Statistical Mechanics of Model Colloid

 ! "
# $ %&&'
( ) *
+ ) * * *,- ) * ! + ) . - )
- " + + +
+ / *
) , ) + "
, + ) +
) " ) +
)
+
0 1*1 ( +- ) 1*
1 + ,- ) + ) ) * ) + )
) + 1 "
) +
*
), ! ( - ) ) ( , ! 2
) , - ) ) - ) !
3 ( ) , , 4
, )
+ - ) *
+ !)- - )- )- ,) 2 5 , ! ) ) - ) +
- , !- )
2 , 6
6- ) ( ,)
# ) 7) !8 - # ) ) ! ) ) 2 !2,
6 62 ) ( 5 ,) - - 9 - - $- )
( ), )
) : ), ; ) + ) ), $ )
6 4
) # '<<= # %&&'
! 6 6- >
%'
( ?
%%
'&
%@
4
9 #
'A
%B
0*0 # '<
%C
4
9 $+
%<
%C'
@&
%C%
*D, @@
%C@
"*> @B
%A
$ *# + B&
%?
! BA
! "
#
@'
( C'
@%
( 4/ C@
@@
3
!
C=
@@'
( 0
C=
@@%
, 0
A&
@B
+ :
AB
@C
! ?%
$ %
%
&
'( )
#
B'
( ?C
B%
#
E
??
B%'
?=
#
B%%
B@
! ='
! =@
# *
! %
& ! "
C'
( =C
C%
"
"
=?
C%'
6 "
==
C@
$ ! "
$3 <B
CB
$3 9 , <=
CB'
$ 4/ 3*0 "
<=
CB%
, " 4 '&&
CB@
, 0
" '&@
CBB
0
'&=
CBC
"* '&<
CC
! '''
, -
.
%
%
&
A'
( ''@
A%
"*" (
''B
A@
$ ''<
AB
! '@%
* ?'
( '@?
?%
4+
# '! '@?
?@
$
,
*3
)
'! # 'B&
?B
"*> 'BB
?C
+
+#
?B'
$ 3*!
"*> 'BB
?B%
0
) 4+
6 'BA
! 'C'
/
#
01
!
##
2*
#3
''
B
%'
$ $
,
*3
)
''
%%
$
,
*3
)
'B
%@
) * / 'C
%B
#
. '=
%C
6
. *D, %'
%A
$ " %C . %%
%?
$ " %C . %@
%=
$ " %C . %B
%<
$ " %C . %C
%A
%?
%'& $ " %C . %'' $ " %C . - - F *
- - $3 . -
%'% . %'@ D, %'B "* . - - @'
@C
@=
%'C +
. %'A $ " %'C . BB
B?
%'? # / * @'
- E
* ) )
@%
B@
CC
)* )
C?
+
@@
@B
#
,
0 . AB
@C
F / * !" ) $ " @B B'
$ * +
??
B%
6 =&
B@
#
F ) + =&
BB
0 =%
BC
! =@
C'
C@
AA
A=
) 1*1 ! )
, C%
"* <@
'&'
F !" ) ) *D, '&A
CB
0
'&?
CC
A'
"* A%
0 ''C
A@
''A
AB
$ *
AC
'&=
''B
''?
0 )
AA
F !" )
'%'
#
* 1 )
'%%
A?
0 ) ) )
'%C
A=
0 ) / +
A<
'%A
(
$
,
*3
)
+ )
. '%?
+
A'& 0 )
+ .
'%=
A'' E )
+ . '%<
A'% $ " A< . A'@ $ " A'' . A'B $ " A'' . A'C $ " A< . A'A $ " A'& . A'? $ " A'' . ?'
'@'
'@'
'@%
'@@
'@@
'@B
0
) +
* , '! $
,
*
3
)
. 'B?
?%
$ " ?' . 'B=
?@
, '! $
,
*3
)
'C&
' !
'C<
% G @! 'A'
%'
) * *
) @'
%&
+ 1*- 1*1- )
, * , * +
) . , 0
+
?&
6 ) / - )- 1F * ) - ) - + ) , ) *
) ) +
( H'I 3*G,
H%I )
+ ) J*
+
, 1 - . (- ) *
1 )
2 ) ( , 1 )
- 1 * , 1
K!"L !" + * +
+
*
!" ) , - - ) +
H@I )
'
%
'<BA 1 )
'<A& , HBI- ! HCI- # / HAI ). H?I , 1 6 H=I H<I !" 1 - +
*
1 ) 6 H'&I + ) !" H''I ) !"
+
( )
+
1 ) 0+ 1 - ) . ' '
- - 4
+
) + 1 - *
- ,- 0+
1 - + 1
) + 1 - - )
) ) )
/ ) 1 * $ + ) / + 1 6 H'@I
$ +
) - )
, $ / ) - - / H'%I ) - / * * #
@
+ 1 * +
)
, / +
) ) ( +
) ) * # * +
) ) + $ + 1 . ( / ) - - +
)
- 6 H'BI H'CI 0
+
) ) M . )
- - J*
4 )
H'AI ) 1) / ( /
* + )
, ) :) ) H'?I
*
*
) - M - ) " '' ) ) ) + M ) ) *
$
- , ) ) ) + " '' M
- ) + $ 0 ) ) ) / ) B
" ''9 ) ) N
5 ) + ) + ) * +*
- ) )
$
,
3
)
H'<I *
+ >2 H%&I- ) + $
,
*3
)
K$3L * + ) - * +
- * *
)- ) , 1 ( , ) ) )
- ) + + ) M ) ) ( ) ) ) ( - $3 * + ( - +
+ ) /
$3 ( C
) )9 % ) $
,
*3
)
* + *
/ * ) +
+ ) . - ) - / +
, +- ) ) H@@I
( @ ) * *
- - / +
$ )
/ , 1*1
, ) * )
*1 *
)
/ )
)
( B ) !" ) + *
* 1 / . ) 1*1 - ) +
/ * ) ) + H'=- C=- C<I ( . C ) $
,
*3
)
. , ) ( A ) ) )
) ) , , " ) ) . "
- ?- ) +
*
$3 +
) +
* 0 , =
( '<CB- $
,
3
)
) ) ) K
L - / *
) ) ) / *
) H'<I / . H'<I (- ) - >2 ) *
) * + *
H%&I - + - )
) $
,
*3
)
( * +- ) - )
*
)- + **
) - *
- ) ( - >2 +
1*1 + H%&I $ ) - E
H%'I / ) $
,
*3
)
* + ) * - *
A
?
1* + ) . ( - M
. 1*1 + - - ) ) ) ,,,, *
H%%I , )* +
+ *
- - 4+
* + + 1*1 K *L ) . H%A- %?I ) )*
*
* + . - / - , ( ) ) + $ *
- , * )- +
+ #
* ) +- / . - )* H%=I
*
. H%<I ) +
H%=I H@&I $
,
*3
)
*
*D, +
+ 3*G, 6
) + )
- M , ) ,) K*D,L ( ) , $
,
*3
)
/
3 + +
*
) ) ( )*,) $
,
*3
)
- )
*
+- ) =
H@'I M $ )
, . + / * 6- )
) / * +- ) H@%I / .*- *- )*
* ( *0
) $
,
*3
)
( / , .- - ) ,) H@@- @BI )* ) $
,
*3
)
KL - ) ) - . - * * .
) + / ) +
*0
)
$
,
*3
)
!2,
/ * . -
) ) ) ( %%- ) + + /
* , 1 ( %@- ) $
,
*3
)
. ( %B ) ) *D, / * ( %C ) /*
) * ( %A- ) ,
) $
,
*3
)
+*
/ $ )
/ ) . %?
<
)
*
$ / *
) - ) - *
),- / ) - )
) ) ) - )
* *
$ * + *
$
,
*3
)
K$3L + *
* ) ) - *
*
) + **
) ) 9
)
)
K%'L
-
- ) " %' ) $3 M )
+ ) $ ) )
- / ) ) ) * + $3
)- ) + , +
'&
1
3
2
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
1111
0000
1111
0000
" %'9 $ $3 * K
L , ) - *
K
L * , ) $3 K%=L ) ' % $ / ) @ )
K@''L
- @! - - +
+
- ) + K
L
) , . - K
L /
K
L ) 6 H@%I ) . K
L
, 9 - )
K%%L
( / *
-
''
+ *
) ) / K%@L
/ - )
1 +
+ ) * 9
) 3
- -
K%BL
,) - + - - - ) +
* * ) .- - )- *
( +
+
K%CL
+
H@%- @=I- ) )
'%
) KL , K%AL
- KL ) , * 4
+
) 5
5 - + % # *
+
KL - - / * + H@%I ) +
- *
*- -
.* - " - ) ( ) 4K%CL - * - + - ) ) K%?L
, )* ) ) 9
/ ) ) - ) ) + +
+ )
$
,
3
)
H'<I
¿
¿
¿
¿
¿ ¿
K%=L
$
,
*3
)
) ) - " %%
'@
0.5
0
−0.5
q = 0.1
0.4
0.6
βφAO(r)
−1
0.8
−1.5
−2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
r/σc
" %%9 $3 . , - ) , *
* M
4+ + * H@BI
" M . + ) ) KL ) + + ) H%'I .- " %@ ) ) + * #
* - ) *.- )
/ $ - - . 4K%AL " . - )*
$
,
*3
)
/ * )
$
,
*3
)
+
- / *
'B
" %@9 ) * / - 4K%CL ) . "
+ * / .
K%<L
) / KL ) $
,
*3
)
1
( , - 1 * F - . - / - * + * + H@%I )- . )
/ +
- * - *
*
- . -
@* ) *. ) *. - ) ( )
) ) / K%<L - ) *
" . * +
# 'C
E
H%'I / K
)L K%<L ) ( +
- +
- - $
,
*3
)
+ *
H@@I ) / *
) - # ) ) + ( ) )
+
$ *0
) +
/ K%'&L
) ( H%@O%CI ) K%''L
-
) ) 0
*#
+ H@<I 1- HB&I ,
+
4K%''L - + - 0*
( * $ ) ) 0 )
+ + - ) +
" 6 HA%- A@- A<I
( " %B 6 H@@I . 'A
K L ) *
+ .
( K L ,) ) ) + H%%I , + + ) - +
+
" @@ " 1 ) - )- - ) 1* ) M
+ 1 - - ) ) E
H%'I K
%CL ( + * + H%A- %?I
H@'I +
1 ) - ) M #
+ 1*1 1*1 + ) 1* "
1*1 + $
/ ) , - . 6
,
- . *
$
,
*3
)
) H@'I- ) , +
* - ) N
5
* ) ) ) 6 H@'I- ) ) ,
/ ) , "
- + * - *
+ ) ) ** KL *
+ ) *1 - *
* 1* : , - / ) K*
0.8
'?
0.8
q=0.4
(a)
q=0.1
0.6
(b)
0.6
F+F
r
ηp
r
ηp
0.4
D
F+S
0.4
C
F+F
F+S
0.2
A
0.2
F
0.25
F
S
0.50
ηc
0.0
0.00
0.75
0.8
0.6
0.6
r
ηp
0.2
0.0
0.00
F
S
A
0.25
ηc
0.4
A
0.2
F
0.50
0.75
(d)
C
r
C
0.4
0.75
B
F+F
D
B
0.50
ηc
F+S
q=0.8
(c)
F+S
F+F
D
ηp
0.25
0.8
q=0.6
S
S+S
C
0.0
0.00
B
0.0
0.00
0.25
ηc
S
0.50
0.75
" %B9 * + ) . K
L
- KL
- KL
- KL
, , / * H@@I 1 KL - - - - 1*- K
L
1*1 * + , ) ) ) '=
L * + $
,
*3
)
+ ) +
, # *
* + , H@%I-
* + * + (- * * + *
* + . H@%I
" + . / *
/ *
&&@@ * + H@%I $ ) * + - )
* + / , ) ) / * K%<L +
( $
,
*3
)
* + ) + *
* ) - D,
)
H%BI *) H%CI
0 H@@I * *
) ) ) *
*D, $3 E
) ,)- * 1 #
) ) - ) /
) )
- - ) (
" %C*%''- ) ) *D, H@CI
. , " %B '<
#
0
&%C&
$
0
!
&B?C
&B%C
&%B&
&&%
$
0
!
&B=&
&BB&
&%@&
&&%
$
0
!
&B=&
&B?&
&%'&
&&%
&'A&
&%&&
&B&&
&BB&
&C&&
&%&&
&A&&
&B<&
&A&&
&%&&
&?@&
&B=C
&A&&
%'9 ) * *
) , , , " %B
, %' D + $ D " %C*%'' ) D ,
( + K
L ) / D " $ ( / ) ) +
) * 1 .
)
/ ,
#
&=
, / $ )
* %? )
) , ) +
6
%&
2.5
(A)
(A)
5
2.0
4
1.5
g(r/σc)
S(kσc)
3
1.0
2
0.5
1
0
0
1
2
r/σc
3
4
0.0
5
7
0
10
kσc
20
30
2.5
(B)
(B)
6
2.0
5
g(r/σc)
1.5
4
S(kσc)
3
1.0
2
0.5
1
0
0
1
2
r/σc
3
4
5
0.0
0
10
kσc
20
30
" %C9 / * - $
,
*3
)
K%=L- )
. ) / $ - , " %B %' D H@@I
7
%'
2.0
(C)
(C)
6
1.5
5
g(r/σc)
4
S(kσc)
1.0
3
2
0.5
1
0
0
1
2
r/σc
3
4
0.0
5
10
0
10
20
kσc
1.5
(D)
(D)
8
6
g(r/σc)
S(kσc)
1.0
4
2
0
0
1
2
r/σc
3
4
5
0.5
0
5
kσc
10
" %A9 / * - $
,
*3
)
K%=L- )
. ) / 0 !- , " %B %' D H@@I
6
%%
3.0
(A)
g(r/σc)
(A)
5
2.5
4
2.0
S(kσc)
3
1.5
2
1.0
1
0.5
0
0
1
2
r/σc
3
4
0.0
5
0
10
kσc
20
30
3.0
7
(B)
(B)
6
2.5
5
2.0
g(r/σc)
4
S(kσc)
1.5
3
1.0
2
0.5
1
0
0
1
2
r/σc
3
4
5
0.0
0
10
kσc
20
30
" %?9 / * - $
,
*3
)
K%=L- )
. ) / $ - , " %B %' D H@@I
%@
2.0
5
(C)
(C)
4
1.5
3
g(r/σc)
S(kσc)
1.0
2
0.5
1
0
0
1
2
r/σc
3
4
0.0
5
10
0
10
20
kσc
2.0
(D)
(D)
8
1.5
6
g(r/σc)
S(kσc)
4
1.0
2
0
0
1
2
r/σc
3
4
5
0.5
0
5
kσc
10
" %=9 / * - $
,
*3
)
K%=L- )
. ) / 0 !- , " %B %' D H@@I
6
%B
3.5
(A)
(A)
3.0
5
2.5
4
g(r/σc)
S(kσc)
3
2.0
1.5
2
1.0
1
0
0.5
0
1
2
r/σc
3
4
0.0
5
0
10
kσc
20
30
3.0
7
(B)
(B)
6
2.5
5
2.0
g(r/σc)
4
S(kσc)
1.5
3
1.0
2
0.5
1
0
0
1
2
r/σc
3
4
5
0.0
0
10
kσc
20
30
" %<9 / * - $
,
*3
)
K%=L- )
. ) / $ - , " %B %' D H@@I
4
%C
2.5
(C)
(C)
2.0
3
1.5
g(r/σc)
S(kσc)
2
1.0
1
0.5
0
0
1
2
r/σc
3
4
0.0
5
6
0
10
20
kσc
2.0
(D)
(D)
4
1.5
g(r/σc)
S(kσc)
2
0
1.0
0
1
2
r/σc
3
4
5
0.5
0
5
kσc
10
" %'&9 / * - $
,
*3
)
K%=L) . ) / 0 !- ,
" %B %' D H@@I
10
%A
1.5
(C)
(C)
8
1.0
6
g(r/σc)
S(kσc)
4
0.5
2
0
0
1
2
r/σc
3
4
0.0
5
0
10
kσc
20
" %''9 / * - $
,
*3
)
K%=L) . 0 , " %B
%' D H@@I
&= ( + #
0 1*1 ) - 3*G, 2 - ) 0 *1 - &=- ) / 0
*1 " %'' ) ( D 3*G, - ) - )
D +
- %B
&= - - ! #
! , - 5 5 1*1 + 1* &A &C $ ) +
)* * 1 $- ; HB@I ( 1 - 1 - - ) .
)*
%?
) : - %=
), H@%I
*> H%@I . * ! 0 1* + '&A 'A- ) %=C *
. )
$ , "
&= .
+ 6 > HBBI ) * % ) " M *
1*1 + ) 1*- ) 1*
#
! "
( ) +
*
+ E ) / * K%<L )
- D *
* + 1*1 E
H%'I *D, K +$ L ) , $
,
*3
)
,,,*
, H%%I * 2 , / P *
"* +F + / * $ - - ) . ) - -
%<
N +
5 H@=I
) +
. ) )
, - ) . , * 1 K%'%L
) - , +
- ) ,) ,
HBCI +
+ ) ) ) ,* - )
K%'@L
)
) ) , )
E
H%'I ) .
+ K%'@L ( ) ( K%'@L + ) + *
1 ) 0
*#
H@<I HB&I +- ) >* HBAI 1 ;
* HB?I " %'% ) " %B ) 1* - 1*1 0.8
@&
0.8
q=0.1
q=0.4
(a)
0.6
(b)
0.6
F+S
r
ηp
r
ηp
0.4
F+F
0.4
F+F
0.2
0.2
F
F+S
S
S+S
F
S
0.0
0.00
0.25
ηc
0.50
0.0
0.00
0.75
0.8
0.25
0.8
(c)
q=0.6
ηc
0.50
0.75
F+S
q=0.8
(d)
F+S
0.6
0.6
F+F
F+F
r
ηp
r
ηp
0.4
0.2
0.0
0.00
F
0.2
S
0.25
ηc
0.50
0.4
S
F
0.75
0.0
0.00
0.25
ηc
0.50
0.75
" %'%9 * + % / * ) . K
L
- KL - KL - KL ,
, 1 KL - - - - 1*- K
L
1*1 * + "
@'
- ) / *
*
)
,- + ( K * L - ) ( ) ) "
- 1*1 . ( - ) ) 1*1 - * "
1* 1
$ K"00*"00L * - ) - )
, ) 1*
( * )
), E
H%'I *1
/ .
)
F )
3 - 1*1 ( - - ) ) ( / / + )
) + ) *D, > ) 1* /
1*1 >*
+ ) - / ) / ) *D, >* + *D, $
- )
/ / ,* / 1* 1*1 ( )- " %'%
@%
( ) D / * )* $ D ) * $3 ) + *
) ( )
,) H@=I + , ,) - - *
+ ( ,) +
) F ) )- )
+
,) + )
) / +
4+
) ) - - + ) )
) ,) +
- K%'BL
) ) -
- , - ) ) N
5 ( 4K%'BL D -
+
) ( ) *+ ) . ) " %'@ *
" . +
*
- + D + *
@@
D $ *
D ) D +
( *1 ) D 1 - 4K%'%L- $ )
- ) , *
) + *1 1*1 *1 / . ) 1*1 ) 1*1 !
$ * + )
,,,, H%%I ) +
- / ( ), ) / K%<L- $
,
*3
)
+ 6
) H%%I ) ) +
0 ! ! K%'CL
- - ) +
9
! !
K%'AL
0.8
@B
0.8
q=0.6
q=0.4
F+S
0.6
0.6
F+S
ηp
F+F
F+F
r
r
ηp
0.4
0
S
F
0.2
0
0.2
0.6
ηc
0.8
0
S
F
0.2
0.4
0
0.25
ηc
0.5
0.75
F+S
q=0.8
0.8
0.4
0.6
F+F
r
ηp
0.4
S
F
0.2
0
0
0.25
ηc
0.5
0.75
" %'@9 D . , , 1 KL 1* 1*1 ) D @C
K%@L K%CL ! !
) K%'?L
! - K%'?L ) , N#)
5 - , + ) . ( 4
K%'AL ) K%'=L
) H@%I ) + * + $ - )
( * H@%I-
+
H%%I 4K%'=L ) ) "
K%'<L
) " ) , . * *
1 - ) " $ ) ) " ) $ 0
*#
+ 1 $ +
+ " H%%- AAI ) "
#$ %$ &$ K%%&L
) $
- # ! - %
!
&
) /
! ! @A
" "
" K%%'L
K%%%L
) * 1 + - - + 4K%'<L ) * ! ! , + ) +
) '
'
'
' ' ' '
' '
K%%@L
'
+ ) +
"
( * - )
. ) " %'B
"
) *
1*1 : ) 1*1 ) 1*
( ) ) ) ) ) 1 N5 + "
) - 1
3 . ( ) - * )
)- ) -
0.8
0.8
q=0.1
q=0.4
(a)
0.6
(b)
F+S
0.6
r
ηp
@?
F+F
r
ηp
0.4
0.4
F+F
F+S
0.2
0.2
F
F
S
S
0.0
0.00
0.25
ηc
0.50
0.0
0.00
0.75
0.25
ηc
0.50
0.75
3.6
1.6
(c)
F+S
q=0.6
F+S
q=0.8
(d)
1.4
3.0
1.2
2.4
1.0
r
ηp
r
ηp
0.8
F+F
1.8
0.6
1.2
F+F
0.4
0.6
0.2
0.0
0.00
F
S
0.25
ηc
0.50
S
F
0.75
0.0
0.00
0.25
ηc
0.50
0.75
" %'B9 * + ) . K
L
- KL
- KL
- KL
, , 1 KL - - 1* K
L
1*1 +
: / @=
1 ) * + *
1*1 +
)
) +
+-
)
- ) / * +
6 H@@I - ) - N+
5
+ ( - - - * "
* 1*1 *1 N5 - )- )
) * * - ) : ) ( - - M
* ( @*
* ) * / * - K%'?L- /
* -
M * *
*) +
+*
K%'CL " K%%BL
) " +
- , - ) ( " ) " "
) 4K%'<L ( - )- * F + , ) + ( *
+ ) H@%I -
, - ) ,
@<
#
" / ) + ( ) +
) " - ) ) +
*
* - )- . +
$ )
)
, + *
+
+ * ! !
K%%CL
( + 4K%'CL ) * : / ,
( ) * +
)
) K%%CL K%'?L ( $ )
* ) - , + K%=L $3 ) K%%CL K%'?L *
+
. # $ %& ' !
( ) * +- )
$
,
*3
)
3 )
/ * %@ ) + H@%I - )
$
,
*3
)
/
B&
* + ) - - ) . ) " - *
) + 1*1 + )- H@%I ) 1*1 - ) 1* *
* .
H@%I
6 H@%I- ) ,
. / .*- *)* $ 6 H@%I ) ) * - - ) ) ) ( ) $
,
*3
)
K%=L- +
!" HCAI +
E7.
) + ) ,
HB=I )
H@%I K
L 9
) (
( ( ( ( ( ( 0
(
K%%AL
$ .
!" HCAI ) - 4K%%AL ) M / - ) * ) ) 4+
) " %'C %'A " ) - ( K
*
L + +
HB<I B'
, / ) - ) ) : - 4K%%AL $
,
*3
)
!2
+
K
L HB=I
( ) / *
- - ) * :- ) * + ) / K)*L 1* . * H@%I
-
- / ) +
- * - ( ) - K%%AL ) ) " %'C %'A
, ,
HC&I 3 ) 6 H@%I
*1
$ )
$
,
*3
)
/
. ) F )
* 1* ) M - ) H@%I $ )
* +
K
L 1*1 "
F )
H@%I &% 1*1
) , ( - )- 1*1 . F K
L H@%I
#
) - 0.4
2
q=0.1
(a)
q=0.1
0.3
0
F+F
r
η2
B%
βφ
0.2
-2
F+S
r
0.1
η2 = 0.1
r
η2 = 0.3
-4
S+S
F
S
0.0
0.00
0.25
η1
0.50
-6
0.75
0.4
1
1.2
1.4
1.6
1.8
R/σ1
2
2
(b)
q=0.2
q=0.2
1
F+F
0.3
0
-1
F+S
r
η2
βφ
0.2
-2
r
η2 = 0.1
r
η2 = 0.3
-3
0.1
-4
F
S
0.0
0.00
0.25
η1
0.50
-5
0.75
-6
1
1.2
1.4
1.6
R/σ1
1.8
2
" %'C9 * + ) . K
L
- KL - , , / * 1 KL
- - - - 1*- K
L
1*1 * + / * + K
L $
,
*3
)
K L * + ) K
L &@ KL
0.4
2
F+F
q=0.4
(a)
q=0.4
1
0.3
0
F+S
-1
r
η2
B@
βφ
0.2
-2
-3
F
0.1
r
η2 = 0.2
r
η2 = 0.4
-4
S
-5
0.0
0.00
0.25
0.4
η1
0.50
1.2
1.4
1.6
1.8
R/σ1
(b)
2
q=0.6
0.3
0
r
η2
1
2
F+F
q=0.6
-6
0.75
βφ
0.2
F
-2
S
r
0.1
0.0
0.00
η2 = 0.2
r
η2 = 0.4
-4
0.25
η1
0.50
0.75
-6
1
1.2
1.4
1.6
R/σ1
1.8
2
" %'A9 * + ) . K
L
- KL - , , / * 1 KL
- - 1* 1*1 + / *
+ K
L $
,
*3
)
K L * + ) K
L &B KL
BB
* * 1- 1*1 $
1*1 ) ( ) 1*1 )
, ( "
#
$
%
) " %'C %'A ) *
K" %BL K" %'%L $
,
*3
)
/
0
) )
), " " %'C %'A E7.
$
,
*3
)
/ - ) / "
) - E7.
) $
,
*3
)
) ,
1* * ) $ - *
) ) * ) E7.
) - ) 1*
) E7.
$
,
*3
)
1 ) E7.
- 1 ) *
) $
,
*3
)
1*1 / ) / K L $ ) , / " $
,
*3
)
1*1 )
* +
E / ) ) - ) + / $
,
*3
)
. 1*1 BC
* + *
, 1*1 - -- ) - ( )
( ) $
,
*3
)
* + $ $
,
*3
)
) ) +
/ * *
0 )*- $
,
*3
)
- +
/ ) - . - )
) *
1* * )- 1*1 1 *
+
K%'@L *
. ) *
N
5F )
( 1*1
)
*D, )
) $
,
*3
)
) H%%I * / *
M , ) )* +
/ )- ) ) $
,
*3
)
/ *
) $
,
*3
)
+
) " . ) BA
3
q=0.8
q=0.6
q=0.4
2
S(kσc)
1
0
0
10
20
kσc
30
40
" %'?9 / * - $
,
*3
)
K%=L- ) . - &B 4
K
%'L
1*1 , * 1* )
- * *
- )- . :) HC%I ) ) / * ) "
) ) $
,
*
3
)
* + "
1* * - 1 ) ) /*
) $ ) ) / /
1*1 *
) +
( +*
K$L *
B?
- ) H%?I )- + - N
5- . + H%?I $ * :- )- - ) /- - ) $
,
*3
)
- ) - H@'I
$ ) + *
!*
- ) 1+ - - ) ) $
,
*3
)
) H@'I 6- ) *
HC'I +
HC'I / )
6 HC@OCCI ) / 2 * )
1 - - ) +
/ D *
)
) 6 H@@I + #
* ) )
$ .
- &%B H%=I $ K) L , - )
) ) . , F - )
+ ) ) ( - ) )
(
" %'?- ) H@@I - , - - ) A ! K
L : B=
)- D * " %C- %?- %< "
&B- - ) , # )
F - ,
+ H%=I
( - M ) * 1 $
,
*3
)
$3 / ) ! "
" * +- + / .- - ) * / H%'- @@I H@@- A&- A'I , *
+ ) ) * + ) # - + ) - ) ) + K* *
L 1 HC=- C<- ABI H'AI ( + / * 1 K L - ) / *
M , 6
+- ) - *
- ) *
( ) ) *
* +- 2 +
) , +
) /
- /- ) / - - B<
! "
C&
- 1 1 " +*
- ) . - *)
/ .- )* * ( , - * )
/ +
K!"L ) 0
)
+ )
. ,)
/
+ 3 - )- ,) *
/ - +
+ K , +L K
L ) ( @% ) ) ) / +
#
. ) +
)
+ + ( @@
) ) ) ) *P
*
H%%I
P *
H%'- @@I * - ) , # ) )
F .
)*,) K
L 1 / @B% !" ) )
) $ K
L - )
) - 1 )
@C ) ! "
C'
" *
+$ '
) / * + +
") 6 H''&I ) ),
* *
- - ) -
- +- ) % +
- ) ) )- /- +
) 9
)
) K@'L
. - - ) * *
9
)
K@%L
)
) 4K@%L .
K%@L- ) ) ( - + *) ) . * / -
/ - ) )
+
- - +
+ - *
)
K@@L
K@BL
( - - / -
- * - * - ) -
/ ! "
C%
- *
- 4K@BL +
K*L ( ) ) - * +- .
)
- - ) ) * ) $ +
- 4K@BL + +
9
) ) K@CL
( + ) +
* " - ) +
9
) +
+
+
+
+
K@AL
) .
+
$
- +
- +
+
4K@CL : -
) - $
4K@AL ) H@=I 9
K@?L
) KL , ) - >
) ) ) - KL * *
( ) ) +
) ) * $ % / -
-
! "
C@
Rz
(σc+ σp )/ 2
σp / 2
" @'9 * 4K@AL + ) + , )
) ) " - ) K@=L
- )
) - ) , - . " * - *
- )- )
- *
+
) + - - ) ) $
,
*3
)
- 4K%=L ( 4K@AL - )- 4K@AL 4K@@L- ) (
$ ) - - * *
.- )
) ) . + - ) K " %@L +
H@@- A'I ) ) $3 + / / , -
( *
! "
CB
/ , / . * -
) $ /
/ )- - - + , / / HA'I : / + H@%I
( ) ) ) ) ) *.4K@AL +
+ / - ) " . ) ) ) )
+* )
)
K@<L
) 4K@AL . - , - - )- )
.* *
- .
- + - - ) - )
)
) ) + ) K@'&L
) * "
" " " )
K@''L
! "
Rz
CC
Rz
σp / 2
σp / 2
(b)
(a)
" @%9 ) 4K@AL " . K
L + ) ) + )
)* )- .
KL , $
,
*3
)
- - ) " $
,
*3
)
) )
: - - $3 F ) )
)
)
/ )
*
( +- - ) )
/ ) 3 ) 4K@@L ( ) ) )* -
- ) ( - ) )
- )* 4K@AL , $
,
*3
)
+ + ) * +
K L- ) )* )- ) , )
- ) + )
* + - ) )
)
- KL - - ) ) / *
1 )
) ) K@'%L
! "
CA
) * , ( ) ? * .- / - - +
) ) ) . - + +
) + / * / , * )
+
: -
- $ ) , )
+
- +
) $ ) +
4+
) +
1 HABI K
K L L ) ( / , F ) $ )
- - 1*
1 - / , 1 / / )- ) ), + ) - ) ) ) $ 1- / ) - ) *
,* & )
&
"
/ - - / * ) 2 +
3 / ) , / * * 1 - )-
! "
C?
) / - F 3 - / - ) - ) - ) F ( ) , 9
Æ ) Æ) K@'@L
) , 4K@%L HACI (- )- )
4K@@L - ) * ) * - + ) ) / ) , 9
:)- *
Æ
) Æ) K@'BL
4K@AL ) - ) K
+ L / Æ ) Æ) ) Æ) Æ
Æ ) Æ) K@'CL
+ + ) ) *
) $
,
*3
)
- ) +
+ " 4K@'CL ) - ) + F *
( / K%=L $ +- )* / - ! "
C=
/ ) K
L * +
+ )- - ,) * - / + 9
) K@'AL
+ +
- ) ) - . ) M / 4K@'AL
. ) - - ) .
" . - - ) + + ( , ' "
( 4K@'AL - )* - - ) )- , 1 ) * 4K@'AL + - - 4K@'AL ) , +
) K@'?L
, ( 4K@'?L , , / ( ) , ! "
C<
N
5 * - / ) F ) * 4K@'?L " 4K@'?L + +
+ " * + K@'=L
" - - )
/ *
, 4K@'?L " ) * H%%I *
P H%'- @@I , ( ,) , - - *
. ) ) ) K 4K%'BLL
K@'<L
+
+ * *
- - ) KL K
L - ) ) ) / - * 0
6 H@@I #
4K@'<L # )
, K
4K%'%LL , H@@I ) $
,
*3
)
, - ) - ) * ,,,, H%%I , - - / 4K@'?L ( * , * + ! "
) ) A&
4K@@L ! ! K@%&L
" K@%'L
" - ) K L ) 4K@'=L ( ) . - ) / $
,
*3
)
+
- )
) * P " 4K@'?L 4K@%'L ) 4@'< ) -
. * K@%%L
- . *
1 # +
) .
4K@%&L . 4K@'<L- ) ( 6 H%%I
" " - ) - ) HAAI +
( )
) * +
) * K@%@L
+
0
"- ) 4K@'?L ) *D, ) )
+ ) ! "
:- A'
" K
L + * +
" ) ) + ) *
+
1*1 +
( . - ) +
- +
+ HAAI "- ) *
- +
+
K@'?L +
/ * / ) ,) . $ ) 4K@'AL
)* ) ) - , E +
,) KL *
) " K
L - 1 H%%- @@I "
) ) 4K@'AL ) " K@%BL
) " Æ ) Æ 4K@%'L +
¼
" , - ) ) " ) "
¼
- 4K@%BL "
: 4K@'AL *
, * + )- ,) + /
,) +
H@%I - ! "
0.5
0.5
q=0.1
(a)
q=0.1
(b)
0.4
0.4
F+F
0.3
0.3
r
ηp
ηp
F+S
0.2
S+S
F
0
F+F
0.2
0.1
0
A%
0.1
0.25
ηc
0.5
F+S
F
S
0.75
0
0
S+S
0.25
ηc
0.5
0.75
" @@9 / * - $
,
*3
)
.
H@@I ( K
L , ,
( KL ) - , + +
" # 1 KL
) "Q#- "Q" #Q# - - 1*- 1*1 * + +
. ) K*
*
L * / - - )
* +
( . -
- " +
. * ,
) / ) H@%I
" !
- ' .
( ) * +
"
( ) . * K$3L + *)
+
K@<L )
- ) ( )*
,) * 1 *)
, - ) , , KL 1 )
" +
*
K!"L
1 +
! "
A@
)
*
3*G, HA=I " + *
)
. , - K
L , + 6,
. HA?I ) , , 4
, , 1 *, )- , + ) !"
( ) $3 + 1 ) ) K@%CL
,
3 - ) , / 1 -
)
)
)
* K@''L - ) HA=I ½ ·
¾
,
K@%AL
) , )
: 4K@%AL . * 4K@''L
( , ) ,
* 1 )- - ,
)
#
!# !
. K@%?L
- )
- # -
K@%=L
* ) ) * HA'I #
9
,
K@%<L
! "
AB
2.5
6
(a)
(b)
0.9
2
0.7
1.5
3
ρσc
3
ρσc
0.5
4
0.3
1
0
1
2
3
4
2
0.5
0
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
z/σc
z/σc
16
(c)
0.9
12
0.7
3
ρσc
0.5
8
0.3
0
1
2
3
4
4
0
0
1
2
3
4
z/σc
" @B9 0 )
9 0
) !" ( , ,
. , K
L K L KL KL ) +
: ! "
AC
4K@%CL K@%AL 4K@%?L K@%<L ½ ·
¾
K@@&L
) )
* - $3 ) ( . +
4K@%AL *
!" / - +
)
'( "
, +
)
( ) !" * 1 ) 1*1 + - ) K L- # *
) - * 1 ( N,5 - $ / !" ) *
K L ) H'&I
) K@@'L
) / )
)
1*, K L 1 ) ) 6 H==I ,) ) H'&I ) $ *
! "
6
AA
15
2
(a)
(b)
1.5
4
10
3
1
3
ρσc
ρσc
0.5
0
2
0
5
0
1
2
3
4
z/σc
0
0
1
0
1
2
2
3
3
4
4
z/σc
30
1.5
(c)
25
1
20
0.5
3
ρσc
15
0
10
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
z/σc
" @C9 0 )
9 0
) !" ( , ,
. , K
L K L KL KL ) +
: ! "
A?
( / ) K@@%L
# , ) , - - /
)
4*
Æ Æ )
, , , ) )
$3 + )
- ) , -
*
H@@I ) " @@ + , 6 H@@I @' $ %@ 1*1 ) - - 1* + . , 1* - *0
/ * ) ) 1*1 / )
) ) !2,
!
6 HA<- ''&I
/ ( - * "
@B
* )
) 6 ) !" 3 - KL - )
9 ) )
3 @B ) +
* * / ) )
:) / KL !" ) " @B 3 ) : KL )
! "
&&&
&&%
&&B
&&A
&&=
&'&
&'%
&'C
&'?
&%&
&%%
&@&
&@B
&&=
&'&
&'%
&%<
&@&
&@B
K1L
&B<B
&B<%
&B<'
&B=A
&B=&
&BA<
&BC@
&@BC
&%'%
&&%<
&&&=
A%4*B
?<4*C
K 'L
&C??
&CA@
&CAB
K1 'L
&&%?
&&'C
&&&B
1*
KL
&&&&
&CBC
&&&?
&CA&
&&'B
&CA<
&&%'
&C=?
&&%<
&A==
&&@=
&A<A
&&B=
&?&%
&&='
&?&<
&'%%
&?'B
&'<%
&?'=
&%'=
&?%&
&@&&
&?%'
&@B&
&?%%
*
K 'L K %L
&&'=A
&A??
&&%C'
&A<@
&&%<<
&A<?
1*1
K1 'L K1 %L
&%?<A
&BA'
&%<B&
&B?B
&@@=%
&B=%
K1L
A=
KL
&&&&&
&&&C'
&&&<?
&&'@'
&&&A?
&&&?B
&&&?<
&&&=B
&&&=B
&&&=<
&&&<%
&&'%'
&&'@@
K %L
&&&?<
&&&?=
&&&=?
K1 %L
&''%'
&''&?
&'%'<
@'9 + K+ , K L K LL 1*- 1*1- )
,
* , * + ) . , 0
H@@I , - - + ) " ! "
A<
N
5 K
L )
( ,
/ )
.
/ , " ) 1 . K
L , )
* " @C
6 +
, $ ) , F !" , / ) !" *
3 + H''BI
N
5 - - - , , !" ) , ! 4K@%AL- ) !"- 4K@@'L ) M ) *0
) * *0
" ) *
)
*
- - ) )
, ( )
- . ,- )
, ,
! "
?&
)
( ) + K%'L +
K@'L " +- ) .
- )
/ * , ) * !" 3 K+
L M
+ * $ ) + )
)
) / ,
( )
) - - !"- ) / *
* - ) !" !" ) ( ,
) - &'- E #
) $ )
- ) ) )
- M # - , )
.
)* , 1* * " @@ )
.
, ) , 3 + / , .
9 L ) ,
L ) )
*1 K
+ L )
, 1* +R >
)
)
*1 , $
) )
.
! "
?'
* + ) , .
"
@@ )
3 ,) ) )
* 1 ) H?&I- ) )
H?'I
#
+ )
- . !" .
6 + )
KL ) ) ) , H?%I !
+ ) $3 )
) ) , / H?BI ) )
.
+ )
.
, ) ) , 1*
6 H@%I 3 6 H?%I ) )
.
) 6 H?BI + #
H?CO??I )
.
) ) , 1* + , )
)
.
* + H?=- ?<I ) ) . $3 + )
+
), ) * ) . @@ )
( *
)
)
)
- 6 + H=&I ) ) 1 *, + 4 ) * +
$ - / , - - )
- ) + ! "
?%
1* K
L
* 1*1 ) ) " @@
) ) B / * + " + )
-
) * / - )- + , H?@I $ !" $3 +- ) + ) . - H<AI ) C
#$ % ( ) ) ) + * + / ) )
!" 1*1 - - +
HC=I $ + - ) *
- +*
K!#L +
+
- * , *
H'=-C=I- + ) - $
) ) :P-
:P- 1 ( )
) ) ) *
* + ) , ) - - )
) ) +
+
HC<I + HC=I $ + +
), 1*1 6 H'=I
$ ) +
/
H@@I - $ ) N 5 -
?@
# $$ %
&' ( ?B
>2 H='I- ) / ) $
,
*3
)
/ H'<- %&I +
- ) 9
KL 2
- KL , + KL ) + HC=- C<I
( . ) +
- +
/ , ) KB'L
4K%=L , + 4K%CL $ - . - / # 1 F )
"
) 4KB'L
*
) )
/ ) - ) ( - )- *
+
,- +
% - ) ), + - - + , - - + 1 F ) ) + 1 K.- - L * + " B' ) * + +
# $$ %
&' ( ?C
Polymer Rich
Interface
Colloid Rich
" B'9 $ * + ) * * 1 +
, H'=I- KL , H'=I H@@I ) +
/ B' 1*1 - "
%B- ) ( ) . - - ) K L 1*1 + ) ) / "&
( ) + 1 ) - +
( *
+
. +
+
+
) K
) 3 ) L ( ) +
KB%L
+ . 1 K%'@L
E
H%'I 1*1 - ) - D- ) ), $ )
# $$ %
&' ( ?A
- ) ) ) + - !
- - - + ) + ) " %'%
- )+ ) ( !" $ Æ Æ ) $
KB@L
#
) # *
4*
.
$ 0
$ H=%I
$
)
$ ½¾ $ +
KBBL
, $ +
) *
) *
/ ) H'&I- *
- * - )
( *
) !
) C A ) ) !" ) , / # $$ %
&' ( ??
) M ) KB%L ) HACI ) / KBCL
) / 1 - *
- *
( 1- * - +
/ +
K6$L- / - M
H'&I ) $
,
*3
)
*
6$ - *D, KDL - ) )
)
% + ) - D K $+$L / M 6$ KBCL D
- *
KBBL !
- 6
D H=@I ) ) - ) /
KBAL
) $3 K%=L - )
) D + - ! # H'&- =%I ( - +
- ) )* "
K%=L KBBL ) $ )* " + ) :P- +
HC=I
# $$ %
&' ( ?=
1.2
q = 0.6
1
0.8
γσc /φcrit
0.8
2
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
r
0.6
r
0.8
r
(η p− η p,crit)/η p,crit
" B%9 $ $ " - + , - K L K
L Theory q = 0.6
0.8
10
γ (μN/m)
1.0
Experiment q = 1.0
5
0
0
0.1
0.2
L
η c− η
0.3
0.4
0.5
V
c
" B@9 / , + K.L K L K L- K
L
K*
L ( ) 6 HC=I K ) L- ) , +
# $$ %
&' ( ?<
$ " KBBL " " F " )* ( " B% ) KL $ , - " $ 1 )
H=%I ( 1 : $ , 3 $ ) "
- "#
+ - ) " B@ ) $ ) +*
6 HC=I 0 - HC=I )
)
$ ! - / ) , + # , +
#
+
) )* : - $ ! - - )
+ . +
) )
, )- ! ) H'=I $ ( , ) + +
1 M ), )- + !# +
/ ) + ) 6 HC=I :P ( , - ,
) $ ) 4*
H=%I $ # $$ %
&' ( =&
0.5
q = 0.8
0.4
ηpr = 0.75
0.65
0.55
0.45
0.3
ηc
0.2
0.1
0
−3.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
z/σc
" BB9 , KL - / , " K L- - ( E - $
- + - - ¾½
¼
$ ½¾ KB?L
) - - ) ) ) + - $ + ( " BC ) ) ) - - ) ! :
! - - " + $ ) +
- +
, )
* , HAC-=BI
" BC ) ) ) - - ) K
*L
+ , - " % " BC )- - - 1 H=%- =BI 6 HC<I 1*1 * + ) # $$ %
&' ( ='
20
q = 0.6
15
0.8
1.0
W/σc
10
5
0
0
0.2
r
0.4
0.6
r
r
0.8
1
(η p−η p,crit) / η p,crit
" BC9 - ) - + - K L- K
L K*
L )
HC=I + +
% )
) ) )
( ) ) ) ) -
) F - )
$ +
KB%L 5*
5
) - $ H'&I ) ( / , - - , 1 *
- + HC=I ) ) ) !"
) / +
) - **, / # $$ %
&' ( =%
*)
1
H'&I # 1
) )- 1
$2 - ) 2 , - ) 1
/ H'&I $
2
- ) 1 $ ) 1 1
) K L * + / )
A
( ) 1*1 * + / * 1 +
1 3 ) )- - ) +
&! !
"
$ ), $3 + / $3 +
. 2 +
, 1*1 ) . L
K
1*1
( . +
- - ) ) $3 ) ) M-
- * / !"
( ) !" $3 ) ) . $ ) !" 1 + ) ) ) 1 H'&I 3 K"L 6 H==I ) - ) + H=<O<AI- 1
+ " +
H<@- <BI- - * + )
H<CI
=@
) *! $ % ! "
=B
( ) ) " 6 H==I $ - - *
+
.
H<%I . 6 ) 6
,
- , 1
) ) * 6 H%%I ) + % @ * + - , + ) ) , *
+ $
) + 3*G, K3GL ) ) ) *D, KDL $ 1*1 - - , + M ,) *
!" K )
H<@- <BIL ) 1*1 ( ) ) , $3 ) ) 1 + *
+ 1 + .
+
$ +
*D, KDL + K $+ $L ( ) ' ) + , / % , /
D / *
) ) % 3 + / !" ) *! $ % ! "
=C
0
0
( ,
H==I D6 + * + *
,) +
)
*
N
5 + *
1 F )
- * 3 K"L , - /
- ) +
K!$L ) , 6 *
) *
*D, KDL ,
- , *
) D *
+ HCA- C?I
! - ) . *
1- ) . )
6 - ( +
@! ) ,)- +
@! +
%! - ( 3 Æ @! +
%! #
+
+
'! . - ) - / &!
6 )
- , +
- $ - N 5 ) H=<- <&I ) . ) )
) &! H<'-<%I
) +
&! - ) * - ) ) *! $ % ! "
=A
" ) 6 - *
+
- $3 , ) ) $ ) + - " $3 &!
+ . ) ),
) ) 1 *
+ ) H==I 6 + ) 6 HCAI 6 +
) +- + ) KC'L
) 4 KC'L ) + /
! !
! )- - ( *D, *:*0
- K
L
- /
) ) ) H'B&I
( / ) ) *
+ ) )
1 1 1 1 1 1 1
1
KC%L
) *! $ % ! "
)
=?
- &
1
1'
&
1
1' KC@L
&
) 1
) 1 1 1
1
& Æ Æ Æ Æ Æ KCBL
) +*
- - *
4 - - ( - )*
- (- )
2 6 ) *
) H'&BI )
) )- - H'&CI (
KC%L KC'L ) KCCL
) ) &
&
1
KCAL
#
) & & - ( ,
- ) *
) *! $ % ! "
==
HAAI
2
2
2
2
#
KC?L
) - # - ) , ) +
) KC'L ) & $ ) +
) *
KC'L ( , ) +
* ) )
H'&AI
' (
( (
KC=L
) ) ) KL K L
Æ( Æ( 1 *- 1 &( - ) KCCL- ) ) 1 &
) , - ) - - 5
) @! ) &
(
(& KC<L
) ( (
+
) +
$ ( & ( ,) ( ) ( ) ')% ( & ) +
) ) ( ( ) *! $ % ! "
=<
(
) " " " " KC'&L
( ) )
) '*+
,
KC''L
) , + , ), 1 4KC''L +
, ( M , ) ( , ( '(
- + 4+ ) ( !(
!(
!(
!(
!
!
# !
!
,
( !(
&
!&
&
KC'%L
KC'@L
)- ,- :) ) KC''L $
KC'%L , 6# 4KC'%L + ) ) /
) +
K ,L ( !(
&
!&
&
!
(
!
KC'BL
) ) ,) HAAI M - - ,) ( KC'&L KC'BL /
M ) *! $ % ! "
<&
/
- ' ) KC'CL
) + ) 4KC'L- ,) )
- 4KC'&L KC'CL KC<L +
) K
L ( ) +
/ M + ) ) ) / / KC'AL
) ) - )
4KC<L ) K+ L
( ( ( (- )
(
(
' (
KC'?L
( , - - * 1 " * 1 ,
KC'=L
) *! $ % ! "
<'
2.5
2
1.5
3
ρσc
1
0.5
0
0
1
2
3
4
z/σc
" C'9 K*L )
6*
6 H@@I
) , + :*
+ ,
2 2
2 2 2 2 2
KC'<L
) 2 2 4KC?L , *
/ D - ) + )
+ $
+
6 " C' " @B
*
)
, ) + *
6 + HCA-C?I )- ) 6 +
1 - M ) . + ( $+ ) " ) M
) " $3 ( *
) *! $ % ! "
<%
)& 0
1 , :) ) + )
$3 - , ) ) - - ) - *
*
(
) +
- ) *
- ) + )
- ) / / *
, + +
$3 - $3 ) +
/ / * $3 - *
. + $ ) ( / ) $3 " ) &
1& KC%&L
6*
) - " $3 - )- ) / ) ( +
) ) +
) +
, " $3 /
) *! $ % ! "
/
/ <@
KC%'L
) ) +
K L *
+ ) KC'AL *
.- * - - /
- *
+
*. + )
* " +
- KC%%L
/
( )*
D, $3 /
K $+ $L
) ) ) ) +
$ +
/
) M- M , +
H@=I +
/
) +
* - - )
( )
* +
)- - KL /
KL /
- *
( $3 ) ) ( ,
+
M /
. /
Æ Æ Æ Æ Æ Æ +
$3 - ) ) ) KC%'L )-
) *! $ % ! "
<B
) +
) - - KC%'L + ( . ) . 2
, +
+
/ +
/ KC%@L
6 D D D +
/ - - / KC%BL
$ D 4 $*
) 4 *
/
( ) ) , ) +
- $*
) " $3 $*
.
+
/
*
- +
) $*
$3 )
. 6 ) )
$3 ) *! $ % ! "
<C
.
KC'?L ) $3 (& ) ) ( ( ( ( (
(
(
' KC%CL
' )- - ) - (
KC%AL
6 + + - $3 " + ) ) ) ) $3 ) 6 - /
KC'BL ) / ) 4+
$3
, $ - 6 *
+ K 4KCAL + L
, .
* ( ) - )
F , . ) ) ( *
$3 ) KC%AL- ) ) & &
& & #
-
) * ) ) ) . * ) ) ) *! $ % ! "
<A
" , 1
%
2 ( ) , $3 - *
$ , - , * ,,,,
( ) , %C@ 1*1 *
3
2 )
, / * '*B- +- - - 4K@'AL- M ) / *
), $ ) ) + ) - ) *
, $3 ) )* *D, -
./ $"
#
/ )- ) !" ( . ) Æ
Æ Æ
Æ KC%?L
4*
) H'&I / / KC%=L
KC%<L
) ) /
+ " ) / 4KC%?L*KC%<L + KC%=L KC%<L )
+ !" N 5 )
) *! $ % ! "
<?
( @ ) ) - * +
- - - )
/ ) * $ / + ) !" - 4*
) , +
( .
) !" + KC@&L
+ $3 * - /
-
H'&I
/
$
Æ Æ KC@'L
) /
) " * /
)
!(
&
1& !&
( ) , $3 + KC%AL KCBL 1& - + + /
/
KC@%L
( )
' 1 1 1
1 KC@@L
) ) + *
- ) 6# (
) /
/ / 0
KC@@L ) KC%<L + + ( 4*
KC%=L KC%<L + . )
) *! $ % ! "
( ) <=
+ * - ) . *
$3 - ) - / * " 1 4*
) 4 )
- +
- - - / ( + / K HCA-'''IL $3 K%=L
) ) 4KC@@L ) 4K@'AL 4K@'AL +
) / " . 4K@'AL *
,) *
- 4KC%=L- KC%<L ) KC@@L +
K@'AL * - ' .
6 ) ,) ) + $3 - ) - , ( , K
- L ) - ( KC%&L ) + ) KC@BL
) *! $ % ! "
<<
1.6
q=0.6
1.2
r
ηp
F+F
0.8
F
+
S
Monotonic
0.4
Oscillatory
0
0
0.15
0.3
0.45
ηc
0.6
" C%9 , $3 . , "Q" "Q#
1*1 1* +- ) 1*1 "* K"L
, $3 ) 1 ) " ) / # , ) 4KC%AL ' ' (
(
(
( . !
KC@CL
( ( ( ( ) '
(
) + + '"
! KC@AL
+ PD +
' ! KC@?L
" * K%%&L @ ) *! $ % ! "
'&&
"
#$ %$ &$ - # ) $
- %
KC@=L
&
" 4KC@AL
) ) )
' ' ! '"
KC@<L
)
- *
' " ( '
"
" , KCB&L
, ' ! "
KCB'L
* $3 ) )
*
%- 4K%'<L - - 6 , * )
" , $ * ) 1*1 + , ( ) - ( , ) " C% .
* ) % / . 1* )
* K %L $ . ),
) *! $ % ! "
'&'
- ' "
!" ) 1 3 *
) + * * 1 ) H=I ) +
4
+ - ) ) - 3G ) + 6
)
/
6 /
6 KCB%L
( !" H'&I
) )
/
Æ Æ Æ
KCB@L
$3 - ) " - ,
) $ KCB@L $3 KC%CL )
+ /
&)
$&) 1& 1) KCBBL
)
$&)
( ( ( ( !
(
!& !)
KCBCL
KC%AL 0
)
, /
/ ) /
!
/ / ! KCBAL
*D, * ,
/
*. ) *! $ % ! "
'&%
+ / )
) - ) D )- - /
D , /
) ) " ) ) ,
) 9 - + /
) - ) .
- - * /
- - ) ) +
/ / ) $ ) / ) D 1
+
"
4 * H''%I
/ ) + + / KCBAL / D H@=I '
7 !(
KCB?L
/ ! ( ) 7
!
, - (
' *. M 7 !
7 !
7 !
KCB=L
/
( ' 7 (
KCB<L
) *! $ % ! "
'&@
) *. M
# #$ %$ %$ &$ $ # % #$ %$ %$ &$ $ $ #$ %$ &$ 7
7
7
KCC&L
)- - $ # % & + ) 4KC@=L $
) /
( ( (
KCC'L
. ) * $ #$ %$ &$ /
"# ( $ 7 (
KCC%L
,% -*
) *. M 7
7
7
7
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ KCC@L
+ ( ( /
( /
!
/ ! ( !
/ ! ( KCCBL
- - + H@=I
/
/ /
/ / / Æ
KCCCL
) *! $ % ! "
'&B
6
4
3
PP
CC
gij(r) 2
4
PP CP
1
0
Sij(k) 2
0
1
2
3
r/σc
CC
0
CP
−2
0
10
kσc
20
30
" C@9 - - - *
K00L- * K0L- * KL # !"
D HA'I ) ( K%%@L KCCCL , ) ) ) ) ) ) ( " C@ ) ) )
D K $+ $L + ) + ( D ) HA'I + $3 F + .
H@=I $ ) M $3 + " D K L $ ) - ( !" - $ - !" D
) *! $ % ! "
'&C
1.2
0.8
SCC(k)
8
6
gCC (r)
4
0.4
2
0
0.0
0
1
2
3
r/σc
0
10
kσc
20
" CB9 0
- !" - H@@I ) " . / * +
$3 ( K %BL " CB ) ) !" $ )
!" - - / $3 *
. ( ) + + D- - + " ) + - ) / $3
K%=L !"- D $3 6
H@=I ( , *
) - + ), + ) - - - ) "
+
- " CC -
) *
+ ) * * - ) ) F - K L
) *! $ % ! "
'&A
10
1
0.8
P
η
5
0.6
0.4
0.2
PP
0
Sij(k)
0
0
0.1
C
η
0.2
0.3
CC
CP
−5
0
5
10
kσc
15
20
" CC9 * !"- * , K, L- K
L ) + K L KL
)
-- "
)
+
- , - ) ) + )- ), F K HB%IL
( )
E ) + K%%@L
- ) 0
- ) ) ) " - ) - ) + 3*G, 2 KCCAL
) , 2 H''BI $ ) +
+ ) + 3G 2 $ ) *! $ % ! "
'&?
* ) 2 ) + * +
- + "$% - 2
2
"$% ½¾
KCC?L
) "$% , 2 . +
) 2
0 . 0 0
KCC=L
+
- - 0
1
$ / , *
/ $ ) ) +
)- - $
,
*3
)
/
K%=L + + )- ) . ,*
/ ) ) - + )
"* K"L K
)
L ) H''@I (
" , $ ,
*
1 + ) * H''@- ''BI - + )
) + *
- , ) " #
- *
1*1 + ) " - *
) (- / ) + ) ) ) + 1 + +- ) , ) ) *! $ % ! "
'&=
H''BI + +
)
- ( " ) + $3 ( ), H''@I
" ) ) ) + *
)
4
H''BI (
6 ) 6 " 6
" % 6
KCC<L
+ ) KCCCL
) "
"
+ (
*" -
" "- ) *. )
- 6 " - 6 "
) + .
) $ ) + " ) )
2 ) + ) - ) *
3 + "
"
" -
) + $ ) + " *. " ) $ " ) ) " , " / " " M * " + ) ) " C% )
" . ) *! $ % ! "
'&<
)
$3 + !" , + + H'&I ) *
$3 +- ) + 1 - )
( K"L *
- , - # !" , 1*1
) 55 ) +
1 ) - K $+ L $3 )* , . 5
5 . )
H??I ) +
) !" / * " ) + $ 1*1 . 1*1 K
L ) , 1 ) ) . ) / - ) B +
- 3 $3 * / ) ) , ( - ) - ) ) / " )
+
- + )
( @ ) )
) )
* +
4 / - ) ) )
!"
$ $3 + - ) *! $ % ! "
''&
+
)
- / )
"
+
/ )
* $3 / * , /
1 * 1*1 ) ) ,
( ) $3 ) , +- + ' ( # $ + /- *
- ) + 1 K
L 1F / *
1 ) # - )
- / - 4K@'%L- + .
) ) 1 / ) / ) *
) )
) ) / # * 1 ) 1*1 * )
*1 ) H'&I
( ) $3 )
+ 1 ) + )
3 - , !" 1- ) + 1*1 *
K
*L / !" *
'''
+ , - $$ %
''%
1.6
q=0.6
1.2
a
r
ηp
b
0.8
II
F
+
S
F+F c
d
I
S
Monotonic
0.4
Oscillatory
0
0
0.15
0.3
ηc
0.45
0.6
" A'9 , * , " 1
# ) 1*1 ) "* !"- C .
--- + 1 .
) ( (( ) #
" 0
0
1
) + 1 " A' ) ,
) ) "$% ( . 1*1 +
1*1 1* * H%%- @@I 1*1 )
- *1 ) $ - . $ ) " A' "* K"L ) ) , )
- - +
" )
, * ( ) $3 ( - ) + , - $$ %
''@
1
10
γ(μN/m)
0.8
a
b
q=1.0
5
c
3
0.6
q=0.6
ρcσc
0
d
0
0.1 0.2 0.3
l
g
ηc − ηc
0.4
0.4
0.2
0
−15
−10
−5
0
5
10
z /σc
" A%9 0 ) + 1 . , " A' K
L KL KL KL K
L #
- " ) $ / , + KL K L , ) +
6 HC=I KL )
- , / 1 ) ) $3 4KC%CL KC%AL- .
- - 6 )
KA'L
. $3 +-
K+ L ) +
/ , $3 4*
6 ( )
Æ Æ
ÆÆ
) ) ( CB- )
) $3 + . ) + , - $$ %
''B
2
(a)
1.5
3
ρpσp
1
(b)
(c)
0.5
0
−10
(d)
−5
0
z/σc
5
10
" A@9 )
" A% , " A%
K
L KL KL KL K
L #
- " + ) ( ) " A%
:P ) +
HC=I ) . F ) , ) + " A@ *
) ) F ) )- ) ) K
L*KL " A% " A'KL ) ) + K
L
" KL ) " BB 6
+ " ) +
- HC<I )
896 )
+ - , ) , # H''BI *
* H''AI
+ , - $$ %
''C
0.018
3
ρcσc
0.017
0.016
0.5
1.5
2.5
3.5
z/σc
4.5
5.5
" AB9 $ - K
L
) " A@ - " A@ + *
+ "* K"L ) , K*
L ) , ) +
H''BI CC " + )
+ ) " ) + ) H''BI # " KA%L
" " "" " '
#
KA@L
4
+ ) , 3 " "
"" "
" "
)
" , 1 # - #" ' ,) +- + + , - $$ %
''A
)
+ - *- - ) ! ) , F " AB ) " 2 " +
) KL ) " A% "
K
L ) ) 1 )
H''BI
3 !" **, 1
/ , *)
1
) N
5 K
*L !" )
N5 )
1
!" 1
N.5 .
*
H''- ''B- ''CI + ) $ ) + )
1
/ ) ) ( )
1
E
2 " ) 4KA@L " "" 2 2 . +
- " . 2
$ '&'&%( ) &'
&%(
) / )
)
1
( ) &'
2
&%(
.-
) 2
"
"
,
+ - ) )
7
.2* ) &½ %&¼ ¾ *
KABL
) ) 1
$ 2 KACL
+ , - $$ %
''?
) )
1
#
1 * +*
#, H''AI ) ) . ) E
.
1 , . 1- B@ , 2 H<AI $ HABI
" + $ 2 ) K
L ) - " A%- "
" $
- " ) 1 " "" .2+ ) $
7
M 1 (- +
)
/ ) .
1- ) 7 " A% ) $ . / !"
B ) +
+ - ) '*
- +
K!#L
+
HC=I . + +
( !" ) + ) - 6 HC=IF 2
# ' .
( ) )
" . / ) ) *
1*1 + )
*1 +
- @ $ ) KA'L ) )
)-
) )-
4K@<L ) @ ) *
* )
* !" + -
+ , - $$ %
''=
)
F )
) )
( $3 / )
)
* ) ( , ) , ,
+ )
) F * ) "
%'B9 0*
" AC @B ) ) / * !" ( $3
)
* !" - * "
AC9 * $3 6 ) ) )
)
3 - - )
) ) + !" ) / * !" "
. ) )
K@''L M )
+
- "
"
AC/- )
* - * - : )
* $ )
* ) )
.
" AC: AC/ ) $3 *
N
5 , +
$ +
:
) ,
)
- ,
6
) ) )
! ( ) + + , - $$ %
2.5
''<
8
0.9
2
6
0.7
1.5
3
ρcσc
3
ρcσc
0.5
4
1
0.3
0
1
2
3
4
2
0.5
(a)
0
0
1
2
(b)
3
4
z/σc
0
0
1
2
3
4
z/σc
20
0.9
16
0.7
3
ρcσc
12
0.5
0.3
8
0
1
2
3
4
0
4
(c)
0
1
2
3
4
z/σc
" AC9 $3 C ) . , , K
L K
LKL KL H''&I !" + , - $$ %
'%&
Tc
gas
T
liquid
Tsc
Complete Wetting
T
W
Partial Wetting
Triple
Point
ρ
" AA9 #
* 1 )
) - + )
) $ )
) ) ) , $ ) )
- +" ) M ( - * - ) , $3 - ( + , ) * ) - $3 )
)
, ) * , ) . K L ) 1*1 + )
*1 ( - ) + , 1- $3 ! - ) ) $3 + )
+ 1 2
)
, " AA ) ( + , - $$ %
'%'
, ) ) )
) , 8
2
'
- ) + 2 , + , 2
"
) " ) )- CBC ) )
, ) ( ) ) ) ) ) ) K
L ) - + (
)
) + ) )
) ) ,) ) - - , ) - )
*1 1*1 ) " - 2 ) ) - - 2 H''?- ''=I ,) ) + ) ) )
0
H''?I 4 #
H''=I )
) ) !" + $ ) ) , ( ) . ( - ) )- ) +- ) + + ) ) 6 H''<O'%'I " ) , *
)
+ ) ) ) )
$ + H'%%- '%@I $ J ; ) ) , ( + , - $$ %
'%%
) *, " D,
)
1 D,
)
)
!" *
H'%AI ) )
**
$ + *
M $ $ 1
/ ) , - 4+
) ! *
4 H'%?I- H'%=I + H'%<I E
H'%B- '%CI ) ) - )- F ) $3 ,
3 + $3 1- ) / ) 1*1 , ) )
)- )
* 1*1 * )
*1 . - , 1*1 "
. )
*1 * - @ + )
) ) 1 $ +
) .
) +
)
, - - ( (( ) " A'
2 - - ) ( " A' 3 ) *, *
) )
, " A? ) ) ,- 8 - ) ) , *
)
) + , - $$ %
'%@
2
ρpσp
3
1
1.5
ρcσc
3
0.5
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
z/σc
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z/σc
" A?9 0 ) ) )
* , ( " , - - - - - K L + )
K L
) * )F / N
5 ) # , - , ) ) + " - ( , " 3 ) ) / )
-
(,'8- - , 8 " "$% , ( , (,'8 + , 8 ) / + $ )
+ 8 ( ) ) "$% , ( , ( ) H'&<I / (,'8 $ -
8 - ) )
# *
) . , - ) ) ) - , + # M ) + , - $$ %
'%B
1.5
1
0.8
0.6
Γ
1
ρcσc
3
0.4
0.2
0
0.5
0
0
0.5
0
1
0.01
ηc
1.5
0.02
2
2.5
3
z /σc
" A=9 0 . ) (( " A' , - - K LF ) ) E #F ,
+ , ,
)
) 1
+ ( , ),
+ )- , $ ((- " A'- + )
* )
, / $ ) " A= ) *, )
" A= ) 2 E #
# E KAAL
)
) ( / ) *, 6 H'%AI D,
)
1 D,
)
+ , - $$ %
'%C
0.8
q=0.6
(a)
0.75
1st Layering
Transition
0.7
r
ηp
2nd Layering
Transition
(b)
0.65
(c)
3rd Layering
Transition
(d)
0.6
0.55
Wetting
Transition
0
0.01
0.02
0.03
(e)
ηc
0.04
0.05
0.06
0.07
" A<9 * + )
. , + + K
L - ) - 2 ) " A=
% @ ) + )
6 H'%AI ) ) + ( ) ) )
K
) !" ,)L F )
+ )
) # )
)
)
)
) - ) + ) - ) , , - )
) ) ( )
+ - ) *, " )
4*
+ ) ,
$ ) ( 6 H'%AI 2 - / 2 ) $ / ) , 2 + , - $$ %
'%A
1
q=0.6
(e)
3
ρcσc
0.5
(d)
(c)
(b)
(a)
0
0
1
2
3
4
5
z/σc
" A'&9 + . " A< K
L*KL / + - " A<- ) /
- K
L 2 ) KL ) $ 2 $ )
) * ) ) ) $3 - )
- * )
( ) * !" @ $3 * +
)
* $3 )
* )
) + ) ) $3 )
/ + , )
+
( )
+ ),
) )
) , - + - ) + . + , - $$ %
'%?
2.5
3rd Layering
Transition
2
(c)
q=0.6
(d)
1st Layering
Transition
1.5
(a)
Γc
(b)
1
Wetting
Transition
0.5
(d)
(e)
2nd Layering
Transition
(b)
0
0.58
0.62
(c)
0.66
r
0.7
ηp
0.74
" A''9 E ) " A'& $ $ ) )
) * ) . " A< ) - ) )
" A'& ) +
) " A''
+
- 9 " A< ( 4*
!
) ) :
4*
- 1 *
$ 2 ) - " A''
) + ) 2 )
$ ) ) + , *, $ 2 ) + - 2 + , - $$ %
#
- '%=
- ) ) - ) 2 + #
$ #
,
) )
) , + ) + + )
( ) , )
2 # ) )
2 /- - - ) + ( + / )
- ) + / +- - " A< , - + M ) " A< ) - # )- M ) - )
+ ) ) )
) ) + "
)
/ - " A'% )
- ) ) " A'@ ) + / - ) " A'B "
) )
) " A'C ( " A'? 2 # ) " A'A ) ) - / 1 $ , ) 2
+ , - $$ %
'%<
0.9
q=0.7
0.85
(a)
1st Layering
Transition
0.8
r
ηp
2nd Layering
Transition
(b)
0.75
3rd Layering
Transition
(c)
0.7
(d)
Wetting
Transition
0.65
0.6
0
0.01
(e)
0.02
0.03
ηc
0.04
0.05
0.06
" A'%9 $ " A< . $ ) ,
+ ) 1
q=0.7
3
ρcσc
(e)
0.5
(d)
(c)
(b)
(a)
0
0
1
2
3
4
5
z/σc
" A'@9 + / K
L*KL / + - " A'%
+ , - $$ %
'@&
2.5
3rd Layering
Transition
(c)
2
q=0.7
(d)
1st Layering
Transition
1.5
(a)
(b)
Γc
1
0.5
Wetting
Transition
(d)
(e)
2nd Layering
Transition
(b)
0
0.65
0.7
(c)
r
ηp
0.75
0.8
" A'B9 E ) " A'@
)
) + +
$ ) # )
1*1 $3 + )
C " ) * ) + "* )
) + $ )
) + )
$3 * @ "
. ) ) ) )
. ) - ) + " ) + , ) *
+ , - $$ %
'@'
1.1
q=1.0
(a)
1.05
1st Layering
Transition
(b)
1
ηp
3rd Layering
Transition
(c)
0.95
r
(d)
2nd Layering
Transition
0.9
(e)
4th Layering
Transition
0.85
(f)
Wetting
Transition
0.8
0.75
0
0.005
0.01
0.015
0.02
ηc
0.025
0.03
" A'C9 $ " A< . ) - - + +
) 1
q=1.0
3
ρcσc
0.5
(f)
(d)
(e)
(c)
(b)
(a)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
z/σc
" A'A9 + . " A'C
+ , - $$ %
'@%
2.5
3rd Layering
Transition
2
(c)
q=1.0
(d)
1st Layering
Transition
1.5
Γc
(a) (b)
4th Layering
Transition
1
(d)
0.5
(e)
Wetting
Transition
2nd Layering
Transition
(e) (f)
0
0.82
0.87
(b) (c)
0.92
r
ηp
0.97
1.02
" A'?9 E ) " A'A
) - ) - / )
1
) * + + 1*1 . , )
H'=I 3
) /- $ - ) *
/ ) ) + , / )
,
/ / ) / )
" A' - ) - ) 1 (
) ( ) *
+ ( , *
) 1 M ) .
$3 $ . + , - $$ %
'@@
) ) # ) ,)
) ) #
*
E
H'@&I + E
H'@'I H'@%- '@@I ) $3 $3 ) ( , + + +
)
0
+ H'@BI H'@CI ) /
H'@AI *+
+
) , *
) - - +*
$ + ) * + . )
) )& ( + / , $3 )- +
) M ) / * +
( +
- ) - ) , ) ( ) *
$3 ) +
, . $3 + / *
) +
- *
) '! 1 '! @! 1- +
'! (
- ) +
+ ) )
) +
(
! 1 ) $ '! ) ) +
,F +
) ) 1 ) ) H'@?I ( - - '!
) ) - ) '@B
. * '@C
)- - ) ) H'@?I " "
) ) , ) "- '! ) - - ), : - .
- ,
* 1 . ) ( ( :- ( : (
( - )
(
) !
; .
(
!
(
(( K?'L
( ( # (
( . ) ; .
!
. ½
(
.
. ¾
( .
¾
(
. ( ( K?%L
4K?%L ) ; .
!
. ( ( ; (
K?@L
! ( "<- -/ / ( 3 (( "<"<
") ,
H'@<I ) , 4K?@L
" ; <
)
" = <
(
" "
= < ; < <( (
K?BL
K?CL
. * '@A
" <
.
( ;
="<;" < 4K?BL " "
= < ; <
. * .
)
K?AL
- ) *
" . . ) + : ;
; . .
, ) (
'. , ) . :
: E >
: *
. , , .
.* . K??L
) , ) < ( ) . , =" , K?=L
. ½ =", K?<L
=" ½
E )- 4K?<L
'# >- "= , K?'&L
4K?'&L , E*! ,
!, !
0
0 )
=" , !,
!
) '
0
!, !
! " !,
!,
! = ,
0
K?''L
K?'%L
. * '@?
=", =", K?'@L
) '! 1 ) ) (
$ +
, 4K?'@L * ( (
(:
K?'BL
(:
) ( ="<
=", =", :
:<< ,
K?'CL
# + ,
) K?'AL
: '! , ( " 2
,3 ) $
,
*3
)
'! 3 , )
? ( ?
( K?'?L
. * '@=
) ? - ( - ?
(
( ( ?
( ?
( ? ? ? :
)
? ( 9 :
)
K?'=L
) 9 : - $ ) " ) ) ) - ) - )- $3 )
) / )
+
- ) 2
) ( ) - ) ) ) " M +- ) - H'@?- '@=I
M '! $3 / , @! ) / +
. - +
'! 9: 3 * ) * - ) -
?% S ) '!*
N5 F ) / ) ) 1 ) . * '@<
)
) 6 - / * ) .- )* +
, ( / ) + * *
. ) * ?
?
K?'<L
) - ? - . ")
@! % +
+ ) ? F ) +
* ? ( 9
) (
( ( ? ( K?%&L
)
) / +
) ) ) ) N
5 .
9 : ?
K?%'L
. * ) 9
, . - ) , - ) ) / ? ?
: ? 9
? 9 :
9 : ? :
. * 'B&
: ? /
) ? ? '! $3 F 9
) 4K?%'L @*B* : F 1 H@@I ( +
)- ) . - 9: - * / * 9
? K?%%L
? K?%@L
) / ?
?
* ) ) KL 9- ) 9
,
+
+ + * 1 ) ?%% 1 ) . ?% K?'@L ) , :- ) . - : % & # K?%BL
) # % & #
%
&
9
, 4K?%BL - ) +
. * 'B'
- ( - - ( , - + )
, 4K?%%L ( )
) HA'I
, - . . , K?%CL
) #
-
. . K?%AL
) * 1 / HA'I ( + ) +
*
) +
K*
L
* ( 04
"&
* H%%I ) , * + )
+ % @ ( M
* @! + K L- ) $3 + / * +
- , H@@I " $3
+ )
* 1*1 + ) '! * +
) - ) , ) ( + ) @! '! * 2-
$
!
, ) * " ) . * 'B%
, +
H@@I * ) - $ , / ) ) * K
L +F , + ) + . H'@=I
' ' ' .
) ) . - ,
-
)
, )
: 9
' K?%?L
K?%=L
9: . ) ) * ) ) - ) - ) , N5 ".- ) " * ) , '
".
' '"
) 4K?%=L * H%%- AAI
"
K?%<L
) +
K?@&L
N5 . ) 9 , * H@@I ) K*L +-
. . .
" K?@'L
. * ) " 'B@
. + , . ( +
/ * +
" " ( ) )
" +
. .
.
.
" K?@%L
# . 1
) ) . .
' ' " ) " 4K?@&L- ) : K?@@L
+ ,
-
. ! !. , . ) ,
.
"
"
K?@BL
1 $ ) :,
-
K?@CL
* +
- 4K?%CL
:
:, -
K?@AL
( +
+ K?%BL +
* K?@AL +
2- "
#
.3 *
" ?' ?% ) ) * K?@AL +
4K?%BL ) / . ( ) +
* +
+
. * 'BB
10
10
Exact
Free−Volume
8
Exact
Free−Volume
8
Hard Rods
*
Π
6
Hard Rods
η rp =0.5
*
Π
6
4
4
2
2
0
0
0.2
0.4
ηc
0.6
0.8
0
1
ηpr =1.5
0
Exact
Free−Volume
8
6
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
Hard Rods
η =2.5
r
p
*
Π
6
4
4
2
2
0
ηc
Exact
Free−Volume
8
Hard Rods
*
0.4
10
10
Π
0.2
0
0.2
0.4
ηc
0.6
0.8
1
0
ηpr =3.5
0
0.2
0.4
ηc
" ?'9 0
) +
KL * K L
, '! $
,
*
3
)
. , - " ) + " * ) K
L
. * 'BC
8
8
Exact
Free−Volume
6
Exact
Free−Volume
6
Hard Rods
Π
Hard Rods
η =0.5
r
p
*
Π
4
4
2
0
ηrp =1.5
*
2
0
0.2
0.4
ηc
0.6
0.8
0
1
8
0
Exact
Free−Volume
ηc
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
Exact
Free−Volume
6
Hard Rods
Hard Rods
ηp=2.5
r
*
Π
4
2
0
0.4
8
6
Π
0.2
ηpr =3.5
*
4
2
0
0.2
0.4
ηc
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
ηc
" ?%9 $ " ?' ) . 3 * . * 'BA
( " ) * ) +
) ,) + '! ) :- )- * , +
- +
K , L . ) %C@ ( ) 1 / $ * +
+
K?%BL +
* +
+ +
) $ * - - - 3
" ?' ?% * +
/ - +
, -
) - . - 4K?@&L- )
$ * +
) +
* " +
, + , - " - ) "
4K?@&L )
)
+
4K?@%L ) " ! . .!
!
K?@?L
) )- 4K?'&L ) E )
> =" ) =" .
K?@=L
- 4K?CL
. * 'B?
3
3.5
q=0.2
3
Exact
Free−Volume
2.5
ηp
q=0.9
2.5
2
2
ηp
(ii)
1.5
(i)
Exact
Free−Volume
(i)
1.5
(ii)
1
1
(iii)
0.5
0.5
0
0
0.5
1
1.5
r
ηp
2
2.5
3
3.5
0
(iii)
0
0.5
1
1.5
r
ηp
2
2.5
3
3.5
" ?@9 , - - , - - . / , - KL*KL , - : " + +
) " - * +
)
> .
K?@<L
. * / - 4K?%'L
) + :
.
9
' : 1
K?B&L
K?@?L + - ! ! 3
( " ?@ ) ) - "
. "
) +
+ ) . - - / ) ,
" * +
" ) + / "
*
. * 'B=
) ( )
( +
$3 * - +
) ) * - " ,
)
* '! '! @! + )
+
'! )
) * - )- *
+ .
( - ) +
+
+ ) K L * ) / , $3
( ) / # . ) / +
M - +- ( ) $3 + # + !" . + )
1*1 - ) , ) ) 1*1 , !" 1- ) + 1*1
) K
*L - /
*
( ) ) *
+ + ) ,
) , ) + ),- 9
( A / ) $3 'B<
/ 0
'C&
) + ) ) )
# )
) 1*1 + , ) + * * $3 + )
1 * - - E
* , H'%- '@- 'B'I ( $3 *
) - . K='L
,*0
*$
K0$L H@=I # ) - )- ) ) $3 $ * *
* *
* ) ( ) ) ) $3 ( ) * + ) $3 . * K) L
+ ) +, !
) 1 *D, KDL H@CI ) / * 3 - ) + D *
) H@=I 3*G, K3GL , 2 1 / 6 " *
) 3G 6 / /
6 K$'L
+ ( - - )
/ + ) D H@CI + ) + *
- +
D 1 + $
,
*3
)
K$3L " ! K%=L- - D
)- D )
,
* ) D ,) )
'C'
12 !
'C%
" * 1 ) D / K$%L
)- ) 3G K$'L ) KL *
H@=I
) KCB?L KCB=L ) ) 3G " /" " /" 6 K$@L
)9 / - M M " (
" /" 4K$@L 6
" K$%L / :
.
) ( , ) ) ) :)*6
H@?I 6
) " + 3G 6 / /
6 K$BL
) D )
/ K$CL
" $3 K%'L ( D
12 !
/
/
/
'C@
K$AL
) +
. / ) +
K$CL
!
-& (
) +
1 @! ( +
) - ) - +
@! +
%! #
- *
+
'! K4KC=L L &! ) ) . )
- - . ( / - , - / .
*
- +
1 %!
@! ) ( 3 Æ +
@!
) 2D
3D
1D
0D
" '9 +
+
@! 'CB
3* 'CC
2 ( 3Æ
2 (Æ3Æ
2 Æ(Æ3Æ
2 ( 3
2 (
2 K'L
) &! &! , C 6 + 1 - )- ) . )
) H==I (
. 6 )
H=<- <&I ) ")
H<'- <%- <=- <<I - &! - # ) H<@O<?I )
- , + &! +
( &! ) ) . - " %
( + /
* '#
+
* +'# K%L
* ) * !
'/
* +'# * +'# !
&! '
*
K@L
KBL
3* 'CA
(a)
(b)
(d)
(c)
" %9 &! ) ) @! &! $ K
L*KL . 4
/ ( - K
L-KL KL
@! KL +
N 5- &! ) +
&! &! '/ ' ,
KCL
, ' ' * KAL
" K*
* L ) /
%/
* +'# '* , %/
K?L
&! %/
'* K=L
3* 'C?
+ K L * H=<- <&I
' 0
K<L
" &! &! , &! + K<L ) ) . ( + " % ) &!
( - - . + K<L
3 , &! +
+ '! H'&AI
0
' (
K'&L
(
K''L
( (
) ) & (
( ( 1& (
) '! ) Æ( Æ( ' ( 1 (
1 (
K'%L
) ) +
&! ) " %
- H<&- <<I ) ) K'&L
0
' (
( (
K'@L
3* (
'C=
33.½ - 0
(
, $ (
(
' (
K'BL
( 0
)
) $
'$ $ '$ $ ))
) K'CL
( ,) $ $ ) ) ( ( &! (
Æ ( ) K L ) & (
(
( Æ ( 1& (
K'AL
1& ( $ 1 ) $ $ K<L K'CL
, +
K'&L ( K'&L
0
' 0 K'?L
) ! ! 0 ) & . ) Æ 2 - ) 2 !*
) ) )
K'?L ) &! ) Æ2 !*
( '! Æ2
-
)
+
'!
. @!
$ +
. K'?L )
!T% ) 3* 'C<
+
&! " ) 8 '*+
8 '*+
8 '*+
8 8 8 ' 8 8 8 8 ( %! ) 1 K'=L
Æ K'=L K'@L +
&! : K'=L 8 + $ + K'?L ) ) H<CI
K'<L
) &! !
2
!
K%&L
+
K%'L
)
!! 2 K%%L
) !*
K%'L ) &! )- 0 1 ) M (
%! ) - K L ( ) K
L *
3* 'A&
) ( 4
) ) ;) ) *
( @! ) *9 KL - KL ) KL
) ( '! - - - ,) M
* ( '! M - ( ) &! ) ) ) &! ) - " % (
)
&! K'<L +
&! ( K) "
%L )
$ . . '! K 4K'&LL +
&! )
" Æ
Æ ) +
&! +
) " )
) . @! +
) ( &! ) ) + &! ) ) - . +- H<CI
K%@L
3* 'A'
) + .
K%%L
! ! ! 2 K%BL
4+ ) C +
&! ) , K" %
%L 6
,
) 6 H==I / )
C ) ) ) $+ ( ) +
) +
&! ) " % ) +
&! H<'- <<I N 5 " # + " ( %! ) M ( @! - - &!
) K " %L +
&! ) 9 KL + KL , M +
H<%I ) D
, 1 ) + &! ) H<%- <CI
!
1 " 1" 1 " 1 " K%CL
) ) 1
"
1 " K%AL
3* ) ) 1
"
Æ 'A%
K%?L
) +
( - K%=L
)- 1- +
&! - +
- *D, , @! 1 " + , 1 *D, +- - ( , +
) * - H'&&I
&! ) ) &! 1 K%=L &! 1 K" %
L ) H<CI ) ) E ) ) 1 / ) ), H<CI
) $
,
*3
)
H<A- <?I
$ ) 6 " $3 &! /
- ) -
") ) 0
' K%<L
3* 'A@
( K%=L ) $3 C ) / )
) ) ( C +
$3 )
- - &! " * 1 - - ) )
) / ( , ) " $3 . ) &! " @! ) &! + , 1 ( ) )
( &! ) +
) ) ! )- ) H<%I " + ) &! 6 / &! 1 ( H==I /
K 4KC'BL CL ) *
N
5 - @! 1 ) ) 1 - )- &! + K%=L M K%=L ) 1 ) $3 - ) *6) H<CI- K%=L - H<CI !
H'I 0 0
- 6 $ '*'&C K'<<AL
H%I # 3 " G,- $
#$
?<@ K'<'BL
H@I :: - 6## 4 %CA- %AC K'<BAL
HBI ; ,- 3
,
# C@? K'<A'L
HCI 0 !- <=@ K'<A%L
HAI " # " /- 0
@? K'<A%L
H?I ). ; - $ ''A K'<A@L
H=I ; - "! # $ " ). $2
- :) D,- (( @@
H<I E #- "! # $ " ). $2
- :) D,- (( '?'
H'&I 6 4
N"
( "5 ! K!,,- :)
D,- '<<%L @ H''I N"
( "5 ! K!,,:) D,- '<<%L % H'%I $$ - E - * 4 2- 6 +# %C%% K%&&&LF
E - $$ - *- 4 2- 0
$$ - E *- - 64 , ?<A' K%&&&L
H'@I 0: ,- 6 $+ %A=*B@< K%&&'L
H'BI 3
- 06 ?@ K'<@@L
H'CI E 4 - 0 %?A K'<BCL
'AB
$ B%<A K%&&'LF
3* 'AC
H'AI : - ( %! $ & ' - *- - ! G* - 4- ?A@ K'<<'L
H'?I ( $ ) * + ! , ) $
- 4
0
6 4
- ( K%&&&L
H'=I 4$ - - #& # . ( !
- - K%&&'L
H'<I # $
,
" 3
)
-
0 - '%CC- K'<CBLF # $
,
"
3
)
- # - '=@- K'<C=L
H%&I $>2- $0 $+- B?' K'<?AL
H%'I $ E
- 0; 6- 0 (
# 3,- %C' K'<=@L
H%%I : ,,,,- 0; - : - $ #
- 4 4- CC< K'<<%L
H%@I >- 6 '=B- 'C' K'<A<L
H%BI ! ",- 0 4 - B&<@ K'<<BL
H%CI ! ",- 6 - %%'' K'<<BLF - ! ",- 6 4 #4- B==& K'<<BL
H%AI " 0
- - - 4 - AC@ K'<<@L
H%?I # (- $ 3,- 0; - : - 6 4 # - '@BB K'<<CL
H%=I $ U- 0; - : - " #
- 6 +- %%C
K'<<<L
H%<I J D- :
- - # - D - 0
- " 6 4 #$- AC&& K'<<AL
H@&I $$ - 6 ",- - 4 $,- ?B' K'<<<L
H@'I 4 2 ! ",- 0 44- A=?@ K'<<BL
H@%I !2,
- 6 62- 6 4
- 6 + - %%A= K'<<=LF !2,
6 62- 6 4
- 6 +- ''? K'<<<LF !2,
- 6 62
6 4
- 6 4 #3- C?BB K'<<<L
H@@I !2,
- 6 4
0 - '&&?< K'<<<L
3* 'AA
H@BI ! E - ! - 0
K%&&&L
H@CI ; D, E 6
4- ' K'<C=L
H@AI 4 0 3- B?B K'<A@LF # 6 4- @%' K'<A@LF
# #- AB@ K'<ABL
H@?I # ,- $ 2, >,
#,- ?&< K'<=CL
H@=I (6 !
- # K$
- - '<=AL
H@<I :" 0
;4 #
- 0 # - A@C K'<A<L
HB&I ;6 - 0 #- %%C% K'<?%L
HB'I E " 6- 0 $3- @A&< K'<A=L
HB%I - "
- #$ ,,- > - V:
6
"
W- 0
- :) D,- K'<<%L
HB@I #- 6 - " - 0+- 6 "
- 6 - =BA
K'<<AL
HBBI E$ > -
" - : ,,,,- $ ,- @?=
K'<<<L
HBCI
$ , ! - 0 $- %=CA K'<A?L
HBAI > - 6 $ #- <@< K'<?%L
HB?I
;
- $- <@' K'<??L
HB=I E7.
- 6 4
- # !- 6 4 #- A?=C K'<<=L
HB<I E7.
- 6 6- # !- !2,
- 6 4
- 4 K
L
HC&I 4 >
- E :
X- K
L
* + E7.
/ / * &%
4 ) HC'I 6! ;
- 6 4 #3- CA%' K'<<<L
3* 'A?
HC%I !2,
K
L
HC@I
D .- 0 (
# +- C&C K'<<AL
HCBI J 0- $! :,- ! - - C&&B K'<<AL
HCCI ! E - 33 K'&L =AC K%&&'L
HCAI 66- , $ / ( ) - ! - Y
E
K'<<<L
HC?I 66 # !- 64 , A<%A K%&&&L
HC=I #
4$ : ,,,, 0 4- C%?B- K'<<<L E$ > : ,,,,-
0 #- 4#- %?- K'<<?L
HC<I 4$ - : ,,,,- #. E " - 0
4- '&AC?- K'<<<L
HA&I $$ - 6 ", - 4 $, KAL- ?B' K'<<<L
HA'I !2,
- 6
62 64
- 0
- B?<< K%&&&L
HA%I !2,
- 6 62 6 4
- 6 4 #3- C?BB K'<<<L
HA@I !2,
- 6 62- 6 4
- 6 +- ''? K'<<<L
HABI
64
- 4 $3- A?= K%&&&L
HACI 6 4
- $ +- 'B@ K'<?<L
HAAI 6- " ).- 0 - @A< K'<C<LF ).4 4 - 0 $- ??B K'<ACL
HA?I E6,
.- - ##- 'A' K'<=CL
HA=I .
64
- -#- =B? K'<=BLF "
#) 6
6$ $4 %CA? K'<=<L
HA<I !2,
- 64 ,- C'?&@ K%&&'L
H?&I !2,
KL- 7) KL
H?'I ! 0
" #)- 6- ,3 %&?= K'<<%L
3* 'A=
H?%I 66 K
L
H?@I !2,
K
L
H?BI 0; 4 +- C'@ K'<<BL
H?CI !;
- 6,- $ED ! - 6 C=% K'<<BL
H?AI $!!- $ED ! - 64 # B&BC K'<<CL
H??I $!!- - 0; $ED- 4 $4 @@?
K'<<?L
H?=I $; #
- 0(### B=? K'<?AL
H?<I $E
- 6 0;
0(# 43 'A' K'<=AL
H=&I ;* -
00,- >
- $#- !$.- 0, $ED- 6 +#- '??& K%&&&L
H='I $ >2- $- #- '%& K'<<?L
H=%I
# 6) - 0
K0
-
3+- '<=%L
H=@I E
6 4
- +- @A? K'<?<L
H=BI S - 6 4
- E
##- '@'< K'<=CL
H=CI " 0
- - - 4 - AC@ K'<<@L
H=AI # (- $ 3,- 0 ; - : - 6 4 # - '@BB K'<<CL
H=?I
6 4
- 4 $3- A?= K%&&&LF - !2,
-
6 4
- H==I D6- 6 ,- <=& K'<=<L
H=<I D6- #- 7)- .
- 0 +- C?? K'<<AL
H<&I D6- #- 7)- .
- 6 4 ##- B%BC K'<<?L
H<'I .
D6- 6 4 ##- 6B=?@ K'<<?L
H<%I .
- 6 +$- A<B K%&&&L
3* 'A<
$ 0
- 6 ,- @?B% K'<<ALF $ 0
D
.*6
-
H<@I
6 +- @A=' K'<<?L
$ 0
- D .*6
- 0 4- A@?< K'<<?LF D .*6
-
H<BI
$ 0
- 0
- @'? K'<<<L
H<CI #- 0 - '&'A@ K'<<<LF #- 6 4
,4- 6A%<' K'<<<LF #- 64 ,- B<?A K%&&&LF #- 64
,- @?<< K%&&&LF #- 64 ,- '&'&' K%&&'LF #- 64 ,C&%&' K%&&'L
H<AI #- 7)- 64
- 6 +#- '<@B K%&&&L
H<?I 64
-
-
66-
!2,
-
#
7)-
6# #3- <A' K%&&'L
H<=I $ E.
.- 0 3- %@?C K'<<?L
H<<I .
D6- :) $
#
%<@- 00
K'<<<L
H'&&I .
# K
L
H'&'I # E7.
- 4 $- @<= K'<<<L
H'&%I !2,
- 6 62- 6 4
- 0 KL
H'&@I $! !- - 0; - $E D- 4 $4@@? K'<<?L
H'&BI 4 ;, 6 - 6$ $- @@=% K'<<&L
H'&CI # - 4 ;,- 6 - E ;
- 6$ $+ A'=
K'<<@L
H'&AI ; - #
#- C&C K'<?AL
H'&?I 64
- 6 " 0
- 6 - ! 0 - 0
44- C<' K'<<BL
H'&=I *0- 6 64 ,- %@A< K%&&&L
H'&<I 6 64 #4 B=@A K'<<BL
H''&I
- !2,
6 4
64 ,- 'B&C K%&&'L
3* '?&
H'''I 6 6 # !- 64 , C@A& K%&&&L
H''%I 6 ! E- 4- : "
0 +- %%A@ K'<=?L
H''@I 4 " - 0 #4 @?CA K'<A<L
H''BI 6 4
- 6 - ! 0 - $ 3 G $ #
- +4- ?CC K'<<@L- 6 4
- 6 " 0
- 6 ! 0
- 0
44- C<' K'<<BL- !2,
6 4
- 0
'BB< K%&&&L
H''CI > , $$ 0- # 4 ,#- <?' K'<=?L
H''AI # +
#,- 0 4- ?'A@ K'<<CL
H''?I
0
- 0 ,, @AA? K'<??L
H''=I 0 4 " #
- 6 + 'B=A K'<??L
H''<I # !- ( .
# . K 0! ).L $
- :) D,- >'% ' K'<==L
H'%&I !4 #
E
- ( $ - . K
0$0+L - :) D,- BC K'<=AL
H'%'I #,- - # J>((( * (
- 0
" G* - 4- B'C K'<<&L
H'%%I # #- D E- , '&?? K'&=<L
H'%@I # D E - 6 ,$ <'= K'<<&L
H'%BI 3
6 EM- ## A=< K'<?=L
H'%CI 0 4- 6$ %??A K'<=&LF 0 4- 6$ '<%C K'<='LF (
; !
- ##
4 B'C K'<='L
H'%AI 0 6 4
- 0 +3 BB'% K'<==L
H'%?I !- # :
E - 6 C'BC K'<=ALF ; ;- D
" - SG
0
- 6 @C'' K'<==L
H'%=I # :
E - 6 + C'AA K'<==L
H'%<I ! E - 6 B?C= K'<=AL
3* H'@&I
'?'
- E, #6- 0 + @&A< K'<=?LF G
- ! 0,*
- G 0
# 6- 64 #, ?&@@ K'<<?L
H'@'I 6 - 6 # %B<= K'<<CL
H'@%I # - :
A=C K'<=AL
H'@@I 3 - 6 $ BBBB K'<<CL- 4 !
- 6
#+ 6'@B'< K'<<=L
H'@BI )- 0 (
# $ ' K'<<&L
H'@CI ! ; 0- 0 3, @@<C K'<<%L
H'@AI ! - E - ;
:).- 4 4
%@C K'<<%LF !- ;
E - 0 33 ?''C K'<<@L
H'@?I ) . 0 , * " ( ) - .
- 4 4 ! - $
K'<AAL
H'@=I : ,,,, - $ +# B=@ K%&&&L
H'@<I ,
- *
# $- A& K'<B%L
H'B&I D 6- 6$ '=@B K'<=CLF D 6- 6$ %&%C
K'<=ALF 6 " 0
- 6 4
D 6- 64 #3 'B@C K'<<<L
H'B'I $ $ 6 4
- 64 ,$ K L K%&&'L