Section 3.7 Implicit Differentiation
93. (a)
(b)
df
dt
œ 1.27324 sin 2t 0.42444 sin 6t 0.2546 sin 10t 0.18186 sin 14t
(c) The curve of y œ
approximates y œ
df
dt
dg
dt
the best when t is not 1, 1# , 0, 1# , nor 1.
94. (a)
(b)
dh
dt
œ 2.5464 cos (2t) 2.5464 cos (6t) 2.5465 cos (10t) 2.54646 cos (14t) 2.54646 cos (18t)
(c)
3.7 IMPLICIT DIFFERENTIATION
1. x# y xy# œ 6:
Step 1:
Šx#
Step 2:
x#
dy
dx
Step 3:
dy
dx
dy
dx
ax# 2xyb œ 2xy y#
Step 4:
dy
dx
œ
y † 2x‹ Šx † 2y
2xy
dy
dx
dy
dx
y# † 1‹ œ 0
œ 2xy y#
2xy y#
x# 2xy
2. x$ y$ œ 18xy Ê 3x# 3y#
dy
dx
œ 18y 18x
dy
dx
Ê a3y# 18xb
dy
dx
œ 18y 3x# Ê
dy
dx
œ
6y x#
y# 6x
3. 2xy y# œ x y:
Step 1:
Š2x
Step 2:
2x
dy
dx
dy
dx
2y‹ 2y
2y
dy
dx
dy
dx
dy
dx
œ1
dy
dx
œ 1 2y
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
135
136
Chapter 3 Differentiation
dy
dx
dy
dx
Step 3:
Step 4:
(2x 2y 1) œ " 2y
œ
1 2y
2x 2y 1
4. x$ xy y$ œ 1 Ê 3x# y x
dy
dx
3y#
œ 0 Ê a3y# xb
dy
dx
dy
dx
œ y 3x# Ê
dy
dx
y 3x#
3y# x
œ
5. x# (x y)# œ x# y# :
Step 1:
x# ’2(x y) Š1 Step 2:
2x# (x y)
Step 3:
dy
dx
dy
dx
Step 4:
dy
dx
dy
dx ‹“
2y
(x y)# (2x) œ 2x 2y
dy
dx
œ 2x 2x# (x y) 2x(x y)#
c2x# (x y) 2yd œ 2x c1 x(x y) (x y)# d
œ
œ
2x c1 x(x y) (x y)# d
2x# (x y) 2y
œ
dy
dx
x c1 x(x y) (x y)# d
y x# (x y)
œ
x a1 x# xy x# 2xy y# b
x# y x$ y
x 2x$ 3x# y xy#
x# y x$ y
6. (3xy 7)# œ 6y Ê 2(3xy 7) † Š3x
Ê
dy
dx
dy
dx
3y‹ œ 6
[6x(3xy 7) 6] œ 6y(3xy 7) Ê
(x 1) (x 1)
(x 1)#
dy
dx
dy
dx
Ê 2(3xy 7)(3x)
y(3xy 7)
œ x(3xy
7) 1 œ
dy
dx
6
dy
dx
œ 6y(3xy 7)
#
3xy 7y
1 3x# y 7x
7. y# œ
x"
x1
Ê 2y
8. x3 œ
2x y
x 3y
Ê x4 3x3 y œ 2x y Ê 4x3 9x2 y 3x3 y w œ 2 y w Ê a3x3 1by w œ 2 4x3 9x2 y
Ê yw œ
œ
dy
dx
œ
Ê
2
(x 1)#
dy
dx
œ
"
y(x 1)#
2 4x3 9x2 y
3x3 1
9. x œ tan y Ê 1 œ asec# yb
dy
dx
Ê
dy
dx
œ
"
sec# y
œ cos# y
dy
dy
dy
#
#
#
10. xy œ cot axyb Ê x dy
dx y œ csc (xy)Šx dx y‹ Ê x dx x csc (xy) dx œ y csc (xy) y
Ê
dy dx x
x csc# (xy)‘ œ y csc# (xy) "‘ Ê
11. x tan (xy) œ ! Ê 1 csec# (xy)d Šy x
œ
1
x sec# (xy)
y
x
œ
cos# (xy)
x
y
x
œ
dy
dx ‹
œ
y csc# (xy) "‘
x" csc# (xy)‘
œ yx
œ 0 Ê x sec# (xy)
dy
dx
œ 1 y sec# (xy) Ê
dy
dx
œ
" y sec# (xy)
x sec# (xy)
cos# (xy) y
x
12. x4 sin y œ x3 y2 Ê 4x3 (cos y)
dy
dx
œ 3x2 y2 x3 † 2y
13. y sin Š "y ‹ œ 1 xy Ê y ’cos Š y" ‹ † (1)
dy
dx
dy
dx
’ "y cos Š "y ‹ sin Š y" ‹ x“ œ y Ê
"
y#
dy
dx
†
dy
dx “
œ
dy
dx
Ê acos y 2x3 yb
sin Š y" ‹ †
dy
dx
œ x
y
"y cos Š "y ‹ sin Š "y ‹ x
œ
dy
dx
dy
dx
œ 3x2 y2 4x3 Ê
dy
dx
œ
3x2 y2 4x3
cos y 2x3 y
y Ê
y #
y sin Š "y ‹ cos Š "y ‹ xy
14. x cosa2x 3yb œ y sin x Ê x sina2x 3yba2 3y w b cosa2x 3yb œ y cos x y w sin x
Ê 2x sina2x 3yb 3x y w sina2x 3yb cosa2x 3yb œ y cos x y w sin x
Ê cosa2x 3yb 2x sina2x 3yb y cos x œ asin x 3x sina2x 3ybby w Ê y w œ
15. )"Î# r"Î# œ 1 Ê
16. r 2È) œ
3
#
"
#
)"Î# "# r"Î# †
)#Î$ 34 )$Î% Ê
dr
d)
dr
d)
œ0 Ê
dr
d)
"
’ #È
“œ
r
)"Î# œ )"Î$ )"Î% Ê
"
#È )
dr
d)
Ê
dr
d)
œ
2È r
2È )
cosa2x 3yb 2x sina2x 3yb y cos x
sin x 3x sina2x 3yb
Èr
œÈ
)
œ )"Î# )"Î$ )"Î%
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
Section 3.7 Implicit Differentiation
17. sin (r )) œ
"
#
Ê [cos (r ))] ˆr )
18. cos r cot ) œ r ) Ê (sin r)
dr
d)
œ0Ê
dr ‰
d)
dr
d)
[) cos (r ))] œ r cos (r )) Ê
csc# ) œ r )
Ê
dr
d)
19. x# y# œ 1 Ê 2x 2yyw œ 0 Ê 2yyw œ 2x Ê
y(1) xyw
y#
Ê yww œ
œ
20. x#Î$ y#Î$ œ 1 Ê
2
3
y x Š xy ‹
y#
since yw œ xy Ê
x"Î$ 23 y"Î$
œ0 Ê
dy
dx
dy
dx
d# y
dx#
œ
"
3
2x 2
2y
21. y# œ x# 2x Ê 2yyw œ 2x 2 Ê yw œ
d# y
dx#
œ yww œ
d# y
dx#
Ê
y# (x 1)#
y$
ww
œy œ
y # x #
y$
d# y
dx#
d
dx
,
y# a" y# b
y$
œ
dr
d)
#
csc )
œ rsin
r)
ayw b œ
œ
dy
dx
œ )r , cos (r )) Á 0
d
dx
Š xy ‹
"
y$
œ yx
"Î$
"Î$
"Î$
œ ˆ yx ‰
y (x 1)yw
y#
; then yww œ
"
y1
œ
y (x 1) Š x y 1 ‹
y#
œ (y 1)" ; then yww œ (y 1)# † yw
"
(y 1)$
œ yww œ
23. 2Èy œ x y Ê y"Î# yw œ 1 yw Ê yw ˆy"Î# 1‰ œ 1 Ê
dy
dx
œ yw œ
"
y "Î# 1
Èy
Èy 1
œ
; we can
"
#
differentiate the equation yw ˆy"Î# 1‰ œ 1 again to find yww : yw ˆ y$Î# yw ‰ ˆy"Î# 1‰ yww œ 0
Ê ˆy"Î# 1‰ yww œ
"
#
w # $Î#
cy d y
Ê
d# y
dx#
"
#
œ yww œ
#
Œy
"
$Î#
"Î# 1 y
ay "Î# 1b
"
$
2y$Î# ay "Î# 1b
œ
œ
"
$
# ˆ1 È y ‰
24. xy y# œ 1 Ê xyw y 2yyw œ 0 Ê xyw 2yyw œ y Ê yw (x 2y) œ y Ê yw œ
œ
(x 2y)yw y(1 2yw )
(x 2y)#
œ
2y(x 2y) 2y#
(x 2y)$
œ
y
œ
y
(x 2y) ’ (x 2y) “ y ’1 2 Š (x 2y) ‹“
(x 2y)#
2y# 2xy
(x 2y)$
œ
œ
"
(x 2y)
y
(x2y)
;
d# y
dx#
œ yww
cy(x 2y) y(x 2y) 2y# d
(x 2y)#
2y(x y)
(x 2y)$
#
25. x$ y$ œ 16 Ê 3x# 3y# yw œ 0 Ê 3y# yw œ 3x# Ê yw œ xy# ; we differentiate y# yw œ x# to find yww :
# ww
w
w
w #
# ww
y y y c2y † y d œ 2x Ê y y œ 2x 2y cy d
œ
2xy$ 2x%
y&
Ê
d# y
dx# ¹ (2ß2)
œ
32 32
32
ww
Ê y œ
2x 2y Š
y#
26. xy y# œ 1 Ê xyw y 2yyw œ 0 Ê yw (x 2y) œ y Ê yw œ
since yw k (0
ß
1)
œ "# we obtain yww k (0ß
1)
œ
27. y# x# œ y% 2x at (#ß ") and (#ß 1) Ê 2y
Ê
dy
dx
a2y 4y$ b œ 2 2x Ê
#
x#
‹
y#
œ
2x y#
2x%
y$
œ 2
(2) ˆ "# ‰ (1)(0)
4
dy
dx
œ
x"
#y $ y
Ê
;
"Î$
x"Î$ †ˆ "3 y #Î$ ‰ Œ y"Î$ y"Î$ ˆ "3 x #Î$ ‰
x
x#Î$
22. y# 2x œ 1 2y Ê 2y † yw 2 œ 2yw Ê yw (2y 2) œ 2 Ê yw œ
œ (y 1)# (y 1)" Ê
d# y
dx#
23 y"Î$ ‘ œ 23 x"Î$ Ê yw œ
x1
y
œ
[sin r )] œ r csc# ) Ê
œ yw œ xy ; now to find
x"Î$ †ˆ 3" y #Î$ ‰ yw y"Î$ ˆ "3 x #Î$ ‰
œ
x#Î$
"Î$
y
" "Î$ %Î$
"
x
œ 3x
%Î$ 3y"Î$ x#Î$
3 y
x#Î$ y"Î$ r cos (r ))
) cos (r ))
œ
dy
dx
Differentiating again, yww œ
Ê
dr
d)
dr
d)
y
(x2y)
Ê yww œ
(x 2y) ayw b (y) a1 2yw b
(x 2y)#
œ 4"
dy
dx 2x
dy
dx ¹ ( 2ß1)
œ 4y$
dy
dx
2 Ê 2y
œ 1 and
dy
dx ¹ ( 2ß 1)
dy
dx
4y$
dy
dx
œ 2 2x
œ1
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
;
137
138
Chapter 3 Differentiation
#
28. ax# y# b œ (x y)# at ("ß !) and ("ß 1) Ê 2 ax# y# b Š2x 2y
Ê
and
dy
dx
c2y ax# y# b (x y)d œ 2x ax# y# b (x y) Ê
dy
dx ¹ (1ßc1)
dy
dx
dy
dx ‹
œ
œ 2(x y) Š1 2x ax# y# b (x y)
2y ax# y# b (x y)
dy
dx ‹
Ê
dy
dx ¹ (1ß0)
œ 1
œ1
29. x# xy y# œ 1 Ê 2x y xyw 2yyw œ 0 Ê (x 2y)yw œ 2x y Ê yw œ
(a) the slope of the tangent line m œ yw k (2 3) œ
ß
Ê the tangent line is y 3 œ
7
4
(b) the normal line is y 3 œ 47 (x 2) Ê y œ 47 x 7
4
2x y
2y x
;
(x 2) Ê y œ
7
4
x
"
#
29
7
30. x# y# œ 25 Ê 2x 2yyw œ 0 Ê yw œ xy ;
(a) the slope of the tangent line m œ yw k (3
4)
ß
œ xy ¹
(3ß 4)
œ
Ê the tangent line is y 4 œ
3
4
3
4
(x 3) Ê y œ
3
4
x
25
4
(b) the normal line is y 4 œ 43 (x 3) Ê y œ 43 x
31. x# y# œ 9 Ê 2xy# 2x# yyw œ 0 Ê x# yyw œ xy# Ê yw œ yx ;
(a) the slope of the tangent line m œ yw k ( 1ß3) œ yx ¸ ( 1ß3) œ 3 Ê the tangent line is y 3 œ 3(x 1) Ê y œ 3x 6
(b) the normal line is y 3 œ "3 (x 1) Ê y œ 3" x 8
3
32. y# 2x 4y " œ ! Ê 2yyw 2 4yw œ 0 Ê 2(y 2)yw œ 2 Ê yw œ
"
y#
;
(a) the slope of the tangent line m œ yw k ( 2ß1) œ 1 Ê the tangent line is y 1 œ 1(x 2) Ê y œ x 1
(b) the normal line is y 1 œ 1(x 2) Ê y œ x 3
33. 6x# 3xy 2y# 17y 6 œ 0 Ê 12x 3y 3xyw 4yyw 17yw œ 0 Ê yw (3x 4y 17) œ 12x 3y
12x 3y
Ê yw œ 3x
4y 17 ;
(a) the slope of the tangent line m œ yw k ( 1ß0) œ
Ê yœ
6
7
x
"2x 3y
3x 4y 17 ¹ ( 1ß0)
œ
6
7
Ê the tangent line is y 0 œ
6
7
(x 1)
6
7
(b) the normal line is y 0 œ 76 (x 1) Ê y œ 76 x 7
6
34. x# È3xy 2y# œ 5 Ê 2x È3xyw È3y 4yyw œ 0 Ê yw Š4y È3x‹ œ È3y 2x Ê yw œ
(a) the slope of the tangent line m œ yw k ŠÈ3 2‹ œ
ß
È3y 2x
¹
4y È3x ŠÈ3ß2‹
œ 0 Ê the tangent line is y œ 2
(b) the normal line is x œ È3
35. 2xy 1 sin y œ 21 Ê 2xyw 2y 1(cos y)yw œ 0 Ê yw (2x 1 cos y) œ 2y Ê yw œ
(a) the slope of the tangent line m œ yw k ˆ1 12 ‰ œ
ß
2y
2x 1 cos y ¹ ˆ1ß 1 ‰
2
y
1
#
œ 1# (x 1) Ê y œ 1# x 1
(b) the normal line is y 1
#
œ
2
1
(x 1) Ê y œ
2
1
x
2
1
2y
2x 1 cos y
œ 1# Ê the tangent line is
1
#
36. x sin 2y œ y cos 2x Ê x(cos 2y)2yw sin 2y œ 2y sin 2x yw cos 2x Ê yw (2x cos 2y cos 2x)
œ sin 2y 2y sin 2x Ê yw œ
sin 2y 2y sin 2x
cos 2x 2x cos 2y
(a) the slope of the tangent line m œ yw k ˆ 14
ß
1‰
2
œ
;
sin 2y 2y sin 2x
cos 2x 2x cos 2y ¹ ˆ 1 ß 1 ‰
4 2
y
1
#
œ 2 ˆx 14 ‰ Ê y œ 2x
(b) the normal line is y 1
#
œ "# ˆx 14 ‰ Ê y œ "# x œ
1
1
#
œ 2 Ê the tangent line is
51
8
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
;
È3y 2x
4y È3x
;
Section 3.7 Implicit Differentiation
37. y œ 2 sin (1x y) Ê yw œ 2 [cos (1x y)] † a1 yw b Ê yw [1 2 cos (1x y)] œ 21 cos (1x y) Ê yw œ
(a) the slope of the tangent line m œ yw k (1 0) œ
ß
21 cos (1x y)
1 2 cos (1x y) ¹(1ß0)
y 0 œ 21(x 1) Ê y œ 21x 21
(b) the normal line is y 0 œ #"1 (x 1) Ê y œ 2x1 139
21 cos (1x y)
1 # cos (1x y)
;
œ 21 Ê the tangent line is
"
#1
38. x# cos# y sin y œ 0 Ê x# (2 cos y)(sin y)yw 2x cos# y yw cos y œ 0 Ê yw c2x# cos y sin y cos yd
2x cos# y
2x# cos y sin y cos y
œ 2x cos# y Ê yw œ
;
(a) the slope of the tangent line m œ yw k (0 1) œ
ß
2x cos# y
2x# cos y sin y cos y ¹ (0ß1)
œ 0 Ê the tangent line is y œ 1
(b) the normal line is x œ 0
39. Solving x# xy y# œ 7 and y œ 0 Ê x# œ 7 Ê x œ „ È7 Ê ŠÈ7ß !‹ and ŠÈ7ß !‹ are the points where the
curve crosses the x-axis. Now x# xy y# œ 7 Ê 2x y xyw 2yyw œ 0 Ê (x 2y)yw œ 2x y
2 È 7
y
2x y
È
È
Ê yw œ 2x
x 2y Ê m œ x 2y Ê the slope at Š 7ß !‹ is m œ È7 œ 2 and the slope at Š 7ß !‹ is
È
m œ 2È77 œ 2. Since the slope is 2 in each case, the corresponding tangents must be parallel.
40. xy 2x y œ 0 Ê x
dy
dx
y2
dy
dx
œ0 Ê
dy
dx
œ
y2
1x
; the slope of the line 2x y œ 0 is 2. In order to be
parallel, the normal lines must also have slope of 2. Since a normal is perpendicular to a tangent, the slope of
2
"
the tangent is "# . Therefore, y1 x œ # Ê 2y 4 œ 1 x Ê x œ 3 2y. Substituting in the original equation,
y(3 2y) 2(3 2y) y œ 0 Ê y# 4y 3 œ 0 Ê y œ 3 or y œ 1. If y œ 3, then x œ 3 and
y 3 œ 2(x 3) Ê y œ 2x 3. If y œ 1, then x œ 1 and y 1 œ 2(x 1) Ê y œ 2x 3.
41. y% œ y# x# Ê 4y$ yw œ 2yyw 2x Ê 2 a2y$ yb yw œ 2x Ê yw œ y x2y$ ; the slope of the tangent line at
È3
"
È È
È
Š 43 ß #3 ‹ is y x2y$ ¹ È3 È3 œ È3 4 6È3 œ " 4 3 œ # " 3 œ 1; the slope of the tangent line at Š 43 ß #" ‹
#
4
Œ
is
x
y2y$ ¹
Œ
È3
4
ß
œ
1
2
È3
"
#
4
28
4
ß
#
2
œ
2È 3
42
8
œ È3
42. y# (2 x) œ x$ Ê 2yyw (2 x) y# (1) œ 3x# Ê yw œ
œ
4
#
y# 3x#
2y(2 x)
; the slope of the tangent line is m œ
œ 2 Ê the tangent line is y 1 œ 2(x 1) Ê y œ 2x 1; the normal line is y 1 œ "# (x 1) Ê y œ "# x 43. y% 4y# œ x% 9x# Ê 4y$ yw 8yyw œ 4x$ 18x Ê yw a4y$ 8yb œ 4x$ 18x Ê yw œ
œ
y# 3x#
2y(2 x) ¹ (1ß1)
x a2x# 9b
y a2y# 4b
œ m; (3ß 2): m œ
(3)(18 9)
2(8 4)
œ 27
8 ; ($ß #): m œ
27
8
; (3ß #): m œ
27
8
ß
5
4
(b) yw œ 0 Ê
and yw k (2 4) œ
ß
#
3y x
y# 3x
4
5
œ
2x$ 9x
2y$ 4y
; (3ß #): m œ 27
8
44. x$ y$ 9xy œ 0 Ê 3x# 3y# yw 9xyw 9y œ 0 Ê yw a3y# 9xb œ 9y 3x# Ê yw œ
(a) yw k (4 2) œ
4x$ 18x
4y$ 8y
3
#
9y 3x#
3y# 9x
œ
3y x#
y# 3x
;
œ 0 Ê 3y x# œ 0 Ê y œ
x#
3
#
$
#
Ê x$ Š x3 ‹ 9x Š x3 ‹ œ 0 Ê x' 54x$ œ 0
Ê x$ ax$ 54b œ 0 Ê x œ 0 or x œ $È54 œ 3 $È2 Ê there is a horizontal tangent at x œ 3 $È2 . To find the
corresponding y-value, we will use part (c).
(c)
dx
dy
œ0 Ê
y# 3x
3y x#
$
œ 0 Ê y# 3x œ 0 Ê y œ „ È3x ; y œ È3x Ê x$ ŠÈ3x‹ 9xÈ3x œ 0
3
3
Ê x$ 6È3 x$Î# œ 0 Ê x$Î# Šx$Î# 6È3‹ œ 0 Ê x$Î# œ 0 or x$Î# œ 6È3 Ê x œ 0 or x œ È
108 œ 3 È
4.
Since the equation x$ y$ 9xy œ 0 is symmetric in x and y, the graph is symmetric about the line y œ x. That is, if
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.