ZADACI IZ ALGEBRE 2 - grupa 6 1. Ispitati svodljivos slijede´cih polinoma nad poljem racionalnih brojeva Q: a) x4 − 10x2 + 1; b) x3 − x2 − 4; c) 4x3 − 2x2 + x + 1; d) x50 + 14x − 56 2. Ispitati svodljivost slijede´cih polinoma nad poljem Z5 : a) 1 · x3 + 1 · x + 1; b) 2 · x3 + 3 · x2 + 2 · x + 3 3. Dokazati da ako je polinom p(x) nesvodljiv nad poljem F inda je i polinom p(x + a) nesvodljiva nad F za svako a ∈ F . 4. Dat je polinom p(x) = x5 − 209x + 56 nad poljem racionalnih brojeva Q. Ako se zna da ovaj polinom ima dvije realne nule λ i λ1 , faktorizovati ga nad poljem Q. 5. Ostaci pri dijeljenju polinoma p(x) ∈ Q[x] sa x − 1,x − 2,x − 3 su 3,7 i 13 redom. Na´ci ostatak pri dijeljenju p(x) sa (x − 1)(x − 2)(x − 3). 6. Za polinome f (x) = 2 · x3 + 2 · x2 i g(x) = 1 · x4 + 2 · x3 + 1 · x iz Z3 [x] na´ci najve´ci zajedniˇcki djelitelj d(x) i izraziti ga u obliku d(x) = s(x)f (x) + t(x)g(x) 7. Za polinome f (x) = 1 · x4 + 1 · x3 + 1 · x + 2 i g(x) = 1 · x4 + 2 iz Z3 [x] na´ci najve´ci zajedniˇcki djelitelj d(x) i izraziti ga u obliku d(x) = s(x)f (x) + t(x)g(x) 8. Neka je I = hp(x)i glavni ideal generisan polinomom p(x) u prstenu F [x], dgje je F polje. Dokazati da se polinomi f (x) i g(x) nalaze u istoj klasi faktorskog prstena F [x]/I ako i samo ako daju isti ostatak pri dijeljenju sa p(x). 1
© Copyright 2024 Paperzz
