QUIZ #2 -­‐ SOLUTIONS 2
1)
Integrate ∫
( 4−x )/2
2
∫
( 4−x )/2
−2 −
8−x 2 −y 2
2
∫
dz dy dx x +3y
2
( 4−x )/2
2
2
2
∫
−2 −
∫ ( 8 − 2x
2
)
− 4y 2 dy dx =
( 4−x )/2
2
2
⎡
∫ ⎢⎣( 8 − 2x ) y − 3 y
4
2
−2
⎛
= ∫ ⎜ 2 8 − 2x 2
⎜
−2 ⎝
2
(
) (
y=
3
( 4−x )/2
2
⎤
dx =
⎥⎦
2
y=− ( 4−x )/2
8 ⎛ 4 − x2 ⎞
2
4− x /2 − ⎜
3 ⎝ 2 ⎟⎠
)
3
2
⎞
⎟ dx
⎟⎠
⎡ ⎛ 4 − x2 ⎞ 32 8 ⎛ 4 − x2 ⎞ 32 ⎤
= ∫ ⎢8 ⎜
⎟⎠ − 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥⎥ dx
2
⎝
⎢
−2
⎣
⎦
2
2
(
)
3
4 2
2 2
=
4
−
x
dx
∫
3 −2
Let x = 2sinu ⇒ dx = 2 cosu du
π
x = ±2 ⇒ u = ± .
2
2
(
4 2
4 − x2
∫
3 −2
)
3
2
dx =
4 2
3
π
2
∫(
−
π
2
4 − 4 sin 2 u
)
3
2
2 cosu du =
8 2
3
8 2
3
π
2
∫(
−
4 − 4 sin 2 u
π
2
π
2
∫ (
8 1− sin 2 u
−
64 2
3
64 2
3
π
2
π
2
∫
)
)
3
3
2
2
cosu du =
cosu du =
cos 3 u cosu du =
π
2
π
2
−
64 2
3
π
2
∫ cos
−
4
u du =
π
2
2
⎡1
⎤
∫π ⎢⎣ 2 (1+ cos 2u )⎥⎦ du =
−
2
π
π
⎡ π2
⎤
2
2
16 2 ⎢
du + ∫ 2 cos 2u du + ∫ cos 2 2u du ⎥⎥ =
∫
⎢
3
π
π
−
−
⎢⎣ − π2
⎥⎦
2
2
π
⎡
⎤
2
16 2 ⎢
1
π + 0 + ∫ (1+ cos 2 ( 2u )) du ⎥⎥ =
⎢
3
π 2
−
⎢⎣
⎥⎦
2
π
⎡
⎤
16 2 ⎢
π 1 2
⎥=
π
+
+
cos
4u
du
(
)
∫
⎥
3 ⎢
2 2 π
−
⎢⎣
⎥⎦
2
16 2 ⎡
π⎤
π
+
= 8 2π 3 ⎢⎣
2 ⎥⎦
5 0 4 x+4
2)
Rewrite ∫ ∫
0 −1
∫
dy dx dz in the order dz dx dy. 0
4 0 5
y
y = 4x + 4 ⇒ x = − 1 ; ∫ ∫
4
0 y
4
∫ dz dx dy −1 0