ΕΔΩ - pitetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
 Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή :



 
   i   j όπου i , j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το σημείο Ο του


συστήματος συντεταγμένων Οxy. Τα διανύσματα  i ,  j λέγονται συνιστώσες του


διανύσματος  ενώ οι αριθμοί λ,μ λέγονται συντεταγμένες του  στο σύστημα

Οxy. Γράφουμε :   ( ,  ) .


 Έστω δυο διανύσματα   ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Τα δυο διανύσματα είναι ισα,


δηλαδή    αν ισχύει x1  x2 και y1  y 2 .


 Αν   ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) τότε :


o     ( x1  x2 , y1  y 2 )

o
   (x1 , y1 )
o
      (x1  x2 , y1  y 2 )






o   0  x1  0 και y1  0
o   0  x1  0 ή y1  0

Έστω δυο σημεία ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του
x  x2
y  y2
ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι x  1
, y  1
. Αν τα σημεία Α,Β είναι
2
2
συμμετρικά ως προς το σημείο Μ τότε το Μ είναι μέσον του ΑΒ.

Έστω το διάνυσμα  με άκρα τα σημεία ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Τότε οι



συντεταγμένες του διανύσματος  είναι   ( x2  x1 , y 2  y1 ) .



Έστω το διάνυσμα   ( x1 , y1 ) . Το μετρό του διανύσματος είναι :   x12  y12 .

Έστω δυο σημεία ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Όπως είδαμε   ( x2  x1 , y 2  y1 ) .



Συνεπώς το μετρό του διανύσματος  θα είναι  
όμως
είναι
στην
   x2  x1 
2
ουσία
και
η
απόσταση
x2  x1 2   y 2  y1 2 . Αυτή
των
σημείων
Α
και
Β
  y2  y1  .
2
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4


Έστω δυο διανύσματα   ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Ορίζουσα των διανυσμάτων


    x1 y1
 x1 y 2  y1 x2 . Αν τα διανύσματα  και 
ονομάζουμε τον αριθμό : det   ,   

 x2 y 2
 
 
είναι παράλληλα, δηλαδή  //   det   ,    0 . (2η συνθήκη παραλληλίας)




Έστω διάνυσμα   ( x1 , y1 ) . Με αρχή την αρχή των αξόνων Ο παίρνουμε διάνυσμα



   . Γωνία του διανύσματος  με τον άξονα x’x ορίζουμε τη γωνία που
διαγράφει ο ημιάξονας x’x μέχρι να συμπέσει με την ημιευεια ΟΑ. Αν η γωνία αυτή
είναι η ˆ τότε ισχύει : 0  ˆ  2 .


Έστω διάνυσμα   ( x1 , y1 ) . Αν x1  0 τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του
y
διανύσματος ορίζεται ο αριθμός   1   όπου ω η γωνία που σχηματίζει το
x1
διάνυσμα με τον άξονα x΄x.
ΘΥΜΗΣΟΥ ! ! !
1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
 0  0
 30 
2Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
3

3
ή 

3
6
3
 45  1
ή 
 60  3 ή 

4

3
 90  . ή 
1


2
3
3
5
3
ή 

6
3
3
3
ή 
 1
 135  1
4
2
 3
 120   3 ή 
3
 150  
 ..
3Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
7
3
3
ή 

6
3
3
5
1
 225  1 ή 
4
4
 3
 240  3 ή 
3
 210 

Αν x1  0 τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης και το διάνυσμα είναι

κατακόρυφο (παράλληλο στον y’y) δηλ.  // y' y  x1  0 .
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
Αν y1  0 τότε και λ=0 οπότε το διάνυσμα είναι οριζόντιο (παράλληλο στον x’x) δηλ.

 // x' x  y1  0 .



Αν δυο διανύσματα  και  έχουν συντελεστές διεύθυνσης 1 , 2 αντίστοιχα τότε


ισχύει  //   1  2 . (3η συνθήκη παραλληλίας)





Τρία σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά  //   det  ,    0


ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :


1. Αν   (2,1) και   (3,2) τότε να υπολογίσετε :


 
 

i. 2 ii.    iii.    iv. 2  3
Λύση :

i. 2  2(2,1)  (4,2)
 
ii.     (2,1)  (3,2)  (5,1)
 
iii.     (2,1)  (3,2)  (1,3)


iv. 2  3  2(2,1)  3(3,2)  (4,2)  (9,6)  (5,8)
2. Να βρεθεί το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ αν Α(1,6) και Β(-3,2).
x  x2 1  3
y  y2 6  2

 1 , y   1

 4 άρα Μ(-1,4)
Λύση : x  1
2
2
2
2
3. Αν είναι Α(3,-5) , Β(-2,4) να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος ΑΒ.
Λύση :

  ( x2  x1 , y 2  y1 )  (2  3,4  5)  (5,9)

4. Δίνεται το διάνυσμα   (4,3) και το σημείο Α(2,-4). Να βρεθούν οι συντεταγμένες
του σημείου Β.

Λύση : Έστω   ( x2 , y 2 ) τότε :   (4,3)  ( x2  x1 , y 2  y1 )  (4,3) 
x  2  4
x  6
( x2  2, y 2  4)  (4,3)   2
 2
άρα   (6,7)
 y 2  4  3
 y 2  7

5. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος   (3,4)

Λύση :   (3) 2  4 2  9  16  25  5
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
-
6. Αν (4,2) και (2,2) , να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Β.
Λύση :   
x2  x1 2   y2  y1 2
 (2  4) 2  (2  2) 2  36  6


7. Αν   (5, 5 ) και   ( 5 ,1) , να εξετάσετε αν είναι παράλληλα.
 
5
 
5
Λύση : Έχω : det( ,  ) 
  5  1  5   5  5  5  0 άρα  // 
 5 1


8. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης καθώς και η γωνία που σχηματίζουν με τον
άξονα x΄x, τα ακόλουθα διανύσματα :



i.   (3, 3 ) ii.   ( 2 , 2 ) iii.   ( 2 , 6 )
Λύση :
y

3

3
i.   (3, 3 ) , a  1 
άρα  
   ή   30
3
6
x1
3

y
2
3
ii.   ( 2 , 2 ) ,    1 
ή   135
 1 άρα   1   
4
x1  2

iii.   ( 2 , 6 )
 
y1  6
6


 3
x1
2
2
άρα    3   
2
ή   120
3
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΑΞΟΝΕΣ –
ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΤΟ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:

9. Έστω Οxy σύστημα συντεταγμένων και Α(-1,2) ,   (3,1)
i. Να βρείτε τις αποστάσεις του σημείου Α από τους άξονες.
ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος θέσης του Α ως προς το Ο καθώς και
τις συντεταγμένες του Β.



iii. Να βρείτε το διάνυσμα   3  2  .
10. Ποια είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει :
i. x  3 ii. x  3 iii. y  3 iv. x  3 v. x  3 v. x  y
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ


Έστω δυο διανύσματα   ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Τα δυο διανύσματα είναι ισα, δηλαδή


   αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ισες δηλ. ισχύει x1  x2 και y1  y 2 .
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
11. (Άσκηση 4 σελ. 39 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)


Δίνονται τα διανύσματα   2  3  2,22  3  2 και   2  5  6,32  7  2 .
 
Να βρείτε το    ώστε να είναι    .
Λύση :
2  3  2  2  5  6
2  4
  2
  2






    
 
 
 

22  3  2  32  7  2
52  10  0
5 (  2)  0
  0, ή,   2






  2.


0
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 :

,

  0,

 // x' x ,

 // y' y

Αν   ( x1 , y1 ) τότε ισχύουν :




o   0  x1  0 και y1  0
o   0  x1  0 ή y1  0

o  // x' x  y1  0

o  // y' y  x1  0
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
12. (Άσκηση 3 σελ. 39 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)



Δίνεται το διάνυσμα   2  4, 2  3  2 ,    . Για ποια τιμή του λ είναι :





ii.   0 και  // x' x
i.   0
Λύση :
2  4  0
  2, ή,   2




i.   0  
 
2
2  3  2  0
  1, ή,   2


 
 
ii. Αφού   0    2 , τότε   0    2

Και  // x' x  y1  0  2  3  2  0    1, ή  2



Άρα τελικά   0 και  // x' x αν   1 .
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
5
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
-
:
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ
ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ
 
Γραμμικός συνδυασμός δυο διανυσμάτων  ,  ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής



v     , όπου  ,    .
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :

13. Να γραφεί το διάνυσμα v  (6,5) σαν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων :


  (1,2) και   (2,3) .
Λύση :

 
Για να γράψουμε το διάνυσμα v ως γραμμικό συνδυασμό των  ,  , αρκεί να βρούμε





δυο αριθμούς  ,    τέτοιοι ώστε : v     . Όμως v  (6,5) ,   (1,2) και




  (2,3) . Άρα v      (6,5)   (1,2)   (2,3)  (6,5)  ( ,2 )  (2 ,3 ) 
  2  6  (2)
 2  4  12
άρα με πρόσθεση κατά
(6,5)  (  2 ,2  3 )  

2  3  5
2  3  5
μέλη έχω :  7  7    1 και αντικαθιστώντας στην 1η   2  1  6    4
 

Άρα v  4   .
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
Έστω δυο σημεία ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του
x  x2
y  y2
ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι x  1
, y  1
. Αν τα σημεία Α,Β είναι
2
2
συμμετρικά ως προς το σημείο Μ τότε το Μ είναι μέσον του ΑΒ.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :
14. (Εφαρμογή 1 σελ. 35 σχολικού βιβλίου)
Αν (2,1) και (1,4) είναι δυο κορυφές του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και  (2,3) το
κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ.
Λύση :
Έστω ( x , y ) και ( x , y  ) , επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου
διχοτομούνται τότε το Κ θα είναι μέσο και του ΑΓ και του ΒΔ, έτσι έχουμε :
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
x   x
 2  x
2
 2  x  4  x  6
2
2
y  y
1  y
y  
 3 
 1  y  6  y  7 Άρα Γ(6,-7)
2
2
x  x
1  x
2
 1  x  4  x  3
Κ μέσο ΒΔ άρα : x  
2
2
y  y
4  y
y  
 3 
 4  y   6  y   10 Άρα Δ(3,-10)
2
2
Κ μέσο ΑΓ άρα : x 
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 :
ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ

Έστω το διάνυσμα  με άκρα τα σημεία ( x , y  ) και   ( x , y ) . Τότε οι


συντεταγμένες του διανύσματος  είναι   ( x  x  , y  y  ) .
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :

15. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(2,-5), Β(-3,5) και   (5,4) . Να βρείτε τις συντεταγμένες

i.
ii.
Του διανύσματος 
Του σημείου Γ
Λύση :

i.
Έχουμε   ( x  x , y  y  )   3  2,5  5   5,10
ii.
Έστω ( x , y ) . Έχουμε   ( x  x , y  y  )  (5,4)  ( x  2, y  5) 

 x  2  5
 x  7


 y   5  4
 y   9
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
-
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ – ΑΠΟΣΤΑΣΗ 2
ΣΗΜΕΙΩΝ



Έστω το διάνυσμα   ( x , y ) . Το μετρό του διανύσματος είναι :   x2  y2 .

Έστω δυο σημεία ( x , y  ) και   ( x , y ) . Όπως είδαμε   ( x2  x1 , y 2  y1 )

. Συνεπώς το μετρό του διανύσματος

 

  x  x  , y  y  
θα είναι
x  x 2   y  y  2 . Αυτή όμως είναι στην ουσία και η απόσταση των
σημείων Α και Β   
x  x 2   y  y  2 .
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :


16. Δίνονται τα διανύσματα   (4,3) και   (x,7) με x   . Να βρείτε :

i.
Το μέτρο του διανύσματος 

 
ii.
Τον αριθμό x, ώστε το διάνυσμα   2   να έχει μέτρο ίσο με 2 .
Λύση :


i.
  (4,3) , έχω   x2  y2  4 2  (3) 2  16  9  25  5

 



ii.
  2      2(4,3)  ( x,7)    (8,6)  ( x,7)    ( x  8,1)

Άρα   2  ( x  8) 2  11  2  ( x  8) 2  1  2  x 2  16 x  64  1  0 
x 2  16 x  63  0
x  7
 16  4  16  2
x1, 2 


x  9
2
2
έχω
  16 2  4  1  63  256  252  4
17. Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β(-1,6).
i.
Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από το Β.
ii.
Να βρείτε σημείο Γ που ανήκει στον άξονα x΄x, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι
ισοσκελές με ()  ()
Λύση :
i.
   x  x 2   y  y 2
ii.
Το   xx  (x,0) . Επίσης ()  ()  (1  x) 2  (2  0) 2  (1  x) 2  (6  0) 2 
 (1  1) 2  (6  2) 2  (2) 2  4 2  20  4  5  2 5
(1  x) 2  4  [(1  x)]2  36  (1  x) 2  4  (1  x) 2  36 
1  2x  x 2  4  1  2x  x 2  36  4x  32  x  8 άρα (8,0)
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
9
:
ΟΡΙΖΟΥΣΑ
ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ




ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
–
(1η συνθήκη παραλληλίας)

 //      

Έστω δυο διανύσματα   ( x1 , y1 ) και   ( x2 , y 2 ) . Ορίζουσα των διανυσμάτων



    x1 y1
 x1 y 2  y1 x2 . Αν τα διανύσματα  και
ονομάζουμε τον αριθμό : det   ,   

 x2 y 2
 είναι παράλληλα, δηλαδή  //   det   ,    0 . (2η συνθήκη παραλληλίας)



 




   
Τρία σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά  //   det  ,    0



ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :


18. Να βρεθεί για ποιες τιμές του x   τα διανύσματα   (x,4) και   (9, x) είναι
παράλληλα.
 
x 4
 
 0  x 2  36  0  x 2  36  x  6
Λύση :  //   det   ,    0 
9 x


19. (Άσκηση 5 σελ. 39 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)


Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα   (x,1) και   (4, x) είναι
ομόρροπα.


 
x 1
 
 0  x 2  4  0  x 2  4  x  2
Λύση :      //   det   ,    0 
4
x










Για x  2 τότε   (2,1) ,   (4,2)  2(2,1)  2 , δηλ   2     

Για x  2 τότε   (2,1) ,   (4,2)  2(2,1)  2 , δηλ   2      .
Άρα x  2 .







20. (Εφαρμογή σελ. 38 σχολικό βιβλίο)
Να βρεθούν οι τιμές του    για τις οποίες τα σημεία (1,0) ,    2 ,3 και  5 ,9
είναι συνευθειακα.


   
Λύση : Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά  //   det  ,    0





 



Έχω     2  1,3  0    2  1,3 και    5  1,9  0   5  1,9


  2 1
   
Τότε //   det  ,    0 
 5  1


3
9
0
9( 2  1)  3(5  1)  0  9 2  9  15  3  0  9 2  15  6  0 
2
3 2  5  2  0    1 ή  
3
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
21. (Άσκηση 6 σελ. 39 σχολικό βιβλίο Α΄ ΟΜΑΔΑΣ)


Αν u  (3,4) , ποιο διάνυσμα είναι συγγραμμικο με το u και έχει διπλάσιο μέτρο από το

u;

 


Λύση : Έστω v το διάνυσμα που ψάχνω, τότε v // u  v  u (1)


 (1) 


 u  91650
Επίσης v  2 u  u  2 u    u  2 u   2    2




 Για   2 τότε (1) v  2u  v  2(3,4)  v  (6,8)




 Για   2 τότε (1) v  2u  v  2(3,4)  v  (6,8)
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
10
:
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ – ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ x΄x


Έστω διάνυσμα   ( x1 , y1 ) . Με αρχή την αρχή των αξόνων Ο παίρνουμε



διάνυσμα    . Γωνία του διανύσματος  με τον άξονα x’x ορίζουμε τη
γωνία που διαγράφει ο ημιάξονας x’x μέχρι να συμπέσει με την ημιευεια ΟΑ. Αν η
γωνία αυτή είναι η ˆ τότε ισχύει : 0  ˆ  2 .


Έστω διάνυσμα   ( x1 , y1 ) . Αν x1  0 τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του
y
διανύσματος ορίζεται ο αριθμός   1   όπου ω η γωνία που σχηματίζει το
x1
διάνυσμα με τον άξονα x΄x.

Αν x1  0 τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης και το διάνυσμα είναι

κατακόρυφο (παράλληλο στον y’y) δηλ.  // y' y  x1  0 .

Αν y1  0 τότε και λ=0 οπότε το διάνυσμα είναι οριζόντιο (παράλληλο στον x’x)

δηλ.  // x' x  y1  0 .



Αν δυο διανύσματα  και  έχουν συντελεστές διεύθυνσης 1 , 2 αντίστοιχα


τότε ισχύει  //   1  2 . (3η συνθήκη παραλληλίας)
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :


22. Δίνονται τα διανύσματα     2,  2  2 , με    και    1,4 .

i.
ii.
iii.


Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος 
Αν   3 να βρείτε τις τιμές του    .



Για   1, να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα   3  2 με τον
άξονα x΄x.
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 10
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Λύση :
i.
ii.
iii.
 
-
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4
y 4

4
x 1
 2  2
Έχω   3 
 3   2  2  3  6   2  5  6  0    6 ή   1.
 2


Για   1,    1  2, (1) 2  2(1)    (1,3)






  3  2    3(1,3)  2(1,4)    (3,9)  (2,8)    (1,1)

Για να βρω τη γωνία που σχηματίζει το  με τον άξονα x΄x, αρκεί να βρω τον


y 1
συντελεστή διεύθυνσης του  . Δηλ     1 άρα   1    45
x 1
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
www.pitetragono.gr
Σελίδα 11

Download Report