Solutions to Problems in Peskin and Schroeder, An

!"$#%&
'$()#*),+
-/. 0.21436587(9;:"1=<>5?. @;5 AB9DC(.E1=9GF H<>IKJL7 @NMDI5O3)P
Q RTSUWVXUWY[Z
*
\T]_^Ua`>bc6`TbdbTe
fhgjiakmlonGprq
sutwvOxGyzK{
|*}~
€ƒ‚W„†…ˆ‡>‰„‹ŠL‚W„4Œ„=Ž2_„=Ž‘L’“‚†Œ“>”–•—†˜š™œ›ž4Ÿ¡ £¢¥¤4Ÿ¦§—W¨©¨ž—«ª¬›ž˜4­¯®±°†­† °²˜4­W›ž°†˜³›©˜µ´†—W¨©´µ›ž˜4­$¢¶ª)—
¥ŸL°²¨·™¥¸¡°†¨ž°† ¹>Ÿ¡¨º4™"»N°†˜šG¼G½
¾ ¿ÂÃÅÁ ÄÆµÇ »,ȶÉËÊ ÃÁ Ì É‘»)ÉÍ ÃwÁ ÄÆµÇ ¼dÈ¶É¬Ê Ã·Á Î ÉL¼TɬÊaÏ»,¼T¼
Ð
À
Ñ,¤4Ÿ6¨º°†™Ò¢¢¥Ÿ¡ ¥Ó‹›º™±°†˜›©˜ƒ¢œŸL ¥°W¸¢¥›©—W˜o¢œ¤š°²¢
°²¨ž¨©—«ªË™±°"»DԚ°² œ¢œ›º¸¨žŸ_¢œ—"=ŸL¸L°‘Õ"›ž˜ƒ¢œ—¬¢¶ª)—K¼T™¡³«Ô4 ¥—«´µ›ž4ŸL
¢œ¤>°«¢ Ì×Ö Ã ÎaØ6Ù ™¥™œÚ4ӛ©˜4­O¢¥¤š°«¢¬¢¥¤4›ž™K¸—†˜>=›Û¢¥›©—W˜$›ž™,ӟ¢Ü³š¸¡°†¨ž¸¡Ú4¨º°«¢œŸ8¢¥¤4Ÿ¨©›©¦§Ÿ¢¥›©ÓŸ£—†¦
¢¥¤4Ÿ?»
¢œ—¨ž—«ªŸÜ™¶¢¬—W ¥=ŸL ,›©˜$Ý Ø
ÞDŸWß ¨ž¨6 ¥Ÿ¦§ŸL o¢œ—¯»à°†˜ša¼EԚ°² œ¢œ›º¸¨žŸL™°W™áҘµÚš¸¨žŸ¡—W˜š™¥â*°†˜šáœÓŸL™œ—†˜š™ Ø âuã4—† £°$=ŸÜ¸¡°‘Õ
Ô4 ¥—=¸ŸL™¥™)ªŸ8¢°²ä†Ÿ8¢¥¤4Ÿ›©˜š›Û¢¥›ž°†¨±™¶¢°«¢¥Ÿ"¢¥—(å>Ÿ
æ ç_è ʬé"ê
ª¬¤4ŸL œŸ ç ›ž™)¢¥¤4ŸÓ—†ÓŸ¡˜ƒ¢œÚšÓ뗲¦¢œ¤šŸ›©˜4›©¢œ›º°²¨±˜ƒÚ>¸¨žŸ¡—†˜ Ø
Ñ,¤4Ÿo¹š˜š°†¨™¶¢°«¢¥Ÿ›ž™
æ wì«íҏ É è Í"é8ê
ª¬¤4ŸL œŸo6ì‘íҏ É °² ¥Ÿ8¢œ¤4ŸÓ—WÓOŸL˜ƒ¢¥°O—²¦
¢œ¤4Ÿo¹š˜>°²¨©îï™Ò¢¥°²¢œŸoӟL™œ—†˜š™ Ø
Ñ,¤4ŸñðòÓ°²¢œ ¥›Ûó*Ÿ¡¨žŸ¡ÓŸ¡˜ƒ¢Ë›º™
ô
 ì 휏 ɚõ Ä Í÷øí¡Ê"÷È õ ç6ù
õõ
õõ
õ
õ
ôú
ú
¿ õ õ¥ö
ÍÄ ÷NíLÊ"õ ÷òÈÒÿ õ ù
õõ
õõ
õõÒûƒüµýûWüƒþ ö
õõ
Á
Ã
!#"$%'&()*,+.-!/0$1 235416-7&589:;
ª¬¤4ŸL œŸOÿ ›º™K¢œ¤4ŸO˜µÚš¸¨žŸ¡—W˜¯¸ ¥ŸL°²¢œ›ž—†˜ —WÔ>ŸL ¥°²¢œ—† ܳd°²˜š ›º™K¢œ¤4ŸOӟL™œ—†˜¯=ŸÜ™¶¢¥ œÚ>¸¢œ›ž—†˜D—†Ô=î
Ÿ¡ °«¢¥—† Ø Ñ,¤šŸÔ>ŸL Ò¢¥Ú4 œå>°«¢œ›ž—†˜$™œŸ¡ ¥›©ŸÜ™Å¦§—W ,¢œ¤4›º™¬—Wå=<¶ŸL¸¢Ë›ž™
ú
¿ > wì²íҏ É æ†ç ê
¿Ä —†åµ´µ›©—Wû ښ™œ¨©ÕµÈ
ð ?
ôú
ú
Í Ä 1Ê @¶È Ý ACBEDGF õ I
é H
¼ Ä FdÈÒ¼ Ä FdȜ» Ä Fdȶÿ KJ õ ù
õõ
õõ
õ
õ
)
ô
ú
Í Ä 1Ê Ã @¶L È É ÝÉAMB D F ì õACB D ûƒF üµÉ ýûWüƒþ õ éON
¼ Ä F ì ÈÒ¼ Ä F õ ì Ȝ» Ä F ì ÈÒ¼ Ä F É Èœ¼ Ä F É È¥» Ä F É È¶ÿ P
õõ
õõ ûƒüµýûƒüƒþ
ÍRQ5QSQ
ÞaŸ*ª¬›ž¨©¨,—W˜4¨©Õ;ŸL´‘°†¨©Ú>°«¢œŸ¢œ¤4Ÿ*¹š ™¶¢œî[—W ¥4Ÿ¡ ¢¥Ÿ¡ ¥Ó³Åå4Ú=¢ªŸ*Ԛ°²Úš™œŸ¢¥—D—W嚙œŸ¡ ¥´†Ÿ(¢¥¤š°«¢O¢œ¤4Ÿ
™œŸL¸—W˜šµî =Ÿ¡ ,°²˜>*°†¨©¨·¤4›ž­†¤šŸ¡ ¬Ÿ¡´WŸ¡˜=î =ŸL Å¢¥Ÿ¡ ¥Ó™Ë´‘°†˜4›º™Ò¤å>ŸÜ¸¡°†Úš™ÒŸ°†˜*—=4˜µÚ4ÓñåTŸ¡ ¬—†¦
»À¹>Ÿ¡¨º4™Ë¸¡°†˜4˜4—†¢,åTŸo¦§Ú4¨ž¨©Õ¸—W˜W¢¥ ¥°W¸¢¥ŸL*ª¬›Û¢¥¤*¢¥¤4Ÿ£™œ›©˜4­W¨©Ÿÿ2—WÔ>ŸL ¥°²¢œ—W Ø
Ñ,¤4Ÿ¨ž—«ªŸÜ™¶¢œî[—W ¥=ŸL Å¢¥Ÿ¡ ¥Ó›º™
ð±ì ¿ Ä Ê1@¶È Ý A B D F H °²¨ž¨d¦§Ú4¨ž¨±¸—W˜W¢¥ ¥°W¸¢¥›©—W˜š™)—²¦
¼ Ä FTÈÒ¼ Ä FTȜ» Ä FTÈÒÿTJ Ð Ä Á È
Ñ,¤4Ÿ8—†˜4¨žÕ¸¤4—W›ž¸¡ŸK—²¦
ª¬¤š°«¢)¢œ—=—Oª¬›Û¢¥¤G»–°†˜šÿ;›º™û¢œ—ü ý¸û —Wü ˜Wþ ¢¥ ¥°W¸¢¢œ¤4ŸLÓ ¢œ—W­†Ÿ¢¥¤4Ÿ¡ ܳµ™Ò›ž˜š¸Ÿ
˜4ŸL›Û¢¥¤4Ÿ¡ o¸¡°†˜ å>Ÿ¸—W˜ƒ¢œ °†¸¢¥ŸL$ª¬›©¢œ¤¯°†˜µÕW¢¥¤4›ž˜4­ŸL¨ž™œŸ Ø Ñ,¤4Ÿ¡˜¯›©˜Dª¬¤š°«¢8 œŸLÓ°†›©˜>™Ëª)Ÿ?¸—WÚ4¨º
¸—W˜ƒ¢œ °†¸¢¢œ¤4Ÿ ™)ª¬›Û¢¥¤ŸÜ°†¸¤—WÔ=¢œ¤šŸ¡ ¬°²˜š¢œ¤4Ÿ¼T™,ª¬›Û¢¥¤*ŸÜ°†¸¤—†¢œ¤4ŸL L³µå4Ú4¢)¢¥¤4›º™,ª—WÚ4¨žå>Ÿ
Ԛ°† Ò¢¬—²¦ Á Ԛ°² œ¢¬—²¦
¢œ¤4ŸñðîïÓ(°«¢¥ œ›©ó Ø Ñ,¤šŸ—†˜4¨žÕ˜4—W˜W¢¥ œ›ž´µ›ž°†¨·¸—†˜ƒ¢¥ ¥°W¸¢œ›ž—†˜*›ž™Ë—²¦±¢¥¤4Ÿo¦§—† ¥Ó
Ñ,¤4ŸÔ4 ¥—==ښû ¸¢¬—†¦
¢¥¤4Ÿ£¸—W˜W¢¥ ¥°W¸¢¥›©—W˜š™)¤4Ÿ¡ ¥Ÿo›ž™
U0VXWZY Y
°²˜>(¢œ¤šŸ¡ ¥Ÿ8°† œŸ à ¢¥Ÿ¡ ¥Ó™,¨ž›žä†Ÿ"¢œ¤4›º™¡³=åTŸL¸L°²ý#ښ[ ™œŸËþS¢¥\^¤4].Ÿ¡_ ¥`GŸoa ` ª)°W™Å—W˜4Ÿo°²¨©¢œŸ¡ ¥˜š°²¢œ›ž´†ŸKª,°‘ÕªŸo¸—WÚ4¨º
¤š°‘´WŸ8¸¡—†˜ƒ¢œ °†¸¢œŸL¢œ¤šŸ ™,ª¬›©¢œ¤¢¥¤4Ÿñ¼T™ Øcb ˜š™œŸ¡ œ¢œ›ž˜4­›ž˜W¢¥— Ä Á ȳ
û ð±ì ¿ Ê Ã Q Ä Ê1@ È¶Ý A BED5F U0VXWdY Y
¿ Ã ï@ Ý Ä Ãe È D5f0D Ähg ì Í g É Êjý#²i [ È þ!\)]._X`a `
•—†ÓԚ°† œ›ž˜4­Dª¬›Û¢¥¤¢¥¤4ŸG=Ÿ¹>˜4›Û¢¥›©—W˜ Äk lnm ŸGƒo ښ°«¢¥›©—W˜qp ØZrs È£—†¦K¢¥¤4ŸG›©˜µ´«°² ¥›º°²˜ƒ¢OÓ(°²¢œ ¥›Ûó
Ÿ¡¨žŸ¡ÓŸL˜W¢Ü³4ª)Ÿ8 ¥ŸL°W—Et
u
¿ Ã ÝwÐ
k ¨žÚ4­W­†›ž˜4­?›ž˜ƒ¢œ— k lvm ¦§—† ¥ÓñÚ4¨º° Ä p Ø wEx ȳµ¢œ¤šŸ£=ŸL¸L°‘Õ ¥°²¢œŸo›º™
Bzy ¿ à Á Ãe Bz{ È.g| Ã(ì!}Bz{ ì g Ã(É } Ä Ã Ý±È¶É Ä Ã e È DGf0D Ä~ Ê g ì Ê g ì È
É
Ì Ä
Ñ,¤4Ÿp²î =›žÓŸ¡˜š™œ›©—W˜š°²¨ f ¦§Ú4˜š¸¢œ›ž—†˜G›žÓOÔT—W™œŸL™)¢¥¤4Ÿ£¸—W˜š=›©¢œ›ž—†˜š™
 ì ¿ ʬ É í
ÄÃ È
ú
õ
õõ
õõ ù
!#"$%'&()*,+.-!/0$1 235416-7&589:;
} ì6Í } É ¿ Ì Ð
b ˜š™œŸ¡ œ¢œ›ž˜4­O¢œ¤4Ÿo¹> ¥™Ò¢¬—²¦¢œ¤4ŸÜ™ÒŸo›ž˜W¢¥—¢œ¤4Ÿ£™œŸL¸¡—†˜š³=ªŸo—†å4¢¥°²›ž˜*¢œ¤4Ÿ£¸¡—†˜š=›©¢œ›ž—†˜
Ñ,¤4ŸL˜ Ä Ã ÈåTŸL¸—WӟL™
É
g Éì ¿ g ÉÉ ¿ Ì p Ê Î É†Ð
B/y ¿ Ý e É g } Éì B
w ÝÉÉ Ì É
¿ eÉ
Ê p Î É É B8Ð
Á
w Ì
Ì
b ˜ƒ¢œŸL­† °«¢œ›ž˜4­O—«´†ŸL ,™œ—†¨ž›º*°†˜4­†¨žŸL™L³µªŸo¹š˜>¢¥¤4Ÿo¢œ—†¢¥°†¨=ŸL¸L°‘Õ ¥°²¢œŸW½
y ¿ ÝÃe É Á Ê p Î É
Ì É
s
!#"$%'&()*,+.-!/0$1 235416-7&589:;
sutwvOxGyzK{
p
|*}¶|
ƒŽ«‰[‡>ޱ‚†„4¡LƒŽ«’
”EÑ,¤4Ÿ*¸¡ œ—ƒ™œ™£™œŸL¸¢œ›ž—†˜2¦§—W ?™¥¸¡°²¢Ò¢œŸL œ›ž˜4­ —†¦Ë°²˜EŸL¨©ŸÜ¸¢œ ¥—†˜2åµÕD¢œ¤4Ÿ
•—†Úš¨©—WÓñå ¹>Ÿ¡¨ºD—†¦)°˜µÚš¸¨žŸ¡Ú>™£¸¡°†˜DåTŸ(¸—†ÓÔ4Ú4¢œŸL³¢œ—G¨ž—«ª)ŸL™Ò¢8—W ¥=ŸL L³·ª¬›©¢œ¤š—†Ú=¢oƒÚš°†˜W¢¥›L›©˜š­
¢œ¤šŸ Ÿ¡¨žŸL¸¢œ ¥—†Ó(°²­W˜4Ÿ¢¥›ž¸¹šŸL¨ž Ø b ˜>™¶¢¥ŸL°†³,¢œ ¥ŸL°«¢(¢¥¤4Ÿ ¹>Ÿ¡¨ºN°†™°2­W›©´WŸ¡˜³¬¸¡¨ž°W™œ™œ›ž¸L°²¨ËÔT—²¢¥Ÿ¡˜ƒ¢œ›º°²¨
ÇdÄ FTÈ Ø Ñ,¤4Ÿ›©˜ƒ¢¥Ÿ¡ °†¸¢¥›©—W˜"°²Ó›ž¨Û¢¥—†˜4›º°²˜›ž™
¿ A B { F U Ç Ç í
ª¬¤4ŸL œŸ Ä FTÈ)›º™,¢œ¤šŸÚš™ÒÚ>°²¨ oƒÚš°²˜ƒ¢¥›LŸLK›ž ¥°W¸"¹šŸ¡¨º Ø
„ m ¤4—«ªN¢œ¤>°«¢,¢œ¤4Ÿoé¬îïÓ(°«¢¥ œ›©ó(Ÿ¡¨žŸ¡ÓŸ¡˜ƒ¢)¦§—† ¬Ÿ¡¨žŸL¸¢œ ¥—†˜™œ¸L°«¢Ò¢¥Ÿ¡ ¥›©˜š­ñ(— t¯°?¨ž—µ¸L°²¨ž›LŸL*¸¨º°†™¥™Ò›º¸¡°†¨
ÔT—²¢¥Ÿ¡˜ƒ¢œ›º°²¨±›ž™L³µ¢œ—(¨ž—«ªŸÜ™¶¢,—† =ŸL L³
> g æ @ïé æ g ê ¿ 1Ê @ U Ï Ähg È Ç Ï Ähg È Q Ç ÄZg Ê g Èí
ª¬¤šŸ¡ ¥Ÿ Ç·Ä i²È)›º™,¢œ¤šŸo¦§—†Ú4 œîï4›©ÓŸ¡˜>™Ò›ž—†˜š°†¨·ã4—†Úš œ›žŸ¡ ,¢¥ ¥°†˜š™¶¦§—W œÓ —†¦ ÇdÄ FTÈ Ø
! b ¦ Ç·Ä FTÈ8›º™8¢œ›žÓŸ(›©˜>=Ÿ¡ÔTŸ¡˜š4Ÿ¡˜ƒ¢L³
›Û¢™ã4—†Úš œ›žŸ¡ 8¢œ °²˜>™¶¦§—W œÓ ¸¡—†˜ƒ¢¥°†›©˜š™o°$=ŸL¨Û¢°¦§Úš˜š¸¢¥›©—W˜
—†¦ŸL˜4Ÿ¡ ¥­†Õ Ø b ¢Ë›º™,¢¥¤4Ÿ¡˜$˜š°²¢œÚ4 °²¨d¢¥—4Ÿ¹š˜4Ÿ
u
> g æ @ïé æ g ê#R
" @ Q Ä (Ã e È f Ä }%$ Ê } V Èí
ª¬¤šŸ¡ ¥Ÿ } V °²˜š } $ °² ¥Ÿ¢¥¤4Ÿ¬›ž˜4›Û¢¥›ž°†¨š°²˜>ñ¹>u ˜š°²¨4ŸL˜4Ÿ¡ ¥­†›žŸL™—†¦>¢¥¤4Ÿ¬Ôš°² œ¢œ›º¸¨žŸ†³ƒ°²˜šñ¢œ—£°W=—†Ô4¢
°O˜4ŸLªm㚟¡Õµ˜4Ó(°²˜$ ¥Ú4¨žŸ"¦§—W ˸—WÓOԚÚ=¢œ›ž˜4­ ½
ª¬¤šŸ¡ ¥Ÿ& ç È*›ž™¢¥¤4u ŸD¢œ¤4 ¥Ÿ¡Ÿ¡îï=›žÓŸ¡˜š™œ›ž—†˜š°†¨o㚗†Ú4 ¥›žŸ¡ *¢œ °²˜š™Ò¦§—† ¥Ó —²¦ Ç Ä FTÈ Ø(' ›ž´†ŸL˜
¢¥¤4›º™(=Ÿ¹š˜šÇ ›ÛÄ¢¥›©—W˜—†¦ ³™œ¤4—«ª¢¥¤š°«¢¢œ¤šŸ$¸¡ œ—ƒ™œ™O™œŸL¸¢¥›©—W˜ò¦§—W (™œ¸L°«¢Ò¢¥Ÿ¡ ¥›©˜š­¯
—(t°¯¢œ›žÓŸî
›ž˜š=ŸLÔ>ŸL˜š=ŸL˜W¢Ü³š¨ž—=¸¡°²¨ž›)¡ŸL*ÔT—²¢œŸL˜ƒ¢œ›º°²¨·›º™
u
B+* ¿ Á EÃ } Á B/Ã { e g È $ { (Ã } Á $
$ È É Ä Ã(e È f Ä }/$ Ê } V Èí
Ä
h
g
g
.
V
,V VÄ
õõ
õõ
õ
ª¬¤šŸ¡ ¥Ÿ , V ›ž™±¢œ¤4ŸÔš°² œ¢œ›º¸¨žŸ†ß ™
›©˜4›©¢œ›º°²¨ƒ´†ŸL¨©—=¸¡›Û¢¶Õ Ø Ñ,¤4›º™¦§—W œÓ?õ Ú4¨º°¬›ž™°Ë˜>°«¢œÚš ¥°†¨†Ó—==›Û¹T¸¡°«¢¥›©—W˜
—†¦ Ä p ØZr0 È Ø9b ˜ƒ¢œŸ¡­W ¥°²¢œŸ8—«´†ŸL æ g $ æ ¢¥—?¹>˜š$°O™œ›žÓOԚ¨©ŸŸ¡óµÔš œŸÜ™œ™œ›©—W˜¦§—W
B+*2(1 B8Ð
‚3 m Ô>ŸÜ¸›º°²¨ž›LŸO¢œ—¢œ¤4Ÿ¸L°†™œŸ—²¦ŸL¨©ŸÜ¸¢¥ œ—W˜a™¥¸¡°²¢Ò¢œŸL œ›ž˜4­*¦§ œ—WÓ ° •—†Ú4¨ž—†Ó?åDÔT—²¢¥Ÿ¡˜ƒ¢œ›º°²¨ Ä 54 ¿
6 U 01 p e87 ÈÐWÞa—† ¥äµ›©˜š­ñ›ž˜(¢œ¤4Ÿ8˜4—W˜4 œŸL¨ž°²¢œ›ž´µ›ž™Ò¢œ›º¸Ë¨ž›©Ó›©¢L³==ŸL œ›ž´†ŸK¢œ¤4Ÿ:9¬Ú=¢œ¤šŸ¡ œ¦§—† (¦§—† ¥Óñښ¨ž°š³
B+* ¿
ÿ É6 É
B p É , D ™Ò›ž˜ D 1 Ã È Ð
Î
Ä
;
ÞÄ N›Û¢¥¤a°(¦§Ÿ¡ªu¸L°²¨º¸Ú4¨º°«¢¥›©—W˜š°²¨±¢œ ¥›ž¸ä=™K¦§ œ—WÓ m ŸL¸¢¥›©—W˜=< Ø Á ³TՆ—WÚ ª¬›ž¨©¨¤š°‘´†Ÿñ˜4—*=›>¸Ú4¨©¢¶Õ
ŸÜ™¶¢°²å4¨ž›º™Ò¤4›ž˜4­o¢¥¤4Ÿ¬­†ŸL˜4Ÿ¡ °²¨4¸¡ œ—ƒ™œ™_™œŸL¸¢¥›©—W˜›©˜¢¥¤4Ÿ¬ œŸL¨ž°²¢œ›ž´µ›ž™Ò¢œ›º¸¬¸¡°W™ÒŸ è ™ÒŸLŸ k ¥—†å4¨žŸ¡Ó?< Ø Á Ø È
„8Ñ,¤4Ÿo¹š ™¶¢,¢œŸL œÓ ›©˜¢¥¤4Ÿ@KÕ=™œ—†˜$Ÿó=Ԛ°†˜š™Ò›ž—†˜*—²¦¢œ¤4ŸéËî[Ó(°«¢¥ œ›©óŸ¡¨žŸ¡ÓŸL˜W¢¬›º™
> g æ @ïé æ g ê ¿ 1Ê @ A B D F > g æ éBADC Ä FTÈFE æ g ê
¿ Ê1@ U ACBED5F Ç Ä FTÈ > g æ é Ä FdÈ Ç Ä FdÈ æ g ê
¿ 1Ê @ U A BED5F Ç·Ä FTÈ QzN†°†¨©¨¦§Ú4¨©¨
¸—†˜ƒ¢¥ ¥°W¸¢œ›ž—†˜>™—†¦ > g æ Ä FTÈ Ç Ä FTÈ æ g êSPËÐ
!#"$%'&()*,+.-!/0$1 235416-7&589:;
<
Ñ,¤4ŸL œŸo›º™,Ÿó4°†¸¢œ¨žÕ—†˜4Ÿ8¦§Ú4¨ž¨
¸¡—†˜ƒ¢œ °†¸¢œ›ž—†˜½
Ä FdÈ Ç Ä FTÈ æ g ê
È Ç Ï ÄZg È U0VXWZY Y
¿ Ê1@ U Ï ÄZg È Ç Ï ZÄ g È9Q0ACB D F Ç Ä FdÈ U VWdY \ _XY a
¿ Ê1@ U Ï ZÄ g È Ç Ï ÄZg È Ç·Ähg Ê g ÈÐ
\ _Xa
! *ÞaŸ¯¸—W˜š™Ò›º=ŸL ¢œ¤4Ÿ ™¥¸¡°²¢Ò¢œŸL œ›ž˜4­;—²¦°2™œ›©˜4­W¨©Ÿ$Ԛ°† Ò¢¥›ž¸¡¨©Ÿ$¦§ ¥—†Ó °;¨©—=¸¡°†¨©›)¡ŸÜ¸¡¨ž°W™œ™œ›º¸¡°²¨
Ÿ¡¨žŸL¸¢œ ¥—†Ó(°²­W˜4Ÿ¢¥›ž¸£Ô>—†¢œŸ¡˜ƒ¢¥›ž°†¨_¸¡Ÿ¡˜ƒ¢œŸL œŸÜ °«¢"¢œ¤4Ÿ—W œ›ž­†›ž˜ Ø ÞDŸ¸—W˜š™¶¢¥ œÚ>¸¢8°†˜ ›ž˜4›Û¢¥›ž°†¨w™¶¢°«¢œŸ
¸—W˜š™œ›ž™Ò¢œ›ž˜4­$—²¦¬°$ª)°‘´WŸ?Ô>°†¸䆟¡¢—²¦,˜š°² ¥ œ—«ª ™ÒԚ°²¢œ›º°²¨6ª¬›ºµ¢¥¤2›©˜a¢œ¤šŸ3Fò°²˜ša=›© ¥ŸL¸¢œ›ž—†˜š™
°²˜>˜š°† œ ¥—«ªøÓ—†ÓŸL˜W¢¥Ú4Ó ™œÔ4 ¥ŸL°W›ž˜*¢¥¤4Ÿ (=›ž œŸÜ¸¢¥›©—W˜½
B†
¿ A (à e È { Eà } È ì É ¼ Ä _È æ wê·Ð
ú úÄ Ä Y
ª¬¤4ŸL œŸ¼ Ä wÈ)›ž™)ÔTŸL°²äWŸL*°«¢¬ ¿ Ä í í g ÈеÑ,¤4ú ›º™,ª)°‘´WŸKԚ°W¸䆟¡¢)›º™,°²›žÓOŸÜ*4›© ¥ŸL¸¢œ¨žÕ°«¢,¢œ¤4Ÿ
—† ¥›ž­†›ž˜³š› Ø Ÿ Ø ª¬›Û¢¥¤ ›žÓOÔ>°†¸¢"Ԛ°² °²ÓŸ¢¥Ÿ¡ ¿ ØËÙ ª,°‘´†ŸÔš°W¸䆟¡¢Ëª¬›Û¢¥¤ ˜4—†˜D¡Ÿ¡ ¥—(›žÓOÔ>°†¸¢
Ԛ°† ¥°†ÓOŸ¡¢œŸL )Ó(°‘ÕåTŸ ¥Ÿ¡Ô4 ¥ŸL™œŸ¡˜ƒ¢œŸÜåµÕ(¢¥¤4Ÿ£™¶¢°«¢¥Ÿ
¿ U0V ¿ A Ãe È { BWÃE } È ì É ¼ Ä wÈ U0V æ _êdÐ
Ä Ä Y
Ñ,¤4ŸÔ4 ¥—†åš°†å4›ž¨©›©¢¶ÕG¢œ¤>°«¢¢œ¤š›ž™™Ò¢¥°²¢œŸ(ª¬›ž¨©¨wŸL´†—†¨ž´†ŸO›ž˜W¢¥— °Ô4¨žü °†˜4Ÿª)°‘´WŸ?ª¬›©¢œ¤;ӗ†ÓŸL˜W¢¥Ú4Ó
 ›ž™
~ Ä ™œ¸L°«¢Ò¢¥Ÿ¡ ¥›©˜š­O›ž˜ƒ¢œ—™Ò¢¥°²¢œŸo È
¿ >  æ @[é æ ê É
õ
õ
¿ A õõ à e #È | B†p 9 } B çõõ } È ì É ¼ Ä wÈÒ¼ Ä ç È UGV W >  æ @ïé æ wê >  æ @ïé æ ç ê Ä Ä Y
u
Úk 4¢Ò¢œ›ž˜4­ >  æ @ïé æ wê ¿ ] (à e @ f Ä } Y Ê } Y È Ä ü  \ _ _ȳ=¢œ¤4›º™¬åTŸL¸¡—†ÓŸL™
¿ A à e È D B†p 9 } B ç } È ì A
u
u
Ä Ä Y É
¼ Ä wÈÒ¼ Ä ç È UGV W f Ä } Y Ê } Y È f Ä } Y Ê } È Ä  _È Ä  ç È E
]
Ñ,¤4›º™(›º™ <¶Úš™Ò¢¢œ¤4ŸGԚ œ—W嚰²å4ü ›ž¨ž\ ›Û¢¶ÕE_ —†¦o™¥¸¡°²¢Ò¢¥Ÿ¡ ¥›©˜4­;›ž˜ƒ¢œ—E°2] ™œ›©˜4­W¨©ŸGԚ¨ž°†˜4ŸGª)°‘´WŸ™Ò¢¥°²¢œŸ Ø Ñ±—
—†å4¢¥°²›ž˜(¢¥¤4ŸKÔ4 ¥—†å>°²å4›ž¨©›©¢¶ÕO—²¦
™¥¸¡°²¢Ò¢œŸL œ›ž˜4­£›ž˜ƒ¢œ—O°£Ó—†ÓŸ¡˜ƒ¢¥Ú4Ó ¥°†˜4­†Ÿ BW ª)ŸKÓ?Ú4¨©¢œ›žÔ4¨©ÕåµÕ
¿ 1Ê @ U C
A BED5F
¿ 1Ê @ U A BED5F
Ç Ä TF È > g æ Ç·Ä FTÈ Ï ÄZg
!#"$%'&()*,+.-!/0$1 235416-7&589:;
x
¢œ¤šŸ˜ƒÚšÓñåTŸ¡ ¬—²¦w™Ò¢¥°«¢¥ŸL™,›ž˜¢œ¤š°²¢Ë ¥°†˜4­†ŸW½
Ÿ B† °† œ—WÚ4˜š È
~ Ä ™¥¸¡°²¢Ò¢œŸL œ›ž˜4­›ž˜W¢¥— ¥°†˜4­†
¿ Ãe BWÈ {  ÃE } A Ãe È BWp 9 } B ç } È ì A
É
u
u
Ä
Y Ä D Ä Y
¼ Ä _Ȝ¼ Ä ç È U0V W f Ä } Y Ê } Y È f Ä } Y Ê } È Ä  _È Ä  ç È%E
]
Ñ
—G­†Ÿ¢¢¥¤4ŸÔ4 ¥—†å>°²å4›ž¨©›©¢¶Õ¯—†¦Ëü ™œ\ ¸L°«¢Ò_ ¢¥Ÿ¡ ¥›©˜š­›ž˜ƒ¢œ— °G ¥Ÿ¡­W›©—W˜D—†] ¦Ë™Ò—W¨©›º;°²˜4­W¨©Ÿ*B Ä ª¬›Û¢¥¤ò°²˜µÕ
Ó(°²­W˜4›Û¢¥Úš=Ÿo—²¦_ӗ†ÓŸ¡˜ƒ¢¥Ú4ÓÈ)ªŸ¤š°‘´WŸK¢¥—(›©˜ƒ¢¥Ÿ¡­† °«¢¥Ÿo—«´†Ÿ¡ )¢¥¤4ŸÓ(°²­†˜š›Û¢¥Úš=Ÿo—²¦¢œ¤4Ÿo¹>˜š°²¨
ӗ†ÓŸ¡˜ƒ¢¥Ú4Ó$½
— B¬È
~ Ä ™¥¸¡°²¢Ò¢œŸL œ›ž˜4­›ž˜W¢¥3
¿ B A Ãge È É { B ÃEg } A Ã(e È D BWp  } B ç } È ì É A
u
u
Ä
Ä Y
Y Ä
¼ Ä _Ȝ¼ Ä ç È U0V W f Ä } Y Ê } Y È f Ä } Y Ê } È Ä  _È Ä  ç È E
]
㛩˜>°²¨ž¨©ÕW³=¢œ—­WŸ¢¬¢¥¤4Ÿñ¸ ¥—W™¥™,™ÒŸÜü ¸\ ¢¥›©—W_ ˜*¦§—W K™¥¸¡°«¢œ¢œŸL œ›ž˜4­(›ž˜W¢¥—¢œ¤4] ›º™¬ ¥Ÿ¡­W›©—W˜—†¦_™œ—†¨ž›º°†˜4­†¨žŸoªŸ
›ž˜W¢¥Ÿ¡­W ¥°²¢œŸ8—«´†Ÿ¡ ,›žÓԚ°†¸¢ËԚ°² °²ÓŸ¢¥Ÿ¡ ܽ
B * ¿ A B ~ Ä ¥™ ¸¡°²¢Ò¢œŸL œ›ž˜4­›ž˜W¢¥—3B¬È
¿ B AMB A (Ã ge È É { B ÃEg } A Ãe È D
Ä
Y Ä
¼ Ä _Ȝ¼ Ä ç È U V W f Ä }
BW9B ç
pÄ } } È ì É A
u
u
Y
f

Ê
È
Ê
È

w

È
}
}
}
Ä Ä ç È:EñÐ
Y Y] Ä Y Ñ,¤4Ÿ ›©˜ƒ¢¥Ÿ¡­† °²¨4¸L°²˜(åTŸK=—W˜4ŸË ¥ü›©­W\ ¤W¢Å_ °‘ª,°‘Õ¢¥—£Õµ›©ŸL¨ž°£=ŸL¨Û¢°o¦§] Ú4˜š¸¢œ›ž—†˜¸¡—†˜š™Ò¢œ °²›ž˜4›ž˜4­o¢œ¤4Ÿ
¢¶ª)—?¢¥ ¥°†˜š™œ´†Ÿ¡ ™œŸKӗ†ÓŸ¡˜ƒ¢¥Ú4Ó =›ž ¥ŸL¸¢¥›©—W˜š™L½
B†9B ç
ç pÄ } } È ì É f Ä u Êa È A u
Y
} È f Ä } Ê } È Ä  wÈ Ä  ç È E Ð
Y ] Y
Äs È
]
˟¡óµ¢L³>¢œ¤4ŸO=Ÿ¡¨©¢¥°¦§Úš˜š¸¢¥›©—W˜¯¸—W˜š™¶¢¥ ¥°†›©˜š›©˜4­ } Ó(°‘Õ*åTŸñ¸—W˜µ´†Ÿ¡ œ¢œŸÜ*¢œ—°4Ÿ¡¨©¢¥°¦§Ú4˜>¸¢œ›ž—†˜
¸—W˜š™Ò¢œ °²›ž˜4›©˜š­ i £°†¸L¸—† =›ž˜4­?¢œ—
f Ä } Ê } È ¿ f g É Íqi«É Í Î ] É
ì É¬Ê g É Í g É Í Î É
ì É
Y
¿ æ } i æ f Ä i Ê g ÈÐ
]
]
B+*
ÉB
B ¿ Ä Ãe È A Ä Ã(g e È { Ã(g } A Ä Ãe È {
Y
¼ Ä wÈÒ¼ Ä ç È f Ä } Y Ê
!#"$%'&()*,+.-!/0$1 235416-7&589:;
Ñ,¤4ŸL˜ Ä s ÈåTŸL¸—WӟL™
B+* ¿ Ãe È A g É B g B Ä
Ä Ã(e È { Ã(} Y ¼ Ä wÈÒ¼ Ä ç
¿ Ä Ã e È A Ã(ge È É { B Ã(g } Ä
Y
B†9B ç
Ä Ãe È { Ä p } Y u }
Èf Ä} Y Ê } Y È
A Ãe WB È  ÃE} æ }
Ä { Y g
r
}
ìÈ É æ i æ f Ä ç Êa È f Ä i Ê g È A
u
Ä w] È Ä  ç È E
]
u
Y æ æ ¼ Ä wÈ æ É æ Ä  _È æ É f Ä } Y Ê } Y ÈÐ
Ä pƒÈ
ú ú
˟¡óµ¢o°W™œ™œÚ4ӛ©˜š­¢œ¤>°«¢£¼ _È"›º™K˜>°² ¥ œ—«ª¬¨žÕ*ÔTŸL°†ä†ŸÜ °² ¥—†Ú4˜>G ¿
Ä í í g ÈíTª)Ÿ?¸¡°†˜¯Ô4ښ¨©¨
°²¨ž¨d¢œ¤šŸ—²¢œ¤šŸ¡ ,¦°†¸¢œ—W ¥™,—WÚ=Ä ¢¬—²¦¢œ¤4Ÿ2›ž˜ƒ¢œŸ¡­W ¥°†¨d¢œ——†å4¢¥°²›ž˜
B * ¿ Ãe È Á æ u æ É A g É B g f } Ê } È A B† æ ¼ wÈ æ É æ
B Ä Ã g
Ä (Ã e È É { B (Ã } Y Ä Y Y Ä (Ã e È { Ä
u
¿ Ä Ãe È Ã Á æ æ É A (Ã ge È { (Ã g } f Ä } Y Ê } Y È
Ä <†È
Y
g
Ä
Ù ­ƒ°²›ž˜¢¥ ¥°†˜š™Ò¦§—† ¥ÓO›ž˜4­?¢œ¤4Ÿ£4Ÿ¡¨©¢¥°O¦§Ú4˜š¸¢œ›ž—†˜G°†¸L¸—W ¥=›ž˜4­?¢œ—
f Ä } Ê } È ¿ f g É Í Î É ì É Ê g É Í Î É ì É Y
Y
¿ } Y f ÄZg Ê g È
g
ª)Ÿ8—Wå=¢¥°†›©˜*¹š˜š°†¨©¨žÕ
B+* ¿ Ãe È Á æ u æ É A g É B g } f Ê È
Y
B Ä Ã g
Ä Ã e È { (Ã } Y g hÄ g g
u
¿ Áe É æ æÉ Ð
È
Ä
x
Áx
‚38Ñ,¤4Ÿ£ã4—WÚ4 ¥›©ŸL ¢¥ ¥°†˜š™Ò¦§—† ¥Ó—²¦
¢œ¤4Ÿ?•—WÚ4¨©—WÓñåÔ>—†¢œŸL˜W¢¥›ž°†¨›º™
4 Ä ç È ¿ 6p e U A B†Ž U V 7
¿ 6p e U p i e É ¿ 6i ÉU Ð
Ñ,¤4ŸL˜*¦§ ¥—†ÓëԚ°² œ¢Ë°ñ¢¥¤4Ÿ›ž˜ƒ´«°† œ›º°²˜ƒ¢Ë°²ÓÔ4¨ž›Û¢¥Úš=Ÿ›º™
u
¿ 1Ê @ U Ï ÄZg È Ç Ï ÄZg È Ç ÄZg Ê g È
Är È
6
¿ 1Ê @ Ê U É È É Ï Ähg È 4 Ï ÄZg ÈÐ
È
Ä
w
hÄ g g
A
!#"$%'&()*,+.-!/0$1 235416-7&589:;
Ñ,¤4Ÿ™œÔ4›©˜š—† ¬Ô4 ¥—==ښ¸¢Ë›º™
Ï ÄZg È 4 Ï Ähg È ¿ Ï ÄZg
¿ Ï ÄZg
¿ w
È 4 4 Ï hÄ g È
È¶Ï hÄ g È
Q*
Q
*
Q
*
Ð
g Q *
g
g g
˜a¢œ¤4Ÿ˜4—†˜4 ¥Ÿ¡¨º°«¢¥›©´µ›º™¶¢¥›ž¸O¨ž›©Ó›©¢£¢œ¤šŸ(Ÿ¡˜4ŸL œ­WÕ ›ž™£Óñښ¸¤;¨º°² ¥­†Ÿ¡ o¢¥¤š°²˜a¢¥¤4Ÿ¸—WÓOÔT—†˜šŸ¡˜ƒ¢¥™—†¦
¢œb ¤šŸÓO—Wӟ¡˜ƒ¢œÚ4Ó$³š™œ—ªŸ°†Ô4Ô4 ¥—‘󵛞Ó(°«¢¥ŸK¢¥¤4›ž™K°†™
à } f Ð
(
u
k ¨žÚ4­W­†›ž˜4­?›ž˜ƒ¢œ— Äw ȳ
¿ Ê Ã @ 6 UÊ É } È É f ÄZg g
°†˜šÔ4¨žÚ4­†­W›©˜4­O¢¥¤4›ž™,›ž˜ƒ¢œ— Ä x È)Õµ›©ŸL¨žš™ Ä ª¬›©¢œ¤¢œ¤4Ÿ£™œÔ4›ž˜$äƒ ¥—†˜šŸL¸䆟L )4Ÿ¡¨©¢¥°Ú4˜š4Ÿ¡ ™¶¢¥—ƒ—=šÈ
p6 ÉUD} É
B*
B ¿ Á x e É hÄ g Ê g È D f ¿ D 6 É Ê;ÿ ɸ}—ƒ™ É È É f g ÄÁ
;
¿ p 6 É ÿ ™œ›©É ˜ } DÉ f gD
É
GÚ4¨©¢œ›žÔ4¨žÕåT—²¢¥¤$™œ›º=ŸL™,åµÕ } É °²˜š*›ž4Ÿ¡˜ƒ¢œ›©¦§Õ , ¿
g1} ½
¿ p } 6 É ÿ ™œ›©É ˜ D f É,D
É
㛩˜>°²¨ž¨©ÕW³4°²Ô4Ô4 ¥—‘ó=›©Ó(°²¢œ›ž˜4­ } Î ›©˜¢¥¤4Ÿ˜4—†˜š œŸL¨ž°²¢œ›ž´ƒ›º™Ò¢œ›º¸"¨ž›žÓO›©¢L³šªŸ¤š°‘´WŸ
6 Éÿ É f Ð
B* ¿
B p } É , D ™œ›©˜ D É