 0 1
Can the matrices A = 1 0 1 and B =  1 2 0 by a suitable choice of
1 2 3
−1 0 3
bases be the matrices of the same linear operator F : R3 → R3 ?
9.
Let F : E → E be a linear operator which relative to an orthonormal basis has the
matrix
√ 
√
2
1
−
√
√3
1
√ √ 2
1
3 .
6
2 −2
0
Prove that the matrix is orthogonal and find its inverse. Is F an isometric transformation?
MAA153 Linjär algebra läsåret 2016/17
Lektionsuppgifter – Omgång 3 – Linjära avbildningar
1.
Låt F , G och H vara tre avbildningar från det linjära
rummet av alla vektorer parallella med ett plan till sig
självt. Låt vidare F (e1 ) = G(e1 ) = H(e1 ) = w1 och
F (e2 ) = G(e2 ) = H(e2 ) = w2 , där e1 , e2 är en bas.
I figuren intill är bilderna av vektorn u = e1 − 2e2
skissade, och det är känt att endast en av de tre avbildningarna är linjär. Vilken av de tre är den linjära?
2.
Bestäm den linjära operator F som vrider kvadraten med hörn i punkterna (1, 0),
(0, 1), (−1, 0) och (0, −1) ett åttondels varv kring origo i positiv led. Ange avbildningens matris med avseende på standardbasen e1 ,e2 . Vad är resultatet av två
vridningar, den ena efter den andra?
3.
Den linjära operatorn F : R3 → R3 har

1
1
0
i standardbasen avbildningsmatrisen

1 3
2 5 .
2 4
Bestäm värderummet och nollrummet till F , och en bas för vardera rummet.
4.
En triangel har sina hörn i punkterna P : (2, 1, 5), Q : (3, 0, 1) och R : (0, 1, 6),
där koordinaterna är givna i ett ON-system. Bestäm hörnen för spegelbilden av
triangeln vid spegling i planet π : x + 3y − z = 0.
5.
Konstruera en avbildningsmatris som definierar en linjär avbildning F : R4 → R3
med N (F ) = span{(1, −1, 3, 2), (1, 0, 1, −1)} och V (F ) = span{(2, −1, 3), (1, 3, 1)}.
6.
En linjär operator F projicerar vektorer längs e1 + 2e2 + e3 på underrummet
M = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + 2x2 − x3 = 0}
till R3 . Bestäm matrisen för F i basen e1 , e2 , e3 .
7.
Den linjära avbildningen F : R5 → R3 är i standardbaserna definierad enligt
F (u) = (2x1 +3x2 +x3 +12x4 +3x5 , −2x1 +x2 −5x3 −4x4 +x5 , 3x1 +4x2 +2x3 +17x4 +4x5 )
8.
där u = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ). Bestäm en bas för vardera av F :s värderum och F :s
nollrum, och ange dimensionerna av de två rummen. Bestäm slutligen för vilka
reella a som värderummet innehåller vektorn (9 − a, 1 + 3a, 13 − 2a).




0 1 0
1 0 1
Kan matriserna A = 1 0 1 och B =  1 2 0 genom ett lämpligt val av
1 2 3
−1 0 3
baser vara matriserna för en och samma linjära operator F : R3 → R3 ?
9.
Låt F : E → E vara en linjär operator som i en ON-bas beskrivs av matrisen
√ 
√
2
1
−
√3
√
1
√ √ 2
1
3 .
6
2 −2
0
Visa att avbildningsmatrisen är ortogonal och bestäm inversen. Är F en isometrisk
avbildning?