Геометријски низ

Geometrijski niz
Podjimo od dva primera:
Primer 1: 3,6,12,24,48 ...
Primer 2: 81,27,9,3, ...
Pažljivim posmatranjem možemo zaključiti da je svaki sledeći član niza u
primeru 1. 3,6,12,24,48 ...
2 puta veći od predhodnog člana , pa će sledeći
članovi biti, 48 ⋅ 2 = 96, 96 ⋅ 2 = 192,...
U primeru 2. 81,27,9,3, ... primećujemo da je svaki sledeći član tri puta manji od
1 1
1
predhodnog, pa bi sledeći članovi bili 3 : 3 = 1, 1: 3 = ,
: 3 = ,...
3 3
9
Ovakvi nizovi zovu se geometrijski i kao što vidimo , mogu biti rastući (primer 1.) i
opadajući (primer 2.)
Dakle: Niz brojeva u kome je količnik ma koja dva uzastopna člana niza stalan zove se
geometrijski niz ili progresija. Naravno i ovde je važno od kog broja počinje niz, pa se
taj broj zove “prvi” član niza I obeležava se sa b1 .
→ za primer 1. b1 = 3 , b2 = 6 , b3 = 12,...
→ za primer 2. b1 = 81 , b2 = 27 , b3 = 9,...
b
b2 b3
= = ... = n = q → količnik niza
b1 b2
bn −1
→ za primer 1. q = 2 (rastući niz)
1
→ za primer 2. q = (opadajući niz)
3
Ako znamo b1 (prvi član niza) i q (količnik niza) niz je potpuno odredjen , odnosno
možemo da ga zapišemo.
Bilo koji član niza ( n-ti član ) se traži po formuli :
bn = b1 ⋅ q n −1
Zbir prvih n-članova niza se traži
q >1
i)
Sn =
b1 (q n − 1)
q −1
q <1
ii)
Sn =
b1 (1 − q n )
1− q
Za svaki član niza važi: bn = bn −1 ⋅ bn +1 → geometrijska sredina
www.matematiranje.com
1
primer 1
Odrediti geometrijsku progresiju kod koje je b1 + b3 = 15 ∧ b2 + b4 = 30
b1 + b3 = 15
Iskoristimo formulu : bn = b1 ⋅ q n −1 po njoj je:
b2 + b4 = 30
b3 = b1 ⋅ q 2
b2 = b1 ⋅ q
b4 = b1 ⋅ q 3
Zamenimo ovo u postavljeni sistem:
b1 + b1q 2 = 15
→ Izvučemo “zajednički” iz obe jednačine:
b1q + b1q 3 = 30
____________________
b1 (1 + q 2 ) = 15
b1q(1 + q 2 ) = 30
→ Ovde je “trik” da se jednačine podele.
_____________________
b1 (1 + q 2 )
b1 q (1 + q )
2
=
15
→ Skratimo šta može !
30
1 1
= ⇒q=2
q 2
Vratimo se u jednu od jednačina: (naravno biramo lakšu).
b1 (1 + q 2 ) = 15
b1 (1 + 4) = 15 ⇒ b1 = 3
Traženi niz je : 3,6,12,24,48,…
Ako izmedju brojeva a i b treba umetnuti (interpolirati) k brojeva tako da zajedno sa a i
b čine geometrijski niz, onda količnik q tog niza tražimo po formuli :
q = k +1
b
a
www.matematiranje.com
2
Zadaci:
1) Izračunati deseti član geometrijskog niza 1,3,9,27...
Iz tog niza zaključujemo da je: b1 = 1 i q = 3
1, 3, 9, 27,...
↓ ↓ ↓
b1 b2 b3
↓
b4
Pošto se bilo koji član niza računa po formuli bn = b1 ⋅ q n −1 to će deseti član biti :
b10 = b1 ⋅ q10−1
b10 = b1 ⋅ q 9
b10 = 1⋅ 39
b10 = 39
b10 = 19683
2) U geometrijskom nizu je : b6 − b4 = 216 ∧ b3 + b1 = 8 ∧ S n = 40
Izračunati a1 ,q i n
b6 − b4 = 216
b6 = b1 ⋅ q 5
b3 − b1 = 8
b4 = b1 ⋅ q 3
S n = 40
b3 = b1 ⋅ q 2
__________
bn = b1 ⋅ q
Zamenimo u prve dve jednačine!
n −1
b1 ⋅ q 5 − b1 ⋅ q 3 = 216⎫
⎪
2
⎬ izvučemo zajednički
b1q − b1 = 8
⎪⎭
________________
b1q 3 (q 2 − 1) = 216⎫
⎪
⎬
b1 (q 2 − 1) = 8
⎪⎭
__________________
b1 q 3 (q 2 − 1)
b1 (q − 1)
2
=
podelimo ih
216
8
q 3 = 27 ⇒ q 3 = 33 ⇒ q = 3
b1 (q 2 − 1) = 8
b1 (32 − 1) = 8 ⇒ b1 ⋅ 8 = 8 ⇒ b1 = 1
3
1⋅ (3n − 1)
= 40
3 −1
3n − 1
= 40
2
n
b (q − 1)
Pošto je q = 3 > 1 koristimo formulu S n = 1
⇒ 3n − 1 = 80
q −1
3n = 81
3n = 34 ⇒ n = 4
3) Tri broja, čiji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se im brojevima doda redom
1,6 i 3, dobijaju se tri broja koja obrazuju aritmetički niz. Odrediti te brojeve.
Neka su tri broja : b1,b2 i b3 I važi : b1 + b2 + b3 = 26 a kako je b2 = b1q ∧ b3 = b1q 2
b1 + b1q + b1q 2 = 26 tj. b1 (1 + q + q 2 ) = 26
Ako im dodamo redom 1,6 i 3 dobićemo :
a1 = b1 + 1
a2 = b2 + 6 = b1q + 6
a3 = b3 + 3 = b1q 2 + 3
Pošto oni čine aritmetičku progresiju, mora biti : a2 =
a1 + a3
tj, a1 + a3 = 2a1
2
(b1 + 1) + (b1q 2 + 3) = 2(b1q + 6) → ”sredimo”
b1 + 1 + b1q 2 + 3 = 2b1q + 12
b1q 2 − 2b1q + b1 = 12 − 1 − 3
b1 (q 2 − 2q + 1) = 8
Napravimo sada sistem:
b1 (q 2 + q + 1) = 26 ⎫
⎪
podelimo ih
b1 (q 2 − 2q + 1) = 8 ⎬
________________________ ⎪
⎭
www.matematiranje.com
4
q 2 + q + 1 26
=
q 2 − 2q + 1 8
26(q 2 − 2q + 1) = 8(q 2 + q + 1) / : 2
13(q 2 − 2q + 1) = 4(q 2 + q + 1)
13q 2 − 26q + 13 = 4q 2 + 4q + 4
9q 2 − 30q + 9 = 0
3q 2 − 10q + 3 = 0 → kvadratna “po q”
10 ± 8 10 ± 8
=
3⋅ 2
6
1
q1 = 3 ∧ q2 =
3
q1, 2 =
Za q = 3
b1 =
26
26
=
=2
q + q + 1 13
2
Rešenja
1
3
26
26
=
= 18
b1 =
1 1
13
+ +1
9 3
9
Za q =
Rešenja
2,6,18 → Geometrijski niz
18,6,2 → Geometrijski niz
3,12,21 → Aritm. Niz
19,12,5 → Aritm. Niz
4) Izračunati zbir n brojeva oblika 1, 11, 111, 1111…
1, 11, 111, 1111, …
Trik je napisati brojeve drugačije:
10 − 1
9
100 − 1 10 2 − 1
=
11 =
9
9
1000 − 1 103 − 1
=
111 =
9
9
1=
…….itd.
www.matematiranje.com
5
S n = 1 + 11 + 111 + ... =
10 − 1 102 − 1 103 − 1
10n − 1
=
+
+
+ ... +
9
9
9
9
1
= ⎡⎣10 − 1 + 102 − 1 + 103 − 1 + ... + 10n − 1⎤⎦ Pazi: ima n jedinica...
9
1
ovde je 10 + 102 + ... + 10n → geometrijski niz
= [10 + 102 + ... + 10n − n]
9
Geometrijski niz → b1 = 10 ∧ q = 10
S=
b1 (q n − 1)
q −1
ovo je za geometrijski niz, pa je :
⎤
1 ⎡10 ⋅ (10n − 1)
Sn = ⎢
− n⎥
9 ⎣ 10 − 1
⎦
⎤
1 ⎡10(10n − 1)
1
⎡⎣10(10n − 1) − 9n ⎤⎦
Sn = ⎢
− n⎥ =
9⎣
9
⎦ 81
5) Izračunati zbir n brojeva oblika
5 11 23 47
, , , ...
6 12 24 48
Sličan trik kao malopre!
5 6 −1
1
=
= 1−
6
6
6
11 12 − 1
1
=
= 1−
12
12
12
23 24 − 1
1
=
= 1−
24
24
24
…….itd.
Sn =
1
1
5 11 23
1
+ +
+ ... = 1 − + 1 − + 1 − + ...
6 12 24
6
12
24
1 1 1
= n−( + +
+ ...)
6 12 24
geometrijski niz
www.matematiranje.com
6
b1 =
1
6
q=
1
2
b1 (1 − q n )
1− q
1
1
(1 − ( ) n )
2
S=6
1
1−
2
1
1
S = (1 − ( ) n )
3
2
S=
Dakle :
1⎡
1 ⎤
S n = n − ⎢1 − ( ) n ⎥
3⎣
2 ⎦
1⎡
1⎤
S n = n − ⎢1 − n ⎥
3⎣ 2 ⎦
6) Ako su a, b, c k-ti , n-ti i p-ti članovi jedne geometrijske progresije tada je
a n − p ⋅ b p − k ⋅ c k − n = 1 . Dokazati.
Koristićemo formulu bn = b1 ⋅ q n −1
Pošto je a k-ti član ⇒ a = b1 ⋅ q k −1
Pošto je b n-ti član ⇒ b = b1 ⋅ q n −1
Pošto je c p-ti član ⇒ c = b1 ⋅ q p −1
a n − p ⋅ b p − k ⋅ c k − n = [b1q k −1 ]n − p ⋅ [b1 ⋅ q n −1 ] p − k ⋅ [b1 ⋅ q p −1 ]k − n =
b1n − p ⋅ q ( k −1)( n − p ) ⋅ b1 p − k ⋅ q ( n −1)( p − k ) ⋅ b1k − n ⋅ q ( p −1)( k − n )
Izračunajmo posebno “izložilac” za b1 :
n− p+ p−k +k −n =0
Sada ćemo izračunati “izložilac” za q:
(k − 1)(n − p ) + (n − 1)( p − k ) + ( p − 1)(k − n) =
kn − kp − n + p + np − kn − p + k + pk − pn − k + n = 0
Kao što primećujete sve se potire!
www.matematiranje.com
7
Pa je : a n − p ⋅ b p − k ⋅ c k − n = b1 ⋅ q o = 1
o
Kraj dokaza.
7) Odrediti paralelogram tako da merni brojevi osnovice, visine i površine čine
geometrijski niz.
a
b
P=ah
h
b
a
a, h, P → čine g. niz
P = a ⋅ h → formula za površinu
A pošto a, h, P čine geometrijski niz , to mora biti:
h2
h = aP ⇒ h = aP ⇒ P =
a
2
h
ah =
⇒ h = a2 ⇒ P = a ⋅ a2 = a3
a
2
Dakle: a = a, h = a 2 i P = a 3
www.matematiranje.com
8
Beskonačni red
Neka je dat beskonačni niz realnih brojeva a1 , a2 ,..., an ,...
Izraz oblika a1 + a2 + ... + an + ... =
∑
∞
n =1
an
zove se beskonačni red.
Geometrijskom nizu a, aq, aq 2 ,..., aq n ,... odgovara red:
a (1 + q + q 2 + ... + q n + ...) = a ∑n =0 q n
∞
Zbir (suma)beskonačno opadajućeg reda (geometrijskog) je
S=
a
1− q
za
q <1
Zadaci:
1) Decimalni broj 0,7777777… prebaciti u razlomak
7
7
7
+
+
+ ...
10 100 1000
7
1
1
1
= (1 + +
+
+ ...)
10
10 100 1000
7
1
1
1
= (1 + + 2 + 3 + ...)
10
10 10 10
0, 7777... =
Ovde imamo geometrijski red , a =
7
1
,q =
10
10
7
7
7
a
Njegova suma je S =
= 10 = 10 =
9 9
1− q 1− 1
10 10
www.matematiranje.com
9
2) Izračunati vrednost mešovito periodičnog razlomka 0,3444….
3
4
4
4
+
+
+
+ ...
10 100 1000 10000
3
4
1
1
= +
⋅ (1 + +
+ ...)
10 100
10 100
0,3444... =
Pazi:
4
1
4
1
1
,q =
⋅ (1 + +
+ ...) je geometrijski red : a =
100
10
100
10 100
4
3
= + 100
10 1 − 1
10
4
3
= + 100
9
10
10
=
3 4
31
+
=
10 90 90
3) Nadji red ako je
S=
Mi znamo da je formula :
3
3− x
S=
a
1− q
Znači gde je 3 - x treba da je 1-q. Izvršićemo “sredjivanje” izraza :
S=
3
3
1
x
=
=
⇒ a = 1, q =
x
x
3 − x 3(1 − ) 1 −
3
3
3
Pa će traženi red biti:
a(1 + q + q 2 + q 3 + ...) =
x x 2 x 3
x x 2 x3
1 ⋅ (1 + + ( ) + ( ) + ...) = 1 + + 2 + 3 + ...
3 3
3
3 3
3
www.matematiranje.com
10
4) Nadji red ako je S =
S=
6
3 − 2x
6
6
2
2x
=
⇒ a = 2, q =
=
3 − 2 x 3 (1 − 2 x ) 1 − 2 x
3
3
3
Pa će red biti :
a(1 + q + q 2 + q 3 + ...+ ) =
2x 2x 2 2x 3
2(1 +
+ ( ) + ( ) + ...) =
3
3
3
2
3
4 x 8 x 16 x
2+
+
+
+ ...
3
9
27
5) Sledeći periodični razlomak pretvoriti u običan razlomak
2, 717171... = 2 +
2,717171….
7
1
7
1
+
+
+
+ ...
10 100 1000 10000
Ovde ćemo uočiti 2 geometrijska reda:
7
7
7
7
1
+
+
+ ... = (1 +
+ ...)
10 1000 100000
10
100
1
1
1
1
1
+
+
+ ... =
(1 +
+ ...)
100
100 10000 1000000
100
7
7
70
Zbir prvog reda je S1 = 10 = 10 =
1
99 99
1−
100 100
1
1
1
Zbir drugog reda je S 2 = 100 = 100 =
1
99 99
1−
100 100
Vratimo se “na zadatak”:
www.matematiranje.com
11
2, 717171... = 2 +
S=
70 1 269
+
=
99 99 99
269
99
6) U jednakostraničnom trouglu stranice a upisan je novi jednakostranični trougao
spajanjem sredinama datog trougla . U dobijenom trouglu je upisan drugi trougao
na isti način, itd. Odrediti zbir obima svih trouglova.
a
2
a
a
4
a
2
a
a
4
itd.
a
4
a
2
a
Stranica 1. trougla je a
Stranica 2. trougla je
Stranica 3. trougla je
a
4
Stranica 4. trougla je
a
8
a
2
……. Itd.
Njihovi obimi će biti : O = 3 ⋅ a
Znači:
www.matematiranje.com
12
O1 = 3a
a 3a
=
2 2
a 3a
O3 = 3 ⋅ =
4 4
a 3a
O4 = 3 ⋅ =
8 8
.......itd .
O2 = 3 ⋅
A njihov zbir je :
O1 + O2 + O3 + O4 + ... =
3a 3a 3a
+ + + ...
2
4
8
1 1 1
= 3a(1 + + + + ...)
2 4 8
1 1 1
= 3a(1 + + 2 + 3 + ...)
2 2 2
= 3a +
=
Ovde je A=3a
i
po formuli : S =
A
1− q
3a
3a
=
= 6a
1 1
1−
2 2
q=
1
2
Znači zbir obima je 6a.
www.matematiranje.com
13

Download Report