!"!#$
%&(')&*+,-/.
Solutions
=?>A@ABC>EDFHG!IKJML 02NPOQSR*TVUWUSX<Y[ZH\S]\/UST^YH_:` 222 RbaMO*c
dfehg(iHjPk
dml<g ` jPk
dVn6g(oHjPk
dmpqgsrHjPk
d ; g%jAj
c%tu_:vY*wxQ!YAYHyx_zYHa{R6|PRbU/USObaC} k v~YHwX:\/Q€Qs_C\€}PZUNPRbU(U/NPO6QSR*TVU(U!X4YxZH\‚]\/UST_zYHQ/Q!YAXƒU/NPOTMOH„HwPOb}(…*O*†
Solution
02NPOUSYH|[Q/\€}PO\!TPU/NPO‡Obˆ‰|PYH}POb}AURb}PZEU/NPOŠPYHU/U!YH‹ŒQ/\€}PO\!T(U€NPO_C\€}PRbQWUSX4Y[ZH\!]\€U!TM†
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
02 04 08 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88 76 52 04
tU{R|A|sOHRazT6USYqŠPOhRh…Mv~…Q‚O k XŽNA\S…bNTVUSRbaCUSTRbU{Oˆ%|PYH}PO}AU{` k Rb}PZqaMOb|PORbUSTTVU!RaCU/\€}P]‘RbU{Oˆ%|PYH}PO}AU{`A`A†’Y
U€NPObazO"TMOHOb‹“U!Y{ŠPO"` r ZH\€_C_MOazOb}AU` ZH\!]\€UOb}PZH\/}(]KTM†%”4YHw‘X:\/Q/Q~_V\/}PZ{U/NPRU`A`P•‚–!` r˜— •K•{X:\/U/N™R^azOb‹šRb\/}PZAOa
YH_"• k TMYEU/NPOEOb}PZH\/}(]6_MYHa:` 222 XŽ\mQ/Q›ŠPOU/NPO‡TRb‹‘O‡RHT(_zYHaŽ` 2 k XŽNA\S…bN[\!T rHjPk Rb}PTMX4Oba d€pqg †
="œP@BV>žDFHGSIKJzL 7:}sOŸRb}AU‘\ST |AQSR*…O*Z¡YH}¢O*R…N£_-RH…OŸYH_¤R
TwPTV|POb}PZAO*Z8…bwAŠPO*†;6R*…bN¥Rb}AU¦X4RbQ/yPT§R¤…b\€a-…bwA\/U¦RbaMYwA}PZ¨U/NPO
OHZA]AO*TYH_©\/USTYAX:}š_-R*…OH† e }ªOHZA]AOqYH_©U/N(Oq…bwAŠPO4\!TTRb\!Z?USY?ŠPO
«H¬H­P®/¯b°±®€¯b² \/_ U€NPOƒUSX<Y¡Rb}AUST wPT\/}P]³\/UZAY¡TMY´\/}¥YH|A|PYATV\€U!O
ZH\€azO*…U/\!YH}PT†µ02NAwPT k \/}xU€NPO[Z\SR*]a-R‹ kµ¶· \ST{…*YH}AU!OHTVU!O*Z k ŠAwAU ¶ 3
\STq}PYHU!†^¸ƒNPRbU\!TqU/NPO™QSO*R*TVU|PYATMTV\/ŠAQSO™}AwA‹qŠPOba‘YH_¹…*Y*}AU!O*TU!O*Z
edges?
dfehg ` k
dml<gsºAk
dVn6g‰jPk
dmpqgs»Ak
d ; gso
c n YH}PTV\SZAObaU€NPO{…*YHaC}PObaMT:YH_U/NPO{…wAŠsOH†02NPObaMO"RbazO&USX<Y
Solution
U/vµ|PO*ThY*_<¼PObaCU!Obˆª\/}¨Rb}‰v½…YH}A_V\!]wAa-RU/\!YH}¨YH_<|PRbU/NPT
U€NPObazO˜\!T
–
O\/U/NPOa4Rb}™wA}P…HYH}AU!O*TVUSO*Z™OHZ%]µO?Rb}PZ[N(Ob}P…O‡U/NPObazO{‹?wPTVU2U/NPOb}¾ŠPO
USX<Y4wA}P…*YH}AU!OHTVU!O*ZqO*ZA]AO*TERU(U€NPO©¼PObaVU!ObˆYHa6RbQ€Q(U€NAazO*O<O*ZA]KO*T6RazO
contested
’KwA|A|PYATMOqU€NPRbU‡\€}¨TMYH‹‘O‘…YH}A_C\S]wAa-RbU€\!YH}¿YH_|PRbU€NPTU/NObaMO‘Rba-Oqa¼POaCU€\!…*O*TxX:NPOazO¹RbQ€Q‡U/NAaMO*O‘O*ZA]KOHTxRba-O
…HYH}AU!O*TVUSO*ZA†H02NPOb}[U€NPO}AwA‹hŠPOba^YH_:…*YH}AU‚OHTVU!O*Z[OHZ%]µO*T^YH}ÀU/NPO‡…wAŠPO\!T
Á¡Âmº a:Ã dCi
02NPO Á
-r
gCÄs—[j
-r≥
j
_MR…bU!Yas\!TPU/NPObaMOŠ(O*…RbwPTMO‡OHR…bN¾O*Z‰]AO\!T&…*YH}AU!O*TU‚O*ZEU!X:\!…HO*†
02NPO‹?\/}A\/‹?wA‹ÅX:\/QmQ"YA…*…bwAa[XŽNPOb}¹a —rAk U/NPRbU&\!T k Ob¼Oa!v™¼(ObaCUSObˆNPR*TEU!X4YhwA}P…*YH}AU!OHTVU!O*Z¹O*ZA]AOHTM†0NA\ST
…HYH}A_C\!]w%aMRbU/\SYH}½\!Tq|PYATMT\/ŠAQ‚O
U/a!vƒ\€UÆRaCaMRb}(]\/}(]¦U€NsOš|PRbU€NPT‘TMYÇU/N(RbU|PRbU/NPT‘YH}8YH|A|PYATV\/USO™_zR…*OHTRa-O
–
…Q!YA…byPX:\!TMOERb}PZEU/NPOEYHU/N(Obas_zYHwAa:RbaMO{Rb}AU/\S…bQ!YA…byPX:\!TO*†HÈxO}P…*OU/NPO‡Rb}TMXOba(\!T dVn6g †
="ÉP@^Bmœ¦D&FHGSIKJzÊML:Ë \mˆ‰U/wAazO[tq…*YH}PTV\!TU!TqYH_4Q!O‹‘YH}ÌSwA\!…*O k YH\/QRb}PZ¼A\€}PO*]KRa4\/}ÇU€NPO˜|AazYH|PYHaVU/\SYH}PT‘•Hc/`Ac ºAk
X:NA\/QSOž‹?\/ˆAU€wAazOžtCtƒNPR*TƒUNPOb‹
\/}Í|AazYH|PYHaVU/\!YH}PT º c j c » †¾¸ƒNA\S…bNÎYH_½U€NPOž_MYHQ/QCYAXŽ\€}P]Ï|AaMYH|PYaVU/\SYH}PT
QSOb‹‘YH}EÌSwA\!…*OHcWYH\€Q!c$¼A\€}PO*]KRbas\!T^YHŠAUSRb\/}PRbŠAQSOŠ‰vƅ*YH‹?ŠA\/}A\/}P]©‹q\/ˆ‰U€wAazO*Tst&Rb}PZ‡tCtbÐ
021436587:9<;23
!"!#$
dfehg `Ac » c iAk
dml<g%j c » c oAk
Solution
dCn©gsº c » c k
dmpqg(» c o c k
%&(')&*+,-/.
d ; g AcAc
c›5qYHU!OEU€NPRbUU€NPO6|AazYH|PYHaVU/\!YH}PT&\€}Ƌq\/ˆAU€wAazO*T^t‡Rb}PZÀtVt"…*Rb}ƊPOÀObˆ‰|AaMO*TMTMO*Z¾R*T
11
2 4 6 Rb}PZ
: :
12 12 12
3 4 5 azO*TV|POH…bU/\€¼PObQ v~†
: :
12 12 12
ÈqOb}P…*O\/}Rb}%v‹?\/ˆ‰U/wAaMO‡YH_sU€NPOU!X4Y k
2 |AaMYH|PYHaCU/\SYH}¾YH_Q!O‹‘YH}EÌ!wK\!…*O
3
≤
≤
.
12
12
n YH}PTV\SZAObaC\€}P]6U/NPO|AazYH|PY*aCU€\!YH}¾YH_sQSOb‹‘YH}EÌSwA\!…*O\/}[U/NPO{YH|AU€\!YH}PT k
e }PTMX4Oba dmehg |AazYH|PY*aCU€\!YH} — `H–• » `H–-•H` k NPOb}P…*O\€UW\!TP}PYHUW|PYATMTV\€ŠAQ!O
e }PTMX4Oba dmlg |‰azYH|PYHaVU/\!YH} —[j –• »º –-•H` k NPOb}P…*O\€UW\!TP}PYHUW|PYATMTV\€ŠAQ!O
e }PTMX4Oba dmphg |AazYH|PY*aCU€\!YH} —Æ» –• iƺ –-•H` k NPOb}P…*O\€UW\!TP}PYHUW|PYATMTV\€ŠAQ!O
e }PTMX4Oba d ; g |AazYH|PYHaVU/\SYH} — H–S` ¾
º –-•H` k NPOb}P…*O\€UW\ST(}PYHUW|PYATMT\/ŠAQ!OH†
ÈqOb}P…*OU/N(O‡Rb}PTX<Oa(‹qwPTVU›ŠPO dCn©g †
=P@‰BmœÀDFHG!IKJzÊL
YHaŽX:NA\‚…bN˜¼PRbQ/wPO*T:YH_sU/NPO"…*YH}PTVUSRb}AU
ZAYAO*TsU/NPObaMO"Obˆ‰\!TVUR&|PRb\/aŽYH_aMO*RbQ}AwA‹?ŠPOazT d k g
c
x y
X:NA\!…N¾TMRbU/\STV_V\!O*T^RQ/QW_MYHwAaŽ…YH}PZH\/U€\!YH}PTMc
2x
Ã
y
¾»
x–y
$j
x–y
j
Rb}PZ
x
Ã
y
— «
?
c$02NPOEO*R*TV\SO*TVUX4Rbv\ST(U!YE}PYHUSOU/NPRUWU/NPO
Solution
g \/}[U€NPO
U€NAazO*O\/}PO*„HwPRQ/\/U€\!O*TPNPYHQ!ZÌ!wPTUW_zYHa d
x,y
\€}AU!ObaV\!YHa^YH_sU/NOU/aV\!Rb}(]QSO el<n TNPYAXŽ}P† n Q!O*RaCQ v
‹šOObU!T(U€NPO\€}AU!ObaV\!YHas\€_ŽRb}PZ[YH}AQv<\/_(\/U…wAU!T(U€NPO
«
-
—[j
j Š(ObUSX<OOb} e —Æd 3 k ` g Rb}PZ l³—Æd
Q€\/}PO
y
1,-
x-
iAgCk Rb}PZEU€NAwPT(|AaMYH¼A\!ZAO*Z
–
2
…
-
7
2
.
=A@sBfœ™DFHG!IKJMÊML ”<YHwNPRb¼(O?R˜TzOb‹q\S…b\/aM…bQ!O?XŽ\€U/NÇZH\!Rb‹šObU!Oba el
YH_"QSOb}P]U/N i …b‹ k \/}PTV\SZAOXŽNA\!…bN RbazO¾Z*azR*X:}¦}PYH} YH¼(ObaSQ!R|A|A\/}P]
- …b\€az…bQ!O
TOb‹q\S…b\/aM…bQ!O*T¦YH_ ZH\SRb‹‘ObU!ObazT o …b‹
Rb}PZ´`A…b‹š† e
\ST
C
ZHaMR*X:} k U!YHwP…NA\/}(]¤RbQ€Q?U€NAazO*O§TMOb‹?\!…b\€az…bQSO*T¦R*T TVNPYAX©}P†’ANPYAX
U€NPRbU[U/NPOš|PObaV|POb}PZH\S…bwAQ!RaZH\STVU!Rb}P…HO‘_VazYH‹
U€NPO…HOb}AUazOYH_xU/NA\ST
e
l
…\/az…Q!O
USY4U€NPO<ZH\€‹‘ObU!Oba
\STEO*„HwPRbQUSY4U/N(O4ZH\!Rb‹šObU‚Oa6YH_2U/N(O
C
…\/az…Q!O
C.
FPJVG!FAI
k P
OU n©khk ” Š OU/NPO‡…O}AU/azOHT^R*T:TVNPYAX:}¾R}PZ p U€NPO_MYAYHUYH_sU€N(O|PObaC|(Ob}PZH\S…bwAQ!Ras_SaMYH‹ el
k pƒ— vš…b‹ÍRb}PZ4Q!ObUU/N(O4…b\/az…bQ!O
U€NAazYHwP]N † ObU n2p£— ˆ¹…‹ $
NPRb¼PO©aMR*ZH\/wPT6T6…‹š†$02NPOb} ½—‘º ÃT k
C
n —j ^
T Rb}PZ” §— •HÃPT†
-
aMYH‹
aMYH‹
∆
n!pqk ˆ 2 Ã[v 2 —dfj
pqk‰d
∆
021436587:9<;23
-s)2
•HÃKˆ g 2 ÃÀv 2 —¾dVº ÃT g 2
(1)
(2)
!"!#$
aMYH‹
” pqk‰dCº
2 Ã[v 2 —Æd •HÃPT g 2
∆
%&(')&*+,-/.
-x)
(3)
— dCº Æ
ÈqOb}P…*OŠ›v d • g R}PZ d ` gCk H
• ÃP`HˆÃ fd j
à T g k TMY[`Hˆ
• j T — i R}PZEŠ%v d • g R }PZ dVºAgCk
-s)• 2r T — ` j H† 2ÈqOb}P…*O{T – — •H`H–• º- R }PZEˆ — AT j †H0NPO}[_CazYH‹
o ˆÃ dmj
Æ
—
d
g
k
o
•
H
Ã
T
M
T
Y
ˆ
2
2
–
y2
=
-s)
—Ædmj
-s)2 –
–
d AT
-
• jPg 2 —
-6s(-
–
–
T R*TPazO*„HwA\€a-OZA†
6 ⋅ 12 ⋅ 8 ⋅ 1 k TMY‡v — ` j –• º †H02NAwPTsv — `A:
13 ⋅ 13
i à i T g—
@ABmœ[DFHG!IKJMÊML
\€}PZ[RbQ/Q›|PYATV\/U€\/¼PO\€}AU!O*]µObazT
XŽN(ObaMO
x≤y≤z
d • gCk
Rb}PZ
1
1
1 1
+
+
=
xy yz zx 3
Solution
c$tu_(ˆ
≤y≤
U/NPOb}
1
1
1 TMYEU/NPRbU 1
1
1
3
≤
≤
+
+
≤
xy yz zx
xy yz zx xy
ÈqOb}P…*O\/_ º –€ˆ%v
’K\€}P…*Oˆ
≤
•– ºAk }PY[TMYHQ€wAU/\!YH}[\ST(|PYATMTV\€ŠAQ!O k U€NPRbUW\STP\€_sˆ%v
E}PY[TMYHQ€wAU/\!YH}[\ST(|PY
vhR}sZEˆÀ\ST^R|PYATV\€U/\/¼PO\/}AU!OH]KObasU€NA\!T(‹šO*Rb}PT(U/NPRbUWˆ —
°±¯
k ˆ — • k TMY¾•
≤y≤
ssible.
• k ` kAº †
A†*0NPOEO*„HwPRbU/\SYH}[ŠPO…*YH‹‘OHTMc
º d ÕHÉv gS— v Rb}PZENPOb}(…*O
—ƺAd •HÉv g – d v ºAg †H02NAwPTs\/}[_MR*…bU~v
j TV\/}P…*O
\!T
1 1 1 1 TMY A
+
+ =
≥
y yz z 3
|PYAT\/U/\€¼PO*†H¸ŸO‡…HRb}¾ZHazR*X wA|ÀU/NPO_MYHQ/QSYAXŽ\€}P]6U!RbŠAQSO‡Y*_s¼PRQ€wPO*T(_zYHavhRb}PZ
y
4
5
6
7
8
9
x
15
9
7
6
27/5
5
ÈqObaMOU/NPOQ!R*TVU›U/NAazOHO‹qwPTVUWŠPO‡ZH\!TM…HRbazZ‰O*Z[TV\€}P…*O‡X<OazO„HwA\€azO&v
j †*0NPOEO*„HwPRbU/\SYH}[ŠPO…*YH‹‘OHT
°±¯ k ˆ — ` k TMY[`
≤y≤
TY ºAd Ã`AÉv gS— `v
Rb}PZENPO}P…*O
—¾ºAd `AÃ%v g – d `±v
02NPOQSR*TVU›‹qwPTVU›ŠPO‡ZH\!T…*RbazZAOZ[T\/}P…*O
°±¯ k ˆ —º †H02NPOb}Àv —º R}PZ —º †
aMYH‹
-
d Rb}PZ
≤
c
Rb}[\€}AU!O]AOba g †
1
1
1 1
+
+
= ,
2 y yz 2 z 3
ºAg †H¸ŒONPR¼POU/NPOU!RbŠAQ!O
y
2
3
4
x
7
5
18/5
‹?wPTVUWŠPOERb}[\/}AUSO*]KOaz†
RbQ€QWU€NAazOO‡…HR*TzO*T k U€NPO{TMYHQ/wAU€\!YH}[_zYHa d ˆ k v k g RazO*c d • k jPk • »AgCkAd • k »Ak Cg kAd • k oAk gCkAd ` k ` k •H` gVkAd ` k ºAk »AgCk
(3,3,3)
AʍG!F
021436587:9<;23
HJzF*Ê
Comalco
MIM
=HJ&Ê
=I HG!I !!bGSI