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33 LINEA ELASTICA

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LINEA ELASTICA - esempi
Il metodo della linea elastica consente di calcolare le componenti trasversali di spostamento di travi rettilinee caricate normalmente alla linea d'asse e in un piano principale di
inerzia. Esso consente anche di calcolare le reazioni delle travi iperstatiche come in genere tutti i metodi che permettono di calcolare gli spostamenti.
Il metodo della linea elastica si basa, come è noto, sulla relazione:
M(x)
y’’/x) = ± -------EI
dove y(x) sono le componenti trasversali di spostamento, M(x) è il momento flettente, E I è
la rigidezza flessionale (eventualmente funzione della coordinata corrente x) ed il segno
dipende sia dal sistema di riferimento assunto sia dalle convenzioni di segno del momento
flettente; nell'esempio che segue verrà illustrato come si scelga l'uno o l'altro dei due
segni.
Esempio 1
Per la trave rappresentata in fig. 1 si vuole determinare la linea elastica ed in particolare la
componente trasversale di spostamento della sezione di mezzeria A e la rotazione della
sezione in corrispondenza della cerniera B.
Figura 1
La trave è staticamente determinata: si calcolano le reazioni dei vincoli e si traccia il
diagramma del momento flettente (fig.2).
Figura 2
Linea elastica – esempi pag. 1 / 22 Si assume l'asse x orientato verso sinistra con l'origine in B (così si rende più semplice
l'espressione del momento flettente), l'asse y orientato verso il basso, il momento flettente
è positivo quando tende le fibre inferiori (fig. 3).
Figura 3
Con queste convenzioni l'equazione differenziale della linea elastica risulta:
M(x)
W
y’’(x) = - --------- = - ---------- x
EI
lEI
La scelta fatta del segno meno nell'equazione della linea elastica si spiega osservando
che con le convenzioni di segno adottate un tronco di trave soggetto a momento flettente
positivo si atteggia secondo una linea che ha la concavità volta verso la direzione negativa
dell'asse y e dunque derivata seconda e momento flettente hanno segni opposti.
Integrando si ha:
W
y’(x) = - ----------- x2 + C1 ;
2lEI
W
y(x) = - ------------ x3 + C1 x + C2
6lEI
Le costanti C1 e C2 si determinano imponendo le condizioni al contorno: in corrispondenza
del carrello e della cerniera le componenti trasversali di spostamento sono nulle.
Ciò comporta:
y(0) = 0
,
y(l) = 0.
Per la prima di queste condizioni si ha:
C2 = 0.
Linea elastica – esempi pag. 2 / 22 Per la seconda si ha:
W
- ------------ l3 + C1 l = 0 ,
6lEI
da cui
W
--------------- l = C1 .
6EI
L'andamento qualitativo della linea elastica è riportato in fig. 4.
Figura 4
La componente trasversale di spostamento della sezione di mezzeria A vale:
1
W l2
y( l / 2 ) = ----- -------16 E I
La rotazione della sezione B vale:
W
y’( 0 ) = C1 = -------------- l .
6EI
ed avviene in senso antiorario.
La rotazione della sezione alla quale è applicata la coppia W vale:
W
y’( l ) = - ---------- l .
3EI
ed avviene in senso orario ossia concordemente al verso della coppia applicata.
Linea elastica – esempi pag. 3 / 22 Esempio 2
Si cerca la linea elastica ed il diagramma del momento flettente per la trave a sezione
costante rappresentata in fig. 5. La struttura è staticamente indeterminata: si scrive
l'equazione della linea elastica in funzione della incognita iperstatica; le condizioni imposte
dai vincoli permettono di determinare le costanti di integrazione e la incognita iperstatica
stessa.
Figura 5
Si sceglie come incognita iperstatica il momento di incastro X (fig. 6); si calcolano le
reazioni vincolari (fig. 7) e si traccia il diagramma del momento flettente (fig. 8);
Figura 6
Figura 7
Linea elastica – esempi pag. 4 / 22 Figura 8
stabilito il sistema di riferimento (coordinata x lungo l’asse della trave crescente verso
destra, componenti trasversali degli spostamenti y positive verso il basso – fig. 6) e le
convenzioni di segno del momento flettente (momento flettente positivo quando tende le
fibre inferiori – fig. 8), si ha:
M(x)
y’’(x) = - --------EI
dove:
M(x) = W ( 1 – x / l ) – x X / l
Integrando una prima volta si ottiene:
EI y'(x) = - W ( x – x2 / 2 l ) + x2 X / 2 l +C1 .
Integrando un seconda volta si ha:
EI y(x) = - W( x2 / 2 – x3 / 6 l ) +x3 X / 6 l + C1 x + C2 .
Le condizioni che devono essere soddisfatte sono tre:
(1) y(0) = 0 per la presenza del carrello che impedisce gli spostamenti trasversali, ma
non le rotazioni della sezione in corrispondenza della quale è applicata la coppia W;
(2) (3) y ( l ) = 0 ed y' ( l ) = 0 per la presenza dell'incastro che impedisce sia gli spostamenti trasversali sia le rotazioni della sezione.
Si riconosce che le 3 condizioni al contorno permettono la determinazione delle 2 costanti
di integrazione e dell'incognita iperstatica.
Linea elastica – esempi pag. 5 / 22 Si ha:
 C2 = 0 ,

 - W l2 / 3 + X l2 / 6 + C1 l = 0 ,

 - W l / 2 + X l / 2 + C1 = 0.
Risolvendo il sistema si ottiene:
C1 = W l / 4
X=W/2
Il diagramma del momento effettivo è rappresentato in fig. 9 ed in fig. 10 è riportato
l'andamento qualitativo della linea elastica.
Figura 9
Figura 10
Commento
Si osserva che la soluzione del problema risulta più semplice se si pone il sistema di
riferimento con l'origine in corrispondenza dell'incastro (fig. 11): in tal caso risultano nulle
le costanti di integrazione.
Linea elastica – esempi pag. 6 / 22 Figura 11
Con il sistema di assi indicato in fig. 11 si ha:
EI ’’(  ) = - M (  )
dove:
M (  ) = X (  / l - 1) + W  / l
Con una doppia integrazione si ha:
EI ’(  ) = - X ( 2 / 2 l -  ) - W 2 / 2 l + C3 ,
EI (  ) = - X ( 3 / 6 l - 2 / 2 ) - W 3 / 6 l + C3  + C4 .
Le condizioni al contorno dovute all'incastro sono:
’( 0 ) = 0,
( 0 ) = 0,
e comportano: C3 = C4 = 0 ;
la condizione dovuta al carrello è:
( l ) = 0
e comporta:
- X l2 ( 1 / 6 – 1 / 2 ) – W l2 / 6 = 0
che conduce a qualche semplificazione sul calcolo della X.
Linea elastica – esempi pag. 7 / 22 Esempio 3
La travatura rappresentata in fig. 12 è una volta iperstatica e presenta dei cedimenti di
vincolo.
Figura 12
Il problema è più complesso, ma si affronta con i criteri già adottati per l'esempio 2: la
presenza dei cedimenti dei vincoli si rifletterà sulle condizioni al contorno e di raccordo che
diventeranno non omogenee.
Figura 13
Nella fig. 13 è messa in evidenza la incognita iperstatica: nelle figure 14 e 15 sono riportati
i diagrammi del momento flettente dovuti al solo carico esterno noto (fig. 14) ed alla
incognita iperstatica posta di modulo unitario (fig. 15).
Figura 14
Linea elastica – esempi pag. 8 / 22 Figura 15
Poiché il diagramma del momento flettente presenza una cuspide in corrispondenza del
carico P e poiché è presente un appoggio intermedio risulta necessario dividere il campo
di integrazione in tre parti (come indicato in fig. 13): si indicano con y1(x), y2(x) ed y3(x) gli
spostamenti trasversali nei tre campi e con M1(x), M2(x) ed M3(x) i momenti flettenti relativi.
Con le convenzioni di segno e con il sistema di riferimento indicate in fig. 13 , si ha:
P
X
M1(x) = ----- x - ----- x
2
l
con 0  x  l / 2 ,
P
X
M2(x) = ----- ( l - x ) - ----- x
2
l
con l / 2  x  l ,
M3(x) = - X
con l  x  2 l .
Si integrano le tre equazioni differenziali del tipo EIy" = - M(x) e si ottiene:
P
X
EI y1’’ = - M1(x) = - ----- x + ----- x
2
l
P
X
2
EI y1’ = - ----- x + ------ x2 + C1
4
2l
P
X
3
EI y1 = - ------- x + ------ x3 + C1 x + D1
12
6l
con 0  x  l / 2 ;
P
X
EI y2’’ = - M2(x) = ----- ( x - l ) + ----- x
2
l
P
X
2
EI y2’ = ----- ( x – 2 l x ) + ------- x2 + C2
4
2l
Linea elastica – esempi pag. 9 / 22 P
X
3
2
EI y2 = ------ ( x – 3 l x ) + ------- x3 + C2 x + D2
12
6l
con l / 2  x  l ;
EI y3’’ = - M3(x) = X
EI y3’ = X x + C3
1
EI y3 = ------- X x2 + C3 x + D3
2
con l  x  2 l .
Per la determinazione delle costanti di integrazione e della incognita iperstatica bisogna
tener conto dei vincoli e della continuità della trave. Da sinistra verso destra, con riferimento alla fig. 13, si ha:
- carrello A (senza cedimento del piano di scorrimento)
y1 (0) = 0 ;
- in B la trave è continua sotto il carico P, pertanto lo spostamento trasversale e la
rotazione della linea d’asse sono funzioni continue
y1 ( l / 2 ) = y2 ( l / 2 )
y1’ ( l / 2 ) = y2’ ( l / 2 ) ;
- in C la trave è continua sopra il·carrello, il piano di scorrimento del quale cede di u
y2 ( l ) = y3 ( l ) = u
y2’ ( l ) = y3’ ( l ) ;
- in D il piano di scorrimento del pattino subisce una rotazione oraria ; anche la linea
d'asse deve compiere la medesima rotazione:
y3’ ( 2 l ) =  ;
si hanno in totale 7 condizioni che permettono di risolvere il problema.
Si ha il seguente sistema lineare:
y1 (0) = 0 comporta D1 = 0 ;
[a]
y1 ( l / 2 ) = y2 ( l / 2 ) comporta
P
X
3
- ------- ( l / 2 ) + ------ ( l / 2 )3 + C1 l / 2 =
12
6l
Linea elastica – esempi pag. 10 / 22 P
X
3
2
= ------ [( l / 2 ) – 3 l ( l / 2 ) ] + ------- ( l / 2 )3 + C2 ( l / 2 ) + D2 ;
12
6l
[b]
y1’ ( l / 2 ) = y2’ ( l / 2 ) comporta
P
X
P
X
2
2
2
- ----- ( l / 2 ) + ------ ( l / 2 ) + C1 = ----- [ ( l / 2 ) – 2 l ( l / 2 ) ] + ------- ( l / 2 )2 + C2 ; [ c ]
4
2l
4
2l
y2 ( l ) = u comporta
P
X
3
2
EI u = ------ ( l – 3 l l ) + ------- l3 + C2 l + D2 ;
12
6l
[d]
y3 ( l ) = u comporta
1
EI u = ------- X l2 + C3 l + D3 ;
2
[e]
y2’ ( l ) = y3’ ( l ) comporta
P
X
2
----- (l – 2 l l ) + ------- l2 + C2 = X l + C3 ;
4
2l
[f]
y3’ ( 2 l ) =  comporta
X 2 l + C3 = EI  .
[g]
Gli sviluppi che portano alla soluzione del sistema nella incognita iperstatica e nelle sei
incognite costanti di integrazione è un poco pesante, ma serve a dare una idea delle
controindicazioni del metodo della linea elastica ai fini applicativi.
Dalla [ g ] si evidenzia C3 :
C3 = EI  - X 2 l
che si sostituisce nella [ f ] :
P
X
2
----- (l – 2 l l ) + ------- l2 + C2 = X l + C3 = X l + EI  - X 2 l;
4
2l
Linea elastica – esempi pag. 11 / 22 Di qui riordinando si ottiene C2 :
1
3
2
C2 = ----- P l - ----- X l + EI .
4
2
Si sostituisce la C3 anche nella [ e ]:
1
1
2
EI u = ------- X l + C3 l + D3 = ----- X l2 + ( EI  - X 2 l ) l + D3 ;
2
2
riordinando si ha la D3 :
3
D3 = EI u - EI  l + ------ X l2 .
2
Nella [ d ] si sostituisce la C2 da sopra:
P
X
3
2
EI u = ------ ( l – 3 l l ) + ------- l3 + C2 l + D2 ;
12
6l
[d]
1
1
1
3
3
2
2
EI u = - ----- P l + ------- X l + ( ----- P l - ----- X l + EI  ) l + D2 ;
6
6
4
2
si ottiene:
1
4
3
D2 = EI u - EI  l - ------- P l + ------- X l2 .
12
3
Quest’ultimo risultato si sostituisce nella [ b ], che deve essere riordinata preventivamente.
La [ b ] diventa:
P
X
3
- ------- ( l / 2 ) + ------ ( l / 2 )3 + C1 l / 2 =
12
6l
P
X
3
2
= ------ [( l / 2 ) – 3 l ( l / 2 ) ] + ------- ( l / 2 )3 + C2 ( l / 2 ) + D2 ;
12
6l
[b]
Linea elastica – esempi pag. 12 / 22 1
1
5
1
3
2
3
- ------- P l + ------ X l + C1 ( l / 2 ) = = - ------ P l + ------- X l2 + C2 ( l / 2 ) + D2 ;
96
48
96
48
1
1
1
4
3
3
3
( C1 - C2 ) ( l / 2 ) = - ------ P l + D2 = - ------- P l + EI u - EI  l - ------- P l + ------- X l2 .
24
24
12
3
1
4
3
( C1 - C2 ) ( l / 2 ) = - ------- P l + EI u - EI  l + ------- X l2 .
8
3
Il termine ( C1 - C2 ) compare anche nella [ c ], che diventa, dopo riordino:
P
X
P
X
2
2
2
- ----- ( l / 2 ) + ------ ( l / 2 ) + C1 = ----- [ ( l / 2 ) – 2 l ( l / 2 ) ] + ------- ( l / 2 )2 + C2 ; [ c ]
4
2l
4
2l
1
1
3
1
2
2
- ----- P l + ------ X l + C1 = - ----- P l + ------- X l + C2
16
8
16
8
1
C1 - C2 = - ------ P l2
8
Sostituendo qui sopra, si ha:
1
1
4
2
3
( - ------ P l ) ( l / 2 ) = - ------- P l + EI u - EI  l + ------- X l2 .
8
8
3
Ed infine si ottiene la incognita iperstatica X:
3
3
X = ------- P l - ------- ( EI u / l2 - EI  / l ) .
64
4
A ritroso, sostituendo l’espressione dell’incognita iperstatica X, si determinano immediatamente le costanti di integrazione.
Linea elastica – esempi pag. 13 / 22 Si ha ad esempio C3 :
3
1
2
C3 = EI  - X 2 l = - ------- P l - ------- EI (- 3 u / l +  ) .
32
2
Gli sviluppi sono lasciati al lettore; il risultato è:
1
37
C1 = ------ EI ( 9 u / l -  ) - -------- P l2
8
384
1
11
C2 = ------ ( 9 EI u / l -  ) + -------- P l2
8
384
D1 = 0
1
D2 = - -------- P l3 ;
48
1
9
D3 = ------ EI (  l - u ) + -------- P l3 .
8
128
Vale la pena di osservare che il calcolo della incognita iperstatica, nel caso in esame, è
largamente più veloce se si adotta il metodo dei lavori virtuali.
Il lavoro virtuale esterno compiuto dai carichi equilibrati della fig. 15 per gli spostamenti
della struttura data (fig. 12) risulta:
1
Le = - ------ u + 1  = - u / l +  .
l
Il Lavoro virtuale interno compiuto dai momenti flettenti della fig. 15 (che si indicano con
M’) per le deformazioni generalizzate flessionali d della struttura data risulta:
avendo indicato con M0 i momenti flettenti dovuti al carico P rappresentati in fig. 14.
Linea elastica – esempi pag. 14 / 22 Gli sviluppi del calcolo sono i seguenti:
P l2
4l
Li = - ------------ + ---------- X
16 EI
3 EI
L’equazione Le = Li fornisce l’incognita iperstatica
4l
P l2
Li = - ------------ + ---------- X = Le = - u / l +  ;
16 EI
3 EI
Si ha:
3
3
X = ------- P l - ------- ( EI u / l2 - EI  / l ) .
64
4
Linea elastica – esempi pag. 15 / 22 Esempio 4
La travatura rappresentata in fig. 16 è isostatica;
Figura 16
in fig. 17 sono messe in evidenza le reazioni dei vincoli
Figura 17
e in fig. 18 è riportato il diagramma del momento flettente.
Figura 18
Benché il diagramma del momento flettente sia rappresentabile con una sola espressione,
il calcolo della linea elastica deve essere spezzato in tre campi per la presenza della
cerniera e del pattino; la cerniera permette la rotazione relativa delle aste che vi
concorrono, quindi bisogna prevedere una discontinuità della derivata prima della funzione
che descrive la linea elastica; il pattino permette uno scorrimento relativo delle travi:
bisogna ammettere una discontinuità nella funzione che descrive la linea elastica.
Con il sistema di riferimento specificato nelle figg. 16 e 18 si ha, per i tre campi indicati:
5
3
1
2
EI y1” = - M(x) = ----- p l - ----- p l x + ----- p x2
8
2
2
Linea elastica – esempi pag. 16 / 22 5
3
1
2
2
EI y1’ = = ----- p l x - ----- p l x + ----- p x3 + C1
8
4
6
5
3
1
2 2
3
EI y1 = = ----- p l x - ----- p l x + ----- p x4 + C1 x + D1
16
12
24
-------------------5
3
1
2
EI y2” = - M(x) = ----- p l - ----- p l x + ----- p x2
8
2
2
5
3
1
2
2
EI y2’ = = ----- p l x - ----- p l x + ----- p x3 + C2
8
4
6
5
3
1
2 2
3
EI y2 = = ----- p l x - ----- p l x + ----- p x4 + C2 x + D2
16
12
24
-----------------------------5
3
1
2
EI y3” = - M(x) = ----- p l - ----- p l x + ----- p x2
8
2
2
5
3
1
2
2
EI y3’ = = ----- p l x - ----- p l x + ----- p x3 + C3
8
4
6
5
3
1
2 2
3
EI y3 = = ----- p l x - ----- p l x + ----- p x4 + C3 x + D3
16
12
24
Le sei costanti di integrazione si determinano tenendo conto della presenza dell'incastro e
del manicotto di estremità, della cerniera e del pattino intermedi.
L’incastro di sinistra comporta:
y1 (0) = y1'(0) = 0;
quindi C1 = D1 = 0.
Linea elastica – esempi pag. 17 / 22 La presenza della cerniera implica la continuità dello spostamento; pertanto:
y1 (l / 2) = y2 (l / 2).
Il pattino intermedio impedisce le rotazioni relative; pertanto si ha:
y2’ (3 l / 2) = y3’ (3 l / 2) .
Le condizioni sulla y3(x) al manicotto di destra comportano:
y3 (2 l) = y3'(2 l) = 0;
e forniscono direttamente C3 e D3
5
C3 = ------- p l3
12
3
D3 = - ------ p l4
4
La condizione a cavallo del pattino fornisce la costante C2 = C3 .
La condizione di continuità dello spostamento trasversale a cavallo della cerniera
comporta:
y1 (l / 2) = y2 (l / 2)
e si traduce in:
C2 l / 2 + D2 = 0;
da cui:
5
D2 = - ------ p l4
24
La linea elastica è rappresentata schematicamente in fig. 19.
Figura 19
Linea elastica – esempi pag. 18 / 22 Esempio 5
La travatura rappresentata in fig. 20 è due volte iperstatica e, oltre al carico distribuito
linearmente su una campata, sono presenti anche variazioni termiche. La presenza delle
variazioni termiche modifica leggermente l'equazione della linea elastica, perché la
curvatura dell'asse della trave è la somma (algebrica) di due contributi, uno dovuto al
momento flettente avente forma M/EI , l’altro, dovuto alle variazioni termiche, avente forma
 T / h.
Figura 20
In fig. 21 sono messe in evidenza le incognite iperstatiche assunte;
Figura 21
nelle figure 22 e 23 sono rappresentati i momenti flettenti dovuti alle incognite iperstatiche
W1 ed W2 poste rispettivamente eguali all’unità.
Figura 22
Linea elastica – esempi pag. 19 / 22 Figura 23
In fig. 24 è riportato il diagramma del momento flettente dovuto al carico esterno noto;
Figura 24
il dettaglio del calcolo di tale diagramma è riportato qui di seguito con riferimento alla fig.
25. Figura 25
Linea elastica – esempi pag. 20 / 22 Il momento flettente M0 ha il suo massimo
M0MAX = q l2 3 / 27
per x2 = l ( 1 – 1 /  3 ) .
Si scinde in due parti il campo di integrazione per la presenza del carrello intermedio; si
assumono i sistemi di riferimento e le convenzioni di segno specificate in fig. 20; la
curvatura geometrica positiva è concorde con la curvatura dovuta alle variazioni termiche
assegnate; la curvatura dovuta al momento flettente positivo è discorde rispetto alla
curvatura geometrica positiva, pertanto le equazioni differenziali della linea elastica nei
due campi sono del tipo:
y’’ = α ∆T / h – M / EI.
Nel primo tratto si ha:
y1” = α ∆T / h – { - W1 ( 1 – x1 / l ) – W2 x1 / l } / EI;
y1’ = α ∆T x1 / h + { W1 ( x1 – x12 / 2 l ) + W2 x12 / 2 l } / EI + A1 ;
y1 = α ∆T x12 / 2 h + { W1 ( x12 / 2 – x13 / 6 l ) + W2 x13 / 6 l } / EI + A1 x1 + B1 .
Nel secondo tratto si ha:
y2” = – { - W2 ( 1 – x2 / l ) – q ( x23 / 6 l – x22 / 2 + x2 l / 3 ) } / EI;
y2’ = { W2 ( x2 – x22 / 2 l ) – q ( x24 / 24 l – x23 / 6 + x22 l / 6 ) } / EI + A2 ;
y2 = { W2 ( x22 / 2 – x23 / 6 l ) – q ( x25 / 120 l – x24 / 24 + x23 l / 18 ) } / EI + A2 x2 +B2 .
Le quattro costanti di integrazione e le due incognite iperstatiche si determinano
imponendo le condizioni ai limiti e le condizioni di raccordo:
Linea elastica – esempi pag. 21 / 22 all’ incastro di sinistra si ha:
y1 ( 0 ) = 0 ed y1’ ( 0 ) = 0;
in corrispondenza del carrello intermedio si ha : y1 ( l ) = 0, y2 ( 0 ) = 0 e y1’ ( l ) = y2’ ( 0 );
in corrispondenza del carrello di destra si ha :
y2 ( l ) = 0.
Le due condizioni all’incastro di sinistra comportano A1 = 0 e B1 = 0.
La condizione y1 ( l ) = 0 comporta:
0 = α ∆T l2 / 2 h + { W1 ( l2 / 2 – l3 / 6 l ) + W2 l3 / 6 l } / EI
0 = α ∆T l2 / 2 h + { W1 l2 / 3 + W2 l2 / 6 } / EI.
[*]
La condizione y2 ( 0 ) = 0 comporta B2 = 0.
La condizione y2 ( l ) = 0 comporta:
0 = { W2 ( l2 / 2 – l3 / 6 l ) – q ( l5 / 120 l – l4 / 24 + l3 l / 18 ) } / EI + A2 l
0 = { W2 l2 / 3 – q l4 / 45 } / EI + A2 l
da cui si ottiene A2
A2 = { W2 l / 3 – q l3 / 45 } / EI
Infine la condizione y1’ ( l ) = y2’ ( 0 ) comporta:
y1’ ( l ) = α ∆T l / h + { W1 ( l – l2 / 2 l ) – W2 l2 / 2 l } / EI = y2’ ( 0 ) = A2 =
= { W2 l / 3 – q l3 / 45 } / EI
α ∆T l / h + { W1 l / 2 – W2 l / 2 } / EI = { W2 l / 3 – q l3 / 45 } / EI
α ∆T l / h + { W1 l / 2 – W2 l 5 / 6 + q l3 / 45 } / EI = 0.
[ ** ]
Le equazioni [ * ] e [ ** ] costituiscono il sistema di due equazioni che fornisce le due
incognite iperstatiche W1 e W2
 W1 / 3 + W2 / 6 = EI α ∆T / 2 h

 W1 / 2 – W2 5 / 6 = EI α ∆T / h - q l2 / 45
[*]
[ ** ]
La soluzione del sistema è la seguente:
W1 = 51 EI α ∆T / 32 h - q l2 / 120 ;
W2 = - 3 EI α ∆T / 16 h + q l2 / 60 .
Linea elastica – esempi pag. 22 / 22 
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