Geometrik Fonksiyoneller Metin G¨ urses Matematik B¨ ol¨ um¨ u ¨ Bilkent Universitesi, Ankara Metin G¨ urses 1 / 24 1 2-Boyutlu Y¨ uzeyler 2 Kritik Noktalar 3 Soliton Y¨ uzeyleri 4 Y¨ uksek Boyutlarda Fonksiyoneller Metin G¨ urses 2 / 24 ¨ Ozet 1. Z F= Z E(H, K )dA + p S dV V [ M. G¨ urses and S. Tek, Korteweg de Vries Surfaces , Nonlinear Analysis: Theory, Method and Application, Vol. 95, 11-22 (2014)]. 2. Z F= √ −g L(g αβ , R µ νγσ , ∇R µ νγσ , · · · ) d D x V [ M. G¨ urses, S. Hervik, T. C ¸. S ¸ i¸sman and B. Tekin, Anti-de Sitter Wave Solutions of Higher Derivative Theories , Physical Review Letters, Vol. 111, 101101 (2013)]. Metin G¨ urses 3 / 24 2-Boyutlu Y¨uzeyler S, R3 de d¨ uzg¨ un bir 2-y¨ uzey olsun. K Gauss H ise ortalama e˜grilikleri olsun . Bu y¨ uzey u ¨zerinde tanımlı en genel F fonksiyoneli Z Z F= E(H, K )dA + p dV S V ¸seklinde tanımlanabilir. Burada p bir sabit ve V ise S’nin kapattı˜gı hacimdir(kapalı y¨ uzeyler i¸cin) . A¸cık y¨ uzeylerde p = 0 alınabilir. Biraz sonra g¨orece˜gizki Lagrange fonksiyonu E’nin K ve H’ye ba˜gımlılı˜gına ba˜glı olarak kritik noktalar farklı olacak ve farklı isimler alacaklardır. Bu fonksiyonelleri yalnız R3 deki 2-y¨ uzeyler i¸cin de˜ gil, 3 boyutlu Minkowski (M3 ) uzaylarıdaki 2-y¨ uzeyler i¸cinde kullanaca˜ gız. Metin G¨ urses 4 / 24 2-Boyutlu Bazı o¨zel 2-Y¨uzeyler Sabit Gaussian e˜grilikli Y¨ uzeyler, K =sabit, Sabit ortalama e˜grilikli Y¨ uzeyler, H =sabit, Minimal Y¨ uzeyler, H = 0, Weingarten Y¨ uzeyleri, F (K , H) = 0, Bianchi Y¨ uzeyleri (ortalama e˜ grili˜ gin tersinin harmonik oldu˜gu 1 2 Y¨ uzeyler ), ∇ ( H ) = 0 Willmore Y¨ uzeyleri, ∇2 H − 2H (K − H 2 ) = 0. Bi¸cim, ¸sekil denklemlerini ¸c¨ ozen Y¨ uzeyler δ F = 0 Metin G¨ urses 5 / 24 Varyosyenel yolla ortaya c¸ıkan 2-Boyutlu Y¨uzeyler ¨ Ornekler: 1. Minimal Y¨ uzeyler: E = 1, p = 0. 2. Sabit ortalama e˜grilikli Y¨ uzeyler: E = 1. 3. Lineer Weingarten Y¨ uzeyleri: E = aH + b K + c . Burada a, b ve c sabittirler. 4. Willmore Y¨ uzeyleri: E = H 2 . 5. Genel Willmore Y¨ uzeyleri: E = (H − c)2 . Burada c bir sabittir. 6. Bi¸cim denklemini ¸c¨ozen Y¨ uzeyler: δF = 0. Metin G¨ urses 6 / 24 Tarih¸ce: Minimal Y¨uzeyler (1760) Leonard Euler : Bir boyutlu problemler. D¨onen e˜grilerin olu¸sturdu˜gu Y¨ uzeyler. (1780) Joseph Luis Lagrange: Bir e˜ gri ile sınırlı en az alana sahip Y¨ uzeyler. (1785) D.B.M.C. Meusnier : Helicoid ve Katenoidi ilk bulan matematikci. (1803) Joseph Plateau: sabun filmleri, sabun k¨ op¨ u˜gu ¨ problemleri. Serbest enerji fikrini kullanan ilk matematikci. Z Z F =w dA (2.1) S Burada w y¨ uzey gerilme sabitidir. Bu fonksiyonelin kritik noktasının minimal Y¨ uzeyler, H = 0 , oldu˜ gunu g¨ osterir. Metin G¨ urses 7 / 24 Tarih¸ce: Minimal Y¨uzeyler (1805) T. Young ve (1839) P.S. Laplace: Plateau’nun yaptı˜gını genellerler. Z Z Z Z Z F =w dA + p dV (2.2) S Burada p sabun k¨op¨ u˜ gu ¨ zarının i¸c ve dı¸s basın¸c farkıdır. Bu fonksiyonelin kritik noktaları ise sabit ortalama e˜ grilikli y¨ uzeylerdir, p H = 2w . (1952) A.D. Alexendrov: H = sabit kapalı y¨ uzeyler mecburen k¨ ure y¨ uzeyleridir. Metin G¨ urses 8 / 24 Tarih¸ce: Willmore Y¨uzeyler (1821-1833) Poisson: Katı kabuksu cisimler i¸cin serbest enerji fikrinin sahibi. Z Z F= H 2 dA (2.3) S (1922) Schadow. Kritik noktalar ∇2 H − 2H (K − H 2 ) = 0. (1956) T. J. Willmore: Poisson’un d¨ u¸su ¨ncesini 3-boyutlu riemann uzaylarına ta¸sıdı ve bu y¨ uzeylerle ilgili problemler kurguladı, ¨orne˜gin ”Willmore hipotezi?”. (1973) Hellfrich: Lipid kesecikler, kırmızı kan h¨ ucreleri. Serbest enerji fonksiyoneli Z Z Z Z Z k 2 [ (2H + c0 ) + k1 H] dA + p F= dV (2.4) S 2 Metin G¨ urses 9 / 24 Tarih¸ce: En genel hal 2003-2005 Qu-Yang : En genel serbest enerji fonksiyoneli. Z Z Z Z Z F= E(H, K ) dA + p dV (2.5) S ilk varyasyon δF = 0, Euler-Lagrange denklemi, E (E) = 0 verir, yani (∇2 + 4H 2 − 2K ) Burada ∇2 = √1 ∂ i g ∂x ij g ve ∂E ¯ + 2KH) ∂E − 4HE + 2p = 0. + 2(∇ · ∇ ∂H ∂K √ ij ∂ ¯ = √1 ∂ i √g K hij ∂ j , g g ∂x j ve ∇·∇ g ∂x ∂x (2.6) g = det (gij ). hij ler birinci ve ikinci temel form matrislerin tersleridir. Tekrar eden indisler u ¨zerinden toplama kuralı kullanılmı¸stır Metin G¨ urses 10 / 24 Kritik Noktalar: Soliton Metodu Yukardaki fonksiyonellerin kritik noktalarını bulmak i¸cin y¨ uzey u ¨zerinde bir paramerizasyon kabulleniriz: Y = (f (x, t), g (x, t), h(x, t)), ¨oyleki f , g ve h fonksiyonları istedi˜gimiz kadar t¨ urevlenebilir olsunlar. Gauss (K ) ve ortalama (H) e˜giliklerini bu fonksiyonlar cinsinden bulunur. Genellikle K ve H bu fonksiyonların ikinci mertebeden t¨ urevlerinide i¸cerirler. Dolayısiyle Euler-Lagrange denklemleri hem do˜ grusal olmayacak hem de t¨ urev mertebesi d¨ord¨ unc¨ u dereceden ve hayli karı¸sık olacaktır. Bazı ¨ozel parametrizasyonlarla Euler-Lagrange denklemi biraz basitle¸stirilsede yinede ¸c¨ ozmek g¨ u¸ct¨ ur. Geometrik fonksiyonellerin kritik noktalarını bulmak i¸cin kolay ve en etkin yol soliton teknolojisini kullanmaktır. Ilk ba¸slatan A. Syms (1982) dir. Sonra Fokas-Gelfand (1996) ve arkada¸sları tarafından dahada geli¸stirildi. Metin G¨ urses 11 / 24 Kritik Noktalar: Soliton Metodu Φ(x, t, λ), U(x, t, λ) ve V (x, t, λ) 2 × 2 matris degerli bir fonksiyonlar ¨ olsunlar. Oyleki bunlar Lax denklemlerini sa˜ glasınlar: Φ,x = U Φ , Φ,t = V Φ, (3.1) Burada U ve V ’ nin izleri sıfır marislerdir. Bu iki marise Lax ¸cifti diyoruz. Genellikle Φ grup de˜gerli bir fonksiyon, U ve V ise ilgili cebir de˜gerli fonksiyonlardır. Lax denklemlerinin integre edilebilirlik ¸sartı: Ut − Vx + [U, V ] = 0, (3.2) Bu ¸sart U ve V se¸cimine ba˜ glı olarak integre edilebilir do˜grusal olamayan kısmı diferansiyel denklemleri verirler. Sinus-Gordon, Korteweg de Vries, modife edilmi¸s Korteweg de Vries, Do˜ grusal Olmayan Schr¨odinger denklemleri gibi. Metin G¨ urses 12 / 24 Kritik Noktalar: Soliton Metodu Soliton denklemleri ile y¨ uzeyler arası ili¸ski kurulması i¸cin bir deformasyona sahip olmak gerekiyor. Bunlar Spectral parametre deformasyonu (Sym): A = µ1 ∂U ∂V ∂Φ , B = µ1 , F = µ1 Φ−1 , ∂λ ∂λ ∂λ (3.3) burada µ1 , yalnız λ’ya ba˜ glı bir parametredir. integrable edilebilir differansiyel denklemin simetrileri (Fokas-Gelfand): A = δU, B = δV , F = Φ−1 δΦ, ¨ burada δ simetri operat¨ or¨ un¨ u temsil eder. Ornek: δ= ∂ δ = ∂ti (i = 1, 2, · · · ) Klasik Lie ve Genel simetriler. Metin G¨ urses (3.4) ∂ ∂x , δ= ∂ ∂t , 13 / 24 Kritik Noktalar: Soliton Metodu Lax denklemlerinin ayar simetrisi (Fokas-Gelfand): A = Mx + [M, U], B = Mt + [M, V ], F = Φ−1 MΦ, (3.5) burada M izi sıfır 2 × 2 bir matisdir. Lax denklemi ayar d¨on¨ u¸su ¨m¨ u altında de˜gi¸smez old˜gu i¸cin U 7→ R U R −1 + Rx R −1 , V 7→ R V R −1 + Rt R −1 . (3.6) R = I + εM alarak yukardakiler bulunur. Parametrik deformasyonlar (G¨ urses-Tek): A = µ2 (∂U/∂ξi ) , B = µ2 (∂V /∂ξi ) , F = µ2 Φ−1 (∂Φ/∂ξi ) , (3.7) ¨oyleki i = 0, 1 and ξi ler do˜ grusal olmayan denklemin c¸¨oz¨ umlerinin parametreleridir, u(x, t, ξ0 , ξ1 ) , µ2 ise bir sabittir. S ¸ imdi soliton tekni˜gi ile M3 deki 2-y¨ uzeyler nasıl in¸sa eliyor g¨orelim: Metin G¨ urses 14 / 24 Soliton Y¨uzeyleri Fokas-Gelfand: U(x, t; λ), V (x, t; λ), A(x, t; λ), B(x, t; λ) G cebiri de˜gerli ¨ x, t ve λ de˜gi¸skenlerine g¨ore t¨ urevlenebilir fonksiyonlar olsun. Oyleki (x, t, λ) ∈ M2 × R ve bu fonsiyonlar a¸sa˜ gıdaki denklemleri sa˜glasınlar. Ut − Vx + [U, V ] = 0, (4.1) At − Bx + [A, V ] + [U, B] = 0. (4.2) ve Φ(x, t; λ) G grubu de˜gerli ve F (x, t; λ) de G cebiri de˜gerli fonksiyonlar ¸s¨ oyle tanımlanırlar Φx = U Φ , Φt = V Φ, (4.3) ve Fx = Φ−1 A Φ , Ft = Φ−1 B Φ. B¨ oylece her λ i¸cin , F (x, t; λ) fonksiyonu tanımlar. R3 (4.4) i¸cerisinde 2-boyutlu bir y¨ uzey Yj = Fj (x, t; λ) , j = 1, 2, 3 , F = 3 X Fk ek , (4.5) k=1 Metin G¨ urses 15 / 24 Soliton Y¨uzeyleri Y¨ uzeyin birinci ve ikinci temel formları ¸s¨ oyle verilirler (dsI )2 ≡ gij dx i dx j =< A, A > dx 2 + 2 < A, B > dx dt+ < B, B > dt 2 , (dsII )2 ≡ hij dx i dx j = − < Ax + [A, U], C > dx 2 − 2 < At + [A, V ], C > dx dt− < Bt + [B, V ], C > dt 2 , ¨yleki i, j = 1, 2, x 1 = x ve x 2 = t, o p < A, B >= 12 trace(AB) , [A, B] = AB − BA, ||A|| = | < A, A > |, ve [A,B] C = ||[A,B]|| . S y¨ uzeyi u ¨zerinde her noktada tanımlı u ¨¸cl¨ u bir sistem vardır: Φ−1 AΦ , Φ−1 BΦ , Φ−1 C Φ. S y¨ uzeyinin Gauss ve ortalama e˜ grilikleri ise K = det(g −1 h) , H = 12 trace(g −1 h). ¸seklinde verilirler. Metin G¨ urses 16 / 24 ¨ Bir Ornek: Korteweg de Vries Y¨uzeyleri G¨ urses-Tek (2005,2014): Korteweg de Vries denklemi: u,t = 41 u,xxx + 32 uu,x Lax ¸cifti: Burada grup G = SL(2, R) ve ilgili cebir ise sl(2, R) dir. Dolayısıyla elde edilen 2-y¨ uzeyler 3-boyutlu Minkowski uzayı i¸cinde olacaktır. 0 1 U= , λ−u 0 1 1 u+λ − ux 4 2 V = 1 . 1 1 − u2x + (2 λ + u) (λ − u) ux 4 2 4 (4.6) (4.7) Lax denklemi Ut − Vx + [U, V ] = 0 ancak KdV denklemi u,t = 41 u,xxx + 32 uu,x varsa ge¸cerlidir (integre edilebilirlik ¸sartı). Metin G¨ urses 17 / 24 ¨ Bir Ornek: Korteweg de Vries Y¨uzeyleri λ parametresine g¨ore deformasyon alırsak: A = µ(∂U/∂λ = B = µ(∂V /∂λ) = 0 0 µ 0 , 0 µ µ (4λ − u) 0 2 ! , Birinci ve ikinci temel formlar µ2 (4λ − u)dt 2 , 2 (dsII )2 ≡ hij dx i dx j = −µ dx 2 − µ(2 λ + u)dx dt µ − u,xx + (u + 2 λ)2 dt 2 , 4 2-Y¨ uzeyin Gauss ve ortalama e˜ grilikleri: (dsI )2 ≡ gij dx i dx j = µ2 dx dt + K =− Metin G¨ urses u,xx 2(λ − u) , H= . µ2 µ 18 / 24 ¨ Bir Ornek: Korteweg de Vries Y¨uzeyleri KdV denkleminin 1-soliton ¸c¨ oz¨ umleri (gezen dalgalar) ux2 = −2u 3 + 4αu 2 + 8βu + 2γ denklemini sa˜glar. Burada c, β ve γ sabittirler. KdV’nin bu c¸¨oz¨ um¨ u bizi a¸sa˜ gdaki y¨ uzeylere g¨ot¨ ur¨ ur. Ikinci mertebeden Weingarten y¨ uzeyleri: 4 c µ2 K + 4 µ (2 + 3 c λ) H − 3 c µ2 H 2 − 4 (3 c λ2 + 4 λ − 4 β c) = 0, Willmore tipi y¨ uzeyler: ∇2 H + a H 3 + bH K = 0,. (a ve b sabitler) 7 1 a = , b = 1, β = 28λα − 16α2 − 21λ2 , 4 20 1 γ = 16α3 − 56λα2 + 70αλ2 − 28λ3 . 5 ¨oyleki α = −1/c (c 6= 0). Metin G¨ urses 19 / 24 ¨ Bir Ornek: Korteweg de Vries Y¨uzeyleri KdV y¨ uzeyleri genel olarak a¸ca˜ gıdaki diferansiyel denklemi sa˜glar: 1 h 3 3 5µ H + 2µ2 (2α − 3λ)H 2 2µ3 +4µ(12αλ − 9λ2 − 8α2 − 12β)H ∇2 H = − 3 2 2 i +56λ − 112λ α + 64α λ − 32λβ + 64αβ + 16γ . KdV Y¨ uzeyleri ayrıca E = a1 H 3 + a2 H 2 + a3 H + a4 + a5 K + a6 KH, gibi ve daha y¨ uksek mertebeden (E fonksiyonunun Gauss ve ortalama e˜griliklerin polinomu olma durumu) fonksiyonellerin kritik noktalarınıda olu¸stururlar. Metin G¨ urses 20 / 24 ¨ Bir Ornek: Korteweg de Vries Y¨uzeyleri Sonu¸c: Yukardaki ¨ornek y¨ uzeyler KdV denkleminin 1-soliton ¸c¨oz¨ um¨ u kullanırak bulundu. Bu ¨ ornekleri KdV ba¸ska ¨ o¸z¨ umleri kullanılarak (2,3-soliton ¨o¸z¨ umleri gibi) artırmak m¨ umk¨ und¨ ur. (G¨ urses-Tek) Farklı deformasyonlar (ayar, simetriler ve parametrik) kullanılarak farklı y¨ uzeyler elde etmek m¨ umk¨ und¨ ur. (G¨ urses-Tek) Farklı denklemler i¸cin elde edilen y¨ uzeylerin topolojileride farklı ¨ olacaktır. Ornek olarak modife edilmi¸s KdV denklemi i¸cin G grubu SU(2) olacaktır. Dolayısiyle elde edilen y¨ uzeyler R3 i¸cinde olacaktır. Evrensel kritik noktalar: D¨ uzlem ve K¨ ure y¨ uzeyi olabilecek en genel fonksiyonelin kritik noktalarıdır. Metin G¨ urses 21 / 24 Y¨uksek Boyutlarda Fonksiyoneller D boyutlu Riemann ve Riemannsal (yerel olarak Minkowski uzay-zamanlatı) geometrilerde difeomorfik de˜ gi¸smez fonksiyoneller genel olarak Z √ −g L(g αβ , R µ νγσ , ∇R µ νγσ , · · · ) d D x F= MD ¸seklindedir. Burada g metri˜ gin determinantıdır. Bu foksiyonellerin kritik nonktalarını hayal bile etmek m¨ umk¨ un g¨ or¨ unmez. Bu t¨ ur fonksiyonellere sicim teorisinde sık sık kar¸sıla¸sıyoruz. Gravitasyon kuramını kuantıla¸stırmak i¸cinde bu t¨ urden fonksiyonellere ihtiya¸c duyulmaktadır. Metin G¨ urses 22 / 24 Y¨uksek Boyutlarda Fonksiyoneller Genel g¨orelelikte kullandı˜gımız en basit fonksiyonel Einstein-Hilbert fonksiyonelidir ve boyut ise 4 dir. Z √ −g R d 4 x F= M4 Burada R ricci skalarıdır. Einstein alan denklemleri bu fonksiyonelden elde edilen Euler-Lagrange denklemleridir. Fonksiyonelin genel durumunda Euler-Lagrange denklemleri hayli kalabalık ve do˜ grusal olmayan y¨ uksek mertebeden kısmi diferansiyel denklem sistemidir. Bunları ¸c¨ozmek neredeyse imkansızdır. Bazı uzay-zaman geometrileri vardırki t¨ um fonksiyonellerin kritik noktalarını olu¸stururlar. Bu kritik noktalara evrensel geometriler diyoruz. Burada bunlardan 3 tanesini g¨ orece˜ giz. Metin G¨ urses 23 / 24 Y¨uksek Boyutlarda Fonksiyoneller D¨ uz Uzay Zaman Geoemtrileri: Her d¨ uzg¨ un D- boyutlu e˜gri uzay-zaman geometrisinin her noktasında D boyutlu bir te˜get uzayı oturur. Bu uzay D- boyutlu Minkowksi uzay-zaman geometrisidir ve d¨ uzd¨ ur. E˜grilik sıfır oldu˜ gu i¸cin bu uzaylar t¨ um fonksiyonellerin kritik noktalarıdır. D¨ uzlem Dalga Uzay-Zaman Geometrileri: Riemannsal bir uzay-zaman geometrisinde ı¸sıksal bir geodesi˜ gin yakın kom¸sulu˜gu (t¨ upsel kom¸sulu˜gu) d¨ uzlem dalga geometrisidir (Penrose 1965). Bu uzay zaman geometrileri kozmolojik sabit i¸cermeyen t¨ um fonksiyonellerin kritik noktalarını olu¸stururlar (G¨ uven-Horowitz-Steif ). Yani evrenseldirler. AdS Dalga Geometrileri: Kozmolojik sabit olması durumunda ise Anti - de Sitter dalga geometrileri evrenseldirler, yani bu geometrilerde t¨ um fonksiyonellerin kritik noktalarını olu¸stururlar (G¨ urses-Hervik-S¸i¸sman-Tekin) Metin G¨ urses 24 / 24
© Copyright 2024 Paperzz
