"!#$$%&('*),+.- - /10
2 34576 2 8$19 ),:$9 ;=<>+ %3.$
? @BADC(EGFIHJ8KLAMEGEONP8EOAMQ
R.N7STC(EOAVUMSTWFYXBZ[\X(]^X(AM@B_7X`@aWcbEGNCBEOA
d WMWMegfih(hkj,j,jlJnmOo7_7EGNpC(EOAGJqEG_7o:hBr d Q(AMEGEONP
Esh
HBo7N7Eutwvx:yav(v(z
{3|
w}T7~,s}7~
wDs~DD~>|
w~u¡
¢wa¡w£M¤¦I¥§w¨D©ww¥&(ª~«^}¬~«^ª (~.ª}L«¯®°7
w©u±ww¥§k²D©s¥}ª «^l¬«^sª|pBª´s³/}aw1w~D
w}wlDwl(l.}T
p up}~>
}pls
w
w¦wV¿3w
(lÀsls}¶¯pTspµº½ÁGp¾gs~/w~¦}}T7
p~V~sw~3}p
lkw7
B´
wÀB~~~\
°w|`w¶· ¶¯
w\}}
(ÂÃp~{3|p|` pw~~D}~~w
w¶}¸\pp&¹ a{3|w}~»p
wº½¼O ¾
}~~}TL}w~
w¶g¶·wLaw%
~/wĶ·w~
v
ÄÅ
Æk}TkÇÉÈ
~ʯpËGÖ
Ê^Ì×ØÈÎÍ}T~{3}|pwuÄÏ·B
~Ù Ð>¥i«^¬¡®¡Ñ±ªl¡¬ÒÓÔ
}}pÕ
u
º Ö
×ؾ7ÚÜÛOÝpÖlÞßÏÔà3áIÝÐØÙâlãäÝ`ãåàOæç
è }plàsÙé8}p,~lk/
w¶
Ö
×Ø
7{3
|p}La§V~êp(¡Ö8¬´×Ø(¥q«^ÐV¬ ¡,®¡Ñ±ª¡¬Ò&}~,Ï^Ö8×ØpÐ1ÚëÛOÝÖ.ÞìÏÔà&áÝÐØÙ1âlíäÝ`íåàOæÏ·~}TLL|p5p~}
w¶
|p,
ÅÄ¿3öÆa
ÇgºÈÖ8ʯ×ËGØkÊ^¾ÑÌ
ÈïÏ^Ö8î ×Øp³ÜÐV~w\`ðñ÷l}T~cs¨Dc§s¬
¢sa¡ò¦w}`¶Ö8~×Øñ~ ó¦ô }l}~5º Ö8×Øk¾õäô&
λ=0
λ=1
þ
þ
þ
þ
c
ÿ
c
ÿ
c
ÿ
ÿ
ø
ø
ø
ø
c
ù
c
ù
c
ù
ù
ú
ú
ú
ú
ú
c
û
c
û
c
û
c
û
û
ÿcþÿcþ ÿcþÿcþ ÿcþÿcþ ÿþÿþ ûcúûcú ûcúûcú ûcúûcú ûcúûcú ûúûú ø
ø
ø
ø
c
ù
c
ù
c
ù
ù
ýcüýcü ýcüýcü ýüýü
ø
ø
ø
ø
c
ù
c
ù
c
ù
ù
ýcü ýcü ýü
ÿcþÿcþ ÿcþÿcþ ÿcþÿcþ ÿþÿþ ûcú ûcú ûcú ûcú ûú ýcü ýcü ýü ùøcùøcùcøùcø ùcøùcø ùøùø
è }c¼BÙ&
aw`~~3| w.p
l|
~
w3Õ3V}pÀ(l7
sV}~
{3
|p}}k}
V~~/
´}
.wD
w|¶8Ï·3
7
~~D~w}}a/\}¶·µ}}É
BÏ
cÃ7Ð~D
wD¶V|Ð%|
sawÛ. ~ó~I}~8Ù/Ï
7kÐ>wãå.âB~æ}~5,ñ
kÕ&wY~~s%}Õ&~|
Õ}T| w>~s}T~|p|p,
kwp}Ãñ
w¶
|p,}kV~}
ñ}wñB|p,~wsD°w
w/} awT}Ãw
à
Convex
Not Convex
Û ìóÙÏ7Ð ã âBæï|p|pL¶¯w~D}}
I|w~>p
u|
~,
w>Õ3V}pÀ(~%Õ&lw(cw
a
(
7¶^w|~}(}
w,7
¶^}
a
wwwl
wD
w}|l} ~,p#~}T}~1p
L
`L
wÕ}
|Õ}sD|3w´¶¯w
w~D}}T.u}
%{3É|{3|a~D~wk}||a}T>pÀ.}p
w¶%¶¯
D
aw(w}kÃ
w~Ô7Õp~D~lD
wDÃw
ÅÄÆaÇgÈʯËGÊ^ÌÈ ³ ¨D§s¬¢s¡òĨV§sª²«^¬©wÒ·« §s¬
w¶gl~3
w¶7
}a~ ×ççç !× #".$ó »}~lw
w% ¦}wuB
"
"
ñÚ & )Ý ¶¯
w/~
L +
Ý
* âl~D|Ä|s & Ý 8Ú àsç
(' (' , wV|
}Tk\}u|p}c~Laº Ö8×ؾÑ:}T~/°
kw´
c}s}
¦
w¶ÉÖw¦Ø , wD|7
}a}¦|p
7
}}a~-~a sD,Õ}|Ä
wDp
}Tk~:Ï·â( âkÐVgÏ·â(à ÐVgÏÔàsà ÐVgÏÔàs âkÐV}~l
aw`
.}s}
ñ
w¶g|p>
wVp
ÅÄsÆaÇg}
Èʯ~ËGÊ^
w̶
/È |. >7{3
|}°k¨D~§w}T¬3 ¢s¡D1ò 0k(¥^¥
w¶1°~2 %pp
wY
a(|8Ï ´ÐV:}~/|p~5
w¶1w
kwY
.} Â
Õ4¶ |}TD9| }~.ÔµT~
}a) w|p
~~31w
Äa(Õ3|8DÏ }´ÀBÐ5Ú ~
7 :¶ 61
w}|~LÕµ}~}wg,~|pñ
aawB|Ï ´|BÐ1}T~}T~. ¦ê(§s¥i¤w
wÒѧV7êp¡. ~Dp7D~>
w8¶ I
X
DCDCDC DCDCDC DCDCDC DCDCDC
DCDCDCDCDCDC DCDCDC DCDCDC
DCDCDC DCDCDC DCDCDC DCDCDC
DCDCDCDC DCDC DCDC
;;;;;;<< ;
<<< ;
<<< ;;;<<<
;
;
;
;;;;;;<<< ;
;
;
<
<<< ;;;<<<
<<< ;
;
;
;;;;<<< ;
;
;
;< ;<< ;;<<
convh(X )
FEFEFE FEFEFE HGHGHG FEFEFE HGHGHG FEFEFE
FEEFFEFEEFFE HGGHHG FEEFFE HGGHHG FEEFFE
FEFEFE FEFEFE HG FEFEFE HG FEFEFE
FEFE FE FE
======>> =
>>> =
>>> ===>>>
=
=
@=> ?@?@?=
======>>> @?@?@?=
=
=
>
>>> ===>>>
=
>=>> @?=
====>>> @?=
=
=
=>> ==>>
KL
KL
L
L
LKLKLK
KL
KL
KLK
K
K
L
LKLKLK
KL
LK
L
K
LK
K
LK
L
LKLKLK
KL
KL
L
L
KLK
K
KKK LKLKK
L
LK
LK
L
K L
K LLK
L
L
MN
MN
N
N
NMNMNM
MN
MN
MNM
M
M
N
NMMNNM POPO
OP
OP
P
P
M
M
NNM
NN
ONMP
O
M
ON
O
P
MMM P
N
NM PO
OP
OP
P
MN
OP
ON
MNM
N
ONMN
OM NMNMNMNM POPOPO
PMN
M NM
NMN
AB JI
IJ
IJ
J
IJ
IJ
IJIJ
IJ
I JIJIJI
è }cÁBÙ&
awu|aT~
ÅÄ~ÆaV|ÄÇgÈ|ʯËGsÊ^8ÌÈRóQ Ï^ð(Ö8×Øp7ÐV
~4¦ó¦ôg{|p%Sñ}~w¡òkÒ·£¡ª¡ê(§s«^¬ÒÉ
w¶
ô}¶|p\p
a~p
w1p}~1Ö8×Øñó¦ô
{3s|p5.}~B¶^
DpL.
w7Dp
}a&7~/
w}¶k~ }T,pcw~LL(a5Ls\ }
~}Tk1Õ}T
ñ~c`
}Tks~/7{3
|p}ack(pLp
w &7
}aaw~D
w~¶w° ~ , Bws
7(
LpÄ:B7
}aa.w
w`¶T~ 3}Õ~L}w|ñ B(lL>Ä77
}k}a~.p
w¶\B ÏÑ
ôkÐV(|
Ï |pY¦ÐVôpÚß
wkl(|8
Ï^k(wGÏÑDô~ÐVÐwU I }¶5½wôÜô}T~ }Y~|
>~~%
w
¶awwT
`
a
wc´}T
s.}
Ä}
ws¶g}}
~~/(
w¶}L~\>(7
}aL~ 7
}k~8U } ½w7w¦
}Tk5}Yôìw´7.Õ3D}´w~,
¼
`_`__`_`__`_`__`_`__`_`__`_`__
``__ ``__ ``__ ``__ ``__ ``__
``````
ZYZYZY ZYZYZY ZYZYZY
ZYZYY ZYZYY ZYZYY
ZZYZZY ZZY
dc ,
[[ \[\[
\[\[[ \[\[[ \
[\
\\[\[\\[\[ \
\
[[ \[\[\[
[[ \[\[
\[\[[ \[\[[ \
\
[\
\\[\\[ \
\
[ \[\[
WX
WX
WX
X
X
XWXWW
WX
WX
WX
WXWX
WX
WX
XXWW
W
W
WX
WX
XW
X
X
XXWW
W
W
XW
WX
WX
WX
X
X
XW
WXWX
WX
W
WX
W X
W XXWXW
XWWX
]
]^
]^
]^
^
^
^
^]^]]
]
]^
]^
]^
]
]^
]^
]^
^^]]
]
]
]
]
]
]^
]^
]^
^
^
^
^]
]
]
]
]
]
]^
]^
]^
]^
] ^
] ^
] ^^]^]
è }p pÙ BDL,7
}k~s>sÀwp`7
s
}Tk~
Ķ¯Å
wÆkÇÉ~
È
LʯËGÊ^ÌhlÈ/Ú k e â(1³/ 0k~2¤Vêp0B¡©s£Ã¥êmV®Ñ¥ê(©s¬©¨M¡¡M}®~%s|p&~gfÚëÛ8ÙVhSÄÚji æ
~u|w¶·~w~ÙflnYÚëÛ8ÙVhSl*oi æ× f7p¦ÚëÛ8ÙVhSãoi æq6
w7u|w¶·~w~Ù f nrn ÚëÛ 8VÙ hSlsoi æ×tf prp ÚëÛ8ÙVhSíoi æç
ab
ab
b
bababa
ab
ab
abab
ab
a
babaa
ab
ba
b
a
ba
bbaab
a
ba
b
a
a
bba
b
ab
b
aa bababa
ba
ba
a ba
bab
b
H ++
a
H−−
è }puBÙVv/w¶·~w~3Õ}|$i3Úïâ
³Ü|kB7wp,wuwD|u
w¶É}~|w¶·~w~sc
aw`~~
³Û´êpóħs¥q ¿3¤0(ö¡-ÙVwsxy£§s¬#ão}~°i æ|p´Õ|p}kDzV~xë}~}
wï1
w{}¶c|1~µl}sDB}°.Õ}|u°p
w
l¶.B|w¶^~
wÕ/~~#w{3+|i5}T~}T~ww$ï{ñ7¦ÂÑwÕD}
w&ï{3|pw~
ÂÑ|Ä}awT}Ãwxy(´ãi
pµ~|5|w¶^~w\w~D~
B}TsñÕ}||p,|kB7wpcÛ 8
Ù x%(ñj
Ú iæ
, wDu7
B|p
`|w~/°µ}cac7\
w¶BDL
}Tk~\³#~}.|aa7wp>
w5|w¶·~w}~
w°|p¶7.7
w
DBB}||}%pp
u¶ÉYÕ/w}7
|¦(|p
pa(w
Ä%
L}T~3Õ7|p7
l}ap}c5:}³\~,}|p
w}~/l|
w7aB
,|pB}~5
w7
w´7c
ÏÑ|(ðBs|p
.Lp}T.~>D
wuu7Õ|p
}
wD|¦~/
p´w D
B~.aD
w|pL7.Lwp:7µ
}k>}8}
U|p
p
wµ}l}
~p|p}~D°}w}~ `La
w è°pÕÀ(}uYº à¾Ñ~ %qÐå³ ~} }a
(}
:
Õ}|¶^
B~
Lps}
w
ÅÄÆaÇgÈʯËGÊ^ÌÈ f»}~3°®M êkê(§s£Ò·«¯¬a1± 0k¤Vêp¡£Ãꥩs¬¡ls8 ¦ó¦ô }:¶ $ó fuô w¦ô õ f
H
...
Supporting H exists at every boundary point
...
x
...
x
...
x
y
No supporting H at any x
No supporting H
Supporting H at x and y
è }pDdBÙð(p7
w}Tp.|aa7wp~wup}~
°s37
sl7
}a~
Ô|a a7¶·wTwpw~ ì ß
~|:w
~aw
wä¶~7
a(|pwp~l
|p%}a|pDB~c}7
ìÄ
w
w¶,¶~|pp¦7|
ww¶^~}Tpw|a~lB
w¶>D}~lwp~Dp~ñ7
wwå}p7
}|p>}(u
ñL7c.µ
}Tk}~wz|5s`/
|L
wD}|~,5||pw>%}D|plL¶¯}~cwa}~\w}Tpµ}.a.7
p.¶^
w5wD|Y
w¶
Á
Convex
Vexing
~¶,pÕ
wD
}p~´}p|kB°7lOpw}lp3}f}YÚ
w°Û8lÙ
}TÎ}lÚ}}}TpYGæ}Õ|s1¶·#°
w}
%}Tl4}8~
Gwäu
~ô&o5&ô& pÕµ
w}}w
}I
w ¶
l}`Op}} |p5ÄwÕ&~wLr f.~~p/|7
ww~/ô ôìjõ sTf #p O7T w&
`aBw`pp}Ã`µ}Tu}}
|Ä}~/
w¶
lk}(},}~Äw´Õ}aw.D~~./|
ww7ô jõ Ùf « m5n ôë%~«¯
®
ªl¨D
§w©a¬òww¢s«^¡Dªò( ©sª¬w$¢O©s ¥i«¯®5¡©s§§ ¬m2¤ ²§s(§s¬Y¬w©ô ©w£V¤\¨©wê(¬ §ww«¯¬ä Ò1ª«¯¬«¯¬ô«^ ɪҫ0pªG¡¡M£®¡c8á ¡ò«T)®«Ò^®,¬©LY¥q«^¬L¡©ww£¡mMp(
w¬,¨Ò·l« §ss¬Àw | }m~\§s£2w¢£}0k «·¨¤0¥}¶¦ôäI }«¯~5®\pÒ0p
w¡
³\}a|pIw }7Dl~
dBB
w|pDpw~k
}.
%%¶¯%
BÛÕ&
>
Ùssx%´5}
¯Ú }w¶^iG
w!×1L7O}*å(pwâBsæ.%Õ&}\>
w.wwD~w~~/D&l7.}|pssI°Ï·w:é }T p®& Ðc´
(}~.s5p|Dw~s¦ s3}(¶3w°wL(
w7}TL
.},k»7/
}}a~.5~sÏ·}w¶8w}|pp
w¶ ,|p}} ~
wgé l®ì
w}~&}.
pÐV%{|3}~g¶^w
u
¶^wÕ/}~Õ}l|L|}s\¶^w~¶¯}
#/D|p3}
¶^Ä
}~
Õ/p}
wp57
|p
wp :B}~¶D||Äw¶^~wÕ~}|pñ|}
,ls
w¶7>p|p
B(`w~L~7}
p}°aD~w&pÏ·À{3±Ï x,|&Ð3²Ú |{Y
w7c}T
w`¶Õég|®Y}D}|~7
ww~| Lws
L|p
wD}}w~\Oww}Tw~|¦wDw}¦sw|l ðpp|p7
w
}pp³ v}
BL7}~glwwpp
{3|p
wD s}~}}DwqÐ
´ µg¶¡¶ ¸Ì ·GËGÊ·:È ¹7º$» ¶ ¼Æ · ¶¡½¾ È
l
wDñ~Dp7
w}p|aa7Æ ¿¥À
TwÆapÌ 5·GÆ
wÁo¶Éô  ðp
pk7w}
~~3cwô Ä}~3(
(LÂÑcL7
w}a
w
¶É~ô% wÄ7
p:{3|p%
ÅÄÆkÕÇÉÈ
ʯ`ËGÊ^ÌÃÕ&È/
à ~f ~}T~ô `wÏ·~1D}}ñpÐ ¿ ®ö¡ê(©s}¶£©wÒ·}«^¬a|p3± 0a¤Dê¡£Ãê¥ ©w¬¡
ô Ä9f7prp w ÅÄflnrn
9
w 9ô Ä9f nrn w ÅÄf prp
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
É
É
É
É
É
É
É
É
ÉÈÉÈÉÈ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉÈ
È
È
È
È
È
È
È
X
È
È
È
È
È
È
È
É
É
É
É
É
É
É
ÉÈÉÈÉÈ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÉÈ
É
É
É
É
É
É
É
È
È
È
È
È
È
È
ÉÈ
È
È
È
È
È
È
È
È
É
É
É
É
É
É
É
É
ÉÈÉÈÉÈ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
ÈÉ
É
É
É
É
É
É
É
É
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
È
È
È
È
È
È
È
È
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
È
È
È
È
È
È
È
È
ÉÉ
ÆÇ
ÆÇ
ÆÇ
ÆÇ
ÆÇ
Ç
Ç
Ç
Ç
ÇÆ
Ç
È ÇÆÇÆÇÆ ÉÉ
È ÉÉ
È ÉÉ
È ÉÉ
È ÉÉ
È ÉÉ
È ÉÉ
È ÈÉÉÈ
ÆÇ
Æ
Æ
Æ
Æ
Ç
Æ
ÆÇ
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
ÆÇ
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÇÆÇÆÇÆ
ÆÇÆ
ÆÇ
ÆÇ
ÆÇ
ÆÇ
ÆÇ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
ÇÆ
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
ÇÆÇÆÇÆ
ÇÆ
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÆÇ
Ç
ÇÆ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
ÆÇ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
ÇÆÇÆÇÆ
SÇ
ÆÇÆ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Ç
Ç
Ç
Ç
H
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
Æ
Ç
Ç
ÇÇ
ÇÇ
ÇÇ
ÇÇ
ÇÇ
ÇÇÇ
¥Ê
è }p aÙ&ðBsDs}pl|aa7wp
´ Æ ¶¡¾ · ¾ ËGÊ·Èg¹Ëº$» ¶ Ʀ· ¶¡½¾ È
ÆÌ¿tÀ8ÆB̸·OÆÁ ð(p
~3ôws
~%a
aw~~}L ¿ ö {3|p%
ô+ÍÚå÷L}ÏΦ|>p}~~3l~sDs}pl|aBDwp\7ÃÕ&u|pÄ
{3~|p|p>´sVs}p~}pwa}Õ&¶^|añBñ|p.D
l7w
p}
Gacw/>}T~}T´||p}ôì~ }7~|Bs5°7}µ~\D~3}
~
~s5~D}p
Í}~D}w¥
w5´
wp¶ÚëD|Û ÕÜ:s5æñ|pÏ·}Lc~}}p~p~L57La
}a,a5{3p|p
w.Õ}u
aôwÐVp |p}Yæu
w5¶&w³ ô
w~~Ll~Él|s&}
lwD
wpc
wt|Ô>Õ3LDs
w>sw
p)Vw5
ÕðB}|lsDs
}Tk}Tp~}TvB7|p/~wlw5|{w|p¶·~
wwÄ3wV~ 8É{3|}T~Éw~/}~1~
°5ppp}~Õ ~És,~
T}T}ks/sV}s
}
p}p>~|aÕ/~/a|p}T7`|pÕTwLpsw7~ ~\Õ}w´L~ÃÕ&|a
Äĵ¦ÉB}{3.|ôì}~~
Õw~5
D
w~¶7~
|p}|paL~%~ww~w~\/wÕ&~.5ÕÕ&~w ka.,
w¦¶
ñÀ(BÀ(p$ p
IÕÕ }T>p}5ðp¶1Õ|pD|p|´
~ôÐÄsVf7spr}ppLw|kB17ÅÄwfl/nrnIp}}~δ~Ï}
ÎaB|p|
ÏÑ}ô3Ð ñ
aw
auB|
|aÏ´T~ÐsÚßD>÷B }~^Ó
}a U } ½wp|,(}T~4~ f"¶^
wÕ|}TD|
c
no separating H
H
è }pDÑBÙ&ðBsDs}Tplsl~D~%Ò }~^Ó
}k
aw`|a~
ÅÄ|wÆkÖÇÉ}È
ʯ/ËGÊ^ÌlÈ/wÓ s³ }pl£©s¶^¤
|p
|p,
w| V}I}%7Ù
}aÔÕÚ k â}~|
x
× Ï 7ÐÚëÛOÝ)8ÙÝ$* âBæç
è }ØBÙ1¿ ñ|p
p|1
ÅÄ}~ÆalÇgÈ
ʯËG>Ê^ÌÈë|s¼Í Ù }~³ LÏ·
k
w~`Ð5~¨D§s&¬¡³ßÚêp§sp¥q¤}~0(¡-ws~£©s¥1~¨D§s¬7V|ñ¡c}T~3|sl4¦
póÌ>ÚÜ|}TsL}~}L~ 7×
Ï7(|pÐõ pÚ
: ³ ¨V§s¬¢w¡ò°¨D§s¬¡
¿
ö p7wwÛ âBæ
w}gu}~÷Lps
wDc
akww7u³
p
k~w{3|p,
p}
wñ
ww¶
~V
\(~&p~µV|upw.~w~gÕ\
w
4LÚä
w>Õ}
B|>
wD|p&}s
w>7OB,~}|~3s
Ö8
×aØñwÌó ÚÜÐ5s}lDw}T~~1
ÄÖ.ÞY
~Ø°YÌó ÚV&\
aw}
Ä%,
p¶ Ú~s}~5,°7
~
BÄ|ppDw8}k
wV:~|p}
r 6pp}
~p~,~>ñÏ·pl
ws3D} x ~~s~D}V|
|ps3¥Ú
wÚ
Û
B|pÙ
x% Dwãë âBæ {|pawDs}~p¶·wwgÛ ó ¿%ÛGÙVhS Û Þi Û Þo ÛÛ Ú#âBæ
}~5Ä
pw
0
ÄÅ}~ÆkÇÉDÈ
ñʯËGÊ^}Ì+ÈÎÚÜÍÍ |s³\3w¡DòpÒ·£
w¡3ª7¡ 5£©sB¤Ä
w¶É~~Ä
wa~3w~D`
p
w¶
wrÕÚL
w|pD B~/}+Ú
ÜÜÝÜ ÜÜÝÜ ÜÜÝÜ ÜÜÝÜ ÜÜÝÜ ÜÜÝÜ ÜÜÝÜ
ÝÜÜÝÝÜÝÜÜÝÝÜ ÝÜÜÝÝÜ ÝÜÜÝÝÜ ÝÜÜÝÝÜ ÝÜÜÝÝÜ ÝÜÜÝÝÜ
ÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜ
ÝÜÝÜÝÜÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜ ÝÜÝÜÝÜÞÞÞ ÝÜÝÜÝÜßÞßÞßÞ ÝÜÝÜÝÜßÞßÞßÞ ÝÜÝÜÝÜßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ
ÝÜÝÜÜÝÝÜÝÜÜÝÝÜÝÜÜÝÝÜÝÜÜÝÞÞÞ ÝÜÝÜÜÝßÞßÞßÞ ÝÜÝÜÜÝßÞßÞßÞ ÝÜÝÜÜÝßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ ßÞßÞßÞ
ÝÜÝÜÝÝÜÝÜÝÝÜÝÜÝÝÜÝÜÝÞÞÞ ÝÜÝÜÝßÞÞßÞß ÝÜÝÜÝßÞÞßÞß ÝÜÝÜÝßÞÞßÞßßÞÞßÞßßÞÞßÞßßÞÞßÞßßÞÞßÞßßÞÞßÞßßÞÞßÞßßÞÞßÞß
ÝÝÝÝÞ ÝßÞ ÝßÞ ÝßÞ ßÞ ßÞ ßÞ ßÞ ßÞ ßÞ ßÞ
,
!à*
9Úák
× 2Ú Î
è }plàâ(Ù (L>D B~/s>s
GÕ~
¸5ô#}wÚ ÛÜ|óâñÚ
aÙ³wã 7ö 7
(|pÚpDàOwæ {3
p|pÌ%Ú¶^Ú"
wlÛwÜa7óï ¿ óåö Ù
Úâx%æ. Û Ú âBæâ( × Ï %ÐcâB}T~Læuw¶¯
w LÕ/B|}Dl| ÄDÚ"
wÛ âB¶ æ}
' ä
ç ã ö }~3wÄä ( Lc
}Tk
w¶1ô&
ä' ä
u
x+h
ÅÄè ÆkÚëÇÉÈ
Û
ʯËGÙ
Ê^ÌxyÈÎÍ(ãoî i {3æ.|}~£¡a¨VÏ ¡è ®D®MÐÉ«·Úë§s¬ÎÛêé%¨V§sÙ¬xT¡é¦
wã¶>âBæ7
B|p
x
è }làwàsÙ¿~~}
u
{3Û âB|pæ5Ë\|p~D~}D
Õñ}~w
gp>w}~I~
wL}T
wL}~3Iw|p°D|pl~~¨¤}
0B ©s£©
¨pÒáñ£V«¯p®MÒ·« µ¨lp¨D§w~¬¦¡¶¯ïw~D|p} °è |w}~&Ö7}
lp
B
w:as$Ï è ë#Ðì£Ú í
7
}Ïaè Ð1} Úëè Ûê3é%Ù `xTwéñpÚïDâ(w×- éÌ* kâBÏ æè ÐÚ#Ûêé%ÙVLÞoéYó è ¶^
wwó è æ7~
°}¶ è Ú#Û8ÙVxy¦ÚàiG×!7*ïâBæ
î Ê·Ègï̼ð³ñï:Êóòô Ƽ» ½°õ Ì ½ »gÀ8¦Æ ö¡·GÌÈïÅÄ¼Æ ÷#Ì Á ¶ ¸Ì ñ ʯËGÊ^Ì
È ¿tÀ8ÆB¸Ì ·O¦Æ Áo ¶ è }~
kwu7
(|pp
:
è Úß
k(|
Ï^(GÏ è ÐÐ:Þ Ï è ÐVç
{3|}T~Lw~
ó è Ò5øùÉ×V$
Ý * â(× &('ú Ý Ú àc~D|u|s8 ñÚ &(ú' Ý Ø üÞ &û' ù ý ×
Õè p|pDD|plÛ¸Ø Ãæ sú Ds}T~3|p|p
( p
w~#/þ
w~¶É{3|p(
wL ~7
B}~&a~|s
w¶ Õ&è ,7wwµÛ × Ï ý Ã
BÐD¤æ ÿû }}~a|p~ ~~V|
w¶|s(sLL
~DV(~ ~/Þ
w¶ à/è
w¶
|p sD>7
~}}ww
ÅÄ~ÆkD|ÇÉÈ
ʯ|ËGsÊ^,ÌÈÎØ Í¦á Ø ³ëO×®Vç«^çª/ç ×êØ ¥¡ò°á}Ø L ¿ sö Dl}~}p
asBD|7uÛØ }s×pØ 7×çççp×Ø aö æ
{3|pÔ ws«^ª¡¬p®M «·§s¬Y
w¶|pc~D}ö L°}~4~É
è }pLà¼BÙð(}TL}Tñ ¿ Û
7¶8
~ß}aÚ ~ â(³ ~|}lñ~D}L¦}~,ñ}~V}Ówp~L`}7Y
¼G}aÂÃ~ww°w¶^
wYtñ~åÚ Dàsw1|p}}~
¦}TY}pÁGÂÃ~~wLwk³LÕ/
}l|Il
}~}~}L.
w}}~,¶||p}
pakw}|a
wTgs7
wD¶} 7Ãw|pl³/{3
wa|aD}~~u}T8Þëwwpàl
w|p}~.}}Õ&, w5´(
`
wD~~&LsÛ 3â(×
s}T×kDçsç~5çG|p
w׶
(ö pÄæ
w7Õ#
þ |p~c(|p{3 |pp
w DY}~,~Ds|p¶¯}³
w~.¶^¦ÂÑÄ||p7
aT}p
wl7s
Ï^Õ}l|pD~}
|pÐ1p°sµñ
uaDÏ·(s~VÐcL}~>
~
VÐ~~Þïà,|sc(wL>7
}}Tak,~7
p~c
¦~}L Ï^7
~~}
w¶3
Õ&
ÅÄ}3ÆaÇg
aÈʯwËG}Ê^Ì~Èë ÍS. {3|pws«¯ª¡¬p®V« §s¬
w¶
kwÄ~3}~|p,lOp}
w¶8|p,}l~}
~1
w¶8~}l}~
{38|pm©>¨M}T¡/k
w¶ Dè ~É{3}
|pÄ3
w(¶ÉL7L
/(|p
}Tpk
~1%
w ¶ è è ÚÜ
ÛL8Ù
Vx%}~*/|p/iæ¶^wÕ}~|ñ
w¶:
p}>L
w¶É}~}~
t~p7
p
w è }w.|a~&a
w7¶:}TLTwp~~}
} ~
à>sc|p¡ w±B¡M®>
w¶ è ÉÔÄwpDw
¶^w Lp
w¶ è }~}|p/÷Bw7
w¶ è
w/~s}~µ~Ù
ëÚÜÛ ó è VÙ x ( ujÚ i ¶^
w8 ó pæcwÌ ø¦ó LVÙ x ( ¦/í i ¶^
w8 yók ç
¶|p>è 7|
w(~|p}plD
°~}}T
~\Ô ®V«^~ɪBê¥q|« ¨,« ©s¶^w¥i ~
w¶}L~D}
Ô ~°áIà5s,w m©¨M¡Ò^®M¶8wD|Ķ·w3}~L~}L
ÅÄ}LÆaÇg}È~ʯËGÊ^ÌÈë¦Í Q ³ ¶^}
% ¦qÙ ß}~&¨V§s¬¢w¡ò}¶ "Ï·}~p
lw}TÐ%}~
/
aw ~wcÖ
×Ø°$ó ÉÏÑÝpÖ ÞåÏÔà3áIÝÐØ(Ðã Ý ÉÏ^Ö%Ð%ÞßÏÔà3áIÝÐ ÉÏ^Ø(Ð&¶^
wâlãìݦãåàsç
3}~5®MÒ·£M« ¨Ò·¥i¤°¨D§w¬¢s¡Dò¦}¶~V}3}p Bw}|p
~¶¯
w3ÐÖ Ú k Ø
³ë¶^}
u}~>Ï·~V}Ð5¨D§s¬¨V©s¢s¡ }¶&á }~>Ï·~D}Ð&
kw 6 a}Owawp}¶
ÉÏÑÝpÖ ÞåÏÔà3áIÝÐØ(4Ð * Ý ÉÏ^Ö%Ð%ÞßÏÔà3áIÝÐ ÉÏ^Ø(Ð&¶^
wâlãìݦãåàsç
è }plàÁBÙ è }
~3
u ¿
wé8¶8}Tp2 ¿
sö g&}T{3~.ÿ|pp5
/a~wB¶·Is
I}
, ¿3~/öÏ^}
wp}¶
¶w}|p °/}p~.¶^
w
wDDÄwhSLá+áÌis Ð1s}Û w´/}~&7Ï·}Ñ
w½w
|ña w
a }w~>u7°
w
w~,}°w}w
~Dwlw}wcÂÃpp
°µaw}awGpÐD6s
}a.}/w}~¶^ñ~~DpD}}
~%
aw°}¶ 2s â>¶^
w&wT)ÐÚ k â°Ï·} ½w ë}~1
~D}}wpµ}GÐVa~DD|°w~ ã äö ' äÛ 2Ä}~
w
}w¶1r}59}TÚå~\k â¦wÏ·} ½cwp #s}~}wp`Ï·s} ½w}w .}~5µp}GsÐV&}w/l}~~3p} }ÂÃp|µ/}
GaÐ w6:`},p}~5
w/~D
}w
u ¿wö }}¶ ¶ Ö 2, Öíës â°âL¶^¶^
w
w
~
LcÖ¦wÄØ ,Øí âL¶^
w~
l>Ø´Ï^w½p Û á ÛÛ ÐV
ðp(µ~}
ww¶g¡ &
Law(u¶^~}
:}a
}¶ ~sw>
aws/ ñwD|°sD
}kws
l ¿>ËÞ ÉÏ 2 ¦!× }~Ð
Ú kwuÏ }¶ ÐkÞ }~7Ï
~Ðg}}}~w\
~awl} Â
Û
Û Û
Û
Ä ¿ Û
ï|p ´}~} Îa}sw(
awu¶·}
~
w7°|pc} awT}Ã
ÉÏ L9Þ éÐ * ÉÏ 7Ð:9Þ é ÉÏ %Ð
~
Ï^
wsl7}}
ÂÃ
pI~}µwL
}}pLu aÏ·p|wT}sÃwÄD}ww¶^.
w}>~kl
c}ÂÃppwµ¶^}~\}Tl¶¯
w}s
ÐV~>>|p¶w~cOw¶·
lY
w}p
¶3uDÐV}sÉs
{3a}|pww>~\}p¶^ pB}~w%}}
Ã|p%lL|pww~D~}~
Gww´|}s~\~7}
Bl~}Vss}wp~Â
|p>swp5
w¶Él
w.¶·}
%
Convex
Strictly Convex
Concave
Strictly Concave
Neither
Neither
!
#
(' &
Ê
$
"
%
f(u)
Interpolated value
Extrapolated value (slope =
f(x)
f(x) )
f(v)
è }plà cpÙ a7
s}
ñ
Gw~}ls~5wñ(Ds7
s}
`p~}ls~3L
awu¶^}
YcwuwT~
lD|sVwD}>¶·}
~&w~~~Õ|}D|°
GB}Tp~L}µslk/
w¶
awuww Â
(~}~
u
x
x+h
v
z
Åıw£Æk©Vê¸ÇÉ0kÈ
7ʯwËGÊ^ÌlÈÎ0kͦ¤Vê(e §D±wð(£©Vê¸70
s~D cpqÙ µ p»ñD ¿>~7{|pc}w±w£©V¸ê Ù 0k¡ê«
w|:Ï !× ´Ð Ú ÛaÏ 8× BÐV
Ù ¦$ó `× LÚ ÉÏ 7ÐDæ
}ÑÏ !× YÐ Ú ÛaÏ 8× BÐV
Ù ¦$ó `× Í* ÉÏ 7ÐDæ
|aa7
Ï !× ´Ð Ú ÛaÏ 8× BÐV
Ù ¦$ó `× °ã ÉÏ 7ÐDæ
)
-
-
-
*
epi( f , R)
,+
z > f(x)
grph(f, R)
.
. /
.
. 0
z < f(x)
.
. 0
hypo(f , R)
z = f(x)
è }pLàuBÙðB~3
w¶gl¶^}
{3|p:
¦}T~3
kwu
$ Ò }ÃÏ ×!YÐ }~
kw`~
¦}T~3
w.
$ Ò |aa7
Ï ×!´Ð*}~
kw`~
¦}T~3ÿp,
1 Ò w|:Ï ×!YÐ }~
kw`~
{3|p>~wsDñ¶^
wD
w¶Élls|ls}w%D
wwDw }~
lO ÉÏ7ÐVÙ´ó1`§× 7Ï 7Ðãìâ(-× é8Ï 7ÐÚïâ(×
Õ|pÚ DÛï÷3ÚRk ó9»IÙõ ¿Ï7ö ÐL ã#¦Ùqâ( ×-é8»Ï%Ðc ¿,Ú °âBæÙ u {3»|¦ ¿ §Vú êÒ·«^wªl©s ¥é`£¡Ñ±Ù «·§w¬ }~c ¿ pû g
w{|p : m¡©s ®VګѲ¥¡3Û £¡Ñ±«·ó §w¬ñL}TÙ ~ÉÏ p
wÐt*
ÉÏ7ж^
ww ¦ó æ
³é¦}¨D~§w¬ÿ¢s¡Dpò.>ê
£$§±w£©sª"w}~/ ¦l}T~3s
|lswñ}Ï^w¶¯
w\l
wOwpDw}l }¶¯s
w\}
Õ|Ð}TD
1| + }~/>
aDw
w¦D~} ~ñÙ }T~
aw¦
$ I
-
-
-
1
2
2
2
0 %
Ñ
43
x
{|p,¶¯w~D}5}
`}~3l
awu~37w~
Ï^Ö%ÐV§× Ï^Ø(Ð/ã â
7ÏÑÝpÖlÞßÏÔà3áIÝÐØ(ÐãäÝ7Ï^Ö7Ð8ÞïÏÔàáIÝÐ 7Ï^Ø(Ðã â
é
Ï^Ö7Ðj
Ú é
Ï^Ø(ÐÚïâ é
ÏÑÝpÖlÞßÏÔà3áÝÐØ(ÐÚåÝé8Ï^Ö7Ð8ÞßÏÔà3áIÝЧé8Ï^ØpÐ1Úïâ
¶¯
wâãäÝuãÎàsç
{|p,
w}lw7D}
u}~3
kw`~w~
Ú
Û ó LÙ ÉÏ Ð * ÉÏ 7ÐDæç
, wÄ
(w%
w} }~
ww%7w~
9
Þ é¦ó w ÉÏ 9Þ é4Ð s ÉÏ 7Ð lÞ êé¦ó w
ÉÏ Þ êé4Ð *ÎÏÔà3á OÐ ÉÏ 7Ð%Þ ÉÏ l9Þ éÐ s ÉÏ %Ð&¶^
ww óÏ·â(×à Ð
Ï·~|t
cÄ
k
VTw}p
w
w&7Ä\~ D}T
(3w}p BO(w} }pÐV } ~~1}&}~&.
wwlO(}T.ukÕ|}TD|°}~w
Õ~
ï|p
Ú» ¿ ö w §× sD} Îa}s`~V|ä|sÔ Ï %ÐYíâI¶^
wñ~
LÌ ß ~#D°|ä
|7s
é
Ï 7ÐñÚ"â(&|ué8swDwpw `}} ¿/u}~L7
w| ~~s w ~D ÿ}aL¶¯
wÔ
Ï^
wwÐ
w}lwÑÙ
g0(¡£¡L¡Dòw«¯®MÒ^®\Ý`óÄ ¿ ©s#¬ wùóu ¿ m§sz£ ¢£0k« ¨ 0°+
Ý * â(×VÝ Ï ÐÚï¦â ©s¬ w
ú
û
ÉÏ ÐgáÝ Ï Ðá ù é
Ï ÐÉÚïâ(
{3}a|pDD}
ws
w¶g}~
~Lp
lsw}T|%
p}
w3}w~u |è
ww cl(w}L~D
kw
}Õ/B|}}Ls3w|p,7
aws¶·wɳ/}ñ
p}w~>L
a>}}a~°
Ú#~>
º Iâ(× |pÐ
¶^Õw
| }TDÉ| wÏ 7`}Ð1
wÚ pl}l}~ )¶} s|ps `}
uâ(~-a(}spDÕ> É, Ï·³/âkÐ8TÚ }p}pÅws s3p¶·â(
w Dèu
w} 1
|pY~3sáL
~
Ûgkäws³\7wp
~\
waDswl L~¶^ss`w}
aw~gws~~
wÕ£¶è pBTDaw7|ppV|s w}|p~
w}}B}Ã
w7ðw
Õ/~3~
l}°p`L
wD>w~~~
w¶É
awu¶^}
~
5
5
6
;
&
78:9
5
<
A?
%
=
B? >
C?D
@?
=
?
/
5
E
F
' I
"
'
'
HG
/J
K
Ø
convex=increasing slope
concave=decreasing slope
linear=constant slope
ᦏ
}~pw}\
wà BBÙ }è T
~1 w°w }
pw
~D}lpc}~D(}pDÕ>lw/
T}~pwswp¶^w°}
c
(}w,~8\¶·
~}
waB}Dp~1D .p
5~Dww~Dw}p/cD
apwD
LNMPOQM4RM4SUT"MPV
º àM¾
wL¶É {
è DÀB|p
(
w w7w£¡ |a¡:¬Ù Ò·¥q¤GÕ35Õ3® wÕ>¡- w }¶¯
w ¡M®sÒ·«·§w|%¬p½®|«¯¬ w 3D| §s¥i¤r 0(¶·p¡wwÀB£Ô©s¥ ÉG§s¶^ª/ÀBêpÒÑ(©wÒ·|k« §sl¬%Ñ(ðB¼sÕâw}âw~~â(è pVwp ~}p
º½¼G¥¾ \¸\¹ kwÄ É§s¬¢w¡ò §s¥q¤wÒѧVê¡M®VV }TkÂÑÔaD~}wé:
p
: L8àØ qÊa
º½ÁG¾.¿c {,¿3
(Àss¶^s ɧs¬¢s¡ò 5¬©s¥i¤G®M«T®M
®V}
\}wD~D}ÃÍ ®~~¸ ®D}T
% p:à ØqÊOâ(
W3
YX
Z
K[ H\ ]
baa
d`
_^
ca
_^
d`
"`
a
#ef3
_[
e
àâ
gih
© Copyright 2025 Paperzz