close

Enter

Log in using OpenID

embedDownload
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
BÖLÜM 6
Sayısal İntegral ve Türev
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bölüm 5: Eğri Uydurma
Giriş
Sayısal İntegral
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri
Trapez (Yamuk) Kuralı
1/3 Simpson Kuralı
3/8 Simpson Kuralı
Sayısal Türev
İleri Farklar Metodu
Geri Farklar Metodu
Merkezi Farklar Metodu
Giriş
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Türev : Sözlük anlamına göre türev, “farkları belirlemek, ayırmak, içindeki yada arasındaki farkı kavramak”
demektir. Matematiksel olarak türev, bağımlı değişkenin bağımsız bir değişkene göre değişme hızını
gösterir. Türev aşağıdaki gibi bir fark denklemi ile tanımlanabilir. Burada y (veya f (x)) bağımlı
değişken, x bağımsız değişkendir. Aşağıdaki Şekildeki gibi a’dan c’ye doğru hareket edilirse, yani Δx
sıfıra yaklaşırsa, bu fark bir türev olur.
Türev f (x) fonksiyonunun xi noktasındaki teğetinin eğimidir.
Giriş
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
İntegral : Matematikte türevin ters işlemi integraldir. Sözlük anlamına göre integral almak
“parçaları bir bütün içerisine getirmek; toplam miktarı göstermek…” demektir.
Matematiksel olarak bir f (x) fonksiyonunun x = a ve x = b aralığında integre edilmesi,
bu aralıkta, f (x) fonksiyonu ile x ekseni arasında kalan alanın belirlenmesi anlamına
gelmektedir.
ALAN
Sayısal İntegral
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Sayısal İntegral Yaklaşımı
Sayısal İntegral
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Sayısal İntegral Uygulanması
Sayısal İntegral: Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Newton-Cotes integrasyon formülleri, karmaşık bir fonksiyonu (veya tablo şeklinde düzenlenmiş verileri),
integre edilmesi kolay bir yaklaşım fonksiyonu ile ifade etme esasına dayanır.
n: polinomun derecesi
Doğru yaklaşımı (n =1)
Parabol yaklaşımı (n = 2)
Parçalı polinomlar yaklaşımı
(Birleşik İntegral)
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Trapez (yamuk) kuralı, Newton-Cotes integrasyon formüllerinin en basit formu olup n =1 olduğu
duruma karşılık gelir.
Hata
ALAN
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı (Çoklu)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Trapez (yamuk) kuralının doğruluğunu iyileştirmenin bir
yolu a - b aralığını belli sayıda aralıklara bölmektir.
iyileştirme
 Daha sonra, her bir aralığın alanı toplanarak tüm bölgenin
integrali elde edilmiş olur (Birleşik integral formülleri).
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı (Çoklu)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Hata
n : Aralık sayısı
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.1
f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar
integralini
a) Trapez kuralının tekli uygulayarak
b) İki aralıklı trapez kuralı uygulayarak
c) Üç aralıklı trapez kuralı uygulayarak
sayısal olarak alınız.
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.1
f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar
integralini
a) Trapez kuralının tekli uygulayarak
4.0000
3.5000
3.0000
f (x)
2.5000
2.0000
1.5000
Hata
1.0000
0.5000
0.0000
0
0.1
a
Alan
0.2
0.3
0.4
x
0.5
0.6
0.7
0.8
b
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.1
f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar
integralini
b) İki aralıklı (n = 2) trapez kuralı uygulayarak
4.0
3.5
Hata
3.0
f (x)
2.5
2.0
1.5
1.0
Alan 2
Alan 1
0.5
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
0.5
0.6
0.7
0.8
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Trapez (Yamuk) Kuralı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.1
f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar
integralini
c) Üç aralıklı (n = 3) trapez kuralı uygulayarak
4.0
3.5
3.0
f (x)
2.5
2.0
1.5
Alan 2
1.0
Alan 3
Alan 1
0.5
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
0.5
0.6
0.7
0.8
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Simpson Kuralları
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Trapez (yamuk) kuralını daha sık aralıklarla uygulamaktan başka, integrali daha doğru
hesaplamak için bir diğer yol, noktaları birleştirmek için daha yüksek dereceli polinomlar
kullanmaktır.
Eğer f (a) ve f (b) noktaları arasında bilinen bir nokta varsa, bu üç nokta 2. dereceden bir polinom
(parabol) ile birleştirilebilir (Şekil a).
Eğer f (a) ve f (b) noktaları arasında bilinen eşit aralıklı iki nokta varsa, bu dört nokta 3.
dereceden bir polinom ile birleştirilebilir (Şekil b).
x=a
x=b
x=a
x=b
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: 1/3 Simpson Kuralı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
1/3 Simpson’un kuralı, verilen aralıktaki integrali hesaplamak için ikinci
dereceden bir interpolasyon polinomu kullanılması ilkesine dayanır.
x0 = a
İkinci dereceden Lagrange interpolasyon polinomu
1/3 Simpson Kuralı
Hata
x2
x1 = b
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: 1/3 Simpson Kuralı (Çoklu)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
1/3 Simpson’un kuralı da (Trapez kuralında olduğu gibi),
integral aralığı eşit genişlikteki aralıklara bölünerek
iyileştirilebilir.
Her bir integral için 1/3 Simpson kuralı uygulanırsa
Eşitlikler birleştirilip h = (b - a) / n yerine yazılırsa
Hata
Çoklu 1/3 Simpson Kuralı
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: 3/8 Simpson Kuralı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
1/3 Simpson’un kuralı, verilen aralıktaki integrali hesaplamak için üçüncü
dereceden bir interpolasyon polinomu kullanılması ilkesine dayanır.
3/8 Simpson Kuralı
Hata
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Simpson Kuralları
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.2
f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar
integralini
a) 1/3 Simpson kuralını tekli uygulayarak
b) n = 4 aralık için 1/3 Simpson kuralı uygulayarak
c) 3/8 Simpson kuralını tekli uygulayarak
sayısal olarak alınız.
Tekli 1/3 Simpson
Çoklu 1/3 Simpson (n = 4)
Çoklu 3/8 Simpson
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri: Simpson Kuralları
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.3 (ÖDEV)
f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar
integralini, n = 5 aralık için 1/3 Simpson ve 3/8 Simpson kurallarını birlikte kullanarak,
sayısal olarak alınız.
Newton-Cotes İntegrasyon Formülleri
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Tanım :
• Trapezoid Kuralı, İntegrale dikdörtgenler yerine
yamuklarla yaklaşma metodudur.
• Verilen x ve y noktalarının oluşturacağı
yamukların alanı yaklaşık integral değerini verir.
Kullanım :
• Z = trapz(Y)
Z = trapz(X,Y)
Z = trapz(...,dim)
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.4
f (x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 fonksiyonunu x = 0 dan x = 0.8’ e kadar
integralini
a) Trapez kuralının tekli uygulayarak
b) İki aralıklı trapez kuralı uygulayarak
c) Üç aralıklı trapez kuralı uygulayarak
sayısal olarak alınız.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: Trapez Kuralı (trapz)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Matlab ile Sayısal İntegrasyon: 1/3 Simpson (quad)
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
• Tanım :
• Bu komut yinelemeli Simpson 1/3 yöntemini
kullanarak [a − b] aralığında integrali hesaplar.
• Adapte Gauss kuadratörü ile integral alınır.
• Kullanım :
• q = quad(fun,a,b)
q = quad(fun,a,b,tol)
q = quad(fun,a,b,tol,trace)
[q,fcnt] = quad(...)
Matlab ile Sayısal İntegrasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Sayısal Türev
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Türev aşağıdaki gibi bir fark denklemi ile tanımlanabilir.
Fark denklemleri bir fonksiyonun Taylor serisi açılımından faydalanılarak elde edilebilir.
Buna göre bir fonksiyonun Taylor serisi için aşağıdaki ifade yazılabilir:
Taylor serisi
Sayısal Türev
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
1. derece yaklaşım
Taylor serisi
2. derece yaklaşım
Bu eşitlikten ikinci ve daha yüksek dereceli ihmal ederek f ' (x) birinci türev çekilirse,
Birinci türevi daha yüksek doğrulukta ifade edebilmek için ikinci dereceden terimleri koruyalım ve
ikinci türev için sonlu fark yaklaşımını da kullanarak, f ' (x) birinci türevi yeniden yazalım:
Sayısal Türev: Sonlu Fark Yöntemleri
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Merkezi Fark Yöntemi
İleri Fark Yöntemi
Geri Fark
Yöntemi
Sayısal Türev: İleri Farklar Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Birinci Türev
İkinci Türev
Üçüncü Türev
Dördüncü Türev
Sayısal Türev: Geri Farklar Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Birinci Türev
İkinci Türev
Üçüncü Türev
Dördüncü Türev
Sayısal Türev: Merkezi Farklar Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Birinci Türev
İkinci Türev
Üçüncü Türev
Dördüncü Türev
Sayısal Türev
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.4
h = 0.01
1.2
1.0
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.710
x
0.705
0.700
ln x
ln x
0.8
0.695
0.690
0.685
0.680
4.95 4.96 4.97 4.98 4.99
5
x
5.01 5.02 5.03 5.04 5.05
Sayısal Türev
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 6.4
h = 0.01
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
6
File Size
3 484 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content