Ünite 2: Olasılık

ÜNİTE - 2
OLASILIK
ÜNİTE – 2
KOŞULLU
BÖLÜM 1
OLASILIK
Örnek
Bir deneydeki tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir. Örnek
uzay E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta
denir.
A ve B, E örnek uzayında ki olay olsun.
Olay, İmkansız Olay, Kesin olay
P(Bʹ) =
Örnek uzayın alt kümelerinden her birine bir olay denir. Boş kümeye imkansız olay, E örnek uzayına da kesin olay denir.
Ayrık Olaylar
Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya
ayrık olaylar denir.
E örnek uzay A, B ve A ∩ B = ∅ ise A ve B ayrık olaylardır.
1
3
ve P(A ∩ B) =
ise P(A / B) olasılığını bulunuz.
5
9
Çözüm
P(B) + P(Bʹ) = 1 olduğundan
P(B) = 1 P(Bʹ) = 1 –
P (A / B) =
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmesi
halinde, A olayının gerçekleşmesi olasılığına, A olayının B ye bağlı
koşullu olasılığı denir.
bulunur.
P(A / B) ile gösterilir.
P (A/B) =
P (A + B)
P (B)
P (A + B)
P (B)
3
2
=
tir.
5
5
1
1 5
5
9
=
= $ =
2
9 2 18
5
Bölüm – 1
KOŞULLU OLASILIK
OLASILIK
Örnek Uzay, Örnek Nokta
Örnek
(P (B) ≠ 0)) dir.
A ⊂ E ve B ⊂ E olmak üzere
3
1
ve P (A + B) = ise P(Aʹ / B) olasılığını bulunuz.
4
8
Çözüm
Eş Olumlu Örnek Uzay
E = {a1, a2, ..., an} sonlu örnek uzayı verilsin.
P(a1) = P(a2) = ... = P(an) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek
uzay denir.
A
P (A l / B) =
B
A∩B
P (A l + B)
P (B)
olduğundan P(Aʹ ∩ B) olasılıE
E örnek uzayı eş olumlu ise,
ğını bulmalıyız.
(A ∩ B) ∩ (Aʹ ∩ B) = ∅ ve
B = (A ∩ B) ∪ (Aʹ ∩ B) olduğundan
s (A + B)
P (A/B) =
P (A + B)
P (B)
=
s ( E)
s (B)
olur.
s ( E)
P(B) = P(A ∩ B) + P(Aʹ ∩ B) ve
P(Aʹ ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B)
3 1 5
= – =
dir.
4 8 8
O halde, E eş olumlu bir örnek uzay ise,
P (A/B) =
s (A + B)
s (B)
dir.
Buradan P (A l / B) =
P (A l + B)
P (B)
5
5 4 5
8
=
= $ =
elde edilir.
3
8 3 6
4
81
KOŞULLU OLASILIK
P (B) =
Bağımsız Olaylar, Bağımlı Olaylar
ÜNİTE – 2
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi diğerinin
gerçekleşmesi olasılığını etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar
denir.
Çözüm
En az 3 kez tura gelmesi demek 3 ü tura, 4 ü tura veya 5 i tura gelmesi demektir. En az 3 tura gelmesi olayı A olsun.
A ve B bağımsız olaylar ise, P(A ∩ B) = P(A) · P(B) dir.
OLASILIK
A ve B bağımlı olaylar ise P(A ∩ B) ≠ P(A) · P(B) dir.
Örnek
İki kavanozdan birinde 4 siyah, 6 beyaz top, diğerinde 3 siyah,
7 beyaz top vardır.
Kavanozlardan biri rastgele seçiliyor. Seçilen kavanozdan çekilen
bir topun beyaz olma olasılığını bulunuz.
P ( A) =
=
10 + 5 + 1 1
=
32
2
O halde,
P (B / A) =
P (B + A)
P (A)
5
5 2
5
32
=
=
$ =
1
32 1 16
2
bulunur.
Tekrarlı Denemeler
Bir deney sonlu sayıda tekrar edilsin. Bu olayların gerçekleşme
olasılığı bu olayların çarpımına eşittir.
Çözüm
Bölüm – 1
Aşağıdaki olayları tanımlayalım.
A = {Çekilen topun beyaz olması}
B = {1. kavanozun seçilmesi}
C = {2. kavanozun seçilmesi}
1
1. Kavanozun seçilme olasılığı P(I) =
2
2. Kavanozun seçilme olasılığı P(II) =
Deneyler A1, A2, A3, ...An olsun. Gerçekleşme olasılığı,
P[(A1, A2, A3, ... An)] = P(A1) · P(A2) · P(A3) ... P(An) dir.
Uyarı
i) A ve B bağımsız iki olay ise, 1
dir.
2
P (A / B) =
1. Kavanozun seçilip, bu kavanozdan beyaz top çekilmesi olasılığı
P (I)
P (A + II)
P (II)
P (B)
=
P (A) $ P (B)
P (B)
= P ( A)
ii) A ve Bʹ bağımsız iki olay ise A ve Bʹ, B ve Aʹ, Aʹ ve Bʹ 1 6
3
=
= P ( A + I) = P ( I ) $ P ( A / I ) = $
2 10 10
= P (A + II) = P (II) $ P (A / II) =
P (A + B)
olayları da bağımsızdır.
iii) P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C) ise A, B, C olayları
bağımsızdır.
1 7
7
=
dir.
$
2 10 20
iV) A, B, C olayları tam bağımsız ise
3
7
13
P (A) = P (A + I) + P (A + II) =
+
=
dir.
10 20 20
(2)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C)
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(B ∩ C) = P(B) · P(C)
P(C ∩ A) = P(C) · P(A)
dır.
NOT
Örnek
L
ME
PA
KOŞULLU OLASILIK
P ( A + I)
II. Kavanozun seçilip, bu kavanozdan beyaz top çekilmesi olasılığı
P (A / I ) =
2
5
4. kez tura gelmesi olayı B ise,
5
f p
4
5
P (A + B) = P (B) =
=
dir.
5
32
2
P (A / I) =
5
5
5
f p+f p+f p
3
4
5
Hilesi bir madeni paranın 5 kez atıldığı bir deneyde en az 3 kez tura
geldiği bilindiğine göre 4. kez tura gelmesi olasılığını bulunuz.
82
Bağımsız olaylarla ayrık olayları birbirine karıştırmamak
gerekir. Ayrık olayların ortak noktaları yoktur; bağımsız
olayların olasılıkları sıfırdan farklı ise ortak noktaları vardır.
Ayrık olayların örnek uzayları aynı, bağımsız olayların örnek
uzayları farklıdır.
a)A ∩ B = ∅ ise A ve B ayrık olaylardır.
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∩ B) = 0 dır.
A ve B ayrık olaylar ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) dir.
O halde 0,7 = 0,3 + P ⇒ P = 0,4 tür.
OLASILIK
Bir ailenin değişik cinsiyetten çocuklara sahip olması olayı A ile, en
çok bir erkek çocuğa sahip olması olayı da B ile gösterilirse,
a) Ailenin 2 çocuğa sahip olması durumunda A ile B nin ba ğımlı olaylar olduğunu gösteriniz.
b) Ailenin 3 çocuğa sahip olması durumunda A ile B nin ba ğımsız olaylar olduğunu gösteriniz.
ÜNİTE – 2
Çözüm
Örnek
b) A ve B bağımsız olaylar ise P(A ∩ B) = P(A) · P(B) dir.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Çözüm
= P(A) + P(B) – P(A) · P(B)
Önce örnek azayı oluşturalım.
0,7 = 0,3 + p – 0,3 · p
E = {ee, ek, ke, kk} s(E) = 4
0,4 = 0,7 · P ⇒ P =
A = {ek, ke}
s(A) = 2
B = {kk, ek, ke}
s(B) = 3
4
bulunur.
7
A ∩ B = {ek, ke} dir.
P (A) =
P (B) =
s (A)
s (E)
s (B)
s (E)
=
=
2 1
=
4 2
3
, P (A + B) =
4
P (A + B) = P (A) $ P (B)
1
1 3
] $
2
2 4
s (A + B)
s (E)
=
Örnek
2 1
=
4 2
A ve B bağımsız iki olay olsun.
P(A) = 0,2 , P(A ∪ B) = 0,8 ise P(B) kaçtır?
olup A ve B bağımlı olaylardır.
b) Örnek uzayı 3 çocuk için yeniden oluşturalım.
E = {eee, eek, eke, ekk, kke, kek, kee, kkk}
A = {eek, eke, kke, ekk, kek, kee}
s(A) = 6
B = {kkk, kke, kek, ekk}
s(B) = 4
P ( A) =
P (B) =
P (A + B) =
s (A)
s (E )
s (B)
s (E)
A ve B bağımsız iki olay olduğundan
P(A ∪ B) = P(A) · P(B) dir. P(B) = x olsun.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=
6 3
=
8 4
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) · P(B)
0,8 = 0,2 + x – (0,2) · x
=
4 1
=
8 2
0,8 – 0,2 = x – (0,2) · x
0,6 = x –
s (A + B)
s (E)
3
=
olup
8
1
4x
x ⇒ 0, 6 =
5
5
3 4x
3
&x=
=
5
5
4
P (A + B) = P (A) $ P (B)
3 3 1
= $
8 4 2
KOŞULLU OLASILIK
A ∩ B = {kke, ekk, kek} ve s(A ∩ B) = 3 tür.
Çözüm
s(E) = 8
Bölüm – 1
olup P (B) =
3
bulunur.
4
olduğundan A ve B bağımsız olaylardır.
Örnek
Bir denemeye ilişkin A ve B olayları için
P(A) = 0,3, P(A ∪ B) = 0,7 ve P(B) = P dir.
a) P nin hangi değeri için A ve B ayrık olaylardır?
b) P nin hangi değeri için A ve B bağımsız olaylardır?
Örnek
Hilesiz iki zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen
sayılar toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, zarlardan birinin üst
yüzüne gelen sayının 5 olma olasılığı nedir?
83
Çözüm
ÜNİTE – 2
Örnek
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamı 8 olması olayı B, sayılardan birinin 5 olması olayı A olsun.
Aynı sınava giren iki öğrenciden Ali'nin sınavı kazanma olasılığı
Tarkan'ın sınavı kazanma olasılığı
1
dir.
2
3
,
5
OLASILIK
B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
A = {(3, 5), (5, 3)}
a. Sınavı Ali ve Tarkan'dan en az birisinin kazanma olasılığı nedir?
A ∩ B = {(3, 5), (5, 3)}
b. Sınavı yalnız Ali'nin kazanma olasılığı nedir?
P (A/B) =
s (A + B)
s (B)
=
2
dir.
5
Çözüm
Örnek
Bir sınıftaki öğrencilerden %55 i fizikten, % 60 ı matematikten başarılıdır.
Rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine
göre, matematikten de başarılı olması olasılığı nedir?
a. P(A ∪ T) = P(A) + P(T) – P(A ∩ T)
P(A ∪ T) = P(A) + P(T) – P(A) · P(T)
Çözüm
A ve T bağımsız olaylardır. O halde,
=
3 1 3 1 4
+ – $ =
tir.
5 2 5 2 5
b. Tarkan'ın kazanamama olasılığı,
Önce aşağıdaki Venn şeması oluşturulur.
Bölüm – 1
s (M/F) =
=
s (M + F)
P(T') = 1 – P(T) = 1 –
1 1
= dir.
2 2
P(A ∩ T') = P(A) · P(T') =
s (F)
15
3
=
55 11
3 1
3
$ =
dur.
5 2 10
KOŞULLU OLASILIK
bulunur.
Örnek
Örnek
Bir torbadaki 5 sarı, 6 mavi bilyeden arka arkaya rastgele 3 bilye
çekiliyor. Çekilen bilye yerine konmamak koşulu ile sırayla iki mavi
Hilesiz bir madeni para ve hilesi bir zar aynı anda atılıyor. Paranın
yazı ve zarın asal sayı gelme olasılığı nedir?
bir sarının gelmesi olasılığı nedir?
Çözüm
Paranın yazı gelme olasılığı P(Y) =
Çözüm
1
2
Zarın asal sayı gelme olayı{2, 3, 5} tir.
3 1
Zarın asal sayı gelmesi olayı, P(A) = = 'dir.
6 2
Paranın yazı ve zarın asal sayı gelmesi olasılığı,
1 1 1
P(Y ∩ A) = $ = tür.
2 2 4
84
6
11
5
2. çekilişte mavi gelme olasılığı P(M2) =
10
5
3. çekilişte sarı gelme olasılığı P(S) =
9
1. çekilişte mavi gelmesi olasılığı P(M1) =
P(M1, M2, S) = P(M1) . P(M2) . P(S)
=
6 5 5
5
$
$ =
bulunur.
11 10 9 33
Hilesi bir zar arka arkaya iki kez atılıyor.
Hiç yazı gelmemesinin yani hep tura gelmesinin olasılığı,
En az bir kez 3 gelmesinin olasılığı nedir?
P(T, T, T, T) = P(T) · P(T) · P(T) · P(T)
=
ÜNİTE – 2
Çözüm
Örnek
O halde en az bir yazı gelmesi olayı hepsinin tura gelmesi olayının
olumsuzudur.
Çözüm
En az bir kez yazı gelmesi olasılığı,
Zar iki kez atıldığında en az bir kez 3 gelmesi olayı A olsun. A'
olayının gerçekleşmesi için ilk ve ikinci atışa 3 gelmemektedir. Bir
5
atışta 3 gelmemesi olasılığı
dır. İki atışta 3 gelmemesi olasılığı
6
5 5 25
$ =
dır.
6 6 36
O halde,
P(A) = 1 – P(Aʹ) = 1 –
Çözüm
Çözüm
Bir sayının gelme olasılığı 3 katı ile orantılı ise,
3k + 6k + 9k + 12k + 15k + 18k = 63k = 1 ⇒ k =
O halde asal sayılar 2, 3, 5 olduğuna göre,
2 gelme olasılığı =
6
63
3 gelme olasılığı =
9
63
15
5 gelme olasılığı =
tür.
63
Asal sayı gelme olasılığı
6
9 15 30 10
=
+
+
=
=
bulunur.
63 63 63 63 21
Örnek
Hilesi bir madeni para arka arkaya 4 kez atılıyor.
En az bir kez yazı gelmesinin olasılığı nedir?
1
tür.
63
26 = 64 tür. 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı,
6
f p = 15 dir.
4
15
tür.
O halde olasılık
64
Örnek
A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin elemanları yan yana sıralanacaktır.
a ve f harflerinin iki uçta bulunmasının olasılığı nedir?
Çözüm
a ve b harfleri iki uçta ise 2! farklı biçimde sıralanır. b, c, d, e harfleri
ortada 4! farklı biçimde sıralanır. O halde harfler 2! · 4! biçimde sıralanır. Harfler gelişigüzel 6! biçimde sıralanır. O halde istenen olasılık,
2! $ 4!
1
=
tir.
15
6!
Örnek
a351 dört basamaklı sayısının 3 ile tam bölünebilmesinin olasılığı
nedir?
85
KOŞULLU OLASILIK
A kümesinin alt kümelerinin sayısı,
Bölüm – 1
Örnek
Bu alt kümenin 4 elemanlı alt küme olma olasılığı nedir?
Hileli bir zarda bir sayısının üst yüze gelme olasılığı sayının 3 katı ile
doğru orantılıdır. Zar bir kez atıldığında üst yüze gelen sayının asal
sayı gelmesinin olasılığı kaçtır?
1 15
=
dır.
16 16
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor.
25 11
=
bulunur.
36 36
Örnek
= 1–
OLASILIK
1 1 1 1
1
$ $ $ =
dır.
2 2 2 2 16
Çözüm
ÜNİTE – 2
Örnek
Bir sayının 3 e tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı
olması gerekir.
1 den 150 ye kadar olan doğal sayılar arasından rastgele seçilen bir
sayının 15 veya 20 ile tam bölünübilme olasılığı kaçtır?
OLASILIK
a + 3 + 5 + 1 = 9 + a ise a yerine 3, 6, 9 rakamları gelmelidir. O
halde istenen olasılık;
3 1
= tür. (En başa 0 (sıfır) gelemeyeceği için)
9 3
Çözüm
1 den 150 ye kadar olan doğal sayılar 150 tanedir. Örnek uzayın
Örnek
eleman sayısı S(E) = 150 dir. Seçilen sayının 15 ile bölünebilme
Bir torbada sarı ve yeşil toplar vardır. Sarı top çekme olasılığı
Yeşil top sayısı 18 olduğuna göre sarı top sayısı kaçtır?
2
tir.
5
Çözüm
B = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140} olup s(B) = 7 dir. Sarı top çekme olasılığı
1–
2 3
= tir.
5 5
O halde torbada,
A = {15, 30, 45, 60, . . . , 135, 150} olup s(A) = 10 dur.
Seçilen sayının 20 ile bölünebilme olayı B ise
olayı A ise,
2
ise yeşil top çekme olasılığı
5
OKEK (15, 20) = 30 olduğundan hem 15 hemde 20 ile bölünebilen
doğal sayıların kümesi
A ∩ B = {30, 60, 90, 120, 150} ve s(A ∩ B) = 5 dir.
3x
= 18 & x = 30 top vardır.
5
O halde 1 den 150 ye kadar seçilen doğal sayılardan rastgele seçi-
Sarı top sayısı = 30 – 18 = 12 tanedir.
Bölüm – 1
len birinin 15 veya 20 ile bölünebilme olasılığı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=
KOŞULLU OLASILIK
Örnek
=
Bir torbada bir miktar kırmızı ve 5 tane mavi top vardır. Bu torbadan geri konmaksızın art arda iki top çekiliyor.
Çekilen toplardan birinin kırmızı, diğerinin mavi çıkma olasılığı
ise, torbada kaç kırmızı top vardır?
3
11
s (A)
s (E)
+
s (B)
s (E)
–
s (A + B)
s (E)
10
7
5
12
2
+
=
–
=
dir.
150 150 150 150 25
Örnek
Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının birler basamağının 1 olma
olasılığı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
İki basamaklı sayılar
Torbada x tane kırmızı top olsun.
100 – 9 – 1 = 90 tanedir.
Torbada toplam x + 5 top olur.
Birler basamağı 1 olanların sayısı: 9 tanedir.
Birinci topun kırmızı, diğer topun mavi çıkma olasılığı;
x
5
3
=
$
&x=6
x + 5 (x + 5 – 1) 11
11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91
86
O halde istenen olasılık
9
1
=
dur.
90 10
Örnek
Hilesi iki madeni para aynı anda atılıyor.
Hilesiz bir zar arka arkaya iki kez atılıyor.
Birinci paranın yazı gelmesi ile ikinci paranın tura gelmesi olayları
bağımsız mıdır?
İlk atışta üst yüze çift sayı, gelmesi olayı ikinci atışta üst yüze 4 ten
büyük sayı gelmesi olayı bağımsız mıdır?
OLASILIK
Çözüm
Örnek uzay E = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} dir.
Çözüm
A = {1 . paranın yazı gelmesi}
= {(Y, T), (Y, Y)} dır.
Bir zardaki çift sayılar 2, 4, 6 ve 4 ten büyük sayılar 5 ve 6 dır.
B = {2 . paranın tura gelmesi}
İlk atışta üst yüze çift sayı gelmesi olayı A ise
= {(Y, T), (T, T)} dır.
A ∩ B = {1. paranın yazı, 2. paranın tura gelmesi}
= {(Y , T)}
P(B) =
s ( A)
s (E)
s (B)
s (E)
=
P(B) =
2 1
=
4 2
s (E)
2 1
= tür.
6 3
İlk atışta üst yüze çift sayı ve ikinci atışta 4 ten büyük bir sayı gel-
2 1
=
4 2
s (A + B)
3 1
= dir.
6 2
mesi olayı
A ∩ B = {(2, 5) , (2,6), (4, 5), (4, 6), (6, 5), (6, 6)}
1
dür.
=
4
Bölüm – 1
P(A ∩ B) =
=
P(A) =
İkinci atışta üst yüze 4 ten büyük sayı gelmesi olayı B ise,
olduğuna göre,
P(A) =
ÜNİTE – 2
Örnek
s(A ∩ B) = 6 ve
P(A ∩ B) =
1 1 1
= $ olduğundan A ve B olayları bağımsız olaylardır.
4 2 2
O halde
6
1
= dır.
36 6
KOŞULLU OLASILIK
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
P( A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
1 1 1
= $
6 2 3
Örnek
olduğundan A ve B bağımsız olaylardır.
Hilesi bir zar ve hilesiz bir madeni para aynı anda atılıyor. Zarın 4 ve
paranın yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
Örnek
Çözüm
Zarın üst yüzüne gelen sayının 4 olması ile paranın yazı gelmesi
olayları bağımsız iki olaydır.
1
A = {Zarın 4 gelmesi} = {4} ⇒ P(A) =
6
B = {Parının yazı gelmesi} = {Y} ⇒ P(B) =
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) =
1 1 1
$ =
dir.
6 2 12
1
dir. O halde
2
Hilesiz bir madeni para 3 kez atılmakta ve A, B, C olayları aşağıdaki
gibi tanımlanmaktadır.
A = { YYY, YYT, TYT, TTT}
B = {YYY, TTY, YYT, YTT}
C = {TYT, TTY, TYY, YYY}
A, B, C olayları bağımsız mıdır?
87
Çözüm
Çözüm
ÜNİTE – 2
OLASILIK
Üç para atıldığında örnek uzay 23 = 8 elemanlıdır.
A ve B bağımsız olaylar ise
A ∩ B = {YYY, YYT}
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) dir.
A ∩ C = {YYY, TYT}
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
B ∩ C = {YYY, TTY}
A ∩ B ∩ C = {YYY}
4 2
2
= + x - $x
5 5
5
4 1
olup P(A) = P(B) = P(C) = =
8 2
P(A∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) =
P(A ∩ B ∩ C) =
= P(A) + P(B) – P(A) · P(B)
1
ve
8
2 1
=
8 4
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C)
1 1 1 1
= $ $
8 2 2 2
4 2 3x
– =
5 5
5
2 3x
=
5
5
x=
2
3
bulunur.
olduğundan A, B, C olayları bağımsızdır.
Örnek
Örnek
Hilesiz bir zarın atılması deneyinde, zarın üst yüzüne tek sayı gelmesi olayı ile asal sayı gelmesi olayı bağımsız mıdır?
A torbasında 4 kırmızı, 3 siyah, B torbasında 4 kırmızı, 5 siyah top
vardır. Torbalardan biri rastgele seçilmekte torbadan bir top çekilmekte ve rengine bakılmaksızın diğer torbaya atılmaktadır. Sonra
bu torbadan rastgele bir top çekilmektedir.
Bölüm – 1
Bu topun renginin kırmızı olma olasılığını bulalım.
Çözüm
Tek sayılar 1, 3, 5 ve asal sayılar 2, 3, 5 tir.
KOŞULLU OLASILIK
Tek sayı gelmesi olasılığı P(T) =
Çözüm
3 1
= dir.
6 2
A torbasından bir kırmızı top çekilmesi olayı KA ile siyah top çekil-
3 1
Asal sayı gelmesi olasılığı P(A) = = dir.
6 2
mesi olayı SA ile gösterilsin. Benzer şekilde B torbasından kırmızı
top çekme olasılığı KB ve siyah top çekme olasılığı SB ile gösterilsin.
Tek ve asal sayılar 3 ve 5 olup
Tek ve asal sayı gelmesi olasılığı P(T ∩ A) =
2 1
= olup
6 3
P(T ∩ A) ≠ P(T) · P(A)
olduğundan her iki olay bağımlıdır.
1 1 1
≠ $
3 2 2
Örnek
P(A) =
2
4
, P (A , B) = ve P(B) = x dir.
5
5
A ve B nin bağımsız olması için, x kaç olmalıdır?
88
A torbası seçilir. Bu torbadan bir kırmızı (veya siyah) top çekilir ve
B torbasına atılır. B torbasından kırmızı bir top çekilir. Bu olayın
olasılığı P1 ise,
1 4 5 1 3 4
32
8
$ $
+ $ $
=
=
dir.
2 7 10 2 7 10 140 35
B torbası seçilir. Bu torbadan bir kırmızı (veya siyah) top çekilir ve A tor-
P=
1
basına atılır. A torbasından kırmızı top çekilir. Bu olayın olasılığı P2 ise,
P =
2
1 4 5 1 5 4 40
5
$ $ + $ $ =
=
2 9 8 2 9 8 144 18
olup istenen olasılık
P = P1 + P2 =
8
5 144 + 175 319
+
=
=
35 18
630
630
dur.
Örnek
Yüzlerine 1, 2, 3, 4 rakamları yazılan hilesiz bir düzgün dörtyüzlü iki
kez atılıyor. Tabana gelen rakamlar saptanmaktadır.
İlk atışta gelen sayı p, ikinci atışta gelen sayı q olsun.
Hilesiz iki madeni para aynı anda bir kez atılıyor.
Paralardan en az biri üzerinde tura göründüğüne göre, her iki para
üzerinde tura görünme olasılığı kaçtır?
OLASILIK
a) p ≥ 2 ve q = 3
b) p + q ≥ 5 ve p = 4
olması olaylarının bağımsız olup olmadığını gösteriniz.
a) p ≥ 2 olması olayı A ve
q = 3 olması olayı B olsun.
Z (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) _
]
b
] (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) b
]
b
Örnek uzay E = [
`
(
3
,
1
),
(
3
,
2
)
,
(
3
,
3
),
(
3
,
4
)
]
b
]]
b
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) b
\
a
ve s(E) = 16 dır.
P(A) =
12 3
4 1
= , P (B) =
=
16 4
16 4
A ∩ B = ((2, 3), (3, 3), (4, 3)} , S(A ∩ B) = 3
Çözüm
Atılan paralardan birincisinin tura görünmesinin olayı A, ikinci para
üzerinde tura görünme olayı B olsun.
Çözüm
ve P(A ∩ B) =
E = {YY, YT, TY, TT} olup s(E) = 4 tür.
P(A ∩ B / A ∪ B) =
=
C = {(2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4), (4, 2),
(2, 4), (4, 3)} ve s(C) = 10
D = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} ve s(D) = 4 olup
C ∩ D = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} = D
dir. O halde,
P(C) =
10 5
=
16 8
P(D) =
4 1
=
16 4
P(C / D) =
4
=1
4
P(D / C) =
4 2
=
10 5
P(C ∩ D) =
4 1
=
16 4
P(C ∩ D) ≠ P(C) ⋅ P(D)
1 ≠ 5 $ 1 olduğundan C ve D bağımlı olaylardır.
4 4 4
=
P (A) $ P (B)
P (A) + P (B) – P (A + B)
P (A) $ P (B)
1 1
1
$
2 2
4
=
=
1 1 1 1 3
+ – $
2 2 2 2 4
=
P (A) + P (B) – P (A) $ P (B)
1
bulunur.
3
Örnek
A = {0, 2, 3, 4, 5}
kümesinin birbirinden farklı elemanları ile üç basamaklı birbirinden
farklı doğal sayılar oluşturuluyor.
Bu sayılar içinden rastgele seçilen bir sayının 9 ile tam bölünebilme
olasılığı kaçtır?
Çözüm
A kümesinin elemanları ile verilen koşulları sağlayan sayıların sayısı:
s(E) = 4 · 4 · 3 = 48
Bu sayılar içinde 9 ile bölünebilenlerin sayısı {0, 4, 5} kümesinden
2 · 2 · 1 = 4 tane
{2, 3, 4} kümesinden : 3 · 2 · 1 = 6 tane olup toplam 10 tanedir.
istenen olasılık:
10
5
=
bulunur.
48 24
89
KOŞULLU OLASILIK
P (A + B)
P (A , B)
Bölüm – 1
p + q ≥ 5 olması olayı C ve p = 4 olması olayı D olsun.
P (A , B)
=
3
3 3 1
= $
dır.
16
16 4 4
P [(A + B) + (A , B)]
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) olduğundan A ve B bağımsız olaylardır.
ÜNİTE – 2
Örnek
ÜNİTE – 2
Örnek
Örnek
Bir torbada 4 kırmızı ve 3 siyah top vardır. Rastgele iki top birlikte
çekilmekte ve renklerine bakılmaksızın torbadan üçüncü bir top
daha çekilmektedir.
Üçüncü topun renginin kırmızı olma olasılığını bulalım.
Ahmet, Burak ve Ceren lunaparkta vazoya top atma oyununa katılıyorlar. Ahmet'in topu vazo içine atma olasılığı
OLASILIK
vazo içine atma olasılığı
1
dir.
2
Çözüm
2
Burak'ın topu
3
3
ve Ceren'in topu vazo içine atma olasılığı
4
Bu üç kişi birbirinden bağımsız atış yaptıklarına göre,
A1 : ilk iki topun kırmızı olması olayı
a) Topun en az bir kez vazoya girmesi
A2 : ilk iki topun birinin kırmızı, diğerinin siyah
b) Yalnız birinin topu vazo içine atması olasılığını bulalım.
A3 : İlk iki topun siyah olması olayı
A4 : Üçüncü topun kırmızı olması olayı olsun.
Çözüm
P(A4) = P(A1 ∩ A4) + P(A2 ∩ A4) + P(A3 ∩ A4)
= P(A1) · P(A4/A1) + P(A2) · P(A4/A2) + P(A3) · P(A4/A3)
Olaylar
3
4 3
4
c m$c m
c m
c m
1 1 2
2 1
2 3
=
$ +
$ +
$
7 5
7
5
7 5
c m
c m
c m
2
2
2
A = {Ahmet'in topu vazo içine atması}
B = {Burak'ın topu vazo içine atması}
C = {Ceren'in topu vazo içine atması} olsun.
2
2 1
& P (A l ) = 1 – =
3
3 3
3
3 1
P(B) = & P (B l ) = 1 – =
4
4 4
1
1 1
P(C) = & P (C l ) = 1 – =
dir. 2
2 2
Topun en az bir kez vazoya girmesi olasılığı
P(A) =
6 1 4 $ 3 2 3 3 13
$ +
$ =
$ +
=
bulunur.
21 5
21 5 21 5 35
Bölüm – 1
Örnek
KOŞULLU OLASILIK
A kutusunda 3 beyaz ve 5 siyah, B kutusunda 4 beyaz ve 6 siyah
top vardır. A kutusundan rastgele bir top çekilip B kutusuna konulmakta ve sonra B kutusundan rastgele bir top çekilmektedir.
P(A ∪ B ∪ C) dir.
Çekilen bu topun siyah olduğu görülmektedir. A kutusundan B kutusuna atılan topun beyaz olmasının olasılığını bulalım.
P(A ∪ B ∪ C ) + P[A ∪ B ∪ C)ʹ] = 1
Bu olasılık, toplam olasılık ile topun hiç vazoya girmemesi olasılığının farkına eşittir. Yani
P(A ∪ B ∪ C) + P(Aʹ ∪ Bʹ ∪ Cʹ) = 1
P(A ∪ B ∪ C) = 1 – P(Aʹ ∪ Bʹ ∪ Cʹ)
= 1 – P(Aʹ) · P(Bʹ) · P(Cʹ)
Çözüm
= 1–
1 1 1
$ $
3 4 2
E1, E2 ve F olaylarını şöyle tanımlayalım.
E1 : A kutusundan çekilip B kutusuna atılan topun beyaz olması
1
23
=
bulunur.
24 24
b) Yalnız birinin topu vazo içine atma olasılığı P olsun.
E2 : A kutusundan çekilip B kutusuna atılan topun siyah olması
F : B kutusundan çekilen topun siyah olması
3
5
6
P(E1) = , P (E ) = , P (F/ E ) =
2
1
8
8
11
P (E ) $ P (F/E )
7
1
1
P(F/E2) = , P (E /F) =
1
11
P (E ) $ P (F/E ) + P (E ) $ P (F/E )
1
1
3 6
$
18
8 11
=
=
bulunur.
3 6 5 7
53
$
+ $
8 11 8 11
90
2
=1–
P = P(A ∩ Bʹ ∩ Cʹ) + P(Aʹ ∩ B ∩ Cʹ) + P(Aʹ ∩ Bʹ ∩ C)
dir. O halde
P = P(A) · P(Bʹ) · P(Cʹ) + P(Aʹ) · P(B) · P(Cʹ) + P(Aʹ) · P(Bʹ) · P(C)
2
=
2 1 1 1 3 1 1 1 1
$ $ + $ $ + $ $
3 4 2 3 4 2 3 4 2
P=
2 + 3 +1 6
1
=
=
bulunur.
24
24 4
Örnek
İki kutudan birincisinde 3 kırmızı, 6 sarı bilye, ikincisinde 4 kırmızı, 5 sarı
bilye vardır. Birinci kutudan rastgele bir bilye alınıp ikinci kutuya atılıyor.
Sonra ikinci kutudan rastgele bir bilye alınıp birinci kutuya atılıyor.
Başlangıçtaki durumun elde edilme olasılığını bulalım.
Başlangıçtaki durumu elde etmek için birinci kutudan kırmızı bilye
çekip, ikinci kutuya atarız. İkinci kutudan kırmızı bilye çekip birinci
kutuya atarız. Birinci kutudan sarı bilye çekip ikinci kutuya atarız.
İkinci kutudan sarı bilye çekip birinci kutuya atarız. Böylece başlangıçtaki durumu elde etmiş oluruz.
Birinci kutudan kırmızı çekip ikinciyi atalım ve ikinci kutudan kırmızı
çekelim. Bunun olasılığı P1 olsun.
3 5 1
P= $
=
1 9 10 6
Birinci kutudan sarı bilye çekip ikinci kutuya atalım ve ikinci kutudan
sarı bilye çekelim.
Bunun olasılığı P2 olsun.
P =
2
6 6 2
1 2 17
$
= olup istenen olasılık P + P = + =
dur.
1
2
9 10 5
6 5 30
Eğer montajı yapılmış bir birim rastgele olarak seçilir ve 12 saat
sürekli kontrol edilirse içindeki çipin kusurlu çıkma olasılığı nedir?
Çözüm
Bu problemde ardışık iki deneme vardır. Çip seçimi (A, B ya da C)
ve sonra, seçilen çipin test edilmesi [Kusurlu (D) ya da kusursuz (D)]
Koşulsuz olasılıklar
P(A) = 0,3 ve P(B) = 0,4
A, B ve C ayrık ve bütünü kapsayıcı olduğundan
P(C) = 1 – (0,3, + 0,4) = 0,3
P(D) yi bulmak istiyoruz. Önce aşağıdaki olasılık ağacını oluşturalım.
D
2
0,0
A
0,9
0,4
Başla
D′
8
0,3
3
0,0
B
0,9
7
0,3
Çözüm
P(R) = 0,35 verilmiştir. Reklamı okuyanların %2 sinin modemi alacağı gerçeği
P(M / R) = 0,02 şeklinde yazılabilir.
P (M/R) =
0, 03 =
4
C
"Reklamı okuma" olayını R ve "modem alma" olayını M ile gösterelim P(R ∩ M) olasılığını bulmalıyız.
P (R + M)
P (R)
P (R + M)
0, 35
eşitliğinden bilinenler yerine yazılırsa
& P (R + M) = (0, 02) $ (0, 35) = 0, 007 bulunur.
(0,3) · (0,02)
KOŞULLU OLASILIK
Bir bilgisayar donanım firması tanınmış bir bilgisayar dergisine yeni
modemin reklamını vermiştir. Firma reklamın dergi okuyucularının
%35 i tarafından okunacağına ve okuyanların %2 sinin modemi
satın alacağına inanmaktadır. Bunun doğru olduğunu varsayalım.
Dergiyi alan bir kişinin reklamı okuması ve modemi satın alması
olasılığını bulalım.
0,0
0,9
6
(0,4) · (0,03)
D
D′
(0,3) · (0,04)
D
D′
A ∩ D, B ∩ D ve C ∩ D ayrık olaylar olduğundan
Bölüm – 1
Problemde verilen ifadeler aşağıdaki koşullu olasılıklara sahibiz:
P(D / A) = 0,02 , P(D / B) = 0,03 , P(D / C) = 0,04
Örnek
OLASILIK
Firma A dan alınan bir çipin ilk 12 saatlik kullanımında kusurlu çıkma
olasılığının 0,02, B ve C için karşılık gelen olasılıkların ise sırasıyla
0,03 ve 0,04 olduğuna inanmaktadır.
Çözüm
Bir firma bir ürünün her birinin montajında bir bilgisayar çipi kullanmaktadır. Çipler A, B ve C toptancısından satın alınmakta ve her
birimin montajı için rastgele olarak seçilmektedir. %30 u A dan,
%40 ı B den ve kalanı C den alınmaktadır.
ÜNİTE – 2
Örnek
P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) + P(C ∩ D)
= P(A) · P(D / A) + P(B) · P(D / B) + P(C) · P(D / C)
= (0,3) · (0,02) + (0,4) · (0,03) + (0,3) · (0,04)
= 0,03 bulunur.
91
ÜNİTE – 2
Eğer Kupa I seçilmişse ikinci denemenin P(K / I) ve P(S / I) koşullu
olasılıkları ile iki mümkün sonucu "kırmızı" (K) ya da "siyah" (S) vardır.
Örnek
Kupa I, bir siyah 3 kırmızı bilye; Kupa II, bir yeşil bilye içermektedir.
Bir kupa rastgele olarak seçilmektedir. Daha sonra bir bilye seçilen
kupadan rastgele çekiliyor ve diğer kupanın içine atılıyor. Son olarak içine bilye atılan kupadan bir bilye rastgele çekiliyor.
OLASILIK
Çekilen bu bilyenin yeşil olma olasılığını bulalım.
Çözüm
Kupadan bilyelerin seçimini aşağıdaki gibi düşünebiliriz.
Bilye
çek
çek
Bilye
Bilye
çek
çek
Eğer ilk denemede Kupa II seçilmiş sonra içinden yeşil bilye çekilmiş ve Kupa I e atılmışsa Kupa I üç kırmızı, bir siyah ve bir yeşil
bilye içerir.
3
1
Böylece Y noktasındaki çatal bir
olasılığı ve iki
olasılığı ile üç
5
5
dala sahip olur.
Kupa I
Bölüm – 1
Üç yolun üçüncü denemede bir yeşil bilye verdiğini görüyoruz. O
halde her biri için dalları boyunca mevcut olasılıkları çarparız.
a) Bir kupanın seçimi
b) Seçilen kupadan bir bilyenin çekilmesi
KOŞULLU OLASILIK
c) İkinci denemede çekilen bilyenin yerine konulduktan sonra diğer
kupadan bir bilye çekilmesi
P(İkinci çekişte mavi bilye) olasılığını oluşturalım.
İlk denemenin eşit olasılıklı iki mümkün sonucu vardır. Her biri
olasılıklı "Kupa I" ya da "Kupa II"
1
2
1
4
1
2
K
1
2
Y
1
2
S
K
II
Y
1
5
1
5
92
Y
1
5
1
1
2
P (I + K + Y) =
1 . 3 . 1
2 4 2
1 . 1 . 1
2 4 2
S
Y
1 3 1
3
$ $ =
2 4 2 16
Üç yol için olasılıklar toplanırsa
S
1
2
1
2
Örneğin üstte I – K – Y gösteren ikinci yol; bu yolun olasılığı
P(ikinci çekişte yeşil bilye) = 1 $ 3 $ 1 + 1 $ 1 $ 1 + 1 1 1
2 4 2 2 4 2 2 5
K
I
1
1
ve P (Y / I + K) =
2
2
Benzer şekilde eğer başlangıçta Kupa I seçilmiş ve siyah bilye Kupa
II ye atılmışsa, ağaç iki olasılık göstermektedir.
Bu, üç denemeli bir deneydir.
3
4
P (K / I + K) =
koşullu olasılıkları ve K ve Y dallarına sahiptir.
Kupa II
Kupa II
Bilye
Kupa I
Bu nedenle ağacın ikinci düzeyi üç dala sahiptir.
Şimdi üçüncü denemeye geçelim. Eğer Kupa I seçilmiş ve içinden
kırmızı bir bilye seçilmiş ve "Kupa II" ye atılmışsa Kupa II bir kırmızı
ve bir yeşil bilye içermektedir. Böylece ikinci denemenin sonundan
tepe noktası K olan çatal
Kupa
seç
Eğer Kupa II seçilmişse, mümkün tek sonuç olan "yeşil" (Y) vardır
ve olasılığı P(Y / II) = 1 dir.
3
1
1
+
+
16 16 10
=
4
1
+
16 10
=
1
1
+
4 10
(5)
7
=
20
1 . 1 . 1
5
2
=
bulunur.
(2)
Örnek
T1 torbasında 2 beyaz, 4 siyah top, T2 torbasında 3 beyaz, 6 siyah
top bulunmaktadır. Önce rastgele bir torba seçilmektedir. T1 in seçilme olasılığı T2 nin seçilme olasılığının 2 katıdır. Seçilen torbadan
da bir top rastgele çekiliyor.
Çekilen iki topun siyah olması olasılığı nedir?
Çözüm
Çözüm
A = "Seçilen torba T1" ve B = "Çekilen beyaz top" olayı olsun.
p (A / B) =
p (A ) $ p (B / A )
p (A) $ p (B / A) + p (A l ) $ p (B / A l )
dır.
Buradan
p (A) =
2
1
2
3
, p (A l ) =
, p (B / A) =
, p (B / A l ) = olup
3
3
6
9
Zar atıldığında A = {2, 5} veya Aʹ = {1, 3, 4, 6} olayı meydana gelir.
Eğer A olayı gelmişse T1 den çekilen top ya siyah (S) veya beyaz (B)
dir. Çekilen top siyah olsun. Bu top T2 ye konduktan sonra T2 den
çekilen top ya siyah (S) veya beyaz (B) olur. Böylece ana yollardan
ikisi belirlenmiş olur. İki ardışık top çekme işleminde (S, S) sonucunu veren iki ana yol var.
2 2
2
2
$
2
3 6
9
9
p (A / B) =
bulunur.
=
=
=
3
2 2 1 3
2 1
3
$ + $
+
9 9
9
3 6 3 9
5
8
2
4
S
B
Örnek
Eğer nüfusun %40 ının kazaya meyilli olduğunu varsayarsak sigortalı kişinin 1 yıllık poliçe satın aldıktan sonra kaza geçirme olasılığı
nedir?
B
2
3
B
6
9
1
3
S
4 . 1 . 6
6 3 9
S
S
B
O halde istenen olasılık
2 5 2 4 1 6
P= $ $ + $ $
6 8 4 6 3 9
5
4
109
bulunur.
=
+
=
48 27 432
KOŞULLU OLASILIK
Bir sigorta şirketi insanların kazaya meyilli olanlar ve olmayanlar
şeklinde iki gruba ayrılabileceğine inanmaktadır. İstatistikler işaret
etmiştir ki kazaya meyilli bir insanın 1 yıllık periyot içinde herhangi
bir zaman kaza geçirme olasılığı 0,6, kazaya meyilli olmayan insanda bu olasılık 0,2 dir.
B
A′
2 . 5 . 2
6 8 4
Bölüm – 1
4
6
S
B
S
A
2
6
Başla
a
Çözüm
İstenen olasılığı poliçe sahibinin (sigortalı kişinin) öncelikle kazaya
meyilli olan ya da olmayan koşulu üzerinden elde edilen. A1, 1 yıllık
poliçe süresi içinde sigortalının kaza geçirme olayını göstersin. A
da kazaya meyilli olma olayını göstersin Dolayısıyla istenen olasılık
P(A1) = P(A1 / A) · P(A) + p(A1 / Aʹ) · P(Aʹ)
40
60
= (0, 6) $
+ (0, 2) $
100
100
24
12
36
+
=
= 0, 36
100 100 100
bulunur.
=
OLASILIK
Çekilen topun beyaz olduğu bilindiğine göre bu topun T1 den çekilmiş olma olasılığı nedir?
T1 torbasında 5 siyah, 3 beyaz top; T2 torbasında 1 siyah, 2 beyaz
top bulunmaktadır. Hilesiz bir zar atılıyor. Eğer zarın üst yüzüne
2 veya 5 ise T1 den bir top alınıp T2 ye konuyor ve T2 den bir top
çekiliyor. Aksi halde T2 den bir top alınıp T1 e konuyor ve T1 den
bir top çekiliyor.
ÜNİTE – 2
Örnek
Örnek
Bir çöp kutusu 6 arızalı, 14 kısmi arızalı ve 20 tane sağlam mikroçip
içerir.
Bu kutudan rastgele bir mikroçip seçildiğinde ve seçilen yine yerine
bırakıldığında seçilmiş olan hemen bozulmadığına göre bunun sağlam olması olasılığı nedir?
93
Çözüm
ÜNİTE – 2
Örnek
Mikroçip hemen bozulmadığından bunun 6 adet kusurludan biri
olmadığını biliyoruz. Dolayısıyla istenen olasılık
P{uygun / kusursuz}
P{uygun}
_____________________________
= _______________
P{kusursuz}
P{kusursuz}
OLASILIK
dir. Eğer mikroçip uygun ise hem uygun hem de kusuru olmayan
sınıfına gireceğinden son eşitlik elde edilir. Dolayısıyla 40 mikroçipin
herbirinin eşit şanslı olarak seçilebileceğini varsayarsak
P{uygun ∩ kusursuz}
P{uygun / kusursuz} = _____________________________
P{kusursuz}
=
bulunur.
20
40
34
40
A ve B ile gösterilen iki işadamı bir projeyi tamamlamak istiyorlar. A
projenin ilk bölümünü yapacak, B ise projeyi tamamlayacaktır. A ilk
bölümü bitirinceye kadar B işe başlayamamaktadır. A zamanında
bitirirse, B nin projeyi tamamlama olasılığı 0,80 dir. A zamanında
tamamlayamazsa, B nin zamanında tamamlaması olasılığı 0,10 dur.
A nın projenin ilk bölümünü zamanında bitirme olasılığı 0,60 ise,
projenin zamanında bitmesi olasılığını bulalım.
Çözüm
Aşağıdaki olayları tanımlayalım.
20 10
=
=
34 17
A1 = {A nın projenin ilk bölümünü zamanında tamamlaması}
Aʹ1 = {A nın projenin ilk bölümünü zamanında tamamlayamaması}
B1 = {B nin projeyi zamanında tamamlaması}
O halde;
P(B1 / A1) = 0,80 , P(B1 / Aʹ1) = 0,10
Örnek
P(A1) = 0,60 , P(Aʹ1) = 0,40
Bir laboratuvar kan testi, belli bir hastalığı mevcut olduğu durumda
tespit etmede %99 etkilidir. Bununla birlikte test %1 ihtimalle test
edilen sağlıklı insanları "yanlış pozitif" göstermektedir (yani sağlıklı
biri test edildiğinde 0,01 olasılıkla sonuç onu hasta gösterecektir).
Bölüm – 1
Nüfusun %0,4 ünde hastalık var ise test sonucu pozitif çıkan birinin
hasta olma olasılığı nedir?
verileri bilinmektedir.
Projenin zamanında tamamlanması olayı C olsun. İstenen olasılık
P(C) = PA1) ⋅ P(B1 / A1) + P(Aʹ1) ⋅ P(B1 / Aʹ1)
= 0,60 ⋅ 0,80 + 0,40 ⋅ 0,10
= 0,52 olur.
Örnek
KOŞULLU OLASILIK
Çözüm
Bir kişi sabahleyin işyerine gitmek istediğinde, yürürse
H test edilen hastanın hasta olma durumu, K da testin sonucunun
pozitif olma durumu olsun. İstenen olasılık P(H / K) ile ifade edilir.
P (H / K) =
=
=
P (H + K)
İşyerine geç varmış olması olasılığını bulalım.
P (K / H) $ P (H)
P ( K / H) $ P ( H) + P ( K / H l ) $ P ( H l )
Çözüm
(0, 99) $ (0, 004)
(0, 99) $ (0, 004) + (0, 01) $ (0, 996)
Aşağıdaki olayları tanımlayalım.
A = {İşyerine geç varması} , Y = {Yürümesi} , O = {Otobüse binmesi}
5
10
=
396 996
+
5
5
10
10
396
33
=
1392 116
K = {Kendi arabasını kullanması}
O halde istenen olasılık,
bulunur.
Böylece test sonuçları pozitif çıkan insanların sadece
laşık %28,5) gerçekten hastadır.
94
1
1
olasılıkla, arabasını kullanırsa
olasılıkla işine
8
16
geç kalmış olacaktır. Bir sabah rastgele bir seçim yapmış olduğunu
otobüse binerse
kabul edelim.
P (K)
396
=
3
olasılıkla,
4
33
sı (yak116
P(A) = P(Y) ⋅ P(A / Y) + P(O) ⋅ P(A / O) + P(K) ⋅ P(A / K)
1 3 1 1 1 1
1 3 1
1
= $ + $ + $
= $f + + p
3 4 3 8 3 16 3 4 8 16
(4)
=
1 12 + 2 + 1
5
bulunur.
$d
n=
3
16
16
(2)
1. 15 erkek, 10 kadından oluşan bir toplulukta 8 erkek, 5 kadın
İngilizce bilmektedir. Bu topluluktan seçilen bir kişinin kadın
veya İngilizce bilmeyen biri olma olasılığı kaçtır?
5. 8 çift eldivenin bulunduğu bir torbadan rastgele iki eldiven alınıyor.
Bunlardan birinin sağ, diğerinin sol ve aynı çiftin eşi olmama
olasılığı kaçtır?
17
25
2. İki kutudan birincisinde 1 den 9 a kadar numaralandırılmış 9
kart, ikincisinde 1 den 5 e kadar numaralandırılmış 5 kart vardır.
Rastgele seçilen bir kutudan bir kart çekiliyor. Çekilen kartın
üzerindeki sayı çift ise bunun birinci kutudan çekilme olasılığı
kaçtır?
7
15
6. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak iki ve üç
basamaklı, rakamları farklı sayılar kartlara yazılarak bir torbaya
konuyor.
OLASILIK
ÜNİTE – 2
AÇIK UÇLU SORULAR
Çekilen bir kartın iki basamaklı ve 5 in katı olma olasılığı kaçtır?
10
19
3. 48 kişilik bir sınıfta, 20 kişi matematikten, 22 kişi fizikten ve 6
kişi her iki dersten başarılıdır.
Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin matematikten başarılı veya
fizikten başarısız olma olasılığı kaçtır?
9
125
7. Hilesiz bir madeni para arka arkaya 7 kez atılıyor. En az 4 kez
yazı gelme olasılığı kaçtır?
4. Hilesiz iki zar atılıyor.
2
3
Zarların birinin 1 geldiği bilindiğine göre, toplamlarının asal sayı
olma olasılığı kaçtır?
8. Hilesiz bir çift zar aynı anda atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen
sayılar toplamının 11 olma olasılığı nedir?
1
2
7
11
1
18
95
KOŞULLU OLASILIK
Bölüm – 1
ÜNİTE – 2
9. Madeni ve hileli bir para havaya atıldığında tura gelmesi olası5
lığının, yazı gelmesi olasılığına oranı dir.
8
Buna göre, yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
Her birinin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
OLASILIK
8
13
10. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç
basamaklı sayılar kartlara yazılıp torbaya konuluyor.
13. Bir kutuda 6 sarı, 3 mavi ve 5 beyaz bilyeden herhangi üçü
rastgele alınıyor.
45
182
14. Hilesiz iki madeni para ile hilesiz iki zar aynı anda atılıyor.
Çekilen bir kartın tek sayı olma olasılığı nedir?
Zarların üst yüzüne gelen sayılar toplamının asal sayı ve paraların tura gelme olasılığı nedir?
5
12
Bölüm – 1
11. Bir kutuda 2 kırmızı, 5 mavi ve 2 yeşil kalem vardır. Bu kutudan
5 kalem alınırsa en az üçünün mavi olma olasılığı nedir?
KOŞULLU OLASILIK
5
48
15. 7 pozitif ve 5 negatif sayıdan rastgele 3 sayı seçiliyor. Bu 3
sayının çarpımının negatif sayı olma olasılığı nedir?
9
14
12. Bir laboratuvar deneyinin olası üç ayrık sonucu A, B ve C dir.
2
, B veya C olma
3
3
olasılığı olduğuna göre, B olma olasılığı kaçtır?
4
Deney sonucunda A veya B olma olasılığı
23
44
16. Hilesiz farklı üç madeni para atılıyor.
Üçünün de aynı gelmediği bilindiğine göre, ikisinin yazı, birinin
tura gelme olasılığı nedir?
96
5
12
1
2
21. 8 anahtarın bulunduğu bir anahtarlıkta, kapıyı açan 3 anahtar
vardır.
Hangi anahtarın kapıyı açacağı bilinmemekte ve denenen bir
daha denenmemek şartıyla, kapının 4. denemede açılma olasılığı nedir?
OLASILIK
1
4
18. A torbasında 5 sarı, 2 lacivert, B torbasında 3 sarı, 4 lacivert
bilye vardır. A torbasından bir bilye alınıp rengine bakılmadan
B torbasına atılıyor.
Bundan sonra, B den alınan bir bilyenin lacivert olma olasılığı
nedir?
ÜNİTE – 2
17. Hilesiz bir madeni para ard arda 3 kez atılıyor. İkinci atışın tura
geldiği bilindiğine göre, birinci ve üçüncü atışın yazı gelme olasılığı nedir?
3
28
22. Hilesiz bir çift zar birlikte atılıyor. Zarlardan birinin üst yüzüne
gelen sayının 3 olduğu bilindiğine göre, üst yüze gelen sayılar
toplamının 8 olma olasılığı nedir?
15
28
Rastgele seçilen bir torbadan, rastgele çekilen bir bilyenin torbayla aynı renkte olma olasılığı nedir?
23. 7 evli çift arasından rastgele 3 kişi seçildiğinde ikisinin evli
olma olasılığı nedir?
3
13
18
35
20. A, B, C, D, E noktaları bir çember üzerinde çakışık olmayan
noktalardır. Köşeleri bu noktalar üzerinde olan üçgenlerden
rastgele bir üçgen seçilirse bu üçgenin bir köşesinin E noktası
olma olasılığı nedir?
24. Ali'nin bir sınavı kazanma olasılığı
zanma olasılığı
2
, Ayşe'nin aynı sınavı ka3
4
ise ikisinin birlikte bu sınavı kazanma olasılığı
7
nedir?
3
5
8
21
97
KOŞULLU OLASILIK
Bölüm – 1
19. Siyah torbada 3 siyah, 2 beyaz; beyaz torbada 4 siyah, 3
beyaz bilye vardır.
2
11
ÜNİTE – 2
25. Dört öğrenci isimlerini birer karta yazıp bir torbaya atıyorlar. Bu
öğrenciler birer kart çektiğinde herkesin kendi ismini çekme
olasılığı nedir?
2
29. Ali'nin bir sınavı kazanma olasılığı , Ayşe'nin aynı sınavı ka3
4
zanma olasılığı
ise bunlardan yalnız birinin sınavı kazanma
7
olasılığı nedir?
OLASILIK
1
24
26. 36 kişilik bir sınıfta kayak yapanların sayısı 12, buz pateni yapanların sayısı 24 ve her iki sporu yapanların sayısı 6 dır.
Rastgele seçilen bir öğrencinin buz pateni yapmadığı bilindiğine göre, kayak da yapmayan bir öğrenci olma olasılığı nedir?
30. Bir torbada 3 tane kutu vardır.
1. kutuda 8 sağlam, 4 bozuk, 2. kutuda 8 sağlam, 7 bozuk, 3.
kutuda 10 sağlam, 10 bozuk ampul vardır.
Torbadan rastgele çekilen bir ampulün bozuk çıkma olasılığı
nedir?
10
21
1
2
Bölüm – 1
27. Hileli bir parada tura gelme olasılığı, yazı gelme olasılığının üç
katıdır.
Bu para üç kez atılırsa üçünün de tura gelme olasılığı nedir?
13
30
KOŞULLU OLASILIK
2
4
, P (B) = dur.
3
9
A ve B bağımsız olaylar olduğuna göre p(A ∩ B) olasılığını bulunuz.
31. A, B ⊂ E ve P (A) =
27
64
28. Bir şirketin idari kısmında 4 kadın, 7 erkek üye görev yapmaktadır. Bu üyelerden 5 şer kişilik yönetici kadrosu oluşturulacaktır.
32. A ve B, E örnek uzayında iki olay P(A) = x, P(B) = 3x ve
P (A + B) =
Bu kadroların birinde 2 kadın ve 3 erkek bulunma olasılığı
nedir?
8
27
1
ve A ve B bağımsız iki olay olduğuna göre P(A)
27
nedir?
98
5
11
1
9
37. Hilesiz bir madeni para 3 kez atılıyor. A olayı ilk atış yazı; B
olayı ikinci atış yazı, C olayı ilk iki atış yazı olarak tanımlanıyor.
a) A ve B bağımsız olaylar mıdır?
b) B ve C bağımsız olaylar mıdır?
13
18
OLASILIK
ÜNİTE – 2
1
2
B atıcısının ise tür.
6
3
A ile B nin birlikte ateş etmesi durumunda hedefin en az bir kez
isabet alma olasılığı nedir?
33. A atıcısının hedefi vurma olasılığı
a) Bağımsız , b) Bağımlı
34. A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. P(A) = 2x, P(B) = 3x ve
P (A + B) =
1
dır. A ile B bağımsız olaylar ise P(A ∪ B) nedir?
6
38. A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun.
2
3
2
3
1
ve P (B) =
ve P (A + B) =
olduğuna göre, aşağı5
10
10
daki olasılıkları hesaplayınız.
P (A ) =
a) P(A / B)
b) P(B / A)
c) P(Aʹ / B)
d) P(A / Bʹ)
e) P(Bʹ / Aʹ)
f) P(Aʹ / Bʹ)
Bölüm – 1
35. A ve B, E örnek uzayında iki olaydır.
P (B l ) =
bulun.
1
1
ve P (A / B) =
olduğuna göre P(A B) olasılığını
4
2
Zarların üst yüzüne gelen sayılar toplamının 6 olduğu bilindiğine göre zarlardan birinin 5 gelme olasılığı nedir?
b)
1
4
c)
2
3
d)
3
7
e)
2
3
f)
4
7
3
8
36. Hilesiz iki zar aynı anda atılıyor.
1
3
39. Bir fabrikada üretilen malları %60 ı A, %30 u B ve %10 u C
makinesinde üretiliyor. Bu makinelerdeki bozuk üretim oranları
sırasıyla %2, %3 ve %1 dir. Bu fabrikada üretilen bir al rastgele alınmıştır ve bu mal bozuktur.
Bu malın A makinesinde üretilmiş olma olasılığını bulunuz.
2
5
6
11
99
KOŞULLU OLASILIK
a)
ÜNİTE – 2
ÇOKTAN SEÇMELİ SORULAR - I
1. İki zar atılıyor. Üste gelen sayıların toplamı 6 ise birinin 2
gelme olasılığı nedir?
A)
OLASILIK
1
3
2
1
4
B) C)
D) E)
5
5
5
5
10
P(A) = 0,3 , P(A ∪ B) = 0,8 ve P(B) = P dir.
P nin hangi değeri için A ve B bağımsız olaylardır?
5
3
4
1
5
B) C) D)
E)
7
7
7
7
14
Seçilen 2 sabunun da banyo sabunu olma olasılığı nedir?
A)
Bölüm – 1
KOŞULLU OLASILIK
3. Bir veteriner kliniğinde bir yavru kedi ve bir yavru köpek kendilerini sahiplenecek aile beklemektedirler. Kedinin bir aile
tarafından sahiplenme olasılığı 0,84 iken köpeğin sahiplenme
olasılığı 0,9 dur.
68
11
13
7
11
B)
C)
D)
E)
105
105
75
75
150
7. A ⊂ B ise P(B / A) nedir?
A) 1
B)
1
1
1
C) D) 2
4
8
E) 0
Aynı hafta içinde her ikisinin birer yuva bulma olasılığı
nedir?
A) 0,784
B) 0,764
C) 0,76
D) 0,758
E) 0,756
8. 40 kişilik bir sınıfta basketbol oynayanlar 15 kişi, futbol oynayanlar 20 kişi ve her iki oyunu da oynayanlar 5 kişidir. Sınıftan
rastgele bir öğrenci çağrılıyor.
4. A ve B bağımsız iki olay olsun.
33
27
21
15
9
B)
C)
D)
E)
128
128
128
128
128
6. Bir reyonda 17 banyo sabunu, 4 el sabunu bulunmaktadır. Bir
müşteri satın almak amacıyla 2 sabunu rastgele seçiyor ve
kasaya gidiyor.
3
1
1
, P ( B / A) = , P (B / A l ) =
4
4
8
olduğuna göre P(A) · P(B) nedir?
A)
2. Bir denemeye ilişkin A ve B olayları için
A)
5. P (A) =
P(A) = 0,2 , P(A ∪ B) = 0,8 olduğuna göre P(B) kaçtır?
A)
3
3
1
1
5
B) C) D) E)
4
8
2
4
8
Çağrılan bu öğrencinin futbol oynamadığı bilindiğine göre,
basketbol oynayan bir öğrenci olma olasılığı nedir?
A)
100
1) B
2) E
3) E
4) A
5) C
1
1
1
1
1
B) C) D) E)
3
6
4
8
2
6) B
7) A
8) E
A)
13. A, B ⊂ E, P (A) =
5
5
7
7
5
B)
C) D)
E)
9
18
9
18
6
3
7
4
, P (B) =
ve P (A , B) =
5
10
10
ÜNİTE – 2
9. Bir kutuda 5 i sağlam 4 ü bozuk 9 ampul vardır. Çekilen
ampul yerine konmamak şartıyla kutudan rastgele ve ard
arda çekilen iki ampulün de sağlam olması olasılığı nedir?
olarak verildiğine göre p(A / B) nedir?
A)
1
1
2
3
4
B) C) D) E)
7
7
7
7
14
OLASILIK
10. Bir torbada 4 mavi, 5 kırmızı bilye vardır. Bu torbadan ard arda
iki bilye yerine konmadan çekiliyor.
14. Bir matematik bölümündeki öğrencilerden %25 i analiz dersinden, %30 u topoloji dersinden ve %10 u da her iki dersten
kalmışlardır.
Birinci bilyenin mavi, ikinci bilyenin kırmızı gelme olasılığı
nedir?
1
7
7
5
5
A) 2 B) 8 C) 9 D) 9 E) 18
P(Bʹ) nedir?
A)
A) 0
1
1
1
C) D) 8
4
2
E) 1
1
1
2
1
3
B)
C)
D) E)
5
5
15
10
15
12. Hilesiz iki zar ard arda atılıyor. İlk zarın üst yüzüne gelen
sayının tek sayı gelmesi koşuluyla zarların üst yüzünde
okunan sayıların toplamının 9 ya da daha büyük olması
olasılığı nedir?
A)
B)
1
1
5
2
1
B) C) D) E)
9
6
9
9
3
16. A ve B, E evrensel kümesinde iki olay olsun.
P (A ) =
P(Aʹ / Bʹ) olasılığı nedir?
A)
9) B
10) E
11) A
12) A
1
1
1
, P (B) = ve P (A + B) = ise
2
3
4
13) C
3
5
1
3
1
B) C) D) E)
4
8
2
8
4
14) E
15) A
16) B
101
KOŞULLU OLASILIK
2
1
1
1
1
B) C) D) E)
5
6
3
9
2
Bölüm – 1
A)
15. A, B ⊂ E ve A ∩ B = ∅ ise, P(B / A) olasılığı nedir?
11. A, B ⊂ E ve A ile B bağımsız iki olay olmak üzere;
13
3
P (A l , B l ) =
ve P (A) = ise
20
8
Rastgele çağrılan bir öğrenci analiz dersinden kalmış ise
topoloji dersinden de kalmış olma olasılığı nedir?
ÜNİTE – 2
ÇOKTAN
ÇOKTAN SEÇMELİ
SEÇMELİ SORULAR
SORULAR -- III
1. A, B ⊂ E ve P (A) =
1
1
1
, P (B) = ve P (A + B) = ise
3
6
9
5. M = {a, b, c, d, e, f} ve P (a) =
P(Bʹ / Aʹ) olasılığı nedir?
OLASILIK
7
7
7
7
5
A)
B)
C)
D)
E)
12
14
36
18
36
2. A, B ⊂ E ve P (A) =
4
7
2
, P (B) =
ve P (A , B) = olduğuna
9
18
3
göre,
3
1
5
, P (e) = , P (f) =
olsun.
16
4
11
A = {a, c, e} , B = {c, d, e, f} ve C = {b, c, f} olmak üzere;
P ( d) =
I. P(A / B) =
3
7
II. P(B / C) =
7
8
III. P(C / Aʹ) =
2
3
IV.P(Aʹ / C) =
3
4
V.P(Aʹ / Cʹ) =
1
2
olasılıklarından hangileri doğrudur?
P(A / B) + P(B / A) toplamı kaçtır?
A)
13
27
41
11
45
B)
C)
D)
E)
28
28
56
14
56
1
1
1
, P ( b) =
, P (c) = ,
16
16
8
A) I, II, III ve V
B) I, III ve IV
D) II, III IV ve V
Bölüm – 1
3. P (I) =
C) II, III ve V
E) I, II, III ve IV
2
4
, P (I + K) =
dir.
5
35
I ve K bağımsız olaylar ise P(K) olasılığı nedir?
A)
4
2
2
3
5
B) C) D) E)
7
5
7
7
7
KOŞULLU OLASILIK
6. A ve B olayları için P (A) =
1
1
, P (A , B) = ve P (B) = x olsun.
4
3
A ve bağımsız olaylar ise x nedir?
A)
1
1
1
1
1
B) C)
D) E)
9
3
18
6
2
4. A ve B, E örnek uzayının bağımsız iki olayıdır.
I.Aʹ ile B, bağımsızdır.
II. A ile Bʹ bağımsızdır.
III.Aʹ ile B bağımsızdır.
IV. A ile A ∩ B bağımsızdır.
V. B ile A ∩ B bağımsızdır.
7. A kutusunda 1 den 9 a kadar, B kutusunda ise 1 den 5 e kadar
numaralanmış kartlar vardır. Kutulardan biri rastgele seçilmiş
ve içinden rastgele bir kart seçilmiştir.
Yukarıda verilenlerden hangileri doğrudur?
A) I, II ve V
D) II, IV ve V
102
B) II, III ve IV
C) I, III ve V
A)
E) I, II ve III
1) A
2) E
3) C
Kartın numarası çift ise bu kartın A kutusundan çekilmiş
olmaması olasılığı nedir?
4) E
5) E
11
10
9
8
6
B)
C)
D)
E)
15
19
19
19
19
6) A
7) C
Her ikisinin birlikte 10 yıl daha yaşaması olasılığı nedir?
A) 0,061
B) 0,062
C) 0,064
D) 0,068
A)
4
2
1
1
1
B) C)
D)
E)
5
15
15
15
3
14. Bir makine parkındaki makinelerin marka ve durumlarına göre
dağılımı aşağıdaki gibidir.
Marka
Durum
B) 0,031
C) 0,03
8) E
9) C
D) 0,0025 E) 0,0027
10) B
11) D
12) B
Eski
30
40
70
Yeni
15
15
30
Toplam
45
55
100
5
4
3
2
1
B) C) D) E)
7
7
7
7
7
Rastgele seçilen bir ailenin otomobili yoksa televizyonu
olması olasılığı nedir?
1
1
1
1
1
B) C) D) E)
4
8
3
6
12
16. 4 torbadan birincisinde 1 mavi top, ikincisinde 1 mavi, 1 kırmızı
top; üçüncüsünde 1 mavi, 1 kırmızı, 1 beyaz top; dördücüsünde 1 mavi, 1 kırmızı, 1 beyaz ve 1 siyah top varır.
Rastgele bir torbadan alınan topun mavi olduğu biliniyorsa
3. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?
A)
6
4
3
2
1
B)
C) D)
E)
5
25
25
25
25
13) C
14) C
15) D
16) B
103
KOŞULLU OLASILIK
A) 0,0031
Toplam
Bölüm – 1
1
1
1
1
1
B) C)
D)
E)
24
6
10
12
18
Üretilen mallardan rastgele alınan bir tanesinin bozuk
olma olasılığı nedir?
B
15. Bir mahalledeki ailelerin %30 unun televizyonu, %40 ının
otomobili ve %20 sinin hem televizyonu hem de otomobili
vardır.
A)
12. Bir fabrikada üretilen malların %40 ı A makinesinde, %30 u
B makinesinde ve %30 u C makinesinde üretilmektedir. Bu
makinelerdeki üretimden A dakinin %4 ü, B dekinin %2 si C
dekinin %3 ünün arızalı olduğu biliniyor.
A
Bu parktan seçilen bir makinenin eski olduğu anlaşılmış
ise bunun A markasından olma olasılığı nedir?
A)
Bu malın C makinesinde üretilmiş olma olasılığı nedir?
A)
P(E / F) olasılığı nedir?
Rastgele seçilen bir öğrenci soyut matematik dersinden
kalmış ise uygulamalı matematik dersinden de kalmış
olma olasılığı nedir?
1
1
1
1
1
A) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8
11. Bir fabrikada üretilen malların %60 ı A, %20 si B ve %20 si
C makinesinde üretilmektedir. Bu makinelerdeki bozuk üretim
oranları sırasıyla %3, %2 ve %1 dir. Bu fabrikada üretilen bir
mal rastgele alınmıştır ve bu mal bozuktur.
6
2
5
2
4
B)
C)
D)
E)
5
13
13
13
13
10. Bir matematik bölümündeki öğrencilerden 20 si uygulamalı
matematik dersinden, 30 u soyut matematik dersinden ve 15 i
de her iki dersten kalmıştır.
E = {(i, j) | i + j = 9} , F = {(i, j) | i > j} olarak tanımlandığına göre
OLASILIK
Öğrencilerin %40 ı kız olduğuna göre, rastgele çağrılan bir
öğrenci 1,70 m veya daha uzun ise bunun kız öğrenci olma
olasılığı nedir?
A)
E) 0,072
9. Bir okulda erkek öğrencilerin %3 ü ve kız öğrencilerin de %2
si 1,70 m veya daha uzundur.
13. İki zar atılıyor. E ve F olayları
ÜNİTE – 2
8. A bitkisinin şu anda bulunduğu yaştan itibaren 10 yıl daha yaşaması olasılığının 0,24, B bitkisinin şu anda bulunduğu yaştan
itibaren 10 yıl daha yaşaması olasılığının 0,3 olduğu varsayılıyor.

Download Report