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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
The metric of Space-Time ................................................................................................................... 5
The redshift ......................................................................................................................................... 6
Distances ............................................................................................................................................. 7
Angular Size........................................................................................................................................ 8
The Volume......................................................................................................................................... 9
How to compute ω............................................................................................................................... 9
The scale parameter R ....................................................................................................................... 10
Time scales........................................................................................................................................ 11
#
$
$
%&Λ' """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
2.1 General characteristics....................................................................................................................... 12
"
The solution of R and t in parametric form ....................................................................................... 12
2.3 The Hubble and deceleration parameters .......................................................................................... 14
2.4 Relation between ω and ψ ................................................................................................................. 14
"
Expressing ψ in the observables q0 and z ......................................................................................... 14
"( The geometric distance...................................................................................................................... 15
2.7 The co-moving volume...................................................................................................................... 16
2.8 Time Scales ....................................................................................................................................... 17
2.8.1
The look-back time τ ............................................................................................................... 17
2.8.2
The age of the Universe (t0) expressed in H0 and q0................................................................. 18
)
#%
% ' Λ≠ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
3.1 Introductory Remarks........................................................................................................................ 20
3.2 The general solution .......................................................................................................................... 21
3.3 H0, q0 and t0 in terms of the parameter A........................................................................................... 23
3.4 H, q and τ in terms of A and z ........................................................................................................... 23
3.5 The geometric distance and volume elements ................................................................................... 26
*
%
%+
≠ Λ≠ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ,
4.1 Zero-density model with q0 > 0 ........................................................................................................ 28
4.2 The Lemaître model: Λ>0 and k=+1 ................................................................................................. 30
- &. $
$/ %
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" )(
A.1 The Metric............................................................................................................................................. 36
A.2 The Einstein Equations ......................................................................................................................... 36
A.3 General Relations.................................................................................................................................. 37
- 0&
#
$
$
% Λ' """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ),
B.1 General Relations (q0 ≥ 0) .................................................................................................................... 38
B.2 k = −1; 0 ≤ q0 < 1/2............................................................................................................................... 39
B.3 k = +1; q0 > 1/2..................................................................................................................................... 40
B.4 k = −1; q0 = 0......................................................................................................................................... 40
B.5 k = 0 ; q0 = 1/2....................................................................................................................................... 41
B.6 k = +1; q0 = 1 ........................................................................................................................................ 42
- 1& #%
% ' 2 Λ 3 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *)
- 4& 5 %
6
%"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" **
D.1 Zero-Density Model with q0 > 0 ........................................................................................................... 44
D.2 The Einstein model ............................................................................................................................... 45
D.3 The De Sitter model .............................................................................................................................. 45
D.4 The Lemaître model.............................................................................................................................. 46
2
.
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H
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-
4"
1.1 The metric of Space-Time
! %
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$
7: % $
ds 2 = c 2 dt 2 − R 2 (t )
$
7 $
&
dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2θdφ 2
1+
kr 2
4
2
θ φ
/%
%%
/ ;'; "
$
/I
2
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$
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θ φ
7$
"
$
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/
<
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7
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2
'
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ω
sin ω =
sinh ω =
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k
$
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'−
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r
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1−
4
$
$
/
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$
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2
2
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→
$+
ds = c dt − R (t ){dω +
2
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r
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2
$
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r
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1+
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#
$
2
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-"
' "
++
sin kω
k
$
&
2
(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )}
$ + + %% %+
%% +
"
1.2 The redshift
# $
$
1
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/
;
+ %%/
1+ z =
.
&
ω =c
" +
;
$$
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$
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$
$
"
R0
R1
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'
ω
$
-
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t0
dt
t1 R
6
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%
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$
$
"#
+
+
&
t0 + ∆t0
dt
R
ω = c
t1 + ∆ t1
∆ G∆ ' ; G; " 0
%% +
&
1+ z =
∆
ν ∝ G∆
%
ν em R0
=
ν obs R1
1.3 Distances
!
√
%
+
ωG √ " 6
+
+
+ +
/
+
/
!
%
+
@
% /
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"
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4
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"
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" ()77 ( "
%%+
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$
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4 +
/
%
%
" !
&
A=
π 2π
D 2 sin(θ )dθdφ = 4πD 2
0 0
D +
$
1
"
$
A=
π 2π
R
2
0
sin k ω
k
0 0
+
%
S=
% %
&
7
ω
/ +
2
sin θ ⋅ dθ ⋅ dφ = 4πR
2
0
sin k ω
2
k
"
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$
+
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/&
P
P
=
.
A 4πR02 sin( k ω ) / k
1% %
$
J√
%
ωKG√
+
%%
"
1
We put the observer at ω and the source at zero, but in the end put back the observer at zero; this can be
done because space-time is homogeneous and isotropic
7
:
%∆
$
+
" 1 %%ε
$
$
ε $ G∆ $"
#
ν / 'ν $G B<
5
/
' ν$
$
&
+
ε / ' ε $G B< "
$/
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$
.
Pobs = ε obs ×
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%%
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%+
"
%∆ $2 / ∆ $ ' ∆ / G B<
B< $ %
%"
FF /
H
H +
$ %-
&
n
= Pem /(1 + z ) 2 .
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#
%% &
S=
Pem
⋅
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:
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4
&
D = (1 + z ) R0 rg
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$
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ν
/
/ %$
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2
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+
+
%-
/
ν B< "
$
B<
+
/
/
%-
1.4 Angular Size
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$ %
+
θ
+
0
$
0
$
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%
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0+
- $ %
$
+
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/
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7$
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$
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"
θ
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$
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%%
' ω' φ'
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9
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ω θ+∆θ φ "
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" :
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9
' −9 ' − ;
∆θ
&
8
(1 + z ) L
.
R0 rg
∆θ =
:
$
G B<
θ ' ;
∆θ ' 9G θ $ $/
$ % 5'.G*π4
R0 rg = (1 + z )d θ =
dθ =
+
%% +
&
D
(1 + z )
D
(1 + z ) 2
1.5 The Volume
7$
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$
$
/
-
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%$
" "
%$
dV (ω ,θ , ϕ ) = R0 dωR0
sin kω
ω θ
!
ω
V (ω ) = 4πR
3
0
sin kω
k
0
+
%$
"# $
k
dθ R0
sin k ω
k
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$
1
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7$
%
" +
%
%$
&
sin θdφ
ω&
%$
2
dω
ω
$ %
$
%%
<
+
G < <"
+ ω' ω < 2
%
1.6 How to compute ω
9
/
θ
ω =c
t0
t1
+
!+
$
φ" 5
$
' +
/
%
-
dt
R (t )
ω
%
<"
' "
ω'ω D
7
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-
$
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"
D
+
<
$
+
D
9
1.7 The scale parameter R
:
%
$
@
+
%; G; ' B< "
+
!
%
;';
&
• 2
3kc 2 3 R
8πGρ = 2 + 2 − Λ
R
R
• 2
••
2R R
kc 2
8πG 2 = −
− 2 − 2 +Λ
R
c
R
R
p
!
%% +
%
&
d
p dR 3
( ρR 3 ) + 2
=0
dt
c dt
+
ρ
@
$ $
$
!
$
+ ρ
+
7<
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∝ ργ
••
• 2
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7
"
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$ %
/
%
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@
% %
'
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Λ" %
$
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$
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%
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• 2
2
2 R3kcR
kc 2
3R
80π=G−
ρ = −2 2+ − 2 2 −+ΛΛ
R R R RR
% &
d
d
( ρR 3 ) =
( ρR 3 ) = 0
dt
dR
!$
$
D //%
$
%
$
&
•
R
H=
R
••
q=−
RR
• 2
R
10
1.8 Time scales
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$
% %
/
D //% $ /
%+
≤ D 7"
$
$
τ = 1−
$
2
/
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$
$
%
/ $
$
%"
#
7/
D
D 7
$
" " ' D
%%
$
% Λ'
$ τ
t1
t0
We see that t1=t0→τ=0, and t1=0→τ=1. The name look-back time
is obvious.
11
2 The standard (Friedmann) model: Λ=0
2.1 General characteristics
#
- %
$ %
$
%
@
$
%
/
$
$
$ %
%$
$ " 5
Λ' +
%
%
%$
$
&
• 2
8πGρ kc 2 R
= 2 + 2
3
R
R
• 2
••
R R
kc 2
2 + 2 + 2 =0
R R
R
/
$ /
@
#
$
$
% %+
@
R0 =
≥
/
%
/ +
$ %
" L
σ ρ
%+
; D
&
'σ
≥ "
k
c
2q 0 − 1 H 0
'± " !
•
•
•
Λ'
%% +
'B → >M
' → 'M
'− → ≤ <M
The solution of R and t in parametric form
%
#
%
+ +
;'; ψ
; $ $/
•
R=
dR dt
dψ dψ
$
7@
$
"!
+ %%
+
$
FF
% $ H
H
' ψ"
%
%ψ
&
−1
2
But negative pressure now has become a definite possibility, since the Quintessence models have been
proposed. I should get around discussing these too.
12
dt
R=
dψ
••
−2
d 2 R dR / dψ d 2 t
−
dψ 2 dt / dψ dψ 2
G ψ ' ;G +
dR
−
dψ
2
−2
d 2R
R + kR 2 = 0
2
dψ
%
R=
&
a
(1 − cos kψ ).
k
5
t=
' ;G
ψ&
a
sin kψ
ψ−
.
kc
k
%
•
•
•
&
%
%% &
'− +
; '− '
'− '
#
'B +
; 'B '
'B '
#
' +
#
- '
-G '
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ψ− K
G J
ψ −ψK
&
J−
ψK
G Jψ−
ψK
+
√ ψ ' − ψG
√ ψ G√ ' ψ B ψ)G(
$
+ %%/ <
+
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&
; ' ' ψG
' ' ψ)G (
!
+
%
$
;
/
%
GD 2
+ $
+ % " @%$
ψ+
R ( k = 0) =
-
62 / 3 1/ 3 2 / 3 2 / 3
a c t ∝ t 2/3
2
+
GD " :
c
R ( k = 0) =
H0
%$
' )G*
t
t0
/
+
D ' G)
%% +
&
$
; '
2/3
13
2.3 The Hubble and deceleration parameters
=
D
H=
/
%
%
&
c dR k 2 c sin( kψ ) / k
=
a (1 − cos kψ ) 2
R 2 dψ
$ $
q=
1
$
1
⇔ cos kψ =
1 + cos kψ
- %
' +
#
%
1− q
q
'−
%
/
G)
D ' ' G)
&
'B
%$
→
' ≡ G "
%
/
+ %%
/ +
;
$ %
"0
/
"
1
$
"
&
2.4 Relation between ω and ψ
$ % %
% ψ" 5
% $
ω =c
t0
dt
=
t1 R
ψ0
ψ1
/ +
G;' ψ G
1
ω
% 7$
"
+
+
&
dψ
&
ω = ψ 0 −ψ1
ω
+
;' +
ψ' "
ψ
$
/
ω'
<
+ %ψ
7
/ %
&ω $
%
Expressing ψ in the observables q0 and z
√ ψ ' 7 G
5
+
ψ
/
-
$
;2
; '; G B< +
&
cos kψ 0 + z
1+ z
≠ G &
cos kψ 1 =
14
cos kψ 1 =
1 − q 0 + q0 z
q 0 (1 + z )
:
% $
$ % +
%
%
% /
+
' +
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% $
%
Λ≠ "
/
$
%
#
/%$ & ω
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%%
"
$
%% %
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$
/
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7
/ +
D
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%$
"
%$
%
$ %
%
%
%" !
The geometric distance
N
/
rg =
%
sin k (ψ 0 − ψ 1 )
k
:
+%
rg =
2q 0 − 1
k
√J
/
rg =
1/ 2
=
+
&
k
1
"
/
$
&
q0 z + 1 − q 0 + (q 0 − 1)(2q 0 z + 1)1 / 2
q 02 (1 + z )
7 G K' G ; D &
c q 0 z + 1 − q 0 + (q 0 − 1)(2q 0 z + 1)1 / 2
R0 H 0
q 02 (1 + z )
$
$ %
%%
%
$/
$ %
%
%$
→ $ %% /
/
$
< "
%% 8OO /
% .
88O " #
+
+
$/ &
' 7 B <G
0' 7
3
+
sin kψ 0 cos kψ 1 − cos kψ 0 sin kψ 1
$
+
√ ω G√
'
8, " 5
#
$
%+
$ -
+
%
H
%
<B
G
G
%
/
$ %
$
/
%$
$
% 8 H
<" ! %%
)"
H
4 ';
$ %
B<
"
Mattig's formula was derived without any reference to particular values of k, or q0, and indeed, it is valid for
all k and all q0 ≥ 0. For q0 = 0 we can take the limit by expanding the square-root term in powers of q0z up to
the second order. Zero- and first order terms in q0 in the numerator cancel exactly, so the limit exists.
15
:
+
%
+
D=
+
$
A' B
+
"!
+
4'
$
%
GD < B<G
1− q
cz
1 + 2 0 (1 + q 0 z − Q )
H0
q0 z
% %
%
$ %&
%
D=
−0 ∝ < B1< &
% / + %%/
< G +
&
$+
B <BA G B <BA +
%%
%%H
z (1 − q0 )
cz
1+
H0
1 + q 0 z + (1 + 2q 0 z )1 / 2
2.7 The co-moving volume
%
V (ω ) =
$ %
%$
/
$$
%&
2πR03
sin 2 k ω
ω−
k
2 k
% %
ω
+
$
D
<" %
%
+
% +
%$
- % %
/
/% !
+
/%
$ % +
/
$/
$ &+
$
%
% %
$
% % ω
$ %
1
"*
"
%
/
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$
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•
'
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ω ' <B< G G B<
- '
% J√ - B B-K&
:
%
ω = ln(1 + z )
$ $
3
c
V ( z ) = 2π
H0
dV
c
= 4π
dz
H0
3
$
%
P
G
ω'
ω
ωQ&
1 (1 + z ) 4 − 1
− ln(1 + z )
4 (1 + z ) 2
1 2 2
z )
2
(1 + z ) 3
(1 +
16
•
' G
'
@
7
5
$
%"
%$
$
ω
$ %&
4
V (ω ) = πR03ω 3
3
=
H
{
$ %
rg = ω = 2 1 − (1 + z ) −1 / 2
:
}
&
3
32
c
V (z) = π
3
H0
3
dV
c
= 16π
dz
H0
•
"=
1
1−
(1 + z )1 / 2
{(1 + z)
1/ 2
3
− 1}
2
(1 + z ) 5 / 2
ω'
ω
3
c
V ( z ) = 2π
H0
arcsin
3
dV
c
= 4π
dz
H0
7
ω
G
&
z
z (1 + 2 z )1 / 2
−
1+ z
(1 + z ) 2
z2
(1 + z ) 3 (1 + 2 z )1 / 2
In all other cases we use ω and V(ω).
2.8 Time Scales
2.8.1 The look-back time τ
By definition
τ=
t 0 − t1
t0
!
$
τ = 1−
$ %<
ψ 1
"
ψ 1 − sin kψ 1 / k
ψ 0 − sin kψ 0 / k
τ
' → τ'
/ +
' → τ' " # $
%
17
•
ψ
%$
+
/% D
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'
G
/
/
' "
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τ=
$
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τ
-
ψ
$
"
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/
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/
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z
1+ z
$
'
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$
%&
'
$ %
R0 t 0
= = 1+ z
R1 t1
%
•
$$
%
τ"
-
' M" # $
1
" &
3
ψ
τ =1− 1
ψ0
&
τ = 1−
•
1
(1 + z )3 / 2
'B "
ψ ' 7
ψ B< G B< '<G B<
τ =1−
G
z
z
arccos
− 1−
1+ z
1+ z
π
2
ψ ' πG "
'
&
2
%
ψ '
1/ 2
−1
2.8.2 The age of the Universe (t0) expressed in H0 and q0.
+
D
$
ψ 1
"
")
&
q
t0 H 0 = 0
k
k
2q 0 − 1
3/ 2
(ψ 0 − sin kψ 0 / k )
18
•
' "
% %
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; ' GD
t0 H 0 = 1
/
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→
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$ %"
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' G "N
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1
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&
t0 H 0 = 2 / 3
•
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%
t0 H 0 =
:
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π
2
$ %+
'
' &
−1
$ %
#
$
$
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$ % "
19
3 Flat Models (k=0, Λ≠0)
3.1 Introductory Remarks
:
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$
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$ %%
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"
L
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$
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$
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$
σ ' *πNρ G )D
@
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2
$
$
&
Λ = 3H 02 (σ 0 − q 0 )
c
k
R0 H 0
2
= 3σ 0 − q 0 − 1
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$
$
$
%
/
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σ
-
Λ2
Ω
%
+
Ω ' σ
B ΩΛ '
$
%
ΩΛ ' ΛG)D " !
' "
+
/
' Ω GΩΛ"
20
Figure 1 The q0-σ
σ0 plane. The lines representing Friedmann models and flat models are drawn.
#
5
1
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1
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7 5
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ΩΛS
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'
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%
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Λ $ +
$%
% %
#
$
$
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"
3.2 The general solution
+
@
+
' &
•
8πGρ 0 R03 R 2 Λ
= 2 −
3
3R 3
R
21
•
••
R R2
2 + 2 =Λ
R R
!
/
R = (εA
%
)
∗ 1/ 3
R0
%
sin γ ∗ t
8πGρ 0
−Λ
γ∗ =
1
− 3Λ
2
N
/
•
•
&
2/3
ΛS → ε'B 2 % &
1
)" +
Λ S & ΛG)D ' 7 σ
Λ3 & σS G
:
Λ3
$ %
%
$ %
Λ3 " :
+
ε
! Λ3 → ε'−
A∗ =
$
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&
σ3 G + % T' σG σ− 3 "
% − T' σG 7 σ 3 "
% %
+ %% /
-
%
$
D
#
"
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τ
"
+
%% / % +&
$
$
$
+
σ
%
3G
%
%
+
+ + %% %
3G
&
R = A1 / 3 R0 sinh 2 / 3 (γt )
D
' − T&
+
A=
8πGρ 0 Ω M
=
Λ
ΩΛ
γ =
1
3
3Λ = H 0 Ω Λ
2
2
5
%
;
$
%% $
$
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7
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$
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$
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22
+
%% +
%
%
$
%
%
$ %"
%
$
ΩΛ' G)
&
+
' G "
1/ 3
1
R=
2
$
%
R0 sinh 2 / 3 (
$
+
/
%
$
/
-
" L
%
/ $
+
%
$
% /% & Ω ' G)
$
1
$
%"
3
H 0t)
2
3.3 H0, q0 and t0 in terms of the parameter A
# $
γ
Λ3 /
%
γ '
− G
Λ
Λ
(1 + A)1 / 2 =
3
3Ω Λ
H0 =
q0 =
% %
+ $$
'J B G KG &
1 + q0
1 A−2
1
= (1 − 3Ω Λ ) ⇔ A = 2
2 A +1
2
1 − 2q 0
t0 H 0 =
1 + Ω1Λ/ 2
2
2
(1 + A)1 / 2 ln{ A −1 / 2 + (1 + A −1 )1 / 2 } = Ω −Λ1 / 2 ln
3
3
Ω1M/ 2
&
#
H0 =
Λ
2
q 0 = −0.5
t 0 H 0 = 1.40 × 2 / 3 = 0.933
→∞
+
% D → ,πNρ G)
→ G
D → √ ΛG)
→−
D →∞ +
1
*" " 5 $ %
$ %
!
/
%
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7 5
D → G)" #
/
/
+
→
+
5
ΛS "
3.4 H, q and τ in terms of A and z
23
%
$
7/
%
+
$ τ<2
Λ3 &
$
%-
D<
<
(1 − 2q) H 2 = Λ
H ( z) =
Λ
1 + A(1 + z ) 3
{1 + A(1 + z ) 3 }1 / 2 = H 0
3
1+ A
1 − 2q ( z ) =
1/ 2
3
1 + A(1 + z ) 3
L
$
%
< ' ' " ,O"
#
% 7/
/
$ $
+
$
"!
$ +
%+
+
%
' "
+
%
<
+
2
&
3
1
ln[{1 + A(1 + z ) 3 }1 / 2 ] − ln(1 + z ) − ln A
2
2
τ = 1−
1
ln{1 + (1 + A)1 / 2 } − ln A
2
Figure 2 The look-back time for some flat models with positive cosmological constant. The full lines
represent models with: A=0.1, 0.5, 1.0. The A=0.5 model is close to the Concordance model.
Also shown are standard q0 = 0 and q0 = 1/2 models (lower and upper full lines respectively).
24
25
#
' " &
H ( z) = H 0
1
1 + (1 + z ) 3
2
3
2
1/ 2
1
1 − (1 + z ) 3
4
q( z ) = q 0
1
1 + (1 + z ) 3
2
<'∞ → " /
:
'− " "
τ< ' "
%
ΛS "
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%
$
τ
$ %
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%% +
$
+
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" "
"
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$
"
$
B<
$
%
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"
3.5 The geometric distance and volume elements
0
$
%
$
"!
t0
dt
rg = c
=c
R
t1
1
$
rg =
!
rg
t0
t1
$
&
dt
A R0 sinh 2 / 3 γt
1/ 3
$
&
%
%
+
c
(1 + A)1 / 2
R0 H 0
<
B< '; G; +
$
z
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{
1
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A
(
1
+ ζ ) 3 }1 / 2
0
%
→∞ @
74 5
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c
1
2{1 −
}
R0 H 0
(1 + z )1 / 2
→ &
26
c
z
R0 H 0
rg
$
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<
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$
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G < ' *π; )
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%
<"
Figure 3: The geometric distance as a function of redshift, for A=0.1,0.5, 1.0 and 2.0. For comparison
also the Friedmann models with q0=0 and 0.5 are shown
27
4 A selection of Models with k≠
≠0, Λ≠0
4.1 Zero-density model with q0 > 0
%
$
%% +
&
$ %%
%
$
$ %
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σ '
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1
Λ S "
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$
"
σ
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$
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$
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σS
+
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3kc 2 3 R 2
+ 2 −Λ =0
R2
R
•
••
2 R R 2 kc 2
+
+
−Λ =0
R R2 R2
5
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+
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1
3
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Λ
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•
••
R R − R2 + c2 = 0
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R0 =
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1
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1/ 2
( q 0 + 1) H 0
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R=
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$
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c
sin( H 0 q 10 / 2 t )
H 0 q 10 / 2
+
sin( H 0 q
/
1/ 2
0
q0
t) =
q0 + 1
&
1/ 2
28
D //%
%
$
&
H = H 0 q 10 / 2 cot( H 0 q 01 / 2 t )
&
q = tan 2 ( H 0 q 10 / 2 t )
5 $
$$
•
$
•
•
%
$ -$ $ GD
G "
' πG D
% $ $
'
+
$/
&
!
R=
&
%
1
(q0 + 1)
1/ 2
%
τ = 1−
%
' G √
/
D ' πG*"
-G
-'%
/
-G
% %
-G '
+
&
-G
-B
c {(1 + q 0 )(1 + z ) 2 − q0 }1 / 2 − (1 + z )
R0 H 0
q0
→ +
%
Λ∝ σ − → " !
$ %
% 7/
$
arcsin
D
'− & ;
<
$
G
c
[cos{H 0 q 10 / 2 (t − t 0 )} + q 0−1 / 2 sin{H 0 q 10 / 2 (t − t 0 )}]
H0
$ %
- ' % J√ - 7 B-K
rg = sinh ω =
%
' πG D
G
%
H
/
$ %
' $
%
/ +
%
$
%" L
% /
σ≡
%$
→
/
"
&
q 10 / 2
( q 0 + 1)1 / 2 (1 + z )
q0
arcsin
q0 + 1
1/ 2
&
t0 H 0 =
arc tan q 10 / 2
q 10 / 2
$ %
$
%"
29
4.2 The Lemaître model: Λ>0 and k=+1
0
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•
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9 $ U
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"
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kc 2
=Λ
R2
!
,πNρ '
%% +
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G;
'
c
Λ
kc 2
=Λ
R2
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1
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$
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R = R0 e H 0 ( t − t 0 )
H=
Λ
3
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3
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αΛ
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"
!
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$
ρ@
ρ;) '
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α/
-
$ &
Λ 3
( x − 3 x + 2α )
3x
Λ
(x3 − α )
3x 2
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•
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$
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74 5
74 5
$
$
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x = (3αΛ )1 / 3 t 2 / 3
&
H =
2
3t
q = 1/ 2
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S- S
- 33 +
•2
x =
1 2
Λx
3
31
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Λ
3
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q = −1
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1
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- 33
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$
' "5
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2
•2
•2
x − x min = Λ (
x 2 2α
Λ
+
− α 2 / 3 ) ≈ ( x − α 1/ 3 ) 2
3 3x
3
&
32
•2
x ≅ Λ (α 2 / 3 − 1) +
/
Λ
( x − α 1/ 3 ) 2
3
-'α
%
G)B
0 7
$
+
A = 3 (α 2 / 3 − 1)1 / 2
B=
Λ
3
1/ 2
5
FF
∆z =
+
/ +
&
R0 − R1 x − α 1 / 3
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R1
α 1/ 3
%%
•2
x =
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5
H
H
Λ x3
2α
( −x+
)
3 3
3
Λ
∆z
(t − t m )} =
(1 − α − 2 / 3 ) −1 / 2
3
3
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−
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5
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34
35
Appendix A: Parameters and symbols
used
General Symbols
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$
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% 7/
$
− G
% $
%
%
<
<
#
$
$
% Λ'
A.1 The Metric
ds 2 = c 2 dt 2 − R 2 (t ) dω 2 +
• ω&
• θ&
• φ&
• ; &
L"0"
sin kω
k
2
( dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )
% 7$
%
7$
%
7$
%
$
7$
-
%%
%- "
A.2 The Einstein Equations
• 2
kc 2
R
8πGρ = 3 2 + 3 2 − Λ
R
R
••
• 2
p
R R
kc 2
8πG 2 = −2 − 2 − 2 + Λ
R R
c
R
•
•
•
•
•
ρ&
&
Λ&
D&
&
$
2+
$ %
D //%
%
σ ' *πNρG )D
2 %
%
%
$
'
D'
$
;G
G;
' −J ;G
;KG ;G
36
A.3 General Relations
•
•
•
•
•
•
B< ' ; G; &
ω'
G;
$
'
√ ωG√ &
4 ' B< ; &
∆θ ' B< 9G ; &
ω ' *π; ) P J√
&
ωKG√
Q ω
$
ω
%
$
%$
%
%$
<
37
Appendix B: The Friedmann model
(Λ
Λ=0)
5
1
$
$ % "
B.1 General Relations (q0 ≥ 0)
a
(1 − cos kψ )
k
R=
t=
a
sin kψ
(ψ −
)
kc
k
cos kψ 0 =
1 − q0
q0
cos kψ 1 =
cos kψ 0 + z
1+ z
ω = ψ 0 −ψ 1
R0 =
H=
q=
1/ 2
k
2q 0 − 1
k 2 c sin kψ / k
⇔ H = H 0 (1 + z )(1 + 2q 0 z )1 / 2
a (1 − cos kψ ) 2
1
1 + cos kψ
rg =
c
H0
⇔ q = q0
1+ z
1 + 2q 0 z
c q0 z + 1 − q0 + (q0 − 1) (2q0 + 1)
R0 H 0
q02 (1 + z )
∆θ = 57.3
V (ω ) =
(1 + z ) L
(deg)
R0 rg
2πR 3
sin 2 k ω
ω−
k
2 k
38
dV dV dω
=
dz dω dz
τ = 1−
ψ 1 − sin kψ 1
ψ 0 − sin kψ 0
t0 H 0 =
k 3 / 2 q0
sin kψ 0
ψ0 −
k ( 2q 0 − 1) 3 / 2
k
B.2 k = −1; 0 ≤ q0 < 1/2
R = a (cosh ψ − 1)
t=
a
(sinh ψ − ψ )
c
coshψ 0 =
1 − q0
q0
coshψ 1 =
coshψ 0 + z
1+ z
ω = ψ 0 −ψ 1
R0 = (1 − 2q 0 ) −1 / 2
H=
q=
c
H0
c
sinh ψ
a (1 − coshψ ) 2
1
1 + coshψ
V (ω ) = 2πR03
1
sinh 2ω − ω
2
dV
dω
= 2πR03 (cosh 2ω − 1)
dz
dz
τ = 1−
sinhψ 1 − ψ 1
sinhψ 0 − ψ 0
39
t0 H 0 =
q0
(sinhψ 0 − ψ 0 )
(1 − 2q 0 ) 3 / 2
B.3 k = +1; q0 > 1/2
R = a (1 − cosψ )
t=
a
(ψ − sin ψ )
c
cosψ 0 =
1 − q0
q0
cosψ 1 =
cosψ 0 + z
1+ z
ω = ψ 0 −ψ 1
R0 = ( 2q 0 − 1) −1 / 2
H=
q=
c
H0
c
sinψ
a (1 − cosψ ) 2
1
1 + cosψ
1
v(ω ) = 2πR03 ω − sin 2ω
2
dV
dω
= 2πR03 (1 − cos 2ω )
dz
dz
τ =1−
ψ 1 − sinψ 1
ψ 0 − sinψ 0
t0 H 0 =
q0
(ψ 0 − sin ψ 0 )
(2q 0 − 1) 3 / 2
B.4 k = −1; q0 = 0
R = ct
40
ω = ln(1 + z )
H = t −1
1 2
z
2
rg =
1+ z
z+
3
c
V ( z ) = 2π
H0
dV
c
= 4π
dz
H0
τ=
3
1 (1 + z ) 4 − 1
− ln(1 + z )
4 (1 + z ) 2
( z + z 2 / 2) 2
(1 + z ) 3
z
1+ z
t0 H 0 = 1
B.5 k = 0 ; q0 = 1/2
R=
c t
H 0 t0
ω = 2 1−
H=
2/3
1
(1 + z )1 / 2
2 −1
t
3
rg = ω
V ( z) =
32
c
π
3
H0
dV
c
= 16π
dz
H0
τ =1−
3
3
1−
1
(1 + z )1 / 2
{(1 + z)
1/ 2
3
− 1}
2
(1 + z ) 5 / 2
1
(1 + z ) 3 / 2
t0 H 0 = 2 / 3
41
B.6 k = +1; q0 = 1
ω=
rg =
π
2
z
1+ z
− arccos
z
1+ z
3
c
V ( z ) = 2π
H0
dV
c
= 4π
dz
H0
τ = 1−
arcsin
3
z2
(1 + z ) (1 + 2 z )1 / 2
3
z
z
arccos
− 1−
1+ z
1+ z
π
2
t0 H 0 =
z
z (1 + 2 z )1 / 2
−
1+ z
(1 + z ) 2
π
2
2
1/ 2
−1
−1
42
Appendix C: Flat Models (k = 0; Λ > 0)
5
1
)
$
$ % "
R = A1 / 3 R0 sinh 2 / 3 γt
A=
8πGρ 0
Λ
γ =
1
3Λ
2
Λ
(1 + A)
3
H0 =
q0 =
1 + q0
1 A−2
⇔ A=2
2 A +1
1 − 2q 0
t0 H 0 =
2
(1 + A)1 / 2 ln{ A −1 / 2 + (1 + A −1 )1 / 2 }
3
(1 − 2q ) H 2 = Λ
H ( z) =
1 − 2q =
rg =
Λ
{1 + A(1 + z ) 3 }
3
3
1 + A(1 + z ) 3
c
dζ
(1 + A)1 / 2
3 1/ 2
R0 H 0
0 {1 + A(1 + ζ ) }
z
3
1
ln[{1 + A(1 + z ) 3 }1 / 2 + 1] − ln(1 + z ) − ln A
2
2
τ = 1−
1
ln{1 + (1 + A)1 / 2 } − ln A
2
43
Appendix D: A Selection of Other
Models
5
1
*
$
$ % "
D.1 Zero-Density Model with q0 > 0
ρ ≡0
R=
c
sin( H 0 q 10 / 2 t )
1/ 2
H 0 q0
sin( H 0 q
1/ 2
q0
t )=
q0 + 1
1/ 2
0
0
+
R=
Λ<0
/ +
&
c
[cos{H 0 q 10 / 2 (t − t 0 )} + q 0−1 / 2 sin{H 0 q 01 / 2 (t − t 0 )}]
H 0 (q 0 + 1)1 / 2
q0 + 1
q0
ω = arcosh
1/ 2
q +1
(1 + z ) − arcosh 0
q0
1/ 2
H = H 0 q 10 / 2 cot( H 0 q 10 / 2 t )
q = tan 2 ( H 0 q 10 / 2 t )
rg =
{(1 + q 0 )(1 + z ) 2 − q 0 }1 / 2 − (1 + z )
c
R0 H 0
q0
1
V (ω ) = 2πR03 ( sinh 2ω − ω )
2
arcsin
τ = 1−
q 10 / 2
(q0 + 1)1 / 2 (1 + z )
q0
arcsin
q0 + 1
1/ 2
t 0 H 0 = q 0−1 / 2 arctan q 10 / 2
44
D.2 The Einstein model
k = +1
Λ>0
c
RE =
ρE =
•
Λ
Λ
4πG
••
R=R=0
H =q≡0
D.3 The De Sitter model
k =0
Λ>0
ρ ≡0
R = R0 exp{H 0 (t − t 0 )}
ω=
c
z
R0 H 0
Λ
3
H=
q ≡ −1
rg =
c
z
R0 H 0
V (z) =
4π c
3 H0
3
z3
45
D.4 The Lemaître model
k = +1
Λ>0
x=
R
RE
α = x3
ρ
ρE
@
•
x2 =
••
x=
&
Λ 3
( x − 3 x + 2α )
3x
Λ
(x3 − α )
2
3x
/
•
- SS α
/
@
74 5
$
%"
1/ 3
x=
3α
2
H=
2 −1
t
3
q=
•
G)
&
Λ1 / 2 t 2 / 3
1
2
- 33 α
G)
/
4 5
$
%"
x = x 0 exp{H 0 (t − t 0 )}
H0 =
Λ
3
46
q ≡ −1
•
-≈α
G)
#$
1 #&
x ≈ α 1 / 3 + (α 2 / 3 − 1)1 / 2 sinh
Λ
(t − t 0 )
3
&
∆t ≈ Λ−1 / 2 | {ln(1 − α −2 / 3 ) |
:
$
/
%%
/
∆ →∞
α→ "
47