YPETD_Hafta 4

24/02/2014
BETONARME KESİ
KESİTLERİ
TLERİN
MOMENTMOMENT-EĞRİLİK İLİŞK
İŞKİSİNİN BELİ
BELİRLENMESİ
RLENMESİ
Boyutları ve donatısı belirli olan, sabit bir N normal kuvveti etkisi altındaki bir kesitte,
Moment-Eğrilik ilişkisinin belirlenmesinde izlenen yol aşağıda maddeler halinde
verilmiştir.
Basit eğilme (M) durumundaki Moment-Eğrilik ilişkisi de, ilgili ifadelerdeki normal
kuvvetin (N) sıfır alınması ile elde edilebilir.
Hesapta izlenen yol:
1) İstenilen hassasiyete bağlı olarak beton ve çelik için gerilme-şekildeğiştirme
bağıntıları belirlenir (seçilir).
Beton için; Mander ve diğerleri modeli, Hognestad modeli, Kent-Park modeli vb.
Çelik için: Mander ve diğerleri modeli, Ramberg-Osgood Modeli vb. modeller
kullanılabilir.
DBYBHY (2007)’de binaların performans esaslı değerlendirilmesinde, doğruluğu
kanıtlanmış başkaca bir model kullanmadıkça, aşağıda özellikleri belirtilen modellerin
kullanılması öngörülmektedir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Basit Eğilme Etkisindeki Kesitlerde Moment-Eğrilik İlişkisi
Moment (M)
Mr
My
ρ
Donatıda akma
dφ
φ
Betonda ezilme veya
donatıda sınır uzamaya
ulaşılması
Mcr
M
ds
As2
Tarafsız
eksen
Kesitte çatlama
M
Eğrilik (χ
χ) (rad/m)
M
d
εc
c
χ
χ : Birim dönme (Eğrilik)
χ=
d-c
As1
1 dφ ε c
ε
=
=
= s
ρ ds c d − c
εs
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
1
24/02/2014
Boyutları ve donatısı belirli olan, sabit bir N normal kuvveti etkisi altındaki bir kesitte,
Moment-Eğrilik ilişkisinin belirlenmesinde izlenen yol aşağıda maddeler halinde
verilmiştir.
Basit eğilme (M) durumundaki Moment-Eğrilik ilişkisi de, ilgili ifadelerdeki normal
kuvvetin (N) sıfır alınması ile elde edilebilir.
Hesapta izlenen yol:
1) İstenilen hassasiyete bağlı olarak beton ve çelik için gerilme-şekildeğiştirme
bağıntıları belirlenir (seçilir).
Beton için; Mander ve diğerleri modeli, Hognestad modeli, Kent-Park modeli vb.
Çelik için: Mander ve diğerleri modeli, Ramberg-Osgood Modeli vb. modeller
kullanılabilir.
DBYBHY (2007)’de binaların performans esaslı değerlendirilmesinde, doğruluğu
kanıtlanmış başkaca bir model kullanmadıkça, aşağıda özellikleri belirtilen modellerin
kullanılması öngörülmektedir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
DBYBHY (2007)’de öngörülen beton ve çelik gerilme-şekildeğiştirme bağıntıları
2) En dış lifteki beton kısalması εc için istenilen hassasiyete bağlı olarak, sıfır ile
εcu=0,003 arasında bir değer seçilir. ( Örneğin sistematik olarak, εci =0,0002’ lik
artımlar esas alınabilir)
3) Tarafsız eksen derinliği c için bir varsayım yapılır. Bu varsayımın yapılması ile,
kesitteki birim şekildeğiştirme dağılımları ve tüm bileşke kuvvetler belirlenebilir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
2
24/02/2014
Betonun gerilme-şekildeğiştirme bağıntısında, εc = εci değerine karşılık gelen
gerilme değeri gözönüne alınarak beton basınç gerilmelerinin bileşkesi ve ağırlık
merkezinin yeri (xc) belirlenir.
εc = εci ve c = ci olarak seçildiğinde kesitteki şekildeğiştirme dağılımları ve bileşke
kuvvetler aşağıdaki olur.
fc
fsy
fci
fci
εci
d’
As3
h
d
εc
εcu
0.002
Tarafsız
eksen
As2
As1
d’
b
N
ε
ci ε si1
si2
e
εsi1
εs
εsu
fci
ci
N
fs3 x
c
Fc
fs2
e
fs1
εs3
Gerilmeler
Birim
Şekildeğiştirmeler
Kesit
εsi3
εsi2
εci
Ağırlık
Merkezi
Çelik gerilmeşekildeğiştirme bağıntısı
fs
Beton gerilmeşekildeğiştirme bağıntısı
fc
s3
Fs3
A
s2
s1
Fc
Fs2
Fs1
Bileşke kuvvetler
(Fs= As.fs)
(fs= εs.Es)
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Benzer üçgenlerden donatılardaki birim şekildeğiştirmeler belirlenir.
ε s1 d − c i
=
ε ci
ci
εs1
ε s 2 s2
=
ε s1 s1
ε s 2 s2
=
ε s3 s3
εs2
εs3
Beton basınç gerilemelerinin bileşkesi;
Fc : Gerilme şekildeğiştirme-bağıntısının fonksiyonuna bağlı olarak hesaplanır.
Donatılardaki bileşke kuvvetler;
Fs1 = As1. εs1.Es
Fs2 = As2. εs2.Es
Fs3 = As3. εs3.Es
4) Yatay kuvvet denge denkleminin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir.
∑F = 0 ⋅ ?
N+Fs1+Fs2 - Fc- Fs3 = 0 ?
∑F ≠ 0
Eğer denge denklemi sağlanmıyorsa (
ise)
3. Adıma geri dönülerek
c için yeni bir kabul yapılır ve aynı işlemler tekrarlanır.
Eğer denge denklemi sağlanıyorsa 5. Adım ile devam edilir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
3
24/02/2014
5) Kesit ağırlık merkezinden geçen eksene göre moment denge denklemi yazılarak,
εc = εci için kesitteki moment değeri ( Mi) hesaplanır.
N
εci
Ağırlık
Merkezi
d’
As3
h
d
Tarafsız
eksen
As2
As1
d’
εs2
e
Fs3
x3
A
x1
fs1
Gerilmeler
Fc
Fs2
Fs1
Bileşke kuvvetler
(Fs= As.fs)
(fs= εs.Es)
N.e- Fc.sc - Fs1.x1 - Fs3.x3 = 0
=0
fs3 x
c
Fc
fs2
ci
Birim
Şekildeğiştirmeler
Kesit
A
e
εs1
b
∑M
εs3
ci
N
σci
N.e = Mi belirlenir.
6) Kesite ait geometrik uygunluk denklemlerinden yararlanarak εc = εci için kesitin
eğriliği (birim dönmesi) hesaplanır.
Eğrilik : χi =
χi =
εci
ε ci
veya
ci
As3
ε s1i
d − ci
Ağırlık
Merkezi
Mi
χ=
c
dφ
φ
ds
N
As2
Tarafsız
eksen
As1
d-c
εs1i
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
7) Hesaplanan Mi ve χi değerleri Moment-Eğrilik bağıntısı üzerine işaretlenir.
Moment (M)
M
N=Ns : sabit
Mi
χi
χ
Eğrilik (χ
χ)
8) 2. Hesap adımına geri dönülerek εc için yeni bir değer seçilir ve aynı işlemler sırası
tekrarlanır ( Örneğin εci =0,0004 olarak seçilebilir). Beton veya çelik için öngörülen sınır
değerlerden herhangi birine ulaşıldığında işleme son verilir. Belirlenen bu noktalar
birleştirilerek kesite ait M- χ eğrisi elde edilir. etki diyagramı elde edilir.
Moment (M)
M
Mu
M4
M1
N=Ns : sabit
χ1 χ4
Eğrilik (χ
χ)
χu
χ
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
4
24/02/2014
MOMENT-EĞRİLİK BAĞINTISININ KARAKTERİSTİK
NOKTALARININ BELİRLENMESİ
Betonarme bir kesite ait moment–eğrilik ilişkisi, genel olarak üç karakteristik
bölgeden oluşur ve bu bölgeler aşağıdaki noktalar ile sınırlanır. Bunlar;
a) Çatlama noktası (çatlama momenti Mcr , çatlama eğriliği χcr)
b) Akma noktası (akma momenti My , akma eğriliği χy )
c) Maksimum taşıma gücüne ait noktadır (Mr, χr) .
Moment (M)
Betonda ezilme veya
donatıda sınır uzamaya
ulaşılması
III. bölge
Mr
My
akma
II. bölge
Mcr
Kesitte çatlama
I. bölge
χcr
χy
Eğrilik (χ
χ)
χr
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
a) Çatlama noktası (Mcr , χcr) :
Betonarme kesitin dış çekme lifinde çatlakların başladığı durumdur. Dış çekme lifinde
lifindeki normal gerilme betonun çekme mukavemetine eşit olunca çatlaklar meydana
geldiği kabul edilmektedir.
Basit eğilme (M) etkisindeki bir kesitte, şekildeğiştirme durumu, beton ve çelikteki gerilme
dağılımları aşağıdaki gibidir.
σc
εc
d’
As3
h
Ağırlık
Merkezi
Tarafsız
eksen
As2
c
c
h-c
As1
d’
b
Kesit
h-c
εcr
Birim
Şekildeğiştirmeler
σcr
Gerilmeler
Mcr momentinin hesabında beton kesitin homojen olduğu ve betonun σ- ε bağıntısının
lineer-elastik olduğu kabul edilebilir. Buna göre;
Modüler oran : n =
Es
hesaplanır.
Ec
Modüler oran esas alınarak, çelik eşdeğer beton alanına dönüştürülür ve kesit ağırlık
merkezi (tarafsız eksen yeri) belirlenir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
5
24/02/2014
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre kesitin atalet momenti (IX) ve çekme
bölgesindeki en alt lif için mukavemet momenti (WX) hesaplanır.
Çekme bölgesindeki betonda, en büyük çekme gerilmesi betonun çekme
dayanımına eşit olacağından homojen kesitler için geçerli olan normal gerilme
ifadesinden çatlama momenti belirlenir.
σ cr =
Mcr Mcr
=
⋅ yalt ≤ fctd
WX
Ix
Ağırlık
Merkezi
As3
Tarafsız
eksen
As2
h
Mcr =
σc
εc
c
c
yalt=h-c
As1
χ cr
yalt=h-c
εcr
b
σcr=fctd
Birim
Şekildeğiştirmeler
Kesit
fctd ⋅ IX fctd ⋅ IX
=
yalt
h−c
Gerilmeler
Hook kanunundan yararlanarak en alt beton lifindeki uzama aşağıdaki bağıntı ile
hesaplanır ve geometrik uygunluk denklemlerinden χcr belirlenir.
ε cr =
fctd
Ec
χ cr =
ε cr
h−c
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Kesitin çatlamadan önceki rijitliği EIb
aşağıdaki gibi hesaplanır.
M- χ bağıntısının eğiminden yararlanarak
Moment (M)
Betonda ezilme veya
donatıda sınır uzamaya
ulaşılması
Mr
My
akma
tgα =
Mcr
M
= EI
χ
α
χcr
χy
χr
Eğrilik (χ
χ)
Kesit eğilme rijitliği : EI = Mcr
b
χ cr
Not: Tek eksenli bileşik eğilme durumunda, gerilme ifadesinde Normal kuvvetin
etkisinin de gözönüne alınması gerekmektedir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
6
24/02/2014
b) Akma noktası (My , χy )
Beton kesitin dış basınç lifinde plastik şekildeğiştirmelerin başladığı veya çekme
donatısındaki gerilmelerin akma sınırına ulaştığı durumdur.
Ancak bu iki durumdan hangisinin daha önce gerçekleştiği hesabın başlangıcında
bilinmediğinden, sınır durum tahmin edilir. Bunun için;
ya öncelikle donatının akma noktasına ulaştığı kabul edilip, betondaki birim
kısalma değeri kontrol edilir.
ya da öncelikle betonun plastik şekildeğiştirme sınırına (genellikle εcp = 0,002
alınır) ulaştığı kabul edilip, donatıdaki birim uzama εs değeri kontrol edilir.
σc < σcp
εc < εcp
d’
As3
h
d
Ağırlık
Merkezi
As2
fs3 x
c
Fc
fs2
εs3
ci
εs2
As1
d’
fs1
εs1 = εsy
b
Birim
Şekildeğiştirmeler
Kesit
Gerilmeler
(fs= εs.Es)
εc = εcp
veya
εs3
ci
εs2
εs1 < εsy
Birim
Şekildeğiştirmeler
σc = σcp
fs3 x
c
Fc
fs2
fs1
Gerilmeler
(fs= εs.Es)
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Her iki durumda da, tarafsız eksen derinliği c için bir varsayım yapılır ve
denge denklemleri
uyum denklemleri
beton ve çeliğin gerilme-şekildeğiştirme bağıntıları
kullanılarak, ardışık yaklaşım yolu ile akma noktası koordinatları (My , χy ) belirlenir.
Moment (M)
Betonarme kesitin çatlamış kesit eğilme rijitliği EIc, yaklaşık olarak, akma noktasını
(My , χy ) orijine birleştiren doğrunun eğiminden yararlanarak belirlenebilir. Buna göre;
Betonda ezilme veya
donatıda sınır uzamaya
ulaşılması
Mr
My
akma
Mcr
tgβ =
β
χcr
χy
M
= EI
χ
Eğrilik (χ
χ)
χr
EIc =
My
χy
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
7
24/02/2014
c) Taşıma gücü noktası (Mr , χr )
Betondaki en büyük birim kısalmanın sınır değere (εεc = εcu) ulaştığı veya çeliğin izin
verilen en büyük uzama değerine (εεs = εsu) ulaştığı durumdur.
Ancak bu iki durumdan hangisinin daha önce gerçekleştiği hesabın başlangıcında
bilinmediğinden, sınır durum tahmin edilir. Bunun için;
ya öncelikle donatının sınır uzama değerine ulaştığı kabul edilip, betondaki birim
kısalma değeri kontrol edilir,
ya da öncelikle betonun sınır kısalma (ezilme) değerine (beton modeline bağlı
olarak belirlenen εcu’ ya ) ulaştığı kabul edilip, donatıdaki birim uzama εs değeri
kontrol edilir.
εc < εcu
d’
As3
h
d
Ağırlık
Merkezi
As2
As1
εs3
ci
εs2
d’
b
Kesit
εs1 = εsu
Birim
Şekildeğiştirmeler
σc
fs3
εc = εcu
xc
Fc
fs2
fs1
Gerilmeler
(fs= εs.Es)
veya
ci
σc
fs3 x
c
Fc
fs2
εs3
εs2
fs1
εs1 < εsu
Birim
Şekildeğiştirmeler
Gerilmeler
(fs= εs.Es)
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Her iki durumda da, tarafsız eksen derinliği c için bir varsayım yapılır ve
denge denklemleri
uyum denklemleri
beton ve çeliğin gerilme-şekildeğiştirme bağıntıları
kullanılarak, ardışık yaklaşım yolu ile taşıma gücü noktası koordinatları (Mr , χr )
belirlenir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
8
24/02/2014
Basit Eğilme Etkisindeki Kesitlerde Moment-Eğrilik İlişkisi
Moment (M)
Mr
My
ρ
Donatıda akma
dφ
φ
Betonda ezilme veya
donatıda sınır uzamaya
ulaşılması
Mcr
M
M
ds
As2
Tarafsız
eksen
Kesitte çatlama
Eğrilik (χ
χ) (rad/m)
M
d
εc
c
χ : Birim dönme (Eğrilik)
χ
χ=
d-c
As1
1 dφ ε c
ε
=
=
= s
ρ ds c d − c
εs
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Farklı kırılma Türleri için
Moment-Eğrilik İlişkileri
(Basit eğilme)
2500000
50 cm
Eğlme M omenti [kgcm]
Betonda ezilme
Donatıda akma ve
betonda ezilme
46,5 cm
3000000
As2
3,5
d=46,5cm
d’=3,5cm
bw=25cm
As1
3,5
25 cm
2000000
h=50cm
As2=2.26 cm2
Kesit
Donatıda akma
Donatıda sınır uzama
1500000
1000000
Dengeli kırılma
Çekme kırılması
Basınç kırılması
500000
0
0,00000
0,00005
0,00010
(As1 = Asd )
(As1 < Asd)
(As1 > Asd)
0,00015
0,00020
0,00025
0,00030
Eğrilik (K) [rad/cm]
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
9
24/02/2014
Tek Eksenli Bileşik Eğilme Etkisindeki Betonarme
Kesitte Birim Şekildeğiştirmeler
N = Ns: Sabit
εc
As3
d
dφ
φ
ρ
N
M
χ=
c
N
As2
dφ
φ
ds
ε=
Tarafsız
eksen
As1
M
M
Ağırlık
Merkezi
d-c
du
ds
εs
N
ds
Eğrilik (Birim dönme) : χ =
Birim kısalma :
ε=
1 dφ ε c
ε
=
=
= s
ρ ds c d − c
du
ds
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Tek Eksenli Bileşik Eğilme Etkisindeki Betonarme
Kesitte Moment-Eğrilik İlişkisi
Moment (M)
N=Ns : sabit
Mr
My
Betonda ezilme
χ=
Donatıda akma
α
tgα =
Kesit eğilme rijitliği
M
= EI
χ
dφ M
=
ds EI
EI =
Eğrilik (χ
χ) (rad/m)
M
χ
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
10
24/02/2014
Tek Eksenli Bileşik Eğilme Etkisindeki Betonarme Kesitte
Farklı Kırılma Türleri için Moment Eğrilik İlişkileri
3,50E+06
Dengeli kırılma (N=Nd) (Gevrek)
3,00E+06
Basınç kırılması (N >Nd) (Gevrek)
Çekme kırılması (N <Nd) (Sünek)
N=0 (sünek)
2,00E+06
1,50E+06
3
As4
60 cm
1,00E+06
As3
57 cm
Moment (kgcm)
2,50E+06
N=Nd=101,7 t
As2
N=0
As1
5,00E+05
N=30 t < Nd
3
N= 175 t > Nd
30 cm
0,00E+00
0
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0,0006
0,0007
0,0008
Eğrilik (rad/cm)
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BETONARME KESİ
KESİTLERİ
TLERİN
KARŞ
KARŞILIKLI ETKİ
ETKİ DİYAGRAMININ (M,N) BELİ
BELİRLENMESİ
RLENMESİ
Boyutları ve donatısı belirli olan betonarme bir kesitte, karşılıklı etki diyagramının
belirlenmesinde izlenen yol aşağıda maddeler halinde verilmiştir.
Hesapta izlenen yol:
Normal Kuvvet (N)
1) Eksenel yük taşıma kapasiteleri (Nob, Noç) , eksenel yüksüz moment taşıma
kapasitesi Mo ve dengeli kırılmaya karşılık gelen moment ve normal kuvvet taşıma
kapasiteleri (Md, Nd) daha önce anlatıldığı gibi belirlenir. Bunlar karşılıklı etki
diyagramına işlenir.
M
Nob
N
Kesit
Nd
e = ed
Noç
eli
Deng
evre
K. ( G
k)
Mo
Md
Moment (M)
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
11
24/02/2014
2) Tarafsız eksen derinliği c için bir varsayım (ci) yapılır. Öncelikle kesit yüksekliğine
(h) yakın c değerleri ile başlanabilir.
3) Kesit taşıma kapasitesine ulaşacağından betondaki birim kısalma için εc=0,003 alınır.
Bu durumda ci ve εc belirli olduğundan, geometrik uygunluk denklemlerinden tüm
donatılardaki birim boy değişimleri belirlenebilir.
ε s1
d − ci
=
0.003
ci
ε s1 d − ci
=
ε cu
ci
ε s 2 s2
=
ε s1 s1
ε s1
ε s3 s3
=
ε s 4 s4
ε s2
εc=0,003
ε s3
d’
As4
h
ε s4
c − d'
= i
0,003
ci
d
ε s4
εs4
ci
As3
As2
As1
εs3
εs2
d-ci
d’
s4
s3
s2
s1
εs1
b
Birim
Şekildeğiştirmeler
Kesit
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
4) Kesit özellikleri, ci ve donatı birim şekildeğiştirmeleri kullanılarak, betondaki basınç
gerilmelerinin bileşkesi (Fc) ve donatılardaki kuvvetler (Fs1, Fs2) aşağıdaki bağıntılar ile
belirlenir.
d’
As4
h
d
As2
As1
εs4
c
Tarafsız i
eksen
As3
Ni
εc
Ağırlık
Merkezi
ei
k1c
εs3
b
Kesit
Fs1 = As1. εs1.Es
k1c/2
Fc
Fs4
ei
Fs3
fs2
Birim
Şekildeğiştirmeler
Fc
Fs2
fs1
εs1
Donatılardaki bileşke kuvvetler
fs4
fs3
εs2
d’
Ni
0.85fcd
Fs1
Eşdeğer gerilme
dağılımları
Bileşke kuvvetler
(fs= εs.Es)
(Fs= As.fs)
Beton bileşke kuvveti
Fc =0,85.fcd.k1ci.b
Fs2 = As2. εs2.Es
Fs3 = As3. εs3.Es
Fs4 = As4. εs4.Es
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
12
24/02/2014
5) Yatay denge denklemi kullanılarak Ni hesaplanır.
Ni
d’
As4
h
Ağırlık
Merkezi
As3
d
As2
As1
ei
fs4
k1c
εs3
d’
A x3 Fs3
x2
Fs2
x1
fs1
εs1
Fs4
x4
fs2
Birim
Şekildeğiştirmeler
Kesit
ei
fs3
εs2
b
∑F = 0
εs4
ci
Tarafsız
eksen
Ni
0.85fcd
εc
Fc
Fs1
Eşdeğer gerilme
dağılımları
Bileşke kuvvetler
(fs= εs1.Es)
(Fs= As.fs)
Ni + Fs1 + Fs2 – Fc - Fs3 + Fs4 = 0
Ni
6) Kesit ağırlık merkezinden geçen eksene göre tüm bileşke kuvvetlerin momenti
alınarak Mi hesaplanır.
∑M
A
=0
Ni.ei - Fc.(h/2-k1c/2) - Fs1.x1 - Fs2.x2 - Fs3.x3 - Fs4.x4 = 0
Ni.ei = Mi = Fc.(h/2-k1c/2)+Fs1.x1+Fs2.x2+Fs3.x3+Fs4.x4
Mi
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Normal Kuvvet (N)
7) Hesaplanan Ni ve Mi değerleri karşılıklı etki diyagramına işlenir.
Nob
M
M i , Ni
N
Kesit
Nd
Noç
Deng
e = e d ek)
r
v
e
(G
eli K
.
Mo
Md
Moment (M)
Normal Kuvvet (N)
8) Tarafsız eksen derinliği c için yeni bir varsayım yapılır. ( Karşılıklı etki diyagramını
istenilen hassasiyetle elde edecek şekilde sistematik bir seçim yapılır) ve aynı işlemler
tekrarlanır. Yeteri kadar nokta belirlendikten sonra bu noktalar birleştirilerek karşılıklı
etki diyagramı elde edilir.
Nob
M
M i , Ni
N
Kesit
Nd
Noç
e
Deng
e = e d ek)
r
(Gev
li K.
Mo
Md
Moment (M)
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
13
24/02/2014
SAYISAL UYGULAMA-3
Aşağıda özellikleri verilen kesittin Moment-Eğrilik bağıntısını belirleyiniz.
Kesittin Çatlama momentini ve eğriliğini belirleyiniz.
Kesittin çatlamamış,çatlamış kesit ve brüt beton kesiti eğilme rijitliklerini (EI)
hesaplayarak karşılaştırınız.
Verilenler:
50 cm
)
Çelik: S420 (fyk=4200kg/cm2)
As1
46,5 cm
Beton: C20
(fck=200kg/cm2
3,5
h=50cm
d=46,5cm
d’=3,5cm
As2
As1=2.26 cm2, As2=3.39 cm2
3,5
bw=25cm
25 cm
Kesit
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
ÇÖZÜM
Adım-1
Beton ve çelik için aşağıdaki gerilme-şekildeğiştirme bağıntıları esas alınacaktır.
Betonda sargı etkisi ihmal edilmiştir, bu nedenle kabuk betonu ve göbek betonu için
aynı bağıntı kullanılacaktır.
fc
fs
0.85fck
fyk
0.002
0.003
Beton gerilme-şekildeğiştirme
bağıntısı
εc
0.0021
0.008
0.100
εs
Çelik gerilme-şekildeğiştirme
bağıntısı
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
14
24/02/2014
Adım-2
En dış lifteki beton kısalması εc için aşağıda belirtilen 6 değer için hesap yapılacaktır.
εc = 0.0005,
εc = 0.0010 ,
εc = 0.0015 ,
εc = 0.0020 ,
εc = 0.0025,
εc = 0.0030 için Moment ve Eğrilik değerleri hesaplanacaktır.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Adım-3
Tarafsız eksen derinliğinin c=15 cm olduğu varsayımı yapılmıştır. Bu varsayımın
yapılması ile kesitteki birim şekildeğiştirme dağılımları ve tüm bileşke kuvvetler
belirlenir.
fc
εc = 0.0005 için hesap
Basınç bölgesi 5 eşit dilime bölünmüştür.
Bu şekildeğiştirme değerlerine karşılık
gelen beton gerilmeleri hesaplanmıştır.
fc1 =67.89kg/cm2
c/5
c/5
c/5
c/5
c/5=3
c=15cm
Tarafsız
eksen
Bu gerilme değerleri dilim genişliği (c/5) ve
kesit genişliği (bw) ile çarpılarak her bir dilim
için bileşke kuvvetler hesaplanmıştır.
As1
c=15cm
0.00045
0.002
0.003
εc
Fc1= 67.89x25x3=5092kg
d’
fc
εs1
fs1
Fs1
fs2
Fs2
Fc
εs2
Tarafsız
eksen
Kesit
67.89kg/cm2
Bir dilim için bileşke
εc =0.0005
25
8.93
39.84
24.54
bw
d’
As2
fc2 = 54.29
c/5
Tüm dilimlerin bileşke kuvvetleri toplanarak
beton basınç bileşke kuvveti (Fc)
hesaplanmıştır.
46.5
0.85fck
εc1 =0.00045
0.00035
Her bir dilimin ortasındaki beton
şekildeğiştirmeleri hesaplanmıştır.
50
fc
εc
εs2
Birim
Şekildeğiştirmeler
Gerilmeler
Bileşke kuvvetler
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
15
24/02/2014
Tarafsız eksen derinliği c=15 cm için elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir.
c1
c2
c3
c4
c5
0,00045
0,00035
0,00025
0,00015
0,00005
fc1 67,89375
fc2 54,29375
fc3 39,84375
Fc1 5092,031
Fc2 4072,031
Fc3 2988,281
fc4 24,54375
fc5 8,39375
Fc4 1840,781
Fc5 629,5313
εs1
0.000383
εs2
0.00105
Fc (kg)
14622.66
Fs1 (kg)
1819.3
Fs2 (kg)
7119
Adım-4
Yatay kuvvet denge denkleminin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir.
∑F = 0 ⋅ ?
Fs1-Fs2 + Fc = 0 ?
Σx= 9322.956
Yatay denge denklemi sağlanmadığı için yeni bir c değeri için Adım 3 tekrarlanır.
Toplam yatay kuvvetin ve beton basınç kuvvetinin pozitif olması nedeniyle tarafsız
eksen derinliğinin azaltılması gerektiği görülmektedir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Yapılan iterasyon sonucunda C=10.42 cm için elde edilen değerler aşağıda
verilmiştir.
εc1
εc2
εc3
εc4
εc5
0.00045
fc1
79.875
0.00035
fc2
63.875
Fc1 3537.264
Fc2 2828.704
0.00025
fc3
46.875
0.00015
fc4
28.875
Fc3 2075.859
Fc4 1278.729
0.00005
fc5
9.875
Fc5 437.3144
εs1
εs2
0.000332
0.001731
Fc (kg)
Fs1 (kg) Fs2 (kg)
10157.87 1575.927 11738.12
Σx= -4.320064
Yatay denge denkleminin yeter yaklaşıklıkla sağlandığı kabul edilmiştir.
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
16
24/02/2014
Adım-5
Kesit üzerinde Moment denge denklemi yazılarak εc = 0.0005 için Moment değeri elde
edilmiştir.
Beton dilimlerinin momentleri
(kgcm)
Basınç ve çekme donatısının
momentleri
(tarafsız eksene göre)
fc1 =67.89
(tarafsız eksene göre)
Mc1
33172.47
Mc2
20632.57
Mc3
10815.23
Mc4
3997.308
Mc5
455.6816
c/5
c/5
c/5
c/5
c/5
Ms1 (kgcm) Ms2 (kgcm)
10905.42 423511.3
Tarafsız
eksen
fc2 = 54.29
39.84
24.54
Fs1
Fc
M1
Fs2
Toplam moment (M1)
M1 (tm)
Bileşke kuvvetler
5.03
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Adım-6
Kesite ait şekildeğiştirme durumundan yararlanarak εc = 0.0005 için kesit eğriliği
(birim dönmesi) edilmiştir.
εc =0.0005
χ
c=10.42cm
χ1 =
εc
c
=
0.0005
= 0.000048rad / cm
10.42
εs2
Birim Şekildeğiştirmeler
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
17
24/02/2014
Benzer işlemler yapılarak diğer 5 şekildeğiştirme durumuna ait Moment ve Eğrilik
değerleri de elde edilmiş ve aşağıdaki tabloda verilmiştir.
c (cm)
10.42
0.000332
0.001731
0.0010
6.74
0.000481
0.0015
5.15
0.000481
0.0020
4.56
0.0025
0.0030
Moment (tm)
εc
0.0005
Σx
M (tm)
χ (1/m)
(1/
2.38
5.03
0.00480
0.005899
2.75
6.25
0.01484
0.012044
16.71
6.48
0.02913
0.000465
0.018395
13.47
6.76
0.04386
4.30
0.000465
0.024535
5.49
6.98
0.05814
4.17
0.000482
0.030453
28.88
7.18
0.07194
εs1
εs2
Brüt Beton kesit Eğilme rijitliği (EI)b
Moment - Eğrilik Bağıntısı
8
7
6
5
4
3
2
1
0
EI b = E.(b.h 3 / 12). = 2800000.(0.002604)
EIb = 7292tm 2
Çatlamış kesit Eğilme rijitliği (EI)ç
0
0.02
0.04
Eğrilik (rad/m)
0.06
0.08
(EI) ç =
M
5.03
=
= 1047.9tm 2
χ 0.0048
(EI) ç = 0.14(EI) b
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
Kesitin Çatlama momenti (Mcr) ve çatlama eğriliğinin (χ
χcr) belirlenmesi
50 cm
46,5 cm
Kesitteki donatılar modüler oran (n) kullanılarak eşdeğer beton alanına dönüştürülür ve
oluşan homojen kesitin ağırlık merkezi (G), atalet momenti (Ix) ve mukavemet momenti
(Wx) hesaplanır.
3,5
As1
Modüler oran
n=
As2
E s 2000000
=
= 7.143
Ec
280000
3,5
25 cm
Eşdeğer homojen
beton kesit
Kesit
As1=2.26 cm2, As2=3.39 cm2
A1=2.26x7.143= 16.14 cm2
Ab =25x50=1250 cm2
Not:
Hesapları basitleştirmek amacıyla
homojen kesitin ağırlık merkezinin kesit
ortası olduğu kabul edilmiştir.
A2=3.39x7.143=24.22 cm2
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
18
24/02/2014
Kesit Atalet momenti (Ix) hesabı
G
x
25.503
Ix =
+ 21,52.16.14 + 21,52.24.22 = 279073cm 4
12
21.5cm
x
21.5cm
Kesit Mukavemet momenti (Wx) hesabı
Wx =
Eşdeğer homojen
beton kesit
279073
= 11163cm3
25
As2
Ağırlık
Merkezi
fc
εc
c
25
50
As1
yalt=h-c
χ cr
25
fctk
25
εcr
Kesit
Birim
Şekildeğiştirmeler
Gerilmeler
C20 için: fctk =16kg/cm2
Betonun Eğilme çekme dayanımı eksenel çekme dayanımının yaklaşık 2 katı alınabilir.
C20 için: fctk =2.16=32kg/cm2
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
fc
εc
As2
Ağırlık
Merkezi
c
25
50
As1
yalt=h-c
25
χ cr
25
εcr
Kesit
Birim
Şekildeğiştirmeler
fctk
Gerilmeler
Eğilmeden en alt lifte oluşan çekme gerilmesi :
Çatlama momenti :
fctk =
M
Wx
M cr = f ctk .Wx = 32.11163 = 357216kgcm = 3.572tm
Hook kanunundan yararlanarak en alt beton lifindeki uzama aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır ve
geometrik uygunluk denklemlerinden χcr belirlenir.
ε cr =
f ctd
32
=
= 0.000114
E c 280000
χ cr =
ε cr
0.000114
=
= 0.00000456rad / cm = 0.000456rad / m
h−c
25
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
19
24/02/2014
Çatlamamış kesit Eğilme rijitliği (EI)ç
(EI) 0 =
M cr
3.572
=
= 7833.3tm 2
χ cr 0.000456
(EI) 0 = 1.074(EI) b
Moment - Eğrilik Bağıntısı
8
Moment (tm)
7
Çatlama momenti
6
5
4
Çatlamamış kesit rijitliği
3
2
1
0
0
0.005
0.01
Eğrilik (rad/m )
0.015
0.02
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BETONARME KESİ
KESİTLERİ
TLERİN ANALİ
ANALİZİ İÇİN BAZI
PROGRAMLAR
Section Designer (SAP2000- Computer& Structures),
XTRACT (Imbsen Software Systems),
REPONSE-2000 (Evan C. Bentz),
CSI-COL (Computer& Structures),
SEQMC (SC Solutions)
UC- Fiber (PEER),
Biax (NISEE)
FLECHA (A. Mete SÖZEN)
USC-RC (Asad ESMAEILY)
YAPILARIN PERFORMANS ESASLI TASARIMI VE DEĞERLENDİRİLMESİ
BAÜ. MÜH. MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL.
Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER
4. HAFTA
20

Download Report