Problems 1, 5, 7, 13, 15, 19

"!#$
% &('
*)
+-,/.10324'*56'*7"89:0<;>=?)
@BA DCFE<'HGI0KJJML/NPOQ3NO<RSNTO<O
K)
+-,/.?0Q2U'*5WVX7"89:0<;>=?)
@BAY<NRSNTOQNZ['KN\]RSNZ[^KN_Q
K)[+D,/.?032H'*5`RS7a8b9/03;>=?)
@BA3NRQNM^KNZ]RQNc[^*NT_^*NP'K<NdVe<N>VS'*NdVKR
*)
+-,/.10324'*56E*7"89:0<;>=?)
@BA <NTRSNP^*NZRQN\
^*NT_<OSNdV3XN>VX3NdVQ^KNRQ3NTR<R
f9/gDhXAigD,#03jbkl<=1.m+/nK.
$f0,#)Q7oIp q]rts-uvWwixzy|{
}~{
}€‚„ƒ†…a‡Zw"ˆ-v‰‡\ˆ#Š[y|‹]yŒwbtŽ]wb`s-rtx‹]v6ˆ
‘S’1“S”M•—–™˜>’1“S”Iš6›<œ ‘[ž’1“S”d• ŸM–¡˜>’1“S”Iš6›£¢¥¤¦˜Qž’1“S”§œ
‡|Ž]¨€©¦Žf¨€y|ˆªy«qSwi©i¨€ˆ-ve©iˆ-y¬wbsDetŽ]wa©¦Žˆ-¨€prt‹]v€w­}
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*51®Xw‚ ˜>’1“*”>•—’ž¯:“±°  ”«² ƒ]}P³cŽ]w‚p ˜  ’?“*”d• ƒ ’„¯:“z°  ”«´\µ/¯•·¶’„¯:“±°  ” {
}
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5€'¸®Xw‚ ˜>’1“*”>•—’?“*¹Mº»¯D”¬¼ }P³cŽ]w‚p ˜  ’?“*”d• … ’1“S¹Mº»¯D” ² µ†’ž¯:“*”d• #½ “’1“*¹dº»¯D” ² }
8b9/0<;>=1)[@ 'K5€'*5?R®ew‚ ˜>’?“*”·• ’„¯:“°“S¹¾” ´ } ³\Ž]wip ˜  ’1“S”·• { ’„¯:“°“S¹¾”¬¹zµM’„¯¸°¿¯:“*”·•
•·À­“ ¹ ’„¯°“*” ¹ ’  °“S” }
8b9/0<;>=1)[@ 'K5€'K5`O%®Xw‚ ˜>’1“S”d•—’„¯:“º  ” ¢ ¹ }T³\Ž]wip ˜  ’?“*”d•°Á¯]’„¯:“bº  ” ¢ ´ µ:’„¯D”d•° ƒ ’ž¯:“bº  ” ¢ ´ }
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5€^¸®Xw‚ ˜>’1“*”>•—’?“*¹Z° ƒ ” ´¦Â ¹ }P³cŽ]w‚p ˜  ’1“S”d• ´¹ ’1“S¹° ƒ ” ¤  ¹Zµ†’ž¯:“*”d• { “Kà “ ¹ ° ƒ]}
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5m<®ew‚ ˜>’1“S”P• à { “z°Ä¯"•Å’ { “±°Ä¯D” ¤  ¹ }Z³\Ž]wip ˜  ’1“S”T• ¹¤ ’ { “±°Ä¯D” ¢¥¤  ¹µ£’ { ”P•
´¹ ’ { “°Ä¯D” ¢e¤  ¹ }
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*51
'f®Xw‚ ˜>’1“S”d•—’  °“*¹¾” ¤ ¦´ }T³\Ž]wip ˜  ’1“S”M• ´¤ ’  °“*¹¾” ¢ ¹ Ât´ µ†’«°¯:“S” }
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*51Rª®Xw‚ ˜>’1“S”>•—’„¯:“cº { ” ¢ ´ }d³\Ž]wip ˜  ’1“*”d•° { ’„¯:“cº { ” ¢ ² µF’„¯D”d•°ÁÀ’„¯:“\º { ” ¢ ² }

8b9/0<;>=1)[@ '*5€'K51O ®Xw‚ ˜>’ ”d•—’„¯ ° { ” ¢¥¤  ¹ }d³\Ž]wip ˜  ’ ”d•° ¹¤ ’ž¯ ° { ” ¢ ´¦Â ¹Qµt’„¯D”>•—’„¯ ° { ” ¢ ´¦Â ¹ }
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*51
^f®Xw‚ ˜>’1“S”d•—’ ƒ “ ² º “S” ¢ ´¦Â ¹ }T³\Ž]wip ˜  ’1“S”d•—° ´¹ ’ ƒ “ ² º “*” ¢ ¼  ¹µ†’  À­“ ´ º  ” }
8b9/0<;>=1)[@ '*5€'K5`_S®Xw‚ ˜>’1“*”d•—’ { “S¹º ¯:“Zº  ” ¢ ¹ }d³cŽ]wip ˜  ’1“S”d•°¯]’ { “S¹º ¯:“Zº  ” ¢ ´ µ¦’mÀ­“\º ¯D” }
8b9/0<;>=1)[@ 'K5€'*5?_]'4®Xw‚ ˜>’1“S”• ’?“ ¹ º  ”Œ´° ’1“S´º  ” ¹ }³\Ž]wip ˜  ’1“*”• { ’1“ ¹ º  ” ¹ µS’„¯:“S”§°
¯]’1“ ´ º  ”>µD’ { “*¹¾” }
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5`_3RY®Xw‚ ˜>’ ”d•—’ ¢e¤ ° ¢ ¹ ”Œ´ }P³cŽ]wip ˜  ’ ”d• { ’ ¢e¤ ° ¢ ¹ ” ¹ ’«° ¢ ¹ º»¯ ¢ ´#” }
8b9/0<;>=1)[@ '*5€'K5`_3O®Xw‚ ˜>’1“S”\• à “ º  º à “z°  • ’1“º  ” ¤  ¹Tº ’1“°  ” ¤  ¹ }³\Ž]wip ˜  ’1“S”|•
¹¤ ’1“º  ” ¢e¤  ¹dº ¹¤ ’?“z°  ” ¢e¤  ¹ }
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5`_^f®Xw‚ ˜>’1“S”d• ¯:“*¹­’ { ° ƒ “*” ² } ’ w‚r¬w‡Zwaˆ-v€y¬s Žˆ wbtsª‹]y¬wbtŽ]wq]rts ]‹]©§|rt‹]vWw ”
˜Q„’1“S”M• ƒ “’ { ° ƒ “S” ² º»¯:“ ¹ “ –€’ { ° ƒ “S” ² šQ• ƒ “’ { ° ƒ “*” ² º»¯:“ ¹ µD’ ƒ ’ { ° ƒ “*” ´ ”µ†’«° ƒ ”M•
• ƒ “’ { ° ƒ “*” ² ° { ¯:“ ¹ ’ { ° ƒ “S” ´ • ƒ ’ { ° ƒ “S” ´ ’?“>’ { ° ƒ “S”¥° ¶­“ ¹ ”P• ƒ ’ { ° ƒ “S” ´ ’ { “z°  ¯:“ ¹ ”d•
•  ¯]’ { ° ƒ “S” ´ ’1“±° ƒ “ ¹ ”d•  ¯:“’ { ° ƒ “*” ´ ’  ° ƒ “S”
8b9/0<;>=1)[@ 'K5€'*56'*®Xw‚ ˜>’1“*” • ’?“f°  ”Œ¹-’„¯:“%º  ” ² } ’ w§rtwª‡Zwˆ-v€y¬s Žˆ w tsf‹]y¬w tŽ]wq]rts ]‹]©‚
rt‹]vWw ”
˜Qž’1“*”M• ¯]’1“\°  ”i’ž¯:“Pº  ” ² º¸’?“\°  ” ¹ µ«’ ƒ ’„¯:“Pº  ” ´ µ«’„¯D”¬”d• ¯]’1“\°  ”‚’„¯:“Pº  ” ² ºz¶’1“\°  ” ¹ ’„¯:“Pº  ” ´
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5€'3'f®Xw‚ ˜>’1“S”d• ¢ ´¹ ´ } ’ w‚r¬w‡Zwaˆ-v€y¬s Žˆ wbtsª‹]y¬wbtŽ]w [‹]s-t¨Wwip |rt‹]vWw ”
˜Q ’?“*”d• { “±“ º°Ä{¯ ¹ µ “ “±“ ºB° {¯ • { “±“ º°Ä{¯ ¹ ’1“±° ’1D¯ ±“ ”°Ä°4¯D’?”“ ¹ º { ” • { ±““ º°Ä{¯ ¹ ’1“±° °B… ¯D” ¹
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5€'SRY®Xw‚ ’ ”d• ¹ ¤ ¦´  ¹:} ’ w‚r¬w‡Zwaˆ-v€y¬sªŽˆ w tsª‹]y¬wbtŽ]w [‹]s-t¨Wwip |rt‹]vWw ”
¯
„’ M” • {¯ ¯ º  ¤  ¹ µ ¯ º  • {¯ ¯ º  ¤  ¹ „’ ¯ „’ ¯ º
• {¯ ¯ º  ¤  ¹ ’„¯ °   ” ¹
 ”° ¯ •
º ”¹
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5€'SOY®Xw‚ *’ Q”>• ´ ¤ ¹ ¤  ¹­} ’ w‚rtw‡Zwaˆ-vWy¬sŽˆ wb¬s‹]y¬wtŽ]w £‹]s-t¨€w‚p†crt‹]v€w ”
[„’ Q”d• ¯ { º º» ¯ e¢ ¤  ¹ µ
º  •  º  ¢¥¤  ¹ ’ { º ¯D”>° { ’ º  ” •
{ º»¯ ¯ { º»¯
’„¯ º  ” ¹
• ¯ { º º» ¯ ¢¥¤  ¹ ’ { ° »º  ¯D” ¹
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5€'3^f®Xw‚ ˜>’1“S”d•
¢e¤ } ’ w§rtw‡w"ˆ-v€yŒsªŽˆ wbtsª‹]y¬wb¬Ž]w [‹]s-¬¨€wip |r¬‹]v€w ”
˜Q ’?“*”d• ¯:“>’1“ ¹ °  ” ² ?’ “°¹ “ ° ¹ µ ’ž” ¶­“’1“ ¹ °  ” ´ ” • :¯ “>’?“ ?’ ¹“ ¹ ° °  ”¥ ”° ¼ ¶­“ ´ • Á° 1’ “ ¯:“%¹ ° °B À­” “ ¼ ´
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5‰Ve%®Xw‚ ˜>’1“S”d• ´ ¢¥¤ ¤ } ’ w‚rtw‡Zwaˆ-vWy¬sŽˆ wb¬s‹]y¬wtŽ]w £‹]s-t¨€w‚p†crt‹]v€w ”
˜  ’1“S”d• { ’ { “*¹Mº  ”¬¹-’mÀ­“*”i’?“*¹°  ’1“ ” ² ¹ °U° ’  { ” “S¹dº  ” ´ µ†’ž¶­“>’?“*¹°  ” ´ ”
• ¯:“’ { “S¹Mº  ”Œ¹-’1“S¹Z° ’1“ ” ¹ ´ ° – ’1 “S” ¹°  ”° ƒ ’ { “S¹Mº  ” •
• ¯:“>’ { “ ¹ º ’1“  ¹ ” ¹° ’«°  ” #¼ { ° { “ ¹ ”
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5‰VS'f®Xw‚ ˜>’1“S”d• ¹ ¥¢ ¤ ¤ } ’ w§rtw‡w"ˆ-v€yŒsŽˆ wtsª‹]y¬wb¬Ž]w [‹]s-¬¨€wip |r¬‹]v€w ”
˜Qž’1“S”d• ’„¯:“º  ” ¢¥¤  ¹ ’?“ ’1¹“ ¹ ° °  ” ”° ¹ ¯:“’„¯:“ º  ” ¤  ¹
{
¤ ¤ } ’ w§rtw‡w"ˆ-v€yŒsªŽˆ wbtsª‹]y¬wb¬Ž]w [‹]s-¬¨€wip |r¬‹]v€w ”
ž’ ”d• ¹¤ ’ º  ” ¢¥¤  ¹ ’ ¹ º  ” ¤ ’  ¹¹ º°  ’ ” º  ” ¤  ¹ ’ ¹ º  ” ¢e¤  ¹
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5‰VKRY®Xw‚ *’ ”>•
b8 9/0<;>=1)[@ '*56'*5‰VKOª®Xw‚ ˜>’?“*”d•—’ { “cº  ” ² ’1“S¹K°ª“cº  ” ´ } ’ w§rtwc‡wˆ-v€yŒsaŽˆ wctsb‹]y¬w|¬Ž]w|q]rts ]‹]©‚
rt‹]vWw ”
˜Q„’1“S”M•  ¯]’ { “º  ” ´ ’?“ ¹ °(“ º  ” ´ º { ’ { “º  ” ² ’1“ ¹ °“ º  ” ¹ ’„¯:“°  ”
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5‰VS^f®Xw‚ ‘ • ²FÂt´ ˆ-p • { “S¹Z° D}T³\Ž]wip
‘ • ƒ ¤ Ât´ œ
{
“ •·À­“
‘ • ‘ µ • ƒ ¤ Ât´ ’žÀ­“S”d•·¶­“>’ { “ ¹ °  ” ¤ Ât´
“
“ {
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5`RS%®Xw‚ ‘ • ¢ ¹ Ât´ ˆ-p %• ¯:“ ´ °“ º D}T³\Ž]wip
‘ •° ¯ K¢ ¼ Ât´ œ
{
“ •·À­“±° 
‘ • ‘ µ •° ¯ K¢ ¼ Ât´ ’žÀ­“°  ”d•° ¯ ’ž¯:“ ´ °(“ º  ”F¢ ¼ Ât´ ’žÀ­“±°  ”
{
“
“ {
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5`R'f®Xw‚ ‘ • ¤  ¹Pº ¢e¤  ¹ ˆ-p %• “ ´ °“ }P³cŽ]wip
‘ •  K¢¥¤  ¹ °  K¢ ´¦Â ¹ œ
¯
¯
“ • {“¹ ° 
‘ • ‘ µ •  ’ K¢¥¤  ¹ ° X¢ ´¦Â ¹ ”i’ { “ ¹ °  ”d•  ’¬’1“ ´ °“*”F¢e¤  ¹ °U’1“ ´ °(“S”F¢ ´¦Â ¹ ”i’ { “ ¹ °  ”
“
“ ¯
¯
8b9/0<;>=1)[@ '*5€'K5`R3R ¨€p]©iw ’?“*”\• *’„˜>’1“S”¬” ˆ-p ˜>’„¯D”Z• { œF˜  ’„¯D”\• ° { œ *’ { ”• … œ  ’ { ”\• ƒ±‡Zw
w‚
„’1“*”d• [„’ž˜>’1“*”Œ”¬˜Qm’1“*”Fœ
 ’„¯D”d•  ’ž˜>’„¯D”¬”¥µ/˜  ’„¯D”d•  ’ { ”µ ’«° { ”P• ƒ µ†’«° { d” •°  ¯
ƒ
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5`R3OY®Xw‚ 1’ “*”d• ˜>’1“S¹dº  ” -ˆ p ˜  ’„¯D”d• {
}Bw w‚
„’1“S”M• ¯:“S˜Qž’1“ ¹ º  ”§œ
„’  ”d• ¯D˜Q ’  º  ”d•·À
8b9/0<;>=1)[@ *' 5€'K5`R^HŽ]wip ’1“S”P• *’„˜>’1“S”¬” ¬Ž]wip  ’1“S”d•  ’„˜>’1“S”¬”‚µ ˜  ’1“S” ‡|Ž]¨€©¦Ž.1A\2¥0,  ’ž˜  ’1“S”¬” }
8b9/0<;>=1)[@ *' 56'*5€EK%®Xw‚ ˜>’1“S”d•—’  °“*”‚’1“*¹°  ”¬¹ •Å’„¯[œ¾° ” }Bw w‚
˜Q„’1“S”d•°"’?“ ¹ °  ” ¹ º·’  °(“*”µ†’ ƒ “S”¥µ†’1“ ¹ °  ”§œ
• ˜Qž’„¯D”d•°"’ ƒ °  ” ¹ º ’  ° ¯D”µ†’ž¶ ”¥µ†’ ƒ °  ”M•° °Ä¯ ƒ •° {D{ œ
ˆ-p tŽ]ww £‹ˆ­t¨€sDpYsD¥tŽ]wv€¨€p]w¨€y
‘ º a•° {D{ ’?“±° ¯D”
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5€E3'f®Xw‚ ˜>’1“S”d•H“Xà ¯:“ ¹ º •—’ { œ /… ” }w w‚
˜Q„’1“S”d• ¯:“ ¹ ºcº “±µ†’ ƒ “S”¥µ ¯ à ¯:“  ¹ º œ
˜  ’ { ”d• à  ¶cº|º { µ†’  ¯D”µ ¯ à /… º •
˜Q ’ { ”d• … º  … ¶ • ƒ {D… œ
ˆ-p tŽ]ww £‹ˆ­t¨€sDpYsD¥tŽ]wv€¨€p]w¨€y
‘"° /… • ƒ … { ’1“±° { ”
8b9/0<;>=1)[@ *' 56'*5`OS ¨€p]©‚w ’ ”>• ½ ½D{ ´ ’ °D” ² ºÀ ½ ¯ ‡Zw w§
 ’ ”d• ½ ½ ¹ ’ °D” ² º ½  ¯ ´ ’ °D” ´ • ¹ ’ °D” ´ – ½ ½ ’ °D”¦º ½  ¯ š3• ¹ ’ °D” ´ ’ ½ ¯  ° ½ ~À { ”
wip]©iw
 ’  ”d•—’«°ÁÀ ” ´ µ†’«° ½ ƒ ¯D”d• ½ D¯
 ’ { ”d• µ ’«° ƒ ” ´ µ†’ ½ ”d• ½ œ
 ’ ƒ ”d•  À µ†’«°Á¯ D”¥µ†’ ½ ¯  ”d•° ½ D¯
…
 ¶ ˆ
}™xf}ftŽ]w%v€w iw v¨€y¨Wp]©‚rtw¾ˆ-yŒ¨€p } #½ ˆ
}¡xf} ¨WyŒts-qy¨Wp]©‚rtw¾ˆ-y¬¨Wp ˆ-p ÄyŒ¦ˆ­rŒty ]wi©‚rtwiˆ-y¬¨€p ˆ-6tw‚rŒ‡\ˆ­r ]yi}
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5`O3R €¨ p]©‚watŽ]wbˆ­rtwbsDetŽ]wa©i¨‰rt©i‹]v€ˆ­r ]¨Wy¬©a¨Wy ’ -”>• -¹ ‡w w‚
• ¯ µ
y • ¯ 6 ­y¬w‚©a¨€y|©isDp]yŒ¦ˆ-p  ‡|Ž]wip b• ƒ ½ª`wiw§Á‡Zws-u]¦ˆ-¨€p
² •·¶ ½ Yµ/¯b•  ¶ ½ 6 ¹ ­y¬w‚©
8b9/0<;>=1)[@ '*56'*5`O3O BwbŽˆ w
“Y• ˜>’ ”d•·À ¯ … ¹ º  … º ƒ … œ ½ H… œ
ˆ-p
• *’1“S”>•° ½D½D½ … “ ¹ ºÀ … œ
… “ 4{ …-½
¨€p]©‚wuSw ¨Wp]p]¨€p sD  … ¨€y • ½ tŽ]wªuQw ¨€p]p]¨Wp sD  ©is-r¬r¬wiyŒqSsDp ]yts • ƒ]} BwzŽˆ w
“Y• ˜>’ ƒ ”>• #½D½ º cº ƒ … • ¯ …-{ …[} y¬¨Wp tŽ]w©FŽˆ-¨Wp rt‹]vWw ‡ZwaŽˆ w
• “ µ “ •° ½D½
/… “±µ†’  ¯ … º  … ”M•° ½ { ¶ µ D¯ ~¯ … •°Á¯ ƒ†…
ˆ-p
’„¯ …-{ … ”>•  ¯ 
À