zepexzt - 2 dpzyn ceciae ze`eeyn
x 2 y5 = 80
.1
xy 4 = 16
xy = ?
‫לא נית לדעת‬
(4)
3
(3)
4
5
(2)
(1)
:‫נחלק את המשוואה הראשונה בשנייה‬
x 2 y5 = 80
÷
xy 4 = 16
xy = 5
1
x, y ≠ 0
x + y (4)
( xy )−1
(3)
x 2y2
x +y
2
2
;
(2)
1
− 2
y
x
=?
(x − y)(x + y)
xy
2
x2y2
.2
(1)
1
x 2 − y2
−
x 2 − y2
xy
1
y2 x 2
x 2 y2
=
=
⋅
=
= (xy) −1
2
2
2
(x − y)(x + y) x 2 − y 2
xy
(xy)
x −y
xy
xy
1
(x + y)2 − 2y 2 − 2xy
=?
x+y
x+y
(4)
2y
(3)
x
(2)
x−y
.3
(1)
(x + y) 2 − 2y 2 − 2xy x 2 + 2xy + y 2 − 2y 2 − 2xy x 2 − y 2 (x − y)(x + y)
=
=
=
=x−y
x+y
x+y
x+y
x+y
4(b − a ) − 2(a − b )
=?
2a − 2b
3
(4)
2
(3)
4(b − a ) − 2(a − b)
2a − 2b
© High Q
=
1
(2)
0
.4
(1)
4b − 4a − 2a + 2b 6b − 6a −6(a − b)
=
=
= −3
2a − 2b
2a − 2b 2(a − b)
‫‪.5‬‬
‫‪x 2 − (y − z)2‬‬
‫?=‬
‫‪x+z−y‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪x−z‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x+y+z‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x+y−z‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪x+y‬‬
‫נפשט את המונה לפי נוסחת הכפל המקוצר השלישית‪ ,‬כ! ש"‪ x‬הוא האיבר הראשו ו" )‪ (y − z‬הוא האיבר השני‪:‬‬
‫)‪x 2 − (y − z)2 {x − (y − z)} ⋅ {x + (y − z)} (x − y + z) ⋅ (x + y − z‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=x+y−z‬‬
‫‪x+z−y‬‬
‫‪x−y+z‬‬
‫‪x−y+z‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪3m − 3n = 21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m − n = 70‬‬
‫?= ‪m+n‬‬
‫)‪7 (1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪70‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪77‬‬
‫נפשט את המשוואה הראשונה‪3m − 3n = 21 ⇒ 3(m − n) = 21 ⇒ m − n = 7 :‬‬
‫נפשט את המשוואה השניה לפי נוסחת הכפל המקוצר השלישית‪m 2 − n 2 = 70 ⇒ (m + n)(m − n) = 70 :‬‬
‫נחלק את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪(m + n)(m − n) = 70‬‬
‫÷‬
‫‪m−n =7‬‬
‫‪m + n = 10‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪33‬‬
‫‪x+ x= x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫;‬
‫?=‪x‬‬
‫)‪0 (1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫כל ‪ x‬אפשרי‬
‫נכפול את שני אגפי המשוואה ב"‪ 12‬ונקבל‪:‬‬
‫‪18x + 15x = 33x‬‬
‫כיוו ששני האגפי‪ %‬זהי‪ ,%‬הרי שכל ער! של ‪ x‬יקיי‪ %‬את המשוואה‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪2 x + y = 50‬‬
‫‪10 x + 15 y = 700‬‬
‫?= ‪y‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪15‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪25‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪35‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪45‬‬
‫נשווה את המקדמי‪ %‬של ‪ x‬על ידי הכפלת המשוואה הראשונה ב"‪ ,5‬ונחסר את המשוואה הראשונה מהשניה‪:‬‬
‫‪− 10x + 15y = 700‬‬
‫‪10x + 5y = 250‬‬
‫‪10y = 450‬‬
‫‪y = 45‬‬
‫‪© High Q‬‬
‫‪.9‬‬
‫;‬
‫‪3‬‬
‫‪⋅ x = 7 .2‬‬
‫‪100‬‬
‫)‪(1‬‬
‫?=‪x‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪150‬‬
‫‪240‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪280‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪300‬‬
‫נכפול את שני האגפי‪ %‬ב"‪ 100‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3x = 720‬‬
‫‪x = 240‬‬
‫‪.10‬‬
‫‪A 2 + B 2 = 31‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪A⋅B‬‬
‫‪2‬‬
‫?=‪A+B‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪31‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪32‬‬
‫נכפול את המשוואה השניה ב"‪ 2‬ונקבל‪2AB = 1 :‬‬
‫נחבר את המשוואות‪:‬‬
‫‪A 2 + B2 = 31‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2AB = 1‬‬
‫‪A 2 + 2AB + B2 = 32‬‬
‫נפשט לפי נוסחת הכפל המקוצר הראשונה ונקבל‪:‬‬
‫‪(A + B)2 = 32‬‬
‫‪A + B = 32‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪A 2 + B2 = 3‬‬
‫‪2⋅A⋅B= 4‬‬
‫? = ‪(A + B)4‬‬
‫)‪49 (1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪64‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪81‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪100‬‬
‫נחבר את המשוואות‪:‬‬
‫‪A 2 + B2 = 3‬‬
‫‪2⋅A⋅B = 4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A 2 + 2AB + B2 = 7‬‬
‫על פי נוסחת הכפל המקוצר הראשונה‪:‬‬
‫‪A 2 + 2AB + B2 = ( A + B ) = 7‬‬
‫נעלה את שני האגפי‪ %‬בריבוע‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( A + B )4 = 49‬‬
‫‪© High Q‬‬
‫‪.12‬‬
‫איזה תנאי צרי! להתקיי‪ %‬כדי שהמשוואה הבאה תתקיי‪ %‬תמיד?‬
‫) ‪x + y = (x + y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x=y‬‬
‫‪x⋅y=x+ y‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪ x‬או ‪ y‬שווי ל‪0‬‬
‫מצב זה אינו אפשרי‬
‫נפשט את הביטוי באג‪ ,‬ימי של המשוואה לפי נוסחת הכפל הראשונה ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2 + y 2 = x 2 + 2xy + y 2‬‬
‫‪2xy = 0 ⇒ xy = 0‬‬
‫על מנת שהמשוואה תתקיי‪ ,%‬על ‪ x‬או ‪ y‬להיות שווי‪ %‬ל"‪.0‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪x ⋅ y − y + 11x − 4 = 7‬‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫עבור איזה ער! של ‪ y‬תתקיי‪ %‬המשוואה תמיד?‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪"1 (1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪11‬‬
‫נחסר ‪ 7‬משני האגפי‪ %‬ונקבל‪x ⋅ y − y + 11x − 11 = 0 :‬‬
‫נוציא גור‪ %‬משות‪ ,‬ונקבל‪y ( x − 1) + 11( x − 1) = 0 ⇒ ( y + 11)( x − 1) = 0 :‬‬
‫א‪ , y = (−11) %‬ער! הביטוי שבאג‪ ,‬השמאלי יהיה ‪ 0‬לכל ער! של ‪ ,x‬ולכ המשוואה תתקיי‪ %‬תמיד‪.‬‬
‫‪.14‬‬
‫ערכו של איזה מהביטויי‪ %‬הבאי‪ %‬אינו תלוי בערכו של ‪?n‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪(n + 1)2 − (n − 1)2‬‬
‫‪n −1‬‬
‫‪n + n0‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪n2 + n‬‬
‫‪4n‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪2 ⋅ n0 − 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2 ⋅ n 0 − 2 2 ⋅1 − 2 0‬‬
‫=‬
‫תשובה )‪= = 0 :(4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫הביטוי אינו מכיל את ‪ ,n‬ולכ ערכו אינו תלוי בערכו של ‪.n‬‬
‫‪.15‬‬
‫‪x + y = 3k‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x− =k‬‬
‫‪3‬‬
‫?=‪x‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪-y‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪k-y‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪1.5k‬‬
‫נרחיב את אגפי המשוואה השניה פי ‪ 3‬ונחבר משוואות‪:‬‬
‫‪+ x + y = 3k‬‬
‫‪3x − y = 3k‬‬
‫‪4x = 6k‬‬
‫‪x = 1.5k‬‬
‫‪© High Q‬‬
X=?
Z
R
(4)
R
L
RL
X
R
(3)
(2)
Z
L
;
RL
X
R
= Z ⇒ RL
= ZR ⇒ RL = ZRX ⇒ L = ZX ⇒ LZ = X
X
( x + y) ⋅ ( x 2 − 4 x + 4)
(4)
4x − 4
.16
(1)
L
Z
( x − 2) 2 ⋅ ( x 2 − y 2 )
x 2 − y2
=Z
(3)
x−y
(2)
=?
x+y
.17
(1)
:‫נפשט את הביטוי על פי נוסחאות הכפל מקוצר‬
(x − 2) 2 ⋅ (x − y) ( x + y )
(x + y) ⋅ (x − 2)2
© High Q
=x−y