AP Calculus Summer Review Packet
Simplify and write answers using positive exponents:
5𝑦 5 √𝑥 𝑧 7
2
𝑥 −3 𝑦 5 𝑧 6
1) (7𝑥 2 𝑧3 3 𝑦)
2) 𝑥 5 𝑦2 𝑧−5
3) (5𝑥 −3 𝑦 5 𝑧 −4 )−3
4)
√
𝑥 −3 √𝑥
𝑥6
Find the product (simplify).
5) (2𝑥 − 3𝑦)3
Perform the indicated operation.
6) 𝑥 3 ∙ 2𝑥 − (1 + 𝑥 2 ) ∙ 3𝑥 2
7) (4𝑥 3 − 6𝑥 2 )(𝑥 − 1) − (𝑥 4 − 2𝑥 3 )
Factor completely.
8) 𝑥 4 + 64𝑥
9) 3𝑥 2 + 5𝑥 + 2
11) (𝑥 − 3)3 (𝑥 + 2)2 − (𝑥 − 3)4 (𝑥 + 2)
10) 9𝑥 2 − 81𝑦 2
12) 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4𝑥 + 12
Perform the operation and simplify.
13)
4𝑥 2 −21𝑥+5 3−2𝑥−𝑥 2
∙ 𝑥 2 +2𝑥+1
2𝑥 2 −𝑥−1
÷
16𝑥 2 −1
1−𝑥 2
14) 1 + 𝑥 −1
15) (𝑥 + 5)4 (3𝑥 − 3)−2 + (𝑥 + 5)3 (3𝑥 − 1)−1
17)
16)
1
+2
𝑥
1
4−
𝑥
18)
1
3𝑥
+
1
1
−
5(2𝑥−1)
15(𝑥+2)
3+
1
𝑥+4
1
−1
𝑥−4
Solve each equation.
19) 𝑥 2 + 2𝑥 = 8
20) (3𝑥 − 1)2 = −12
21) 8𝑥 3 = 27
22) 𝑥−3 − 𝑥−3 = 4
6
6
3
5
𝑥+2
4𝑥−8
23) 𝑥 2 +𝑥−2 + 𝑥 2 −𝑥 = 𝑥−1
24) 3𝑥 2⁄3 = 0
25) 18𝑥 2 − 9𝑥 = 20
26) 81𝑥 3 = 27
3
27) 1+ √𝑥 + 3 = 7
28) 3𝑥 2 − 11𝑥 = −6
29) 81𝑥 4 = 16
30) 𝑥+1 = 3 − 6𝑥+6
1
1
1
Write an equation in point-slope form with the given information.
31) through (2, -7) and (3, 5)
32) through (2, -7) and perpendicular to 3𝑥 − 5𝑦 = 12
For the piecewise function, find:
7 − 𝑥, 𝑥 < −3
33) 𝑓(𝑥) = { 3, −3 ≤ 𝑥 < 2
−2𝑥 + 2, 𝑥 > 2
𝑓(−4) =
𝑓(−3) =
𝑓(0) =
Determine if the graph is odd or even. Describe the symmetry based on your result.
34) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 4 − 5𝑥 2 + 7
35) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 5𝑥
𝑓(2) =
Given the graph of f, describe how to obtain graph g.
1
37) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ; 𝑔(𝑥) = 4 𝑥 3 − 5
36) 𝑓(𝑥) = √𝑥; 𝑔(𝑥) = −3√𝑥 − 5
Given the function, find
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
39) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
38) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 7
𝒇
For each pair of functions, find (a) (𝒇 + 𝒈)(𝒙) (b) (𝒇𝒈)(𝒙) (c) (𝒈)(𝒙) and (d) (𝒇°𝒈)(𝒙).
40) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1; 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 3
41) 𝑓(𝑥) = √5𝑥 − 1; 𝑔(𝑥) = 2𝑥
42) Given the graphs of f and g, find:
a) f(g(2))
b) f(g(-1))
c) g(f(2))
d) g(f(1))
e) f(g(-2))
f) g(f(0))
Find all the zeros of the polynomial function.
43) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 12𝑥 2 − 55𝑥 + 150
44) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 3 + 36𝑥 2 − 33𝑥 − 8
Describe the domain of each function (use interval notation).
45) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 3𝑥 2
46) 𝑓(𝑥) =
5
2𝑥 3
48) 𝑓(𝑥) =
49) 𝑓(𝑥) =
5
2𝑥−4
47) 𝑓(𝑥) =
𝑥−8
√2𝑥−8
4𝑥
√2𝑥 2 −8
Give the equations of any vertical, horizontal, or oblique asymptotes for the graph of each rational function.
50) 𝑓(𝑥) =
5
𝑥 2 −𝑥−6
51) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
𝑥−1
52) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −9
𝑥+3
53) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −9
𝑥−1
Determine whether the functions are inverses of each other.
3
54) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4; 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 4
1
Solve without a calculator.
56) 2𝑥
2 −𝑥−4
=4
58) √𝑒 = 𝑒 3𝑥
3
1
55) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −3 ; 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 3
57) 𝑥 2⁄3 = 11
1
59) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4
60) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 √32
61) 𝑙𝑜𝑔𝑥 64 = 6
62) 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 2
63) 9 ∙ 3𝑥−3 = 27−2𝑥
Write each expression as a sum, difference or production of logarithms. Simplify if possible.
3
𝑥 2𝑦5
𝑧7
65) 𝑙𝑜𝑔7 (𝑥 + 3)2 (2𝑥 − 7)
64) 𝑙𝑜𝑔𝑚 √
Write as a single logarithm.
1
1
66) 3 𝑙𝑜𝑔𝑚 𝑥 − 4 𝑙𝑜𝑔𝑚 (𝑦 + 2)
Solve for all possible solutions.
67) log(𝑥 2 − 9) − log(𝑥 + 3) = 1
68) 𝑥 2 + 2𝑥 − 4 = 0
69) 𝑥 3 − 64 = 0
70) 10𝑥+7 = 13
71) (𝑥 − 2)𝑒 −𝑥 = 0
72) √4𝑥 2 + 4 = 2𝑥 + 1
73) 𝑥 5⁄3 (6 − 𝑥)4⁄3 = 0
74) 2 ln(4𝑥) = 16
75) 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 3) = 1
76) 𝑥+1 = 𝑥+1 + 2
𝑥+3
3
2𝑥 2 −16
𝑥+4
𝑥
77) 𝑥+4 + 𝑥+3 = 𝑥 2 +7𝑥+12
78) 𝑒 2𝑥 = 4𝑒 𝑥
79) √𝑥 − 3 = 𝑥 − 5
80) ln(𝑥 − 4) = 6 − ln(𝑥 − 8)
81) 82) sin 2𝑥 = sin 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
82) 𝑒 4𝑥 = 8
83) cos 2𝑥 =
√2
,0
2
84) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
Use a graphing calculator to solve.
86) ln(3 − 𝑒 𝑥 ) = 5
85) 𝑥 − 4 = ln 𝑥
Without a calculator, determine the following.
87) sin 0
88) sin
𝜋
2
89) sin
3𝜋
4
90) cos 𝜋
𝜋
3
93) tan
7𝜋
4
94) tan
91) cos
7𝜋
6
92) cos
95) tan
2𝜋
3
96) tan 2
𝜋
1
97) cos(𝑠𝑖𝑛−1 2)
𝜋
6
98) 𝑠𝑖𝑛−1 (sin
7𝜋
)
6
Sketch the following graphs without a calculator. Think about the overall look of the graph and the end behavior.
−1
99) 𝑓(𝑥) = 𝑥+2
100) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥
101) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
102) 𝑓(𝑥) = −3𝑥−2
103) 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥
104) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥
105) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥