Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 6 Sayısal İntegral ve Türev Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Bölüm 5: Eğri Uydurma Giriş Sayısal İntegral Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri Trapez (Yamuk) Kuralı 1/3 Simpson Kuralı 3/8 Simpson Kuralı Sayısal Türev İleri Farklar Metodu Geri Farklar Metodu Merkezi Farklar Metodu Giriş Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Türev : Sözlük anlamına göre türev, “farkları belirlemek, ayırmak, içindeki yada arasındaki farkı kavramak” demektir. Matematiksel olarak türev, bağımlı değişkenin bağımsız bir değişkene göre değişme hızını gösterir. Türev aşağıdaki gibi bir fark denklemi ile tanımlanabilir. Burada y (veya f (x)) bağımlı değişken, x bağımsız değişkendir. Aşağıdaki Şekildeki gibi a’dan c’ye doğru hareket edilirse, yani Δx sıfıra yaklaşırsa, bu fark bir türev olur. Türev f (x) fonksiyonunun xi noktasındaki teğetinin eğimidir. Giriş Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. İntegral : Matematikte türevin ters işlemi integraldir. Sözlük anlamına göre integral almak “parçaları bir bütün içerisine getirmek; toplam miktarı göstermek…” demektir. Matematiksel olarak bir f (x) fonksiyonunun x = a ve x = b aralığında integre edilmesi, bu aralıkta, f (x) fonksiyonu ile x ekseni arasında kalan alanın belirlenmesi anlamına gelmektedir. ALAN Sayısal İntegral Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Sayısal İntegral Yaklaşımı Sayısal İntegral Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Sayısal İntegral Uygulanması Sayısal İntegral: Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Newton-Cotes integrasyon formülleri, karmaşık bir fonksiyonu (veya tablo şeklinde düzenlenmiş verileri), integre edilmesi kolay bir yaklaşım fonksiyonu ile ifade etme esasına dayanır. n: polinomun derecesi Doğru yaklaşımı (n =1) Parabol yaklaşımı (n = 2) Parçalı polinomlar yaklaşımı (Birleşik İntegral) Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Trapez (yamuk) kuralı, Newton-Cotes integrasyon formüllerinin en basit formu olup n =1 olduğu duruma karşılık gelir. Hata ALAN Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı (Çoklu) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.  Trapez (yamuk) kuralının doğruluğunu iyileştirmenin bir yolu a - b aralığını belli sayıda aralıklara bölmektir. iyileştirme  Daha sonra, her bir aralığın alanı toplanarak tüm bölgenin integrali elde edilmiş olur (Birleşik integral formülleri). Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı (Çoklu) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Hata n : Aralık sayısı Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.1 f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar integralini a) Trapez kuralının tekli uygulayarak b) İki aralıklı trapez kuralı uygulayarak c) Üç aralıklı trapez kuralı uygulayarak sayısal olarak alınız. Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.1 f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar integralini a) Trapez kuralının tekli uygulayarak 4.0000 3.5000 3.0000 f (x) 2.5000 2.0000 1.5000 Hata 1.0000 0.5000 0.0000 0 0.1 a Alan 0.2 0.3 0.4 x 0.5 0.6 0.7 0.8 b Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.1 f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar integralini b) İki aralıklı (n = 2) trapez kuralı uygulayarak 4.0 3.5 Hata 3.0 f (x) 2.5 2.0 1.5 1.0 Alan 2 Alan 1 0.5 0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x 0.5 0.6 0.7 0.8 Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.1 f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar integralini c) Üç aralıklı (n = 3) trapez kuralı uygulayarak 4.0 3.5 3.0 f (x) 2.5 2.0 1.5 Alan 2 1.0 Alan 3 Alan 1 0.5 0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x 0.5 0.6 0.7 0.8 Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Simpson Kuralları Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Trapez (yamuk) kuralını daha sık aralıklarla uygulamaktan başka, integrali daha doğru hesaplamak için bir diğer yol, noktaları birleştirmek için daha yüksek dereceli polinomlar kullanmaktır. Eğer f (a) ve f (b) noktaları arasında bilinen bir nokta varsa, bu üç nokta 2. dereceden bir polinom (parabol) ile birleştirilebilir (Şekil a). Eğer f (a) ve f (b) noktaları arasında bilinen eşit aralıklı iki nokta varsa, bu dört nokta 3. dereceden bir polinom ile birleştirilebilir (Şekil b). x=a x=b x=a x=b Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: 1/3 Simpson Kuralı Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. 1/3 Simpson’un kuralı, verilen aralıktaki integrali hesaplamak için ikinci dereceden bir interpolasyon polinomu kullanılması ilkesine dayanır. x0 = a İkinci dereceden Lagrange interpolasyon polinomu 1/3 Simpson Kuralı Hata x2 x1 = b Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: 1/3 Simpson Kuralı (Çoklu) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. 1/3 Simpson’un kuralı da (Trapez kuralında olduğu gibi), integral aralığı eşit genişlikteki aralıklara bölünerek iyileştirilebilir. Her bir integral için 1/3 Simpson kuralı uygulanırsa Eşitlikler birleştirilip h = (b - a) / n yerine yazılırsa Hata Çoklu 1/3 Simpson Kuralı Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: 3/8 Simpson Kuralı Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. 1/3 Simpson’un kuralı, verilen aralıktaki integrali hesaplamak için üçüncü dereceden bir interpolasyon polinomu kullanılması ilkesine dayanır. 3/8 Simpson Kuralı Hata Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Simpson Kuralları Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.2 f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar integralini a) 1/3 Simpson kuralını tekli uygulayarak b) n = 4 aralık için 1/3 Simpson kuralı uygulayarak c) 3/8 Simpson kuralını tekli uygulayarak sayısal olarak alınız. Tekli 1/3 Simpson Çoklu 1/3 Simpson (n = 4) Çoklu 3/8 Simpson Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Simpson Kuralları Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.3 (ÖDEV) f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar integralini, n = 5 aralık için 1/3 Simpson ve 3/8 Simpson kurallarını birlikte kullanarak, sayısal olarak alınız. Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Tanım : • Trapezoid Kuralı, İntegrale dikdörtgenler yerine yamuklarla yaklaşma metodudur. • Verilen x ve y noktalarının oluşturacağı yamukların alanı yaklaşık integral değerini verir. Kullanım : • Z = trapz(Y) Z = trapz(X,Y) Z = trapz(...,dim) Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.4 f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar integralini a) Trapez kuralının tekli uygulayarak b) İki aralıklı trapez kuralı uygulayarak c) Üç aralıklı trapez kuralı uygulayarak sayısal olarak alınız. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Matlab ile Sayısal İntegrasyon: 1/3 Simpson (quad) Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. • Tanım : • Bu komut yinelemeli Simpson 1/3 yöntemini kullanarak [a − b] aralığında integrali hesaplar. • Adapte Gauss kuadratörü ile integral alınır. • Kullanım : • q = quad(fun,a,b) q = quad(fun,a,b,tol) q = quad(fun,a,b,tol,trace) [q,fcnt] = quad(...) Matlab ile Sayısal İntegrasyon Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Sayısal Türev Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Türev aşağıdaki gibi bir fark denklemi ile tanımlanabilir. Fark denklemleri bir fonksiyonun Taylor serisi açılımından faydalanılarak elde edilebilir. Buna göre bir fonksiyonun Taylor serisi için aşağıdaki ifade yazılabilir: Taylor serisi Sayısal Türev Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. 1. derece yaklaşım Taylor serisi 2. derece yaklaşım Bu eşitlikten ikinci ve daha yüksek dereceli ihmal ederek f ' (x) birinci türev çekilirse, Birinci türevi daha yüksek doğrulukta ifade edebilmek için ikinci dereceden terimleri koruyalım ve ikinci türev için sonlu fark yaklaşımını da kullanarak, f ' (x) birinci türevi yeniden yazalım: Sayısal Türev: Sonlu Fark Yöntemleri Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Merkezi Fark Yöntemi İleri Fark Yöntemi Geri Fark Yöntemi Sayısal Türev: İleri Farklar Yöntemi Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Birinci Türev İkinci Türev Üçüncü Türev Dördüncü Türev Sayısal Türev: Geri Farklar Yöntemi Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Birinci Türev İkinci Türev Üçüncü Türev Dördüncü Türev Sayısal Türev: Merkezi Farklar Yöntemi Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Birinci Türev İkinci Türev Üçüncü Türev Dördüncü Türev Sayısal Türev Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.4 h = 0.01 1.2 1.0 0.6 0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.710 x 0.705 0.700 ln x ln x 0.8 0.695 0.690 0.685 0.680 4.95 4.96 4.97 4.98 4.99 5 x 5.01 5.02 5.03 5.04 5.05 Sayısal Türev Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Örnek 6.4 h = 0.01