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A. Betti - INFN Sezione di Roma

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Universit`
a degli Studi di Roma “La Sapienza”
` DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
FACOLTA
Corso di laurea in Fisica
Dissertazione di laurea triennale
Scattering elastico di protoni ad alta energia
Candidato:
Relatore:
Alessandra Betti
Prof. Francesco Lacava
Matricola 1389698
Anno Accademico 2012–2013
Indice
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
1
Scattering elastico
1
2
Analogia ottica
4
2.1
Figura di dirazione da un disco di un'onda piana . . . . . . .
4
2.2
Teorema ottico per le onde e per le particelle . . . . . . . . . .
6
3
4
Metodi di misura della sezione d'urto totale
9
3.1
Misura diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Metodi di misura indiretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
12
4.1
4.2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.1.1
Ottica dei fasci
Oscillazioni di Betatrone . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.1.2
Matrici di trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1.3
Quadrupoli
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Rivelatori a piccolissimo angolo: Roman pots . . . . . . . . . .
18
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
23
5.1
Esperimenti precedenti LHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.1.1
Misure eettuate a ISR . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.1.2
Misure eettuate a SPS
5.1.3
Misure eettuate al Tevatron
5.2
Esperimento TOTEM a LHC
. . . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . .
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Conclusioni
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Bibliograa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
i
Introduzione
Circa quaranta anni fa entrò in funzione l'Intersecting Storage Rings
(ISR) del CERN, il primo collider adronico, che portò lo studio delle interazioni protone-protone ad energie nel centro di massa molto maggiori di
quelle no ad allora raggiunte, permettendo di osservare sorprendenti caratteristiche.
Oggi sta facendo lo stesso il Large Hadron Collider (LHC) del
CERN, superando una nuova frontiera dell'alta energia, ed è interessante
studiare come i fenomeni osservati per la prima volta a ISR si sviluppino ad
energie sempre maggiori.
Il modo che abbiamo per studiare la struttura delle particelle e le forze tra di
esse è quello di farle collidere. Lo scattering elastico
pp e p¯
p fornisce informa-
zioni sulla struttura del protone, con una scala data dal parametro di impatto
o, inversamente, dal quadrimpulso trasferito. Lo studio di questo processo
in un ampio range di quadrimpulso trasferito permette quindi, osservando il
comportamento del protone nelle collisioni, di realizzare dei modelli sulla sua
struttura interna e sulle interazioni in cui è coinvolto.
In questa dissertazione si tratta lo scattering elastico di protoni ad alta energia, confrontando proprio le prime sorprendenti osservazioni di ISR con le
ultime eettuate all'esperimento TOTEM, utilizzando il modello del disco
opaco per il protone.
In particolare sono trattati gli aspetti principali dei metodi utilizzati per
la misura della sezione d'urto elastica dello scattering protone-protone e
protone-antiprotone, analizzando sia gli aspetti teorici, che permettono di
legare il processo di diusione elastica di particelle all'ottica classica e di legare la sezione d'urto dierenziale elastica alla sezione d'urto totale, sia gli
aspetti principali delle particolari tecniche di misura utilizzate per la misura
di eventi ad angoli molto piccoli, caratteristici degli eventi elastici.
Nel primo capitolo viene brevemente descritto il processo di diusione elastica con le sue principali caratteristiche nel caso specico dei protoni.
Nel secondo capitolo si tratta l'analogia ottica che può essere utilizzata per
studiare la diusione di particelle e si illustra il teorema ottico, mediante il
quale è possibile legare la sezione d'urto totale alla sezione d'urto dieren-
ii
ziale elastica.
Nel terzo capitolo vengono descritti i principali metodi con cui è possibile
misurare la sezione d'urto totale a partire dalla misura della sezione d'urto
dierenziale elastica, tra i quali il più utilizzato è un metodo che sfrutta il
teorema ottico ed è indipendente dalla luminosità e permette quindi di avere
una misura più precisa.
Nel quarto capitolo si illustrano le caratteristiche del moto delle particelle
dei fasci all'interno dell'acceleratore, descrivendo come l'ottica dei fasci sia
legata al reticolo magnetico dell'acceleratore, come la congurazione ottica
inuenzi l'incertezza sulla misura e come sia necessario avere delle particolari
condizioni del fascio per eettuare misure a piccoli angoli. Successivamente si
illustrano le particolari tecniche di misura a piccolissimi angoli, descrivendo
come esempio l'apparato sperimentale dell'esperimento UA4 a SPS.
L'ultimo capitolo riguarda le misure: in questo capitolo sono riportati i risultati sperimentali dei principali esperimenti, partendo dai primi risultati
di ISR no agli ultimi risultati dell'esperimento TOTEM, con particolare
attenzione a come i caratteri principali delle prime osservazioni eettuate a
ISR siano confermati dai risultati di TOTEM ad energia maggiore.
iii
Capitolo 1
Scattering elastico
Nei processi di diusione elastica le particelle presenti nello stato nale
sono le stesse dello stato iniziale e l'energia cinetica totale è conservata. Lo
scattering elastico è un processo ad impulso trasferito molto basso e le particelle vengono deesse ad angoli molto piccoli (milliradianti).
Lo scattering elastico può essere caratterizzato tramite le variabili di Mandelstam s e t:
s = (P1 + P2 )2 = (P3 + P4 )2
(1.1)
t = (P1 − P3 )2 = (P2 − P4 )2 ' −2E1 E3 (1 − cos ϑ13 ) ' −E 2 ϑ213 ,
dove
P1
e
P2
sono i quadrimpulsi delle particelle incidenti mentre
(1.2)
P3
e
P4
sono i quadrimpulsi delle particelle uscenti. Osserviamo che s rappresenta il
quadrato dell'energia nel centro di massa (massa invariante del sistema) e t
rappresenta il quadrato del quadrimpulso trasferito.
Figura 1.1: Scattering elastico
1
Capitolo 1.
Scattering elastico
La sezione d'urto di un processo,
σ, è legata al numero di eventi osservati
dalla relazione:
∆N
=L·σ·ε ,
∆t
(1.3)
∆N
rappresenta il numero di eventi osservati al secondo, ε è l'accettanza
∆t
per l'ecienza per quel particolare processo e L è la luminosità dei fasci, che
dove
nel caso di un collider è
L=
in cui
N1
e
N2
f N1 N2
,
σx σy
indicano il numero di particelle nel bunch,
trasversale del fascio e f è la frequenza di collisione.
σx σ y
la sezione
La sezione d'urto ha
le dimensioni di una supercie e dà una misura della supercie, misurata
intorno al centro diusore, in cui la particella incidente risente dell'azione
del potenziale dovuto al bersaglio.
È utile considerare la sezione d'urto dierenziale
rivelatori sottendono un piccolo angolo solido
dΩ
dσ
. Considerando che i
dΩ
nella direzione (ϑ, ϕ), la
sezione d'urto dierenziale è denita come il rapporto tra il usso di particelle
2
diuse passante per l'elemento di area r dΩ, per unità di angolo solido, e il
usso incidente.
Possiamo denire la sezione d'urto dierenziale elastica
dσel
dσe l
, con signicato equivalente a quella angolare
,
riferita al parametro t,
dt
dΩ
π
2
considerando dalla (1.2) dt = −E 2ϑdϑ e quindi dΩ = − 2 dt, da cui si
E
ricava:
dσel
π dσel
= 2
.
(1.4)
d|t|
E dΩ
La variabile t dipende dall'energia e dall'angolo di emissione e corrisponde,
ad energia ssata, ad una variabile angolare, con una distribuzione piccata
a piccoli angoli. Lo scattering protone-(anti)protone è dovuto all'interazione
coulombiana e all'interazione forte; in base al tipo di interazione predominante la distribuzione può essere divisa in quattro regioni angolari:
ˆ
La regione Coulombiana per
di
|t|
|t| < 0.001 (GeV /c)2 .
Per questi valori
lo scattering è dovuto alla sola interazione elettromagnetica e la
sezione d'urto è calcolabile.
ˆ
La regione dell'interferenza Columbiana-Nucleare per
0.01 (GeV /c)2 .
ˆ
La regione dirattiva nucleare per
0.001 < |t| <
0.01 < |t| < 0.5 (GeV /c)2 .
L'inte-
razione è in pratica dovuta alla sola interazione forte; il parametro più
2
Capitolo 1.
Scattering elastico
importante in questa regione è la pendenza b della gura di dirazione. Per un intervallo limitato di t la forma della sezione d'urto è un
dσ
esponenziale in t:
= Aebt ; per un intervallo più ampio di t occorrono
dt
due esponenziali.
ˆ
La regione dei grandi angoli per
|t| > 0.5 (GeV /c)2 .
E' caratterizzata
da sezioni d'urto molto piccole e, per pp, da una struttura valle-picco
analoga a una gura di dirazione ottica. La gura è meno appariscente
per
p¯p.
Nello scattering elastico protone-protone e protone-antiprotone si osserva
in avanti (intorno ai fasci) una gura di dirazione dell'onda di p su p (p
¯)
simile a quella di Fraunhofer della luce su un disco opaco.
Come in otti-
ca, la congurazione del centro diusore (bersaglio) può essere dedotta dalla
dipendenza del numero di eventi di diusione dall'energia del fascio e dall'angolo di diusione, quindi possiamo ricavare le caratteristiche del protone
studiando la sezione d'urto in funzione dell'energia e in funzione dell'angolo
di scattering, utilizzando il modello ottico del disco opaco.
3
Capitolo 2
Analogia ottica
I dati sperimentali sulla sezione d'urto dierenziale elastica in funzione
del parametro t, per le collisioni protone-protone, mostrano che il protone
si comporta in modo molto simile ad un disco nero, quindi utilizziamo, per
studiare il processo di diusione, il modello dell'ottica classica che descrive
la dirazione della luce da un disco opaco. Per fare questo, associamo alla
particella incidente una funzione d'onda e formuliamo il problema in termini
di diusione di onde a seguito dell'interazione fra onde e bersaglio.
2.1 Figura di dirazione da un disco di un'onda
piana
Per un'onda piana
ψinc (z) = Aeikz z
incidente su un foro circolare si trova,
in condizioni di dirazione alla Fraunhofer, tramite il principio di HuygensFresnel e il teorema integrale di Kircho, la gura di dirazione con intensità
descritta dalla funzione di Airy che contiene la funzione di Bessel di ordine
1 (J1 ):
2
2J1 (%)
I
=
,
I0
%
2π
Rsinϑ, e R raggio del foro. Tale gura presenta un massimo
λ
centrale e una serie di minimi e massimi secondari. Il primo minimo di tale
1.22λ
gura si ha per % = 1.22π, ovvero nella posizione angolare sinϑ =
,
D
dove D è il diametro del foro; la larghezza angolare del massimo principale è
λ
data da ∆ϑ = 2 · 1.22 . Quello che si osserva su uno schermo è una serie di
D
dischi concentrici noti come dischi di Airy (g. 2.1).
con
% =
4
Capitolo 2.
Analogia ottica
Figura 2.1: Figura di dirazione da foro circolare
È importante osservare, ai ni dell'analisi dei risultati ottenuti per lo
scattering di protoni, che all'aumentare del diametro del foro la larghezza
del picco diminuisce, quindi il minimo si trova per valori minori di
ϑ,
come
mostrato in gura 2.2.
Figura 2.2: Confronto delle gure di dirazione per diversi D
5
Capitolo 2.
Analogia ottica
Per il principio di Babinet si ha che le gure di dirazione da ostacoli
complementari sono uguali. Tramite questo principio otteniamo quindi, per
un'onda piana incidente su un disco, la medesima gura di dirazione che
abbiamo per un'onda piana incidente su un foro circolare.
Se rappresentiamo il fascio incidente di particelle come un'onda piana, utilizzando l'analogia con l'ottica classica, ovvero considerando il protone come
un disco opaco, otteniamo che l'andamento della sezione d'urto dierenziale
elastica è dato da:
J (Rp|t|) 2
dσ
πR4 −R2 |t|
1
p
' (1 − a)πR2 e 4
'
(1
−
a)
R |t| dt
4
,
(2.1)
dove R è il raggio del protone e a rappresenta l'opacità (a=0 per un disco
completamente nero, assorbente; a=1 per un disco completamente traspa2
rente), la cui approssimazione è valida per |t| < 0.2 (GeV /c) .
dσ
≈ e−b|t| = ebt § , che rappreDal confronto di questa espressione con
dt
senta l'andamento della sezione d'urto dierenziale nella regione dirattiva
R2
, da cui si può ricavare il raggio del disco:
nucleare, si ottiene b =
4
√
R ' 2 b (GeV )−1
ovvero
(2.2)
√
√
2 b(¯hc) ' 0.4 b (f m) .
2.2 Teorema ottico per le onde e per le particelle
Il teorema ottico ci permette di legare la sezione d'urto totale del processo
all'ampiezza di scattering in avanti.
Consideriamo il fascio incidente rappresentato dall'onda piana ψinc (z) =
ikr
Aeikz z e le particelle diuse come un'onda sferica ψsc (r) = Af (k, ϑ, ϕ) e r ,
dove ϑ e ϕ rappresentano gli angoli polari di r rispetto alla direzione di
incidenza
zˆ,
e
f (k, ϑ, ϕ)
è nota come ampiezza di scattering.
La densità di corrente di probabilità per uno stato stazionario è data da
¯
~j = h
[ψ ∗ (∇ψ) − (∇ψ ∗ )ψ] ,
2mi
(2.3)
Possiamo scrivere dσ/dt ≈ e−b|t| = ebt , con b positivo, in quanto la variabile t risulta
denita negativa in approssimazione di massa trascurabile e da qui in avanti verrà usata
questa scrittura per semplicare la notazione
§
6
Capitolo 2.
Analogia ottica
l'operatore gradiente in coordinate sferiche è
∇=
∂
1 ∂ ˆ
1
∂
rˆ +
ϑ+
ϕˆ ,
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
(2.4)
così la corrente radiale è data da
¯
~j · rˆ = h
2mi
Sostituendo
ψsc (r)
∂ψ ∗
∗ ∂ψ
ψ
−
ψ .
∂r
∂r
(2.5)
troviamo la corrente radiale diusa
~jsc · rˆ = |A|2 v|f (k, ϑ, ϕ)|2 /r2 .
(2.6)
2
Il usso di particelle passante per un elemento di supercie sferica r dΩ è
2
2
dato da |A| v|f (k, ϑ, ϕ)| dΩ, dividendo questa quantità per il usso incidente
e per l'angolo solido
dΩ
otteniamo la sezione d'urto dierenziale:
dσel
= |f (k, ϑ, ϕ)|2 ,
dΩ
(2.7)
che risulta quindi proporzionale al modulo quadro dell'ampiezza di scattering.
In funzione del parametro t, utilizzando la (1.4), diventa:
dσel
π
= 2 |f (k, ϑ, ϕ)|2 ,
d|t|
E
(2.8)
p
.
¯
h
Poiché il numero di particelle che entrano nella regione di scattering per
con
k=
unità di tempo deve essere bilanciato dal numero di particelle che escono,
dobbiamo avere:
r
2
Z
(j · rˆ)dΩ = 0 ,
dove l'integrazione è su tutti gli angoli e
j · rˆ è
La corrente radiale totale si ottiene sostituendo
(2.9)
la corrente radiale totale.
ψ(r) = ψinc (r) + ψsc (r)
nella
(2.5):
e−ikr
h
¯
−ikr cos ϑ
∗
e
+ f (k, ϑ, ϕ)
j · rˆ = |A|
2mi
r
eikr
ikr cos ϑ
× ik cos ϑe
+ f (k, ϑ, ϕ)ik
+ c.c. ,
r
2
in cui c.c.
(2.10)
indica il complesso coniugato e abbiamo usato il fatto che
z =
r cos ϑ.
Inserendo questa espressione nella (2.9) troviamo:
k
Imf (k, ϑ = 0) =
4π
Z
|f |2 dΩ ,
(2.11)
7
Capitolo 2.
Analogia ottica
equivalente a
σtot =
4π
Imf (k, ϑ = 0) .
k
(2.12)
Questa relazione è nota come teorema ottico ed esprime la conservazione del
usso di probabilità.
Ref (k,0)
Ponendo % =
e considerando la (2.8), si ricava dal teorema ottico,
Imf (k,0)
espresso dalla (2.12):
σtot
2
16π dσel .
=
1 + %2 dt t=0
(2.13)
8
Capitolo 3
Metodi di misura della sezione
d'urto totale
La sezione d'urto totale
σtot
può essere misurata in diversi modi: in modo
diretto o in modo indiretto, tramite la misura della sezione d'urto dierenziale elastica e l'uso del teorema ottico. Le misure precise di scattering elastico
sono molto importanti per la determinazione della sezione d'urto totale mediante un particolare metodo indipendente dalla luminosità che utilizza il
teorema ottico, che sarà descritto in questo capitolo.
3.1 Misura diretta
La misura diretta consiste nell'applicazione della formula della luminosità:
Rtot =
dN
= σtot · L ,
dt
eettuando misure separate per R e L, dove L è la luminosità del fascio
integrata nel tempo e R il numero totale di eventi osservati nell'intervallo
di tempo considerato.
Questo metodo di misura richiede la misura della
luminosità e quindi non è molto preciso in quanto la luminosità è attualmente
misurabile con un'incertezza del 10%.
3.2 Metodi di misura indiretta
Si utilizzano tre diverse tecniche di misura indiretta della sezione d'urto
totale, basate sulla misura di sezione d'urto dierenziale elastica e sull'uso
del teorema ottico.
9
Capitolo 3.
Metodi di misura della sezione d'urto totale
Nel primo metodo si misura la sezione d'urto dierenziale elastica nella
0.01 < |t| < 0.5 (GeV /c)2 . I dati vengono
dσ
estrapolati a t = 0 utilizzando la formula
= ( dσ
)| ebt . Si ricava poi σtot
dt
dt t=0
tramite il teorema ottico (2.13), considerando che
1)
regione di dirazione, a ISR per
Ntot = Nel + Ninel
σtot 2 =
(con opportune assunzioni su
e
dσel
dNel
|t=0 =
|t=0 · L ,
dt
dt
16π (dNel /dt)|t=0
1 + %2
L
% che può essere anche
posto uguale a zero,
fornendo così un limite superiore).
Questo metodo richiede una determinazione di
dNel
e una misura separata
dt
della luminosità del fascio.
2)
Il secondo metodo si basa sulla misura della sezione d'urto dierenziale
elastica nella regione di interferenza delle interazioni Nucleare-Coulombiana,
2
ovvero a ISR per 0.001 < |t| < 0.01 (GeV /c) . Usando il teorema ottico
dσ
dσ
bt
= ( dt )|t=0 e per l'interazione nucleare, la
e assumendo la dipendenza
dt
sezione d'urto dierenziale in questa regione può essere scritta come il modulo
quadro della somma delle ampiezze di scattering delle due interazioni:
σ 2 tot bt
2α
σtot
dσ
≈ C 2 + (1 + %2 )
e − 2(% + αϕ) G2 √ ebt/2 ,
dt
16π
|t| 4 π
dove C è l'ampiezza Coulombiana
C=
2α 2
G (t)eiαϕ ,
|t|
G(t) è il fattore di forma del protone parametrizzato come
αϕ è la fase dell'ampiezza di Coulomb,
1
α è la costante di struttura ne α = 137
.
L'equazione è valida nell'ipotesi in cui %
(1 +
t −2
) ,
0.71
non dipenda da t e che gli eetti
di spin siano trascurabili. Essa contiene tre parametri
%
, b e
σtot .
Si pos-
sono eettuare diversi t, ssando b e lasciando liberi gli altri parametri,
o lasciando libero solo uno di essi. Utilizzando questa equazione possiamo
sfruttare la sezione d'urto di Coulomb per angoli piccoli che è teoricamente
nota. In questo modo non è necessaria una misura separata della luminosità.
3)
Il terzo metodo di misura è basato sulla misura simultanea del numero
totale di interazioni e della sezione d'urto dierenziale elastica nella regione
di dirazione. Considerando
σtot =
Rtot
L
10
Capitolo 3.
Metodi di misura della sezione d'urto totale
e
σtot 2 =
16π(dN/dt)t=0
,
L(1 + %2 )
dividendo queste due equazioni l'una per l'altra si ottiene:
σtot =
16π(dNel /dt)t=0
.
(1 + %2 )Rtot
(3.1)
dNel
dt
e del rate totale Rtot ma è indipendente dalla luminosità. L'indipendenza di
Osserviamo che tramite la (3.1) la misura di
σtot
richiede una misura di
questo metodo dalla misura di luminosità rimuove una delle maggiori fonti di
incertezza sulla determinazione della sezione d'urto totale, perché le misure
di luminosità sono molto complesse e l'incertezza su tali misure è circa il
10%. Gli esperimenti
pp
e
p¯
pa
partire da ISR no a TOTEM a LHC hanno
eettuato misure di sezione d'urto totale utilizzando questo metodo, ricavato
dal teorema ottico, indipendente dalla luminosità.
11
Capitolo 4
Tecniche di misura dello
scattering a piccolissimo angolo
Per eettuare misure di sezione d'urto a piccolissimo angolo, come quelle
di scattering elastico, è necessaria una particolare ottica dei fasci che ottimizzi le condizioni di misura e minimizzi l'incertezza ed è inoltre necessario
utilizzare dei rivelatori particolari in grado di avvicinarsi molto ai fasci.
4.1 Ottica dei fasci
4.1.1 Oscillazioni di Betatrone
Le particelle all'interno dell'acceleratore subiscono delle deviazioni rispetto alla loro orbita nominale guidata dai dipoli magnetici curvanti. Ad esempio
una particella con energia diversa da quella nominale, passando in un dipolo,
segue una traiettoria diversa da quella nominale.
A causa di queste piccole deviazioni dalla traiettoria nominale e dell'azione di
quadrupoli (descritta nel paragrafo 4.1.3), il moto delle particelle all'interno
dell'acceleratore è caratterizzato da oscillazioni nel piano verticale nelle due
direzioni trasversali al moto principale, chiamate oscillazioni di Betatrone.
Possiamo descrivere il moto delle particelle in una delle componenti del piano
trasverso attraverso :
x=
con
√
βε
p
βε sin(ωt + λ) ,
(4.1)
ampiezza delle oscillazioni.
Osserviamo che
ωt può essere riscritto come ψ(s), essendo s il cammino della
' vt), e quindi riscrivere il moto come :
p
x = βε sin(ψ(s) + λ)
(4.2)
particella lungo l'orbita (s
12
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
e
dx p
= βε ψ 0 cos(ψ(s) + λ) .
ds
Nel caso di semplici oscillazioni la fase ψ cresce linearmente
dψ
0
(e quindi con il cammino percorso), quindi ψ =
= cost = β1 .
ds
x0 =
(4.3)
con il tempo
Le equazioni
del moto diventano quindi
x=
e
0
p
βε sin(ψ(s) + λ)
r
x =
ε
cos(ψ(s) + λ) ,
β
che descrivono nello spazio delle fasi un' ellisse (mostrato in g.
semiassi
x=
√
εβ
e
0
x =
q
ε
e area
β
πε,
(dove
ε
(4.4)
(4.5)
4.1) di
è l'emittanza del fascio). La
forma e la posizione dell'area cambiano al procedere del moto e ogni particella
segue la propria traiettoria, ma l'area rimane costante durante il moto per
il teorema di Liouville. L'ellisse corrisponde alla particella con ampiezza di
oscillazione massima e comprende al suo interno quelle delle altre particelle
del fascio.
Figura 4.1: Ellisse nello spazio delle fasi
L'equazione per il moto nella direzione x è
d2 x
+ kx = 0
ds2
√
e sostituendo l'espressione x =
βε sin(ψ(s) + λ) si trova la costante k = β12 .
In una macchina a focheggiamento debole (gradiente costante) si trova k =
H ds
1
1 ∂By
=
. In un giro la fase aumenta di una quantità ∆ψ =
= 2πR
e
2
β
BR ∂x
β
β
∆ψ
R
detto Q =
= β questo non deve essere un numero frazionario, altrimenti
2π
13
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
dopo un certo numero di giri le particelle compiono la stessa traiettoria risentendo delle stesse imperfezioni del campo magnetico lungo la macchina,
con conseguente instabilità e perdita dei fasci.
Muovendosi le diverse particelle compiono ellissi di diversi semiassi ma Q e
β
sono le stesse per tutte le particelle in quanto sono funzioni solo del reticolo
magnetico della macchina.
Le attuali macchine acceleratrici sono costruite con la tecnica del focheggiamento forte (con quadrupoli a gradiente alternato), descritta nel paragrafo
4.1.3.
4.1.2 Matrici di trasporto
La macchina acceleratrice è una catena ripetitiva di elementi (magneti
dipolari, quadrupoli,...) detta reticolo (lattice). L'azione di ogni elemento
sul moto delle particelle può essere espressa, ai ni del trasporto lungo la
macchina, da una matrice.
Lo stato (orizzontale o verticale) della particella nello spazio delle fasi può
essere rappresentato da un vettore:
x
x0
.
Dopo che la particella si è spostata, attraverso un magnete o liberamente, si
trova in un nuovo stato:
x
x0
=
2
a b
c d
x
x0
=M
1
x
x0
.
1
Ad esempio il trasporto libero per un tratto l , in cui si ha
x2 = x1 +
dx1
l = x1 + x01 l
ds
e
x02 = x01 ,
è rappresentato dalla matrice:
M=
1 l
0 1
La posizione delle particelle del fascio è quindi individuata, a partire dalla
posizione iniziale, da una matrice prodotto delle matrici degli elementi del
reticolo (dipoli, quadrupoli, spazi liberi,...) attraversati dalla particella, proprio come avviene per la luce nell'ottica geometrica, in cui gli elementi ottici
14
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
sono rappresentati da matrici. Per questo motivo, quando ci si riferisce alle
diverse congurazioni del reticolo magnetico della macchina che agisce sul
fascio di particelle, si parla di ottica del fascio. Dall'analisi delle matrici di
trasporto si possono ricavare informazioni sulla stabilità dei fasci nel reticolo
dei magneti che formano la macchina.
4.1.3 Quadrupoli
La stabilità della traiettoria delle particelle, che subiscono deviazioni dalla
traiettoria nominale, viene raggiunta aggiungendo, oltre ai dipoli curvanti, i
quadrupoli focalizzanti che creano le forze di richiamo necessarie a mantenere
le oscillazioni intorno alla traiettoria di riferimento.
In un quadrupolo le componenti del campo campo magnetico (vedi g. 4.2)
si possono scrivere:
By = Kx
(da un potenziale scalare
Bx = Ky
~ = −∇V ).
V = −Kxy con B
Figura 4.2: Componenti del campo magnetico e delle forze nel quadrupolo
Dalla forza di Lorentz
~
F~ = q~v × B
abbiamo:
Fx = −By vq
Fy = Bx vq
15
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
da cui svolgendo qualche semplice calcolo si trovano le equazioni per il moto
nelle due componenti trasversali:
e
d2 x
+ kx = 0
ds2
(4.6)
d2 y
− ky = 0
ds2
(4.7)
K
.
BR
Le soluzioni della prima equazione (4.6) sono:
con
k=
√
√
1
x = x0 cos kl + √ x00 sin kl
k
√
√
√
x0 = − kx0 sin kl + x00 cos kl
e sotto forma di matrice abbiamo:
x
x0
√
cos kl
√
√
− k sin kl
=
√ !
sin kl
x0
√
.
x00
cos kl
√1
k
√
kl 1, può essere riscritta come
x
1 l
x0
=
x0
−kl 1
x00
Questa matrice, poiché
e quindi osserviamo che il quadrupolo ha un'azione focheggiante in x che
1
.
corrisponde a quella di una lente di focale f =
kl
Per l'equazione della coordinata y (4.7) abbiamo invece una soluzione che
porta ad una matrice defocheggiante:
MD =
√
cosh kl
√
√
k sinh kl
√ !
sinh kl
√
.
cosh kl
√1
k
Complessivamente quindi i quadrupoli hanno azione focheggiante in una direzione (x) e defocheggiante nell'altra (y).
Negli acceleratori a focheggiamento forte si utilizza uno schema del reticolo
in cui si ripete una cellula chiamata FODO, mostrata in g. 4.3.
Dove il fascio è più largo (larghezza proporzionale a
B = Kx
√
β)
l'eetto del campo
è maggiore quindi abbiamo l'azione complessiva di un quadrupolo
focheggiante con grande eetto e un quadrupolo defocheggiante con minor
eetto. Si ottiene quindi, con la ripetizione di questa cellula, focheggiamento
alternativamente in x e y con risultato complessivo focheggiante.
16
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
Figura 4.3: Cellula FODO per CERN SPS
Nelle macchine a focheggiamento forte il campo magnetico varia lungo la
traiettoria quindi in tal caso l'equazione per le oscillazioni di betatrone sarà
l'equazione di Hills:
d2 x
+ k(s)x = 0 ,
ds2
(4.8)
con una forza di richiamo k(s) dipendente da s. La soluzione è del tipo
p
εβ(s)cos(ψ(s) + λ) .
p
oscillazioni
εβ(s) dipende da
x=
L'ampiezza delle
(4.9)
s ed è periodica, con
lo stesso periodo della struttura FODO dei magneti.
so, poiché
β(s)
Inoltre in questo caR ds
non è costante, abbiamo che la fase ψ =
non cresce
β(s)
linearmente con s ma più velocemente dove
meno velocemente dove
4.3.
β
β
è piccolo (quadrupolo D) e
è grande (quadrupolo F), come mostrato in gura
Negli esperimenti si utilizzano solitamente due schemi
β,
con diversa
intensità dei quadrupoli che determinano l'ottica del fascio nel punto di interazione. La deessione della particella dovuta all'azione dei quadrupoli può
essere calcolata, per i due diversi casi, tramite il formalismo delle matrici
di trasporto. Ad alto
elevata in quanto
dx
ds
= x0 ∝
q
x∝
β√ la dimensione
εβ, ma la sua
del fascio nel punto di interazione è
divergenza angolare è piccola poiché
ε
. Nella congurazione a basso
β
β
invece il fascio è maggiormen-
te focalizzato, ma la sua divergenza angolare è maggiore. Le traiettore nel
piano verticale per le particelle elasticamente diuse nelle due congurazioni
β
per l'acceleratore SPS sono mostrate in gura 4.4.
17
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
Figura 4.4: Traiettorie nel piano verticale nelle due congurazioni
β.
4.2 Rivelatori a piccolissimo angolo: Roman
pots
Le misure di sezione d'urto elastica a piccoli angoli vengono eettuate
nei collider attraverso dei rivelatori dotati di scintillatori. I rivelatori sono
generalmente disposti simmetricamente su ogni lato rispetto al punto di interazione a due diverse distanze (ad esempio a SPS a 22m e 37m e per TOTEM
a LHC 147m e 220m). Le distanze sono studiate in modo da massimizzare
l'accettanza nelle due possibili congurazioni di magneti (schemi ad alto e
basso
β)
che si possono avere nel collider.
Per poter eettuare misure a piccolissimo angolo, quindi nella zona molto
vicina ai fasci, il rivelatore è posto all'interno di un Roman pot, ovvero
un'espansione a soetto lungo l'anello del collider in cui le camere possono essere mosse verticalmente no a circa
6σv
(che è circa la dimensione
del fascio, considerando la distribuzione delle particelle nel fascio come una
gaussiana con deviazione standard
σv
e
σh ).
L'accettanza angolare è data
dalla distanza più vicina al fascio che è possibile ottenere e dall'apertura del
18
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
fascio.
La congurazione ad alto
β,
in cui il fascio ha dimensioni maggiori ma di-
vergenza angolare minore, è specica per misure a piccoli valori di
|t|
e per
queste misure si utilizzano le camere più esterne, mentre la congurazione a
β , in cui i fasci vengono maggiormente focalizzati, si utilizza per
misure con |t| maggiore tramite le camere più interne.
Per la congurazione ad alto β la risoluzione in t è dominata dagli errori di
misura, mentre per quella a basso β è limitata dalla divergenza angolare del
più basso
fascio nel punto di interazione.
Consideriamo come esempio per studiare la tecnica di rivelazione l'esperimento UA4 a SPS, dedicato alla misura della sezione d'urto totale e elastica
protone-antiprotone. Per questo esperimento i rivelatori per le particelle diffuse elasticamente erano costituiti da quattro coppie di camere a deriva poste,
ognuna con il proprio scintillatore, all'interno di un Roman pot, a 22m e 37m
dal punto di interazione, come mostrato in gura 4.5.
Figura 4.5: Schema UA4: magneti e roman pots
Le particelle elasticamente diuse, dopo aver attraversato il campo magnetico del dipolo e della coppia di quadrupoli, raggiungono il detector costituito dalle quattro coppie di camere a deriva, e scintillatori di trigger,
posizionate nei Roman pots. Le particelle diuse attraversano, all'interno di
ogni camera, quattro piani di li sensibili orizzontali per eliminare l'incertezza sulla posizione verticale. Nella camera, i quattro piani di deriva sono
seguiti da un piano di li orizzontali con alta resistività utilizzati per misurare la coordinata orizzontale tramite il metodo della divisione di carica (vedi
g. 4.6 e 4.7).
Nelle misure di diusione a piccolissimi angoli, oltre alla congurazione
ottica dei fasci e ai rivelatori utilizzati, è molto iportante anche il criterio
19
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
Figura 4.6: Roman pot e detector costituito dalla camera a deriva
Figura 4.7: Schema delle camere a deriva (piano verticale)
20
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
utilizzato per la selezione degli eventi. Il trigger per gli eventi elastici è basato sulla coincidenza temporale, a tempo ssato dopo un beam crossing nel
punto di interazione, tra un detector alto in un braccio e uno basso nell'altro,
di due tracce collineari.
Considerando sempre come esempio l'esperimento a SPS, per la congurazione a basso
β
gli eventi elastici vengono selezionati secondo i criteri:
ˆ |ϑv (p) − ϑv (¯
p)| < 0.4 mrad
e
|ϑh (p) − ϑh (¯
p)| < 0.5 mrad
ˆ |ϕ| = arctan ϑϑhv < 12◦ .
In questa congurazione la risoluzione in |t| è limitata dalla divergenza angolare del fascio nel punto di interazione.
Nella congurazione ad alto
β,
specica per piccoli angoli, i fasci sono po-
co focalizzati e il maggior contributo alla larghezza della distribuzione nel
piano verticale, ovvero quello delle camere a deriva, (σ
dato dalla larghezza del fascio nel punto di interazione
= 0.040 mrad) è
(0.032 mrad), men-
tre nel piano orizzontale (divisione di carica) la larghezza della distribuzione
(σ
= 0.10 mrad)
è dominata dall'incertezza di misura.
In questa congurazione i criteri utilizzati per selezionare gli eventi elastici
sono:
ˆ |ϑv (p) − ϑv (¯
p)| < 0.2 mrad
e
|ϑh (p) − ϑh (¯
p)| < 0.3 mrad
ˆ |ϕ| < 25◦
ϑ , viene ottenuto misurando
ϑp e ϑp¯,
determinazione di ϑ, e quindi del
L'angolo di diusione delle particelle osservate,
gli angoli di scattering da entrambi i lati del punto di interazione,
in modo da eliminare possibili errori nella
parametro t, dovuti ad uno spostamento del punto di interazione rispetto alla
sua posizione nominale. La risoluzione angolare
della distribuzione di collinearità
orizzontale.
ϑ(¯
p) − ϑ(p)
∆ϑ si ottiene dalla larghezza
nelle due direzioni, verticale e
Un esempio di questa distribuzione per le misure ad alto
β
è
mostrato in gura 4.8.
21
Capitolo 4.
Tecniche di misura dello scattering a piccolissimo angolo
Figura 4.8: Distribuzione di collinearità degli eventi
22
Capitolo 5
Misure di scattering elastico da
ISR a LHC
5.1 Esperimenti precedenti LHC
5.1.1 Misure eettuate a ISR
I primi esperimenti di collisione protone-protone e protone-antiprotone
furono eettuati al collider ISR (Intersecting Storage Rings) del CERN , il
primo collisore adronico al mondo, che funzionò dal 1971 al 1984 con un'energia nel centro di massa tra 23 GeV e 62 GeV. Prima della costruzione di
questo collider gli esperimenti potevano essere eettuati solamente a bersaglio sso, con un'energia nel centro di massa molto minore. Gli esperimenti
eettuati a ISR aprirono la strada a quelli di collisione protone-antiprotone
eettuati successivamente a SPS (Super Proton Synchrotron) e le misure di
sezione d'urto elastica e totale eettuate a ISR mostrarono per la prima volta
alcune interessanti caratteristiche del protone.
Le caratteristiche della sezione d'urto dierenziale elastica pp osservate per
|t| > 0.01 (GeV /c)2 nel range di energia di ISR sono (vedi g. 5.3):
ˆ
un picco per angoli piccoli
ˆ
un minimo a
ˆ
|t| ' 1.4 (GeV /c)2
seguito da un massimo
una sezione d'urto piccola che decresce come potenza di
|t|
ad angoli
più grandi
ˆ
all'aumentare dell'energia la pendenza del picco aumenta e si ha un
restringimento della sua larghezza poiché la posizione del minimo si
sposta verso valori di |t| minori.
23
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
Le misure nella regione
0.01 < |t| < 0.5 (GeV /c)2
(mostrate in g. 5.1)
forniscono informazioni sulla struttura globale del protone; per comprenderne
le caratteristiche è necessario determinare la forma della distribuzione angolare, la pendenza del suo picco e la dipendenza di quest'ultima dall'energia.
2
Con le misure di ISR si osservò che il picco per |t| < 0.1 (GeV /c) può essere
descritto come un esponenziale:
dσ
= aebt
(5.1)
dt
√
−2
con un coeciente b ' 12.4 (GeV /c)
a
s = 53 GeV .
2
−2
Si osserva un cambiamento di slope per |t| ' 0.15 (GeV /c) da b ' 12.4 (GeV /c)
−2
a b ' 10.8 (GeV /c) , quindi si potrebbe descrivere meglio il picco nella re2
gione 0.01 < |t| < 0.5 (GeV /c) utilizzando una forma esponenziale del tipo
2
dσ/dt = ae(bt+ct ) , con curvatura c positiva perché si ha b minore per |t|
maggiore.
Figura 5.1: Distribuzione in -t per lo scattering elastico a
√
s = 53 GeV
Una delle sorprendenti osservazioni eettuate a ISR è l'andamento dello
slope elastico b in funzione dell'energia:
si osservò che lo slope b cresce
con l'energia (g. 5.2), con una dipendenza che viene ben descritta da una
dipendenza logaritmica del tipo :
b(s) = 8 + (0.556 ± 0.028) ln s
(5.2)
24
Capitolo 5.
con b in
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
(GeV /c)−2
e s in
(GeV )2 .
Figura 5.2: Coeciente b in funzione dell'energia per
pp a |t| = 0.05 (GeV /c)2
Il coeciente b è legato, come mostrato dall'equazione (2.2), al raggio del
protone, quindi l'aumento di b con l'energia mostra che il protone aumenta
il suo raggio al crescere dell'energia.
Le misure nella regione
0.5 < |t| < 3 (GeV /c)2
forniscono ulteriori infor-
mazioni: la caratteristica principale è la presenza di un minimo per |t| '
1.4 (GeV /c)2 seguito da un secondo massimo, come si può vedere in gura 5.3.
All'aumentare dell'energia il minimo diventa più pronunciato e si
sposta verso valori di |t| minori e quindi la larghezza del picco si restringe:
√
2
s = 23 GeV no a |t| = 1.30 (GeV /c)2 a
va da |t| = 1.45 (GeV /c) a
√
s = 62 GeV .
Osservando come cambia la posizione del minimo al variare dell'energia, si
ha un'ulteriore conferma dell'analogia ottica:
all'aumentare dell'energia il
protone aumenta il suo raggio e il minimo si sposta verso valori di |t| minori,
quindi abbiamo un picco più stretto, esattamente come accade per la gura di dirazione ottica all'aumentare delle dimensioni del disco (o del foro
circolare).
√
|t| > 3 (GeV /c)2 l'andamento è mostrato in gura 5.4 (per s =
53 GeV (ISR) e per protoni di 400 GeV su bersaglio sso (FNAL)); la
−8
sezione d'urto è molto piccola e decresce circa come t .
Per
25
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
Figura 5.3: Sezione d'urto dierenziale elastica in funzione di |t| per ISR a
diverse energie
Figura 5.4: Sezione d'urto dierenziale elastica per
|t| > 3 (GeV /c)2
26
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
Un'altra sorprendente osservazione di ISR riguarda la sezione d'urto totale, ricavata dalla sezione d'urto dierenziale elastica tramite il teorema ottico
(3.1): si trova che all'aumentare dell'energia la sezione d'urto inizialmente
diminuisce, raggiunge un minimo e poi cresce, con un andamento asintotico
2
ben rappresentato da σtot ≈ ln s.
Inoltre, considerando il rapporto
σel /σtot , che corrisponde all'opacità del pro-
tone, si osserva che a queste energie il protone è molto lontano dal limite in
cui dovrebbe comportarsi come un disco nero con un bordo grigio. Anche a
parametro di impatto nullo non risulta completamente assorbente e diventa
piuttosto trasparente aumentando il parametro di impatto. Il fattore di assorbimento ha una forma gaussiana che all'aumentare dell'energia aumenta
la sua larghezza, quindi il protone, oltre ad aumentare il suo raggio, diventa
maggiormente assorbente all'aumentare dell'energia.
5.1.2 Misure eettuate a SPS
Nel 1976 entrò in funzione il collider SPS (Super Proton Synchrotron) del
CERN per le collisioni protone-antiprotone con energia nel centro di massa
no a 546 GeV, poi aumentata a 630 GeV.
Le misure di sezione d'urto elastica e totale furono eettuate, a partire dal
1981, dall' esperimento UA4, precedentemente descritto nel paragrafo 4.2,
dedicato a queste misure, e dall'esperimento UA1.
√
s = 546 GeV, nella regione 0.03 < |t| <
b = 15.3 ± 0.3 (GeV /c)−2 e, nella regione
0.21 < |t| < 0.50 (GeV /c) , b = 13.4 ± 0.3 (GeV /c)−2 (i dati di questo espe2
rimento nella regione 0.03 < |t| < 0.50 (GeV /c) sono mostrati in g.5.5).
2
Il cambiamento di slope attorno a |t| = 0.14 (GeV /c) era già stato osservato
L'esperimento UA4 fornisce a
0.10 (GeV /c)2 , lo slope elastico
2
ad ISR. Attraverso un t su tutto il range di t di UA4, lasciando come parametri liberi i due slopes e il valore t0 in cui si verica il cambiamento di slope,
2
si trova −t0 = 0.14 ± 0.02 (GeV /c) . Anche alle energie di SPS un t con due
2
bt+ct
parametri, del tipo dσ/dt ≈ e
, fornisce una curvatura c positiva.
√
s = 630 GeV nella regioFurono eettuate successivamente misure a
2
ne 0.7 < |t| < 2.2 (GeV /c) . Poiché l'accetanza angolare dell'apparato era
ssata (la congurazione dei rivelatori era ssa), la maggiore energia della
macchina acceleratrice permise l'estensione del range di t a valori maggiori.
me a quelli a
√
√
s = 630 GeV sono mostrati
in g.5.6
√
s = 546 GeV e a quelli di ISR a s = 53 GeV.
I risultati delle misure a
insieQue-
sti risultati confermano la presenza di un minimo, a questa energia per
|t| ' 0.9 (GeV /c)2 , seguito da un secondo massimo. Nella regione 1.1 <
|t| < 2.2 (GeV /c)2 i dati possono essere descritti da un semplice esponenziale
−2
con b = 2.7 ± 0.1 (GeV /c) .
27
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
Figura 5.5: UA4: Sezione d'urto dierenziale elastica a
Figura 5.6:
√
s = 546 GeV
Sezione d'urto dierenziale elastica di UA4 per
546
√ GeV gracata
a
s = 53 GeV.
insieme ai dati a
√
s = 630 GeV
p¯
p
a
√
s =
e ai dati pp di ISR
28
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
Anche all'esperimento UA1 furono eettuate misure di scattering elastico
b = 17.1 ± 1.0 nella congurazione ad alto β
b = 13.7 ± 0.2 (GeV /c)−2 per quella a basso β (|t|
|t|
e si trovò
(quindi per
basso)
e
alto), come mostrato
in gura 5.7 in cui è riportata la distribuzione in t per lo scattering elastico
β. Anche
|t| ' 0.16 (GeV /c)2 con
nelle due congurazioni
in questo caso si trova un cambio di slope
intorno a
b maggiore per
Figura
5.7:
UA1:
Distribuzione
congurazione a basso
β
in
t
per
lo
|t|
minore.
scattering
(a) e per la congurazione ad alto
β
elastico
nella
(b)
Figura 5.8: Sezione d'urto dierenziale elastica UA1: dati combinati delle
due congurazioni
β
29
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
Per quanto riguarda la dipendenza dall'energia anche i risultati di SPS
mostrano che b aumenta con l'energia con andamento logaritmico e che il
picco si stringe, conferma dell'aumento del raggio del protone.
Per quanto riguarda la sezione d'urto totale le misure agli esperimenti UA4
e UA1 confermarono il sorprendente risultato di ISR di sezione d'urto che
2
cresce all'aumentare dell'energia con andamento del tipo lns o ln s. In gura
5.9 sono riportati gli andamenti della sezione d'urto totale (con le curve cor√
2
s > 100 GeV ) e del coeciente
rispondenti agli andamenti ln s e ln s per
b in funzione dell'energia con i dati di UA1 e UA4.
Figura 5.9: Sezione d'urto totale con i dati di UA1 e UA4 (a) e parametro b
2
in funzione dell'energia a |t| = 0.02 (GeV /c) (b)
5.1.3 Misure eettuate al Tevatron
Esperimenti di scattering elastico furono eettuati anche al Tevatron del
FNAL. Uno dei principali esperimenti dedicati a queste misure è l'esperimento E710 che misurò la sezione d'urto dierenziale elastica e la sezione d'urto
30
Capitolo 5.
totale
pp
e
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
p¯
pa
√
s = 1.8 T eV
nel range
0.034 < |t| < 0.65 (GeV /c)2 .
Agli esperimenti precedenti era stato osservato che è possibile descrivere la
2
bt
sezione d'urto dierenziale elastica per |t| < 0.5 (GeV /c) come dσ/dt ≈ e
con un cambiamento di slope b, che passa da un valore maggiore ad uno
2
minore, per |t| ' 0.14 (GeV /c) .
I dati della sezione d'urto dierenziale elastica di questo esperimento sono riportati in gura 5.10 e in gura 5.11 insieme a quelli di UA4. I dati mostrano
un andamento leggermente diverso da quello osservato precedentemente.
Figura 5.10: E710: Sezione d'urto dierenziale elastica
Figura 5.11: Sezione d'urto dierenziale elastica con i dati di UA4 e E710
31
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
Non si osserva in questo caso il cambiamento di slope osservato a ISR e
SPS. Sono stati eettuati t separati nelle tre regioni
0.034 < |t| < 0.083,
0.10 < |t| < 0.65, e 0.034 < |t| < 0.65, utilizzando le due forme esponenziali
2
dσ/dt = aebt e dσ/dt = aebt+ct . Si trovò che la seconda forma, con due parametri, non fornisce un t migliore della prima in quanto il coeciente c è
sempre molto vicino a zero, quindi si può considerare la forma con un unico
slope. Il parametro b ottenuto dai t nelle tre regioni risulta essere lo stesso
−2
entro le incertezze, con valore b = 16.3±0.3 (GeV /c) , risultato in contrasto
con quanto ottenuto ad energie minori in cui si osserva un cambiamento di
slope, con b maggiore per
|t|
minore, ovvero con una curvatura c positiva.
Se consideriamo lo scattering da un disco nero uniforme di raggio R la se
J1 (R√|t|) 2
zione d'urto dierenziale è proporzionale a R√|t| , che ha b che cresce
al crescere di
|t|
verso il primo minimo di dirazione, ovvero una curvatura
b = 1/4R2 e c = −1/192R4 . Il para-
c negativa per qualunque energia, con
mentro c quindi è un buon indicatore dell'onset della regione asintotica, in
cui il modello del disco opaco descrive bene il comportamento del protone.
Se il protone evolve in un disco opaco all'aumentare dell'energia, come previsto da alcune teorie asintotiche, c deve passare da positivo (come trovato
a ISR e SPS) a negativo, passando attraverso lo zero. Secondo queste considerazioni, per un range di energie medie, previsto da alcuni modelli intorno
a
√
s = 2 T eV
e che potrebbe essere quindi proprio quello del Tevatron,
b potrebbe essere indipendente da t, ovvero si potrebbe avere
c = 0,
come
risulta dai dati di E710. Si ha quindi il passaggio da energie per cui la forma della sezione d'urto dierenziale elastica è dominata dal fattore di forma
dei nucleoni a energie in cui il protone ha le caratteristiche di un disco nero
omogeneo, che si traduce in un coeciente c negativo anziché positivo.
In gura 5.12 è mostrato l'andamento della sezione d'urto dierenziale elastica per diverse energie da
√
s = 23 GeV
a
√
s = 1800 GeV .
5.2 Esperimento TOTEM a LHC
Attualmente il pricipale esperimento in cui si eettuano misure di sezione
d'urto totale ed elastica per lo scattering di protoni è l'esperimento TOTEM
(TOTal cross section, Elastic scattering and diraction dissociation Measurement) a LHC, l'acceleratore più grande e con maggior energia al mondo,
entrato in funzione nel 2009.
Questo esperimento eettua le misure eet-
tuate per la prima volta a ISR ad energie sempre maggiori, mostrando come
le prime osservazioni sulle caratteristiche principali dello scattering protoneprotone vengano confermate ad alta energia.
32
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
pp
√
s = 1.8 T eV
Figura 5.12: Confronto della sezione d'urto dierenziale elastica
funzione di
|t|
per diversi valori dell'energia no a
e
p¯
p in
Rispetto agli altri esperimenti attualmente in corso a LHC, TOTEM è di
dimensioni molto ridotte, ma eettua delle misure uniche, molto diverse da
quelle degli altri esperimenti. Il suo programma è dedicato alla misura precisa
della sezione d'urto dell'interazione protone-protone. Lo studio dei processi
nella zona molto vicina al fascio di particelle richiede, come spiegato nella
sezione 4.2, dei rivelatori particolari, per questo TOTEM ha dovuto investire molto nel sosticato sistema di detector caratterizzato da un'elevata
accettanza. Tutti i detector dell'apparato sperimentale rivelano le particelle
cariche emesse dalle collisioni protone-protone nel punto di interazione IP5 e
devono avere un sistema di trigger in grado di selezionare eventi specici.
TOTEM è ottimizzato per misurare lo scattering elastico protone-protone
2
nella regione 0.001 < |t| < 10 (GeV /c) . I protoni diusi a piccoli angoli
vengono rivelati nei Roman pots a 149m e 220m dal punto di interazione,
tramite rivelatori al silicio. I Roman pots di questo esperimento riescono ad
arrivare così vicino ai fasci da riuscire a misurare circa il
90%
degli eventi
elastici. In ogni punto di rivelazione sono presenti due unità che distano tra
loro 2-5m, per migliorare la precisione delle misure, che consistono in due
pots nel piano verticale che si avvicinano al fascio da sopra e da sotto e un
pot che si muove nel piano orizzontale. Ogni pot contiene un gruppo di 10
rivelatori costituiti da strisce di silicio. All'interno di ogni rivelatore ci sono
6 µm e i rivelatori sono orientati in modo che
◦
cinque dei dieci rivelatori siano a +45 rispetto al fascio e gli altri cinque
◦
a −45 . I candidati eventi elastici richiedono la ricostruzione di due tracce
512 strisce alla distanza di
diagonali collineari.
Il rate inelastico viene misurato tramite due telescopi
T1
e
T2 ,
posizionati a
33
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
9m e 13.5m dal punto di interazione e che contengono rispettivamente cathode strip chambers (CSC) e GEM (Gas electronic multiplier).
Nel 2011 TOTEM ha eettuato inizialmente misure nel range 0.36 < |t| <
√
2.5 (GeV /c)2 a s = 7 T eV. In gura 5.13 è riportata la sezione d'urto dierenziale elastica ottenuta per questi valori. I dati mostrano le caratteristiche
generali osservate per la prima volta a ISR: si osserva un picco per bassi
valori di
|t|
che si restringe all'aumentare dell'energia e che decade esponen2
zialmente no ad un minimo in |t| = 0.53 ± 0.01 (GeV /c) , seguito da un
secondo massimo. In particolare i dati confermano che il minimo si sposta
|t| all'aumentare dell'energia : a ISR il minimo fu oss = 53 GeV per |t| ' 1.4 (GeV /c)2 , a TOTEM, con un'energia
servato a
2
nel centro di massa di 7 T eV , il minimo si trova per |t| ' 0.5 (GeV /c) .
2
Per |t| > 1.5 (GeV /c) la sezione d'urto dierenziale mostra un andamento
−n
esprimibile come |t|
con n = 7.8 ± 0.3.
verso valori minori di
√
Lo slope del picco della sezione d'urto dierenziale per i dati di TOTEM, a
√
s = 7 T eV, risulta b = 23.6 ± 0.5 (GeV /c)−2 per 0.36 < |t| < 0.47 (GeV /c)2
(in g.5.13 è mostrato l'andamento).
Figura 5.13: Sezione d'urto dierenziale elastica in funzione di
|t| a TOTEM
Successivamente, nel 2012, sono state eettuate misure a valori minori di
|t|,
che possono essere realizzate aumentando il
β
di betatrone del fascio. In
0.002 < |t| < 0.2 (GeV /c)2
b = 19.9 ± 0.3 (GeV /c)−2 . In
particolare TOTEM estese le misure all'intervallo
ottenendo in questa regione uno slope elastico
34
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
g. 5.14 è mostrato l'andamento complessivo per
|t| < 0.6 (GeV /c)2
in cui si
osserva il cambiamento di slope tra le due regioni prese in considerazione.
Osserviamo che all'energia di LHC (
|t|
√
s = 7 T eV )
si trova b maggiore per
maggiore quindi si ha curvatura c negativa, come ci si aspetta per un
disco opaco. Questo risultato conferma le teorie secondo le quali il protone si
comporta asintoticamente, all'aumentare dell'energia, come un disco opaco.
Figura 5.14: Sezione d'urto dierenziale elastica per
|t|
piccolo a TOTEM
Considerando l'andamento del coeciente b in funzione dell'energia, i dati
di TOTEM confermano la sua crescita logaritmica con essa, come mostrato
in g.5.15 in cui è riportato il valore ottenuto da questo esperimento e quelli
dei precedenti esperimenti ad energia minore.
Figura 5.15: Andamento del parametro b in funzione dell'energia
Misurando la sezione d'urto totale con il metodo indipendente dalla luminosità no a
√
s = 8 T eV,
TOTEM conferma anche la crescita, osservata
35
Capitolo 5.
Misure di scattering elastico da ISR a LHC
dagli esperimenti precedenti, della sezione d'urto totale all'aumentare dell'e2
nergia con andamento ln s, come mostrato in gura 5.16.
Sono confermate quindi le osservazioni di ISR in cui il protone si comporta
come un disco che all'aumentare dell'energia diventa più grande e più scuro,
come schematizzato in gura 5.17.
Figura 5.16: Sezione d'urto totale in funzione dell'energia
Figura 5.17: Rappresentazione schematica dell'aumento delle dimensioni e
dell'opacità di un protone di alta energia
36
Conclusioni
Riassumendo, i risultati ottenuti dagli esperimenti svolti ai collider adronici da ISR no a TOTEM a LHC mostrano che la gura di dirazione per
l'urto elastico
pp
e
p¯
p
si avvicina a quella classica dell'ottica.
La sezione
d'urto totale e la pendenza b della sezione d'urto dierenziale elastica aumentano logaritmicamente con l'energia, quindi il protone sembra diventare
sempre più grande. Anche l'opacità aumenta con l'energia quindi il protone
diventa non solo più grande ma anche più opaco. Le dierenze osservate tra
l'andamento della sezione d'urto elastica dei protoni e la gura di dirazione
da un disco nero risiedono nel fatto che il protone in realtà non è un disco
omogeneo.
Il modello ottico presentato in questa dissertazione è un mo-
dello macroscopico che non tiene conto della struttura interna, ovvero delle
interazioni tra i costituenti del protone, ma solo tra i protoni nella loro interezza, schematizzati come dischi omogenei. Lo studio della struttura interna
del protone è molto complesso e molte delle caratteristiche del suo comportamento a basso
|t| osservate negli esperimenti descritti in questa dissertazione,
che sono legate alla QCD (che descrive le interazioni forti tra quark e gluoni)
a basso impulso trasverso, non sono facilmente predicibili numericamente.
La cromodinamica quantistica nella sua versione perturbativa spiega bene i
processi ad alto
a bassi
pt , ma non esistono predizioni numeriche precise per la parte
pt a causa del grande valore della costante di accoppiamento forte, che
richiede l'introduzione di eetti non perturbativi complicando enormemente
i calcoli.
L'interpretazione del comportamento in funzione dell'energia dell'urto elastico e della sezione d'urto totale è stata fatta in termini di dierenti modelli che
si trovano più o meno in accordo con le osservazioni sperimentali. Ulteriori
informazioni sul comportamento del protone, e quindi sulle interazioni tra i
|t|, potranno essere fornite
in futuro
√
s = 14 T eV ).
da esperimenti ad energia maggiore (LHC arriverà in futuro a
suoi costituenti (quark e gluoni) a piccolo
Inoltre, per migliorare lo studio delle interazioni si eettueranno misure con
β maggiore per raggiungere valori piccoli di |t| no a 5 · 10−4 (GeV /c)2 , e si
cercherà di estendere lo studio dello scattering elastico a grandi valori di
37
|t|.
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39
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