1.1 Definicija funkcije
Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematiˇckoj analizi i centralni objekat
svih njenih razmatranja.
Definicija 0
Neka je dat skup D ⊆ R. Ako je svakom x ∈ D po nekom zakonu (pravilu) pridružen
jedan i samo jedan y ∈ R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcija
f realne promjenljive x . Pravilo po kojem se vrši pridruživanje oznaˇcavamo sa f ,
odnosno
y = f (x), x ∈ D.
Ovdje je x argument ili nezavisno promjenljiva, a skup D (ˇcesto se obilježava i sa
Df ) je definiciono podruˇcje ili domen funkcije f .
Broj y0 , pridružen vrijednosti x0 argumenta x, zove se vrijednost funkcije u taˇcki
x = x0 i oznaˇcava se f (x0 ). Skup svih vrijednosti funkcije f oznaˇcava se Rf i zove se
kodomen funkcije f .
Ako nije unaprijed dato definiciono podruˇcje funkcije f , onda se podrazumijeva da
je to maksimalan (po inkluziji) skup za cˇ ije elemente x funkcija f (x) ima smisla.
Definicija 1
Neka je f ⊆ R × R binarna relacija i neka Df oznaˇcava skup svih prvih komponenti
uredenih
parova (x, y) ∈ f .
¯
Ako relacija f zadovoljava uslov da se svaki x ∈ Df pojavljuje samo jednom kao
prva komponenta svih uredenih
parova iz f , tj. ako
¯
(∀x ∈ Df ) :
(x, y1 ) ∈ f ∧ (x, y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 ,
onda skup f nazivamo realnom funkcijom na skupu Df ⊆ R.
Funkcija se može zadati na razne naˇcine, ali je najzanimljiviji sluˇcaj kad se funkcija
zadaje putem nekog analitiˇckog izraza f (x)– kojim se propisuju pravila pridruživanja
elementima skupa Df – elemenata kodomena Rf . Funkcija
r
2
3 3x + 2
f (x) =
(1)
7x
je primjer gdje je f (x) eksplicitno dato u funkciji od argumenta x. Inaˇce, analitiˇcki
funkcija može biti zadana, osim ovog tzv. eksplicitnog i parametarski. Naime, nekad
se promjenljiva x i promjenljiva y mogu zadati u funkciji nekog realnog parametra t.
Neka je
x = φ(t) ; y = ψ(t), t ∈ A ⊆ R,
(2)
1
gdje su φ i ψ realne funkcije definirane na istome podskupu A ⊆ R. Ako je ϕ : A → B
bijekcija, tj. ako postoji funkcija
t = ϕ−1 (x),
tada je, sistemom (2), parametarski definirana funkcija
y = ψ ϕ−1 (x) .
Relacijom Φ(x, y) = 0, cˇ esto, može biti zadata funkcija
y = f (x),
ili funkcija x = g(y). Naprimjer, izrazom 7xy 3 − 3x2 − 2 = 0 je takode
¯ zadata i
realna funkcija (1). Uzmimo sada primjer kada je parametar ugao t ∈ [0, π], a
x = cos t; y = sin t.
Jasno je da možemo iz posljednjih jednaˇcina eliminirati parametar t (kvadriranjem
jednaˇcina i sabiranjem kvadrata) i dobiti
x2 + y 2 − 1 = 0,
odnosno, rješavanjem ove jednaˇcine po y, izmedu
¯ ostalog imati analitiˇcke izraze
p
p
y = 1 − x2 i y = − 1 − x2 .
ˇ
Cesto
se funkcija zadaje bez ikakve formule.
Takav je primjer funkcije E(x)– "cijeli dio broja x" (ili cjelobrojno x). Nije teško
uoˇciti da za cijelobrojno x vrijedi
√
E(2) = 2, E(3, 5) = 3, E( 13) = 3, E(− π2 ) = −2, ....
y
3
2
1
-3
-2
-1
1
0
2
-1
y = E(x)
-2
-3
Slika 2.1.
2
3
4
x
Osim analitiˇckog, zadavanje funkcije f može biti tabelarno i grafiˇcko.
Tabelarno se funkcija zadaje u prilikama kad je mogu´ce vrijednosti nezavisno promjenljive x i zavisno promjenljive (tj. funkcije) y ispisati u jednoj tabeli, tako da se
može uoˇciti funkcionalna zavisnost y = y(x).
Prisjetimo se ovdje linearne funkcije y = ax + b. Ona se, uz napomenu da se radi
o linearnoj funkciji, može tabelarno predstaviti sa samo dva para vrijednosti (xi , yi ).
x
y
x0
ax0 + b
x1
ax1 + b
Definicija 2.
Grafik funkcije y = f (x) je skup
Gf = {(x, y) ∈ R2 |x ∈ Df ∧ y = f (x)}.
Svaki podskup u R2 = R × R, ne može biti grafik funkcije. Da bi neki skup A ⊂ R2 ,
bio grafik jedne funkcije, potrebno je i dovoljno, da svaka prava paralelna sa y- osom,
sijeˇce skup A najviše u jednoj taˇcki.
y
y 2= x
0
1
x
x
Naime, u definiciji funkcije f iz skupa X u skup Y , zahtjeva se da svakome x ∈ X
pridružimo jedan i samo jedan element y ∈ Y . Drugim rijeˇcima, svaka funkcija je po
konvenciji jednoznaˇcno preslikavanje, tj.,
f (x1 ) 6= f (x2 ) ⇒ x1 6= x2 .
(3)
U nizu sluˇcajeva može se odrediti grafik funkcije y = F (x), transformacijom ve´c
poznatog grafika druge funkcije y = f (x). Neke od jednostavnijih primjera takvih
transformacija dajemo u sljede´coj tabeli.
3
Funkcija
y = F (x)
y = f (x) + α
y = f (x + α)
y = f (−x)
y = −f (x)
y = αf (x)
y = f (αx)
Transformacija grafika funkcije
y = f (x)
Pomak (shift) duž Oy ose za α
Pomak duž apscisne ose za α
udesno ako je α < 0 , ulijevo ako je α > 0
Simetrija u odnosu na osu ordinata
Simetrija u odnosu na apscisnu osu
Homotetija taˇcaka f (x)na ordinati
Homotetija taˇcaka x na apscisi
Za svaku taˇcku (x, y) ∈ R × R, za koju je (x, y) 6= (0, 0), vrijedi
!2
!2
y
x
p
+ p
= 1.
x2 + y 2
x2 + y 2
Može se zakljuˇciti da postoji jednoznaˇcno odreden
¯ realan broj θ ∈ (−π, π] (ili pak,
θ ∈ [0, 2π)), takav da je
x
y
sin θ = p
, cos θ = p
.
2
2
2
x +y
x + y2
p
Broj θ nazivamo polarni ugao taˇcke (x, y), a nenegativni broj ρ = x2 + y 2 zovemo
polarni radius taˇcke (x, y). Brojevi ρ i θ su polarne koordinate taˇcke (x, y), koju oni
jasno jednoznaˇcno odreduju.
Dakle,
¯
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ;
(4)
p
y
ρ = x2 + y 2 , = tgθ.
(5)
x
Prirodno je da se pomo´cu polarnih koordinata predstavljaju i grafici funkcija u ravni.
Ako je zadata veza ρ = f (θ), gdje je
f : (α, β) ⊂ (−π, π] → R+ ∪ {0} ,
tada skup taˇcaka u ravni cˇ ije su polarne koordinate
(θ, ρ) = (θ, f (θ))
može predstavljati grafik neke realne funkcije ρ = f (θ).
Kažemo, u tome sluˇcaju, da je funkcija f zadata u polarnim koordinatama ili
zadata polarno.
1.1.1 Neke klase realnih funkcija
Sve osobine koje posjeduju funkcije mogli bi podijeliti na lokalne i globalne, pa prema
tim svojstvima se i izdvajaju klase realnih funkcija. Preciznije, re´ci c´ emo da je neko
4
svojstvo globalno za funkciju f : Df → R ako ono vrijedi (po definiciji) na cˇ itavome
skupu A ⊆ Df , nasuprot lokalnog svojstva koje vrijedi ( takode,
¯ po definiciji) samo u
okolini taˇcke skupa A ⊆ Df .
Za neki skup D kažemo da je simetriˇcan skup, ako vrijedi
x∈D
⇒ −x ∈ D.
Oˇcigledno da se ovdje radi o simetriji skupa D u odnosu na taˇcku 0. Definicija 3.
Funkcija f : Df → R, definirana na simetriˇcnom skupu Df ⊆ R, je parna na skupu
Df , ako vrijedi
(∀x ∈ Df )f (x) = f (−x);
a neparna na Df ako je
(∀x ∈ Df )f (−x) = −f (x).
y
y
Gf
Gf
1
f(x0 )
-x0
f(-x0 )
1
-x0 -1
0
1 x0
x
-1
f(x0 )
f(-x0 )
-1
x
1 x0
Slika 2.4, a
Slika 2.4, b
Primjer 1. Polinom parnih stepena
p(x) = a0 + a1 x2 + a2 x4 + · · · + an x2n ,
je primjer parne funkcije koja je definirana na simetriˇcnom skupu Dp = R.
Primjer 2. f (x) = sin x, koja je definirana na R , primjer je neparne funkcije.
Ve´cina funkcija nema svojstvo parnosti niti neparnosti. Sa druge strane, lako se pokazuje da se svaka funkcija f definirana na simetriˇcnom skupu X ⊆ R, može predstaviti
u obliku sume
f (x) = h(x) + s(x)
jedne parne i jedne neparne funkcije. To se postiže sabiranjem funkcija h i s, koje su
zadate pomo´cu
h(x) = 21 (f (x) + f (−x)), s(x) = 12 (f (x) − f (−x)),
5
od kojih je oˇcigledno prva parna, a druga neparna funkcija.
Definicija 4. Funkcija
f : Df → R je ograniˇcena sa donje strane na skupu X ⊆ Df , ako postoji m ∈ R,
tako da je za svako x ∈ X, f (x) ≥ m. Simboliˇcki
f : X → R je ograniˇcena na Xsa donje strane ako
(∃m ∈ R)(∀x ∈ X)(f (x) ≥ m)
Funkcija f : X → R je ograniˇcena sa gornje strane na skupu X ⊆ Df ako postoji
M ∈ R, tako da je za svako x ∈ X, f (x) ≤ M . Drugim rijeˇcima, funkcija f : Df →
R je ograniˇcena na X sa gornje strane ako
(∃M ∈ R)(∀x ∈ X)(f (x) ≤ M ).
Definicija 5. Za funkciju f : Df → R, kažemo da je perodiˇcna, ako postoji broj
ω(perioda) takav da vrijedi
(∀x ∈ Df )(x + ω ∈ Df )(f (x + ω) = f (x)).
(6)
Klasu tih funkcija (ako je Df = (a, b)) oznaˇci´cemo sa P(a,b) . Inaˇce periodiˇcnost je
prisutna i u prirodi u mnogim njenim pojavama; primjeri su: godišnja doba, no´c-dan,
plima-oseka, mjeseˇceva svjetlost i sl. Stav 1. Ako je ω perioda funkcije f , tj., ako je
f (x + ω) = f (x), za svako x ∈ Df , tada je kω, (k ∈ Z, x ∈ Df ⇒ x + kω ∈ Df )
perioda funkcije f.
Dakle vrijedi f (x + kω) = f (x), za svaki cijeli broj k, što smo i trebali dokazati.
Najmanji pozitivan broj T za koji vrijedi (6) naziva se osnovna perioda funkcije.
Da ima smisla što je, pored periode, definirana i osnovna perioda funkcije, kao
najmanji pozitivan broj T pokazuju funkcije koje mogu imati svojstvo periodiˇcnosti, a
da nemaju osnovnu periodu. Primjer funkcije
1, x ∈ Q
ϕ(x) =
0, x ∈ J,
gdje su Q i J skupovi racionalnih, odnosno iracionalnih brojeva, to najbolje pokazuje.
Primjer. f (x) = sin x ima osnovnu periodu T = 2π.
Definicija 1.1. Realna funkcija f : D → R naziva se:
rastu´com na razmaku A ⊆ D, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ));
strogo rastu´com na razmaku A, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ));
opadaju´com na razmaku A ⊆ D, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ));
6
strogo opadaju´com na razmaku A, ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )).
Za svaku od ovih funkcija f re´ci c´ emo da je monotona funkcija na razmaku definiranosti ako je A = Df ; pišemo f ∈ MA .
Dakako, osobina monotonosti je globalno svojstvo funkcije.
√
3
Primjer. Funkcija f (x) = x2 nije monotona na D = [−1, +1].
Definicija 1.2. Realna funkcija f : Df → R je ograniˇcena na skupu A ⊆ Df , ako je
{f (x) |x ∈ A } ograniˇcen skup. Drugim rijeˇcima, ako
(∃M ∈ R+ )(∀x ∈ A)(|f (x)| ≤ M ).
(∗)
Ako je funkcija f ograniˇcena na skupu A, pišemo f ∈ BA . Dakle, ograniˇcenost funkcije na Df je globalno svojstvo te funkcije.
1.1.2 Osobine funkcija
1. Ako funkcija f : A 7→ B ima osobinu da su svi elementi skupa B slike elemenata skupa A, onda kažemo da funkcija f ima osobinu sirjektivnosti ili da je
preslikavanje "na".
2. Ako funkcija f : A 7→ B ima osobinu da razliˇcitim originalima odgovaraju
razliˇcite slike, (tj. x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)), kažemo da funkcija f ima osobinu
injektivnosti, ili da je f preslikavanje jedan-na-jedan.
Definicija 1.3. Ako funkcija f : A 7→ B jeste i injekcija i sirjekcija, onda kažemo da
je funkcija f bijekcija.
Graf funkcije f odredujemo
tako da
¯
1. Odredimo Df ;
2. Za svako x ∈ Df odredimo y = f (x);
3. u koordinatni sistem xOy unesemo sve taˇcke (x, f (y)).
1.1.3 Elementarne funkcije
Elementarne funkcije
Primjer. Linearna funkcija y = kx + l.
Primjer. Kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c.
7
Primjer. Racionalna funkcija y = x1 .
√
Primjer. Korjen funkcije y = x.
Primjer. Eksponencijalna funkcija y = ax
Primjer. Logaritamske funkcije y = loga x.
a > 0 i a 6= 1.
Definiciono podruˇcje
Primjer. Odrediti definiciono podruˇcje funkcije
r
x−1
y=
+ log(1 − x).
x+1
Kompozicija funkcija
Neka su date dvije funkcije f : A 7→ B i g : B 7→ C. Onda funkciju h : A 7→ C
definisanu sa
h(x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x)
nazivamo kompozicijom funkcija f i g.
Primjer. Neka su date funkcije f : R 7→ R, f (x) =
g(x) = 3x + 6. Odrediti g ◦ f i f ◦ g.
1
3 (2x
− 1) i g : R 7→ R,
1.1.4 Inverzna funkcija
Inverzna funkcija
Neka je data funkcija f : A 7→ B koaj je bijekcija. Onda postoji njena inverzna
funkcija koja se oznaˇcava sa f −1 i f −1 : B 7→ A, za koju vrijedi da
f (f −1 (x)) = f −1 (f (x)) = x.
Kako odrediti inverznu funkciju? Kod polinomskih i racionalnih funkcija je to
dosta jednostavno - slika i original samo zamjene mjesta!
Primjer.
f : R 7→ R,
f (x) = y = 2x − 4.
Primjer. Na´ci inverzne funkcije:
1. y =
2x−1
x+2 ;
2. Qd (P ) = −a + bP ;
3. y = ax ;
4. y = x2 .
8
1.2 Primjena funkcija u ekonomiji
Ve´c smo vidjeli neke primjere funkcija u ekonomiji :
Qd (P ) = a − bP,
Qs (P ) = −c + dP
Primjer. Odnos cijena i ponude neke robe dat je tabelom: Odrediti i gradiˇcki prikazati
p
s
1
10
2
8
3
4
funkciju ponude oblika
s(p) = ap2 + bp + c,
(a, b, c ∈ R).
Primjer. Zadana je cijena p kao funkcija ponude s. Izraziti ponudu s kao funkciju
cijene p ako je
1p 2
p(s) =
s + 2s + 5 + 2
2
1.2.1 Funkcija troškova
Funkcija troškova
Ekonometrijski model koji se koristi kako bi se analizirali troškovi je model u kojem glavna promjenljiva predstavlja ukupne troškove, a endrogene promjenljive predstavljaju faktore koji utiˇcu na njihov nivo.
Kvantitet proizvodnje je naravno najvažniji faktor koji utiˇce na ukupni nivo troška!
Funkcija može imati razliˇcite forme, može biti linearna ili polinomska - ali je u
najve´cem broju praktiˇcnih sluˇcajeva polinomska funkcija tre´ceg reda! Ukupni troškovi
se sastoje od dva sastavna dijela, naime
1. fiksni troškovi - koji ne zavise od procesa proizvodnje (amortizacija, plate itd.)
2. varijabilni troškovi - zavise o koliˇcini proizvodnje i mijenjaju se s porastom ili
padom proizvodnje!
Funkciju ukupnih troškova oznaˇcavamo sa T (Q), gdje Q predstavlja potražnju, tj.
ponudu.
T (Q) = F T + V T (Q).
Budu´ci da vidimo da su fiksni troškovi fiksni i ne zavise od proizvodnje, lako se vidi
da je:
Q = 0 ⇒ V T (0) = 0 ⇒ T (0) = F T !
Primjer. T (Q) = 3 + 5Q
9
1.2.2 Prosjeˇcni trošak
Prosjeˇcni trošak
Prosjeˇcni (ili unitarni) trošak treba da predstavlja trošak proizvodnje jednog proizvoda i oznaˇcava se sa T (Q).
Stoga je oˇcito da c´ e prosjeˇcni trošak biti ukupni trošak podijeljen sa brojem proizvedenih artikala, tj.
T (Q)
T (Q) =
.
Q
Primjer. Ako je ukupni trošak neke proizvodnje 10000KM, a proizvede se 385 artikala, koliki je prosjeˇcni trošak?
Primjer. Zadana je funkcija troškova nekog preduze´ca T (Q) = 2Q + 3, gdje je Q
koliˇcina proizvodnje. Izvedite graf funkcije prosjeˇcnih troškova. Za koje koliˇcine proizvodnje Q funkcija troškova i prosjeˇcnog troška imaju ekonomskog smisla?
1.2.3 Funkcije prihoda i dobiti
Funkcija prihoda
Koliki je prihod neke kompanije? Pa naravno da c´ e (optimalno) biti jednak koliˇcini
proizvodnje/potražnje pomnožene sa cijenom proizvoda!
P = Q · p.
Postavlja se pitanje, cˇ ega je dobit funkcija? Pa oˇcito, cijene!
P (p) = Q(p) · p.
Medutim,
kako je uobiˇcajeno u analizi troškova, funkcije trebaju ovisiti o proizvodnji,
¯
ne o cijeni! Stoga, prvo nademo
inverznu fukciju p(Q) iz Q(p)! Stoga
¯
P (Q) = Q · p(Q).
Funkcija dobiti
Kako izraziti ono najvažnije, tj. funkciju dobiti?
Oˇcito - dobit je prihod minus trošak!
D(Q) = P (Q) − T (Q).
Primjetite - za razliku od troškova i prihoda, dobit može biti negativna!
10
Primjer. Date su funkcije potražnje Q(p) = −p + 20 i prosjeˇcnih troškova T (Q) =
Q − 8 + 80
Q . Odrediti:
• funkciju dobiti D(Q) i grafik funkcije dobiti;
• potražnju za koju je dobit jednaka nuli;
• interval renatbilne proizvodnje;
• maksimalnu mogu´cu dobit i nivo potražnje na kojoj se ostvaruje.
11
© Copyright 2024 Paperzz
