MATHEMATICS 201-NYA-05
Differential Calculus
Martin Huard
Fall 2016
XV – Inverse Trigonometric Functions
1. Evaluate exactly. (Do NOT use a calculator.)
 
 2
2
a)
arcsin1
b)
arcsin
d)
arctan1
e)
arccos   12 
g)
arctan
h)
arcsin
j)
arcsec 2
k)
arccsc  2 
3
3
3
2
2. Find the exact value of each expression.
a) sin  arcsin 52 
b) sin  arctan 43 
c)
arccos  1
f)
arctan 3
i)
arccos0
l)
arccot  3
c)
arcsin  sin 76 




d)
arccos  cos 127 
e)
sec  arcsin 43 
f)
sec arccsc 2
g)
cos  arctan  2 
h)
arccos  cos 3 
i)
sin  2 arccos 53 
3. Complete the identities.
a) sin  arccos x   ?
b)
cos  arctan x   ?
c)
cot  arccsc x   ?
sin  arctan x   ?
e)
tan  arccot x   ?
f)
tan  arccos x   ?
d)
4. Prove the following identities.
a) arcsec x  arccos 1x if x  1
b) arccot x  arctan 1x if x  0
dy
.
dx
a) y  arcsin 4 x
5. Find
b)
d)
y  arctan x 2
f)
y  arcsin 1x
h)
y  arcsin x  arccos x
c)
y  arcsec x3
e)
y  arcsec
g)
y  x arccos  2 x   12 1  4 x 2
i)
y
arcsec x
x2  1
j)
y  x 2  arccos x 
k)
y
1
x2
l)
x arcsin y  x  y
n)
arcsec x  arccsc y  2
m)
1
1  x2
arctan  5x 
arcsin  xy   arccos  xy 
y  arccot x
3
XV – Inverse Trigonometric Functions
Math NYA
6. Find the equation of the tangent line at the given point for the following curves.
a) y  arctan  2 x  at x  12
b)
f  x   xearcsin3x at x  16
x 
7. Find all points where the function f  x   arcsin  2
 has a horizontal tangent.
 x 1
8. Find f   x  if
a)
f  x   arctan x
b)
f  x   arcsec x 2
9. Find f   x  if f  x   arcsec  e x 
Fall 2016
Martin Huard
2
XV – Inverse Trigonometric Functions
Math NYA
ANSWERS
1.
2.
a)

2
b)

4
g)

6
h)

3
c) 
i) 2
a)
2
5
b)
4
5
c)

6
h)

3
i)
24
25
g)
3.
5
5
2
a) sin  arccos x   1  x
x
d) sin  arctan x  
4.
1  x2
d)
j)
d)
b) cos  arctan x  

4
2
7
1
1 x
2
1
x
  arccos  1x 
b)
dy
2x

dx 1  x 4
e)
dy
1

dx
1  x2
 x
8.
9. f   x  
Fall 2016
x
2

2
2x
 1
dy
1

dx x x 2  1
dy
0
dx


1  y 2 1  arcsin y 
dy
l)

dx
x  1 y2

dy y y 2  1

dx x x 2  1
7.  1, 6  and 1, 6 
b) f   x  
e2 x  e2 x  2 
e
f) 2
2
c) cot  arccsc x   x  1
2
b) y  33 3 e 6 x  183 e 6
 1
5
6
2
dy x  arccos x  2 1  x arccos x  3x

j)
dx
1  x2
n)
2 x
l)
f)
h)
dy  y

dx x
a) f   x  
7
6
Thus arccot x  arctan 1x
dy
3
c)

dx x x 6  1
dy 2 x 2 arctan 5x  50arctan 5x  5x
k)

dx
x 3  x 2  25
a) y  x  12  4
k)
1
x
  arctan  1x 
dy
 arccos  2 x 
dx
2
2
dy x  1  4 x x  1 arcsec

i)
2
dx
2 x x  1  x 2  1
6.

3
tan  
g)
m)
f)
e) 4 7 7
cos  
5.
2
3
1
1  x2
f) tan  arccos x  
x
x
b) Let arccot x  
Then cot   x
1
tan   x
x
Thus arcsec x  arccos 1x
dy
4
a)

dx
1  16 x 2
dy
1

d)
dx 2 x 1  x 
e)
e) tan  arccot x  
a) Let arcsec x  
Then sec   x
1
cos

4
2  6x4
x 2  x 4  1
3
2
5
2
Martin Huard
3