Interazione trave

Ubi sunt
leones?
Teoria della trave o delle piastre sottili
d 4w
E f J 4 = q ( x) − p ( x)
dx
D∇ 4 w = q ( x, y ) − p( x, y )
Ed un modello per descrivere il comportamento del
terreno
w( x) = f {p ( x)}
Una volta che il modello per descrivere il
terreno è fissato :
w( x) = f {p ( x)}
w( x, y ) = f {p ( x, y )}
Opzioni:
• equazione algebrica (ad esempio: p = kw )
• equazione integrale, ad esempio:
[
]
1
w = ∫ σ zx − ν (σ x + σ y ) dz
E
0
H
con
σ i = f {p(x )}
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden (1962)
Soluzioni analitiche in forma chiusa del sistema basato
sulle due equazioni (differenziale della trave ed integrale
per il terreno) sono difficili, se non impossibili, da ottenere
anche per il semplice caso di semispazio elastico con
distribuzioni di carico sulla superficie limite piuttosto
semplici
Metodi numerici sono molto più semplici da applicare……
soluzioni approssimate ma semplici da ottenere anche
per casi piuttosto complicati….
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden (1962)
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden (1962)
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden (1962)
Equazioni di equilibrio in un piano (due… tre)
N
lB ∑ pi =F
i =1
Equilibrio alla
traslazione verticale
N
lB ∑ pi xi =Fx
Equilibrio alla rotazione
i =1
Equilibrio alla traslazione
orizzontale: inutile in
assenza di azioni assiali
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
Spostamenti verticali elastici della trave
vincolata ad un estremo per un carico concentrato
F…..
vj=
Fx j
3
(x − x j )
if x j < x
3
2
Fx
Fx
v' j =
+
( x j − x)
3E f J 2 E f J
if x j > x
'
3E f J
+
Fx j
2
2E f J
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
Spostamenti verticali elastici dovuti alle reazioni
del terreno sulla trave (N valori di pi)
v "i , j =
v "i , j
pi lBx j
3E f J
3
+
pi lBx j
2E f J
2
(x − x j )
pi lBx 3 pi lBx 2
=
+
( x j − x)
3E f J
2E f J
N
v " j = ∑ v "i , j
i =1
if x j < x
if x j > x
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
Spostamenti rigidi soppressi dal vincolo
ausiliario….
v
'''
j
= w0 + φ0 x j
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
Spostamenti totali dei punti di contatto visti
come appartementi alla trave……
vj = v j + v j + v
'
"
'''
j
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
Spostamenti dei
punti di contatto
visti come
appartenenti al
terreno ….
settlement point
Soil reaction lumped in a point
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
Spostamenti
verticali del
terreno (area
rettangolare)
Spostamenti totali
del terreno …..
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
N - (Spostamenti) equazioni di congruenza
vi = wi
2 – Equazioni di equilibrio
N
lB ∑ pi =F
i =1
N
lB ∑ pi xi =Fx
i =1
for i = 1 to N
N+2 equazioni lineari
N+2 incognite
N valori di pi e v0 e Φ0
Interazione trave-terreno
Metodo di Barden
Parametro adimensionale
di cedevolezza relativa
Interazione trave-terreno
Koenig & Sherif (1975)
Questo metodo è molto simile a quello proposto da
Barden con una sola significativa differenza:
introduzione di uno strato di spessore finito
(spessore H)
Interazione trave-terreno
Koenig & Sherif (1975)
Se nel profilo reale di sottosuolo c’è uno strato rigido ad una
profondità :
H < B (piastra quadrata) or H< 2B (striscia indefinita) - H è una
quantità vera
Se ciò non accade.....
H=B (piastra quadrata) or H=2B (striscia indefinita) – H è una quantità
fittizia
Interazione trave-terreno
Koenig & Sherif (1975)
Il metodo di calcolo è basato sull’approssimazione di
Steinbrenner
I risultati del metodo dipendono da
KS =
una quantità adimensionale
KS (rigidezza relativa trave o piastra – terreno)
12 E f J
EBL3
Interazione trave-terreno
Winkler
Barden
Real soil
(intermediate
behaviour)
Interazione trave-terreno
Esempio:
Influenza
della
rigidezza
relativa
Interazione trave-terreno
Esempio:
Influenza
della
distribuzione
del carico
Interazione trave-terreno
I risultati precedenti mostrano che:
a) RIGIDEZZA RELATIVA
b) DISTRIBUZIONE DEI CARICHI
giocano un ruolo determinante nella soluzione dei
problemi di interazione fondazione-terreno quasi
oscurando l’influenza del modello di sottosuolo ( anche il
modello di Winkler se usato in modo intelligente ... può
fornire risultati accettabili.
Se consideriamo che stiamo trascurandola sovrastruttura e
che la distribuzione dei carichi e la rigidezza relativa
possono dipendere significativamente dall’interazione a tre
componenti ...... si arriva rapidamente alla conclusione che
non c’è bisogno di ulteriori miglioramenti sul fronte dei
modelli utilizzati per il sottosuolo ma che forse ... dovremmo
meglio approfondire il ruolo della sovrastruttura.
Interazione trave-terreno
(anche il modello di Winkler se usato in modo intelligente
....... può fornire risultati accettabili)
Non adatto per carichi distribuiti
La migliore stima di k per la calibrazione del
modello può essere ottenuta attraverso calcoli di
cedimenti con metodi appropriati

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